Analisis_Sismico_Edificios

8/12/2019 Analisis_Sismico_Edificios

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Anlisis Ssmico de Edificios


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Anlisis Ssmico de Edificios


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nlisis ssmico deedificios

En este captulo se cubren aspectos introductorios para el desarrollo y usodel Mtodo de los Mtodos Finitos MEF), como el planteamiento de laforma general del Mtodo de los Residuos Ponderados MRP) y su formadbil con el uso del Mtodo de Galerkin. Se da el planteamiento generalpara hallar las soluciones aproximadas a problemas de Mecnica Escalarcomo son los problemas de Poisson aplicados a la transferencia de calor yal Principio de Trabajos Virtuales. Se introducen los conceptos deFormulacin Paramtrica e Integracin Numrica, ambos muy importantespara la implementacin del MEF y que se ampliarn ms adelante enelementos finitos bi y tridimensionales.


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Comunidad para la Ingeniera CivilAnlisis Ssmico de Edificios

1.1. Anlisis Matricial de Estructuras.

Un modelo continuo o real puede discretizarse formando un modelo matemtico simple. Esta

discretizacin se har formando nudos, elementos, barras, fuerzas, etc. Luego en un proceso de ensamblaje se

vuelve a reconstruir la estructura con la contribucin de cada elemento. La resolucin de ecuaciones linealessimultneas en los nudos nos dar el comportamiento del modelo.

Para un anlisis ssmico esttico o dinmico es requisito conocer previamente la rigidez lateral que

aportarn estos elementos; hay muchos mtodos como el de Muto, Voladizo, Osawa, que nos permiten evaluar

la rigidez de una estructura ante cargas laterales. Sin embargo estos mtodos difieren en resultados si se le

compara con mtodos de rigidez o elementos finitos, siendo su aplicacin slo cuando se usa un clculo manual,

debido a su facilidad de aplicacin.

Para el objetivo de este curso y al tener que comprobar los resultados obtenidos con programas de

cmputo por elementos finitos, se optar por usar mtodos matriciales para la resolucin de las cargas de sismo.

Nos servir de ayuda hojas de clculo que nos permita el ensamblaje de las matrices, las condensaciones estticasy dinmicas, la diagonalizacin de las matrices para calcular los valores y vectores propios.

En la Figura 1.1, se tiene un elemento de longitud L, inercia I y mdulo de elasticidad E, que est

sometido a fuerzas cortantes, axiales y momentos, los que generan desplazamientos longitudinales,

transversales y giros en los nudos (3 grados de libertad por nudo). Por ecuaciones de compatibilidad y equilibrio

se pueden expresar las fuerzas y momentos en relacin a los desplazamientos y giros. Los momentos sern:

2 2 3 ( )

F igur a 1.1: Fuerzas y Grados de Libertad en un El emento 6 4 6 2 2 2 3 ( ) 6 2 6 4

Las fuerzas cortantes:

12 6 12 6

12 6 12 6


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Las fuerzas axiales:

( )

La forma matricial de compatibilidad de fuerzas y desplazamientos:

K u = f

Donde K es la matriz de rigidez del elemento; u, el vector o matriz columna de losdesplazamientos

y giros; y f, el vector de fuerzas y momentos. Por tanto en forma matricial:

[

0 0 0 12 6 0 6 4

0 0 0 12 6 0 6 2 0 0 0 12 60 6 2

0 0 0 12 6 0 6 4 ]

[]

[ ]

La matriz de rigidez de cualquier elemento es simtrica.

1.1.1. Rigidez de Una Viga

Para la rigidez de una viga, no se consideran las fuerzas axiales. Por tanto la rigidez de una viga queda

como:

[

12 6 12 66 4 12 66 2

6 212 6 6 4 ]

1.1.2. Rigidez de Una Columna

Para una columna, reordenando los elementos de la matriz general obtenida, considerando fuerzas

axiales es:


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[

12 0 60 0

6 0 4

12 0 6 0 0

6 0 212 0 6 0 0 6 0 2 12 0 6 0 0 6 0 4 ]

Donde h es la altura de la columna

1.1.3. Rigidez de un Muro Estructural

En un muro estructural se toman las deformaciones por corte

.

