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Apuntes de Funciones

El concepto de función es un elemento fundamental dentro del análisis matemático, así como en sus

aplicaciones. Esta idea se introdujo con el objetivo de matematizar la transformación o relación entre dos

magnitudes (por ejemplo, el espacio que recorre un móvil depende de su velocidad).

En primer lugar, se definen las funciones reales de variable real y los conceptos que de ellas se derivan

(dominio, imagen, grafo…).

A continuación, estudiaremos las operaciones entre funciones (suma, producto, cociente, composición y

función inversa) y algunas características importantes (simetría, periodicidad y transformación de

funciones).

Por último, se hace un recorrido por las funciones elementales y se señalan algunas propiedades o

características (funciones polinómicas, funciones racionales, funciones de proporcionalidad inversa,

funciones con radicales, exponencial, logarítmica, trigonométricas, funciones a trozos, función valor

absoluto y función parte entera).

1. Funciones reales de variable real

1.1 Definición: una aplicación entre dos conjuntos 𝐴 y 𝐵 es una transformación que asocia a cada

elemento del conjunto 𝐴 un único elemento del conjunto 𝐵.

Una función real de variable real 𝒇 es una aplicación entre un subconjunto 𝐷 ⊂ ℝ, no vacío,

llamado dominio, y el conjunto de los números reales ℝ. La escribiremos así:

𝑓: 𝐷 ⟶ ℝ

𝑥 ⟶ 𝑦 = 𝑓(𝑥)

Se trata de una relación entre dos variables, de forma que a cada valor de la variable independiente

𝒙 del dominio le corresponde un único valor 𝑦 ∈ ℝ, que es la variable dependiente, a la que

llamaremos imagen de 𝒙, 𝒚 = 𝒇(𝒙). También diremos que 𝑥 es la antiimagen o imagen inversa de

𝑦.

A continuación, definimos dominio, imagen y gráfica de una función:

• El dominio 𝐷 está formada por el conjunto de los números reales que tienen imagen. Más

adelante, aprenderemos a calcular el dominio de cada tipo de función.

𝐷 = 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ/ ∃𝑦 = 𝑓(𝑥)}

• La imagen o recorrido de una función es el conjunto de todas las imágenes.

𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦 ∈ ℝ/ ∃𝑥 ∈ 𝐷, 𝑦 = 𝑓(𝑥)}

• La gráfica/ grafo de una función 𝑓 es el conjunto de pares ordenados (𝑥, 𝑦) tales que 𝑦 = 𝑓(𝑥)

con 𝑥 ∈ 𝐷. y lo escribiremos 𝐺(𝑓). La representación en el plano es la gráfica de la función.

También es conocido que una función puede expresarse de varias maneras, mediante su expresión

algebraica, mediante la gráfica o a través de una tabla de valores.

Ejemplo 1 Un móvil que se desplaza a velocidad constante de 90 Km/h recorre un espacio que depende del

tiempo que está circulando. Podemos expresar una relación entre las variables tiempo (𝑥: horas) y

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espacio (𝑦: kilómetros) mediante la función lineal afín: 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 90 · 𝑥 (Espacio igual a velocidad por

tiempo).

La fórmula 𝑦 = 90𝑥 es la expresión algebraica de la función. Mediante ella es posible conocer para cada

valor del tiempo, el espacio recorrido y al revés.

Es claro que los valores que puede tomar el tiempo deben ser no negativos; por eso el dominio de esta

función será el intervalo 𝐷 = 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = [0,+∞).

Una tabla para la función estará formada por ciertos valores 𝑥 y sus imágenes 𝑦 respectivas:

𝑥 variable independiente tiempo (abscisa) 0 1 1,5 2 3 …

𝑦 = 𝑓(𝑥) variable dependiente espacio (ordenada) 0 90 135 180 270 …

La representación gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas.

Un punto pertenece a la gráfica de 𝑓 si y solo si su ordenada es la imagen de su abscisa.

