APLICACIÓN DE MODELOS ESTADÍSTICOS AL …bibing.us.es/proyectos/abreproy/20298/fichero/PROYECTO.pdf · APLICACIÓN DE MODELOS ... departamento de Asset Risk & Governance” dentro

Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla

PROYECTO FIN DE CARRERA

APLICACIÓN DE MODELOS

ESTADÍSTICOS AL PRONÓSTICO DE LA DEMANDA DE REPUESTOS

ESTRATÉGICOS EN EL SECTOR DE PRODUCCIÓN DE ENERGÍA

ELÉCTRICA.

Autor: Alicia Herrera Espinar Tutor: D. Benito Navarrete Rubia

Departamento de Ingeniería Química y Ambiental Sevilla, Junio de 2012

Proyecto Fin de Carrera presentado por Alicia Herrera Espinar, alumna de la Escuela Técnica Superior de Ingeniería de la Universidad de Sevilla, para la obtención del Título de Ingeniero Químico.

Fdo.: Alicia Herrera Espinar

Tutor del Proyecto: Fdo.: D. Benito Navarrete Rubia

Departamento de Ingeniería Química y Ambiental

Escuela Técnica Superior de Ingenieros de la Universidad de Sevilla.

AGRADECIMIENTOS

El presente proyecto fin de carrera es un esfuerzo en el cual, directa o indirectamente,

han participado muchas personas, y sin la ayuda de todas ellas, la realización de este

trabajo no hubiera sido posible.

Por ello me gustaría agradecer en primer lugar, a las personas que conforman el

departamento de Asset Risk & Governance” dentro de la empresa E.ON Kraftwerke

(Hannover), por darme la oportunidad de colaborar con ellos y profundizar en un campo

desconocido hasta entonces para mí.

También a todos mis compañeros y amigos de Alemania, en especial a Sara, que

hicieron que mi estancia allí se convirtiera en una experiencia increíble, incluso en los

momentos más difíciles.

Especial mención para mis tutores. A Jose Abel Cabezas por sus consejos, comentarios,

correcciones, ayuda y paciencia en todo el proceso de elaboración del proyecto. A

Benito Navarrete, por la atenta lectura de este trabajo y sus acertadas correcciones.

No puedo pasar sin agradecer a todos mis amigos que me han acompañado durante

todos estos años: Enero, Isa, Toli, Tamara, Laura F., Inma, Laura G., Juanlu y Ainara;

compañeros de mil batallas, que entienden mejor que nadie el esfuerzo que hemos

invertido en esta complicada tarea. Habéis conseguido que todo fuera más fácil y

divertido.

Especial mención a mis amigas Lourdes y Espe, por estar siempre a mi lado en los

buenos y malos momentos. Y por sus constantes ánimos desde un principio hasta el día

de hoy.

Agradecimiento especial a Enrique por su gran apoyo e incondicional ayuda que me ha

dedicado para que este proyecto se hiciera lo menos difícil posible. Gracias por estar

siempre ahí.

A mi familia, en especial a Patri, por la manera de animarme en los momentos difíciles

que he vivido durante todos los años de la carrera, y por lo que significa para mí.

A mi abuela Loli, por ser la mejor compañera que se pueda tener, por cuidar de mí y

regalarme todo su tiempo haciéndome todo más fácil y llevadero, pues ha conseguido

que mis esfuerzos no tuvieran que ser tan exagerados.

A mi hermano Jesús, por apoyarme en todas mis decisiones y animarme siempre a

seguir hacia delante.

A mis padres, Juan Antonio y Mª Dolores, por todos los esfuerzos que han tenido que

realizar para conseguir que haya podido llegar hasta aquí y ser quien soy.

Gracias a todos por todo,

INDICE 1. Introducción…………………………………………………………………….…….1

1.1. Antecedentes, alcance y objeto del proyecto…………………………….…..1

1.2. Repuestos estratégicos………………………………………………….…....4

1.3. Clasificación de repuestos estratégico…………………………………….....5

1.3.1. Clasificación mediante diagrama ABC……………………………….….5

1.3.2. Clasificación mediante tasa de rotación……………………….………....6

1.3.2.1.Repuestos de alto índice de rotación……………………….…….......6

1.3.2.2.Repuestos de bajo índice de rotación……………………….………..6

1.3.3. Clasificación mediante criticidad……………………………….………..7

1.3.3.1.Equipos vitales……………………………………………….……....7

1.3.3.2.Equipos esenciales…………………………………………….……..7

1.3.3.3.Equipos Auxiliares…………………………………………….……..7

1.4. La importancia de la gestión de activos……………………………….…….8

1.5. Nivel de servicio………………………………………………………...…..9

1.6. Tiempo de entrega o reposición……………………………………….…....11

1.7. Teoría de gestión de activos………………………………………………..12

1.8. Importancia de la decisión de adquisición……………………………….....14

1.9. Teorías de inventarios………………………………....................................16

1.10. Clasificación de políticas de inventarios……………………………….…..17

2. Modelos……………………………………………………………………….…….20

2.1. Modelo EOQ…………………………………………………….……….....25

2.2. Distribución de Poisson………………………………..………………..….28

2.3. Distribución de Gamma-Poisson………………………………………...…31

3. Metodología…………………………………………………………………………31

3.1. Caso piloto……………………………………………………...……..……31

3.2. Tasa de fallo………………………………………………….……………..33

3.2.1. Método directo…………………………………………………..….33

3.2.2. Distribución Chi-cuadrado………………………………...……….35

3.3. Niveles de servicios analizados………………………………………...….38

3.4. Aplicación de los modelos………………………………………………....38

3.4.1 Modelo EOQ………………………………………….…………….40

3.4.2. Distribución de Poisson…………………………………………….42

3.4.3. Distribución de Gamma-Poisson…………………………….……..44

4. Resultados y discusión……………………………………………………………49

5. Conclusiones y recomendaciones……………………………………….…..…….66

6. Bibliografía…………………………………………………………………..……68

Anexo I

Anexo II

Capítulo I: Introducción

1 de 75

1. INTRODUCCIÓN

1.1. ANTECEDENTES, ALCANCE Y OBJETO DEL PROYECTO

El presente proyecto fin de carrera está basado en las tareas de investigación llevadas a

cabo durante mi periodo de 6 meses de prácticas en E.ON, empresa líder del sector

energético, durante el cual, formé parte del equipo del departamento de “Dirección y

evaluación de riesgos” (Asset Risk & Governance) perteneciente al “Centro global de

gestión de la flota de vapor” (Steam Global Fleet Management Center) dentro de E.ON

Kraftwerke GmbH.

Coincidiendo con mi llegada a esta empresa, se estaban iniciando diversos proyectos

dirigidos a la reducción de los costes operativos, entre los que se destacan una serie de

propuestas iniciales dirigidas a la optimización de la gestión del riesgo sobre los activos,

dentro de los que se encuadra la temática de este proyecto y la labor realizada durante el

periodo de prácticas.

Hoy en día, las empresas, desarrollan su actividad en un entorno cada vez más

competitivo que les exige continuamente la optimización de la gestión de los procesos

que la componen en las áreas de operación y mantenimiento, siendo parte de este último

la gestión de las reposiciones de elementos que configuran el proceso, un área que no ha

experimentado gran desarrollo en las últimas décadas.

La gestión de repuestos es lo que en las empresas se ha denominado la gestión de stock

o gestión de almacenes, visto como un lugar donde se encontraba toda clase de

elementos necesarios para reemplazar a aquellos del proceso que fallaban. La existencia

de éstos dependía normalmente de un técnico de mantenimiento, el cuál basándose en

manuales de mantenimiento de los fabricantes de los distintos componentes,

recomendaciones de los mismos y la propia experiencia acumulada en la historia de la

empresa, disponían de la información sobre los repuestos, la cantidad y la rotación que

debían de tener los componentes del proceso productivo. En esta forma de gestionar los

repuestos de una empresa, se basaba más bien en la racionalidad que en la optimización

del proceso de gestión de stock de almacén.

Dado el volumen de activos que es necesario tener invertido en determinados sectores

para disponer de un adecuado almacén de repuestos (hasta unos 80 millones de euros,

dependiendo del tipo de compañía), su gestión se ha convertido en un parámetro a

Pronóstico de la demanda de repuestos estratégicos usando modelos estadísticos

2 de 75

optimizar y se considera un potencial para dar a una empresa una ventaja competitiva

por menor activo inmovilizado, generando flujos financieros en otras direcciones de

negocio, que pueden dar mayor rentabilidad y aumentar los beneficios de la empresa.

Por todo lo anterior, y como una primera aproximación a la optimización, aparece el

concepto de repuesto estratégico, reduciendo el número de repuestos convencionales

que existían en los almacenes y dando un sentido de necesidad del mismo ya que su no

presencia interrumpe el funcionamiento del proceso productivo, o la generación del

producto en cuestión. Con esta medida desaparecen el exceso de todos aquellos

repuestos superfluos, cuya falta no detienen el proceso y que pueden ser fácilmente

adquiridos en corto plazo.

Una vez centrados en un almacenamiento de repuestos estratégicos cabe preguntarse si

cabe una optimización y la respuesta es que el control del número de unidades

almacenadas es de vital importancia para el resultado económico.

Para tomar una decisión sobre el número de repuestos estratégicos que es recomendable

disponer, hemos de realizar un balance en el que se tenga en cuenta por un lado el riesgo

de no disponer de un repuesto cuando es necesario (parada de la producción, tiempos

largos para la entrega de un repuesto) y los costes en los que la planta puede incurrir

(coste por indisponibilidad, costes de penalización, costes de envío de emergencia…); y

por otro lado, los costes de tener disponible el repuesto aun sabiendo que puede que no

se utilice en todo su ciclo de vida (coste del equipo, coste de mantenimiento, coste de

almacenamiento...)

Por ello las empresas que mantienen grandes activos inmovilizados en sus almacenes

son las primeras interesadas en disponer de una herramienta que gestione el stock de

almacenes atendiendo a indicadores del proceso, tales como, el plazo de entrega (lead

time), la tasa de fallo (failure rate) y cuestiones económicas que faciliten u orienten en

la decisión sobre el nivel de inversión económica que se debe realizar para garantizar la

optimización del proceso.

Todas estas razones son las que han motivado a la empresa colaboradora, E.ON, a

invertir en este proyecto de investigación y gracias a ello, se ha podido llevar a cabo la

realización de este proyecto fin de carrera.


3 de 75

El primer objetivo será formular un modelo matemático que describa de forma adecuada

el comportamiento del sistema de inventarios, y el segundo derivar una política óptima

de inventarios respecto a este modelo.

El alcance del proyecto comienza por determinar, analizar, comprobar y validar

modelos estadísticos que pronostiquen el número óptimo de repuestos estratégicos de

entre todos los modelos analizados en el proceso de estudio y en la literatura

especializada, en función de las consideraciones y exigencias de la empresa

colaboradora.

Una vez que se establecen los modelos, se recopilan las variables necesarias (de las que

se profundizará en capítulos posteriores), sobre los repuestos estratégicos que se van a

analizar en este proyecto. Por razones de confidencialidad, no se especifica el equipo

concreto tomado para el estudio piloto efectuado. Es por esto que en adelante cuando se

haga referencia a estos equipos en cuestión, se nombrarán como SPARES.

Se toman en cuenta todos los SPARES actuales que la empresa dispone, así como

aquellos que estuvieron en funcionamiento durante el periodo que abarca el estudio

para constituir la población estadística objeto de estudio. Se clasifica la población en

grupos homogéneos en función de parámetros técnicos, obteniéndose un total de 11

grupos para llevar a cabo el análisis de los tres modelos analíticos.

Además se ha desarrollado una completa herramienta Excel donde se implementan los

modelos propuestos. A partir de estas herramientas, para cada modelo y grupo, se

obtienen los resultados que pronostican el número óptimo en la demanda de repuestos

estratégicos.

El uso sistemático estos modelos propuestos derivaría en una mejor transparencia en el

desarrollo de una consistente política de inventario y una justa gestión en el área de

adquisición de repuestos estratégicos. Por otro lado, la aplicación de esta investigación

en casos reales de gestión de stock, producirá beneficios económicos a la empresa.

