Apuntes de Oscilaciones Electricas

7/28/2019 Apuntes de Oscilaciones Electricas

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Aplicaciones del mtodo de fasores a circuito de c.a.

CircuitoR CircuitoLCircuito C

CircuitoRLC

INTENSIDAD DE CORRIENTE Y TENSIN SENOIDALESAl aplicar las leyes de Kirchhoff a un circuito cualquiera de una malla el resultado es, en general, una ecuacin integro-diferencial. L

mtodos de resolucin clsicos de ecuaciones diferenciales proporcionan la solucin del problema elctrico. Ahora bien, la intensidad

corriente, que suele ser la incgnita, debida a una determinada tensin aplicada, viene dada por una suma de dos funciones. Una de ell

corresponde a la intensidad del rgimen transitorio que, normalmente, se anula a las pocas fracciones de segundo, y la otra constituye intensidad en rgimen permanente, la cual perdura mientras existe la excitacin.

Slo se tratar el rgimen permanente o estacionario prescindiendo del transitorio correspondiente. No obstante, se estudiarn l

ecuaciones diferenciales aplicadas a los circuitos elctricos de los regmenes transitorio y permanente de la solucin general.

Intensidades de corriente senoidalesEn la Tabla 1 aparecen las tensiones en bornes de los tres elementosR, L y C puros en el caso de que la corriente que circule por ellos sde tipo seno o coseno.

}

Tabla 1 Tensin en bornes de un elemento puro si la corriente es senoidal

Elemento Tensin siIes general Tensin siI = I0sen t Tensin siI = I0cos t

ResistenciaR RV RI= 0 senRV RI t = 0 cosRV RI t =

AutoinduccinL LdI

V Ldt

= 0 cosLV LI t = ( )0 senLV LI t =

Capacidad C

1CV Idt C=

0cosC

I

V tC= 0

senCI

V tC=

Tensiones senoidalesEn la Tabla 2 aparecen las intensidades de corriente por los tres elementosR, L y Cpuros en el caso en que la tensin aplicada a cada ude ellos sea de tipo seno o coseno.


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Tabla 2 Corriente en los elementos puros si la corriente es senoidal

Elemento Corriente si Ves general Corriente si V = V0sen t Corriente si V = V0cos t

ResistenciaR RV

IR

= 0 senR

VI t

R= 0 cos

R

VI t

R=

AutoinduccinL1

LI VdtL

= ( )0 cosLV

I tL

=

0 senLV

I tL

=

Capacidad C CdV

I Cdt

= 0 cosCI CV t= 0 senCI CV t=

ImpedanciaLa impedancia de un elemento aislado, o de una rama de varios elementos, o de un circuito completo, es la relacin entre la tensiaplicada y la intensidad de corriente que circula.

Funcin de tensinImpedancia =

Funcin de intensidad

Si las tensiones e intensidades de corriente son senoidales, esta relacin tiene un mdulo y un argumento (ngulo). En el Captulo 5

estudia la impedancia con mucho detalle y all se considera el argumento. En este captulo solo estudiaremos el mdulo de la impedancEl argumento o ngulo entre la tensin V y la intensidad de corrienteIse llama ngulo de fase o, simplemente, fase.

ngulo de faseSi tanto la tensin como la intensidad de corriente son funciones senoidales del tiempo y se representan grficamente con la misma esca

de tiempos, aparece un desplazamiento relativo entre ambas magnitudes que solo es nulo en el caso de tratarse de un elemento resisti

puro. Dicho desplazamiento es el ngulo de fase y nunca puede ser superior a 90 o /2 radianes. Por convenio, al hablar del ngulo fase se considera el que forma la intensidad de corriente Icon la tensin V. En un condensador, por ejemplo, Iadelanta 90 o radianes a V; en un circuito serieRL, conR igual a L, Vadelanta 45 o o /4 a I(o bienIest retrasada o /4respecto de V); en uresistencia pura,Iest en fase con V; etc. Las representaciones de las figuras siguientes aclaran los conceptos de impedancia y ngulo

fase.

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3ResistenciaR. En un elemento resistivo puro la intensidad de corriente y la tensin estn en fase. (Fig. 1.) El mdulo de la impedancia

R.

AutoinduccinL. En una bobina pura la intensidad de corriente se retrasa 90 o /2 respecto de la tensin. (Fig. 2.) El mdulo de impedancia es L.

