1  

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Apuntes de clases del Prof. Emilio Ramón Ortiz Trepowski 

 

Análisis matemático básico  

Abril/2010  

  

 

  

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Capítulo 2 

Topología de  nR  

En este capítulo empezamos nuestro estudio de aquellas propiedades básicas de  nR que son importantes para  la  idea de  funciones  continuas. Estudiaremos a  los  conjuntos abiertos,  los 

cuales generalizan el concepto de  intervalos abiertos en  R , y conjuntos cerrados,  los cuales generalizan a los intervalos cerrados.  

La mayoría del material de esta parte depende sólo de las propiedades básicas de la función de distancia. 

Recordemos que la función de distancia euclidiana d está dada por: 

  ( ) ( ) ( ) ( )122 2

1 11

, ... ,n

ni i n n

i

d x y x y x y x y=

⎧ ⎫= − = − + + −⎨ ⎬⎩ ⎭∑   (1.1) 

y que las propiedades básicas de esta  d son las siguientes: 

(i) ( ), 0d x y ≥  

(ii) ( ), 0d x y = si y sólo si  x y=  

(iii) ( ) ( ), ,d x y d y x=  

(iv) ( ) ( ) ( ), , ,d x y d x z d z y≤ + (la famosísima desigualdad del triángulo). 

Conjuntos abiertos 

Para definir los conjuntos abiertos, primero debemos introducir la noción de un disco‐ε . 

Definición. Para cada valor dado de  nx R∈  y  0ε > , el conjunto 

  ( ) ( ){ }, ,nD x y R d x yε ε= ∈ <   (1.2) 

es llamado el disco‐ε alrededor de  x . Un conjunto  nA R⊂ se dice que es abierto si para cada 

x A∈ , existe un  0ε > tal que  ( ), .D x Aε ⊂  

Es  importante  darnos  cuenta  que  el  ε requerido  puede  depender  de  x .  Por  ejemplo,  el 

cuadrado unitario en  2R que no incluye la “frontera” es abierto, pero el ε  requerido se vuelve más pequeño en la medida que nos acercamos a la frontera. Sin embargo, observemos que el ε no puede ser cero para ningún  x . 

Consideremos un  intervalo abierto en  R , digamos,  ] [0,1 . Ciertamente, este es un conjunto 

abierto. Sin embargo, si lo consideramos que está en  2R (como un subconjunto del eje  x ), ya 

  

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no es abierto.   Por  lo  tanto, para que evaluemos  si un conjunto es abierto o no es esencial 

especificar que  nR estamos usando. 

Hay numerosos ejemplos de conjuntos que no son abiertos. El disco unitario cerrado en  2R , 

{ }2 1x R x∈ ≤ , es uno de estos ejemplos. Este conjunto no es abierto porque para un punto 

de la “frontera” (esto es, los puntos  x con  1x = ), cada disco‐ε contiene puntos que no están 

en el conjunto. 

Teorema 1. En  nR , para cada  0ε > y  nx R∈ , el conjunto  ( ),D x ε es abierto. 

La idea principal para la prueba está contenida en la figura 2.5. Observemos en esta figura que 

el tamaño del disco alrededor del punto  ( ),y D x ε∈ se vuelve más pequeño en la medida que 

y está más próxima a la frontera. 

Prueba. Elijamos  ( ),y D x ε∈ . Debemos obtener un ε ′ tal que  ( ) ( ), , .D y D yε ε′ ⊂  La figura 

2.5  del  libro  de Marsden  sugiere  que  intentemos  ( ), ,d x yε ε′ = −   la  que  es  estrictamente 

positiva dado que  ( ),d x y ε< . Con esta elección (la cual depende de  y ), debemos demostrar 

que  ( ) ( ), , .D y D xε ε′ ⊂ Sea  ( ), ,z D y ε ′∈ de  manera  que  ( ),d z y ε ′< .  Necesitamos 

demostrar  que  ( ), .d z x ε< Pero,  por  el  teorema  de  la  desigualdad  del  triángulo, 

( ) ( ) ( ) ( ), , , ,d z x d z y d y x d y xε ′≤ + < + y  por  la  elección  de  ε ′ ,  ( ),d y xε ε′ + = .  El 

resultado fluye de esto último. 

