Análisis de Imágenes Digitaleswgomez/diapositivas/AID/Clase0… · Las transformaciones de intensidad modi can el contraste relación entre valores de intensidad y el brillo distribución

Análisis de Imágenes Digitales

Transformaciones de intensidad

Dr. Wilfrido Gómez Flores

Introducción

Mejoramiento � Manipulación de una imagen tal que el resultado

sea más útil que la imagen original para una aplicación particular.

Forma general de una transformación en el dominio espacial:

g(x, y) = T [f(x, y)] (1)

Una transformación de intensidad depende solo del valor de f en

el punto (x, y):

s = T (r) (2)

donde r y s son los valores de intensidad de f(x, y) y g(x, y),

respectivamente.

1/32 Transformaciones de intensidad AID-02

Introducción

(a) (b)

Las transformaciones de intensidad modi�can el contraste � relación entre valoresde intensidad � y el brillo � distribución de valores intensidad. (a) Regiones dealto (cuadro superior) y bajo (cuadro inferior) contraste y (b) región oscura(mitad izquierda) y brillosa (mitad derecha).


Introducción

Tipos de operadores básicos utilizados en transformaciones de intensidad: lineal,logarítmico y ley de potencias (Gonzalez and Woods, 2018).


Brillo y contraste

0 64 128 191 255

0

64

128

191

255

0 64 128 191 255

0

64

128

191

255

Contraste (línea superior) y brillo (línea inferior) se pueden modi�car mediantela transformación lineal s = α · r + β, donde α y β modi�can el contraste y elbrillo, respectivamente.


Negativo

0 64 128 191 255

0

64

128

191

255

El negativo de una imagen en el rango [0, L− 1] se obtiene mediante la funciónde transformación s = L− 1− r. Es particularmente útil para mejorar regionesclaras en imágenes donde los píxeles oscuros son predominantes, por ejemplo, enuna imagen de Rayos-X.


Transformación logarítmica

Compresión logarítmica del ran-

go dinámico:

s = c log [1 + (eσ − 1)r] (3)

Expansión exponencial del ran-

go dinámico:

s = c [(1 + α)r − 1] (4)

Factor de escala:

c =L− 1

log(1 + rmax)(5)

0 64 128 191 2550

64

128

191

255

Logaritmica

0 64 128 191 2550

64

128

191

255

Exponencial


Transformación logarítmica(a) (b)

(c) (d)

Transformación logarítmica incrementa el rango dinámico en regiones oscuras ylo disminuye en regiones claras: (a) MRI y (b) mejorada con σ = 0.5. Trans-formación exponencial mejora el detalle en regiones claras y disminuye el rangodinámico en regiones oscuras: (c) imagen aérea y (d) mejorada con α = 0.007.


Corrección gamma

0 64 128 191 255

0

64

128

191

255

La corrección gamma se calcula como s = c·rγ , donde donde c y γ son constantespositivas y r ∈ [0, 1]. Variando el valor de γ, es posible realizar diferentes tiposde compresión y expansión del rango dinámico.


Corrección gamma

(a) (b)

(c) (d)

Compresión del rango dinámico cuando γ < 1: (a) MRI y (b) mejorada conγ = 0.5. Expansión del rango dinámico cuando γ > 1: (c) imagen aérea y(d) mejorada con γ = 5.


Mejoramiento por partes

0 64 128 191 2550

64

128

191

255

(a)

0 64 128 191 2550

64

128

191

255

(b)

Destacar un rango especí�co de valores de intensidad: (a) mantener los valoresde intensidad dentro del rango de interés y asignar un valor constante a lospíxeles restantes y (b) intensi�car el rango de intensidades deseado y preservarlos valores de intensidad de los píxeles restantes.


Mejoramiento por partes

(a) (b) (c)

(a) Imagen de angiograma aórtico. (b) Resultado de mantener los valores deintensidad dentro del rango de interés. (c) Resultado de intensi�car el rango deintensidades deseado.


Histograma de intensidades

Histograma � grá�co de ocurrencia de cada valor de intensidad en

una imagen digital:

h(k) =∑x,y

1k [f(x, y)], k = 0, 1, . . . , L− 1 (6)

donde 1k(·) es una función indicatriz.

