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Apuntes de A. Cabañó Matemáticas II

ALGEBRA LINEAL. MATRICES Y DETERMINANTES. 7.1 Vectores en R3. 7.2 Operaciones con vectores (suma de vectores y producto por un escalar) y sus propiedades. 7.3 Dependencia e independencia lineal de vectores. La base canónica. 7.4 Definición de matriz. Terminología. Tipos de matrices. 7.5 Operaciones con matrices. Matriz inversa. 7.6 Determinante de una matriz cuadrada. 7.7 Propiedades de los determinantes. 7.1 Vectores en R3 El conjunto R3=RxRxR está formado por todas las ternas (x,y,z) de números reales. Dos ternas (x,y,z) y (x',y',z') son iguales si se verifica x=x' y=y' z=z'. 7.2 Operaciones con vectores (suma de vectores y producto por un escalar) y sus propiedades. En este conjunto se define la suma y el producto por números reales, del siguiente modo: Suma: (x,y,z)+(x',y',z')=(x+x',y+y',z+z,) Producto por números reales: k(x,y,z)=(kx,ky,kz) Estas operaciones cumplen unas determinadas propiedades, dotando al conjunto R3 de una cierta estructura, que recibe el nombre de espacio vectorial. Las propiedades a cumplir son las siguientes Sea u,v,w ∈ R3 1. Asociativa (u+v)+w=u+(v+w) 2. Conmutativa u+v=v+u 3. Elemento neutro u+0=u 4. Elemento opuesto. u+(-u)=0 5. k(u+v)=ku+kv 6. (k+h)u=ku+hu 7. k(hu)=(kh)u 8. 1u=u El espacio vectorial definido, se designa por (R3,+,⋅R). A los elementos de los espacio vectoriales se les llama vectores. A los elementos de R se les llama escalares. 7.3 Dependencia e independencia lineal de vectores. La base canónica. *Combinación lineal de vectores. Un vector u de R3 es combinación lineal de los vectores de Ru.....,u,u,u n321

3 si se puede expresar así: u ua+....+ua+ua+ua= nn332211

Así pues, para formar una combinación lineal de vectores se utilizan las dos operaciones lineales de vectores. Evidentemente, como consecuencia de la definición se verifica: 1. Todo vector es combinación lineal de sí mismo: u=1⋅u 2. El vector 0 es combinación lineal de cualquier conjunto de vectores: 0=0u1+0u2+.....+0un

Matrices y determinantes.

1


* Dependencia e independencia lineal de vectores. Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los restantes. En caso contrario se dice que son independientes. O de otro modo: Los vectores u son linealmente dependientes si existe una combinación lineal de la forma: u,....,u, n21

con algún . 0=ua....++ua+ua nn2211 0ai ≠Los vectores u son linealmente independientes si cualquier combinación lineal de la forma: u,....,u, n21

todos los a0=ua....++ua+ua nn2211 i son nulos. Para el caso de dos vectores de R3 la dependencia lineal equivale a la proporcionalidad, de tal manera que: Dos vectores son dependientes cuando sus componentes son proporcionales. * Consecuencias de la definición de dependencia e independencia lineal: 1. Todo conjunto de vectores que contiene al vector nulo es linealmente dependiente:

u0...++u0+u0=0 n21 2. Un vector es linealmente independiente si, y solo si, es no nulo. 3. En R3 el número máximo de vectores linealmente independiente es tres. * Base de un espacio vectorial. Sea V un espacio vectorial y B un subconjunto de vectores de V. Se dice que B es una base de V si verifican las siguientes condiciones: - B es un sistema generador de V - B es linealmente independiente. El espacio vectorial R3 tiene como base canónica: B={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} Se llama dimensión de un espacio al número de elementos que tiene cualquiera de sus bases. Luego la dimensión de R3 es tres. 7.4 Definición de matriz. Terminología. Tipos de matrices. * Definición de matriz. Se llama matriz de orden mxn sobre un cuerpo conmutativo R a un cuadro dispuesto en m filas y n columnas. Esquemáticamente:

a..aa

........

