Apuntes de Elementos de Control

Francisco Rodrguez R. Semestres 2007-2

1CAPTULO 1

INTRODUCCIN

La ingeniera de control disea las leyes matemticas que gobiernan los sistemas fsicos conforme a una serie de especificaciones. Esta disciplina es esencial para el desarrollo y automatizacin de procesos industriales. Los avances en el control automtico brindan los medios adecuados para lograr el funcionamiento ptimo de cualquier sistema dinmico. Resulta muy conveniente que los ingenieros posean un amplio conocimiento de esta materia.

El presente libro de texto describe las herramientas clsicas para el control de sistemas continuos en el tiempo, es decir, aquellos sistemas en los que se puede medir y actuar en todo instante. En electrnica, este tipo de sistemas se llaman analgicos, frente a los discretos y digitales.

1.1 DEFINICIONES

En el estudio de la ingeniera de control, se emplean una serie de conceptos que es necesario definir: x Planta, proceso o sistema: es la realidad fsica que se desea controlar (por ejemplo, un horno de

calentamiento controlado, reactor qumico, amplificador operacional, vehculo espacial, velocidad de un tren de laminacin, etc.).

x Perturbaciones: seales o magnitudes fsicas desconocidas que tienden a afectar adversamente la salida del sistema.

x Control realimentado: operacin que se realiza sobre la planta, con la que se consigue que a pesar de las perturbaciones, el sistema siga una entrada de referencia. Normalmente esto se consigue comparando la seal de salida con la seal deseada (se suele trabajar con la diferencia de ambas seales) y actuando en consecuencia.

x Controlador: es la ley matemtica que rige el comportamiento del sistema. Si una ley de control funciona aunque uno se haya equivocado en el modelo, se dice que esa ley es robusta.

x Servosistema: sistema de control realimentado en el que se hace especial hincapi a la capacidad del sistema de seguir una referencia.

x Regulador: sistema de control realimentado en el que se hace especial hincapi a la capacidad del sistema de rechazar las perturbaciones. En los reguladores la referencia prcticamente no cambia, es una seal continua y si cambia, lo hace lentamente.

x Sistema en lazo cerrado: la variable controlada se mide y se utiliza esa medicin para modificar la entrada sobre la planta. Esa medida se lleva a cabo normalmente por un sensor.

x Sistema en lazo abierto: la variable controlada o de salida no se mide, ni se utiliza para modificar la entrada. La entrada a la planta no es funcin de la salida como ocurra en lazo cerrado. Se emplea normalmente cuando las perturbaciones sobre el sistema son pequeas y tenemos un buen modelo de planta. Tambin se utiliza este tipo de sistemas si la seal de salida del sistema es imposible o muy difcil de medir. Como ejemplos se podran citar una lavadora de ropa o el arranque de motores de estrella a tringulo. Si el sistema en lazo abierto cumple las especificaciones necesarias, resulta ms sencillo y barato construirlo que un sistema en lazo cerrado. En la Fig. 1.1 se puede observar el esquema de control general que se va a seguir, mientras que en la

Fig. 1.2 se observa un ejemplo de sistema en lazo abierto.

2

+Referencia Salida

+ +

Perturbacin

Control Planta

Sensor

Actuador

Fig. 1.1 Sistema de control en lazo cerrado

Referencia Salida

Control PlantaActuador+ +

Perturbacin

Fig. 1.2 Sistema de control en lazo abierto En la Tabla 1.1 se puede observar las principales diferencias entre un sistema en lazo abierto y uno

en lazo cerrado. Tabla 1.1 Comparacin entre controladores de lazo abierto y cerrado

Control en lazo cerrado Control en lazo abierto Rechaza perturbaciones No rechaza perturbaciones Puede hacerse inestable No tiene problemas de estabilidad Se puede controlar un sistema inestable No se puede controlar un sistema inestable Es adecuado cuando no se conoce bien la planta Requiere un conocimiento muy exacto de la planta Requiere mayor nmero de componentes Requiere un menor nmero de componentes Suele ser caro Suele ser ms econmico

1.1.1 Ejemplos de sistemas de control

Se presentan a continuacin unos ejemplos de sistemas de control de lazo cerrado. Sistema de control de velocidad. Para el caso en que se quiera controlar la velocidad de un coche

mediante un sistema en lazo cerrado, la variable de referencia es la velocidad deseada del coche, el motor del coche es el actuador, la planta es el coche en s, posibles perturbaciones pueden ser la aparicin de una cuesta, la actuacin del viento, etc., la salida del sistema es la velocidad real del coche, y el sensor, un velocmetro, mide dicha velocidad.

Sistema de control de temperatura. Otro caso es el control de la temperatura de una habitacin. La variable de referencia es la temperatura deseada de la habitacin, los actuadores son los radiadores (o el aparato de aire acondicionado), la ley de control es el termostato, y las perturbaciones son las caloras que entran y salen de la habitacin o que generan las personas u otros equipos que no sean los actuadores. El sensor que mide la temperatura de la habitacin puede ser un simple termmetro.

mf

I

x

Fig. 1.3 Control de un pndulo simple invertido Sistema de control de posicin. Ahora se quiere controlar un pndulo como el de la Fig. 1.3, para

que se mantenga en un estado de equilibrio vertical. Las perturbaciones son cualquier fuerza que intente sacar el pndulo de su posicin de equilibrio. Si se trabajase en lazo abierto no se podra saber en qu posicin se encontrara el pndulo en cada momento, y nunca se podra alcanzar el objetivo. Es imprescindible, para este caso, utilizar un sistema de control en lazo cerrado.

3Otro ejemplo de sistema de control de posicin es un sistema mquina-herramienta. En este caso el sensor puede ser un encoder diferencial, un resolver o un potencimetro, el actuador es un motor elctrico y la ley de control un controlador PD.

1.2 CLASIFICACIN DE LOS SISTEMAS DE CONTROL

Los sistemas de control se pueden clasificar de diversos modos. A continuacin se sealan algunos.

1.2.1 Segn la caracterstica temporal de la ley de control

Si se atiende a la varianza en el tiempo de la ley de control se puede distinguir: x Control fijo o estndar. Los parmetros de la ley de control no varan en el tiempo. Es interesante

cuando las leyes del actuador y de la planta son fijas. Como ya se ha apuntado, se llama control robusto a aquel que funciona correctamente ante errores en la modelizacin de la planta.

x Control adaptable (gain scheduling). La ley de la planta cambia, y se puede decidir para cada ley un controlador distinto. Aqu se selecciona una ley de control como se ve en la Fig. 1.4.

x Control adaptativo (adaptive control). Se va cambiando el control variando los parmetros del modelo, como se ve en la Fig. 1.5. Sirve para aquellos sistemas en los que el modelo de la planta vara con el tiempo.

+Referencia Salida

+ +

Perturbacin

Control 2

Planta

Sensor

Actuador

Control 1

Fig. 1.4 Sistema de control adaptable

+Referencia Salida

Control Sistema

Sensor

Estimador

Fig. 1.5 Sistema de control adaptativo

1.2.2 Segn el nmero de entradas y salidas

Si se atiende al nmero de entradas y de salidas que posee el sistema se puede distinguir: x Sistema SISO (single input, single output). Posee una nica entrada y una salida. x Sistema MIMO (multiple input, multiple output). Posee varias entradas y varias salidas.

1.2.3 Segn la linealidad del sistema

Si se atiende a la linealidad del sistema se puede distinguir: x Sistemas lineales. Las ecuaciones diferenciales que describen al sistema, tanto a la planta como al

controlador, son lineales. x Sistemas no lineales. Las ecuaciones diferenciales que describen al sistema no son lineales. Unas

veces es la planta que no es lineal y otras veces es el controlador el que no es lineal.

41.2.4 Segn la continuidad del sistema

Si se atiende a la continuidad del sistema se puede distinguir: x Sistemas continuos. Continuamente ajusto a la ley de control, es un control en todo instante. x Sistemas discretos. Ajusto a la ley de control a observaciones discretas. Ambos sistemas permiten

un anlisis similar en caso de que el tiempo de muestreo sea mucho ms rpido que la planta.

1.2.5 Segn los parmetros del sistema

Si se atiende a los parmetros de las ecuaciones diferenciales que describen al sistema se puede distinguir: x Sistemas de parmetros concentrados. El sistema est descrito por ecuaciones diferenciales

ordinarias.x Sistemas de parmetros distribuidos. El sistema est descrito por medio de ecuaciones

diferenciales en derivadas parciales. Un ejemplo de sistema de este tipo puede ser el control de la transmisin de calor a travs de una superficie o volumen, o el control de la vibracin de un punto de una membrana.

1.3 SISTEMAS Y MODELOS

Un sistema es una combinacin de elementos que actan conjuntamente y cumplen un determinado objetivo. En ingeniera de control los sistemas se estudian reemplazndolos por modelos matemticos. Sin embargo obtener un modelo matemtico que caracterice de forma adecuada el comportamiento de un determinado sistema no es sencillo, y es uno de los grandes problemas de la ingeniera de control.

Ningn modelo matemtico puede abarcar toda la realidad del sistema, sin embargo, para que un modelo sea til no es necesario que sea excesivamente complicado. Basta con que represente los aspectos esenciales del mismo y que las predicciones sobre el comportamiento del sistema, basadas en dicho modelo, sean lo suficientemente precisas.

Los modelos se rigen con ecuaciones diferenciales. Normalmente se buscan modelos matemticos en los que intervengan ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes. Si se encuentran ecuaciones no lineales, lo habitual es linealizarlas en las proximidades del punto de operacin. A continuacin se proceder al estudio de los sistemas ms usuales en la ingeniera de control.

1.3.1 Sistemas mecnicos

Los sistemas mecnicos se componen elementos que pueden comportarse como masas, amortiguadores o muelles. La ecuacin diferencial que rige el comportamiento de una masa es la segunda ley de Newton:

2

2

d xf mdt

(1.1)

Donde f es la suma de las fuerzas exteriores aplicadas a la masa y x es su desplazamiento. El parmetro constante m es la propia masa y su unidad fundamental en el SI es el kilogramo, kg. Si el sistema gira en lugar de desplazarse, la ecuacin que gobierna su movimiento es:

2

2

dJdtTW (1.2)

Donde W es la suma de los pares exteriores aplicados al sistema y T su giro. El parmetro constante Jes la inercia del sistema y su unidad es el kgm2.

La fuerza f que restituye un amortiguador cuando se comprime es proporcional a la velocidad con que se aproximan sus extremos. La ecuacin diferencial que rige su comportamiento es:

dxf cdt

(1.3)

El parmetro c es la constante del amortiguador o viscosidad, y su unidad es el Ns/m. Si una masa se desplaza dentro de un medio viscoso (al aire, el agua, etc.), adems de su propia inercia debe vencer una fuerza viscosa proporcional a la velocidad con que se desplaza dicha masa. Este efecto se puede modelizar matemticamente con un amortiguador cuyos extremos estuvieran anclados uno en el centro de gravedad de

5la masa y otro en un punto exterior fijo del medio. Evidentemente, este efecto no aparece en el vaco o en el espacio exterior, fuera de la atmsfera.

