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Ondas en una cuerda
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Universidad de las FuerzasArmadas ESPE
Departamento de Ciencias Exactas
Ecuaciones Diferenciales y Ordinarias
Ing. Roco Vazcones
Mara Belen ArteagaIsrael Asimbaya
Carlos CaizaluisaAriana Villalba
12 de Junio del 2014
CUERDA ROTANDO.Quien de nosotros no se ha maravillado con la forma que adquiere una
cuerda para saltar cuando gira rapidamente?Ahora consideremos la forma que toma una cuerda flexible estirada firme-
mente, con la longitud L y que tiene densidad lineal constante (masa porunidad de longitud) si se le hace girar o dar vueltas (igual que una para saltar)con velocidad angular (en radianes por segundo) alrededor de su posicion deequilibrio a lo largo de ese eje x.
Considere una porcion de la cuerda en el intervalo [ x, x+ x], dondex es pequena. Si la magnitud T de la tension T que actua tangencial a lacuerda, es constante a lo largo de esta, entonces la ecuacion diferencial deseadase obtiene al igualar dos formulaciones distintas de la fuerza neta que actua enla cuerda en el intervalo [ x, x+ x].
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1 Conceptualizacion
Trabajaremos con la ecuacion diferencial de tipo:
y + y = 0
1.1 Moviemiento Libre Amortiguado
d2x
dt2+
m
dx
dt+k
mx = 0
1.2 Movimiento Armonico Simple de un Sistema Resorte-Masa
d2x
dt2+k
mx = 0
1.3 Para la respuesta armonica simple de un Circuito enSerie
d2q
dt2+
1
LCq = 0
1.4 Modelo para la deflxion de una Viga Delgada
d2y
dx2+
P
EIy = 0
2 Obtencion de la EDO
La ecuacion diferencial lineal simple de segundo orden y +y = 0 ocurre comomodelo matematico.
Supongase que 2 personas sostienen una cuerda para saltar y la hacen girarde una manera sncronizada
Una cuerda de longitud L con densidad lineal constante (masa por unidadde longitud) se estira a lo largo del eje x y se fija en x=0 y x=L
La cuerda gira respecto al eje a una velocidad angular .
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Si la magnitud T de la tension T que actua tangencial a la cuerda es constantea lo largo de la cuerda.
Fuerza vertical neta es:
F = T sen( + ) T sen T tan( + ) T tanCuando los angulos 1 y 2 son pequenos, se tiene sen2 tan2 y sen1
tan1tan2 = y(x+ x) y tan1 = y(x)Entonces la ecuacion es: F T [y (x+ x) y (x)]Segunda foma de acuerdo a la Ley de Newton:
F = ma
m = x
La aceleracion centrpeta de un cuerpo que gira con velocidad angular enun crculo de radio r es:
a = r2
r = y
F (x) y2
Igualando las ecuaciones tenemos:
T [y (x+ x) y (x)] = (x) y2
Ty (x+ x) y (x)
x+ 2y = 0
Para x cercana a cero el cociente es aproximadamente a la segunda derivada
Td2y
dx2+ 2y = 0
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