UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE

DOCENTE:

Alvites Calipuy, Melba Elizabeth

CURSO

Matemática II

I n g . C i v i l y A r q u i t e c t u r a

AREA EN COORDENADAS POLARES

ALUMNOS: Briones Pastor Edwin. Ortiz Zamora Iveth. Camacho Armas Giovanni Carlos. Chicchón Díaz Edinson Joáo.

INTRODUCCIÓN

Si bien existen ejemplos de que los conceptos de ángulo y radio se conocen y manejan

desde la antigüedad, no es sino hasta el siglo XVII, posterior a la invención de la geometría

analítica, en que se puede hablar del concepto formal de sistema de coordenadas polares.

Los primeros usos empíricos de relaciones entre ángulos y distancias se relacionan con

aplicaciones a la navegación y el estudio de la bóveda celeste. El astrónomo Hiparco (190

a. C.-120 a. C.) creó una tabla trigonométrica que daba la longitud de una cuerda en

función del ángulo. Arquímedes describe la espiral de Arquímedes, una función cuyo radio

depende del ángulo. Sin embargo, estas aplicaciones no hacían uso de un sistema de

coordenadas como medio de localizar puntos en el plano.

En tiempos modernos, Grégoire de Saint-Vincent y Bonaventura Cavalieri introdujeron el

concepto a mediados del siglo XVII en la solución de problemas geométricos. Cavalieri

utilizó coordenadas polares para resolver un problema relacionado con el área dentro de

una espiral de Arquímedes. Blaise Pascal utilizó posteriormente las coordenadas polares

para calcular la longitud de arcos parabólicos.

Sin embargo, el concepto abstracto de sistema de coordenada polar se debe a Sir Isaac

Newton, quien en su Método de las fluxiones, introduce ocho nuevos sistemas de

coordenadas (además de las cartesianas) para resolver problemas relativos a tangentes y

curvas, uno de los cuales, el séptimo, es el de coordenadas polares.

El término actual de coordenadas polares se atribuye a Gregorio Fontana, y fue utilizado

por los escritores italianos del siglo XVIII. Mientras que Alexis Clairault fue el primero que

pensó en ampliar las coordenadas polares a tres dimensiones.

OBJETIVOS

1. Explicar y dar a entender la información concreta en relación a ÁREA DE

COORDENADAS POLARES.

2. Generar en el estudiante opciones nuevas en la solución de problemas referidos a

AREA DE COORDENADAS POLARES.

3. Al finalizar el estudio del tema, este se haga más útil en la vida diaria.

ANTECEDENTES

Una ANTIDERIVADA O PRIMITIVA de la función f , es una función F tal que

F ' (x)=f (x ) Siempre y cuando f (x) este definida.

TEOREMA: Si F ' (x)=f (x ) en cada punto del intervalo abierto I , entonces cada primitiva

G de f en I tiene la forma G(x )=F (x)+C, donde C es una constante llamada constante

de integración.

Así, si F es cualquier primitiva de f en el intervalo I , entonces la primitiva más general de

f en Itiene la forma F (x)+C es conocida como la INTEGRAL INDEFINIDA de f con

respecto a x y se denota por ∫ f (x )dx

De este modo:

G(x) = ∫ f (x) dx = F(x) + C

AREA DE COORDENADAS POLARES

COORDENADAS POLARES.

Las coordenadas rectangulares son sólo una de las 3 formas de describir puntos en el

plano mediante pares de números, hasta el momento conocidas. Por ejemplo, las

coordenadas rectangulares x y y describen un punto P en el plano como la interseción de

una recta vertical y una recta horizontal.

Las coordenadas polares, por su parte, describen un punto P como la intersección de un

círculo y un rayo desde el centro del círculo.

Estas se definen así: se selecciona un punto en el plano y un rayo que salga desde este

punto. El punto se llama polo y el rayo, eje polar. Se miden ángulos positivos en sentido

contrario al del movimiento de las manecillas del reloj y así cada ángulo me determina un

radio distinto.

AREA DE COORDENADAS POLARES.

Consideremos la curva en coordenadas polares dada por la función r :θ∈ [α ,β ]→r (θ )∈R ,

donde r=r (θ ) es una función continua. La región cuya área queremos calcular es la que se

muestra sombreada en la siguiente figura, está limitada por la curva y las semirrectas de

ecuaciones θ=α y θ=β .

