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Lógica Matemática y Teoría de Conjuntos.

Lógica matemática y Teoría de Conjuntos.

Llamamos conjunto a una colección de objetos (con determinadas características en común) y a los objetos que lo forman se les llama elementos del conjunto.

Llamaremos universo (U) al conjunto que en un momento dado es usado como marco de referencia para formar conjuntos.

Un conjunto queda determinado por una colección de atributos que los elementos del universo pueden o no poseer. Así, los elementos del universo que sí posean los atributos requeridos forman el conjunto.

Observación: Conjunto y universo son términos no definos. Def.: Diremos que un conjunto está descrito por enumeración si se han dado explícitamente todos sus elementos y está descrito por comprensión si sus elementos están dados en forma implícita mediante una frase que los describa.

Pertenencia / NO pertenencia:

(x pertenece al conjunto A): indica que x tiene los atributos que determinan al conjunto A. (x NO pertenece al conjunto A).

La lógica matemática es una variedad de la lógica filosófica.

Los objetivos principales de la lógica son esencialmente: 1. Eliminar las ambigüedades propias del lenguaje ordinario. 2. Dar rigor a aquello que se está estudiando.

En lógica existen dos procesos fundamentales: 1. Conceptualización: consiste en definir los objetos matemáticos que se van a definir. 2. Demostración: consiste en demostrar rigurosamente aquellas propiedades, proposiciones o teoremas que se estén estudiando.

Def.: Se llama proposición a cualquier afirmación que es verdadera (V) o es falsa (F), pero no ambas cosas a la vez. Para nombrar a las proposiciones se suelen utilizar las letras p, q, r, s, ...

Def.: Una proposición abierta (o función proposicional) es una expresión que contiene una variable y que al ser sustituida dicha variable por un valor determinado, hace que la expresión se convierta en una proposición. ((V) ó (F)). p(x); p(x,y,z, ..).

Def.: El conjunto que consiste de los elementos que pueden reemplazar a la variable de una proposición abierta, lo llamaremos el Dominio de la variable.

Def.: El conjunto formado por aquellos elementos del dominio de la variable que hacen verdadera la proposición abierta p(x), lo llamaremos el conjunto solución de la proposición abierta p(x).

Ejemplo: Encontrar el conjunto solución de la propiedad abierta

.

Observación: Usando proposiciones abiertas podemos escribir un conjunto por comprensión:

prop.1 Dominio Conjunto abierta p(x) variable p(x). solución p(x).

1 Describe los atributos que definirán al conjunto.

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Conectivos lógicos: Permiten relacionar proposiciones para formar nuevas proposiciones. Igualmente permiten definir “operaciones” en los conjuntos para obtener nuevos conjuntos.

Tabla conectivos lógicos.Conjunción. “y”.Disyunción. “o”.Condicional. “si p entoces q”.Negación. “no”.Bicondicional.(ó doble implicación).

“p si y sólo si q”.

Def.: Dadas dos proposiciones p y q, se llama proposición conjuntiva de p y q, y se escribe , a la proposición que dice "p y q". es verdadera cuando p y q son verdaderas simultáneamente. (Ver: “Tablas de Verdad”).

Def.: Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, entonces definimos el conjunto A intersección B, que denotaremos por como sigue:

Observación: Si P es el conjunto solución de la proposición p(x) y Q el de la proposición q(x), entonces el conjunto solución de “p(x) q(x)” es .

Def.: El conjunto vacío que denotaremos por es el conjunto que no tiene elementos. Podemos decir que:

Def.: Dadas dos proposiciones p y q, se llama proposición disyuntiva de p y q, y se escribe , a la proposición que dice "p ó q". es verdadera cuando al menos una de ellas lo es. (Ver: “Tablas de Verdad”).

Observación: De la tabla de verdad de la disyunción (Ver: “Tablas de Verdad”) se deduce que en lógica, la disyunción significa y/o (NO exclusivo).

Def.: Sean A y B dos conjuntos, entonces definimos el conjunto A unión B que denotaremos por como sigue:

Observación: Si P es el conjunto solución de la proposición p(x) y Q el de la proposición q(x), entonces es el conjunto solución de la proposición “p(x) q(x)”.

Ejemplo: Formar la proposición conjuntiva y la disyuntiva; hallar el conjunto solución de las componentes, el conjunto solución de la conjunción y la disyunción. Dominio:

.

Proposición conjuntiva:

Proposición disyuntiva:

Conjunto solución p(x):

Conjunto solución q(x):

Conjunto solución :



Conjunto solución :

Def.: Dadas dos proposiciones p y q, se llama proposición condicional de p y q, y se escribe , a la proposición que dice "(no p) ó q". es verdadera cuando q es verdadera, o bien p y q son falsas a la vez. (Ver: “Tablas de Verdad”).