[

121 0 61 0 0 61 0 4 1

121 0 61 0 0 61 0 2 1 121 0 61 0

0 61 0 2 1

121 0 61 0

0 61 0 4 1 ]

12 Donde Aces el rea de corte, que se aproxima a 5/6 de la seccin transversal, para secciones

rectangulares; G el mdulo de corte igual a 0.4E. Si b es el espesor del muro, t es el peralte del muro, secalcula como:

12 12 12 0.4 5 6 3 Si es menor a uno, se puede despreciar en los clculos, esto se da en elementos esbeltos.

1.1.4. Brazos Rgidos

Al analizar como elementos barra, en las uniones muro-viga se presenta el efecto de brazos rgidos,

debido al cambio de seccin que se presenta en la cara de ambos elementos. Este efecto se puede generalizar a

las uniones viga-columna. Este efecto queda determinado porque el comportamiento real en las caras de unin,

existe un incremento en los momentos negativos y disminucin de los momentos positivos en el centro del claro

de la viga.


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F igura 1.2: B razos Rgidos en un Elemento

Podemos relacionar los desplazamientos y giros en las caras de unin " " con losdesplazamientos y giros al centro del muro " ":

1 0 0000

100010

01 ,

Los momentos y fuerzas tambin se pueden relacionar por:

1 0 0 000

10001

001 ,

La matriz de rigidez para la viga de dimensin L (claro de la viga) es:

, , La matriz calculada anteriormente para la viga, ser:

Si resolvemos la matriz, ser:

1 0 0 000100

01001

[

12 6 12 66 4 12 66 2

6 212 6 6 4 ]

1 0 0000

100010

01

El resultado ser:


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Los coeficientes tienen los siguientes valores:

12 6 12 6 12

4 6 2 12 2 6 12 4 6 2 12

En un brazo rgido se toma la rigidez EI como un valor infinito, este valor no es real, siendo esta unin

flexible. En uniones en elementos de concreto armado viga-columna, al pasar la viga, en la cara de la unin, de

un peralte dado a tener como peralte la altura de la columna, se produce un efecto de acartelamiento que

aumentar los momentos negativos en la unin y disminuyendo los momentos positivos al centro de la viga. La

relacin sobre cunto aumenta y disminuye el momento en ambos puntos (cara de unin y centro de la viga), se

puede tomar como valores iguales y se puede aproximar a Va L/6, donde V es el cortante de un anlisis elstico

al centro de la columna, L es la distancia columna a columna, y aL es el ancho de la columna. De esta manerase puede relacionar el factor de rigidez que programas como el Etabs, solicitan para el clculo de brazos rgidos.

1.2. Anlisis Ssmico Esttico

Muchas normas permiten el clculo de las fuerzas ssmicas mediante el uso de las Fuerzas Estticas

Equivalentes, previamente se debe de cumplir condiciones de regularidad, altura e importancia de la edificacin.

Se calcula la cortante en la base (como el caso de la norma E-030 Diseo Sismoresistente del Per), con

la eleccin de coeficientes de zona, condiciones geotcnicas, importancia del edificio, factor de amplificacin

ssmica, coeficiente de reduccin ssmica. Se multiplican dependiendo de la frmula de la norma y se multiplica

por el peso de clculo

1.2.1. Periodo Fundamental

El periodo fundamental de vibracin, o periodo natural, es el tiempo que le toma a la estructura en

completar un ciclo de vibracin libre. Para su clculo influyen factores como la altura y el material empleado.

Cdigos como el UBC permiten calcular este periodo con frmulas aproximadas. La NTE E-030 del Per indica las

siguientes frmulas para el clculo del periodo fundamental de una estructura:


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1.2.2. Peso de la Edificacin

Todas las normas permiten ciertas reducciones de las sobrecargas para el clculo de la masa ssmica. En

el caso de la NTE E-030 del Per se tiene la siguiente recomendacin:

1.2.3. Distribucin Vertical de la Fuerza Ssmica

Luego de calculada la cortante en la base, es necesario distribuirlo en altura y poder calcular los

desplazamientos que se produzcan.


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1.2.4. Efecto P-Delta

O conocidos como momentos de segundo orden, se producen por la accin de fuerzas de compresin y

flexin en una estructura, generndose aumentos en los momentos de los elementos y deflexiones adicionales.

