PREFACIO

La reducción de tamaño es una operación de gran importancia en la industriaminera, la industria de energía, de la construcción y química, entre otras. En los paísesiberoamericanos indudablemente es la aplicación en la industria minera y del cemento laque tiene mayor relevancia. Como ejemplo, podemos indicar que en Chile la industriaminera del cobre por sí sola gasta 100 millones de dólares anuales para moler 100 millonesde toneladas de minerales. Si a esto se agrega la minería del fierro y la industria cementera,es fácil darse cuenta que las cifras involucradas en la operación de reducción de tamañoson gigantescas.

Si se considera que la ley de los minerales de cobre es sólo del orden del 1%, lacantidad total de mineral que debe ser tratado en una planta procesadora es enorme. Porotra parte, industrias como las productoras de minerales de fierro o cemento involucranla fragmentación de grandes tonelajes de materiales. Por ello, los equipos destinados aestas operaciones son numerosos e individualmente de gran tamaño. Esto significa altoscostos de inversión. Un diseño adecuado de estos equipos es de importancia fundamentalsi no se quiere malgastar recursos económicos siempre escasos.

El gran tamaño y cantidad de equipos instalados conlleva grandes costos deoperación. La conminución, operación bajo cuyo nombre genérico se incluye todas lasoperaciones de reducción de tamaño, esto es, la trituración y molienda, consumeaproximadamente del 20 al 80% del costo total de energía para producir cobre oconcentrado de fierro, y en el caso específico del cobre constituye la mitad del costo deprocesamiento del mineral. Se puede comprender, entonces el gran impacto económicoque la optimización del proceso de conminución traería a la industria de materias primas.

A pesar de su antigüedad e importancia, y contra lo que pudiera esperarse, elconocimiento básico en conminución es precario. Falta mucho por saber respecto de lainfluencia de variables de operación sobre el comportamiento de los molinos de bolas ybarras. Se sabe muy poco sobre los medios de molienda y del efecto de los revestimientosde molinos sobre el desgaste y la eficiencia del proceso de molienda. La aplicación delos molinos semi-autógenos se ha propagado mucho mas rápidamente que elconocimiento sobre ellos, de manera que lo que de éstos se conoce es mas cualitativo quecuantitativo. Algo similar sucede con la clasificación, donde los hidrociclones se utilizandesde hace mas de cincuenta años, sin que el mecanismo de clasificación se domine endetalle. Finalmente, los mecanismos de conminución que se aplican en los equiposactuales siguen siendo la compresión y el impacto, aunque se ha demostrado que ellosson extraordinariamente ineficientes.

La importancia de la conminución ha hecho que diversas instituciones deinvestigación en el mundo dediquen esfuerzos a su estudio. Los principales centros seencuentran en los Estados Unidos de Norte América, Canadá, Europa, Australia, África

iii

del Sur y recientemente, en Iberoamérica. Sin embargo, el volumen de esta actividad noguarda ninguna relación con el tamaño de los problemas de la industria minera de laregión, requiriéndose un fuerte impulso para hacer avances sustantivos y establecer unainfraestructura estable para el desarrollo de tecnología que, por un lado, oriente el esfuerzode investigación en la dirección correcta y, por el otro, posibilite que los resultados lleguena los usuarios finales, las empresas productoras. Las empresas de la región concentranimportantes esfuerzos en la selección de equipos, optimización y automatización de laoperación. No obstante, el estado del conocimiento del área exige un esfuerzo deinvestigación mayor, que genere pautas mas precisas de cómo efectuar la optimización.

Aún así, algunos pasos se han dado en el sentido de impulsar las actividadescientíficas y tecnológicas en el campo de la conminución en los países iberoamericanosy en el mundo en general.

En 1987, durante un Simposio de Molienda de ARMCO, la empresa de sistemasde molienda, en Viña del Mar, Chile, se creó la International Comminution ResearchAssociation, ICRA, institución con sedes en Norteamérica, Iberoamérica, Europa, Asia,Australia y Africa. ICRA tiene como objetivos promover el intercambio de ideas paraorientar la investigación y difundir información especializada del campo de laconminución , para asegurar que la investigación de alto nivel en el campo sea conocidapor sus miembros.

Por otra parte, el Programa Ciencia y Tecnología para el Desarrollo CYTED, esun programa de cooperación científica y tecnológica creado en 1984 por iniciativa deEspaña, cuya finalidad es fomentar la cooperación científica y tecnológica entre los 21países miembros. Su ámbito de actuación es la investigación aplicada, el desarrollotecnológico y la innovación y su objetivo es la obtención de resultados transferibles a lossectores productivos. En el año 1991 el CYTED aprobó la creación de la Red XIII-A,Fragmentación, cuyo objetivo es (1) promover la formación de recursos humanos de altonivel, (2) promover la investigación científica y tecnológica, (3) promover el intercambiode información especializada y (4) promover la edición de monografías, textos didácticosy capacitación, todos en el campo de la conminución.

ICRA y CYTED pretenden impulsar el desarrollo de su misión en Iberoaméricaen forma coordinada y cooperativa. Como un paso en esa dirección se han propuestoeditar y distribuir el libro que aquí presentamos.

Este libro es el resultado de muchos años de experiencia del autor principal endocencia e investigación en el tema de la conminución, como también de una colaboraciónestrecha entre los autores en investigación y en la dictación de cursos de educacióncontinuada para ingenieros de la industria minera. En las dos últimas décadas se haacumulado un gran caudal de nuevo conocimiento científico y tecnológico en este campo,el cual se encuentra disperso en revistas especializadas y anales de congresos. El autorprincipal ha abordado anteriormente la tarea de reunir este material en una monografíasobre molienda publicada en idioma inglés. La presente edición quiere extender esteesfuerzo a los lectores de habla hispana, incorporando nuevo material que refleja avanceshabidos y la colaboración de sus autores.

El texto pretende ser una revisión, en profundidad, de los principios sobre los quese basan las operaciones de conminución y clasificación y su aplicación al análisis de los

iv

circuitos de molienda-clasificación. En él se da énfasis a la modelación matemática, a lastécnicas de análisis experimental y a la simulación de circuitos destinados al diseño y ala optimización. En el capítulo 1 se hace una introducción al campo de la conminucióny se define los principales términos involucrados. El capítulo 2 está dedicado a reseñarlos fundamentos de la mecánica de fractura aplicada a la ruptura de partículas demateriales frágiles. En el capítulo 3 se trata los métodos tradicionales de diseño demolinos. El capítulo 4 comienza el estudio de la cinética de la molienda y forma la basede lo tratado en los capítulos posteriores. Los ensayos de laboratorio necesarios paradeterminar los parámetros de molienda se describen en detalle en los capítulos 5 y 6. Elcomienzo del estudio de la molienda continua se realiza en el capítulo 7 donde se analizael concepto de distribución de tiempos de residencia. En el capítulo 8 se analiza losmétodos de escalamiento de resultados de molienda desde el laboratorio a la plantaindustrial. La clasificación se estudia en el capítulo 9 y su aplicación a circuitos demolienda se analiza en el capítulo 10. El capítulo 11 corresponde a un estudio de casosque integra todos los conocimientos vistos en los capítulos anteriores. Finalmente elcapítulo 12 analiza la molienda semi-autógena, cuyo estudio ha ocupado gran parte deltiempo del autor principal en los últimos años.

Son muchas personas a las que debemos agradecimiento por contribuir de una uotra forma a hacer realidad la publicación de este libro. Sin duda que entre ellos estánnuestros alumnos, colegas y colaboradores. Especial agradecimiento debemos al Dr.Jorge Menacho por su interés y aporte en la discusión de varios temas, en especial delcapítulo 12. Queremos agradecer a Sofía Barreneche de Austin por su asistencia en latraducción de partes del libro y a Waldo Valderrama y Paola Grandela por su enormetrabajo en la edición del libro.

Finalmente debemos agradecer muy especialmente al CYTED por su aporte derecursos económicos sin los cuales habría sido imposible materializar este proyecto.

L.G. AUSTIN Y F. CONCHA A.

