An¶alisis y Control de un Efector Reproduciendo un

Centro Nacional de Investigacion y Desarrollo Tecnologico

Departamento de Ingenierıa Electronica

TESIS DE MAESTRIA EN CIENCIAS

“Analisis y Control de un Efector Reproduciendoun Movimiento Circular de una Mano”

presentada por

LEONEL ALONSO JUAN

Ing. en Electronica por el I. T. de Minatitlan

como requisito para la obtencion del grado de:

Maestrıa en Ciencias en Ingenierıa Electronica

Director de Tesis:

Dr. Marco Antonio Oliver Salazar

Cuernavaca, Morelos, Mexico. 18 de Diciembre de 2006

Centro Nacional de Investigacion y Desarrollo Tecnologico

Departamento de Ingenierıa Electronica

TESIS DE MAESTRIA EN CIENCIAS

“Analisis y Control de un Efector Reproduciendoun Movimiento Circular de una Mano”

presentada por

LEONEL ALONSO JUAN

Ing. en Electronica por el I. T. de Minatitlan

como requisito para la obtencion del grado de:

Maestrıa en Ciencias en Ingenierıa Electronica

Director de Tesis:

Dr. Marco Antonio Oliver Salazar

Jurado:

Dr. Gerardo Vicente Guerrero Ramırez - Presidente

Dr. Alejandro Rodrıguez Palacios - Secretario

M.C. Jose Luıs Gonzalez Rubio Sandoval- Vocal

Dr. Marco Antonio Oliver Salazar - Vocal Suplente

Cuernavaca, Morelos, Mexico. 18 de Diciembre de 2006

A mis padres.

A mi hermano.

A mis abuelos.

Ne Xquidxe (En honor a mi pueblo).

Agradecimientos

Agradezco a mis padres Leonel Alonso y Porfıria Juan de Alonso la confianza de-

positada en mi, el esfuerzo y la dedicacion con la que me han criado, el amor y la

comprension que siempre los ha caracterizado y por haberme dado la vida y la oportu-

nidad de estar hoy escribiendo estas lıneas.

Agradezco a todos los profesores que con sus ensenanzas y dedicacion hicieron posi-

ble mi titulacion, Carlos Astorga, Luis Gerardo Vela, Gerardo Ramırez, Hugo Calle-

ja, Enrique Quintero, Carlos Daniel, Alejandro Rodrıguez, Vıctor Manuel Alvarado,

Jose Luis Gonzalez y a mi asesor Marco Antonio Oliver.

A mis amigos por permitirme compartirles parte de mi vida y estar conmigo en

los buenos y malos momentos, Guillermo, Paloma, Fer y Gracia y a todos aquellos

con los que convivı en Cuernavaca y forje momentos inolvidables, Peque, Backstreet,

Cesar, Chaca, Ovando, Pachis, Matis, Educado, Rose, Pitta, Frankie, Edson, Sorcia,

Gerry, Princes, Chocotorro, Paco, Mojo, Madrid, Jo, Josefa, Cornelio y a los que no

mencione tambien agradezco.

A mi hermano de sangre Abi y a mis hermanos de vida, Juanpa, Tabo, Iglesias,

Josue, Gerardo Azael, Gerardo Martınez y a todos aquellos que han sido parte de mi

vida, mis companeros de estudio, a todos agradezco el haberme soportado esos anos de

convivencia, a los que ya no frecuento y a los que sı, muchas gracias, siempre los llevo

en mi mente y alma.

Tıo Juan un agradecimiento especial para usted, por ese apoyo y por ese carino que

siempre ha sido incondicional, lo quiero mucho, gracias. Tıo Nacho, tıa Cata, Reynita,

Nachito, Miguel gracias siempre los recuerdo.

Ageadezco a CONACYT y DEGEST por el apoyo economico brindado, pues sin

el no hubiera enfocado mi tiempo completo a la maestrıa y no serıa posible hoy mi

titulacion.

i

Resumen

En este documento de tesis se detalla el procedimiento de obtencion de los modelos

cinematico y dinamico de una mano robotica antropomorfica de cuatro dedos y cua-

tro grados de libertad cada uno. Los dedos de la mano se encuentran completamente

actuados y el medio de transmision del movimiento es a traves de bandas empleando

motores de cd como actuadores.

El modelo cinematico se obtiene con el llamado Formalismo modificado Denavit-

Hartenberg (presentado por [Craig 1989]). El modelo dinamico se encontro aplicando

la ecuacion de movimiento de Euler-Lagrange considerando que no existen fuerzas de

friccion ni perturbaciones.

Ademas, se muestra un breve analisis general de la estabilidad en el sentido de

Lyapunov de robots representados por M(q)q + C(q, q)q + G(q) = τ .

Se muestra tambien la sintonizacion de dos controladores de movimiento para los de-

dos del efector (uno de par calculado y otro basado en pasividad). Se disenan movimien-

tos para cada uno de los dedos de manera tal que esten contenidos dentro del espacio

de trabajo de cada dedo, evitando de esta manera que se le demande a los actuadores

un par mayor al que pueden proporcionar.

El objetivo de este trabajo es demostrar que la ley de control basada en pasividad

tiene un mejor comportamiento en el sentido de la cantidad de error articular de los

eslabones de cada dedo que el control de par calculado.

El control basado en pasividad logra el objetivo de control mediante el moldeo de la

energıa natural del sistema, adicionando posteriormente un amortiguamiento deseado.

Para ambos controladores se requiere de la medicion de las posiciones y velocidades

articulares de los dedos. En principio se considerara a cada dedo de la mano robotica

como un manipulador planar independiente y completamente actuado facilitando ası los

procedimientos de modelado y analisis.

iii

Abstract

In this thesis document a detailed procedure to obtain the anthropomorphic robotics

hand dynamics and kinematic models with four fingers and four degree of freedom each

one is presented. The fingers are completely actuated and the transmission of movement

is by bands using CD motors as actuators.

A kinematic model with the so-called Denavit-Hartenberg modified formalism intro-

duced by [Craig 1989] is obtained. The dynamic model was found applying the Euler-

Lagrange movement equation neglecting friction forces and disturbances.

Furthermore, a brief general analysis about stability in the sense of Lyapunov for

robots represented by M(q)q + C(q, q)q + G(q) = τ is shown.

Also, the tuning of two movement controllers for the fingers is presented, one of

computed torque and the other passivity based is shown. the movement of each finger

is constrained in the proper work space, avoiding this way is demanded to the actuators

a bigger torque that their can provide is designed.

The aim of this work is to demonstrate that the passivity based control law has a

better behavior in the sense of the links joint-error quantity that the computed torque

control.

Passivity based control achieves the control aim by shaping the system natural ener-

gy and adding later on a desired damping. Both controllers requiere the joint velocities

and position vectors. First it will be considered each one robotic fingers as a planar

standalone manipulator and completely actuated, facilitating in this way the modelling

and analysis procedures.

v

Indice general

Agradecimientos I

Resumen III

Abstract V

Lista de tablas XI

Lista de figuras XIV

Notacion XV

1. Introduccion 1

1.1. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1. Cinematica de robots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3. Problematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4. Justificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5.1. Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5.2. Objetivos especıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6. Aportacion y limitaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.7. Contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2. Mecanica del efector 17

2.1. Cinematica del efector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.1. Cinematica directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.2. Cinematica inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2. Dinamica del efector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.1. Ecuacion de movimiento de Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . 29

2.2.2. Expresiones para K y U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2.3. Modelo dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3. Aspectos relevantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

vii

viii INDICE GENERAL

3. Analisis de estabilidad y sintonizacion de controladores 41

3.1. Estabilidad de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.1.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.1.2. Funciones definidas positivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.1.3. Teorema de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2. Analisis de estabilidad del efector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3. Controladores de movimiento para el efector . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3.1. Control de par calculado (CPC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.3.2. Control basado en pasividad (CBP) . . . . . . . . . . . . . . . . 52


4. Resultados 57

4.1. Espacio de trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.2. Implementacion en Matlabr del PD de par calculado (PDPC) . . . . . 60

4.3. Implementacion en Matlabr del control basado en pasividad (CBP) . . 63

4.4. Comparacion del desempeno de los controladores . . . . . . . . . . . . 65

4.5. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66


5. Conclusiones y trabajos futuros 69

5.1. Comentarios generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.2. Conclusiones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.3. Trabajos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Bibliografıa 75

A. Fundamentos matematicos 79

A.1. Descripcion: posicion y orientacion en el

plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

A.2. Descripcion: posicion y orientacion en el espacio . . . . . . . . . . . . . 80

A.2.1. Descripcion de una orientacion en el espacio . . . . . . . . . . . 82

A.3. Representacion de transformaciones entre sistemas coordenados . . . . 86

A.3.1. Representacion: traslacion pura de SC´s con respecto a una re-

ferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

A.3.2. Representacion: rotacion de SC´s respecto a una referencia . . . 89

A.3.3. Representacion: composicion de rotaciones . . . . . . . . . . . . 91

A.3.4. Representacion: Combinacion de transformaciones . . . . . . . . 93

A.4. Transformaciones homogeneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

A.5. Inversa de una transformacion homogenea . . . . . . . . . . . . . . . . 97

INDICE GENERAL ix

B. Propiedades del modelo dinamico 99

B.1. Linealidad en los parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

B.2. Matriz de inercia M(q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

B.3. Matriz centrıfuga y de Coriolis C(q, q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

B.4. Vector de gravedad G(q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

C. Especificaciones mecanicas del efector 105

D. Extension de los modelos del efector 107

D.1. Modelo cinematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

D.2. Modelo dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

D.3. Discusion acerca de q′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Indice de tablas

2.1. Parametros D-H de cada dedo del efector. . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2. Restricciones de movimiento para las articulaciones de los dedos del efector. 29

4.1. Parametros de simulacion del PDPC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.2. Parametros de simulacion del CBP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.3. Medidas de error de los dedos del efector. . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

C.1. Longitudes de los eslabones de cada dedo del efector. . . . . . . . . . . 105

C.2. Distancias de centros de masa de los eslabones de cada dedo del efector. 105

C.3. Masa de los eslabones de cada dedo del efector. . . . . . . . . . . . . . 106

C.4. Momentos de inercia de los eslabones de cada dedo del efector. . . . . . 106

xi

Indice de figuras

1.1. Mano robotica de cenidet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Mano robotica de cenidet (Movimientos de abduccion/aduccion). . . . . 4

1.3. Sistemas coordenados a) articulares y b) angulos de un dedo de la mano

robotica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4. Robot manipulador de 2 gdl. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5. Problema cinematico inverso. a) Solucion multiple, b) codo abajo. . . . 10

1.6. Solucion para θ1 en funcion de θ2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.7. Manipulador de 2 gdl en configuracion singular. . . . . . . . . . . . . . 12

1.8. Codo arriba, codo abajo y singularidad de un robot de 2 gdl. . . . . . . 13

2.1. Representacion de los parametros de longitud y torsion de un eslabon. . 20

2.2. Representacion del parametro de desplazamiento y el angulo articular de

un eslabon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3. Asignacion de sistemas coordenados a los eslabones de un manipulador. 23

2.4. Representacion esquematica de un dedo del efector. a) Asignacion de SC

y, b) variables articulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.5. Solucion a la cinematica inversa para un dedo del efector. . . . . . . . . 28

2.6. Determinacion del modelo dinamico de un dedo del efector. . . . . . . . 35

3.1. Punto de equilibrio estable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2. Punto de equilibrio asintoticamente estable. . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.1. Espacios de trabajo de los dedos de la mano robotica y descripcion del

movimiento circular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.2. Trayectorias articulares para describir un movimiento circular de los de-

dos del efector. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.3. Esquema de simulacion del control PD de par calculado. . . . . . . . . 62

4.4. Resultados de simulacion del control PD de par calculado. . . . . . . . 62

4.5. Esquema de simulacion del CBP para los dedos Pulgar y Medio. . . . . 64

4.6. Resultados de simulacion del control basado en pasividad. . . . . . . . 64

A.1. Representacion de un punto en el plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

xiii

xiv INDICE DE FIGURAS

A.2. Representacion de un punto en el espacio. a) en forma de coordenadas,

b) en forma de vector. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

A.3. Representacion de un cuerpo rıgido en el espacio. . . . . . . . . . . . . 83

A.4. Representacion de la orientacion de un SC respecto a una referencia. . 83

A.5. Obtencion de la matriz de rotacion en forma directa. . . . . . . . . . . 85

A.6. Rotacion de un sistema coordenado con origen coincidente a la referencia. 86

A.7. Representacion de una traslacion pura en el espacio. . . . . . . . . . . . 87

A.8. Traslacion de un sistema coordenado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

A.9. Ejemplo de traslacion de un sistema coordenado. . . . . . . . . . . . . . 88

A.10.Rotacion pura de un sistema coordenado. . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

A.11.Rotacion de un sistema coordenado onsa alrededor del eje z de la referencia. 90

A.12.Coordenadas de un punto relativas a la referencia y con respecto a un

sistema coordenado rotado θ grados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

A.13.Composicion de rotaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

A.14.Composicion de rotaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

A.15.Representacion de un punto respecto a diferentes sistemas coordenados.

Representacion de una transformacion homogenea. . . . . . . . . . . . . 96

D.1. Sistemas coordenados para un dedo del efector considerando los movimien-

tos de aduccion/abduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

D.2. Representacion de los dedos del efector en el espacio. . . . . . . . . . . 109

D.3. Restricciones de diseno mecanico para los dedos del efector en los movimien-

tos de aduccion/abduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Notacion

Mecanica del efector

q Vector de posiciones generalizado.

q Vector de velocidades generalizado.

q Vector de aceleraciones generalizado.

τ Vector de entradas generalizado.

p Vector de momentos generalizado.

L(q, q) Lagrangiano del efector.

H(·, ·) Energıa total.

T (·, ·), K(·, ·) Energıa cinetica.

H Matriz de transformacion homogenea.

M(q) Matriz de inercias.

C(q, q) Matriz centrıfuga y de Coriolis.

G(q) Vector de gravedad.

τd Vector de perturbaciones.

f(q) Vector de fuerzas de friccion.

fv Vector de coeficientes de friccion viscosa.

fd Vector de coeficientes de friccion dinamica.

< Funcion de disipacion de Rayleigh.

e(t) Vector de errores articulares.

e(t) Primera derivada del vector de errores articulares.

e(t) Segunda derivada del vector de errores articulares.

qd Vector de posiciones articulares deseadas.

q Vector de velocidades articulares deseadas.

q Vector de aceleraciones articulares deseadas.

J Jacobiano.

e Media del error articular.

v Velocidad lineal.

w Velocidad angular.

xv

xvi NOTACION

Parametros Denavit-Hartenberg

ai−1 Longitud del eslabon (link length).

αi−1 Torsion del eslabon (link twist).

di Desplazamiento del eslabon (link offset).

θi Angulo articular.

Constantes del modelo

g Aceleracion de la gravedad 9,81m/s2.

li Longitud de los eslabones de los dedos del efector (m).

lciDistancias al centro de masa de los eslabones del efector (m).

mi Masa de los eslabones de los dedos del efector (kg).

Ii Momentos de inercia de los eslabones del efector (kg ·m2).

Lyapunov y sintonizacion

xe Punto de equilibrio.

R Conjunto de los numeros reales.

Rn Espacio real de dimension n.

R+ Conjunto de los numeros reales positivos.

V (·) Funcion candidata de Lyapunov.

Q Matriz simetrica y definida positiva.

LfV (·) Derivada de Lie.

∇ Gradiente.

Kp, Kv Matrices diagonales de sintonizacion.

NOTACION xvii

Abreviaturas

D-H Denavit-Hartenberg.

E-L Euler-Lagrange.

P Accion de control Proporcional.

PD Accion de control Proporcional-Derivativa.

PI Accion de control Proporcional-Integral.

PID Accion de control Proporcional-Integral-Derivativa.

gdl Grados de libertad.

CPC Control de par calculado.

CBP Control basado en pasividad.

ECM Error cuadratico medio.

PBC Passivity based control.

DBC Dissipativity based control.

PDPC PD Par calculado.

Fundamentos matematicos

SCi Sistema coordenado dextrogiro.

P Punto en el plano o en el espacio.~P Vector de posicion del punto P .

px Componentes del Vector P .

i, j, k Vectores unitarios del SC de referencia.

n, s, a Vectores unitarios de un SC rotado o trasladado.

R, Rot Matriz de rotacion.

Rotx,θ Rotacion pura de θ grados alrededor del eje x.

Roty,θ Rotacion pura de θ grados alrededor del eje y.

Rotz,θ Rotacion pura de θ grados alrededor del eje z.

Tras Matriz de traslacion.~d Vector de traslacion.

Hji

−1Inversa de una matriz de transformacion homogenea.

Capıtulo 1

Introduccion

La robotica es una ciencia muy completa que combina diversas areas de conocimien-

to (electronica, mecanica, sistemas computacionales, control automatico, entre otras),

haciendo uso de los avances recientes obtenidos en las areas de diseno mecanico asistido

por computadora, control electronico de robots y sensado. Con estos avances, el diseno

y construccion de robots se ha incrementado alcanzando niveles significativos en su

empleo para tareas o aplicaciones especıficas.

Tal es el caso de los robots antropomorficos empleados en medicina como asistentes

de operacion o los utilizados como protesis donde pretenden emular el comportamiento

de extremidades y/u organos perdidos.

En este documento de tesis se presenta el analisis y el control de una mano robotica

antropomorfica (o efector) de 4 dedos con 4 grados de libertad cada uno. Se propusieron

dos leyes de control, una lineal y una no lineal (basada en pasividad), para hacer acciones

de movimiento de los dedos de la mano robotica.

Para lograr controlar la mano robotica, se propuso considerar a cada dedo como un

manipulador independiente de los contiguos, facilitando de esta manera el analisis y

en consecuencia la sintonizacion de los controladores. A lo largo de este documento se

usara indistintamente mano robotica y efector para referirse al caso de estudio.

En el presente capıtulo se describen los antecedentes, la problematica y los objetivos

de este tema de tesis. En los capıtulos subsecuentes se detalla el proceso de obtencion

de los modelos cinematico y dinamico del efector, un breve analisis de estabilidad del

sistema, la sintonizacion y simulacion de los controladores propuestos ası como los

resultados obtenidos.

1.1. Antecedentes

Referente a modelado de robots se han realizado numerosos trabajos que dan un

panorama general de las tecnicas empleadas para dicho fin. La literatura muestra las

1

2 Capıtulo 1. Introduccion

tecnicas asociadas con la mecanica (cinematica y dinamica) de manipuladores prin-

cipalmente, por ser esta un campo de estudio muy amplio y con mucha informacion

enriquecedora[Berguis and Nijmeijer 1993].

Tradicionalmente el modelado cinematico de robots se basa en el empleo de transfor-

maciones entre sistemas de referencia, es decir, representacion de la posicion y orien-

tacion de las articulaciones en el plano o en el espacio, segun sea la configuracion del

robot. Los modelos que caracterizan el comportamiento dinamico de robots se obtienen

de forma analıtica, es decir, a partir de las leyes fısicas que aplicadas a los robots se

reflejan directamente en las leyes de la mecanica.

Las tecnicas de control empleadas para controlar robots pueden dividirse en dos

grandes grupos que son:

Tecnicas de control lineal y,

Tecnicas de control no-lineal.

Las tecnicas de control lineal reportadas en la literatura arrojan una nueva clasifi-

cacion de controladores, dichos controladores son denominados como controladores de

posicion y de movimiento, dentro de los mas significativos se encuentran,

Controladores de posicion

PD con compensacion de gravedad.

PD con compensacion pre-calculada de gravedad.

PID.

Controladores de movimiento

PD + (Equivalente al PD con compensacion de gravedad [Kelly y Santibanez 2003]).

PD de par calculado.

PID de par calculado.

De la misma manera, los controladores no-lineales enfocados a controlar robots ma-

nipuladores pueden clasificarse de la siguiente manera,

Controladores no-lineales

Basado en observador.

Basado en pasividad.

1.1. Antecedentes 3

Predictivo.

Modos deslizantes.

Difuso. Entre otros.

El control de sistemas en terminos de la energıa que pueden almacenar o disipar es

conocido como control basado en disipatividad (DBC) o control basado en pasividad

(PBC). Esta ultima tecnica explota las propiedades fısicas y la interconexion del sistema

con su medio ambiente.

El control basado en pasividad de sistemas no-lineales ha ganado popularidad rapi-

damente debido a sus grandes ventajas relacionadas con,

Simplicidad del controlador,

Robustez y

Las caracterısticas fısicas atractivas del enfoque.

Las principales aplicaciones de la metodologıa de diseno de controladores basados en

pasividad, son en las areas de Robotica, Maquinas Electricas y Electronica de Potencia.

Se presenta a continuacion una breve clasificacion de los sistemas de control basados

en pasividad,

Controladores basados en pasividad

Estandar.

Euler-Lagrange.

Adaptable.

Robusto (H∞).

En el caso del prototipo de mano robotica que se pretende analizar y controlar (ver

Figura 1.2), los dedos fueron considerados como manipuladores planares, independien-

tes, completamente actuados1 y sin efector final. Facilitandose de esta manera, la

obtencion de los modelos (cinematico y dinamico) del efector y la simulacion de con-

troladores.

Dentro del esquema de modelado cinematico de manipuladores, diferentes autores

coinciden en metodos generales basados en matrices de transformaciones que relacionan

sistemas de referencia articulares como son,

1 Si el numero de entradas de control es igual al numero de grados de libertad, se dice que el robotes completamente actuado [Ortega et. al. 1998].


Figura 1.1: Mano robotica de cenidet.

Formalismo de Denavit-Hartenberg. Basado en la definicion de 4 magnitudes

asociadas a cada articulacion del manipulador, una de las cuales es la variable de

la articulacion y las 3 restantes son parametros fijos para cada robot articulado

(manipulador), [Craig 1989], [Spong y Vidyasar 1989], [Niku 2001], [Ollero 2001]

y,

Los angulos de Euler. Basado en rotaciones en torno a cada eje coordenado de

cada articulacion del manipulador, [Craig 1989].

Figura 1.2: Mano robotica de cenidet (Movimientos de abduccion/aduccion).

1.1. Antecedentes 5

En 1989 Craig presento una nueva manera de aplicar el formalismo de Denavit-

Hartenberg (de aquı en adelante D-H), conocido como Formalismo modificado de D-H

[Craig 1989]. La principal diferencia entre el formalismo tradicional y el modificado

radica en la asignacion de los sistemas coordenados involucrados en el modelado cine-

matico.

La Figura 1.3 muestra algunos de los sistemas coordenados de un dedo del efector

ası como, la asignacion de angulos articulares. Dicha informacion se utiliza en el capıtulo

2 para encontrar el modelo cinematico directo de cada uno de los dedos del efector.

2y2x

0y

0x

1y 1x

2l

1l

2θ

1θ

b)a)

3y3x

3θ

3l

Figura 1.3: Sistemas coordenados a) articulares y b) angulos de un dedo de la manorobotica.

Referente al modelo matematico que describe el comportamiento dinamico de un

robot manipulador, la literatura muestra dos enfoques generales,

Modelado empleando las leyes de Newton (Metodologıa tradicional) y,

Modelado por metodos variacionales empleando funciones de energıa.

Con ambos enfoques se puede obtener el modelo dinamico de manipuladores, sin

embargo, el metodo tradicional presenta un inconveniente y este es que, el analisis se

complica notoriamente cuando aumenta el numero de articulaciones del robot.

Entre los metodos variacionales reportados en la literatura para modelar el compor-

tamiento dinamico de manipuladores figuran dos enfoques,

Euler-Lagrange

Hamilton.

El modelo dinamico de la mano robotica se encontro empleando el formalismo de

Euler-Lagrange, que esta basado en la determinacion de una funcion (Lagrangiano) que


involucra las energıas cineticas y potenciales de los eslabones del efector (las falanges

de cada dedo de la mano robotica).

La expresion (1.1), es la conocida ecuacion de movimiento de Euler-Lagrange (de

aquı en adelante, ecuacion de E-L). La metodologıa empleada para encontrar el modelo

dinamico del efector se detalla en el Capıtulo 2.

d

dt

(∂

∂qL (q, q)

)− ∂

∂qL (q, q) = τ (1.1)

donde L(q, q) el Lagrangiano definido como L = K (q, q) − U(q), q ∈ Rn un vector de

n coordenadas generalizadas que representa el numero de grados de libertad del robot

y τ ∈ Rn un vector de n fuerzas de entrada generalizadas.

La energıa cinetica K, depende tanto de la posicion como de la velocidad articulares

y es la suma de las energıas cineticas de cada eslabon (falanges de cada dedo) del robot,

U es la suma de las energıas potenciales de cada eslabon del robot y solo depende de

la posicion articular [Spong y Vidyasar 1989].

Esta tecnica no es la unica reportada para modelado dinamico de robots manipu-

ladores. Existe un metodo alternativo basado de igual manera en la determinacion de

funciones de energıa para modelado de robots manipuladores. Y esta es el uso de las

ecuaciones de Hamilton. Aunque existe una relacion entre ambas tecnicas, la obtencion

de las ecuaciones dinamicas de manipuladores a traves de las ecuaciones de Hamilton

(al igual que en el formalismo de E-L), esta sustentada en la determinacion de una

funcion denominada Hamiltoniano, definida como la suma de las energıas cineticas y

las energıas potenciales de los eslabones del robot.

