ANÁLISIS SÍSMICO DINAMICA

7/21/2019 ANÁLISIS SÍSMICO DINAMICA

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ANÁLISIS SÍSMICO ESPACIAL POREL MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN

MODAL

RESUMEN

Se presenta el análisis sísmico espacial de edificios considerando tresgrados de libertad por planta, ante la acción de un espectro de diseño inelástico. Coneste modelo numérico es factible realizar el análisis sísmico de estructuras de menosde diez pisos que sean irregulares en planta y elevación, situados en cualquier zonasísmica, siempre y cuando la estructura pueda ser modelada como piso rígido. araedificios de más de diez pisos también es aplicable el método siempre que laestructura sea regular en planta y elevación.

6.1 INTRODUCCIÓN

!l modelo numérico de tres grados de libertad por planta, considera !e "a"osa es #o#a"$en#e r%&ida en s! '"ano y para esto debe cumplir las siguientescondiciones"

# !l espesor de la losa tiene que ser mayor o igual a $%cm, de una losamaciza& si la losa es alivianada se debe encontrar el peralte equivalente deuna losa maciza y comprobar que este sea mayor a la dimensión anotada.

# 'as relación entre la dimensión larga del edificio con relación a la dimensióncorta no debe ser mayor que (.).

# 'a suma de las aberturas de la losa que sean menores al *%+ del área totalde la planta.

Si se inc!$'"e una de estas condiciones deberá analizarse con un modelo de piso

fleible, concentrando las masas en los nudos.

6.( MATRI) DE RI*IDE) EN COORDENADAS DE PISO

!n el capítulo * se presentó el cálculo de la matriz de rigidez en coordenadasde piso, K E sin embargo vale la pena recordar los aspectos más importantes del

cálculo. 'a matriz de rigidezK

E se -alla con la siguiente ecuación"

K E ∑i=1

NP

A(i)t K L

(i) A

(i)

/0.$1

2onde NP es el n+$ero #o#a" de ',r#icos de "a es#r!c#!ra en sentido 3 y en

sentido 4. K L(i)

es la matriz de rigidez lateral del pórtico i& A(i )

es la matriz de

compatibilidad de deformaciones que relaciona las coordenadas laterales delpórtico, con las coordenadas de piso. Se obtiene con la siguiente epresión.



A(i )

- cosα I sinα

I r /

/0.(1

Siendo 5 el ángulo que forma la orientación positive del pórtico con

respecto al e6e 3& I es la matriz identidad de orden 7 por 7, donde 7 es eln8mero de pisos y r es la matriz que contiene las distancias desde el centro demasa, C.9., al pórtico. 'os valores del vector r tienen signo, serán positivos sila orientación positiva del pórtico rota en sentido anti-orario con respecto alC.9., caso contrario será negativo.

:l sis tema de coordenadas de piso, se denomina 0 y al sistema decoordenadas del pórtico se denomina sistema P'. 'a matriz de compatibilidad A se define de la siguiente forma"

'- A. /0.*1

:l efectuar el tr iple producto matricial indicado en /0.$1 con todos lospórticos de la estructura se -alla la matriz de rigidez en coordenadas de piso,la misma que esta compuesta por las siguientes submatrices.

K E

K XX

[ K XY K Xθ K YY

K Yθ ¿ K θθ] /0.;1

Siendo K XX 2 K YY las matrices de rigidez lateral por traslación en

sentido 3, e 4, respectivamente& K θθ es la matriz de rigidez torsional&

K Xθ 2 K Yθ matrices de rigidez de acoplamiento lateral con torsión& K XY

es la matriz trasnacional de acoplamiento en las direcciones 3,4& en

estructuras con pórticos ortogonales K XY %.