La función recorre el conjunto de reales positivos con lo que 𝐼𝑚(𝑓) = [0,+∞)

Si queremos saber al cabo de cuánto tiempo llevará recorridos 198 Km bastará sustituir 𝑦 = 198 en la expresión de la función:

198 = 90𝑥 ⟺ 𝑥 = 2,2 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 = 2 ℎ 12 𝑚𝑖𝑛

2. Operaciones con funciones

Dadas dos funciones 𝑓, 𝑔 con dominios 𝐷𝑜𝑚(𝑓), 𝐷𝑜𝑚(𝑔) respectivamente, se define:

• Suma/resta de funciones: 𝑓 ± 𝑔 es otra función con dominio 𝐷𝑜𝑚(𝑓 ± 𝑔) = 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ∩

𝐷𝑜𝑚(𝑔) tal que:

(𝑓 ± 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)

• Producto de funciones: 𝑓 · 𝑔 es otra función con dominio 𝐷𝑜𝑚(𝑓 · 𝑔) = 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ∩ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) tal

que:

(𝑓 · 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) · 𝑔(𝑥)

• Cociente de funciones: 𝑓/𝑔 es otra función con dominio 𝐷𝑜𝑚(𝑓/𝑔) = 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ∩ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) y

que además no anulen la función 𝑔(𝑥):

(𝑓/𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥)/𝑔(𝑥) con 𝑔(𝑥) ≠ 0

• Composición de funciones: dadas 𝑓 𝑦 𝑔 dos funciones, se llama composición de 𝑓 𝑐𝑜𝑛 𝑔 (ó

𝑓 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑔) y se escribe 𝑔 ∘ 𝑓 a la función que cumple:

(𝑔 ∘ 𝑓 )(x) = 𝑔(𝑓(𝑥))

1. Es decir, es el resultado de evaluar la función g después de haber evaluado x en la función f.

2. En general la composición de funciones no es conmutativa, (𝑔 ∘ 𝑓 )(x) ≠ (𝑓 ∘ g)(x)

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Ejemplo 1

Dadas las funciones 𝑓(x) = √𝑥2 + 𝑥 − 1, 𝑔(x) = 𝑥2 + 1:

(𝑔 ∘ 𝑓 )(x) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔 (√𝑥2 + 𝑥 − 1) = (√𝑥2 + 𝑥 − 1)2 + 1 = 𝑥2 + 𝑥 − 1 + 1 = 𝑥2 + 𝑥

(𝑓 ∘ 𝑔 )(x) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(𝑥2 + 1) = √(𝑥2 + 1)2 + 𝑥2 + 1 − 1 = √𝑥4 + 2𝑥2 + 1 + 𝑥2 + 1 − 1 =

= √𝑥4 + 3𝑥2 + 1

• Función inversa: la inversa de una función inyectiva 𝑓(x) es otra función 𝑓−1 tal que para todo

valor x del dominio de 𝑓(x) se cumple que:

Si 𝑓(x) = 𝑦 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓−1(𝑦) = 𝑥

1. Las gráficas de una función y su inversa son

simétricas respecto de la bisectriz del primer

cuadrante (recta 𝑦 = 𝑥).

2. La composición de una función con su inversa sí

cumple la propiedad conmutativa:

(𝑓−1 ∘ 𝑓 )(x) = (𝑓 ∘ 𝑓−1)(x) = 𝑥 = 𝐼𝑑

3. La función 𝑓(𝑥) = 𝑥 se conoce como función

identidad.

4. El dominio de la función inversa 𝑓−1 coincide con la imagen de 𝑓(x)

5. La inversa de la función y=𝑥2 es 𝑦 = √𝑥 para 𝑥 ≥ 0.

6. La inversa de la función exponencial 𝑦 = 𝑒𝑥 es la función logarítmica 𝑦 = L 𝑥 (las

estudiaremos más adelante).

3. Características importantes

De entre todas las características de las funciones, vamos a estudiar la simetría, la periodicidad y las

transformaciones entre funciones.

• Simetría: las funciones pueden presentar dos tipos de simetría, respecto del eje Y o respecto del

origen de coordenadas. Es importante tener en cuenta que pueden existir funciones que no

tengan ninguna simetría.