La fuerza f que restituye un muelle cuando se comprime es proporcional a la distancia x que se han acercado sus extremos desde su longitud natural. Es la llamada ley de Hooke:

f kx (1.4) El parmetro constante k representa la rigidez del muelle y su unidad es el N/m. Para obtener las ecuaciones que representan a los sistemas mecnicos, se asla cada elemento del

sistema, introduciendo las fuerzas de enlace y se aplica la segunda ley de Newton a dicho elemento. A continuacin se muestran algunos casos en los que se da una combinacin de los tres elementos

bsicos de un sistema mecnico y las ecuaciones diferenciales que los gobiernan.

m

k

c

f

x

Fig. 1.6 Sistema mecnico masa-muelle-amortiguador 2

2

d x dxf m c kxdt dt

(1.5)

La ecuacin diferencial (1.5) gobierna el sistema masa-muelle-amortiguador de la Fig. 1.6. La entrada al sistema es la fuerza f y la salida es el desplazamiento de la masa x. La entrada puede ser un desplazamiento en lugar de una fuerza, como ocurre en el caso de la Fig. 1.7. El desplazamiento u puede representar el desplazamiento de un vstago neumtico. La ecuacin diferencial (1.6) gobierna este nuevo sistema.

mkc

x u

Fig. 1.7 Sistema mecnico masa-muelle-amortiguador 2

2

d x dxku m c kxdt dt

(1.6)

Tambin es posible que el sistema pueda modelizarse despreciando la masa de los elementos mviles. Este es el caso del sistema de la Fig. 1.8, regido por la ecuacin diferencial (1.7).

k

c

f

x

Fig. 1.8 Sistema mecnico muelle-amortiguador dxf c kxdt

(1.7)

En el sistema de la figura Fig. 1.9 ante una nica entrada u existen dos variables temporales de salida, los desplazamientos de las masas x1 y x2. Este sistema puede servir para modelizar el comportamiento del sistema de amortiguacin de un vehculo. La masa m2 representa la parte amortiguada del vehculo, mientras que m1 es el conjunto de la rueda y el eje. El desplazamiento de entrada u es el perfil de la carretera que acta sobre la rueda a travs de la rigidez del neumtico k1.

6m1

k2c

x1

k1u

m2 x2

Fig. 1.9 Modelo de un sistema de amortiguacin 2

1 1 21 1 1 2 1 22

21 2 2

2 1 2 2 2

( ) ( )

( )

d x dx dxk u x m k x x cdt dt dtdx dx d xk x x c mdt dt dt

(1.8)

Si lo nico que interesa del sistema es el desplazamiento de la masa amortiguada, sin importar cmo se mueva la rueda, habra eliminar del sistema de dos ecuaciones y dos incgnitas (1.8) la variable x1. El objetivo sera obtener una nica ecuacin que relacione la entrada u con la variable x2. Esto es difcil de hacer con las ecuaciones diferenciales en el dominio temporal. En el captulo 2 se muestra cmo conseguirlo de forma sencilla gracias a la transformada de Laplace.

1.3.2 Sistemas elctricos

Los sistemas elctricos se componen de tres elementos fundamentales: las resistencias, los condensadores y las bobinas. La tensin que aparece sobre los extremos de una resistencia es proporcional a la intensidad que circula a travs de ella. La constante proporcional se llama igualmente resistencia y su unidad en el SI es el ohmio, :.

v Ri (1.9) La tensin que aparece sobre los extremos de una bobina es proporcional a la derivada de la

intensidad que circula a travs de ella respecto del tiempo. La constante proporcional se llama inductancia y su unidad en el SI es el henrio, H.

div Ldt

(1.10)

La tensin que aparece sobre los extremos de un condensador es proporcional a la integral de la intensidad que circula a travs de ella a lo largo del tiempo. Desde otro punto de vista, tambin se puede decir que la intensidad que circula a travs de un condensador es proporcional a la variacin de la tensin entre sus bornes. Esta ltima constante proporcional es la que se llama capacidad y su unidad en el SI es el faradio, F.

dvi Cdt

(1.11)

En un circuito en el que existan resistencias, bobinas y condensadores, las ecuaciones diferenciales que lo gobiernan se obtienen aplicando las leyes de Kirchhoff en las mallas o en los nudos. A continuacin se muestran algunos casos en los que se da una combinacin de estos tres elementos y sus respectivas ecuaciones diferenciales.

R

C

voviL

i

Fig. 1.10 Sistema elctrico resistencia-bobina-condensador con una malla

70

0

1

1

t

i

t

o

div Ri L iddt C

v idC

W

W

(1.12)

En el sistema de la Fig. 1.10, la entrada en el circuito en la tensin vi y la salida es la tensin vosuponiendo que la corriente de salida es nula, o lo que es lo mismo, el circuito se conecta a un dispositivo de alta impedancia de entrada. En el sistema de ecuaciones diferenciales (1.12) interviene una variable intermedia: la intensidad i. Como ocurra anteriormente en los sistemas mecnicos, es difcil en el dominio temporal eliminar del sistema de ecuaciones estas variables intermedias para obtener una nica ecuacin diferencial que relacione la salida con la entrada.

R1

C2

vovi

i1

R2

C1 i2

Fig. 1.11 Sistema elctrico con dos mallas

1 1 1 21 0

1 2 2 2 21 20 0

22 0

1 ( )

1 1( )

1

t

i

t t

t

o

v R i i i dC

i i d R i i dC C

v i dC

W

W W

W

(1.13)

En el sistema de la Fig. 1.11 existen dos mallas, por tanto se obtienen dos variables intermedias entre las tensiones de salida y de entrada: las intensidades i1 e i2.

R1

C2C1 i1 i2

RLi

Fig. 1.12 Sistema elctrico con fuente de corriente

1 1 1 1 21 20 0

1 2 22 0

1 1( ) ( )

1 ( )

t t

t

L

i i d R i i i dC C

i i d R iC

W W

W

(1.14)

En el sistema de la Fig. 1.12 se muestra un ejemplo donde la entrada es una corriente en lugar de una tensin. La entrada es la corriente i de la fuente, la salida es la corriente i2 en la resistencia de carga RL y existe una variable intermedia que es la corriente i1 de la malla intermedia.

1.3.3 Sistemas elctromecnicos

Los sistemas electromecnicos o mecatrnicos, combinan elementos mecnicos y elctricos. Un ejemplo es el motor de corriente continua que hace girar una inercia, Fig. 1.13. La entrada es la tensin v y la salida es el giro T.

Rv L

i e+

W T

Fig. 1.13 Modelo de un motor de corriente continua arrastrando una inercia

82

2

div Ri L edt

de Kdt

Kid dJ Bdt dt

T

WT TW

(1.15)

La primera ecuacin del sistema (1.15) responde a la nica malla del circuito. La tensin e que aparece en el motor es proporcional a la velocidad de giro del mismo. El par W que ejerce el motor es proporcional a la intensidad que circula por l. Las constantes de velocidad y de par son la misma K, donde es posible demostrar que tienen las mismas unidades. La ltima ecuacin del sistema es la del modelo mecnico de inercia J y viscosidad B.

9CAPTULO 2

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

En el ao 1782 Pierre Simon Laplace estudi la transformacin integral que lleva su nombre. Sin embargo, no es hasta el periodo de 1880-1887 cuando Oliver Heaviside la aplica para la resolucin de ecuaciones diferenciales. Esta transformacin es muy til para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. La principal ventaja de su uso es que permite convertir el sistema de ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento de una planta, en un sistema de ecuaciones algebraicas en una variable compleja s.

2.1 DEFINICIN

Se define la transformada de Laplace F(s) de una determinada funcin temporal f(t) como:

0

( ) [ ( )] ( ) tsF s f t f t e dtf

L (2.1)

Donde f(t) es una funcin real de variable real, generalmente el tiempo, y su transformada de Laplace F(s) es una funcin compleja de variable compleja. Se reservarn las letras minsculas para las funciones temporales y las maysculas para sus transformadas de Laplace.

f(t) F(s)

L

Fig. 2.1 Transformada de Laplace Como la integral (2.1) se extiende desde cero hasta infinito, dos funciones cualesquiera que difieran

nicamente en valores de tiempo negativos, poseen la misma transformada de Laplace. Sin embargo, no tiene mucho sentido hablar de tiempos negativos. Lo habitual ser trabajar con funciones causales, es decir, aquellas que son nulas para tiempos negativos y toman valores finitos en tiempos positivos.

La variable compleja s, tiene unidades de rad/s sobre el eje imaginario y de s1 sobre el eje real. Esto se puede ver en (2.2), por la propia definicin de la transformada de Laplace.

( )ts t a bj ta tbj tae e e e e tb (2.2) Para que el exponente del mdulo del nmero complejo sea adimensional, a que es la parte real de la

variable compleja s, debe tener unidades de s1. El argumento tendr unidades de rad si b que es la parte imaginaria de la variable compleja s tiene unidades de rad/s.

2.2 PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

En la Tabla 2.1 se resumen las principales propiedades de la transformada de Laplace.

10

Propiedad Expresin

Linealidad [ ( ) ( )] ( ) ( )f t g t F s G sD E D E L

Integracin real 0

( )( )t F sf d

sW W

L

Derivacin real ( ) ( ) (0 )df t sF s f

dt

L

Valor final 0lim ( ) lim ( )t sf t sF sof o si existen los dos lmites

Valor inicial 0lim ( ) lim ( )st f t sF s ofo si existen los dos lmites

Traslacin en el tiempo [ ( )] ( )sf t e F sDD L

Traslacin en Laplace [ ( )] ( )te f t F sD D L

Convolucin [ ( ) ( )] ( ) ( )f t g t F s G s L con 0

( ) ( ) ( ) ( )t

f t g t f t g dW W W

Escalado en el tiempo ( )tf F sD DD

L

Tabla 2.1 Algunas propiedades de la transformada de Laplace

2.3 TRANSFORMADA DE LAPLACE DE FUNCIONES ELEMENTALES

En este apartado se calculan las transformadas de Laplace de algunas funciones elementales. La funcin escaln unitario u(t) se define como:

1 para 0( )

0 para 0t

u tt!