Concepción, ChileAbril de 1994.

v

vi

INDICE

Prefacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

Indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

CAPITULO 1

INTRODUCCION: FORMULACION DE LOS PROBLEMAS QUEENFRENTA EL DISEÑADOR DE CIRCUITOS DE MOLIENDA

1.1 LA MOLIENDA COMO OPERACION UNITARIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 FORMULACION DE LOS PROBLEMAS QUE DEBE ENFRENTAREL DISEÑADOR DE CIRCUITOS DE MOLIENDA . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 DEFINICION DE TERMINOS Y CONCEPTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 CONDICIONES DE OPERACIÓN DE MOLINOSROTATORIOS DE BOLAS: DEFINICIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5 NIVELES DE COMPLEJIDAD: LOS DIFERENTES CAMINOS ALDIMENSIONAMIENTO DE MOLINOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6 REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

CAPITULO 2

MECANICA DE FRACTURA Y REDUCCION DE TAMAÑO

2.1 INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 BREVE RESEÑA DE LA MECANICA DE FRACTURA . . . . . . . . . . . . 17

2.2.1 Esfuerzos, Deformaciones Unitarias y Energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.2 Direcciones de los Esfuerzos Normales y de Cizalle . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3 RESISTENCIA COHESIVA IDEAL, CONCENTRACION DE ESFUERZO Y LA TEORIA DE GRIETAS DE GRIFFITH . . . . . . . . 26

2.3.1. Resistencia Cohesiva Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.2 Concentración de Esfuerzo: Teoría de Grietas de Griffith . . . . . . . . . . . 28

2.3.3 Materiales Dúctiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

vii

2.4 FRACTURA DE ESFERAS Y PARTICULAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.5 APLICACIONES CUALITATIVAS DE LA TEORIA DE FRACTURA:ENERGIA DE MOLIENDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.6 DIFICULTAD DE LA MOLIENDA FINA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.7 CAMBIO DE PROPIEDADES Y REACCIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.8 REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

CAPITULO 3

ENSAYOS CONVENCIONALES DE MOLIENDABILIDAD Y DISEÑO DEMOLINOS: METODO DE BOND Y OTROS

3.1 INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2 METODO DE BOND PARA EL DISEÑO DE MOLINOS DE BOLAS . 45

3.2.1. Ecuaciones de Diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

ETAPA 1: Ensayo normalizado de moliendabilidad de Bond . . . . . . . . 46

ETAPA 2: Cálculo del Indice de Trabajo del ensayo . . . . . . . . . . . . . . 47

ETAPA 3: Escalamiento a molinos mayores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

ETAPA 4: Corrección para otras condiciones de operación . . . . . . . . . 50

ETAPA 5: Cálculo de la energía específica consumida para una razón de reducción determinada . . . . . . . . . . . . . . 51

ETAPA 6: Cálculo de la potencia para mover los medios de molienda . 52

3.2.2 Procedimiento de Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.2.3 Discusión del Método de Bond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3 INDICE DE TRABAJO OPERACIONAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.4 METODO DE BOND PARA EL DISEÑO DE MOLINOS DE BARRAS 57

3.4.1 Ecuaciones de Diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

ETAPA 1: Ensayo normalizado de moliendabilidad de Bond . . . . . . . . 58

ETAPA 2: Cálculo del Indice de Trabajo del ensayo . . . . . . . . . . . . . . 58

ETAPA 3: Escalamiento a molinos mayores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

ETAPA 4: Corrección para otras condiciones de operación . . . . . . . . . 59

ETAPA 5: Cálculo de la energía específica consumida para una razón de reducción determinada . . . . . . . . . . . . . . 60

ETAPA 6: Cálculo de la potencia para mover los medios de molienda . 60

viii

3.4.2 Procedimiento de cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.5 OTROS METODOS CONVENCIONALES DE DISEÑO . . . . . . . . . . . . . . 63

3.6 REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

CAPITULO 4

CINETICA DE LA MOLIENDA DISCONTINUA: BALANCE DE MASAPOR TAMAÑOS

4.1 INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.2 HIPOTESIS DE MOLIENDA DE PRIMER ORDEN . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.3 FUNCION DE DISTRIBUCION DE FRACTURA PRIMARIA,O DISTRIBUCION DE TAMAÑO DE LA PROGENIE . . . . . . . . . . . . . . 67

4.4 BALANCE DE MASA POR TAMAÑOS: ECUACION DE LA MOLIENDADISCONTINUA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.5 SOLUCION A LA ECUACION DE MOLIENDA DISCONTINUA . . . . 75

4.6 ANALISIS DE LA ECUACION DE LA MOLIENDA DISCONTINUA . 77

4.7 REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

CAPITULO 5

INVESTIGACION DE LA FRACTURA EN MOLINOS DE LABORATORIO

5.1 INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.2 MODO DE OPERACION DE UN MOLINO ROTATORIO DE BOLAS. . 84

5.3 VARIACION DE LA FRACTURA CON EL TAMAÑO DE LASPARTICULAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.4 VELOCIDAD DE ROTACION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.5 CARGA DE BOLAS Y POLVO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.6 DIAMETRO, DUREZA Y DENSIDAD DE BOLAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.7 DIAMETRO DEL MOLINO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.8 EFECTOS DEL MEDIO AMBIENTE EN EL MOLINO . . . . . . . . . . . . . . 106

5.9 DESACELERACION DE LAS VELOCIDADES DE FRACTURA . . . . . 111

5.10 FRACTURA DE PARTICULAS GRANDES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.11 EFECTO DEL FLUJO A TRAVES DEL MOLINO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

ix

5.12 ESCALAMIENTO DE LOS RESULTADOS DE LA MOLIENDADISCONTINUA DE LABORATORIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.13 REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

CAPITULO 6

DETERMINACION DE LAS FUNCIONES DE FRACTURA S Y B

6.1 DETERMINACION EXPERIMENTAL DE LOS PARAMETROS DEFRACTURA MEDIANTE PRUEBAS DE LABORATORIO . . . . . . . . . . . 123

6.2 TECNICAS DE CALCULO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

6.3 RETRO-CALCULO DE LOS PARAMETROS DE FRACTURA DESDE DATOS DE MOLIENDA DISCONTINUA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

6.4 RETRO-CALCULO DE LOS PARAMETROS DE FRACTURA DESDE DATOS DE MOLIENDA CONTINUA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

6.5 REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

CAPITULO 7

DISTRIBUCION DE TIEMPOS DE RESIDENCIA

7.1 INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

7.2 EDAD, DISTRIBUCION DE EDADES Y TIEMPO DE RESIDENCIA . 139

7.3 MEDICION EXPERIMENTAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

7.3.1 Trazadores utilizados en molinos industriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

7.3.2 Método experimental de inyección y medición de un trazador radioactivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

7.3.3 Medición de DTR en un molino en circuito abierto . . . . . . . . . . . . . . . 145

7.3.4 Medición de DTR en un molino en circuito cerrado . . . . . . . . . . . . . . 147

7.3.5 Medición de DTR en equipos en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

7.4 DISTRIBUCION DE TIEMPOS DE RESIDENCIA EN REACTORES IDEALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

7.5 DISTRIBUCION DE TIEMPOS DE RESIDENCIA DE MOLINOS ROTATORIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

7.5.1 Mezcladores perfectos en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

7.5.2 Un Mezclador Grande y dos Pequeños . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

7.5.3 Modelo de Rogers-Gardner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

x

7.5.4 Modelo de Dispersión Axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

7.6 MODELO CINETICO PARA LA MOLIENDA CONTINUA ESTACIONARIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

7.7 REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

CAPITULO 8

ESCALAMIENTO: POTENCIA, DESGASTE DE BOLAS, MEZCLA DEBOLAS Y TRANSPORTE DE MASA

8.1 INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

8.2 POTENCIA DEL MOLINO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

8.2.1.Teoría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

8.2.2.Ecuaciones para la potencia de un molino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

8.3 OPTIMIZACION DE LA POTENCIA Y NIVEL DE LLENADO PARAMOLINOS ROTATORIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

8.4 DESGASTE DE BOLAS Y CARGAS BALANCEADAS . . . . . . . . . . . . . 186

8.5 DATOS EXPERIMENTALES DE DESGASTE DE BOLAS . . . . . . . . . . 190

8.6 CALCULOS DE CARGA BALANCEADA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

8.7 OPTIMIZACION DE LA RECARGA DE BOLAS . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

8.8 EFECTO DEL FLUJO Y TRANSPORTE DE MASA . . . . . . . . . . . . . . . 203

8.9 REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

CAPITULO 9

CLASIFICACION E HIDROCICLONES

9.1 INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

9.2 PRINCIPIOS DE ACCION DE LOS CLASIFICADORES . . . . . . . . . . . 208

9.3 CALCULO DE LA RAZON DE RECIRCULACION . . . . . . . . . . . . . . . 215

9.3.1.Método 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

9.3.2.Método 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

9.3.3.Método 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

9.4 CURVAS DE PARTICION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

(1) Ecuación de Rosin-Rammler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

xi

(2) Ecuación Logaritmo Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

(3) Ecuación de Lynch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

(4) Ecuación Logística en ln x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

