Apunts de Transferència de Calor per Radiació i Exercicis...Apuntes de transmisión de calor por radiación CTTC (UPC) Centro Tecnológico de Transferencia de Calor (CTTC) - 2 -

Centro Tecnológico de Transferencia de Calor ETSEIAT

Departament de Màquines i Motors Tèrmics

Centre Tecnològic de Transferència de Calor

Escola Tècnica Superior d’Enginyeria Industrial i Aeronàutica de Terrassa Colom 11, E-08222 Terrassa Tel. 93 – 739 81 92 Fax. 93 – 739 81 01 [email protected] http://www.cttc.upc.edu

UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE CATALUNYA

UPC

Proposta de problemes i recull d’exàmens de l’assignatura de

Calor i Fred Industrial

6è curs d’Enginyeria Industrial, pla 93

C.D.Pérez-Segarra, A.Oliva, M.Costa, J.Cadafalch

Primavera 2000

TRANSFERÈNCIA DE CALOR ETS Enginyeria Industrial i Aeronàutica de Terrassa

Apunts de Transferència de

Calor per Radiació i Exercicis

C.D.Pérez-Segarra, J.Castro, A.Oliva, R.Capdevila

Abril 2013

Apuntes de transmisión de calor por radiación CTTC (UPC)

Centro Tecnológico de Transferencia de Calor (CTTC) - 1 - ETSEIAT

Transmisión de calor por radiación Índice:

A. Conceptos básicos

1. Introducción

2. Intensidad radiante específica

3. Flujo radiante sobre (o desde) una superficie arbitraria dA

4. Radiación del cuerpo negro

5. Caracterización de superficies reales 5.1 Distribución direccional y espectral de la emisividad para metales

5.2 Distribución direccional y espectral de la emisividad para materiales no conductores

6. Ecuación general de la transmisión de calor por radiación

7. Radiación en gases

B. Método de las radiosidades

8. Radiación térmica sobre o desde una superficie Ak

9. Factor de vista Fik

10. Método de las radiosidades

C. Tópicos sobre energía solar y radiación terrestre

D. Ejercicios



A. Conceptos básicos

1. Introducción top

De la ecuación de conservación de la energía,

VS

n

SS

c

V

c dVbvdSfvdSnqdSnveudVeut

)(

identificamos el término q como flujo calorífico por conducción (transporte molecular) y/o radiación. Mientras que la conducción encuentra su justificación en mecanismos de transporte a nivel molecular, la radiación presenta una naturaleza dual (ondulatorio-corpuscular). De una parte en forma de ondas electromagnéticas (explica fenómenos de interferencia, difracción,...), de otra como flujo de fotones liberados por las moléculas-átomos en estado de excitación (explica efecto fotoeléctrico, potencia emisiva cuerpo negro,...).

Es importante tener presente el carácter direccional y espectral de la radiación.

La radiación en una dirección determinada s

se caracteriza por poseer una longitud de onda , una frecuencia (o frecuencia angular 2 ), y una velocidad de

propagación c . Obviamente, c (ver unidades: s

osc

osc

m

s

mc ). Tanto la

longitud de onda como la velocidad de propagación dependen de la frecuencia, y cc . En el vacío, la velocidad de propagación de las ondas

electromagnéticas es constante, y corresponde a la máxima velocidad de propagación skmcc o /000.300 .

La energía asociada a un fotón es una cantidad discreta que depende únicamente de su frecuencia: he , donde h es la constante de Planck ( Jsh 3410626.6 ).

Cuando la radiación (en general las ondas electromagnéticas) pasan de un medio a otro de diferente densidad sufren un cambio de dirección, modificándose la velocidad de propagación y la longitud de onda, aunque la frecuencia se mantiene.

Si consideramos el paso desde el vacío al medio en cuestión, podemos definir el índice de refracción del medio como: ccn o / .

De acuerdo con la ley de Snell, sin/sin on . Como 1n o .

Para el aire (y en general gases) 00024.1n . Para el agua 33.1n ; para el hielo 31.1n ; para cuarzo (y algunos vidrios) 54.1n . Todo ello para longitudes de onda correspondientes a la luz amarilla ( m 59.0 ).

o

o

c

o

o

oc



Espectro de radiación electromagnética1:

Notad las distintas zonas (obviamente no existe un límite claramente diferenciado):

o Zonas de longitudes de onda bajas ( 0.1 ), y por tanto elevadas frecuencias (rayos- , rayos- , ultravioleta). Notad que el tamaño de las moléculas es del orden de angstrom (1 10 10 ).

o Zona de radiación térmica (0.1 100 ). Dentro de zona térmica se distinguen varias franjas: i) ultravioleta ( 0.4 ); ii) visible (0.4

0.7 ); iii) infrarrojo ( 0.7 );

o Zona de longitudes de onda elevadas: microondas y ondas de radio (100 ).

La radiación térmica se origina como consecuencia del estado de excitación interno de la materia (movimiento de átomos y moléculas). Este movimiento se asocia a la energía interna y, por tanto, a la temperatura del cuerpo. Así, por el mero hecho de estar un cuerpo a cierta temperatura emite energía radiante a distintas frecuencias (o longitudes de onda). Mediante la ley de Wien, . . 2900 , podemos calcular fácilmente la longitud de onda a la que se da la potencia emisiva máxima. Por ejemplo, la energía radiante emitida por el Sol se asemeja a la de un cuerpo negro a una temperatura aproximada de 5800 K. Eso significa que la longitud de onda a la que se da esa potencia emisiva máxima es: 2900/5800 0.5 (claramente dentro del visible). En cambio, un cuerpo a temperatura ambiente, e.g. 290 K, la longitud de onda correspondiente a la potencia emisiva máxima sería 10 (claramente dentro del infrarrojo).

Comentarios:

o A diferencia de la conducción y la convección, la radiación no requiere de soporte material (la máxima facilidad de transporte es precisamente en el vacío).

1 Gráfico de F.P.Incropera, D.P.DeWitt, “Fundamentals of Heat and Mass Transfer”, John Wiley & Sons, 4th

edition, New York, 1996.



superf. normal a direcc. propag. s

s

d I: energía por unidad de superficie y tiempo asociada a los fotones que se mueven en la dirección s

, dentro del

ángulo sólido d, y cuyas longitudes de onda se encuentren entre y +d.

o La energía radiante crece exponencialmente con la temperatura absoluta ( ).

o A diferencia de la conducción y la convección, la radiación en un punto determinado puede tener poco o nada que ver con la temperatura local en dicho punto.

o En los estudios de radiación térmica las longitudes características son, en general, mucho mayores que las longitudes de onda de la radiación (ℓ ). En este caso, resulta conveniente un planteamiento del problema en términos de flujo de fotones (liberados por las moléculas-átomos en estado de excitación) que viajan en línea recta (si índice de refracción constante) hasta que son absorbidos o desviados/dispersados por otros átomos.

