RAZONES Y PROPORCIONES

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OBJETIVOS:

(Reconocer las caractersticas inherentes de los objetos y seres dado la comparacin.

(Analizar cuantitativamente dichas caractersticas.

(Deducir de los resultados encontrados en la comparacin para obtener formas prcticas de resolver problemas de la vida real, adems aplicarlos en otras disciplinas.

INTRODUCCIN:

Ejemplo:

Ronaldo vive en Chosica lugar que se encuentra a 500 metros sobre el nivel del mar y una temperatura promedio de 28C. Victor vive en Cerro de Pasco lugar que se encuentra a 4500 metros sobre el nivel del mar y a una temperatura promedio de 7C.

Observamos:

Cerro de Pasco se encuentra a (4500 - 500 = 4000), 4000 metros ms sobre el nivel del mar que Chosica.

La temperatura promedio de Chosica es 4 veces la temperatura promedio de Cerro de Pasco

Concluimos:

Al comparar las alturas sobre el nivel del mar de Cerro de Pasco y Chosica: lo comparamos por medio de una sustraccin.

A dicha comparacin se ele denomina Razn Aritmtica.

(Al comparar las temperaturas de Chosica respecto a la de Cerro de Pasco, lo comparamos por medio de una divisin.

A dicha comparacin se le denomina Razn Geomtrica.

(Al comparar dos cantidades se puede realizar de varias formas. Lo que desarrollaremos sern las dos formas anteriores mencionadas.

RAZON ARITMETICA (R.A.)

Ejemplo

Sean las edades de Carlos y Jhon 48 y 28 aos respectivamente, la razn aritmtica de sus edades es:

Donde: 48 28 = 20

Antecedente

Consecuente

Valor de la R.A.

Podemos decir, que el peso de Diana (56=8 . 7) y el peso de Margoth (35=5 . 7) estn en relacin o son entre s , o son proporcionales a 8 y 5 en ese orden. La R.G. es ms aplicable para una variedad de problemas slo indican la razn, quedar sobreentendido que es la R.G.

SERIE DE RAZONES GEOMETRICAS EQUIVALENTES. (S.R.G.E.)

Consideremos razones geomtricas, cuyos valores sean iguales.

Ejemplo

Igualando dichas razones equivalentes.

Se cumple :

1.

2.

3.

Observamos: La serie de la forma:

Se denomina serie de 4 razones geomtricas equivalentes continua

PROPORCION:

Ejemplo 1:

En la familia de Rosario son: 5 hombres y 2 mujeres y en la de Viviana son: 7 hombres y 4 mujeres.Observamos

En la familia de Rosario hay (5 - 2 = 3) 3 hombres ms que mujeres. En la familia de Viviana tambin hay (7 - 4 = 3) 3 hombres ms que mujeres. La comparacin por sustraccin en ambos casos son equivalentes.

Igualando :

Esta igualdad de dos razones aritmticas equivalentes se denomina proporcin aritmtica

Ejemplo 2:En el recipiente A se tiene una mezcla de 6 l de alcohol y 2 l de agua; en el recipiente B se tiene una mezcla de 15 l de alcohol y 5 l de agua.

En el recipiente A: se tiene el volumen de alcohol es el triple del volumen de agua.

En el recipiente B: se tiene el volumen de alcohol es el triple del volumen de agua. La comparacin por divisin en ambos casos son equivalentes.

Igualando:

Esta igualdad de 2 razones geomtricas equivalentes se denomina proporcin geomtrica

.

Conclusin:

TIPOS DE PROPORCIONES:

Considerando, respecto a los trminos medios.

CONTINUA:

Cuando los trminos medios de la proporcin son iguales.

* Ejemplo 1

Proporcin Aritmtica Continua

Donde :

- 20 es la media diferencial de 28 y 12

- 12 es la tercia diferencial de 28 y 20

* Ejemplo 2

Proporcin Geomtrica Continua

Donde:

- 24 es la media proporcional de 48 y 12

- 12 es la tercia proporcional de 48 y 24

DISCRETA:

Cuando los trminos medios de la proporcin son diferentes.