9.5 HIDROCICLONES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

9.5.1.Variables que afectan la operación de un hidrociclón . . . . . . . . . . . . . . 226

(1) Variables de Diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

(2) Parámetros del material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

(3) Variables de Operación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

(4) Perturbaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

9.5.2. Modelos cuantitativos de hidrociclones y su incorporación a simuladores de molienda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

Balances Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

Método de Diseño y Simulación basado en el Modelo de Arterburn . . 234

Objetivo 1 : Diseño Aislado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

Objetivo 2 : Simulación de Diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

Objetivo 3 : Simulación de Operación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

9.5.3. Modelo Lynch y Rao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

9.5.4.Modelo de Plitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

9.6 OTROS TIPOS DE CLASIFICADORES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

9.6.1. Clasificadores mecánicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

9.6.2. Harneros Curvos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

9.6.3. Harneros Vibratorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

9.6.4. Separadores mecánicos de aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

9.7 CLASIFICACION EN DOS ETAPAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

9.8 REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

CAPITULO 10

APLICACION DE LOS MODELOS A DATOS DE PLANTA

10.1 INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

10.2 CONSTRUCCION DE UN MODELO DE SIMULACION DE UNA PLANTA INDUSTRIAL DE GRAN ESCALA: MODELOS AJUSTADOS Y REALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

xii

10.3 ESTUDIO DE CASO 1: MOLIENDA HUMEDA DE UN MINERAL DE COBRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

10.4 ESTUDIO DE CASO 2: OTRA MOLIENDA HUMEDA DE COBRE . . 259

10.5 ESTUDIO DE CASO 3: MOLIENDA DE FOSFATO . . . . . . . . . . . . . . . . 263

10.5.1.Descripción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

10.5.2. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

10.5.3. Discusión de los resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

10.6 REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

CAPITULO 11

SIMULACIONES DE CIRCUITOS

11.1 COMPARACION DE LA SIMULACION DE CIRCUITOS CON EL METODO BOND . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

11.2 COMPORTAMIENTO DE DIVERSOS DISEÑOS DE CIRCUITOS DE MOLIENDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

11.2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

11.2.2. Caso 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

11.2.3. Caso 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

11.2.4. Caso 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

11.2.5. Caso 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

11.2.6. Caso 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

11.2.7. Caso 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

11.2.8. Caso 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

11.2.9. Caso 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

11.3 EFECTOS DE LA EFICIENCIA DEL CLASIFICADOR . . . . . . . . . . . . 295

11.4 CIRCUITO GENERAL DE DOS MOLINOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

11.4.1. Formulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

11.4.2. Ejemplos Típicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

11.5 REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

xiii

CAPITULO 12

MOLIENDA SEMI-AUTOGENA(SAG) Y AUTOGENA(FAG)

12.1 INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

12.2 ENSAYOS CONVENCIONALES PARA EL DISEÑO DE MOLINOS SAG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

12.3 ESCALAMIENTO A TRAVES DE LA POTENCIA: ECUACIONES DE POTENCIA PARA MOLINOS . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

12.4 PROCESO DE FRACTURA QUE OCURRE EN MOLINOS SAG/FAG 326

12.4.1.Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

12.4.2. Molienda mediante bolas y guijarros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

12.4.3. Autofractura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

12.5 ANALISIS DEL PROCESO DE ASTILLAMIENTO-ABRASION . . . . . . 337

12.5.1. Abrasión Pura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

12.5.2. Combinación con fractura de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

12.5.3. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

12.6 ANALISIS DEL PROCESO DE AUTOFRACTURA DE ORDEN DISTINTO DEL PRIMERO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

12.6.1 Distribución de resistencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

12.6.2. Fractura rápida y lenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

12.7 ECUACIONES PARA LA AUTOFRACTURA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

12.8 ESTIMACION DE LLENADO DE PULPA Y DENSIDAD DE LA CARGA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

12.9 CALCULO DE VELOCIDADES ESPECIFICAS DE AUTOFRACTURA A PARTIR DE ENSAYOS DE MOLIENDA CONTINUA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

12.10 MODELO DEL MOLINO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

12.10.1 Molinos de D/L grande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

12.10.2 Molinos FAG largos; L/D grande. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372

12.10.3 Tratamiento de la autofractura como un sistema duro-blando. . . . . . 374

12.10.4 Tratamiento de una alimentación consistente en una mezcla de dos materiales de distinta dureza. . . . . . . . . . . . . . 378

12.10.5 Procedimiento computacional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

12.11 EJEMPLO ILUSTRATIVO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380

xiv

12.11.1 Molino SAG: L/D = 0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380

12.12 REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387

INDEX. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

xv

CAPITULO 1

INTRODUCCION:FORMULACION DE LOS PROBLEMAS QUEENFRENTA EL DISEÑADOR DE CIRCUITOS

DE MOLIENDA

1.1 LA MOLIENDA COMO OPERACION UNITARIA

La reducción de tamaño por trituración y molienda es una operación importanteen las industrias minera, metalúrgica, de energía y química. La cantidad de materialesfrágiles, tales como rocas, minerales, carbón, productos del cemento u otros, molidosactualmente en los EE.UU. es por lo menos de mil millones (109) de toneladas [1.1], conun gran consumo de energía asociada [1.2]. Son bastante comunes plantas individualestratando 10 millones o más de toneladas por año.

Sorprendentemente, para una operación unitaria de importancia tan fundamentalpara la tecnología industrial, no existían, hasta hace poco, textos actualizados sobre losprincipios de diseño de procesos aplicados a molinos y circuitos de molienda. Varioslibros, que describen diversos aspectos de la molienda, han comenzado a ser asequiblesen los últimos años [1.3, 1.4 y 1.5], y el capítulo de Rowland y Kjos [1.3] es especialmentebueno como una guía condensada para el diseño convencional de molinos utilizando elmétodo Bond. A esto se agrega el que la operación unitaria de molienda tenga ahora unabase teórica más elaborada, la que ha sido desarrollada en las dos últimas décadas [1.6].Aun cuando no está completa todavía, será sin duda utilizada más y más en el futuro.

Esta base teórica se puede comparar, por ejemplo, a la que existe para latransferencia de calor y la destilación y, en particular, tiene gran similitud con la teoríadel diseño de reactores químicos, usando muchos conceptos en común con laterminología utilizada en este campo. Los principales objetivos de este texto son presentarcon profundidad este enfoque más elaborado y mostrar las correlaciones y divergenciasde sus resultados con métodos más antiguos.

Este libro es una introducción compacta al tratamiento matemático de laoperación unitaria de reducción de tamaño por medios mecánicos, ésto es, eldimensionamiento, comportamiento y rendimiento de los circuitos de molienda usandomolinos de bolas, de modo que aspectos de ingeniería mecánica de los molinos de bolasserán mencionados solamente cuando se relacionen al diseño de procesos. Se espera queel libro sea apropiado como texto avanzado en la enseñanza de la ingeniería metalúrgica,ingeniería de minas e ingeniería química, ya que enfatiza los conceptos fundamentales yprocedimientos de cálculo de la reducción de tamaño en molinos más que la selecciónde equipo o el diseño mecánico.

1

1.2 FORMULACION DE LOS PROBLEMAS QUE DEBEENFRENTAR EL DISEÑADOR DE CIRCUITOS DE MOLIENDA.

Al diseñar cualquier tipo de reactor, el primer objetivo del ingeniero de proceso esdimensionar el reactor de acuerdo a la producción requerida de producto de la calidaddeseada, usando coeficientes cinéticos, balances térmicos y de masa, y coeficientes detransferencia de calor. Se debe permitir la entrada o extracción de suficiente energía paraproducir la reacción deseada y se debe diseñar para minimizar reacciones indeseables.El sistema debe ser estable y controlable, para cumplir, si fuese necesario, con unavariedad de especificaciones del producto. Se debe obtener la cantidad especificada deproducto en la forma más eficiente posible, con el mínimo de costo de capital, de gastosde energía y de costos de mantenimiento y mano de obra.

Consideraciones muy similares se pueden aplicar al diseño de molinos.Consideremos, por ejemplo, el tipo de molino más usado en la actualidad, el molinorotatorio de bolas, mostrado en la Figura 1.1. El material grueso que se alimenta en unode los extremos pasa por el molino fracturándose debido a la acción de la carga de bolas,produciendo un material en la descarga con una distribución de tamaño más fina. Esteequipo puede ser considerado como un “reactor” continuo donde la energía suministradaes convertida en acción mecánica de ruptura y la “reacción” obtenida es una reducción

ALIMENTACION

Figura 1.1: Ilustración de un molino de bolas detenido, que poseedescarga de parrilla.