Ejemplos y ejercicios resueltos sobre conjuntos abiertos  

1. Sea  ( ){ }2, 0 1 .S x y R x= ∈∈ < <  Demuestre que  S es abierto. 

Solución. En la figura 2.6 del libro de Marsden podemos ver que alrededor de cada 

punto  ( ),x y S∈ podemos dibujar un disco de radio  { }min ,1r x x= −  el que está 

completamente contenido en  .S Por lo tanto, por la definición de conjunto abierto, 

S es abierto. 

2. Sea  ( ){ }2, 0 1 .S x y R x= ∈ < ≤ ¿Es  S abierto? 

Solución. No, porque cualquier disco alrededor de  ( )0,1 S∈ contiene puntos 

( ),0x con  1.x >  

3. Sea  nA R⊂ un conjunto abierto y  nB R⊂ . Definamos 

{ } y .nA B x y R x A y B+ = + ∈ ∈ ∈  Pruebe que  A B+ es abierto. 

  

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Solución. Sea  ,x A y B∈ ∈ de manera que  .x y A B+ ∈ + Por definición, hay un 

0,ε > de manera que  ( ), .D x Aε ⊂  Nosotros afirmamos que  ( ), .D x y A Bε+ ⊂ +  

Ciertamente, hagamos que  ( ),z D x y ε∈ + así que  ( ),d x y z ε+ < . Pero, 

( ) ( ), ,d x y z d x z y+ = − por lo que  ,z y A− ∈ y luego  ( ) .z z y y A B= − + ∈ + Así 

( ), ,D x y A Bε+ ⊂ + por lo tanto  A B+ es abierto. 

4. Muestre que  ( ){ }2 0,0R / es abierto en  2R . 

Solución. Sea  ( ){ }2 0,0x R∈ / . Dado que  ( )0,0x ≠ ,  ( )( ), 0,0 0;d x r= >  entonces 

( ) ( ){ }2, 0,0D x r R∈ / , ya que  ( ) ( )0,0 ,D x r∈ implica que 

( )( ) ( )( ), 0,0 , 0,0d x r d x< = , lo cual es imposible. Por lo tanto,  ( ){ }2 0,0R /  es 

abierto. 

5.  Sea  A R⊂ un conjunto abierto y sea 2B R⊂ el que está definido por 

  ( ){ }2, .B x y R x A= ∈ ∈  

 

Muestre que  B es abierto. 

 

Solución. Sea  ( )0 0, .x y B∈  Entonces necesariamente  0 .x A∈  Por lo tanto, existe un 

0ε >  tal que  ] [0 0, .x x d Aε− + ⊂  Lo que también se reclama es que 

( )( )0 0, , .D x y Bε ⊂ Si  ( ) ( )( )0 0, , ,x y D x y ε∈  esto implica que 

( ) ( ) ( )( )0 0 0, , , , ,d x x d x y x y ε≤ <  debido a que  .x A∈  

6. Sea  nB R⊂ cualquier conjunto. Definamos a  

  ( ){ }, 1 para algún .nC x R d x y y B= ∈ < ∈  

Muestre que C es abierto (Ayuda: Muestre que  ( ),1y BC D y∈= ∪ ). 

Solución. Sea  ( ),1 .y B

A D y∈

= ∪  Entonces  x A∈ ⇔ existe un  y B∈  tal que 

( ),1x D y∈  (esto es,  ( ), 1)d x y <  para algún  .y B y C∈ ⇔ ∈  C es abierto, ya que 

es la unión de conjuntos abiertos. 