* Ejemplo 1

Proporcin Aritmtica Discreta

Donde:

- 8 es la cuarta diferencial de 35, 25 y 8

Ejemplo 2

Proporcin Geomtrica Discreta

Donde:

- 5 es la cuarta proporcional de 21, 3 y 35.

PRACTICA DE CLASE

01.La razn aritmtica de dos nmeros es 40 y su razn geomtrica es 9/4. Hallar la suma de los nmeros.

a) 104b) 65c) 78

d) 91e) 52

02.La relacin de dos cantidades es de 9 a 13, y el triple del menor ms el mayor es 160. Dar como respuesta la diferencia de los nmeros.

a) 12b) 16c) 20

d) 14e) 48

03.Si : y ab+bc=180.

Hallar a+b+c

a) 360b) 380c) 379

d) 381e) 382

04.El dinero que tiene Carla es al dinero que tiene Betina como 11 es a 7. Si Carla diese S/.40 a Betina ambas tendran la misma cantidad. Cunto tiene Carla?

a) 220b) 110c) 88

d) 99e) 165

05.De un grupo de nios y nias se retiran 15 nias quedando 2 nios por cada nia. Despus se retiran 45 nios y quedan entonces 5 nias por cada nio. Calcular el nmero de nias al comienzo.

a) 38b) 45c) 40

d) 54e) 20

06.En una proporcin geomtrica continua la suma de los extremos es 34 y la diferencia de los mismos es 16. Hallar la media proporcional.

a) 12b) 15c) 18

d) 21e) 13

07.Si 8 es la cuarta proporcional de a, 6 y b y a es la cuarta proporcional de b, 16 y 48. Hallar el valor de (a+b).

a) 56b) 28c) 42

d) 46e) 16

08.El jardinero A planta rosas ms rpidamente que el jardinero B en la proporcin de 4 a 3, cuando B planta x rosas en 1 hora. A planta x+2 rosas. Cuntas rosas planta B en 8 horas?

a) 24b) 32c) 48

d) 30e) 36

09.En una caja se tienen cubos negros y blancos. Si se sacan 20 cubos negros la relacin de los cubos de la caja es de 7 blancos por 3 negros. Si enseguida se sacan 100 cubos blancos la relacin es de 3 negros por cada blanco. Cuntos cubos haban inicialmente en la caja?

a) 140b) 210c) 80

d) 220e) 190

10.Una proporcin continua tiene como suma de trminos medios 48 y como diferencia de extremos a 36. Calcular la suma de stos ltimos.

a) 48b) 50c) 52

d) 60e) 62

11.La suma de la media diferencial de 34 y con la cuarta diferencial de 22; 12 y 16 igual a:

a) 18b) 29c) 31

d) 26e) 34

12.Cul es la diferencia entre los extremos de una proporcin geomtrica continua?. Si la suma de los cuatro trminos es 36 y la razn entre la suma y la diferencia de los dos primeros trminos es 3.

a) 10b) 11c) 12

d) 13e) 15

13.En una proporcin geomtrica continua el producto de los 4 trminos es 1296 y el producto de los antecedentes es 24. Hallar la tercera parte proporcional.

a) 9b) 12c) 15

d) 8e) 16

14.En una proporcin geomtrica discreta cuya suma de sus 4 trminos es 600. Se conoce que cada uno de los trminos siguientes es el doble del anterior. Dar como respuesta el primer antecedente.

a) 30b) 40c) 60

d) 15e) 20

15.En una serie de tres razones geomtricas iguales y discretas, el producto de los antecedentes es 1/64 del producto de los consecuentes. Si la suma de los antecedentes es 400, hallar la suma de los consecuentes.

a) 100b) 1600c) 800

d) 200e) 1200

TAREA DOMICILIARIA

01.Si : ;

adems : 4a + 3b + 2c =171

Hallar : a . c + b

a) 360b) 380c) 379

d) 381e) 382

02.La razn de dos nmeros es 3/4 y los 2/3 de su producto es 1152. Encontrar el mayor de los dos nmeros.

a) 84b) 36c) 49

d) 48e) 45

03.Dos nmeros son proporcionales a 2 y 5. Si se aumenta 175 a uno de ellos y 115 al otro se obtienen cantidades iguales. Cul es el menor?

a) 90b) 75c) 60

d) 40e) 45

04.Hallar la cuarta diferencial entre: la cuarta diferencial de 18, 12 y 24 y las medias diferenciales entre 18 y 8 ; y 96 y 54.

a) 70b) 65c) 75

d) 71e) 60

05.El producto de los cuatro trminos de una proporcin geomtrica es 50625 sabiendo que los medios son iguales y que uno de los extremos es 75. Indicar la suma de los cuatro trminos de la proporcin.

a) 180b) 108c) 156

d) 216e) 258

06.Dado : .