- Simetría respecto del eje Y. Simetría par: Diremos que una función 𝑓(𝑥) es par si para

cualquier valor x del dominio, se cumple que 𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥)

Ejemplo 2

Estudia la simetría de 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥2 + 2:

Calculamos 𝑓(−𝑥) y observamos que:

𝑓(−𝑥) = (−𝑥)4 − 2(−𝑥)2 + 2 = 𝑥4 − 2𝑥2 + 2 = 𝑓(𝑥) → 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟.

4

- Simetría respecto del origen de coordenadas. Simetría impar: Diremos que una función

𝑓(𝑥) es impar si para cualquier valor x del dominio, se cumple que 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥)

Ejemplo 3

Estudia la simetría de 𝑓(𝑥) =𝑥3−𝑥

4:

Calculamos 𝑓(−𝑥) 𝑦 − 𝑓(𝑥) y observamos que:

𝑓(−𝑥) =(−𝑥)3 − (−𝑥)

4=−𝑥3 + 𝑥

4

−𝑓(𝑥) = −𝑥3−𝑥

4=

−𝑥3+𝑥

4 Por tanto, la función es impar.

• Periodicidad: diremos que una función 𝑓(𝑥) es periódica, de periodo 𝑇 > 0, si su gráfica se

repite en intervalos de amplitud T. Conocida la gráfica en un intervalo de dicha longitud, se

puede obtener la gráfica completa mediante translaciones de amplitud T hacia la derecha y hacia

la izquierda.

Ejemplo 4

Las funciones 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) y 𝑓(𝑥) = cos(𝑥) son periódicas de periodo T=2𝜋

• Transformación de funciones: A partir de la gráfica de 𝑓(𝑥) se pueden obtener las gráficas de

otras funciones:

- 𝒈(𝒙) = −𝒇(𝒙): es la función simétrica de 𝑓(𝑥) respecto del eje X.

- 𝒈(𝒙) = 𝒇(−𝒙): es la función simétrica de 𝑓(𝑥) respecto del eje Y.

- 𝒈(𝒙) = 𝒇(𝒙) + 𝒌: si 𝑘 > 0 entonces la gráfica de 𝑔(𝑥) se obtiene trasladando la gráfica de

𝑓(𝑥) verticalmente k unidades hacia arriba. Si, por el contrario, 𝑘 < 0, entonces se desplaza

la gráfica de 𝑓(𝑥) verticalmente k unidades hacia abajo.

- 𝒈(𝒙) = 𝒇(𝒙 + 𝒌): si 𝑘 > 0 entonces la gráfica de 𝑔(𝑥) se obtiene trasladando la gráfica de

𝑓(𝑥) horizontalmente k unidades hacia la izquierda. Si, por el contrario, 𝑘 < 0, entonces se

desplaza la gráfica de 𝑓(𝑥) horizontalmente k unidades hacia la derecha.

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1. Principales funciones elementales

A continuación, vamos a recordar algunas de las funciones elementales estudiadas en cursos anteriores:

1.1 Funciones polinómicas: las funciones polinómicas son aquellas que se expresan analíticamente

mediante un polinomio. Vamos a recordar las de primer grado (llamadas rectas) y las de segundo

grado (llamadas parábolas).

• Funciones afines: son las funciones polinómicas de primer grado y su expresión es del tipo

𝒇(𝒙) = 𝒎𝒙 + 𝒏. En el caso de que n = 0, entonces la expresión es 𝒇(𝒙) = 𝒎𝒙 y se llama función

lineal.

El valor m se denomina pendiente y el valor n se conoce como ordenada en el origen.

La gráfica es una recta con pendiente m que pasa por el punto (0, n)

[1] Función afín 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛

Características:

1. Dom(f) = ℝ

2. Si 𝑛 = 0, la función 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 pasa por el origen de coordenadas (0 , 0).

3. El valor de la pendiente determina la inclinación de la recta (indica lo que aumenta el valor

de la variable y cuando la variable x aumenta una unidad)

o 𝑚 > 0 → 𝑓(𝑥) es una función creciente.

o 𝑚 < 0 → 𝑓(𝑥) es una función decreciente.

o 𝑚 = 0 → 𝑓(𝑥) = 𝑛 la función es constante y paralela al eje X.