Sea P= {θ0 ,θ1,…,θn } una partición del intervalo [α , β ], SeaM k y mkel supremo e ínfimo

respectivamente del conjunto { p (θ ) :θk−1≤θ≤θk } y A (θ ) elegimos un punto arbitrario t k.

Entonces el área encerrada por la curva y los rayos θ=α y θ=β se puede aproximar por la

suma.

Sumando sobre k obtenemos:

área (S1 )+área (S2 )+…+área (Sn )

Donde hemos dibujado la curva y uno de estos sectores circulares. De forma que al

aumentar el número de puntos de la partición, esta suma tiende al área de la región

limitada por la curva r=r (θ ) y los rayos θ=α y θ=β. Cada sub intervalo genérico [θk−1 , θk ] determina un sector circular Sk. El área de este sector circular está dada por

área (SK )=12skr (t k )=1

2r ( tk ) (θk−θk−1 ).

Entonces ∑k=1

n12skr (t k )2 (θk−θk−1 )=1

2∑k=1

n

r (t k )2 (θk−θk−1 )→ 12∫α

β

r (θ )2dθ.

 Finalmente, por la unicidad de la integral, se concluye que:

Area=12∫α

β

r (θ )2dθ

EJERCICIO RESUELTOS

1. Hallar el área de r=a (1−cosθ )a) Primero determino la gráfica buscando los límites apropiados de

integración:b) Se observa que la gráfica entre 0 y π es la mitad de la gráfica total.

Entonces:

θ cosθ r0 1 0

45√22

1−√2a2

90 0 a

135−√22

1+ √2a2

180 −1 2a

225−√22

1+ √2a2

270 0 a

315√22

1−√2a2

360 0 0

A=2[ 12∫0π

a2 (1−cosθ )2d θ]=a2∫0

π

(1−cosθ )2dθ

A=a2∫0

π

(1−2cosθ+cos2θdθ )

A=a2[∫0

π

dθ−2∫0

π

cosθdθ+ 12∫0

π

1+cos2θdθ]A=a2[θ ¿0

π−2sin θ ¿0π+ 12∫0

π

dθ+12∫0

π

cos2θdθ]A=a2[ π−(2sin θ ) ¿0

π−12θ ¿0

π+ sin 2θ4

¿0π]

A=a2[ π+ π2

+ sin 2π4 ]

A=a2[ 2π+π2 ]

A=a23 π2

A=32πa2 (u2 )

2. Calcule el área de la región que se encuentra dentro de la cardioide con ecuación r=2+2cosθ y fuera del círculo con r=3.

Solución:

Primero se debe buscar la intersección de las gráficas.

2+2cosθ=3

2cosθ=1→cosθ=12

¿Cuando cosθ es 12

? En π3,− π3

Como las gráficas se intersectan en los puntos (3 ,−π3 ) y (3 , π3 ) el elemento de área

indicado aumenta de −π3

a π3

. Usando la fórmula tenemos:

A=12∫−π3

π3

[ (2+2cosθ )2−32 ]dθ

A=12∫−π3

π3

(8cosθ+4cos2θ−5 )dθ

A=12

¿

A=12

¿

A=12 [8(sin π3−sin

−π3 )+4 (θ+ sin 2θ2 )¿−π

3

π3 ]

A=12 [1.462+4 ( π3 +

sin 2π3

2−

−π3

−sin 2

−π3

2 )]A=1

2[1.462+8.524 ]

A=4.99u2

3. Obtener el área de la región del primer cuadrante que es exterior a la circunferencia de radio r=1 e interior a la Rosa de cuatro pétalos r=2sin 2θSolución:

a) Resolviendo simultáneamente las dos ecuaciones para encontrar puntos de intersección:

r=2sin 2θ

sin 2θ=12→2θ=π

6y 2θ=5 π

6

Así que (1 , π12 ) y (1 , 5 π12 ) son dos puntos de intersección en el primer cuadrante.

b) El área en cuestión se indica:

A=12∫π12

5 π12

(4 sin2¿2θ−1)dθ ¿

A=12∫π12

5 π12

4( 1−cos4 θ2−1¿dθ)

A=12 [θ−12 sin 4θ] π

12

5 π12

A=π6

+ √34

≅ 0.96u2

4. Calcular el área encerrada por la circunferencia de ecuación polar r=1 que se encuentra fuera de la cardioide de ecuación polar r=1−cosθ. Solución:

En primer lugar dibujamos la región para determinar los límites de intersección.

