aplicaciones convolucion

Seminario de Procesamiento Digital de SenalesUnidad 3: Procesamiento digital en tiempo

Marcelo A. Perez

Departamento ElectronicaUniversidad Tecnica Federico Santa Mara

Convolucion ContinuaConvolucion DiscretaCorrelacion Discreta

Ejemplos de aplicaciones

Contenidos

1 Convolucion Continua

2 Convolucion Discreta

3 Correlacion Discreta

4 Ejemplos de aplicaciones

2 / 86 Marcelo A. Perez Seminario de Procesamiento Digital de Senales



Procesamiento digital en tiempo

La entrada y salida del procesador estan representadas en series detiempo discreto.

Metodos de pocesamiento en el tiempo

Convolucion: Respuesta de un sistema a una entrada dada.

Correlacion: Indice de similitud entre senales.




DefinicionEjemploPropiedades

Contenidos









Convolucion Continua

Definicion

La convolucion se define como la operacion matematica () queutilizando la entrada x(t) y la funcion que define al sistema h(t)permite obtener la respuesta de un sistema y(t).

y(t) = x(t) h(t)






Definicion matematica

El operador convolucion se define como la integral del productoentre la entrada y la funcion del sistema desplazada en formareflejada.

y(t) = x(t) h(t) =

x()h(t )d






Ejemplo

Entrada x(t) = u(t)Respuesta del sistema

h(t) = et sin(t)

Convolucion

y(t) =

u()e(t) sin((t ))d

Salida

y(t) =

2 + 2

(1 et cos(t) 2

et sin(t)

)u(t)






Ejemplo - Animacion






Propiedades: Conmutatividad

h(t) x(t) =

h()x(t )d

=

h(t )x()d = t

=

x()h(t )d= x(t) h(t)






Propiedades: Desplazamiento en tiempo

h(t) x(t) = y(t)

h(t ) x(t) =

h( )x(t )d

=

h()x(t )d = = y(t )






Propiedades: Asociatividad

(x(t) y(t)) z(t) =

f()z(t )d f(t) = x(t) y(t)

=

(

x()y( )d)z(t )d

=

x()y( )z(t )dd

=

x()

(

y( )z(t )d)d

=

x()g(t )d g(t) = y(t) z(t)= x(t) (y(t) z(t))






Propiedades: Distribuitividad

h(t) (x(t) + z(t)) =

h()(x(t ) + z(t ))d

=

h()x(t )d

+

h()z(t )d= h(t) x(t) + h(t) z(t)






Propiedades: Escalamiento en el tiempo

h(t) x(t) = y(t)

h(t) x(t) =

h()x(t )d

=1

h()x(t )d =

=1

y(t)






Propiedades: Derivadas

h(t) ddtx(t) =

h()d

dtx(t )d

=d

dt

h()x(t )d

=d

dty(t)

di

dtih(t) d

j

dtjx(t) =

di+j

dti+jy(t)






Propiedades: Integrales

h(t)

x(t)dt =

h()

(

x(t )dt)d

=

h()x(t )ddt

=

y(t)dt






Propiedades: Entrada Impulso

(t) h(t) =

()h(t )d

= h(t 0)

()d

= h(t)






Propiedades: Tranformada de Lapace

L{h(t) x(t)} =

(

h()x(t )d)estdt

=

h()x()es(+)dd = t

=

h()es

x()esdd

=

(

h()esd

)(

x()esd

)= H(s)X(s)






Convolucion usando Laplace

Entrada x(t) = u(t) U(s) = 1sRespuesta del sistema

h(t) = et sin(t) H(s) = (s+ )2 + 2

Salida

Y (s) =

2 + 2

(1

s s

(s+ )2 + 2 2

(s+ )2 + 2

)

y(t) =

2 + 2

(1 et cos(t) 2

et sin(t)

)u(t)




DefinicionEjemploImplementacion

Contenidos









Convolucion Discreta

Definicion

La convolucion discreta es la operacion para senales discretasanaloga a la convolucion continua.

y(n) = x(n) h(n) =

k=x(k)h(n k)






Senales de soporte compacto

Se dice que una funcion tiene soporte compacto si el conjuntodonde no es nula conforma un conjunto cerrado y acotado.

supp f(x) = {x R | f(x) 6= 0}






Ejemplo Metodo grafico

Entradax(n) = 1 n = [1, 2]

Respuesta al impulso discreto

h(n) = n+ 1 n = [0, 2]






y(2) =

n=x(n)h(2 n)






y(1) =

n=x(n)h(1 n)






y(0) =

n=

x(n)h(0 n)






y(1) =

n=

x(n)h(1 n)






y(2) =

n=

x(n)h(2 n)






y(3) =

n=

x(n)h(3 n)






y(4) =

n=

x(n)h(4 n)






y(5) =

n=

x(n)h(5 n)






Oine

No hay lmite de tiempo(*)