(2.3)

Su transformada de Laplace se obtiene por definicin:

0 0

1( ) [ ( )]ts

ts eU s u t e dts s

ff

L (2.4)

Para el caso de la funcin pulso de rea unidad p(t), tambin por definicin: 1 para 0

( )0 resto

tp t

DD

(2.5)

0 0

1 1 1( ) [ ( )]ts s

ts e eP s p t e dts s

DD D

D D D

L (2.6)

El mismo resultado se puede conseguir escribiendo la funcin pulso de rea unidad como suma de dos funciones escaln un poco modificadas:

1 1 1 1 1( ) [ ( )] ( ) ( )s se eP s p t u t u t

s s s

D D

DD D D D

L L (2.7)

La funcin impulso unitario G(t) se define como:

11

para 0( ) de forma que ( ) 1

0 restot

t t dtG Gf

f

f

(2.8)

En este caso, su transformada de Laplace se puede obtener como lmite de la funcin pulso de rea unidad, cuando el parmetro D tiende a cero, es decir:

0

1( ) [ ( )] lim 1ses t

s

D

DG

D

o

' L (2.9)

Donde se ha empleado el teorema de lHopital para el clculo del lmite. Otra forma de obtener este mismo resultado es considerar funcin escaln unitario se obtiene integrando la funcin impulso unitario:

0

( ) 1( ) [ ( )] ( ) ( ) 1t sU s u t d s

s sG W W

' ' L L (2.10)

Las funciones que ms se emplean como entradas en los sistemas controlados son precisamente aquellas que se obtienen al ir integrando sucesivamente la funcin impulso unitario:

Funcin f(t) F(s)

Impulso unidad ( )tG 1

Escaln unidad ( ) 1u t para t > 0 1s

Rampa unidad ( )v t t para t > 0 21s

Aceleracin un medio 2

( )2ta t para t > 0 3

1s

Tabla 2.2 Transformadas de Laplace de las entradas habituales en los sistemas En la Tabla 2.3 se muestran las transformadas de otras funciones, definidas para tiempos positivos.

f(t) F(s) f(t) F(s)

ate1

s a1kt

( 1)!k

ks

atte 21

( )s aat bte e ( )( )

b as a s b

1k att e ( 1)!( )k

ks a

sin at 2 2a

s a

1 ate ( )a

s s acos at 2 2

ss a

1 ateta

2 ( )a

s s a1 sinate btb

2 2

1( )s a b

1 (1 ) atat e 2

2( )a

s s a cosate bt 2 2( )

s as a b

Tabla 2.3 Transformadas de Laplace de diversas funciones

2.4 TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

El proceso matemtico de pasar de la expresin matemtica en el dominio de Laplace a la expresin en el dominio del tiempo se denomina transformada inversa de Laplace.

12

1 1( ) [ ( )] ( )2

c jts

c j

f t F s F s e dsj

Z

ZS

L (2.11)

Evaluar la integral (2.11) puede ser bastante complicado por lo que se suele calcular acudiendo a la Tabla 2.3. Si en la tabla no se encuentra una determinada funcin F(s), se recomienda descomponerla en funciones simples en s, de las cuales s se conozcan sus transformadas inversas. Como las funciones de Laplace que se van a utilizar suelen ser fracciones de polinomios en s, el clculo de transformadas inversas se reduce a dividir estas expresiones en fracciones simples.

Como ejemplo, se va a calcular la funcin temporal de la funcin de Laplace F(s) de la ecuacin (2.12). Lo primero que se hace es dividir la nica fraccin en tres simples:

2 2

3 3 2 3

2 3 ( 1) ( 1)( )( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

s s A B C A B s C sF ss s s s s

(2.12)

Las constantes A, B y C se calculan igualando coeficientes de los polinomios del numerador. Tambin es posible obtenerlos igualando los numeradores despus de dar un valor numrico a la variable s.Los valores numricos ms adecuados son las races de distintos monomios. De esta forma es posible determinar ms rpidamente las constantes.

2 23

2 1( ) ( ) (1 )( 1) ( 1)

t t tF s f t t e e e ts s

(2.13)

2.5 RESOLUCIN DE ECUACIONES DIFERENCIALES CON LAPLACE

En este apartado se utiliza la transformada de Laplace para solucionar ecuaciones diferenciales lineales. Sea la siguiente ecuacin diferencial:

2

0 1 2 0 12

( ) ( ) ( )( ) ( )df t d f t dr ta f t a a b r t bdt dt dt

(2.14)

Las condiciones iniciales son:

0 1 0(0 )(0 ) (0 )dff c c r ddt

(2.15)

Se aplica la transformada de Laplace a los dos miembros de la ecuacin: 2

0 1 0 2 0 1 0 1 0( ) [ ( ) ] [ ( ) ] ( ) [ ( ) ]a F s a sF s c a s F s c s c b R s b sR s d (2.16) 2

0 1 2 1 0 0 1 1 0 2 1 2 0( ) ( ) ( ) ( )a a s a s F s b d b b s R s a c a c a c s (2.17)

0 1 1 0 2 1 1 0 2 02 2

0 1 2 0 1 2

( ) ( )b b s a c a c b d a c sF s R sa a s a s a a s a s

(2.18)

La ecuacin diferencial (2.14) se convierte en una ecuacin algebraica (2.16) en el dominio de Laplace. De esta forma es muy sencillo obtener la solucin (2.18) a la ecuacin diferencial, tambin en el dominio de Laplace. La solucin en el dominio del tiempo se puede obtener calculando la transformada inversa de Laplace de F(s), conocida la funcin r(t).

Si en lugar de una nica ecuacin diferencial se tiene un sistema de ecuaciones diferenciales, en el dominio de Laplace se obtiene un sistema de ecuaciones algebraicas. De esta forma es muy sencillo eliminar aquellas variables que se consideren innecesarias, y obtener una nica expresin de la salida del sistema en funcin de la entrada. Por ejemplo, un sistema propuesto en el captulo anterior:

R

C

voviL

i

Fig. 2.2 Sistema elctrico resistencia-bobina-condensador Si se aplica la transformada de Laplace al sistema de ecuaciones que gobierna el sistema, suponiendo

condiciones iniciales nulas:

13

02

0

11

11

t

i i

o it

oo

di Iv Ri L id V RI LsIdt C sC V VI RCs LCsVv id sCC

W

W

o

L (2.19)

Donde se ha conseguido expresar la tensin de salida del circuito en funcin de la tensin de entrada, independientemente de la otra variable, que es la intensidad que circula por la malla.

Conviene resaltar tambin cmo el cociente que multiplica a la tensin de entrada Vi no modifica sus unidades, por lo que la tensin de salida tiene las misma unidades que la tensin de entrada. Si repasamos en el denominador de ese cociente, cada uno de los sumandos es adimensional, es decir, ohmio por faradio entre segundo es adimensional y henrio por faradio entre segundo al cuadrado es tambin adimensional. Comprobar las unidades puede ayudar a detectar posibles errores en la resolucin del sistema.

Si la tensin de entrada en el sistema de la Fig. 2.2 es un escaln de valor 3 voltios, es posible encontrar el valor que alcanza la tensin en la capacidad cuando el tiempo tiende a infinito a travs del teorema del valor final:

2 20 0 0

1 1 3lim ( ) lim lim lim 3 voltios1 1o o it s s s

v t sV s V sRCs LCs RCs LCs sof o o o

(2.20)

Con este ejemplo, queda patente cmo es posible conocer caractersticas de la respuesta temporal del sistema sin haber calculado la expresin general de la tensin vo(t) en funcin del tiempo a travs de la transformada inversa de Laplace. Con los teoremas del valor inicial y final es posible conocer el valor en rgimen permanente, el valor inicial de la funcin y las sucesivas derivadas del la funcin en el origen.

2.6 PROBLEMA RESUELTO

Obtener la funcin x(t) que cumple la ecuacin diferencial con condiciones iniciales no nulas: 2

2

( ) ( ) (0 )3 2 ( ) 0 con (0 ) d x t dx t dxx t x a bdt dt dt

(2.21)

Aplicando la transformada de Laplace a la ecuacin diferencial: 2 ( ) 3[ ( ) ] 2 ( ) 0s X s sa b sX s a X s (2.22)

La solucin en el dominio de Laplace es:

2

3( )3 2

sa a bX ss s

(2.23)

La solucin en el dominio del tiempo es:

1 1 22

3 2( ) (2 ) ( )3 2 1 2

t tsa a b a b a bx t a b e a b es s s s

L L (2.24)

2.7 PROBLEMA RESUELTO

Obtener la funcin x(t) que cumple la ecuacin diferencial con condiciones iniciales nulas: 2

2

( ) ( )2 5 ( ) 3 ( )d x t dx t x t u tdt dt

(2.25)

Aplicando la transformada de Laplace a la ecuacin diferencial:

2 3( ) 2 5 ( )s X s sX X ss

(2.26)

La solucin en el dominio de Laplace es:

2

3( )( 2 5)

X ss s s

(2.27)

La solucin en el dominio del tiempo es:

14

1 1 1 12 2 2

3 3 1 3 2( )( 2 5) 2 5 5 5 2 5

A Bs C sx ts s s s s s s s s

L L L L (2.28)

1 12 2 2 2

3 1 3 1 1 2 3 1( ) 1 cos 2 sin 25 5 ( 1) 2 2 ( 1) 2 5 2

t tsx t e t e ts s s

L L (2.29)

15

CAPTULO 3

REPRESENTACIN DE LOS SISTEMAS

Los sistemas de control se pueden representar grficamente de diversas formas, por ejemplo, mediante diagramas de flujo o diagramas de Bond-Graph. Sin embargo, en esta asignatura slo se emplear un tipo de representacin grfica denominada diagrama de bloques. Estos diagramas expresan las ecuaciones diferenciales de un sistema en el dominio de Laplace.

3.1 FUNCIN DE TRANSFERENCIA DE UN SISTEMA

La funcin de transferencia, en general G(s), de un determinado proceso o elemento es la relacin en el dominio de Laplace entre la funcin de salida c(t) y su correspondiente entrada r(t), con condiciones iniciales nulas para ambas funciones. La funcin de transferencia es un invariante del sistema, es decir, para cualquier entrada que se produzca en el sistema, la salida que se obtiene siempre est relacionada con la entrada a travs de la funcin de transferencia.

[ ( )]( )[ ( )]c tG sr t

LL

(3.1)

Como la funcin de transferencia es un invariante del sistema, se puede obtener experimentalmente introduciendo una funcin temporal conocida y midiendo la salida que se efecta. Aplicando la transformada de Laplace a las dos seales y calculando su cociente, se consigue la funcin de transferencia.

Si es posible introducir en el sistema una funcin impulso en la entrada, la funcin de transferencia es directamente la transformada de Laplace de la funcin temporal de salida del sistema.

[ ( )] [ ( )]( ) [ ( )][ ( )] 1c t c tG s c t

tG L L LL

(3.2)

De forma terica es posible obtener la funcin de transferencia de un determinado sistema a travs de las ecuaciones diferenciales de su modelo matemtico. A continuacin se muestra el ejemplo de un sistema mecnico masa-muelle-amortiguador.

m

k

c

f

x

Fig. 3.1 Sistema mecnico masa-muelle-amortiguador 2

22 ( )

d x dxf m c kx F ms cs k Xdt dt

o L (3.3)

2

( ) 1( )( )

X sG sF s ms cs k

(3.4)

La fiabilidad de la funcin de transferencia terica depender, no slo de la bondad del modelo, sino tambin de la precisin con que se puedan medir los distintos parmetros que intervienen en el mismo. Se puede comprobar cmo la funcin de transferencia (3.4) posee las unidades de m/N, es decir, precisamente

16

las que relacionan la salida con la entrada. Asimismo, los sumandos del denominador son dimensionalmentecoherentes.