2

de tamaño. Todos los requisitos mencionados anteriormente deben ser cumplidos. Unpaso básico en el diseño de un circuito de molienda es el dimensionamiento del molinopara obtener el tonelaje por hora deseado de producto a partir de una alimentaciónespecífica. El gasto de capital por unidad de capacidad de molienda debe ser minimizado,lo que envuelve una correcta selección de las condiciones de molienda tales comovelocidad de rotación, peso de la carga de bolas, y tamaño de las mismas.

Asociado con el paso básico de determinación del tamaño del molino, está laespecificación de la energía necesaria para operarlo, y el consumo esperado de energíapor tonelada del producto. Obviamente el diseñador desea ser capaz de especificar lascondiciones de molienda que produzcan un consumo mínimo de energía por tonelada delproducto. Sin embargo, se debe recordar que las condiciones de mínima energía no sonnecesariamente aquellas para una máxima capacidad o para la más alta rentabilidad dela planta. En general, el molino debe ser diseñado para funcionar con la más eficientemolienda posible, definida por la mayor capacidad específica de molienda y el más bajoconsumo de energía, sujeto a restricciones de desgaste, costos de mantenimiento ycontaminación del producto. Además es usualmente muy deseable el saber cómoreaccionará el circuito ante cambios en las condiciones de operación, de tal manera quese pueda asesorar al operador que tiene que manejar el circuito para cumplirespecificaciones.

Como en muchos sistemas de reactores, el uso de varias etapas de moliendacombinadas con recirculación puede ser ventajoso. Es una práctica común pasar elmaterial que sale del molino a través de un clasificador de tamaño, el cual divide elproducto de la molienda en dos flujos, uno que contiene partículas más gruesas(sobretamaño) y el otro partículas muy finas (bajotamaño). El flujo de partículas gruesases recirculado al punto de alimentación del molino. El proceso de separación selectivade tamaños se conoce como clasificación, existiendo varios tipos de equipos queproducen esta acción de clasificación: harneros continuos, clasificadores de espiral y derastras, hidrociclones, separadores de aire y otros. El diseño del circuito debe incluir unaespecificación de la cantidad óptima de recirculación y cómo obtenerla.

Puede haber dos molinos en serie, con clasificadores apropiados y recirculación,o puede haber recirculación y remolienda de material proveniente desde una etapaposterior en el proceso como por ejemplo, de celdas de flotación. Por lo tanto, a menudoes necesario escoger entre varias alternativas de circuitos de molienda, y definir el tamañode un número de componentes para lograr el sistema más eficiente para un determinadotrabajo. Por ejemplo, el diseñador puede confrontar la selección entre un circuito quecontiene triturador primario, triturador secundario, triturador terciario, molino de barrasy molino de bolas, y un circuito que consiste en triturador primario y molino autógeno.Varios circuitos pueden ser técnicamente factibles y la selección es entonces, una cuestiónde economía global.

Resumiendo, los siguientes factores deben ser considerados:

(I) Tamaño del molino

(II) Potencia del molino, energía específica de molienda

(III) Condiciones de molienda eficiente

3

(IV) Recirculación, eficiencia de clasificación

(V) Desempeño del circuito de molienda bajo condiciones variables

(VI) Selección de molinos para circuitos complejos

(VII) Optimización económica

1.3 DEFINICION DE TERMINOS Y CONCEPTOS

Un molino es esencialmente un reactor que está transformando partículas grandesa partículas más pequeñas. Hay, por supuesto, muchas formas de aplicar fuerzas a laspartículas y causar fractura, pero el ingeniero metalúrgico está interesado principalmenteen equipos de gran tamaño que procesen en forma continua grandes flujos de materialesfrágiles con capacidad estable durante las veinticuatro horas del día. Los molinos másutilizados en estas circunstancias son los molinos de barras, los molinos de bolas y losmolinos semiautógenos. Estos molinos son equipos sencillos, relativamente baratos deconstruir, seguros, fáciles de controlar y de mantener y tienen bajos requerimientos deenergía por tonelada de producto comparados con otros tipos de equipo de molienda.

El reactivo en el molino es la alimentación que en él entra, la que raramente es deun solo tamaño y normalmente tiene una distribución granulométrica completa, demanera tal, que debe considerarse como un conjunto de reactivos. Esta distribución detamaños puede ser representada por una curva continua o por un conjunto de númerosP(x) que representan la fracción acumulativa en peso bajo el tamaño x. A menudo esconveniente usar una escala log-log para la representación gráfica de P(x), tal como semuestra en la Figura 1.2.

El método de análisis granulométrico más sencillo y seguro es el tamizado, demodo que el tamaño se refiere por lo general al tamaño de la malla de cada tamiz utilizado(ver Tabla 1.1) La fracción en peso retenida en los intervalos de los diversos tamaños detamices, denotada por w, contiene la misma información que la Figura 1.2, de maneraque un conjunto de números w también representa la distribución de tamaño. Esconveniente usar intervalos de tamaño en una progresión geométrica correspondiente ala secuencia normalizada de tamices. Utilizaremos la convención arbitraria de designarel tamaño del intervalo mayor como 1, el próximo más pequeño como 2, etc., como semuestra en la Figura 1.2. Si se considera cualquier intervalo de tamaño, por ejemplo elintervalo i, la fracción en peso de material retenido en este intervalo es wi. No es fácilextender la distribución granulométrica a tamaños muy pequeños, menores a 38 µm (400mallas), debido a la dificultad experimental de medir con exactitud estos tamañospequeños. El intervalo de tamaño final, que contiene el peso del material más pequeño,es definido como la fracción en peso wn de tamaños menores al más pequeño tamizutilizado. Este intervalo se denomina sumidero ya que él recibe material fracturado detodos los tamaños mayores, pero no entrega material a ningún otro intervalo.

El producto es la distribución de tamaño del material que va saliendo del molino.Nuevamente, ésta no es nunca un tamaño individual y debe utilizarse una curva o unconjunto de números para caracterizar su distribución granulométrica, de la mismamanera que se indicó para el material de alimentación. Para definir un sistema de

4

Tabla 1.1 Serie Internacional de Tamices Normalizada

Tamañonormalizado

Designaciónmalla U.S.

Tamañonormalizado

Designaciónmalla U.S.

125 mm 5" 850 µm 20106 mm 4.24" 710 µm 25100 mm 4 “ 600 µm 3090 mm 31⁄2 “ 500 µm 3563 mm 21⁄2 “ 355 µm 4553 mm 2.12 “ 300 µm 5050 mm 2 “ 250 µm 6045 mm 13⁄4 “ 212 µm 70

37.5 mm 11⁄2 “ 180 µm 8031.5 mm 11⁄4 “ 150 µm 10026.5 mm 1.06 “ 125 µm 12025.0 mm 1 “ 106 µm 14022.4 mm 7/8 “ 90 µm 17019.0 mm 3/4 “ 75 µm 20016.0 mm 5/8 “ 63 µm 23013.2 mm 0.530 “ 53 µm 27012.5 mm 1/2 “ 45 µm 32511.2 mm 7/16 “ 38 µm 4009.5 mm 3/8 “8.0 mm 5/16"6.7 mm 0.265 “6.3 mm 1/4 “5.6 mm Nº 31⁄2

4.75 mm 44.00 mm 53.35 mm 62.80 mm 72.36 mm 82.00 mm 101.70 mm 121.40 mm 141.18 mm 161.00 mm 18

5

molienda, se debe especificar claramente el producto deseado. Generalmente no esposible especificar la distribución de tamaño completa, por lo tanto se utiliza una de lasformas que siguen: (a) un sólo punto en la curva P(x), por ejemplo, 80% en peso menora 200 mallas; (b) dos puntos en la curva P(x), por ejemplo, 50% menor a 400 mallas y nomás de 5% mayor (95% menor) a 65 mallas; (c) una superficie específica determinada.

Otro ejemplo de aplicación de la especificación del tamaño de un producto serelaciona con la liberación de un material valioso desde un trozo de roca en operacionesde metalurgia extractiva. Por medio de pruebas tentativas de laboratorio, el ingenierometalúrgico llega a la deseada fineza de molienda para obtener una liberación suficiente,especificándola luego al diseñador del molino.

En la concentración por flotación del componente valioso, se sabe que partículasmuy finas, por ejemplo menores que 5 µm, flotan muy pobremente y que con partículasgrandes, por ejemplo mayores a 300 µm, también sucede lo mismo. Este es un ejemplode una especificación en que el producto debe ser en su mayor parte menor que un tamañoespecificado, pero debe además tener un mínimo de lamas.