Bloques de datos grandes

Procesamiento de imagenes

Online

Lmite de tiempo estricto

Bloques de datos pequenos

Procesamiento de audio






Implementacion oine

Sliding strip: Grafico o numerico

Suma por columnas

Metodo de la malla






Senales a convolucionar

x(k) =[1 1 1 1

]h(k) =

[1 2 3

]Sliding strip numerico k = 1

x(k) =h(k) =y(k) =

1 1 1 13 2 10 0 1 0 0 0 0 0

y(1) = 1






Sliding strip numerico k = 0

x(k) =h(k) =y(k) =

1 1 1 13 2 1

0 0 2 1 0 0 0 0

y(0) = 3


x(k) =h(k) =y(k) =

1 1 1 13 2 1

0 0 3 2 1 0 0 0

y(1) = 6







x(k) =h(k) =y(k) =

1 1 1 13 2 1

0 0 0 3 2 1 0 0

y(2) = 6


x(k) =h(k) =y(k) =

1 1 1 13 2 1

0 0 0 0 3 2 0 0

y(3) = 5







x(k) =h(k) =y(k) =

1 1 1 13 2 1

0 0 0 0 0 3 0 0

y(4) = 3

Sliding strip numerico: resultado

y(k) =[1 3 6 6 5 3

]






Suma por columnas

y(1) = h(0)x(1)y(0) = h(0)x(0) + h(1)x(1)y(1) = h(0)x(1) + h(1)x(0) + h(2)x(1)y(2) = h(0)x(2) + h(1)x(1) + h(2)x(0)

y(3) = h(1)x(2) + h(2)x(1)

y(4) = h(2)x(2)






Metodo de la malla

x(-1) x(0) x(1) x(2)

h(0)

h(1)

h(2)

y(-1)

y(0)

y(1) y(2) y(3) y(4)






Metodo de la malla

1 1 1 1

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

3

6 6 5 3






Consideraciones

Longitud de la salida depende de longitud de las entradas:Entrada (Lx = 4)

x(n) n = [1, 2]Respuesta al impulso discreto (Lh = 3)

h(n) n = [0, 2]

Salida (Ly = 6)y(n) n = [1, 4]

En generalLy = Lx + Lh 1






Efecto dead-end

Perdida deinformacion en losextremos

Afectaprincipalmente asenales periodicas

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1

-0.5

0

0.5

1

k

x(k)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.5

0

0.5

1

kh(k

)

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-4

-2

0

2

4

k

y(k)






Efecto dead-end

Se utiliza bufferpara rellenar lasenal periodica

-50 0 50 100 150-1

0

1

k

x(k)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.5

0

0.5

1

kh(k

)

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-4

-2

0

2

4

k

y(k)






Implementacion Online

Cualquier senal puede ser descompuesta en un conjunto de senalesaditivas y ponderadas.







y(n) =

k=

x(k)h(n k) =

k=x(n k)h(k)

si h tiene soporte compacto 0, N

y(n) =

Nk=0

x(n k)h(k)






Diagrama de bloques






Resultado

y(1) = h(0)x(1) + h(1)x(2) + h(2)x(3)y(0) = h(0)x(0) + h(1)x(1) + h(2)x(2)y(1) = h(0)x(1) + h(1)x(0) + h(2)x(1)y(2) = h(0)x(2) + h(1)x(1) + h(2)x(0)

y(3) = h(0)x(3) + h(1)x(2) + h(2)x(1)

y(4) = h(0)x(4) + h(1)x(3) + h(2)x(2)






Simular procesamiento online con senales oine

Utilizando for

Leyendo los datos uno a uno

Implementando buffer dentro del ciclo

Guardando el resultado en un arreglo

Importante para las tareas del ramo






Metodos de deconvolucion

Filtro homomotfico

Codificacion predictiva lineal (LPC)

Wiener

Richardson-Lucy

APEX y BEAK

Filtro Caron

Transformada Cepstrum

Metodo de la maxima entropia

SeDDaRA




DefinicionPropiedadesAutocorrelacionImplementacion

Correlacion Discreta

Definicion

Matematicamente relacionada con la convolucion, busca medir elgrado de similitud entre 2 senales.

rxy(n) =

k=x(k)y(k n) =

k=

x(k + n)y(k)

ryx(n) =

k=

y(k)x(k n) =

k=y(k + n)x(k)






Propiedades: La correlacion no es conmutativa

rxy(n) =

k=

x(k)y(k n)

=

k=x(k + n)y(k) k = k + n

6=

k=x(k n)y(k) = ryx(n)






Propiedades:Simetra

rxy(n) =

k=

x(k)y(k n)

=

k=

x(k + n)y(k) k = k + n

=

k=

x(k + (n))y(k)

= ryx(n)






Propiedades: Relacion con convolucion

rxy(n) =

k=

x(k)y(k n)

=

k=

x(n k)y(k) k = n k

= x(n) y(n)






Autocorrelacion

Si x(k) = y(k) se llama autocorrelacion

rxx(n) =

k=

x(k)x(k n) =

k=x(k + n)x(k)

Indica el grado de similitud entre una senal y una version de simisma desplazada. Siempre es mayor cuando el desplazamiento escero.






