ANÁLISIS Y PROCESAMIENTO DE MALLAS DE GRADIOMETRÍA GRAVIMÉTRICA

Francisco Enrique Huante Arana (FI-UNAM), Mauricio Nava Flores (FI-UNAM), José Carlos Ortiz Alemán (IMP) & Juan Carlos Colchado Casas (FI-UNAM)

Resumen

En este trabajo se hace un estudio detallado del tensor de gradiometría gravimétrica (FGGT, Full Gravity Gra-dient Tensor) y del procesamiento de datos requerido para esta técnica de prospección. Se define al FGGT co-mo el gradiente del vector de gravedad y se desarrolla el análisis de sus invariantes. Se desarrolla el procesa-miento de datos del FGGT, que se divide en dos principales secciones: la primera para la delimitación de fuen-tes someras y de bordes, y la segunda para la interpretación semiautomática de anomalías. Todos estos proce-sos fueron aplicados a datos observados adquiridos en el Domo Vinton, Louisiana.

Introducción

El Domo Vinton está ubicado en el suroeste de Louisiana en la Parroquia de Calcasieu, cerca de la frontera con Texas entre las latitudes 30.07o y 30.23o norte y longitudes –93.33o y –93.53o oeste. Es un domo salino con un núcleo de sal masiva y una roca envolvente en la cima bien definida. La roca envolvente consiste de calizas, yeso y anhidrita. La estructura está caracterizada por una falla regional que va tierra adentro hacia el norte en una dirección noreste-suroeste, y que divide al domo en dos partes iguales. También hay tres conjun-tos de fallas en la periferia del domo, que son las del noreste, sureste y oeste.

En 2008, Bell Geospace realizó mediciones sobre el Domo Vinton con el Air-FTG, el cual voló a una altura promedio de 77 metros en líneas con dirección de norte a sur y con líneas perpendiculares de atadura. Las ma-llas de datos se realizaron con un intervalo de muestreo de 50 metros en ambas direcciones mediante el méto-do de interpolación de mínima curvatura. Las mallas con las que se trabajó fueron de 201x201 datos. Por com-pensación se decidió realizar una continuación ascendente a una altura de 70 metros.

Marco teórico

Se define al campo gravitatorio como la fuerza gravitatoria (ley de gravitación universal de Newton) por uni-dad de masa de prueba, donde se tiene una fuente de masa con volumen arbitrario V y densidad ρ; es decir,

donde R es la magnitud del vector de posición relativa, el cual depende de las coordenadas de campo y de fuente, y k es una constante.

Sin embargo, el campo gravitatorio terrestre en realidad corresponde a una masa girando en su propio eje con rapidez angular ω. Las ecuaciones de campo son

que corresponden a un campo conservativo y, por el Teorema de Hemholtz, el campo gravitatorio terrestre está construido a partir de un campo potencial escalar, tal que satisface la ecuación de Poisson:

La prospección gravimétrica consiste en realizar mediciones de la componente vertical de la gravedad en dis-tintos puntos de la superficie terrestre con la finalidad de obtener un modelo de densidades, en el cual pueden estimarse ciertos parámetros de las estructuras geológicas de interés. En forma práctica se utiliza la ecuación de Laplace, pues las mediciones se realizan en la superficie terrestre (o por encima) y la rapidez angular de la Tierra puede considerarse nula.

Se define al tensor de gradiometría gravimétrica (FGGT) como el gradiente de segundo orden aplicado al po-tencial gravitatorio, que en coordenadas cartesianas es

que es un tensor de orden 2, donde p, q = 1, 2, 3 y (x1, x2, x3) = (x, y, z). De igual forma, un tensor de orden 2 en tres dimensiones pueden ser representado por una matriz de tamaño 3x3:

Para todo el trabajo se utilizaron las mallas de las seis componentes del FGGT y de las tres componentes del vector de gravedad, calculadas a partir de la Γzz con los operadores de antiderivada, aunque sólo se ilustrarán las componentes gz (figura 1) y Γzz (figura 2):

Figura 1. Componente gz del Domo Vinton. Figura 2. Componente Γzz del Domo Vinton.