H (q, p) = T (q, p) + U(q) (1.2)

A continuacion se menciona la principal diferencia entre las dos tecnicas mencionadas,

La ecuacion de movimiento de E-L caracteriza la dinamica de manipuladores en

terminos de los estados[

q q]T

, posicion y velocidad articulares que tienen una

interpretacion fısica inmediata.

En las ecuaciones de Hamilton se emplean variables de estado[

q p]T

que

son, posicion articular y cantidad de movimiento generalizado(o momentum)y

no tienen interpretacion fısica directa [Clemente y Scherpen 2003].

Para uso en este caso de estudio, q sera un vector de n variables articulares, con-

stituido de los n angulos articulares θi y las velocidades articulares θi. Entonces τ que

tiene n componentes de fuerza en Newton-metro corresponde a los pares ejercidos por

los actuadores directamente a los angulos articulares.

1.2. Motivacion 7

El modelado dinamico de robots manipuladores se trata en [Kelly y Santibanez 2003],

donde se detalla la manera de utilizar la ecuacion de movimiento de E-L en diversas

configuraciones de manipuladores e incluso en el diseno de controladores P, PI, PID para

resolver los problemas de posicion y movimiento apoyandose en la teorıa de estabilidad

de Lyapunov.

En los sistemas descritos por ecuaciones E-L, la estabilidad del equilibrio esta determi-

nada por la funcion de energıa potencial. Ademas, estos equilibrios son asintoticamente

estables si el sistema tiene un amortiguamiento apropiado. Estas propiedades motivaron

el desarrollo de una metodologıa de diseno de controladores basados en pasividad cuyo

objetivo es modificar la energıa potencial del lazo cerrado del sistema (que es igual a la

diferencia entre la energıa del sistema y la energıa aplicada por el controlador) y la adi-

cion de la disipacion requerida. Para lograr el objetivo anterior, se requiere tıpicamente

de un vector generalizado de medicion de las velocidades [Ortega et. al. 1998].

El control basado en pasividad es una tecnica bien establecida que ha demostrado

ser muy poderosa en el diseno de controladores robustos para sistemas fısicos descritos

por las ecuaciones de movimiento de E-L [Ortega et. al. 1998].

1.2. Motivacion

Un manipulador robotico consiste en una secuencia de cuerpos rıgidos (cadena ci-

nematica) llamados enlaces o eslabones (links) que se conectan unos a otros mediante

articulaciones (joints). Cada articulacion puede ser rotacional o traslacional o una com-

binacion de ambas.

Bajo ciertas condiciones racionales, el numero de articulaciones en un manipulador

determina el numero de grados de libertad del manipulador. Los grados de libertad

son el numero de parametros independientes que fijan la situacion del organo terminal,

es decir, cada una de las coordenadas independientes necesarias para describir el es-

tado de un sistema mecanico. Normalmente en cadenas cinematicas abiertas cada par

enlace-articulacion tiene un grado de libertad, ya sea, rotacional o traslacional (pero no

necesariamente ası).

1.2.1. Cinematica de robots

El analisis mecanico de un robot puede hacerse bien atendiendo exclusivamente a sus

movimientos o bien a estos y tambien a las fuerzas que actuan sobre el.

Cuando se estudian exclusivamente los movimientos (posicion y velocidad de cada

articulacion o del punto terminal) se dice que se hace estudio cinematico.

La cinematica es la ciencia que se encarga del estudio del movimiento, sin conside–


rar las fuerzas que lo ocasionan. En la ciencia de la cinematica se estudia la velocidad,

posicion y aceleracion y todas las derivadas de alto orden de las variables de posicion

con respecto al tiempo. De aquı que el estudio de la cinematica de manipuladores se

refiere a todas las propiedades geometricas y basadas en el tiempo del movimiento

[Niku 2001].

Un problema basico en el estado de la manipulacion mecanica es la cinematica directa.

Este, es el problema geometrico de calcular la posicion y la orientacion del punto final

del manipulador.

Especıficamente, dado un conjunto de angulos articulares, el problema cinematico

directo calcula la posicion y orientacion del sistema coordenado de la herramienta o

eslabon final relativo al sistema coordenado base.

La cinematica directa consiste en llevar desde las coordenadas propias del mani-

pulador (angulo y longitudes de cada articulacion) hasta las coordenadas cartesianas

de posicion y orientacion el punto terminal del manipulador.

Cuando se desea hacer lo contrario, es decir, transportar las coordenadas cartesianas

referidas a algun sistema externo fijo a las coordenadas propias del robot, se estudia

la cinematica inversa, es decir, se obtienen los valores de los angulos articulares, que

son realmente los que se envıan al sistema de control del manipulador, a partir de la

posicion y orientacion deseada para el punto terminal.

La solucion a la cinematica inversa no es un problema trivial, debido a que las ecua-

ciones cinematicas son no-lineales, su solucion no siempre es facil de encontrar en forma

cerrada, es decir, que no tiene solucion unica o puede no existir. La existencia o no de

una solucion a la cinematica inversa, define el espacio de trabajo de un manipulador

dado.

Problema cinematico directo

Tıpicamente un manipulador es capaz de medir su posicion, usando sensores internos

que pueden ser codificadores (encoders), localizados en cada articulacion del mismo.

Esto permite conocer la posicion y orientacion en terminos de los angulos articulares

del robot (problema cinematico directo). El problema cinematico directo de la mano

robotica se tratara en el capıtulo 2.

Para la determinacion de la cinematica directa de manipuladores, es preciso establecer

un sistema coordenado fijo (tradicionalmente la base del robot) en el cual, todos los

objetos, incluyendo el manipulador son referenciados.

Ejemplo 1.1. Supongase que se tiene un manipulador planar con 2 grados de libertad

(gdl), y se desea encontrar la representacion de la posicion y orientacion de el ultimo

eslabon con respecto al sistema coordenado de referencia (Figura 1.4).

1.2. Motivacion 9

0y

0x

2y

2x

1y

1x1

l

2l

1θ

2θ

Figura 1.4: Robot manipulador de 2 gdl.

Para el primer eslabon

sen θ1 =yo1

l1, cos θ1 =

xo1

l1

yo1 = l1 · sen θ1; xo1 = l1 · cos θ1

donde xo1 y yo1, expresan la proyeccion del primer eslabon sobre el sistema coordenado

de referencia. Para el segundo eslabon la proyeccion es,

sen (θ1 + θ2) =y1 2

l2, cos (θ1 + θ2) =

x1 2

l2

y1 2 = l2 · sen (θ1 + θ2) ; x1 2 = l2 · cos (θ1 + θ2)

Sumando ambas proyecciones sobre el sistema coordenado de referencia, se obtiene la

representacion de la posicion del ultimo punto del segundo eslabon del robot, en funcion

de los angulos articulares.

xo = xo1 + x1 2 = l1 · cos θ1 + l2 · cos (θ1 + θ2)

yo = yo1 + y1 2 = l1 · sen θ1 + l2 · sen (θ1 + θ2)(1.3)

La expresion (1.3), representa la cinematica directa del manipulador de la Figura 1.4,

conforme el robot tenga mas grados de libertad, esta expresion se hace mas compleja

y para determinarla es necesario emplear metodos alternativos (como el formalismo de

D-H) para determinar la cinematica directa de dichos manipuladores.

Problema cinematico inverso

Dados los angulos θ1 y θ2 es posible determinar las coordenadas xo y yo del efector

final o ultimo eslabon. Sin embargo, para poder hacer control se requiere encontrar

expresiones para θ1 y θ2 en terminos de xo y yo (posicion deseada).2

2 La cinematica inversa no siempre tiene solucion, no es facil de encontrar o no es unica en general.


o

y

x

Solución1

Solución 2

P

o1θ

2θθ

αγ

c2l

1l

ox

oy

Singularidad

a) b)

Figura 1.5: Problema cinematico inverso. a) Solucion multiple, b) codo abajo.

En la Figura 1.5a, se ilustra de manera sencilla la existencia de soluciones multiples

para el problema cinematico inverso de un manipulador de dos gdl. Las soluciones 1 y

2 son comunmente conocidas como codo arriba (elbow up) y codo abajo (elbow down),

respectivamente.

A continuacion se presenta una forma de calcular la solucion codo abajo (Figura 1.5a)

de un manipulador robotico de 2 grados de libertad. Las expresiones para los angulos

θ1 y θ2 en funcion de las coordenadas cartesianas xo y yo se puede realizar de manera

geometrica y con el uso de funciones trigonometricas.

De la Figura 1.5b, aplicando la ley de cosenos se obtiene c2 = l21 + l22−2 l1l2 cos θ, con

θ + θ2 = 180o y c2 = x2 + y2, entonces

x2 + y2 = l21 + l22 − 2 l1l2 cos (180o − θ2)

cos (180o − θ2) =x2 + y2 − l21 − l22

2 l1l2

Por tanto la solucion para θ2 es,

θ2 = tan−1 sen θ2

c2

(1.4)

donde,

cos θ2 =x2 + y2 − l21 − l22

2l1l2= c2

sen θ2 = ±√

1− c22 = s2

La expresion (1.4) permite encontrar la solucion tanto para la configuracion codo aba-

jo como para la codo arriba, eligiendo entre los signos ± respectivamente. La solucion

para θ1 puede calcularse de la manera siguiente:

1.2. Motivacion 11

o1

θ

2θ

θ

αγ

c2l

1l

2θ

θγ

c2l

1l

2x

2y

ox

oy

Figura 1.6: Solucion para θ1 en funcion de θ2.

Si se definen: θ1 + γ = α, y2 = l2 sen θ2 y x2 = l2 cos θ2, y de la Figura 1.6 se observa

que:

tan α =yo

xo

tan γ =y2

l1 + x2

Finalmente la solucion para γ que a su vez da la pauta para encontrar la solucion a

θ1 queda como,

γ = tan−1 l2 sen θ2

l1 + l2 cos θ2

Notese que θ1 depende de θ2, es decir, θ1 cambia dependiendo de la solucion elegida

para θ2.

θ1 = α− γ (1.5)

Problema de la velocidad cinematica

Para seguir un contorno a una velocidad constante o seguir una velocidad establecida

(o prescrita) se debe conocer la relacion entre la velocidad de la herramienta o efector

final y las velocidades de las articulaciones.

Lo anterior se logra diferenciando las ecuaciones de posicion como se muestra a con-

tinuacion,

xo = l1 cos θ1 + l2 cos (θ1 + θ2)

yo = l1 sen θ1 + l2 sen (θ1 + θ2)

xo = −l1 sen θ1 θ1 − l2 sen (θ1 + θ2)(θ1 + θ2

)

yo = l1 cos θ1 θ1 + l2 cos (θ1 + θ2)(θ1 + θ2

)


Si se agrupa el resultado anterior en forma matricial se obtiene,

[xo

yo

]=

[ −l1 sen θ1 − l2 sen (θ1 + θ2) −l2 sen (θ1 + θ2)

l1 cos θ1 + l2 cos (θ1 + θ2) l2 cos (θ1 + θ2)

] [θ1

θ2

]

o, equivalentemente [xo

yo

]= J · θ

donde J se denomina el Jacobiano del manipulador.3

Es posible encontrar una expresion para calcular la velocidad del efector final en

funcion de las velocidades articulares. Para ello se hace uso de la inversa del jacobiano.

Expresado matematicamente,

θ = J−1 ·[

xo

yo

]

J−1 =1

l1 l2 sen θ2

[l2 cos (θ1 + θ2) l2 sen (θ1 + θ2)

−l1 cos θ1 − l2 cos (θ1 + θ2) −l1 sen θ1 − l2 sen (θ1 + θ2)

]

donde el determinante de J es det J = l1 l2 sen θ2.

Singularidad

Observese que cuando θ2 = 0, π, ..., nπ n = 1, 2, ..., el detJ = 0 tambien J−1 = 0. En

ese caso se dice que el manipulador esta en configuracion singular. Una configuracion

singular esta relacionada con la no unicidad de las soluciones al problema cinematico

inverso.

o

1θ

2l

1l

ox

oy

20θ =

Figura 1.7: Manipulador de 2 gdl en configuracion singular.

Nota: La cinematica inversa para la posicion dada tiene dos posibles soluciones el

manipulador no puede cambiar de una configuracion otra sin pasar por la singularidad.

3 El calculo de las velocidades articulares del efector o mano robotica es conceptualmente simpleya que la relacion de velocidad es lineal [Niku 2001].

1.3. Problematica 13

o

y

x

Solución1

Solución 2

P

Singularidad

Figura 1.8: Codo arriba, codo abajo y singularidad de un robot de 2 gdl.

1.3. Problematica

Con el diseno mecanico y construccion de esta mano robotica surgen necesidades di-

rigidas al control de dicho efector, se requiere entonces tener un modelo matematico que

pueda ser empleado para el sintonizacion de controladores que resuelvan los problemas

de control de movimientos (o de seguimiento de trayectorias) y/o el control de posicion

ası como el caso de control de sistemas sub-actuados.

Para lo anterior se han desarrollado tecnicas que ayudan tanto a modelar el robot

como a sintonizar un controlador para cualquiera de los problemas de control men-

cionados. En esencia, la mecanica de los robots y sus campos de estudio (Cinematica

y Dinamica), involucrados el modelado dinamico de sistemas no conservativos a traves

de funciones de energıa, el analisis de sistemas no-lineales y la sintonizacion de contro-

ladores no-lineales son las tecnicas mas usadas para este caso de estudio.

La cinematica aplicada al modelado de robots proporciona una expresion matema-

tica que contiene informacion de las posiciones de las articulaciones de los robots con

respecto a la posicion de la ultima articulacion. La dinamica genera un conjunto de n

ecuaciones diferenciales ordinarias no-lineales y no-autonomas, donde n son los grados

de libertad. El modelado dinamico de robots se realiza tradicionalmente de manera

analıtica, es decir, por medio de las leyes de la fısica. Desde el punto de vista de

sistemas dinamicos un robot de n gdl puede ser considerado como un sistema no-lineal

multivariable, teniendo n entradas y 2n variables de estado normalmente asociadas a

las n articulaciones y a las n velocidades articulares [Niku 2001].

Una de las tecnicas que mayor interes ha despertado en la comunidad de control de

sistemas roboticos por sus multiples aplicaciones y por su retorno al uso de la intuicion

fısica en la labor del ingeniero, es la pasividad. Y para su entendimiento es preciso

establecer el papel de la energıa en el control.

Si al analizar un sistema, se puede discernir que terminos mantienen estable al sis-


tema, cuales lo desestabilizan, y cuales representan al flujo interno de energıa del sis-

tema, se arrojara la luz necesaria para el problema de la estabilizacion, abriendo paso

a las tareas subsiguientes de ajuste y refinamiento del comportamiento transitorio.

Entonces de todo lo anterior se concluye que es necesario encontrar un modelo

matematico de la mano robotica, que proporcione la informacion necesaria sobre la

dinamica y estabilidad del sistema completo, y las condiciones requeridas para la sin-

tonizacion del control del efector.

1.4. Justificacion

El tema de tesis desarrollado por [Cimadevilla y Herrera 2006] contemplo la etapa de

diseno mecanico y construccion de una mano robotica, analisis cinematico y dinamico

del prototipo, ademas de un control PID para manipular la posicion de los dedos de la

mano.

Sin embargo, el analisis cinematico tiene sus limitaciones pues solo considera la posi-

cion de los dedos sin importar las fuerzas necesarias para lograr el objetivo, esto es muy

empleado si se desea desarrollar un simulador de un robot o si solo preocupa conocer

la posicion del punto terminal del mismo. Sin embargo, cuando se desea involucrar las

fuerzas y pares aplicados a los actuadores del robot, el modelo cinematico no es sufi-

ciente y se requiere de un analisis dinamico que involucre dichas variables en el modelo

matematico.

Una vez encontrado el modelo matematico que involucra fuerzas y pares, es posible

estudiar las caracterısticas dinamicas del robot y se puede pensar entonces, en sin-

tonizar un controlador para resolver los problemas de posicion o movimiento del robot,

considerando ahora un control de velocidad.

Los modelos cinematicos y dinamicos de robots son modelos no-lineales, por tan-

to la metodologıa de sintonizacion de controladores elegida, debe aprovechar toda la

informacion proporcionada por el modelo.

1.5. Objetivos

1.5.1. Objetivo General

Modelar el sistema efector de algunos movimientos de la mano humana a partir de

la informacion que se desarrollo en [Cimadevilla y Herrera 2006]. Con este modelado,

estudiar las caracterısticas dinamicas del sistema y sintonizar controladores lineal y no-

lineal para controlar el movimiento de los dedos de la mano robotica, de manera que

1.6. Aportacion y limitaciones 15

los dedos del efector describan un movimiento circular.

1.5.2. Objetivos especıficos

1. Encontrar los modelos cinematico directo e inverso del efector.

2. Encontrar un modelo dinamico del efector basado en el modelado de sistemas no

conservativos a traves de funciones de energıa.

3. Estudiar las propiedades y estabilidad del modelo dinamico encontrado.

4. Estudiar el espacio de trabajo de la mano robotica y disenar el movimiento circular

deseado de los dedos.

5. Estudiar controladores lineal y no-lineal (basados en pasividad) usados en robotica

para regular el movimiento de los dedos del efector.

6. Elegido el controlador lineal y el no-lineal estudiar su procedimiento de sin-

tonizacion.

7. Evaluar en simulacion (Matlabr) el comportamiento de ambos controladores.

1.6. Aportacion y limitaciones

1. Un modelo dinamico basado en el formalismo de Euler-Lagrange, que pueda ser

empleado para simulacion y control por computadora del prototipo.

2. Modelado y control del efector especıficamente para los movimientos de flexion y

extension (movimiento en el plano).

3. Aportar un conocimiento completo de las caracterısticas dinamicas del efector.

4. Proporcionar informacion necesaria para trabajos futuros como el caso de control

de sistemas sub-actuados.

5. Dejar una ley de control basada en pasividad para el modelo dinamico de la mano

robotica.

6. Tema de tesis contemplado hasta la etapa de simulacion.


1.7. Contenido

Este documento de tesis esta constituido por 5 capıtulos, organizados de la

siguiente manera,

En el Capıtulo uno, se exponen la problematica, los antecedentes, un breve resumen

del estado del arte, el objetivo general ası como los objetivos especıficos de la tesis,

ademas se muestra el modelado cinematico directo e inverso de un robot manipulador

de dos grados de libertad como ejemplo.

En el Capıtulo dos, se hace uso de los conceptos cinematica y dinamica para obtener

los modelos de la mano robotica, empleando parametros Denavith-Hartenberg para

obtener el modelo cinematico directo y la ecuacion de movimiento de Euler-Lagrange

para la obtencion del modelo dinamico directo de la mano.

El Capıtulo tres, presenta un breve analisis de estabilidad en el sentido de Lyapunov

del efector. Se estudia el espacio de trabajo de los dedos de la mano robotica y se disenan

los movimientos deseados para cada dedo. Se muestra tambien de manera simple la

forma de encontrar las leyes de control de par calculado y basado en pasividad, para

resolver el problema de control de movimiento de los dedos del efector.

En el Capıtulo cuatro, se presentan los resultados de simulacion de los controladores

propuestos. Las simulaciones se realizaron con Simulink de Matlabr. Se presenta tam-

bien una comparacion cuantitativa de los errores articulares de los dedos de la mano

robotica.

El Capıtulo cinco contiene las conclusiones de este trabajo de tesis.

Tambien se encuentra al final del documento principal la bibliografıa y las referencias

empleadas para la redaccion de este trabajo de tesis.

Se anexan 4 apendices, en el Apendice A, se detalla la representacion de puntos y

cuerpos en el plano y en el espacio, ası como la introduccion de transformaciones entre

sistemas coordenados, culminando con la descripcion del concepto matriz de transfor-

macion homogenea, necesario para encontrar el modelo cinematico directo del efector.

En el Apendice B se presentan algunas de las propiedades mas relevantes de las

matrices que componen el modelo dinamico encontrado para el efector.

En el Apendice C, se muestran los valores de las constantes usadas en el mode-

lo dinamico del efector, ası como una figura que muestra los movimientos estudiados

(flexion y extension).

En el Apendice C, se realiza el analisis del modelo dinamico del efector incluyendo

los movimientos de aduccion/abduccion.

Capıtulo 2

Mecanica del efector

En el capıtulo anterior se presento un procedimiento para obtener los modelos cin-

ematico directo e inverso de un robot manipulador con 2 gdl. En el presente capıtulo se

extiende ese procedimiento para modelar la cinematica de un robot al cual se le agrega

un gdl, equivalente a cada dedo del efector. Se muestra tambien de manera detallada

el procedimiento de modelado dinamico de cada dedo de la mano robotica empleando

el metodo variacional de Euler-Lagrange (ecuacion 1.1).

El modelo cinematico directo de la mano robotica se obtuvo aplicando el formalismo

modificado D-H presentado por [Craig 1989]. Se muestran los parametros D-H de cada

dedo de la mano robotica, la matriz de transformacion homogenea que describe su

movimiento, ası como, un algoritmo de solucion a la cinematica inversa para cada dedo

de la mano robotica.

En general para modelar el prototipo de mano robotica se puede considerar a cada

dedo del efector como un manipulador planar independiente, completamente actuado

y sin efector final. Por lo que tomando en consideracion esta idea, y los resultados

obtenidos en [Cimadevilla y Herrera 2006], se encontraron los modelos cinematico y

dinamico de cada dedo de la mano robotica de manera independiente, facilitandose de

esta manera tanto el modelado como la simulacion de controladores.

2.1. Cinematica del efector

Para caracterizar mecanicamente el comportamiento de un robot, se hace uso de las

leyes mecanicas atendiendo exclusivamente a sus movimientos o a sus movimientos y

las fuerzas que lo originan. En el campo de aplicacion de los robots manipuladores se

debe entender que diversos objetos o herramientas se moveran en el espacio, parece

entonces natural desear representar la posicion y orientacion en el.

Para definir y manipular cantidades matematicas que representen posicion y orien-

tacion, se deben asignar sistemas coordenados y establecer convenciones para su rep-

resentacion como que existe un sistema coordenado fijo universo al cual se puede refe-

17

18 Capıtulo 2. Mecanica del efector

renciar cualquier cosa.1

Un robot como cualquier otro cuerpo, esta sometido a las leyes de la mecanica, las

cuales expresadas en alguna formulacion apropiada deberan aplicarsele para saber cual

es su movimiento o sus condiciones de reposo.

Existen dos objetivos ultimos generales, resultado de dicha aplicacion.

1. Conocer la posicion del punto terminal o de cualquier otro punto de un robot

respecto a un sistema de coordenadas fijo o de referencia (tradicionalmente “el

sistema del mundo”),

2. y conocer cual sera el movimiento del robot cuando los actuadores que lo controlan

apliquen determinadas fuerzas y momentos.

Considerando entonces a cada dedo de la mano robotica como un manipulador in-

dependiente, completamente actuado y sin efector final, el modelado y sintonizacion

del control se simplifica de manera significativa. Como informacion complementaria, el

lector puede consultar [Ali et. al. 1993] y [Ramasamy y Arshad 2001] que exponen una

propuesta de solucion similar a la considerada en este caso de estudio.

2.1.1. Cinematica directa

Como ya se habıa mencionado, el analisis mecanico de un robot puede hacerse bien

atendiendo exclusivamente a sus movimientos, o a sus movimientos y a las fuerzas que

actuan sobre el. Cuando se estudian exclusivamente los movimientos (posicion, veloci-

dad de cada articulacion o del efector final) se dice que se realiza estudio cinematico.

La cinematica es la ciencia del movimiento, es decir, trata el movimiento sin considerar

las causas que lo originan.

En el marco del estudio cinematico de manipuladores es posible, pasar desde las

coordenadas propias del robot, hasta las coordenadas cartesianas de posicion y orien-

tacion del ultimo eslabon o efector final. A lo anterior se le conoce como cinematica

directa.

El problema cinematico directo consiste en determinar la posicion y orientacion del

extremo final del robot, respecto a un sistema coordenado de referencia, conocidos los

angulos de las articulaciones y los parametros geometricos de los elementos del robot.

Para la mano robotica lo anterior significa, calcular la posicion y orientacion del ultimo

eslabon de los dedos del efector, relativas al sistema coordenado de la base en funcion

de las variables articulares.

1 Para mayor detalle en la representacion de objetos en el plano o en el espacio ver Apendice A

2.1. Cinematica del efector 19

En este trabajo de tesis se emplea el llamado formalismo modificado de Denavit-

Hartenberg para encontrar la cinematica directa de la mano robotica. Tanto el forma-

lismo tradicional como el modificado D-H, son empleados para la obtencion de modelos

cinematicos directos de manipuadores, sin embargo se eligio el modificado por su sen-

cillez conceptual. A continuacion se describe de manera breve este formalismo.2

Formalismo de Denavit-Hartenberg

El proceso consiste en fijar un sistema de coordenadas a cada enlace o eslabon, que

se movera con el, de acuerdo a un conjunto de normas fijas. A continuacion, identificar

ciertos parametros geometricos que lo relacionan con el sistema fijo al siguiente en-

lace, y usarlos para describir la matriz de transformacion homogenea entre cada par de

sistemas. Finalmente el producto de todas las matrices de transformacion generara la

matriz H (que representa el modelo cinematico directo de un dedo). El conjunto de

normas que establece como deben fijarse los sistemas coordenados se conoce como con-

vencion o formalismo D-H, y a los parametros geometricos que relacionan a los mismos,

parametros D-H.

