La Teoría de Juegos, 1

Roberto A. Molina Cruz

Guatemala, septiembre de 2014

Este documento constituye la primera parte de los apuntes de un curso sobre Teoría de Juegosque imparto en varias universidades del pais. En los apuntos presento los fundamentos de laTeoría de Juegos y su aplicación en el estudio de los fenómenos sociales.

Inicio con la descripción de la Teoría general de Decisiones, de la cual forma parte la Teoríade Juegos, y con una discusión sobre la aplicabilidad de los modelos matemáticos en lasCiencias Sociales.

Presento luego la caracterización matemática de un juego, y describo sus dos formas de rep-resentación: la forma extensa (gráfica) y normal (estratégica o matricial). Como es usual,en el documento discuto principalmente los juegos con dos jugadores. Por facilidad aquíempleo más la representación normal de estos juegos, y en clase ocupo tiempo analizandojuegos representados en forma extensa.

El estudio de la teoría de juegos propiamente, lo inicio discutiendo la solución de los juegosrepresentados en forma normal, por medio de la relación de dominación de estrategias, laeliminación de estrategias dominadas, y las estrategias maximales. Luego para los juegosestrictamente competitivos, o con suma de utilidades igual a cero (en inglés: zero-sum games),presento el concepto de nivel de seguridad, y los valores maximin y minimax de un juego.

Discuto luego los juegos no estrictamente competitivos, o de suma diferente de cero (en in-glés: non-zero-sum games). Entre los que están los juegos con suma de utilidades constante,los cuales pueden ser resueltos igual que los juegos de suma cero, y los juegos estrictamenteno competitivos (de suma doble o gana-gana) que pueden resolverse usando los valores max-imax de cada jugador.

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Sobre la forma extensa de representación de los juegos, discuto su conveniencia para de-scribir mejor una situación real; facilitando la inclusión de 3 o más jugadores, premitiendodescomponer las estrategias en acciones específicas, y con esto haciendo posible un análisisdinámico de los juegos. Luego presento el método de solución de inducción hacia atrás pararesover un juego representado en esta forma.

Agradeceremos al lector cualquier observación o sugerencia, las cuales pueden ser dirigidasa la dirección de correo elctrónico que aparece seguido.

R. Molina / ramolinacruz@gmail.com

1 Introducción

Iniciamos esta introducción describiendo el contexto de la Teoría de Juegos. Primero comoparte de la Teoría general de Decisiones. Lo que nos permite caracterizar todas las posiblessituaciones en que podemos encontranos y debemos tomar alguna decisión. Y luego comoparte de las teorías matemáticas creadas para el estudio de los fenómenos sociales.

Seguimos con una descripción intuitiva de los juegos –dejando a un lado el lenguaje matemático.Así como una descripción de los diferentes tipos de juegos que por conveniencia han sidodefinidos. Aunque en estos apuntes estudiamos principalmente los juegos con dos jugadores,sin repeticiones ni cooperación, es conveniente conocer todos los tipos de juegos y por quéde esta diferenciación.

Terminamos esta introducción describiendo los dos tipos de representaciones de los juegos:las formas normal y extensa. Discutimos sus ventajas y desventajas. Y por último presenta-mos una colección de juegos prototipo.

1.1 La Teoría de Decisiones

La Teoría de Juegos es parte de una teoría más general conocida como la Teoría de Deci-siones. La cual tiene como objetivo fundamental estudiar el comportamiento del ser humanoen situaciones en que debe seleccionar una entre varías posibles acciones –incluso la acciónde no actuar.

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La Teoría de Decisiones tiene como objetivos específicos estudiar el proceso humano de latoma de una decisión, y caracterizar las acciones más adecuadas entre el conjunto de todas lasposibles acciones a tomar, todo esto por medio del análisis de varios modelos matemáticos.

De hecho, la Teoría Decisiones está compuesta por las tres teorías que describimos en estasección, cada una correspondiente a las diferentes situaciones en que se puede estar tomandouna decisión.

Aunque por lo regular estudiamos estas tres teorías por separado, en la práctica es muy comúnque debamos hacer uso de las tres para analizar muchas de las situaciones que enfrentamos.Por lo que es muy conveniente tener un conocimiento básico de las tres terorías.

1.1.1 La Investigación de Operaciones

La Investigación de Operaciones o la Teoría de Optimización, la cual a su vez incluye ala Programación Lineal, considera la toma de decisiones en situaciones en que contamoscon toda la información existente, por lo que no hay un factor de riesgo asociado a nuestradecisión.

