Slido de revolucinSe denomina slido de revolucin o volumen de
revolucin, al slido obtenido al rotar una regin del plano alrededor
de una recta ubicada en el mismo, las cuales pueden o no cruzarse.
Dicha recta se denomina eje de revolucin.Sea f una funcin continua
y positiva en el intervalo [a,b]. Si la regin R indicada en la
figura rota alrededor del eje X, sta genera un slido de revolucin
cuyo volumen tratamos de determinar.
VOLUMENES DE SLIDOS DE REVOLUCION Los slidos de revolucin son
slidos que se generan al girar una regin plana alrededor de un eje.
Por ejemplo: el cono es un slido que resulta al girar un tringulo
recto alrededor de uno de sus catetos, el cilindro surge al girar
un Rectngulo alrededor de uno de sus lados.
Mtodo del disco. Si giramos una regin del plano alrededor de un
eje obtenemos un slido de revolucin. El volumen de este disco de
radio R y de anchura es: Volumen del disco = Para ver cmo usar el
volumen del disco y para calcular el volumen de un slido de
revolucin general, se hacen n particiones en la grafica.Estas
divisiones determinan en el slido n discos cuya suma se aproxima al
volumen del mismo. Teniendo en cuenta que el volumen de un disco es
, la suma de Riemann asociada a la particin, y que da un volumen
aproximado del slido es ,
Frmula del volumen por discos Por tanto, recordando la definicin
de integral definida de Riemann se obtiene que:
si se toma el eje de revolucin verticalmente, se obtiene una
frmula similar
EJEMPLO 1: La regin entre la curva y el eje x se gira alrededor
del eje x para generar un slido. Hallar su volumen.
TRAZO DE LA REGIN Y DE LA SECCIN TPICA. Abajo se muestra la
regin R pedida:
Regin que rota alrededor del eje x
EXTRACCIN DEL RADIO PRINCIPAL: Es claro que el mtodo a utilizar
es el mtodo de los discos. Luego, la distancia del segmento r
(radio principal) es f, es decir:
LIMITES DE INTEGRACIN: Estos lmites nos lo fueron Regin que rota
alrededor del eje x dados en el enunciado del ejemplo: 0 x
25.FORMULACION DE LA INTEGRAL: Aplicando la expresin
correspondiente para volmenes usando el mtodo del disco
tenemos:
Por tanto el volumen del slido es
rea de una superficie de revolucinUna superficie de revolucin se
forma cuando se hace girar una curva en torno de una recta. Podemos
imaginar que se desprende una capa externa muy delgada del cuerpo
de revolucin y que la cascara se aplana para poder medir su
rea.
Cuandosea positiva y tenga derivada continua, definimos al area
superficial de la superficie obtenida al hacer girar la curvaen
torno al eje x
Con la notacion de Leibniz para derivadas la ecuacion se
transforma en:
Si la curva se describe con la ecuacinla ecuacin se
convierte
Se puede resumir de forma simbolica,Rotacion en torno eje x
Rotacion en torno eje y
Dondese refiere a:
Encuentre el rea de la superficie obtenida por la rotacin de la
curva en el eje X.=>Entonces:
Hacemos las respectivas sustituciones:y
Simplificamos;
Y, finalmente, nuestro resultado aproximado sera:
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