Universidad Nacional Autónoma de México

Posgrado de Ingeniería

Seminario de Investigación

México, D.F., a 25 de abril del 2011

1 INTRODUCCÍON

1.1 Antecedentes

La construcción de una estructura y su cimentación

causa cambios en el estado de esfuerzos en la masa de

suelo que la soporta. Estos incrementos en los esfuerzos

dependen de la magnitud de la carga, la forma del área

cargada, la geometría de la carga, la profundidad del

desplante, entre otros.

En este artículo se van a describir las distintas

soluciones para tratar con los problemas de ingeniería

civil en los cuales es necesario determinar el estado de

esfuerzos inducido en la masa de suelo. Estas soluciones

se basan en la Teoría de la elasticidad, desde luego que el

uso de esta teoría involucra grandes simplificaciones, que

pueden estar alejadas de las características de un suelo

real, sin embargo, se reconoce que las soluciones a las que

se llega, aunque aproximadas, son lo suficientemente

precisas para la práctica profesional.

Los suelos son materiales complejos que no pueden

modelarse matemáticamente sin introducir hipótesis que

simplifiquen su caracterización. Para el cálculo de

esfuerzos se hacen las siguientes hipótesis:

Es un medio continuo: el suelo en realidad es un me-

dio particulado, sin embargo esta hipótesis evita las

complicaciones de la distribución de esfuerzos deri-

vadas de las concentraciones de esfuerzos en los con-

tactos, las fisuras, las grietas y demás imperfeccio-

nes.

Es un medio homogéneo: esto significa que las pro-

piedades mecánicas son las mismas en todos los pun-

tos del medio. Es decir el medio no tiene vetas, man-

chas o puntos débiles, blandos o duros.

Es un medio isótropo: esto significa que sus

propiedades no son direccionales, es decir, no de-

penden de la dirección en que se mida.

Es un medio linealmente elástico: lo cual significa

que todo incremento de esfuerzos está asociado a un

incremento de deformación proporcional.

A pesar de numerosos estudios experimentales y

analíticos disponibles en la literatura técnica sobre

asentamientos y esfuerzos en suelos sometidos a cargas,

todavía existe la necesidad de modelos con la capacidad

de analizar el caso general de un área de forma arbitraria

sometida a cargas puntuales o uniformemente

distribuidas, como se explicó anteriormente. En base a

esto, se desarrollaron algoritmos basados en la ecuación

de Boussinesq capaces de predecir los esfuerzos y los

asentamientos en cualquier punto a profundidad

determinada en un medio o estrato, los cuales se

explicarán a continuación.

1.2 Objetivos

El artículo se propone describir algunas de las teorías

utilizadas en la actualidad para el cálculo de los esfuerzos

en el interior de un semi-espacio linealmente elástico

debido al efecto de una carga aplicada expuestas por

grandes investigadores como Boussinesq, Newmark,

Westergaard y Frohlich. Se presenta también el trabajo

realizado por el Ing. Julio Damy donde integra las

ecuaciones de dichas teorías, y las aplica para cualquier

polígono.

1.3 Alcances

El artículo comprende la descripción de diferentes

métodos propuestos por algunos autores para calcular el

incremento de esfuerzo vertical en la masa de suelo

debidos a cargas aplicadas; con la finalidad de establecer

comparaciones entre ellos que faciliten la selección del

DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS EN EL SUELO

Stress distribution in the soil

Ing. Vanessa Mussio Arias, Alumno de Posgrado de Ingeniería, UNAM

RESUMEN: Este artículo describe los métodos utilizados para determinar la distribución de los esfuerzos verticales en

la masa de suelo debido a la aplicación de cargas. Esto es, naturalmente, de gran importancia en el análisis de

asentamientos, debido a que el mismo es proporcional al peso propio de la estructura y al incremento en los esfuerzos

verticales de la masa de suelo. En la mayoría de los casos, el incremento del esfuerzo vertical es el factor de mayor

importancia en el análisis de asentamientos.