a..aa

a..aa

=A

mnm2m1

2n2221

1n1211

* Tipos de matrices: - Matriz nula es la que tiene todos sus elementos iguales a cero. - Matriz fila es la que tiene una sola fila . - Matriz columna es la que tiene una sola columna. - Matriz opuesta de la matriz A es al matriz B tal que B=-A. - Matriz cuadrada es la matriz que tiene el mismo número de filas que de columnas. - Matriz diagonal es la matriz cuadrada cuyos términos no situados en la diagonal principal son nulos. - Matriz escalar es la matriz diagonal que tiene iguales todos los elementos de la diagonal principal. - Matriz unidad es al matriz diagonal que tiene todos los elementos de la diagonal principal iguales a 1. - Matriz triangular es la matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos situados por encima o por


2


debajo de la diagonal principal. - Matriz simétrica es la matriz cuadrada que tiene iguales sus elementos conjugados. 7.5 Operaciones con matrices. Matriz inversa. * Suma de matrices. La suma o adición de dos matrices A y B del mismo orden mxn es otra matriz de orden mxn, cuyos elementos se obtienen sumando los elementos de A y B que ocupan lugares homólogos. - Propiedades de la suma de matrices: - La suma de matrices es una ley de composición interna. ∀ MC=B+A:MBA, mxnmxn ∈∈ - Propiedad asociativa.

MCB,A,C+B)+(A=C)+(B+A mxn∈∀ - Existe el elemento neutro. A=A+O=O+A - Existe el elemento simétrico o matriz opuesta. O=(-A)+A - Propiedad conmutativa. A+B=B+APor cumplir las propiedades anteriores, el conjunto de matrices de orden mxn tiene estructura de grupo abeliano respecto de la suma. La diferencia de las matrices A y B se representa por A-B, y se define así: A-B=A+(-B) *Producto de una matriz por un número. El producto de una matriz A por un número real k es otra matriz B de la misma dimensión que A tal que cada elemento de B se obtiene multiplicado k por cada elemento de A.

-Propiedades : k(A+B)=kA+kB (k+h)A=kA+hA k[h(A)]=(kh)A

- Producto de matrices. Dadas dos matrices A de dimensión mxn y la matriz de dimensión nxp, se llama producto de A por B a la matriz C de dimensión mxp en donde el elemento genérico es igual a la suma de los productos siguientes: primer elemento de la fila i de A por el primero de la columna j de B, el segundo elemento de la fila i de A por el segundo de la columna j de B....,el n-ésimo de la fila i de A por el n-ésimo de la columna j de B.

cij

En general no se verifica la propiedad conmutativa. Ejemplos:

−

−

521214321

−

521132

= =

−3010

113206

101023012

213201120111

224305570334

- Matriz inversa. Sea A una matriz cuadrada de orden n. Se dice que A tiene inversa si existe una matriz B, cuadrada de orden n, tal que .Se dice que B es la matriz inversa de A. I=BA n⋅La matriz inversa de A, cuando existe, es única. La matriz inversa de A cuando existe, se simboliza por , verificándose: A-1

I=AA=AA -1-1 ⋅⋅


3


7.6 Determinante de una matriz cuadrada. Sea A una matriz cuadrada de orden n. Se llama determinante de la matriz A al polinomio cuyos términos son todos los posibles productos de n factores tomados entre los n elementos de A, de modo que en cada término haya un solo factor de cada fila y un solo factor de cada columna, y afectando a cada término del signo + o - según que permutaciones de los índices de las filas y las columnas sean de la misma o distinta clase. El determinante de una matriz cuadrada de orden n se simboliza por |A| o bien det A - Determinante de segundo orden. El determinante de una matriz cuadrada de segundo orden es igual al producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria. - Determinante de tercer orden. Es fácil recordar el determinante de tercer orden mediante la regla de Sarrus: Los términos con signo + están formados por los elementos de la diagonal principal y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto. Los términos con signo – están formados por los elementos de la diagonal secundaria y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto Ejemplos:

312045123

−−=-19

011123521

−=-22

- Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea Se llama adjunto de un elemento al determinante que resulta de eliminar la fila y la columna a la que pertenece el elemento. El adjunto va precedido de un signo + o - , según que la suma de los subíndices de la fila y la columna sea par o impar El determinante de una matriz cuadrada es igual a la suma de los elementos de una fila o columna multiplicados por sus adjuntos correspondientes. El valor del determinante es independiente de la fila o columna elegida para su desarrollo. -Cálculo de la matriz inversa por determinantes. Dada una matriz cuadrada A, se llama matriz adjunta de A, y se representa por adjA , a la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento por su adjunto correspondiente. La condición necesaria para que una matriz tenga inversa es que su determinante sea distinto de cero. La matriz inversa de una matriz dada es igual a la matriz adjunta de su traspuesta dividida por el determinante de la matriz dada.

||1

AadjAA

t

=−

El primer paso para hallar la inversa de una matriz es calcular su determinante. Si es 0, se termina el proceso. No tiene inversa. Las matrices inversas se utilizan para la resolución de sistemas de ecuaciones y de ecuaciones matriciales. 7.7 Propiedades de los determinantes. 1º- Un determinante no varía si se cambian sus filas por sus columnas, es decir: A|=|A| |t

2º- Si en un determinante se cambian entre si dos filas o dos columnas, el determinante cambia de signo pero no en valor.

3º- Si todos los elementos de una fila o columna se multiplican por un número, el valor del determinante queda multiplicado por dicho número.

4º- Si todos los elementos de una fila o columna son cero, el determinante es cero.


4

5º- Si dos filas o columnas son iguales el determinante es cero.


6º- Si dos filas o columnas son proporcionales el determinante es nulo. 7º- Si dos determinantes tienen iguales respectivamente todas sus filas salvo una de ellas, su

suma es otro determinante con las mismas filas con excepción de la fila desigual, que tiene por elementos la suma ordenada de ambas filas.

8º- Si una fila o columna se le suma un múltiplo cualquiera de otra fila o columna, el determinante no varía.

9º- Si una fila o columna es combinación lineal de otra fila o columna, el determinante es cero. 10º-Un determinante es igual a la suma de los productos de una línea cualquiera por sus

adjuntos correspondientes. 7.8 Rango de una matriz. Rango o característica de una matriz es el mayor orden de los menores distintos de cero que se pueden obtener en la matriz. Se simboliza por rg(A). Ecuaciones matriciales. Puesto que el producto de matrices no es conmutativo, a la hora de multiplicar una matriz por otra conviene si ha de hacerse por la derecha o por la izquierda. Antes de empezar a operar con las matrices dadas conviene despejar la matriz incógnita. Ejemplos.

Si las matrices A, B y C son las siguientes: C

=

4311

A

=

1112

B

=

3121

Expresar el valor de la matriz X en las siguientes ecuaciones: a) XA=B+I b) AX+B=C c) XA+B=2C d) AX+BX=C e) XAB-XC=2C Las soluciones de cada ejercicio son las siguientes:

a) X= b) X= c) X=

−

−1229

−

−13

24

−−

41139

d) X= 1/7 e) X=1/4

− 11

43

−−

623414

ALGEBRA LINEAL. MATRICES Y DETERMINANTES.

PROBLEMAS. - Algebra lineal. 1º-Estudiar la dependencia lineal del conjunto de vectores: {(3,3,2),(1,1,-1),(2,2,3)}. 2º-Estudiar la dependencia lineal del conjunto de vectores: {(1,2,3),(2,1,3),(1,0,1)} 3º-Hallar las coordenadas de los vectores de la base canónica respecto de la base: B={(1,-1,0),(0,0,2),(3,0,1)}


5


4º-¿Qué relación debe existir entre α y ß para que los vectores: u=(α,-3,1) v=(3,ß,5) w=(1,-4,3) sean linealmente independientes? 5º-Determina los valores de a para los que los vectores (-2,a,-1), (5,0,6) y (3,-2,4) son linealmente

independientes y , si es posible, expresa (2,2,2) como combinación lineal de (-2,6,-1), (5,0,6) y (3,-2,4). - Matrices y Determinantes. 1º- Dadas las matrices

=

=

011121101

115003102

BA calcular A+B; A-B; AB; BA; AA; BB.