Este trabajo comprende 5 capítulos principales. El primer capítulo de introducción

define qué se entiende por repuesto estratégico y otros parámetros de índole técnica

como el nivel de servicio o el tiempo de reposición y su influencia en la gestión.

Además introduce una visión global sobre la gestión de activos así como de las políticas

de inventarios existentes. En el segundo capítulo se define conceptualmente cada uno de


4 de 75

los modelos seleccionados para su análisis. En el tercer capítulo se describe la

metodología que ha sido usada en esta investigación. Los resultados se exponen en el

cuarto capítulo junto a las discusiones pertinentes y finalmente las conclusiones y

recomendaciones son recogidas en el quinto y último capítulo

1.2. REPUESTOS ESTRATÉGICOS

Hay equipos que resultan imprescindibles para llevar a cabo el proceso productivo de

una planta industrial y cuya carencia y tiempo de reaprovisionamiento pueden llevar a

largas paradas de la producción no planificadas. En esta situación, la empresa ha de

hacer frente a una serie de costes imprevistos, tales como pérdida por lucro cesante, es

decir, lo que se ha dejado de ganar al producirse el fallo y no tener repuesto, coste por

penalización, coste por tener que hacer un pedido de emergencia del equipo necesario,

etc., todos ellos consecuencia de la indisponibilidad de dichos equipos. Son éstos

mismos a los que nos referimos como repuestos críticos o estratégicos.

Definir la criticidad de los equipos es una labor ardua, puesto que a pesar de saber las

características que deben cumplir, no existe ningún tipo de documentación que

especifique qué equipos se pueden considerar estratégicos, pues en última instancia ello

dependerá del proceso productivo concreto, de la coyuntura del mercado y de otras

variables externas no necesariamente técnicas.

Típicamente un repuesto estratégico se define a un equipo de alto coste unitario, cuyo

tiempo de adquisición es alto (>6 meses) y cuya pérdida de funcionalidad interrumpe el

proceso productivo.

Para ilustrar lo anterior, se puede poner un ejemplo de lo que se definiría como

repuestos estratégicos para algunos de los distintos sectores industriales

Aviación comercial: Turbina de avión.

Industria cerámica: Sistema de tracción del horno de cocido.

Minería: Elevadores de acceso a pozo

Sector energético. Planta convencional. Generador transformador.


5 de 75

Sector automoción: Cinta de transporte entre estaciones.

Cementera: Molino de clinker

En este proyecto se abordará por tanto un tema de vital importancia para la gestión de

cualquier industria, independientemente del sector al que pertenezca.

1.3. CLASIFICACIÓN DE REPUESTOS ESTRATÉGICOS.

Para la clasificación de los repuestos estratégicos existen diferentes metodologías a

utilizar, desarrolladas en base a distintas técnicas, de entre las que recogemos las

siguientes:

1.3.1. Clasificación mediante diagrama ABC

El sistema de clasificación ABC, también llamado Diagrama de Pareto, fue concebido

por General Electric en los años 50.

Se parte de la observación de que pequeñas cantidades de equipos, A, representan una

gran proporción del valor total del almacén, mientras que, recíprocamente una gran

cantidad de equipos, C, representan solamente una pequeña proporción.

Los equipos A se consideran equipos de alta criticidad (repuestos estratégicos), los

equipos B se consideran con una criticidad media, mientras los equipos C se consideran

de baja criticidad.

El sistema ABC se usa ampliamente en la gestión de stocks de almacén, pues permite

poseer una visión clara sobre la distribución de valor del inmovilizado existente.

Tabla 1: Clasificación mediante diagrama ABC.

Clasificación Proporción de items

Proporción del valor de venta

A 5%-20% 60%

B 20%-30% 20%-40%

C 50%-75% 5%-25%

Fuente: Reliability Centered Spares, RCS. Año1997. www.ellmann.net.


6 de 75

El principal uso que tiene este diagrama es para poder establecer un orden de

prioridades en la toma de decisiones dentro de una organización.

1.3.2. Clasificación mediante tasa de rotación

Una forma muy común de clasificar los repuestos atendiendo su rotación en el almacén.

La rotación del inventario es un concepto básico cuyo conocimiento resulta

indispensable para mejorar la gestión logística de la empresa. Podemos definirlo como

el número de veces que se ha renovado el stock en un proceso determinado durante un

periodo fijado en el horizonte temporal.

No obstante, su forma de cálculo nos lleva a definir el concepto desde otro punto de

vista:

Relación existente entre las salidas y la cantidad de stock de un proceso empresarial.

Índice de Rotación = Salida / Stock

Esto permite clasificar los repuestos según:

1.3.2.1. Repuestos de alto índice de rotación

Estos tipos de repuestos pueden comprarse y recibirse por lotes, tienen demanda muy

frecuente, suelen ser de bajo coste unitario y su tiempo de reposición es relativamente

corto. Estos repuestos se corresponden típicamente con componentes de la clase B o C

en el análisis de Pareto.

1.3.2.2. Repuestos de bajo índice de rotación

Los de bajo índice de rotación son normalmente compras unitarias porque su uso es

poco frecuente. Son también llamados repuestos críticos o estratégicos.

Habitualmente, son de un alto coste unitario, hay pocas unidades en inventario y el

tiempo de reposición puede abarcar desde meses a años. Pueden no llegar a usarse, pero

si no se cuenta con ellos cuando son necesarios pueden tener un gran impacto.


7 de 75

1.3.3. Clasificación mediante criticidad.

Típicamente se distinguen tres niveles de criticidad: Vitales (Alta), Esenciales (Media) y

Auxiliares (Baja).

1.3.3.1. Equipos Vitales (Alta Criticidad)

La indisponibilidad de tales equipos podrían causar una inmediata e inaceptable

penalización, o crear un inmediato daño para la salud, seguridad, medioambiente o la

imagen de la compañía; tales equipos son requeridos para salvaguardar la integridad

técnica de la instalación.

1.3.3.2. Equipos Esenciales (Media Criticidad)

Equipos que operan en sistemas o subsistemas. La indisponibilidad de estos podría

inducir una significativa falta de producción y una importante sanción económica. La

compra de repuestos para equipos esenciales podría estar justificada para reducir los

costes de penalización

1.3.3.3. Equipos Auxiliares (Baja Criticidad)

Equipos que dependiendo de sus funciones pueden permitirse permanecer

temporalmente fuera de servicio, sin tener un efecto grave en las operaciones de

producción y sin reducir la seguridad por debajo de un nivel aceptable.

No obstante, aunque el uso de todas estas clasificaciones se encuentra ampliamente

extendido, estos sistemas de clasificación no resuelve las cuestiones principales en lo

referente al problema de la gestión de repuestos, a saber:

¿Qué repuestos se debe adquirir?, ¿Cuándo se deben adquirir?, ¿Cuánta cantidad se

debe poseer en stock?

La respuesta a estas preguntas se ha de producir mediante un estado de valoración de

riesgos.

Siguiendo la clasificación es posible definir el tipo de repuestos a tratar y dependiendo

de esto, decidir qué modelos de cuantificación del stock, políticas de gestión de stock y

teorías de inventario son más adecuadas.


8 de 75

1.4. LA IMPORTANCIA DE LA GESTIÓN DE ACTIVOS

Debido a que las inversiones en el área que concierne a los repuestos son de gran

relevancia y el lucro cesante en el período necesario para su entrega es muy elevado,

(por ejemplo, un transformador monofásico de salida en una planta de generación

eléctrica de 20kV/400kV y 204 MVA suministrado por ABB, tiene un coste de

1.575.000 € y un periodo de entrega superior a 12 meses) las empresas están cada vez

más interesadas en optimizar la gestión de dichos equipos.

El principal objetivo de cualquier sistema de gestión de inventario es conseguir un

adecuado nivel de servicio al cliente y minimizar tanto el riesgo técnico de la instalación

como la inversión de capital de dicho inventario. Para lograr este propósito, diversos

factores, los cuales trataremos posteriormente, han de tenerse en cuenta.

Antes de centrarnos en el tema principal, es conveniente tener una visión generalizada

sobre la gestión y optimización de activos, qué se entiende por fiabilidad operacional,

por optimización en el mantenimiento o cualquier tipo de estrategia que induzca a

comprender la necesidad de actuar en el sector de repuestos estratégicos.

En los últimos años, las empresas están siendo cada vez más conscientes de que la

“gestión eficaz de activos” (Asset Management) es compleja, muy especializada y que

incluye muchas áreas a tener en cuenta para su correcta aplicación. Por ejemplo, la

optimización de los activos exige considerar variables de índole técnica, comercial,

logística y económica entre otras.

En el marco de la globalización se contempla la situación en la cual todas las partes

implicadas exigen beneficios. Por un lado los inversores quieren mayores rendimientos

y también piden máxima seguridad para sus inversiones; por otro lado los clientes

buscan una buena relación entre calidad, precio y servicio; los empleados persiguen

mejores condiciones de trabajo; la sociedad pone, cada vez con más fuerza y atención a

temas de medio ambiente y seguridad industrial, y además de todo esto día a día surgen

más competidores, no sólo locales, sino también globales.

Generalmente, como resultado de algunas limitaciones en la tecnología usada es

imposible asegurar a la hora de diseñar un producto que éste realizará completamente la

función que se espera de él durante su ciclo de vida, por este motivo, la necesidad de dar


9 de 75

un adecuado soporte se está convirtiendo vital en las empresas para mejorar la

disponibilidad del sistema.

De ahí que un aspecto clave en este tipo de productos sea decidir sus especificaciones y

requerimientos en la etapa de diseño, de este modo la fiabilidad del producto se vería

involucrada desde el comienzo del proceso y como consecuencia esto afectaría a la

frecuencia en el mantenimiento y/o reparaciones de los productos (Lele, 1987; Markeset

and Kumar 2003). Por tanto, en la etapa de diseño es esencial evaluar aspectos tales

como tiempos de instalación, tiempos de diagnóstico de fallo, tiempos y costes de

reparación, repuestos que serían necesarios, etc., ya que estos optimizarían el costo de

ciclo de vida.

Para poseer instalaciones capaces de garantizar un nivel de servicio adecuado, es decir,

fiable en la rápida respuesta a los cambios de la demanda en las que se reduzcan los

tiempos y costos de reparación, las compañías deberían incluir parámetros de fiabilidad

y mantenibilidad desde la etapa de diseño de las mismas. El hecho de tener alta

fiabilidad no implica que no vayan a existir servicios de mantenimiento, si no que,

idealmente éste será necesario en menor grado. Pero, por otro lado, conseguir un muy

alto nivel de servicio, conforme al estado del arte de la tecnología concreta, puede venir

acompañado de costes muy elevados.

1.5. NIVEL DE SERVICIO (SERVICE LEVEL)

El nivel de servicio es usado en la gestión de la cadena de abastecimiento y de

inventario para medir el porcentaje que indica la efectividad de un almacén. Este dato es

fijado previamente entre el proveedor y el cliente para acordar la calidad de dicho

servicio

Un nivel de servicio de 90% significa que una de cada diez demandas del cliente no será

satisfecha; en uno de 99%, el almacén abastecerá con éxito noventa y nueve demandas

de cada cien.

El concepto de nivel de servicio se aplica fácilmente a un stock de alta rotación, y se

relaciona directamente a la experiencia diaria de plantas y almacenes como por ejemplo,

al suministro de tuercas, juntas y sellos para usos de ingeniería.


10 de 75

En cambio, el concepto no resulta intuitivo cuando se aplica a equipos de repuesto

estratégico debido al alto porcentaje que requieren dichos equipos para asegurar una alta

disponibilidad. Alguien debe elegir el nivel de servicio requerido para cada repuesto.

Los repuestos críticos exigen a menudo niveles de servicio muy elevados, generalmente

superiores al 99%. En este punto, encontramos problemas con la percepción humana

respecto al riesgo, dado que todos tenemos problemas para estimar números muy

cercanos a 100%. Un nivel de servicio de 99% suena muy bien, y uno de 99,9% casi

perfecto.

