Aplicaciones Del Operador Diferencial

APLICACIONES DEL OPERADOR DIFERENCIAL

CONTENIDO

3. APLICACIONES DEL OPERADOR DIFERENCIAL__________________________________________________1

3.1. REGLAS DE L’HOPITAL_____________________________________________________________________1

Ejercicios 3.1______________________________________________________________________________________4

Respuestas de los ejercicios 3.1_______________________________________________________________________5

3.2. RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO_____________________________________________________________5

3.3. RAZÓN DE CAMBIO INSTANTÁNEA__________________________________________________________5

3.4. RAZONES AFINES___________________________________________________________________________7

3.5. CRITERIOS DE LAS DERIVADAS____________________________________________________________103.5.1. CRITERIOS DE LA PRIMERA DERIVADA________________________________________________103.5.2. CRITERIOS DE LA SEGUNDA DERIVADA_______________________________________________12

3.6. CONSTRUCCIÓN DEL GRÁFICO DE UNA FUNCIÓN USANDO LOS CRITERIOS DE LAS DERIVADAS________________________________________________________________________________13

3.7. PROBLEMAS DE MÁXIMO Y MÍNIMO (OPTIMIZACIÓN ELEMENTAL)_________________________17

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS______________________________________________________________24

RESPUESTA A LOS EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS_______________________________________________26

Aplicaciones del operador diferencial

3. APLICACIONES DEL OPERADOR DIFERENCIAL

La derivada de una función es quizá el concepto del cálculo con mayor aplicación en las diferentes ciencias.

3.1.REGLAS DE L’HOPITAL

La Regla de L’Hopital es utilizada para calcular el límite de formas indeterminadas de la forma:

La Regla de L’Hopital establece que, bajo ciertas condiciones, el límite del cociente de dos funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

La regla de L’Hopital dice:

Sean f(x) y g(x) funciones diferenciable en un intervalo abierto (a, b) que contenga a a, excepto posiblemente en el mismo a. Si g’(x) ≠ 0 para todo x del intervalo (a, b), excepto en el mismo a, y el límite

de f(x)/g(x) cuando x tiende a a produce una de las formas indeterminadas , entonces:

Ejemplos:

a) Calcular:

Solución: Obsérvese que este límite es una indeterminación de la forma: 0/0, por lo tanto se puede aplicar directamente la regla de L’Hopital de la siguiente forma:

b) Calcular:

Solución: Obsérvese que este límite es una indeterminación de la forma: 0/0, por lo tanto, aplicando la regla de L’Hopital se obtiene:

c) Calcular:

Solución: Obsérvese que este límite es una indeterminación de la forma: 0/0, por lo tanto, al aplicar la regla de L’Hopital se obtiene:

d) Calcular:

Solución: Obsérvese que este límite es una indeterminación de la forma: /, por lo tanto, podemos aplicar la regla de L’Hopital y obtener:

Preparada por Fernando A. Rincón A. 1


e) Calcular:

Solución: Obsérvese que este límite es una indeterminación de la forma: 0/0, por lo tanto se puede aplicar directamente la regla de L’Hopital de la siguiente forma:

Si se observa, este límite, también es una indeterminación de la forma: 0/0, por lo tanto, podemos aplicar nuevamente la regla la regla de L’Hopital y obtener:

f) Calcular:

Solución: Obsérvese que este límite es una indeterminación de la forma: /, por lo tanto, podemos aplicar la regla de L’Hopital y obtener:

Como se puede observar, este límite es también una indeterminación de la forma: /, pero si intentamos aplicar nuevamente la regla de L’Hopital, nos meteríamos en un circulo vicioso que nos impediría calcular el límite. Por lo tanto, en éste caso, es conveniente usar las identidades trigonometricas, es decir:

g) Calcular:

Solución: Obsérvese que este límite es una indeterminación de la forma: , por lo tanto, no podemos aplicar la regla de L’Hopital; sin embargo, usando las propiedades del algebra de los números reales, podemos realizar la diferencia y escribir:

Si se observa, esta nueva expresión es una indeterminación de la forma: 0/0, por lo tanto, ya se puede aplicar la regla de L’Hopital, es decir:



De nuevo, el límite obtenido es una indeterminación de la forma: 0/0, por tanto, aplicando de nuevo la regla de L’Hopital, se obtiene:

h) Calcular:

Solución: Obsérvese que este límite es una indeterminación de la forma: 1 por lo tanto, no podemos aplicar directamente la regla de L’Hopital. Sin embargo, usando las propiedades de los números reales y de los límites, podemos encontrar el límite de la siguiente forma:

Asumiendo que L es el valor del límite, entonces:



18 – 12 = ln(L)

6 = ln(L) por último, tomamos el antilogaritmo, para obtener L, es decir:

e6 = eln(L)

6 = L Por lo tanto, se puede afirmar que:

Ejercicios 3.1

Calcular los siguientes límites:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)



Respuestas de los ejercicios 3.1

1) 12) ½ 3) ½

4) ½5) 16) -3/2

7) 18) 1/39) 4/3

10) –2

3.2.RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO

Éste quizás es uno de los conceptos de la matemática que mas se usan por las personas cuya ocupación, según su parecer, no tiene relación alguna con las matemáticas. Por ejemplo: cuando alguien realiza un viaje en autobús, entre Cali y Bogotá, si tarda 10 horas en hacer el recorrido, como sabe que la distancia entre Cali y Bogotá es de 500 Km. Inmediatamente hace éste razonamiento: 500 km. dividido 10 horas es igual a 50 km por hora, entonces la velocidad promedia del autobús, durante el recorrido, fue de 50 km/hora. O también, cuando se compra el combustible de un carro, el conductor razona ó dice: el galón de gasolina que hoy vale $ 7.200, hace un año costaba solo $ 6.000, eso significa que cada mes, en promedio, el precio de la gasolina está aumentando $ 100 por mes. Estos dos ejemplos como muchos otros en los cuales realizamos el cociente entre el cambio de la variable dependiente y el cambio de la variable independiente, son ejemplos clásicos del uso permanente que se le da al concepto de Razón de Cambio Promedio.