Como ejemplo se puede nombrar la recomendacin de la NTE E-030, que indica que cuando el ndice de

estabilidad Q sea mayor a 0.1, los efectos P-Delta deben de ser incluidos.

En el caso de ser necesario incluir los anlisis de segundo orden, el ACI indica mtodos de amplificacin

de momentos para el diseo de los elementos de concreto armado.

1.2.5. Excentricidad

Debido a la no coincidencia entre el centro de masas (o centro de carga, donde acta las fuerzas

ssmicas) y el centro de rigideces (punto sujeto slo a traslacin y sobre el cual giran todos los puntos de una

estructura), se deben de considerar momentos torsores. La excentricidad se deber calcular con el incremento

de una excentricidad accidental, en el caso de la NTE E-030 se considera el 5% de la longitud transversal.

1.2.6. Desplazamientos de Piso

Los desplazamientos de piso y derivas, se calculan luego de tener los desplazamientos calculados para

la fuerza cortante y su distribucin por niveles. De haber trabajado con factores de reduccin de carga ssmica

R, las normas indican que se deben de calcular multiplicando por un porcentaje de este factor R. En el caso

de la NTE E-030, se calculan de la siguiente manera:


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Los valores mximos para el clculo de las derivas o desplazamiento relativo entre pisos, segn la NTE

E-030, se muestran en la tabla siguiente:

1.3. Anlisis Ssmico Dinmico

1.3.1. Sistemas de Varios Grados de Libertad

Un edificio tiene mltiples grados de libertad, pero en el caso de excitacin ssmica se tendrn dos

componentes de la aceleracin horizontal y uno vertical (que se puede descartar o tratar independientemente),

que generarn grados de libertad principales relacionados a los desplazamientos en los nudos. La consideracinde que las masas se concentren en los entrepisos de un edificio y entonces las fuerzas inerciales aplicadas en sus

niveles, sugieren como grados de libertad a los asociados con la direccin de las fuerzas.

Se tienen modelos de anlisis por masas concentradas como el modelo de acoplamiento cercano, en el

que se conectan las masas de cada nivel por medio de resortes. Este modelo slo se usa, suponiendo vigas

infinitamente rgidas y despreciando la deformacin axial en los elementos verticales, cuando se tengan

vibraciones y desplazamientos laterales.

Figura 1.3: M odelo de Acoplamiento Cercano


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Al modelo de acoplamiento cercano tambin se le denomina modelo de cortante. Si se tienen n grados

de libertad y se desarrollan las ecuaciones de equilibrio se tendr:

++ + + +

Considerando los 4 grados de libertad de la Figura 1.3, se tendr:

Se puede expresar matricialmente mediante:

0 0 00 0 00 0

0 0 00 1 2 2 0 0 2 2 30 30 0

3 03 4 4 4 4

Podemos generalizar para n grados de libertad:

[ 0 0 00 0 00 0 0 0 00 0 0 ] [

1 2 2 0 0

2

2

3

0 30 0 3

03 4 00 ] {

}

El modelo de Acoplamiento Cercano no provee de un comportamiento real a una estructura. En una

estructura real se considera que todas las masas deben de estar interconectadas, lo que se conoce como

Acoplamiento Lejano. Este tipo de modelo da un modelamiento ms aproximado de un edificio, pero tambin

es algo tedioso de implementar. En la Figura 1.4, se puede apreciar el modelo por Acoplamiento Lejano.

Figura 1.4: Modelo de Acoplamiento Lejano


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1.3.2. Anlisis Ssmico Seudo-Tridimensional

Un anlisis seudo-tridimensional se puede implementar fcilmente a diferencia de un anlisis

tridimensional en el que se tienen muchos grados de libertad.

En un anlisis seudo-tridimensional se trabajan en base a prticos planos, en los que se desprecia el

aporte de la rigidez en su direccin transversal, por ser menores a la rigidez en el plano del mismo.

Posteriormente estos prticos se conectarn por medio de las losas de entrepiso que se consideran infinitamente

rgidas, por este motivo se desprecia las deformaciones axiales que se producen en las vigas, y tambin las

deformaciones por corte, considerndose slo deformaciones a flexin. En todos los elementos se desprecia la

rigidez torsional, slo en los elementos verticales se toman en cuenta las deformaciones axiales, de corte y

flexin.