Puede observarse que el FGGT es simétrico; es decir, Γpq = Γqp. También, a partir de la ecuación de Laplace (en el espacio libre de fuentes) se puede ver que la traza del tensor es cero; todo esto quiere decir que el FGGT tiene solamente cinco componentes independientes. Como Γ es una matriz simétrica real, ésta puede ser dia-gonalizada con eigenvalores reales y eigenvectores mutuamente ortogonales. Bajo cualquier transformación de coordenadas, contiene tres invariantes:

La ecuación característica para determinar los eigenvalores es tal que las tres raíces reales (eigenvalores) son

Debe observarse que I1 debe ser siempre negativo, y de aquí se define la razón de dimensionalidad como

donde I es igual a cero si el campo es invariante a lo largo de una dirección particular; es decir, si el cuerpo cau-sante es bidimensional o es igual a uno para un monopolo (fuente puntual).

Procesamiento de datos Operadores de realce de

fuentes someras y de bordes

Gradiente Horizontal (HGA) (figura 3):

Figura 3. HGA. Domo Vinton.

Amplitud de la señal analítica direccional (ASA) (figura 4):

Figura 4. ASAx, ASAy, ASAz. Domo Vinton.

Función Edge-Detector (ED) (figura 5):

Figura 5. Función ED. Domo Vinton.

Tensor de gradiometría gravimétrica de curvatura

(CGGT) (figura 6):

Se define al CGGT como la matriz hessiana (o de curvatura) como

cuyos eigenvalores y determinante son

El eigenvalor λ1 delimita mejor los bordes de las fuentes con contraste de densidad po-sitivo, mientras que el eigenvalor λ2 los de contraste de densidad negativa. Para evitar este problema, se utiliza el eigenvalor λ1

multiplicando cada componente del tensor por la componente vertical de la gravedad. La curva de nivel con valor cero es la que delimita los bordes de las fuentes:

Figura 6. Operadores del CGGT. Domo Vinton.

Métodos de interpretación semiautomática de anomalías

Deconvolución de Euler (EULVDG) (figura 7):

Sea la ecuación de homogeneidad de Euler:

que depende de las coordenadas de fuente y de

observación, N es el índice estructural (paráme-

tro que depende exclusivamente de la forma y

naturaleza de la fuente), y Bz es el campo regio-

nal. La ecuación de Euler se resuelve en un sis-

tema de ecuaciones con datos observados en una

ventana móvil de menor tamaño que la malla de

datos, tal que dicho sistema se puede resolver

por mínimos cuadrados.

El índice estructural estimado produce una míni-

ma correlación entre la anomalía de campo y la

estimación de su nivel base. Se estima al índice

estructural como aquél que arroja el menor coe-

ficiente de correlación.

Figura 7. EULVDG. Domo Vinton.

Deconvolución de Euler extendida(EULTDG) (figura 8):

Se utilizan todas las componentes del vector de gravedad y del FGGT. Por lo tanto, se obtienen tres ecuaciones de Euler que pueden resolverse mediante mínimos cuadrados para estimar las tres coordenadas de la fuente y las tres compo-nentes del campo regional. Para la estimación del índice estructural se calculan tres coeficien-tes de correlación y se define un solo parámetro llamado amplitud de correlación:

Se estima al índice estructural como aquél que arroja la menor amplitud de correlación.

Figura 8. EULTDG. Domo Vinton.

Deconvolución tensorial (TENDEC) (figuras 9 y 10):

Ya no se utiliza una ventana móvil, no se asume un campo regional y el índice estructural se esti-ma para cada punto de la malla de datos. La ubi-cación de la fuente es:

Aquí, λ1 es el máximo eigenvalor en valor abso-luto del FGGT y N es el índice estructural que depende de la razón de dimensionalidad (observe que 1 < N < 2, lo cual es una gran limi-tante del algoritmo).