Para definir la Razón de Cambio Promedio, podemos observar la Figura Nº 1. En ésta figura la función y = f(x) pasa por los puntos P(x1, y1) y Q(x2, y2). En dicha función, cuando x crece de x1 a x2, el valor de y crece de y1 a y2, por lo tanto podemos decir que la Razón de Cambio Promedio de la función y = f(x) por unidad de cambio de la variable independiente x, cuando x crece de x1 a x2 es:

El uso de la razón de cambio en las ciencias económico administrativas es bastante amplio. Por ejemplo se utiliza cuando se desea calcular el costo promedio por artículo; o cuando se desea calcular el crecimiento del precio de un artículo por mes o por año, o si se desea calcular el crecimiento de una acción por día o por semana, etc.

3.3. RAZÓN DE CAMBIO INSTANTÁNEA

La Razón de Cambio instantánea es igual a la razón de cambio promedio cuando x2 se aproxima a x1, es decir:

Si recordamos que:

x = x2 – x1

y = y2 – y1

Podemos expresar la Razón de Cambio Instantánea como:

Y teniendo en cuenta que:



Se concluye que:

Es decir, la derivada de una función es igual a la Razón de Cambio Instantánea de una función.

La aplicación de éste concepto en las ciencias económicas se extiende a todo aquello que concierne al estudio de las funciones marginales. Es así como el Costo Marginal es igual a la derivada de la función Costo Total de Producción; el Ingreso Marginal es la derivada de la función Ingreso; la función Lucro marginal es la derivada de la función Lucro; etc.

Ejemplo

Un analista de costos establece que el Costo Total en pesos de la producción de Q unidades de cierto artículo se puede calcular por medio de la siguiente función:

Calcular:

a) El Costo Promedio por unidad, cuando la producción es de 100 unidades

b) El Costo de producción de la centésima unidad

c) El Costo Marginal si se producen 100 unidades

Solución:a) El Costo promedio por unidad es igual a la razón Costos Totales dividido por cantidad de unidades

producidas, es decir:

Como Q = 100, entonces:

b) El Costo de Producción de la centésima unidad es igual al costo de producción de 100 unidades menos el costo de producción de 99 unidades, es decir:

Costo de Producción de la centésima primera unidad = CT(100) – CT(99)

Donde:

CT(101) = 5000 + 4000ln(4*1002 + 1) = $ 47.386,64

CT(100) = 5000 + 4000ln(4*992 + 1) = $ 47.306,24

Luego:

Costo de Producción de la centésima unidad = $ 47.386,64 – $ 47.306,24

Costo de Producción de la centésima unidad = $ 80,40

c) El Costo Marginal es igual a la derivada de la función Costo Total, luego:

Costo Marginal = CM(Q) = CT’(Q)



Luego:

Y evaluando cuando Q = 100

3.4. RAZONES AFINES

Al estudiar las reglas de derivación, cuando estudiamos la regla de la cadena, aprendimos a calcular,

usando la derivación implícita, la derivada de una función y = f(t) . Por ejemplo, decíamos que:

.

Una aplicación importante de lo anterior es el cálculo de razones de cambio de dos o más variables que cambian con el tiempo; o sea, ¿qué tan rápido varía una cantidad en el tiempo? Por ejemplo, suponga que se tiene un recipiente cónico, como el que se muestra en la Figura Nº 2. Cuando el agua entra al recipiente, el volumen V del agua, el radio r del cono de agua y la profundidad h del nivel del agua son, las tres, funciones que dependen del tiempo t; y, estas tres variables, están relacionadas entre sí por la ecuación del volumen del cono de agua, es decir:

Además, si se deriva implícitamente ambos lados de esta ecuación respecto del tiempo , se obtiene la siguiente ecuación de razones relacionadas:

Se puede observar que la razón de cambio del volumen del agua dentro del recipiente, está ligada a las razones de cambio de la profundidad del agua y del radio del cono de agua del recipiente. Además:



Así, por ejemplo, si , significa que el volumen del agua dentro del recipiente esta

aumentando 10 cm3 cada segundo; mientras que , significa que el volumen estría

disminuyendo 15 cm3 cada segundo.

Ejemplos:

a) Un recipiente cónico invertido (con el vértice hacia abajo) tiene 2 metros de diámetro arriba y 2,4 metros de profundidad. Si el grifo que surte de agua al recipiente suministra liquido a razón de 0,60 metros cúbicos por minuto, calcule la rapidez con la que crece la profundidad del agua en el recipiente, cuando dicha profundidad es de 1,2 metros.

Solución: Sea V el volumen del agua en el recipiente, r el radio de la superficie del agua y h la profundidad del agua. Con base en lo dicho anteriormente y teniendo en cuenta que esta entrando agua al recipiente, podemos afirmar que estas tres dimensiones, V, r y h, dependen, simultáneamente, del tiempo t y se relacionan entre si a través de la ecuación:

Si observamos la Figura Nº 3, podemos afirmar que el triángulo acd (perfil del recipiente cónico), es semejante al triángulo abe (perfil del cono de agua) y con base en las proporciones de los triángulos semejantes, se puede afirmar que:

Es decir:

Y sustituyendo r en la ecuación de volumen del agua, se obtiene:

Si se deriva implícitamente respecto al tiempo t, se obtiene:



Despejando la rapidez de cambio de la profundidad del agua y reemplazando la rapidez con que el grifo

suministra el agua al recipiente por 0,60 m3/min. y h por 1,2 m,

se obtiene:

Es decir, la profundidad del agua esta creciendo a razón de 0,764 metros por minuto.

b) Una escalera de 25 pies se apoya contra una pared vertical. Si la base de la escalera resbala a razón de 0,5 pies por segundo, ¿con qué rapidez resbala la parte superior de la escalera, cuando la base de esta se encuentre a 15 pies de la pared?