Pero la realidad es que para repuestos críticos, en muchos casos, es conveniente un nivel

de servicio de 99,999% o incluso superior.

El valor del nivel de servicio que se establece dependerá en gran medida del nivel de

riesgo que se quiera asumir. El nivel de servicio alcanza valores mayores para equipos

que sean repuestos estratégicos debido a la necesidad de garantizar la buena

funcionalidad del proceso productivo y la efectividad del almacén.

El hecho de tener un alto nivel de servicio no indica que haya menos posibilidades de

que se produzca un fallo, sino que, en caso de fallo, las probabilidades de tener el

repuesto necesario disponible son mayores.

Esto no quiere decir que lo más adecuado sea fijar un valor lo más elevado posible, ya

que las inversiones que hay que realizar para garantizar tales valores también serían

mucho más cuantiosas y en algunas ocasiones (como la situación en la que ya hubiera

un repuesto disponible o incluso la posibilidad de que no se hubiera producido ningún

fallo en toda la vida del equipo) los costes que hay que asumir para comprar y mantener

un repuesto estratégico pueden parecer innecesarios desde el punto de vista financiero.

Ésta es, sin duda, la disyuntiva esencial a la que se enfrenta la dirección de gestión de

activos en cualquier empresa, y constituye en el fondo, el marco operacional de trabajo

del presente proyecto final de carrera.

Ejemplo práctico:

Imaginemos que una empresa tiene establecido cumplir un nivel de servicio del

95%, pero los modelos utilizados para pronosticar la demanda de repuestos

estratégicos son modelos conservadores los cuales nos proporcionan un nivel de


11 de 75

servicio del 98%. Este incremento suele venir acompañado de un aumento en el

número de repuestos necesarios.

Bajo el punto de vista de un ingeniero encargado en el mantenimiento o en la

evaluación de riesgos, esta situación podría ser favorable, ya que al tener un mayor

nivel de servicio al establecido, la probabilidad de que ocurra un fallo y no

dispongamos de repuestos es aún menor. De esta forma garantizamos que

cumplimos el valor fijado.

Sin embargo, bajo el punto de vista de un empresario, esta situación sería

desfavorable para la empresa, ya que el hecho de tener un mayor valor en el nivel

de servicio de lo que tenemos que cumplir por contrato implica gastos innecesarios.

1.6. TIEMPO DE ENTREGA O REPOSICIÓN (LEAD TIME)

Otro factor a tener en cuenta por ser importante en relación a la logística de repuestos es

la posición geográfica del equipo, o más específicamente, la distancia entre la planta

que necesita el repuesto y el almacén que lo contiene.

La distancia no se refiere únicamente al concepto físico cuya comprobación es

inmediata, sino que engloba también aspectos propios de la viabilidad del transporte y

la logística. Todo ello queda reflejado en términos como el tiempo de reposición o de

aprovisionamiento, L (lead time), que se define como el periodo de tiempo necesario

desde el momento en que se realiza el pedido y éste llega. Este periodo suele ser

proporcionado por los fabricantes de los equipos mediante un formato estándar.

No están aun estipulados los valores reales para que podamos considerar un equipo

repuesto estratégico o no, pero está claro que este periodo debe ser suficientemente alto

(> 6 meses) como para que los costes por no disponer del equipo durante ese periodo

sean elevados. De lo contrario los costes involucrados en el proceso no serían tan

significativos como para necesitar la disponibilidad de dichos repuestos.

Un equipo puede considerarse estratégico por su coste unitario, pero puede ocurrir que

por su corto tiempo de reposición no fuera necesario considerarlo.


12 de 75

1.7. TEORÍAS DE GESTIÓN DE ACTIVOS

La gestión del mantenimiento busca garantizar la disponibilidad de los activos fijos con

fiabilidad y seguridad, durante el tiempo óptimo necesario para trabajar con las

condiciones tecnológicas exigidas, para producir bienes o servicios que satisfagan

necesidades, con los niveles de calidad, cantidad y tiempo solicitados, al menor costo

posible y con los mayores índices de productividad, rentabilidad y competitividad.

Los objetivos principales del mantenimiento pueden ser resumidos en cuatro apartados

(Deckker, 1996):

• Garantizar la función del sistema.

• Garantizar la vida del sistema.

• Garantizar la seguridad.

• Garantizar el bienestar de los humanos que están en contacto con los productos.

A continuación se destacan las siguientes teorías de gestión de activos por considerarse

las más representativas de entre todas las que están en uso actualmente en los diferentes

sectores productivos:

• OIM (Optimization Integral Maintenance)

La Optimización Integral del Mantenimiento propone un enfoque global para realizar

sus funciones en el marco de la fiabilidad operacional. Para ello postula cubrir las

siguientes cuatro áreas fundamentales: desarrollo del talento humano, definición de

estrategias de gestión, optimización de activos físicos, así como de los procesos y

sistemas de información.

• TPM (Total Productive Maintenance)

Este sistema gerencial permite, con la cooperación de toda la organización, tener

equipos de producción siempre listos. Su metodología está soportada por técnicas más

antiguas como las “teorías de la calidad total” y el “método Kaizen”, por lo que

proporciona unas bases para mejorar la productividad y la competitividad empresarial.


13 de 75

• CBM (Condition Based Maintenance)

Se lleva a cabo basándose en el estado determinado de los activos. Éste se establece

teniendo en cuenta los parámetros claves de operación, cuyos valores se ven afectados

por su estado real. Para poder medir estas condiciones se utilizan técnicas de análisis y

diagnóstico, incluyendo ensayos no destructivos.

• PMO ( Planned Maintenance Optimization)

Plan de acción diseñado para revisar los requerimientos de mantenimiento, el historial

de los fallos y la información técnica de todos los activos en operación. El punto de

partida de la PMO se basa en que las acciones de mantenimiento contribuyen

sustancialmente a la cadena de generación de valor en la empresa y que por lo tanto, el

sistema produce mejoras en muchos aspectos de la gestión de activos de la empresa.

• LCC (Life Cost Cycle)

El análisis LCC es una herramienta de soporte para la toma de decisiones correctas.

Cuando consideramos el coste del ciclo de vida de un nuevo producto, uno puede

averiguar qué porcentaje de fiabilidad debería ser designado en relación con la

ubicación técnica del equipo o repuesto. A igualdad de condiciones, la alternativa que se

prefiere es la que nos proporciona un valor de LCC más bajo.

• FMEA (Failure Modes and Effects Analysis)

Metodología que permite determinar los modos de fallas de los componentes de un

sistema, el impacto y la frecuencia con que se presentan.

• AERO ( Asset Enginering Risks & Oportunities)

AERO es el proceso de gestión de activos utilizado en la empresa donde se ha

desarrollado el proyecto. Su objetivo es asegurar la evaluación sistemática, consistente y

veraz de riesgos significativos de índole técnica e ingenieril en las plantas, así como de

oportunidades para la mejora del rendimiento y el funcionamiento.


14 de 75

• RCM (Reliability Centered Maintenance) Mantenimiento Centrado en

Confiabilidad

El RCM es un proceso que fue desarrollado durante las decadas 1960 y 1970 con la

finalidad de determinar las políticas necesarias para mantener los activos físicos, poder

así mejorar las funciones estipuladas para cada equipo y saber responder ante las

consecuencias de los fallos producidos.

• RCS (Reliability Centered Spare): Repuestos Centrados en la Confiabilidad

El método de RCS consiste en hacer una serie de preguntas comenzando con los modos

en los que el equipo puede fallar, pasando por los efectos de que se produzca un fallo y

por último los efectos en los que se podría incurrir por indisponibilidad del repuesto,

para establecer la política de inventario adecuada y poder gestionar cada clase de

repuesto eficazmente.

1.8. IMPORTANCIA DE LA DECISIÓN DE ADQUISICIÓN.

El acelerado y gran cambio que ha sufrido la industria, y en particular el sector de

mantenimiento, ha tenido un efecto bastante importante en el inventario de repuestos.

La automatización industrial, el desarrollo de nuevas técnicas productivas y de

transformación, ha implicado un aumento de los activos físicos. El número de fallos y la

variedad en los distintos tipos, se ha incrementado notablemente en los últimos años, y

así lo ha hecho en paralelo, el número de repuestos necesarios para sustituir los equipos

a reparar. Por otro lado, la indisponibilidad de la planta por espera o por falta de

repuestos se considera inadmisible. Esto puede transformarse en una fuerte presión por

aumentar los niveles de inventario de repuestos, y esta situación también puede ser, a

su vez, un gran problema, ya que la combinación de los factores anteriores puede

generar un aumento alarmante en el valor del stock de repuestos. Además la posesión

de elevadas cantidades puede derivar en el incremento de los siguientes tipos de costes:

• Necesidad de mayor cantidad de espacio e infraestructura para almacenar los

repuestos


15 de 75

• Mayor necesidad de gestión y manipulación de repuestos, con el consiguiente

incremento de los gastos de personal.

• Riesgo de que los repuestos queden obsoletos durante su largo periodo de

almacenamiento.

• Costes de oportunidad financieros derivados de la cantidad de dinero apalancado

invertido en el stock.

• Incremento en la cuantía de las pólizas de seguro (mercancías, infraestructuras,

personas…)

De representar un coste inmovilizado prácticamente insignificante, el stock de repuesto

ha pasado a convertirse en un importante porcentaje de la inversión del capital.

Por todo ello es importante encontrar la cantidad óptima de repuestos que minimice el

coste total para la empresa. En general, los equipos deberían ser almacenados solo si los

beneficios de disponibilidad son mayores que el coste de tener el equipo inmovilizado

en el almacén. Tener un exceso de este tipo de repuestos representa un desperdicio tanto

en términos de capital empleado en su adquisición y mantenimiento, como en la pérdida

de oportunidades financieras por la inversión realizada en este activo y no otro.

Como se puede observar en la figura 1, el balance a realizar es claro. Se debe realizar un

análisis sobre los costes de disponer de un repuesto estratégico específico y los costes

de no disponerlo.

Figura 1: Balance a realizar en la decisión de adquisición de repuestos estratégicos.

Fuente: Elaboración propia.


16 de 75

El análisis representado en la Figura 1, se considera especialmente importante para

aquellos repuestos con alta criticidad y baja rotación ya que no se garantiza su uso en

toda la vida del equipo.

1.9. TEORÍAS DE INVENTARIOS

La gestión de repuestos de una empresa es una parte esencial de la política de gestión de

activos. La teoría de inventarios intenta asegurar que existirá un adecuado nivel de

repuesto en stock para abastecer el proceso en caso de necesidad, optimizando las

variables económicas del problema, ya que mantener un gran inventario pude incurrir en

significantes costes financieros adicionales.

Un efectivo programa para la gestión de repuestos tiene varios objetivos generales:

• Asegurar que el inventario contiene al menos una parte de cada componente que

comúnmente suelen ser necesarios para llevar a cabo la reparación de un

importante equipo cuyo fallo podría resultar un impacto inaceptable en la planta.

• Garantizar que las piezas de reposición de los componentes más importantes se

encuentren disponibles para su uso para el caso en que pudiera ocurrir más de un

fallo durante un ciclo de reposición.

• Mantener el óptimo inventario necesario al mínimo coste.

Para lograr un efectivo programa de gestión de repuestos estratégicos, se formula

primero un modelo matemático que describa de forma adecuada el comportamiento del

sistema de inventario, y de aquí, se derivar una política óptima de inventarios respecto

a este modelo.

En la literatura especializada, existen numerosas publicaciones en el área de suministro

de repuesto, específicamente en la logística de estos equipos (Chelbi and Ait-Kadi,

2001; Kennedy et al., 2002; Langford, 1995; Orsburn, 1991). La mayoría de estos

documentos tratan sobre la gestión de inventarios de equipos de repuesto (Aronis et al.,

2004; Sarker and Haque, 2000; Smith and Schaefer, 1985).