7. Sea  A R⊂ un conjunto abierto y  .B R⊂  Defina  { } y .AB xy R x A y B= ∈ ∈ ∈  ¿Es 

AB necesariamente abierto? 

  

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Solución. No. Sea  A cualquier subconjunto abierto de  R y  { }0 .B =  Entonces,  

{ }0AB = , el cual no es abierto. Si  B fuera también abierto, entonces si  AB sería 

también abierto. 

 

Algunas leyes básicas que obedecen los conjuntos abiertos son las siguientes. 

Teorema  2.  (i)  La  intersección  de  un  número  finito  de  subconjuntos  abiertos  de  nR es  un 

subconjunto abierto de  nR . 

Prueba. Es suficiente probar que la intersección de dos conjuntos abiertos es abierto, dado que podemos  usar  la  inducción  para  obtener  el  resultado  general  escribiendo 

( )1 1 1... .... .n n nA A A A A−∩ ∩ = ∩ ∩ ∩  

Sean  ,A B abiertos y C A B= ∩ ; si  ,C C=∅ es vacío por el caso degenerado de la definición. 

Por lo tanto, supongamos que  .x C∈ Dado que  ,A B son abiertos, hay  , 0,ε ε ′ >  tal que: 

  ( ) ( ), y , .D x A D x Bε ε ′⊂ ⊂  

Sea  ε ′′el  más  pequeño  entre  los  ε y  ε ′ .  Entonces,  ( ) ( ), ,D x D xε ε′′ ⊂ y  por  lo  tanto 

( ),D x Aε ′′ ⊂ y  similarmente  ( ), ,D x Bε ′′ ⊂ así  que  ( ),D x Cε ′′ ⊂ como  nos  era  requerido 

demostrar. 

(ii)  La  unión  de  una  colección  arbitraria  de  subconjuntos  abiertos  de  nR es  un  subconjunto 

abierto de  nR . 

Prueba. La prueba de la unión es más fácil. Sean  , ,...U V conjuntos abiertos con unión igual a 

A .  Para  ,x A x U∈ ∈ para  algún  U en  la  colección.  Por  lo  tanto,  como  U es  abierto, 

( ),D x U Aε ⊂ ⊂ para algún  0,ε > probando que  A es abierto. 

Este  resultado  puede  que  no  sea  completamente  claro  desde  el  punto  de  vista  intuitivo. Alguna idea sobre la diferencia entre las afirmaciones (i) y (ii) puede ser obtenida si nos damos cuenta que no es verdad que la intersección de una familia arbitraria de conjuntos abiertos es 

abierto. Por ejemplo, en  1R , un punto único (que no es un conjunto abierto) es la intersección de todos  los  intervalos abiertos que  lo contienen. Esto es, por ejemplo,  la  intersección de  los 

intervalos  ] [1 ,1n n− en  R es el conjunto de un solo punto { }0 , el cual no es abierto. 

Nota. Un conjunto con una colección especificada de subconjuntos (llamados, por definición, conjuntos  abiertos)  que  obedecen  las  reglas  del  Teorema  2  y  que  contienen  al  conjunto 

abierto  ∅ y  a  todo  el  espacio  es  llamado  un  espacio  topológico.  No  estudiaremos  a  los 

espacios topológicos generales sino sólo a  nR . Sin embargo, la mayoría de lo que decimos en estas notas se aplican a estructuras más generales. 

  

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En un espacio métrico  ,E con distancia  ,d un conjunto abierto es un subconjunto  A de  ,E que 

tienen  la  siguiente  propiedad:  para  cada  ,x A∈ existe  un  0ε > tal  que  ( ), .D x Aε ⊂   El 

conjunto vacío es abierto; todo el espacio E es vacío. 