Solución: Sea Z la longitud de la escalera, Y la altura, medida desde el piso, del punto de apoyo de la parte superior de la escalera, y X la distancia de la pared a la base de la escalera. Si se tiene en cuenta que Z es constante, cuando la base de la escalera resbale, podemos afirmar que las dimensiones X y Y, dependen, simultáneamente, del tiempo t y se relacionan entre si a través de la ecuación del teorema de Pitágoras (ver Figura Nº 4), es decir:

X2 + Y2 = Z2

Y como Z = 25 pies, se tendría: X2 + Y2 = 25

Luego, si se deriva implícitamente respecto a t, se obtiene:

Donde:

Y despejando , obtenemos:

Y teniendo en cuenta que:



; X = 15 pie y , obtenemos:

Esto significa que la parte mas alta de la escalera cae as razón de 0,375 pie por segundo.

3.5. CRITERIOS DE LAS DERIVADAS

A través de la primera y segunda derivada de una función, podemos deducir el comportamiento del gráfico de dicha función.

3.5.1.CRITERIOS DE LA PRIMERA DERIVADA

A continuación se darán algunas definiciones y se mencionarán los criterios de la primera derivada que son útiles para estudiar el gráfico de una función.

3.5.1.1. Criterio del signo de la primera derivada

Si se observa la Figura Nº 5 y se tiene en cuenta que:

Una FUNCIÓN ES CRECIENTE si y solo si al crecer la variable independiente x, crece la variable dependiente y

Una FUNCIÓN ES DECRECIENTE si y solo si al crecer la variable independiente x, decrece la variable dependiente y

Se puede concluir que:



Si en algún número a del dominio de f(x), f’(a) > 0, entonces f(x) es creciente en x = a

Si en algún número a del dominio de f(x), f’(a) < 0, entonces f(x) es decreciente en x = a

Lo anterior significa que: “aquellos intervalos del dominio donde la derivada de la función es positiva

se puede afirmar que, en dichos intervalos, la función es creciente y aquellos intervalos donde el signo de la derivada es negativo, se puede afirmar que la función es decreciente.

3.5.1.2. Número Crítico de primer orden.

Todo número del dominio de f(x) donde la primera derivada es igual a cero o no existe, es llamado Número Crítico de primer orden.

Si se observa la Figura Nº 6, se puede afirmar que los números a, b, c, y d son números críticos de primer orden por que en x = a y en x = d la derivada es igual cero, mientras que en x = b y en x = c la derivada no existe

3.5.1.3. Extremos relativos de una función.

Si en algún intervalo I que contiene al número a se cumple que, para todo x que pertenece al intervalo I, f(a) f(x), entonces se puede afirmar que f(a) es un Máximo Relativo de f(x). En la Figura Nº 6 f(a) y f(c) son máximos relativos de f(x)

Si en algún intervalo I que contiene al número a se cumple que, para todo x que pertenece al intervalo I, f(a) f(x), entonces se puede afirmar que f(a) es un Mínimo Relativo de f(x). En la Figura Nº 6 f(b) y f(d) son mínimos relativos de f(x).

Lo anterior nos permite afirmar que si f(a) es un extremo relativo de f(x), entonces x = a es un número crítico de primer orden de la función f(x).

3.5.2.CRITERIOS DE LA SEGUNDA DERIVADA

A continuación se darán algunas definiciones y se mencionarán los criterios de la segunda derivada que son útiles para estudiar el gráfico de una función.

3.5.2.1. Criterio del signo de la segunda derivada



En la Figura Nº 7 se puede observar que la pendiente de la recta tangente a la curva crece cuando x crece; por lo tanto, se puede afirmar que la derivada de la derivada, es decir la segunda derivada, debe ser positiva ya que la función derivada es creciente. En conclusión, si en algún intervalo la segunda derivada es positiva entonces, se puede afirmar que en dicho intervalo la función es cóncava hacia arriba.

En la Figura Nº 8 se puede observar que la pendiente de la recta tangente a la curva decrece cuando x crece; por lo tanto, se puede afirmar que la derivada de la derivada, es decir la segunda derivada,

debe ser negativa ya que la función derivada es decreciente. En conclusión, si en algún intervalo la segunda derivada es negativa entonces, se puede afirmar que en dicho intervalo la función es cóncava hacia abajo.

Si se observan las figuras Nº 4 y 5, se puede ver que f(a) es un extremo relativo de la función. Con base en las figuras Nº 4 y 5 se puede afirmar:

Si f’(a) = 0 y f”(a) > 0, entonces f(a) es un mínimo relativo de la función f(x).

Si f’(a) = 0 y f”(a) < 0, entonces f(a) es un máximo relativo de la función f(x).

3.5.2.2. Número Crítico de segundo orden.

Todo número del dominio de f(x) donde la segunda derivada es igual a cero o no existe, es llamado Número Crítico de segundo orden.

3.5.2.3. Puntos de inflexión de una función

El gráfico de una función, en general, tiene algunos intervalos en los que la curva es cóncava hacia arriba y otros en los que es cóncava hacia abajo. Si el gráfico de la función es continua, existirán puntos donde la curvatura de la gráfica cambiará de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo o viceversa, dichos puntos, donde la curvatura cambia, se conocen con el nombre de Puntos de Inflexión. (Ver Figura Nº 9).

Con base en lo anterior y teniendo en cuenta el significado del signo de la segunda derivada, podemos afirmar que si el punto (a, f(a)) es un punto de inflexión, entonces a es un número crítico de segundo orden de la función f(x)



3.6. CONSTRUCCIÓN DEL GRÁFICO DE UNA FUNCIÓN USANDO LOS CRITERIOS DE LAS DERIVADAS

Todos los criterios de las derivadas estudiados en la sección 3.3., pueden ser usados directa o indirectamente en el análisis del comportamiento de funciones numéricas y en la construcción de sus gráficos.

Para usar los criterios de las derivadas en la construcción del gráfico de una función, se deben seguir estos pasos:

1) Se determina el dominio de la función

2) Se calcula la primera derivada de la función y se determinan los números críticos de primer orden de dicha función, respondiendo a estas preguntas: ¿En qué números del dominio de la función no existe la primera derivada? Y ¿En qué números la primera derivada es igual a cero?