2. Intensidad radiante específica top

Considera que por unidad de volumen tenemos n fotones, cuyas longitudes de onda

se encuentran entre y d , que se mueven en una dirección determinada s

y dentro de un ángulo sólido d .

La energía que transportan esos fotones se evalúa a través de una magnitud fundamental denominada intensidad de radiación espectral-direccional, o más brevemente intensidad radiante específica, I . Esta magnitud expresa la cantidad de energía radiante que se propaga en una dirección determinada s

, por unidad de

tiempo, por unidad de superficie (normal a la dirección de propagación s

), por unidad de ángulo sólido (alrededor de s

) y por unidad de longitud de onda (alrededor de ):

s

mc

fotón

Je

msrm

fotonesnúmeron

msrm

WI 32

he

nchI

La intensidad específica de radiación la podemos expresar de forma equivalente en términos de la frecuencia. Así, I representa la energía radiante que se propaga en

una dirección determinada s

, por unidad de tiempo, por unidad de superficie (normal a la dirección de propagación s

), por unidad de ángulo sólido (alrededor de s

) y por

unidad de frecuencia (alrededor de ). La posible ventaja de trabajar con I en lugar

de I radicaría en el hecho de que al propagarse la radiación de un medio a otro su frecuencia se mantiene, no así su longitud de onda.



Antes de continuar recordemos brevemente el concepto de ángulo sólido y algunos aspectos sobre coordenadas esféricas. Al igual que el ángulo (en radianes) se define como la relación entre la longitud del arco delimitado por la circunferencia y su radio (

r/ ), el ángulo sólido se define (en esteroradianes) como la relación entre el área delimitada sobre la esfera y su radio al cuadrado ( 2/ rA ). Obviamente, el ángulo sólido abarcado por una semiesfera será 2 y por toda la esfera será 4 .

Consideremos sobre la esfera un área diferencial rddrdA sin , el ángulo sólido abarcado será ddd sin ( es el ángulo polar y el ángulo azimutal).

Planteemos dos ejercicios sencillos. El primero consiste en calcular el área de la semiesfera:

22/0

2

2/

0

2

0

2

2

2

2cos2

sin

rr

ddrdrA

El segundo consiste en evaluar la siguiente integral:

3. Flujo radiante sobre (o desde) una superficie arbitraria dA top

La cantidad de energía radiante que incide (o abandona) una determina superficie dAnAd

, por unidad de tiempo, por unidad de superficie (de normal n

), por unidad de ángulo sólido y por unidad de longitud de onda es:

cosInsIq

Comentarios:

o 0q energía radiante incidente sobre la superficie ( 2/ );

0q energía radiante que abandona la superficie ( 2/ ).

o I representa el flujo de energía radiante (por unidad de tiempo, longitud de onda y ángulo sólido) referido a la superficie normal a la dirección de

2/

02

2/

0

2

0

2

sinsincos...

...cos

dd

d

rddrdA sin

x

cossinr

sinsinr

cosr

r

z

y

sinr

dA

n

s



propagación s

, mientras que q se refiere al flujo de energía radiante que

atraviesa el área arbitraria dAnAd

.

o Si n

coincide con s

, entonces Iq . En cambio, si n

es perpendicular

a la dirección s

de propagación de la radiación, 0q .

Imaginemos ahora que sobre una superficie opaca de normal n

incide una energía radiante de longitud de onda en una determinada dirección s

, )(iqq . Parte de

esta energía es reflejada por la superficie, )(rq , y parte es absorbida, )(aqq .

Obviamente, )()()( ari qqq . Nota: cuando utilizamos los superíndices nos referimos a

cantidades en valor absoluto ya que la dirección (hacia o desde la superficie) está ya explicitada en el superíndice.

Se define la absortividad específica (direccional y espectral), de esa superficie, como la fracción de la energía radiante incidente que es finalmente absorbida:

)(

)(

i

a

q

q

El fenómeno de reflexión depende de la radiación incidente, de la longitud de onda, de la dirección, características del material (rugoso/liso, pulido/oxidado,...), de la temperatura, etc. Dada la complejidad de este fenómeno, se acostumbra a diferenciar dos tipos extremos de reflexión:

o Reflexión especular (ángulo reflexión idéntico al de incidencia).

o Reflexión difusa (la dirección en la que se refleja la radiación es independiente del ángulo de incidencia, es decir, la probabilidad de que el fotón se refleje en cualquier dirección es la misma).

Además de la energía radiante incidente, y su descomposición en energía absorbida y reflejada, hemos de considerar también la energía emitida (por unidad de superficie, tiempo, longitud de onda y ángulo sólido) por la propia superficie, )(eq .

Así, el flujo radiante emisivo cos)()( ee Iq representa la energía radiante que

abandona una determina superficie de normal n

, en una dirección determinada s

y para una longitud de onda . Nos puede interesar también la cantidad de energía emitida en todas las direcciones (para una longitud de onda dada), o bien la energía emitida en todas las longitudes de onda (para una dirección dada), o bien la energía emitida en todas las direcciones y en todas las longitudes de onda. Esto es:

o Potencia emisiva hemisférica:

2

)(

2

)()( cos dIdqq eee

o Potencia emisiva total:

0

)(

0

)()( cos

dIdqq eee



o Potencia emisiva hemisférica total:

0 2

)(

0 2

)()( cos

ddIddqq eee

4. Radiación del cuerpo negro top

Por definición, un cuerpo negro es aquel que absorbe toda la radiación incidente (en cualquier dirección y longitud de onda). Por ello, 1 .

No existe ningún cuerpo real que se comporte exactamente como un cuerpo negro. Por ejemplo, la pintura blanca absorbe relativamente poca radiación del visible (de ahí su color blanco), sin embargo absorbe la mayor parte de la radiación que le llega del infrarrojo (ver tabla 9-3 en sección 5 de este escrito).

No obstante, es posible en el laboratorio hacer experimentos que simulen hipotéticas superficies negras. Por ejemplo, una cavidad por la que entra radiación a través de un pequeño orificio se comporta como un cuerpo negro. La radiación que atraviesa dicho orificio va rebotando en las paredes internas de la cavidad y se va absorbiendo paulatinamente en la misma. La probabilidad de que esos fotones entrantes puedan salir de la cavidad es muy baja. El orificio se comporta entonces como una superficie negra, i.e. absorbe toda la radiación incidente sea cual sea su dirección y longitud de onda. Por supuesto, si las paredes de la cavidad fueran perfectamente reflectantes los fotones acabarían encontrando la salida.

Al igual que entra radiación en el recinto, sus paredes emiten radiación en todas direcciones. Es por ello que parte de esa radiación apuntará directamente al orificio y saldrá de la cavidad. Dicha radiación emitida es la que corresponde a un cuerpo negro a la temperatura del recinto. Además observamos que es la misma sea cual sea la dirección.

