Asíntota 1

Asíntota

Gráfica de dos hipérbolas y sus asíntotas en elplano cartesiano.

En matemática, se le llama asíntota a una línea recta que se aproximacontinuamente a otra función o curva; es decir que la distancia entre lasdos tiende a ser cero (0), a medida que se extienden indefinidamente.También se puede decir que es la curva la que se aproximacontinuamente a la recta; o que ambas presentan un comportamientoasintótico.

Historia y significado

La palabra asíntota se confunde coloquialmente con rectaasintótica. Deriva del gr: ἀσύμπτωτος —asýmptōtos—“aquello que no cae”; en donde a- posee un valor privativo(= no), mientras que sym-ptōtos- connota a aquello que«cae» o «cae junto (a algo)». Se suele agregar a la definiciónde asíntota a una curva, el que «no se encuentran nunca».[1]

Esta interpretación intuitiva está plasmada por Apolonio dePerga, en su conocido tratado Sobre las secciones cónicas,para referirse a una recta que no interseca a una rama deuna hipérbola.[2]

En geometría, el comportamiento asintótico se refiere a unaeventual propiedad entre curvas, y más precisamente, entrefunciones o partes de funciones: segmentos de recta, hojasde hipérbola o de parábola, etc. Es en este sentido que sehabla de «recta asintótica» como tangente al infinito de unarama parabólica, o bien de curvas asintóticas.

Su estudio más profundo desborda el mero campo deaplicación de la geometría elemental y el trazado de curvasplanas; con el desarrollo del álgebra y del cálculoinfinitesimal, las nociones intuitivas «tiende a infinito» y«tiende a cero» se formalizan (netamente con el concepto delímite matemático), y con ello también el cálculo de asíntotas.

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Gráfica de asíntotasLas asíntotas ayudan a la representación de curvas, proporcionan un soporte estructural e indican su comportamientoa largo plazo. En tanto que líneas rectas, la ecuación de una asíntota es simplemente la de una recta, y su expresiónanalítica dependerá de la elección del sistema de referencias (y = m•x + b en coordenadas cartesianas).Si bien suelen representarse en un mismo sistema de coordenadas, las asíntotas no forman parte de la expresiónanalítica de la función, por lo que -en numerosos ejemplos- no están incluidas explícitamente dentro de la gráfica, obien se las indica con una línea punteada.En muchos casos, las asíntotas coinciden con los ejes de coordenadas, es decir que sus ecuaciones en coordenadascartesianas serán: x = 0, y = 0.Se distinguen tres tipos:• Asíntotas verticales: rectas perpendiculares al eje de las abscisas, de ecuación x = cte.• Asíntotas horizontales: rectas perpendiculares al eje de las ordenadas, de ecuación y = cte.• Asíntotas oblicuas: si no son paralelas o perpendiculares a los ejes, de ecuación y = m•x + b.Nota: cte=constante.

Las ramas de la función tienen asíntotas.

Los ejes son las asíntotas.

Las ramas de la función tienen asíntotas.

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Comportamiento asintótico entre unacurva y una recta.

Determinación analítica de asíntotas

En análisis, cálculo y geometría analítica, el comportamiento de funciones notriviales en las cercanías de puntos de «indefinición» (tales como la divisiónpor cero o las formas indeterminadas), aportan información valiosa sobre sugráfica, y en este contexto las asíntotas surgen naturalmente como«soluciones» (o direcciones) en estos puntos. En este sentido, una funciónpuede tener una «asíntota por la derecha» pero no por la izquierda (oviceversa); o bien una recta puede intersecar a una curva en un número finito(o infinito) de puntos, y presentar de todos modos un comportamientoasintótico.

Cálculo de asíntotas por medio de límites

•• Asíntota vertical

Se llama Asíntota Vertical de una rama de unacurva y = f(x), a la recta paralela al eje y que haceque la rama de dicha función tienda a infinito. Siexiste alguno de estos dos límites:

a la recta x = a se la denomina asíntota vertical.Ejemplos: logaritmo neperiano, tangente

•• Asíntota horizontal

Se llama Asíntota Horizontal de una rama deuna curva y = f(x) a la recta paralela al eje xque hace que la rama de dicha función tienda ainfinito. Si existe el límite:

, siendo a un valor

finitola recta y = a es una asíntota horizontal.Ejemplos: función exponencial, tangentehiperbólica

•• Asíntota oblicua

La recta de ecuación y = mx + b (m ≠ 0) seráuna asíntota oblicua si:

.

Los valores de m y de b se calculan con las

fórmulas: ;

.

