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el blog de mate de aida CSI: Límites y continuidad. pág.1
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
0xx significa que x toma valores cada vez más próximos a 0x .
Se lee “x tiende a 0x ”.
Ejemplo: 0; 1,9; 0,5; 1,4; 0,8; 1,1; 0,95; 1,01; 0,999; …
Es una secuencia de números cada vez más próximos a 1.
Escribimos x1.
0xx significa que x toma valores cada vez más próximos a 0x , pero menores que 0x .
Se lee “x tiende a 0x por la izquierda”.
Ejemplo: la secuencia: 0; 0,5; 0,8; 0,95; 0,99; …
Está formada por números menores que 1 y cada vez más próximos a 1.
Escribimos x 1 .
0xx significa que x toma valores cada vez más próximos a 0x , pero mayores que 0x .
Se lee “x tiende a 0x por la derecha”.
Ejemplo: la secuencia: 2; 1,5; 1,1; 1,01; 1,001; …
Escribiremos x 1 .
Estudiaremos el comportamiento de la función cuando x se aproxima a 0x :
El comportamiento de f(x) cuando
0xx , se expresa así:
)(lim0
xfxx
(límite de f(x) cuando x tiende a 0x por la izquierda)
El comportamiento de f(x) cuando
0xx , se expresa así:
)(lim0
xfxx
(límite de f(x) cuando x tiende a 0x por la derecha)
El comportamiento de f(x) cuando 0xx , se expresa así:
)(lim0
xfxx
(límite de f(x) cuando x tiende a 0x )
Ejemplo: 5)( 2 xxf
x 0 0,9 0,99 …
f(x) 5 5,81 5,9801 …
6)(1
xflimx
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x 2 1,1 1,01 …
f(x) 9 6,21 6,02 …
6)(lim1
xfx
Por lo tanto, cuando los valores de x se aproximan a 1, los valores de f(x) se aproximan a 6:
6)(lim1
xfx
Límite de una función
En resumen: Si Lxfxfxxxx
)(lim)(lim
00
, decimos que Lxfxx
)(lim0
.
Decimos que la función es convergente en x = 0x .
Si los dos límites laterales no toman el mismo valor, se dice que no existe el )(lim0
xfxx
. Y la función no
es convergente en x = 0x .
Límites infinitos cuando x tiende a un número finito. Asíntotas verticales de una función
)(lim0
xfxx
(límite de f(x) cuando x tiende a 0x por la izquierda):
)(lim
0
xfxx
Cuando
0xx , f(x) toma valores cada vez más grandes, llegando a superar cualquier valor, por
grande que sea.
Ejemplo: 2
1
1)(
xxf
x 0 0,9 0,99 …
f(x) 1 100 10000 …
)(1
xflimx
)(lim0
xfxx
(límite de f(x) cuando x tiende a 0x por la izquierda):
)(lim
0
xfxx
Cuando
0xx , f(x) toma valores cada vez más grandes pero negativos, llegando a superar cualquier
valor, por grande que sea.
Ejemplo: 1
1)(
xxf
x 0 0,9 0,99 …
f(x) -1 -10 -100 …
)(1
xflimx
el blog de mate de aida CSI: Límites y continuidad. pág.3
La idea de límites infinitos de una función cuando x tiende a un número real por la derecha o por la
izquierda se ve en la siguiente imagen:
Cuando ambos límites laterales son infinitos, observamos que la función presenta una asíntota vertical
en dicho punto 0x .
Ejemplo:
)(1
xflimx
;
)(lim1
xfx
LÍMITES FINITOS EN EL INFINITO
Para expresar que x toma valores cada vez más grandes, ponemos x + . Se lee “x tiende a más
infinito”.
Por ejemplo, si x toma los valores 10, 100, 1000, 10000, …, decimos que x + .
)(xflimx
(límite de f(x) cuando x tiende a más-infinito)
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Análogamente, si x toma los valores - 10, - 100, - 1000, - 10000, …, decimos que x - .
)(xflimx
(límite de f(x) cuando x tiende a menos-infinito)
Cuando x + , si los valores de f(x) son cada vez más próximos a un número L, se trata de un límite
finito cuando x tiende a + .