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[2] Función constante 𝑦 = 𝑘

• Funciones cuadráticas o parábolas: son las funciones polinómicas de segundo grado y su

expresión es del tipo 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 , 𝒂 ≠ 𝟎.

[3] Función cuadrática 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

Características:

1. Dom(f) = ℝ

2. La gráfica es una parábola de vértice 𝑉 = (−𝑏

2𝑎, 𝑓 (

−𝑏

2𝑎))

3. El valor del coeficiente a determina la forma de la parábola:

o 𝑎 > 0 → 𝑓(𝑥) es cóncava (∪). El vértice es un mínimo de la función.

o 𝑎 < 0 → 𝑓(𝑥) es convexa (∩). El vértice es un máximo de la función.

o En general, cuanto mayor sea el valor absoluto de a, más cerradas serán las ramas

de la parábola.

4. La parábola corta al eje Y en el punto (0, 𝑐) y al eje X en los puntos 𝐴 = (𝑥1, 0), 𝐵 = (𝑥2, 0)

siendo 𝑥1, 𝑥2 las soluciones de la ecuación 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0.

Una función polinómica, tiene por expresión algebraica un polinomio de grado n:

𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥

𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0 con 𝑎𝑛 ≠ 0.

El dominio de este tipo de funciones es 𝐷 = ℝ porque siempre podemos calcular el valor de la

función en cualquier valor real 𝑥.

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• Funciones racionales: las funciones racionales son aquellas que se expresan algebraicamente

como cociente de dos polinomios 𝑓(𝑥) =𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥) 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑄(𝑥)) ≠ 0

El dominio de una función polinómica es ℝ, exceptuando aquellos valores que anulan el

denominador.

𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ − {𝑥𝑖 ∈ ℝ / 𝑄(𝑥𝑖) = 0}

[4] Función racional 𝑓(𝑥) =3𝑥−4

𝑥−2

Ejemplo 5

Calcular el dominio de la función 𝑓(𝑥) =3𝑥−1

𝑥2+2𝑥−3

Calculamos los valores que anulan el denominador resolviendo la ecuación de segundo grado

𝑥2 + 2𝑥 − 3 = 0 ; obtenemos 𝑥1 = −3 y 𝑥1 = 1.

Por tanto 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ − {−3, 1}.

• Función de proporcionalidad inversa o hipérbola: es un tipo de función racional, con una

expresión del tipo 𝑓(𝑥) =𝑘

𝑥 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ ℝ − {0}

[5] Función de proporcionalidad inversa 𝑦 =𝑘

𝑥 (Hipérbola)

Características:

1. Dom(f) = ℝ− {0}. Im(f) = ℝ − {0}

2. La función es impar.

3. La gráfica no corta a los ejes de coordenadas. Diremos que en 𝑥 = 0 hay una asíntota vertical

y que en y= 0 hay una asíntota horizontal.

5. El valor del coeficiente k determina la forma de la hipérbola:

o 𝑘 > 0 → 𝑓(𝑥) es decreciente y la gráfica está en el primer y tercer cuadrante.

o 𝑘 < 0 → 𝑓(𝑥) es creciente y la gráfica está en el segundo y cuarto cuadrante.

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• Funciones con radicales: son funciones en las que la x aparece bajo un signo radical

𝑓(𝑥) = √𝑔(𝑥)𝑛

La función más conocida es la función raíz cuadrada

[6] Función raíz cuadrada 𝑓(𝑥) = √𝑥

Características:

1. si 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 Dom(f) = {x ∈ ℝ/ g(x) > 0}

2. si 𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 Dom(f) = ℝ

Ejemplo 6

Calcular el dominio de la función 𝑓(𝑥) = √3𝑥−1

𝑥2+2𝑥−3

Como el índice es par:

𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ⟺3𝑥 − 1

𝑥2 + 2𝑥 − 3≥ 0

Debemos buscar los valores reales que hacen positiva o cero la expresión anterior.