3) Se calcula la segunda derivada de la función y se determinan los números críticos de segundo orden respondiendo a estas preguntas: ¿En qué números del dominio de la función no existe la segunda derivada? Y ¿En qué números la segunda derivada es igual a cero?

4) Con base en el dominio de la función y los números críticos encontrados se construye el esqueleto de la tabla que contendrá toda la información y descripción de la curva.

5) Se calcula la imagen de cada uno de los números críticos

6) Se determina el signo de la primera derivada en cada uno de los intervalos de análisis

7) Se determina el signo de la segunda derivada en cada uno de los intervalos de análisis

8) Con base en lo encontrado del signo de la primera y segunda derivada, se determina el comportamiento del gráfico en cada uno de los intervalos de estudio.

9) Se procede a bosquejar el gráfico.

Ejemplos

a) Usar los criterios de la primera y segunda derivada para construir el gráfico de la función:

F(x) = x3 – 12x + 5

Solución:

1) Calculemos el Dominio de la función: como F(x) es una función polinómica, su dominio es el conjunto de los números Reales.

2) Calculemos la primera derivada para determinar los números críticos de primer orden:

F’(x) = 3x2 – 12

Los números críticos de primer orden se obtienen al responder a las preguntas:

¿En qué valores se indetermina F’(x) = 3x2 – 12?

La función F’(x) = 3x2 – 12 existe para todo número real. Por lo tanto, esta condición no arroja ningún número crítico.

¿En que valores F’(x) = 3x2 – 12 es igual a cero?

La respuesta a ésta pregunta se obtiene igualando F’(x) a cero y resolviendo la ecuación, es decir:

3x2 – 12 = 03(x2 – 4) = 03(x + 2)(x – 2) = 0Luego, las soluciones son:x1 = – 2 x2 = 2

y estos son los números críticos de primer orden de la función.



3) Calculemos la segunda derivada para determinar los números críticos de segundo orden:

F’’(x) = 6x

Los números críticos de segundo orden se obtienen al responder a las preguntas:

¿En qué valores se indetermina F’’(x) = 6x?

La función F’’(x) = 6x existe para todo número real. Por lo tanto, esta condición no arroja ningún número crítico de segundo orden.

¿En qué valores F’’(x) = 6x es igual a cero?

La respuesta a ésta pregunta se obtiene igualando a cero y resolviendo la ecuación, es decir:

6x = 0

Luego, la solución es:

x3 = 0

Y éste es el único número críticos de segundo orden de la función

4) Se construye el esqueleto de la tabla que contendrá la información de la función (al final del ejercicio aparece la tabla construida y completamente llena)

5) Calculemos la imagen de los números críticos: x1 = – 2; x2 = 2 x3 = 0

F(2) = (2)3 – 12(2) + 5 = 21F(2) = (2)3 – 12(2) + 5 = 11F(0) = (0)3 – 12(0) + 5 = 5

6) Determinemos el signo de la primera derivada

F’(x) = 3x2 – 12

Si factorizamos, se obtiene:

F’(x) = 3(x + 2)(x – 2)

Por lo tanto, podemos afirmar que F’(x) es negativa si 2 < x < 2, y F’(x) es positiva si x < 2 ó x > 2

7) Determinemos el signo de la segunda derivada

F’’(x) = 6x

Ésta expresión nos permite afirmar que F’’(x) es negativa si x < 0, y F’’(x) = 6x es positiva si x > 0

8) Con base en lo anterior podemos decir que:

a. La función F(x) es creciente en los intervalos x < 2 y x > 2.b. La función F(x) es decreciente en el intervalo 2 < x < 2c. La función F(x) es cóncava hacia abajo si x < 0 d. La función F(x) es cóncava hacia arriba si x > 0e. La función F(x) tiene un máximo relativo en el punto (2, 21) f. La función F(x) tiene un mínimo relativo en el punto (2, 11)g. La función F(x) tiene un punto de inflexión en el punto (0, 5)

Toda la información anterior la compilamos en la siguiente tabla:



Intervalo ó Número Crítico

F(x) F’(x) F’’(x) ConclusiónForma de la curva

(∞, 2) + Creciente – Cóncava hacia abajo

x = 2 21 0 Máximo relativo

(2, 0) Decreciente – Cóncava hacia abajo

x = 0 5 0 Punto de inflexión

(0, 2) + Decreciente – Cóncava hacia arriba

x = 2 11 0 + Mínimo relativo

(2, +∞) + + Creciente – Cóncava hacia arriba

En la Figura Nº 10 aparece el gráfico de la función F(x) = x3 – 12x + 5

b) Usar los criterios de la primera y segunda derivada para construir el gráfico de la función:

F(x) = x5/3 – 5x2/3

Solución:

1) Calculemos el Dominio de la función: como en los números reales no existe restricción para x5/3

ni para x2/3, entonces el dominio de la función F(x) el conjunto de los números Reales.

2) Calculemos la primera derivada para determinar los números críticos de primer orden:

Factorizando,

podemos escribir:

Los números críticos de primer orden se obtienen al responder a las preguntas:¿En qué valores se indetermina F’(x)?

La función F’(x) no existe en x1 = 0. Por lo tanto, éste es un número crítico de primer orden.

¿En que valores F’(x) es igual a cero?La respuesta a ésta pregunta se obtiene igualando F’(x) a cero y resolviendo la ecuación, es decir:



Como x 0, pasamos a multiplicar el denominador:

5(x – 2) = 0Luego, la solución es:x2 = 2y se tendrían dos números críticos de primer orden, x1 = 0 y x2 = 2

3) Calculemos la segunda derivada para determinar los números críticos de segundo orden:

Factorizando, se puede escribir:

Los números críticos de segundo orden se obtienen al responder a las preguntas:

¿En qué valores se indetermina F’’(x)?

La función F’(x) no existe en x3 = 0. Por lo tanto, éste es un número crítico de segundo orden.

.¿En qué valores F’’(x) es igual a cero?

