Apunte+2010+Estudio+de+Funciones

8/2/2019 Apunte+2010+Estudio+de+Funciones

1/9

1

APUNTE:APUNTE:APUNTE:APUNTE: APLICACIONES DE LASAPLICACIONES DE LASAPLICACIONES DE LASAPLICACIONES DE LAS DERIVADAS AL ESTUDIODERIVADAS AL ESTUDIODERIVADAS AL ESTUDIODERIVADAS AL ESTUDIO DE LASDE LASDE LASDE LAS

FUNCIONESFUNCIONESFUNCIONESFUNCIONES CRECIMIENTO Y CONCACRECIMIENTO Y CONCACRECIMIENTO Y CONCACRECIMIENTO Y CONCAVIDADVIDADVIDADVIDAD

UNIVERSIDAD NACIONAL DE RIO NEGROAsignatura: Matemtica 1Carreras: Lic. en Administracin, Lic. en Turismo, Lic. en Hotelera

Profesor: Prof. Mabel ChrestiaSemestre: 1eroAo: 2010

o Relacin entre el crecimiento de una funcin y el signo de la derivada primeraAnalicemos algunas funciones conocidas:

Ejemplo 1

Sea la funcin 3)( xxf = , condominio en R . Sabemos que estafuncin es siempre creciente.

Su derivada primera es 23)( xxf = ,cuyo dominio tambin es R . Como lavariable independiente est elevada alcuadrado, cualquiera sea el valor quetome (positivo o negativo), laderivada ser positiva.

Esto es: 0,,0)( > xRxxf .En particular, en 0=x la derivada esnula.

Ejemplo 2

Consideremos ahora la funcinx

xg 1)( = .

Su derivada es 21

)(x

xg = .

Ambas funciones tienen como dominio a{ }0R .)(xg es decreciente en todo su dominio, y

su derivada primera es negativa, es decir,0)(


2/9

2

Como vemos, el hecho de que una funcin sea creciente o decreciente est relacionado con que la derivadaprimera sea positiva o negativa.

Se cumple la siguiente propiedad:

Sea f una funcin derivable en 0x .

- Si 0)( 0 >xf entonces f es estrictamente creciente en 0x .- Si 0)( 0


3/9

3

1 1 2 3 4

1

1

2

3

4

5

o Punto crticoSea f una funcin definida en un intervalo I . Diremos que un punto Ix 0 es un

punto crtico si se verifican alguna de las siguientes condiciones:

i) 0x es uno de los extremos del intervalo I .

ii) La derivada en 0x es nula, es decir, 0)( 0 =xf

iii) La derivada en 0x no existe, es decir, no existe )( 0xf

Veamos cules son los puntos crticos en las siguientes grficas:

La primera grfica est definida en el intervalo [ ]4;1 . Sus puntos crticos son 1=x y 4=x por ser los

extremos del intervalo.La segunda grfica est definida en el intervalo [ ]4;4 . Sus puntos crticos son 4=x y 4=x (por serlos extremos del intervalo) y, 2=x , 0=x y 2=x (porque en esos puntos la derivada es nula).La tercera grfica est definida en todos los reales. El nico punto crtico es 0=x pues en ese punto laderivada no existe (recordar que all la recta tangente es vertical).

o Relacin entre punto crtico y extremoSe cumple la siguiente relacin:

Un extremo es un punto crtico, pero no todo punto crtico es un extremo.

Por lo tanto, para hallar los extremos (mximos y mnimos) de una funcin, debemos primero hallar lospuntos crticos, que sern los candidatos a ser extremos. Luego debemos confirmar si efectivamente lo son.

o Criterios para hallar los extremos de una funcinVeremos dos formas de encontrar los extremos: usando la derivada primera y usando la derivada segunda.

4 3 2 1 1 2 3 4

4

3

2

1

1

2


4/9

4

i) Criterio de la derivada primera

Sea f una funcin y 0x un punto crtico.

Entonces:

- Si 0)( xf a la derecha de 0x entonces en

( ))(; 00 xfx hay un MINIMO.- Si 0)( >xf a la izquierda de 0x y 0)(


5/9

5

Ejemplo 2:

Sea la funcin xxxf 34)( 3 = . Su derivada primera es )12)(12(3)14(3312)( 22 +=== xxxxxf .Busco los puntos crticos de la funcin. Como la derivada existe para todos los reales (por ser una funcinpolinmica), entonces slo resta analizar dnde la derivada se anula.

Entonces0)(

=xf 0)12)(12(3

=+ xx . Luego los puntos crticos son2

11

=x y2

12=x

Apliquemos ahora el criterio de la derivada primera. Para ello, debemos analizar el signo de )(xf a laizquierda y a la derecha de ambos puntos crticos.