17 de 75

1.10. CLASIFICACIÓN DE POLÍTICAS DE INVENTARIO.

La figura 2, proporciona una visión generalizada sobre los sistemas de inventarios más

utilizados. Esta clasificación está basada en el número de localizaciones en el que se

reparte el inventario, así como en el comportamiento de la demanda. Se recogen los

modelos asociados a demanda constante (EOQ, POQ, EOQ con descuentos por

volumen, etc) y los relacionados con demanda aleatoria, asociadas a una función de

probabilidad.

Figura 2: Clasificación de las distintas políticas de inventario basado en el número de localizaciones

Fuente: “Diseño de un sistema de optimización y control de inventario como parte de un estudio de mantenimiento” (Dr. Marianella Rodriguez (1998))


18 de 75

Los modelos más comunes son utilizados para optimizar el inventario en una localidad

y pueden ser clasificados según el comportamiento de la demanda en:

• Demanda constante.

• Demanda variable.

Los modelos de demanda constante o determinísticos están determinados por el modelo

de Wilson o EOQ (Economic Order Quantity o traducido al español, Cantidad

ecónomica a pedir).

Los modelos de sólo un nivel de localización con demanda variable pueden clasificarse

según repongan el inventario en cantidades fijas a intervalos variables (estos se

denominan como modelos de punto y pedido) o en cantidades variables a intervalos

fijos (denominados como modelos de máximos y mínimos).

Un sistema de inventario multi-niveles (multi-localidades) implica la existencia de una

jerarquía de almacenes. La estructura más básica de este tipo de sistemas de

distribución cuenta con un almacén principal que abastece a otros dos almacenes

secundarios. Los sistemas de distribución reales suelen ser mucho más complejos, con

múltiples niveles de depósitos y líneas laterales para equipos con reposición.

Dentro del sistema multi-niveles, nos encontramos con diferentes tipos, por un lado los

modelos acíclicos, que se aplican a equipos no reparables. Estos a su vez, pueden ser

divididos de una manera semejante a los modelos de inventarios para producción, en

sistemas de demanda dependiente e independiente. En ambos casos la demanda se

asume determinística.

Otro tipo importante de sistema se usa cuando los repuestos pueden ser reparables, en

este caso nos encontramos ante almacenes sectoriales o bases. Cuando un fallo ocurre,

la parte defectuosa es trasladada al almacén sectorial y la llevamos a una línea de

reparación. Estos repuestos son sometidos a ciclos y no son reemplazados del exterior.

Los modelos para los repuestos reparables pueden clasificarse en modelos (S-1, S),

periódicos, de teoría de colas y propietarios.

Los modelos (S-1, S) forman una familia importante en la que los pedidos se realizan de

manera unitaria, de manera que cada vez que un equipo falla, un repuesto es utilizado, y


19 de 75

se realiza un pedido para ocupar el lugar que éste ha dejado, simplificando

considerablemente el modelo.

Uno de los sistemas más importantes correspondientes a modelos (S-1, S), son los

llamados METRIC. Tales modelos son apropiados para cuando la tasa de demanda es

baja y los equipos son muy costosos, es decir, equipos estratégicos o lo que es lo

mismo, equipos de baja rotación. En estos modelos se asume que la demanda sigue el

comportamiento de una distribución de Poisson. En estos casos el coste de pedido es

insignificante en comparación con el coste de almacenamiento o por falta de repuesto en

el almacén. (Hadley y Whitin, 1963; y Sherbrooke, 1968).

Concluyendo con este capítulo de introducción, se recogen los modelos escogidos ,

puesto que dada la naturaleza de la actividad económica de la empresa con la que se ha

colaborado y dado el tipo de repuesto analizado, el sistema que se prevé más adecuado

para caracterizar el comportamiento de la demanda de repuestos estratégicos, es el

modelo (S -1, S). No obstante, también se investigará el comportamiento del modelo

EOQ por ser el modelo utilizado por excelencia en la gestión de inventarios para

materiales de carácter general.

En el próximo capítulo se explicará detalladamente los modelos para su estudio y

análisis.

Capítulo II: Modelos

20 de 75

2. MODELOS

En este proyecto se llevará a cabo el análisis de dos tipos de modelos, EOQ y (S-1, S),

donde implantaremos dos funciones probabilísticas para estudiar su comportamiento,

dentro del último modelo mencionado. Ambas funciones serán representadas por la

distribución de Poisson y la conjunta distribución Gamma-Poisson respectivamente.

A continuación se desarrollarán las características principales y las ecuaciones por las

que se rigen los distintos modelos.

2.1. MODELO EOQ

Este es el modelo más utilizado para el control de inventarios para tipos de repuestos

genéricos por ser un modelo matemático sencillo de usar. Fue desarrollado por Ford

Whitman Harris en 1913, pero fue R.H. Wilson fue quien analizó el método con más

profundidad y popularizó el modelo con sus publicaciones en 1934. [Slipper Daniel,

ulfin Robert L, Junio 1999)

Por esta razón podemos encontrar referencias a este modelo por ambos nombres,”

Modelo de Wilson”, o “Modelo EOQ” (Economic Order Quantity o Cantidad

Económica de pedido).

Como se ha mencionado anteriormente, el principal objetivo de un inventario es lograr

un adecuado nivel de servicio con la mínima inversión requerida. Para ello este modelo

parte de unas hipótesis básicas que se exponen a continuación:

1. La demanda es determinista, es decir constante y conocida.

2. Los productos se producen o se compran en lotes.

3. El Lead time (tiempo de entrega) es conocido y constante.

4. No hay quiebra de stock (debe haber siempre stock para satisfacer la demanda)

5. El coste de adquisición es constante y no depende del tamaño, es decir que no

existen descuentos por grandes volúmenes de compra.


21 de 75

A partir de estas características, podemos anticipar que este modelo no será apropiado

para pronosticar el stock en repuestos estratégicos, ya que este tipo de equipos no

cumplen con las características que se le atribuye a este modelo. Un claro ejemplo se

constata en la descripción referente a la demanda, ya que cuando hablamos de repuestos

estratégicos en muy raros casos es conocida y mucho menos constante.

Aun así, llevaremos a cabo el análisis de este modelo y compararemos los resultados

con los modelos recomendados para equipos críticos con el propósito de corroborar la

no aplicabilidad de este modelo para el tipo de repuesto objeto de estudio.

El modelo busca encontrar el punto óptimo entre el coste por la realización de un

pedido y el coste por almacenarlo. El objetivo consiste en determinar con qué

frecuencia y en qué cantidad se debe abastecer el inventario de manera que se minimice

la suma de estos costes.

Figura 3: Punto óptimo entre coste de pedido y coste de almacenamiento

Fuente: European Organization for Quality. www.eoq.org

Para llegar al objetivo propuesto, se debe calcular el mínimo en la función de costes

representado en la figura 3. La ecuación que se debe cumplir es la siguiente:

Coste total = Coste del pedido + Coste de la compra + Coste del almacenamiento.


22 de 75

Donde:

Coste del pedido

En este apartado entran en juego los costes por formular el pedido. Cabe plantearse el

estudio de la situación de ordenar más veces un pedido de menos volumen, lo que

conlleva tener más gastos administrativos, o por el contrario, se pueden ordenar pedidos

de mayor volumen menos veces durante el año, pero esto implicaría más necesidad de

espacio y posible obsolescencia de los productos.

Cada orden tiene un coste fijo K de preparación para ordenar o pedir un lote, y se pedirá

D/Q veces al año, siendo D, la demanda de repuestos estratégicos y Q, la cantidad a

pedir.

Por lo tanto los costes de pedido corresponden a:

Coste de la compra

Esto corresponde a la suma de todos los costes unitarios, Cunit de los equipos pedidos.

Por lo que al final quedaría:

Coste del almacenamiento

Se tiene en cuenta un coste fijo de almacenamiento, h, de una unidad por unidad de

tiempo y la cantidad promedio de un inventario.

Por lo que el coste total sería la suma de los costes, quedando


23 de 75

Si trabajamos con esta ecuación realizando la derivada parcial con respecto a Q y

hacemos la ecuación 0, podremos determinar el punto mínimo de la ecuación, y por

tanto el mínimo de la función de los costes totales.

Resolviendo la derivada nos queda la siguiente relación:

A partir de aquí, es posible llegar a la ecuación básica que define a la cantidad óptima

de cada pedido, en función de los costes y la demanda:

Además de la cantidad de repuestos necesarios, también es importante conocer cuándo

debemos hacer el pedido, ya que es clave para el buen funcionamiento del almacén. Este

parámetro lo conocemos como Reorder Point (RP) o Punto de Pedido (PP) y es función

de la demanda, D y el tiempo de entrega del repuesto, L.

PP = D x L

Figura 4: Representación gráfica del comportamiento periódico del modelo EOQ

Fuente: “Administracion del abastecimiento” www.slideshare.com


24 de 75

Se realiza una revisión continua de los niveles de inventario. Como se observa en la

figura 4, cuando la posición del inventario alcanza el nivel mínimo, IS (inventario de

seguridad), se establece el punto de pedido, PP, (predeterminado con anterioridad), y es

cuando se efectua el pedido que será siempre de una cantidad fija y determinada.

Siendo la cantidad máxima del inventario, Qmax, la suma de la cantidad óptima de

pedido, Qp, y la cantidad mínima para un inventario de seguridad.

El modelo explicado hasta ahora, es el sistema de gestión básico, pero además del

general existen otros tipos que pueden ser más útiles en función del tipo de inventario

requerido, como por ejemplo, sistemas de revisión periódica, sistemas de mínimos o

máximos, sistemas de descuentos por cantidad…

Ninguno de los sistemas nombrados anteriormente incorporan mejoras sobre el modelo

básico cuando se tratan con repuestos estratégicos, por ello se continua con el análisis

del modelo básico, EOQ.


25 de 75

2.2. DISTRIBUCIÓN DE POISSON

La distribución de Poisson es una función discreta que representa el “número total de

ocurrencias de un fenómeno aleatorio durante un periodo de tiempo fijo o en una región

fija del espacio, tales como el número de defectos en una longitud específica de una

cinta magnética, el número de partículas atómicas emitidas por una fuente radiactiva

que golpea cierto blanco durante un tiempo fijo, etc.

Para que un proceso físico genere una pauta de ocurrencias según la distribución de

Poisson, debe satisfacer las siguientes condiciones:

• La probabilidad de n ocurrencias en un intervalo de tiempo o espacio solo

depende de la longitud o área de ese intervalo y no del punto a partir del cual se

mide. Es decir, el proceso es estacionario.

• El número de ocurrencias en cualquier intervalo de tiempo o espacio es

independiente del número de ocurrencias en cualquier intervalo anterior o

posterior. (Propiedad makroviana)

• Podemos dividir el intervalo de tiempo o espacio en pequeños subintervalos, de

manera que la probabilidad de una ocurrencia en cada uno de ellos sea

proporcional a la longitud o área de ese intervalo, según la constante de

proporcionalidad µ>0, y la probabilidad de dos o más ocurrencias en cada

subintervalo tiene que ser lo suficientemente pequeña como para ser despreciada

frente a la probabilidad de que ocurra una sola. (Propiedad de regularidad)

Un proceso que verifique estas tres condiciones es un proceso de Poisson y se definirá

la variable µ como el número esperado de ocurrencias por unidad de tiempo o espacio.

La función de masa de la distribución de Poisson para un caso general es:

Donde:

� k es el número de ocurrencias del evento o fenómeno (la función nos da la

probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces).


26 de 75

� µ es un parámetro positivo que representa el número de veces que se espera que

ocurra el fenómeno durante un intervalo de tiempo dado, siendo por tanto el

parámetro de ajuste de la función.

� e es la base de los logaritmos naturales (e = 2,71828 ...)

Tanto el valor esperado como la varianza de una variable aleatoria con distribución de

Poisson son iguales a µ.

Consideramos ahora la función adaptada al caso de estudio de ocurrencias de fallos para

la optimización de repuestos estratégicos, dónde la distribución de Poisson representa el

número de fallos esperados frente a la probabilidad de que estos fallos ocurran.

En este caso, µ, se definiría como el promedio de los fallos producidos en el intervalo

de tiempo establecido y para la muestra establecida.