No se consideran los efectos de sismos verticales, ya que stas se pueden considerar de igual orden a

las solicitaciones verticales gravitatorias que estn presentes en el edificio.

Se analiza cada prtico por separado y se calcula su matriz de rigidez lateral, por medio de una

condensacin esttica. La matriz de rigidez, es una matriz cuadrada que nos dar en cada vector las fuerzas

aplicadas a cada nivel del edificio, para que en el nivel estudiado se tenga un desplazamiento unitario y en el

resto de niveles el desplazamiento lateral sea cero.

Posteriormente, por medio de una condensacin cinemtica, las fuerzas actuantes en cada prtico se

pueden reducir a una resultante de fuerzas que tengan dos componentes horizontales y un momento

equivalentes ubicados en el centro de masas.

La condensacin esttica y cinemtica, nos entregan un modelo seudo-tridimensional con 3 grados de

libertad por entrepiso. La matriz de rigidez resultante se podr usar en un anlisis por fuerzas equivalentes

estticas o en un anlisis dinmico.

Condensacin Esttica:

Se ensambla la matriz para los grados de libertad que se indican en la figura 1.5.

Figura 1.5: Grados de Li bertad en Ensamblaje Inicial

En el vector v se agrupan los desplazamientos verticales y giros, y los desplazamientos horizontales en

el vector u. Por medio de submatrices se tendr:

0


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Si se resuelven las ecuaciones:

,

F igur a 1.6: Grados de Li bertad de matri z de Rigidez Lateral

Condensacin Cinemtica:

Por hiptesis de losas infinitamente rgidas, se tienen relaciones de desplazamientos en todos los puntos

que llegan a ella, por tanto se puede realizar una condensacin cinemtica de las matrices de rigidez lateralpreviamente obtenidas. Se pueden relacionar las componentes de desplazamiento horizontal de un prtico con

el desplazamiento horizontal de la losa de entrepiso.

F igur a 1.6: Compatibil idad entre Desplazamientos del Prti co y de la Losa de Entrepiso

El desplazamiento del prtico i en el nivel j se puede expresar por: cos sen


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Agrupando en todos los niveles:

cos sen cos sen Las fuerzas sobre cada prtico se pueden reemplazar por otras equivalentes en el centro de masas.

cossen

Al sumar las fuerzas para cada prtico se tiene:

= = Por tanto la matriz de la estructura ser:

= La matriz de masas se considera diagonal, para los grados rotacionales se tomar el momento polar de

las masas:

[ ]

1.3.3. Periodos Naturales y Formas de Modos

Si partimos del movimiento armnico libre, se tiene la siguiente relacin:

0Si = -w2U, se tendr:

Si el movimiento armnico es:

cos Se tendr:


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El clculo de los periodos naturales y las formas de modo se realizar por Mtodos de Transformacin,

que nos darn los valores y vectores caractersticos.

Se realizar un cambio de variable:

Este nuevo sistema tiene los mismos valores y vectores caractersticos que el sistema original.

En el mtodo de Jacobi, por ejemplo, se busca diagonalizar la matriz de rigidez, para as obtener los

valores y vectores caractersticos, que cumplen con la propiedad de ortogonalidad.

1.4. Interaccin Suelo-Estructura.

Los factores que influyen en el comportamiento suelo-estructura son muchos, entre ellos se tienen: el

movimiento del suelo, el comportamiento del suelo bajo esfuerzos cclicos, respuesta del suelo a campo abierto

y la respuesta de la estructura bajo cargas dinmicas.

Los modelos para el estudio de la interaccin suelo-estructura, pueden tomar el comportamiento del

suelo como modelos elsticos o viscoelsticos. La nolinearidad del suelo se modelar seleccionando el mdulo

de corte del suelo G y el mdulo de amortiguamiento .