Otra característica importante del cuerpo negro es que la energía radiante que emite a una cierta temperatura es la máxima físicamente posible. Empíricamente Stefan (1879) obtuvo la potencia emisiva (hemisférica-total) del cuerpo negro: 4)( Tq e

b , donde 428 /106705.5 KmW y T es la temperatura absoluta. Más tarde, Boltzmann (1884)

obtuvo esta misma expresión teóricamente mediante análisis termodinámicos.

La deducción teórica de la intensidad específica del cuerpo negro no llega hasta el año 1901, cuando Planck postula que la energía no se transfiere de forma continua (idea totalmente consolidada en ese momento) sino en unidades discretas de energía (denominados “cuantos” de energía o fotones). La ley que dedujo fue:

1

12/5

2)(

,

kThce

b e

hcI

o 1

12/2

3)(

,

kThe

b ec

hI

2

donde: T en K ; ncc o / ; c ; Jsh 3410626075.6 ; KJk /10380658.1 23 ;

smco /10997925.2 8 .

2 dIdcIdI e

be

be

b)(

,2)(

,)(

, / .



Integrando en todas las direcciones de la semiesfera obtendríamos la potencia emisiva

hemisférica: 1

12coscos

/5

2)(

,

2

)(,

2

)(,

)(

kThc

eb

eb

eb

eb e

hcIdIdIq

. La

gráfica que se adjunta muestra precisamente las funciones Tfq eb ,)( (3) en el vacío.

La potencia emisiva total en el vacío será:

4

0

)(,

)(, cos...cos

TdIq e

be

b

.

Integrando además en todas las longitudes de onda obtendríamos la potencia emisiva

hemisférica total en el vacío: 4423

45

0 2

)(,

)(

15

2...cos TT

ch

kddIq

o

eb

eb

. Este

valor es precisamente el área encerrada por la isoterma correspondiente en el gráfico anterior.

La evaluación de la potencia emisiva hemisférica total de 0 a una arbitraria puede realizarse con relativa facilidad mediante un proceso de integración numérica (regla del punto medio o mejor la regla de Simpson). Alternativamente, la tabla que se adjunta4 permite evaluar la función que representa el peso relativo de esa integral respecto de la integral a todas las longitudes de onda (i.e. ). Para evaluar desde

la tabla se entra con en . Así, , , .

3 Gráfico de Y.A.Cengel, “Heat Transfer. A Practical Approach”, McGraw-Hill, Boston, 1998. 4 Cengel, op.cit.



A la vista de todos estos resultados podemos destacar: o La intensidad específica del cuerpo negro no depende ni de la dirección

(emisión isotrópica o difusa), ni del tipo de material. De hecho, solo depende de la temperatura y de la longitud de onda, TfI e

b ,)(, .

o Cuanto mayor es la temperatura menor es la longitud de onda correspondiente al máximo de energía radiante. La ley de desplazamieno de Wien refleja este hecho: . . 2900

La potencia emisiva de un cuerpo real se suele expresar tomando la del cuerpo negro como referencia y definiendo lo que se conoce como emisividad específica (direccional y espectral):

)(

)(

eb

e

q

q



De la ley de Planck del cuerpo negro podemos obtener el siguiente resultado de interés. Desde 0T a mKT 1448 , mK2898 , mK4107 , mK6148 y mK22890 el cuerpo negro emite un 1%, 25%, 50%, 75% y 99% respectivamente de la potencia emisiva hemisférica total ( 4T ). La tabla que se adjunta nos da la longitud de onda correspondiente a las fracciones de energía indicadas y para distintas temperaturas.

T (K) Pot. emisiva ( ) (W/m2)

El 1% es desde 0 a

El 25% es desde 0 a

(*)

El 50% es desde 0 a

El 75% es desde 0 a

El 99% es desde 0 a

30 0.046 48.27 96.60 136.90 204.93 763.00

300 459 4.83 9.66 13.69 20.49 76.30

1000 5.67·104 1.45 2.90 4.11 6.15 22.89

2000 9.07·105 0.72 1.45 2.05 3.07 11.45

5800 6.42·107 0.25 0.50 0.71 1.06 3.95

(*) Esta longitud de onda corresponde al máximo de potencia emisiva.

5. Caracterización de superficies reales top

Aparte de la reflectividad, hemos definido hasta el momento dos propiedades radiantes fundamentales: la absortividad específica, )()( / ia qq , y la emisividad específica,

)()( / eb

e qq .

Mediante argumentos de equilibrio termodinámico, Kirchhoff dedujo una ley de gran importancia: la denominada ley de Kirchhoff de la radiación, TT .

Tanto la absortividad como la emisividad pueden definirse integradas a toda la semiesfera (la propiedad así definida se denomina hemisférica):

dI

dI

q

qi

i

i

a

cos

cos

2

)(

2

)(

)(

)(

;

dI

dI

q

qe

b

eb

eb

e

cos

cos

2

)(,

2

)(,

)(

)(

De forma similar, estas propiedades podrían integrarse a todas las longitudes de onda (la propiedad que resulta se denomina total; notad que cos se cancela):

0

)(

0

)(

0

)(

0

)(

)(

)(

cos

cos

dI

dI

dI

dI

q

q

i

i

i

i

i

a

;

0

)(,

0

)(,

0

)(,

0

)(,

)(

)(

cos

cos

dI

dI

dI

dI

q

q

eb

eb

eb

eb

eb

e

Si integramos estas propiedades a toda la semiesfera y a todas las longitudes de onda (entonces se denominan hemisférica-total) tenemos



2 0

)(

2 0

)(

)(

)(

cos

cos

ddI

ddI

q

q

i

i

i

a

42 0

)(,

)(

)(cos

T

ddI

q

q

eb

eb

e

Las tablas5 que se adjuntan (inferior y derecha) muestran valores típicos de la emisividad para distintos materiales y a temperatura ambiente. La tabla de la derecha muestra también valores típicos de la absortividad de distintos materiales a la radiación solar (longitudes de onda bajas).

Además de la absortividad, de la emisividad y de la reflectividad, hemos de tener presente una nueva propiedad radiante en materiales semi-transparentes: la transmisividad (fracción de la energía radiante incidente que es transmitida). Asumimos que estas propiedades dependen únicamente del estado termodinámico y mecánico de la superficie (esencialmente temperatura, rugosidad y composición química).

La figura de la derecha6 indica, para el caso del vidrio, material semitransparente, la transmisividad en función de la longitud de onda y del espesor del material. Obsérvese la forma de U invertida de la gráfica y el comportamiento tan distinto del vidrio en la zona del visible de la zona del infrarrojo.

