Alumno: German Bautista FloresMateria: Ing. de ControlIng.:
Alberto Cuellar LpezOBJETIVO:simular por medio de modelos
matemticos los sistemas electromecnicos permitiendo analizar el
comportamiento fsico de losmismos.UNIDAD I: INTRODUCCIN A LOS
SISTEMAS DE CONTROL1.1 introduccin1.2 definiciones1.3 controles1.4
ejemplos de los sistemas de control1.5 elementos principales de
proyecto de sistemas de controlUNIDAD II: MODELACION MATEMATICA2.1
Simplicidad frente exactitud2.2 Sistemas lineales2.3 Sistemas
lineales invariables y variables con el tiempo2.4 Sistemas no
lineales2.5 Aproximacin lineal de sistemas no linealesUNIDAD III:
FUNCION DE TRANSFERENCIA Y DIAGRAMAS DE BLOQUES3.1 Funciones de
transferencia3.2 Sistemas mecnicos, a) traslacin, b) rotacin3.3
Sistemas elctricos3.4 Sistemas anlogos, a) analoga fuerza-tensin,
b) analoga fuerza-corriente3.5 Funciones de transferencia de
elementos en cascada a) funcin de transferencia de elementos en
cascada sin carga.3.6 Detector de error3.7 Procedimiento para el
trazo de diagramas de bloques a) reduccin de diagramas de
bloquesAlumno: German Bautista FloresMateria: Ing. de ControlIng.:
Alberto Cuellar Lpez3.8 Obtencin de funciones de transferencia se
sistemas fsicos3.9 Sistemas elctricos y mecnicos, a) motores de
C.D. controlados por la armadura, b) motores de C.D. controlados
por el campo.3.10 Sistemas de control de nivel de lquido3.11
sistemas de mltiples variables y matrices de
transferencia.UNIDADIV:
ACCIONESBASICASDECONTROLYCONTROLESAUTOMOTRICES INDIVIDUALES4.1
Acciones de controla) Acciones de control de dos posicionesb) Accin
de control proporcionalc) Accin de control integrald) Accin de
control proporcional e integrale) Accin de control proporcional y
derivativof) Accin de control proporcional, derivativo e
integral4.2 Controles proporcionalesa) Sistemas neumticosb) Control
proporcional de un sistema de 1er. Orden4.3 Obtencin de la accin de
control derivativa e integral.UNIDAD V: ANALISIS DE RESPUESTA
TRANSITORIA5.1 Sistemas de 1er. Orden5.2 Sistemas de 2do.
OrdenAlumno: German Bautista FloresMateria: Ing. de ControlIng.:
Alberto Cuellar LpezUNIDAD VI: ESTABILIDAD6.1 Mtodo del lugar de
las races6.2 Reglas generales para construir los lugares geomtricos
de las races.BIBLIOGRAFA Ingeniera de Control ModernaOgataAlumno:
German Bautista FloresMateria: Ing. de ControlIng.: Alberto Cuellar
Lpez Prentice Hall Introduccin a la Ing. De Control AutomticoJess
Rodrguez vilaMc Graw-Hill Sistemas Automticos de ControlKVO CECSA
Instrumentacin IndustrialCreusgoleMar Combo Instrumentacin
ElectrnicaDiefendrferInteramericanaAlumno: German Bautista
FloresMateria: Ing. de ControlIng.: Alberto Cuellar LpezUNIDAD
IINTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROL1.1 IntroduccinEl control
automtico ha desempeado una funcin vital en el avance de la
ingeniera y en la ciencia, se a convertido en una parte importante
e integral de los procesos modernos industriales y de manifactura,
es esencial en el control numrico de maquinas-herramientas en el
diseo de pilotos automticos en la industria aeroespacial, en el
diseo y montaje de automviles y camiones en la industria
automotriz. Tambin es esencial en las operaciones industriales como
por ejemplo el control de presin, temperatura, humedad, viscosidad,
flujo, posicin, velocidad. Todos estos parmetros que son
importantes de monitorear y controlar en las industrias de
proceso.La ventaja de utilizar la teora o de control automtico es
obtener un desempeo optimo de los sistemas dinmicos, mejorar la
productividad, aligerar la carga de muchas operacionesmanuales,
repetitivas, peligrosasyrutinarias, as comotambindeotras
actividades. AntecedentesJames Watt.- implementa el control de
velocidad de la maquina de vapor en el siglo XVlll.Min urskg
.-trabajoenloscontrolesautomticosparadirigir embarcacionesydemostr
que la estabilidad puede estudiarse a partir de ecuaciones
diferenciales que describen el sistema (1922).N yquist(1932).-
Desarrollounprocesamientorelativamentesimpleparadeterminar la
estabilidad de los sistemas de control de lazo cerrado sobre la
base de respuesta a lazo abierto con excitacin sinusoidal a rgimen
permanente.Hazen.- desarrollo el sistema de servomecanismo capaces
de seguir con la exactitud de una entrada cambiante.Evans.- En la
dcada de los cuarenta y principio de los cincuentas desarrollo un
procedimiento de anlisis de los sistemas conocido como el mtodo del
lugar de races. Con anterioridad y en forma paralela se estaba
desarrollando el mtodo de respuesta en frecuencia,ambas teoras son
muy utilizadasen elcontrolelstico que se encarga del estudio de los
sistemas con una entrada y una salida.Alumno: German Bautista
FloresMateria: Ing. de ControlIng.: Alberto Cuellar LpezHaciael
aode1960debidoal augedelascomputadorasdigitalessehizoposible
entoncesel anlisisdesistemascomplejosenel dominiodel tiempo, por
locual se desarrolla la teora de control moderna basada en el
anlisis y sntesis de los sistemas en el dominiodel
tiempoutilizandolaherramientadevariablesdeestadoconloquese
posibilita afrontar la complejidad creciente de las plantas
modernas y los estrictos requisitos de exactitud y costos en
aplicaciones militares, espaciales e
industriales.Losdesarrollosmasresientesenlateoradecontrol
modernaestnenel campodel control ptimodesistemas. As
comotambinensistemasdecontrol complejacon adaptacin y aprendizaje.
Las computadoras digitales pueden utilizarse como parte integral
delossistemasdecontrol. Aplicacionesresientesdelaingenieradecontrol
incluyenotrasreastalescomolabiologa, biomedicina,
economaysocioeconmica entre otros campos.1.2DefinicionesPara
analizar los sistemas de control deben definirse ciertos trminos
bsicos y que son los siguientes:Variable controlada.- Es la
cantidad o condicin que se mide y se controla.Variable manipulada.-
Es la cantidad o condicin que el controlador modifica para afectar
el valor de la variable controlada.Controlar.-Esmedirel
valordelavariablecontroladadel sistemayaplicarlavariable manipulada
al mismo para corregir o limitar una desviacin del valor medido a
partir de un valor deseado.Planta.- Es la parte primordial del
sistema y es lo que se va a controlar.Proceso.- Es cualquier
operacin que se va a controlar.Sistema.- Es una combinacin de
componentes que actan juntos y realizan un objetivo
determinado.Perturbacin.- Es una seal que tiende a afectar
negativamente el valor de salida de un sistema. Si
laperturbacinesdentrodel sistemasedicequeesinterna, si segenera
afuera del sistema se llama externa.1.3Controles En la teora de
control existen dos tipos de control principalmente, el de lazo
abierto y el de lazo cerrado. Los sistemas de controlde lazo
abiertoson aquellos en las cuales la salida no afecta la accin de
control.Por ejemplo, en una lavadora todo ciclo de lavado es en
base a tiempos preestablecidos dondenosemidelaseal
desalidaqueeslalimpiezadelaropa. Entodosestos Alumno: German
Bautista FloresMateria: Ing. de ControlIng.: Alberto Cuellar
Lpezsistemas la salida no se compara con las entradas de
referencia. Esto es, a cada entrada
lacorrespondeunacondicindeoperacinfija, laprecisinyexactituddel
sistema depende de la calibracin ante la presencia de
perturbaciones en un sistema de control.Enlaprcticael control
delazoabiertosoloseusasi seconocelarelacinentrela entrada y la
salida y si no hay perturbaciones internas o externas. Cualquier
sistema de control que opere con respecto a una base de tiempo en
un sistema de control de lazo abierto.Sistema de control de lazo
cerrado.A estos sistemas tambin se les conoce como sistemas de
control de realimentados. En estos sistemas se alimenta al
controlador de la seal de error de acentuacin que es la
diferenciaentrelaseal dereferenciay laseal desalidadel
sistemaaunvalor conveniente. El termino control de lazo cerrado
siempre implica el uso de una accin de control de alimentar para
reducir el error del sistema que es la diferencia entre el valor de
salida y el valor de referencia.Figura
1Acontinuacinsemuestranestosesquemas decontrol enformadediagramas
de bloques.Alumno: German Bautista FloresMateria: Ing. de
ControlIng.: Alberto Cuellar LpezFigura 2El sistema de control de
lazo cerrado se observa que la seal de entrada al sistema es la
referencia y la de salida en el parmetro por controlar. Laseal
desalidaesrevisadaycomparadaconlaseal deentrada. Laseal de
resultante de esa comparacin es propiamente la seal de error y esta
es propiamente la que acta sobre la planta para que al final se
tenga el valor de la seal de salida deseada, de forma logartmica,
al proceso de regresar a la entrada la seal de salida con el fin de
compararla, se domina realimentacin o bien retroalimentacin (feed
back).Algunas de las caractersticas principales de un sistema de
lazo cerrado son las siguientes:1.- Sensibilidad2.- Reduccin de los
fenmenos no lineales3.- Evita oscilaciones o inestabilidad4.-
Incremento del ancho de banda5.- Disminucin de la ganancia1.4
Ejemplos de sistemas de control1.5 Elementos principales de los
proyectos de sistemas de controlLadinmicademuchos sistemasdecontrol
yaseanmecnicos, electros, trmicos, econmicos, biolgicos etc. Se
describen en trminos de ecuaciones diferenciales. Dichas ecuaciones
diferenciales se obtienen a partir de leyes fsicas que gobiernan a
un sistema determinado como por ejemplo las leyes de Newton para
sistemas mecnicos y las leyes de Kirchoff para sistemas
elctricos.Unavezobtenidounmodelomatemticodeunsistema,
seusandiversosrecursos analgicos a si como mtodos computacionales
para estudiarlo y sintetizarlo.El primer pasoenel
anlisisdeunsistemadinmicoconsisteendeducir sumodelo matemtico.
