UNIDAD IV: VECTORES EN R2 Y R3 REPRESENTACION · PDF filesuperficies u otros objetos ... R3 se tienen los planos coordenados xy, xz y ... se encuentra el punto de intersección entre

Universidad Alonso de Ojeda. Facultad de Ingeniera
GUIA DE ESTUDIO ALGEBRA LINEAL.
PROFESORA: Ing. Nelwi Bez P. e-mail:[email protected]
twitter:@nelwibaez www.nelwibaez.wordpress.com
UNIDAD IV: VECTORES EN R2 Y R3
VECTOR
Se puede considerar un vector como un segmento de recta con una flecha en
uno de sus extremos. De esta forma lo podemos distinguir por cuatro partes
fundamentales: punto de aplicacin, mdulo (norma o intensidad), direccin y
sentido. Si dos vectores se diferencian en cualquiera de los tres ltimos elementos,
(intensidad, direccin o sentido), los consideraremos distintos.
REPRESENTACION DE UN PUNTO EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO
Los vectores en R2 y R3 pueden representarse grficamente como
segmentos de recta dirigidos (flechas). Para esto, es necesario definir primero un
sistema de coordenadas.
Un sistema de coordenadas tiene por objeto describir puntos, curvas,
superficies u otros objetos matemticos en el plano o el espacio. Es posible definir
una gran cantidad de sistemas de coordenadas y la conveniencia en la eleccin de
uno de ellos en particular depende del problema bajo estudio. El sistema de
coordenadas cartesianas se define de la siguiente manera. Se elige un punto O
llamado origen, y se trazan dos o tres rectas numricas perpendiculares (es decir,
que forman un ngulo de 90), segn sea el caso de R2 o R3, respectivamente, que
pasen por el origen. A tales rectas se les llama ejes de coordenadas. A cada una de
ellas se le asigna una direccin positiva y una escala, no necesariamente la misma,
con origen en l punto O. Adems, a cada recta numricas se le asigna un nombre
(por ejemplo x, y, z).
En la Fig. 1 se muestra un ejemplo para cada uno de los casos en cuestin.
En el caso de R3, dependiendo de la orientacin que se escoja para cada eje
de coordenadas (es decir, de la eleccin de su direccin positiva), se obtiene un
sistema de coordenadas orientado a la derecha (sistema derecho) o a la izquierda
(sistema izquierdo). El sistema de coordenadas de la Fig. 1(b) es un sistema
derecho; al orientar todos los dedos de la mano derecha, excepto el pulgar, a partir
de la direccin positiva del eje x y hacia la direccin positiva del eje y, el dedo

pulgar apunta hacia la direccin positiva del eje z. De manera anloga, un sistema
de coordenadas puede quedar orientado segn la mano izquierda. En la Fig. 2 se
presentan las orientaciones posibles para sistemas derechos e izquierdos.
Ntese que partir de un sistema derecho puede obtenerse otro sistema
derecho, pero no uno izquierdo, mediante una rotacin de ejes. Lo mismo ocurre
entre los sistemas izquierdos.
Cada pareja de ejes de coordenadas define un plano que se designa con el
nombre de los ejes seleccionados. As, en el caso de R2 se trata del plano xy, y en
R3 se tienen los planos coordenados xy, xz y yz. Tambin es conveniente designar a
las diferentes regiones del plano y del espacio. R2 se puede dividir en cuatro
regiones llamadas cuadrantes, separadas por los ejes de coordenadas, y R3 en ocho
regiones llamadas octantes, separadas por los planos coordenados. En las tablas 1
y 2 se indica la manera de designar a cada una de estas regiones.