A partir de este momento, una expresin cualquiera en funcin de la variable compleja s de Laplace, H(s), puede corresponder tanto a la transformada de Laplace de una funcin temporal h(t) como a la funcin de transferencia de un determinado sistema. En general, por el contexto es posible deducir a qu se refiere en cada caso.

Conviene resaltar que: x La funcin de transferencia es una propiedad intrnseca del sistema. Conocida la funcin de

transferencia de un sistema, se puede conocer el comportamiento del mismo ante cualquier tipo de entrada.

x La funcin de transferencia responde a la ecuacin diferencial resultante que gobierna un sistema pero no ofrece informacin acerca de su configuracin interna. Dos sistemas fsicos diferentes pueden poseer idnticas funciones de transferencia.

3.2 DIAGRAMA DE BLOQUES DE UN SISTEMA

Los diagramas de bloques ya se emplearon en el primer captulo para describir los elementos que intervenan en un sistema controlado. Ahora se ofrece una explicacin ms rigurosa de su significado. Cada uno de los bloques de un diagrama representa la funcin de transferencia del proceso que enlaza la salida con la entrada.

El diagrama de la Fig. 3.2 representa el sistema masa-muelle-amortiguador de la Fig. 1.6.

2

1ms cs k

F XSistema

Fig. 3.2 Diagrama del sistema masa-muelle-amortiguador En general, los diagramas poseen ms de un nico bloque entre la entrada del sistema y su salida.

Cada bloque modeliza una parte del sistema y todos ellos encuentran unidos por diferentes variables de Laplace, donde la salida de unos bloques pueden ser las entradas de otros. En las uniones entre bloques pueden aparecer tambin puntos de bifurcacin y de suma.

Los puntos de bifurcacin, Fig. 3.3 a, se emplean para aquellas seales de Laplace que atacan varias funciones de transferencia. Los puntos de suma, Fig. 3.3 b, se representan con crculos a los que llegan las seales de Laplace que se combinan para dar el resultado. En la lnea de llegada al punto de suma se debe especificar el signo que se debe tener en cuenta.

+ +F1

F2

F3

1 2 3F F F F F F

F

(a) (b)Fig. 3.3 Punto de bifurcacin (a) y punto de suma (b)

El diagrama de bloques de un sistema se puede construir a partir de las ecuaciones diferenciales que lo gobiernan. El procedimiento es siempre igual, primero se toman las transformadas de Laplace de estas ecuaciones, con la suposicin de condiciones iniciales nulas. Posteriormente cada ecuacin en el dominio de Laplace se representa en forma de bloque. Finalmente se unen los elementos para formar un nico diagrama para todo el sistema. Este procedimiento se ha seguido en los ejemplos del final del captulo.

3.2.1 Diagrama de bloques de un sistema de realimentacin negativa no unitaria

Los sistemas de realimentacin negativa son los ms extendidos para el control de sistemas, por eso su estructura se estudia de forma pormenorizada. En la Fig. 3.4 se representa el caso ms simple de sistema de realimentacin negativa no unitaria. Hay que en cuenta que las funciones de transferencia G(s) y H(s) pueden ser el resultado del producto de varias funciones de transferencia.

17

+

H

CR E

B

G

Fig. 3.4 Diagrama de un sistema de realimentacin negativa no unitaria En (3.5) se expresan las ecuaciones de Laplace de los elementos del sistema y la solucin del sistema

de ecuaciones, es decir, la salida en funcin de la entrada.

1

C GEGE R B C RGH

B HC

(3.5)

Habitualmente se emplea el convenio de usar la letra C(s) para nombrar a la transformada de Laplace de la funcin de salida y R(s) para la entrada. A la seal E(s) se le llama error y a B(s) seal de realimentacin. Las funciones de transferencia que intervienen en el sistema son:

x Funcin de transferencia directa: es la que relaciona la seal de error y la salida.

dCG GE

(3.6)

x Funcin de transferencia en lazo abierto: es la que relaciona la seal de error y la realimentacin. Es el producto de todas las funciones de transferencia que se encuentran dentro del lazo de control.

laBG GHE

(3.7)

x Funcin de transferencia en lazo cerrado: es la que relaciona la seal de entrada y la salida. Es igual a la funcin de transferencia directa entre uno ms la funcin de transferencia en lazo abierto.

1 1d

lcla

GC GGR GH G

(3.8)

Con la funcin de transferencia en lazo cerrado se puede representar un diagrama equivalente al de la Fig. 3.4, pero con un nico bloque:

CR

1GGH

Fig. 3.5 Diagrama equivalente de un sistema de realimentacin negativa no unitaria Para el diseo de controladores son especialmente importantes las expresiones de las funciones de

transferencia en lazo abierto y cerrado. El sistema controlado responde a la funcin de transferencia en lazo cerrado, sin embargo, muchas de las caractersticas del sistema controlado se deducen a partir de la funcin de transferencia en lazo abierto, como se ir mostrando en los sucesivos apartados y captulos.

En la Fig. 3.6 se representa el caso de sistema realimentacin negativa no unitaria en presencia de perturbaciones. Para la seal de perturbacin se suele emplear la letra N y su signo puede ser positivo o negativo.

+G2

H

CR E

B

G1+M P

N+

Fig. 3.6 Diagrama de un sistema de realimentacin negativa no unitaria y perturbaciones En (3.9) se expresan las ecuaciones de Laplace de los elementos del sistema y la solucin del sistema

de ecuaciones, que en este caso es la salida en funcin de las dos entradas al sistema, la referencia R y la perturbacin N.

18

2

1 2 21

1 2 1 21 1

C G PP M N

G G GM G E C R NG G H G G H

E R BB HC

(3.9)

La solucin (3.9) se podra haber obtenido por superposicin, es decir, sumando las salidas que se producen con entrada R y N nula ms la salida con entrada N y R nula. La entrada propiamente dicha en el sistema es la seal R y se llama de referencia porque se persigue que el sistema controlado sea capaz de seguirla fielmente. Observando la ecuacin (3.10), es posible deducir que el seguimiento se consigue de forma exacta, es decir C = R, cuando la funcin de transferencia que multiplica a R se asemeja lo ms posible a la unidad, mientras que la que multiplica a N debe asemejarse a cero.

1 2 2

1 2 1 21 1G G GC R NG G H G G H

(3.10)

Una forma de conseguir las dos cosas es hacer G1 todo lo grande que sea posible y H igual a la unidad. Por esta razn es habitual estudiar los sistemas de control de realimentacin negativa unitaria, donde el controlador se coloca inmediatamente despus del clculo del error, es decir, el controlador acta en funcin de la seal del error. A la actuacin del controlador se aaden las perturbaciones que puedan existir sobre la planta.

Los sistema servo busca sobre todo el seguimiento de la seal, es decir, que la funcin de transferencia de la R sea lo ms parecida a la unidad, mientras que un sistema regulador busca sobre todo el rechazo a las perturbaciones, es decir, anular la funcin de transferencia que multiplica a la perturbacin.

Tambin hay que notar que el denominador de las dos funciones de transferencia es idntico. Las races de dicho denominador sern muy importantes en el diseo de un controlador adecuado, como se ver en los siguientes captulos.

3.2.2 Diagrama de bloques de un sistema de realimentacin negativa unitaria

En la Fig. 3.7 se representa el caso de sistema realimentacin negativa unitaria con perturbaciones. Que la realimentacin sea unitaria implica que el sensor que mide la salida es perfecto, es decir, no modifica en absoluto dicha seal. La funcin de transferencia G1 incluye el controlador y la etapa final de amplificacin, mientras que G2 es la planta del sistema que se desea controlar o sistema no controlado.

+G2

CR EG1

+ +N

Controlador PlantaU

Fig. 3.7 Diagrama de un sistema de realimentacin negativa unitaria Hay que resalta que, en el caso de realimentacin negativa unitaria las funciones de transferencia

directa y de lazo abierto coinciden y es el producto de G1 y G2. Si no se especifica otra cosa, cuando se desee controlar un sistema, se entender que se le introduce en un lazo de control similar al de la Fig. 3.7. Las perturbaciones, tambin si no se especifica otra cosa, se supondrn nulas.

3.2.3 Ejemplo de circuito con dos mallas

El sistema (3.11) contiene las ecuaciones diferenciales que gobiernan el circuito de la Fig. 3.8, a las que se ha aplicado la transformada de Laplace.

R1

C2

vovi

i1

R2

C1 i2

Fig. 3.8 Circuito con dos mallas

19

1 21 1 1 2 1 1

1 0 1

1 2 21 2 2 2 2 2 2

1 2 1 20 0

22

22 0

1 ( )

1 1( )

1

t

i i

t t

t

oo

I Iv R i i i d V R IC sCI I Ii i d R i i d R I

C C sC sCIVv i d sCC

W

W W

W

o

L (3.11)

El diagrama de bloques de la Fig. 3.9 corresponde a estas ecuaciones del sistema (3.11), donde se han recuadrado con puntos los conjuntos de bloques que corresponden a cada una de las ecuaciones.

+ I11

1R

22

11R

sC

Vi

+

1

1sC

I22

1sC

Vo

Fig. 3.9 Diagrama de bloques del circuito con dos mallas El diagrama de bloques puede resultar ms sencillo de representar si se conservan ms variables

intermedias, por ejemplo, si se incluye la tensin en un nudo intermedio v1 y la corriente ic diferencia de las corrientes en la mallas:

1 1 1 1 1 1

1 11 0 1

1 2 2 1 2 2

22

22 0

1 21 2

1

1

i it

cc

o ot

oo

cc

v v R i V V R IIv i d V

C sCv v R i V V R I

IVv i d sCCI I Ii i i

W

W

o

L (3.12)

El diagrama de bloques de la Fig. 3.10 corresponde al sistema de ecuaciones (3.12) y es equivalente al diagrama anterior.

+ I11

1R

Vi I22

1sC

Vo+

+

1

1sC

Ic V12

1R

Fig. 3.10 Diagrama de bloques del circuito con dos mallas Si se eliminan las variables intermedias de forma analtica en el sistema de ecuaciones, para expresar

la tensin de salida en funcin de la tensin de entrada, se obtiene la funcin de transferencia equivalente del sistema. Con esta funcin de transferencia se puede representar el sistema con un nico bloque, Fig. 3.11.

21 2 1 2 1 1 2 2 1 2

1( ) 1R R C C s R C R C R C s

Vi Vo

Fig. 3.11 Funcin de transferencia equivalente del circuito con dos mallas La funcin de transferencia equivalente del sistema tambin se puede obtener simplificando de forma

grfica cualquiera de los diagramas de bloques presentados previamente.

20

3.2.4 Ejemplo de motor de corriente continua

El sistema (3.13) contiene las ecuaciones diferenciales que gobiernan un motor de corriente continua que arrastra una inercia, a las que se ha aplicado la transformada de Laplace.

