TRABAJO COLABORATIVO 2

CALCULO DIFERENCIAL

ADRIANA XIMENA CARVAJAL CUTIVA

CODIGO: 67.031.001

OLGA LUCIA MORA CUADROS

CODIGO: 65715807

HECTOR JAVIER OSPINA VALLEJO

GRUPO 100410_395

TUTOR:

EDGAR MAYOR CARDENAS

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCI

ESCUELA BASICA DE CIENCIA, TECNOLOGIA E INGENIERIA

SEPTIEMBRE 29 2014

Introducción

El presente trabajo permite afianzar los conocimientos basados en problemas, mediante el

desarrollo de ejercicios de Análisis de límites y continuidad con el propósito de alcanzar un

mayor conocimiento en la solución de esta clase de problemas los cuales servirán en el desarrollo

de la vida cotidiana y el laboral.

Pasos para desarrollar el trabajo colaborativo.

El estudiante debe resolver los siguientes ejercicios propuestos:

Resuelva los siguientes límites.

limx→0

√9+x−3x

=√a+0−30

=00

limx→0

(√9+x−3 )∗(√9+ x+3 )x (√9+x+3 )

=(√9+8 )2−32

x (√9+ x+3 )=

9+x−9

x (√9+x+3 )

lim ¿x→0

x

x (√9+x+3 )= 1

√9+x+3

limx→0=

1

√9+0+3=

1

√9+3=

13+3

=16

¿

2.

lim x→ 4

= √x−2x3−64

=00

limx→4

(√x−2 ) (√x+2 )( x−4 ) (x2+4 x+16 ) (√x+2 )

lim =x→4

x−4

( x−4 ) (x2+4 x+16 ) (√x−2 )= 1

(x2+4 x+16 ) (√x+2 )

lim ¿x→4

1

(42+4 (4 )+16 ) (√4+2 )= 1

(16+16+16 ) (2+2 )

lim ¿x→4

1(48 )∗( 4 )

= 1192

3.

limx→0

1x+3

−13

x=

00

limx→0

3−( x+3 )( x+3 ) (3 )x

=

3−x−3( x+3 ) (3 )x

=

−x( x+3 ) (3 )x1

= −x( x+3 ) (3 ) ( x )

limx→ 0=

1( x+3) (3 )

=1

(0+3 ) (3 )

¿

lim =x→0

1(3 )∗(3 )

=19

4.

lim ¿x→ 4

√1+2x−3√ x−2−√2

=√1+2 (4 )−3

√4−2−√2=√1+8−3

√2−√2=√9−3

0=0

0

lim ¿x→4

(√1+2 x−3 )(√ x−2−√2 )

∗(√1+2 x+3 )

(√1+2x )+3∗√ x−2+√2

√x−2+√2

lim ¿x→4

[ (√1+2 x )2−(3 )2 ] (√x−2+√2 )

[ (√ x−2 )2− (√2 )2 ] (√1+2 x+3 )=

(1+2 x−9 ) (√x−2+√2 )( x−2−2 ) (√√1+2 x+3 )

lim ¿x→4

(2 x−8 ) (√ x−2+√2 )( x−4 ) (√1+2 x+3 )

=2 ( x−4 ) (√ x−2+√2 )

(x+4 ) (√1+2x+3 )

lim ¿x→4

2 (√x−2+√2 )(√1+2x+3 )

=2 (√4−2+√2 )(√1+2 x+3 )

=2 (√2+√2 )

√9+3

limx→4=

2 (2√2)6

=4√2

6=

2√23

¿

5. limx→π ( π−xsin x )

❑

Evaluamos el lim

( π−πsin π )=00

Forma Indeterminada Aplicamos L`Hospital

limx→π ( −1

cos x )❑

Evaluamos el lim

−1cos π

= −1−1

=1

6. limx→0

TanxSen4 x

= tan 0Sen0

= 00

Esto es una indeterminación por lo tanto se debe cambiar la expresión

SenxCosx = Tan X

limx→0

Sen Xcos XSen 4 X

1

= limx→0

Sen XCosX∗Sen 4 X

Aplicamos la siguiente propiedad

limx→0

Sen KXKX =1

lim X→0

X∗¿ Sen XX

cos x∗¿ 4 XSen4 X

4 X

Repartimos en límite en todos los componentes

limX→0

X∗( limX→0

Sen XX

)