K XX =∑ cos2

α K L(i)

K YY =∑ Sen2

α K L(i)

K θθ=∑

r

(¿¿ (i))2

K L(i )¿

K Xθ=∑ cos K L(i)

r(i)

K Yθ=∑ SenK L(i)r(i)

/0.)1

K XY =∑cosα Senα K L(i )



2e tal manera que eisten dos formas de -allar K E la primeraempleando la ecuación /0.$1 y la segunda por medio de la ecuación /0.;1. 'amatriz de rigidez K E es de orden *7 por *.

6.3

MATRI)

DE

MASAS

'a matriz de masas M se obtiene de la evaluacion de energia cinetica de laestructura. Si las coordenadas de piso se toman en el C.9. y si los grados de libertad senumeran en primer lugar todos los desplazamientosen sentido 3, luego todos losesplazamientos en sentido 4, finalmente las rotaciones de piso. !sta matriz resulta.

M [m ¿m ¿J ] /0.01

2onde m es la sub matriz de masas y J es la sub matriz de

momentos de inercia de las masas.

m1

¿¿

m=[¿ ¿ m2

¿ ¿ …¿

mi

¿ mn] /0.<1

Siendomi la masa total del piso i, la misma que se obtiene en base a la

carga muerta 2 más un porcenta6e de la carga viva '. !l porcenta6e depende del usode la estructura, así por e6emplo si se tiene una bodega se puede considerar queeste porcenta6e es )%+, depende de que porcenta6e de la carga viva va a estaralmacenada frecuentemente en la bodega.

J 1

¿¿

J =[¿ ¿ J 2

¿ ¿ …¿

J i¿ J n] /0.=1

2onde

J i es el momento de inercia de la masa

mi

. ara una planta



rectangular de dimensionesai ,

bi , el momento de inercia con respecto al C.9.,

vale"

J i=mi

12(ai2+bi2) /0.>1

Si la losa no es regular o tiene aberturas, el momento de inercia se encuentra

empleando el teorema de los e6es paralelos. ara ello se tiene que dividir la planta

de la estructura en figuras rectangulares y -allar el momento de inercia de cada figura

rectangular con respecto al centro de masa y aplicar el teorema de los e6es paralelos,

epresado mediante la siguiente ecuación.

J i=∑ j

J CM j+m j d j

2

/0.$%1

2onde d j es la distancia desde el centro de masa de la planta rectangular 6

al centro de masa total de la planta.

6.4 PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS

!l procedimiento de análisis sísmico con tres grados de libertad por planta, con el factor ? propuesto en el capítulo (, para estructuras sin muros de corte es el siguiente"

i. Se determina la matriz de rigidez lateral K L de cada uno de los pórticos de la

estructura con inercias agrietadas.

ii.Se -alla el vector r de cada uno de los pórticos. !ste vector contiene las distanciasdel centro de masa, al pórtico en cada uno de los pisos.

iii. Se encuentra la matriz A de cada pórtico, con la ecuación /0.(1.

iv.Se determinan las submatrices de K E utilizando el formulario /0.)1 o la ecuación /0.$1.

v. Se encuentra la matriz de masas M en coordenadas de piso, con ecuación /0.01.

vi. Se -allan los valores y vectores propios con K E y con la matriz de masa M .

vii.Con los valores propios se determinan las frecuencias y períodos de vibración T i , en cada modo.

viii. Con cada período T i se ingresa al espectro inelástico y se -alla la aceleración

espectral Adi .

@asta este punto no se -a especificado la dirección del análisis sísmico. :-oraes necesario definir esta dirección.



ara el análisis sísmico en sentido 3, se tiene"

i. Se encuentran los factores de participación modal Ɣ i x

Ɣ ix =ϕ(i )t

M b x

ϕ(i)t

M ϕ(i) /0 .$$1

b x=¿ [

1

0

0]

/0 .$(1

2onde $ es el vector unitario de orden 7& % es el vector que contiene solo ceros, de

orden 7. Siendo 7 el n8mero de pisos.

Se encuentran las cargas máimas modales en centro de masa Q(i) .