Capacidad C. En un condensador puro, la intensidad de corriente adelanta 90 o /2a la tensin. (Fig. 3.) El mdulo de la impedancia 1/(C).

Fig. 4 Fig. 5Circuito serieRL. La intensidad de corriente se retrasa respecto de la tensin un ngulo igual a tan -1 (L/R). (Fig. 4.) El mdulo de

impedancia es ( )22R L+ .


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Circuito serie RC. La intensidad de corriente adelanta a la tensin en un ngulo igual a tan-1 (1/(C)/R), (Fig. 5.) El mdulo de

impedancia es ( )22 1R C+ .

Circuitos serie y paraleloEn un circuito cuyos elementos (impedancias) estn conectadas en paralelo, la intensidad de corriente es igual a la suma de las cadas d

tensin en dichos elementos individuales. Por ejemplo, en la Fig. 6(a) se verifica: VT= V1 + V2 + V3.

(a) (b)

Fig.6En un circuito cuyos elementos (impedancias) estn conectados en paralelo la intensidad de corriente total es igual a la suma de l

intensidades que circulan por cada uno de dichos elementos individuales. Por ejemplo, en la Fig. 6(b) se verifica:IT=Il +I2 +I3. Se pueobservar que esto es una aplicacin de la primera ley de Kirchhoff, pues las cuatro intensidades tienen un nudo comn.

IMPEDANCIA COMPLEJA Y NOTACIN FASORIALEl anlisis de circuitos en rgimen permanente senoidal tiene una gran importancia no solo porque las tensiones que suministran l

generadores son, muy aproximadamente, funciones senoidales del tiempo, sino porque cualquier forma de onda peridica se pued

sustituir por un trmino constante y una serie de trminos de senos y cosenos. Se trata del mtodo de Fourier de anlisis de formas

ondas y ser objeto de estudio en otro captulo.Al estudiar circuitos sencillos en los que las tensiones y corrientes son funciones senoidales del tiempo, se ha visto cmo a pesar dtratarse de circuitos relativamente simples su anlisis es muy pesado. Mediante el empleo de la notacin fasorialen la representacin

tensiones e intensidades de corriente y el concepto de impedancia compleja de los elementos del circuito, el estudio en rgim

permanente senoidal se facilita mucho.

Impedancia complejaConsidere el circuito serie RL de la Fig. 7 al que se le aplica una tensin ( ) 0

j tV t V e

= . Segn la frmula de Euler, esta funcin

descompone en un trmino en seno y otro en coseno, ( ) 0 0cos senV t V t jV t = + . Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a la malla o la

se tiene,

( )( )

0

j tdI t

RI t L V edt

+ =

Esta ecuacin diferencial lineal es de primer orden y su solucin particular es de la forma ( ) j tI t Ke

= . Sustituyendo esta funcin

corriente resulta,

0

j t j t j tRKe j LKe V e + =

de donde 0VKR j L

=

+

e ( ) 0 j tV

I t eR j L

=

+

. La relacin entre las funciones de tensin e intensidad de corriente pone de manifiesto que

impedancia es un nmero complejo cuya parte real es el valor deR y cuya parte imaginaria es L:

( )

( )0

0

j t

j t

V t V eZ R j L

VI te

R j L

= = = +

+

7Fig. 7 Fig. 8

Consideremos ahora un circuito serieRCcon la misma tensin aplicada ( ) 0j t

V t V e

= , como indica la Fig. 8. En este caso,


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( ) ( ) 01 j tRI t I t dt V eC

+ =

Haciendo ( ) j tI t Ke = y sustituyendo en la ecuacin anterio resulta,

0

1j t j t j tRKe Ke V ej C

+ =

de donde( )

0 0

1 1

V VK

R j C R j C= =

+ e ( )

( )0

1

j tVI t eR j C

=

. Por tanto.

( )( )

( )

( )00

1

1

j t

j t

V t V eZ R j C

VI t

eR j C

= = =

Una vez ms se observa cmo la impedancia es un nmero complejo cuya parte real es el valor de R y cuya parte imaginaria es, en e

caso, 1/C.Todo esto indica que los elementos de un circuito se pueden expresar mediante su impedancia compleja Z, la cual se puede situdirectamente sobre el diagrama del circuito, como indica la Figura 9.

Fig. 9

Ahora bien, como la impedancia es un nmero complejo se podr representar por un punto en el plano complejo. Adems, como

resistencia hmica no puede ser negativa, solo se precisan el primero y el cuarto cuadrante. La representacin grfica correspondiente llama diagrama de impedancias. (Vase Figura 10.)

