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Resistencia de Materiales
Prof. Eduardo Vieira de carvalho
Tel: 0979732811
Mecnica II
ESFUERZO CORTANTE EN VIGA
1
Cuando una viga se somete a cargas transversales, stas no solamente generan un momento interno en la viga sino una fuerza cortante interna. Esta fuerza cortante intenta que las secciones longitudinales (fibras) se deslicen una sobre las otras.
Para ilustrar mejor esto, utilizaremos una viga simplemente apoyada, conformada por tres tablones no unidos entre s.
ESFUERZO CORTANTE EN VIGA
2
Al aplicar una carga como se muestra en la figura, puede notarse cmo los tablones se deslizan entre ellos. Si luego se unen los tablones y se aplica nuevamente la carga, no se presentar dicho deslizamiento.
Esto nos indica que debe aparecer una fuerza interna que evite el deslizamiento entre secciones longitudinales de una viga sometida a momento flector.
ESFUERZO CORTANTE EN VIGA
3
Nos enfocaremos ahora en conseguir una expresin que nos permita determinar el esfuerzo que se genera en la viga para evitar el deslizamiento anteriormente descrito.
Para ello, consideremos una viga como se muestra en la figura. Estudiaremos las fuerzas a que estn sometido un elemento diferencial de la misma viga.
ESFUERZO CORTANTE EN VIGA
4
b
Seccin reta
z
y
ESFUERZO CORTANTE EN VIGA
5
b
Seccin reta
z
y
P
ESFUERZO CORTANTE EN VIGA
6
P
b
Seccin reta
z
y
Si suponemos que H2>H1, podemos plantear la primera condicin de equilibrio en el elemento diferencial:
ESFUERZO CORTANTE EN VIGA
7
ESFUERZO CORTANTE EN VIGA
8
Ya conocidas
=
= b.dx
= bdx
ESFUERZO CORTANTE EN VIGA
9
= bdx
Al sustituir H1 y H2, nos queda:
ESFUERZO CORTANTE EN VIGA
10
Recordando que:
Al introducir esto en la expresin anterior, obtenemos:
(Fuerza cortante)
(Primer Momento de rea)
ESFUERZO CORTANTE EN VIGA
11
Si consideramos que M1 - M2 = dM, al despejar t nos queda:
Sustituiendo estos en (1):
(1)
Tenemos finalmente nuestra expresin para el esfuerzo cortante en la viga:
ESFUERZO CORTANTE EN VIGA
12
Fuerza de corte por unidad de largo:
: Esfuerzo cortante en un punto de la seccin transversal
V: Carga transversal sobre la seccin
Q: Momento de rea (respecto al punto de inters)
I: Momento de inercia de la seccin transversal
b: Espesor de la seccin transversal (respecto al punto de inters)
ESFUERZO CORTANTE EN VIGA
13
Podemos observar entonces que un esfuerzo cortante consta de tres caractersticas:
Acta en un plano
Acta en una direccin, que debe ser tangente a dicho plano
Posee una magnitud.
Todas estas caractersticas se sealan en la nomenclatura del esfuerzo cortante, como sigue:
ESFUERZO CORTANTE EN VIGA
14
ANALISE DEL PUNTOS A1
y
b
condicin
Se =
A1
LN
= b.
y
Tenemos:
h
-
-
15
ANALISE DEL PUNTOS A2
y
b
condicin
Se =
A2
LN
= b.
y
Tenemos:
h
-
=
Q =
=
-
16
ANALISE DEL PUNTOS A3
y
b
condicin
Se = 0
A3
LN
= b.
y
Tenemos:
h
-
=
Q =
-
17
Finalmente, la distribucin de esfuerzos en la seccin transversal ocurre como se muestra en la figura.
ESFUERZO CORTANTE EN VIGA
18
Note que la distribucin es hiperblica
y
h
b
LN
t
t
La viga abajo soporta una fuerza cortante V= 5000 kgf. Determinar la distribucin de esfuerzo cortante al largo de la seccin recta basado en los puntos h1 hasta h4.