La respuesta a ésta pregunta se obtiene igualando a cero y resolviendo la ecuación, es decir:

Como x 0, pasamos a multiplicar el denominador:

10(x + 1) = 0Luego, las soluciones es:x4 = 1Y se tendrían dos números críticos de segundo orden: x3 = 0 y x4 = 1

4) Se construye el esqueleto de la tabla que contendrá la información de la función (al final del ejercicio aparece la tabla construida y completamente llena)

5) Calculemos la imagen de los números críticos: x1 = x3 = 0; x2 = 2 x4 = – 1

F(0) = 05/3 – 5(0)2/3 = 0

F(2) = 25/3 – 5(2)2/3 4,76

F(2) = (1)5/3 – 5(1)2/3 6

6) Determinemos el signo de la primera derivada

Se puede afirmar que la función F’(x) es negativa si 0 < x < 2, y F’(x) es positiva si x < 0 ó x > 2

7) Determinemos el signo de la segunda derivada

Ésta expresión nos permite afirmar que F’’(x) es negativa si x < 1, y F’’(x) es positiva si x > 1



8) Con base en lo anterior podemos decir que:

a) La función F(x) es creciente en los intervalos x < 0 y x > 2.b) La función F(x) es decreciente en el intervalo 0 < x < 2c) La función F(x) es cóncava hacia abajo si x < 1 d) La función F(x) es cóncava hacia arriba si x > 1e) La función F(x) tiene un máximo relativo en el punto (0, 0) f) La función F(x) tiene un mínimo relativo en el punto (2, 4.76)g) La función F(x) tiene un punto de inflexión en el punto (1, 6)

Toda la información anterior la compilamos en la siguiente tabla:

Intervalo ó Número Crítico

F(x) F’(x) F’’(x) ConclusiónForma de la curva

(∞, 1) + Creciente – Cóncava hacia abajo

x = 1 6 + 0 Punto de inflexión

(1, 0) + + Creciente – Cóncava hacia arriba

x = 0 0No

existeNo

existeMáximo relativo

(0, 2) + Decreciente – Cóncava hacia arriba

x = 2 4,76 0 + Mínimo relativo

(2, +∞) + + Creciente – Cóncava hacia arriba

En la Figura Nº 11 aparece el gráfico de la función F(x) = x5/3 – 5x2/3

3.7. PROBLEMAS DE MÁXIMO Y MÍNIMO (OPTIMIZACIÓN ELEMENTAL)

Los problemas de máximo y mínimo o de Optimización elemental tienen cierta rutina que se debe practicar. En general, partiendo del enunciado, se expresan matemáticamente, si es posible, las condiciones que rigen el proceso y la función que se desea optimizar. Si la función que se va a optimizar depende de más de una variable, entonces, de las condiciones que rigen el problema se deben deducir relaciones entre las variables de modo que estas permitan expresar la función que se desea optimizar en términos de una sola de las variables. Sólo entonces, se aplican los teoremas que permiten determinar los máximos y/o mínimos de la función. Esto es, se deriva la función y se procede a determinar los valores en que dicha derivada es igual a cero ó no existe. Para comprender éste procedimiento, vamos a resolver algunos:

Ejemplos

a) Encuentre dos números cuya suma sea doce y su producto sea el mayor posible.



Solución:

La condición que rige éste problema es: “la suma de los dos números debe ser doce”. Entonces, si a y b son los números que buscamos, ésta condición la podemos expresar por medio de la ecuación:

a + b = 12

La función que se desea optimizar en éste problema, es el producto de los dos números, es decir:

Producto de a y b P(a, b) = a.b

Como la función P(a, b), está expresada en términos de dos variables, a y b, es necesario recurrir a la condición para poderla expresar en términos únicamente de a o de b. Entonces, de la condición vamos a despejar b para poder expresar P(a, b) en términos únicamente de a.

b = 12 – a sustituyendo en P(a, b) = a.b, obtenemos:

P(a, b) = a. (12 – a)

Es decir:

P(a) = 12a – a2

Como ya hemos escrito la función P en términos únicamente de a, podemos proceder a optimizar, esto es:

Derivamos

P’(a) = 12 – 2a

E igualamos a cero para determinar el valor de a

12 – 2a = 0

a = 6

Sustituimos en la ecuación donde se despejo b para obtener el valor de ésta incógnita, es decir:

b = 12 – a

b = 12 – 6

b = 6

Para terminar, la respuesta del problema es: los números cuya suma es doce y su producto es el mayor posible son 6 y 6

b) Para el producto de un monopolista la función de demanda es p = 200 − 0,04q, donde p es el precio de cada artículo cuando se demanda q unidades, y la función de Costo Total es C(q) = 40q +450, donde q es la cantidad de unidades producidas. ¿A qué nivel de producción se maximizan las utilidades? ¿A qué precio ocurre esto y cuáles son las utilidades?

Solución:

Las condiciones que rige éste problema son: la función demanda y la función costo, es decir:

p = 200 − 0,04q

C(q) = 40q +450

La función que se desea optimizar en éste problema, es la utilidad del monopolista, es decir:

Utilidad del Producto = Ingreso Total – Costo Total

Donde:



Costo Total C(q) = 40q +450

Ingreso Total = artículos vendidos x precio de cada artículo I(q)

Ingreso Total I(q) = qp como p = 200 − 0,04q, entonces:

Ingreso Total I(q) = q(200 – 0,04q)

Ingreso Total I(q) = 200q – 0,04q2

Luego, la utilidad, que es la función que se desea optimizar es:

Utilidad del Producto = Costo Total – Ingreso Total

Utilidad del Producto U(q) = (200q – 0,04q2) – (40q +450)

Utilidad del Producto U(q) = 160q – 0,04q2 – 450

Como la función I(q), está expresada en términos de una sola variable, podemos proceder a optimizar, esto es:

Derivamos

U’(q) = 160 – 0,08q

E igualamos a cero para determinar el valor de q

160 – 0,08q = 0 Resolviendo para q, se obtiene:

q = 2.000

Luego, la utilidad es máxima cuando se producen 2.000 unidades.