Para el caso de2

11 =x tomo el 1 y el 0. Entonces: 09)1( >=f y 03)0(


6/9

6

Ejemplos:

Vamos a encontrar los extremos de las dos funciones anteriores, utilizando este criterio.

Para el primer ejemplo, la funcin es 3)5()( 2 = xxf . Su derivada primera es )5(2)( = xxf y suderivada segunda es 2)( =xf .

Evaluamos la derivada segunda en el punto crtico 50 =x 02)5( >=f . Por lo tanto, en el punto

( ))5(;5 f hay un MINIMO.

Para el segundo ejemplo la funcin es xxxf 34)( 3 = . cuyas derivadas primera y segunda son

312)( 2 = xxf y xxf 24)( = .

Evaluando la derivada segunda en los puntos crticos se obtiene:

0122

1

24)2

1

( =

=f . Por lo tanto, en el punto

)2

1(;

2

1f hay un MINIMO.

o Intervalos de crecimientoUna vez determinados los extremos de la funcin, podemos fcilmente indicar cules son los intervalosdonde la funcin crece y decrece.

Para los ejemplos anteriores:

Para la funcin 3)5()( 2 = xxf vemos que en ( )5; la funcin decrece (pues la derivada es negativa)

y en ( )+;5 la funcin crece (pues la derivada es positiva).

Para la funcin xxxf 34)( 3 = vemos que en

2

1; la funcin crece (pues la derivada es positiva),

en

2

1;

2

1decrece (pues la derivada es negativa) y en

+;

2

1la funcin crece nuevamente (pues la

derivada es positiva).

o ConcavidadIntroduciremos un nuevo concepto que es el de funciones cncavas hacia abajo y funciones cncavas haciaarriba.

Definicin

La grfica de una funcin f es cncava hacia abajo (o simplemente cncava) en

un punto ( ))(; 00 xfx si en ese punto la recta tangente est sobre la curva, y es

cncava hacia arriba (o convexa) en un punto ( ))(; 00 xfx si en ese punto la rectatangente est por debajo de la curva.


7/9

7

La primera funcin es cncava hacia arriba y la segunda es cncava hacia abajo, en todo su dominio.

o Intervalos de concavidadNo siempre una funcin mantiene su concavidad en todo su dominio. Cuando eso sucede, debemosdeterminar los intervalos de concavidad.

Por ejemplo, en la funcin xxxf = 3)( , cuya grfica se muestra a continuacin, tenemos que en el

intervalo ( )0; la funcin es cncava hacia abajo, y en ( )+;0 es cncava hacia arriba.

o Relacin entre la concavidad de una funcin y el signo de la derivada segunda

De la misma manera que al principio de este apunte analizamos la relacin existente entre el crecimiento deuna funcin y el signo de la derivada primera de la funcin, estudiaremos ahora la relacin que hay entre laconcavidad de una funcin y el signo de la derivada segunda.

Analizaremos los mismos dos ejemplos del inicio:


8/9

8

Ejemplo 1

Sea la funcin 3)( xxf = , condominio en R . Su derivada primera

es 23)( xxf = y su derivada segunda

es xxf 6)( = . Vemos que si 0>x se cumple que 0)( >xf y si 0xf y si0


9/9

9

o Punto de inflexin

Un punto 0x se llama punto de inflexin si en ese punto la funcin cambia su

concavidad, es decir, a la derecha de l la funcin es cncava hacia arriba y a laizquierda es cncava hacia abajo, o al revs.

o Criterio para hallar los puntos de inflexin de una funcin

Sea f una funcin y 0x un punto crtico tal que 0)( 0 =xf .Entonces:

- Si 0)( xf a la derecha de 0x , o al revs,

entonces en ( ))(; 00 xfx hay un PUNTO DE INFLEXION.

- Si )(xf tiene el mismo signo a derecha y a izquierda de 0x , entonces en

( ))(; 00 xfx NO HAY UN PUNTO DE INFLEXION.

Ejemplo:

Sea1

1)(

2+

=x

xf ( )22 1

2)(

+

=

x

xxf

( )322

1

26)(

+

=

x

xxf

Veamos dnde se anula la segunda derivada:( )

01

26)(

32

2

=

+

=

x

xxf 026 2 =x

3

1=x

Por lo tanto hay dos posible puntos de inflexin: 58,0

3

11 ==x y 58,0

3

12 ==x

Ahora analizamos el signo de la derivada segunda a la izquierda y a la derecha de cada uno de estos puntos.Para esto tomo, 1 y 0, y 0 y 1.

Entonces: 02

1)1( >=f y 02)0(

Documents

Apunte+2010+Estudio+de+Funciones