Además, en ella se asume que tenemos control absoluto sobre todos los demás agentes in-volucrados, por lo que no existe un conflicto entre nuetros intereses y los intereses de estosagentes.

Esta teoría se aplica regularmente en situaciones de la industria, y un ejemplo típico es lasituación de mezcla de productos que describimos a continuación.

Un fabricante cuenta con 3 plantas de producción en las cuales puede producir lotes de 2diferentes tipos de productos, y para los cuales se tiene los siguientes tiempos de producciónsemanal de cada producto.

Planta A B Tiempo disponible semanal1 1 0 42 0 2 123 3 2 18Utilidades(Q) 3,000 5,000

Es decir,

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La planta 1 puede producir solamente lotes del producto A. Ocupa una hora para producir unlote y a la semana esta planta está disponible solamente 4 horas.

La planta 2 puede producir solamente lotes del producto B. Ocupa 2 horas para producir unlote y a la semana esta planta está disponible 12 horas.

La planta 3 puede producir lotes de ambos productos. Ocupa 3 horas para producir un lotedel producto A, 2 horas para producir un lote del producto B, y a la semana esta planta estádisponible 18 horas.

Para el fabricante, cada lote del producto A representa una utilidad de Q3,000, mientras quela utilidad de cada lote del producto B es de Q5,000.

Entoces, esta situación puede representarse mediante el siguiente problema de Programaciónlineal.

Maximizar: U (x,y) = 3,000x+5,000y

Sujeta a las restricciones siguientes.

x ≥ 0y ≥ 0

x ≤ 42y ≤ 12

3x +2y ≤ 18

Donde,

x = Número de lotes del producto A a producir a la semana.

y = Número de lotes del producto B a producir a la semana.

U (x,y) = La utilidad total semanal, obtenida al producir x lotes del producto A y y lotes delproducto B.

Actualmente, los problemas de Programación Lineal pueden ser resueltos mediante la her-ramienta Solver de Excel o la hoja electrónica del Open Office. En particular, la solución delproblema recién descrito es como sigue.

U (x,y) = 36,000 , x = 2 , y = 3

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1.1.2 La Prueba de Hipótesis

La Teoría Estadística de Prueba de Hipótesis, a diferencia de la Investigación de Opera-ciones, nos ayuda a tomar decisiones cuando no tenemos toda la información existente, asíque nuestra decisión tendrá asociada el riesgo que el resultado no sea el más conveniente paranosotros.

Además, en ella se asume que no tenemos control absoluto sobre todos agentes involucrados,excepto posiblemente en algunos experimientos muy especiales. Pero al igual que la inves-tigación de operaciones, esta teoría asume que no hay agentes con intereses en conflicto connuestros intereses.

Podemos esquematizar la prueba de una hipótesis mediante la tabla siguiente.

La NaturalezaH0 es verdadera H0 es falsa

Nosotros Aceptamos H0 Correcto Error II

Rechazamos H0 Error I Correcto

Donde la naturaleza representa esa realidad de la cual no tenemos toda la información.

Por ejemplo, la población de todos los niños y niñas recién nacidos, en la que desconocemosel valor de verdad de la proposición (hipótesis nula) siguiente.

H0 : Los niños y niñas tienen en promedio igual talla al nacer

Sin conocer el valor de verdad de esta hipotesis nula, debemos rechazarla como una proposi-ción falsa o bien aceptarla como verdadera, ya sea para elaborar una sola tabla de crecimientoque sea usada por los médicos pediatras con todos los niños y niñas, o bien elaborar una tabladiferente para cada uno de los dos grupo de niños.

Al final nunca sabremos si nuestra decisión fue la correcta, sin embargo la teoría estadís-tica nos permite asociar un valor de probabilidad a cada uno de los posibles resultados quepodemos obtener.

La probabilidad de cometer un Error I corresponde al nivel de significancia de la prueba, lacual representamos por la letra griega alfa, tal como sigue.

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α = Pr [Error I]

= Pr [Rechazar H0 dado que H0 es verdadera]

Por el otro lado, la probabilidad de hacer lo correcto aceptando la hipótesis nula, esto es porque es verdadera, corresponde a la potencia de la prueba, la cual representamos por la letragriega beta, como sigue.