Para obtener el precio al que se debe vender cada artículo para obtener la máxima utilidad, sustituimos q por 2.000 en la ecuación de demanda, es decir:

p = 200 − 0,04q

p = 200 − 0,04(2.000)

p = 120

Para obtener la utilidad máxima, se sustituye q por 2.000 en la función de utilidad, es decir:

U(q) = 160q – 0,04q2 – 450

U(2.000) = 160(2.000) – 0,04(2.000)2 – 450

U(2.000) = 159.550

Y la utilidad máxima es de $ 159.550

c) Un fabricante descubre que el costo total C para elaborar un producto está dado por la función de costo C(q) = 0,014q2 + 12q + 56000, siendo q la cantidad de unidades producidas. ¿A qué nivel de producción los costos promedio por unidad serán los más bajos?

Solución:

Las condiciones que rige éste problema es la función costo, es decir:

C(q) = 0,014q2 + 12q + 56000

La función que se desea optimizar en éste problema, es el costo promedio, es decir:



Como la función CP(q), está expresada en términos de una sola variable, podemos proceder a optimizar, esto es:

Derivamos

E igualamos a cero para determinar el valor de q

Resolviendo para q, se obtiene:

Como la cantidad de unidades producida no puede ser negativa (carece de sentido una producción negativa), entonces, el mas bajo costo promedio por unidad se alcanza, cuando la cantidad de unidades producidas es 2.000.

d) Se desea construir un potrero rectangular al lado de un canal de orilla recta. Si el área del potrero ha de ser de 10.000 m2 y no se requiere cerca del lado del canal, ¿qué dimensiones debe tener el potrero para que la cantidad de cerca instalada sea la menor posible?

Solución:

Las condiciones que rigen éste problema son: “el potrero debe ser rectangular con un área de 10.000 m2 y no se requiere cerca del lado del canal” (Ver Figura Nº 12). Entonces, si las dimensiones del potrero son las que aparecen en la Figura Nº 9, la condición del área la podemos escribir como:

Área del potrero = B.H = 10.000 m2

Y La función que se desea optimizar, es la longitud de la cerca instalada, es decir:

Longitud de la cerca L(B, H) = B + 2H

Como la función L(B, h), está expresada en términos de dos variables, B y H, es necesario recurrir a las condiciones para poderla expresar en términos únicamente de B. Entonces, de la condición del área despejamos H

Sustituyendo en L(B, H), se obtiene:

Como ya hemos escrito la función L en términos únicamente de b, podemos proceder a optimizar, esto es:

Derivamos



E igualamos a cero para determinar el valor de B

Resolviendo para B, se obtiene:

Como la longitud de un lado del potrero no puede ser negativa, entonces la longitud de B es de 141,42 m y para encontrar la longitud de H, sustituimos en la ecuación donde se despejo H, es decir:

H = 70,71 m

Para terminar, la respuesta del problema es: las dimensiones del potrero deben ser: base B = 141,42 m y altura H = 70,71 m para que la cantidad de cerca instalada sea la menor posible

e) Se le solicita a un maestro de obra construir un depósito rectangular de base cuadrada con una capacidad de 32 p3. Si la construcción de la base tiene un costo de $ 8.000 por p2, la construcción de las superficies laterales o paredes tiene un costo de $ 4.000 por p2 y la construcción de la tapa cuesta $ 2.000 por p2 ¿cuál es el costo del depósito más barato que se puede construir?

Solución:

Las condiciones que rigen éste problema son: “la capacidad del depósito (igual volumen del sólido contenido) y los costos de construcción” (Ver Figura Nº 13). Entonces, si las dimensiones del depósito son las que aparecen en la Figura Nº 13, la condición de la capacidad del depósito la podemos escribir como:

Capacidad del Depósito = x2y = 32 p3

Las condiciones de costo de construcción las podemos escribir como:

Costo de construcción de la base = 8000x2

Costo de construcción de la tapa = 2000x2

Costo de construcción de un lado o pared = 4000xy

Y La función que se desea optimizar, es el costo de construcción del depósito, es decir:

Costo del depósito = C(x, y) = Costo de la base + Costo de la tapa + Costo de las 4 paredes

Es decir.

C(x, y) = 8000x2 + 2000x2 + 4(4000xy)

C(x, y) = 10000x2 + 16000xy

Como la función C(x, y), está expresada en términos de dos variables, es necesario recurrir a las condiciones para poderla expresar en términos únicamente de x. Entonces, de la condición de la capacidad del depósito despejamos y



Sustituyendo en C(x, y), se obtiene:

Como ya hemos escrito la función C en términos únicamente de x, podemos proceder a optimizar, esto es:

Derivamos

E igualamos a cero para determinar el valor de x

Resolviendo para x, se obtiene:

x = 2,95 pies

Para encontrar la longitud de y, sustituimos en la ecuación donde se despejo y, es decir:

y = 3,68 pies

Para terminar, la respuesta del problema es: las dimensiones del depósito más barato son: Dimensiones de la base: 2,95 pies X 2,95 pies. Dimensiones de la altura 3,68 pies

f) Para la distribución de una nueva bebida, se desea utilizar un envase de hojalata en forma cilíndrica con una capacidad de 350 cm3. ¿Qué dimensiones debe tener el envase para que en su fabricación se utilice la menor cantidad de material?

Solución:

La condicione que rige éste problema es: “la capacidad del envase cilíndrico (igual al volumen del cilindro contenido)” (Ver Figura Nº 14). Entonces, si las dimensiones del envase son las que aparecen en la Figura, la condición respecto a la capacidad del envase, se escribe como:

Capacidad del envase = r2h = 350 cm3

Y La función que se desea optimizar, es la cantidad de hojalata que se usará en la fabricación del envase. Si tenemos en cuenta que la cantidad de material usado es igual al área superficial del cilindro, entonces lo que se desea es minimizar el área superficial del cilindro, es decir:



Cantidad de material = A(r, h) = Área de la base + Área de la tapa + área de la superficie lateral

Es decir.