Se comienza por establecer convenciones para la nomenclatura segun se vio en el

Anexo A. En cadenas cinematicas abiertas cada par eslabon-articulacion, es un grado

de libertad. Posteriormente se debe asignar un sistema coordenado (SC) denominado”

fijo o de referencia llamado de manera comun “sistema del mundo, y generalmente se

asigna a la base inmovil del manipulador.

Una vez hecho esto se asignan nombres a cada par eslabon-articulacion. Se numeran

empezando desde la base del manipulador empleando numeros desde 0 hasta n, donde

n representa el numero de grados de libertad del robot. El primer cuerpo movil es el

eslabon 1, y ası sucesivamente, hasta llegar al extremo libre del manipulador, llamado

eslabon n.

Los SC de los enlaces o eslabones se nombran por numero, de acuerdo al eslabon al

cual estan unidos. Es decir, el sistema coordenado i se une al eslabon i.

Como paso siguiente se deben obtener los parametros D-H del manipulador. Los

parametros D-H son cuatro magnitudes asociadas a cada articulacion, una de las cuales

es la variable de articulacion y las 3 restantes son parametros fijos de cada robot.

Y por ultimo encontrar una matriz de transformacion homogenea que contenga la

informacion de la posicion y orientacion del ultimo eslabon de cada dedo del efector

referido al sistema coordenado de la base del mismo.

Descripcion de los parametros D-H

2 La descripcion de la convencion D-H se resumio de [Craig 1989].


Los ejes articulares se definen mediante lıneas en el espacio, el eje articular i se define

por una lınea en el espacio o la direccion de un vector, sobre el cual el eslabon i gira con

respecto al eslabon i− 1. Resulta entonces que para propositos cinematicos, un eslabon

puede especificarse con dos numeros, los cuales definen la ubicacion relativa de los dos

ejes en el espacio.

Para cualesquiera dos ejes en el espacio tridimensional existe una medida bien definida

de distancia entre ellos. Esta distancia se mide a lo largo de una lınea que es mutuamente

perpendicular a ambos ejes. Esta lınea mutuamente perpendicular siempre existe y

es unica excepto cuando ambos ejes son paralelos, en cuyo caso hay muchas lıneas

mutuamente perpendiculares de igual longitud. La Figura 2.1 muestra el eslabon i−1 y

la lınea mutuamente perpendicular a lo largo de la cual se mide la longitud del eslabon

(link length) ai−1.

1ia −

1iα −

1i −

1i − i

Eje

Eslabón Eje

Figura 2.1: Representacion de los parametros de longitud y torsion de un eslabon.

El segundo parametro necesario para definir la ubicacion relativa de los dos ejes se

llama torsion del eslabon (link twist). Si se imagina un plano cuya normal sea la lınea

mutuamente perpendicular que se acaba de construir, se pueden proyectar los ejes i−1

e i sobre este plano y medir el angulo entre ellos. Este angulo se mide desde el eje i− 1

hasta el eje i en sentido de la mano derecha, sobre ai−1. Se usara como definicion de

torsion del eslabon i− 1, αi−1.

En la Figura 2.1, αi−1 indica el angulo entre los ejes i − 1 e i (las lıneas con tres

marcas de referencia son paralelas). En el caso de ejes perpendiculares, la torsion se

mide en el plano que contiene ambos ejes, pero se pierde el sentido de αi−1. En este


caso especial, se es libre de asignar el signo de αi−1 arbitrariamente.

Interconexion de eslabones

Los eslabones adyacentes tienen un eje de articulacion comun entre ellos. Uno de los

parametros de interconexion tiene que ver con la distancia a lo largo de este eje comun

(de un eslabon al siguiente). Este parametro se llama desplazamiento del eslabon (link

offset). El desplazamiento de un eje de articulacion i se representa como di. El segundo

parametro describe la cantidad de rotacion alrededor de dos ejes comunes , es decir,

entre un eslabon y su eslabon adyacente. Este parametro se llama angulo de articulacion

o angulo articular y se representa como θi.

1ia −

1iα −

EjeEslabón

Eje

id

ia

iθ

1i −1i −

i

Eslabón i

Figura 2.2: Representacion del parametro de desplazamiento y el angulo articular de uneslabon.

La Figura 2.2 muestra la interconexion del eslabon i− 1 y el eslabon i. Recordando

que ai−1 es la distancia mutua perpendicular entre los dos ejes del eslabon i − 1. De

igual manera ai es la distancia mutua perpendicular definida para el eslabon i. El primer

parametro de interconexion es el desplazamiento di, que es la distancia con signo que

se mide a lo largo del eje articular i del punto en donde ai−1 se intersecta con el eje

hasta el punto en donde ai intersecta el eje.

El segundo parametro de interconexion es el angulo que se forma entre una extension

de ai−1 y ai medido sobre el eje de la articulacion i. Este parametro se representa

comunmente como θi y es una variable para una articulacion angular.

La longitud del eslabon ai, y la torsion αi, dependen de los ejes de articulacion


i e i + 1. Por ende, desde a1 hasta an−1 y desde α1 hasta αn−1 se definen como se

menciono anteriormente.

Para los extremos de las cadenas cinematicas, en esta convencion se asignara el valor

de cero a estas cantidades. Esto es, a0 = an = 0 y α0 = αn = 0. El desplazamiento del

eslabon di y el angulo de joint θi estan bien definidos para las articulaciones 2 hasta

n− 1 [Craig 1989].

En resumen, cualquier robot puede describirse cinematicamente por medio de 4 can-

tidades para cada eslabon. Dos describen el eslabon en sı, y dos su conexion con los

eslabones vecinos. En el caso usual de articulaciones de revolucion, a θi se le llama

variable articular, y las otras tres cantidades seran fijas. A la definicion de mecanismos

a traves de estas cantidades se le conoce como Formalismo de Denavit-Hartenberg.

Convencion para la asignacion de sistemas coordenados

Con el objeto de describir la localizacion de cada eslabon con respecto a sus eslabones

vecinos, se hace necesario asignar sistemas coordenados a cada eslabon. Los sistemas

coordenados de los eslabones se nombran con numeros de acuerdo al eslabon al cual

son asignados. Esto es, el sistema coordenado i, (SCi) se asigna al eslabon i.

La convencion usada para asignar SC a los eslabones es como sigue,

Se nombra zi al eje z del SCi y coincide con el eje articular i. El origen del SCi se

localiza donde ai perpendicular interseca el eje articular i.

xi debe seguir el sentido de ai, en la direccion de la articulacion i hacia la articulacion

i + 1. En el acaso en que ai = 0, xi es normal al plano de zi y zi+1.

yi se forma por la regla de la mano derecha. La Figura 2.3 muestra la localizacion de

SCi−1 y SCi para manipuladores en general.

El sistema coordenado asignado a la base del robot se conoce como sistema coorde-

nado 0 (SC0) o SC de referencia, este SC no se mueve. La posicion de todos los demas

SC es en terminos de este.

Ya que el SC0 es arbitrario, elegir z0 a lo largo del eje 1 y colocar el SC0 de manera

que coincida con el SC1 cuando la variable articular es igual a cero, simplifica de manera

significativa el analisis.

Empleando esta convencion siempre se tendra que a0 = 0, α0 = 0. De manera adi-

cional, esto asegura que d1 = 0 si la articulacion 1 es de revolucion, o que θ1 = 0 si la

articulacion 1 es prismatica.

Para la articulacion n de revolucion, la direccion de xn se elige de manera que se

alinee con xn−1 cuando θn = 0, y el origen del SCn se elige para que dn = 0. Para una

articulacion n prismatica, la direccion de xn se elige para que θn = 0 y el origen del


1ia −

1iα −

EjeEslabón

Eje

id

ia

iθ

1i −1i −

i

Eslabón i

ix

iyiz

1iz −

1iy −

1ix −

Figura 2.3: Asignacion de sistemas coordenados a los eslabones de un manipulador.

SCn se posiciona en la interseccion de xn−1 y el eje articular n cuando dn = 0.

Antes de empezar el analisis cinematico de los dedos de la mano robotica, se requiere

establecer una hipotesis de trabajo que sin perdida de generalidad facilite el procedi-

miento.

Cada enlace o eslabon se considera solo como un cuerpo rıgido, el cual define la

relacion entre los ejes adyacentes vecinos de cada dedo del efector.

Modelo cinematico directo

Despues de todo lo analizado ahora se esta en condiciones de abordar el problema

cinematico directo de la mano robotica, el cual trata de encontrar de forma explıci-

ta una funcion que relacione el espacio de articulaciones con el espacio cartesiano de

posiciones/orientaciones.

Para encontrar el modelo cinematico directo de cada dedo del efector se consideraron

solo las posiciones y orientaciones de las articulaciones de los dedos en condiciones

estaticas.

La Figura 2.4 es una representacion esquematica de un dedo de la mano robotica.

Notese que debido a que se considera a cada dedo como un manipulador planar, todos

los ejes articulares son perpendiculares al plano del dedo, por tanto, todos los ejes z de

los SC son paralelos.

El analisis cinematico inicia definiendo los SC necesarios. Se define el SC de referencia


2y2x

0y

0x

1y 1x

2l

1l

2θ

1θ

b)a)

3y3x

3θ3l

Figura 2.4: Representacion esquematica de un dedo del efector. a) Asignacion de SC y,b) variables articulares.

o SC0 fijo a la base de un dedo del efector. Se asigna SC1 de manera que, cuando θ1 = 0,

se alinee con SC0. Debido a que el dedo permanece en un plano con todos sus ejes z

paralelos, no existe desplazamiento de los eslabones (link offset) por lo que todos los

di = 0. En la Figura 2.4 se muestran los SC y la definicion de los angulos articulares

de cada dedo.

Observese que todos los ejes articulares son paralelos y todos los ejes z salen del

papel, entonces, todos los αi = 0.

El analisis cinematico desarrollado por Craig siempre finaliza en el SC cuyo origen

se localiza en el ultimo eje articular, por lo que l3 no aparece en los parametros D-H

del dedo.

Tabla 2.1: Parametros D-H de cada dedo del efector.

αi−1 ai−1 θi di

0 0 θ1 0

0 l1 θ2 0

0 l2 θ3 0

Usando los parametros D-H de la Tabla 2.1, para cada dedo del efector y la no-

cion de matriz de transformacion homogenea analizada en el Apendice A, se calculan

las matrices de transformacion homogeneas individuales para cada eslabon. El modelo

cinematico directo de cada dedo es el resultado de multiplicar todas sus matrices de

transformacion homogenea.


Entonces el modelo cinematico de cada dedo del efector queda representado por

H30 = H1

0 ·H21 ·H3

2 . Donde H10 es la matriz de transformacion homogenea que describe

el movimiento del SC1 (o1x1y1) respecto a SC0 (o0x0y0), H21 y H3

2 son las matrices

de transformacion homogenea del SC2 (o2x2y2) respecto al SC1 y del SC3 (o3x3y3)

referente a SC2, respectivamente. Sean si = sen θi, ci = cos θi.

H30 =

c1 −s1 0 0

s1 c1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

·

c2 −s2 0 l1s2 c2 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

·

c2 −s2 0 l2s2 c2 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

H30 =

c123 −s123 0 l1c1 + l2c12

s123 c123 0 l1s1 + l2s12

0 0 1 0

0 0 0 1

(2.1)

con,

H30 (1, 1) = (c1c2 − s1s2) c3 − (s1c2 + c1s2) s3 = c12c3 − s12s3 = c123

H30 (2, 1) = (c1c2 − s1s2) s3 + (s1c2 + c1s2) c3 = c12s3 − s12c3 = s123

H30 (1, 2) = − (c1c2 − s1s2) s3 − (s1c2 + c1s2) c3 = −c12s3 − s12c3 = −s123

H30 (2, 2) = (c1c2 − s1s2) c3 − (s1c2 + c1s2) s3 = c12c3 − s12s3 = c123

H30 (1, 4) = (c1c2 − s1s2) l2 + l1c1 = l1c1 + l2c12

H30 (2, 4) = (s1c2 + c1s2) l2 + l1s1 = l1s1 + l2s12 (2.2)

La matriz (2.1) representa la cinematica de los dedos del efector, expresa la relacion

entre los angulos articulares y la posicion final del dedo.3 Las primeras tres columnas

indican la orientacion del ultimo eslabon del dedo respecto al sistema coordenado de

referencia, y la ultima columna la posicion.

El modelo cinematico directo del efector ayudara a determinar el espacio de trabajo

del mismo, facilitando de esta manera el calculo de las trayectorias o movimientos

que cada dedo puede describir, sin exceder los pares mecanicos que los actuadores son

capaces de proporcionar.

3 El uso de las matrices de transformacion homogenea y el significado de sus columnas se trata enel Apendice A.


2.1.2. Cinematica inversa

En la seccion anterior se encontraron las coordenadas para la posicion del punto

terminal de cada dedo del efector a partir de los valores de las variables articulares. En

esta seccion se plantea el problema inverso, es decir, obtener los valores de los angulos

articulares a partir de la posicion y orientacion deseadas para el punto terminal de cada

dedo de la mano robotica.

El objetivo del problema cinematico inverso consiste en encontrar expresiones para

los angulos articulares en funcion de la posicion y orientacion del extremo final del robot

deseadas, esto es, determinar la configuracion que deben adoptar las articulaciones de

cada dedo del efector para describir un movimiento circular de la mano.

Esto es muy usado en robotica, y realmente necesario puesto que si la tarea a realizar

es recorrer una trayectoria o describir un movimiento generalmente dado en coorde-

nadas cartesianas referidas a algun sistema fısico, las leyes de control existentes serıan

inutiles, puesto que requieren de mediciones articulares para la retroalimentacion ası co-

mo para la referencia, en el caso de control de movimiento. Para el control de posicion,

la retroalimentacion del vector de velocidades articulares, no es realmente necesario.

Se eligio el movimiento circular de los dedos para ilustrar el desempeno de dos tipos

de controladores, y poder determinar en simulacion que metodologıa resulta conveniente

para este caso de estudio en funcion del error de seguimiento que presenten, evaluados

con alguna medida de error (por ejemplo, el error cuadratico medio).

La cinematica inversa es, en general, mucho mas compleja que la directa. Debido que,

a diferencia de la cinematica directa, no existe un metodo sistematico simple que per-

mita resolver el problema cinematico inverso de robots manipuladores en forma unica.

Los metodos mas comunes empleados son, la aproximacion geometrica y el analisis

algebraico empleando funciones trigonometricas.

Las dificultades presentes en un analisis cinematico inverso pueden ser,

1. Alguno de los puntos pedidos esta, por su lejanıa, fuera del alcance del robot.

2. Alguno de los puntos pedidos esta fuera del alcance, debido a problemas geo-

metricos (unos de los eslabones del robot chocan con otros).

3. Alguno de los puntos pedidos pueden alcanzarse mediante dos o mas combina-

ciones del vector de articulacion. No existe solucion unica.


Solucion a la cinematica inversa

Considerese el modelo cinematico directo presentado en la seccion anterior. De la

matriz (2.1) se toma,

x = l1c1 + l2c12 (2.3)

y = l1s1 + l2s12 (2.4)

con,

cjk = cos(θj + θk) = cos(θj) cos(θk)− sen (θj) sen (θk) (2.5)

sjk = sen(θj + θk) = cos(θj) sen(θk) + sen (θj) cos(θk) (2.6)

Elevando al cuadrado y sumando se tiene, x2 + y2 = l21 + 2l1 l2 c2 + l22 observese que

es posible encontrar una solucion para θ2 como:

θ2 = tan−1 s2

c2

(2.7)

con,

c2 =x2 + y2 − l21 − l22

2 l1 l2(2.8)

y,

s2 = ±√

1− cos2 θ2 (2.9)

La eleccion del signo en (2.9) indica la existencia de soluciones multiples de donde

se puede elegir la configuracion codo arriba o codo abajo, como se vio en el Capıtulo

1. Una vez encontrado θ2 se pueden resolver (2.3) y (2.4) para θ1 reescribiendo de la

siguiente manera,

x = k1c1 − k2s1 (2.10)

y = k1s1 − k2c1 (2.11)

donde k1 = l1 + l2c2 y k2 = l2s2. Entonces si se define,

r = ±√

k21 + k2

2 y, γ = tan−1 k2

k1

De la expresion para γ, parece logico pensar que k1 = r cos γ y k2 = r sen γ, por

tanto, x = r cos γ · c1 − r sen γ · s1 y y = r cos γ · s1 − r sen γ · c1. Ver Figura 2.5

o,

cos (γ + θ1) =x

r, sen (γ + θ1) =

y

r

donde,

γ + θ1 = tan−1 y

x


r

x

y

3θ

3l

2l

1l

βγ

2θ

1θ

Falange Medial

Falange Proximal

Falange Distal

Figura 2.5: Solucion a la cinematica inversa para un dedo del efector.

θ1 = tan−1 y

x− tan−1 k2

k1

(2.12)

Finalmente de c123 y s123 en (2.2), θ3 puede calcularse de la siguiente manera,

θ1 + θ2 + θ3 = tan−1 s123

c123

(2.13)

En la solucion del problema cinematico inverso se esta interesado en encontrar una

solucion en forma cerrada, es decir, encontrar una solucion explıcita para los angulos θ1,

θ2 y θ3, en funcion de la posicion final conocida. En cuestiones practicas la existencia

de soluciones al problema cinematico inverso depende de su ingenierıa, ası como, de las

consideraciones matematicas hechas.

Por ejemplo el movimiento de una articulacion de revolucion se pude restringir a

menos de 360o de rotacion, de manera que, no todas las soluciones matematicas en-

contradas corresponden a configuraciones realizables por el manipulador o en este caso

de estudio por un dedo del efector. Una vez encontrada una solucion a las ecuaciones

matematicas, se debe verificar que satisfaga todas las restricciones en los rangos posibles

de movimiento.

En el diseno mecanico de la mano robotica “cenidet” construida por

[Cimadevilla y Herrera 2006], por razones antropomorficas, los angulos articulares estan

limitados a,

2.2. Dinamica del efector 29

Tabla 2.2: Restricciones de movimiento para las articulaciones de los dedos del efector.

Falanges Restriccion Nomenclatura

1a Proximal 90 o l12a Medial 110 o l23a Distal 70 o l3

2.2. Dinamica del efector

Cuando se estudian las fuerzas y momentos que ejerce la carga transportada sobre la

ultima articulacion, ası como las que ejercen los actuadores, y cada articulacion sobre

las contiguas, es posible determinar el movimiento, aplicando las leyes de la mecanica en

cualquiera de sus formulaciones (Newton, Lagrange, D′Alembert, etc.). En eso consiste

hacer un estudio dinamico de robots.

El modelo dinamico de un robot consiste en un conjunto de ecuaciones diferenciales

ordinarias, que se pueden expresar en funcion de las variables articulares o cartesianas

[Kelly y Santibanez 2003].

f (q, q, q, τ) = 0

f (x, x, x, τ) = 0(2.14)

La manera de obtener dichas ecuaciones diferenciales puede ser a traves de dos enfo-

ques, el primero de ellos es la obtencion de las ecuaciones de movimiento utilizando leyes

de fuerzas y el segundo, empleando principios variacionales basados en funciones de e-

nergıa. En particular, en este caso de estudio se trabajo con la ecuacion de movimiento

de Euler-Lagrange (E-L).

El punto de partida de este enfoque variacional para modelar es la definicion de

las funciones de energıa cinetica y potencial del robot y calcular una funcion llamada

Lagrangiano. En la siguiente seccion se presenta de manera breve la definicion de la

ecuacion de movimiento de E-L, y posteriormente su uso para encontrar un modelo

dinamico para el efector.

2.2.1. Ecuacion de movimiento de Euler-Lagrange

Si un sistema no disipa energıa, se dice que el sistema es conservativo. Un sistema

mecanico conservativo es aquel en el cual la energıa aparece solamente como energıa

cinetica y potencial.

Considerese el caso de un sistema mecanico conservativo. La ecuacion dinamica que


describe el comportamiento de este sistema con “n” gdl se representa por,

d

dt

(∂

∂qL (q, q)

)− ∂

∂qL (q, q) = τ (2.15)

donde el L es el denominado Lagrangiano, y esta definido como L(q, q) = K(q, q)−U(q),

con K(q, q) la suma de las energıas cineticas de los eslabones y U(q) la suma de todas

las energıas potenciales de los eslabones, q es un vector de n coordenadas generalizadas,

q es su primera derivada y τ es el vector de n entradas generalizadas.

En particular los robots manipuladores son una clase de sistemas no conservativos

en los cuales la energıa cinetica es una funcion cuadratica del vector de velocidades

articulares, y la energıa potencial es independiente de q.

El lagrangiano definido anteriormente puede entonces escribirse,

L(q, q) =1

2qT M(q)q − U(q) (2.16)

con M(q) una matriz simetrica y definida positiva. Sustituyendo (2.16) en (2.15) y

resolviendo se tiene,

∂

∂qL(q, q) =

∂

∂qK(q, q) = M(q)q (2.17)

d

dt

(∂

∂q

)= M(q)q + M(q)q (2.18)

∂

∂qL(q, q) =

1

2

∂

∂q

(qT M(q)q

)− ∂

∂qU(q) (2.19)

Finalmente se obtiene el modelo general para un robot manipulador de “n” gdl con

la siguiente forma,

M(q)q + M(q)q − 1

2

∂

∂q

(qT M(q)q

)+

∂

∂qU(q) = τ (2.20)

o equivalentemente,

M(q)q + C(q, q)q + G(q) = τ (2.21)

con,

C(q, q)q = M(q)q − 1

2

∂

∂q

(qT M(q)q

)= M(q)q − ∂

∂qK(q, q)

G(q) =∂

∂qU(q)

La ecuacion (2.21) que representa a un sistema, es en realidad una clase de sistemas no

conservativos E-L, este modelo supone que los eslabones del manipulador son rıgidos, es


decir, que no sufren deformacion (fenomenos de torsion ni flexion) y que la transmision

del movimiento a cada eslabon no posee friccion ni elasticidad.4

Las unidades de los elementos de M(q) correspondientes a variables articulares de

revolucion qi = θi son kg · m2. Las unidades de los elementos de M(q) de variables

articulares prismaticas qi = di son kg. Las unidades de C(q, q) y G(q) correspondien-

tes a variables articulares de revolucion son kg · m2/s2. Las unidades de los elemen-

tos de C(q, q) y G(q) corresponden a variables articulares prismaticas son kg · m/s2

[Lewis et. al. 1993]

Sin embargo, en realidad un robot siempre se encuentra afectado por los fenomenos

mencionados y ademas por perturbaciones. De manera comun el efecto de las fuerzas de

friccion se modela por medio de un vector f(q) ∈ Rn que depende solo de la velocidad

articular [Lewis et. al. 1993], [Kelly y Santibanez 2003].

Una de las representaciones clasicas del vector f(q) que combina expresiones para los

fenomenos de friccion viscosa y de friccion dinamica es,

f(q) = fvq + fd(q) (2.22)

Los fenomenos de friccion no son los unicos que afectan o se involucran con el modela-

do dinamico de robots, y las perturbaciones τd es uno de ellos. τd representa las posibles

perturbaciones al modelo del robot, cuyo significado pudiera representar de alguna

manera un modelado incorrecto o efectos directos de perturbacion en los actuadores del

mismo.

La ecuacion dinamica general de un robot manipulador, considerando los efectos de

la friccion y las perturbaciones queda entonces como,

M(q)q + C(q, q)q + G(q) + f(q) + τd = τ (2.23)

Modelar los efectos de friccion en sistemas mecanicos en general no es tarea sencilla,

por ello tradicionalmente las fuerza y pares de friccion se modelan de forma aproximada.

Debido a que la friccion es un efecto local se dice que f(q) esta desacoplada entre las

articulaciones, entonces puede expresarse como un vector,

f(q) =[

f1(q) f2(q) · · · fn(q)]T

(2.24)

Las expresiones comunes para los terminos de friccion tienen la siguiente forma:

1. Friccion viscosa fv q = vec vi q con vi coeficientes viscosos conocidos. Por tanto,

fv = diag vi4 Caso ideal.


2. Friccion dinamica, se representa por fd(q) = vec ki sgn(qi), con ki coeficientes

constantes y la funcion signo definida por un escalar como,

sgn(x) =

+1 x > 0

indefinido x = 0

−1 x < 0

El modelo clasico (2.21) describe inadecuadamente el comportamiento dinamico del

robot a bajas velocidades, es decir, cuando los cuerpos estan en reposo y comienzan el

movimiento. Por esto no es recomendable para modelar la friccion cuando se aborda

el problema de control de posicion para robots manipuladores. En tal situacion es

aconsejable hacer uso de los modelos dinamicos de friccion [Kelly y Santibanez 2003].

La ecuacion (2.21) describe la dinamica de sistemas mecanicos sin disipacion inter-

na de energıa. Los efectos de la friccion no se toman en cuenta en ese modelo clasico

derivado de la ecuacion de E-L (2.15). Los sistemas estan sujetos generalmente a ac-

ciones externas tales como, perturbaciones y entradas de control, disipacion de energıa,

mediante los fenomenos de friccion viscosa, dinamica o resistencias electricas, etc.

