Apuntes matemticosviernes, 2 de enero de 2009

Circunferencias5.1 ngulos en las circunferencias .- Dados dos puntos A y B n una circunferencia, el ngulo central AOB es el que tienesu vrtice en el centro O de la circunferencia y sus lados son los segmentos OA y OB.El arco correspondiente es el que se encuentra entre los lados del ngulo central : el ngulo AB es igual al ngulo AOB.

Por definicin todo ngulo central mide lo mismo que el arco que abraza, sobrentendiendo por supuesto, que nos referimosa la medida angular del arco, ms no a su longitud. Es decir, el ngulo central es la medida en grados del arco que abrazanlos radios que lo conforman.Definicin 5.1.2 Dados tres puntos A, B y P en una circunferencia, el ngulo inscrito APB es el ngulo que tiene su vrticeen P en la circunferencia y sus lados PA y PB son secantes.

Teorema 5.1.1 Todo ngulo inscrito mide la mitad del arco que abraza.Demostracin. Tenemos que demostrar que

Procederemos por casos.Caso 1El centro de la circunferencia est en un uno de los lados del ngulo.

Sea = APB, tracemos el radio OA. As el tringulo AOP es issceles. Por tanto OAP = .Y como (el ngulo central AOB) es exterior del tringulo AOP y no adyacente a y OAP, entonces= + AOP = 2.

Por lo tanto

Caso 2.El centro de la circunferencia est entre los lados del ngulo inscrito.

Sea = APB. Tracemos EL dimetro que tiene como uno de sus extremos a P y llammosle C al otro extremo.Sean 1 = APC y 2 = CPB. Tenemos que = 1 + 2 . Y por el caso 1 ,1 es igual a un medio del arco AC y 2 es iguala un medio del arco CB.

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Por lo tanto

= 1 + 2 = de la suma de los arcos AC Y CB = del arco AB.Caso 3.El centro de la circunferencia queda fuera del rea que comprende el ngulo inscrito.

Sean = APB. Tracemos el dimetro que tiene como uno de sus extremos a P y llammosle C al otro extremo.Sean 1 = APC y 2 = = BPC. Y por el caso 1 se sigue que = 1 - 2 = (arco AC- arco BC)= arco AB.Otra manera de presentar el teorema fundamental de los ngulos inscritos es : todo ngulo inscrito en una circunferenciamide la mitad del ngulo central correspondiente.Como consecuencias inmediatas tenemos los siguientes resultados.Corolario 5.1.2 Todo ngulo inscrito en una semicircunferencia, subtendida por el dimetro , es recto.

Corolario 5.1.3 Dos ngulos inscritos en una misma circunferencia y que abracen una misma cuerda, son iguales si susvrtices estn del mismo lado de la cuerda; y son suplementarios si sus vrtices estn en lados opuestos respecto de lacuerda.Demostracin. Sean A, B ,P ,P y Q como en la figura, es decir P y P estn del mismo lado de la cuerda AB y los puntos P yQ estn en lados distintos.

Por el teorema (5.1.1) sabemos que APB = del arco AQB = APB, as vemos que si los vrtices del ngulo estn delmismo lado de la cuerda, ellos son iguales. Por otro lado tenemos que AQB = del arco APB, luegoAPB + AQB = del arco + del arco AQB APB = 360= 180.Concluimos que si los vrtices estn en lados opuestos respecto de la cuerda, entonces los ngulos son suplementarios.Hay que notar que este corolario lo podemos escribir de la siguiente manera: si A, B, P y Q son puntos de unacircunferencia, entonces1. Q arco APB APB = AQB2. Q arco APB APB + AQB = 180Esto nos da una idea ms clara del recproco de tal corolario, tambin llamado condicin suficiente de conciclicidad decuatro puntos.Corolario 5.1.4 Sean A, B, P, Q cuatro puntos en el plano, cada tres de ellos no colineales. Si los puntos P y Q estn en elmismo semiplano que determina la recta AB y desde ella se ve el segmento AB bajo ngulos iguales.

O bien, si los puntos P y Q estn en distintos semiplanos que determina la recta AB y desde ellos se ve el segmento AB bajongulos suplementarios.