 

Interior de un Conjunto 

Definición. Para cualquier conjunto  nA R⊂ , un punto  x A∈ es  llamado un punto  interior de 

A si hay un conjunto abierto U tal que  .x U A∈ ⊂  Debe ser claro que esto es equivalente a: 

hay  un  0ε > tal  que  ( ), .D x Aε ⊂   El  interior  de  A es  la  colección  de  todos  los  puntos 

interiores de  A  y es denotado por int ( )A . Este conjunto podría ser vacío. 

Por ejemplo, el interior de un punto único es vacío. El interior del disco unitario, incluyendo su frontera, es el disco unitario sin su frontera. 

Podemos describir el interior de un conjunto en una manera ligeramente diferente. El interior 

de  A es de hecho  la unión de  todos  los  subconjuntos  abiertos de  .A   Por  lo  tanto, por un 

teorema  anterior,  o  directamente,  el  ( )int A es  abierto.  Por  lo  tanto,  el  ( )int A es  el más 

grande de  los subconjuntos abiertos de  .A  Por  lo  tanto, si no hay subconjuntos abiertos de 

,A ( )int .A =∅  También, es evidente que  A es abierto si y sólo si  ( )int .A A=  

Ejemplos y ejercicios resueltos sobre el interior de un conjunto 

1. Sea  ( ){ }2, 0 1 .S x y R x= ∈ < ≤  Encuentre el  ( )int .S  

Solución.  Para  determinar  los  puntos  interiores,  sólo  necesitamos  localizar  los  puntos 

alrededor de los cuales es posible dibujar un disco‐ε  enteramente contenido en  .S Por lo 

tanto,  ( ) ( ){ }int , 0 1 .S x y x= < <  

2. ¿Es verdad que  ( ) ( ) ( )int int intA B A B∪ = ∪ ? 

Solución. No. Consideremos la línea real,  [ ] [ ]0,1 , 1, 2 .A B= =  Entonces  ( ) ] [int 0,1A = y 

( ) ] [int 1, 2B = , así que  ( ) ( ) ] [ ] [ ] ] { }int int 0,1 1, 2 0, 2 / 1 ,A B∪ = ∪ = mientras que 

( ) ] [int 0, 2A B∪ = . 

3. Sea  ( ){ }2, 1 .S x y R xy= ∈ ≥ Encuentre  ( )int .S  

Solución.  ( ) ( ){ }2int , 1 .S x y R xy= ∈ >  

  

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4. Sea  ( ){ }3 2 2, , 0 1, 1 .S x y z R x y x= ∈ ≤ < + ≤  Encuentre  ( )int .S  

Solución.  ( ) ( ) [ ]{ }3 2 2int , , 0 1 1 ; cualquier S x y z R x x y z R⎡ ⎤= ∈ < < ∩ + <⎣ ⎦ . 

5. Si  ,A B⊂ ¿está el  ( ) ( )int intA B⊂ ? 

Solución. Si, si  ( )intx A∈  esto implica que existe un conjunto abierto U con 

,a U A B∈ ⊂ ⊂  por lo que  ( )int .x B∈  

6. ¿Piensa usted que es verdadero que el  ( ) ( ) ( )int int intA B A B∩ = ∩ ? Intente 

algunos ejemplos. 

Solución. Si. Si  ( ) ( )int int ,x A B∈ ∩ entonces existen los conjuntos abiertos  ,U V con 

x U A∈ ⊂  y  .x V B∈ ⊂  Ahora  x U V A B∈ ∩ ⊂ ∩  y U V∩  es abierto, así que 

( )int .x A B∈ ∩  Si  ( )int ,x A B∈ ∩ entonces existe un conjunto abierto U con 

x U A B A∈ ⊂ ∩ ⊂  y  ;B  así que  ( ) ( )int int .x A B∈ ∩  

 

Conjuntos cerrados 

Definición. Un conjunto  B en  nR se dice que es cerrado si su complemento en  nR  (esto es, el 

conjunto  \nR B ) es abierto. 

Por ejemplo, un punto único es cerrado. El conjunto que consiste del círculo unitario con su frontera es  cerrado. Grosso modo, un  conjunto es  cerrado  cuando  contiene  sus  “puntos de frontera.” 