Fig. 10. Diagramas de impedanciaLa resistenciaR corresponde a un punto sobre el eje real positivo. Una inductancia o reactancia inductivaXLse representar por un pun

del eje imaginario positivo, mientras que una capacitancia o reactancia capacitiva XC estar representada por un punto sobre el e

imaginario negativo. En general, una impedancia compleja Z se encontrar sobre el primero o el cuarto cuadrante, segn los element

que integren el circuito. El argumento de la forma polar deZest comprendido, segn lo dicho, entre 90 o bien /2 radianes.En todos los circuitos, excepto en aquellos que solo contienen elementos resistivos puros, la impedancia es una funcin de la frecuencia

ya que tantoXLcomoXcson funciones de . Por ello, cualquier impedancia compleja solo es vlida para aquella frecuencia a la que fcalculada.

Notacin fasorial

Considere la funcin ( ) j tf t re = . Representa un nmero complejo que depende del tiempo t. Sin embargo, su mdulo es constante e igu

a r. Haciendo una representacin grfica en los instantes t= 0, /2 y/4, como indica la Fig. 11, se pone de manifiesto la naturaleza la citada funcin.


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Fig. 11. Funcin

j tre

En efecto, para constante, el segmento gira en sentido contrario al de las agujas del reloj con velocidad angular constante. Si observa

proyecciones de este segmento giratorio sobre los ejes real e imaginario (vea Fig. 12), ver que coinciden con los trminos coseno y sen

respectivamente, de j te dados por la frmula de Euler.

Fig. 12

Se vio que por un circuito serieRL al que se le aplica una tensin V = V0sen tvoltios circula una corriente,I = I0sen (t- ) amperio

que est retrasada un ngulo respecto de la tensin, siendo = tan-1(L/R). Este ngulo de fase depende de las constantes del circuito

de la frecuencia de la tensin aplicada, pero nunca puede ser mayor de 90 o /2 radianes. En la Fig. 13(b) se han representado las form

de onda de VeIsu funcin de t. En la Fig. 13(a) se muestran un par de segmentos dirigidos que giran en el plano complejo en senticontrario al de las agujas del reloj con velocidad angular constante . Como los dos tienen la misma velocidad, el ngulo que forman,

fase, permanece constante. Adems, por el sentido de giro se deduce que la corriente est retrasada respecto de la tensin un ngulo .

a) b)Fig. 13

Las proyecciones del segmento giratorio sobre el eje imaginario son, exactamente, las funciones representadas. Esto se deduce de frmula de Euler, ya que la parte imaginaria de la funcin exponencial es la funcin seno.

Considere una funcin de tensin general ( ) ( )0j t

V t V e +

= siendo la fase inicial de la misma, es decir, en el instante inicial t= 0. Apliq

esta tensin a un circuito de impedancia jZe =Z , (-/2 /2).En estas condiciones, la intensidad de corriente viene dada por:( )

( ) ( ) ( )( )

0 0 00 0, es decir,

j t j t

j t j t j t

j j

V e V V ee I e I e

Ze Z Ze

+ +

+ + +

= = =


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Esta ecuacin pertenece al dominio del tiempo, ya que ste aparece explcitamente en las expresiones de la corriente y de la tensin.

continuacin, se hacen dos cambios en dicha ecuacin para representar los fasores. En primer lugar, se multiplica la igualdad por e

para eliminar el tiempo. Despus, se multiplica por1 2 para obtener los valores eficaces de corriente y tensin, as:

( )( )

( )

00

0 0

2 2

2 2

j tj t j tj t

j

jj

j

V ee eI e

Ze

I V ee

Ze

V

I Z

+

+

=

=

=

VI =

Z

Esta ecuacin es la transformada de la anterior al dominio de la frecuencia. En ella no aparece el tiempo. Sin embargo, la variacin contiempo est bien clara. En la siguiente expresin, los smbolos VeIsin subndices indican los valores eficaces de la tensin e intensid

de corriente respectivamente. La ltima expresin relaciona las magnitudes complejas I, V y Z y como tales deben considerarse, esto

con su mdulo y su argumento. Esta ltima frmula es el equivalente fasorialde la ley de Ohm que, a veces, se llamaforma compleja

forma vectorial, de la ley de Ohm.