En los sistemas no conservativos (sistemas amortiguados) la energıa se disipa. Rayleigh

desarrollo una funcion de disipacion < de la que puede derivarse la fuerza de amor-

tiguamiento. Suponiendo que el sistema involucra r amortiguadores viscosos, la funcion

de disipacion de Rayleigh se define mediante,

< =1

2(b1δ

21 + b2δ

22 + · · ·+ brδ

2r) (2.25)

donde bi es el i-esimo coeficiente de friccion viscoso y δi es la diferencia de velocidad a

traves del i-esimo amortiguador viscoso. Ası pues, δi puede expresarse como funcion de

las velocidades articulares qi.

Si se considera la accion de los efectos disipativos a traves de la funcion de disi-

pacion de Rayleigh, la ecuacion de movimiento de E-L para sistemas no conservativos

se convierte en,d

dt

(∂

∂qL(q, q)

)− ∂

∂qL(q, q) +

∂

∂q<(q) = τ (2.26)

La funcion de disipacion de Rayleigh satisface,

qT ∂

∂q<(q) ≥ 0

En el mejor de los casos se asume que la funcion de disipacion de Rayleigh es

cuadratica,

<(q) =1

2qT Rq

con R = RT ≥ 0 y diagonal [Ortega et. al. 1998].


2.2.2. Expresiones para K y U

La energıa cinetica de una partıcula es la suma de dos terminos, el primer termino

es la energıa cinetica traslacional de la partıcula con su masa m localizada en el centro

de masa, si la partıcula no experimenta un movimiento rotacional, esto serıa todo lo

referente a la energıa cinetica.

La energıa cinetica traslacional de una masa puntual m que se mueve con una veloci-

dad lineal v es,

K =1

2mv2 (2.27)

El segundo es un termino de correccion adicional que se presenta en casos en donde

el cuerpo tiene movimiento tanto rotacional como traslacional, tomando en cuenta el

hecho de que las diferentes partes del cuerpo se estan moviendo a diferentes velocidades.

La energıa rotacional del cuerpo al rededor de su centro del masa esta dada por,

Krot =1

2I w2 (2.28)

donde el momento de inercia se define como,

I =

∫

vol

ρ(r)r2dr (2.29)

con ρ(r) la distribucion de masa en un radio r de un volumen [Spong y Vidyasar 1989]

y w es la velocidad angular.

Entonces la funcion de energıa cinetica de una partıcula de masa m y centro de masa

lcicon movimientos traslacionales y rotacionales se expresa como,

K =1

2mvc

T vc +1

2wT Iw (2.30)

donde w es el vector de n velocidades angulares.

La funcion de energıa cinetica tambien se puede representar como,

K =1

2qT M(q)q (2.31)

con M(q) una matriz simetrica definida positiva que es en general de configuracion

dependiente. A la matriz M se le llama de manera comun, matriz de inercia. En la

siguiente seccion se muestra la manera de calcular esta matriz para un manipulador

planar de tres grados de libertad.

La energıa potencial de un cuerpo es la misma que si la masa del objeto entero

estuviera concentrada en su centro de masa. Ahora considerese el termino de energıa


potencial, en el caso de cuerpos rıgidos, la unica fuente de energıa potencial es la

gravedad g. Esto es que la energıa potencial de un manipulador depende solo del vector

de posiciones q y no de q.

La energıa potencial de una masa m a una altura h en un campo gravitacional con

constante g se define por,

U = mgh (2.32)

El origen correspondiente a la energıa potencial cero, se puede seleccionar de manera

arbitraria ya que solo las diferencias en energıa potencial son significativas en terminos

de las fuerzas fısicas [Lewis et. al. 1993].

2.2.3. Modelo dinamico

Los dedos del efector tienen 4 gdl, 3 de los cuales involucran movimientos de flexion

y extension y el cuarto, los movimientos de aduccion/abduccion. Recuerdese que se

desea realizar movimientos circulares en un plano por cada dedo del efector, por tanto

como se planteo durante el modelado cinematico, este tema de tesis solo contempla los

primeros tres grados de movimiento descritos (flexion y extension).

Procedimiento de modelado

Los eslabones de cada dedo estan disenados de tal manera que sus centros de masa se

localizan en lci(ver Figura 2.6), ademas los eslabones tienen masas mi y un momento

de inercia en una direccion normal al plano de movimiento Ii, mientras que las articula-

ciones se mueven por los pares τi generados por motores de corriente directa, no existe

friccion en la transmision del movimiento y la mano esta afectada por la gravedad en

la direccion de −y del SC de referencia.

El modelado dinamico de robots empleando la metodologıa de E-L se puede dividir

en 5 pasos, como se detalla a continuacion.

1.- El primer paso para obtener el modelo dinamico de cada dedo del efector es

determinar las n coordenadas generalizadas que representan la configuracion instanta-

nea del dedo.

En este caso de estudio el vector de variables articulares generalizado q sera igual a

los angulos articulares θi y se ignora la dinamica de los actuadores que manipulan los

movimientos de las articulaciones de los dedos.

Considerando que cada dedo independiente cuenta con 3 gdl5 entonces, el vector

articular se define como,

q =[

q1 q2 q3

]T=

[θ1 θ2 θ3

]T(2.33)

5 Ver Figura 2.4 para la asignacion de los angulos articulares.


1m

2m

3m

3I

2I

1I

1l

2l

1cl

2cl

3cl

3l

Figura 2.6: Determinacion del modelo dinamico de un dedo del efector.

Las coordenadas generalizadas de un sistema son un conjunto de coordenadas in-

dependientes que se necesita para describir completamente el movimiento del sistema.

El numero de coordenadas generalizadas necesario para describir el movimiento del

sistema es igual al numero de grados de libertad.

2.- Construir el vector de estados (posiciones y sus velocidades asociadas)

q =[

q1 q2 q3 q4 q5 q6

]T=

[θ1 θ2 θ3 θ1 θ2 θ3

]T(2.34)

q =[

q1 q2 q3 q1 q2 q3

]T(2.35)

3.- Determinar las funciones de energıa cinetica y potencial para cada dedo el efector.

K(q, q) = K1(q, q) + K2(q, q) + K3(q, q) (2.36)

U(q) = U1(q) + U2(q) + U3(q) (2.37)

La funcion de energıa cinetica y potencial de cada dedo es igual a la suma de las

energıas correspondientes a cada eslabon de cada dedo. K1 representa la energıa cinetica

de la falange proximal para cada dedo, K2 la falange medial y K3 la falange distal y


U1, U2, U3 las energıas potenciales de las mismas falanges.

K1(q, q) =1

2m1v

T1 v1 +

1

2I1q

21

K2(q, q) =1

2m2v

T2 v2 +

1

2I2(q1 + q2)

2

K3(q, q) =1

2m3v

T3 v3 +

1

2I3(q1 + q2 + q3)

2 (2.38)

Los subındices de (2.38) indican el numero de la articulacion a la cual representan.

mi representa la masa en kg de las falanges de cada dedo, Ii en kg ·m2 los momentos

de inercia de cada eslabon de cada dedo, vi en m2/s son las velocidades lineales de cada

eslabon.

Las velocidades lineales v1, v2 y v3 se calculan de la siguiente manera,

v1 =d

dt

([x1 y1

]T)

=

[ −lc1 sen q1 q1

lc1 cos q1 q1

]

vT1 v1 = lc1 q

21 (2.39)

v2 =[

x2 y2

]T=

[ −l1 sen q1 q1 − lc2 sen (q1 + q2) (q1 + q2)

l1 sen q1 q1 + lc2cos (q1 + q2) (q1 + q2)

]

vT2 v2 = (l1

2 + lc22 + 2l1lc2 cos q2) q2

1 + 2(lc22 + l1lc2 cos q2) q1 q2 + lc2

2 q22 (2.40)

v3 =[

x3 y3

]T

=

[ −l1 sen q1 q1 − l2 sen (q1 + q2) (q1 + q2)− lc3 sen (q1 + q2 + q3) (q1 + q2 + q3)

l1 sen q1 q1 + l2cos (q1 + q2) (q1 + q2) + lc3cos (q1 + q2 + q3) (q1 + q2 + q3)

]

vT3 v3 = (l1

2 + l22 + lc3

2 + 2l1l2 cos q2 + 2l1lc3 cos (q2 + q3) + 2l2lc3 cos l3) q21

+ (l22 + lc3

2 + 2l2lc3 cos q3) q22 + lc3

2 q22 + 2(lc3

2 + l2lc3cos q3) q2 q3

+ 2(l22 + lc3

2 + l1l2 cos q2 + l1lc3cos(q2 + q3) + 2l2lc3 cos q3) q1 q2

+ 2(lc32 + l1lc3cos(q2 + q3) + l2lc3cos q3) q1 q3

donde,

x1 = lc1 cos q1 y1 = lc1senq1

x2 = l1 cos q1 + lc2 cos(q1 + q2) y2 = l1senq1 + lc2sen(q1 + q2)

x3 = l1 cos q1 + l2 cos(q1 + q2) + lc3 cos(q1 + q2 + q3)

y3 = l1senq1 + l2sen(q1 + q2) + lc3sen(q1 + q2 + q3)


La funcion de energıa potencial de los eslabones de los dedos del efector se expresan

como,

U1 = −m1 g y1, U1 = −m1 g lc1senq1

U2 = −m2 g y2, U2 = −m2 g l1senq1 −m2 g lc2sen(q1 + q2)

U3 = −m3 g y3, U3 = −m3 g l1senq1 −m3 g l2sen(q1 + q2)−m3 g lc3sen(q1 + q2 + q3)

(2.41)

4.- Combinar las funciones de energıa cinetica y potencial para obtener el Lagrangiano

del efector.

L(q, q) =n∑

i=1

Ki(q, q)− Ui(q)

5.- Derivar las ecuaciones de movimiento de E-L para cada dedo de la mano robotica.

Para la articulacion 1 (falange proximal)

d

dt

(∂

∂q1

L (q, q)

)− ∂

∂q1

L (q, q) = τ1

τ1 =[m1l

2c1

+ m2l2c2

+ m2l21 + m3l

2c3

+ m3l21 + m3l

22 + (2m2l1lc2 + 2m3l1l2) cos q2

]q1

+ [2m3l1lc3 cos (q2 + q3) + 2m3l2lc3 cos q3 + I1 + I2 + I3] q1

+[m3l

2c3

+ m3l22 + m2l

2c2

+ (m2l1lc2 + m3l1l2) cos q2 + m3l1lc3 cos(q2 + q3)]q2

+ [2m3l2lc3 cos q3 + I2 + I3] q2 +[m3l

2c3

+ m3l1lc3 cos(q2 + q3) + m3l2lc3 cos q3

]q3

− [(m2l1lc2 + m3l1l2) sen q2 + m3l1lc3 sen (q2 + q3)] q22 + m3 g l2 cos (q1 + q2)

− [2m3l1lc3sen (q2 + q3) + 2m3l2lc3sen q3] q2 q3 + m3 g lc3 cos (q1 + q2 + q3)

− [(2m2l1lc2 + 2m3l1l2) sen q2 + 2m3l1lc3sen (q2 + q3)] q1 q2 + m1 g lc1 cos q1

− [m3l1lc3sen (q2 + q3) + m3l2lc3 sen q3] q23 + m2 g l1 cos q1 + m3 g l1 cos q1

− [2m3l1lc3sen (q2 + q3) + 2m3l2lc3sen q3] q1 q3 + m2 g lc2 cos (q1 + q2) (2.42)

Para la articulacion 2 (falange medial)

d

dt

(∂

∂q2

L (q, q)

)− ∂

∂q2

L (q, q) = τ2

τ2 =[m2l

2c2

+ m3l22 + m3l

2c3

+ (m2l1lc2 + m3l1l2) cos q2

]q1

+ [m3l1lc3 cos (q2 + q3) + 2m3l2lc3 cos q3 + I2 + I3] q1

+[m2l

2c2

+ m2l22 + m3l

2c3

+ 2m3l2lc3 cos q3 + I2 + I3

]q2

+[m3l

2c3

+ m3l2lc3 cos q3 + I3

]q3 + m3 g lc3 cos (q1 + q2 + q3)

+ [(m2l1lc2 + m3l1l2) sen q2 + m3l1lc3sen (q2 + q3)] q21

− (m2l1lc3 −m2l1lc2) sen q2 q1 q2 − 2m3l2lc3sen q3 q1 q3

− 2m3l2lc3sen q3 q2 q3 −m3l2lc3sen q3 q23 (2.43)

+ (m2 g lc2 + m3 g l2) cos (q1 + q2) (2.44)


Para la articulacion 3 (falange distal)

d

dt

(∂

∂q3

L (q, q)

)− ∂

∂q3

L (q, q) = τ3

τ3 =[m3l

2c3

+ m3l1lc3 cos (q2 + q3) + m3l2lc3 cos q3 + I3

]q1

+[m3l

2c3

+ m3l2lc3 cos q3 + I3

]q2 +

[m3l

2c3

+ I3

]q3

+ [m3l2lc3sen q3 + m3l1lc3sen (q2 + q3)] q21 + 2m3l2lc3sen q3 q1 q2

+ m3l2lc3sen q3 q22 + 2m3l1lc3sen (q2 + q3) q1 q3

+ m3 g lc3 cos (q1 + q2 + q3) (2.45)

Retomando la estructura de (2.21), (τ1), (τ2) y (τ3) se reescriben como sigue, quedando

el modelo dinamico,

m11 m12 m13

m21 m22 m23

m31 m32 m33

q1

q2

q3

+

c11 c12 c13

c21 c22 c23

c31 c32 v33

q1

q2

q3

+

g1

g2

g3

=

τ1

τ2

τ3

(2.46)

donde

m11 = m1 l2c1 + m2 l21 + m2 l2c2 + m3 l21 + m3 l22 + m3 l2c3 + 2 m2 l1 lc2 cos(q2)

+ 2 m3 l1 l2 cos(q2) + 2 m3 l1 lc3 cos(q2 + q3) + 2 m3 l2 lc3 cos(q3) + I1 + I2 + I3

m12 = m2 l2c2 + m3 l22 + m3 l2c3 + m2 l1 lc2 cos(q2) + m3 l1 l2 cos(q2)

+ m3 l1 lc3 cos(q2 + q3) + 2 m3 l2 lc3 cos(q3) + I2 + I3

m13 = m3 l2c3 + m3 l1 lc3 cos(q2 + q3) + m3 l2 lc3 cos(q3) + I3

m21 = m2 l2c2 + m3 l22 + m3 l2c3 + m2 l1 lc2 cos(q2) + m3 l1 l2 cos(q2)

+ m3 l1 lc3 cos(q2 + q3) + 2 m3 l2 lc3 cos(q3) + I2 + I3

m22 = m2 l2c2 + m3 l22 + m3 l2c3 + 2 m3 l2 lc3 cos(q3) + I2 + I3

m23 = m3 l2c3 + m3 l2 lc3 cos(q3) + I3

m31 = m3 l2c3 + m3 l1 lc3 cos(q2 + q3) + m3 l2 lc3 cos(q3) + I3

m32 = m3 l2c3 + m3 l2 lc3 cos(q3) + I3

m33 = m3 l2c3 + I3

c11 = (−m2 l1 lc2sen(q2)−m3 l1 l2 sen(q2)−m3 l1 lc3 sen(q2 + q3)) q2

+ (−m3 l1 lc3 sen(q2 + q3)−m3 l2 lc3 sen(q3)) q3

c12 = (−m2 l1 lc2 sen(q2)−m3 l1 l2 sen(q2)−m3 l1 lc3 sen(q2 + q3)) q1

+ (−m2 l1 lc2 sen(q)−m3 l1 l2 sen(q2)−m3 l1 lc3 sen(q2 + q3)) q2

+ (−m3 l2 lc3 sen(q3)−m3 l1 lc3 sen(q2 + q3)) q3


c13 = (−m3 l1 lc3 sen(q2 + q3)−m3 l2 lc3 sen(q3)) q1

+ (−m3 l2 lc3 sen(q3)−m3 l1 lc3 sen(q2 + q3)) q2

+ (−m3 l1 lc3 sen(q2 + q3)−m3 l2 lc3 sen(q3)) q3

c21 = (m2 l1 lc2 sen(q2) + m3 l1 l2 sen(q2) + m3 l1 lc3 sen(q2 + q3)) q1

− m3 l2 lc3 sen(q3) q3

c22 = −m3 l2 lc3 sen(q3) q3

c23 = −m3 l2 lc3 sin(q3) q1 −m3 l2 lc3 sin(q3) q2 −m3 l2 lc3 sin(q3) q3

c31 = (m3 l1 lc3 sin(q2 + q3) + m3 l2 lc3 sin(q3)) q1 + m3 l2 lc3 sin(q3) q2

c32 = m3 l2 lc3 sin(q3) q2 + m3 l2 lc3 sin(q3) q1

c33 = 0

g1 = (m1 lc1 + m2 l1 + m3 l1) g cos(q1) + (m2 lc2 + m3 l2) g cos(q1 + q2)

+ m3 lc3 g cos(q1 + q2 + q3)

g2 = (m2 lc2 + m3 l2) g cos(q1 + q2) + m3 lc3 g cos(q1 + q2 + q3)

g3 = m3 lc3 g cos(q1 + q2 + q3)

Esta representacion (2.46) contiene propiedades especıficas, las cuales ayudan al

diseno de controladores para robots. Estas propiedades son explotadas en el momen-

to de disenar y sintonizar controladores, ası como para el analisis de estabilidad de

Lyapunov del sistema completo. Ver anexo B.

Como se vio en la metodologıa planteada en esta seccion, una vez que se han derivado

las expresiones para la energıa del sistema, el metodo de E-L dara tantas ecuaciones

como grados de libertad tenga el sistema. Esas ecuaciones de movimiento para el sistema

describen completamente la dinamica de un sistema conservativo.

Los valores de las constantes del modelo dinamico (2.46) puede consultarse en el

Apendice C y fueron extraıdos del trabajo realizado por Cimadevilla y Herrera en

2006.

La existencia de la matriz M(q)−1 permite expresar el modelo dinamico de los dedos

en terminos del vector de estados[

qT qT]T

,

d

dt

[q

q

]=

[q

M(q)−1 [τ − C (q, q) q −G (q)]

](2.47)

o equivalentemente,

x =

[q

−M(q)−1 [C(q, q)q + G(q)]

]+

[0

M(q)−1

]τ (2.48)


2.3. Aspectos relevantes

El calculo del modelo cinematico directo de un manipulador puede hacerse aplicando

una metodologıa bien definida conocida como, Formalismo de Denavit-Hartenberg. Esta

metodologıa es conceptualmente simple y para su uso se deben tener conocimiento de

representacion en el plano y el espacio de cuerpos rıgidos, ası como la nocion de matrices

de transformacion homogenea. El modelo matematico que se obtiene como resultado de

aplicar esta metodologıa expresa la posicion y orientacion del ultimo eslabon de cada

dedo de la mano robotica, referenciado a un sistema de coordenadas dextrogiro asignado

a la base de movimiento de cada dedo.

El concepto de cinematica inversa conlleva diversas complicaciones, pues en la mayo-

rıa de los casos, la solucion puede no ser unica o no existir. A diferencia de la cinematica

directa, para el problema cinematico inverso no existe una metodologıa que ayude a

encontrar una solucion en forma cerrada. El calculo de la cinematica inversa depende

de la habilidad o conocimientos matematicos del ingeniero, ası como de la complejidad

en el diseno mecanico y construccion de cada robot.

El control de robots manipuladores ya sea para los problemas de regulacion o segui-

miento, requiere del calculo de un modelo que represente el comportamiento dinamico

del mismo. El modelo dinamico de robots se puede obtener aplicando las leyes de

Newton, o bien con algun metodo variacional, por ejemplo con el uso de la ecuacion

de Euler-Lagrange. Esta tecnica esta sustentada en la determinacion de una funcion

llamada Lagrangiano, expresada como la diferencia entre la energıa cinetica y potencial

del robot.

No importa la configuracion del robot, el modelo dinamico se puede calcular siempre

que las funciones de energıa cinetica y potencial puedan encontrarse.

Capıtulo 3

Analisis de estabilidad y

sintonizacion de controladores

En este capıtulo se presenta una importante nocion de estabilidad en el sentido de

Lyapunov. Existen muchas definiciones de estabilidad de sistemas. Sin embargo en todos

los casos la idea principal es: dado un conjunto de ecuaciones dinamicas que representan

un sistema fısico, tratar de determinar si dicho sistema tiene un buen comportamiento

en algun sentido concebible. El problema consiste en como convertir la nocion intuitiva

de un buen comportamiento dentro de una definicion matematica precisa que pueda

ser aplicada a un sistema dinamico dado. En este capıtulo se explora la nocion de

estabilidad en el sentido de Lyapunov, aplicado a los puntos de equilibrio.

El control de robots manipuladores es un tema de investigacion muy amplio y bas-

tante enriquecedor, en el que se requiere tener conocimiento del modelo matematico

y una buena respuesta de los sensores de posicion y velocidad del robot (que actuan

directamente sobre el modelo).

El modelo dinamico de un robot puede obtenerse como ya se menciono, haciendo

uso de las leyes fısicas que gobiernan su movimiento o empleando la ecuacion de Euler-

Lagrange. Por otro lado el comportamiento del robot depende de las capacidades de

sensado, es decir, las capacidades de accion y reaccion del controlador a las variables

sensadas.

Las leyes de control existentes para gobernar el movimiento o la posicion de robots

manipuladores son diversas, y elegir un metodo de control particular para cada apli-

cacion no es tarea sencilla. El metodo de control elegido, ası como la forma en la cual

se debe de implementar, pueden tener un impacto significativo en el comportamiento

del manipulador como en el campo de sus posibles aplicaciones.

En este tema de tesis se propone emplear un controlador convencional de robots,

ademas de un controlador basado en pasividad, ambos extraıdos de la literatura dispo-

nible, que sean capaces de controlar el movimiento de los dedos del efector.

41

42 Capıtulo 3. Analisis de estabilidad y sintonizacion de controladores

3.1. Estabilidad de Lyapunov

A continuacion se presentan algunas de las definiciones relacionadas con la estabili-

dad de sistemas dinamicos en el sentido de Lyapunov. Los teoremas y definiciones se

presentan sin demostracion y fueron extraıdos de [Marquez 2003].

3.1.1. Definiciones

Considerese a los sistemas de la forma

x = f(x) f : D → Rn (3.1)

donde D es un subconjunto abierto y conexo de Rn y f es un mapa localmente Lipschitz

de D en Rn. De aquı en adelante se asume que xe es un punto de equilibrio de (3.1).

En otras palabras, xe cumple con,

f(xe) = 0

Definicion 3.1. [Marquez 2003] Se dice que el punto de equilibrio x = xe, del sistema

(3.1) es estable si para cada ε > 0,∃δ = δ(e) > 0, de forma que,

‖x(0)− xe‖ < δ ⇒ ‖x(t)− xe‖ < ε ∀t ≥ t0

de lo contrario, se dice que el punto de equilibrio es inestable.

ex

0x

δ

Figura 3.1: Punto de equilibrio estable.

3.1. Estabilidad de Lyapunov 43

Definicion 3.2. [Marquez 2003] Se dice que el punto de equilibrio x = xe, del sistema

(3.1) es convergente si existe δ1 > 0, tal que,

‖x(0)− xe‖ < δ1 ⇒ lımt→∞

x(t) = xe

De manera equivalente, xe es convergente si para cualquier ε1 > 0 dado, ∃T de tal

manera que,

‖x(0)− xe‖ < δ1 ⇒ ‖x(t)− xe‖ < ε1 ∀t ≥ t0 + T

Un punto de equilibrio convergente xe, es aquel en el que cada solucion iniciada sufi-

cientemente cerca de xe eventualmente convergera a xe conforme t →∞. Es importante

tener en cuenta que la estabilidad y la convergencia, como se definieron anteriormente

son dos conceptos diferentes y de ninguna manera uno implica al otro.

Definicion 3.3. [Marquez 2003] Se dice que el punto de equilibrio x = xe es asintotica-

mente estable si es tanto estable como convergente.

ex

0x

δ

Figura 3.2: Punto de equilibrio asintoticamente estable.

La estabilidad asintotica (ver Figura 3.2) es una propiedad deseable en muchas apli-

caciones, la principal debilidad de este concepto es que no dice que tan rapido se aproxi-

man las trayectorias al punto de equilibrio. Existe una forma mas estricta de estabilidad

asintotica, conocida como estabilidad exponencial, definida como,

Definicion 3.4. [Marquez 2003] Se dice que le punto de equilibrio x = xe del sistema

(3.1) es exponencialmente estable (en forma local), si existen dos constantes reales


α, λ > 0, de tal manera que,

‖x(t)− xe‖ ≤ α ‖x(0)− xe‖ e−λt ∀t > 0 (3.2)

siempre que ‖x(0)− xe‖ < δ. Si (3.2) se cumple para cualquier x ∈ Rn, se dice que el

punto de equilibrio xe es exponencialmente estable en forma global.

La estabilidad exponencial es la forma mas estricta de estabilidad presentada hasta

el momento. Y es inmediato pensar que la estabilidad exponencial implica estabilidad

asintotica.