Siempre hay que tener encuenta que deducir un modelo matemtico
razonable es la parte mas importante de todo anlisis.El
primerpasoparael diseodeunsistemadecontrol entonces,
consisteenobtener ecuaciones diferenciales para todas aquellas
partes del sistema que no varan. Comnmenteenel
readeelectromecnicaloscomponentesdel sistemadecontrol incluyen
elementos electrnicos, mecnicos, y electromecnicos.Alumno: German
Bautista FloresMateria: Ing. de ControlIng.: Alberto Cuellar
LpezAunque,
muchosotrostiposdeelementosmenoscomunescomosonloshidrulicos,
trmicos, biolgicos y qumicos pueden tambin integrarse en el diseo
de los sistemas de control.Para analizar un proyecto de sistema de
control, es conveniente entender la relacin entre dos areas de
estudio, la teora de control y la instrumentacin, esto se puede
explicar de lasiguienteforma:
unelementoqueencontramosenlosservosistemas(control de
posicinovelocidad)
mideomonitoreaentodoinstantelafuncindecontrolada. Por ejemplo, enel
casodel pilotoautomticodelosavionessenecesitaunelementoque
detecteel rumboreal del mismo. Enel casodel
sistemadeposicinautomticase
necesitaunelementoquedetectelaposicinactual del
mismoobjetoquesequiere posicionar. En realidad, dicho elemento nos
ofrece no solo una medicin de un parmetro dado,
tambinconvierteotransformaadichoparmetroenunaseal adecuadapara
poder ser comparada con la variable de entrada. A los elementos que
al caracterizan esta transformacin se les conoce como
transductores. Su enlazan dispositivos que generan una seal
elctrica a partir de otra de distinto tipo como por ejemplo las
seales luminosas, sonoras, de posicin,de velocidad o bien en otra
sealelctrica de distinta magnitud y de otras mas de distinta
naturaleza.Conviene mencionar que la transformacin que efectan los
transductores no siempre es una seal elctrica: tambin se pueden
generar seales de otra naturaleza. Sin embargo la medicin y
manipulacin de parmetros elctricos ese en general mas sencilla;
adems dequepuedenefectuarseconunagranexactitudyprecisin. Espor
ello, quelos transductores convierten una sealde naturaleza dada en
otra que casisiempre es de naturaleza elctrica.En virtud de que los
transductores son esenciales en la construccin de los sistemas de
control su estudio es importante lo cual es abordado por el rea de
la instrumentacin.Respecto al sistema de posicin automticos se
pueden hacer los siguientes planteamientos:Cuanto tiempo
transcurrir desde que se le da al sistema el valor de referencia
hasta que este alcanza la posicin deseada?; con que posicin y que
exactitud se alcanzara esa posicin?; en que forma influir la
inercia del sistema?.Es evidente que no se puede decir respuesta a
dichas preguntas si no se hacen clculos basados en ciertos datos.
En primer lugar es indispensable desarrollar ecuaciones
matemticasquedescribanel funcionamientodel sistema.
Lamanipulacindeesas ecuaciones para obtener respuestas a las
preguntas planteadas y en otras similares es propiamente el rea de
estudio de la teora de control o ingeniera de control.Principios
bsicos para el diseo de proyectos de un sistema de controlEn un
principio todo proyecto debe cumplir con los siguientes requisitos
generales:Alumno: German Bautista FloresMateria: Ing. de
ControlIng.: Alberto Cuellar Lpeza) Todo sistema de control debe
ser estableb) La velocidad de respuesta del sistema debe ser
razonablemente rpidac) El sistema de control debe ser capas de
disminuir el error y lograr que sea o bien aproximarlo a este
valorDada una planta industrial (que en la mayora de los casos sus
dinmicas son inalterables), primeramente se deben elegir los
censores y actuadores apropiados.Luegohay queconstruir modelos
matemticos adecuados delaplanta, censores y actuadores. Despus,
utilizando los modelos matemticos construidos se disea o
seleccionauncontrolador detal modoqueel
sistemadelazocerradosatisfagalas especificaciones dadas.
Elcontrolador a si diseado o seleccionado es la solucin a la
ecuacin matemtica del problema de diseo.Trascompletarel
diseomatemtico, el ingenierodecontrol simulael modeloenuna
computadorapara verificar el comportamiento del sistemay adems a
observar la respuesta antes diversas seales y bajo la aceptacin de
perturbaciones.Generalmente la continuacin del sistema inicial no
resulta del todo satisfactoria. Luego sedeberedisearel
sistemaycompletarel anlisiscorrespondiente. Esteprocesode diseo y
anlisis se repite hasta obtener un sistema satisfactorio. Al cabo
de esto, ya se puede construir un prototipo fsico del sistema.Es
conveniente comentar, que el proceso de construccin de un prototipo
es el inverso al proceso de modelado. El prototipo es un sistema
fsico que representa al modelo matemtico con exactitud razonable,
una vez construido se debe probar para ver sies satisfactorio. Si
asi ocurreel diseoestacompletoy si no, el prototipodebeser
modificarse y ponerse nuevamente a prueba y hacer esto hasta que
los resultados sean completamente
satisfactorios.Enlecasodealgunossistemasdecontrol
deprocesossepuedenutilizar formasde controlador normalizadas y los
parmetros del controlador se determinan
experimentalmentesiguindolounprocedimientonormalizadoyaestablecido.
Eneste caso, no se requieren modelos matemticos sin embargo, estos
son solo casos especiales.Alumno: German Bautista FloresMateria:
Ing. de ControlIng.: Alberto Cuellar LpezFigura 3UNIDAD
IIMODELACION MATEMATICA2.1 Simplicidad frente exactitudUn modelo
matemtico de un sistema dinmico se define como un conjunto de
ecuacionesquerepresenta ladinmica del sistema con exactitudoal
menosbastante bien.Un sistema se pude presentar en muchas formas
diferentes por lo que se pueden tener muchos modelos matemticos
dependiendo de cada perspectiva.La dinmica de muchos sistemas ya
sean mecnicos, elctricos, electrnicos, macatrnicos, trmicos,
econmicos, biolgicos, etc. Se describen en trminos de ecuaciones
diferenciales.Dichas ecuaciones diferenciales se obtienen a partir
de leyes fsicas que gobiernan a un sistema determinado como por
ejemplo las leyes de Kirchoff en sistemas elctricos y las leyes de
Newton en sistemas mecnicos.Alumno: German Bautista FloresMateria:
Ing. de ControlIng.: Alberto Cuellar LpezUna vez obtenido el modelo
matemtico siempre hay que tener en cuenta que deducir un modelo
razonable es la parte mas importante de todo anlisis.Estolleva,
implcitoqueesposiblemejorar laexactitudylaprecisindeunmodelo
matemtico si se aumenta su complejidad. En algunos cosos incluso se
utilizan cientos ecuacionesparadescribiraun sistemacompleto.
Sinembargo,en la obtencindeun modelomatemticosedebeestablecer
unequilibrioentrelasimplicidaddel mismo
modeloylaexactituddelosresultadosdel anlisis. Noobstantesi
nonecesitauna exactitudextrema,
espreferibleobtenersolounmodelomatemticoadecuadoparael problema que
se considera.Al obtener un modelo matemtico razonablemente
simplificado a menudo resulta necesariomejorar ciertas propiedades
fsicas inertes al sistema. Enparticular si se pretende obtener un
modelo matemtico de parmetros concentrados lineal, en muchas
ocasionesesnecesarioignorar
ciertasnolinealidadesyparmetrosdistribuidos que
puedenestarpresentesenel sistemadinmico. Si
losefectosqueestaspropiedades ignoradas tienen sobre la respuesta
son pequeos se obtendr un buen equilibrio entre losresultadosdel
anlisisdeunmodelomatemticoyloresultadoexperimentalesdel sistema
fsico.Porlo general,cuandose resuelveunproblemanuevo, es
conveniente desarrollar primero un modelo simplificado para obtener
una idea general de la solucin. A continuacin se desarrolla un
modelo matemtico mas completo y se usa para un anlisis con mas
detalle.Se debe estar consiente que un modelo de parmetros
concentrados lineal, que puede ser valido si opera en baja
frecuencia, tal vez no sea valido en frecuencias
suficientementealtas debidoaquelapropiedad noconsiderada delos
parmetros distribuidos pueden convertirse e un factor importante en
el comportamiento dinmico del sistema. Por ejemplo la masa de un
resorte puede pasarse por alto en una operacin en
bajafrecuenciaperosi seconvierteenunapropiedadimportantedel
sistemaenaltas frecuencias.2.2 Sistemas linealesUn sistema es
lineal si satisface los principios de sper posicin y de
homogeneidad.El principiodesper
posicinestablecequelarespuestaproducidapor laadmisin simultanea de
dos o mas funciones de entradas diferentes es igual a la suma de
las dos o ms respuestas individuales.Alumno: German Bautista
FloresMateria: Ing. de ControlIng.: Alberto Cuellar LpezFigura 4El
principio de homogeneidad establece que la entrada de un sistema
varia entonces la salida cambia en la misma proporcin.Figura 5En
general, se puede definir a un sistema lineal como aquel en cual
hay una relacin de proporcionalidad en que al variable de entrada y
la variable de salida.Para decidir si un sistema es lineal se
observa que lo que interesa en primera instancia es
analizarlaecuacinmatemticaquedescribeestoes,
paraqueunsistemasealineal debe ser descrito por una ecuacin lineal
es decir, por una ecuacin en cuyos trminos aparezcan las variables
independientes o sus derivadas elevadas a la primera potencia,
adems de que no se tengan productos cocientes o funciones
trascendentes de dichas variables.Algunos ejemplos de ecuaciones
lineales son las siguientes:1)Alumno: German Bautista
FloresMateria: Ing. de ControlIng.: Alberto Cuellar Lpez2)3)4) a)
b)5)2.3 Sistemas lineales invariables y variables con el tiempo.Los
sistemas se modelan como ya se comento con ecuaciones diferenciales
y se dice que unaecuacindiferencial eslineal si
suscoeficientessonconstantesobiensi son funciones de la variable
independiente solamente. Por lo tanto, estos tipos de sistemas son
los que pueden ser representados por ecuaciones diferenciales que
para el caso de los sistemas invariantes en el tiempo, sus
coeficientes son constantes lo cual se le conoce como de
componentes o parmetros concentrados. En este tipo de sistemas se
supone que sus componentes no se alteran con el transcurso del
tiempo es decir, no envejecen. Ejemplo deesto enlos sistemas
elctricos seriala resistencia, la inductancia y la capacitancia y
de los sistemas mecnicos la masa, el resorte y el amortiguador.Los
sistemas serepresentanmediante ecuacionesdiferenciales