Asíntotas de funciones racionalesEn la representación gráfica de una función racional juega un papel esencial, cuando existen, las asíntotas. Si bien esposible aplicar el método por límites descrito anteriormente, en el caso de funciones racionales, suelen utilizarsetécnicas algorítmicas que no precisan del análisis matemático.Una función racional puede tener más de una asíntota vertical, pero solo una que sea horizontal u oblicua (es decirque si tiene asíntota horizontal entonces no puede tener asíntota oblicua, y viceversa).• El dominio de la función determina las asíntotas verticales.• La división de polinomios proporciona las asíntotas horizontales u oblicuas.Para mayor claridad, sea:

Si , hay una asíntota horizontal de ecuación: y = 0.Si , hay una asíntota horizontal de ecuación: y = am/bn (el cociente de los coeficientes principales).Si , no hay asíntota horizontal; si el grado del numerador es exactamente uno más que el denominador, hayuna asíntota oblicua, y su ecuación viene dada por el cociente de la división de los polinomios.Las asíntotas verticales se dan en los valores que anulan el denominador pero no el numerador. Si hay una raíz encomún, se compara la multiplicidad de las raíces.Ejemplos:

1. La función homográfica tiene dos asíntotas, AV: x = -d/c , AH: y = a/c

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2. En el caso particular las asíntotas son los propios ejes cartesianos.

Función racional con Asíntota Oblicuay dos Asíntotas Verticales

Función racional con Asíntota Horizontaly dos Asíntotas Verticales

EjemplosLas más variadas funciones evidencian del comportamiento asintótico: desde el simple gráfico de una curva plana endos dimensiones, hasta superficies tridimensionales más complejas; tanto en funciones algebraicas (polinómicas,racionales) como trascendentes (trigonométricas, logarítmicas, exponenciales), ya sea en coordenadas cartesianas,polares, etc.Las asíntotas actúan como curvas guía para graficar otras curvas, o funciones.

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Funciones trascendentes

tan(x)Asíntotas verticales cada π/2.

ln(x)Asíntota vertical hacia abajo.

exp(x)Asíntota horizontal a la izquierda.

Curvas polares

Espiral inversa de Arquímedes

Asíntota en .

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Curva de Kappa

Folium de Descartes

Asíntota en .

Curvas asintóticas

Tridente de Newton:.

Asíntotas: la parábola de ecuación ,

y la hipérbola de ecuación .

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Función: ,

Asíntota curvilínea: .

Superficies y estructurasTrompeta de TorricelliLa superficie es asintótica a una recta que pase por su centro.

En este ejemplo, obtenida al rotar la curva y=1/x sobre el eje x.

Hiperboloide

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AsíntotasLa estrecha relación entre asíntotas e hipérbolas se prolonga, en tres dimensiones, a los hiperboloides,

aproximándose a un cono asintótico.[3]

En tanto que soportes rectos, las líneas asintóticas proveenestabilidad, como se aprecia en las estructuras hiperboloides.

Notas y referencias[2] Al igual que en el caso de las cónicas, es posible que fuera

Apolonio el primero en utilizar la palabra Asíntota.[3] http:/ / www. sciencemuseum. org. uk/ images/ I046/ 10314748.

aspx

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Enlaces externos• Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre AsíntotaCommons.• Asymptote (http:/ / planetmath. org/ ?op=getobj& amp;from=objects& amp;id=6100) en PlanetMath• « Apollonius of Perga Conics Books One to Seven (http:/ / www. math. psu. edu/ katok_s/ Commentaries-new.

pdf)» (en inglés).• Hyperboloid and Asymptotic Cone, string surface model, 1872 (http:/ / www. sciencemuseum. org. uk/ images/

I046/ 10314748. aspx) from the Science Museum

Fuentes y contribuyentes del artículo 10

Fuentes y contribuyentes del artículoAsíntota  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=69163999  Contribuyentes: .José, 2A01:E35:2E0F:BC40:9114:FF56:A4C8:1193, Acratta, Alhen, Banfield, Belgrano, Casestrain,Diegusjaimes, Dodo, Echani, Eduardosalg, Er Komandante, Farisori, Fer1578, Findeton, Fonsi80, Ggenellina, Gustronico, HernandoJoseAJ, Humberto, JMCC1, Jairahat, Jerowiki, Jjdeharo,Jkbw, JorgeGG, Jsanchezes, Juan S., Kved, Leonpolanco, Linkedark, Mafores, MarcoAurelio, Mauricio fdez, Mel 23, Miss Manzana, Moriel, Mrexcel, Neodop, Nicop, Offray, Raulshc, Stuffy,Tirithel, Unificacion, Virus881, Wiki Wikardo, 171 ediciones anónimas

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