Apunte Prof. Mabel Chrestia – Matemática II (Lic. en Turismo, Hotelería, Administración) – UNRN – Año 2010

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���� Determinantes: un apunte teórico-práctico ����

Definición

A cada matriz cuadrada A se le asocia un número denominado determinante de A. El determinante de A se denota por |A| o por det(A).

Cálculo de determinantes

� Para una matriz de 1x1 el determinante es simplemente el valor de elemento.

Por ejemplo: si [ ]3=A entonces el 3)det( =A

� Para una matriz de 2x2 el determinante se calcula así:

Si

=

dc

baA entonces bcdaA ⋅−⋅=)det(

Ejemplo: si

−

−=

53

112A entonces 23331011)3(5)2()det( =+−=⋅−−⋅−=A

� Para una matriz de 3x3 el determinante se calcula fácilmente, haciendo uso de la Regla de Sarrus:

Si

=

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A entonces para calcular el det(A)

hacemos:

1) Se calculan los productos de las diagonales positivas y negativas, como muestra la figura.

2) Se suman todos estos productos (cada uno con su signo).

Entonces � =)det(A 312213332112322311322113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa −−−++

Otra forma de hallar un determinante de orden 3 es repetir las dos primeras columnas de la siguiente manera:

Luego trazamos las diagonales positivas y negativas, llegando al mismo resultado que con el método anterior:

Ejercicio: Calcular el determinante de las siguientes matrices:

−=

179

23P ;

−

−−

=

170

21112

155

Q

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Otra forma de calcular un determinante de orden 3 (o superior) � Desarrollo por Cofactores Primero definiremos:

1) Menor complementario del elemento ija de una matriz cuadrada de orden n se denota por ijm y es el

determinante de la matriz cuadrada de orden (n-1) que resulta de suprimir la fila i y la columna j de la

matriz original. Por ejemplo, sea la siguiente matriz de orden 3:

−

−

−−

=

490

7310

152

M

Entonces:

� 11m (el menor complementario de 11a ) es el determinante 49

73

−

−

� =11m 5163127)9(4)3(49

73=+−=⋅−−⋅−=

−

−

� 12m (el menor complementario de ) 12a es el determinante 40

710

� =12m 40041040

710=−⋅=

� 13m (el menor complementario de 13a ) es el determinante 90

310

−

−

� =13m 900)9(1090

310−=−−⋅=

−

−

Completar:

==21m

==22m

==23m

==31m

==32m

==33m

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2) Cofactor del elemento ija de una matriz cuadrada de orden n se denota por ijC y es el menor

complementario anteponiéndole el signo (+) o (–) según si la suma de los subíndices )( ji + sea par o impar.

También se le llama adjunto del elemento ija .

Entonces:

� 11C (el cofactor o adjunto de 11a ) es 51+ pues 1+1=2 (par)

� 12C (el cofactor o adjunto de 12a ) es 40− pues 1+2=3 (impar)

� 13C (el cofactor o adjunto de 13a ) es 90)90( −=−+ pues 1+3=4 (par)

Ejercicio: Hallar los cofactores de los demás menores complementarios de la matriz M del ejemplo anterior.

=21C =22C =23C

=31C =32C =33C

Como vemos el menor complementario y el cofactor de un mismo elemento de la matriz difieren sólo en el signo. Cálculo del determinante por Desarrollo por Cofactores

El determinante de una matriz cuadrada de orden n se puede calcular multiplicando los elementos de cualquier fila (o columna) por sus cofactores y sumando los productos resultantes. Es decir, para cada ni ≤≤1 y nj ≤≤1 se tiene que:

njnjjjjj CaCaCaA +++= ...)det( 2211 � desarrollo por cofactores a lo largo de la j-ésima columna

ininiiii CaCaCaA +++= ...)det( 2211 � desarrollo por cofactores a lo largo de la i-ésima fila

Entonces, para la matriz M dada anteriormente, el determinante será:

Si tomamos la primer fila:

=++= 131312121111)det( CaCaCaM =++=−⋅−+−⋅−+⋅ 90200102)90()1()40()5(512 392

Importante!

En general la mejor estrategia para evaluar un determinante mediante cofactores, es hacer el desarrollo a lo largo de la fila o la columna con mayor cantidad de ceros.