cuyoscoeficientesson funciones del tiempo se denominan sistemas
lineales variables con el tiempo.Un ejemplo de un sistema de
control variable con el tiempo es el sistema de control de naves
espaciales (la masa de una nave espacial cambia debido al consumo
de combustible).2.4 Sistema no linealAlumno: German Bautista
FloresMateria: Ing. de ControlIng.: Alberto Cuellar LpezUn sistema
no linealsi no es factible la aplicacin delprincipio de sper
posicin y delprincipio de homogeneidad, o bien si la ecuacin que la
modela es no lineal. A continuacin se muestran algunos ejemplos de
ecuaciones diferenciales.1) 2)3)
Debido a la complejidad de los sistemas no lineales,se busca
linealizarla aunque este comportamiento solo sea en un intervalo de
valores.2.5 Aproximacin lineal de sistemas no lineales .En esta
seccin se observara y estudiara una tcnica de linealizacin
aplicable a muchos sistemas no lineales. El proceso de linealizar
sistemas no lineales es importante, por que linealizar ecuaciones
no lineales permite aplicar numerosos mtodos de anlisis lineal que
proporcioneninformacinacercadel
comportamientodelossistemasnolineales. El procedimiento de
linealizacin se basa en la expansin de la funcin no lineal en
series de Taylor alrededor delpunto de operacin y la retencin solo
del trmino lineal. Debido a que son considerados los trminos de
orden superior de la expansin en series de Taylor estos trminos no
considerados deben ser suficientemente pequeos; es decir, las
variables solo se desvan ligeramente de la condicin de
operacin.Primeramente, a fin de obtener un modelo matemtico lineal
para un sistema no lineal, se supone que las variables solo se
desvan ligeramente de alguna condicin de operacin. Considerando el
siguiente sistema ... (1)Si la condicin de operacin normal es cerca
del punto, la ecuacin se expande en series de Taylor alrededor de
este punto del modo siguiente(2)Alumno: German Bautista
FloresMateria: Ing. de ControlIng.: Alberto Cuellar
LpezLasderivadas seevalanenel puntodeoperacin. Ysi
lasvariacionesalrededor del puntodeoperacinsonpequeas, es posible
noconsiderar los trminos deorden superior, por lo que las
ecuaciones anteriores queda de la siguiente forma(3)Donde Si la
ecuacin 3 la modificamos de la siguiente forma(4)Relacin que indica
que es la proporcional ay esta ecuacin por lo tanto nos da un
modelo matemtico lineal para el sistema no lineal cerca del punto
de operacin.Si setieneunsistemanolineal
cuyasalidaesunafuncinde2entradas, deforma general se expresa de la
siguiente forma(5)A fin de obtener una aproximacin lineal para este
sistema no lineal, es posible expender la ecuacin en series de
Taylor alrededor de este punto de operacin como sigueEn donde las
derivadas parciales se evalan para el punto de operacin cerca de
el, es posible no considerar los trminos de orden superior. A
continuacin el modelo matemtico lineal de este sistema no lineal
alrededor de la condicin de operacin normal se obtiene mediante:O
bien(6)Donde 6 es la ecuacin linealdelsistema no lineal5 alrededor
del punto de operacin y adems Alumno: German Bautista
FloresMateria: Ing. de ControlIng.: Alberto Cuellar LpezLa tcnica
de linealizacin presentada es valida alrededor de la condicin de
operacin. Sin embargo, las condiciones de operacin varan
ampliamente, tales ecuaciones lineal
izadasnosonadecuadasydebenmanejarseecuacionesnolineales.
Esimportante recordar que un modelo matemtico determina que se usa
un el anlisis de diseo, puede representar
conprecisinladinmicadeunsistemareal paraciertascondicionesde
operacin pero puede no ser exacto para otras condiciones.Ejemplo:
lineal izar la siguiente ecuacin no linealEn la regin. Encuentre
elerror si usa la ecuacin lineal izada para calcular el valor de z
cuando Por lo tantoEntonces la ecuacin lineal izada en el intervalo
esPara x=5, y=10originalz=x*y=5x10=50Propuesta Alumno: German
Bautista FloresMateria: Ing. de ControlIng.: Alberto Cuellar
LpezErrorLineal ice la siguiente ecuacin no lineal en la regin
diferida:Parax=8,y=2Error Alumno: German Bautista FloresMateria:
Ing. de ControlIng.: Alberto Cuellar LpezUNIDAD 3Funcin de
transferenciay diagramas de bloques3.1funcin de transferencia En la
teora de control se utilizan frecuentemente funciones determinadas
de transferencia quesirvenparacaracterizar lasrelaciones
deentradasalidadecomponentes de sistemas que pueden describirse
para ecuaciones diferenciales lineales invariantes con el tiempo.La
funcin de transferencia de un sistema de ecuaciones diferenciales
invariables con el tiempo que modelan a un sistema fsico se define
como la relacin entre lade la salida (funcin de respuesta) y la de
la place de la entrada (funcin de excitacin) van con suposicin de
que todas las condiciones iniciales son cero.Si el sistemalineal
invariante conel tiempodefinido por las siguientes ecuaciones
diferenciales. bmxdtdxbmdtx dbdt x db anydtdyadtaadtdammmmc nnynny+
+ + + + +1 .... ..........11111 o bienAlumno: German Bautista
FloresMateria: Ing. de ControlIng.: Alberto Cuellar Lpez1 .... 1
... ..........) 1 ( + + + +bm x b any y an ay y am n nbmx x + Donde
n>mDonde (y) es la de la salida de sistema (x) es la de la
entrada de la funcin de trasferencia del sistema se obtiene
formando la trasformada de la place de ambos miembros de la ecuacin
bajo suposicinCalcular el voltajev a partir de cerrar el
interruptor.De que todas las condiciones iniciales son cero es
decir:Funcin de transferencia{ }( ) entradasalidacondiciones
iniciales cero o bien n nn nm ma s a a abm bm b bs x s yG+ + + + +
+ 111 011 0...1 ....) ( ) (Alumno: German Bautista FloresMateria:
Ing. de ControlIng.: Alberto Cuellar LpezEn la relacin
anterior:1._la relacin de la funcin es en el modelo matemticoen la
salida de que es un modelo operacional de expresar que relaciona la
variable de salida como la variable de
entrada.2._lafuncindetransformadadeunsistemaensi
independientedelamagnitudyla naturaleza de la entrada de la funcin
excitadota.3._la funcin de transferencia incluye las unidades
necesarias para relacionar las de la saluda con las de la entrada;
no brinda ninguna informacin respecto ala estructurafsica del
sistema. Las funciones de trasferencia de de muchos sistemas
fsicamente distintos pueden ser idnticos.4._si seconoce la funcin
de transferencia tambin se puede estudiar la salida o respuesta
para diversos formas de entrada con el objetivo de mejorar un mejor
precisin de la naturaleza del mismo.5._si
sedesconocelafuncindetransferenciaodeunsistemasepuedeestablecer
experimentalmente introduciendo entradas conocidas y estudiando la
respuesta o salida del sistema, una vez establecida la funcin de
transferencia proporciona una descripcin completa de las
caractersticas dinmicas del sistema.Obtencin de la funcin de
transferencia.Para determinar la funcin de transferencia se reduce
a los siguientes pasos.1._se escribe laecuacin diferencial del
sistema formado en cuenta las leyes querigen
setomolatrasferenciadelaplacedelaecuacindiferencial
suponiendocondiciones iniciales nulas.Se toma la relacin entre la
salida y la entrada esto es lo que se conoce como funcin de
trasferencia:Ejemplo._ suponiendo que la ecuacin diferencial o
modelo matemtico de un sistema es x dt dx y dt dy dt y d 2 / 6 3 /
8 / 32 2+ + .Alumno: German Bautista FloresMateria: Ing. de
ControlIng.: Alberto Cuellar LpezSi (y) es la salida y(x) la
entrada obtener su funcin de trasferencia.En el dominio dex dt dy y
dt dy dt ty d2 / 6 3 / 8 / 32 2+ + En el dominio dex sx y sy y s s
2 6 3 8 32+ + 3 8 32 62 ++s ssxy Funcin de transferencia.En el
dominio del tiempo (t) xdtdxdtdydty ddt y d+ +5 3 6 4233En el
dominio de (s)x sx s y s y Hs + + 5 3 62 3sy y s y ssxy3 6 452 3
+Obtener la funcin de transferencia del siguiente sistema modelado
para las ecuaciones y (es la salida) y (x) es la entrada m ydtdydty
d4 5 6 922 + ..1Alumno: German Bautista FloresMateria: Ing. de
ControlIng.: Alberto Cuellar Lpez2 5 4 2 + x mdtdm 45 6 92y sy sm+
Xy sy s sy s545 6 945 6 9252 2
,_
+ +
,_
+( ) ( )xy sy y s y sy y ss545 6 945 6 9212 2+ ++ ( ) ( )xy sy y
s y sy y ss55 6 945 6 9212 2+ ++ x y sy y s y y s y s 5 5 6 9 5 . 2
3 5 . 42 2 2 3 + + + x y y s y y s y s 5 5 5 . 3 5 . 2 6 5 . 42 2 3
+ y sy y s y s xy5 5 . 3 6 5 . 452 2+ + si la funcin de
trasferencia de un sistema Alumno: German Bautista FloresMateria:
Ing. de ControlIng.: Alberto Cuellar Lpez3 4 2 3 72 3 2 52 3 42 3+
+ + ++ + +s s s ss s sxy Encuentre la ecuacin diferencial que
modela el sistema. x sx x s x s y y s y s y s y s 2 3 2 5 3 4 2 3
72 3 2 2 3 4+ + + + + + +xdtdxxdtdxdtdy ydtdydtdydtdydtd2 325 3 42
372233223344+ + + + + +3.2 Sistemas mecnicos La ley fundamental que
controla a los sistemas mecnicos es la segunda ley de Newton (a
toda accin hay una reaccin) que se aplica en todo sistema mecnico
de traslacin como de rotacin para lo cual es conveniente recordar
algunosconceptos bsicos como son (masa y fuerza).La masa de los
cuerpos es la cantidad de materia que contiene el mismo que se
supone constante, fsicamente la masa es la propiedad de uncuerpo y
que le proporciona implica mente su
inercia.Ensituacionespracticasloqueseconocecomoel
pesodeuncuerpoysumasase calcula de forma indirecta.(W=m*g) donde;g=
constante de aceleracin gravitacionalque varia ligeramente en
diferentes puntos de la superficie terrestre y en esta
misma.G=9.812sm
Alumno: German Bautista FloresMateria: Ing. de ControlIng.:
Alberto Cuellar LpezPor ejemploel espacioexterior
deuncuerpopierdesupesonoobstantesumasa permanece constante por la
razn de que posee una inercia la fuerza se define como la causa que
tiene a producir un cuerpo en movimiento de un cuerpo a lo cual se
aplica. Dos tipos de fuerzas pueden actuar sobre un cuerpo; las
fuerzas de contacto y las fuerzas de
campo.Lasfuerzasdecontactosonaquellasquetienenuncontactodirectoconel
cuerpoes tanto que las fuerzas decampo tales como la fuerza
gravitacional,fuerza magntica o fuerza de campo magntico, la fuerza
de campo elctrico acta sobre el cuerpo sin entrar en contacto.En la
base de estos principios y las consideraciones especficas para cada
elemento que intervieneenunsistemamecnicoas
comoenfuncindelasleyesquelorigense puede obtener su modelo
matemtico.Sea el siguiente sistema mecnico de traslacin masa (m),
resorte (k) amortiguador (B).