( )

( )

div Ri L e V R Ls I Edte K E K

Ki T KId T Js BJ Bdt

Z :W

Z :W Z

o

L (3.13)

El diagrama de bloques que corresponde a estas ecuaciones es:

+ :V

E

KT

K

I1R Ls

1Js B

Fig. 3.12 Diagrama de bloques del motor de corriente continua Si se eliminan las variables intermedias del sistema de ecuaciones de Laplace se obtiene la funcin

de transferencia equivalente. Aunque el sistema tiene forma de lazo cerrado con realimentacin no unitaria, hay que hacer notar que no es propiamente un sistema controlado. La velocidad : est impuesta por la tensin V y la magnitud de la inercia J.

2( )( )K

R Ls Js B K V :

Fig. 3.13 Funcin de transferencia equivalente del motor de corriente continua En este ejemplo se observa cmo la funcin de transferencia equivalente posee las unidades que

relacionan la magnitud de salida con la de entrada. En el caso de que el giro de la inercia se vea frenado por un muelle torsor de rigidez Kt, las

ecuaciones que hay que considerar son las siguientes:

22

2

( )

( )tt

div Ri L edt V R Ls I E

d E Kse Kdt T KIKi

T Js Bs Kd dJ B Kdt dt

T 4

W4T TW T

o

L (3.14)

Una posible representacin en diagrama de bloques se presenta en la Fig. 3.14, sin embargo no es una buena eleccin incluir bloques derivadores, es decir, aquellos cuya salida es proporcional a la derivada de la entrada. Este tipo de bloques tienen el inconveniente de que amplifican enormemente el ruido de alta frecuencia que reciban en la entrada. Tambin se comportan mal a la hora de evaluar numricamente las respuestas temporales del sistema, por ejemplo utilizando Simulink.

+ 4V

E

KT

Ks

I1R Ls 2

1

tJs Bs K

Fig. 3.14 Diagrama de bloques del motor de corriente continua con inercia y muelle torsor Para evitar el bloque derivador, se propone como alternativa el diagrama de la Fig. 3.15.

21

+ 4V

E

KT

K

I1R Ls

:1Js B

+ 1s

Kt

Fig. 3.15 Diagrama de bloques del motor de corriente continua con inercia y muelle torsor En ambos casos la funcin de transferencia equivalente de todo el sistema es la misma. En la Fig.

3.16 se muestra dicha funcin de transferencia.

2 2( )( )t

KR Ls Js Bs K K s

V 4

Fig. 3.16 Funcin de transferencia equivalente del motor de corriente continua con inercia y muelle torsor

3.3 REGLAS PARA LA SIMPLIFICACIN DE DIAGRAMAS DE BLOQUES

Es posible simplificar un diagrama de bloques muy complejo utilizando las reglas del lgebra de diagramas de bloques, que algunos autores proponen en tablas, hasta llegar a la funcin de transferencia equivalente de todo el sistema. Con esto se puede evitar el anlisis matemtico de simplificacin de ecuaciones. Sin embargo al simplificar el diagrama de bloques, los nuevos bloques se vuelven ms complejos, debido a la aparicin de nuevos polos y ceros.

La caracterstica fundamental que se debe cumplir es que la funcin de transferencia del diagrama sustituido debe ser igual al original. A continuacin se muestran algunas simplificaciones tiles:

G H GH=

Fig. 3.17 Multiplicacin de bloques

+G

H

G+H=

Fig. 3.18 Suma de bloques

+ +

++

++

= =

Fig. 3.19 Cambio de orden de los sumandos

G = G

1G

Fig. 3.20 Translacin de un punto de bifurcacin

3.4 PROBLEMA DE EXAMEN

Simplificar el diagrama de bloques de la Fig. 3.21, de forma grfica o analtica:

22

+RG1

H1

+

H2

G2

G3+

+

G4

C

+

Fig. 3.21 Diagrama de bloques En la ecuacin (3.15) aparece la solucin del problema.

1 2 3 4 2 4 1 2 3 4 2 1 2 4 1

2 1 2 3 2 1 2 1

( )( ) 1

G G G G G G H G G G H G G G HC sR s G H G G H G G H

(3.15)

23

CAPTULO 4

RESPUESTA TEMPORAL

Para analizar el comportamiento de un sistema se toma como punto de partida la representacin matemtica del mismo. Esta modelizacin, Fig. 4.1, es su funcin de transferencia G(s).

G(s)CR

Fig. 4.1 Respuesta del sistema ante una entrada El sistema puede ser excitado con distintas seales de entrada r(t). Las ms utilizadas son las

funciones impulso unitario, escaln unitario, rampa unitaria y sinusoidal de amplitud unidad, Fig. 4.2. La respuesta del sistema ante las distintas entradas suele tener un rgimen transitorio y otro permanente, aunque este ltimo puede no darse y depende de la estabilidad del sistema.

t1

( )r t t

t1

( ) sin( )r t tZ

t1

( ) 1r t

t1

( ) ( )r t tG

Fig. 4.2 Tipos de entradas a los sistemas En este captulo se analizar la respuesta temporal de un sistema en funcin de la entrada que se

imponga y de las propias caractersticas de su funcin de transferencia.

4.1 SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

Por lo general, la funcin de transferencia G(s) de un sistema es una expresin racional de polinomios en s.Las races del denominador se llaman polos y las races del numerador se llaman ceros. Un sistema de primer orden se define como aquel que posee un nico polo y ningn cero.

CR

1KTs

G(s)

Fig. 4.3 Sistema de primer orden En la Fig. 4.3 se muestra la representacin general de un sistema de primer orden. A la constante K

se le llamar ganancia esttica del sistema y a T constante de tiempo del sistema.

4.1.1 Respuesta ante una entrada impulso

En la ecuacin (4.1) aparece la salida temporal c(t) del sistema de primer orden ante una entrada impulso unitario.

1 1 1 (0 )( ) [ ( )] [ ( ) ( )]1 ( ) 0

tT

KcK Kc t C s G s R s e TTs T c

f L L L (4.1)

24

Donde se han calculado los valores inicial y final de dicha salida. La pendiente inicial de la curva es:

2 2

( )( ) (0 )tTdc t K Kc t e c

dt T T (4.2)

Estos resultados se pueden obtener a travs de las propiedades de las transformadas de Laplace, sin necesidad de obtener la salida temporal del sistema:

0(0 ) lim ( ) lim ( ) lim

1s stK Kc c t sC s sTs T

of ofo

(4.3)

0 0( ) lim ( ) lim ( ) lim 0

1t s sKc c t sC s sTsof o o

f

(4.4)

20(0 ) lim ( ) lim [ ( ) (0 )] lim

1s stK K Kc c t s sC s c s sTs T T

of ofo

(4.5)

En la Fig. 4.4 se muestra sobre un ejemplo, los puntos clave de la respuesta temporal de un sistema de primer orden ante una entrada impulso unitario.

0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

1.5

2

t (segundos)

c(t)2( )

3G s

s

T

KT

2

KT

Fig. 4.4 Respuesta de un sistema de primer orden ante entrada impulso

4.1.2 Respuesta ante una entrada escaln

En la ecuacin (4.6) aparece la salida temporal del sistema de primer orden ante una entrada escaln unitario.

1 1 1 (0 ) 0( ) [ ( )] [ ( ) ( )] (1 )(1 ) ( )

tT cKc t C s G s R s K e

s Ts c K

f L L L (4.6)

Donde se han calculado los valores inicial y final de dicha salida. La pendiente inicial de la curva es:

( )( ) (0 )tTdc t K Kc t e c

dt T T (4.7)

Tambin es posible obtener estos resultados a partir de las propiedades de la transformada de Laplace. En la Fig. 4.5 se muestra sobre el mismo ejemplo del apartado anterior, los puntos clave de la respuesta temporal de un sistema de primer orden ante una entrada escaln unitario.

25

0 0.5 1 1.5 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

c(t)

2( )3

G ss

t (segundos)

K

KT

T

0.62K

Fig. 4.5 Respuesta de un sistema de primer orden ante entrada escaln Al valor de la respuesta en rgimen permanente coincide con la ganancia esttica K. Cuanto menor

sea la constante de tiempo T ms rpidamente tiende la respuesta del sistema a su valor en rgimen permanente. El valor de la constante de tiempo da una idea de la duracin del rgimen transitorio del sistema. Aproximadamente la salida llega al 62% del rgimen permanente en el instante de tiempo igual a la constante de tiempo del sistema, (4.8). ( ) 0.62c T K (4.8)

4.1.3 Respuesta ante una entrada sinusoidal

En la ecuacin (4.9) aparece la salida temporal c(t) del sistema de primer orden ante una entrada sinusoidal de amplitud unidad.

21 1

2 2 2 2( ) [ ( )] sin[ arctan( )](1 )( ) 1 ( ) 1 ( )

tTK K T Kc t C s e t T

Ts s T TZ Z Z Z

Z Z Z

L L (4.9)

Se observa que la salida c(t) posee dos sumandos: el primero es transitorio, desaparece prcticamente despus de T segundos, y el segundo es una sinusoidal de frecuencia igual a la de la seal de entrada, pero con una amplitud y un retraso que dependen tanto de la frecuencia Z de entrada como de las caractersticas del sistema de primer orden.

t

r(t)c(t)t

r(t)c(t) 11

Fig. 4.6 Respuestas del sistema de primer orden ante entrada sinusoidal Si la Z de la sinusoidal de entrada aumenta, la sinusoidal de salida poseer una amplitud cada vez

menor y un retraso cada vez mayor, Fig. 4.6. En definitiva, un sistema de primer orden acta en el dominio de las frecuencias como un filtro pasa-baja, es decir, atena las frecuencias elevadas.

Una forma de obtener la amplitud de la salida y su retraso en funcin de la planta y la frecuencia de entrada consiste en tomar la funcin de transferencia de la planta y sustituir la variable s por jZ . El resultado es un nmero complejo cuyo mdulo es la amplitud de salida y cuya fase es el retraso de la salida respecto de la entrada.

2

2( )( ) ( ) 1 ( )1 1

( ) arctan( )

s jKG jK KG s G j T

Ts j TG j T

Z ZZ ZZ

Z Z

o

(4.10)

Esta propiedad no es exclusiva de los sistemas de primer orden. Se cumple siempre que la entrada es sinusoidal, cualquiera que sea la expresin G(s) de la funcin de transferencia de la planta.

26

4.1.4 Ejemplo de sistema de primer orden

En la Fig. 4.7 se puede ver un ejemplo de un sistema fsico de primer orden, y en la ecuacin (4.11) la funcin de transferencia de dicho sistema.