El parámetro de ajuste queda por tanto representado por las variables , por lo que la

función de masa toma la siguiente estructura:

Siendo:

� n, el número de equipos de repuestos estratégicos del mismo tipo que estén en

funcionamiento en el momento del estudio.

� , la tasa de fallo de repuestos estratégicos (failure rate) (tendrá un valor

constante para un mismo tipo de equipo, pero será diferente entre los distintos

equipos)

� L, el tiempo de reposición o de entrega (lead time)


27 de 75

Figura 5: Representación gráfica del comportamiento de una función de

distribución de Poisson


Conocida la función de masa que representa el comportamiento de la demanda de

repuestos estratégicos, que como hemos mencionado con anterioridad sigue una

distribución de Poisson, podremos calcular el número de stock óptimo (S) para este tipo

de equipos. Y además se debe cumplir con el nivel de servicio (p) requerido y

establecido con anterioridad.

Para ello se determinará el valor más bajo de S que satisfaga la siguiente inecuación:

Donde:

S = Número de stock

n = Número de equipos que tomamos como muestra para el estudio.

λ = Tasa de fallo (Failure rate)

L = Tiempo de reposición (Lead time)

k = Número de fallos simultáneos dados en el periodo de estudio.

p = Nivel de servicio (Service level)


28 de 75

2.3. DISTRIBUCIÓN DE GAMMA-POISSON

Tras la investigación realizada en numerosas publicaciones, la empresa colaboradora

para la realización del proyecto propuso centrar el estudio en los supuestos del artículo

“Inventory control of spare parts using a Bayesian approach”1, el cual presenta un caso

de estudio en el que se aplica una aproximación Bayesiana para pronosticar la demanda

y consecuentemente determinar el parámetro S del sistema de inventario (S -1, S) para

controlar la adquisición de equipos como repuestos estratégicos.

La aproximación Bayesiana tiene una gran trascendencia y relevancia en todos los

campos donde se aplica la estadística, como por ejemplo técnicas de solución de

problemas.

Los métodos bayesianos, con una interpretación diferente del concepto de probabilidad,

constituyen una alternativa a la estadística tradicional centrada en el contraste de

hipótesis denominada por contraposición estadística frecuentista. En esencia se

diferencian en que incorporan información externa al estudio para con ella y con los

propios datos observados, estimar una distribución de probabilidad para la magnitud -

efecto- que se está investigando.

A partir de los postulados de dicho artículo, se incluyó este nuevo modelo Gamma-

Poisson en la investigación donde se aplicó la aproximación bayesiana en una forma

innovadora a la hora de especificar una distribución previa de la tasa de fallo usando

estimaciones iniciales.

La distribución compuesta de Gamma-Poisson es una función discreta que representa al

igual que la distribución de Poisson el “número total de ocurrencias de un fenómeno

aleatorio durante un periodo de tiempo fijo o en una región fija del espacio”

Este modelo introduce un término adicional de ajuste llamada función Gamma, cuya

función de densidad es:

1 Aronis, K.-P., et al., 2004. “Inventory control of spare parts using a Baynesian approach: a case study”.

European Journal of Operational Research, 154 (3), 730–739


29 de 75

Donde:

• α y β son parámetros desconocidos de la función. (Tomarán siempre valores >0)

• es la tasa de fallo de repuestos estratégicos (failure rate)

• e es la base de los logaritmos naturales (e = 2,71828 ...)

• Г(α) es la función Gamma la cual es evaluada como, Г(α)= (α -1)!

La distribución Gamma tiene como valor de la media “α / β” y como valor de la

varianza “α / β2”

Conocida la distribución de Gamma, podemos ahora definir la función de probabilidad

de la compuesta Gamma-Poisson para el número de fallos simultáneos esperados k

durante el tiempo de reposición L, que queda representada por la siguiente expresión:

Figura 6: Representación gráfica del comportamiento de una función de

distribución Gamma-Poisson


Luego, el stock de repuestos estratégicos que proporciona como mínimo el nivel de

servicio requerido, será el valor más bajo de S que satisfaga la siguiente inecuación:


30 de 75

La función de distribución de Gamma- Poisson, al igual que la distribución de Poisson,

depende de las variables , pero además incluye dos parámetros, α y β, los cuáles

también dependerán del valor de la tasa de fallo.

Aunque a simple vista la representación gráfica de ambas funciones, Poisson y Gamma-

Poisson, indiquen un comportamiento idéntico, existen diferencias que pueden parecer

insignificantes, pero al tratarse de analizar repuestos estratégicos, estas variaciones

pueden proporcionar un pronóstico de stock con diferentes resultados entre ambas.

Por tanto, es conveniente incluir en la investigación para poder así analizar, comprobar

y validar el modelo Gamma-Poisson, y comparar posteriormente los resultados

obtenidos con los diferentes modelos analizados, Poisson y EOQ.

Capítulo III: Metodología

31 de 75

3. METODOLOGÍA

Previo a la explicación del caso piloto de estudio en cuestión, se resume brevemente la

estructura de la metodología llevada a cabo durante la realización del proyecto:

� Primero se seleccionan los modelos a analizar.

� Posteriormente se crean las herramientas de Excel para cada modelo de tal forma

que los resultados obtenidos pronostiquen el número óptimo de repuestos

estratégicos en cada caso.

� Se continúa recopilando datos reales proporcionados por la empresa

colaboradora para la aplicación de los modelos. A su vez, se establecen los

valores de las variables que intervienen en el proceso.

� Finalmente se procede a la aplicación de los modelos y consecuentemente a la

obtención de los resultados.

3.1. CASO PILOTO

Por razones de confidencialidad y valor estratégico requeridos por la empresa

colaboradora en este proyecto no se puede especificar el equipo concreto tomado para el

estudio piloto efectuado, por lo que se nombrará como SPARE.

Los equipos se han analizados y seleccionados por su clara criticidad en el sector de

generación energética, así como por su elevado coste unitario (típicamente superior a

los 5 M.€). Otra razón por la que se ha tomado para el estudio equipos SPARE es por la

existencia de un historial de fallos disponible, ya que éste debe ser lo más completo y

fiable posible. No de todos los equipos se tiene un seguimiento de los fallos producidos

a lo largo de los años; y es claro que cuanto más antiguo sean los datos, más exhaustivo

podrá ser el análisis.

Se parte de todos los SPARES actuales de los que dispone la empresa, así como

aquellos que estuvieron en funcionamiento durante el periodo que abarca el estudio

(desde 1957 hasta 2011). De esta forma se constituye la población estadística objeto de

estudio.


32 de 75

Se clasifica la población en grupos homogéneos en función de parámetros técnicos,

obteniéndose un total de 11 grupos (Peer Groups) para llevar a cabo el análisis de los

tres modelos analíticos.

Se forma una matriz de fallo donde se registra el periodo de estudio para cada grupo y

se incluye la siguiente información:

• Número del tipo de repuesto estratégico en funcionamiento cada año del periodo

a analizar, ( n ).

• Número de fallos que implicaron una sustitución del equipo por el repuesto

correspondiente, ( r ).

• Fechas en las que se registraron dichos fallos. (Puesto que a efectos del presente

estudio se considera que el periodo de aprovisionamiento de un SPARE es de 1

año, sólo es necesario anotar el año en el que se produjo)

Nota1: En el Anexo II adjunto, se podrá visualizar la matriz de fallo creada

A continuación se resumen los datos recopilados, los cuales asientan las bases para el estudio llevado a cabo:

� Se tiene 11 grupos con SPARES, donde las características técnicas de los SPARES son distintas para cada grupo.

� Cada grupo cuenta además con un historial de fallos distinto, por lo que se tienen distintos valores de n y r.

� El periodo del estudio abarca desde 1957 hasta 2011, siendo t = 1 año, el tiempo de operación

� El tiempo de entrega o reposición para los SPARES se estima en L = 1 año


33 de 75

3.2. TASA DE FALLO

Una vez recopilados los datos más significativos y que se desarrolla la apropiada matriz

de fallo, se procede al cálculo de la tasa de fallo a partir de dos métodos diferentes.

• Método directo

• Distribución chi-cuadrado.

3.2.1. Método directo

Por este método se obtienen los valores de la tasa de fallo directa según la siguiente

fórmula:

Donde: λ: Tasa de fallo (Failure Rate)

r: Número de fallos registrados en los equipos pertenecientes a un grupo. (Dato)

racum: Número de fallos registrados acumulado.(Dato)

n: Número de equipos pertenecientes a un grupo. (Dato)

nacum: Número de equipos acumulado.(Dato)

t: Intervalo de tiempo de operación.(A efectos de este estudio se ha tomado

t=1año, siguiendo las indicaciones de la empresa colaboradora) (Dato)

i: Año inicial. (Dato)

j: Año final. (Dato)

A continuación se muestra un ejemplo de cálculo aplicado a un caso en concreto; no

obstante, se puede generalizar para todos los casos del estudio.


34 de 75

Ejemplo de cálculo:

Calcular la tasa de fallo por el método directo para el grupo 10 en el año 1970.

Tabla 2: Histórico de fallos registrados desde 1957 a 1970 para el grupo 10

GRUPO 10 Año r n 1957 0 0 1958 0 1 1959 1 2 1960 2 3 1961 1 3 1962 0 3 1963 0 3 1964 2 4 1965 1 4 1966 0 4 1967 1 5 1968 1 9 1969 2 13 1970 2 16

Tabla 3: Cálculo del número de equipos y fallos acumulados.

Año r r-acum n n-acum

1957 0 0 0 0 1958 0 0 1 1 1959 1 1 2 3 1960 2 3 3 6 1961 1 4 3 9 1962 0 4 3 12 1963 0 4 3 15 1964 2 6 4 19 1965 1 7 4 23 1966 0 7 4 27 1967 1 8 5 32 1968 1 9 9 41 1969 2 11 13 54 1970 2 13 16 70


35 de 75

Los datos que se introducen en la ecuación son los valores acumulados tanto del número

de equipos como del número de fallos. El motivo para ello es que gracias a la

antigüedad de los datos registrados en el historial de fallos los resultados con respecto al

stock de repuestos estratégicos tienden a ser cada vez más fiables, quedando probada la

máxima importancia de disponer de un histórico de fallos preciso y amplio.

3.2.2. Distribución chi-cuadrado

La distribución chi-cuadrado es una función de distribución continua que introduce un

parámetro k, que representa los grados de libertad de una variable aleatoria.

Su función de distribución es:

La distribución de probabilidad de esta función para valores menores que la x dada, se

representa según la siguiente expresión:

De donde se puede definir:

Esta integral no tiene soluciones conocidas y es sólo obtenida mediante métodos

numéricos para calcular sus valores. Se utilizan diferentes tipos de tablas y algoritmos

de donde se pueden calcular sus soluciones.


36 de 75

Los valores de la tasa de fallo se obtienen a partir de ecuaciones y métodos

computacionales, donde λ toma diferentes valores, según los grados de libertad (k=2r

+2) y el nivel de riesgo, p, que se quiera analizar:

Donde: λ: Tasa de fallo.

r: Número de fallos registrados en los equipos pertenecientes a un grupo. (Dato)

racum: Número de fallos registrados acumulado.(Dato)

n: Número de equipos pertenecientes a un grupo. (Dato)

nacum: Número de equipos acumulado.(Dato)

t: Intervalo de tiempo de operación. (Dato)

p: Nivel de servicio. (Dato)

i: Año inicial. (Dato)

j: Año final. (Dato)

A continuación se muestra un ejemplo de cálculo aplicado a un caso en concreto; no

obstante, al igual que en el método anterior, éste se puede generalizar para todos los

casos del estudio.


Calcular la tasa de fallo por el método directo para el grupo 10 en el año 1970.