Existen diversas nociones de estabilidad referidas a la estabilidad de los puntos de

equilibrio. En general un sistema dinamico puede tener mas de un punto de equilibrio,

frecuentemente, en las definiciones y especialmente en las demostraciones de los teore-

mas de estabilidad, se asume que el punto de equilibrio bajo estudio es el origen xe = 0

sin perdida de generalidad. En caso de no ser ası, se debe realizar un cambio de variables

y definir un nuevo sistema con un punto de equilibrio en x = 0. [Marquez 2003].

3.1.2. Funciones definidas positivas

Una vez definido el concepto de estabilidad, el siguiente paso es estudiar la manera

en la que se analizan las propiedades de estabilidad de un punto de equilibrio. Este es el

centro de teorıa de estabilidad de Lyapunov. La base de esta teorıa de estabilidad es el

analisis y construccion de una clase de funciones a ser definidas y sus derivadas a lo largo

de las trayectorias del sistema bajo estudio. Se inicia por introducir la presentacion de

funciones definidas positivas. En la siguiente definicion, D representa un subconjunto

abierto y conexo de Rn.

Definicion 3.5. [Marquez 2003] Se dice que una funcion V : D → R es semidefinida

positiva en D si satisface las siguientes condiciones

i) 0 ∈ D y V (0) = 0

ii) V (x) ≥ 0, ∀x en D − 0

La funcion V : D → R es definida positiva en D si se reemplaza la condicion ii) por,

ii’) V (x) > 0, ∀x en D − 0

Finalmente la funcion V : D → R es semidefinida negativa en D si−V es semidefinida

positiva.

Ejemplo 3.1. Una de las mas simples y quizas mas importante clase de funciones

definidas positivas son,

V (x) : Rn → R = xT Qx, Q ∈ Rnxn, Q = QT

3.1. Estabilidad de Lyapunov 45

En este caso V (·) define una forma cuadratica. Ya que la matriz Q se define como

simetrica, esto es, Q = QT , y se sabe tambien que los eigenvalores correspondientes

λi, i = 1, . . . n, son todos reales. Entonces,

V (·) es definida positiva ⇔ xT Qx > 0,∀x 6= 0 ⇔ λi > 0, ∀i = 1, . . . , n

V (·) es semidefinida positiva ⇔ xT Qx ≥ 0, ∀x 6= 0 ⇔ λi ≥ 0,∀i = 1, . . . , n

V (·) es definida negativa ⇔ xT Qx < 0,∀x 6= 0 ⇔ λi < 0, ∀i = 1, . . . , n

V (·) es semidefinida negativa ⇔ xT Qx ≤ 0, ∀x 6= 0 ⇔ λi ≤ 0,∀i = 1, . . . , n

Las funciones definidas positivas constituyen el bloque basico de construccion de la

teorıa de estabilidad de Lyapunov. Dichas funciones se pueden ver como una abstraccion

de la “energıa total” almacenada en un sistema. Todos los teoremas de estabilidad de

Lyapunov estan enfocados al estudio de la derivada del tiempo de una funcion definida

positiva a lo largo de las trayectorias de (3.1). En otras palabras dado un sistema de la

forma (3.1), se debe construir primero la funcion V (x) y estudiar V (x) dado como,

V (x) =dV

dt=

∂V

∂x

dx

dt= ∇V · f(x)

=

[∂V

∂x1

∂V

∂x2

, · · · ,∂V

∂xn

]

f1(x)

f2(x)...

fn(x)

La siguiente definicion introduce una forma comun de representar esta derivada.

Definicion 3.6. [Marquez 2003] Supongase una funcion V : D → R y una funcion

f : D → Rn. La derivada de Lie de V a lo largo de f , denotado por LfV , se define

por,

LfV (x) =∂V

∂xf(x)

Entonces, de acuerdo a esta definicion, se tiene que,

V (x) =∂V

∂xf(x) = ∇V · f(x) = LfV (x)

3.1.3. Teorema de estabilidad

Teorema 3.1. [Marquez 2003] (Teorema de estabilidad de Lyapunov) Supongase que

x = 0 es un punto de equilibrio de x = f(x), que f : D → Rn y que V : D → R es una

funcion continuamente diferenciable, de tal manera que,

i) V (0) = 0


ii) V (x) > 0 en D − 0

iii) V (x) ≤ 0 en D − 0

Si las tres las condiciones anteriores se cumplen se dice que el punto x = 0 es estable.

En otras palabras el teorema implica una condicion suficiente y necesaria para la

estabilidad del punto de equilibrio x = 0, y que existe una funcion definida positiva

V (x) continuamente diferenciable, de tal manera que V (x) es semidefinida negativa en

la vecindad de x = 0.

Como se menciono en parrafos anteriores las funciones definidas positivas se pueden

considerar como una funcion generalizada de energıa. La condicion V (x) = c para una c

constante define la llamada superficie de Lyapunov. Una superficie de Lyapunov define

una region del espacio de estados que contiene todas las superficies de Lyapunov de

menor valor, esto es, dada una funcion de Lyapunov V (·), si se define,

Ω1 = x ∈ Br : V (x) ≤ c1Ω2 = x ∈ Br : V (x) ≤ c2

donde Br = x ∈ Rn : ‖x‖ ≤ ‖r‖, y c1 > c2 se eligen de manera que Ωi ⊂ Br, i = 1, 2,

entonces se tiene que Ω2 ⊂ Ω1.

La condicion V ≤ 0 implica que cuando una trayectoria cruza una superficie de

Lyapunov V (x) = c nunca puede salir. Esto es, que una trayectoria que satisface esta

condicion se encuentra confinada a una region cerrada Ω = x : V (x) ≤ c. Lo anterior

implica que el punto de equilibrio es estable, y hace al Teorema 3.1 intuitivamente

simple [Marquez 2003].

Ahora supongase que V (x) es definida negativa. En este caso, una trayectoria puede

solo moverse de una superficie de Lyapunov V (x) = c hacia una superficie mas interna

de Lyapunov con una c mas pequena. De acuerdo con [Marquez 2003] esto representa

una condicion de estabilidad mas estricta.

Teorema 3.2. [Marquez 2003] (Teorema de estabilidad asintotica) Bajo las condiciones

del Teorema 3.1, si V (·) cumple con,

i) V (0) = 0

ii) V (x) > 0 en D − 0

iii) V (x) < 0 en D − 0

se dice que el punto de equilibrio x = 0 es asintoticamente estable.

3.2. Analisis de estabilidad del efector 47

En otras palabras, el teorema dice que la estabilidad asintotica se logra si las condi-

ciones del Teorema 3.1 se fortalece haciendo que V (x) sea definida negativa, en lugar

de semidefinida.1

El primer paso cuando se desea estudiar las propiedades de estabilidad de un punto

de equilibrio consiste en elegir una funcion definida positiva V (·). Encontrar una funcion

definida positiva es bastante sencillo; lo que es muy difıcil es seleccionar una V (·) cuya

derivada a lo largo de las trayectorias cerca del punto de equilibrio sea negativa o

semidefinida negativa.

La razon, ciertamente es que V (·) es independiente de la dinamica de la ecuacion

diferencial que es objeto de estudio, mientras que V depende de esta dinamica de

una manera esencial. Por esta razon, cuando se propone una funcion V (·) como posible

candidata para probar cualquier forma de estabilidad, se dice que V (·) funcion candidata

de Lyapunov. Si sucede que V (·) es definida negativa, entonces se dice que es una funcion

de Lyapunov para ese punto de equilibrio [Marquez 2003].

3.2. Analisis de estabilidad del efector

Supongase que (3.3) es una buena aproximacion de la energıa total de un dedo de la

mano robotica (Ver expresiones (2.38) y (2.41)), se uso (3.3) como una funcion candidata

de Lyapunov para estudiar la estabilidad del efector.

H(q, q) = K(q, q) + U(q) (3.3)

De manera equivalente,

H(q, q) =1

2qT M(q)q + U(q) (3.4)

Se analizo la estabilidad de los dedos del efector de manera independiente y se ex-

tendio el resultado para el efector, suponiendo que de ninguna manera los dedos de

la mano robotica interactuan entre sı. Ahora considerando que el modelo de la mano

robotica es de la forma (3.1), se tiene que,

x =

[q

M(q)−1 [τ −N(q, q)]

], N(q, q) = C(q, q) q + G(q) (3.5)

x = f(x)

donde M(q) es la matriz de inercias, C(q, q) es la matriz de fuerzas centrıfugas y de

Coriolis, G(q) es el vector de gravedad, q es el vector de posiciones generalizado, q es el

vector de velocidades generalizado y τ es el vector de fuerzas de entrada generalizado.

1 La demostracion de los teoremas presentados en esta seccion pueden consultarse en[Marquez 2003].


El origen es un punto de equilibrio, debido a que f(0) = 0. Para estudiar la estabilidad

del origen en el equilibrio, se requiere proponer una funcion candidata de Lyapunov

V (x) y demostrar que satisface las propiedades de alguno de los teoremas de estabilidad

presentados.

En general elegir esta funcion es relativamente difıcil, sin embargo, en este caso se

procedio inspirado por el entendimiento del sistema fısico, es decir, se calcula la energıa

total de cada uno de los dedos (que son funciones definidas positivas)2 , y se usa esta

cantidad como una funcion candidata de Lyapunov (3.4).

H(q, q) =1

2qT M(q)q + U(q)

donde el vector de estados,

x = q =

x1

x2

x3

x4

x5

x6

=

q1

q2

q3

q4

q5

q6

=

q1

q2

q3

q1

q2

q3

y,

x = q =[

q1 q2 q3 q1 q2 q3

]T

Ahora si se define V (x) = H(q, q), claramente V (0) = 0, es decir, que la propiedad

i) se cumple en ambos teoremas.

Tambien se tiene que V (x) 6= 0 para cualquier x 6= xe . El siguiente paso considerando

que la funcion candidata de Lyapunov es definida positiva, es derivar V(x) respecto al

tiempo aplicando el concepto de la derivada de Lie.

V (x) =1

2qT M(q)q + U(q) (3.6)

V (x) = qT M(q)q +1

2qT M(q)q + U(q) (3.7)

Tomando el modelo de la mano robotica como,

M(q)q + C(q, q)q + G(q) = τ (3.8)

de (3.8) se despeja M(q)q y sustituyendo en (3.7) se tiene,

V (x) = qT [τ − C(q, q) q −G(q)] +1

2qT M(q)q + U(q) (3.9)

2 Para mayor informacion consultar [Ortega et. al. 1998], [Marquez 2003].

3.3. Controladores de movimiento para el efector 49

Reordenando de manera conveniente y considerando que qT τ = 0, se tiene entonces,

V (x) = qT

[1

2M(q)− C(q, q)

]q − qT G(q) + U(q) (3.10)

No importa la manera en como este definida C(q, q); siempre se cumple que

qT[

12M(q)− C(q, q)

]q = 0. 3

Considerando que los dedos del efector son completamente amortiguados4 entonces

xe es la solucion de

U(q) =∂U(q)

∂q= 0

entonces existe un mınimo local estricto de la funcion de energıa potencial U(q) es decir,

si U(q) es propia5 y el mınimo es unico, entonces este equilibro es asintoticamente

estable en forma global.

Lema 3.1. Lema C.7 [Ortega et. al. 1998] Supongase que la funcion f(x) : Rn → R y

Bσ ⊆ Rn.

Si ademas

i) f(0) = 0

ii) dfdx

(0) = 0

iii) d2fdx2 > Inε > 0, ε > 0,∀x ∈ Bσ

entonces f(x) tiene un mınimo local estricto y unico en el origen, localmente en Bσ. Si

Bσ = Rn entonces el mınimo es global y unico.

Lo anterior implica que 6

V (x) = 0

Por lo que de acuerdo con el Teorema 3.1, el origen es un punto de equilibrio estable.

3.3. Controladores de movimiento para el efector

Se desea que los dedos de la mano robotica describan repetidamente un movimiento

circular, para ello es necesario, como primer paso conocer el espacio de trabajo del

3 [Ortega et. al. 1998b].4 Consultar [Ortega et. al. 1998]5 Si satisface el Lema C.7 de [Ortega et. al. 1998].6 [Marquez 2003], [Ortega et. al. 1998b].


efector, y ası, disenar un movimiento para cada articulacion que sea alcanzable por los

dedos, posteriormente elegir una metodologıa de control que cumpla con dicho objetivo.

Algunos de los robots que se utilizan en la industria ası como los robots antropomor-

ficos, estan equipados con sensores de posicion y velocidad, esto significa que tanto

el vector de posiciones articulares como el vector de velocidades articulares q y q res-

pectivamente, estan disponibles y pueden ser utilizadas para construir las diferentes

leyes de control.

Algunos otros robots estan equipados solo con sensores de posicion por lo que la

velocidad articular en caso de ser necesaria debe calcularse de manera independiente e

implementada mediante estimacion derivando la posicion articular (filtrando) o emple-

ando observadores.

Existen de manera basica dos problemas de control de robots manipuladores; control

de posicion y de movimiento. El objetivo del control de posicion es encontrar una τ de

tal forma que,

lımt→∞

q(t) = qd(t)

donde qd, la posicion articular deseada, es un vector constante. Se define el error articular

como e(t) = qd(t) − q(t), e(t) ∈ Rn. Este objetivo de control se emplea en robots

manipuladores que se desplazan libremente en su espacio de trabajo sin interaccionar

con su medio ambiente [Kelly y Santibanez 2003].

El objetivo de control de movimiento es encontrar una funcion vectorial τ de manera

tal que las posiciones articulares q asociadas a las coordenadas articulares del manipu-

lador, sigan con precision a qd, es decir, que siga a una trayectoria deseada.

lımt→∞

e(t) = 0

Las leyes de control descritas en este documento de tesis consideran que los

accionadores de los cuales esta provisto el efector son ideales, es decir, los actua-

dores proporcionan pares y fuerzas proporcionales a sus entradas. En caso de ser

necesaria la inclusion de la dinamica del actuador, solo debe sustituirse el modelo

matematico del mismo en la dinamica del efector sin verse afectado el sistema de control

[Liu y Goldenberg 1993].

Como se desea que los dedos de la mano describan repetidamente un movimiento

circular, el tipo de controladores empleados para la simulacion en Matlabr, deben ser

controladores de movimiento. La conclusion parece ser bastante logica sin embargo es

necesario definir el tipo de controladores a emplear de acuerdo con la aplicacion para

la cual se requiere.

El estudio de las diferentes leyes de control de movimiento para robots manipuladores

demuestra que el control de par calculado es uno de los mejores controladores repor-

tados en la literatura, esto debido principalmente a la facilidad de implementacion y


a que cumple en buena manera con el objetivo de control [Kelly y Santibanez 2003],

[Ollero 2001], [Spong y Vidyasar 1989] entre otros.

3.3.1. Control de par calculado (CPC)

Considerese el modelo dinamico de robots manipuladores como,

M(q)q + C(q, q)q + G(q) + τd = τ (3.11)

donde τd representa las posibles perturbaciones que afectan la dinamica del robot,

q(t) ∈ Rn y τ esta dado en Volts (la relacion voltaje de entrada par de salida es lineal).

Lo anterior supone que el modelo del actuador (para este caso de estudio motores de

cd) de cada articulacion esta incluido en el modelo del robot manipulador.

Por simplicidad se reescribe la ecuacion (3.11) de la siguiente manera,

M(q)q + N(q, q) + τd = τ N(q, q) = C(q, q)q + G(q) (3.12)

y se define el error de seguimiento articular como, e(t) = qd(t) − q(t), e(t) ∈ (R)n y

sus derivadas como, e(t) = qd(t) − q(t) y e(t) = qd(t) − q(t), con qd(t) una trayectoria

deseada o calculada previamente.

Si de (3.12) se resuelve para q y se sustituye en la expresion de la segunda derivada

del error de seguimiento se obtiene,

e(t) = qd + M(q)−1 [N(q, q) + τd − τ ] (3.13)

De donde se puede definir la funcion de entrada de control como,

u = qd + M(q)−1 [N(q, q)− τ ] + w (3.14)

con w = M(q)−1τd. Se supone que la perturbacion es desconocida por lo que de aquı en

adelante se suprimira el termino w. Con esta ley de control es posible redefinir el vector

de estados del robot resultando,

qe =[

eT eT]T

(3.15)

la ley de control de par calculado se obtiene invirtiendo la expresion (3.14) sin el termino

w. Quedando,

τ = M(q) [qd − u] + N(q, q) (3.16)

Debido a que el objetivo de control es, encontrar una u de tal manera que,

lımt→∞

e(t) = 0 (3.17)


La seleccion de la u de control dependera de las necesidades del sistema de control,

es decir, de la aplicacion para la cual esta destinado el robot. Una forma de calcular u

es como una retroalimentacion PD, por ejemplo,

u = −Kp e−Kv e (3.18)

Entonces, la ley de control PD de par calculado (PDPC) queda finalmente como,

τ = M(q) [qd + Kv e + Kp e] + C(q, q) + G(q) (3.19)

El control de par calculado puede variar de acuerdo a la eleccion de la u de control.

El objetivo de control de movimiento es encontrar una funcion vectorial τ de manera

tal que las posiciones articulares q asociadas a las coordenadas articulares del robot

sigan con precision a qd, una trayectoria deseada.

3.3.2. Control basado en pasividad (CBP)

El control de movimiento es por naturaleza no lineal. Los estudios realizados en este

tema han arrojado soluciones diversas para este problema, de los cuales el control de

par calculado es actualmente el mejor conocido. Sin embargo el control de par calculado

logra el objetivo de control empleando el concepto de linealizacion por retroalimentacion

de estados. Esto supone por otro lado, que si el controlador de movimiento empleado

considera la dinamica no lineal del robot, su desempeno sera mucho mejor que el del

control de par calculado.

En anos recientes, el ya bien conocido enfoque de control de robots basado en pa-

sividad ha ganado mucha atencion, ya que, contrariamente al control de par calculado,

trata el problema explotando la estructura fısica del modelo del robot.

La idea principal de este enfoque es moldear la funcion de energıa natural del sistema

de robot de manera tal que se logre el objetivo de control. Esto se hace mediante la

construccion de un controlador que encuentra una funcion de energıa deseada y adiciona

amortiguamiento via retroalimentacion de velocidad para propositos de estabilizacion

asintotica.

En 1981 Takegaki y Arimoto ([Paden and Panja 1988]) presentaron una metodologıa

de diseno de controladores basados en pasividad para resolver el problema de control

de posicion cuyo objetivo consiste en posicionar al robot en alguna posicion deseada qd,

haciendo que exista un mınimo en (e, q) = (0, 0), donde e = qd − q representa el error

de posicion.

El esquema de Takegaki y Arimoto esta sustentado en una simple idea: compen-

sar, por medio de retroalimentacion de la posicion, las fuerzas gravitacionales y en-

tonces anadir fuerzas articulares para lograr tener un mınimo en la posicion deseada y


garantizar mediante la adicion de amortiguamiento la convergencia de los estados del

manipulador a la posicion deseada.

Para ilustrar lo anterior se define la ley de control de posicion de Takegaki y Arimoto

como,

τ = G(q)−Kp e + v (3.20)

donde v representa una nueva entrada de control definida como v = −Kde.7 Esta

eleccion de la ley de control modifica la funcion de energıa mecanica del robot en lazo

cerrado en,

H(e, q) =1

2qT M(q)q +

1

2eT Kp e (3.21)

y,

H(e, q) = qT v (3.22)

La expresion (3.22) implica que el sistema en lazo cerrado es marginalmente estable

y es pasivo de la nueva entrada v a q.8

El control de robots a altas velocidades requiere mas que un controlador de posicion

de Takegaki y Arimoto. En lugar de especificar un punto deseado en el espacio de tra-

bajo del manipulador, se especifica ahora una trayectoria o movimiento y se disena un

controlador el cual garantiza que los estados del manipulador converjan a esa trayecto-

ria. [Paden and Panja 1988] realizaron una extension de la ley de control de posicion de

Takegaki y Arimoto, para resolver el problema de movimiento, el controlador resultante

puede verse como una re-configuracion de la ley de control de par calculado. El analisis

del esquema sistema/controlador se realizo empleando el teorema de Matrosov.9

Entonces el problema del control de movimiento se plantea como; dado un movimiento

deseado qdique tiene primera y segunda derivada, encontrar las fuerzas articulares que

garanticen que los estados del manipulador[

qT qT]T

, converjan a[

qTd qT

d

]Tpara

cualquier condicion inicial [Paden and Panja 1988].

Se elige la funcion candidata de Lyapunov V (x) = V (e, e) como,

V (x) =1

2eT M(q)e +

1

2eT Kp e (3.23)

donde Kp simetrica y definida positiva. Diferenciado la funcion candidata de Lyapunov

con respecto al tiempo se tiene,

V (x) = eT M(q)e +1

2eT M(q)e + eT Kp e (3.24)

V (x) = eT M(q) (q − qd) +1

2eT M(q)e + eT Kp e (3.25)

7 Para mayor informacion acerca de la ley de control de Takegaki y Arimoto Revisar[Berguis and Nijmeijer 1993], [Paden and Panja 1988] y [Ortega et. al. 1998] por citar algunos.

8 Ver [Ortega et. al. 1998b].9 Consultar [Paden and Panja 1988].


Sustituyendo la dinamica (3.8) y explotando sus propiedades, se tiene,

V (x) = eT [τ − C(q, q)q −G(q)]− eT M(q)qd +1

2eT M(q)e + eT Kp e (3.26)

V (x) = eT τ − eT C(q, q)q − eT G(q)− eT M(q)qd +1

2eT M(q)e + eT Kp e (3.27)

V (x) = eT τ − eT C(q, q)q − eT G(q)− eT M(q)qd +1

2eT M(q)e + eT Kp e

+ eT C(q, q)e− eT C(q, q)e (3.28)

V (x) = eT τ + eT

[1

2M(q)− C(q, q)

]e− eT G(q)− eT M(q)qd + eT Kp e

− eT C(q, q)qd (3.29)

Si se elige τ (que es la ley de control) de la siguiente manera,

τ = M(q)qd + C(q, q)qd + G(q)−Kp e + v (3.30)

donde,

v = −Kve (3.31)

con Kv definida positiva. De esta manera la derivada de la funcion de Lyapunov V (x)

queda,

V (x) = eT v (3.32)

la cual es semi-definida negativa en el error de seguimiento. La ley de control 3.30

define un mapeo pasivo entre v y e. Esta ley de control preserva la propiedad natural

de pasividad del efector.10


La teorıa de estabilidad de Lyapunov estudia el comportamiento de sistemas dinami-

cos descritos por ecuaciones diferenciales de la forma, x = f(x). Entre los conceptos

basicos de la teorıa de Lyapunov, destacan, equilibrio, estabilidad, estabilidad asintotica

y estabilidad exponencial.

La estabilidad del efector juega su rol mas importante en el analisis de los esque-

mas sistema/control. A traves de Lyapunov es posible tambien, disenar controladores

como en el caso del CBP. La ley de control de par calculado puede obtenerse al igual

que el CBP aplicando el denominado metodo directo de Lyapunov como lo demuestra


10 Para mayor detalle de la pasividad de los sistemas E-L consultar [Ortega et. al. 1998].

3.4. Aspectos relevantes 55

Para realizar la simulacion o implementacion de controladores de movimiento de

robots, se requiere tener conocimiento del espacio de trabajo del efector, y ademas, el

robot no debe interactuar con su medio ambiente.

Las leyes de control presentadas, suponen que el actuador guarda una relacion lineal

entre el voltaje de entrada y el par de entregado a las articulaciones, tambien, que el

modelo dinamico del efector se conoce perfectamente.

La ley de control (3.30) se obtuvo siguiendo el trabajo de [Paden and Panja 1988],

empleando la misma funcion candidata de Lyapunov pero con ligeras variantes en el

desarrollo de V (x).

Capıtulo 4

Resultados

4.1. Espacio de trabajo

Conocidos los modelos matematicos del efector, es necesario calcular el espacio de

trabajo de los dedos de la mano robotica y de esta manera poder proponer el movimiento

circular de los dedos, esto para no exceder los lımites de voltaje y par que los actua-

dores deben proporcionar. El espacio de trabajo de un manipulador es el conjunto de

puntos que es capaz de alcanzar sin exceder o forzar alguna de sus caracterısticas de

construccion.

Dependiendo de la configuracion y la longitud de los eslabones de cada dedo del

efector, estos pueden alcanzar un conjunto (o coleccion) de puntos llamados espacio de

trabajo. El calculo del espacio de trabajo de cada robot esta relacionado unicamente

con su configuracion.

El espacio de trabajo se puede encontrar matematicamente escribiendo las ecuaciones

que describen las articulaciones y eslabones del robot, incluyendo sus limitaciones, por

ejemplo los rangos de movimiento de cada articulacion. De manera alterna el espacio

de trabajo puede ser encontrado empıricamente, moviendo cada articulacion a traves

de todo su rango de movimiento y combinando todos los puntos que puede alcanzar y

restando los que no.

Se debe conocer perfectamente el espacio de trabajo de un robot para ası proponer

un punto,una trayectoria o un movimiento deseado que el robot sea capaz de alcanzar.

De la tabla 2.2, se tiene que un dedo de la mano humana puede moverse en cada

articulacion de 0 − 90o, 0 − 110o y de 0 − 70o, correspondientemente a las falanges

proximal, medial y distal. Las longitudes de cada uno de los eslabones de los dedos de

la mano robotica se presentan en el Anexo C.