Obtener su modelo matemtico. F=entrada X=salida B= ndice de
friccin bascosa. (medio de elemento que permite adelante o regreso)
.Alumno: German Bautista FloresMateria: Ing. de ControlIng.:
Alberto Cuellar LpezDonde K) constante de elasticidad del resorte.
M=masaDespreciando a friccin.
De acuerdo ala segunda ley de newton F F F FmK B + +F kxdtdyBdtx
dm + +22Mtodo del sistema mecnicoAlumno: German Bautista
FloresMateria: Ing. de ControlIng.: Alberto Cuellar Lpez[ ]
msmkxsmskgdtdxBsmkgdtx dm1]1
1]1
1]1
2 22Aplicando lo sf kx bsx x ms + +2La funcin de la placek bs ms
fx+ +21F F F FK B M + +F xdtdxdtx dF kxdtdxBdtx dm + + + + 3 4
52222F x xs xs + + 3 4 523 4 512+ +s s FxAlumno: German Bautista
FloresMateria: Ing. de ControlIng.: Alberto Cuellar LpezEncontrar
el modelo matemticoFxy1( ) 0 32351 222 222 x xdtdxxdt x
dMultiplicando por (-1) y por T del 0 3 3 3 51 2 2 22 + + x x x
xOrdenando ) 1 ( 0 ) 26 5 ( 3221 + + x s xPara la m=8( ) 0 3 482 1
1 2 12 + F x x xdtx dMultiplicando por (-1) y por T d PF x x x x s
+ +2 1 1 1 23 3 4 8Simplificando ( ) 2 3 7 82 12 + F x x sAlumno:
German Bautista FloresMateria: Ing. de ControlIng.: Alberto Cuellar
LpezDespejandox2 de 1 6 2 53212+ +s sxxSustituyendo en 2 ( ) F xsx
xs ,_
+ + +1 2 126 25 533 7 89 42 48 145 16 35 406 25 5597 812 3 2 426
25 221 + + + + ++ + ++ +s s s ssssFx35 145 8 16 406 25 52 3 42+ + +
++ +s s ssPara m=5( ) 0 6 3 2 3 521221 2 222 222
,_
dtdxdtdxx xdtdxxdtx dAlumno: German Bautista FloresMateria: Ing.
de ControlIng.: Alberto Cuellar Lpezmultiplicando por (-1) y por
TdL0 6 6 3 3 51 2 1 2 22 + + sx sx x x x sordenando( ) ( ) 1 0 6 8
5 3 6221 + + + + x s s x spara m=8( )( ) 0 5 3 6 4 81 2 1 2 2 12
212 + + F x x xdt x x dxdtx dmultiplicando por (-1) y por T de LF x
x x sx x x s + + +1 2 1 1 2 125 3 3 4 8ordenado( ) F x x s + +2 122
65 8despejando( ) ( ) 0 6 8 5 3 6522 + + + + x s s( )( ) 6 8 513 62
2 1+ + + + s sx x s( )6 8 53 6212+ ++s sx sxsustituyendo en 2( )+
+++ +6 8 53 62 6 82112s sx sx s sAlumno: German Bautista
FloresMateria: Ing. de ControlIng.: Alberto Cuellar Lpez( ) ( ) ( )
6 8 5 3 6 2 6 8212+ + + + + s F x s s s( ) ( ) 6 8 6 18 24 12 36
48212 3+ + + + + s F x s s s s s6 42 24 486 85 5321 + ++ +s s
sFxSISTEMAS MECANICOS DE ROTACIONEl metodo que se utilizapara
obtener la ecuacin . diferenciales, el movimiento angular es
singular al correspondiente al movimiento de traslacin en esta caso
se toman en cuenta las relaciones , par de torcion posicin de
movimiento de rotacion , para encontrar el movimiento sistematico
de un movimiento rotacional es de lo siguiente:Alumno: German
Bautista FloresMateria: Ing. de ControlIng.: Alberto Cuellar Lpez1.
Se definen los movimientos angulares de cada masa de rotacion.2. se
dibuja un DCL, de cada masa rotatoria, expresando cada par de
torcion o torque an terminosde las posiciones angulares de las
masas.3. se escribe una ecuacin de cada masa rotatoria igualando la
suma algebraica de los torques igual a cero, tomando en cuenta las
caracteristicas y leyes dinamicas que rigen al sistema.Del esquema(
) 0 5 6322 112 121 + + + dtddtdAplicando T de LOrdenando0 6 3 22 1
1 121 + + + s s s sOrdenando( ) 1 0 5 7 6 32 12 + + s sDonde( ) 0
20 4 8 522 2 21 2 + + dtdt dd 20 4 8 5 52 2 21 2 + + dtddtd Alumno:
German Bautista FloresMateria: Ing. de ControlIng.: Alberto Cuellar
LpezPor transformada de la place( ) 2 20 5 8 4 5221 + + + s sAB MB
BAFA MAQA ABf, , DondeFAB FAB Se sustituye de lo
anteriorMABamBBaAlumno: German Bautista FloresMateria: Ing. de
ControlIng.: Alberto Cuellar LpezMasa gravitacional2/ / r A BM M
GmB ADonde G es la constantes de gravitacional
universalF=MgDeterminee tus balanzas constante deelsticos del
resorteEncuentre x/F la funcin de transferenciaF F F FK B M + +F
xdtdxdtx dF kxdtdxBdtx dm + + + + 3 4 52222Aplicando la sF x xs xs
+ + 3 4 523 4 512+ +s s FxEncuentre las ecuacionesque modelan los
siguientes sistemas:Alumno: German Bautista FloresMateria: Ing. de
ControlIng.: Alberto Cuellar Lpez( ) 0 48 72 1 2 12 + +
dtddtdAplicando la s0 4 4 8 72 1 121 + + + s sOrdenando( ) 06 92
221 2 + dtrdtd Aplicando la L de la place0 6 9 4 42 221 2 + s s
FOrdenando( ) 2 4 6 9 41 22 + + s sd tdd tdd td2 3 326 6 5 +6 6 53
32 +dtddtd Alumno: German Bautista FloresMateria: Ing. de
ControlIng.: Alberto Cuellar Lpez3.3 SISTEMAS ELECTRICOSPor
ejemplodtdiL Vdt icVcRi VSalida VoEntrada ViLR1Alumno: German
Bautista FloresMateria: Ing. de ControlIng.: Alberto Cuellar
Lpez111111:41.3121.100 . .+++ + + + ++ + + + RCSCSRCSICSRIICSViVoes
cia transferen de funcion LaICSVc VoL de T Pordt icVc
VoTambienICSRI ViL de T Pordt icRi ViVc Vr ViV K V L PorAlumno:
German Bautista FloresMateria: Ing. de ControlIng.: Alberto Cuellar
Lpez11 1 1:11010 10++++ + + + + + + + RCSRCSCSRCSRRCSRRI
ICSRIViVoes cia transferen de funcion LaRI V VoL de T PorRi Vr VoRI
ICSViRI ICSViL de T PorRi dt i c ViVr Vc ViR( ) 1:11000+++ + + + +
+ + + LSRI R LSRIRI LSRIViVoes cia transferen de funcion LaRI V VoL
de T PorRi V VoRI ICSViRI LSI ViL de T PorRI LSI ViRi V
ViRRLAlumno: German Bautista FloresMateria: Ing. de ControlIng.:
Alberto Cuellar Lpez3.4 SISTEMAS ANOLOGOSLos sistemas que pueden
representarse por los mismos modelos matemticos pero que
sonfsicamente diferentes se les conocen como sistemas anlogos. As
los sistemas anlogos son descritos por la misma ecuacin
diferencial, integral o el conjunto de ellas.El concepto de
sistemas anlogos es muy til en la practica por las siguientes
razones:1.-la solucin de una ecuacin que describe un sistema fsico
se pueden aplicar directamente a sistemas anlogos y de otro
campo.2.-como un tipo de sistema puede ser mas fcil manejar
experimentalmente que otro en lugar de construir y estudiar por
ejemplo, un sistema mecnico, hidrulica o neumtico se puede
construir o estudiarsu anlogo elctricopues los sistemas electricos
son en general mucho mas fciles de manejar o construir en forma
experimental. Es decir al analizar el comportamiento del sistema
elctrico anlogo sepuede predecir el comportamiento en los otros
sistemas3.4 a) ANALOGA FUERZA TENSIONSistema MecnicoEn un circuito
elctrico RLC en serie:11::: mod222 + + + + + +k Bs ms FYes cia
transferen de funcion suF kY BsY Y msbien oF kydtdyBdty dmes elo
SuAlumno: German Bautista FloresMateria: Ing. de ControlIng.:
Alberto Cuellar Lpez211:1:11: .:10 . .2222 + + + + + + + + + + + +
CRS LSViQes cia transferen de funcion LaVi QCRSQ Q LSbien oVi qc
dtdqRidtq dLVi dtdtdqc dtdtdqLdtdqRitiene se Sustdtdiicorriente de
definicion PorVi dt ic dtdiL RiVi V V VV K V L Porc L RComparando 1
y 2 estas son similares es decir son analogas.ckR BL mQ YVi
F1aAlumno: German Bautista FloresMateria: Ing. de ControlIng.:
Alberto Cuellar LpezANALOGA FUERZA-CORRIENTE31 11:1 1. .1 111.