5 Cengel, op. cit., p. 509 y p. 517. 6 Cengel, op. cit., p. 514.



5.1 Distribución direccional y espectral de la emisividad para metales7 top

7 Gráficos de E.R.G.Eckert, R.M.Drake, “Analysis of Heat and Mass Transfer”, Hemisphere Publishing

Corporation, New York, p. 604-606, 1987.



5.2 Distribución direccional y espectral de la emisividad para materiales no conductores8 top

8 Eckert and Drake, op. cit., p. 609.



6. Ecuación general de la transmisión de calor por radiación top

Imaginemos que en un medio dado (gas, líquido o sólido semi-transparente), y en una determinada dirección s

, se propaga

una energía radiante de intensidad específica I por unidad de tiempo,

superficie (normal a la dirección de propagación s

), ángulo sólido (alrededor

de s

) y frecuencia (alrededor de ).

La ecuación general que buscamos debe expresar el principio de transporte de energía radiante, esto es:

La energía radiante− que entra al volumen diferencial de la figura, dsdAdV n , es

dddtdAI n . La que abandona dicho volumen es dddtdAdII n . Por tanto,

la energía neta radiante saliente por unidad de tiempo, volumen, ángulo sólido y frecuencia será: dsdI / .

Al pasar a través del volumen diferencial, parte de la energía radiante− es absorbida por el medio. Cuando decimos absorbida nos referimos a la transformación de energía radiante en energía térmica (i.e. en energía interna y que se traduce en aumento de temperatura). Se trata, por tanto, de una energía radiante “perdida” en dV . Si representa el coeficiente de absorción (i.e. la fracción de energía absorbida

de la energía que se propaga en esa dirección), la energía radiante absorbida será: ddtdVdI . Por unidad de tiempo, volumen, ángulo sólido y frecuencia esa

energía absorbida será: I .

Cuando la energía radiante pasa a través del volumen diferencial, parte de los fotones son desviados debido a colisiones. En lo que se refiere a la energía I esta dispersión

(en inglés” scattering”) implica también una “pérdida” de energía−. Si ,s

representa el coeficiente de dispersión (i.e. la fracción de la energía I que se

dispersa en otras direcciones), la energía radiante dispersada en otras direcciones será: ddtdVdIs , . Por unidad de tiempo, volumen, ángulo sólido y frecuencia

tendremos: Is , .

Al igual que parte de los fotones que se propagan en la dirección s

pueden ser dispersados en otras direcciones (ver punto anterior), es evidente que fotones de otras direcciones, digamos s

, pueden ser dispersados hacia la dirección s

. Este efecto

-

dsdAdV n

ndA

dII

I

s

ds

+=Energía radiante−

neta saliente a través de las caras

del volumen dV

Energía radiante− “perdida” en dV

Energía radiante− “ganada” en dV



implicaría “ganancia” de energía−. Evaluar esta contribución es algo más complicado que en el caso anterior. Primeramente deberíamos definir lo que se conoce como función de fase referida a la dispersión ss

y que representa la fracción

de energía radiante en la dirección s que es dispersada hacia la dirección s

(se trata

de una función de probabilidad). Para saber la contribución de todas las direcciones s

tendremos que hacer una integral a todas las direcciones ( 4 ). Así pues, la energía radiante dispersada desde otras direcciones a la dirección s

será:

ddtdVddssIs

4

,4

1 . Por unidad de tiempo, volumen, ángulo sólido

y frecuencia tendremos:

4

,

4dssIs

.

Nota: hemos asumido que las colisiones entre fotones provocan tan sólo cambio de dirección y no de frecuencia.

Existe otra fuente de “ganancia” de energía radiante− que es la debida a fenómenos de emisión/generación del propio medio. Esta energía emitida por el medio es consecuencia de la transformación de energía térmica (energía interna) en energía radiante. En la sección 5 de este escrito hablamos del cuerpo negro y cuantificamos con precisión la intensidad radiante específica emitida por este medio ideal. Nos referimos a esta energía con el subíndice “b” (de” black” en inglés): )(

,e

bI o, en

términos de la frecuencia, )(,e

bI . Si representa el coeficiente de emisión (i.e. el

cociente entre la energía real emitida por el medio respecto la que emitiría en las mismas condiciones suponiendo que fuese cuerpo negro), la energía radiante emitida será: ddtdVdI e

b)(

, . Recordemos que ley de Kirckhoff establece que en condiciones

de equilibrio térmico . Así, por unidad de tiempo, volumen, ángulo sólido y

frecuencia tendremos que la energía emitida por el medio es: )(,e

bI .

Finalmente, el balance de energía radiante por unidad de tiempo, volumen, ángulo sólido (alrededor de s

) y frecuencia (alrededor de ) quedaría en la forma:

IIdssIIds

dIs

seb ,

4

,)(, 4

coeficiente de extinción: ,s

albedo de dispersión: /,s

4

)(, 4

1dssIIS e

b

IS

ds

dI



Planteemos un ejercicio sencillo e interesante de aplicación de la ecuación general de la radiación. Imaginemos un flujo de energía radiante que se propaga a lo largo de la dirección x ( is

) y en un medio caracterizado por un coeficiente de extinción

espectral . Este valor se supone conocido y constante para cada frecuencia.

Supongamos también que la energía radiante que emite o dispersa el medio es despreciable. Si en una posición dada ( 0x ) la intensidad específica de radiación es conocida y de valor oI , podemos calcular la intensidad de radiación a lo largo de x.

Para el caso planteado tenemos que la ecuación general queda en la forma ( 0S ):

I

dx

dI . Integrando:

xo

x

x

xI

oI

eIxIdxI

dI

0

El resultado muestra como la intensidad de radiación cae exponencialmente con la distancia. El término x se denomina espesor óptico del medio.

Volviendo al planteamiento general, si conocemos la intensidad específica de radiación en un medio dado, el calor de radiación que atraviesa una superficie determinada S que encierra el volumen V es:

S

rad dSddnsIQ

4 0

Esta expresión se puede reescribir de forma equivalente introduciendo la ecuación general de la radiación:

V

ebrad dVddIIQ

4 0

)(,

en donde no aparecen los términos de dispersión ya que implican tan solo redistribución de energía radiante. De hecho, la integral a todas las direcciones y longitudes de onda (o frecuencias) de los términos de dispersión es idénticamente igual a 0.

xI

x

0 xIIo

y

x



7. Radiación en gases top

Ciertos gases como el oxígeno, hidrógeno, nitrógeno, o mezclas como el aire seco, se comportan, a temperaturas no muy altas, como medios transparentes a la radiación (i.e. puede considerarse despreciable la emisión/absorción de energía radiante).

No obstante, otros gases con moléculas polares como el CO2, el H2O, el CO, el NH3, el SO2, o la mayoría de los hidrocarburos, presentan unas características de absorción/emisión muy peculiares, localizando sus efectos en ciertos rangos estrechos de longitudes de onda o bandas. Se adjuntan más abajo los espectros de absorción del CO2 y del H2O(v).