Empleando la informacion mencionada anteriormente y aplicando un algoritmo pro-

gramado en Matlabr se obtuvo la Figura 4.1.

Las cruces indican los puntos que cada uno de los dedos es capaz de alcanzar con

57

58 Capıtulo 4. Resultados

las limitaciones expuestas. La circunferencia trazada en lınea continua ejemplifica de

manera grafica el movimiento circular que se pretende sea el objeto de estudio. Este

movimiento se realiza completamente en un plano bidimensional descrito por cada dedo

del efector.

Suponga que suspende su mano en el aire y con su dedo ındice empieza a trazar una

circunferencia en el espacio flexionando y extendiendo su dedo. Tal movimiento repıtalo

para cada dedo sin mover de posicion la mano para ello. lo anterior esta representado

en las graficas de la Figura 4.1.

-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-2

0

2

4

6

8

10Espacio de trabajo y trayectoria deseada para el dedo Índice

Unidades (cm)

Uni

dade

s (c

m)

-6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

2

4

6

8

10Espacio de trabajo y trayectoria deseada para el dedo Medio

Unidades (cm)

Uni

dade

s (c

m)

-6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

2

4

6

8

10Espacio de trabajo y trayectoria deseada para el dedo Pulgar

Unidades (cm)

Uni

dade

s (c

m)

-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-2

0

2

4

6

8

10Espacio de trabajo y trayectoria deseada para el dedo Anular

Unidades (cm)

Uni

dade

s (c

m)

Figura 4.1: Espacios de trabajo de los dedos de la mano robotica y descripcion delmovimiento circular.

Para calcular el espacio de trabajo con Matlabr se introduce (4.1) en un conjunto de

ciclos anidados que generan todas las posibles combinaciones de los angulos articulares

de cada dedo de la mano robotica. El barrido de valores se hace desde cero hasta

los lımites para las articulaciones de los dedos empezando por la articulacion 1 de

[0− 90], la articulacion 2 de [0− 110] y finalmente la articulacion 3 de [0− 70]. Donde

las articulaciones 1, 2 y 3 corresponden a θ1, θ2 y θ3. Todos los valores estan dados en

4.1. Espacio de trabajo 59

grados.

x = l1 cos θ1 + l2 cos(θ1 + θ2) + l3 cos(θ1 + θ2 + θ3)

y = l1 sen θ1 + l2 sen (θ1 + θ2) + l3 sen (θ1 + θ2 + θ3) (4.1)

El movimiento deseado para cada dedo de la mano robotica puede representarse como

“trayectorias” articulares a traves de la cinematica inversa presentada en el Capıtulo

2. El resultado de aplicar la solucion a la cinematica inversa a los dedos del efector se

muestra en la Figura 4.2.

0 2 4 6 8 100

20

40

60

80

100Trayectorias deseadas del dedo Pulgar

Tiempo (segundos)

Coo

rden

adas

art

icul

ares

(gr

ados

)

0 2 4 6 8 100

20

40

60

80

100Trayectorias deseadas del dedo Índice

Tiempo (segundos)

Coo

rden

adas

art

icul

ares

(gr

ados

)

0 2 4 6 8 100

20

40

60

80

100Trayectorias deseadas del dedo Medio

Tiempo (segundos)

Coo

rden

adas

art

icul

ares

(gr

ados

)

0 2 4 6 8 100

20

40

60

80

100Trayectorias deseadas del dedo Anular

Tiempo (segundos)

Coo

rden

adas

art

icul

ares

(gr

ados

)

qd1qd2qd3

Figura 4.2: Trayectorias articulares para describir un movimiento circular de los dedosdel efector.

Observese que ninguna de las articulaciones de los dedos del efector excede los lımites

de movimiento presentados en la Tabla 2.2. En la Figura 4.2 se introduce parte de

la nomenclatura empleada en los controladores de movimiento usados para este caso

de estudio. Los resultados obtenidos seran de gran utilidad en la simulacion de los

controladores.

Las expresiones matematicas equivalentes a los movimientos representados en la Figu-

ra 4.2 que cada dedo del efector debe realizar estan dados por,


Para los dedos Indice y Anular

xd = 1 + 0,7 sen t (4.2)

yd = 7 + 0,7 cos t (4.3)

Para los dedos Medio y Pulgar

xd = 0,8 sen t (4.4)

yd = 7 + 0,8 cos t (4.5)

4.2. Implementacion en Matlabr del PD de par cal-

culado (PDPC)

El espacio de trabajo y los movimientos deseados para cada dedo del efector (Figura

4.1) se definieron como,

Dedos Indice y Anular

xd = 1 + 0,7 sen t

yd = 7 + 0,7 cos t (4.6)

Dedos Medio y Pulgar

xd = 0,8 sen t

yd = 7 + 0,8 cos t (4.7)

y la ley de control PD de par calculado (PDPC).

τ = M(q) [qd + Kv e + Kp e] + C(q, q) + G(q) (4.8)

Para fines de simulacion las matrices de sintonizacion, Kp y Kv pueden ser diagonales,

asegurando de esta manera un control completamente desacoplado entre articulaciones.

Las eleccion de las matrices Kp y Kv puede hacerse especıficamente como,

Kp = diagw2

1, · · · , w2n

Kv = diag 2w1, · · · , 2wn (4.9)

Con esta eleccion, cada union responde igual que un sistema lineal de segundo orden

crıticamente amortiguado con ancho de banda wi. El ancho de banda wi determina la

4.2. Implementacion en Matlabr del PD de par calculado (PDPC) 61

velocidad de respuesta de la union y, en consecuencia, la taza de decaimiento exponencial

del error articular e y su derivada e; [Kelly y Santibanez 2003].

Recuerdese que se desea que los dedos del efector describan un movimiento circular

en su espacio de trabajo. Entonces para poder formular la ley de control en Matlabr,

se requiere de una relacion directa entre el espacio cartesiano de trabajo de los dedos

y las coordenadas articulares del efector. Dicha relacion de los movimientos articulares

deseados, se calcula haciendo uso de la solucion a la cinematica inversa presentada en

el Capıtulo 2. Ver tambien Figura 4.2.1

De acuerdo con (4.9), las matrices de sintonizacion Kp y Kv, se eligieron,

Kp = diag[

502 502 502]

Kv = diag[

100 100 100]

(4.10)

de manera tal que w = 50.

En la Figura 4.3 se ilustra el esquema de control PDPC construido en Simulink de

Matlabr. El control fue simulado con los siguientes parametros de simulacion.

Tabla 4.1: Parametros de simulacion del PDPC.

Parametro Configuracion

Tiempo de simulacion (Stop Time) 10 segundos

Opciones de la solucion (Solver options) Paso fijo (Fixed-step)

Solucionador (Solver) ode45 (Domain-Price)

Tamano del paso fijo (Fixed-step size) 0.01

Los resultados de simulacion se encuentran graficados en la Figura 4.4. Observese

como las componentes de error de seguimiento e tienden asintoticamente a cero.

En la Figura 4.4, Error 1, Error 2 y Error 3 (con Error = q − qd), corresponden a

los errores de cada articulacion de cada dedo de la mano robotica. A simple vista, el

control PDPC resulta ser un buen controlador al problema de control de movimiento

planteado.

Una de las principales limitantes de la implementacion de este control, radica en el

hecho de que es estrictamente necesario tener conocimiento exacto del modelo dinamico

del efector (conocer las matrices M(q), C(q, q) y G(q)), ası como contar con sus estados

completos, esto es, tanto las posiciones como las velocidades articulares.

Notese como existe una pequena oscilacion al rededor del cero de las senales de

error, esto puede deberse a una mala sintonizacion, al metodo de integracion empleado

1 CineInvMedioyPulgar.mdl, CineInvindice.mdl y CineInvAnular.mdl


t

tiempo desimulación

q's-pulgar

q's-medio

q's-indice

q's anular

e's pulgar

e's medio

e's indice

e's anular

qds-dedos

Trayectoriasdeseadas

tau1pul

tau1ind

tau1med

tau1anu

edospul

edosind

edosmed

edosanu

Mano cenidet

qd-dedos

edos-pul

edos-ind

edos-med

edos-anu

taus-pul

e-pul

taus-ind

e-ind

taus-med

e-med

taus-anu

e-anu

Control de parcalculado

Clock

<q1p>

<q2p>

<q3p>

<q1i>

<q2i>

<q3i>

<q1m>

<q2m>

<q3m>

<q1a>

<q2a>

<q3a>

Figura 4.3: Esquema de simulacion del control PD de par calculado.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-20

0

20

40

60

80Errores articulares del dedo Pulgar

Tiempo (segundos)

Err

or a

rtic

ular

(gr

ados

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-10

0

10

20

30

40

50

60Errores articulares del dedo Índice

Tiempo (segundos)

Err

or a

rtic

ular

(gr

ados

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-20

0

20

40

60

80Errores articulares del dedo Medio

Tiempo (segundos)

Err

or a

rtic

ular

(gr

ados

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-10

0

10

20

30

40

50

60Errores articulares del dedo Anular

Tiempo (segundos)

Err

or a

rtic

ular

(gr

ados

)

Error 1Error 2Error 3

Figura 4.4: Resultados de simulacion del control PD de par calculado.

4.3. Implementacion en Matlabr del control basado en pasividad (CBP) 63

o a la linealizacion realizada por el control de par calculado. Esta variacion disminuye

empleando el CBP, el cual considera al momento de disenar la ley de control, la dinamica

no-lineal del efector.

4.3. Implementacion en Matlabr del control basado

en pasividad (CBP)

La naturaleza no-lineal del enfoque de control no permite que exista o se pueda

desarrollar una metodologıa de sintonizacion, por lo que la eleccion de las matrices de

sintonizacion se calculan a prueba y error. Se eligieron las matrices de sintonizacion Kp

y Kv, como matrices diagonales, asegurando que el CBP para cada dedo del efector sea

desacoplado. Las matrices de sintonizacion quedan entonces,

Kp = diag[

602 602 602]

Kv = diag[

80 80 80]

(4.11)

En la Figura 4.5 se presenta el esquema de simulacion del CBP empleado en los dedos

Pulgar y Medio.2

Los resultados de simulacion del CBP se muestran en la Figura 4.6. El control basado

en pasividad al igual que el PD de par calculado cumple con el objetivo de control, sin

embargo, se observa que los errores de seguimiento articular generados por el CBP

tienden mas rapido a cero que los encontrados por el PDPC.

Esta aseveracion puede no ser suficiente para demostrar o comprobar que el CBP

resulta tener un mejor comportamiento que el PDPC para este caso de estudio. Por ello

se hace necesario recurrir a alguna medida de error que permita observar numericamente

el comportamiento de ambos controladores al momento de resolver el mismo problema,

en el marco de cantidad de error y rapidez.

Al igual que el control PDPC el CBP requiere del conocimiento exacto del modelo

dinamico de la mano robotica y del vector de mediciones de posicion y velocidades ar-

ticulares. El ingeniero debe tener en cuenta esto al momento de implementar cualquiera

de los dos controladores de movimiento descritos.

En caso de no estar disponibles los vectores de medicion, las leyes de control no

podran implementarse. Para solucionar ese problema deben disenarse esquemas contro-

lador/observador para estimar el vector de velocidades articulares.3

La Tabla 4.2 muestra los parametros de configuracion para las simulaciones del CBP.

2 El esquema para los dedos restantes es similar al presentado en la Figura 4.5.3 Consultar [Berguis and Nijmeijer 1993] como un ejemplo de diseno de observadores aplicados al

control de robots manipuladores.


Control basado en pasividaddedos medio y pulgar

timep

tiempo desimulación

tau3p

tau3-pul

tau2p

tau2-pul

tau1p

tau1-pul

[tmp,qd3mp]

qd3-pul

[tmp,qd2mp]

qd2-pul

[tmp,qd1mp]

qd1-pul

q3p

q3-pul

q2p

q2pul

q1p

q1-pul

error articular

e3p

e3-pul

e2p

e2-pul

e1p

e1-pul

Velocidad Articular

pulgar

Pulgar

Posición Articular

qd1

qd2

qd3

q1

q2

q3

q4

q5

q6

tau1-pul

tau2-pul

tau3-pul

e1-pul

e2-pul

e3-pul

Control basado en pasividad

Clock

q1

q2

q3

q4

q5

q6

<q6>

<q5>

<q3>

<q2>

<q1>

<q4>

Figura 4.5: Esquema de simulacion del CBP para los dedos Pulgar y Medio.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-20

0

20

40

60

80Errores articulares del dedo Pulgar

Tiempo (segundos)

Err

or a

rtic

ular

(gr

ados

)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-10

0

10

20

30

40

50

60Errores articulares del dedo Índice

Tiempo (segundos)

Err

or a

rtic

ular

(gr

ados

)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-20

0

20

40

60

80Errores articulares del dedo Medio

Tiempo (segundos)

Err

or a

rtic

ular

(gr

ados

)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-10

0

10

20

30

40

50

60Errores articulares del dedo Anular

Tiempo (segundos)

Err

or a

rtic

ular

(gr

ados

)

Error 1Error 2Error 3

Figura 4.6: Resultados de simulacion del control basado en pasividad.

4.4. Comparacion del desempeno de los controladores 65

Tabla 4.2: Parametros de simulacion del CBP.

Parametro Configuracion

Tiempo de simulacion (Stop Time) 10 sec

Opciones de la solucion (Solver options) Paso variable (Variable-step)

Solucionador (Solver) ode45(Domain-Price)

Tamano del paso fijo (Fixed-step size) 0.1

La variante de la opcion de solucion en la simulacion de ambos controladores se debe

al hecho, de tratar comparar el desempeno de los controladores en las mejores condi-

ciones. En paso-variable (Variable-step) el PDPC presenta una oscilacion considerable

alrededor del cero del error articular, por lo que se opto por cambiar paso variable por

paso fijo en los parametros de configuracion de la simulacion del PDPC.

4.4. Comparacion del desempeno de los controladores

En la simulacion o implementacion de controladores es necesario tener alguna medida

que valore la calidad de la sintonizacion, esa medida puede obtenerse comparando el

resultado obtenido con el movimiento deseado.

Analizar a simple vista los vectores de error encontrados y graficados en las Figuras

4.4 y 4.6, no determina de forma cuantitativa el controlador con mejor comportamien-

to al movimiento deseado. Es por ello que se hace necesario emplear una alternativa

cuantitativa de calculo de error, de manera que se tenga una cantidad de error que

demuestre el funcionamiento de los controladores simulados.

De acuerdo al estudio realizado existen diversas medidas de error que pudieran em-

plearse para determinar que controlador resulta mas conveniente al momento de resolver

el problema de movimiento. Entre ellos se encuentran el error cuadratico medio (ECM).

El ECM da una medida de las diferencias en promedio entre los movimientos deseados

y los observados.

La expresion (4.12) representa la formula del ECM, empleada para calcular las can-

tidades de error de las simulaciones,

ECM =

√√√√√√√

n∑i=1

(ei − e)2

n(n− 1)

(4.12)


donde

e =

n∑i=1

ei

n

En la Tabla 4.3 se presentan los resultados de aplicar el concepto de ECM a cada

dedo del efector. La columna ECM(CBP) contiene las medidas de error articular resul-

tado del control basado en pasividad aplicado al acaso de estudio. De manera similar,

ECM(CPC) contiene las cantidades de error del control PD de par calculado.

Tabla 4.3: Medidas de error de los dedos del efector.

Dedos ECM (CBP) ECM (CPC)

Anular 0.052259o 0.067668o

Indice 0.074442o 0.097324o

Medio y Pulgar 0.0102973o 0.0135191o

Notese de la Tabla 4.3 que las cantidades de error articulares obtenidas del CBP son

menores que las del PDPC. De lo anterior puede concluirse de manera superficial que el

CBP es el mejor controlador de los dos analizados en este documento de tesis. El CBP

logra su objetivo en un menor tiempo y ademas con una cantidad de error menor que

el PDPC.

Ambos controladores cumplen con el objetivo de control (describir un movimiento

circular flexionando y extendiendo los dedos de la mano robotica), sin embargo el uso

de una u otra tecnica dependera siempre de la aplicacion para la cual este destinada el

efector.

La diferencia numerica entre los ECM de los controladores, puede deberse especıfi-

camente al hecho de que el controlador basado en pasividad considera la dinamica

no-lineal del efector y el PDPC emplea la llamada linealizacion por retroalimentacion

de estados.

4.5. Resultados

Las graficas de error muestran que el CBP tiende en un menor tiempo a cero, en

comparacion con el PDPC, sin embargo dicha aseveracion puede ser ambigua pues no

es del todo claro y no podrıa asegurarse que el CBP resulte ser mejor controlador de

movimiento que el PDPC para la condicion con la que se realizo la comparacion.

Para ello es necesario alguna medida de error que ayude a clarificar el comportamien-

to de ambos controladores ante el mismo problema. Una opcion es emplear el error

4.6. Aspectos relevantes 67

cuadratico medio, para calcular las cantidades de error de cada uno de los dos del efec-

tor y poder ası, de esta manera, determinar numericamente que controlador tiene menor

cantidad de error.

La comparacion en el desempeno de ambos controladores (CPC y CBP) mostro que

el CBP tiene una menor cantidad de error que el CPC, sin embargo, el uso de una u

otra ley de control dependera del ingeniero y de la aplicacion para la cual esta disenado

el efector.

La implementacion fısica de cualquiera de los controladores propuestos, se encuen-

tra limitada por la necesidad de conocer las velocidades articulares del efector, ya que

el mismo solo cuenta con sensores de posicion. Una de las soluciones propuestas es,

derivar el vector de posiciones articulares empleando un filtro, o con el diseno de obser-

vadores no lineales que estimen las velocidades articulares, estableciendo un esquema

controlador/observador.


Las tecnicas de control de movimiento empleadas cumplen con el objetivo de control

de una manera satisfactoria, considerando el hecho de que se debe de disponer de los

vectores de posiciones y velocidades articulares de los dedos del efector, ası como, del

modelo dinamico exacto del mismo.

Resultado de aplicar el concepto de error cuadratico medio a los vectores de error

articular encontrados en las simulaciones, se deduce que el CBP tiene un mejor com-

portamiento que el PDPC. Este mejor comportamiento se traduce como mas veloz y

mas estable en el marco de seguimiento de la referencia.

La implementacion de cualquiera de los dos controladores, dependera las habilidades

de programacion del ingeniero y de la aplicacion para la cual este destinado el efector.

Capıtulo 5

Conclusiones y trabajos futuros

5.1. Comentarios generales

El analisis y control de robots puede ser una tarea no muy sencilla, principalmente

con aquellos robots cuyo diseno antropomorfico emula alguna extremidad u organo

humano.

El principal problema al que puede enfrentarse el ingeniero al intentar controlar la

posicion o el movimiento de robots, es encontrar los modelos matematicos que describen

la posicion y orientacion del mismo, ası como, aquel que representa su comportamiento

dinamico.

Existen dos problemas asociados al modelado cinematico de robots manipuladores. El

primero de ellos se conoce como Problema cinematico directo. La tecnica de modelado

cinematico directo de robots mas empleada en la literatura es la convencion o Formalis-

mo Denavit-Hartenberg, que esta sustentado en la determinacion de cuatro cantidades,

asociadas a cada eslabon del manipulador, apoyandose en la asignacion de sistemas

coordenados a cada articulacion del mismo y, al calculo de una matriz llamada, matriz

de transformacion homogenea H. En la matriz H se encuentra contenida informacion

de la posicion y la orientacion del ultimo eslabon del manipulador o en este caso de

estudio el punto terminal del ultimo eslabon de cada dedo de la mano robotica (siendo

este el equivalente de yema en una mano humana).

El modelo cinematico directo de un manipulador solo expresa la posicion y orientacion

de su ultimo eslabon respecto a un sistema coordenado fijo o de referencia, generalmente

asignado a la base inmovil del mismo.

El segundo problema asociado a la cinematica de robots es, el problema cinematico

inverso, el cual consiste en encontrar expresiones explıcitas para las variables articu-

lares en funcion de la posicion o movimiento deseado, segun sea el problema de control.

El problema cinematico inverso no es un problema facil de solucionar, ya que debido a

la configuracion del robot, puede no existir una solucion o no ser unica.

69

70 Capıtulo 5. Conclusiones y trabajos futuros

El modelo cinematico de robots es suficiente cuando se desea realizar un control de

posicion puro, es decir, cuando solo se desea posicionar al robot en un punto especıfico

de su espacio de trabajo. Sin embargo, cuando se desea ademas controlar la velocidad

con la que el movimiento deseado se realice, se requiere de un modelo que considere las

fuerzas aplicadas a los actuadores.

El modelo que involucra las fuerzas de entrada necesarias mencionadas anterior-

mente, se llama modelo dinamico. El modelo dinamico de robots manipuladores puede

calcularse, bien empleando las leyes de Newton o tecnicas variacionales, como el For-

malismo de Euler-Lagrange.

Si la estructura o configuracion mecanica de los robots no es muy compleja, las

leyes de Newton son suficientes para encontrar sus modelos dinamicos. Sin embargo,

conforme la complejidad de la configuracion del robot aumenta, se complica de manera

significativa el modelado. Para resolver este inconveniente, se hace uso de metodos

variacionales basados en funciones de energıa. Entre ellos se encuentra la ecuacion de

E-L, la cual esta basada en la determinacion de una funcion denominada, Lagrangiano.

El lagrangiano esta definido como la diferencia entre la energıa cinetica K(q, q) y la

energıa potencial U(q) del efector.

La teorıa de estabilidad de Lyapunov estudia el comportamiento de sistemas dinami-

cos descritos por ecuaciones diferenciales de la forma, x = f(x). Entre los conceptos

basicos de la teorıa de Lyapunov, destacan, equilibrio, estabilidad, estabilidad asintotica

y estabilidad exponencial.

La estabilidad del efector juega su rol mas importante en el analisis de los esque-

mas sistema/control. A traves de Lyapunov es posible tambien, disenar controladores

como en el caso del CBP. La ley de control de par calculado puede obtenerse al igual

que el CBP aplicando el denominado metodo directo de Lyapunov como lo demuestra


Mano robotica cenidet

El efector, es una mano robotica antropomorfica con 4 dedos y 4 grados de libertad

por dedo capaz de realizar movimientos de flexion y extension ası como movimientos de

aduccion/abduccion. Los actuadores son motores de corriente directa que transmiten

el movimiento por medio de bandas a cada una de las articulaciones de los dedos del

efector.

La propuesta del tema de tesis “Analisis y control de un efector reproduciendo un

movimiento circular de una mano”, se hizo basandose en los datos tecnicos de cons-

truccion extraıdos del trabajo previo “Diseno de un sistema articulado emulando el

movimiento de una mano” presentado por Cimadevilla y Herrera en 2006, donde se

describe el diseno mecanico y la construccion de la mano robotica antropomorfica

5.1. Comentarios generales 71

“cenidet”.

La mano robotica cuenta con codificadores (encoders), por lo que el vector de posi-

ciones articulares, esta disponible. Para la simulacion de ambos controladores, se supone

que el vector de velocidades articulares tambien esta disponible.

Cinematica del efector

Cualquier robot puede describirse en forma cinematica proporcionando los valores

de cuatro cantidades para cada eslabon. Dos de ellas describen el eslabon en sı, y los

otros dos describen la conexion del eslabon con un eslabon adyacente. En el caso de una

articulacion angular θi se llama variable de articulacion o variable articular y las otras

tres cantidades son parametros de eslabon fijos. Para las articulaciones prismaticas,

di es la variable de articulacion y las otras tres cantidades son parametros de eslabon

fijos. La definicion de mecanismos por medio de estas cantidades es una convencion o

formalismo al que generalmente se le conoce como notacion Denavit-Hartenberg. Y a

los parametros del robot Parametros Denavit-Hartenberg.

El calculo de la cinematica inversa, sin embargo, no puede determinarse de una

manera sistematica como el problema cinematico directo. La solucion dependera de la

habilidad matematica del ingeniero, ası como de las caracterısticas fısicas del manipu-

lador.

En este trabajo de tesis se presenta un algoritmo para el calculo de la cinematica

inversa de cada dedo del efector considerados como manipuladores planares independi-

entes y completamente actuados.

Control de par calculado

Los controladores empleados se propusieron inicialmente como un controlador lineal

y uno no-lineal (basado en pasividad). El estudio de controladores arrojo el siguiente

resultado.

La tecnica convencional empleada para realizar seguimiento a trayectorias es el con-

trol de par calculado (CPC), que es una tecnica sustentada en el concepto de lineal-

izacion por retroalimentacion de estados. Existen variantes del CPC segun las necesi-

dades de cada robot, para este caso de estudio se eligio el controlador PD de par

calculado, debido a la simplicidad de su implementacion y porque de acuerdo con la

literatura, es el mejor conocido hasta el momento.

Se supuso que los actuadores son ideales (existe una relacion directa entre la senal

de voltaje de entrada y el par mecanico entregado a las articulaciones del efector).

La sintonizacion del controlador PD se realizo con matrices de ganancias diagonales

dando como resultado un control desacoplado sin llegar a ser una estrategia de control


articular, ya que cada ley de control construida es capaz de controlar el movimiento

completo de un dedo del efector.