2º- Calcular AB y BA, si es posible, siendo:

−−=

−

−=

043521

430112

BA

3º- Dadas las matrices A= B= comprobar que (A.B)

021

100

11-1

300

01-1

100t= A.B tt

4º- Dadas las matrices determinar la matriz X tal que AX-BX=B.

01

10=B

21

01=A

5º- Sea A una matriz cuadrada tal que se pide: 2I+A=A2

a) Probar que A posee inversa. b) Hallar las matrices diagonales de orden 2 que verifican esta relación.

6º- Dada la matriz Hallar a) A

100

010

501

=A Ac)Ab) n32

7º- Hallar las matrices X e Y tales que:

21

02=Y-3X

12

1-1=3Y+2X

8º- Dada la matriz hallar

10

11=A A2+A+I=B 2

9º- Dada la matriz hallar la matriz M tal que A.M=I siendo I la matriz identidad.

01-

21=A


6


10º- Hallar la potencia n-esima de la matriz

100

110

011

=A

11º- Sea A una matriz cuadrada tal que . Si B=2A-I. Demostrar que A=A2 I=B2

12º- Sea la matriz Determinar g y h para que se verifique la ecuación

32

12=A 0=hI+gA+A2

13º-Dadas las matrices : hallar si existe X tal que

21-

11=C

11-2

113=B

10

12

21

=A

2C=CX-BAX

14º- Dada la matriz: A= se pide:

221131122

a) Calcular (A-I)2·(A-5I) b) Obtener la inversa de A

15º- Calcular una matriz X que verifique la igualdad A·X=B con A= B=

2132

−1211

16º- Encontrar una matriz X tal que AX+B=C, siendo

=

=

=

311110

121011

1211

CBA

17º- Encontrar una matriz X que verifique X-B2=AB siendo

=

200131121

A

−=

600222101

B

18º- Hallar A-1 y An siendo A=

100010101

19º- Calcular A100 siendo A=

101011001


7


20º- Calcular el valor de los siguientes determinantes:

d000

3c21

20b0

503a

b)

x00c

0x0b

00xa

cbax

a)

a00b

ba00

0ba0

00ba

d)

c+xba

cb+xa

cba+x

c)

21º- Demostrar las siguientes igualdades:

)y-(x=

111

2yy+x2x

yxyx

b))c+b+(a=

b-a-c2c2c

2ba-c-b2b

2a2ac-b-a

a) 3

22

3

22º- Demostrar sin desarrollar :

ccab

bbca

aabc

=

cc1

bb1

aa1

b)0=

b+ac1

c+ab1

c+ba1

a)2

2

2

32

32

32

23º- Calcular los siguientes determinantes:

6-2-01

1-111

2132

4321

b)

3214

2143

1432

4321

a)

24º- Hallar la inversa de las siguientes matrices:

551-

203

041

=B

341

113

110

=A

25º- Resolver la ecuación AX=B siendo:


8


2=A

234

1-10

012

=B

421

03

1-01

26º- Expresar en forma de producto el valor del siguiente determinante

xaaa

axaa

aaxa

aaax

2

2

2

2

27º- Resolver la siguiente ecuación:

0=

64-1258-x

16254x

4-52-x

1111

3

2

28º- Para que valores de x posee inversa la matriz siguiente

x10

1x1

11-1

=A

PROBLEMAS RESUELTOS.-

1º-Discutir el rango de la matriz B según los valores del parámetro a.

Sol: 3,a ≠

a024

3-31-1

111a

21-11

=B 2=rgB3,=a4;=rgB

2º-Probar que la matriz A tiene inversa y calcularla

1000

m100

0m10

00m1

=A


9


3º-Calcular el rango de la matriz A para los distintos valores de t

. Sol: t=0 rg(A)=1 t 0 rg(A)=2

14-32-

2-86-4

0t0t

=A

≠

4º-Hallar la matriz siendo Sol: BBn

111

111

111

=B n=3n-1B

5º-Calcular el valor del determinante:

300303

300303

111

222 logloglog

logloglog Sol: D=2

6º-Sea A la matriz . Hallar . Sol: =A

100

010

101

An

100

010

n01n

7º-Dada la matriz averiguar para que valores del parámetro m existe .

m-14

3m0

1-01

=A A-1

Calcular la matriz inversa para el valor m=2.