β = Pr [Aceptar H0 dado que H0 es verdadera]

1.1.3 La Teoría de Juegos

En la Teoría de juegos, en forma similar a la Teoría Estadística de Prueba de Hipótesis,nuestras decisiones tienen asociadas el riesgo que el resultado no sea el más conveniente paranosotros. Pero en forma diferente a la Prueba de Hipótesis, esto es debido a la existencia deuno o más agentes con intereses en conflicto con nuestros intereses, sobre quienes no tenemosningún control.

Notemos que un juego de dos personas o agentes con solamente dos posibles estrategias,puede ser representado por medio de la tabla siguiente, la cual es prácticamente igual a latabla de una prueba de hipótesis descrita anteriormente.

Jugador 2Estrategia 1 Estrategia 2

Jugador 1 Estrategia 1 Resultado1,1 Resultado1,2

Estrategia 2 Resultado2,1 Resultado2,2

En esta tabla suponemos que cada uno de los dos jugadores o agentes participantes, debeseleccionar su estrategia sin conocer antes la decisión del otro jugador, y que la decisión deambos jugadores determinará solo uno de los cuatro posibles resultados del juego.

Algunos de estos resultados serán más convenientes para alguno de los jugadores, y es comúnque las preferencias de los dos jugadores resulten estar en algún grado de mayor o menorconflicto.

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Es interesante notar que la Teoría de Juegos nació formalmente con la famosa publicación devon Neumann y Morgenstern (1), aunque ya Emile Borel en 1920 y el mismo von Neumannen 1930, habían escrito artículos al respecto. Además, debemos notar que la Teroría de Juegossirvió de semilla para el desarrollo de la misma Teoría General de Decisiones.

Notemos también que el nombre de Teoría de Juegos no es el más apropiado, ya que suverdadero objetivo es el estudio de las situaciones en que hay dos o más agentes con interesesen conflicto, y no precisamente los juegos. Basta con revisar el texto clásico de von Neumanny Morgenstern, para darnos cuenta que sus creadores estaban animados por su aplicación enlos fenómenos económicos y políticos, y no en los juegos.

1.2 Los modelos matemáticos en las CCSS

Antes de pasar al estudio de la Teoría de Juegos y sus aplicaciones a las Ciencias So-ciales (CCSS), es necesario discutir –aunque sea brevemente– la relevancia de los modelosmatemáticos en el estudio de los fenómenos sociales.

Desde luego, sabemos que los modelos matemáticos pueden ser de utilidad en las CCSS peroes muy importante que tengamos una idea de su potencial y limitaciones. Una discusión máscompleta sobre esto mismo puede encontrarse en el texto clásico de Shubik (2).

No tenemos ninguna duda sobre el importante papel que juegan los modelos matemáticosen la Ciencias Naturales (CCNN), y especialmente en la Física. De hecho, mucha de lamatemática se ha desarrollado específicamente para el estudio de algunos fenómenos físicos,y de esto tenemos el ejemplo del cálculo de tensores, tema de varios cursos univesitariosavanzados de Matemática y Física, el cual fue desarrollado para el estudio de la Teoría de laRelatividad que inmediatamente nos recuerda a Albert Eistein. Esto nos da una buena ideade la importancia de los modelos matemáticos en la Física.

Seguramente la gran aplicación que tienen los modelos matemáticos en las CCNN, sea lapeor publicidad para que los investigadores los apliquen en las CCSS. Parece que esto solo hacreado falsas expectativas ya que en este momento, con una considerable cantidad de tiempoy esfuerzo invertido, los modelos matemáticos no han demostrado tener en las CCSS unimpacto por lo menos comparable al que han tenido en la CCNN. Por esto, es muy importanterevisar cuidadosamente lo que es un modelo matemático y lo que puede lograrse con ellosen el estudio de los fenómenos sociales, independientemente de su gran trascendecia en lasotras ciencias.

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La mejor forma de pensar en un modelo matemático es a través de su similitud con losmodelos arquitectónicos. Estos son las ilustraciones gráfica o en maqueta de un edificio queelaboran los arquitectos e ingenieros durante la etapa de su diseño. Teniendo en mente uno deestos modelos debemos notar que el modelo presenta solamente algunas pocas característicasde la realidad. Por ejemplo, una maqueta presenta la distribución de los ambientes y lavista exterior de un edificio, mientras que un plano puede describir su estructura internapresentando la ubicación y tamaño de sus columnas y tuberías.

Podemos emplear los modelos para analizar el fenómeno en estudio y elaborar pronósticosconsiderando diferentes condiciones. Además, los modelos resultan ser una herramienta muyvaliosa para aclarar una idea o identificar un concepto pobremente formulado. Sin embargo,los modelos nos permiten ver y entender algunas pocas características de la realidad al mismotiempo.