Espectro absorción del dióxido de carbono9:

Espectro absorción del vapor de agua10:

9 Eckert and Drake, op. cit., p. 652. 10 Eckert and Drake, op. cit., p. 653.



B. Método de las radiosidades

8. Radiación térmica sobre o desde una superficie Ak top

Energía radiante emitida: )(ekq

Energía radiante incidente: )(ikq

o Energía radiante reflejada: )(rkq

o Energía radiante absorbida: )(akq

o Energía radiante transmitida: )(tkq

o Dado que: )()()()( tk

ak

rk

ik qqqq , y dado que la reflectividad k , la absortividad

k y la transmisividad k son definidos como fracciones de la energía incidente, se debe verificar que: 1 kkk .

o Para superficies opacas ( 0k ): 1 kk

En lo que sigue consideraremos únicamente el caso de superficies opacas. Por conveniencia agruparemos algunos de los términos ya definidos. Concretaremos hablaremos de irradiación y radiosidad, esto es:

o Irradiación o energía radiante incidente sobre la superficie: )(ikk qg .

o Radiosidad o energía radiante que abandona la superficie: )()( rk

ekk qqj .

El flujo de calor neto de radiación que, por unidad de superficie, abandona la superficie k será:

o kkkrad gjq ,

o Notad que este flujo calorífico tiene signo. Si es positivo el flujo neto es realmente saliente ( kk gj ). Si es negativo, el flujo neto es entrante ( kk jg ).

9. Factor de vista Fik top

Representa la fracción de la energía radiante que abandona la superficie iA y que incide

sobre la superficie kA . Por ejemplo, 7.034 F

significa que un 70% de la energía radiante que abandona la superficie 3 incide sobre la superficie 4.

kAd

k

i

ikd

iAd

)(tkq )(a

kq

)(ikq )(r

kq )(ekq



Imaginemos que ambas superficies “i” y “k” emitan y reflejen difusamente. La energía radiante que abandona la superficie idA y llega a kdA la podemos evaluar como:

iiik

kkiiii

iiii

ri

ei

ik dAd

dAjdAd

jdAd

qqQ

cos

coscoscos

2

)()(

Integrando obtendremos la energía radiante total que abandona la superficie finita iA

y que incide sobre la superficie finita kA :

iA kA

kiik

kiiik dAdA

djQ

2

coscos1

Si asumimos que ij se mantiene uniforme sobre la superficie iA , resulta la siguiente

expresión para el factor de vista:

iA kA

kiik

ki

iii

ikik dAdA

dAAj

QF

2

coscos1

De la expresión anterior es fácil deducir las dos importantes propiedades siguientes:

o Teorema de reciprocidad: kikiki FAFA (para cualquier superficie iA y kA )

o Recinto cerrado de N superficies:

N

kikF

1

1 ( Ni ,...,2,1 )

Para casos bidimensionales el factor de vista puede calcularse fácilmente a partir de la

expresión de Hottel: i

ik A

oCruzadosSumaHilosNruzadosSumaHilosCF

2

. Veamos dos

ejemplos:

Caso A:

112 2A

bdacbcadF

Caso B:

1

12 2A

bdqcaqbcadF

En otras situaciones deberemos intentar la integración (analítica o numérica) de la expresión general anterior para ikF o, si están disponibles, utilizar expresiones

obtenidas por otros autores (ver por ejemplo el handbook: J.R.Howel, “A Catalog of Radiation Configuration Factors”, McGraw-Hill College, New York, 1982; o por internet www.me.utexas.edu/~howell/).

Caso A Caso B

A2

A1

d c

b a

q

A2

A1

d c

b a



medio no participante

NN AT , ii AT ,

kk AT ,

22 , AT

11, AT

ig

kg 2g

2j

ij

kj1g

1j

10. Método de las radiosidades top

El objetivo es calcular el calor de radiación neto intercambiado entre las superficies de un recinto cerrado formado por N zonas isotermas (ver figura). Se supone que tanto la geometría, como las propiedades radiantes y las temperaturas de las distintas zonas/superficies son datos del problema.

Hipótesis:

Medio no participante (o transparente) a la radiación

Superficies isotermas con propiedades radiantes uniformes (en cada superficie).

Superficies grises (propiedades radiantes independientes de , i.e. y

) y emisión y reflexión difusa (propiedades radiantes independientes de la dirección, i.e. y ). Por tanto, de la ley de Kirchhoff ( ), se deduce que . Si consideramos que las superficies son opacas ( 0 ),se tiene que

1 (nota: esta hipótesis, 0 , no es inherente al método de las radiosidades).

Deducción de las ecuaciones:

Radiosidad superficie kA : kkkkk gTj 14

Irradiación en superficie kA :

N

i

kiki

N

i

ikiikk FAjFAjgA11

N

iikik jFg

1

Se trata de un sistema de N2 ecuaciones con N2 incógnitas NN gggjjj ,...,,,,...,, 2121 . Lo podemos transformar fácilmente en un sistema de N ecuaciones con N incógnitas Njjj ,...,, 21 simplemente introduciendo la expresión de la irradiación en la radiosidad. Reordenando:

42211

4222222221212

4111121211111

11...11

1...111

1...111

NNNNNNNNNN

NN

NN

TjFjFjF

TjFjFjF

TjFjFjF

Proceso general de cálculo:

1. Evaluar los factores de vista



2. Resolver las ecuaciones de las radiosidades:

42211

4222222221212

4111121211111

11...11

1...111

1...111

NNNNNNNNNN

NN

NN

TjFjFjF

TjFjFjF

TjFjFjF

3. Resolver las ecuaciones de las irradiaciones:

N

i

kiik Fjg1

(k=1,2,...,N)

4. Calcular el calor neto de radiación: kkkkkkrad gTgjq 4,

(k=1,2,...,N)

El sistema de ecuaciones de las radiosidades (punto 2 anterior) se puede resolver de forma directa mediante cualquier método estándar. También podemos utilizar un método iterativo. Por ejemplo, con un Gauss-Seidel sería:

1. Suponer las radiosidades. Por ejemplo, 4*kkk Tj (k=1,2,...,N)

2. Despejar la radiosidad kj de la ecuación k tomando como valores de las restantes radiosidades el valor supuesto o el último calculado:

NNN

NNNNNNNNNNN

NN

NN

F

jFjFjFTj

F

jFjFjFTj

F

jFjFjFTj

11

1...11

11

1...11

11

1...11

11,22114

222

*22

*33121212

422

2

111

*11

*3131

*2121

411

1

3. ¿Es max *kk jj ?. En caso negativo volver a 2 haciendo kk jj *

(k=1,2,...,N). En caso afirmativo el proceso ha acabado.