Sol: ≠ 1mm

≠

21-8-

3-212

21-7-

=A3 1-

8º-Pruebe que siendo A la matriz . A2=A 1-nn

11

11

9º-Obtener, simplificado, el desarrollo del determinante:

3abccb-cb

ab-b2cb-

aab-abc

222

22

2

Sol: 2 cba 242

10º-Hallar los valores de para los cuales la matriz λ


10


1----

1-0--

321-

654-

λλλ

λλ

λ

λ

a) No tiene inversa. b) Tiene rango 3. Sol: 0=λ 3=λ

11º-Se considera la matriz . Calcular ( .

53

21=A A)AA 2-1t

Sol:

103

72

12º-Dadas las matrices:

11

10

1-2

= D 113

1-12 = C

021-

1-30

11-2

= B

2-31

1-03

01-1

= A

Hallar: a) A-1; b) B-1; c) A.B; d) B.A; e) 3A+2B; f) C.A; g) C.B; h) C.D; i) A2; j) B2; k) 3A + A2; l) B2-A.B Soluciones:

2-44

35-7

24-2

= A.B

11/2-1/2

1/31/61/6

1/3-1/31/3

= B

3/2-29/2-

1/2-15/2-

1/2-13/2-

= A 1-1-

3-07

15-4 = C.A

6-131

5-69

25-7

= 2B+3A

2-15

1-3-8

1-10

= B.A

3-72-

3-71

33-3

= B

17-8

26-2

11-2-

= A 1-7

2-3 = C.D

225

11-5 = C.B 22

1-36-

6-126-

111

= A.B-B

5-211

1-6-11

14-1

= A+3A 22


11


13º-Dadas las matrices A y B. Calcula A+B, A-B, A2, B2, AB, BA

120

101

212

= B

011

112

101

= A

235

112

336

= B.A

313

645

332

= A.B

322

332

765

= B2

1-1-1

011

1-1-1-

= B-A

213

325

112

= A2

131

213

313

= B+A

101-

1-12 :l So

101-

011 = B

10

11 = A

Solución: 14º- Halla AX = B donde:

15º-Demostrar que A satisface la relación de recurrencia An = 2n-1 A.

11

11 = A

16º-Halla el determinante de A y su inversa:

7/32-1/81/45/32

3/323/81/4-7/32

1/321/81/419/32-

1/4001/4

= A 32- = A

1-013

1210

21-12

101-1

= A 1-

17º- Aplicando la función de la matriz inversa. Calcula la inversa de la matriz A. Comprueba el resultado.

001/2

1-13/2

2-13

= A : Sol

311-

021-

200

= A 1-

18º- Dadas las matrices siguientes. Calcula la potencia enésima.


12


1n2

n-n

01n

001

= A :Sol

110

011

001

= A

2

n

1n2

1+n+n

01n

001

= B :Sol

111

011

001

= B

2

n

100

n10

2n-nn1

= C :Sol

100

110

011

= C

2

n

10n

010

001

= D :Sol

101

010

001

= D n

202

010

202

= E :Sol

101

010

101

= E1-n1-n

1-n1-n

n

=

=

FFimparnIFparn

:Sol

01

010

10

= Fn

n

0

0

19º- Calcula los siguientes determinantes de orden 3:

3-12

121

1-01

312

1-11

102

131

1-12

2-11

Sol: -9; 7; -4

20º- Hallar la solución de la ecuación:


13


0 =

2x3

312

1-11

c) 0 =

x63

8x2

421

b) 0 =

x11

1x1

111

a)2

Sol: a) x=-1; x=1; b) x=4; x=12; c) x=2 21º-Resolver aplicando las propiedades de los determinantes:

0 =

cbx

xb-a-

cba

d) 0 =

c-b-x

2cx2a

cba

c) 0 =

xaba

2cx2a

cba

b) 0 =

xba

cxa

cba

a)2

Sol: x = b; x = c; b) x = b/2; x = ac; c) x = -a; x = 2b; d) x=a; x=-c 22º- Según el valor del determinante A calcular razonadamente el valor del determinante B:

2y2z2x

222

2b2c2a

= B zyx

cba

= A βγα

γβα

Sol: B = 8A

23º-Demostrar que el determinante vale 0

0 =

b+ac1

c+ab1

c+ba1

24º- Calcular:

2-21-1

0112

2011-

1021-

021-1

112-0

1-312

21-01

012-2

21-01

1-112

021-1

Sol: 21; -5; -14

25º-Sin desarrollar demostrar la identidad:

ccab

bbca

aabc

=

cc1

bb1

aa1

2

2

2

32

32

32

26º-Resolver las ecuaciones: a) A.X = B; b) A + X = B; c) A-1.X = B; d) 2A-X = 3B, siendo


14


121

110

01-1

= B

2-01

110

1-12

= A

320

000

12-1-

= X b) ;

3/2-3-1/2-

5/241/2

2-4-0

= X a) :Sol

7-61-

1-1-0

2-51

= X d) ;

2-5-1-

231

03-1

= X c)

27º- Hallar A-1 y B-1 de las matrices del ejercicio anterior:

1/2-3/21/2

1/21/2-1/2-

1/21/2-1/2

= B

1-1/2-1/2

13/21/2-

1-1-1

= A :Sol 1-1-

28º- Calcular por determinantes A-1.

3/5-1/52/5-

2/51/52/5-

2/51/53/5

= A :ol S

1-10

212

01-1

= A 1-

29º-Calcular el rango de M según los valores de t:

63-63

t2-42

21-21

= Mb)

tt03

01-12

121-1

= Ma)

Sol: a) t=1 r(M)=2; t≠1 r(M)=3; b) t=4 r(M)=1; t≠4 r(M)=2 30º- Calcular a para que M tenga inversa:

Sol: a) a≠1; b a≠1); c) a≠3

12a

31-2

1-10

c) ;

2a1

1-01

013

b) ;

312

1a4

510

= M

31º- Dadas las matrices:

1-10

312

01-1

= C

111

11-0

012

= B

2-10

121

1-01

= A

resolver las ecuaciones: a) AX+B=C; b) AX+BX=C; c) AX+2X=B; d) AXB=C


15


17/134/139/13

1/13-12/131/13

6/137/13-7/13

= X b) ;

12/35/6

04/32/3

14/3-1/6-

= X a) :Sol

1/21/31/6-

11/3-1/3-

1/2-4/35/6

= X d) ;

9/4-4-7/2-

111

3/4-1-1/2-

= X c)

32º-Calcula

aababb

ababab

abbaab

bababa

22

22

22

22

Sol: (a+b)4 . (a-b)4

33º- Demostrar que:

c)-(a sen+ a)-(c sen+ c)-(b sen=

c c sen1

b b sen1

a a sen1

cos

cos

cos

34º- Calcular

27

31101122

23322111

50

12

1123

11

3

=

−−−−−

−−−−

=

−−

−−

−

−

12

12

1-11

27

2110332111201133

4

1200

1110

111

1

=

−−−−−

−−−

=

−

−

−−−

−

1

1-11

24

112202113321213

0001102211

12

02233211121221011101

11110

=

−−−−−−

−−−

=

−−−−−

−−−−−

−−


16


31

2410022110221113

8

122113320112221

0111210111

−=

−−

−−−−

=

−−−

−−−−−

−−

28

2201110332211221

27

11302211

13220111

=

−−−−−−−−

−=

−−−

−−−

26

121132201133

2111

39

102112311220

2311

=

−−−

−−−

=

−−−

−−−−

90- = 28-

6-21- 38 =

18-

52- 11 =

72

53

81144

713252

0541

712253

001010100

= = 1 = −−

−−

−−

4

1000010011402251

14

1100012111422251

24

1131101213122101

−=−−−

−

−=−

−−−

−=

35º- Dada la matriz A averigua para qué valores del parámetro m existe A-1. Calcula A-1 para m = 2.