Adems :

Hallar : (a+c)

a) 23b) 24c) 25

d) 14e) 34

07.En la siguiente serie de razones geomtrica equivalentes:

Se cumple que:

a . b . c . d = 1920 ; hallar: a+b+c+d

a) 25b) 33c) 28

d) 42e) 21

08.Dos nmeros se encuentran en la relacin de 7 a 4. Se sabe adems que suman 935. Determinar el menor y dar como respuesta la suma de sus cifras.

a) 12b) 9c) 7

d) 19e) 17

09.Un par de nmeros son entre s como 8 es a 5. Adems el doble del menor menos el mayor es 400. Hallar la diferencia de los nmeros.

a) 200b) 400c) 600

d) 300e) 630

10.Si ;

sabiendo que : a + b c = 114.

Hallar

a) 1b) 0c) 228

d) 2e) 200

11.Se tiene la siguiente serie de razones :

y 3a + 7b 8c = 9.

Dar a+b+c

a) 144b) 134c) 124

d) 44e) 154

12.La relacin entre 2 nmeros es de 11 a 14. Si a uno de ellos se le suma 33 unidades y al otro se le suma 60 entonces ambos resultados seran iguales. Hallar dichos nmeros.

a) 86 y 145b) 88 y 1332c) 96 y 123

d) 95 y 130e) 99 y 126

13.En una fiesta concurren 400 personas entre hombres y mujeres asistiendo 3 hombres por cada 2 mujeres. Luego de 2 horas por cada 2 hombres hay una mujer. Cuntas parejas se retiraron?

a) 120b) 240c) 80

d) 160e) 200

14.En una reunin asistieron personas solteras y casadas en relacin de 13 a 5. La relacin entre hombres casados y mujeres casados es de 3/2. Si asistieron 900 personas en total. Cuntas mujeres casadas asistieron a dicha reunin?

a) 50b) 150c) 100

d) 650e) 250

15.Si P es la media proporcional de 25 y Q es la cuarta proporcional de 45, P y 1. Hallar (P+Q)

a) 31b) 21c) 20

d) 22e) 23

OBJETIVOS:

Al finalizar el captulo el estudiante estar en la capacidad de:

*Reconocer que es una magnitud y sus estados particulares representado por cantidades.

*Poder entender que las magnitudes jams aparecen solas ya que siempre estn relacionadas con otras.

*Establecer las distintas comparaciones entre las magnitudes.

*Poder resolver a partir de ste captulo problemas que se pueden presentar en la vida diaria.

INSTRODUCCIN:

Al observar la naturaleza y los fenmenos que ocurren en ella podemos notar que se tienen caractersticas que aparecen en diversos estados por lo que se puede cuantificar como por ejemplo: El peso, la temperatura, el tiempo, el nmero de obreros, obras realizadas etc..... nuestro estudio est basado en el anlisis de todo esto.

MAGNITUD: Es todo aquello que puede ser medido.

CANTIDAD: Es un estado particular de la magnitud por ejemplo.

MagnitudCantidad

Longitud75 cm

Volumen30 litros

Nmero de das25 das

Nmero de obreros43 obreros

Cantidad de obra700 m3

RELACIONES ENTRE 2 MAGNITUDES

MAGNITUDES DIRECTAMENTE

PROPORCIONAL (D.P)

Por ejemplo un, vendedor ambulante vende cada una de las botellas con un litro de gaseosa a S/. 2 analizamos las magnitudes, nmero de botellas vendidas y el precio.

# de botellas14265

precio2841210

Se observa que:

Observamos que la relacin entre los valores correspondientes entre las 2 magnitudes es constante, cuando ocurre esto a las magnitudes las llamaremos D.P. (precio).

Veamos grficamente.

MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES (I.P)

Por ejemplo, si 24 obreros pueden hacer una zanja en 10 das, analicemos los valores correspondientes que pueden tomar las magnitudes nmero de obreros y nmeros de das.

# de Obreros2481612

# de das10301520

Podemos Observar que:

24 . 10 = 8.30 = 16 .15 = 12 . 20

Cundo dos magnitudes cumplen que el producto de sus valores correspondientes es constante les llamaremos magnitudes I.P.

( (# de obreros) I.P (# de das)

Veamos grficamente

Luego 2 magnitudes son I.P. si el producto de sus valores correspondientes es constante, su grfica ser una o parte de una rama de una hiprbole equiltera.

Entonces, sean las magnitudes A y B I.P. Se cumple (valor de A) (valor de B) = etc.

a.-Si la magnitud A2 es I.P , calcule x, si:

A15X

B271728

b.-La presin es I.P con el volumen, a qu presin est sometido un gas, si al aumentar la presin en 12 atmsferas, el volumen vara en 1/7?

Analicemos las magnitudes I.P. como funcin de proporcionalidad.

Sabemos que cuando A I P B:

(Valor de A) (Valor de B) = etc.

Llamaremos: y al valor de A

x al valor de B

m a la etc,

luego reemplazamos y . x = m

lo que es una ecuacin de una hiprboles equiltera por lo que:

y = f(x) entonces : f(x).x = m

en donde f(x) es una funcin de proporcionalidad inversa

Luego 2 magnitudes son D. P si la relacin entre sus valores correspondientes es constante.

Su grfica ser una lnea recta o punto de pertenencia o una misma lnea recta que pasa por el origen de coordenadas.

Entonces, sean las magnitudes A y B, D . P se cumple.

= k (cte)

Aplicacin 1:

Si la magnitud A es D.P.B2, calcule el valor que asume la magnitud A cuando B es 16, sabiendo que cuando A asume el valor de 25, en B asume el valor de 20

Aplicacin 2:

La temperatura en grados centgrados en una aula es D.P, a la raz cuadrada del nmero de alumnos presentes. En un determinado momento la temperatura fue de 24C. Cuando estuvieron presentes 36 alumnos, Cul ser la temperatura cuando ingresen 28 alumnos ms.

Analicemos las magnitudes D.P como funcin de proporcionalidad:Sabemos que cuando A es D.P.B. se cumple.

= k (cte)

Llamemos:

y al valor de A

x al valor de B

m a la etc

Entonces:

Lo que nos representa la ecuacin de una recta que pasa por el origen de coordenadas por lo que: y = f(x), entonces :

F(x) = mx , en donde f(x) es una funcin de proporcionalidad

Aplicacin 3Si f(x) es una funcin de proporcionalidad directa, en donde f(4) = 12, Calcule f(3) + f(2)

Aplicacin 4Si f(x) es una funcin de proporcionalidad, calcule

PRACTICA DE CLASE

01.Cual de las siguientes relaciones no indica una relacin de proporcionalidad entre x e y?

a) 5x = 7y b) 9x = 2/4

c) x + y = 12 d) x + y = 2y

e) (x+1)2 = y + 2

02.Si A es D.P. a B, adems cuando A = 12 entonces B es igual a 16. Hallar A cuando B sea igual a 12.

a) 8 b) 9 c) 10

d) 12 e) 6

03.Si A es I.P. a B adems cuando A es igual a 10, entonces B es igual a 24. Hallar B cuando A sea igual a 15.

a) 10 b) 8 c) 16

d) 12 e) 4

04.Si A es D.P. a B2, adems cuando A es igual a 32 entonces B es igual a 4. Hallar A cuando B sea igual a 3.

a) 6 b) 9 c) 18

d) 27 e) 36

05.Si A es D.P. a B. IP a C e I.P. a D, adems cuando AD=2 entonces B=2C. Hallar A cuando B=48, C=2 y D=3.

a) 4 b) 6 c) 8

d) 12 e) 16

06.Si: A es D.P. a B, e I.P. a C, adems cuando A es igual a 2, entonces B es igual a 6 y C es igual a 8. Hallar A ciando B sea 15 y C igual 10.

a) 2 b) 4 c) 6

d) 8 e) 5

07.Se tiene dos magnitudes tales que:

es I.P. a B. Si cuando A = 8 entonces B = 6, halar A cuando B sea 4.

a) 9 b) 27 c) 4

d) 32 e) 64

08.Se tiene tres magnitudes A, B y C tales que A es D.P. a

e I.P. a C2 cuando A=8 y B=16 entonces C=6. Hallar B cuando A=9 y C=4.

a) 2 b) 4 c)

d) 6 e) 16

09.Se tiene tres magnitudes A, B y C tales que A es DP a B1/2; A es IP a C2. Cuando A=8, B=16, C=6. Calcular B si A=9 y C=4.