ABSTRACT: This article describes commonly used methods to determine the increase in stress in the soil deposit due to

applied loads. This is naturally important in settlement analysis because the settlement of the structure is due directly to

its weight, which causes an increase in stress in the underlying soil. In most cases, it is the increase in vertical stress that

is of most importance in settlement analyses.

Distribución de esfuerzos en el suelo

procedimiento apropiado según el caso práctico al que

corresponda.

2 TEORÍA DE BOUSSINESQ

2.1 Discusión general

En 1885, Boussinesq publicó ecuaciones basadas en la

teoría de la elasticidad, para la determinación de los

esfuerzos normales y cortantes en un punto cualquiera,

causados por una carga puntual concentrada en la

superficie horizontal de un medio semi-infinito,

homogéneo, linealmente elástico e isotrópico.

Aunque las ecuaciones y los gráficos basados en la

teoría de elasticidad son de uso frecuente para determinar

el cambio de esfuerzos en el suelo, se conoce que el

mismo no es un material elástico. Por ejemplo, si una

carga pesada se aplica a un depósito de suelo, habrá

deformación vertical del suelo en respuesta a esta carga. Si

se quita esta carga pesada, el suelo rebotará pero no

volverá a su altura original, comprobando que el suelo no

se comporta como una material totalmente elástico.

Sin embargo, se ha indicado que mientras el valor

obtenido entre el factor de la seguridad y el esfuerzo de

falla sea mayor de 3, los esfuerzos impuestos por la carga

de la fundación son aproximados a los valores obtenidos

con la teoría de elasticidad. (NAVFAC DM-7.1 1982)

Por esto, al evaluar la cercanía que existe entre las

hipótesis en el desarrollo de la teoría y las condiciones

reales en campo, se puede llegar a la conclusión que no es

apropiada la Teoría de Boussinesq. Sin embargo, al

comparar los resultados de experimentos realizados tanto

en el laboratorio como en el campo se puede concluir que

guardan suficiente aproximación con las predicciones.

2.2 Carga aplicada

Para una carga puntual Q, aplicada en la superficie del

suelo tal como muestra en la Figura 1, el incremento del

esfuerzo vertical en cualquier profundidad, z, y a una

distancia, r, de la carga puntual puede ser calculada

usando la siguiente ecuación de Boussinesq:

( ) ⁄ ( )

Si en vez de ser una carga puntual, se trata de una carga

linealmente uniforme (fuerza por longitud de unidad), el

incremento del esfuerzo vertical en una profundidad, z, a

una distancia, r, de la carga linealmente uniforme sería:

( ) ( )

Par una misma carga Q, los resultados obtenidos con la

Ec. 2 serán mayores que los esfuerzos verticales obtenidos

con la Ec. 1.

Figura 1. Representación de los Términos de la

Ecuación de Boussinesq (Robert W. Day, 2000)

3 GRÁFICOS Y ECUACIONES BASADOS EN LA

TEORÍA DE BOUSSINESQ

3.1 Método aproximado

Uno de los primeros métodos utilizados para encontrar

el incremento de esfuerzo vertical en el suelo, a una

profundidad z cualquiera, debido a una carga

uniformemente distribuida P, colocada en una superficie

rectangular de ancho B y largo L.

Este método supone que la zona donde la P actúa, se va

distribuyendo en el suelo, ampliándose, desde la de

contacto, hasta una zona más grande que va a ser en

función de la profundidad, y que va a ir creciendo con una

pendiente 2:1 (V:H), tal como se muestra en la Figura 2.

Figura 2. Método aproximado para la determinación del

incremento del esfuerzo vertical. (Robert W. Day, 2000)

Ing. Vanessa Mussio Arias

3.2 Bulbo de presiones

En la Figura 3 se observa la zona del suelo donde se

producen incrementos de carga vertical por efecto de una

carga aplicada del tipo que sea. Esta zona forma un bulbo

llamado presiones, y está conformada por isóbaras que son

curvas que unen puntos de un mismo valor de presión o de

esfuerzo.