21-8-

3-212

21-7-

= A

m-14

3m0

1-01

= A 1- Sol: m ≠ 3 y m ≠ 1

36º-Hallar los valores de x para los cuales la matriz A no tiene inversa.

x 1

2-x 2 = A Sol: -2; 2/3

37º- Resuelve AXB + C = D


17


21-1

102 = X : Sol

1-00

432 = D

3-10

321 = C

11-1-

110

011

= B 11

01 = A


18

38º-Calcular el rango de la matriz A. Sol: r(A) = 2

3723

1-101

5-01-2

= A

39º- Dada la matriz B calcular los valores de y para que su rango sea 2.

Sol: y = -1

712-3

1-101

31y2

= B

40º-Calcular el determinante:

5312

0210

6123

1-211-

a) Haciendo ceros. b) Desarrollándolo por los elementos de una línea. Sol: -12 41º-Comprobar sin desarrollar que son nulos los determinantes:

4004

3113

1331

y+xz+xz+y

zyx

111

4201-

2103

5114

3011

242

1-13

121

42º-Dadas las matrices A y B calcula la matriz P = AB+B2

1862

1666

1033

= P : Sol

310

211

101

= B ;

201

031

111

= A

43º- Resuelve la ecuación matricial X-3A = AB; siendo:

108

14 = X

02

11 = B

31

01 = A

44º- Calcula el rango de las matrices siguientes:


112-34

23113

21102

20111

= B

5344

1112

3120

= A

404

1-55-

3-5-1

= C

Sol: r(C) = 2; r(A) = 2; r(B) = 4 45º- Calcula An, siendo:

202

010

202

b)

10n

n12

n+n

001

a) : Sol

101

010

101

= A b)

101

111

001

= A a)1-n1-n

1-n1-n

2

46º-Sabiendo que 3 =

101

zyx

cba

Halla: a)

bca

yzx

011

; b)

11-2

xz-y2z

ac-b2c

;

c)

2-cb2-a

101

1-zy1-x

Sol: a) 3; b) -6; c) 3

47º- Si A y B son dos matrices cuadradas de orden n. ¿Es cierto, en general, la igualdad siguiente?: A2+2AB+B2 = (A+B)2. Sol: No 48º-Halla la matriz enésima de la matriz A:

1n-2

n-n

01n-

001

= A :Sol

11-0

011-

001

= A

2

n

49º- Encuentra los valores de x, y, z, que verifiquen la siguiente ecuación matricial:

Sol: x = -1; y = 1; z = 2

2

2

2

= z

y

10

12

11

+

0

2

1

x

50º- Encuentra la matriz X tal que: a) AX+B=C; b) AXB=C; c) AX+BX=C; d) AX+X=B; e) 2X+XA=C,


19


siendo:

310

252

003

= C ;

111

010

001

= B ;

421

021

001

= A

1/20

1/313/12

00

4/5-7/10-

5/31/6

03/2

c)

1/45/4-3/4-

13/23/2-

003

b)

01-3/4-

120

002

1/6-

7/36

1

e)

1/51/151/6

01/31/6-

001/2

d)

1/5

2/3

0

a) :Sol

51º- Sea AB = AC, ¿se puede asegurar que B = C?; y si AB=0; ¿se puede asegurar que A=0 ó B=0?. Sol: No; No 52º-- Hallar k para que la matriz A no tenga inversa. Calcular la inversa para k = 0.