Por ejemplo, al ver la maqueta de un edificio podemos tomar conciencia de la relación detamaño de sus ambientes, y tener una muy buena idea de su apariencia exterior. Pero desdeluego, con la maqueta no podemos predecir cómo se comportará el edificio en un terremoto,para lo cual debemos estudiar los planos de su estructura.

Notemos que esto sugiere que un solo modelo es incapaz de representar perfectamente a unfenómeno complejo, y que es más conveniente estudiar unos pocos aspectos del fenómenoa la vez, empleando uno o varios modelos muy simples –los cuales llamamos técnicamente:modelos parsimoniosos– en lugar de usar un solo modelo muy complejo.

Esto resulta ser la principal objeción a la aplicación de los modelos mátemáticos en la CCSS.Pero para la elaboración de un modelo parsimonioso, es necesaria la selección de unos pocosaspectos del fenómeno en estudio. Lo que representa una simplificación del fenómeno, y queen muchos casos es visto como una sobre simplificación, dada la usual complejidad de losfenómenos sociales.

Sin embargo, precisamente por esta mayor complejidad de los fenómenos sociales, se hacenecesario tener un mejor entendimiento del fenómeno en estudio para elaborar los modelosmatemáticos más apropiados. Incluso la eficacia o ineficacia de estos mismos modelos, nospermite evaluar nuestro propio entendimiento del fenómeno, y la formulación de los concep-tos que representamos en los modelos.

Por último, debemos notar que los modelos matemáticos pueden ser usados para el estu-dio prospectivo de un fenómeno, por ejemplo para ayudarnos a tomar una decisión en unasituación de conflicto. Pero también pueden ser usados para un estudio retrospectivo, como

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sería el análisis de un hecho histórico. En este segundo caso nuestro objetivo al usar un mod-elo es analizar y comprender lo ya acontecido. Aunque este mismo análisis puede servirnospara evaluar el modelo elaborado.

1.3 Los juegos

Juego es el nombre con que denotamos a todas aquellas situaciones en que están involucradasdos o más personas o agentes –a quienes llamamos jugadores– y cuyos intereses están enalgún grado de conflicto. Aunque no es de interés una definición formal de un juego, esimportante que identifiquemos y comprendamos intuitivamente sus componentes. Los cualesdiscutimos a continuación.

Los jugadores

Los jugadores son dos o más personas o agentes que participan en un juego, con la capacidadde ejecutar una o más acciones –que llamamos estrategias– las cuales determinan parcial-mente el resultado del juego. Cada jugador ve estos posibles resultados a través de su propiaspreferencias, las cuales pueden estar en un mayor o menor grado de conflicto con las prefer-encias de los demás jugadores.

Las estrategias puras

En la realidad, un juego –cualquier situación de conflicto de intereses– requiere de un númeroconsiderable de jugadas de cada uno de sus jugadores, lo cual es muy difícil de manejar en unmodelo matemático. Por lo que en la Teoría de Juegos consideramos secuencias o series dejugadas a las que llamamos estrategías puras –que después diferenciaremos de las estrategiasmixtas. Suponemos que cada jugador es capaz de planificar el juego completo en una solaestrategia. De esta forma, el resultado de un juego queda determinado por las estrategias quedefinan los jugadores, de las cuales cada jugador debe seleccionar una.

Los resultados

Los resultados de un juego son los diferentes estados en que puede terminar el juego, despuésde que cada jugador ejecute la estrategia seleccionada. Desde luego, cada resultado puedesignificar algo diferente para cada jugador, esto es dependiendo de sus preferencias.

Las preferencias de los jugadores

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Las preferencias de los jugadores son determinadas al asignar un valor de utilidad –por lomenos en forma aproximada– a cada posible resultado del juego. Esta utilidad puede sero no un valor monetario, y su asignación puede involucrar procesos muy complejos. Loscuales pueden ser incluso imposibles de describir totalmente, esto por que pueden dependerde aspectos propios de la psicología humana.

Los valores de utilidad

En la teoría de juegos asumimos que las preferencias de cada jugador pueden cuantificarse,aunque no sea en forma monetaria. Y representamos la preferencia de un jugador por cadaresultado por medio de un valor numérico de utilidad, el cual puede ser ordinal o cuantitativo.