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

10.La magnitud A es DP a B2, e IP a C1/3. Si el valor de B se duplica y el de C disminuye en sus 26/27. Qu sucede con el valor de A?

a) Queda multiplicado por 12

b) Disminuye en 1/11 de su valor

c) Aumenta en 1/11 de su valor

d) Se triplica

e) Se cuadriplica

11.A es DP a D y la suma de B y C e IP a B.C. A=3D cuando B=3 y C=2, siendo: BDP C. Calcular A cuando B es igual a 9 y D=5.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

12.Se tiene la siguiente tabla de valores para dos magnitudes A y B:

A36144324n4

B632918

Hallar n

a) 12 b) 14 c) 16

d) 18 e) 20

13.Sean dos magnitudes A y B tales que: A IP B (B( 30); A DP B (B ( 30). Si A = 6 cuando B = 20. Cul ser el valor de A cuando B = 60?

a) 2 b) 4 c) 8

d) 3 e) 6

14. El peso de un eje vara proporcionalmente a su longitud y a su seccin transversal. Si un metro de hierro forjado de un centmetro de dimetro pesa 0,6 kg. Calcular el peso de un eje de 5m de largo y 5 cm de dimetro.

a) 60kg b) 75kg c) 90kg

d) 105kg e) 120kg

15.Cul es el peso de un diamante que vale 55.000 dlares, si uno de 6 kilates cuesta 19800 y el precio es proporcional al cuadrado de su peso.

(1 kilate = 0.259)

a) 6gb) 6,25gc) 2,5g

d) 25ge) 62,5g

16.Si:

MAGNITUDVALORES ASIGNADOS

A3614432494

B6321218

Determinar la relacin correcta entre A y B

a) AD.P 1/B b) A2 D.P. 1/B c) AI.P.B.2

d)

e)

17.A vara como la suma de 2 cantidades de las cuales una vara como B y la otra inversamente a . Si A = 19 cuando B es 2 3. Hallar A cuando B = 6

a) 28b) 29c) 30

d) 31e) 32

18.Segn la ley de Boyle, la presin es I.P. al volumen que contiene determinada cantidad de gas. a qu presin est sometida un gas, si al aumentar este en 2atm, el volumen vara en 40%

a) 4atmb) 5c) 6

d) 2e) 3

19.Se sabe que una magnitud A vara en forma proporcional a . Hallar el valor de A, si se sabe que al disminuir en 30 unidades entonces el valor se B vara en 9/25 de su valor.

a) 150b) 180c) 120

d) 200e) 90

20.Se tiene 2 magnitudes A y B tales que es I.P. a B si cuando A = 8, B = 6. Hallar A si B = 2

a) 64b) 216c) 512

d) 1000e) 343

TAREA DOMICILIARIA

01.Si X varia a razn directa a Y e inversa al cuadrado de Z. Cuando X = 10 entonces Y= 4 y Z = 14. Hallar X cuando Y = 16 y Z = 7

a) 180b) 160c) 154

d) 140e) 120

02.El precio de un pasaje varia inversamente con el nmero de pasajeros con el nmero de pasajeros, si para 14 pasajeros el pasaje es de S/. 15. Cuntos pasajeros sern cuando el pasaje cueste S/. 6?

a) 31b) 33c) 34

d) 35e) 36

03.Dos magnitudes son inversamente proporcionales si una de ellas disminuye en 1/4 d su valor. En cunto aumenta o disminuye la otra?