Def.: Una palabra o frase que indique cuántos objetos o cosas cumplen con determinada propiedad, se llama un cuantificador.

Generalmente, para convertir una proposición abierta (función proposicional) en una proposición, se utilizan los llamados cuantificadores:

a) Existencial: Y se lee "existe, al menos, un x tal que se verifica P(x)".

Nota: Para decir "existe un único x tal que P(x)" escribimos: .

b) Universal: . Y se lee "para todo x se verifica P(x)".

Observación: Las expresiones cuantificadas universal o existencialmente es una nueva proposición que tiene un valor de verdad que se establece en los siguientes axiomas2 de verdad:

i) La proposición “ ” es falsa si al menos un elemento del dominio D, hace falsa la proposición P(x).

ii) La proposición “ ” es verdadera cuando hay al menos un valor x en el dominio D que haga verdadera3 la proposición P(x) y será falsa si no existe un solo elemento del dominio que haga verdadera a P(x).

Def.: Sean A y B dos conjuntos, diremos que A es un subconjunto de B que escribiremos , si para toda x que pertenece a A se tiene que x también pertenece a B. Es decir, todos los elementos de A lo son también de B.

Si A no es subconjunto de B, lo denotaremos por .

Observación: Para todo conjunto A: .

Def.: Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. Diremos que A es un subconjunto propio de B si y sólo si:

a) yb)

Def.: La proposición es verdadera si y sólo si donde P es el conjunto solución de p(x) y Q es el conjunto solución de q(x).

Def.: Dada una proposición p, se llama proposición negativa (o negación) de p, y se escribe , a la afirmación que dice "no p". es verdadera cuando p es falsa. (Ver: “Tablas de Verdad”).

2 Axiomas: afirmaciones que son aceptadas como verdaderas.3 (aunque existan otros valores del dominio que la hagan falsa).



Observación: Algunas negaciones más comunes de proposiciones cuantificadas:

Proposición NegaciónTodos Algunos .... noAlgunos NingúnAlgunos .... no TodosNingún Algunos

La negación de los cuantificadores es de la siguiente forma:

a)

b)

Def.: Si consideramos a U como el conjunto universo y , definimos el complemento de A, que

denotaremos por como:

Observaciones:i)ii)iii)iv)

Observación: El conjunto solución de , donde P es el conjunto solución de p(x).

Ejemplo:

Conjunto solución p(x):

Conjunto solución

Def.: Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, definimos el conjunto diferencia como sigue:

Observación: A’ se puede considerar como la diferencia entre U y A. Osea:

Observaciones:

1. Si es una implicación, entonces q tiene que ser verdadera. 2. Dada , se dice que p es la hipótesis o premisa de la implicación, y que q es la conclusión o tesis de la implicación. 3. Dada , se dice que p es condición suficiente de q, y q es condición necesaria de p. 4. Dada , se dice p es condición necesaria y suficiente de q, y que q es condición necesaria y suficiente de p. 5. Dada , se dice que: i) es el teorema directo. Implicación. ii) es el teorema contrario. Contraria implicación. iii) es el teorema recíproco. Recíproca implicación.



iv) es el teorema contrarecíproco. Contrarrecíproca implicación.

6. i) Una condicional y su recíproca no son equivalentes. Observación: si una condicional es cierta, su recíproca puede que sea o no verdadera.

ii) Una condicional y su contraria no son equivalentes. Observación: si una condicional es cierta, su contraria puede que sea o no verdadera.

iii) Una condicional y su contrarrecíproca si son equivalentes. Observación: si una condicional es cierta, también su contrarrecíproca lo será.

Métodos de demostración de una implicación: Cuando hay que probar que , tres de los métodos de demostración más utilizados son:

1.Método directo: Consiste en llegar a obtener lo que nos dice la tesis, utilizando únicamente para ello los datos de la hipótesis. 2.Método del contrarecíproco: consiste en probar el teorema contrarecíproco de la implicación, es decir,

.

Ejemplo: Encontrar el valor de verdad de la siguiente proposición. Dominio=R.

Proposición: V.

3.Método de reducción al absurdo (o de contradicción): Consiste en probar demostrando que se

cumple lo siguiente: .

Def.: Dadas dos proposiciones p y q, se llama proposición bicondicional de p y q, y se escribe , a la proposición que dice "(p condicional q) y (q condicional p)". es verdadera cuando p y q son verdaderas o falsas simultáneamente. (Ver: “Tablas de Verdad”).

Observación: La proposición es verdadera si y sólo si

.

Tablas de Verdad:

Técnica que permite averiguar el valor de verdad de una proposición conociendo los valores de verdad de sus componentes.