Figura 3. Bulbos de presiones (Bowles 1982)

Se admitió la hipótesis de que la transmisión de las

presiones en la masa de suelo se difunde dentro de un

cierto ángulo y que éstas van decreciendo con

uniformidad hacia abajo por capas sucesivas, y con

repartición uniforme. La presión no es uniforme, sino que

es mayor en el centro, disminuyendo de intensidad hacia

los extremos. Esta particularidad, combinada con la

elasticidad que generalmente tiene el suelo, hace que la

resultante de las presiones esté aproximadamente, al

centro de la fundación. El bulbo de presiones, tiene gran

influencia en el diseño, cálculo y resultado de las

cimentaciones. Sin embargo, su efecto corresponde, no al

asentamiento inicial, sino al subsecuente.

3.3 Teoría de Westergaard

Casagrande observó que en los suelos compresibles con

finos estratos de arena o limo, alternados con otros de

arcilla (arcillas finamente estratificadas), las láminas de

arena y limo actúan como refuerzos del conjunto,

limitando o restringiendo la deformación horizontal de la

masa. Considerando esto, la utilización de la Teoría de

Boussinesq no es recomendable, pues la misma arroja

resultados poco aproximados, por la condición no

isotrópica del suelo.

Westergaard (1938) obtuvo una solución elástica lineal

particular para estos casos, donde se supone que el suelo

se encuentra reforzados lateralmente por numerosas

laminaciones horizontales de espesor sumamente pequeño

pero de rigidez infinita, como se muestra en la Figura 6.

O mediante la siguiente ecuación:

√( )( )

[( )( )

( )

]

⁄ ( )

Figura 4. Determinación del incremento del esfuerzo

vertical basado en la teoría de Wetergaard (Duncan y

Buchignani, 1976)

Esta figura arroja mejores resultados en la

determinación del incremento del esfuerzo vertical para un

suelo estratificado, cuando el suelo es una arcilla blanda

con numerosas laminaciones horizontales de arena.

3.4 Teoría de Newmark

En 1935, Newmark basándose en la ecuación y

solución de Boussinesq desarrolló una nueva ecuación

para determinar el incremento de esfuerzos en la esquina

de un área cargada uniformemente. La Figura 4 que se

muestra a continuación, permite calcular el valor de

influencia de manera sencilla. Entrando a la gráfica con el

Distribución de esfuerzos en el suelo

valor de n y, la intersección con la curva deseada de m, se

obtiene el valor Iw del coeficiente de influencia del eje

vertical. Con éste valor de Iw y el valor de la carga q0 se

obtendrá el incremento de esfuerzo a cualquier

profundidad.

Figura 5. Determinación del incremento del esfuerzo

vertical en la esquina de un área cargada (NAVFAC DM-

7.1, 1982)

Esta figura también puede ser utilizada para determinar

el incremento del esfuerzo vertical en el centro de un área

rectangular uniformemente cargada. Para este caso,

primero se divide el área rectangular en 4 parte, se

determina el valor del coeficiente de influencia en la

esquina de una de las partes y posteriormente se multiplica

el valor del incremento del esfuerzo vertical obtenido por

4, resultando así, el valor del incremento del esfuerzo

vertical al centro del rectángulo.

En 1942 Newmark ideó una solución gráfica para

encontrar de manera aproximada el incremento de

esfuerzo vertical debajo de cualquier punto de una

fundación, con cualquier tipo, forma de carga y en un

medio que cumple con las hipótesis de Boussinesq. A esta

solución se le llama Carta de Newmark, como se observa

en la Figura 5.

Posiblemente la máxima utilidad de la Carta de

Newmark aparezca cuando se tiene una zona con diversas

áreas cargadas uniformemente, pero con cargas de

distintas intensidades, pues es este caso los métodos antes

vistos requerirían muchos cálculos, mientras que la carta

de Newmark funciona sin mayor dificultad.

Figura 6. Carta de Newmark para determinación del

incremento del esfuerzo vertical (Newmark, 1942)

3.5 Teoría de Frohlich

Frohlich propuso una fórmula para calcular la

distribución de esfuerzos verticales en la masa de suelo

debido a cargas aplicadas en la superficie, la cual se puede

calcular por medio de la siguiente expresión para una

carga concentrada p;

[

( ) ]

( )

El valor X, es el factor de distribución de esfuerzos de

Frohlich, el cual depende de las condiciones estratigráficas

y mecánicas de compresibilidad del suelo:

X=1.5, aproximadamente la solución de

Westergaard para un suelo fuertemente

estratificado reforzado por estratos horizontales

múltiples e indeformables, ν= 0.