37 de 75

Tabla 2: Histórico de fallos registrados desde 1957 a 1970 para el grupo 10

GRUPO 10 Año r n 1957 0 0 1958 0 1 1959 1 2 1960 2 3 1961 1 3 1962 0 3 1963 0 3 1964 2 4 1965 1 4 1966 0 4 1967 1 5 1968 1 9 1969 2 13 1970 2 16

Tabla 3: Cálculo del número de equipos y fallos acumulados

Año r r-acum n n-acum

1957 0 0 0 0 1958 0 0 1 1 1959 1 1 2 3 1960 2 3 3 6 1961 1 4 3 9 1962 0 4 3 12 1963 0 4 3 15 1964 2 6 4 19 1965 1 7 4 23 1966 0 7 4 27 1967 1 8 5 32 1968 1 9 9 41 1969 2 11 13 54 1970 2 13 16 70


38 de 75

Debido a la componente de grados de libertad que existe en el método chi-cuadrado, se

conseguirán valores de la tasa de fallo mayores que con el método directo. Este método

introduce una banda de seguridad por encima del nivel del servicio que se haya fijado,

de tal modo que nos asegura que los resultados que obtengamos proporcionarán valores

más conservadores que el método de tasa de fallo directa.

Además, para el caso concreto donde no existan fallos registrados, los modelos no

proporcionan un adecuado pronóstico de la demanda mediante el método de tasa de

fallo directa, ya que éste asume que λ = 0. Por lo que la utilización del método chi-

cuadrado será conveniente bajo estas circunstancias.

3.3. NIVELES DE SERVICIO ANALIZADOS

Para la investigación desarrollada en este proyecto, ha sido necesario analizar diferentes

valores de nivel de servicio y examinar posteriormente los resultados obtenidos en

cuanto a la demanda de repuestos estratégicos se refiere. En nuestro caso piloto se han

estudiado los siguientes niveles de servicio:

• 95%

• 99%

• 99.99%

• 99.999%

3.4. APLICACIÓN DE LOS MODELOS

Se procede a la aplicación de nuestro caso piloto objeto de estudio a los modelos que se

quieren analizar, y para ello se usa toda la información recogida en el capítulo.

Se expone a continuación el esquema de trabajo llevado a cabo para la aplicación de los

modelos:


39 de 75

Figura 7: Casos de estudios generados función de las combinaciones posibles

MODELOS GRUPOS TASA DE FALLOS NIVEL DE SERVICIO

Grupo 1

Grupo 2

Grupo 3

95% EOQ

Grupo 4

Grupo 5

Método Directo

Grupo 6

99%

Poisson

Grupo 7

Grupo 8

Grupo 9

99,99%

Grupo 10 Gamma-Poisson

Grupo 11

Distribución Chi-cuadrado

99,999%


En la figura 7 se esquematiza todos los niveles de las variables analizadas en el modelo,

que convenientemente combinadas, han dado lugar al total de casos de predicción de

repuestos estudiados. Estos casos se generan al combinar cada uno de los 3 modelos,

para cada uno de los 11 grupos, con cada uno de los 2 métodos que se utilizan para el

cálculo de la tasa de fallo y para cada uno de los 4 niveles de servicios que se requiere,

todo ello para cada uno de los 54 años que abarca el periodo de estudio.

Esto genera un total de 14.256 casos a estudiar en los que cada uno de ellos proporciona

un resultado concreto para el pronóstico de la demanda de los SPARES.

Mostrar todos los resultados obtenidos de todos los casos llevados a cabo resultaría

engorroso y es innecesario para la interpretación de resultados del proyecto, puesto que

no aporta ningún valor teórico o práctico y dificultaría la visión general del proyecto.

Por ello y siguiendo la estructura anterior, se prosigue analizando un ejemplo concreto

para cada uno de los tres modelos objeto de estudio. A continuación se explicará la

metodología necesaria para su uso en cada caso.


40 de 75

3.4.1. Modelo EOQ

La fórmula utilizada para calcular el número de stock pronosticado según este modelo es la siguiente:

Los datos necesarios para su resolución son

• Demanda, D = n* λ

• Coste de pedido*1: (Dato) k€

• Coste de almacenamiento*2: (Dato) k€

Para que la representatividad de los costes utilizados en este método sea adecuada, se ha

optado por trabajar con precios actualizados. Para ello se debe aplicar la tasa de

depreciación, esto es, un índice de devaluación con el tiempo que va actualizando el

valor con respecto al coste actual.

La fórmula para dicha corrección es la siguiente:

Costey = Costeactual * (1 + i) (-y)

Siendo:

• i: el interés a aplicar, que a efectos de este estudio se ha tomado i = 1%

siguiendo las indicaciones dadas por la empresa colaboradora.

• y: el número de años que se contabilizan desde el año actual hasta el año en el

cual se quiere realizar la devaluación.

Una vez procesados todos los datos necesarios, el cálculo del stock es inmediato.

A continuación se muestra un ejemplo de cálculo aplicado a un caso de estudio

concreto, pero como se ha mencionado previamente, éste método se puede sistematizar

para todos los casos del estudio.


41 de 75


Realizaremos el cálculo para el grupo 2 en el año 2010. Fijamos un nivel de servicio de

95% y calculamos la tasa de fallo mediante la distribución chi-cuadrado. Datos:

Tabla 4: Datos recopilados del grupo 2 en el año 2010

r 0 r-acum 18 n 14 n-acum 538 λ 0,049 Cped(K€) 16360 Calm(K€) 41

Por lo que calculamos la demanda con la formula expuesta anteriormente

D = n* λ = 14*0,049 = 0,694

Los costes de pedido y almacenamiento proporcionados están dados con respecto a

2011, por lo que para averiguar los costes en 2010 tendremos en cuenta el índice de

depreciación:

Coste2010 = Coste2011 * (1 + 0,01) (-1)

Coste.ped2010= 16198,02 k€

Coste.alm2010= 40,59 k€

Con lo cual, lo que el número de repuestos estratégicos pronosticados como demanda

según el modelo EOQ en el año de estudio, debería ser 24.


42 de 75

3.4.2. Distribución de Poisson.

La fórmula utilizada para calcular el número de stock según este modelo es la

siguiente:

Donde son datos “n, L, λ, p”. Por lo que habrá que ir iterando “k” tantas veces como sea

necesario hasta alcanzar el valor que logra que se cumpla la inecuación.

Al igual que anteriormente, se expone un ejemplo de cálculo aplicado a un caso de

estudio concreto.


Se efectúa el cálculo para el grupo 2 y año 2011. Se establece un nivel de servicio de 95% y se calcula la tasa de fallo mediante el método directo.

Tabla 5: Datos recopilados para el grupo 2 en el año 2011.

r 0 r-acum 18 n 14 n-acum 552 λ 0,0326 L 1 t 1

A través de la fórmula indicada previamente, se comienza un proceso iterativo para

valores de k, de tal forma que:

Para k = 0

0,508157 < 0,95

Para k = 1

0,852161 < 0,95


43 de 75

Para k = 2

0,968601 > 0,95

Por lo que para k = 2, se cumple la inecuación. Esto indica que el número de repuestos

estratégicos pronosticado por el modelo Poisson es S = k + 1 = 3, para este ejemplo

concreto


44 de 75

3.4.3. Distribución de Gamma-Poisson

El último modelo a desarrollar envuelve un método de resolución con mayor grado de

dificultad. La fórmula para calcular la demanda de repuestos estratégicos según el

modelo Gamma-Poisson se expone a continuación:

Los parámetro “n, L, λ y p” son datos, mientras que “α, β y k” son parámetros

desconocidos de la función de distribución.

Para aplicar el método, debemos previamente calcular el valor de “α y β”. Para ello dos

ecuaciones son necesarias para definir los dos parámetros desconocidos. Un típico

criterio para estimar dichas ecuaciones puede ser la siguiente:

1 Ecuación: Se puede tomar la media o moda de la distribución de λ.

2 Ecuación: Se toma un percentil de la distribución de λ. Desde la experiencia

de los expertos la actual tasa de fallo no excederá más del doble con respecto

a la originalmente estimado en un 95% de los casos.

Sin embargo, estas ecuaciones pueden ser definidas mediante diversas alternativas, por

lo que este método conlleva un enfoque subjetivo. A continuación se muestran cuatro

alternativas posibles para determinar “α y β”, obtenidas de “Inventory control of spare

parts using a Bayesian approach: A case study” 2, publicación que hemos ido siguiendo

durante la ejecución de la investigación.

� Primera alternativa

2 Aronis, K.-P., et al., 2004. “Inventory control of spare parts using a Baynesian approach: a case study”.

European Journal of Operational Research, 154 (3), 730–739.


45 de 75

� Segunda alternativa

� Tercera alternativa

� Cuarta alternativa

En el sector de la generación eléctrica debemos escoger de las diferentes alternativas

aquellas que nos proporcionen mayor seguridad. Puesto que las pérdidas por lucro

cesante cuando la planta se encuentra indisponible son muy altas debemos ser

conservadores en la elección. Por este motivo elegimos la primera alternativa, la cual

toma 2λo como límite superior de la integral dando resultados ligeramente

sobredimensionados.

� Primera alternativa:


46 de 75

Esta integral se resolvió mediante el teorema de la suma de Riemann. Para ello se

implementó dicho teorema en un modelo Excel desarrollado a tal efecto.

Éste es un método de integración numérica que sirve para calcular el valor de una

integral definida, es decir, el área bajo una curva. Este método es muy útil cuando no es

posible utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo.

La suma de Riemann consiste básicamente en trazar un número finito de rectángulos

dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de los rectángulos y sumarlos.

Se debe tener cuidado al elegir los puntos adecuados para realizar las sumas, ya que

pueden obtenerse márgenes de error considerables.

De esta forma, el sistema de dos ecuaciones puede ser resuelto para α y β de forma

aproximada con el requisito de que α sea siempre un integrador positivo mayor de 1.

Los valores de estos parámetros varían en función del nivel de servicio establecido, ya

que la integral que hay que resolver incorpora una inecuación que exige que se cumpla

como mínimo esta variable.

Una vez calculados α y β, queda por resolver el parámetro k. Para ello, se debe iterar

“k” tantas veces como sea necesario hasta alcanzar el valor requerido que garantice que

se cumpla la inecuación.

Debido a la complejidad de la integral, se procede efectuando también el teorema de la

Suma de Riemann.

Para un año y grupo en concreto, se dispone de todos los datos necesarios: n, L, λ, p y se

calcula previamente α y β. Se realiza la hipótesis de que el stock debe ser 1

inicialmente. En este caso, se comienza suponiendo que el valor de k inicial será 0, ya

que k = S – 1, y se calcula mediante métodos computacionales el área encerrada bajo la

curva de la función.

Para k = 0:

A0 ≥ p → S = 1


47 de 75

Si dicha área es superior al valor del nivel de servicio, el problema llega a su fin y el

stock óptimo será S = k+1.

A0 < p → Suponemos k = 1

Para k = 1:

A0 + A1 ≥ p → S = 2

En caso contrario se sigue suponiendo valores sucesivos de “k”, hasta adquirir el valor

con el cual se cumpla que la suma de las áreas alcanzadas para cada valor de “k” sea

superior al nivel de servicio establecido.

A continuación, se expone un ejemplo de cálculo aplicado a un caso de estudio

concreto, pero al igual que en los modelos explicados con anterioridad, este ejemplo es

válido para todos los casos realizados en el estudio


Con el fin de mostrar el proceso de obtención del número óptimo de repuestos

estratégicos con el modelo Gamma-Poisson, tomamos en estudio el grupo 2 en el año

2011. El nivel de servicio establecido es de 95% y el método para el cálculo de la tasa

de fallo escogido es el método directo.

Tabla 6: Datos recopilados para el grupo 2 en el año 2011.

r 0 r-acum 18 n 14 n-acum 552 λ 0,0326 L 1 t 1


48 de 75

Tabla 7: Datos calculados de los parámetros desconocidos de la distribución Gamma-Poisson

α 4 β 0,1227

Para k = 0:

0,649 < 0,95

Para k = 1:

0,649 + 0,266 < 0,95

Para k = 2:

0,649 + 0,266 + 0,068 > 0,95

Con lo que para k = 2, se cumple la inecuación, siendo el número de repuestos

estratégicos pronosticado según el modelo Gamma-Poisson, S = k + 1 = 3, para este

caso de estudio.