Un modelo para representar la interaccin suelo-estructura es como se muestra en la figura 1.7. La

superestructura se representa por una masa y un resorte, colocados a una altura h, que est unida a la

cimentacin mediante una barra rgida sobre la cimentacin, la interaccin con el suelo se modela mediantefunciones de impedancia, representadas por resortes y amortiguadores. El amortiguador toma en cuenta el

amortiguamiento por radiacin y al amortiguamiento del material

F igur a 1.7: Modelo de I nteraccin Suelo-Estructura

Por medio del teorema de la superposicin, la interaccin suelo-estructura se puede dividir en su

componente inercial y cinemtica, este mtodo est basado en el principio de las sub-estructuras. Grficamente

el teorema de la superposicin se puede apreciar en la Figura 1.8.


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F igura 1.8: Teorema de la Superposicin

Se tomar como referencia los reportes del FEMA 440 y 356, para el clculo de cada componente del

teorema de la superposicin. Se menciona que hay tres categoras principales de efectos de interaccin suelo-

estructura SSI por sus siglas en ingls), que son:

Introducir flexibilidad al sistema suelo-fundacin, mediante componentes geotcnicos (resortes).

Filtrado del movimiento del suelo que se trasmite a la estructura (efectos cinemticos).

Disipacin de la energa del sistema suelo-estructura a travs de radiacin y el amortiguamiento

histertico del suelo (efectos del amortiguamiento de la cimentacin)

1.4.1. Apoyos en Cimentaciones Superficiales

El mdulo de corte inicial deber calcularse por la siguiente ecuacin:

Donde es el peso especfico del suelo, es la velocidad de la onda de corte y g la aceleracinde la gravedad (FEMA 356/4.4.2.1.1).

Cimentaciones Rgidas Respecto al Suelo: (FEMA 356/4.4.2.1.2)

Se representa la cimentacin por medio de resortes desacoplados. Los parmetros de clculo se

muestran en la Figura 1.9:


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Figura 1.9: Clcu lo de la Rigidez de una Cimentacin Rgida y Corr eccin por Profundidad

Cimentaciones No Rgidas Respecto al Suelo: (FEMA 356/4.4.2.1.3)

La cimentacin se deber representar por un elemento finito, representando un comportamiento lineal

o no lineal usando un modelo Winkler.


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Figur a 1.10: Clcul o de la Ri gidez en Cimentaci ones no Rgidas

Cimentaciones Flexibl es Respecto al Suelo: (FEMA 356/4.4.2.1.4)

Se calcular por un modelo desacoplado de Winkler.

1.4.2. Efecto Cinemtico

El movimiento del suelo a campo libre, difiere del movimiento impuesto a la cimentacin de una

estructura. Este efecto se le conoce como cinemtico y es importante en edificios con periodos fundamentales

menores a 0.5s. Para representar este efecto, se puede hacer uso de un porcentaje del espectro de respuesta

(RSS).

El porcentaje se calcular mediante el procedimiento simplificado que se presenta en el FEMA 440/8.2

y el Apndice E.

1. Se evala el tamao efectivo de la cimentacin como , donde a y b son lasdimensiones de la cimentacin.

2. El RRS se calcular mediante:

De tener stanos se debe de hacer correcciones por profundidad.

1.4.3. Amortiguamiento en la Cimentacin (FEMA 440/8.3)

El amortiguamiento relativo a la interaccin cimentacin-suelo puede significar amortiguamiento

suplementario que ocurre en la estructura, debido a la accin inelstica de los componentes estructurales. Estetipo de amortiguamiento se asocia con el comportamiento histertico del suelo, as como la energa de radiacin

de energa dentro del suelo por la cimentacin.

Este efecto se representar por una modificacin del amortiguamiento del sistema. El amortiguamiento

inicial para la estructura es tomado como 5%. El amortiguamiento atribuido a la interaccin suelo-cimentacinser . Finalmente el porcentaje de amortiguamiento del sistema estructural ser , que incluir los efectosde la interaccin suelo-cimentacin. El cambio de a modificar el espectro de respuesta.

El procedimiento ser el siguiente:

1. Evaluar los periodos para la estructura asumiendo apoyos fijos o empotrados (T),

evaluar los periodos para la estructura con base flexible ().2. Calcular la rigidez efectiva. es la masa efectiva para el primer modo:


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3. Determinar el radio de traslacin equivalente de la cimentacin, donde A fes el rea de

la cimentacin.