, donde n es el número de proposiciones que intervienen.

(1) (2) (3)V V F V V V VV F F F V F FF V V F V V FF F V F F V V

(1) NO exclusivo.(2) p: antecedente o hipótesis.

q: consecuente o conclusión.(3) .



Observaciones:

1. Def.: Decimos que dos proposiciones son equivalentes cuando tienen la misma tabla de verdad. También decimos que dos proposiciones son equivalentes cuando la bicondicional que se forma entre ellas es una tautología y viceversa. 2. Según la tabla de verdad que tiene una proposición, esta se clasifica en tautología, contradicción e indeterminación.

Def.: Una proposición se llamará tautología si para cualquier valor de sus componentes (en cualquiera de sus interpretaciones), su valor de verdad siempre es verdadero.

Def.: Una proposición será llamada una contradicción si para cualquier valor de sus componentes (en cualquiera de sus interpretaciones), su valor de verdad siempre es falso.

Def.: Se dice que una proposición es una indeterminación cuando su tabla de verdad tiene valores de verdadero y de falso.

Def.: Una implicación es una condicional de la forma , tal que es verdadera suponiendo que p es verdadera, y tiene que existir una relación causa-efecto entre p y q. Además, una implicación entre p y q se escribe , y se lee "p implica a q" ó "si p entonces q".

Def.: Una equivalencia es una bicondicional de la forma , en donde es una implicación y es también una implicación. Se escribe , y se lee "p es equivalente a q" o

"p si y sólo si q".

Def.: Sean A, B dos conjuntos cualesquiera, diremos que si y sólo si .

Álgebra Proposiciones / Álgebra Conjuntos.

Álgebra de Proposiciones. Álgebra de Conjuntos.Leyes de idempotencia. Leyes de idempotencia.

Leyes asociativas. Leyes asociativas.

Leyes conmutativas. Leyes conmutativas.

Leyes distributivas. Leyes distributivas.

Ley de complemento. Leyes de identidad.

Leyes de Morgan. Leyes de complemento.

Leyes de Morgan.



Def.: Diremos que hay una correspondencia biunívoca (o uno a uno) entre los conjuntos A y B si y sólo si cada elemento del conjunto A está relacionado con uno y sólo un elemento del conjunto B.

Observación: La correspondencia uno a uno entre A y B no es única.

a 2 a 3e 5 e 4i 1 i 2o 3 o 1u 4 u 5 etc.

Def.: Llamaremos una sección del conjunto de los números naturales, que denotaremos por al

conjunto de los primeros números naturales, esto es:

Def.: Si exite una correspondencia uno a uno entre un conjunto A y una sección de los naturales,

diremos que es la cardinalidad del conjunto y lo denotaremos por .

Observación: De la definición anterior se deduce que la cardinalidad de un conjunto es el número de elementos de éste.

Def.: Diremos que la cardinalidad del conjunto vacío es cero, osea:

Def.: Diremos que un conjunto A es finito si existe una correspondencia biunívoca entre el conjunto A y una sección de los naturales .Si un conjunto no es finito, lo llamaremos conjunto infinito.

Observación: Cuando dos conjuntos no son iguales se pueden presentar dos situaciones que son:

1) A y B son diferentes, pero tienen elementos en común.2) A y B son diferentes y además A y B no tienen elementos en común, cuando esto sucede

diremos que A y B son conjuntos disjuntos.

Def.: Dos conjuntos A y B serán conjuntos disjuntos o ajenos si y sólo si .

Nota.: Mediante el concepto de cardinalidad, diagramas de Venn-Euler y las propiedades de las operaciones de conjuntos (Álgebra de Conjuntos) podremos determinar el número de elementos de un conjunto (problemas de conteo).



Otro tipo de conjuntos de interés son aquellos conjuntos cuyos elementos son también conjuntos. Si hablamos, por ejemplo, del conjunto de estudiantes de una Univeridad, podemos pensar en el conjunto formado por todos los estudiantes de dicha Universidad. También podemos referirnos al conjunto formado por todas las carreras que se imparten en dicha Universidad. En esta segunda forma de expresar el conjunto, los elementos son a la vez el conjunto formado por el conjunto de estudiantes de cada una de las carreras. Aí, por ejemplo, si denotamos por . Y si

tomamos A = carrera de Psicología, encontramos que: que a la vez es un conjunto. Entonces diremos que C es un conjunto de conjuntos.

Def.: Si A es un conjunto cualquiera, definimos el conjunto potencia de A como el conjunto formado por todos los subconjuntos de A y lo denotaremos por .

Observación: Si A tiene elementos, el conjunto potencia de A tendrá elementos y por esta razón es

costumbre denotar al conjunto potencia por . Osea:

Ejemplo:


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