Para resolver este tipo de inecuaciones (cociente de polinomios) procedemos de la siguiente

forma:

(i) Buscamos los valores que anulan numerador y denominador:

3𝑥 − 1 = 0 ⟹ 𝑥 =1

3 ; 𝑥2 + 2𝑥 − 3 = 0 ⟹ {

𝑥 = −3𝑥 = 1

Estos tres valores dividen la recta real en cuatro intervalos.

(ii) Consideramos los intervalos teniendo en cuenta que si los valores anteriores anulan

el numerador, cerramos el intervalo en ellos; y si anulan el denominador, abrimos el

intervalo en ellos) y determinamos el signo de nuestra expresión en cada uno de ellos:

El signo lo determinamos a partir del signo del resultado que se obtiene al sustituir

en la expresión un valor cualquiera en cada intervalo (no extremos).

Por tanto, el dominio de la función 𝑓 viene dado por la unión de los intervalos con el signo

positivo. 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = (−3, 1/3] ∪ [1,+∞)

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• Funciones exponenciales: las más sencillas son funciones del tipo

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥 ∈ ℝ , 𝑎 > 0 𝑦 𝑎 ≠ 1

[7] Función exponencial 𝑦 = 𝑎𝑥

Características:

1. Dom(f) = ℝ.

2. La función exponencial siempre es positiva. Im(f) = (0,+∞)

3. Pasa siempre por los puntos (0, 1) 𝑦 (1, 𝑎) pues 𝑎0 = 1 𝑦 𝑎1 = 𝑎

4. El valor de a determina la forma de la función:

o 𝑎 > 1 → 𝑓(𝑥) es creciente.

o 0 < 𝑎 < 1 → 𝑓(𝑥) es decreciente.

La función más conocida es la función 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥

• Funciones logarítmicas: las más sencillas son funciones del tipo

𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥 > 0 , 𝑎 > 0 𝑦 𝑎 ≠ 1

[8] Función logarítmica 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥

Características:

1. Dom(f) = (0, +∞) pues solo existen logaritmos de números positivos.

2. Im(f) = ℝ

3. Pasa siempre por los puntos (1, 0) 𝑦 (𝑎, 1) pues log𝑎1 = 0 𝑦 log𝑎𝑎 = 1

4. El valor de a determina la forma de la función:

o 𝑎 > 1 → 𝑓(𝑥) es creciente.

o 0 < 𝑎 < 1 → 𝑓(𝑥) es decreciente.

5. Si la base es 10, se expresa 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔 𝑥. 𝑆i la base es el número e, se expresa 𝑓(𝑥) = 𝐿𝑥

La función logaritmo 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥 se define como la función inversa de la función exponencial

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥.

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• Funciones trigonométricas: las principales funciones trigonométricas que vamos a estudiar

son la función seno, la función coseno y la función tangente.

1. Función coseno: se expresa 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥

o 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ

o −1 ≤ 𝑐𝑜𝑠𝑥 ≤ 1 𝑥 ∈ ℝ → 𝐼𝑚(𝑓) = [−1,1]

o Es una función par porque 𝑓(−𝑥) = cos(−𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑓(𝑥) (función simétrica

respecto del eje Y)

o 𝑐𝑜𝑠0 = 1 ; 𝑐𝑜𝑠𝜋

2= 0 ; 𝑐𝑜𝑠𝜋 = −1 ; cos

3𝜋

2= 0 ; 𝑐𝑜𝑠2𝜋 = 1

o Es periódica de periodo 2𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 → cos(𝑥 + 2𝑘𝜋) = 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑘 ∈ ℤ. Para

representarla, basta dar valores en el intervalo [0, 2𝜋] y repetir la gráfica.