Histograma normalizado:

p(k) =h(k)

MN, k = 0, 1, . . . , L− 1 (7)

donde M y N son el alto y ancho de la imagen, respectivamente.

El componente p(k) es una estimación de probabilidad del k-ésimo

valor de intensidad, de modo que satisface∑L−1

k=0 p(k) = 1.



Función de distribución acumulada:

c(k) =

k∑i=0

p(i) (8)

El componente c(k) describe la probabilidad de que el k-ésimo

valor de intensidad tenga un valor menor o igual que k.

(a)

0 64 128 191 2550

0.01

0.02

0.03(b)

0 64 128 191 2550

0.2

0.4

0.6

0.8

1(c)

(a) Imagen. (b) Distribución de probabilidad. (c) Distribución acumulada.



Oscura Brillosa Bajo contraste Alto contraste

Cuatro tipos de imágenes y sus correspondientes histogramas. El eje horizontalde los histogramas representa a k y el vertical son valores de p(k). El análisis delhistograma es la base de varias técnicas de transformación de intensidad.


Expansión de contraste

Bajo contraste: valores de inten-

sidad muy próximos entre ellos.

Estirar los niveles de intensidad

para cubrir el rango [0, L− 1]:

s = (L− 1)

(r − rmın

rmax − rmın

)(9)

Problema: sensible a valores de

intensidad atípicos.

Solución: de�nir rmın y rmax a

partir de los componentes c(k).

(a)

(b)

(a) Imagen con bajo contraste y (b) ex-pansión de contraste.


Expansión de contraste

(a)

0 102 124 2550

0.025

0.05

0.075

0.1

0.125

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

(b)(c)

(a) Imagen con bajo contraste y valores atípicos (puntos negros y blancos).(b) Distribución de probabilidad y acumulada; rmın y rmax se seleccionaron comoel 5◦ y 95◦ percentil (marcados con líneas discontinuas), respectivamente, de ladistribución acumulada. (c) Imagen mejorada.


Ecualización del histograma

Ecualización del histograma � redistribuir los valores de intensidad

en el rango [0, L− 1], preservando el número de píxeles.

Se deben satisfacer las condiciones:

1. T (k) es monótonamente creciente en el intervalo [0, L− 1].

2. 0 ≤ T (k) ≤ L− 1 en el intervalo [0, L− 1].

Función de mapeo:

T (k) = (L− 1)

k∑i=0

p(i), k = 0, 1, . . . , L− 1 (10)

lo cual equivale a la función de distribución acumulada escalada

por L− 1.


Ecualización del histograma

(a)

0 64 128 191 2550

64

128

191

255(b) (c)

(a) Imagen con bajo contraste y su histograma. (b) Función de mapeo. (c) Ima-gen ecualizada y su histograma.


Ecualización del histogramaOriginal

Oscura

Ecualizada Histograma original Funcion de Mapeo Histograma ecualizadoB

rillo

sa

Bajo

contr

aste

Alto c

ontr

aste


Ecualización adaptativa

La ecualización es un proceso global, es decir, T (k) se calcula usando el histogra-ma de la imagen completa. Problema: puede generar regiones con bajo contrastedebido a que no se considera información local. Solución: realizar la ecualizaciónde manera local en regiones contextuales.



(a) (b) (c)

(a) Imagen con bajo contraste. (b) Ecualización utilizando ventanas traslapadasde tamaño n×n. Cada píxel de la imagen es transformado de acuerdo al histogra-ma de su vecindario. Este enfoque es computacionalmente costoso. (c) Ecualiza-ción utilizando ventanas no traslapadas. Aunque reduce notablemente el tiempode cómputo del enfoque en (b), genera artefactos de bloque.



Reducir artefacto de bloque con

interpolación bilineal.

El centro de cada región contex-

tual es un punto de referencia.

El valor de un píxel r se ma-

pea usando las funciones de

transformación T de las regio-

nes contextuales adyacentes:

s = (1 − y) [(1 − x)TA(r) + xTB(r)] + y [(1 − x)TC(r) + xTD(r)] (11)

A, B, C y D son regiones contextuales.