Los valores de utilidad cuantitativos pueden ser positivos, cero o negativos. Además, estospueden estar dados en cualquier dimensional, o incluso puede ser adimensionales. De hecho,el concepto de utilidad y su cuantificación ha sido un tema de investigación intensa.

El conflicto de intereses

Habiendo los jugadores asignado un valor de utilidad a cada posible resultado del juego, susintereses entran en conflicto cuando los valores de utiliadad asignados a un mismo resultadoson más o menos opuestos. Desde luego, los intereses de los jugadores estarán en mayorconflicto, cuando los jugadores hayan asignados valores de utilidad más opuestos a un mayornúmero de los resultados.

La información disponible

En en estudio de los juegos empezamos asumiendo que cada jugador cuenta con exactamentela misma información. Que cada uno conoce a todos los demás jugadores, así como todas lasposibles estrategias que ellos pueden seleccionar, y los valores de utilidad que han asignadoa cada uno de los posibles resultados del juego.

La acción realizada puede no producir el resultado más conveniente para algún jugador. Adiferencia de la Teoría Estadística de la Prueba de Hipótesis, después de tomada la decisiónconocemos tarde o temprano el resultado del juego, y con este sabemos lo adecuado o inade-cuado de nuestra decisión.

1.4 Los tipos de juegos

Para facilitar el estudio de los juegos es muy conveniente clasificar los juegos con respecto alas características siguientes.

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a) El número de jugadores participantes.

b) Si el juego se repite o si se juega una sola vez.

c) Si los jugadores pueden comunicarse y si es posible su cooperación.

d) El nivel de conflicto entre las preferencias de los jugadores.

El número de jugadores

En estos apuntes consideraremos solamente los juegos con 2 jugadores. Debemos notar queel estudio de estos juegos, sirve de base al estudio de los juegos con 3 o más jugadores. Estoprincipalmente por que los métodos que usamos en los juegos con solo 2 jugadores puedenextenderse a los juegos con 3 o más jugadores.

Además, regularmente resulta conveniente analizar los juegos con 3 o más jugadores pormedio de uno o varios juegos de solo 2 jugadores. Esto ya sea decomponiendo el juego envarios juegos de 2 jugadores, o bien en el caso que puede considerarse la posible cooperaciónde los jugadores, considerando a varios jugadores como un solo agente.

Los juegos repetitivos

Decimos que un juego se repite cuando los mismos jugadores enfrentan la misma situación–o una situación muy similar– varias veces. Entonces, es lógico pensar que el resultado deun juego puede influir en la decisión del próximo juego de los mismos jugadores.

En estos apuntes consideraremos principalmente los juegos no repetitivos. Estas son lassituaciones que las personas o agentes deben enfrentar, que asumimos son independendientescon las situaciones que han enfrentado antes.

La cooperación

En la realidad las personas o agentes participantes en una situación de conflicto tienen regu-larmente la capacidad de comunicarse y cooperar, aunque la relevancia de esta cooperacióndepende en buena medida del nivel de conflicto de sus intereses. En estos apuntes estudi-amos principalmente los juegos no cooperativos, en los cuales asumimos que los jugadoresno pueden cooperar.

Esto por que los métodos usados en el análisis de los juegos no cooperativos son más simplesque los usados en los juegos cooperativos, y por que incluso cuando en el juego es relevante

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la cooperación de los jugadores, resulta muy conveniente analizar el juego asumiendo la nocooperación.

El nivel de conflicto

Con respecto al nivel de conflicto existente entre las preferencias de los jugadores, debemosnotar que tenemos dos extremos: Los juegos extrictamente competitivos –o de suma cero–y los juegos extrictamente no competitivos. Luego entre estos extremos tenemos juegos conun continuo de posible niveles de conflicto. Por supuesto, en los juegos estrictamente nocompetitivos no hay conflicto, por lo que hablaremos muy poco de este tipo de juegos.

Por el otro lado, para los juegos de suma cero tenemos la teoría matemática más completa,pero las situaciones en que estos juegos se aplican no son las más comunes. Ocuparemos unabuena parte de estos apuntes discutiendo estos juegos, principalmente por que sus métodosde análisis son de mucha utilidad en el estudio de las situaciones más comunes de los juegosno estrictamente competitivos.

En estos apuntes estudiamos en forma extensa los juegos no estrictamente competitivos –y noestrictamente no competitivos. Los cuales sirven para modelar las situaciones más comunesde las Ciencias Sociales. Aunque la teoría matemática de este tipo de juegos no es como lade los juegos de suma cero, contamos con varios métodos de análisis de las formas normal yextensa de los juegos, los cuales nos permiten comprender mejor las situaciones de conflictoque se modelan.