2,5 cm
30 cm
30 cm
1,5 cm
h1
h2
h2
h3
h4
LN
EJEMPLO 1
20
30
1,5
30
2,5
y1
A1
A2
y2
1. Centroide de la a seccin transversal abajo en relacin al eje X
Y= 25,16 cm
= 30x2,5 = 75
=1,5x30 =
= 30+2,5/2 = 31,25 cm
= 30/2 = 15cm
EJEMPLO 1
20
2. Momentos de inercias de la viga
30
1,5
30
2,5
A1
A2
EJEMPLO 1
21
2. Momentos de inercias de la viga
30
1,5
30
2,5
A1
A2
EJEMPLO 1
22
2. Momentos de inercias de la viga
30
1,5
30
2,5
A1
A2
EJEMPLO 1
23
3. Distribucin de esfuerzo cortante al largo de la seccin recta
EJEMPLO 1
h1
LN
1,5
30
30
2,5
25,16
A1
24
3. Distribucin de esfuerzo cortante al largo de la seccin recta
h2
EJEMPLO 1
LN
A1
1,5
30
30
1,25
25,16
/
25
3. Distribucin de esfuerzo cortante al largo de la seccin recta
EJEMPLO 1
/
h2
LN
A1
1,5
30
30
1,25
25,16
26
3. Distribucin de esfuerzo cortante al largo de la seccin recta
h3
EJEMPLO 1
LN
A2
1,5
25,16
30
2,5
12,58
/
4,84
27
3. Distribucin de esfuerzo cortante al largo de la seccin recta
h3
EJEMPLO 1
LN
A3
1,5
30
30
2,5
2,42
/
25,16
28
3. Distribucin de esfuerzo cortante al largo de la seccin recta
EJEMPLO 1
LN
1,5
30
30
2,5
25,16
h4
29
3. Distribucin de esfuerzo cortante al largo de la seccin recta
EJEMPLO 1
LN
/
/
/
30
31
10kN
0,6
0,9
0,9
0,6
5kN
10kN
d
0,09
Una viga con 3 m largo y 0,09 m de ancho debe suportar 25kN conforme figura abajo. Su y su Determinar la altura mnima d de la estructura. Cuotas en metros.
A
B
C
D
E
EJEMPLO 2
32
10kN
0,6
0,9
0,9
0,6
5kN
10kN
Solucin: Reacciones de apoyo - DCL
A
B
C
D
E
EJEMPLO 2
33
Reacciones de apoyo
EJEMPLO 2
34
10kN
0,6
0,9
0,9
0,6
5kN
10kN
Diagramas de momento flector, esfuerzo transverso y los valores mximos.
A
B
C
D
E
12,5 kN
12,5 kN
EJEMPLO 2
35
EJEMPLO 2
36
EJEMPLO 2
37
4
EJEMPLO 2
38
EJEMPLO 2
39
10kN
0,6
0,9
0,9
0,6
5kN
10kN
A
B
C
D
E
12,5kN
12,5kN
-12,5kN
-2,5kN
2,5kN
7,5kN
9,75kN
EJEMPLO 2
40
Altura d basado en la tensin admisible
Y = d/2
0,09
Momento de inercia
Y = d/2
EJEMPLO 2
41
Y = d/2
0,09
Momento de inercia
Y = d/2
m
Altura d basado en la tensin de cizallamiento
EJEMPLO 2
La viga abajo soporta una fuerza cortante V = 10000 lbf. Determinar la tensin de cizallamiento mxima. Determinar nos valores de tensin en la interface aba-alma. O sea, la tensin h2 y h2.
3 pol
6 pol
14 pol
6 pol
h2
h2
V
EJEMPLO 3
EJEMPLO 3
43
1. Centroide de la a seccin transversal abajo en relacin al eje X
= 14x3 =
= 6x6 =
3
6
14
6 pol
A1
A2
5,43
7,5
LN
3
43
2. Momentos de inercias de la viga
EJEMPLO 3
3
6
14
6 pol
A1
A2
5,43
7,5
LN
2,07
44
2. Momentos de inercias de la viga
EJEMPLO 3
3
6
14
6 pol
A1
A2
5,43
7,5
LN
2,43
45
2. Momentos de inercias de la viga
EJEMPLO 3
3
6
14
6 pol
A1
A2
5,43
7,5
LN
46
3. Tensin en la interface
EJEMPLO 3
/
2,07
14
6 pol
A1
A2
7,5
5,42
h2
h2
47
EJEMPLO 3
2,07
14
6 pol
A1
A2
7,5
5,42
h2
/
3. Tensin en la interface
48
4. Esfuerzo cortante mximo es en la Lnea Neutra (LN)
EJEMPLO 3
/
14
6 pol
A1
A2
9
2,71
h3
49
4. Distribucin de esfuerzo cortante al largo de la seccin recta
EJEMPLO 3
/
14
6 pol
A1
A2
9
0,28
h3
LN
50
4. Distribucin de esfuerzo cortante al largo de la seccin recta
EJEMPLO 3
LN
/
/
/
51
La viga abajo soporta 3,0 kN de fuerza cortante. Determinar la tensiones de cizallamiento que usted debe dimensionar la estructura considerando las dos juntas (a a) y (b b).