(a) Dominio del tiempo (b) Dominio de la frecuenciaFig. 14

En la Fig. 14(a) se representan, en el plano complejo, las funciones de tensin e intensidad de corriente expresadas en forma exponenci

Dicha representacin pertenece al dominio del tiempo t, el cual aparece explcitamente. En la Fig. 14(b) se representan los fasores

tensin e intensidad de corriente respectivos. Los mdulos son 1 2 veces los correspondientes de la Fig. 14(a) y no aparece el tiempo

forma explcita. Sin embargo, el ngulo y el mdulo de la intensidad depende de la frecuencia, razn por la cual diremos que la F14(b) es una representacin en el dominio de la frecuencia.

CIRCUITOS SERIE Y PARALELO

Un circuito contiene, en general, elementos en serie y elementos en paralelo. Sin embargo, se trata por separado unos circuitos de otr

examinando los diferentes mtodos de anlisis. Los problemas de circuitos son combinaciones en serie y en paralelo.

Circuito serieEl circuito serie de la Fig. 15 se compone de una fuente de tensin y tres impedancias. La fuente de tensin se supone constante y es

encargada de mantener la diferencia de potencial necesaria en el circuito. El fasor intensidad de corriente I al circular por las distint

impedancias produce unas diferencias de potencial en bornes de cada una de ellas que representan unas cadas de tensin. La segunda ley

Kirchhoff establece que en toda malla o circuito cerrado la suma de las fuerzas electromotrices aplicadas o subidas de tensin es igual a la sumalas cadas de tensin producidas. Esta sencilla ley proporciona la solucin de todo circuito serie.

Fig. 15. Circuito serie

( )1 2 3 1 2 3 1 2 3 eqV = V + V + V = Z I+ Z I + Z I = Z + Z + Z I = Z I

de donde,

y =eq 1 2 3

eq

VI = Z Z + Z + Z

Z


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La cada de tensin en un elemento viene dada por el producto de la impedancia compleja Z por el fasor intensidad de corriente I: As, el circuito de la Fig. 15, V1 = Z1I, V2 = Z2I y V3 = Z3I. Las flechas marcan el sentido de referencia de estas tensiones de manera que

punto o terminal por donde entra el fasor intensidad est a ms potencial que por donde sale. (Cada de tensin.)

La impedancia equivalente Zeq de un nmero cualquiera de impedancias en serie es la suma de las impedancias individuales, es decir, Zeq(Zt + Z2 + Z3 + ...). Estas impedancias son nmeros complejos y su suma conviene hacerla expresando las impedancias en form

binmica (parte real ms parte imaginaria).

Circuito paralelo

En la Fig. 16(a) se muestra una fuente de tensin aplicada a una asociacin en paralelo de tres impedancias. En la Fig. 16(b) se repiteesquema del circuito para hacer resaltar el hecho de que la fuente y las impedancias solo tienen dos nudos comunes. En cualquiera de ell

se puede aplicar la primera ley de Kirchhoff, es decir, la suma de las intensidades de corriente que entran en un nudo es igual a la sumde las intensidades que salen de l.

Fig. 16. Circuito paralelo

La tensin constante que suministra la fuente aparece directamente en cada una de las ramas de las impedancias. Por tanto, en este caso puede obtener, independientemente, las intensidades de corriente que circulan por cada rama.

T 1 2 3

1 2 3 1 2 3 eq

V V V 1 1 1 VI = I + I + I = + + = V + + =Z Z Z Z Z Z Z

Por tanto,T

eq eq 1 2 3

V 1 1 1 1I = y = + +

Z Z Z Z Z

Es decir, la impedancia equivalente de un nmero cualquiera de impedancias en paralelo viene dada por

1/Zeq = 1/Z1 + 1/Z2 + 1/Z3 +

Circuito de dos ramas en paraleloEn la prctica es muy frecuente encontrarse con circuitos a base de dos impedancias en paralelo, razn por la cual merece la pena dedica

un estudio independiente. Las impedancias Z, y Z2 de la Fig. 6-7(a) tienen aplicada una tensin V. La impedancia equivalente viene dapor1/Zeq = 1/Z1 + 1/Z2 o bien Zeq = Z1Z2/(Z1 + Z2).

Fig. 17. Circuito paralelo de dos ramas

Sustituyendo V = ZeqIT = Z1Z2/(Z1 + Z2)ITen donde V = Z1I1 y V = Z2I2 y despejando las intensidades de corriente por cada rama

obtienen,

y

2 11 T 2 T

1 2 1 2

Z ZI = I I = I

Z + Z Z + Z.

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