Q(i)

Ɣ i x Ad i M ϕ(i)t

!l vector Q(i)

está compuesto por las fuerzas -orizontales en sentido 3, que se

denomina a continuación F X , las fuerzas van desde el primer piso al 8ltimo piso& luegolas fuerzas -orizontales en sentido 4 empezando por el primer piso FY y finalmente los9omentos de Aorsión MT , desde el primer piso. !l índice que está entre paréntesisidentifica el modo de vibración.

Q(i)

-

F X F Y

M T

/0.$*1

i. ara el análisis sísmico en sentido 3, se traba6a con el subvector F X y se

determinan los cortantes en cada modo de vibración.



ii. Se aplica un criterio de combinación modal en los cortantes y se -alla el cortanteresultante. Se recomienda utilizar el criterio estipulado en la 7orma Aécnica de er8de (%%*.

iii. : partir del cortante resultante se encuentran las fuerzas resultantes F X en el

centro de masa.

iv. Se obtienen las fuerzas debidas a la torsión accidental en centro de masas comose especificó en el capítulo ;. Se #ra5aa con $a#ri7 de ri&ide7 en coordenadasde 'iso encon#rada con inercias &r!esas.

v. Se -allan las fuerzas finales sumando las fuerzas obtenidas del método desuperposición modal con las de torsión accidental. Es#e ins#an#e se #ienen "as8!er7as en e" C.M. con "as c!a"es se rea"i7an "os con#ro"es !e se indican acon#in!aci,n.

vi. Se efect8a el control del Cortante Basal 9ínimo.

vii. Se realiza el control de la deriva de la estructura con la matriz de rigidez K E

-allada con inercias gruesas.

Ɣ i=

q INi−q INi−1

!i /0 .$;1

2onde es el desplazamiento lateral inelástico el mismo que se -alla, de acuerdo alC!C(%%% multiplicando el desplazamiento elástico por el factor de reducción de las

fuerzas sísmicas R .

q IN i

es el desplazamiento inelástico en el piso i,

q IN i−1

es eldesplazamiento inelástico en el piso i$& es la altura de piso. Si se traba6a con losfactores R indicados en el capítulo (, e" 9a"or $:;i$o de Ɣ ser: $enor a 1.<=2caso con#rario se de5e re8or7ar "a es#r!c#!ra.

viii. Se realiza el control del efecto P - >. ara ello se determina el índice de

estabilidad de pisoθi .

θi=¿

Pi " ei

# i !i

/0.$)1

Pi = ∑ j=1

NP

$ j " ei =

qi-

qi−1

/0.$01



Siendo Pi la carga vertical que gravita desde el piso i -asta el 8ltimo piso NP &

" ei es la deri9a de 'iso ca"c!"ada con "os des'"a7a$ien#os e":s#icos q&# i

es el cortante del piso i&!i es la altura del piso i&

$ j es el peso del piso 6.

Siθi D%.$% no -ay problema de efecto P - >, si

θi >%.*% probablemente la

estructura tenga problemas de inestabilidad por lo que se requiere reforzar la

estructura y si %.$%E θi D%.*% 'as fuerzas laterales deben multiplicarse por el factor

% P− & & lo propio las derivas de piso.

% P− & =1

1−θi

/0.$<1

'a mayor parte del procedimiento indicado -a sido ya aplicado en los doscapítulos anteriores.

Fna vez que se termina con el análisis sísmico en sentido 3, se procede arealizar el análisis sísmico en sentido 4, repitiendo el procedimiento a partir del paso i.

ara el an:"isis s%s$ico en sen#ido ?, se debe calcular los factores de

participación modal Ɣ i y .

Ɣ i y =

ϕ(i)t

M b '

ϕ(i)t

M ϕ(i)

/0 .$=1

b '=¿ [

0

1

0]

/0 .$>1

Con el factor de participación modal Ɣ i y se -allan las cargas en centro de

masa en cada modo de vibración y posteriormente con las fuerzas en sentido 4 que se

-a denominado F Y se -allan los cortantes y se procede con el análisis en forma

similar a la indicada para el sentido 3.

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