Ejercicios: 1) Hallar el determinante de la misma matriz M mediante desarrollo por cofactores a lo largo de la primer columna, de la segunda fila y de la tercer fila. 2) Hallar el determinante de la siguiente matriz S , mediante desarrollo por

cofactores. (Rta.:30)

−=

2513

2001

2013

0211

S

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Matriz Adjunta

Dada una matriz A de orden n se llama Matriz Adjunta de A o Matriz de Cofactores de A, a la matriz en la cual cada elemento de A se reemplaza por el cofactor correspondiente. Es decir:

Si [ ]

==

nnnn

n

n

n

ij

aaa

aaa

aaa

aaa

aA

...

.....

...

...

...

21

33231

22221

11211

entonces [ ]

==

nnnn

n

n

n

ij

ccc

ccc

ccc

ccc

cAAdj

...

.....

...

...

...

)(

21

33231

22221

11211

Ejercicio: escribir la matriz adjunta de la matriz anterior

−

−

−−

=

490

7310

152

M

Propiedades de los determinantes

Propiedad 1

Un determinante es nulo si la matriz: a) Tiene dos filas (o dos columnas) iguales. b) Todos los elementos de una fila (o columna) son ceros. c) Los elementos de una fila (o columna) proceden del producto de un número por los elementos de otra fila (o columna).

Propiedad 2

El determinante de una matriz triangular es igual al producto de su diagonal principal.

Propiedad 3

El determinante de una matriz es igual al determinante de la traspuesta de la misma matriz. Es decir: TAA =

Propiedad 4

Si se intercambian dos filas o dos columnas, el determinante cambia de signo.

Propiedad 5

Si se multiplica una fila (o columna) por un escalar, el determinante también se multiplica por ese escalar.

Propiedad 6

Si a una fila (o columna) se le suma otra fila (o columna) multiplicada por un escalar, el determinante no varía.

Propiedad 7

El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de los determinantes de cada una de las

matrices. Es decir: BABA ⋅=⋅

Propiedad 8

Si la matriz A es invertible entonces el determinante de su inversa es igual determinante de A elevado a

la (-1). Es decir: A

AA111

==−−

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Ejercicios:

1) Supongamos que el determinante de la matriz A es igual a 8. Calcular cuánto valdrá el determinante si:

a) Intercambio la fila 1 con la fila 3.

b) Intercambio la fila 1 con la fila 3 y la columna 1 con la columna 2.

c) Multiplico a la columna 2 por el número 4.

d) La tercer fila está formada por ceros.

e) Multiplico la primer fila por 3 y la sumo a la segunda fila.

f) ¿Cuánto vale 1−A ?

g) ¿Cuánto vale TA ?

2) Utilizando la propiedad 2 anterior, calcular el determinante de la matriz T : Teorema (uno de los más importantes del Algebra Lineal)

Una matriz cuadrada A es invertible si y solamente si su determinante es distinto de cero.

Ejercicio: Indicar si las siguientes matrices son invertibles o no. Justificar en cada caso.

079

045

061

;

419

092

419

;

255

047

003

;

− 663

1075

452

;

−−

−

−

15123

802

541

;

69

23 ;

− 29

00

=

ihg

fed

cba

A

−

=

5137

0360

6072

3001

T

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Un tercer método para hallar la inversa: por determinantes

Si A es una matriz invertible entonces se cumple que ( )TAAdj

AA )(

11⋅=

−

Ejemplo:

=

115

003

102

A Probar que

−

−−=−

03/21

111

03/101

A

Primero calculamos el determinante de la matriz. En este caso, haciendo el desarrollo por la primera fila vemos que el 3)det( =A .

A continuación debemos calcular la matriz adjunta de A. Para ello hallamos los cofactores de cada elemento de A, obteniendo:

−−

−

=

030

231

330

)(AAdj

Luego hallamos la traspuesta de esta última matriz:

( )

−

−−=

023

333

010

)(T

AAdj

Por último, dividimos cada elemento de esta última matriz por el determinante de A, es decir, por 3, obteniendo la inversa de A:

( )

−

−−==−

03/21

111

03/10

)(11 T

AAdjA

A

Ejercicio: con este método probar que la inversa de

−=

112

124

100

M es

−−

−

=−

001

2/14/14/1

4/18/18/31

M