.2222 + + + + + + + + + + + +LSRCSIies cia transferen de funcion
SuIiLSRCSL de T PorIiL dtdR dtdcIidtdtddC dtdtdL RdtddtdvIidtduC dt
vL RVIi i i iK V L PorC L R Alumno: German Bautista FloresMateria:
Ing. de ControlIng.: Alberto Cuellar LpezLkRBC mYIi F11 Las
analogas entre dos sistemas puede ocurrir que no se cumplan si las
regiones de operacin se extienden demasiado. Como los ecuaciones
diferenciales las cuales se basan las analogas son solamente
aproximacin a las caractersticas dinamicas de los sistemas fsicos
en ciertas regionesde opoeracion la anologia quisas no sea valida
totalmente si la regin operativa de un sistema sea excesivamente
amplio. En los cosos analizados sin embargola regin operativa del
sistema mecanico es extensa esta se puede subdibidir en dos mas sub
regionesy contruir sistemas anlogos para cada uno de ellos. De echo
las analogas no quedan limitadas solamente a sistemas electricos y
mecanicos son aplicables acualquier sistemasiempre y cuando sus
ecuaciones diferenciadaso funciones de transferencia sean
identicas.Por ejemplo Un circuito RC en serie:Alumno: German
Bautista FloresMateria: Ing. de ControlIng.: Alberto Cuellar
Lpez3111111:1.11.100 . . ++++ + + ++ + + + RCSCSR CSICSRIICSViVoes
cia transferen de funcion LaICSVc VoL de T Pordt icVc
VoTambienICSRI ViL de T Pordt icRi ViVc Vr ViV K V L PorEn un
sistema de nivel de liquidoh=salidaQi=entradaCantidad de liquido en
el tanqueAlumno: German Bautista FloresMateria: Ing. de
ControlIng.: Alberto Cuellar Lpez( )RCSQiHcia transferen de funcion
suQi HRCSHL de T suqiRhdtdhcificandoladtRhqi cdhEntoncesRhqo
dondeque del base de area cdt qc qi cdh11:1 :modtan+ + +
,_
Comparando 3 Y 4 se observan que son sistemas analogos3.5
FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE ELEMENTOS CASCADACuando se
interconectan dos o mas sistemas se debe analizar el efecto de
carga que produce un sistema con respecto de los otros sistemas con
los cuales esta interconectado, situacin que afctale funcionamiento
del sistema en general.Esto se puede analizar partiendo del
siguiente esquema donde se observa que se han conectados dos
circuitos RC. 3.5.- funciones de transferencia de elementos en
cascado sin efecto de carga .En un sistema conformado por dos omas
sistemas es conveniente investigar la forma de reducir o eliminar
el efecto de carga en circuitos electricos y electonicos esto es
posible mediante la conexin del circuito o elementos en z muy
grandes o infinitas que evitan el Alumno: German Bautista
FloresMateria: Ing. de ControlIng.: Alberto Cuellar Lpezconsumo o
la perdida de informacion de la primera etapa de tal forma que un
sistema se puede analisar de una forma mas sensilla a manera de
digrama de bloques donde cada uno de ellos contiene la funcion de
transferencia de cada subsistema sila Z de entrada del segundo
elemento es alfa la salida del primero se codifica si se conecta al
segundo en este caso la funcin de transferencia del sistema
completo es el resutado de multiplicar las funciones de
transferencia de las tapas individuales.La inversin de un
amplificador de aislamientos entre circuitos para obtener la
caracterstica sin efecto de carga se usa a menudo cuando se
combinan .Dado que los amplificadores ejemplo los operacionales
tienen Z de entrada muy altas Un amplificador de aislamiento
insertado en las etapas de un circuito justifica la suposicin de
que no hay efecto de carga.3.6 DETECTOR DE ERROR 3.6,a) Diagrama de
bloques de sistema d lazo serradoUn sistema de control puede tener
varis componentes para que lleve acabo cada componente por lo
general se usa una representacin denominada diagrama de bloques, un
diagrama de bloques de un sistema en particular es una
representacin grafica de las funciones que llevan a cabo cada
componente del mismo indica adems la direccin de flujo de seales.Es
un diagrama de bloques se en lazan una con otra todas las variables
del sistema mediante bloques funcionales los cuales son smbolos
para representar la operacin matemtica que sobre la seal de entrada
ase el bloque para producir la salda. Las funciones de
tranferenciade los componentes se introducen en bloques
correspondientes que se conectan mediante flechas para indicar el
flujo de seales.En un diagrama de bloques se en laza una con otra
todas las variables del sistema mediante bloques funcionales, los
cuales son smbolos para representar la operacin matemticaque sobre
la seal de entrada ase el bloque para producir las seales. La
funcion de tranferencia de los componentes por lo general se
introducen en los bloques correspondientes que se conectan mediante
flechas para indicar la direccin de flujo de selesla sigiente
figura muestra un elemento de diagrama de bloques.Alumno: German
Bautista FloresMateria: Ing. de ControlIng.: Alberto Cuellar
LpezPara la representacin de los sistemas medinte diagrama de
bloques es conveniente hacer referencia a los sigientes
conceptos.Detector de error:Tambin se le cono se como punto suma o
comparador y es donde se suman algebraicamente dos seales i se
emiten otra partir de esta operacin ;su representacin en un
diagrama de bloques es de la siguiente formaEs importante que las
cantidades se sumen y resten tengan las mismas dimensiones y
unidades.PUNTOS DE RAMIFICACION Es aquel apartir de la cual la seal
de un bloque va de modo concurrente a otros bloques o puntas suma
cuyas representaciones esde la sigiente forma Diagrama de bloques
de un sistema de lazo serrado donde las unidades de salida son
iguales ala de entrada.Mediante algebra de bloques se tiene E=R-C
--------1C=G*E -------2Sustituyendo uno en dos C=G(R-C)=RG-GCO bien
C+GC=GRFactorizandoC(1+G)=GRL funcion de transferncia C/R=G/1+GSe
puede decir que la funcin de transferencia de un sistema en forma
de diagramas de bloques es igual ala funcin de transferencia de
trayectoria directa entre uno mas la funcin de transferencia de
lazo abierto; donde la funcin de transferencia de trayectoria
directa es el resultado de la multiplicacin la G de los bloques que
estn en la trayectoria de la entrada a la salida.Alumno: German
Bautista FloresMateria: Ing. de ControlIng.: Alberto Cuellar LpezLa
G de lazo abierto es el resultado de las G que se encuentran des de
la salida del punto suma hasta la entrada de realimentacin del
mismo punto.cuando un sistema de lazo serrado no coinciden entre la
entrada y la salida en cuanto a sus unidades.3.6 b) perturbaciones
en su sistema de lazo cerrado Internas
PerturbacionesExternasProcedimiento para el caso de diagrama de
bloques 1.- se escriben las ecuaciones que describen el
comportamiento dinmico de cada componente.2.- se toma la place de
las ecuaciones suponiendocondiciones inicialesnulas.3.- cada
ecuacin se representa individualmenteen forma de bloque 4.- se
integran los elementos de un diagrama de bloques completo. Tal
libertad al elegir las variables de estado es una ventaja de los
mtodos de espacios de estado.Enel anlisis del espaciodeestados nos
concentramosentrestipos devariables involucradasenel
modeladodesistemasdinmicos: variabledeentrada, variablesde salida y
variables de estado. No es nica la representacin en el espacio de
estados para un sistema determinado excepto en que la cantidad de
variable de estado es igual para cualquier de las diferentes
representaciones en le espacio de estados del mismo sistema. El
sistema dinmico debe incorporar elementos que memoricen los valores
de la entrada para (t>t1).Dado que los integradores de un
sistema de control en tiempo contino funciona como dispositivos de
memoria, las salidas de tales integradores se consideran las
variables que definen el estado interno del sistema dinmico. Por
tanto las salidas de los integradores funcionan como variables de
estado. La cantidad de variables de estado necesario para definir
completamente la dinmica del sistema es igual a la cantidad de
integradores que contienen el mismo.Alumno: German Bautista
FloresMateria: Ing. de ControlIng.: Alberto Cuellar
LpezSuponiendoqueunsistemadeunsistemadeentradasysalidasmltiplescontieneN
integradores. Suponiendoqueexistenr entradasU1,U2.Ur ymsalidas
Y1t,Y2t,.Ym(t).Lo cual define n salidas los integradores como
variables de estado X1(t), X2(t),.. Xn(t). Por loqueel
sistemasedescribemedianteel siguienteconjuntode
ecuaciones.Ecuacin.1Las salidas del sistema se obtienen mediante:)
; ... , ; ,....... , ( ) (..; ...., ,......... , ) (2 1 2 12 1 1t u
u u xn x x gm t m yt u x x t yrrEcuacin.2Si se definen los
siguientes vectores y matrices.11111]1
1111]1
t u u u x x x xt u u u x x x ft u u u x x x ft u u u x x x ft u
x ft xt xt xt xt Xr n nr nr nr nn; ,...... , ; ....... ( (; ,......