Para localizar al punto P(x0, y0), con coordenadas x0 y y0, respectivamente,
en un sistema de coordenadas cartesianas en R2, se procede de la siguiente
manera. A partir del punto x0 en el eje x, se traza una recta paralela al eje y, y a
partir del punto y 0 sobre el eje y, una recta paralela al eje x. La interseccin de
estas rectas perpendiculares indica la ubicacin del punto P. En la Fig. 1(a) se
localiza al punto P (2, 1), el cual est ubicado en el primer cuadrante.
Para ubicar al punto Q(x0, y0, z0) R3 se procede de manera similar.
Primero, se encuentra el punto de interseccin entre dos rectas en uno de los
planos de coordenadas.
En laFig. 1(b) se muestra al punto P(2, 2,5, 3), ubicado en el primer octante.
Sea el vector u R2 con punto inicial en P(x1, y1) y punto final en Q(x2, y2).
Entonces:
En el ejemplo indicado en la Fig. 3(a) se trata del segmento dirigido entre
los puntos
P(1, 1) y Q(3, 2) y por lo tanto u = (2, 1).
La informacin contenida en un par ordenado es equivalente a la que define
a un vector en R2 como un segmento dirigido caracterizado por su magnitud
(tamao de la flecha) y direccin.2 La magnitud del vector se denota por ||u|| y se
define como la distancia entre los puntos P y Q:

Este resultado coincide con el Teorema de Pitgoras. El sentido del vector est
definido por el ngulo que ste forma con la direccin positiva del eje x en el
sentido contrario a las manecillas del reloj:
donde ||u|| est definido por la Ec. (1). Por lo tanto, tambin es posible caracterizar
a un vector en R2 por su magnitud, su direccin y por la posicin del punto al cual
est anclado el segmento dirigido (el punto inicial).3 Cuando el punto al cual est
anclado el vector es el origen, se le llama un vector de posicin. Un vector de
posicin en R2 se define completamente por su magnitud y direccin pues se
entiende que el vector tiene punto inicial en el origen. Esta situacin se ilustra en la
Fig. 4(a).
PRODUCTO ESCALAR:
El producto escalar; (producto punto o producto interior euclidiano) es un
tipo de multiplicacin definida entre vectores que es muy til para aplicaciones a
problemas reales ya que asigna un valor real a una operacin entre vectores y se
define de la siguiente manera:
Ejemplo: Sean v = ( v1; v2 ); u = ( u1; u2 ) y : Es el ngulo entre v y u
u.v=| |. | | . cos
Tambin se define en funcin de sus componentes cartesianas.
Anlogamente se extiende para el espacio vectorial Rn.
Sean v = ( v1; v2; ... ; vn )
u = ( u1; u2; ... ; un )

Propiedades del producto escalar.
Sean: v ; u y w vectores y k un nmero real:
vu = uv
kvu = vku
v(u + w) = vu + vw
vv 0
Nota: Si dos vectores u y w son perpendiculares uw = 0
EJEMPLOS:
1. Multiplicacin de un escalar por un vector en R2
2. Multiplicacin de un escalar por un vector en R3
3.Suma de vectores en R2

4 .Suma de vectores en R2
ANGULOS DE VECTORES R2 Y R3
Es importante conocer:

NGULO ENTRE DOS VECTORES:
EJEMPLO: El ngulo entre dos vectores, viene dado por

PRODUCTO VECTORIAL
Es una operacin binaria entre dos vectores de un espacio eucldeo
tridimensional que da como resultado un vector ortogonal a los dos vectores
originales. Con frecuencia se lo denomina tambin producto cruz (pues se lo
denota mediante el smbolo ) o producto externo (pues est relacionado con el
producto exterior).

Sean dos vectores y en el espacio vectorial . El producto vectorial entre
y da como resultado un nuevo vector, . Para definir este nuevo vector es
necesario especificar su mdulo y direccin:
El mdulo de est dado por
donde es el ngulo determinado por los vectores a y b.
La direccin del vector c, que es ortogonal a a y ortogonal a b, est dada
por la regla de la mano derecha.
El producto vectorial entre a y b se denota mediante a b, por ello se lo llama
tambin producto cruz. En los textos manuscritos, para evitar confusiones con la
letra x (equis), es frecuente denotar el producto vectorial mediante a b.
El producto vectorial puede definirse de una manera ms compacta de la
siguient

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