Lxflimx
)(
Ejemplo: 5
32)(
2
2
x
xxf
x 10 100 1000 …
f(x) 1,876 1,9987 1,99999987 …
Es decir, 2)(
xflimx
Cuando los límites en el infinito son un número finito, observamos que la función presenta una asíntota
horizontal de ecuación y = L.
Ejercicio: Dada la siguiente función, calcula los límites en - , - 2, 1 y + .
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LÍMITES INFINITOS EN EL INFINITO
)(xflimx
Cuando x + , los valores de f(x) crecen cada vez más.
)(xflimx
Cuando x + , los valores de f(x) son cada vez más “negativos”.
)(lim xfx
Cuando x - , los valores de f(x) crecen cada vez más.
)(lim xfx
Cuando x - , los valores de f(x) son cada vez más “negativos”.
existenoxflimx
)( Cuando x+, los valores de f(x) ni crecen ni decrecen indefinidamente,
ni se acercan cada vez más a ningún número.
Los comportamientos que pueden darse:
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OPERACIONES CON LÍMITES DE FUNCIONES
Sean f y g dos funciones tales que existan )(xflimax
y )(xglimax
y c un número real, (a puede ser un
valor real o ), entonces:
PROPIEDADES FUNCIÓN OPERACIONES
)()())(( xglimxflimxgflimaxaxax
Suma Adición
)()())(( xglimxflimxgflimaxaxax
Diferencia
)()·())(·( xglimxflimxgflimaxaxax
Producto Multiplicación
Y
división
)(
)())((
xglim
xflimx
g
flim
ax
ax
ax
Cociente
)(limlog)(loglim xfxfax
aaax
Función logarítmica Logaritmo del límite
)()( )()(xglim
ax
xg
ax
axxflimxflim
Potencia Potenciación
Estas relaciones son ciertas siempre que tengan sentido las operaciones definidas con números reales o
las definidas al añadir los elementos + y -. En caso contrario no es posible obtener el límite del
primer miembro a partir de los límites del segundo.
Cuando esto ocurre se dice que el cálculo del límite es indeterminado. Esta expresión no significa que el
límite no exista o no se pueda determinar, sino que la aplicación directa de los teoremas tal y como
están enunciados es imposible. Los casos de indeterminación son los siguientes:
Racionales Exponenciales
k/0, /, 0·, -, 0/0 1 , 0 , 00
Si al calcular un límite se presenta alguno de estos casos, conviene transformar la expresión de la
función en otra equivalente a la que sí puedan aplicarse los teoremas de los límites. Las
indeterminaciones que vamos a estudiar este curso son las siguientes:
INDETERMINACIONES TIPOS
0
L
0
K
0
0
0
0
0
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(+)-(+) -
(-)-(-)
(+)+(-)
(-)+(+)
OPERACIONES CON EXPRESIONES EN QUE APARECE ∞
SUMA Y RESTA PRODUCTO
K
0
0
ksi
ksi·k
K
0
0
ksi
ksi·k
K ·
K ·
·
COCIENTE POTENCIA
0
kk
100
1
ksi
ksik
000
10
10
ksi
ksik
0
0
0 ksi
ksik
00
0
ksi
ksik
0
0 0
el blog de mate de aida CSI: Límites y continuidad. pág.8
CÁLCULO DE LÍMITES SENCILLOS
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CÁLCULO DE LÍMITES
Cálculo de límites de una función en un punto
El primer paso para calcular un límite es sustituir el número al que tiende x en la función.
1. El límite de una constante, en cualquier punto, es ella misma:
kklimax
2. El límite de una función polinómica, f(x)=P(x), cuando xa, coincide con P(a).
)()( aPxPlimax
Ejemplo: 1512852·3253 2323
2
xxlim
x
3. El límite de un cociente de polinomios, f(x)=P(x)/Q(x), cuando xa, coincide P(a)/Q(a) si P(a)0 y
Q(a)0.
)(
)(
)(
)(
aQ
aP
xQ
xPlim
ax
Ejemplo: 5
3
25
15
23
3·23
2
23
2
3
2
3
x
xxlimx
4. Indeterminación 0
0
a) La indeterminación 0/0 de funciones racionales desaparece descomponiendo en factores el
numerador y el denominador y simplificando.