R

C

vovi

i

Fig. 4.7 Sistema elctrico de primer orden 1( )

1o

i

VG sV RCs

(4.11)

4.2 SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

Un sistema de segundo orden es aquel que posee dos polos y ningn cero. El sistema se puede representar de la siguiente manera:

CR 22 22

n

n n

Ks s

Z]Z Z

G(s)

Fig. 4.8 Sistema de segundo orden La constante K es la ganancia esttica del sistema, ] es el amortiguamiento y Zn es la frecuencia

natural del sistema. Dependiendo del carcter de los polos del sistema de segundo orden, ste puede ser: x Sistema subamortiguado. El amortiguamiento posee un valor entre 0 y 1 y los polos del sistema de

segundo orden son complejo-conjugados. Su posicin aparece en la ecuacin (4.12). 2

1,2 1n n dp j j]Z Z ] V Z r r (4.12)

La constante V es la atenuacin del sistema y Zd la frecuencia natural amortiguada. En la Fig. 4.9 se define el ngulo M que forman los polos complejo-conjugados en el plano complejo S con el origen.

S

M

djZ

djZ

V

Fig. 4.9 Localizacin de los polos de un sistema de segundo orden x Sistema sobreamortiguado. El amortiguamiento es mayor que la unidad y los polos del sistema de

segundo orden son reales localizados en: 2

1,2 1n np ]Z Z ] r (4.13)

x Sistema crticamente amortiguado. El amortiguamiento es igual a la unidad y los polos son reales e iguales:

1,2 (doble)np Z (4.14)

Cualquiera que sea el amortiguamiento del sistema, existen tres puntos clave de la respuesta temporal que siempre cumplen los sistemas de segundo orden ante una entrada escaln unitario:

2

2 20(0 ) lim ( ) lim ( ) lim 0

( 2 )n

s stn n

Kc c t sC s ss s s

Z]Z Z

of ofo

(4.15)

27

2

2 20 0( ) lim ( ) lim ( ) lim

( 2 )n

t s sn n

Kc c t sC s s Ks s s

Z]Z Zof o o

f

(4.16)

2

2 20(0 ) lim ( ) lim [ ( ) (0 )] lim 0 0

( 2 )n

s stn n

Kc c t s sC s c s ss s s

Z]Z Z

of ofo

(4.17)

Es decir, la respuesta temporal de todos los sistemas de segundo orden comienzan en el origen con pendiente nula, y alcanzan en rgimen permanente el valor de la ganancia esttica K.

x Sistema oscilatorio. El amortiguamiento es cero y los polos del sistema de segundo orden son complejo conjugados imaginarios puros localizados en:

1,2 np jZ r (4.18)

En este ltimo caso no existe ningn valor de rgimen permanente ante entrada escaln unitario.

4.2.1 Respuesta subamortiguada ante una entrada escaln

La salida de un sistema subamortiguado ante una entrada escaln unitario aparece en la ecuacin (4.19).

2( ) 1 sin( )

1

t

dec t K t

V

Z M]

(4.19)

En la Fig. 4.10 se muestra sobre un ejemplo la respuesta temporal de un sistema subamortiguado. Se trata de una seal sinusoidal cuya amplitud se va atenuando segn un patrn exponencial.

0 5 10 150

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Kc(t)

t (segundos)tptr

24( )

0.75 4G s

s s

ts

KMp

Td

Fig. 4.10 Respuesta de un sistema de segundo orden subamortiguado ante entrada escaln Existen varios puntos clave en la respuesta temporal. El primero es el tiempo de levantamiento tr, y

es el instante en el que la salida pasa por primera vez por el valor de su rgimen permanente.

rd

t S MZ (4.20)

El tiempo de tipo tp es el instante en el que la salida temporal alcanza su primer mximo. A la diferencia entre el valor del mximo y el valor en rgimen permanente, expresada en por unidad respecto del valor en rgimen permanente, se le llama sobreimpulso mximo Mp.

pd

t SZ

(4.21)

21 tan( ) ( )( )

pp

c t cM e e

c

S] S] M

f

f (4.22)

El tiempo de establecimiento se define como el instante a partir del cual la respuesta temporal queda circunscrita en una banda del 2% del 5% en torno al valor en rgimen permanente.

4 4(2%)sn

t]Z V

(4.23)

28

3 3(5%)sn

t]Z V

(4.24)

En los sistemas de control no es deseable que exista una respuesta con mucho sobreimpulso ni muy oscilatoria. Se suele buscar que el sistema controlado posea un sobreimpulso entre el 0% y el 20% con el menor tiempo de establecimiento posible.

4.2.2 Respuesta sobreamortiguada ante una entrada escaln

La salida de un sistema sobreamortiguado ante una entrada escaln unitario aparece en la ecuacin (4.25).

1 2

21 2

( ) 12 1

p t p tn e ec t K

p pZ]

(4.25)

En la Fig. 4.11 se muestra sobre un ejemplo la respuesta temporal de un sistema sobreamortiguado. Los sistemas sobreamortiguados no poseen sobreimpulso.

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

c(t)

t (segundos)

24( )5 4

G ss s

Fig. 4.11 Respuesta de un sistema de segundo orden sobreamortiguado con entrada escaln unitario En este caso existen pocas referencias para dibujar a mano alzada la respuesta temporal. Una forma

aproximada de representar la respuesta consiste en dividir la funcin de transferencia en dos sistemas de primer orden, Fig. 4.12, y determinar cul de los dos es ms lento, es decir, el que tiene la constante de tiempo ms grande.

CR1 2

1 2( )( )Kp p

s p s p

G(s)CR 1

1

ps p

2

2

ps p K

G1(s) G2(s)

Fig. 4.12 Anlisis de un sistema de segundo orden sobreamortiguado

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

c(t)

t (segundos)

21( )

1G s

s

24( )5 4

G ss s

Fig. 4.13 Respuesta de un sistema de segundo orden sobreamortiguado con entrada escaln unitario La respuesta ante una entrada escaln se asemejar a la respuesta del sistema de primer orden ms

lento aadiendo un pequeo retraso, aproximadamente igual a la constante de tiempo del sistema de primer

29

orden ms rpido, y haciendo la pendiente de salida nula. En la Fig. 4.13 se compara la salida del sistema sobreamortiguado de la anterior Fig. 4.11 con la del sistema de primer orden que impone el polo ms lento.

Una forma intuitiva de explicar este comportamiento consiste es imaginar en la Fig. 4.12 cul ser la entrada de la funcin de transferencia G2 suponiendo que sea sta la que posee el polo ms lento. Su entrada ser una exponencial con una constante de tiempo pequea, es decir, aproximadamente un escaln unitario retrasado la constante de tiempo de G1.

4.2.3 Respuesta crticamente amortiguada ante una entrada escaln

La salida de un sistema crticamente amortiguado se muestra en la ecuacin (4.26). ( ) [1 (1 )]nt nc t K e t

Z Z (4.26) En la Fig. 4.14 se muestra sobre un ejemplo la respuesta temporal de un sistema crticamente

amortiguado. Este tipo de sistemas tampoco poseen sobreimpulso.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

c(t)

t (segundos)

225( )

10 25G s

s s

Fig. 4.14 Respuesta de un sistema de segundo orden crticamente amortiguado con entrada escaln unitario

4.2.4 Respuesta oscilatoria ante una entrada escaln

La salida de un sistema oscilatorio se muestra en la ecuacin (4.27). ( ) [1 cos( )]nc t K tZ (4.27)

En la Fig. 4.15 se muestra sobre un ejemplo la respuesta temporal de un sistema oscilatorio. En este tipo de sistemas el sobreimpulso es del 100%.

0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

2

c(t)

t (segundos)

225( )

25G s

s

Fig. 4.15 Respuesta de un sistema de segundo orden oscilatorio con entrada escaln unitario

4.2.5 Respuesta ante una entrada impulso

La respuesta de un sistema ante una entrada impulso se puede obtener a partir de la respuesta ante una entrada escaln. En la Fig. 4.16 se observa cmo la respuesta ante una entrada impulso se puede conseguir derivando directamente la respuesta del sistema con entrada escaln unitario.

30

G(s)( ) 1R s G(s)1( )R ss

sC C

Fig. 4.16 Anlisis de la respuesta de un sistema con entrada impulso Por tanto, basta con derivar las respuestas temporales de los apartados anteriores para obtener la

respuesta del sistema ante entrada impulso. Como los sistemas de segundo orden, cualquiera que sea su amortiguamiento, comienzan y acaban con derivada nula, la respuesta ante entrada impulso comienza y acaba con valor nulo.

c(t) con entrada escaln

tc(t) con entrada impulso

c(t) con entrada escaln

t

c(t) con entrada impulso

Fig. 4.17 Respuestas de sistemas de segundo orden

4.3 SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR

El comportamiento de los sistemas de orden superior, es decir, de aquellos que poseen tres o ms polos, depende fundamentalmente del carcter de los polos ms lentos del sistema. Como se ha visto en el apartado anterior, el polo ms lento es el que posee la constante de tiempo ms grande, es decir, aquel polo se encuentran ms cerca del origen en el plano complejo S.

CR 22 2( 2 )( )

n

n n

K ps s s p

Z]Z Z

G(s)

Fig. 4.18 Sistema de tercer orden Sea un sistema de tercer orden, Fig. 4.18, en el que existe un polo real y dos complejo-conjugados.

La respuesta temporal, depende de la posicin relativa de los tres polos del sistema. La Fig. 4.19 muestra el caso particular de que los polos complejo-conjugados sean los ms lentos. La respuesta se asemeja a la del sistema de segundo orden subamortiguado, pero est un poco retrasada en el tiempo y tiene un menor sobreimpulso. Ese retraso en el tiempo es aproximadamente igual a la constante de tiempo del polo real.

S

2 2.6 j

7

2 2.6 j

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

c(t)

t (segundos)

2

10.76( )4 10.76

G ss s

210.76 7( )4 10.76 7

G ss s s

Fig. 4.19 Respuesta temporal del sistema de tercer orden con entrada escaln unitario Por tanto, la inclusin de polos adicionales a un determinado sistema no influye en la respuesta

temporal del mismo mientras los nuevos polos se encuentren suficientemente alejados del origen del plano complejo S respecto a los que ya tena el sistema. Por norma general se puede admitir que los polos que se encuentren ms alejados que cinco veces la distancia de los polos ms lentos al origen, tienen una influencia

31

en la respuesta temporal del sistema prcticamente despreciable. En este caso, los polos lentos se denominan polos dominantes del sistema.

En la Fig. 4.20 se muestra un caso particular en el que el polo real es el ms lento. La respuesta se asemeja a la del sistema de primer orden, con un retraso adicional y pendiente inicial nula.

S

7 2.6 j

2

7 2.6 j

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

c(t)

t (segundos)

2( )2

G ss

255.76 2( )

14 55.76 2G s

s s s

Fig. 4.20 Respuesta temporal del sistema de tercer orden con entrada escaln unitario

4.4 INFLUENCIA DE LOS CEROS

Los ceros del sistema son las races del numerador de la funcin de transferencia. La presencia de ceros en la funcin de transferencia, modifica la respuesta que se podra esperar del sistema atendiendo a la posicin de los polos. Se va a mostrar la con el ejemplo de la Fig. 4.21.