Para finalizar, conviene plantear el balance de energía sobre una superficie opaca contando los distintos flujos de calor involucrados (radiación, convección y conducción):

AqqqqqyAt

u erad

rrad

iradconvcond

)()()(

0y

0)()()( erad

rrad

iradconvcond qqqqq

A

condq

convq )(eradq )(r

radq )(iradq

y



C. Tópicos sobre energía solar y radiación terrestre top La transferencia de calor en la atmosfera involucra fenómenos de convección (laminar

y turbulenta), difusión (de masa y energía), cambio de fase (evaporación/condensación, fusión/ solidificación) y radiación como medio participante. Esta última fenomenología implica procesos acoplados de absorción, emisión y dispersión (“scattering”) de la radiación debido a la presencia de gases, partículas y aerosoles.

La figura que se muestra más abajo11 indica la distribución espectral de la radiación solar en la zona exterior de la atmósfera y justo en la superficie terrestre. Nótese los efectos de ciertos gases en los procesos de absorción por bandas de la energía

radiante.

Las características de emisión del Sol se aproximan a la de un cuerpo negro a una temperatura de aproximadamente 5800 K (da un máximo de emisión alrededor de 0.5 m).

Se denomina constante solar a la cantidad de energía radiante, integrada a todas las longitudes de onda, que llega a la órbita terrestre. Su valor medio por unidad de superficie es de 1366 W/m2, aunque fluctúa a lo largo del año, con un valor máximo de 1450 W/m2 en enero y uno mínimo de 1330 W/m2 en julio.

El albedo representa el porcentaje de radiación solar que refleja una determinada superficie. Para el caso de nieve reciente el albedo es del 90%. El albedo de las nubes es también bastante alto (en promedio del 50%). Los desiertos y bosques tienen un albedo promedio del 20% y 8% respectivamente. La ceniza presenta un albedo muy bajo, 4%. El albedo medio de la tierra es del orden del 30%.

11 http://www.globalwarmingart.com/wiki/File:Solar_Spectrum_png

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AlaDrapr

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0.711 0.0056 7.3 · 10 0.013/

donde , y representan, respectivamente, la temperatura de cielo, del aire ambiente y la de rocío (todas en grados Celsius) y la hora a partir de medianoche ( 0,1,2, … ,24).

Las figuras de Cengel14 representan claramente el efecto de la inclinación de los rayos solares y las dos fuentes de energía radiante (solar y atmosférica) sobre la superficie terrestre.

Balance energético en la atmosfera15.

Finalmente, y para el caso concreto de Barcelona, la temperatura de cielo se sitúa entre –20 y –6 ºC en diciembre, y entre 0 y 19 ºC en julio. La radiación máxima total (directa+difusa) es de unos 350 W/m2 en diciembre y de unos 760 W/m2 en junio. Finalmente, la radiación media horaria toma un valor de 15.04 MJ/m2día (174W/m2), con valores mínimos de 6.04 MJ/m2día en diciembre y máximos de 24.02 MJ/m2día en junio.

14 Cengel, op. cit., p.515 y p. 517. 15 http://www.windows.ucar.edu/tour/link=/earth/Atmosphere/earth_atmosph_radiation_budget.html



D. EXERCICIS top

D1. Exercicis i problemes de radiació

1) Preguntes curtes de teoria:

a) Comenta la llei de Planck de la intensitat específica del cos negre i dibuixa de forma aproximada com és gràficament.

b) Defineix el concepte d’intensitat específica de radiació, Iλω, i indica’n les unitats. Imagina que l’expressió que determina la intensitat específica de radiació en funció de la longitud d’ona, en

la direcció determinada pel vector kjis

05

2

5

1 , és Iλω=2λ2 – 0.8e-3λ. Calcula el flux

radiant específic sobre la superfície de normal kjin

123

1

123

1

123

11 . Calcula

també la intensitat total entre les longituds d’ona λ=0.1 i λ=100 m.

c) Comenta la llei de Kirchoff de la radiació. Què vol dir que una superfície és gris i difusa? Com s’escriu la llei de Kirchoff en aquest cas?

d) Explica com s’obté i el significat físic de l’equació

N

iikik jFg

1

.

e) Considera una peça de ferro que es comporta com un cos negre. Perquè a prop del punt de fusió (uns 1500ºC) la veiem incandescent? Explica-ho basant-te en la llei de desplaçament de Wien, i.e. (λT)pot.max.=2900μmK.

f) Comenta les diferències entre la radiació infraroja i la radiació solar i el seu comportament davant del vidre.

g) En quines situacions l’absortivitat hemisfèrica total és igual a l’emissivitat hemisfèrica total?

h) Què vol dir que ε=0.8, o que F12=0.5, o que j3=100 W/m2, o que g3=500W/m2?

i) Què és un cos negre? Indica la seva distribució espectral i la llei que governa l’energia total emesa per un cos negre.

j) Una superfície opaca d’emissivitat ε=0.8 té una radiositat de 1000W/m2 i una irradiositat de 500 W/m2, determina el valor de les següents variables: calor de radiació incident, calor de radiació absorbida, calor de radiació emesa, calor de radiació reflexada, calor de radiació sortint, calor de radiació neta i temperatura de la superfície (σ=5.67·10-8 W/m2K4).

k) Demostra la relació existent entre la irradiositat d’una superfície i les radiositats de les altres superfícies d’un recinte. Indica clarament les hipòtesis realitzades.

l) Com varia amb la temperatura la distribució espectral d’un cos negre?



1T

wT

wq

sq

1D

(1)

(2)

(4) (3)

3m 6m 4m

4m

2) Calcula el calor net de radiació en cadascuna de les quatre superfícies que conformen el recinte que es mostra en la figura. Les temperatures i emissivitats de cadascuna d’aquestes superfícies són:

T1=100ºC, T2=80ºC, T3=65ºC, T4=57ºC, ε1=1.0, ε2=0.4,

ε3=0.8 i ε4=0.8. (Solució: qrad,1=245.39 W/m2, qrad,2=-

64.60W/m2, qrad,3=-238.40 W/m2 i qrad,4= -290.78W/m2).

3) Calcula numèricament la integral 2

1

dqb , per al buit i des de 01 a m6

2 108.4 , sabent

que 1

12/5

2)(

,

kThce

b e

hcI

i T=1000 K. Nota: c=co /n (on n és l’índex de refracció); c=λυ;

h=6.626075·10-34 Js; k=1.380658·10-23 J/K; co= 2.997925·108 m/s. (Solució: 3.4451·104 W/m2 a T=1000 K).

