Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de Matematica

Apunte de Matematica IV (MAT024)

2do Semestre 2010

Curvas

Ayudantes: Sebastian Quevedo, Hugo Salazar

Se define una curva en el espacio, la que esta dada por su vector posicion, el cual puede ser escrito de la siguienteforma:

r (t) = x (t) i+ y (t) j + z (t) k

o bien,(x (t) , y (t) , z (t))

con t ∈ [a, b].

Sea entoncesr (t) = x (t) i+ y (t) j + z (t) k

la ecuacion que describe el movimiento de una partıcula en el espacio. Entonces definimos: la velocidad de lapartıcula en estudio como:

v (t) = r′ (t)

Asimismo, la aceleracion de la partıcula queda descrita por:

a (t) = v′ (t) = r′′ (t)

Observacion Si la funcion v (t) representa la velocidad de una partıcula entonces: representamos la rapidez deuna partıcula como:

||v (t) || = ||drdt|| =

√(dx

dt

)2

+(dy

dt

)2

+(dz

dt

)2

Definicion Par un movimiento circular en el plano, descrito por r (t) = r0 cosωti+r0 senωtj con r0 y ω constantes,entonces es evidente que a (t) = r′′ (t), que llamaremos vector acelecracion apunta en direccion opuesta al vectorr (t). Dado esto llamaremos a ese vector aceleracion como Aceleracion centripeta.

Definicion: Cuando las componentes de una funcion vectorial r tienen primeras derivadas continuas y r′ 6= 0 ,∀ t ∈(a, b) entonces se dice que r es una funcion suave, y la curva C trazada por r se denomina curva suave.

Si r (t) = x (t) i+ y (t) j + z (t) k es una funcion suave, entonces se puede demostrar que la longitud de curva, sde la curva suave trazada por r esta dada por:

s =∫ b

a

‖r′(t)‖ dt

Observacion: Es evidente entonces que si ‖r′(t)‖ = 1,∀t ∈ (a, b) =⇒ s = t − a y recıprocamente ocurre igual.Ademas si r′(t) = 0 =⇒ s = t

Definicion: Una curva en el plano esta parametrizada por su longitud de arco si cumple que ‖r′(t)‖ = 1

Ejemplo: Sea α(θ) = (r cos θ, r sen θ), con r > 0, entonces α′ = (−r sen θ, r cos θ) y, por tanto ‖α′ (θ) = r, entoncess(t) = rt, con lo que la inversa es t(s) = s

r . Entonces, la parametrizacion segun longitud de arco es:

β (s) =(r cos

s

r, r sen

s

r

)

Sea r (t) una curva, entonces se asocian a ella tres vectores unitarios, que siguen la regla de la mano derecha y sonortogonales entre sı (Triedro de Frenet-Serret), y estos son:

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•−→T (t) : Vector Tangente (tangente a la curva), el que esta dado por:

−→N (t)×

−→B (t), o bien:

−→T (t) =

r′ (t)‖r′ (t) ‖

•−→N (t) : Vector Normal (Perpendicular a la curva, y en direccion al centro del cırculo osculador, el que estadado por:

−→B (t)×

−→T (t), o bien:

−→N (t) =

[r′ (t)× r′′ (t)]× r′ (t)‖ [r′ (t)× r′′ (t)]× r′ (t) ‖

•−→B (t) : Vector Binormal (Perpendicular a la curva, Vector tangente y Vector Normal), el que esta dado por:−→T (t)×

−→N (t), o bien:

−→B (t) =

r′ (t)× r′′ (t)‖r′ (t)× r′′ (t) ‖

Es completamente evidente, por la forma en que se define cada uno de los vectores, que estos son perpendicularesentre sı.

Ademas de lo anterior, se definen propiedades importantes asociadas a una curva, las cuales son:

• Curvatura: se define como una medida de cambio en la direccion del Vector Tangente. A mayor rapidez decambio, mayor es la curvatura, la que se define como sigue:

κ (t) =‖r′ (t)× r′′ (t) ‖‖r′ (t) ‖3

=‖T ′ (t) ‖‖r′ (t) ‖

Si s es el parametro de longitud de arco y T = drds es el vector unitario tangente, entonces la curvatura puede

definirse como:

κ =∥∥∥∥dTds

∥∥∥∥De lo anterior, se define el radio de curvatura, como

1κ (t)

• Torsion: Tambin se define como una medida de cambio, pero del Vector Binormal alrededor del VectorTangente, a mayor rapidez de cambio, mas retorcida sera la curva. Si como resultado la torsion es cero,entonces la curva esta completamente contenida en el plano. La torsion esta definida por:

τ (t) =r′ (t) · (r′′ (t)× r′′′ (t))‖r′ (t)× r′′ (t) ‖2

Por otra parte, tenemos el Plano Osculador (plano que contiene en cada punto de la curva a su Vector Tangentey a su Vector Normal). Si hacemos referencia a una partıcula cuya trayectoria esta por sobre una curva, el planoosculador coincide con el plano que contiene la velocidad y aceleracion de la partıcula en cada punto. El PlanoOsculador viene dado por:

det

∣∣∣∣∣∣x− x0 y − y0 z − z0x′

0 y′0 z′

0

y′0z

′′0 − y′′

0 z′0 z′

0x′′0 − z′′

0x′0 x′

0y′′0 − x′′

0y′0

∣∣∣∣∣∣ = 0

donde,(x0, y0, z0), un punto de la trayectoria.(x′

0, y′0, z

′0), vector velocidad en el punto considerado anteriormente.

(x′′0 , y

′′0 , z

′′0 ), vector aceleracion en dicho punto.

(x, y, z), coordenadas de un punto generico del Plano Osculador.

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o bien,[(x, y, z)− (x0, y0, z0)] ·

−→B (t) = 0

De aquı se define ademas el Cırculo Osculador, el cual esta contenido en el Plano Osculador y es tangente a lacurva. El centro de este esta dado por:

rc (t) = r (t)− ‖r′ (t) ‖2 (r′ (t) · r′′ (t))‖r′ (t)× r′′ (t) ‖2

· r′ (t) +‖r′ (t) ‖4

‖r′ (t)× r′′ (t) ‖2· r′′ (t)

Una forma mas sencilla es reparametrizar segun longitud de arco y luego tenemos:

rc (s) = r (s) +r′′ (s)‖r′′ (s) ‖2

Asimismo, ademas del plano osculador existe el Plano Normal, que esta formado por ~N y ~B y el Plano Recti-ficador que esta formado por ~T y ~B

Supongamos que una particula se mueve en el espacio segun r (t). Ya mencionamos que la velocidad es v (t) = r′ (t)y su rapidez es ||v (t) || =

∥∥drdt

∥∥ = dsdt . Entonces v (t) = vT . Derivando obtenemos la aceleracion.

a (t) = vdT

dt+dv

dtT

Reemplazando la ecuacion llegaremos a:a (t) = anN + atT

De aqui decimos que an es la componente normal de la aceleracion y que at es la componente tangencialde la aceleracion. Donde:

an = κv2 y at =dv

dt

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