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

1.5

5

23( )4 3

G ss s

2

3( )4 3

s zG ss s z

S

13 zc(t)

t (segundos)

32

1

0.5

Fig. 4.21 Influencia del cero en la respuesta temporal del sistema con entrada escaln unitario La presencia de un cero real negativo hace el efecto contrario un polo, es decir, adelanta la respuesta

temporal en lugar de retrasarla. Adems, modifica las condiciones iniciales de la respuesta temporal. Si el sistema tena dos polos, la pendiente inicial del sistema pasa de ser nula a no nula. Si el sistema tena tres polos, la derivada segunda en el instante inicial para se ser nula a no nula. Y as sucesivamente.

En el caso concreto de sistema de segundo orden con cero, como es el caso de la Fig. 4.21, se puede calcular la pendiente inicial de forma sencilla:

2 2

2 2

( )(0 ) lim [ ( ) (0 )] lim 0( 2 )

n n

s sn n

K s z Kc s sC s c s sz s s s z

Z Z]Z Z

of of

(4.28)

Por tanto, conforme el cero est ms cerca del origen mayor es el valor de la pendiente inicial. Otro efecto muy interesante que se puede dar en un sistema es la cancelacin de un polo con un

cero. Esto ocurre en el ejemplo de la Fig. 4.21 dos veces: cuando z toma los valores 3 y 1. En ese caso, el sistema disminuye su orden en una unidad y pasa de ser de orden dos a ser de orden uno. Se aprecia que la respuesta temporal en ese caso es efectivamente una exponencial con constante de tiempo igual a la que fija el polo que permanece en el sistema.

32

En la prctica, para cancelar un polo con un cero no es necesario que ambos se encuentren exactamente en la misma posicin. Basta con que estn muy prximos para que el efecto de uno se anule con el del otro.

Los sistemas de fase no mnima son aquellos que poseen un cero real positivo. La respuesta temporal de este tipo de sistemas tiene la caracterstica de que comienza evolucionando en la direccin contraria al valor en rgimen permanente, Fig. 4.22.

0 1 2 3 4 5 6-0.5

0

0.5

1

c(t)

t (segundos)

23(1 )( )

4 3sG s

s s

Fig. 4.22 Respuesta temporal de un sistema de fase no mnima con entrada escaln unitario

4.5 PROBLEMAS PROPUESTOS

Hallar la respuesta temporal del sistema de la Fig. 4.23 para una entrada escaln unitario para los valores de la ganancia K = 1, 2 y 5.

+ CK

R 11s

Fig. 4.23 Sistema de control Se observa cmo la respuesta temporal del sistema se asemeja mejor a la seal de entrada conforme

se aumenta la ganancia K.Dibujar la respuesta temporal del sistema de la Fig. 4.24 para una entrada escaln unitario y K = 1.

Calcular los valores de K que consiguen una respuesta temporal bien amortiguada.

+ CK

R2

1s s

Fig. 4.24 Sistema de control Dibujar la respuesta temporal del sistema de la Fig. 4.25 para una entrada escaln unitario y valores

de K = 10, 50 y 100. Calcular el valor de K que consigue que el sistema sea crticamente amortiguado.

+ CK

R 1( 10)s s

Fig. 4.25 Sistema de control La respuesta temporal de un sistema cuya funcin de transferencia se desconoce presenta un

sobreimpulso del 20% a los 413 ms. En rgimen estacionario se alcanza el valor exacto de la seal de referencia. Se pide deducir la funcin de transferencia del sistema, la frecuencia de las oscilaciones, el tiempo de establecimiento del sistema y la posicin de las races en el plano complejo S.

Obtener el tiempo de crecimiento y el sobreimpulso del sistema de la Fig. 4.26.

33

+ CR 0.4 1( 0.6)

ss s

Fig. 4.26 Sistema de control El pndulo invertido de la Fig. 4.27 posee 1 m de longitud y una masa puntual de 1 kg en su

extremo. Su eje de giro est actuado por un motor de corriente continua con inductancia despreciable, constante de par 5 Nm/A y resistencia 1 :. Se pide representar el diagrama de bloques del sistema con entrada tensin V y salida ngulo de giro 4. Determinar la funcin de transferencia del sistema. Para el sistema de realimentacin negativa unitaria con controlador proporcional obtener la ganancia K del controlador que hace que el sistema est crticamente amortiguado.

mgT

m

W

Fig. 4.27 Sistema de un pndulo invertido

35

CAPTULO 5

ERROR EN RGIMEN PERMANENTE

Un aspecto importante a tener en cuenta es el comportamiento de un sistema ante diversas entradas en rgimen permanente. En cualquier sistema fsico de control existe un error inherente, que es el error en estado estacionario en respuesta a determinados tipos de entradas. Puede ocurrir que un sistema presente o no error en rgimen permanente ante diferentes entradas. El error en rgimen permanente de los sistemas en lazo cerrado viene determinado por la funcin de transferencia en lazo abierto, como se ver a continuacin.

5.1 ERROR EN RGIMEN PERMANENTE

Sea un sistema de control con realimentacin negativa unitaria como el que se muestra en la Fig. 5.1.

+ CRG

Fig. 5.1 Sistema de control en lazo cerrado La funcin de transferencia en lazo abierto del sistema, en este caso G(s), puede tener diversos polos

y ceros. En este captulo la constante K representa la ganancia esttica de la funcin de transferencia en lazo abierto (5.1) y N es el nmero de polos de dicha funcin de transferencia que se encuentran en el origen.

21 1 1

22 2 2

(1 ) (1 )( )(1 ) (1 )N

T s s sG s Ks T s s s

D ED E

(5.1)

El valor de N en la funcin de transferencia en lazo abierto, determina el tipo del sistema. As, si un sistema posee una funcin de transferencia con dos polos en el origen, N = 2, entonces se dice que el sistema es de tipo II.

El error en rgimen permanente del sistema se expresa en la ecuacin (5.2). Por el convenio de signos de esta expresin, un error positivo significa que la salida no ha alcanzado la referencia de entrada, mientras que un error negativo que se puede dar significa que la salida es mayor que la entrada. lim[ ( ) ( )]ss te r t c tof (5.2)

Esta expresin tiene sentido porque la referencia y la salida son dimensionalmente coherentes. Es posible desarrollar (5.2) en el dominio de Laplace, particularizando para el caso del sistema de la Fig. 5.1.

0 0 0

( ) ( )lim [ ( ) ( )] lim ( ) ( ) lim1 ( ) 1 ( )ss s s s

G s R se s R s C s s R s R s sG s G so o o

(5.3)

El valor del error depender de la forma de la entrada y del tipo del sistema.

5.1.1 Error de posicin

El error de posicin en estado estacionario es el que se produce en el sistema ante una entrada escaln. Para el caso de escaln unidad, su valor es:

36

0 00

1 tipo 01 1 1 1 1lim lim 11 ( ) 1 ( ) 1 lim ( ) 1 0 tipo I o superior

p s sps

e s KG s s G s G s Ko o

o

(5.4)

La constante Kp se llama coeficiente de error de posicin y su valor es igual a la ganancia esttica de la funcin de transferencia en lazo abierto del sistema o infinito, dependiendo del tipo del sistema, como se puede deducir de la expresin (5.1).

5.1.2 Error de velocidad

El error de velocidad en estado estacionario es el que se produce en el sistema ante una entrada rampa. Para el caso de rampa con pendiente unidad, su valor es:

20 00

tipo 01 1 1 1 1 1lim lim tipo I

1 ( ) ( ) lim ( )0 tipo II o superior

v s svs

e sG s s s sG s sG s K Ko o

o

f

(5.5)

La constante Kv se llama coeficiente de error de velocidad. Su valor es igual a cero, o bien igual a la ganancia esttica de la funcin de transferencia en lazo abierto del sistema, o bien infinito, dependiendo del tipo del sistema.

5.1.3 Error de aceleracin

El error de aceleracin en estado estacionario es el que se produce en el sistema ante una entrada parablica. Para el caso de parbola un medio, su valor es:

3 2 2 20 00

tipo I o inferior1 1 1 1 1 1lim lim tipo II

1 ( ) ( ) lim ( )0 tipo III o superior

a s sas

e sG s s s s G s s G s K Ko o

o

f

(5.6)

La constante Ka se llama coeficiente de error de aceleracin. Su valor es igual a cero, o bien igual a la ganancia esttica de la funcin de transferencia en lazo abierto del sistema, o bien infinito, dependiendo del tipo del sistema.

5.1.4 Resumen de errores

La Tabla 5.1 resume los errores en estado estacionario en funcin del tipo del sistema y la entrada.

RN

1s 2

1s 3

1s 4

1s

01

1 pK

I 0 1

vK

II 0 0 1

aK

Tabla 5.1 Errores en rgimen permanente Se observa que se puede incrementar el tipo de sistema para mejorar el comportamiento de estado

estacionario, sin embargo esto hace que sea ms difcil controlar el sistema y puede introducir inestabilidades.

37

5.2 MAGNITUD Y UNIDADES DEL ERROR

El error tiene siempre las mismas unidades que la entrada y la salida. Esto se cumple independientemente de la forma que posea la entrada o del tipo del sistema, ya que se define como la diferencia de ambas seales cuando el tiempo tiende a infinito. Evidentemente, cuando el error es nulo o infinito, se obvian las unidades. Cuando el error es finito puede ser mayor o menor en funcin de la amplitud de la entrada al sistema.

t

A

t

1 epAepr(t)

r(t)

c(t)c(t)

Fig. 5.2 Respuestas ante entradas escaln En la Fig. 5.2 se muestra cmo, en el caso del error de posicin, el error es directamente

proporcional a la amplitud del escaln de entrada. Para un escaln de amplitud A, el error es A veces mayor que error ante entrada escaln unitario. Esto se puede demostrar con la expresin (5.7) que calcula el error ante un escaln de amplitud A y compararlo con el que se calcul en (5.4).

0 00

1lim lim1 ( ) 1 ( ) 1 lim ( ) 1p s s ps

A A A Ae sG s s G s G s Ko o

o

(5.7)

Una forma de expresar el error de posicin para cualquier amplitud que posea el escaln de entrada es darlo como un porcentaje respecto de la entrada (5.8). Siendo consecuentes con el convenio de signos del error, habra que hablar de porcentajes negativos en el caso de que la salida sea mayor que la referencia. El error ante entrada escaln unitario sera el valor del error en por unidad.

100 %1p p

eK

(5.8)

Para el caso de entradas dependientes del tiempo, como rampas, aceleraciones, etc., la forma de expresar el valor del error para cualquier entrada es diferente. En la Fig. 5.3 se observa cmo el valor del error tambin es proporcional a la pendiente de la entrada rampa. Sin embargo, existe algo invariante en ambos casos, a saber, el retraso en el tiempo entre las dos seales, et.

t

A

t

1

ep

Aepr(t)

r(t)

c(t) c(t)

et

et

Fig. 5.3 Respuestas ante entradas rampa Por esta razn, se utiliza la medida del error en el tiempo, en segundos, para expresarlo de forma

independiente a la pendiente de entrada. Como se puede deducir en la Fig. 5.3, la magnitud numrica de los errores et y ep coincide si la rampa de entrada tiene pendiente unitaria. Por tanto, se puede emplear el valor numrico del error en segundos como resultado del lmite de la ecuacin (5.5), aunque no se conozcan las unidades de la entrada ni de la salida. Tambin por esta razn, es habitual dar el valor del coeficiente de error de velocidad Kv con unidades de s1.