, ; ....... ( (; ,...... , ; ....... ( (; ,...... , ; ....... () ,
, ( ;) ( ) ( ) ( ) () (2 1 2 , 12 1 2 , 1 32 1 2 , 1 22 1 2 , 1
1321) ( ; .. ,......... 2 , 1 ; , 2 , 1 (..) ; ,...... 2 , 1 ;
,........ 2 , 1 (.T Ur U U Xn X X fn Xnt Ur U U Xn X X F
X11111]1
1111]1
t u u u x x x gt u u u x x x gt u u u x x x gt u u u x x x gt u
x gt yt yt yt yt yr n mr nr nr nm; ,...... , ; ....... ( (; ,......
, ; ....... ( (; ,...... , ; ....... ( (; ,...... , ; ....... () ,
, ( ;) ( ) ( ) ( ) () (2 1 2 , 12 1 2 , 1 32 1 2 , 1 22 1 2 , 1
1321Alumno: German Bautista FloresMateria: Ing. de ControlIng.:
Alberto Cuellar LpezPor lo tanto las ecuaciones 1 y 2 se convierten
al modo siguiente.3 ) , , ( ) (. t u x f t X4 ) , , ( ) ( t u x g t
YEndondelasecuacin3eslaecuacindeestadoylaecuacin4eslaecuacinde
salida.Si lasfuncionesvictoralesf yginvolucranespecialmenteel
tiempo, el sistemase denomina sistemas variantes con el tiempo.Si
selineal izanlasecuaciones3y4alrededor deestadodeoperacinsetienelas
siguientes ecuaciones de estado y de salida.5 ) ( ) ( ) ( ) ( ) (.
+ t U t B t x t A t X6 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + t U t D t x t C t
YDonde;A (t) = Matriz de estado B (t) = Matriz de entradaC (t) =
Mat riz de salidaAlumno: German Bautista FloresMateria: Ing. de
ControlIng.: Alberto Cuellar LpezD (t) = Matriz de transmisin
directaEn el diagrama de bloques de la ecuaciones 5 y 6Si
lasfuncionesvictoralesf ygnoinvolucranel tiempoexplcitamenteel
sistemase denomina invariante con el tiempo. En este caso las
ecuaciones 5 y 6 se simplifican al modo siguiente.7 ) ( ) ( ) ( + t
Bu t Ax t X8 ) ( ) ( ) ( + t Du t Cx t YLa ecuacin 7 es la ecuacin
de estado del sistema lineale invariante con el tiempo la ecuacin 8
de la salida para el mismo sistema ejemplo.Para el siguiente
sistema mecnico haga su representacin en espacio de estados.Alumno:
German Bautista FloresMateria: Ing. de ControlIng.: Alberto Cuellar
Lpez) (2t u kydtdyBdty dm + +O bienut ky y B y m + +. ..Como es de
2do orden 2 integradores 2 variables de estado Definiendo la
variable de estado:) ( ) () ( ) (.21t y t Xt y t X Cuyas derivadas
son:..2.2.1.y XX y X Despejando ..y de Amkx By t umut ky Bjy1 2..)
( + Donde ..y= 2.XEntonces el sistema de ecuaciones que rige el
sistema es:estado de ecuacionmt uxmbxmkx xx) (22 1.21.+ La ecuacin
de salida:Alumno: German Bautista FloresMateria: Ing. de
ControlIng.: Alberto Cuellar Lpez1x y En forma matricial la ecuacin
de estado.utmxxmbmkxx11]1
+1]1
11]1
11]1
10 1 021.2.1En cuanto a la salida:Donde:[ ]00 1101 011]1
11]1
DCmBmbmkAEnlafigurasiguientemuestrael diagramadebloquesparael
sistemamasa-resorte-amortiguador
dondeseobservaquelassalidasdelosintegradoressonvariablesde estado.
[ ]1]1
210 1xxyAlumno: German Bautista FloresMateria: Ing. de
ControlIng.: Alberto Cuellar LpezDiagrama de bloques del ejercicio
mecnico del espacio de estadosConsiderando el sistema cuya funcin
de transferencia se obtiene mediante 1 GuyEste sistema se
representa en el espacio de estados mediante las ecuaciones
siguientes.32.. + + Dx CxBx AxyxLa transformada de la place de las
ecuaciones 2 y 3 se obtiene mediante.54 + + Du Cx yBu Ax Sx Dado
que la funcin de transferencia se define como la transformada de la
salida entre la transformadadeentradasedeberealizar
algunosprocedimientosmatemticosdetal forma para llegar a esta
relacin de la ecuacin 4 se tiene que.Bu Ax Sx Alumno: German
Bautista FloresMateria: Ing. de ControlIng.: Alberto Cuellar
LpezFactorizando (x):[ ] Bu x A SI Despejando (x)[ ] 61 Bu A SI
xSustituyendo las ecuaciones 6 en la 5 se tiene:[ ] Du Bu A SI C y
+ 1O bien[ ] 7 ) (1 + u D B A SI C
yComparandolaecuacin7conrespectoalaecuacin1encontramoslafuncinde
transferencia esto es:[ ] D B A SI Cuy+ 1Donde se observa que la
funcin de transferencia esta en trminos de las matrices (A, B, C y
D).Para el sistema mecnico masa- resorte-amortiguador.Alumno:
German Bautista FloresMateria: Ing. de ControlIng.: Alberto Cuellar
Lpez11]1
mbmkA1 0
11]1
mB10 [ ] 0 1 C 0 D[ ] 010 1 01 00 10 11+11]1
,_
11]1
1]1
m mbmkSUYG[ ]11]1
11]1
m mbsmks10 10 1k bs m UY+ +21Sistema masa-resorte-amortiguador.
( ) u y kdtdudtdybdty dm ,_
2Alumno: German Bautista FloresMateria: Ing. de ControlIng.:
Alberto Cuellar Lpezkudtdub kydtdybdt y dm + + +22Aplicando la
transformada de la place.( ) ) ( ) ( ) (2s u k bs s y k bs ms + +
+Funcin retrasferencia:k bs msk bss u s ys G+ ++ 2) ( ) () (El
espacio de estado del sistema reobtiene:umkumbymkymby + + . . ..Con
la forma estndar.u b u b u b y a y a y2.1..0. ..2 1 + + +E
identificaremos2 1 0 2 1, , , b y b b a amkbmbb bmkamba 2 1 0 2 1,
, 0 , ,Refirindose a la ecuacin 3.35 se tiene.Alumno: German
Bautista FloresMateria: Ing. de ControlIng.: Alberto Cuellar
LpezRefirindose a la ecuacin 3.35 se tiene 20 2 1 1 2 20 1 1 1
,_
mbmkB a B a b BmbB a b B
Por tanto refirindose a la ecuacin 3.34umbu B xy u B y xx x
.1.20 1Apartir de la ecuacin 3.36umbmkxmbxmku B x a x aumbx u B
xxx11]1
,_
+ + + 22 1 2 2 1 1 2.2 1 2.1Y la ecuacin de salida y = x1En
forma matricialAlumno: German Bautista FloresMateria: Ing. de
ControlIng.: Alberto Cuellar Lpezumbmkxxmbmkxxmb111]1
,_
+1]1
11]1
11]1
221.2.11 0En cuanto a la salida[ ]1]1
210 1xxyUNIDAD 4ACCIONES BASICAS DE CONTROL Y CONTROLES
AUTOMATICOS UNDUSTRIALESun controlador automtico es aquel que
compara el valor real de la salida de una planta con la entradade
referenciaque es el valor deseado, determinael error y produce una
seal de control que reducir el error a cero o bien un valor muy
pequeo. La forma como el controladorautomtico produce la seal de
control se denomina accin de controlLos controladores industriales
analgicos se pueden clasificar de acuerdo con sus acciones de
control de la siguiente manera:1. Controladores de dos posiciones2.
Controladores proporcionalesAlumno: German Bautista FloresMateria:
Ing. de ControlIng.: Alberto Cuellar Lpez3. Controlador
proporcional integral4. Controlador proporcional derivativo5.
Controlador proporcional integral derivativoLos controladores
analgicos tambin se pueden clasificar segn el tipo de potencia que
utiliza en su operacincomo por ejemplo los neumticos hidrulicos
elctricos, electrnicos etctera.La clase de controlador a usar se
decidir en base a la naturaleza de la planta y en las condiciones
de operacin incluyendo consideraciones tales como seguridad, costo,
disponibilidad, confiabilidad, exactitud peso y tamao.La figura
siguiente muestra un diagrama de bloques de un sistema de control
industrialControl automaticoreferenciasalidaAmplificador
actuadorplantasensor4.1 ACCIONES DE CONTROL4.1 a) Accin de control
de dos posicionesTambin se conoce como SI- NO, TODO O NADA, ON
OFFEste tipo de control implica que el actuador tiene solo dos
posiciones fijas que en muchos casos son conectado y desconectado,
es simple y econmico por esta razn se usa ampliamente desde
sistemas de aplicaciones residenciales hasta industriales.En un
contador de dos posiciones la seal de salida estar en un valor
mximo o mnimo segn la seal de error ser positiva o negativa esto
es:ruu1u2U= u1 para > 0Alumno: German Bautista FloresMateria:
Ing. de ControlIng.: Alberto Cuellar LpezU = u2 para < 0En
ocasiones u2 = 0 o bien u2 = - u1Una accin de control de dos
posiciones tambin puede tener la siguiente respuestaU1rBrecha
diferencialAccin de controluU2Donde la brecha diferencial tambin
conocida como zona muerta es el rango en el cual la seal se error
debe variar antes de que se produzca la conmutacin o cambio de la
seal de control, esto hace que la salida del controlador mantenga
su valor hasta que la seal de error haya rebasado ligeramente el
valor cero. En ocasiones es el resultado dede una friccin no
intencionada o movimiento perdido, en otras ocasiones se provoca en
forma deliberada para impedir la accin excesivamente frecuente del
actuador y del elemento final de control.b) accin de control
proporcionalEn este tipo de controlador la relacin entre su salida
y la seal de error es la siguiente u = Kp*O bienCuales quiera que
sea el mecanismo real y la forma de la potencia de operacin el
controlador proporcional es en esencia un amplificador con ganancia
ajustable en la figura siguiente se muestra un diagrama de bloques
de tal controladorreSeal de errorAccin de controluKpAlumno: German
Bautista FloresMateria: Ing. de ControlIng.: Alberto Cuellar
LpezPor ejemploRfeR
Donde = Kpc) accin de control integral En este caso el valor de
la salida del controlador se cambia A UNA razn proporcional de la
seal de error, es decir:La variacin de la seal se dice que es
proporcional a la seal de errorO bien du = ki e dt IntegrandoPor la
transformada de laplaceEn este caso, si se duplica el valor del
error, el valor de salida del controlador vara dos veces ms rpido.