4) Considera dues parets de temperatures i emissivitats: T1=20 ºC, 1=0.7, T2=400 ºC i 2=0.9. Entre les dues parets es situa una tercera d’emissivitat 3=1 Considera que la temperatura d’aquesta tercera paret és uniforme (T3). Calcula la calor neta de radiació a les superfícies 1 i 2 i la temperatura T3. Si resulta un procés iteratiu fes només tres iteracions arrancant amb una temperatura de 300 ºC. (Solució: qrad,1=-4419.19 W/m2, qrad,2=

4419.19 W/m2 i T3=313.85ºC)

5) Es pretén mesurar el valor de la radiació solar ( sq ) incident sobre una superfície. Per aconseguir-

ho es disposa del següent aparell representat a la figura. Consta d’una semiesfera de vidre completament transparent a la radiació solar, que es troba a una temperatura de CT 201 i una

emissivitat tèrmica 8.01 , col·locada sobre una placa negre que assoleix la

temperatura de CTw 30 i absorbeix completament la radiació solar

incident. En el recinte que es forma entre la semiesfera i la placa s’ha fet el buit. A la placa negre es troba un sensor per mesurar el flux de calor total de conducció sobre la placa ( wq ). Determina la calor de

radiació solar si el sensor mesura una calor a la placa de 500 W/m2. Nota: mmD 501 . (Solució: qs=553.4 W/m2)

6) Variant del problema anterior: Per aconseguir que el valor de wq mesurat pel sensor de calor sigui

més proper a la magnitud que es vol mesurar (la calor de radiació solar), es col·loca una segona semiesfera de vidre entre la placa i la semiesfera exterior.

T1, 1

T2, 2

3



(?)2T

wq2D

1D

wT sq

1T Suposa idèntiques magnituds que en el cas anterior i una emissivitat de 0.9 per les dues cares de la nova semiesfera. Considera que una petita fracció (un 4%) de l’energia solar incident és reflexada. Quan val en aquest cas sq ? Nota:

suposa que totes les magnituds del problema anterior es mantenen; mmD 422 .

7) Considera les dues plaques de gran profunditat de la figura. La placa vertical (1) té una temperatura de T1=200C i una emissivitat de ε1=0.9. La placa inclinada (2) està a T2=50C i té una emissivitat de ε2=0.7. A efectes de radiació pots considerar l’exterior com un cos negre a una temperatura de 20C. Dedueix les equacions de les irradiacions i les radiositats per cadascuna de les superfícies (cal demostrar que s’entenen les equacions que s’apliquen i les hipòtesis que les sustenten). Resol el sistema d’equacions i calcula la calor neta de radiació a cadascuna de les plaques. (Solució: qrad,1=1910.0 W/m2, qrad,2=

-702.2 W/m2 )

8) La figura inferior esquerra representa un forn elèctric de secció quadrada (L=0.5m) i de gran profunditat on totes les parets (3) són adiabàtiques i d’emissivitat ε3=0.6. La planxa escalfadora (1) es troba a la part inferior i a efectes tèrmics és negra i assoleix una temperatura T1=1500K. L’element (2) constitueix la càrrega a escalfar, té una forma cilíndrica centrada en el forn i de diàmetre D=10cm; assoleix, en règim permanent, una temperatura T2=500K essent ε2=0.8. Considera negligible la convecció davant la radiació i determina:

a) Tots els factors de vista involucrats entre les superfícies (1), (2) i (3), partint de l’expressió recollida en la figura inferior dreta. (Solució: F11=0, F12=0.157, F13=0.843; F21=0.250, F22=0, F23=0.750; F31=0.281, F32=0.157, F33=0.562)

b) L’energia radiant neta que rep la càrrega (2). (Solució: qrad,2= -175.2 kW/m2)

c) L’energia absorbida per la càrrega (2). (Solució: qarad,2=

178.1 kW/m2)

d) La temperatura de les parets del forn (3). (Solució: T3= 1372.3K)

0.5 m

65

1.5 m 1.5 m (1) (2)



D2. Problemes combinats (radiació + conducció + convecció)

9) Repeteix el problema anterior considerant únicament la convecció (no radiació) en totes les superfícies que conformen el recinte, sabent que el fluid interior és aire. Considera que el coeficient superficial de calor és igual a =10 W/m2K per a totes les parets (3) i per a la càrrega (2). Per a la placa escalfadora (1), en canvi, determina’l a partir de l’expressió empírico-adimensional següent:

4/1)Pr(27.0/ ffff GrLNu

on 2

32 )(

f

gwff

LTTgGr

i fpff fc /Pr ; el subíndex f indica propietats mesurades a la

temperatura de pel·lícula 2/gwf TTT .

Calcula per a aquest cas en que només es considera la convecció:

a) L’energia neta que rep la càrrega (2). b) La temperatura de l’aire del forn.

(Solució: Qaconv,2≈

1025W pel cas a; T3≈825K pel cas b)

10) Repeteix el problema anterior contestant els apartats a) i b) però considerant ara simultàniament la convecció i la radiació. Indica clarament l’algorisme de resolució i fes unes quantes iteracions prenent com a temperatura inicial de l’aire del forn 900K.

11) El recinte de la figura consta d’una paret vertical (superfície 1), un terra (superfície 2) i un vidre de forma cilíndrica (superfície 3-4). La paret vertical té 3 m d’alçada i està a una temperatura constant T1=35 ºC. El terra, també de 3 m i a una temperatura constant T2=45 ºC, absorbeix un flux de calor net de radiació solar de valor qs=350 W/m2. El vidre que separa l’aire del recinte de l’ambient exterior, a temperatura Tamb=10 ºC, té un gruix de 6 mm. Calcula la temperatura de l’aire a l’interior del recinte, Tint i la calor de conducció que es propaga a través del terra 2.

Són també dades del problema: emissivitats a la banda tèrmica (1=0.8; 2=1; 3=4=0.9); conductivitat tèrmica del vidre (=0.75 W/mK); coeficients superficials de transferència de calor en l’interior del recinte (1=2=3=10 W/m2K); coeficient transferència calor vidre-ambient (4=15 W/m2K). A efectes de radiació tèrmica considera l’exterior com un cos negre i a una temperatura de cel de -10 ºC. Considera el vidre totalment opac a la radiació tèrmica i completament transparent a la radiació solar.

L

(2)

(3)

(3) (3) D α

(i)

(j)

Fij = α/(2π) (α en radiants)

4 3

Tint

qs 2

1

Tambb



Text

mm

Tw3

Tw1

Tw2 Tint

(Solució: qrad,1=36.21 W/m2, qrad,2=137.99 W/m2, qrad,3=-110.90 W/m2, qrad,4=120.24 W/m2;

Tint=30.2ºC; qconv,1=47.86 W/m2, qconv,2=147.86 W/m2, qconv,3=-124.60 W/m2, qconv,4=114.79 W/m2; qcond,1=84.07 W/m2, qcond,2=-34.15 W/m2; T3=17.75ºC, T4=17.65ºC. Nota: els signes dels calors són suposant que tots surten de les superfícies.)