5.3 ERROR EN SISTEMAS DE CONTROL CON REALIMENTACIN NO UNITARIA

Cuando la realimentacin de un sistema de control en lazo cerrado no es unitaria, se plantea un problema en la definicin del error que se dio en la ecuacin (5.2), porque la seal de referencia puede tener unidades diferentes que la seal de salida. Como no se puede definir la diferencia entre la entrada y la salida, se calcula el lmite cuando el tiempo tiende a infinito de la seal e(t) de error del lazo (5.9).

38

+

H

CR E

B

G

Fig. 5.4 Sistema de control en lazo cerrado lim ( ) lim[ ( ) ( )]ss t te e t r t b tof of (5.9)

0 0 0 0

( ) ( ) ( )lim ( ) lim [ ( ) ( )] lim ( ) ( ) lim1 ( ) ( ) 1 ( ) ( )ss s s s s

G s H s R se sE s s R s B s s R s R s sG s H s G s H so o o o

(5.10)

De algn modo la variable de salida verdadera del sistema es B(s) y no C(s), pero el observador slo es capaz de observar C(s). Esta idea se ve reforzada por el hecho de que muchas veces el bloque H(s)corresponde exclusivamente a la funcin de transferencia del sensor de la seal C(s), por lo que el sistema controlado es capaz de observar la seal B(s) en lugar de C(s).

Se observa en la ecuacin (5.10), que el error en rgimen permanente vuelve a depender del tipo de la funcin de transferencia en lazo abierto, en este caso es el producto G(s)H(s). Por tanto, la Tabla 5.1 sigue sirviendo para el clculo de los errores, tomando el tipo de la funcin de transferencia en lazo abierto y calculando los coeficientes de error tambin con la expresin de la funcin de transferencia en lazo abierto.

Este hecho corrobora la afirmacin que se apunt en la introduccin del captulo de que la magnitud del error en rgimen permanente de los sistemas de control en lazo cerrado viene determinada por el tipo y la ganancia esttica de la funcin de transferencia en lazo abierto.

5.4 ERROR EN SISTEMAS DE CONTROL CON VARIAS ENTRADAS

En un sistema controlado, las perturbaciones son entradas al mismo en puntos distintos al de la referencia. Estas entradas afectan a la salida del sistema en rgimen permanente, y por tanto, modifican la magnitud del error.

+G2

CR EG1

+ +N

U

Fig. 5.5 Sistema de control en lazo cerrado con perturbaciones Si se desarrolla la expresin del error para el sistema de la Fig. 5.5, se obtiene:

1 2 2

0 0 01 2 1 2

lim lim [ ] lim1 1ss s s s

G G Ge sE s R C s R R NG G G Go o o

(5.11)

La expresin (5.11) se puede dividir en dos partes, la primera es el error del sistema ante la entrada referencia con perturbacin nula y la segunda es el error del sistema ante la perturbacin con referencia nula.

1 2

0 0 0 01 2 1 2

2

0 0 01 2

lim lim [ ] lim lim1 1

lim lim [0 ] lim1

Rss s s s s

R Nss ss ss

Nss s s s

G G Re sE s R C s R R sG G G G

e e eGe sE s C s NG G

o o o o

o o o

(5.12)

Para calcular la magnitud del error en rgimen permanente del sistema ante la entrada referencia con perturbacin nula, se puede emplear de nuevo la Tabla 5.1. Sin embargo, el error ante perturbacin con referencia nula, siempre hay que calcularlo analticamente.

El error ante perturbaciones tambin se mide en las unidades de la variable de salida y, evidentemente, su valor depender de la magnitud de la perturbacin. Si, por ejemplo, ante una perturbacin escaln de amplitud 10 N se produce un error de -5 cm y se desea expresar este error en por unidad, se puede decir que es -0.5 cm por unidad de perturbacin, es decir, un valor de unidades de salida (cm) por unidad de

39

perturbacin (N). Nunca hay que perder de vista que se estn relacionando variables con unidades distintas y que la referencia es nula, es decir, nunca se trata de un porcentaje respecto la referencia.

5.5 PROBLEMA RESUELTO

El sistema de la Fig. 5.6 representa una inercia sin viscosidad, es decir en el espacio exterior, a la que se impone un movimiento con velocidad constante. La ley de control consiste en una actuacin en par puramente proporcional al error de velocidades.

+ ::r ++T

1Js

K

Fig. 5.6 Sistema de control en velocidad de una inercia sin viscosidad El sistema es de tipo I por lo que tendr error nulo ante entrada referencia escaln, sin embargo, se

pide calcular el error ante entradas escalones en la referencia y en la perturbacin, por lo que habr que calcularlo analticamente:

0 0

1lim [ ] limss r r rs sKe s s T

Js K Js K: : : :

o o

(5.13)

Sustituyendo las entradas por escalones de amplitudes Zr y W:

0

1 0 1lim [rad/s]0 0

rss rs

Jse sJs K s Js K s K K K

Z W WZ Wo

(5.14)

Como era de esperar por el tipo del sistema, ante la entrada referencia el error es nulo. Sin embargo, la perturbacin modifica ese error, haciendo que la velocidad de la inercia sea mayor el error es negativo si se introduce un par extra positivo W.

5.6 PROBLEMA DE EXAMEN RESUELTO

Determinar cul debe ser el tipo del controlador, Gc, para que el sistema de la Fig. 5.7 posea error nulo ante entradas escaln en referencia y perturbacin. El sistema pretende el control de la velocidad lineal de un vehculo.

+Vr Gc+ +

P

2

0.3( 1)s

V110s

Motor VehculoControlador

Fig. 5.7 Sistema de control en velocidad de un vehculo La expresin del error ante entradas referencia y perturbacin:

2 20 0

0.3 0.3( 10)lim [ ] lim( 10)( 1) 0.3 ( 10)( 1) 0.3

css r r rs s

c c

G se s V V s V V Ps s G s s Go o

(5.15)

Sustituyendo las entradas por escalones unitarios: 2

2 20

( 10)( 1) 0.3( 10) 1 10 3lim( 10)( 1) 0.3 ( 10)( 1) 0.3 10 0.3 (0) 10 0.3 (0)ss s c c c c

s s se ss s G s s G s G Go

(5.16)

El error slo puede ser nulo si la funcin de transferencia del controlador se hace infinito para s = 0, es decir, posee al menos un polo en el origen. Por tanto, el controlador debe ser de tipo I o superior:

10 3 010 0.3 10 0.3ss

e f f

(5.17)

Si comparamos este resultado con el del problema del apartado anterior, se observa cmo la posicin del bloque integrador dentro del lazo es crucial para conseguir que error sea nulo ante la entrada perturbacin o no. Si el integrador est antes de la perturbacin el error ante escalones perturbacin ser nulo; si el integrador est despus, en la planta a controlar, el error ser finito.

40

5.7 PROBLEMAS PROPUESTOS

Calcular el error en rgimen permanente del sistema de la Fig. 5.8 ante referencia nula y perturbacin escaln de amplitud W. Dar la solucin en voltios y en rad/s.

+ + +T

11 0.2s

GeneradorTurbinaVlvula:Vr 1

Js1 0.1K

s

Kt

Tacmetro

Fig. 5.8 Sistema de control de la velocidad de un turbo-generador Para el sistema de la Fig. 5.9, se pide: a) Error con controlador constante de valor K, perturbacin nula y referencia escaln unitario. b) Determinar el tipo de Gc para que el error sea nulo ante referencia rampa unitaria y N nula. c) Determinar el tipo de Gc para que el error sea nulo ante referencia escaln unitario y perturbacin

escaln de amplitud p.

+Gc

+ +2

1s s

CRN

Fig. 5.9 Sistema de control En el sistema de la Fig. 5.10 determinar el tipo de Gc para que el error sea nulo ante entradas escaln.

+ + +N

KR

44r 1s

Gc+

1Js C

Fig. 5.10 Sistema de control

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CAPTULO 6

ESTABILIDAD

Para que un sistema de control sea til, lo primero que debe cumplir es que sea estable. Si el sistema es inestable no existe rgimen permanente aunque numricamente se puedan encontrar los valores de los lmites en el dominio de Laplace que se plantearon en el captulo anterior. Por tanto, asegurar la estabilidad del sistema debe ser un paso previo al clculo numrico de los errores en rgimen permanente, y por este motivo en algunos libros de texto este captulo preceda al anterior.

6.1 DEFINICIN DE ESTABILIDAD

Se dice que un sistema es estable cuando: x La respuesta del sistema al impulso tiende a cero cuando el tiempo tiende a infinito. x Ante una entrada finita le corresponde una salida tambin finita.

Se ha estudiado en captulos anteriores que la localizacin de los polos de la funcin de transferencia resultaba crucial en el rgimen transitorio del sistema. Por tanto, no es de extraar que la estabilidad del sistema pueda estar condicionada tambin por los polos del sistema. Es posible deducir de la tabla de transformadas de Laplace que para que un sistema sea estable todos los polos deben estar localizados en el semiplano de S de parte real negativa. Evidentemente, esto se cumple cuando todos los polos tienen parte real negativa.

Los polos del sistema son las races de la ecuacin que resulta de igualar a cero el denominar de la funcin de transferencia del sistema. Esa ecuacin se conoce con el nombre de ecuacin caracterstica del sistema. Por tanto, las races de la ecuacin caracterstica nos ofrecen informacin no slo del transitorio del sistema, sino tambin de su estabilidad.

6.2 CRITERIO DE ROUTH-HURWITZ

Conocer las races de la ecuacin caracterstica, para comprobar si las partes reales de todas ellas son negativas y asegurar as que el sistema es estable, es difcil cuando el orden del sistema es superior a dos. El problema se incrementa si adems, los coeficientes de la ecuacin no son valores numricos, sino que dependen de algn parmetro variable.

El criterio de Routh-Hurwitz aplicado a la ecuacin caracterstica de un sistema permite conocer si es estable o no, sin necesidad de calcular las races de dicha ecuacin caracterstica.

Sea la funcin de transferencia (6.1).

11 1 0

( ) ( )( )

!n nn n

C s p sR s a s a s a s a

(6.1)

Su ecuacin caracterstica (4.1) posee coeficientes ai reales. 1

1 1 0 0n n

n na s a s a s a

! (6.2)

Primero se comprueba que todos los coeficientes ai sean positivos. Si hubiese algn coeficiente nulo o negativo, el sistema no sera estable. Si se cumple la condicin anterior, que se conoce como condicin de Cardano-Vite, el sistema puede ser estable o no. Para comprobar si es estable, se disponen los coeficientes ai de forma que sigan el patrn impuesto por la siguiente tabla:

42

2 4 61

1 3 5 72

1 2 33

1 2

0

...

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