Capítulo IV: Resultados y discusión

49 de 75

4. RESULTADOS Y DISCUSIÓN

Con cada uno de los modelos desarrollados para los diferentes métodos de la tasa de

fallo y los distintos niveles de servicio a aplicar, se ha obtenido para cada grupo

analizado los resultados que contemplan el número óptimo en la demanda de los

repuestos estratégicos

La figura 7 representa todas las combinaciones posibles de los casos de estudio que se

han aplicado a los modelos.

Figura 7: Casos de estudios generados función de las combinaciones posibles

MODELOS GRUPOS TASA DE FALLOS NIVEL DE SERVICIO

Grupo 1

Grupo 2

Grupo 3

95% EOQ

Grupo 4

Grupo 5

Método Directo

Grupo 6

99%

Poisson

Grupo 7

Grupo 8

Grupo 9

99,99%

Grupo 10 Gamma-Poisson

Grupo 11


99,999%


Como se ha explicado con anterioridad, son 14.256 los resultados obtenidos de todos los

casos pilotos generados que son parte de este estudio.

Presentar de forma detallada todos los resultados obtenidos para todos los casos y las

diferentes opciones de combinación posibles entre todas las variables involucradas en el

proceso, resultaría muy prolijo y no aportaría información adicional de interés que

contribuya a la comprensión de las conclusiones.

Por todo ello, a continuación se expondrá un análisis comparativo realizado sobre los

resultados de los modelos, con el fin de ilustrar lo más relevante y significativo de los

resultados globales de todos los casos pilotos analizados.


50 de 75

El análisis incluirá la comparación de los tres modelos probados, al igual que la

diferencia existente entre utilizar los diferentes métodos de cálculo para la tasa de fallos.

También se presenta una comparativa para distintos valores del nivel de servicio, así

como para los diferentes grupos que presentan distintas características en cuanto al

número de equipos y número de fallos. Por último se considera la repercusión de tener

un historial de fallos con datos antiguos o en contrapartida actuales y por otro lado, la

distribución de los fallos a lo largo del historial.

Resumen de los casos de estudio seleccionados y agrupados por la variable objeto de

comparación:

Caso 1: Comparativa de los tres modelos propuestos.

Caso 2: Comparativa entre los distintos niveles de servicio establecidos

Caso 3: Comparativa de los dos métodos para el cálculo de la tasa de fallo

Caso 4: Comparativa de los métodos para el cálculo de la tasa de fallo cuando no

existen fallos registrados en el histórico. r = 0.

Caso 5: Comparativa de grupos con igual número de equipos y distintos número de

fallos.

Caso 6: Comparativa entre grupos con igual número de fallos pero distinto número de

equipos

Caso 7: Análisis del histórico de fallos registrados en función de diversos aspectos


51 de 75

Caso 1: Comparativa de los tres modelos propuestos para un mismo grupo y año

en concreto.

Para poder comparar los resultados obtenidos con cada uno de los tres modelos, se debe

primero usar como referencia un mismo grupo. Como podemos observar en la figura 8,

se ha utilizado el grupo 2 y se ha analizado para un nivel de servicio de 99,999%

Figura 8: Representación gráfica de los resultados obtenidos del número de stock

anual de los tres modelos analizados

Grupo 2 n =14, r =18. SL=99.999%

0

5

10

15

20

25

30

35

40

19851986

19871988

19891990

19911992

19931994

19951996

19971998

19992000

20012002

20032004

20052006

20072008

20092010

2011

Años

Sto

ck

EOQ Poisson Gamma-Poisson


Tal y como predecía la literatura especializada, claramente se puede observar que el

modelo EOQ no es adecuado para el pronóstico de repuestos estratégicos, puesto que

prevé el número óptimo de stock, que debiera tenerse para cumplir el nivel de servicio

indicado, con una diferencia de aproximadamente un 350% con respecto a los otros dos

modelos, Poisson y Gamma-Poisson.

En cuanto a éstos últimos, ambos presentan casi el mismo comportamiento ya que

proporcionan los mismos valores en la mayoría de los años, o con una diferencia en una

unidad como máximo, por lo que el uso de cualquiera de ellos será aceptable.

Para demostrar dicho argumento, se expone a continuación un gráfico comparativo de

ambas funciones para un grupo y año específico, en el que se representa la probabilidad

de fallo y los fallos simultáneos ocurridos.


52 de 75

Figura 9: Gráfico comparativo entre el comportamiento de la distribución Poisson

y la Gamma-Poisson

Grupo 2. Año 2009

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0 2 4 6 8 10 12 14

k

Pro

bab

ilid

ad

Poisson

Gamma-Poisson

Fuente: Elaboración propia

Como consecuencia de este suceso, continuaremos durante el transcurso del proyecto,

excepto cuando se indique lo contrario, exponiendo los resultados obtenidos mediante la

distribución de Poisson.


53 de 75

Caso 2: Comparación del número de stock obtenido en función del nivel de servicio

analizado

Tabla 8: Comparativa entre los distintos niveles de servicio establecidos

.

Para un mismo grupo cualquiera (en nuestro caso se ha utilizado el grupo 2)

presentamos el stock obtenido para los últimos años utilizando el modelo Poisson con el

método directo para el cálculo de la tasa de fallo

.

Nivel de Servicio p > 95% p > 99% p > 99,99% p > 99,999%

Años S p S p S p S p

1999 3 98,19 4 99,84 6 99,997 7 99,9998

2000 3 98,82 4 99,86 6 99,999 6 99,9991

2001 3 98,69 4 99,85 6 99,998 7 99,9999

2002 3 98,55 4 99,82 6 99,998 7 99,9999

2003 3 98,68 4 99,84 6 99,998 7 99,9999

2004 3 98,28 4 99,77 6 99,997 7 99,9998

2005 3 98,42 4 99,8 6 99,998 7 99,9999

2006 3 98,3 4 99,78 6 99,998 7 99,9998

2007 3 98,43 4 99,8 6 99,998 7 99,9999

2008 3 98,32 4 99,78 6 99,998 7 99,9999

2009 3 98,44 4 99,81 6 99,998 7 99,9999

2010 3 98,79 4 99,86 6 99,999 6 99,999

2011 3 98,87 4 99,87 6 99,999 6 99,9991


54 de 75

Figura 10: Representación gráfica del número de stock obtenido para los distintos

niveles de servicio analizados

Comparativa Nivel de Servicio

012345678

1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

Años

Sto

ck

SL 95% SL 99% SL 99,99% SL 99,999%

Como se puede apreciar, a mayor nivel de servicio exigido, mayor número de repuestos

serán necesarios.


55 de 75

Caso 3: Comparativa de los dos métodos para el cálculo de la tasa de fallo.

Tabla 9: Representación del número de stock obtenido para los distintos niveles de

servicios analizados realizando el cálculo de la tasa de fallo mediante el método

directo

Método Directo

p > 95% p > 99% p > 99,99% p > 99,999%


1999 3 98,19 4 99,84 6 99,9977 7 99,9998

2000 3 98,82 4 99,86 6 99,9991 6 99,9991

2001 3 98,69 4 99,85 6 99,9988 7 99,9999

2002 3 98,55 4 99,82 6 99,9986 7 99,9999

2003 3 98,68 4 99,84 6 99,9988 7 99,9999

2004 3 98,28 4 99,77 6 99,9979 7 99,9998

2005 3 98,42 4 99,8 6 99,9983 7 99,9999

2006 3 98,3 4 99,78 6 99,998 7 99,9998

2007 3 98,43 4 99,8 6 99,9983 7 99,9999

2008 3 98,32 4 99,78 6 99,998 7 99,9999

2009 3 98,44 4 99,81 6 99,9983 7 99,9999

2010 3 98,79 4 99,86 6 99,999 6 99,999

2011 3 98,87 4 99,87 6 99,9991 6 99,9991


56 de 75

Tabla 10: Representación del número de stock obtenido para los distintos niveles

de servicios analizados realizando el cálculo de la tasa de fallo mediante el método

directo


p > 95% p > 99% p > 99,99% p > 99,999%


1999 4 98,73 5 99,57 9 99,9984 10 99,9994

2000 3 95,95 5 99,78 8 99,9965 10 99,9999

2001 3 95,72 5 99,77 8 99,9963 10 99,9999

2002 3 95,49 5 99,75 8 99,9961 10 99,9998

2003 3 95,86 5 99,78 8 99,9969 9 99,9991

2004 3 95,08 5 99,72 8 99,9957 10 99,9998

2005 3 95,46 5 99,76 8 99,9966 9 99,999

2006 3 95,28 5 99,74 8 99,9964 9 99,999

2007 3 95,62 5 99,77 8 99,9971 9 99,9992

2008 3 95,45 5 99,76 8 99,9969 9 99,9992

2009 3 95,76 5 99,66 8 99,9975 9 99,9993

2010 3 96,65 4 99,12 7 99,99 9 99,9997

2011 3 96,86 4 99,18 7 99,9914 9 99,9997

En términos generales, debido a la componente de grados de libertad existente en la

distribución Chi-cuadrado, el método proporciona valores mayores de la tasa de fallo, y

por tanto resultados con valores más conservadores. En algunos casos utilizar esta

política para gestionar equipos críticos podría no ser lo más adecuado.

Se contempla ahora dentro de un enfoque más detallado la tendencia del

comportamiento en ambos métodos.


57 de 75

Se observa que la distribución Chi-cuadrado contempla cambios significativos en los

resultados cuando el nivel de servicio establecido es igual o mayor del 99,99%, en

cambio, para valores menores, los resultados son del mismo orden que los obtenidos por

el método directo. Por lo que concluimos:

• Si el nivel de servicio ≤ 99,99% → Es indiferente utilizar un método u otro. Figura 11: Comparación entre usar el método directo o la distribución Chi-cuadrado para el cálculo de la tasa de fallo con 95% de nivel de servicio.

Nivel de Servicio 95%

0

1

2

3

4

5

1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

Años

Sto

ck

Método Directo Distribución Chi-Cuadrado

• Si el nivel de servicio ≥ 99,99% → Se utilizará el método que más se ajuste a la

política de la compañía.

Figura 12: Comparación entre usar el método directo o la distribución Chi-cuadrado para el cálculo de la tasa de fallo con 99,999% de nivel de servicio.

Nivel de Servicio 99.999%

0

2

4

6

8

10

12

1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

Años

Sto

ck

Método Directo Distribución Chi-cuadrado


58 de 75

Por lo que para empresas muy conservadoras podría ser más apropiado calcular la tasa

de fallo mediante la distribución Chi-cuadrado. En caso contrario, se utilizará el método

directo de la tasa de fallo


59 de 75

Caso 4: Comparativa de los métodos para el cálculo de la tasa de fallo cuando no

existen fallos registrados en el histórico. r = 0.

Tabla 11: Número de repuestos estratégicos pronosticados.

Método Directo: Distribución Chi-cuadrado:

Grupo 6

n = 7 ; r = 0

95,00% 99,00% 99,99% 99,999%

Años S S S S

2000 0 0 0 0

2001 0 0 0 0

2002 0 0 0 0

2003 0 0 0 0

2004 0 0 0 0

2005 0 0 0 0

2006 0 0 0 0

2007 0 0 0 0

2008 0 0 0 0

2009 0 0 0 0

2010 0 0 0 0

2011 0 0 0 0

En los casos donde el historial de fallos indique que en todos los años de vida del

equipo no se ha producido ningún fallo mayor, tendremos que r = 0. El método directo

no proporciona ningún valor de tasa de fallo bajo esta circunstancia, por lo que los

modelos no son adecuados para pronosticar la demanda de repuestos estratégicos. En

estos casos deberíamos usar la distribución chi-cuadrado o cualquier otra función que

introduzca un factor de seguridad y proporcione una tasa de fallo por defecto.

Grupo 6

n = 7 ; r = 0

95,00% 99,00% 99,99% 99,999%

Años S S S S

2000 2 2 5 6

2001 2 2 5 6

2002 2 2 5 6

2003 2 2 5 6

2004 2 2 4 6

2005 2 2 4 6

2006 2 2 4 6

2007 2 2 4 5

2008 2 2 4 5

2009 2 2 4 5

2010 2 2 4 5

2011 2 2 4 5


60 de 75

Caso 5: Comparativa de grupos con igual número de equipos y distintos número

de fallos.