12) Repeteix el problema anterior considerant que el vidre no és totalment transparent a la radiació solar, sinó que té una transmitància global de T34=0.8 i una absortivitat global de A34=0.1. Per a aquest cas no es proporciona qs, sinó el valor de la irradiància solar a l’exterior del vidre, IT=800W/m2. Suposa que la radiació solar un cop traspassa el vidre es propaga difusament i que les parets de l’interior del recinte reflexen difusament. Les propietats òptiques de les parets a la banda solar són: ρ1s=0.70 i ρ2s=0.40.

(Solució: qsrad,1=-163.79 W/m2, qs

rad,2=-353.34 W/m2, qsrad,3=329.21W/m2, qs

rad,4=-443.75 W/m2; qrad,1=27.12 W/m2, qrad,2=125.95 W/m2, qrad,3=-97.44 W/m2, qrad,4=141.75 W/m2; Tint=31.6ºC; qconv,1=34.23 W/m2, qconv,2=134.23 W/m2, qconv,3=-107.24 W/m2, qconv,4=177.72 W/m2; qcond,1=-102.44 W/m2, qcond,2=-93.16 W/m2; T3=20.85ºC, T4=21.85ºC. Nota: els signes dels calors són suposant que tots surten de les superfícies.)

13) El recinte de la figura està format per una superfície semiesfèrica de vidre de diàmetre interior D=3 m i gruix e=1.5 cm. L’exterior es troba a una temperatura Text=25ºC i, a efectes de radiació infraroja, es comporta com un cos negre a una temperatura Tcel=−5ºC. La radiació solar exterior sobre una superfície horitzontal és de 530 W/m2.

El vidre es comporta com un medi completament transparent a la radiació solar. L’emissivitat del vidre a la radiació infraroja és 0.9. La conductivitat tèrmica del vidre és 0.92 W/mK.

El terra absorbeix el 70% de la radiació solar incident, mentre que el 30% restant es reflexa. L’emissivitat del terra a la radiació infraroja és 0.8. Les pèrdues de calor per conducció a través del terra són nul·les.

En el recinte tenim un cabal de m =0.015 kg/s d’entrades d’aire de l’exterior (a Text) i un cabal equivalent de sortides d’aire del recinte a la temperatura mitja de l’aire a l’interior (Tint).

Pel terra i per la superfície interior i exterior de la semiesfera utilitza els següents coeficients superficials de transferència de calor: 1=2=15 W/m2K, 3=22 W/m2K.

Fes un algoritme numèric per avaluar el comportament tèrmic del recinte.

(Solució: Tint=36.25ºC, Tw1=52.52ºC, Tw2=28.92ºC, Tw3=26.12ºC; Qcond,w2=Qcond,w3=2452.8W; Qconv,w1=1724.97W, Qconv,w2=-1555.33W, Qconv,w3=354.70W; Qrad,w1=897.47W, Qrad,w2=-897.47W, Qrad,w3=2098.1W; Qs

rad,w1=-2622.44W).

14) Variant del problema anterior: considera que el vidre té una reflectivitat a la banda solar de 0.9 (i una transmissivitat de 0.1).

(Solució: Tint=22.76ºC, Tw1=25.16ºC, Tw2=21.40ºC, Tw3=20.93ºC; Qcond,w2=Qcond,w3=408.45W; Qconv,w1=254.41W, Qconv,w2=-288.23W, Qconv,w3=-1290.92W; Qrad,w1=120.22W, Qrad,w2=-120.22W, Qrad,w3=1699.38W; Qs

rad,w1=-374.64W)

15) Variant del problema anterior: torna a considerar el vidre totalment transparent a la radiació solar i que la temperatura de cel per a aquest cas és de 25ºC.



(Solució: Tint=40.67ºC, Tw1=56.77ºC, Tw2=33.73ºC, Tw3=31.00ºC; Qcond,w2=Qcond,w3=2386.29W; Qconv,w1=1707.77W, Qconv,w2=-1471.62W, Qconv,w3=1903.81W; Qrad,w1=914.67W, Qrad,w2=-914.67W, Qrad,w3=482.48W; Qs

rad,w1=-2622.44W)

16) Es desitja mantenir una temperatura determinada, Thab, en el recinte de la figura. Per reduir les necessitats de calefacció es fa recircular part de l’aire de l’habitació per un recinte de secció triangular, adossat a la paret sud de l’habitació (superfície (2)) i amb un tancament inclinat de vidre (superfície (1)). Avaluar el comportament tèrmic del sistema considerant condicions d’estabilitat i considerant els dos casos de irradiància solar indicats dins a les dades següents:

- Geometria: L2=3m, L3=2m, W=4m, e2=0.1m.

- Condicions de contorn:

● Thab=22ºC; Tamb=10ºC.

● m és l’equivalent a 7 renovacions d’aire per hora de l’aire del recinte triangular.

- Coeficients de transferència de calor:

● 1,int= 2,int= 3,int=10 W/m2K.

● 1,amb=15 W/m2K.

● 2,hab=5 W/m2K.

- Irradiància solar. Dos casos: a) IT=800W/m2 i b) IT=0W/m2.

-Propietats radiatives:

● A la radiació tèrmica (λ > 3μm) ε1= ε1*= ε2= ε3=0.9 (τk=0)

● A la radiació solar (λ < 3μm):

→ Vidre: R=0.1, T=0.85, A=0.05.

→ Parets: ρ2s= ρ3s=0.7 (τ2s= τ3s=0).

-Propietats termofísiques:

● Paret 2: λ 2=0.5 W/mK.

● Aire: ρ=1 kg/m3, cp=1000J/kgK.

IT

W

L3 e2

L2 Thab

Tamb

. m

(2)

(1) (1*)

(3)



(Solució apartat a: sradq 1, =270.19 W/m2, s

radq 2, =-198.00 W/m2, sradq 3, =-190.10 W/m2, s

radq*1, =-332.96

W/m2; 1,radq =-107.57 W/m2, 2,radq =73.84 W/m2, 3,radq =83.16 W/m2, *1,radq =132.58 W/m2; 2,condq =-

43.16 W/m2; Tint=31.16ºC, Tw1=19.98ºC, Tw2=39.26ºC, Tw3=41.86ºC ).

(Solució apartat b: skradq , =0 W/m2; s

radq*1, =0 W/m2; 1,radq =-13.96 W/m2, 2,radq =14.24 W/m2, 3,radq =3.8

W/m2, *1,radq =73.68 W/m2; 2,condq =26.01W/m2; Tint=10.42ºC, Tw1=7.78ºC, Tw2=11.6ºC, Tw3=10.04ºC ).

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Apunts de Transferència de Calor per Radiació i Exercicis...Apuntes de transmisión de calor por radiación CTTC (UPC) Centro Tecnológico de Transferencia de Calor (CTTC) - 2 -