Control basado en pasividad

La tecnica de diseno de controladores basados en pasividad, es llamada ası por su

capacidad de preservar la pasividad del sistema de robot en lazo cerrado. La filosofıa

del diseno consiste en moldear la funcion de la energıa natural del robot de manera

que el objetivo de control se logre. El controlador empleado es una extension del con-

trolador de posicion de Takegaki y Arimoto. La ley de control (3.30) desarrollada por

[Paden and Panja 1988] es una variante del CPC, esto es, una descomposicion del es-

quema de control en un control PD articular mas un lazo de compensacion dinamica.

Al igual que el CPC, para la simulacion de CBP se requiere tener conocimiento exacto

del modelo dinamico del efector y disponer del vector de estados completo (posiciones

y velocidades articulares). Las matrices de ganancias empleadas para la sintonizacion

fueron encontradas empıricamente, puesto que por la naturaleza no lineal del proble-

ma de control movimiento aun no existe un formalismo que ayude a encontrar dichas

matrices en forma sencilla.

Sin embargo, se propusieron matrices diagonales para asegurar un controlador de-

sacoplado. Tanto el CPC como el CBP requieren de movimientos articulares, y es

necesario asegurar que dichos movimientos se encuentren completamente contenidos

en el espacio de trabajo del efector. De no ser ası el robot no sera capaz de describir el

movimiento deseado, exigiendo un esfuerzo inutil a los actuadores ocasionando incluso

la destruccion del efector.

Espacio de trabajo y movimiento deseado

El calculo de los movimientos deseados se realizo encontrando una solucion a la

cinematica inversa del efector. La cinematica inversa es un caso de estudio particular

para cada tipo de robot. No existe un algoritmo que ayude a encontrar las soluciones

requeridas para el control. Si no es posible encontrar una solucion a la cinematica

inversa, el seguimiento a trayectorias no es posible desde este punto de vista.

Los movimientos propuestos, son movimientos circulares descritos por los dedos del

efector cada uno en su espacio bidimensional de trabajo. Se eligieron movimientos dife-

rentes para los dedos, debido a las caracterısticas de construccion del efector, sin em-

bargo, conocido el espacio de trabajo se puede proponer cualquier movimiento, siempre

que estos no excedan los lımites de par que los actuadores pueden proporcionar.

5.2. Conclusiones generales 73

5.2. Conclusiones generales

Para poder simular la ley de control PDPC es necesario que el robot se mueva

en un espacio libre, es decir, no debe existir contacto entre el robot y su medio

ambiente.

Tener conocimiento exacto del modelo del robot y tener disponibles todos los

estados del sistema, esto es, posiciones y velocidades articulares.

Se eligieron las ganancias de sintonizacion del CPC de tal manera que se obtuviera

un sistema crıticamente amortiguado, con la finalidad de evitar un sobre-impulso

del sistema, que se reflejarıa directamente en el impacto de la mano robotica con

su superficie de trabajo o entre los dedos.

El CBP al igual que el CPC para su simulacion requiere del conocimiento de las

variables articulares.

Las matrices de sintonizacion del CBP se encontraron empıricamente ya que a

diferencia de CPC no existe una metodologıa establecida para su calculo.

Se propuso que los dedos del efector realizaran movimietos circulares, que estuvie-

ran contenidos dentro del espacio de trabajo de cada dedo del efector, asegurando

ası de alguna manera que los dedos pudieran reproducir dichos movimientos.

De la simulacion de ambos controladores (CPC y CBP) se puede afirmar que para

este caso de estudio el CBP, es un mejor controlador al momento de resolver el

problema de control de movimiento, ya que, genera una menor cantidad de error

articular que el CPC.

Como segundo factor para determinar el buen comportamiento del CBP ante el

CPC, se encontro tambien que el tiempo de estabilizacion del CBP es menor

comparado con el del CPC.

Sin embargo, el uso de una u otra ley de control dependera de las herramientas con

que se cuente para su implementacion y de la aplicacion para la cual se requiera

el efector.


5.3. Trabajos futuros

Se proponen como actividades futuras,

1. Implementar experimentalmente los controladores encontrados en este trabajo.

Empezando por comprobar el modelo dinamico con el comportamiento real de

prototipo de mano robotica desarrollado por Cimadevilla y Herrera.

2. Implementar al prototipo sensores de velocidad y/o posicion de alta resolucion

en las falanges o en su defecto el diseno de esquemas controlador-observador, ya

que el conocimiento de las velocidades articulares es indispensable para realizar

seguimiento a trayectorias.

3. Usar sensores de fuerza (pudiendo ser galgas extensiometricas) para poder realizar

control de fuerza con el efector, es decir, poder reproducir mas movimientos de

la mano humana como sujetar objetos sin romperlos (facilitar la interaccion del

efector con su medio ambiente).

4. Mejorar el diseno de las tarjetas de adquisicion de datos originales o usar tarjetas

disenadas por fabricantes reconocidos. Tambien estudiar el caso en el que los dedos

del efector no sean considerados como manipuladores planares independientes,

ası como, el caso de sistemas sub-actuados.

5. Considerar tecnicas de control alternativas a las presentadas en este trabajo de

tesis, y realizar una comparacion entre ellas y las presentadas, empleando las

mismas condiciones de simulacion.

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Apendice A

Fundamentos matematicos

En el campo de aplicacion de los robots manipuladores se entiende que diversos

objetos o herramientas seran movidos en el plano o en el espacio. Parece entonces natural

desear representar su posicion y orientacion en el plano o en el espacio. Para definir

y manipular cantidades matematicas que representen posicion y orientacion se deben

definir sistemas coordenados y establecer convenciones para su representacion como que

existe un sistema coordenado fijo universo al cual se puede referenciar cualquier cosa.

En este apendice se tratan las matematicas fundamentales empleadas para representar

la posicion y orientacion de objetos rıgidos en el espacio y, las transformaciones entre

sistemas coordenados tales como traslaciones, rotaciones y la combinacion de ambas.

Tambien se discute la nocion de transformacion homogenea; conceptos necesarios para

poder estudiar la cinematica de cualquier manipulador robotico.

Lo expuesto a continuacion es una generalizacion formada a partir de las obras de

[Craig 1989], [Niku 2001] y [Spong y Vidyasar 1989].

A.1. Descripcion: posicion y orientacion en el

plano

Para representar la localizacion de objetos en R2, de manera general y completa se

puede decir que se requieren dos coordenadas y un angulo de orientacion. Si se supone

un sistema coordenado (SC) fijo oxy, donde i y j son vectores de magnitud unitaria.

La representacion de la posicion de un punto con respecto a ese sistema sera con un

vector de posicion ~P , cuyas componentes son,

~P =[

px py

]T(A.1)

Una forma alternativa de representar un punto en R2, es mediante el uso de coordenadas

polares. En este caso las coordenadas son la distancia r del origen al punto P y el angulo

que forma el vector ~P medido con respecto al eje x.

79

80 Apendice A. Fundamentos matematicos

Pxp

yp

x

y

i

j

P

x

y

i

jθ

Pr

r

a) b)

Figura A.1: Representacion de un punto en el plano.

Las componentes del vector ~P se calculan de la siguiente manera,

x = r· cos(θ)

y = r· sin(θ) (A.2)

donde r es la magnitud del vector ~P .

A.2. Descripcion: posicion y orientacion en el espa-

cio

En robotica es de vital importancia representar la posicion de un punto en el plano

o en el espacio (segun la naturaleza del robot), ası tambien la orientacion en el espacio

de un objeto rıgido. El efector final de un manipulador se mueve alrededor de un area

de trabajo y es necesario conocer tanto su posicion como orientacion en el espacio.

Particularmente en este caso de estudio se analizara a cada dedo del efector como un

manipulador independiente sin efector final.

La cinematica de los robots esta sustentada en el establecimiento de varios SC para

cada articulacion del robot (grado de libertad). Para describir la posicion y orientacion

de un cuerpo en el espacio se debe hacer referencia siempre a un SC. Para representar

la posicion y orientacion de un SC se emplea un SC fijo o de referencia (de aquı en

adelante solo referencia).

La representacion en el espacio de puntos o cuerpos rıgidos se hara con la concep-

cion de que en algun lugar, existe un sistema coordenado llamado sistema coordenado

universo ante el cual todos los sistemas coordenados asignados al robot se pueden re-

ferenciar.

A.2. Descripcion: posicion y orientacion en el espacio 81

La posicion de un punto en un espacio euclidiano tridimensional esta determinada

por tres cantidades llamadas coordenadas y estas coordenadas estan expresadas en

un sistema de referencia formado por tres ejes rectilıneos, ortogonales (los ejes son

perpendiculares entre sı), dextrogiros (el tercer eje es formado por el producto cruz de

los otros dos) y las longitudes de los vectores basicos de cada eje son iguales (normali-

zados). En lo sucesivo se usaran solo sistemas rectilıneos, ortogonales, dextrogiros y

normalizados refiriendose a ellos simplemente como sistemas coordenados (SC).

Supongase que existe un punto P y que se desea representar su posicion con respecto

al sistema coordenado universo o referencia oxyz como se muestra en la Figura A.2.

P

z

x y

P

z

x y

i i

j j

k k

a) b)

zp

zp

yp

yp

xp x

p

o o

Pr

Figura A.2: Representacion de un punto en el espacio. a) en forma de coordenadas, b)en forma de vector.

El punto P se puede representar mediante tres coordenadas relativas a la referencia

como,~P = px · i + py · j + pz · k (A.3)

Las coordenadas del punto P , denotadas por (px, py, pz) en (A.3) son proyecciones

de dicho punto perpendicularmente sobre cada eje coordenado de la referencia. i, j y k

son los vectores unitarios de los ejes x, y y z respectivamente. Ver Figura A.2a.

Equivalentemente el punto P se puede representar en forma de vector relativo a la

referencia. El vector inicia en el origen de oxyz y termina en el punto P . Ver Figura

A.2b.~P = (px − 0) · i + (py − 0) · j + (pz − 0) · k (A.4)

Notese que las expresiones (A.3) y (A.4) son iguales, ambas representan a un punto en

el espacio en forma de vector; este vector con sus tres componentes puede ser expresado

tambien en forma matricial como,

~P =[

px py pz

]T(A.5)


La representacion del vector (A.5) puede ser ligeramente modificada sin perdida de

generalidad, incluyendo un termino llamado, factor de escala ω. Ver (A.6).

~P =[

px py pz ω]T

(A.6)

de manera tal que,

px =x

ω; py =

y

ω; pz =

z

ω

La variable ω puede ser una cantidad arbitraria. Notese que si ω varıa tambien lo hace

la magnitud del vector ~P , si ω es mas grande que la unidad la magnitud del vector ~P

disminuye, de manera similar si ω es menor que la unidad, la magnitud de ~P aumenta.

Si ω es unitario la magnitud de ~P permanece constante, si ω = 0 px, py, y px se

hacen “infinitos” lo que representa que no interesa mucho la magnitud del vector si no

su direccion.

El vector (A.6) es conocido como vector direccional o vector de coordenadas ho-

mogeneas. Esta representacion sera de mucha utilidad para representar la posicion de

un cuerpo rıgido en el espacio (en este caso de estudio, la posicion del equivalente de

yema de los dedos del efector).

A.2.1. Descripcion de una orientacion en el espacio

Supongase que se desea sujetar un objeto cualquiera con el efector, la localizacion

del efector no estara completa hasta que se haya definido la orientacion de dicho objeto

con respecto a la referencia o sistema coordenado universo. Entonces, es logico pensar

que para describir la orientacion de un cuerpo rıgido en el espacio se le debe vincular

un SC y ası, encontrar una descripcion del SC del cuerpo con respecto a la referencia

oxyz. Ver Figura A.3.

En conclusion se puede decir que los puntos en el espacio seran descritos por vectores

y la orientacion de cuerpos en el espacio por SC. Para hacer mas claro esto, si se

desea representar la posicion de un cuerpo en el espacio con respecto a una referencia o

sistema coordenado universo debe de encontrarse una representacion del SC del cuerpo

con respecto a la referencia.

La representacion de la orientacion de un cuerpo rıgido en el espacio se puede resumir

con los siguientes dos pasos.

Procedimiento:

1. Se deben denotar los vectores que dan las principales direcciones del sistema

coordenado del cuerpo como n, s y a.

2. Y expresar los vectores en terminos de la referencia como nref , sref y aref .


z

x y

i

j

k

o

Pr

n

sa

Figura A.3: Representacion de un cuerpo rıgido en el espacio.

z

x y

i

j

k

o

Pr

n

sa

Figura A.4: Representacion de la orientacion de un SC respecto a una referencia.


Como consecuencia de aplicar el simple procedimiento mencionado anteriormente, se

obtiene una matriz de 3x3 que representa la orientacion del sistema coordenado relativo

a la referencia. Ver (A.7).

R =[

nref sref aref

]=

nx sx ax

ny sy ay

nz sz az

(A.7)

Entonces la orientacion de un cuerpo cualquiera estara representada por una matriz,

mientras que la posicion de un punto estara representada por un vector.

Los componentes de cada vector en (A.7) son proyecciones sobre las direcciones uni-

tarias de los ejes de la referencia por lo que cada componente de la matriz R es resultado

de un producto punto de un par de vectores unitarios.

R =

nx · i sx · i ax · iny · j sy · j ay · jnz · k sz · k az · k

(A.8)

o equivalentemente

R =

r11 r12 r13

r21 r22 r23

r31 r32 r33

(A.9)

Ya que el producto punto de dos vectores produce el coseno del angulo entre ellos

a las componentes de la matriz R se les llama comunmente cosenos directores y a la

matriz R se les llama matriz de rotacion.

Definicion A.1. La inversa de una matriz de rotacion es igual a su transpuesta.1

R−1 = RT (A.10)

Una matriz de rotacion se puede obtener casi intuitivamente. Para demostrar esta

aseveracion se utilizara la Figura A.5, en la que se muestra un sistema coordenado

rotado θ grados con respecto a la referencia. La referencia es un sistema dextrogiro por

lo que el tercer eje se genera por el producto cruz de los otros dos (n x s = a), entonces

cumple las siguientes condiciones,

1. n · s = 0. (El angulo entre ellos es 90o)

2. n · a = 0.

3. s · a = 0.

1 Esto significa que la matriz R tiene columnas ortonormales.


4. |n| = 1. (La magnitud del vector debe ser unitaria)

5. |s| = 1.

6. |a| = 1.

i

j

i

jˆys ˆ

xn

ns

y

x x

y

ˆ−io o

θθ β

αˆys

ˆxn

ns θθ

a) b)

Figura A.5: Obtencion de la matriz de rotacion en forma directa.

Notese que en la Figura A.5a la rotacion del SC es sobre el eje z de la referencia (los

ejes z y a son paralelos y salen de la hoja). Por definicion las componentes de la matriz

R en (A.7) son productos punto, entonces, nx · i = cos θ (que es el coseno del angulo

entre los ejes n y x) y sy · j = cos θ (que es el coseno del angulo entre los ejes s y y).

Aplicando el concepto de angulos semejantes, para la Figura A.5b se obtiene que

sx · i = cos β, donde β es el angulo entre los ejes s y −i; ny · j = cos α, donde α

es el angulo entre los ejes n y y. Las demas componentes de la matriz son iguales

a cero, puesto que el angulo entre ellos es de 90o, excepto la componente r33 que es

igual a 1. Los ejes z y a son paralelos entre sı, es decir, el angulo entre ellos es de 0o.

α = 90− θ,β = 90− θ.

La matriz de rotacion queda ahora como:

R =

cos θ cos β 0

cos α cos θ 0

0 0 1

(A.11)

El caso planteado anteriormente se resume como una rotacion de un SC respecto a

la referencia, con orıgenes coincidentes. Ver Figura A.6.


s

nx y

z

o

a

Figura A.6: Rotacion de un sistema coordenado con origen coincidente a la referencia.

A.3. Representacion de transformaciones entre sis-

temas coordenados

En robotica es muy comun desear representar un movimiento en el espacio, es decir,

expresar una misma cantidad en terminos de diferentes sistemas coordenados. Cuando

un objeto se mueve en el espacio, es posible representar su movimiento de manera similar

a la representacion de la posicion y la orientacion de un SC respecto a la referencia. A

lo anterior se le conoce como, transformaciones entre sistemas coordenados.

La transformacion entre sistemas coordenados se puede presentar en una de las si-

guientes formas:

1. Una traslacion pura

2. Una rotacion pura

3. una combinacion de una traslacion y una rotacion

A.3.1. Representacion: traslacion pura de SC´s con respecto

a una referencia

Si un SC se mueve en el espacio preservando su orientacion, se dice que la transfor-

macion es una traslacion pura. Para poder representar una transformacion de este tipo

se considera que el punto en el objeto (que ademas es el origen de su SC) esta sobre

A.3. Representacion de transformaciones entre sistemas coordenados 87

el origen de la referencia y el objeto se desplaza de la referencia como se muestra en la

Figura A.7.

x y

z

o

o

sn

n s

a

i

j

kP

a

Figura A.7: Representacion de una traslacion pura en el espacio.

~P es el vector direccional que representa la traslacion del SC (ver expresion A.3).

Una traslacion pura se puede representar tambien por una rotacion de 0 grados y un

vector direccional, es decir que una traslacion es un conjunto,

Tras =

Rot, ~P

(A.12)

donde Tras denota una traslacion y Rot una rotacion cualquiera. Para el caso par-

ticular de una traslacion pura la rotacion es de 0 grados.

Ejemplo A.1. Se tiene un punto P en el espacio definido por un vector direccional~Pnsa expresado correspondientemente en el sistema coordenado onsa, se desea expresar

dicho punto en terminos de la referencia oxyz. Ver Figura A.8. El sistema coordenado y

la referencia tienen la misma orientacion y el origen del sistema coordenado trasladado

esta definido por ~Pxyz.


x y

z

o

sn

ns

a

i

j

k

o

P

xyzP

Pa

ansP

Figura A.8: Traslacion de un sistema coordenado.

~Pnsa y ~Pxyz estan definidos respecto a sistemas coordenados con la misma orientacion,

por lo que P puede ser expresado relativo a la referencia de la siguiente manera,

~P = ~Pxyz + ~Pnsa (A.13)

x y

z

o

o

s

nn

s

a

i

j

k

o

s

ns

a

Anterior Actual

xyzP

ansP

P

a a

Figura A.9: Ejemplo de traslacion de un sistema coordenado.

Ejemplo A.2. Considerar los sistemas coordenados mostrados en la Figura A.9. Se

trata de encontrar una representacion para el sistema coordenado onsaact en terminos

de la referencia oxyz.

Aplicando en el resultado obtenido en el Ejemplo A.1 se tiene que la localizacion del

SConsaact respecto al SCoxyz es,

~P = ~Pxyz + ~Pnsa


A.3.2. Representacion: rotacion de SC´s respecto a una refe-

rencia

Supongase que se tiene un SConsa y un punto P relacionado a dicho sistema y se quiere

referenciar P a un sistema coordenado fijo o de referencia oxyz, si SConsa esta rotado

θ grados con respecto a la referencia. Ver Figura A.10.

Denotando los vectores unitarios ortonormales de la referencia como i, j y k y los

del sistema coordenado n,s,a. El vector del origen comun al punto P con respecto al

SConsa (~Pnsa), se puede representar con respecto a la referencia como sigue,

~Pnsa = pn · n + ps · s + pa · a (A.14)

y~Pxyz = px · i + py · j + pz · k (A.15)

Los vectores (A.14) y (A.15) son representaciones del mismo punto P , por lo que es

posible establecer una relacion entre las componentes de P en los dos sistemas coorde-

nados,

px = ~Pxyz · i = ~Pnsa · i (A.16)

sustituyendo (A.14) en (A.16) se obtiene:

px = pn · n · i + ps · s · i + pa · a · i (A.17)

de manera similar,

py = pn · n · j + ps · s · j + pa · a · j (A.18)

pz = pn · n · k + ps · s · k + pa · a · k (A.19)

Las componentes del vector ~Pxyz son simplemente las proyecciones del mismo sobre

la referencia. Por lo que ordenando en forma de matriz los vectores (A.17), (A.18) y

(A.19) se obtiene,

px

py

pz

=

n · i s · i a · in · j s · j a · jn · k s · k a · k

pn

ps

pa

(A.20)

Esto significa que las coordenadas del punto P en SConsa se pre-multiplica por una

matriz de rotacion para encontrar sus coordenadas con respecto a la referencia.

~Pxyz = Rotscref~Pnsa (A.21)

donde Rotscref una matriz de transformacion de las coordenadas de P con respecto al

sistema onsa a las coordenadas de la referencia oxyz.

Rotscref =

n · i s · i a · in · j s · j a · jn · k s · k a · k

(A.22)


x y

z

oi

j

k xyzP

ansP

P

n

s

n

as

θθ

θ

a

Figura A.10: Rotacion pura de un sistema coordenado.

Ejemplo A.3. Supongase que la referencia oxyz ha sido rotada θ grados alrededor del

eje z como se muestra en la Figura A.11. Se desea encontrar la matriz de transformacion

que describa dicha rotacion.

x

y

z

oi

j

k

n

s

n

a

s

θθ

a

Figura A.11: Rotacion de un sistema coordenado onsa alrededor del eje z de la refer-encia.

Retomando el resultado encontrado en la seccion A.2.1 se obtiene,

R =

cos θ cos β 0

cos α cos θ 0

0 0 1

donde α = 90 − θ y β = 90 − θ. Si se aplica cos (x± y) = cos x cos y ∓ sen x sen y ,


entonces la matriz R que generaliza un rotacion alrededor del eje z de la referencia es,

R =

cos θ −sen θ 0

sen θ cos θ 0

0 0 1

(A.23)

La matriz (A.23) es comunmente llamada matriz basica de rotacion alrededor del eje

z. Para simplificar la descripcion y representacion de una rotacion pura alrededor de

un eje, se supondra que el eje z es perpendicular al plano de la Figura A.12. Ademas

el origen de SConsa y el de la referencia es el mismo.

Rotz,θ = Rotscref (A.24)

i

jns

y

xo

θθ

a)

o

θθ

b)

s n

yj

z

k

a

s

s

a

Figura A.12: Coordenadas de un punto relativas a la referencia y con respecto a unsistema coordenado rotado θ grados.

El resultado obtenido se puede extender para las rotaciones puras alrededor de los

ejes x y y.

Rotx,θ =

1 0 0

0 cos θ −sen θ

0 sen θ cos θ

, Roty,θ =

cos θ 0 sen θ

0 1 0

−sen θ 0 cos θ

,

Rotz,θ =

cos θ −sen θ 0

sen θ cos θ 0

0 0 1

En el ejemplo anterior se introdujo parte de la notacion que se empleara para deter-

minar el modelo cinematico directo del efector.

A.3.3. Representacion: composicion de rotaciones

Recordando: la matriz (A.22) representa una transformacion rotacional entre la

referencia (00x0y0z0) y un sistema coordenado cualquiera (por ejemplo: SCo1x1y1z1).


Supongase que ahora se tiene un tercer sistema coordenado (SCo2x2y2z2) relacionado a

los dos sistemas anteriores por medio de una transformacion rotacional. Un punto dado

puede entonces expresarse en tres diferentes formas. La relacion entre ellas se muestra

en las siguientes expresiones,~P0 = Rot10 · ~P1 (A.25)

~P0 = Rot20 · ~P2 (A.26)

~P1 = Rot21 · ~P2 (A.27)

donde (A.25) y (A.26) representan rotaciones relativas a la referencia, mientras que

(A.27) representa una rotacion relativa a (SCo1x1y1z1). Ver Figura A.13.

0z

0y

0x

1z

1y

1x

2z

2y

2x

2o1o0o

P0,1,2Pr

Figura A.13: Composicion de rotaciones.

Si se sustituye (A.27) en (A.25) se obtiene:

~P0 = T 20 · ~P2 (A.28)

donde T 20 = Rot10 ·Rot21. Igualando (A.26) y (A.28),

Rot20 · ~P2 = Rot10 ·Rot21 · ~P2

Rot20 = Rot10 ·Rot21 (A.29)

La expresion (A.29) es una ley de composicion rotacional, que se interpreta de la

siguiente manera,

Para poder transformar las coordenadas de un punto P de su representacion vectorial

en o2x2y2z2 (~P2) a o0x0y0z0 (~P0), primero se deben transformar a sus coordenadas ~P1

en o1x1y1z1 usando Rot21 y entonces transformar ~P1 a ~P0 empleando Rot10.

Notese que las matrices de rotacion anteriores son matrices que representan una

rotacion generalizada en cualquier eje del sistema coordenado de referencia. Una forma


particular de representar las matrices de rotacion es como se mostro en la expresion

(A.24).

Ejemplo A.4. Encontrar una matriz de transformacion que represente una rotacion

de φ grados alrededor del eje y, , seguida de una rotacion de θ grados alrededor del eje

z.

Solucion. La matriz de transformacion que representa las rotaciones, esta dada por

(A.30),

Rot = Roty,φ ·Rotz,θ (A.30)

Rot20 =

cos φ 0 sen φ

0 1 0

−sen φ 0 cos φ

·

cos θ −sen θ 0

sen θ cos θ 0

0 0 1

(A.31)

Rot20 =

cos φ cos θ − cos φ sen θ sen φ

sen θ cos θ 0

−sen φ cos θ sen φ cos θ cos φ

(A.32)

La expresion A.30 es similar a la representacion de general para la composicion de

rotaciones presentada en (A.29).