Es completamente posible tener un conjunto que no es abierto ni cerrado. Por ejemplo, en  1R , 

un  intervalo semi‐abierto  ] ]0,1  no es cerrado ni abierto. Así,  incluso si conocemos que  A no 

es abierto, no podemos concluir que es cerrado o no cerrado.  

 

Teorema 3. 

(i) La unión de un número finito de subconjuntos cerrados de  nR es cerrado. 

(ii) La  intersección  de  una  familia  arbitraria  de  subconjuntos  cerrados  de  nR es cerrado. 

 

Este teorema  fluye directamente del Teorema anterior correspondiente a conjuntos abiertos observando  que  las  uniones  y  las  intersecciones  son  intercambiadas  cuando  tomamos 

  

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complementos. También debemos demostrar que (i) no puede ser reemplazados por uniones arbitrarias. 

 

Ejemplos y ejercicios sobre conjuntos cerrados 

1. Sea  ( ){ }, 0 1,0 1 .nS x y R x y= ∈ < ≤ ≤ ≤ ¿Es  S cerrado? 

Solución.  Intuitivamente,  S no es cerrado porque  la porción de  su  frontera  sobre el eje 

y no  está  en  S .  También,  el  complemento  no  es  abierto  porque  cualquier  disco‐ε  

alrededor de un punto en el eje  ,y  digamos  ( )0,1 2 ,  intersectará  S   (y por  lo  tanto no 

estará en  / ).nR S  

2. Sea  ( ){ }2 2 2, 1 .S x y R x y= ∈ + ≤ ¿Está  S cerrado? 

Solución. Sí.  S es sólo el disco unitario, incluyendo su frontera. El complemento es 

claramente un conjunto abierto, porque  ( ) 2, / ,x y R S∈ el disco de radio 

2 2 1x yε = + −  está completamente contenido en  2 / .R S  

3. Muestre que cualquier conjunto finito en  nR es cerrado. 

Solución. Los puntos únicos son cerrados, y podemos aplicar el teorema anterior (i). 

4. Sea  ( ){ }2, , 1 .S x y R x y= ∈ ≥  ¿Es  S cerrado? 

Solución. Sí. 

5. Sea  ( ){ }2, 0,0 1 .S x y R x y= ∈ = < <  ¿Está  S cerrado? 

Solución. No;  ( ) 20,1 \R S∈  y cualquier vecindario alrededor de  ( )0,1 contendrá puntos 

de  .S  

6. Rehaga el ejercicio 3, ahora mostrando que el complemento es abierto. 

Solución. 

7. Sea  nA R⊂ un conjunto arbitrario. Muestre que  ( )\ intnR A es cerrado. 

Solución. 

8. Sea  { } es irracional .S x R x= ∈  ¿Está  S cerrado? 

  

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Solución. No. Si  { }\ es irracionalx R S x R x∈ = ∈ no hay un vecindario de  x que no 

contenga puntos irracionales, por lo tanto  \R S no es abierto, y  S no es cerrado.  

 

 

Puntos de Acumulación 

Hay  otro  camino muy  útil  para  determinar  si  un  conjuntos  es  cerrado  el  cual  depende  del concepto de punto de acumulación. 

Definición. Un punto  nx R∈ es  llamado un punto de acumulación de un conjunto  A si cada 

conjunto abierto U que contiene a  x contiene también algún punto de  A diferente a  .x  

 

Esto es, un punto de acumulación de un conjunto  A es un punto tal que hay otros puntos de 

A arbitrariamente cercanos.  