4. Calcular la rigidez traslacional de la cimentacin.

5. Calcular el radio por rotacin equivalente de la cimentacin.

Donde

es:

6. Estimar la relacin periodo efectivo/alargamiento.

7. Determinar el amortiguamiento de la cimentacin debido al amortiguamiento por

radiacin .


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8. Evaluar

.

9. Modificar el amortiguamiento del sistema de a .1.5. Diseo de Edificios Aislados Ssmicamente.

El principio de un aislador de base es modificar la respuesta del edificio, del movimiento bajo el edificio

sin trasmitirlos a la estructura. La implementacin de aislamiento en la base, se basa en hiptesis que para

periodos entre 0.5s a 4s, la energa entrante es constante.

Para sistemas de aislamiento, el amortiguamiento se considera viscoso (dependiente de la velocidad) o

histertico (dependiente del desplazamiento). Para anlisis lineal el amortiguamiento histertico es convertido

a un amortiguamiento viscoso equivalente. El amortiguamiento de un espectro de respuesta, en varios

procedimientos de diseo se modifica a valores superiores al 5%.

Los procedimientos de diseo pueden ser a la mxima cortante en la base o al mximo desplazamiento.

Los tipos de aisladores son variados, pudiendo ser sistemas por deslizamiento, elastomricos, resortes,

rodillos, balanceo.

Las estructuras adecuadas para el uso de aisladores de base son las que tengan periodos cortos (menos

a 1s), por ejemplo estructuras con menos de 10 niveles. Adems un sistema de aisladores trabaja mejor sobresuelos rgidos.

El objetivo del curso no es tratar a fondo el uso de aisladores ssmicos o aisladores de base, slo cmo

influye en el anlisis estructural y luego realizar el clculo de un edificio de concreto armado con aisladores en la

base.

1.5.1. Anlisis Estructural segn UBC

Para el anlisis de un edificio con aislamiento en la base, se deben de tener en cuenta los siguientes

cambios con respecto a edificios sin aislamiento en la base:

1. El factor de importancia se toma como 1, a diferencia de edificios no aislados que es de1.25.


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2. El factor de reduccin ssmica, que representa la ductilidad global del tipo de sistema,es diferente en edificios con aislamiento en la base y edificios sin aislamiento en la base.

3. Para edificios con aislamiento, se tienen distintas fuerzas de diseo para elementossobre y bajo la interface del aislador.

Los elementos por debajo de la interface del aislador, sern diseados por una fuerza elstica igual a:

Donde , es la rigidez efectiva mxima del sistema de aislamiento en el desplazamiento de diseoen el centro de masas .

Los elementos sobre el sistema de aislamiento en la base, se disearn para una cortante mnima Vs:

La fuerza mnima es la fuerza para elementos por debajo del aislador, dividido por el factor RI, que toma

en cuenta la ductilidad de la estructura.

En la tabla a continuacin se presentan los factores de reduccin ssmica para el uso de aisladores en la

base y se puede comprobar con valores de estructuras sin aisladores en la base. Los valores de RI son menores a

R, ya que se quiere evitar altos valores de ductilidad en la estructura sobre el sistema de aislamiento.

1.5.2. Anlisis por Espectro de Respuesta

El anlisis por un espectro de respuesta es el mismo que para un edificio sin aisladores de base, slo se

hacen modificaciones a los apoyos de la cimentacin y se modifica el amortiguamiento del espectro de respuesta.


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Al nivel de la base, los apoyos se modelan conectndolos al terreno por medio de resortes, estos resortes tendrn

la rigidez efectiva del aislador.

F igur a 1.11: Rigi dez Efectiva en un Aislador


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1.6. Problemas de Prctica

Problema N 01

Se pide realizar el anlisis estructural del prtico mostrado. Calcular los desplazamientos, momentos ycortes en el prtico plano. El ancho de todos los elementos es de 30cm, son elementos de concreto armado

donde G=0.4E.

Problema N 02

Determinar las funciones de impedancia para una cimentacin rgida de dimensiones L= 2.00m y B=

1.75m, segn las recomendaciones del FEMA 356/4.4.2.1.2. Tener en cuenta que las unidades del documento

FEMA estn en unidades inglesas. vs = 2500 pie/seg, = 115 libras/pie3, clasificacin de sitio = B.

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