X=2, suelo estratificado, con estratos de

diferentes deformabilidades.

X=3, solución de Boussinesq, suelo homogéneo e

isotrópico.

X=4, suelo homogéneo en que la compresibilidad

se reduce en la profundidad, como en el caso de

las arenas

Ing. Vanessa Mussio Arias

3.6 Trabajo del Ing. Julio Damy

El ingeniero Julio Damy realiza una contribución muy

importante al estudio de la distribución de esfuerzos en la

masa de suelo al desarrollar con base en la geometría del

triangulo, una serie de fórmulas mediante las cuales se

puede calcular dicha influencia de las cargas en el suelo

para cualquier polígono. Desarrollando tres formulas

correspondientes a la teoría de Boussinesq, Westergaard y

Frohlich.

Además, aplicando de una manera muy simple las

formulas del triangulo, se llegan a obtener fórmulas para

rectángulos correspondientes a la teoría de los mismos

autores antes mencionados, como se muestra a

continuación:

Ecuación de Boussinesq:

,(

) (

)

( ) ⁄

( ) ⁄- ( )

Ecuación de Frolich:

,[(

)

( )]

* ( )

( ) ⁄ (

( ) ⁄)+

* ( )

( ) ⁄ (

( ) ⁄)+-

Ecuación de Westergard:

(

( ) ⁄) ( )

Donde:

√

( ) ( )

4 CONCLUSIONES

1. La fórmula de Boussinesq es utilizada para suelos

homogéneos e isotrópicos.

2. La fórmula de Westergaard aplica cuando el

suelo está fuertemente estratificado reforzado por

estratos horizontales múltiples e indeformables.

El resultado es 2/3 menor al de Boussinesq, a

causa que los estratos horizontales toman parte de

estos esfuerzos.

3. La máxima utilidad de la Carta de Newmark,

además de ser un método gráfico muy sencillo, es

cuando se tiene una zona con diversas áreas

cargadas uniformemente, perco con cargas de

distintas intensidades, pues es este caso los

métodos antes vistos requerirían muchos

cálculos, mientras que la carta de Newmark

funciona sin mayor dificultad

4. La fórmula de Frohlich aplica para superficie de

una medio semi–infinito, elástico y an-

isotrópico.

5. El ingeniero Julio Damy realiza una contribución

muy importante al estudio de la distribución de

esfuerzos en la masa de suelo al desarrollar con

base en la geometría del triangulo, una serie de

fórmulas mediante las cuales se puede calcular

dicha influencia de las cargas en el suelo para

cualquier polígono.

5 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Bowles, J. E (1982). “Foundation Analysis and

Desing”. Estados Unidos, New York. Editorial Mc Graw

Hill. Second Edition: 816 pp.

Damy R. Julio, Integración de las superficies de

Boussinesq, Westergaard y Frölich sobre superficies

poligonales de cualquier forma cargadas por fuerzas

verticales uniformemente repartidas.

Day, R. (2000). “Geotechnical Engineer’s portable

handbook”. Estados Unidos, New York. Editorial Mc

Graw Hill. Second Edition: 6.2- 6.22 pp.

Juárez Badillo y Rico Rodríguez (2008). “Mecánica de

suelos, Tomo II, Teoria y aplicaciones de la mecánica de

suelos”. México. Editorial Limusa: 38-41 pp.

NAVFAC DM-7.1 (1982). “Soil Mechanics, Desing

Manual 7.1, Department of the Navy”. Naval Facilities

Engineering Command, Alexandria, Va., 364 pp.

Terzaghi, Peck and Mesri. (1996). “Soil Mechanics in

Engineering practice”. India, New Delhi. Editorial John

Wiley and Sons, Inc. Third Edition: 291-297 pp.

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