20 mm
80 mm
100 mm
60 mm
20 mm
a
a
b
b
20 mm
y
x
EJEMPLO 4
EJEMPLO 4
53
1. Centroide de la a seccin transversal abajo en relacin al eje X
Y= 68,3mm
= 20+80+20/2 = 110 mm
= 20+80/2 = 60mm
= 20/2 = 10mm
20 mm
68,3 mm
100 mm
60 mm
20 mm
a
a
b
b
20 mm
y
x
53
EJEMPLO 4
y
x
20 mm
68,3 mm
100 mm
60 mm
20 mm
a
a
b
b
20 mm
2. Momentos de inercias de la viga
54
2. Momentos de inercias de la viga
EJEMPLO 4
y
x
20 mm
68,3 mm
100 mm
60 mm
20 mm
a
a
b
b
20 mm
55
2. Momentos de inercias de la viga
EJEMPLO 4
y
x
20 mm
68,3 mm
100 mm
60 mm
20 mm
a
a
b
b
20 mm
56
EJEMPLO 4
+
y
x
20 mm
68,3 mm
100 mm
60 mm
20 mm
a
a
b
b
20 mm
2. Momentos de inercias de la viga
57
3. Tensin de cizallamiento en la juncin (a a)
EJEMPLO 4
y
x
20 mm
68,3 mm
100 mm
60 mm
20 mm
a
a
b
b
20 mm
58
3. Tensin de cizallamiento en la juncin (b b)
EJEMPLO 4
y
x
58,3 mm
100 mm
60 mm
20 mm
a
a
b
b
20 mm
59
La viga abajo es conformada por tres tablones de madera pegadas con clavos. Los distanciamientos de los clavos son de 25 mm y el esfuerzo vertical V= 500N. Determinar la fuerza de corte en cada clavo.
20 mm
100 mm
100 mm
20 mm
20 mm
y
EJEMPLO 5
x
25
25
25
25
EJEMPLO 5
61
1. Centroide de la a seccin transversal abajo en relacin al eje X
Y= 70mm
= 20+100+20/2 = 130 mm
= 20+100/2 = 70mm
= 20/2 = 10mm
y
x
20 mm
100 mm
100 mm
100 mm
20 mm
20 mm
61
EJEMPLO 5
y
x
2. Momentos de inercias de la viga
20 mm
100 mm
100 mm
20 mm
20 mm
70 mm
LN
62
2. Momentos de inercias de la viga
EJEMPLO 5
y
x
20 mm
100 mm
100 mm
20 mm
70 mm
LN
63
2. Momentos de inercias de la viga
EJEMPLO 5
y
x
20 mm
100 mm
100 mm
20 mm
70 mm
LN
64
EJEMPLO 5
+
y
x
2. Momentos de inercias de la viga
20 mm
100 mm
100 mm
20 mm
70 mm
LN
65
3. Fuerza de corte por unidad de largo q en la cara inferior del tabln superior.
EJEMPLO 5
y
x
20 mm
100 mm
100 mm
20 mm
70 mm
LN
66
3. Fuerza de corte en cada clavo, para un distanciamiento de 25 mm
EJEMPLO 5
y
x
20 mm
100 mm
100 mm
20 mm
70 mm
LN
67
La viga hueca de seccin cuadrada es conformada por tres tablones con clavos como se muestra abajo. Los distanciamientos entre los clavos es de 30 mm y esta bajo de un esfuerzo vertical de V = 1200N. Determinar la fuerza de corte en cada clavo. (cuotas en mm)
20
100
80
20
20
20
30
30
30
30
30
30
EJEMPLO 6
EJEMPLO 6
69
1. Centroide de la a seccin transversal abajo en relacin al eje X
Y= 60mm
= 120/2 = 60 mm
= 20+80/2 = 60mm
y
x
20
80
80
20
20
20
69
EJEMPLO 6
y
x
2. Momentos de inercias de la viga
LN
20
60
80
20
20
70
EJEMPLO 6
y
x
2. Momentos de inercias de la viga
LN
20
60
80
20
20
71
3. Fuerza de corte por unidad de largo q en la cara inferior de la tabla superior.
EJEMPLO 6
y
x
LN
20
60
80
20
20
72
3. Fuerza de corte en cada clavo, para un distanciamiento de 25 mm
EJEMPLO 6
LN
20
60
80
20
20
30
30
30
30
30
30
73
74
Demonstrar la frmula de los esfuerzos cortantes mximos en una barra de seccin circular y su distribucin de esfuerzos.
LN
y
r
y
x
Tarea 2
Tarea 2
10 mm
40 mm
50 mm
30 mm
10 mm
10 mm
y
x
La viga abajo soporta una fuerza cortante V=2500kgf. Determinar la distribucin de esfuerzo cortante al largo de su seccin recta.
Prof. Eduardo Vieira de carvalho
Tel: 0979732811
Mecnica II
ESFUERZO CORTANTE EN VIGA
76
dF
`
dF
dF
`
dF
dA
dH
=
1
1
s
dA
dH
=
2
2
s
-
=
c
y
c
y
dA
dA
dF
1
2
1
2
s
s
I
y
M
=
s
-
=
c
y
c
y
dA
y
I
M
dA
y
I
M
dx
b
1
2
1
2
t
=
c
y
dA
y
b
I
dx
dM
1
1
t
V
dx
dM
=
Q
dA
y
c
y
=
1
b
I
Q
V
=
t
I
Q
V
q
=
b
I
Q
V
ij
=
t
b
I
Q
V
=
t