a) Aumenta 1/4b) Disminuye 1/4

c Aumenta 1/8 d) Disminuye 1/8

e) Disminuye 1/3

04.Se sabe que la fuerza de atraccin entre 2 cuerpos varia en forma D.P. al producto de sus masas e I.P. al cuadrado de la distancia entre ellos si la distancia entre dos cuerpos aumenta en 20% que pasa con la

fuerza de atraccin entre ellos?

a) Aumenta en 25%

b) Disminuye en 23/8%

c) Disminuye en 69,4%

d) Disminuye en 30,55%

e) Disminuye en 29%

05.Se sabe que A es I.P. con B y que B es I.P. con C. Si cuando A aumenta 15 unidades C varia en 20%. Qu pasa con B cuando A. aumenta en 25 unidades?

a) Aumenta en 10%

b) Aumenta en 20%

c) Disminuye en 15%

d) Disminuye en 25%

e) No varia

06.De las siguientes afirmaciones:

I.El rea de un cuadrado es D.P. a su lado

II.Si A y B son magnitudes I.P. entonces el cociente entre sus valores correspondientes es constante

III.Si A es D.P. a B, B es D.P. a C entonces A es D.P. a C.

Sealar cul es verdadera

a) Slo Ib) Slo IIc) Slo III

d) Slo I y IIIe) N.A.

07.Si A varia en forma D.P. con B y C y C varia en forma D.P. con , cuando A = 160 entonces B = 5, F = 2. Si B = 8 y F = 5. Cunto ser A?

a) 4000b) 3800c) 3500

d) 3200e) 2400

08. La eficiencia se mide en puntos y es D.P. a los aos de servicio e I.P. a la raz cuadrada de la edad del trabajador . Se sabe que la eficiencia de Juan es de 2 puntos cuando tiene un ao de servicio y 25 aos de edad. Cul ser la eficiencia a los 36 aos?

a) 18b) 25c) 28

d) 20e) 22

09. De las siguientes grficas

Hallar: x/y

a) 0,5b) 0,6c) 0,7

d) 0,8e) 2

10.Las magnitudes y B son I.P. y cuando A=20. A es a B como 10 es 9. Qu valor toma A cuando B = 72?

a) 18b) 16c) 10

d) 12e) 15

Dado un conjunto de cantidades, se denomina promedio a una cantidad representativa de las anteriores. El promedio es una cantidad de tendencia central. es por eso que estar comprendida entre la menor y mayor de las cantidades.

Algunos promedios importantes son:

Promedio o Media Aritmtica

Promedio o Media Geomtrica

Promedio o Media Armnica

Por ejemplo, calcule la , y de:

a) 1 y 25 b) 6, 12 y 24 c) 11, 11 y 11

PROPIEDADES:

A. Observando los ejemplos podemos deducir:

1.Para un conjunto de cantidades no todas iguales:

2.Para un conjunto de cantidades iguales:

B. Para 2 cantidades a y b:

1. (a ; b) (a ; b) = a b

2.(a ; b) (a ; b) =

3. =4

Alteraciones en la Media Aritmtica.Por ejemplo, sean los nmeros:

12, 15, 21, 33, 34

Podemos calcular el promedio:

Si a las dos primeras cantidades le aumentamos 7 y le restamos 2 a cada una de las 2 ltimas, veamos que sucede con el promedio:

De donde podemos deducir que:

PRACTICA DE CLASE

01.Hallar el exceso de la M.G. de 16, 24 y 36 sobre la M.H. de 12, 6 y 4.

a) 16 b) 19 c) 20

d) 14 e) 18

02.Si la media armnica de dos cantidades es 160 y su media geomtrica es 200. Cul es su media aritmtica?

a) 150 b) 250 c) 175

d) 275 e) N.a.

03.Hallar la media geomtrica de 10, 4 y 25.

a) 8b) 10c) 5

d) 7e) N.a.

04.Hallar la media geomtrica de:

34; 36; 38 ; 310 y 32

a) 9 b) 27c) 81

d) 729e) N.a.

05.Hallar la media armnica de 4 y 8

a) 7/3b) 3d) 14/3

d) 16/3e) N.a.

06.Hallar la media armnica de 3/4; 4/5 y 1/2

a) 36/55b) 25/44c) 13/33

d) 9/22e) N.a.