Para un error de cero, el valor del controlador en cuanto a su
salida permanece estacionario. En ocasiones a la accin de control
integral se le denomina control de ajuate o reset. La figura
muestra a manera de diagrama de bloques tal controladorAlumno:
German Bautista FloresMateria: Ing. de ControlIng.: Alberto Cuellar
LpezE uueKp/Sd) accin de control proporcional e integral La accin
de controlador proporcional e integral queda definida porCuya
funcin de transferencia es la siguienteO bienDondeKp= ganancia
proporcionalTi = tiempo integralAmbos valores son ajustables; el
tiempo integral regula la accin de control integral; kp o la
ganancia proporcional influye tanto en la parte proporcional como
en la integral. El reciproco del tiempo integral se suele denominar
frecuencia de reposicin la cual se mide en trminos de repeticiones
por minuto.En la figura se muestra un diagrama de bloques de un
control proporcional e integralAlumno: German Bautista
FloresMateria: Ing. de ControlIng.: Alberto Cuellar
LpezuKp(1+1/TiS)Ejemplo sie (t) es un escaln unitario cual es la
accin de control? te(t)1 De la expresinPara t 0O bienPor analoga y
= mx+bDondeY=u,m=kp/TiX tbkpAlumno: German Bautista FloresMateria:
Ing. de ControlIng.: Alberto Cuellar Lpezpor lo tanto u ante este
tipo de error es una rectakp tu2kpSit=TiE) Accin proporcional y
directiva (P. D.)Los controles que realizan esta accin estn
definidos mediante lo sig. RepresentaCuya funcin de transferencia
se puede obtener mediante la aplicacin de la transformada de
lupulice es decir:DondeKP= ganada proporcionalmenteTD= es una
constante conocido como tiempo derivativoAmbos parmetros son
ajustables. A la accin de control derivativa en oraciones se le
denomina como control de velocidad lo cual es debido a que la
magnitud dela salida del controlador es proporcional a la velocidad
del cambio de la seal de error. El tiempo derivativo es el
intervalo del tiempo durante el cual la accin de la velocidad hace
avanzar el efecto de la accin del control proporcional. La figura
siguiente muestra el diagrama de bloques de un controlador de este
tipo.Alumno: German Bautista FloresMateria: Ing. de ControlIng.:
Alberto Cuellar LpezuKp(1+TdS)Ejemplo: si la seal de error es una
rampa unitaria Cul es la salida del controlador? tr(t)m=1DondeEn la
expresin U=kpe+kpTd para t0; e (t)=tSustituyendo U=kpt+kpTdEntonces
U=kpt+kpTd tambin es una recta tr(t)m=1TdkpTdSe dice que la accin
del control derivativo tiene un carcter de presin. Sin embargo, una
accin del control derivativa no prev una accin que nunca ha
ocurrido. Aunque esta accin tiene la ventaja de ser de previsin
tiene las desventajas que amplifica las seales de ruido y puede
provocar un efecto de saturacin en el actuador.Alumno: German
Bautista FloresMateria: Ing. de ControlIng.: Alberto Cuellar LpezLa
accin de control derivativa no se utiliza de manera individual,
debido a que solo es eficaz durante periodos transitoriosUNIDAD
5ANLISIS DE RESPUESTA TRANSITORIA5.1 SISTEMAS DE PRIMER
ORDENUnsistemaes deprimer ordensi el grado mximodel polinomio ens
del denominador desufuncindetransferenciaes1;
tambinsedicequesonaquellos sistemas los cuales estn representados
por una ecuacin diferencial de orden 1. Ejemplo: sea el siguiente
circuito RC: Del circuito: O bien:(1)Alumno: German Bautista
FloresMateria: Ing. de ControlIng.: Alberto Cuellar
LpezTambin:(2)Aplicando transformada de Laplace a (1) y
(2):(3)(4)La funcin de transferencia es: O bien: Donde es la
constante de tiempo como el grado es 1 es de primer orden.A)
RESPUESTA AL ESCALN UNITARIOEntonces la funcin de transferencia de
un sistema de primer orden: Donde: Donde: Y es la salida y X es la
entrada.Alumno: German Bautista FloresMateria: Ing. de ControlIng.:
Alberto Cuellar LpezSi X es un escaln unitario:Para un t >0, x
=1, cuya transformada de Laplaces es X = 1/sLa respuesta del
sistema a est seal se obtiene: O bien: Que es la expuesta en el
dominio de s.Para encontrar la respuesta en el dominio de t: Por
fracciones parciales: Multiplicando ambos miembros por:Para que la
expresin sea vlida:Alumno: German Bautista FloresMateria: Ing. de
ControlIng.: Alberto Cuellar Lpez(I)(II)Sustituyendo (II) en
(I):Entonces:Encuentre y grafique vo.Del circuito: O bien:
(1)Tambin: Alumno: German Bautista FloresMateria: Ing. de
ControlIng.: Alberto Cuellar LpezO bien:(2)Aplicando transformada
de Laplace a (1) y (2): (3)(4)La funcin de transferencia es
entonces (4) / (3):Encontrando vo si vi = 10(t): En t > 0 vi =
10, entonces Vi = 10/s. Por lo tanto: Donde: Por fracciones
parciales:Multiplicando ambos miembros por Alumno: German Bautista
FloresMateria: Ing. de ControlIng.: Alberto Cuellar LpezPara que la
igualdad sea vlida:(I)(II)Sustituyendo (I) en (II):Por lo tanto:
Entonces: Tabulando:t [s] vo [V]0 020 6.360 9,5 10Alumno: German
Bautista FloresMateria: Ing. de ControlIng.: Alberto Cuellar LpezB)
RESPUESTA A LA RAMPA UNITARIADonde:x = r (t) = 0 t < 0t t 0Se
tena que: Entonces: Para t 0, x = t, cuya transformada de Laplace
es X = 1 / s2, entonces:Obteniendo la respuesta en el dominio de s:
Por fracciones parciales: Multiplicando ambos miembros por Alumno:
German Bautista FloresMateria: Ing. de ControlIng.: Alberto Cuellar
LpezPara que la igualdad sea vlida:(I)(II)(III)Sustituyendo (I) en
(II):Sustituyendo en (III):Por lo tanto:=O bien: La respuesta de un
sistema de primer orden a la rampa unitaria: C) RESPUESTA AL
IMPULSO UNITARIOAlumno: German Bautista FloresMateria: Ing. de
ControlIng.: Alberto Cuellar LpezSe tiene que: O bien: Si x = (t)
su transformada de Laplace es: X = 1, por lo tanto:De donde: 5.2
SISTEMAS DE SEGUNDO ORDENUn sistema de segundo orden es aquel en el
cual el grado mximo del polinomio en s del denominador
desufuncindetransferenciaes2; obien, sedicequesonaquellos sistemas
los cuales estn representados por una ecuacin diferencial de orden
2.Haciendo referencia al ecuacin general diferencial de segundo
orden se tiene la siguiente forma: : Indice de amortiguamiento
[Adimensional]n : Frecuencia natural de oscilacin [rad /
s]Aplicndole transformada de Laplace: Alumno: German Bautista
FloresMateria: Ing. de ControlIng.: Alberto Cuellar LpezLa funcin
de transferencia es: A) RESPUESTA AL ESCALN UNITARIOSea el sistema:
Donde la ecuacin caracterstica del sistema es: Cuyas races
conocidos tambin como polos de sistemas son:O bien: O tambin: Si
adems:Coeficiente de amortiguamientoFrecuencia natural de
amortiguamientoEntonces: Alumno: German Bautista FloresMateria:
Ing. de ControlIng.: Alberto Cuellar LpezO bien: s1y s2son los
polos del sistema; los polos de un sistema son las races de la
ecuacin caracterstica que es la ecuacin que est en el denominador
de la funcin de transferencia igualada a cero. Se dice que los
polos son singularidades de la funcin de transferencia.