Figura 9. TENDEC. Domo Vinton.

Resultados y Conclusiones

La deconvolución de Euler arrojó soluciones un poco dispersas y su rango de profundidades fue medianamente somero, mostrando solamente las estructuras menores a 1 (km). Por otro lado, la deconvolución de Euler extendida dio soluciones mucho menos dispersas, aunque más someras; algunas un poco más sesgadas a la superficie que el método anterior. El índice estructural estima-do en estos dos métodos resultó de 0.6 para ambos, resultados que están entre N = 0 y N = 1, co-rrespondientes a una fuente de estrato equivalente o diques y a líneas de masas o equivalentes fuentes cilíndricas, respectivamente. Los índices estructurales estimados en estos casos pueden deberse a las formaciones sedimentarias que se encuentran alrededor del domo.

Las soluciones obtenidas con la deconvolución tensorial resultaron mucho más dispersas que las de los otros dos métodos. Este método de estimación no calculó muchas soluciones someras, de-jando profundidades de hasta 4000 (m). Las soluciones obtenidas fueron de gran importancia pa-ra determinar la distribución del Domo Vinton a grandes profundidades. Los máximos de grave-dad que muestran los mapas y los resultados obtenidos en el realce de bordes son debidos a la ro-ca envolvente y no tanto al núcleo de sal. Esto es porque la anhidrita contenida en la roca envol-vente produce un contraste de densidad positivo muy alto.

Con respecto a la interpretación de los resultados se puede concluir que la roca envolvente del domo mide 1.25 (km) de este a oeste y 1.2 (km) de norte a sur. La cima de la roca envolvente se presenta a 150 (m) de profundidad en la parte sur del domo, desde 150 (m) hasta 360 (m) en la

parte central, y en la parte norte va desde 360 (m) a 600 (m). Mediante la deconvolución de Euler se obtuvo la ubicación más somera del domo que se encuentra a una profundidad menor de 150 (m) y está ubicado en las coordenadas (442.5, 3333.9) (km). Se pudo observar que la razón de di-mensionalidad (figura 10) delimitó ciertos rasgos para la determinación de los patrones de fallas

que se encuentran a los alrededores del domo, tan-to para la falla regional como para las causadas por el diapirismo.

Se obtuvo también un mapa de continuación as-cendente a 4000 (m) del operador IE, esto para ob-servar las anomalías a dicha profundidad. Compa-rando este mapa con el obtenido de la TENDEC, se puede ver que los resultados coinciden en posi-ción (figura 11); es decir, las soluciones con pro-fundidades mayores a 2 (km) coinciden con la po-sición del núcleo de sal a 4 (km) de profundidad. Por otro lado, comparando con el operador IE sin continuación ascendente, se puede observar que el núcleo de sal a profundidades altas se encuentra 2 (km) más hacia el noreste que la cima de la roca envolvente en la parte somera (figura 12). Se pue-de interpretar que el Domo Vinton se extiende ha-cia el noreste conforme aumenta la profundidad. Esto puede ser indicio de que la migración de sal

provino desde el suroeste hacia el noreste topándose con una falla regional que obligó a ésta a in-clinarse hacia el suroeste formando, así, el domo salino extendido en su parte noreste (figura 13).

Figura 11. Continuación con TENDEC. Figura 12. Operador IE con continuación. Figura 13. Posible migración de sal.

Figura 10. Razón de dimensionalidad I con pa-

trón de fallas superpuesto. Domo Vinton.

Referencias Barbosa, V., Silva, J. & Medeiros, W. (2000). Making Eu-ler deconvolution applicable to small ground magnetic sur-veys. Bell Geospace, Inc. (2008). Processing and acquisition of Air-FTG data. Vinton Dome. Vinton, Louisiana. Non-Proprietary. Houston, Texas. Final report. Coker, M., Bhattacharya, J. & Marfurt, K. (2007). Frac-

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2 (km)