Como se mostrará más adelante, y como se espera por sentido común, la velocidada la cual las partículas se fracturan en un equipo de molienda depende del tamaño de laspartículas. A diferencia de un reactor químico simple que convierte A en B, un molinoopera con un conjunto completo de tamaños de alimentación produciendo un conjunto

Figura 1.2: Gráfico log-log de la distribución de tamaño acumulativa. El tiempo demolienda es t.

6

de tamaños finales. En forma semejante a un reactor químico, el conocimiento de lavelocidad a la cual cada tamaño se fractura permite la predicción de la rapidez dedesaparición de estas partículas de la carga del molino.

Sin embargo, a diferencia de la simple reacción química A → B, aún lafragmentación de partículas de un sólo tamaño produce una completa variedad de tamañosde producto. Si el rango de tamaños se divide en un número de intervalos, la fracción dematerial fracturado desde un tamaño fijo que cae dentro de un intervalo de tamaño menorpuede ser considerado como un producto, como se ilustra en la Figura 1.3. Es claro quela comprensión razonablemente detallada del funcionamiento del molino involucra elconocimiento de la distribución de tamaño de la progenie, ésto es, de la función dedistribución de fractura primaria. El conocimiento de la rapidez con que undeterminado tamaño se fractura y en qué tamaño aparece su producto, constituye ladescripción elemental del balance de masa por tamaños o balance de población delmolino.

Figura 1.3: Ilustración de la fracción de material fracturado desde un monotamañoque queda en un intervalo de tamaño determinado.

Figura 1.4: Ilustración de la distribución de tiempos de residencia (DTR) para unmolino de bolas.

7

Para definir las diversas velocidades de fractura en un molino, se puede consideraréste como una “caja negra” con un volumen V que contiene una masa de polvo W. Si semira un intervalo de un tamaño particular i, la fracción de W que es de tamaño i es wi,por lo tanto la masa de tamaño i será wiW. La velocidad específica de ruptura de estetamaño, Si, es la velocidad fraccionaria de ruptura, por ejemplo, kilógramos de tamaño ifracturados por unidad de tiempo por kilógramo de tamaño i presente. Las unidades deSi son (kg/t)/kg=t-1. De este modo Si queda definido por:

Velocidad de ruptura de un tamaño i = SiwiW (1.1)

y es equivalente a una constante de velocidad de reacción química de primer orden. Laoperación de molienda más eficiente ocurre en condiciones en las cuales los valores deSi son máximos. Si la geometría del molino o las condiciones de carga de bolas cambian,la intensidad y estadística de la fractura por unidad de volumen del molino tambiéncambian y como consecuencia, cambian los valores de Si. Esto es equivalente a cambiarla temperatura en un reactor químico.

Si se considera nuevamente el molino como un reactor, surge otro nuevo concepto.Si la velocidad de alimentación de un molino de bolas de determinado tamaño se

Figura 1.5: Ilustración del rango de las distribuciones de tamaño con un punto comúnfijo en 80% menos de 75 µm, obtenido variando la razón de recirculación.

8

disminuye, el material permanece por más tiempo en el molino, se fractura más y por lotanto se muele finamente. Por lo tanto, el tiempo de retención, que también recibe elnombre tiempo de residencia, es un componente fundamental en la descripción de laoperación del molino, aplicable a un conjunto particular de condiciones de operación.Como en cualquier tipo de reactor, el concepto anterior lleva al concepto de distribuciónde tiempos de residencia (DTR) [1.7]. De una pequeña cantidad de alimentaciónmarcada con un trazador y administrada al molino por un muy corto tiempo, una partepodrá dejar el molino casi inmediatamente (y estará casi sin fracturar), mientras queotra parte del pulso de trazador permanecerá en el molino por un mayor intervalo detiempo (y será molida más finamente) de tal forma que se establece una completadistribución de tiempos de residencia. Esto se ilustra en la Figura 1.4.

Se define como flujo pistón la salida súbita de todo el material trazado después deun tiempo promedio de residencia, lo que implica que no se produce una mezcla haciaadelante o hacia atrás del material mientras se mueve a través del molino. En el otroextremo se denomina mezcla completa, o mezcla perfecta, al caso en que todo el materialmarcado se mezcla instantáneamente en el seno de la carga y la concentración delmaterial marcado, en el molino y en el material que deja éste, es igual y disminuyeexponencialmente con el tiempo; ver el capítulo 7. El tiempo promedio de residenciaqueda definido por W/F, siendo W la masa del material retenido en el molino, porejemplo en toneladas, y F la velocidad de alimentación, por ejemplo en ton/min. Elcomportamiento del molino depende de la naturaleza de la DTR como también deltiempo de residencia promedio.

La forma de la distribución de tamaño del producto puede ser modificada por lamanera en que se diseña y opera el circuito de molienda. Con “forma” se quiere decir lapendiente de la curva de análisis granulométrico que se muestra en la Figura 1.2, ésto es,la relativa proporción de finos, material de tamaño intermedio y gruesos. En muchasindustrias, el producto del molino debe ser menor que un determinado tamaño pero lapresencia de un exceso de finos, es indeseable. Una cantidad relativa menor de finosaparece como una mayor pendiente en la curva granulométrica, como se muestra en laFigura 1.5. La producción de un exceso de finos se puede considerar análoga a unareacción química indeseable, la cual debe ser minimizada por medio de una operacióneficiente.

Un principio general de importancia es que, para evitar la producción de un excesode finos, es necesario remover del molino lo más rápidamente posible todo el materialque ya está suficientemente fino, evitando de este modo la sobremolienda. En la Figura1.5 se muestra un resultado teórico (que será descrito en el Capítulo 11) de un circuito demolienda operando para producir una distribución de tamaño con el 80% menor que 75µm. Bajo condiciones de circuito abierto (sin clasificación o reciclo), el material yasuficientemente fino naturalmente pasa todavía a lo largo del molino y es molido másfinamente por debajo del tamaño de control al mismo tiempo que el material más gruesoes reducido de tamaño. La incorporación de un clasificador cerrando el circuito significaque el molino opera a flujos de masas mayores y a tiempos de residencia menores. Si losflujos de alimentación fresca y de producto final se denominan Q, en toneladas por hora,y si la cantidad que recicla es T, también en toneladas por hora, el flujo total que pasa porel molino es Q + T. Este mayor flujo remueve el material más rápidamente, los finos sonseparados en el clasificador y las partículas más gruesas son devueltas al sistema de

9

alimentación del molino. El beneficio de esta acción es que la distribución de tamañode las partículas que han sido trituradas en el molino contiene ahora más partículas gruesasy menos partículas finas. Si no hay finos presentes, éstos no son retriturados. El cuociente(Q+T)/Q recibe el nombre de carga circulante y se la expresa como porcentaje. La razónT/Q=C se denomina razón de recirculación.

Dos tipos de ineficiencias pueden ser definidos para la molienda. El primer tipo,que recibirá el nombre de ineficiencia indirecta, fue discutido en el párrafo anterior. Elmolino puede fracturar eficientemente, pero la energía se gasta en sobremoler materialque ya está suficientemente fino. El segundo tipo, que denominaremos ineficienciadirecta, sucede cuando las condiciones de la molienda causan acciones de rupturadeficiente; ejemplos son (i) bajo llenado del molino con partículas de tal manera quela energía cinética de las bolas se gasta en un contacto acero-acero sin que suceda unaruptura de las partículas; (ii) sobrellenado del molino debido al cual la acción de lasbolas sobre las partículas es amortiguada por la presencia de exceso de estas últimas;(iii) una densidad de pulpa demasiado alta en molienda húmeda, la que produce unapulpa densa y viscosa que puede absorber el impacto de las bolas sin producir ruptura.

Finalmente, está claro que el término capacidad de molienda, que a menudo esexpresado en toneladas por hora, tph, agrupa en un solo número todas las velocidadesespecíficas de ruptura, la distribución de ruptura primaria, las distribuciones de tiempode residencia, las especificaciones de tamaño del producto en relación con la alimentacióndel molino y el tamaño de éste. Este número sólo puede ser constante para condicionesconstantes precisas.

1.4 CONDICIONES DE OPERACIÓN DE MOLINOS ROTATORIOSDE BOLAS: DEFINICIONES

El molino rotatorio de bolas contiene una masa de polvo que está siendo fracturaday la fineza de la molienda depende de cuánto tiempo el material permanece retenido. Elproducto se torna más grueso cuando se aumenta el flujo de alimentación al molino, comose discutió anteriormente. Este tipo de equipo es un aparato de retención.