Ejemplos:
0
6
0
4
2
42
2)(
0
0
82
44
2
2
22
2
2
x
xlim
xx
xlimIND
xx
xxlim
xxx
3
1
3
44
2
443
23)(
0
0
12167
652
2
32
2
323
23
3
xx
xxlim
xxx
xxxlimIND
xxx
xxxlim
xxx
b) La indeterminación 0/0 de funciones con radicales desaparece multiplicando y dividiendo la función
por la expresión radical conjugada.
Ejemplos:
21·5
21
21·5
21·21)(
0
0
5
21 22
555 xx
xlim
xx
xxlimIND
x
xlim
xxx
4
1
21
1)(
0
0
21·5
5
55
xlimIND
xx
xlim
xx
22222
11
11·2
11·11
11·2)(
0
0
11
2
x
xxlim
xx
xxlimIND
x
xlim
xxx
el blog de mate de aida CSI: Límites y continuidad. pág.10
211211)(0
0
2
11·2
22
xlimIND
x
xxlim
xx
352
95
352
3535)(
0
0
2
35
22
2
222
22
22
2
2 xxx
xlim
xxx
xxlimIND
xx
xlim
xxx
3
1
12
4
35
2
352
22)(
0
0
352
4
222222
2
2
xx
xlim
xxx
xxlimIND
xxx
xlim
xxx
5. Indeterminación k/0
El caso k/0, k0, no suele tomarse como indeterminado ya que el límite, si existe, es siempre + ó -.
Se calculan los límites laterales; si son iguales, la función tiene límite + ó -; en caso contrario no
existe el límite.
Ejemplos:
iteelexisteNo
x
xlim
x
xlim
INDK
x
xlim
x
x
xlím
0
5
3
2
0
5
3
2
)(03
2
3
3
3
iteelexisteNo
x
xlim
x
xlim
INDK
x
xlim
x
x
xlím
0
6
2
2
0
6
2
2
)(02
22
2
2
22
2
6. La indeterminación - de funciones racionales desaparece efectuando la operación y reduciendo
la diferencia a una única expresión.
7. La indeterminación 0· se resuelve transformándolas en las de tipo 0/0.
Ejemplo:
1
411)(
0
0
1
4·1)(·0
1
4·1
1
2
1
2
1 x
xxxlimIND
x
xxlimIND
x
xxlim
xxx
6411
xxlimx
Cálculo de límites en el infinito
1. El límite de un polinomio cuando x es ó - según que el signo del coeficiente del término de
mayor grado sea positivo o negativo.
2. Límites cuando x-
Se calculará el límite cuando x de la expresión que resulte de cambiar x por –x en la función.
NOTA: No son indeterminaciones las siguientes expresiones:
01
; ; kkk ,0· ; ; 0
1
; 00 ;
0
10 .
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3. Indeterminación
La indeterminación
desaparece dividiendo numerador y denominador por la mayor potencia de x.
Podemos dar la siguiente regla para hallar límites (x+) de funciones racionales:
...
...
)(
)(
n
m
bx
ax
xQ
xP
)(gra)(gra
)(gra)(gra0
)(gra)(gra
)()(
)(
xQdedoxPdedosib
a
xQdedoxPdedosi
xQdedoxPdedosi
INDxQ
xPlimx
También podemos resolverlos tomando únicamente los términos de mayor grado tanto del
numerador como del denominador.
n
m
xn
m
x bx
axlim
bx
axlim
...
...
Ejemplos:
2
1
002
001
642
431
)(642
43
3
32
23
3
xx
xxlimINDxx
xxlim
xx
2
1
02
100
12
121
)(12
2
2
43
2
2
x
xxlimIND
x
xxlim
xx
33)(
53
35 22 xlim
x
xlimIND
x
xxlim
xxx
01
)(3
3
2
3
2
xlim
x
xlimIND
x
xlim
xxx
2
3
2
3)(
62
1532
2
2
2
x
xlimIND
x
xxlim
xx
4. La indeterminación -
a) La indeterminación - de funciones racionales desaparece efectuando la operación y reduciendo la
diferencia a una única expresión.