Usando  el  Teorema  1,  nuestra  definición  de  que  x sea  un  punto  de  acumulación  de  A es 

equivalente  a  la  declaración  de  que  para  cada  0ε > ,  ( ),D x ε contiene  algún  punto  y de 

A con  .y x≠  

Por  ejemplo,  en  1,R un  conjunto  que  consiste  de  un  punto  único  no  tiene  puntos  de 

acumulación  y  el  intervalo  abierto  ] [0,1 tiene  todos  los  puntos  de  [ ]0,1 como  puntos  de 

acumulación. Observemos que un punto de acumulación de un conjunto no necesita estar en el  conjunto.  Las  definiciones  de  puntos  de  acumulación  y  conjuntos  cerrados  están estrechamente relacionados como se muestra en el siguiente teorema. 

 

Teorema 4. Un  conjunto  nA R⊂ es  cerrado  si  y  sólo  si  todos  los puntos de acumulación de 

A pertenecen a  .A  

 

Observemos que un conjunto no necesita tener puntos de acumulación (un punto único o el 

conjunto  de  enteros  en  1R   son  ejemplos),  en  cuyo  caso  el  Teorema  4  todavía  se  aplica  y podemos concluir que el conjunto es cerrado. Otra  forma útil de probar que un conjunto es cerrado está dado en el Teorema 9. 

El  Teorema  4  es  intuitivamente  claro  porque  que  un  conjunto  sea  cerrado  significa,  grosso modo,  que  contiene  todos  los  puntos  de  “su  frontera”,  y  tales  puntos  son  puntos  de acumulación.  Pero  a  veces  nuestra  intuición  no  es  suficiente  y  debemos  ser  cauteloso.  Por 

  

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ejemplo,  consideremos  { } { }1 1,2,3,... 0 .A n R n= ∈ = ∪   Este  es un  conjunto  cerrado  y  su 

único punto de acumulación es { }0 el cual reside en  .A  

 

Ejemplos y ejercicios sobre puntos de acumulación 

1. Sea  [ ]{ }0,1 y es racional .S x R x x= ∈ ∈  Encuentre los puntos de acumulación de 

.S  

Solución. El conjunto de puntos de acumulación consiste de todos los puntos en [ ]0,1 .  

Ciertamente, sea  [ ]0,1y∈  y  ( ) ] [, ,D y y yε ε ε= − + un vecindario de  .y  Ahora  Ahora 

sabemos que podemos encontrar puntos racionales en [ ]0,1  arbitrariamente próximos a 

y  (diferentes a  )y  y en particular en  ( ), .D y ε  Por lo tanto  y es un punto de 

acumulación. Cualquier punto  [ ]0,1y∉ no es un punto de acumulación porque  y tiene un 

disco‐ε  que lo contiene que no alcanza a [ ]0,1  y por lo tanto a  .S  

2. Verifique el Teorema 4 para el conjunto  ( ){ }2, 0 1 ó 2 .A x y R x x= ∈ ≤ ≤ =  

Solución.   A se muestra en la Figura 2‐10 de Marsden.  Claramente,  A es cerrado. Los 

puntos de acumulación de  A consisten exactamente de  Amismo que está en  .A  

Observemos que en  ,R  [ ] { }0,1 2∪ tiene como puntos de acumulación [ ]0,1  sin el punto 

{ }2 .  

3. Sea  ( ){ }2 2, 1 .S x y R y x= ∈ < +  Encuentre los puntos de acumulación de  .S  

Solución.  S está  dibujada  en  la  Figura  2‐11  de  Mariden.  Los  puntos  de  acumulación 

constituyen el conjunto  ( ){ }2, 1x y y x≤ + como es evidente de la figura. 

4. Encuentre los puntos de acumulación de  ( ){ }2, 0 y 0 1 .A x y R y x= ∈ = < <  

5. Si  A B⊂ y  x es  un  punto  de  acumulación  de  ,A ¿es  también  x un  punto  de acumulación de  B ? 

6. Encuentre los puntos de acumulación de los siguientes conjuntos en  2.R  

(a)  ( ){ }, , enteros .m n m n  

(b)  ( ){ }, , racionalesp q p q . 

  

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(c)  ( ){ },1 , enteros, 0, 0m n n n m n m≠ ≠ . 