2. Función seno: se expresa 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥

o 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ

o −1 ≤ 𝑠𝑒𝑛𝑥 ≤ 1 𝑥 ∈ ℝ → 𝐼𝑚(𝑓) = [−1,1]

o Es una función impar porque 𝑓(−𝑥) = sen(−𝑥) = −𝑠𝑒𝑛𝑥 = −𝑓(𝑥) (función

simétrica respecto el origen de coordenadas)

o 𝑠𝑒𝑛0 = 0 ; 𝑠𝑒𝑛𝜋

2= 1 ; 𝑠𝑒𝑛𝜋 = 0 ; sen

3𝜋

2= −1 ; 𝑠𝑒𝑛2𝜋 = 0

o Es periódica de periodo 2𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 → sen(𝑥 + 2𝑘𝜋) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑘 ∈ ℤ. Para

representarla, basta dar valores en el intervalo [0, 2𝜋] y repetir la gráfica.

3. Función tangente: se expresa 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔𝑥 y se define como 𝑡𝑔𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥

o Está definida en todos los números reales, excepto aquellos que anulan la función

coseno, es decir, puntos del tipo 𝜋

2+ 𝑘𝜋. 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ− {

𝜋

2+ 𝑘𝜋} 𝑘 ∈ ℤ

o 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ

o Es una función impar 𝑓(−𝑥) = 𝑡𝑔(−𝑥) =𝑠𝑒𝑛(−𝑥)

cos (−𝑥)=

−𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥= −𝑡𝑔(𝑥) = −𝑓(𝑥)

o Es periódica de periodo 𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 → tg(𝑥 + 𝑘𝜋) = 𝑡𝑔𝑥 𝑘 ∈ ℤ. Para representarla,

basta dar valores en el intervalo [0, 𝜋] y repetir la gráfica.

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Es importante conocer los valores de las razones trigonométricas de determinados ángulos,

como los siguientes:

A continuación, estudiamos las principales razones trigonométricas entre ángulos:

RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE DETERMINADOS ÁNGULOS

Ángulos suplementarios: α y 180o- α Ángulos complementarios: α y 90o-α

sen (180o- α) = sen α cos (180o- α) = - cos α tg (180o- α) = - tg α

sen (90o- α) = cos α cos (90o- α) = sen α tg (90o- α) = 1/tg α

Ángulos que difieren en 180o : α y 180o+ α Ángulos opuestos: α y - α =360o- α

sen (180o+ α) =- sen α cos (180o+ α) = - cos α tg (180o+ α) = tg α

sen(-α)= -sen α cos(-α) = cos α tg(-α)= - tg α

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• Funciones definidas a trozos: es una función formada por distintas expresiones algebraicas

dependiendo del intervalo al que pertenezca la variable independiente.

Para estudiar la función hay que estudiar cada expresión algebraica de forma independiente.

Ejemplo 7

Estudiar el dominio de la siguiente función y representarla.

𝑓(𝑥) = {

1

𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < −1

−𝑥 + 2 𝑠𝑖 − 1 ≤ 𝑥 ≤ 3𝑥2 − 6𝑥 + 5 𝑠𝑖 𝑥 > 3

Estudiamos el dominio de la función según los distintos intervalos:

1. 𝒙 < −𝟏 entonces 𝑓(𝑥) =1

𝑥. Como bien sabemos, el dominio de la función de

proporcionalidad inversa es 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ − {0}. Pero en este caso, x =0 no pertenece al

intervalo en el que estamos trabajando, por tanto, 𝑓(𝑥) =1

𝑥 está definida para todo 𝑥 < −1.

2. −𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟑 entonces 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 2 función lineal, cuyo dominio es ℝ.

3. 𝒙 > 𝟑 entonces 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 6𝑥 + 5 función cuadrática, cuyo dominio es ℝ.

Unificando toda la información anterior, podemos concluir que el dominio de la función es ℝ.

• Función valor absoluto: esta función asocia a cada número real su valor absoluto y se puede

considerar como una función definida a trozos:

𝑓(𝑥) = |𝑥| = {𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0−𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 0

Se observa que no hay gráfica debajo del eje de abscisas (eje X)

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• Función parte entera: esta función asocia a cada número real su parte entera, es decir, el

primer entero menor o igual que él.

𝑓(𝑥) = [𝑥]

Se puede considerar una función definida a trozos, con infinitos intervalos, en los que la función

es constante.

𝑓(𝑥) =

{

…−1 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [−1, 0)0 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [0 , 1)1 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [1 , 2)

…