A(r, h) = r2 + r2 + 2rh Agrupando términos

A(r, h) = 2r2 + 2rh

Como la función A(r, h), está expresada en términos de dos variables, es necesario recurrir a las condiciones para poderla expresar en términos únicamente de r. Entonces, de la condición de la capacidad del envase despejamos h

Sustituyendo en A(r, h), se obtiene:

Como ya se ha escrito la función A en términos únicamente de r, se puede proceder a optimizar, es decir:

Se Deriva

Y se iguala a cero para hallar r

Resolviendo para r, se obtiene:

r = 3,8 cm

Para encontrar la longitud de h, se sustituye en la ecuación donde se despejo, es decir:

h = 7,7 cm

Para terminar, la respuesta del problema es: las dimensiones del envase cilíndrico de hojalata que requiere menor cantidad de material son: radio de la base: 3,8 cm.; altura del cilindro 7,7 cm.

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS

I) Usando los criterios de la primera y segunda derivadas construir el gráfico de las siguientes funciones :

1) 2)



3)

4)

5)

6)

II) Resolver los siguientes problemas :

1) Un fabricante descubre que el costo total C para elaborar un producto está dado por la función de costo C(q) = 0,014q2 + 24q + 14000, siendo q la cantidad de unidades producidas. ¿A qué nivel de producción los costos promedio por unidad serán los más bajos?

2) Para el producto de un monopolista la función demanda es q = 5.000e−0,002p, siendo q el número de artículos demandados cuando el precio de cada artículo es p. ¿A qué precio se maximizan los ingresos?

3) Para el producto de un monopolista la función de demanda es p = 80 − 0,02q (siendo p el precio y q el número de artículos demandados) y la función de costo es C(q) = 10.000 + 40q.

a) ¿A qué nivel de producción se maximizan las utilidades? b) ¿A qué precio ocurre esto y cuáles son las utilidades?

4) Para el producto de un monopolista la función de demanda es q = 10.000e−0.02p (donde p es el precio y q es el número de artículos demandados). Calcule el valor de p para el que se obtienen ingresos máximos.

5) Para el producto de un monopolista la función de demanda es p = 72 – 0.04q (siendo p el precio y q es el número de artículos demandados), y la función de costo es c = 500 + 30q (donde c es el costo en pesos y q es el número de artículos producidos).

a) ¿A qué nivel de producción se maximizan las utilidades?b) ¿A qué precio ocurre esto y cuáles son las utilidades?.

6) Si la proyección de la población de una ciudad, dentro de x meses, es de:

P(x) = 2x + 4x2/3 + 5000.

a) ¿A qué ritmo estará cambiando la población dentro de 9 meses?b) ¿Cuál es la tasa de cambio de la población dentro de 9 meses?

7) Un niño usa una pajilla para beber agua de un vaso cónico (con el vértice hacia abajo) a razón de 3 cm3/seg. Si la altura del vaso es de 12 cm. y si el diámetro de la parte superior es de 6 cm., (a)¿con qué rapidez baja el nivel del agua cuando la profundidad es de 5 cm? (b)¿Cuál es la variación del radio en ese mismo instante?

8) La longitud del largo de un rectángulo disminuye a razón de 2 cm./seg., mientras que el ancho aumenta a razón de 2 cm./seg. Cuando el largo es de 12 cm. y el ancho de 5 cm., hallar: a) La rapidez con que varia el área del rectángulo b) La rapidez de variación del perímetro del rectángulo

9) Una luz está en el suelo a 45 metros de un edificio. Un hombre de 2 metros de estatura camina desde la luz hacia el edificio a razón constante de 2 m./seg. ¿A qué velocidad está disminuyendo su sombra sobre el edificio en el instante en que el hombre está a 25 metros del edificio?

10) Un globo está a 60 metros sobre el suelo y se eleva verticalmente a una razón constante de 4 m/seg. Un automóvil pasa por debajo viajando por una carretera recta a razón constante de 90 Km./hora. ¿Con qué rapidez cambia la distancia entre el globo y el automóvil ½ segundo después?



11) Considere un triángulo rectángulo de catetos a y b. Si el cateto a decrece a razón de 0,5 cm. /min. y el cateto b crece a razón de 2 cm. /min., determine la variación del área del triángulo cuando a mide 16 cm. y b mide 12 cm.

12) Un tanque cónico invertido de 10 m de altura y 3 m de radio en la parte superior, se está llenando con agua a razón constante. ¿A qué velocidad se incrementa el volumen del agua si se sabe que cuando el tanque se ha llenado hasta la mitad de su capacidad, la profundidad del agua está aumentando a razón de un metro por minuto? ¿Cuánto tiempo tardará el tanque en llenarse?

13) Una llave deja entra agua a un tanque que tiene forma de cono truncado circular recto con una rapidez uniforme de 2 litros por minuto. El tanque tiene una altura de 80 cm. y radios inferior y superior de 20 y 40 cm., respectivamente. ¿Con qué rapidez sube el nivel del agua cuando la profundidad es de 30 cm?

Nota: El volumen V de un cono truncado circular recto de altitud H, radio superior R y radio inferior r es:

. (Ver Figura del problema Nº 13)

14)Un campo rectangular va a ser cercado a lo largo de un río, y no se requiere cerca alguna a lo largo de el. Si el material de la cerca tiene un costo de $ 2.000 el metro lineal para los extremos y $ 3.000 el metro lineal para el lado paralelo al río, encontrar las dimensiones del campo de mayor área posible que puede ser cercado con un costo de $ 12’000.000.

15)Un campo rectangular debe tener un área de 2.700 m2, éste campo debe ser cercado y dividido en dos rectángulos iguales por otra cerca. Si el costo de la barda que divide el campo por la mitad es de $ 4.000 el metro lineal y el de la barda a lo largo de los lados es de $ 6.000 el metro lineal, encontrar las dimensiones de la barda que hacen que el costo de la cerca sea mínimo.