Izquierda: ecualización adaptativa usando ventanas no traslapadas e interpolaciónbilineal. Derecha: Esquema de interpolación para 3×3 regiones contextuales consus respectivos puntos de referencia generando las regiones RE (esquina), RB(borde) y RI (interna). RE se mapea con su propia función T , RB se mapea condos funciones T , y RI se mapea con cuatro funciones T .



La interpolación bilineal se realiza sobre los píxeles de la imagen original: (1) Siel píxel pertenece a RI, entonces interpolar usando las cuatro funciones de trans-formación adyacentes (arriba izquierda, arriba derecha, abajo izquierda y abajoderecha). (2) Si el píxel pertenece a RB, entonces interpolar usando las dos fun-ciones de transformación adyacentes (izquierda y derecha ó arriba y abajo). (3) Siel píxel pertenece a RE, entonces interpolar usando la función de transformaciónque contiene al píxel.



Problema: la ecualización adaptativa tiende a saturar los niveles de intensidaden regiones oscuras (sobre-contraste). Izquierda: MRI dividida en 2 × 3 regio-nes contextuales, algunas son predominantemente oscuras. Centro: funcionesde transformación de cada región contextual. Derecha: imagen ecualizada conintensidades saturadas. Solución: limitar la cantidad de píxeles con valores deintensidad dominantes.


CLAHE

Ecualización adaptativa limitada por contraste (CLAHE):

1. Para cada región contextual:

1) Calcular el histograma de la región.

2) `Recortar' el histograma en un umbral prede�no (clip).

3) Distribuir uniformemente los valores recortados sobre todo el

histograma para mantener el número total de píxeles.

4) Generar la función T (k) dada en (10) a partir del histograma

modi�cado.

2. Mapear los píxeles de cada región contextual usando las funcio-

nes T (k) generadas aplicando interpolación bilineal dada en (11).


CLAHE

(a)

0 64 128 191 2550

2

4

6

8

1010

4

0

64

128

191

255

(b)

0 64 128 191 2550

1000

2000

3000

4000

5000

0

64

128

191

255

(c)

(a) Parte izquierda: región contextual predominantemente oscura. Parte derecha:región mejorada con CLAHE. (b) Histograma y función de mapeo obtenidas apartir de la región original. La línea discontinua señala el umbral de recorte.Nótese que existe un pico de intensidad predominante que provoca la saturaciónabrupta de los valores de intensidad bajos. (c) Histograma recortado y funciónde transformación generada que incrementa de manera gradual.


CLAHE

Izquierda: MRI dividida en 2×3 regiones contextuales, algunas son predominan-temente oscuras. Centro: funciones de transformación de cada región contextualobtenidas a partir de histogramas recortados. Derecha: imagen ecualizada conCLAHE. El clip se de�nió como el 5% del pico máximo del histograma.


Mejoramiento de imágenes a color

Los métodos de mejoramiento del contraste vistos anteriormente pueden aplicarsea imágenes a color (RGB) modi�cando la componente de luminancia. Común-mente se realiza en el espacio de color HSI, el cual decorrelaciona el canal deluminancia de los canales cromáticos. El mejoramiento de la imagen se aplica enel canal I, sin procesar los canales H y S.


Conversión de RGB a HSI

Normalización de canales RGB:

r =R

R+G+B, g =

G

R+G+B, b =

B

R+G+B

Obtención de canales HSI:

H =

θ si b ≤ g

2π − θ si b > g, θ = cos−1

12 [(r − g) + (r − b)][

(r − g)2

+ (r − b)(g − b)]1/2

S = 1 − 3 · mın(r, g, b)

I =1

3 · 255(R+G+B)


Conversión de HSI a RGB

Identi�cación de sectores angulares del canal H:

H =

H si H < 2π

3 (caso 1)

H − 2π3 si 2π

3 ≤ H < 4π3 (caso 2)

H − 4π3 si 4π

3 ≤ H < 2π (caso 3)

Obtención de canales intermedios:

x = I(1 − S), y = I

[1 +

S · cos(H)

cos(π/3 −H)

], z = 3I − (x+ y)

Obtención de canales rgb:

• Caso 1: b = x, r = y, y g = z

• Caso 2: r = x, g = y, y b = z

• Caso 3: g = x, b = y, y r = z

Multiplicar por 255 para obtener los canales RGB sin normalizar.


CLAHE en imágenes a colorImagen original Imagen ecualizada


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