Tabla 12: Número de repuestos estratégicos pronosticados.

Se ha representado en primer lugar los grupos 1 y 2, donde ambos tienen 14 equipos

instalados en el último año, pero el número de fallos registrados en el historial difiere

notablemente. Se observa que cuantos más fallos se han producido, los modelos

pronostican un mayor número de repuestos estratégicos necesarios para cubrir el nivel

de servicio requerido.

Posteriormente se expone la misma demostración con los grupos 3 y 4, donde el número

de equipos es menor que en la situación anterior, pero aun así se puede observar que a

mayor número de fallos, mayor stock pronosticado

Grupo 3 Grupo 4

n = 3

r = 1 r = 10

Años S S

2000 0 5

2001 0 5

2002 0 5

2003 0 5

2004 0 5

2005 0 5

2006 3 5

2007 3 5

2008 3 5

2009 3 5

2010 3 5

2011 3 5

Grupo 1 Grupo 2

n =14

r = 5 r = 18

Años S S

2000 4 6

2001 4 6

2002 4 6

2003 4 6

2004 4 6

2005 4 6

2006 4 6

2007 4 6

2008 4 6

2009 4 6

2010 4 6

2011 4 6


61 de 75

Caso 6: Comparativa entre grupos con igual número de fallos pero distinto

número de equipos.

Tabla 13: Número de repuestos estratégicos pronosticado.

r = 1

n = 3 n = 10 n =14 n = 17

Años S S S S

2000 3 3 3 3

2001 3 3 3 3

2002 3 3 3 3

2003 3 3 3 3

2004 3 3 3 3

2005 3 3 3 3

2006 3 3 3 3

2007 3 3 3 3

2008 3 3 3 3

2009 3 3 3 3

2010 3 3 3 3

2011 3 3 3 3

Grupo 3 Grupo 5 Grupo 2 Grupo 7

Se ha observado que el número de equipos no es un parámetro que tenga demasiada

influencia en los resultados. Se ha experimentado con el mismo número de fallos en

diferentes grupos que tuvieran valores extremos de números de equipo, obteniendo el

mismo resultado de stock. Esto puede también demostrarse teniendo en cuenta la

fórmula matemática del modelo al sustituir la ecuación de la tasa de fallo, puesto que:

Por lo que queda demostrado que el parámetro r es mucho más influyente y

significativo que el parámetro n.


62 de 75

Caso 7: Análisis del histórico de fallos registrados en función de diversos aspectos

1. Según la antigüedad del historial.

Se toma como referencia el grupo 7, uno de los grupos clasificados del que disponemos

el historial de fallos al completo desde 1957, así como los equipos en funcionamiento

durante todo el periodo a analizar.

Se compara con dos grupos, cada uno de ellos con datos idénticos que el anterior.

Sin embargo se diferencian en la fecha a partir del cual obtenemos datos en el historial,

asumiendo que se registran datos desde 1990.

De esta forma podemos estudiar el comportamiento del modelo cuando se ve reducida

la información de la que disponemos para el pronóstico de la demanda.

A continuación mostramos las características de los grupos:

Grupo 7: (Historial de fallos desde 1957)

n = 17

r = 34

Grupo 8: (Historial de fallos desde 1957, donde no se registró ningún fallo hasta 1990,

pero si se contabilizaron los equipos en funcionamiento)

n = 17

r = 19

Grupo 9: (Historial de fallos desde 1990, donde no se registraron ni fallos ocurridos ni

equipos en funcionamiento hasta dicha fecha)

n = 17

r = 19


63 de 75

Tabla 14: Número de repuestos estratégicos pronosticados

n =17

r =34 r = 19 r = 19

Años S S S

2000 7 5 8

2001 7 5 7

2002 6 5 7

2003 6 5 7

2004 6 5 7

2005 6 5 7

2006 7 5 7

2007 7 5 7

2008 6 5 7

2009 6 5 7

2010 6 5 7

2011 6 5 7

Grupo 7 Grupo 8 Grupo 9

Como es lógico, el grupo 8 proporciona un menor número de stock al disminuir

únicamente el número de fallos pero mantener el número de equipos. Este ejemplo es

similar a los observados en el caso 5.

Sin embargo, el grupo 9 se corresponde a una situación diferente, donde la información

suministrada por el historial se ve reducida notablemente. Esta situación provoca que se

obtengan mayores valores en los resultados. Se puede demostrar de esta forma que los

resultados que se obtienen con un amplio y fiable histórico de fallos mejoran los

pronósticos de los modelos reduciendo el número óptimo necesario para cubrir la

demanda en repuestos estratégicos.


64 de 75

2. Según la distribución de los fallos en el historial.

En este caso volvemos a tomar como referencia el grupo 7 e implantamos dos grupos

(10 y 11) con igual número de equipos y de fallos, pero con diferente distribución de

los fallos registrados.

De esta forma podemos estudiar la influencia que ejerce sobre la demanda de repuestos

estratégicos el que los fallos registrados procedan de los primeros años del estudio

(desde 1957 a 1990), los últimos (desde 1980 a 2011) o que estén repartidos por todo el

historial de fallo.

Tabla 15: Número de repuestos estratégicos pronosticado

n = 17 , r = 34

Repartidos Principio Final

Años S S S

2000 7 8 6

2001 7 7 6

2002 6 7 6

2003 6 7 6

2004 6 7 6

2005 6 7 6

2006 7 7 6

2007 7 7 6

2008 6 7 6

2009 6 6 6

2010 6 6 6

2011 6 6 6

Grupo 7 Grupo 10 Grupo 11


65 de 75

Las observaciones demuestran que en cualquiera de los casos los modelos tienden a

pronosticar el mismo número de stock, coincidiendo, por tanto, en los resultados para el

último año analizado.

Por lo que la distribución de los fallos no repercutirá en los resultados finales que

indican la demanda óptima de repuestos estratégicos para el año en cuestión.

Esto es comprensible ya que el parámetro de ajuste del modelo (nλL), no se ve

modificado al no variar ni el número de equipos ni el número de fallos.

Capítulo V: Conclusiones y recomendaciones

66 de 75

5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

Se presentan a continuación las conclusiones más importantes resultantes de este

estudio.

• Los modelos son consistentes. Esto se demuestra justifica en las siguientes

observaciones:

1. Mayor número de fallos registrados en el histórico, produce mayor

tasa de fallo, y por tanto los modelos proporcionarán mayor número

de repuestos estratégicos necesarios.

2. La población de equipos en funcionamiento es de menor influencia,

puesto que el número de repuestos estratégicos no se ve afectado al

variar este parámetro, a idéntico número absoluto de fallos.

3. Mayor valor del nivel de servicio, resulta en un mayor número de

repuestos estratégicos necesarios para cumplir los requisitos

establecidos.

• Cada empresa debe definir el adecuado nivel de servicio basado en el equipo de

repuesto estratégico en cuestión, en el apetito de riesgo y en los costes que esté

dispuesta a asumir.

• Los modelos Poisson y Gamma-Poisson proporcionan en la mayoría de los casos

el mismo número de stock para este tipo de repuestos con bajo ratio de rotación.

El gran esfuerzo computacional envuelto en el modelo Gamma-Poisson no se ve

compensado con los resultados, puesto que no se observan diferencias

significativas. Para futuros casos de estudio se recomienda llevar a cabo el

modelo Poisson, el cual presenta de una forma más fácil y rápida los resultados.

• Los diferentes métodos de cálculo de la tasa de fallo generan en algunas

ocasiones valores dispares en los resultados. Por ello se recomienda utilizar el

método directo, ya que la distribución chi-cuadrado podría proporcionar valores

sobredimensionados del stock.


67 de 75

o La excepción a este principio lo constituyen aquellos grupos donde el

histórico no aporte ningún fallo registrado, en cuyo caso el uso del

método directo es inviable, siendo más adecuado utilizar la distribución

chi-cuadrado.

• Los resultados pronosticados por los modelos serán más fiables cuanto más

amplio y antiguo sea el histórico de fallos.

La gestión eficiente en el área de los repuestos estratégicos es una actividad a la que se

le debe prestar especial atención, ya que contempla grandes cantidades de activos

inmovilizado en los almacenes de cualquier empresa.

En las últimas décadas la toma de decisiones en la compra de los repuestos estratégicos

se realizaba con insuficientes criterios, basándose en manuales de mantenimiento de los

fabricantes, recomendaciones de los mismos y la propia experiencia acumulada en la

historia de la empresa.

Por estas razones se recomienda a las empresas invertir en proyectos de mejora para

lograr una gestión eficaz en los almacenes, y más específico en los repuestos

estratégicos de baja rotación.

Pero antes de la completa implantación de estas herramientas en la gestión de stock de

cualquier planta industrial, es aconsejable prolongar el estudio con distintos repuestos

estratégicos, para poder contrastar así los resultados y conclusiones entre diferentes

proyectos de investigación.

El uso sistemático de las herramientas desarrolladas para el pronóstico de la demanda

óptima de estos equipos aportará transparencia para lograr una consistente política de

inventario y conseguir así, una justa y eficiente gestión en el área de adquisición de

repuestos estratégicos.

Capítulo VI: Bibliografía

68 de 75

6. BIBLIOGRAFÍA

- Aronis, K.-P., et al., 2004. “Inventory control of spare parts using a Baynesian approach: a case study”. European Journal of Operational Research, 154 (3), 730–739.

- Bailey, G.J. and Helms, M.M., 2007. “MRO inventory reduction – challenges and

management: a case study of the Tennessee Valley Authority”. Production Planning &

Control, 18 (3), 261–270.

- Chang, P.-L., Chou, Y.-C., and Huang, M.-G., 2005. “A (r,r,Q) inventory model for

spare parts involving equipment criticality”. International Journal of Production

Economics, 97 (1), 66–77.

- Dekker, R., Kleijn, M.J., and De Rooij, P.J., 1998. “A spare parts stocking policy

based on equipment criticality”. International Journal of Production Economics, 56/57

(3), 69–77.

- Diaz, A., 2003. “Modelling approaches to optimise spares in multi-echelon systems”.

International Journal of Logistics: Research and Applications, 6 (1/2), 51–62.

- Huiskonen, J., 2001. “Maintenance spare parts logistics: special characteristics and

strategic choices”. International Journal of Production Economics, 71 (1–3), 125–133.

- Kennedy, W.J., Patterson, J.W., and Fredendall, L.D., 2002. “An overview of recent

literature on spare parts inventory”. International Journal of Production Economics, 76

(2), 201–215.

- Thonemann, U.W., Brown, A.O., and Hausman, W.H., 2002. “Easy quantification of

improved spare parts inventory policies”. Management Science, 48 (9), 1213–1225.

- Teunter, Ruud H., and Leonard Fortuin. 1999. “End-of-life service”. International

journal of production economics 59 (1-3):487-498.

- Behzad Ghodrati, 2005. Doctoral Thesis: “Reliability and operating environment

based spare parts planning”

- S.M. Wagnera* and E. Lindemannb, 2007. “A case study-based analysis of spare parts

management in the engineering industry”. Production Planning & Control. Vol. 19, No.

4, June 2008, 397–407

- Marcus Schröter* and Thomas Spengler, A system dynamics model for strategic

management of spare parts in closed-loop supply chains.

- Simone Zanoni, Ivan Ferretti and Lucio Zavanella, Multiechelon spare parts inventoy

optimisation: A simulative study.


69 de 75

- M.E. Trimp, BSc, S.M. Sinnema, BSc, Prof. dr. ir. R. Dekker* and Dr. R.H. Teunter,

2004. Optimise inital spare parts inventories: an analysis and improvement of an

electronic decision tool.

- Introducción al análisis racional de repuestos, www.repuestoscriticos.com.ar, 2006.

-Ellmann y Sueiro, 1997. “Repuestos centrados en confiabilidad (RCS)”.

Documents

APLICACIÓN DE MODELOS ESTADÍSTICOS AL …bibing.us.es/proyectos/abreproy/20298/fichero/PROYECTO.pdf · APLICACIÓN DE MODELOS ... departamento de Asset Risk & Governance” dentro