( limX→0

cosx)∗limX→0

4 X∗( limX→0

Sen 4 X4 X

)

limX→0

X∗1

1∗limX→0

4 X∗1

limX→ 0

X4 X

=limX→ 0

14= 1

4

7. limx→∞

√x2−33√ x3+1

=limx→∞

1x√ x2−3

1x

3√ x3+1=limx→∞

√ x2

x2

❑

− 3

x2

3√ x3

x3

❑

+ 1x3

=limx→∞

√1❑− 3

x2

3√1❑+ 1

x3

=¿ Evaluamos el límite

√1− 3∞

3√1+ 1∞

= √1−03√1+0

=√13√1

=11=1

8. limx→∞

√ x2+4 x−x= limx→∞

√x2+4 x−x . √x2+4 x+x

√x2+4 x+x

limx→∞

(√x2+4 x¿) ²−x ²

√x2+4 x+x= x

2+2x−x ²

√x2+4 x+x¿ =

2x❑

√x2+4 x+x

limx→∞

1 .4 xx

1x

√x2+4 x+1.xx

= 4

√ x2

x2 +4 x

x2 +1

= 4

√1+ 4x+1 Evaluamos el límite

=

4

√1+ 4∞

+1

= 4

√1+0+1= 4

√1+1= 4

1+1=4

2=2

9. limx→∞

11x

x ²−3 x Dividimos por

1x ²

ya que es el de mayor exponente

limx→∞

1

x2.1x

x2

x2−3 xx2

=

1

x3

x−3x

=

1

x2

x−3 =

1

x2(x−3)= 1

x3−3 x2 Evaluamos el limite

=1

∞3−3∞ ² = 1∞

= 0

10. Demuestre que limx→∞

sin x

x=1

A∆ ABC<AABC ¿ A∆ ADC Hallamos las áreas de cada triangulo

A∆ ABC=12

(1 ) . sen x

AABC= x2

ABC ¿ A∆ ADC=12

(1 ) tan x

Concluimos que el área del triangulo ABC es menor que el área del triangulo del sector circular

ABC y a su vez este es menor que el área del triangulo ADC.

sen x2

< x2< tan x

2 Multiplicamos todo por 2 y nos da

sen x< x< tan x Como esto es un límite lo que estamos averiguando son distancias

sen x < x < tan x Invertimos las desigualdades

A C

D

B

PX

1 sen x ¿ 1 x > 1 tan x Multiplicamos todos los numeradores por sen x sen x sen x ¿ sen x x > sen x tan x =1> sen x x ¿

sen x tan x El termino sen x tan x = cos x

cos x <¿ sen x x ¿1Por la forma como esta ubicado el ángulo sobre el valor absoluto

cos x< sen xx

<1

Calculamos el límite de cuando x tiende 0 de la función cos

limx→0

cos x❑=cos 0=1

Calculamos el límite de cuando x tiende 0 de la función 1

limx→0

1=1

Con esto queda demostrado que aplicando el teorema de sanduche la cual dice que si los limite

externos son iguales el termino central es igual a los otros dos.

1¿ sen xx

<1 Así queda demostrado que:

limx→∞

sin x

x=1

Conclusiones

Este trabajo permitió hacer el desarrollo de los ejercicios propuestos por parte del grupo

colaborativo su interacción y correcta explicación y asesoramiento por parte del tutor; además el

grupo colaborativo desarrollo destrezas en la solución de límites y progresiones que pueden ser

aplicables a la vida cotidiana y el desempeño en cada una de las carreras que los integrantes

cursan y sus trabajos cotidianos.

Referencias

Duran, J. E., Carrillo, O., & Cepeda, W. (junio 2010). calculodiferencial. Bogota: Universidad Nacional Abierta y a Distancia.