Se define como velocidad critica del molino a la velocidad de rotación a la cuallas bolas empiezan a centrifugar en las paredes del molino y no son proyectadas en elinterior del molino. Haciendo un balance entre la fuerza de gravedad y la fuerzacentrífuga sobre una bola en la pared del molino, la velocidad crítica resulta ser:

Velocidad crítica = 76.6 ⁄ √ D − d RPM; D, d en pies (1.2a)

= 42.2 ⁄ √ D − d RPM; D, d, en metros (1.2b)

donde D es el diámetro interno del molino y d es el diámetro máximo de las bolas. Esrazonable esperar que el movimiento de volteo de la carga en un molino dependerá de lafracción de velocidad crítica a la cual el molino opera, de tal manera que la velocidad derotación de éste normalmente se especifica por medio de ϕc, la fracción de velocidadcrítica.

10

La acción de volteo de la carga y las velocidades de ruptura dependerán claramentede qué proporción del volumen del molino está lleno con bolas. La medida más precisade ésto es la fracción de volumen ocupado por las bolas. Sin embargo, en ensayos enmolinos de gran tamaño, a menudo no es posible determinar el peso de las bolas, y porlo tanto, tampoco es posible determinar su volumen, pero sí es posible parar el molino ymedir la altura desde la superficie de las bolas a la parte más alta del molino, lo quepermite la estimación de la fracción del volumen que está lleno con el lecho de las bolas;Figura 1.6. Por lo tanto la fracción de llenado con bolas, J, se expresa,convencionalmente, como la fracción del molino lleno por el lecho de bolas en el reposo.

Para convertir el volumen del lecho en la masa total de las bolas presentes, o viceversa, es necesario conocer la densidad aparente de la carga del lecho de bolas. Laporosidad del lecho varía ligeramente dependiendo de la mezcla de tamaños de bolas, elrelleno de polvo, etc., sin embargo, se define una porosidad nominal constante para todoslos cálculos. Diferentes industrias y fabricantes usan valores levemente distintos deporosidad. Nosotros usaremos una porosidad nominal de lecho de 0.4, el que da un valorde J de:

J = Volumen real de las bolas ⁄ Fracción en volumen de acero en el lecho

Volumen del molino

J =

masa de bolas ⁄ densidad de bolasvolumen del molino

×

1.01− porosidad del lecho

J =

masa de bolas ⁄ densidad de bolasvolumen del molino

×

1.00.6

Para bolas de acero forjado de tipo normal, la porosidad formal de 0.4 produce unadensidad aparente del lecho de 295 lbs/pie cúbico (4.70 ton métrica/m3).

Similarmente, la carga de polvo de un molino se expresa como la fracción delvolumen del molino ocupada por el lecho de polvo, fc. Usando nuevamente una porosidadnominal del lecho de polvo de 0.4:

fc =

masa del polvo ⁄ densidad del polvovolumen del molino

×

1.00.6

A fin de relacionar la carga de polvo con la carga de bolas, el volumen aparente dela carga de polvo se compara con la porosidad nominal del lecho de bolas mediante lavariable U, que expresa la fracción de huecos entre las bolas en reposo ocupada por ellecho de partículas.

U =

volumen del lecho de partículasvolumen de huecos en el lecho de bolas

11

= fc × ( volumen del molino)

J × ( volumen del molino) × ( porosidad del lecho de bolas)

= fc

0.4J (1.5)

Empíricamente se ha encontrado que el rango de U de 0.6 a 1.1 es una buena proporciónde polvo a bolas para dar una fractura eficiente en el molino.

Si hay agua presente, la densidad de la suspensión se puede cuantificar mediantela fracción en peso de los sólidos en la mezcla cp. En realidad, las propiedades reológicasde una suspensión quedan mejor definidas por la fracción de sólido en volumen cv:

cv = cp ⁄ ρs

cp ⁄ ρs + [(1 − cp) ⁄ ρl )] (1.6)

donde cp es la fracción en peso del sólido y ρs y ρl son las densidades del sólido y dellíquido. La viscosidad de una suspensión depende también de la distribución granu-lométrica de las partículas.

1.5 NIVELES DE COMPLEJIDAD: LOS DIFERENTES CAMINOS ALDIMENSIONAMIENTO DE MOLINOS

Al describir un sistema de molienda, incluso el más sencillo, existen un númerode niveles de complejidad que pueden ser usados. Estos pueden ser categorizados, enorden ascendente de complejidad, de la siguiente manera:

1) Método de la energía específica global

2) Métodos globales Bond/Charles

3) Método de balance de tamaño-masa

La esencia del Método 1 es el determinar experimentalmente la capacidad demolienda de un material desde una alimentación conocida a un producto determinado enel laboratorio o en un molino piloto, donde las condiciones en el molino de prueba sonseleccionadas lo más similares posibles a las del molino industrial y el tiempo de moliendaes ajustado para obtener el tamaño deseado del producto. La energía del molino se usapara calcular la energía específica de molienda en kWh/ton, para ir desde una determinadaalimentación hasta un producto del tamaño deseado. Se supone luego, que la energíaespecífica de molienda para obtener el producto señalado desde la alimentación dada esindependiente del diseño del molino o de su operación (o se escala mediante una relaciónde escalamiento simple basada en la experiencia). Por lo tanto, midiendo la potenciamp1 utilizada en el molino de laboratorio o de planta piloto mientras opera a un tonelajede descarga estacionario Q1 desde una alimentación a un producto determinado, la energíaespecífica es obtenida de:

Energía específica E = mp1

Q1 (1.7)

12

Figura 1.6: Geometría de la carga de bolas en un molino.

13

Entonces, si se necesita un tonelaje de producción Q2 de cualquier otro molino, y sesupone una energía específica constante, su potencia será de:

mp2 = E × Q2 = mp1

Q2

Q1

(1.8)

Como la potencia mp2 que se requiere para operar un molino a una velocidad deseadapuede ser calculada mediante ecuaciones empíricas usando las dimensiones del molinoy su carga de bolas, se puede seleccionar un tamaño apropiado de molino para dar unapotencia mp2.

Este enfoque es a menudo inesperadamente exitoso, pero su aplicación sinexperiencia previa está llena de peligros. No existe una razón fundamental de por qué laenergía específica de molienda deba ser constante ya que ella no es un parámetrotermodinámico y además, es fácil idear un sistema en el cual ella no pueda de ningúnmodo ser constante, especialmente si el sistema de producción seleccionado es más, omenos, eficiente que el sistema de prueba. Este enfoque no toca los problemas delimitaciones en flujo másico a través del molino, la correcta selección de recirculación,las condiciones óptimas de operación, etc.

El Método 2 utiliza elementos del Método 1 y agrega relaciones empíricas, comolas de la “ley” de Bond [1.8] o la “ley” de Charles [1.9], las que describen cómo la energíaespecífica de molienda varía con cambios en el tamaño de la alimentación o el tamañodel producto. Se utilizan factores de escalamiento y a menudo es necesario hacer unaserie de correcciones empíricas basadas en experiencias previas para obtener resultadoscorrectos.

Los métodos arriba mencionados se denominan métodos globales porque sonusualmente aplicados a la alimentación y al producto que sale del circuito y no a ladistribución real de éstos en torno al molino mismo. Ellos engloban todos los factorescinéticos en un único parámetro descriptivo, por ejemplo, el índice de Trabajo de Bond.Estos métodos serán discutidos en más detalle en el Capítulo 3.

El Método 3 consiste en realizar un balance de tamaño y de masa completo paratodos los tamaños de partículas del molino, utilizando los conceptos de velocidadespecífica de fractura, distribución de fractura primaria, distribución de tiempos deresidencia y una descripción matemática de la acción de clasificación. El escalamientodesde los resultados de pruebas a las condiciones industriales de producción, o a otrascondiciones del molino, se efectúa por medio de un conjunto de relaciones que describencomo cada elemento en el balance de tamaño-masa varía con las condiciones y el tamañodel molino. Esto conduce a simulaciones de circuito razonablemente exactas yapropiadas para la optimización y análisis del proceso. La ventaja de esta técnica es quepueden compararse circuitos alternativos en el papel antes de adoptar finalmente undiseño. Este nivel avanzado de complejidad puede ser tratado con variados grados desofisticación. Este enfoque moderno, que requiere el uso de computadores digitales pararealizar los cálculos para un número razonable de intervalos de tamaño (por ejemplo 10a 20), es uno de los tópicos importantes de este libro y se lo vuelve a tratar en el Capítulo4.