Unpolosedefinecomoaquel valor desquehacequelafuncinde transferencia
tienda al infinito.Por lotanto,
lafuncindetransferenciadeunsistemadesegundoordensepuede expresar en
base a sus polos de la siguiente forma:Y la respuesta en el dominio
de s es: Si x = (t) entonces para t > 0, X = 1/s
entonces:Donde:Alumno: German Bautista FloresMateria: Ing. de
ControlIng.: Alberto Cuellar LpezSe sabe: < 1 Subamortiguado = 1
Sobreamortiguado > 1 Crticamente amortiguadoCaso < 1. s1 y s2
imaginarios y diferentes.Entonces la respuesta en funcin del tiempo
es:Tambin: Por el teorema del valor final:Alumno: German Bautista
FloresMateria: Ing. de ControlIng.: Alberto Cuellar
LpezEntonces:Si:yEntonces: Del parntesis:Donde:Alumno: German
Bautista FloresMateria: Ing. de ControlIng.: Alberto Cuellar
LpezPara el caso del escaln unitario k3 = 2Se tiene que: Md:
Sobrepas mximotd: Tiempo en que alcanza por primera vez que el 50%
del valor final.tr: Tiempo en que alcanza por primera vez el valor
final.tp: Tiempo en que alcanz el primer sobrepaso.ts: Tiempo en el
cual la respuesta vara entre 2% al 5% del valor final.Caso = 1. s1
y s2 reales, negativas e iguales.s1 = s2 = nAnalizando la respuesta
al escaln unitario: Alumno: German Bautista FloresMateria: Ing. de
ControlIng.: Alberto Cuellar LpezLa respuesta en el dominio de s
es: Si x = (t) entonces para t > 0, X = 1/s entonces:
Sustituyendo los polos: Por fracciones parciales: Multiplicando
ambos miembros por Para que la ecuacin sea vlida:(I)(II)(III)De
(III): Sustituyendo en (I): Alumno: German Bautista FloresMateria:
Ing. de ControlIng.: Alberto Cuellar LpezSustituyendo los valores
de A y B en (II):Entonces: Caso > 1. s1 y s2 son reales y
diferentes La respuesta: En el dominio del
tiempo:ESTABILIDADAlumno: German Bautista FloresMateria: Ing. de
ControlIng.: Alberto Cuellar LpezEn la teora de control existen dos
conceptos o tomar en cuenta en el anlisis de la estabilidad de los
sistemas de control que son los siguientes:a) La estabilidad
absolutab) La estabilidad relativaESTABILIDAD ABSOLUTALa
caracterstica ms importante del comportamiento dinamico de un
sistema de control es la estabilidad absoluta lo cual significa si
el sistema es estable o inestable. Un sistema de control est en
equilibrio o es estable si la salida permanece en el mismo estado
ante cualquier perturbacin o variacin de la entrada. Un sistema de
control lineal es inestables si la salida oscila indefinidamente o
bien se la salida diverge sin lmite de su estado de equilibrio
cuando el sistema sufre alguna perturbacin o variacin en la
entrada.ESTABILIDAD RELATIVAComounsistema fsicodecontrolincluye
elalmacenamientodeenerga,la salida del sistema cuando est bajo la
accin de una entrada no puede seguirla de forma inmediata sino que
presenta un comportamiento transitorio antes de alcanzar un estado
estacionario.Alumno: German Bautista FloresMateria: Ing. de
ControlIng.: Alberto Cuellar LpezAlanalizar un sistema de controlse
debe examinar elcomportamiento de la respuesta transitoria, as como
eltiempo requerido para alcanzar elnuevo estado de reposo y el
Valor de error mientras sigue a la seal de entrada as como el
comportamiento en estado estacionario.CRITERIO DE ESTABILIDAD DE
ROUTH.Laestabilidaddeunsistemadecontrol lineal
delazocerradosedeterminapor la ubicacin de los polos obtenidos de
la ecuacin caracterstica de la funcin de transferencia de lazo
cerrado en el plano s o plano complejo. Si cualquiera de esos polos
quedanenel semiplanoderechodel planosal transcurrirel
tiempodalugaral modo dominantey larespuestatransitoriaaumenta
enformamontona obien oscila en amplitud creciente.Sitodos los polos
de lazo cerrado quedan a la izquierda del eje imaginario delplano s
cualquier respuesta transitoria alcanza el equilibrio lo cual
representa el estado estable.Que un sistema linealsea estable o
inestable es una propiedad del sistema en s y no depende de la
entrada o funcin excitadora del sistema ya que sta slo contribuye a
los trminos de respuesta en estado estacionario de la solucin. As,
el problema de estabilidad absoluta puede resolverse fcilmente con
derecho de determinar la ubicacin delospolos.
Lospoloscomoyasehamencionadosonlasracesdelaecuacin
caractersticadelafuncindetransferencia(matemticamentelos polos enel
lado derecho del eje imaginario del plano s producen inestabilidad;
los polos de lazo cerrado sobre el eje imaginario producen
oscilaciones cuya amplitud no aumenta ni disminuye con el tiempo.
Por ejemplo, donde hay ruido la amplitud de las oscilaciones puede
aumentar a una velocidad determinada por el nivel de potencia de
ruido. Por lo tanto, un sistema de control no debera de tener polos
de lazo cerrado sobre el eje imaginario, situacin que se llega a
observar en los circuitos osciladores de audio).El hecho de que
todos los polos de lazo cerrado queden en el semiplano s izquierdo
es
unacondicinnecesariaperonogarantizaunacaractersticaderespuestatransitoria
satisfactoria. Sihay polos de lazo cerrado dominantes, complejos
conjugados cerca del Alumno: German Bautista FloresMateria: Ing. de
ControlIng.: Alberto Cuellar Lpezeje imaginario la respuesta
transitoria puede presentar oscilaciones excesivas y puede ser muy
lenta.Por lo tanto para garantizar caractersticas de respuesta
transitoria rpida con amortiguamientoadecuadoes necesarioquelos
polos delazocerradodel sistema quedenenunazonamnimadel
planocomplejotal comosemuestraenlasiguiente figura.Como la
estabilidad relativa y el comportamiento transitorio de un sistema
de control de lazo cerrado estn directamente relacionados con la
configuracin de polos y ceros (los polos a las races del
denominador y los ceros o las races del numerador de la funcin de
transferenciadelazocerrado)enel planossesueleajustar
unomsparmetrosdel sistema para obtener la configuracin o respuesta
adecuada.Por lo tanto, se establece que un sistema de control es
estable si y slo si todos los polos de lazo cerrado estn ubicados
en el semiplano izquierdo del plano s.Como la mayor parte de los
sistemas de lazo cerrado tienen una funcin de transferencia de la
siguiente forma:Alumno: German Bautista FloresMateria: Ing. de
ControlIng.: Alberto Cuellar LpezDonde a y b son constantes y n
> m.La primera alternativa para conocer la estabilidad del
sistema es mediante la factorizacin del polinomio del denominador,
es decir, encontrar las races del mismo para conocer los polos de
lazo cerrado y por lo tanto conocer su ubicacin en el plano S, s
todos estn en el semiplano izquierdo, entonces el sistema es
estable.La otra alternativa es utilizar un criterio simple conocido
como el criterio de estabilidad de routh, el cual permite
determinar la cantidad de polos de lazo cerrado que se encuentra en
el semiplanoderechodel planoSsintener quecalcular las races
delaecuacin caracterstica.Los pasos a seguir son los siguientes:1.
Escriba el polinomio deldenominador de la funcin de transferencia
de la forma siguiente:En donde los coeficientes son cantidades
reales suponiendo que es diferente de 0. Con esto, se elimina
cualquier raz 0.2. Si alguno de los coeficientes es cero o negativo
ante la presencia de al menos un coeficiente positivo, esto quiere
decir que hay una raz o races que tienen partes reales positivas,
en tal caso el sistema es e inestable. Si slo interesa la
estabilidad absoluta no es necesario continuar con el
procedimiento. Por lo tanto, todosloscoeficientesdebenser
positivosparaqueel sistemaseaestablesin embargo, se considera una
condicin necesaria pero no suficiente.3. Si
todosloscoeficientessonpositivos, ordnelosenrenglonesycolumnasde
acuerdo a la arreglo siguiente:sna0 a2 a4 a6 sn-1a1 a3 a5 a7 sn-2b1
b2 b3 b4 sn-3c1 c2 c3 c4 sn-4d1 d2 d3 d4 Alumno: German Bautista
FloresMateria: Ing. de ControlIng.: Alberto Cuellar Lpez s2e1
e2s1f1s0g1Donde:Donde la condicin necesaria y suficiente para que
todas las races estn ubicadas en el semiplano izquierdo del plano S
y que por lo tanto sistema sea estable es que todos los
coeficientes de la ecuacin caracterstica sean positivos y que todos
los trminos de la primera columna del arreglo de routh sean
positivos.Sea el sistema: es estable?s41 8 3s32 4s26 3s13s03Alumno:
German Bautista FloresMateria: Ing. de ControlIng.: Alberto Cuellar
LpezComo 1, 2, 6, 3, 3 son positivos, entonces el sistema es
estable.Sea el sistema: es estable?s44 3 5s32 4s21 5s1-6 0s05Como
hay dos cambios de signo, no es estable, ya que tiene al menos dos
races con partes reales positivas.CASOS SINGULARES DEL CRITERIO DE
ROUTHa) Cuando uno de los elementos de la primera columna en
cualquier rengln es cero pero los restantes son diferentes de
cero.Sea el sistema: Su ecuacin caracterstica es: s31 1s22 2s10
0s02Alumno: German Bautista FloresMateria: Ing. de ControlIng.:
Alberto Cuellar LpezComo > 0 todos los coeficientes de la
primera columna son positivos, por lo tanto el sistema es
estable.b) Cuando todos los coeficientes calculados son cero en
cualquier rengln.Sea el sistema: Su ecuacin caracterstica es: s51
24 -25s42 48 -50s308 096 0s224 -50s1112.66 0s0-50El sistema es
inestable como hay un cambio de signo al menos existe una raz con
parte real positivaInvestigar los valores de k (control
proporcional para que el sistema siguiente sea estable.Alumno:
German Bautista FloresMateria: Ing. de ControlIng.: Alberto Cuellar
LpezCuya ecuacin caracterstica es: s21 8+ks16s08+kPara que el
sistema sea estable todos los coeficientes deben ser
positivos.MTODO DEL LUGAR DE LAS RACES.Es un mtodo grfico para
encontrar los polos de un sistema realimentado al estar variando la
ganancia del amplificador entre 0 e . Sea el siguiente sistema de
control proporcional:Donde 0 < k < Un punto (polos o zeros)
ser lugar geomtrico de las races si cumple con las
condiciones:Alumno: German Bautista FloresMateria: Ing. de
ControlIng.: Alberto Cuellar Lpez De magnitud: De ngulo:ngulos de
zeros ngulos de polos Si cul es el lugar geomtrico de las races?Si
cul es el lugar geomtrico de las races?s1: 0 0 = 0 Nos2: 0 180 =
-180 S es LGRs3: 180 180 = 0 No1. LGR sobre el eje real2. Asntotas.
Direcciones que recorrern los polos al variar k.Como debe cumplir
con la condicin de ngulo: Alumno: German Bautista FloresMateria:
Ing. de ControlIng.: Alberto Cuellar LpezO bien: Asntotas: 3.
Interseccin de las asntotas en el eje real (centroide).4. Punto de
ruptura de races mltiples.La funcin de transferencia del sistema
es:La ecuacin caracterstica del sistema es: Alumno: German Bautista
FloresMateria: Ing. de ControlIng.: Alberto Cuellar Lpez5. Cruces
con el eje imaginario.De la ecuacin caracterstica: Por el criterio
de Routh:s31 2s23 Ks1(6-k)/3s0kPara que el sistema sea estable:Para
la interseccin se toma el