1.5 La representación de los juegos

En la Teoría de Juegos resulta conveniente representar matemáticamente un juego en variasformas diferentes –inclusive un mismo juego. Aunque por razones prácticas en este docu-mento discutimos más las representaciones normales de los juegos, es importante tambiénver los juegos a través de su forma extensa de representación.

La forma extensa de representar un juego, a diferencia de la foma normal, nos permitedescribir detalladamente cada una de las estrategias que cada jugador tiene disponibles.Además, nos permite ver el juego en forma dinámica, incluso podemos describir la infor-mación con la que cuenta cada jugador al momento de cada jugada. Por esto la forma extensade los juegos es la más usada en las aplicaciones de las Ciencias Sociales.

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La forma normal –estratégica o matricial– de representación de un juego es mucho más sim-ple que la forma extensa. Pero esta simplicidad resulta limitar la capacidad de esta formanormal, pudiendo representar solamente juegos con las siguientes caracterísiticas.

i. Con solamente dos jugadores. Esto desde luego es una restricción muy fuerte, sin embargonotemos que cualquier juego que nosotros juguemos con otros dos o más jugadores, puedeser visto como un juego de solamente dos jugadores, donde un jugador somos nosotros y elsegundo jugador está de hecho compuesto por todos los demás jugadores.

ii. En los cuales los dos jugadores deben ralizar una única jugada. De nuevo una restricciónmuy fuerte, sin embargo en la práctica son comunes estos juegos. Por otro lado, todo juegoque requiere a sus jugadores realizar más de una jugada, puede ser visto como un juego deuna sola, al considerar las estrategias puras de ambos jugadores y no sus posibles jugadasindividuales. Esto es, viendo al juego en forma estática, a diferencia de la forma dinámicade las representaciones extensas. Entonces para cada jugador, el juego se reduce a tomar unasola decisión seleccionando una de sus posibles estrategias puras.

1.6 Algunos juegos prototipo

A forma de ejemplos del concepto de juego recién descrito, en esta sección presentamosvarios juegos 2×2, representados en forma normal, los cuales utilizamos a lo largo del doc-umento para ilustrar algunas situaciones especiales, así como los métodos de análisis queestaremos estudiando.

Debemos notar que algunos de estos juegos se convierten en un dilema para sus jugadores alasumirlos no cooperativos. Esto significa que al tomar cada jugador una decisión razonable,el juego puede tener una solución de equilibrio para ambos jugadores pero posiblemente muylejos de ser una solución óptima. Es claro que el dilema de los jugadores desaparece cuandotienen la oportunidad de cooperar.

Los valores de utilidad asignados en cada uno de estos juegos son puramente ilustrativos.Invitamos al lector a cambiar estos valores para analizar cómo estos valores causan un mayoro menor grado de conflicto.

Los prisioneros

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Prisionero 2Confesar no si

Prisionero 1 no (−2,−2) (−5,−1)si (−1,−5) (−4,−4)

La batalla de los sexos

ElVer Novela Fútbol

Ella Novela (2,1) (−1,−1)Fútbol (−1,−1) (1,2)

Dos personas en un pozo

Persona 2Cooperar no si

Persona 1 no (−1,−1) (−1,−1)si (−1,−1) (1,1)

El juego del cobarde

Piloto 2Cruzar no si

Piloto 1 no (1,1) (2,−1)si (−1,2) (−1,−1)

Dos personas corren en direcciones opuestas para subir al mismo tren

Persona 2Cruzar no si

Persona 1 no (−1,−1) (2,2)si (2,2) (−1,−1)

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Una situación laissez-faire (permitir hacer)

Jugador 2E1

1 E12

Jugador 1 E11 (1,2) (1,5)

E11 (3,2) (3,5)

El emperador romano y el gladiador

EmperadorMuerte Vida

Gladiador Quedar (−2,0) (1,0)Huir (−1,0) (−1,0)

Dos personas en un bote salvavidas con protección parcial contra el sol

Persona 2Sentarse desprotegido protegido

Persona 1 desprotegido (−2,−2) (1,2)protegido (2,1) (−2,−2)

Dos personas muy educadas se ceden el paso en una puerta

Persona 2Ceder Pasar

Persona 1 Ceder (1,1) (4,3)Pasar (3,4) (2,2)

R. Molina / 15-9-2014

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