16)Un depósito rectangular abierto y de base cuadrada tendrá una capacidad de 125 p3. El costo por p2

para la base es de $ 20.000 y para los lados de $ 16.000. Encontrar las dimensiones del depósito para que el costo del material sea mínimo.

17)Una huerta rectangular ha de proyectarse al lado de el solar de un vecino y ha de tener un área de 10.800 m2. Si el vecino paga la mitad de la cerca medianera, cuáles deben ser las dimensiones de la huerta para que el costo de cercarla sea mínimo para el dueño.

18)Un fabricante puede tener una utilidad de $ 200, en un artículo si se producen diariamente no más de 800 artículos. La utilidad decrece 20 centavos por artículo que sobrepase los 800. Cuántos artículos deben fabricarse diariamente para obtener la máxima utilidad.

19)Una empresa de bienes raíces es propietaria de 1.000 departamentos de tipo similar. Se puede rentar cada departamento en $ 400.000 mensuales. Sin embargo, por cada $ 10.000 de aumento en la renta al mes, habrá dos departamentos vacantes sin posibilidad de ocuparlos. ¿Qué renta por departamento maximizará los ingresos mensuales?

20)Un fabricante de recipientes está diseñando una caja rectangular abierta en la parte superior y con una base cuadrada que debe tener una capacidad de 3,2 pies cúbicos. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la caja, para que se requiera la mínima cantidad de material en su fabricación?

21)Un aviso rectangular en cartulina, que tendrá 150 pulgadas cuadradas de impresión, debe tener un margen superior e inferior de 3 pulgadas y un margen a cada lado de 2 pulgadas. Calcule las dimensiones del aviso para que la cantidad de cartulina usada sea la menor posible.

22)Una lata cilíndrica abierta en la parte superior debe tener una capacidad K. Demuestre que si se usa la

cantidad mínima de material, entonces tanto el radio como la altura son iguales a .



RESPUESTA A LOS EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS

I) Respuestas del numeral I)

1)

El Dominio de f(x) es el conjunto de todos los reales

Intervalo ó # crítico

f(x) f’(x) f’’(x) Conclusión Forma Gráfico

(∞, 1) + CrecienteCóncava hacia abajo

x = –1 5 0 Máximo relativo

(–1, 0) DecrecienteCóncava hacia abajo

x = 0 1 0 Punto de inflexión

(0, 1) + DecrecienteCóncava hacia arriba


(1, ∞) + + CrecienteCóncava hacia arriba

2)

El Dominio de g(x) es el conjunto de todos los reales


g(x) g’(x) g’’(x) Conclusión forma Gráfico

(∞, 1) + DecrecienteCóncava hacia arriba

x = –1 11 0 + Mínimo relativo

(–1, 0) + + CrecienteCóncava hacia arriba


(0, 2) + CrecienteCóncava hacia abajo

x = 2 16 0 0 Punto de inflexión

(2, ∞) + + CrecienteCóncava hacia arriba

3)

El Dominio de H(x) es el conjunto de todos los reales


H(x)H’(x

)

H’’(x

)Conclusión forma Gráfico



(∞, ) DecrecienteCóncava hacia abajo

x = 1,3 0 Punto de inflexión

( , –3) + DecrecienteCóncava hacia arriba

x = 3 1,5 0 + Mínimo relativo

(3, 0) + + CrecienteCóncava hacia arriba


(0, 3) + Creciente Cóncava hacia abajo

x = 3 1,5 0 Máximo relativo

(3, ) DecrecienteCóncava hacia abajo


( , ∞) + DecrecienteCóncava hacia arriba

4)

El Dominio de H(x) es el conjunto de todos los reales


H(x) H’(x) H’’(x) Conclusión forma Gráfico

(∞, 0) DecrecienteCóncava hacia abajo

x = 0 1No

existeNo

existe Mínimo relativo

(0, 8/27) + CrecienteCóncava hacia abajo

X = 8/27 1,15 0 Máximo relativo

(8/27, ∞) DecrecienteCóncava hacia abajo

5)

El Dominio de H(x) es el conjunto (∞, 4]




H(x) H’(x) H’’(x) Conclusión forma Gráfico

(∞, 0) +Decreciente

Cóncava hacia arriba


(0, 1.89) + +Creciente

Cóncava hacia arriba

x = 1.89 5.2 + 0 Punto de inflexión

(1.89, 3.2) + CrecienteCóncava hacia abajo

x = 3.2 9.2 0 Punto de inflexión

(3.2, 4) CrecienteCóncava hacia arriba

x = 4 0No

existeNo

existeEn éste punto

termina el gráfico

6)

El Dominio de C(x) es el conjunto de todos los reales


f(x) f’(x) f’’(x) Conclusión Forma Gráfico

(∞, ) + + CrecienteCóncava hacia arriba

x = 0,61 + 0 Punto de inflexión

( , 0) + CrecienteCóncava hacia abajo

x = 0 1 0 Máximo relativo

(0, ) DecrecienteCóncava hacia abajo


( , ∞) + DecrecienteCóncava hacia arriba

II) Respuesta de los problemas

1) q = 1.000 2) p = 500



3) q = 1.000; p = 60; U = 10.000

4) p = 50

5) q = 525; p = 51; U = 10.525

6) 3; 0.065 %

7) (a) 0,61 cm./seg (b) 0,15 cm/seg

8) (a) 14 cm2/seg (b) 0 cm/seg

9) – 0,276 m/seg

10) 8,86 m/seg

11) 13 cm2/min

12) (a) 53,44 m3/min (b) 52,91 seg

13) 0,33 cm/min

14) 1.500m X 2.000 m

15) 45 m X 60 m

16) 5,85 p X5,85 p X 3,65 p

17) 90 m X 120 m

18) 900

19) 2’700.000

20) 1,86 p X 1,86 p X 0,92 p

21) 21 p X 14 p

22) Condición: V = K = r2h

Función a optimizar: A(r, h) = r2 +2rh

Usando las condiciones, la función A(r, h) se puede escribir como:

: A(r, h) = r2 +2K/r

Optimizando se obtiene:


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