Ejemplos:
452·1
153·1452·3
452
153
1
32
322
2
32
xxx
xxxxxxlim
xx
xx
x
xlim
xx
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0002
0002
4972
111052
4972
111052
32
32
23
234
xxx
xxxx
limxxx
xxxxlim
xx
2
3
2 2
4
2
3
x
x
x
xlimx
b) La indeterminación - de funciones con radicales desaparece multiplicando y dividiendo la función
por la expresión radical conjugada.
Ejemplos:
011
2
11
11·1111
xxlim
xx
xxxxlimxxlim
xxx
22
1
1·12
1·1
1·12
1
12
xx
xxxlim
xxxx
xxxlim
xx
xlim
xxx
1
1·12
1
1·12 xxxlim
xx
xxxlim
xx
xxx
xxxlim
xxx
xxxxxxlimxxxlim
xxx 254
454
254
254254254
2
22
2
222
4
5
4
5
22
5
24
5
2
x
xlim
xx
xlim
xx
xlim
xxx
5. La indeterminación 0· se resuelve transformándola en una del tipo
.
Ejemplo:
1)(3
)(·03·1 22
2
x
xlim
x
xlimIND
x
xxlimINDxx
xlim
xxxx
el blog de mate de aida CSI: Límites y continuidad. pág.13
ASÍNTOTAS
Si lim ( )x a
f x
, aR, la recta x=a, es una asíntota
vertical. Para determinar si f(x) tiende a más o menos
inifinito, en x=a, habría que calcular los límites laterales
y así determinamos la posición de la curva respecto a la
asíntota. En las funciones racionales se busca en los
valores de x que son raíces del denominador.
Si bxflimx
)( , bR, la recta y=b es una asíntota
horizontal.
Asíntota horizontal a la izquierda
Asíntota horizontal a la derecha
Cálculo de asíntotas oblicuas:
Por ser una asíntota oblícua tendrá por ecuación
y=mx+n, donde “m” indica la pendiente de la
recta y “n” la ordenada en el origen. (m0 y
m, n).
Los valores de “m” y “n” se obtienen calculando
los siguientes límites:
x
xflimmx
)(
y mxxflimn
x
)(
Para estudiar la posición de la gráfica respecto de las asíntotas oblicuas y horizontales calculamos
los límites cuando x de la diferencia entre la función y la asíntota. Si el resultado es positivo,
la función está encima de la asíntota, y si es negativo, está debajo.
Si una función tiene una asíntota horizontal, entonces no tiene asíntota oblicua.
Ejemplos:
La asíntota vertical de la función 2
)(
x
xxf es la recta x=2:
0
2
2
0
2
2)(
0
2
2
2
2
2
x
xlim
x
xlim
INDx
xlim
x
x
x
La asíntota horizontal de la función x
xxf
2
13)(
es la recta
2
3y :
2
3
2
13
x
xlimx
2
3
2
13
x
xlimx
el blog de mate de aida CSI: Límites y continuidad. pág.14
Posición de la gráfica respecto de la asíntota:
0
2
1
2
3
2
13
xlim
x
xlim
xx La gráfica está debajo de la asíntota.
0
2
1
2
3
2
13
xlim
x
xlim
xx La gráfica está encima de la asíntota.
La asíntota oblicua de la función 23
683)(
2
x
xxxf es la recta y = x - 2:
123
68323
683
2
2
2
xx
xxlim
x
x
xx
limmxx
223
66
23
683 2
x
xlimx
x
xxlimn
xx
Posición de la gráfica respecto de la asíntota:
0
23
2)2(
23
683 2
xlimx
x
xxlim
xx La gráfica está debajo.
0
23
2)2(
23
683 2
xlimx
x
xxlim
xx La gráfica está encima.
Observaciones prácticas acerca de las asíntotas horizontales y verticales:
- Las funciones polinómicas tienen ramas infinitas, pero no tienen asíntotas horizontales y tampoco
verticales.
- Las fracciones algebraicas tienen asíntota horizontal si el numerador y el denominador tienen el
mismo grado. En ese caso, es la misma asíntota por la izquierda que por la derecha.
- Las fracciones algebraicas tienen tantas asíntotas verticales como raíces tenga el denominador, salvo
que el numerador tenga alguna de esas raíces; en tal caso conviene, previamente, simplificar la
fracción.