Observamos que la curva exterior es r=1mientras que la curva interior

r=1−cosθ. La variable θ recorre el intervalo [−π2

,π2 ] entonces el área es:

12∫α

β

(r1 (θ )2−r2 (θ )2 ) dθ=¿ 12∫−π2

π2

(1−(1−cos θ )2 )dθ=12∫−π2

π2

(2cosθ−cos2θ )dθ=[cos2θ=12 (1+cos2θ )]=∫0

π2

(2cosθ−12 (1+cos (2θ ) ))dθ=(2sin θ−θ2−sin (2θ )4 )¿0

π2=2−π

4u2¿

5. Dentro de r=cosθ y fuera de r=√3sin θ

Solución:

Determinamos los puntos de intersección entre ambas curvas:

cosθ=√3sinθ=¿ sinθcosθ

= 1√3

=¿ tan θ=¿ √33

=¿θ=π6

¿, de donde obtenemos el punto

(√32 ,π6 ). Pero cuando r=0 tenemos:

{ cosθ=0→θ=π2→(0 , π2 )

√3sin θ=0→ sinθ=0→θ=π→ (0 , π )

A=12∫0

π6

(cos2θ−3sin2θ ) dθ+12∫0

π2

cos2θdθ=12∫0

π6

(1−4sin2θ ) dθ+12∫0

π2

cos2θdθ=¿ 12∫0

π6

(1−4 1−cos2θ2 )dθ+ 12∫0π21+cos2θ

2dθ=¿ 1

2∫0

π6

(2cos2θ−1 )dθ+ 14∫0

π2

(1+cos2θ )dθ ¿¿

12

[sin 2θ−θ ]0π6+ 14 [θ+ 12 sin 2θ]0

π2=12 (√32 − π

6 )+ 14 ( π2 )=14 (√3+ π6 )u2

EJERCICIOS PROPUESTOS.

1.- LIBRO: EL CÁCULO CON GEOMETRÍA ANALITICA

SEGUNDA EDICION

AUTOR: LOUIS LEITHOLD PAG:

9) encontrar el área de la región acotada por un rizo de la gráfica de la ecuación.

r=1+3 senθ

Intersecciones: Eje polar:

θ=0 ° r=1+3 sen (0 ° ) r=1 P(1 ,0° )

θ=π r=1+3 sen (π ) r=1 P(1 ,0 °)

Eje normal:

θ=π2r=1+3 sen ( π2 )r=4 P(4 , π

2)

θ=3 π2

−r=1+3 sen( 3 π2 )r=2P(2 , 3 π2

)

θ 0 2.5 3.1213 3.5980 4 3.1213 3.5980 2.5 0r 0 π

6π4

π3

π2

120° 135° 150° 180°

GRÁFICA:

A=[ 11π4 +3]u22.- LIBRO: CÁCULO

SEGUNDA EDICION

AUTOR: LARSON PAG: 746

31) encontrar el área de la región interior común entre r=45sin 2θ y r=2.

Solución:

Igualamos para determinar límites 4 sin 2θ=2=¿ sin2θ=12

Por lo tanto los límites son: (2 , π12 ) y (2 ,− π12 )

3. Hallar el área de r=4 (1−sin θ )

Solución:

Hallamos los límites igualando a 0

0=4 (1−sinθ )=¿sinθ=1

Entonces: θ=π2

y θ=5 π2

A=∫π2

5π2

[4 (1−sinθ ) ]2dθ

A=16∫π2

5π2

[1−sin θ+ 1−cos 2θ2 ]dθ=16∫π2

5π2

[ 32−2sinθ− cos2θ2 ]dθ=16 [( 15π4 +2cos 5π2

− sin 5π4 )−( 3π4 +2cos π

2− sin π

4 )]=16[ 15 π4 −3π4 ]

A=48 πu2

4.- LIBRO: CÁCULO transcendentes tempranas

STEWART Sexta Edición

AUTOR: JAMES STEWART PAG:653

26) Hallar el área de la región entre las curvas f(x)=3sen 0; g(x)= 2-sen 0

Solución:

∫π /3

5π /6

2+sinθdθ− ∫π /3

5π /6

3sin θdθ

{[2θ|5 π6π3 ]−[cosθ|5 π6π3 ]}−[3cosθ|5π6π3 ]{[2(5π /6)]−[2(π /3)]}−{[cos (5π /6)−cos (π /3)]}−{3cos (5π /6)−3cos (π /3)}

[ (5.236−2.09 )−(−0.866−0.866 ) ]−(−2.598−2.598 )

[3.146+1.732 ]− [−5.198 ]

10.076