Entonces los puntos A,B, P y Q son concclicosDemostracin.Caso 1.Sean A, B, P y Q puntos en el plano. Supongamos que P y Q estn del mismo lado con la recta que pasa por A y B.

20. Razn Cruzada (1)21. Involucin (1)22. Construcciones conregla y comps. (1)23.Teoremas y problemasselectos (1)3.1 Propiedades de losparalelogramos (1)3.2 Problemas (1)4.1 Propiedades de lostringulos issceles (1)4.2.1 Teorema de labisectriz (1)4.2.2 Teorema inverso dela bisectriz (1)4.2.3 Las tres medianasde cualquier triangulo seintersectan en un mismopunto. (1)4.2.4 El lugar geomtricode todos los puntos delplano que equidistan dedos puntos fijos distintos(1)5.1 ngulos en lascircunferencias (1)5.2 Rectas Antiparalelas(1)5.3 Teorema de Ptolomeo(1)5.4 La lnea de Simson (1)6.1 Principios bsicos deconteo. (1)6.2 Permutaciones. (1)6.21 k permutaciones den objetos. (1)6.3 Combinaciones (1)7.1 Identidades bsicas.(1)7.2 El tringulo de Pascaly el teorema del binomio(1)8 Principio de las casillas(1)9 Induccin matemtica(1)9.1 Problemas y ejercicios(1)Abel (1)Apolonio (1)Arquimedes (1)Boole (1)Cantor (1)Cardano (2)Cayley (1)Commandino (1)Conjuntos (1)David Hilbert (1)Descartes (2)Desigualdades (1)Diofanto (1)Euclides (1)Eudoxo (1)Evariste Galois (2)Fermat (2)Fibonacci (1)Fourier (1)Franois Vite (1)Hamilton (1)Historia de la matemtica(26)Historia de lasmatemticas (1)inecuaciones (1)Introduccin a laGeometra Moderna (3)Johan Mller (1)John Napier (1)L (1)Leibinz (1)Lobachewski (1)Luca Pacioli (1)matemticas babilonicas(1)Matemticas Coleccincientifica de Time-Life(11)Maurolico (1)Mohamed Ibn MusaAlchwarizmi (1)Monge (1)Newton (2)

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Tracemos la circunferencia C que pasa por los puntos A, B y . Supongamos que Q no est sobre la misma circunferencia C.Llammosle l a la recta que pasa por los puntos A y Q. Sea Q el punto de interseccin de la recta l con la circunferencia C,que no es A.Sean l1 y l2 las rectas que pasan por Q y B y por Q y B, respectivamente. Tales rectas l1 y l2 son distintas puesto que Q noest en C y por lo tanto Q y Q son distintos.Sean = APB, = AQB y = AQB. Por hiptesis, y por el corolario (5.1.3).= .Se sigue que ==De esta forma tenemos un sistema de dos rectas l1 y l2 cortadas por la secante l con un par de ngulos correspondientes y iguales. As l1 y l2 son paralelas. Lo cual es una contradiccin pues l1 y l2 son distintas y se cortan en el punto B.Por lo tanto Q est en C.

Caso 2.Sean A, B, P y Q cuatro puntos en el plano. Supongamos que P y Q estn en lados opuestos con respecto de la recta quepasa por A y B.

Sea C la circunferencia determinada por los puntos A, B y P. Supongamos que Q no est en C. Sea l la recta que pasa por lospuntos A y Q, y llammosle Q al punto de interseccin de l con C que no sea A. Sean l 1 y 2l las rectas que pasan por B y Qrespectivamente, y por B y Q respectivamente.Como Q no est en C tenemos que l1 y l2 son distintas.Sean = APB , = AQB, = AQB. Por hiptesis sabemos que = 180- . Y como A, B, P y Q estn en distintos ladosde la cuerda AB, entonces por el corolario (5.1.3) + = 180Por lo tanto = 180- . Se sigue que = .As tenemos el sistema de rectas l 1 y l 2 cortadas por la secante l, con par de ngulos correspondientes y iguales. Por lotanto l 1 y l 2 son paralelas, lo cual es una contradiccin, pues l 1 y l 2 son distintas y se cortan en el punto B.Podemos concluir que Q C.