=

=

1-1-2

101-

111-

= A k Sol

111

k1-1

1k1

A 1-;1:

53º- Resolver la ecuación matricial AX+B=C, siendo:

313

313 = X :Sol

4-03-

527 = C

1-10

1-01 = B

12-

20 = A

54º- Se dice que dos matrices cuadradas de orden n, A y B conmutan, si AB = BA. Obtener las matrices A que conmuta con la B.

x0

yx = A :ol S

10

11 = B

55º- Calcular los determinantes: a) Haciendo ceros; b) Desarrollando por los elementos de una línea:

1121-

211-2

01-12

1-123

222-1

1231

11-21

1111

Sol: 5; -48

56º- Dada la matriz A. Calcula los valores de m para que

tenga inversa. Di para qué valores de m A es una matriz singular. Rango de A.

m1-m

25-4

2m3

= A

Sol: a) m≠-2 y m≠-1/2; b) ; c) m = 2 ó m = -1/2 ─> r(A) = 2; m≠-2 y m≠-1/2 ─> r(A) = 3


20


57º.- Encontrar la matriz X que verifique que: X-B2 = AB; AX+B=C

877

886

138

= C

211

112

1-01

= B

211

301

021

= A

321

213

2-11

b)

8610

659

2-15

a) :Sol

58º- Calcula el rango de las siguientes matrices:

Sol: r(A) = 2; r(B) = 4

1321-1

02-211

14123-

02-12-1-

= B

87654

76543

65432

54321

= A

59º- Dadas las matrices A y B calcula la matriz P = AB+B2

21914

17911

826

= P :ol S

312

221

101

= B

210

111

101

= A

60º- Calcula el rango de las siguientes matrices:

Sol: r(A) = 2; r(B) = 4

64230

01424

11302

21101

= B

3541

1210

1121

= A

61º- Resuelve la siguiente ecuación:

0 =

6x3

44-x

22-1

Sol: x = 2; x = -6

62º- Calcula sin desarrollarlos el valor de los siguientes determinantes:

11965

11574

5432

3121

;

6535

2102

1312

3121

;

y-xz1

z-xy1

z-yx1

;

1918117

101164

9753

5432

63º- Halla A+B; 2A+3B; siendo:


21


283922

122126

71217

= 3B+2A

12168

5911

357

= B+A :ol S

476

234

123

= B

892

367

234

= A


22

64º- Hallar las inversas de las matrices:

203

24-0

412-

= C ;

341

113

110

= B ;

1277

012-

431

= A

4/353/706/35

2/358/35-3/35

9/351/35-4/35-

= C

1-1/311/3

11/3-8/3-

01/31/3-

= B A existeno :Sol 1-1-1- ;

65º-Hallar el rango de las siguientes matrices según valores de x:

x-1x-1-

x4 x

12 1

;

16-101

5x1-2

21-x1

;

3422

31771

1104x

41-13

Sol: x=0 rango 3 Sol: x=3 rango 2 Sol: x=2 rango 1 x≠0 rango 4 x≠3 rango 3 x≠2 rango 3 66º- Resolver las ecuaciones:

1 =

0x4

2x1

102

1 = 1x

x-1+2x

Sol: 0 y -2; -1/7 67º- Calcular el valor de los determinantes:

5214

1121

3175

2364

;

85-3-2

3-742-

5-825-

45-2-3

;

346-1-

22-31

5-83-2-

2-3-52

Sol = -142; -54; 43 68º- Sin desarrollar los determinantes, utilizando sus propiedades, comprobar:


0 =

z1/zxy

y1/yzx

x1/xyz

a)-(b a)-(c c)-(d b)-(d a)-(d =

dcba

dcba

dcba

1111

3333

2222

69º.- ¿Existe algún valor de x que haga inversibles las matrices:

x14

2-1-x

213

b)

x6-3

02-1

02-1

a) ? Sol: a) ninguna; b) x ≠ -3 y 2

70º.- Resuelve las ecuaciones matriciales siguientes: a) AXB-C=I; b) CX+AX=B siendo:

21-1

111

200

= C

11-1

101

103

= B

1-11

002

213

= A

002/3

1/2-3/21/6-

1/21/2-1/6

b)

1/37/6-1/6

7/31/35/6-

1-3/20

a) :Sol


23

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Apuntes de A. Cabañó Matemáticas II ALGEBRA …maristasmalaga.com/Descargar/alumnos/secundaria/seminario...MATRICES Y DETERMINANTES. 7.1 Vectores en R3. 7.2 Operaciones con vectores