14

1.6 REFERENCIAS

1.1 Rumpf, H., Powder Technol., 7 (1973) 145-159.

1.2 Sheridan, D., Smithsonian, 8 (1977) 30-37.

1.3 Rowland, C.A., Jr. and Kjos, D.M., Mineral Processing Plant Design, 2nd. Ed., A. Mular and R. Bhappu,eds.,AIME-SME, New York,NY, (1980) 239-278.

1.4 Lynch, A.J., et al., Mineral Crushing and Grinding Circuits, Elsevier, 1977.

1.5 Austin, L.G., Klimpel, R.R. Luckie, P.T. and Rogers, R.S.C., Design and Installation of ComminutionCircuits, A. L. Mular and G.V. Jergensen, II, eds., SME-AIME, New York, NY, (1982) 301-324.

1.6 Austin, L.G., Klimpel, R.R. and Luckie, P.T., The Process Engineering of Size Reduction: Ball Milling,AIME-SME, New York, NY, (1984) 561 pp.

1.7 Levenspiel, O., Chemical Reaction Engineering, Wiley, NY (1962).

1.8 Bond, F.C., Brit. Chem. Eng., 6 (1960) 378-391, 543-548.

1.9 Charles, R.J., Trans. AIME, 208 (1957) 80-88.

15

16

CAPITULO 2

MECANICA DE FRACTURA Y REDUCCIONDE TAMAÑO

2.1 INTRODUCCION

Es obvio que la ciencia básica involucrada en la conminución es la mecánica defractura, sin embargo, existen pocos aspectos del diseño de procesos de molienda queutilicen conceptos de mecánica de fractura. Es más, cuando las leyes de la mecánica defractura han sido invocadas para explicar los datos de molienda o desarrollar leyes dediseño, la mayor parte de las veces han sido aplicadas en forma errada y de esta manerahan creado una gran confusión. En este capítulo se reseñan los conceptos básicos defractura desde el punto de vista de la reducción de tamaño por molienda y se muestra elpor qué es tan difícil efectuar cálculos de diseño desde un razonamiento teórico a priori.

2.2 BREVE RESEÑA DE LA MECANICA DE FRACTURA

2.2.1 Esfuerzos, Deformaciones Unitarias y Energía

Para producir una reducción de tamaño en colpas o partículas sólidas, se les debeaplicar esfuerzos y producir fractura. Un análisis teórico cuantitativo es solamenteposible para estados de esfuerzos relativamente simples, pero los conceptos que surgende estos resultados son beneficiosos para entender en forma cualitativa las complejascondiciones de esfuerzo en trituradoras y molinos industriales.

Cuando un material sólido es sometido a un esfuerzo sufre una deformación. Elestudio de este fenómeno corresponde a la mecánica del medio continuo. La descripcióndel comportamiento del sólido requiere la postulación de una ecuación constitutiva querelacione esfuerzos y deformaciones y que debe obtenerse de la experimentación con elmaterial. Sometiendo diversos materiales a esfuerzos de tensión conocidos, es posiblemedir cada deformación producida y clasificar su comportamiento como elástico oinelástico.

El comportamiento elástico de un material se caracteriza porque la respuesta a losesfuerzos es afectada sólo por el esfuerzo presente. No existen efectos de memoria quecomprometan la respuesta posterior del material. La energía acumulada durante la cargadel sólido es recuperada íntegra e instantáneamente durante la descarga. Si la ecuaciónconstitutiva de un material sólido elástico es lineal, se dice que su comportamiento eselástico-lineal. La Figura 2.1 esquematiza la ecuación constitutiva de un material elásticolineal en una dimensión. Esta ecuación constitutiva se denomina ley de Hooke y es:

17

σ = Yε (2.1)

donde ε = (d − do) ⁄ do y d y do son el tamaño actual y tamaño inicial de la muestra. Elparámetro Y, que representa la pendiente de la recta en la Figura 2.1, se denomina módulode Young. El material se comporta elásticamente hasta el punto C. El valor del esfuerzoy de la deformación unitaria en este punto se denota por σc y εc . El módulo de Youngqueda expresado por:

Y = σ ⁄ ε , σ<σc , ε < εc (2.2)

Para un cristal perfecto, Y depende de las orientaciones de los esfuerzos, pero losmateriales de mayor interés para nosotros son sólidos frágiles policristalinos con unadistribución de cristales al azar, de manera tal que Y resulta ser una constante isotrópicaelástica efectiva.

Existen materiales cuya respuesta a una solicitación no es elástica. La razón puedeser que el material se deforma permanentemente o que su comportamiento depende deltiempo. Ambos disipan energía durante la deformación. Se puede distinguir dos tiposde inelasticidad, el comportamiento plástico y el comportamiento viscoso. Estos tiposde inelasticidad se superponen al comportamiento elástico y constituyen lo que se

Figura 2.1 : Esfuerzo versus deformación unitaria para el comportamiento elástico-lineal de una esfera de vidrio de 38 µm de diámetro.

18

denomina comportamiento elasto-plástico y comportamiento visco-elástico. Elcomportamiento elasto-plástico (Fig. 2.2) lleva a una deformación permanente delmaterial, que no desaparece con el tiempo, por lo que se la trata como independiente deéste. La descripción se basa en el límite de fluencia como constante del material, ademásdel módulo de Young. La energía disipada corresponde al área bajo la curva σ versus ε.El comportamiento visco-elástico se caracteriza por su gran dependencia de la velocidadcon que se lleva a efecto. Mientras más lenta la carga, más inelásticamente se comportael material (Fig. 2.3). Un material se puede comportar elásticamente en tiempos cortos,y visco-elásticamente en tiempos mayores, dependiendo el rango de comportamientoelástico de la temperatura. Por esta razón cuando se desea romper materialesvisco-elásticos, tales como el cloruro de polivinilo, se debe controlar la temperatura y lavelocidad de aplicación de los esfuerzos para que el material se comporte elásticamente.

La densidad de energía acumulada por el material durante una deformaciónelástica se denomina energía de deformación y se puede expresar por unidad de volumenEv ,o por unidad de área Es. Para una deformación unidimensional ella es:

1

2

3

4

5

Figura 2.2 : Esfuerzo versus deformación para la deformación elasto-plástica de unapartícula mineral de aproximadamente 4 µm de diámetro.

19

Ev = Edo A

= 1do A

∫ Fdo

d

dx = ∫ do

d FA dx

do = ∫ σ

0

ε

dξ (2.3a)

donde Ev es la energía de deformación por unidad de volumen, do es el largo inicial delmaterial, A su sección transversal y d el largo deformado al aplicar la fuerza F. Usando(2.1) e integrando resulta:

Ev = 12Yε2

y reemplazando ε de (2.2), se obtiene la energía de deformación cuando se aplica unesfuerzo σ < σc :

Ev = 12 σ

2

Y (2.3b)

La energía de deformación por unidad de área será obviamente:

Figura 2.3 : Esfuerzo versus deformación para un material visco-elástico.

20

Es = 12 do σ

2

Y (2.3c)

El valor dado por las expresiones (2.3b) y (2.3c) corresponde a una deformación reversible(Teoría de Hertz).

Por otro lado, si el sólido es cargado inmediatamente a σ, el trabajo realizado seráEv = σ2 ⁄ Y o Es = doσ

2 ⁄ Y. La mitad de esta cantidad es energía de deformación y laotra mitad es utilizada en acelerar el sólido y lo hará oscilar hasta que la amortiguaciónpor fricción convierta la energía cinética en calor (Fig. 2.4). En forma similar, si un sólidose expande rápidamente a un valor "d " mediante un esfuerzo constante σ , el trabajoefectuado por unidad de volumen es σ2 ⁄ Y y otra vez solamente la mitad es energíareversible de deformación.

La ruptura de un cuerpo sólido requiere la aplicación de esfuerzos suficientes sobreel material para romper los enlaces entre los átomos de la red cristalina. Si a un materialideal, considerando como tal aquél que posee una red cristalina perfecta, se le aplicanesfuerzos homogéneos, éste no puede romperse. Al aumentar las solicitaciones, talmaterial deformaría isotrópicamente aumentando las distancias entre sus átomos en formahomogénea. Cuando los esfuerzos sobrepasaren la resistencia del material, éste seríaseparado en sus componentes. Si lo anterior no ocurre en la práctica se debe sencillamente

Figura 2.4 : Ilustración de vibración amortiguada para la carga irreversible en un ensayo de tensión simple.

21

a que los materiales ideales no existen. Los sólidos siempre contienen inhomogeneidadesque cambian su comportamiento. Particularmente, los minerales están compuestos degranos de diversas especies mineralógicas y cada una de éstas, de muchos cristales. Estosignifica que los minerales son intrínsecamente materiales inhomogéneos.