Desplazamiento de la autocorrelacion

x(n), y(n) = x(nD)

rxy(n) =

k=

x(k + n)y(k)

=

k=

x(k + n)x(k D)

=

k=

x(k +D + n)x(k) k = k D

= rxx(n+D)






Relacion con la energa de la senal

Siempre es menor o igual que el producto que de las energas

rxy(n) rxx(0)ryy(0) =

ExEy

Para la autocorrelacion se tiene

rxx(n) rxx(0)rxx(0) = Ex






Implementacion Oine

Sliding strip: Grafico o numerico

Suma por columnas

Metodo de la malla

A diferencia de la convolucion la senal a desplazar NO esreflejada






Senales a correlacionar

x(k) =[1 2 1 3

]h(k) =

[1 2 3

]Sliding strip numerico

x(k) =h(k) =y(k) =

1 2 1 31 2 30 0 3 0 0 0 0 0

rxy(0) = 3






Sliding strip numerico

x(k) =h(k) =y(k) =

1 2 1 31 2 3

0 0 2 6 0 0 0 0

rxy(1) = 8


x(k) =h(k) =y(k) =

1 2 1 31 2 3

0 0 1 4 3 0 0 0

rxy(2) = 8







x(k) =h(k) =y(k) =

1 2 1 31 2 3

0 0 0 2 2 9 0 0

rxy(3) = 13


x(k) =h(k) =y(k) =

1 2 1 31 2 3

0 0 0 0 1 6 0 0

rxy(4) = 7







x(k) =h(k) =y(k) =

1 1 1 11 2 3

0 0 0 0 0 1 0 0

rxy(5) = 1

Sliding strip numerico: resultado

rxy(k) =[3 8 8 13 7 1

]






Suma por columnas

y(1) = h(2)x(1)y(0) = h(2)x(0) + h(1)x(1)y(1) = h(2)x(1) + h(1)x(0) + h(0)x(1)y(2) = h(2)x(2) + h(1)x(1) + h(0)x(0)

y(3) = h(1)x(2) + h(0)x(1)

y(4) = h(0)x(2)






Metodo de la malla






Implementacion Online




ConvolucionCorrelacionAutocorrelacion


Resumen procesamiento en tiempo

x(n) h(n) =

k=x(k)h(n k) =

k=

x(n k)h(k)

Correlacion

rxy(n) =

k=

x(k)y(k n) =

k=x(k + n)y(k)

ryx(n) =

k=

y(k)x(k n) =

k=y(k + n)x(k)





Contenidos









Aplicaciones

Simulacion de ambientes y condiciones (audio/luz)





Ejemplo Audio

Ambiente a simular





Ejemplo Audio

Sensores y actuadores





Ejemplo Audio

Funcion de transferencia

-1000 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-0.5

0

0.5

1

muestras

am

plitu

dRespuesta impulso ambiental





Ejemplo Audio

Senal de audio original

-1000 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

muestras

am

plitu

dSeal de prueba





Ejemplo Audio

Respuesta convolucion

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 20000

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

muestras

am

plitu

dSeal resultante





Aplicaciones

Correccion de distorsion inducida por el medio





Aplicaciones


Imagen(Funcion) de transferencia del lente





Aplicaciones






Correlacion discreta

Ejemplo del radar






Ejemplo del radar

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

-1

0

1

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

-1

0

1

Tren de pulsos enviado

Tren de pulsos recibido






Ejemplo del radar

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000-200

0

200

3500 4000 4500 5000 5500 6000-20

0

20

Correlacin

Zoom de la correlacin

2300 muestras






Ejemplo del radar

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

-1

0

1

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

-1

0

1

2300 muestras






Ejemplo del radar

x(n) y(n) = ax(nD) + w(n)

ryx(n) =

k=

x(k + n)y(k)

=

k=

x(k + n)(ax(k D) + w(k))

= a

k=

x(k + n)x(k D) +

k=x(k + n)w(k)

= arxx(nD) + rwx





Autocorrelacion

Deteccion de frecuencia portadora





Autocorrelacion


0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000-3

-2

-1

0

1

2

3

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-5000

0

5000

10000

Seal recibida

Autocorrelacin





Autocorrelacion


0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000-3

-2

-1

0

1

2

3

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-2

-1

0

1

2

3

Seal enviada

Seal enviada





Autocorrelacion


x(n) = x(n) + w(n)

rxx(n) =

k=

x(k + n)x(k)

=

k=

(x(k + n) + w(k + n)) (x(n) + w(n))

=

k=

(x(k + n)x(n) + x(k + n)w(n) + w(k + n)x(n)

+w(k + n)w(n))

= rxx + rxw + rwx + rww





Autocorrelacion


0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-5000

0

5000

10000

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-5000

0

5000

10000

Autocorrelacin rxx

Autocorrelacin rww

Correlacin rxw y rwx


Convolucin ContinuaDefinicinEjemploPropiedades

Convolucin DiscretaDefinicinEjemploImplementacin

Correlacin DiscretaDefinicinPropiedadesAutocorrelacinImplementacin

Ejemplos de aplicacionesConvolucinCorrelacinAutocorrelacin

0.0: 0.1: 0.2: 0.3: 0.4: 0.5: 0.6: 0.7: 0.8: 0.9: anm0:

Documents

aplicaciones convolucion