- Las expresiones con radicales pueden tener dos asíntotas horizontales.
- En general, las asíntotas verticales son propias de expresiones que «se hacen infinitas» para valores
finitos de x.
el blog de mate de aida CSI: Límites y continuidad. pág.15
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
Continuidad de una función en un punto:
La idea intuitiva de continuidad implica una variación suave de la función, sin saltos bruscos que rompan
la gráfica de la misma. Dibujamos la función continua sin levantar el boli del papel.
Algunas razones por las que una función puede ser discontinua en un punto son las siguientes:
La función g(x) no puede dibujarse sin levantar el boli del papel. No tiene límite finito en x=2 y no
existe f(2). Es discontinua en x=2.
La función h(x) está definida en x=3 (existe f(3)), pero no existe en límite de la función en x=3. Por eso
es discontinua.
La función t(x) no es continua porque existen f(11) y el límite de la función en x=-1, pero ambos valores
no coinciden.
Una función y=f(x) es continua en un punto x = a si se cumplen las tres condiciones siguientes:
a) La función está definida en x=a; es decir, existe f(a).
b) Existe el límite de la función f(x) en x = a.
c) Los dos valores anteriores coinciden, es decir, )()( afxflimax
.
Si una función no es continua en un punto x=a, se dice que es discontinua en dicho punto.
el blog de mate de aida CSI: Límites y continuidad. pág.16
La continuidad o discontinuidad de una función en un punto exige estar definida la función en él. Por
ejemplo, la función f(x)=1/x no es continua no discontinua en x=0 ya que no está definida. (Sin embargo,
vamos a hablar de discontinuidad en ese punto).
Discontinuidades
Una función tiene una discontinuidad evitable en un punto cuando existe límite en él y no coincide con el
valor de la función en el mismo o no está definida.
Una función tiene una discontinuidad inevitable en un punto cuando existen los límites laterales en él y
son distintos. El valor
)()( xflimxflimaxax
se llama salto de la función en ese punto, y puede ser finito, si es un número real, o infinito.
Ejemplos:
Estudia la continuidad de la función
01
01
)(xsi
xsix
xf .
(Se trata de una función continua en todo su dominio).
Estudia la continuidad de la función
12
1
)(xsix
xsix
xf , en x=1.
(Presenta una discontinuidad evitable: añadiendo un punto a la función, esta se convierte en continua).
Estudia la continuidad de la función
01
01
)(xsi
xsi
xf , en x=0.
(Presenta una discontinuidad inevitable de salto finito).
Estudia la continuidad de la función
00
01
)(
xsi
xsixxf , en x=0.
(Presenta una discontinuidad inevitable de salto infinito).
Dada la función:
13
11
1
)(
2
xsi
xsix
x
xf , ¿qué sucede en x=1?
a)
21lim
1
11lim
1
1lim
11
2
1
x
x
xx
x
x
xxx; luego existe 2)(lim
1
xf
x.
b) f(1)=3; luego la función está definida en x=1.
c) Los dos valores anteriores no coinciden.
Por tanto, la función tiene una discontinuidad evitable en x=1. Para que la función fuera continua en x=1,
debería ser f(1)=2.
Dada la función: 3
65)(
2
x
xxxf , ¿qué sucede en x=3?
el blog de mate de aida CSI: Límites y continuidad. pág.17
La función no está definida en x=3. Veamos cuál es el límite de la función en x=3:
12lim3
23lim)(lim
333
x
x
xxxf
xxx Para que la función fuera continua en x=3, debería ser
f(3)=1.
Funciones continuas
Una función es continua en un intervalo cuando lo es en todos y cada uno de los puntos del intervalo.
Se dice que una función es continua cuando lo es en todos y cada uno de los puntos de su dominio de
definición.
Las operaciones con funciones continuas en x=a dan como resultado otra función continua en él,
siempre que tenga sentido la operación. Entonces: todas las funciones elementales (polinómicas,
racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas) son continuas en todos los puntos donde están
definidas.
Las funciones definidas a trozos serán continuas si en los puntos de unión lo son, y cada función es
continua en su trozo correspondiente.