A.3.4. Representacion: Combinacion de transformaciones

Una transformacion combinada consiste en un numero de traslaciones y rotaciones

sucesivas con respecto a los ejes de la referencia. Cualquier transformacion o movimiento

rıgido se puede resolver como un conjunto de traslaciones y rotaciones en un orden

especıfico.

El orden de las transformaciones es muy importante, ya que si se cambia el orden de

dos transformaciones, el resultado sera completamente diferente. 2

Ejemplo A.5. Supongase un SC, el cual se expone a las siguientes transformaciones,

1. Rotacion de θ grados al rededor del eje z de la referencia.

2. Seguida de una traslacion de ( dx dy dz )

3. Seguida ademas de una rotacion de α grados alrededor del eje x.

~P0 = Rotz,θ · Trasdx,dy ,dz ·Rotx,α (A.33)

~P0 =

cos θ −sen θ 0

sen θ cos θ 0

0 0 1

·

dx

dy

dz

·

1 0 0

0 cos α −sen α

0 sen α cos α

· ~P1 (A.34)

2 Esto esta sustentado en el hecho que que la multiplicacion de matrices no es conmutativa.


A.4. Transformaciones homogeneas

Conocidas las representaciones para los diferentes tipos de transformaciones, ahora

es posible generalizar las operaciones de traslacion y rotacion de un objeto y cuerpo en

el espacio.

Como se menciono anteriormente un SC es un conjunto de tres ejes rectilıneos y

ortogonales, a los cuales se le asocian vectores unitarios, es decir, que se usan sistemas

ortonormales y dextrogiros. Dados dos sistemas dextrogiros, supongase el SCo0x0y0z0 y

el SCo1x1y1z1 donde el SC1 se obtiene despues de aplicar una traslacion y una rotacion

al SC0. Ver Figura A.14.

P

1

0dr

0Pr

1Pr

0x 0

y

0z

1z

1y

1x

1o

0o

Figura A.14: Composicion de rotaciones.

Notese que el vector d10 parte del origen del SC0 al origen de SCo1x1y1z1 , expresado

en terminos de la referencia o0x0y0z0 o SC0. La magnitud de dicho vector es |d|.De esta manera cualquier punto P tiene una representacion para cualquier SC, ya

sea ~P0 (respecto a la referencia) o ~P1 (respecto al SC1).

La rotacion del SCo1x1y1z1 con respecto a la referencia de es θ. Los vectores ~P0 y ~P1

estan relacionados de la siguiente manera.

~P0 = ~P1 + ~d 10 (A.35)

El vector (A.36) es similar al obtenido en A.13, esto significa que la relacion mas

general entre los SC0 y SC1 es una combinacion entre una rotacion pura y una traslacion

pura (refiriendose a un movimiento rıgido).

Retomando (A.12),

Tras =

Rot, ~P

A.4. Transformaciones homogeneas 95

es posible expresar (A.35) como,

~P0 = Rotscref · ~P1 + ~d10 (A.36)

Si en lugar de un movimiento se tuviesen dos, los vectores que describen dichos

movimientos son,

~P0 = Rot10 · ~P1 + ~d10 (A.37)

~P1 = Rot21 · ~P2 + ~d21 (A.38)

Su composicion definirıa entonces un tercer movimiento. Este movimiento se puede

describir sustituyendo (A.38) en (A.37) obteniendo,

~P0 = Rot10 ·Rot21 · ~P2 + Rot10 · ~P1 · ~d21 + ~d1

0 (A.39)

La relacion entre ~P0 y ~P2 tambien define un movimiento rıgido, expresado como,

~P0 = Rot20 · ~P2 + ~d20 (A.40)

Comparando (A.39) y (A.40), se obtiene,

Rot20 = Rot10 ·Rot21 (A.41)

~d20 = Rot10 · ~d2

1 + ~d10 (A.42)

La matriz (A.41) es una matriz de composicion rotacional similar a (A.29). ~d20 muestra

que el vector del origen 0 al origen 2, es la suma de los vectores ~d10 y Rot10 · ~d2

1 (del origen

1 al origen 2), todo expresado en la orientacion del SC0 o referencia.

Entonces un movimiento rıgido puede escribirse en forma de matriz,[

Rot10 ·Rot21 Rot10 · ~d21 + ~d1

0

0 1

](A.43)

o de manera equivalente,

H =

[Rotscref

~d

0 1

](A.44)

La matriz H es la llamada Matriz de transformacion homogenea. Recuerdese que

es posible representar un vector en su forma homogenea como se presento en (A.6),

entonces una rotacion, una traslacion puras entre un SC y su referencia, incluso una

combinacion de ambas, se puede generalizar con la matriz H, esto es,

[p0

1

]=

[Rot10

~d10

1 1

][p1

1

](A.45)


o

P

1

0dr

0Pr

0x 0

y

0z

1z

1y

1x

1Pr

2

1dr

1o

2z

2y2

x

2o

2Pr

Figura A.15: Representacion de un punto respecto a diferentes sistemas coordenados.Representacion de una transformacion homogenea.

o,

~P0 = H10 · ~P1 (A.46)

donde,

~P0 =

[p0

1

], ~P1 =

[p1

1

]

Una forma aun mas general de representar una transformacion homogenea es,

H =

[Rot Tras

Perspectiva Factor de escala

](A.47)

Para propositos generales de robotica el ultimo renglon de la matriz H es(0 0 0 1

). 3

Ejemplo A.6. Representar mediante una matriz de transformacion homogenea un

movimiento rıgido dado por,

1. Una rotacion de θ grados al rededor del eje z y

2. Una traslacion de magnitud d sobre el eje x de la referencia.

3 La justificacion de esta afirmacion se encuentra reportada de manera clara en [Craig 1989],[Niku 2001] y [Spong y Vidyasar 1989].

A.5. Inversa de una transformacion homogenea 97

Solucion.

H10 =

cos θ −sen θ 0 d

sen θ cos θ 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

La matriz H10 representa el movimiento descrito por los incisos 1 y 2 del Ejemplo A.6.

Por medio de la matriz de transformacion homogenea es posible representar tanto

la orientacion como la posicion de un SC en una misma matriz. La matriz de trans-

formacion homogenea sera de gran utilidad cuando se determine el modelo cinematico

directo del efector.

A.5. Inversa de una transformacion homogenea

Existen diversas situaciones en las que la inversa de una matriz es de vital importancia

en la robotica. Se trabajo en la representacion de un SC respecto a una referencia (H10 ),

sin embargo en algunos casos es necesario conocer la relacion inversa, es decir, encontrar

la representacion de la referencia con respecto al sistema coordenado (H01 ).

Una forma directa de calcular la inversa, es calcular la inversa de la matriz H.

H01 =

(H1

0

)−1(A.48)

H10 =

[Rot10

T −Rot10T · ~d1

0

0 0 0 1

]

El uso de la matriz de transformacion homogenea para encontrar modelos cinematicos

de robots manipuladores se detallo en el Capıtulo 2.

Apendice B

Propiedades del modelo dinamico

Considerando el modelo dinamico de robots manipuladores (B.1), esta ecuacion y los

terminos que la conforman tienen propiedades bastante interesantes.Dichas propiedades

se describen de manera resumida y sin demostracion en este apendice y son,.1

Linealidad en los parametros dinamicos

Matriz de inercias M(q)

Matriz centrıfuga y de Coriolis C(q, q)

Vector de gravedad G(q)

Dinamica residual

M(q)q + C(q, q)q + G(q) = τ (B.1)

B.1. Linealidad en los parametros

Es evidente que el vector de estados q =[

qT qT]T

es no lineal, sin embargo puede

expresarse en terminos lineales de los parametros dinamicos del robot como son las

masas e inercias.

Considerar las matrices M(q), C(q, q) y el vector G(q) del modelo dinamico (B.1).

1.- Para todo u, v, w ∈ Rn :

M(q)u + C(w, q)v + G(q) = Φ(q, u, v, w)θ + κ(q, u, v, w)

Donde κ(q, u, v, w) es un vector de nx1, Φ(q, u, v, w) es una matriz de nxm y el vector

θ ∈ Rn depende exclusivamente de los parametros dinamicos del robot y de su carga.

1 Propiedades extraıdas de [Ortega et. al. 1998], [Kelly y Santibanez 2003],[Spong y Vidyasar 1989].

99

100 Apendice B. Propiedades del modelo dinamico

2.- Si q, u, v, w ∈ Ln∞ entonces Φ(q, u, v, w) ∈ Ln

∞. Siempre es posible encontrar un

vector θ ∈ Rm para el cual κ(q, u, v, w) ≡ 0 ∈ Rn. Considerando u = q y v = w = q, la

ecuacion (B.1) puede escribirse como,

Y (q, q, q)θ = M(q)q + C(q, q)q + G(q) = τ (B.2)

donde Y (q, q, q) = Φ(q, q, q, q) es una matriz de nxm, y el vector θ es un vector de mx1

que contiene las m constantes dependientes de los parametros dinamicos. La constante

n es el numero de grados de libertad, mientras que el valor entero m depende de la

seleccion de los parametros dinamicos del robot.

B.2. Matriz de inercia M(q)

La matriz de inercia M(q) es una matriz simetrica definida positiva de nxn cuyos

elementos son funciones unicamente del vector q. M(q) satisface lo siguiente,

1.- Existe una constante real positiva tal que:

M(q) ≥ αI ∀q ∈ Rn

donde I denota la matriz de identidad de dimension nxn. La matriz M(q)−1 existe y

es tambien definida positiva.

1

µ2

I ≤ M−1(q) ≤ 1

µ1

I

con, µ1 y µ2 escalares que pueden calcularse para cualquier robot. Una consecuencia de

la propiedad anterior para M(q) y en particular del hecho de que M(q) sea una matriz

definida positiva, es que la funcion V : Rn xRn → R+

V (q, q) = qT M(q)q

es una funcion definida en q. Con la definicion anterior se tiene que V (q, q) = 2 K(q, q)

siendo K(q, q) la funcion de energıa cinetica del robot.

2.- La matriz de inercia se encuentra ıntimamente relacionada con la funcion de la

energıa cinetica del robot, de la siguiente manera:

K(q, q) =1

2qT M(q)q

Ejemplo B.1. La matriz de inercia M(q) de cada dedo del manipulador es, (vease

Capıtulo 2, ecuacion 2.46).

M(q) =

m11(q) m12(q) m13(q)

m21(q) m22(q) m23(q)

m31(q) m32(q) m33(q)

B.2. Matriz de inercia M(q) 101

donde

m11(q) = m1 l2c1 + m2 l21 + m2 l2c2 + m3 l21 + m3 l22 + m3 l2c3 + 2 m2 l1 lc2 cos(q2)

+2 m3 l1 l2 cos(q2) + 2 m3 l1 lc3 cos(q2 + q3) + 2 m3 l2 lc3 cos(q3) + I1 + I2 + I3

m12(q) = m2 l2c2 + m3 l22 + m3 l2c3 + m2 l1 lc2 cos(q2) + m3 l1 l2 cos(q2)

+m3 l1 lc3 cos(q2 + q3) + 2 m3 l2 lc3 cos(q3) + I2 + I3

m13(q) = m3 l2c3 + m3 l1 lc3 cos(q2 + q3) + m3 l2 lc3 cos(q3) + I3

m21(q) = m2 l2c2 + m3 l22 + m3 l2c3 + m2 l1 lc2 cos(q2) + m3 l1 l2 cos(q2)

+m3 l1 lc3 cos(q2 + q3) + 2 m3 l2 lc3 cos(q3) + I2 + I3

m22(q) = m2 l2c2 + m3 l22 + m3 l2c3 + 2 m3 l2 lc3 cos(q3) + I2 + I3

m23(q) = m3 l2c3 + m3 l2 lc3 cos(q3) + I3

m31(q) = m3 l2c3 + m3 l1 lc3 cos(q2 + q3) + m3 l2 lc3 cos(q3) + I3

m32(q) = m3 l2c3 + m3 l2 lc3 cos(q3) + I3

m33(q) = m3 l2c3 + I3

Notese que M(q) de cada dedo del efector es simetrica, ya que,

m12 = m21

m31 = m13

m23 = m32

Ademas puede verse claramente que M(q) es definida positiva puesto que m11(q) es

positivo para todo q [Kelly y Santibanez 2003] y su determinante cumple con,

det[M(q)] = m11m22m33 −m11m23m32 −m21m12m33 + m21m13m32

+ m31m12m23 −m31m13m22 > 0

3.- M(q) es acotada superior e inferiormente.

µ1I ≤ M(q) ≤ µ2I

Esto quiere decir que existe una constante real positiva tal que,

µ1I ≤ M(q)

donde I denota la matriz de identidad de nxn. Tambien M(q) − µ1I ≥ 0 es definida

positiva, y se cumple que,

xT (M(q)− µ1I)x ≥ 0 ∀x ∈ Rn

4.- Para el caso de robots provistos unicamente de articulaciones rotacionales, existe

una constante β > 0 tal que,

λmax M(q) ≤ β ∀q ∈ Rn


la constante β puede calcularse como,

β ≥ n

[maxi,j,q

|Mij(q)|]

5.- Para el caso de robots provistos de unicamente de articulaciones rotacionales

existe una constante Km > 0 tal que,

‖M(x)z −M(y)z‖ ≤ Km ‖x− y‖ ‖z‖

para todo vector x, y, z ∈ R2. [Kelly y Santibanez 2003] presenta una manera sencilla

de calcular Km, como,

Km ≥ n2

[maxi,j,q

∣∣∣∣∂Mij(q)

∂qk

∣∣∣∣]


una constante K ′m > 0 tal que,

‖M(x)y‖ ≤ K ′m ‖y‖ ∀x, y ∈ Rn

B.3. Matriz centrıfuga y de Coriolis C(q, q)

A diferencia de M(q) las propiedades de la matriz de fuerzas centrıfugas y de Coriolis

C(q, q) tiene su principal importancia en el estudio de sistemas de control y estabilidad

de robots.

La matriz de fuerzas centrıfugas y de Coriolis C(q, q) es una matriz de nxn cuyos

elementos son funciones de q y q.

1.- La matriz C(q, q) puede no ser unica, pero el vector C(q, q) q es unico.

2.- C(q, 0) = 0 para todo vector q ∈ Rn.

3.- Para todo vector q, x, y, z ∈ Rn y escalar α, se tiene que,

C(q, x)y = C(q, y)x

C(q, z + αx) = C(q, z)y + αC(q, x)y

4.- El vector C(q, x)y puede expresarse en la forma,

C(q, x)y =

xT C1(q)y

xT C2(q)y...

xT Cn(q)y

(B.3)

donde Ck(q) son matrices simetricas de dimension n para todo k = 1, 2, · · · , n.

B.4. Vector de gravedad G(q) 103


una constante Kc1 > 0 tal que,

‖C(q, x)y‖ ≤ Kc1 ‖x‖ ‖y‖ ∀q, x, y ∈ Rn

≤ Kc1 ‖q‖2

Una forma de calcular Kc1 es,

Kc1 = n2

[maxk,i,j,q

∣∣Cki j(q)

∣∣]

6.- Para el caso de robots provistos unicamente de articulaciones rotacionales, existen

constantes Kc1 > 0 y Kc2 > 0 tales que,

‖C(x, z)w − C(y, v)w‖ ≤ Kc1 ‖z − v‖ ‖w‖+ Kc2 ‖x− y‖ ‖w‖ ‖z‖

para todo vector v, x, y, z, w ∈ Rn.

7.- La matriz S(q, q) = 12M (q)− C (q, q) es una matriz antisimetrica, esto es, que los

elementos sj k de S(q, q) satisfacen nj k = −nk j. Independientemente del modo en que

se obtenga la matriz C(q, q) siempre satisface,

qT

[1

2M (q)− C (q, q)

]q = 0 ∀ q, q ∈ Rn

La matriz C(q, q) esta unıvocamente definida por M(q), la cual satisface,

M (q) = C (q, q) + CT (q, q) (B.4)

La propiedad (B.4) es equivalente a la propiedad de antisimetrıa de S(q, q)

[Ortega et. al. 1998], como se muestra a continuacion,

xT[M (q)− 2C (q, q)

]x = 0 ∀ q, q, x ∈ Rn

B.4. Vector de gravedad G(q)

El vector de pares gravitacionales G(q) es un vector de nx1 y solo depende de las

posiciones articulares q. G(q) esta acotado de abajo si q lo esta.

1.- El vector G(q) esta definido como,

G(q) =∂U(q)

∂q∀q ∈ Rn


2.- El vector G(q) y el vector de velocidades generalizadas q se relacionan mediante,∫ T

0

GT (q) q dt = U (q(t))− U (q(0)) ∀T ∈ R+


una constante finita Ku tal que,∫ T

0

g (q)T q dt + U (q(0)) ≥ kU ∀T ∈ R+

para todo T ∈ R+, y Ku = mınq U (q).4.- Para el caso de robots provistos unicamente de articulaciones rotacionales, el

vector G(q) es Lipschitz, esto es, que existe una constante Kg > 0 tal que,

Kg ≥ n

[maxi,j,q

∣∣∣∣∂gi(q)

∂qj

∣∣∣∣]

(B.5)

y,

Kg ≥∥∥∥∥∂G(q)

∂q

∥∥∥∥ ≥ λmax

∂G(q)

∂q

Ejemplo B.2. Considerese el vector de pares gravitacionales de cada dedo de la mano

robotica presentado en la ecuacion (2.46).

g1 = (m1 lc1 + m2 l1 + m3 l1) g cos(q1) + (m2 lc2 + m3 l2) g cos(q1 + q2)

+ m3 lc3 g cos(q1 + q2 + q3)

g2 = (m2 lc2 + m3 l2) g cos(q1 + q2) + m3 lc3 g cos(q1 + q2 + q3)

g3 = m3 lc3 g cos(q1 + q2 + q3)

De acuerdo con (B.5), la constante Kg puede calcularse como,

Kg = n

[maxi,j,q

∣∣∣∣∂gi(q)

∂qj

∣∣∣∣]

Notese que,∂g1(q)

∂q1= − (m1lc1 + m2l1 + m3l1) g sen q1 − (m2lc2 + m3 l2) g sen (q1 + q2)

−m3lc3g sen (q1 + q2 + q3)∂g1(q)

∂q2= − (m2lc2 + m3l2) g sen (q1 + q2)−m3lc3g sen (q1 + q2 + q3)

∂g1(q)∂q3

= −m3lc3g sen (q1 + q2 + q3)∂g2(q)∂q1,2

= − (m2lc2 + m3l2) g sen (q1 + q2)−m3lc3g sen (q1 + q2 + q3)∂g2(q)

∂q3= −m3lc3g sen (q1 + q2 + q3)

∂g3(q)∂q1,2,3

= −m3lc3g sen (q1 + q2 + q3)

entonces la constante Kg es,

Kg = 3 [(m1lc1 + m2l1 + m3l1) g + (m2lc2 + m3l2) g + m3lc3g]

Apendice C

Especificaciones mecanicas del

efector

Especificaciones tecnicas de la mano robotica de cenidet necesarias para la simulacion

y control del efector. Datos extraıdos de [Cimadevilla y Herrera 2006].

Tabla C.1: Longitudes de los eslabones de cada dedo del efector.

Falanges Sımbolo Valor (metros)

1a Proximal ındice l1 0.031

1a Proximal medio y pulgar l1 0.041

1a Proximal anular l1 0.036

2a Medial dedos l2 0.024

3a Distal dedos l3 0.0278

Tabla C.2: Distancias de centros de masa de los eslabones de cada dedo del efector.

Falanges Sımbolo Valor (metros)

1a Proximal ındice lc1 0.01005

1a Proximal medio y pulgar lc1 0.01344

1a Proximal anular lc1 0.01215

2a Medial dedos lc2 0.01096

3a Distal dedos lc3 0.01177

105

106 Apendice C. Especificaciones mecanicas del efector

Tabla C.3: Masa de los eslabones de cada dedo del efector.

Falanges Sımbolo Valor (Kg)

1a Proximal ındice m1 0.176

1a Proximal medio y pulgar m1 0.21

1a Proximal anular m1 0.193

2a Medial dedos m2 0.118

3a Distal dedos m3 0.113

Tabla C.4: Momentos de inercia de los eslabones de cada dedo del efector.

Falanges Sımbolo Valor (Kgm2)

1a Proximal ındice I1 4,9465x10−5

1a Proximal medio y pulgar I1 9,9115x10−5

1a Proximal anular I1 7,11519x10−5

2a Medial dedos I2 2,89396x10−5

3a Distal dedos I3 2,703x10−5

Apendice D

Extension de los modelos del efector

El diseno mecanico y la construccion de la mano robotica “cenidet” contempla los

movimientos de flexion y extension, ası como los movimientos de aduccion/abduccion

de los dedos de la misma. En este tema de tesis solo se trabajo con los movimientos

de flexion y extension, sin embargo, es posible extender el analisis empleado, con el

fin de contemplar los movimientos de aduccion/abduccion en el modelado cinematico

y dinamico del efector.

En este apartado se presenta de manera simbolica la manera de obtener los modelos

cinematico directo y dinamico de los dedos del efector considerando de igual manera

que son manipuladores planares, independientes entre sı y completamente actuados.

La principal complicacion en el modelado de los movimientos de aduccion/abduccion

en el modelo cinematico es la asignacion del nuevo sistema coordenado que describe

dichos movimientos. La dinamica es verdaderamente sencilla de obtener, pues solo re-

quiere calcular las funciones de energıa cinetica y potencial que describen los movimien-

tos descritos. Tales funciones de energıa se calculan de la manera sugerida en el Capıtulo

2.

D.1. Modelo cinematico

El modelo cinematico directo de cada dedo se extrae de la Figura D.1. En la base de

este manipulador se ha agregado un nuevo sistema coordenado, este SC esta sustentado

en la regla de la mano derecha para sistemas coordenados. La matriz de transformacion

homogenea que relaciona la posicion final del ultimo eslabon del manipulador con la

referencia es,

H40 = H1

0 ·H21 ·H3

2 ·H43 (D.1)

Las matrices empleadas para calcular la cinematica directa se trataron en el Apendice

A. La complejidad de encontrar este modelo radica en la determinacion de la matriz

H21 . La matriz H2

1 representa los movimientos de aduccion/abduccion.

107

108 Apendice D. Extension de los modelos del efector

3y 3

x

0y

0x

1x

4y

4x

2y 2

x

2z

Figura D.1: Sistemas coordenados para un dedo del efector considerando los movimien-tos de aduccion/abduccion.

D.2. Modelo dinamico

Para encontrar el modelo dinamico se define primero el sistema de referencia o sistema

coordenado fijo que ayudara a describir el movimiento de cada dedo del efector. Ver

Figura D.2.

El vector de coordenadas articulares se define ahora como,

q =[

q1 q2 q3 q4

]T=

[θ1 θ2 θ3 θ4

]T

Las expresiones para la energıa cinetica y potencial de cada manipulador son,

K (q, q) = K1 (q, q) + K2 (q, q) + K3 (q, q) + K4 (q, q)

U (q) = U1 (q) + U2 (q) + U3 (q) + U4 (q)

K1 (q, q) =1

2m1v

T1 v1 +

1

2I1q

21 ; U1 (q) = −m1 · g · y1

K2 (q, q) =1

2m2v

T2 v2 +

1

2I2q

22 ; U2 (q) = −m1 · g · y2

K3 (q, q) =1

2m3v

T3 v3 +

1

2I3 (q2 + q3)

2 ; U3 (q) = −m2 · g · y3

K4 (q, q) =1

2m3v

T4 v4 +

1

2I4 (q2 + q3 + q4)

2 ; U3 (q) = −m3 · g · y4

D.3. Discusion acerca de q′ 109

0o

0x

0y

0z

1θ

2θ1m

1I

2m

3I

1l

1cl

2cl

2l

3cl3l

3m

4I

2I

g

Figura D.2: Representacion de los dedos del efector en el espacio.

donde,

x1 = 0 , y1 = lc1 cos q′1, z1 = lc1sen q′1x2 = lc1 cos q2, y2 = lc1sen q2, z2 = 0

x3 = l1 cos q2 + lc2 cos (q2 + q3)

y3 = l1 sen q2 + lc2sen (q2 + q3) , z3 = 0

x4 = l1 cos q2 + l2 cos (q2 + q3) + lc3 cos (q2 + q3 + q4)

y4 = l1 sen q2 + l2 sen (q2 + q3) + lc3sen (q2 + q3 + q4) , z4 = 0

D.3. Discusion acerca de q′

Supongase el primer eslabon de cualquiera de los dedos del efector con el grado de

libertad agregado (el desplazamiento lateral o de adupcion/abduccion).

110 Apendice D. Extension de los modelos del efector

0y

0z

α β

1θ1

m1I

0

1180q α β= − −

1l

1cl

Figura D.3: Restricciones de diseno mecanico para los dedos del efector en los movimien-tos de aduccion/abduccion.

Las lıneas punteadas delimitan el movimiento sobre el eje z que cada dedo puede

realizar. Estas son restricciones de construccion y es imposible no tomarlas en cuenta

puesto que este primer eslabon solo se puede mover θ1 grados, entonces se define,

q′ =q1

2q′ = θ1 (D.2)

La variacion de θ1 por diseno mecanico es de ±10o, [Cimadevilla y Herrera 2006] y

se representa en la Figura D.3.

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An¶alisis y Control de un Efector Reproduciendo un