(d)  ( ){ }1 1 ,0 , enteros, 0, 0 .n m n m n m+ ≠ ≠  

7. Sea  A R⊂  y  ( )sup .x A=  ¿Debe  x ser un punto de acumulación de  ?A  

8. Verifique el Teorema 4 para el conjunto  ( ){ }2 2, 2 3A x y R x y x= ∈ + + = . 

Closure de un conjunto 

El  interior  de  un  conjunto  A es  el  más  grande  de  los  subconjuntos  abiertos  de 

.A Similarmente,  podemos  formar  el  más  pequeño  de  los  conjuntos  cerrados  que 

contienen al  conjunto  .A  Este  conjunto es  llamado el  closure de  A  y es denotado por 

( )cl A  o a veces  .A  

Definición. Sea  .nA R⊂  El conjunto  ( )cl A  está definido como la intersección de todos los 

conjuntos cerrados que contienen a  ,A  (y por lo tanto  ( )cl A es cerrado por el Teorema 3 

(ii)). 

Por ejemplo, en  1,R ] [( ) [ ]cl 0,1 0,1 .=  También, observemos que  A es cerrado si y sólo si 

( )cl .A A=  La conexión entre closure y puntos de acumulación está dado por el siguiente 

Teorema. 

 

Teorema  5.  Sea  .nA R⊂   Entonces  ( )cl A   consiste  de  A   más  todos  los  puntos  de 

acumulación de  .A  

 

En otras palabras, para encontrar el closure de  A , adicionamos a  A todos  los puntos de 

acumulación que no están ya en  .A  

Ejemplos y ejercicios resueltos sobre puntos de acumulación 

1. Encuentre el closure de  [ [ { }0,1 2A = ∪ en  .R  

Solución. Los puntos de acumulación son  [ ]0,1 , así que el closure es  [ ] { }0,1 2 .∪  Este es 

claramente también el más pequeño de los conjuntos cerrados que podría contener  .A  

2. Para cualquier  nA R⊂ , muestre que  ( )/ clnR A  es abierto. 

  

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Solución.  ( )cl A es siempre un conjunto cerrado y, por definición de un conjunto cerrado, 

su complemento es abierto. 

3. ¿Es verdadero que  ( ) ( ) ( )cl cl clA B A B∩ = ∩ ? 

Solución.  No.  Tome,  por  ejemplo,  [ ] ] ]0,1 , 1, 2 .A B= =   Entonces,  A B∩ =∅ y 

( ) ( ) { }cl cl 1 .A B∩ =  

 

Frontera de un Conjunto 

 

Definición. Para un conjunto dado  A en  nR , la frontera está definida como el conjunto 

  ( ) ( ) ( )bd cl cl / .nA A A R A∂ = = ∩  

Así  por  el  Teorema  3,  (ii),  ( )bd A es  un  conjunto  cerrado.  También  observemos  que 

( ) ( )bd bd / .nA R A=   A  partir  del  Teorema  5,  podemos  deducir  que  la  frontera  está 

también descrita como sigue. 

Teorema  6.  Sea  .nA R⊂   Entonces  ( )bdx A∈   si  y  sólo  si  para  cada  0,ε >  

( ),D x ε contiene puntos de  A y de  /nR A  (estos puntos podrían ser  x mismo). 

La definición original declara que  ( )bd A es el borde entre  A y  / .nR A  Esto es también lo 

que  el  Teorema  6  está  afirmando  y por  lo  tanto  el  Teorema  6 debe  ser  intuitivamente claro. 

Ejemplos y ejercicios resueltos sobre frontera de un conjunto 

1. Sea  [ ]{ }0,1 y es racional .A x R x x= ∈ ∈  Encuentre  ( )bd .A  

Solución.  ( ) [ ]bd 0,1A =   dado  que,  para  cualquier  0ε >   y  [ ]0,1 ,x∈  

( ) ] [, ,D x x xε ε ε= − + contiene tanto puntos racionales como irracionales.  