07.Para dos nmeros a y b, tales que: a=9b, se cumple que: Mg=k(Mh). Calcular el valor de k.

a) 1,6b) 2,4c) 1,8

d) 2,5e) Ninguna

08.La mh de dos cantidades es 16/3; su ma es 3. Cul es su mg?

a) 4 b) 5 c) 2

d) 6 e) Absurdo

09.Hallar la media geomtrica de: 2, 1, 1/8, 64

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 2,25

10.Calcular la Mh de los nmeros 2,3 y 4.

a) 25/11 b) 22/13 c) 36/13

d) 48/11 e) N.a.

11.Calcular la Mh de 2,3,4 y 5.

a)12/13 b) 3/44 c) 3/11

d) 240/77 e) 15/19

12.Si la suma de dos nmeros es "a" y su producto es "b". Calcular su Mh.

a) 2a/b b) 2b/a c) (ab

d) a/2b e) N.a.

13.Hallar la media armnica de (Mh) de los siguientes nmeros:

4,6,8,10,12,14

a) 5.53 b) 6.53 c) 7.53

d) 8.53 e) N.a.

14.Dos nmeros estn en la relacin de 4 a 25, en qu relacin estn sus media aritmtica y geomtrica?

a) 29 : 20 b) 23 : 20 c) 26 : 25

d) 31 : 20 e) 30 : 29

15.Cuatro nmeros que estn en la relacin 3, 4, 5 y 6. En qu relacin estn la ma. y la m.h. de dichos nmeros?

a) 161/150b) 170/161c) 171/161

d) 171/160e) 171/165

16.Sabiendo que la M.a. y la M.g. de dos nmeros a y b estn en razn de 5 a 4. Hallar entonces en que razn estn los nmeros a y b.

a) 5 a 1 b) 3 a 2 c) 4 a 1

d) 4 a 3 e) N.A.

17.El producto de la Ma., Mg., Mh. de dos nmeros enteros es 8000 y la mayor diferencia entre dos de las medias es 9. Determinar el valor del menor de los nmeros.

a) 6b) 5c) 2

d) 10e) 15

18.Las medias armnicas de a y c, b y c y a y b estn en la misma relacin que los nmeros 2, 3 y 6. Calcular la menor suma entera de a, b y c

a) 1b) 10c) 20

d) 37e) 47

19.Hallar dos nmeros tales que su media aritmtica sea 18,5 y su media geomtrica 17,5.

a) 10 y 25b) 11,5 y 25,5

c) 13 y 24d) 12,5 y 24,5

e) N.a.

TAREA DOMICILIARIA

01. La suma de la M.a. y M.g. de los nmeros : 0., 1. y 7. es:

a) 44/3 b) 44/6 c) 22/9

d) 44/9 e) 42/9

02.Calcular la M.G. de los nmeros 4,6 y 9.

a)6 b)

c) 6(6

d) 4 e) 16

03.Calcular la M.G. de los nmeros 8,27,3 y 512.

a) 24 b) 48 c) 12

d) 36 e) N.a.

04.Hallar el promedio geomtrico de los nmeros 3; 4 y 18.

a) 3,5b) 4c) 5

d) 6e)

05.Hallar el promedio armnico de 1; 2; 3 y 6

a) 1,8b) 2c) 2,1

d) 3e) 4

06.Hallar 2 nmeros sabiendo que su Ma. es 5 y su Mh es 24/5

a) 7 y 3b) 8 y 2 c) 6,5 y 3,5

d) 6 y 4e) N.a.

07.La suma de 2 nmeros es 100 y su M.h. es 32. La M.g. de ellos es:

a) 32 b) 132 c) 64

d) 1600 e) 40

08.Si la Mh de dos nmeros a y b es x y la Mh de las inversas de dichos nmeros es y. Encontrar la Mg de a y b.

a) xyb) y/xc)

d)

e) N.a.

09.El doble de la M.a. de dos nmeros es igual al cuadrado de su M.g. mas 1. Si uno de los nmeros es 77, el otro ser:

a) 144 b) 11 c) 7

d) 1 e) Absurdo

10.Hallar n si la M.g. de:

es 356

a) 4b) 5c) 6

d) 7e) 8RAZONES Y ppPROPORCIONES

MAGNITUDES Y PROPORCIONES

medias i

Ma, Mg, Mh

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