En el capitulo anterior vimos que dados tres puntos no colineales, existe una nica circunferencia que pasa por ellos. Peroen el caso de tener cuatro puntos no colineales no ocurre lo mimo, pues por ellos pasar una nica circunferencia oninguna.Definicin 5.1.3 Se dice que un polgono es inscriptible, si es cclico, es decir, que todos sus vrtices son concclicos.

Para el caso de cuadrilteros convexos tenemos propiedades que los relacionan con las circunferencias. Podramospreguntarnos, por ejemplo, cando los vrtices de un cuadriltero pertenecen a una misma circunferencia ?, o en otraspalabras cundo un cuadriltero es cclico? El siguiente corolario responde esta pregunta para el caso de aquellos que sonconvexos.

Corolario 5.1.5Un cuadriltero convexo es inscriptible si y slo si sus ngulos opuestos son suplementarios.Demostracin. Bastar verificar la proposicin para una sola de las parejas de ngulos, en vista de que la suma de los cuatrongulos es constante igual a 360.Supongamos primero que ABCD es un cuadriltero convexo inscriptible en donde = BAC y = BDC.

Como A, B, C y D son concclicos y A y D estn en lados opuestos de la cuerda CB, por el corolario (5.1.3) BAD + DCB =180.Supongamos ahora que ABCD es un cuadriltero convexo con ngulos opuestos suplementarios. Sean = BAC y = BDC.As ABC + ADC = 180.

Usando la condicin suficiente de conciclicidad de cuatro puntos, enunciada en el corolario (5.1.4), A,B,C y D estn sobreuna misma circunferencia. Se sigue que el cuadriltero ABCD es inscriptible.Ejercicio 5.1.1 Sean A, B, C Y D cuatro puntos concclicos y P el punto de interseccin de las rectas AB y CD , demostrarque PA PB = PC PD.Solucin. Tenemos dos casos dependiendo del orden en que se encuentren los puntos en la circunferencia. Uno de ellos escuando el punto P es un punto interior a la circunferencia, el otro caso es cuando es exterior.

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Consideremos el primer caso, en el que P est dentro de la circunferencia.

Como los ngulos CAB y CDB abrazan a la misma cuerda CB ellos son iguales. Adems APC = DPB por ser opuestos porel vrtice, asAPC DPB.Por lo tanto

LuegoPAPB = PCPDConsideremos ahora el caso en que P est fuera de la circunferencia

Como los ngulos PAC y PDB son iguales al abrazar el mismo arco BC, entoncesAPC DPB.Por lo tanto

Podemos concluir quePB PA = PC PD .

Este Ejercicio nos muestra que, dado un punto P cualquiera y una recta que pase por el punto y corte a una circunferenciaen los puntos X y Y, la cantidad PX PY permanece constante, no importando cuales sean los puntos de interseccin. A talcantidad le llamaremos la potencia de un punto P con respecto a la relacin dada.Definicin 5.1.4 Un ngulo semi-inscrito es aquel que tiene su vrtice en la circunferencia, unos de sus lados es tangente yel otro es secante.

Teorema 5.1.6 La medida del ngulo semi-inscrito es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados.Demostracin. La demostracin se har por casos de manera semejante a como se procedi en el teorema (5.1.1).Caso 1.Supongamos que el centro O de una circunferencia est sobre uno de los lados del ngulo BAC, a saber sobre la secanteAC, O AC (es decir, estando O sobre la lnea AC).

Entonces AC es el dimetro de la circunferencia y as BAC = 90 = del Arco AC.

Caso 2.Supongamos que el centro 0 de una circunferencia est entre los lados del ngulo.Tracemos el dimetro que tiene como un extremo al vrtice A del ngulo semi-inscrito BAC. Sea D el otro extremo y sean= BAC, = BAD y = DAC.

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Por el caso 1 , = del arco AD. Y como es un ngulo inscrito que abraza al arco DC, entonces = del arco DC. As.

= + = del arco AD + del arco CD = del arco ADC.

Caso 3.Supongamos que el centro O de una circunferencia no est entre los lados del ngulo semi-inscrito BAC. Tracemos eldimetro AD, sean = BAC, = BAD y = CAD.

Por el caso 1, = 90 = del arco AD. Y como es un ngulo inscrito que abraza el arco CD entonces = del arco CD. Por lotanto

= - = del arco AD - del arco CD = del arco AC.+2 Recomendar esto en Google

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