2. ¿Si  ( )bdx A∈ , debe ser  x un punto de acumulación? 

Solución. No. Sea  { }0 .A R= ⊂  Entonces  A  no tiene puntos de acumulación pero 

( ) { }bd 0 .A =  

3. Sea  ( ){ }2 2 2, 1 .S x y R x y= ∈ − >  Encuentre  ( )bd .S  

  

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Solución.  S es dibujada en la Figura 2.13 de Mariden. Claramente,  ( )bd S consiste de la 

hipérbola  2 2 1.x y− =  

 

Conjuntos Compactos y Conjuntos Conectados 

En esta  sección, estudiamos dos de  los más  importantes y útiles  tipos de conjuntos en  .nR  

Intuitivamente, queremos decir que un conjunto en  nR es compacto cuando es cerrado y está contenido en una región acotada, y que el conjunto está conectado cuando está en “una sola pieza.” La utilidad de estas ideas es revelada más adelante, cuando son aplicadas al estudio de funciones continuas. 

 

Conjuntos Compactos: El Teorema de Heine‐Borel y el Teorema de Bolzano‐Weierstrass 

 

Nuestra  primera  misión  será  introducir  algunas  ideas  y  terminología  previa  para  dar  una 

definición precisa de compacticidad para conjuntos en  .nR  

Decimos que un conjunto  nA R⊂ está acotado si y sólo si hay una constante  0M ≥  tal que 

( )0, .A D M⊂ Por  lo tanto, un conjunto está acotado cuando puede ser encerrado en algún 

disco  ( )0,D M centrado en el origen; en otras palabras,  x M<  para todo  .x A∈  

Una  cobertura  de  un  conjunto  A es  una  colección  { }iU de  conjuntos  cuya  unión  contiene 

;A es una cobertura abierta si cada  iU  es abierto. Una sub‐cobertura de una cobertura dada 

es meramente una subcolección cuya unión también contiene a  ;A  o como decimos, cubre a 

.A  Es una subcobertura finita si la subcolección contiene solo un número finito de conjuntos. 

Por  ejemplo,  el  conjunto  de  discos  ( )( ){ },0 ,1D x x R∈ en  2R cubre  el  eje  real,  y  la 

subcolección  de  todos  los  discos  ( )( ),0 ,1D n centrados  en  puntos  enteros  de  la  línea  real 

forma una subcobertura. Observemos que los discos  ( )( ),0 ,1D n centrado en puntos enteros 

pares de la línea real no forman una subcobertura. 

Observación.  Las  coberturas  abiertas  no  son  necesariamente  colecciones  contables  de conjuntos abiertos. Ahora afirmamos el teorema principal y una definición asociada. 

Teorema 1. Sea  nA R⊂ . Entonces las siguientes condiciones son equivalentes: 

(i)  A es cerrado y acotado. 

(ii) Cada cobertura abierta de  A tiene una subcobertura finita. 

(iii) Cada secuencia en  A tiene una subsecuencia que converge a un punto de  .A  

  

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Definición. Un subconjunto de  nR que satisface una (y por  lo tanto todas)  las condiciones (i), (ii), (iii) del Teorema 1 es llamado compacto. 

 

La  equivalencia  de  (i)  y  (ii)  a  menudo  es  llamado  Teorema  Heine‐Borel,  mientras  que  la afirmación que (i) y (iii) son equivalentes es llamado el Teorema Bolzano‐Weierstrass. 

 

Observación.  Para  espacios métricos,  en  general  (ii)  y  (iii)  son  equivalentes  pero  (i)  no  es equivalente a  (ii) y  (iii); para espacios métricos arbitrarios definimos  la compacticidad ya sea por  las propiedades  (ii) ó  (iii). La equivalencia de  (i) con  (ii) y  (iii) es un caso especial y muy 

importante propiedad de  .nR