Si se aplican esfuerzos en un cierto plano del material, éste se romperá, ocurriendofractura cuando las tensiones locales sobrepasan las fuerzas interatómicas. La fracturase denominará quiebre cuando la tensión local es mayor que la resistencia cohesiva delmaterial y el plano de fractura sea perpendicular al plano de esfuerzos. Si la tensión localse hace mayor a la resistencia de cizalle cohesivo, el material se fracturará en un planoque no es perperdicular al de los esfuerzos y la fractura se denominará cedencia (Fig.2.5). El tipo de fractura producido en un material depende principalmente del tipo deesfuerzo aplicado. En la conminución, los esfuerzos normales son más importantes comoforma de aplicación de fuerzas para la ruptura de los minerales, sin embargo, laimportancia relativa del cizalle dependerá de la magnitud de las solicitaciones a las quees sometido el material.

Figura 2.5 : Tipos de fractura según la ubicación de enlaces rotos en relación al planode solicitaciones, en una red cúbica.

22

2.2.2 Direcciones de los Esfuerzos Normales y de Cizalle

Considere un sólido en estado de esfuerzo en el equilibrio. En un plano que pasapor cualquier punto del sólido, no existe fuerza neta (ya que no hay movimiento de unaparte del sólido con respecto a otra), como se ilustra en la Figura 2.6, y la fuerza conque el material A de un lado del plano actúa sobre el material B del otro lado debe igualarla fuerza del material B actuando sobre el material A. La fuerza por unidad de área conque A actúa sobre B es llamada esfuerzo. El esfuerzo es entonces la transmisión defuerzas a través del sólido.

El esfuerzo en un punto puede ser resuelto en dos componentes, la componentenormal, perpendicular a la superficie considerada y la componente tangencial, elesfuerzo de cizalle. El esfuerzo normal tiende a separar A de B (tensión) o forzar a A

Figura 2.6 : Ilustración de los esfuerzos en un plano que pasa a través de un puntoen un sólido en equilibrio.

Figura 2.7 : Ilustración del estado de esfuerzo en un sólido desde el punto de vistamolecular.

23

sobre B (compresión), mientras que el esfuerzo de cizalle tiende a hacer deslizar a A sobreB. La Figura 2.7 ilustra los tres estados de esfuerzos, si se esquematiza estas fuerzasoperando como resortes. Obviamente, una compresión o tensión σ desigual a través deun sólido debe producir esfuerzos de cizalle.

Para describir el proceso de fractura es necesario conocer los esfuerzos normalesσ y tangenciales τ , y sus direcciones en el sólido. Las relaciones entre esfuerzos ydirección de esfuerzo pueden ser desarrolladas rápidamente para un sólido plano(bidimensional). Considere un esfuerzo en un plano actuando en un punto, como semuestra en la Figura 2.8a. El espesor del plano es el pequeño plano mostrado en la Figura2.6, donde las moléculas han sido comprimidas, estiradas o cortadas. El esfuerzo puederesolverse en dos componentes perpendiculares, σx y σy, para cualquier ángulo arbitrarioα. Un balance de fuerzas muestra que, para un valor particular de α = α

__ , el valor de τ se

convierte en cero. Definiendo los nuevos ejes x_ e y_ paralelos y perpendiculares a la

dirección de α__

(llamados ejes principales de esfuerzos) se tiene los resultados de laFigura 2.8c. Los esfuerzos en las direcciones de x

_ e y_ son llamados esfuerzos principales.

Entonces, se puede demostrar que para cualquier ángulo arbitrario ß con respecto a esosejes, como se muestra en la Figura 2.8d, los esfuerzos σ y τ están dados por:

σ = σx_ cos

2β + σy

_ sen2β (2.4)

τ =

σx_ − σy

_

2 sen2β (2.5)

Figura 2.8 : Equilibrios de esfuerzo en un punto de un elemento plano sólido.

24

Eliminando β entre las ecuaciones (2.4) y (2.5) se obtiene la ecuación de un círculo,de manera tal que las relaciones entre τ y σ, para cualquier ángulo β, pueden serrepresentadas mediante el círculo de Mohr, como se muestra en la Figura 2.9. Elmáximo esfuerzo de cizalle ocurre en la dirección de β = 45° (o 135°), siendo:

τmax =

σx_ − σy

_

2 =

σx − σy

2

2

+ τxy

1⁄2

(2.6)

στmax

=

σx_ + σy

_

2 (2.7)

El esfuerzo normal máximo es claramente el mayor de los esfuerzos principales.También, es fácil demostrar que en las coordenadas originales, los esfuerzos principalesestán relacionados a los esfuerzos normales mediante:

σx_ , σy

_ = σx + σy

2 ± τmax , tg 2α__

= 2τxy

(σx − σy) (2.8)

Entonces, conociendo σx, σy y τxy en cualquier punto en el sólido, las direcciones ymagnitudes de los esfuerzos máximos de cizalle, tracción y compresión pueden sercalculadas fácilmente.

Considerando las seis componentes de los esfuerzos, un tratamiento similar en tresdimensiones conduce a círculos de Mohr para los tres planos de esfuerzos principales,como se ilustra en la Figura 2.10, donde σ3 , σ2 , σ1 son los esfuerzos principales en orden

Figura 2.9 : Círculo de esfuerzos de Mohr para un punto de un elemento plano de unsólido.

25

de magnitud creciente. Se puede concluir que el máximo esfuerzo de tensión tiene lamagnitud y dirección del mayor valor de los tres esfuerzos principales y que el máximode cizalle ocurre a 45° entre las direcciones de σ1 y σ2 , con magnitud dada por la ecuación(2.6).

El segundo paso en la descripción de la fractura es encontrar los valores deσx , σy y τxy en todos los puntos en un sólido, ya que éstos pueden ser convertidos aesfuerzos máximos y direcciones de máximo esfuerzo. Esto se hace solucionando elconjunto de ecuaciones diferenciales y algebraicas que relacionan los esfuerzos con ladeformación unitaria, el coeficiente de Poisson ν y el módulo de rigidez G(G = Y ⁄ 2(1+ν)) en tres dimensiones en todos los puntos de la superficie del sólido,usando como condición de contorno la ecuación constitutiva para esfuerzo-deformaciónunitaria. Las soluciones son complicadas excepto para casos de geometrías sencillas ypara condiciones de contorno también sencillas. Un ejemplo utilizado más adelante esla carga compresiva simple de una esfera entre platos rígidos y sin fricción,correspondiendo a una prueba de esfuerzo compresivo.

La energía reversible de deformación, por sobre el estado sin esfuerzo, está dadapor:

EV = 12 ∫∫∫ (σxεx + σyεy + σzεz + τxyγxy + τxzγxz + τyzγyz) dxdydz (2.9)

donde γxy es la deformación angular en el plano x,y.

Figura 2.10 : Círculo de esfuerzos de Mohr para un punto para un sólido tridimen-sional.

26

2.3 RESISTENCIA COHESIVA IDEAL, CONCENTRACION DEESFUERZO Y LA TEORIA DE GRIETAS DE GRIFFITH

2.3.1. Resistencia Cohesiva Ideal

El concepto de resistencia cohesiva ideal puede ser ilustrado mediante un sólidoconstituido por planos de moléculas sujetos a una tensión unidimensional simple. Latensión estira los enlaces entre las moléculas, como se ilustra en la Figura 2.11a, dondelas flechas indican las fuerzas intermoleculares de atracción y repulsión. En el estadodeformado (estirado) cualquier molécula cumple todavía un balance de fuerzas pero,como se muestra en la Figura 2.11b, el alejamiento del equilibrio venciendo las fuerzasde atracción requiere una adición de energía (integral de la fuerza por la distancia),alcanzando el sólido un nuevo equilibrio en un estado de energía más alto (energía dedeformación almacenada).

La máxima fuerza de atracción que el sólido puede ejercer sobre la capa de lasuperficie corresponde al punto de inflexión de la curva de energía potencial, ya que(fuerza) = d(energía)/d(distancia de separación) y una tensión externa que exceda estemáximo, causa un desequilibrio de fuerzas y la aceleración de un plano de moléculasrespecto a otro. El sólido se desintegraría en cada uno de sus planos interiores.

Suponiendo que la ley de Hooke es aproximadamente aplicable hasta el punto deinflexión, la energía de deformación por unidad de volumen del sólido será, de acuerdoa la ecuación (2.3), σ2 ⁄ 2Y. Por otra parte, si se supone que esta energía se utiliza paragenerar una nueva superficie por ruptura del material, podemos igualar la energíasuperficial con la energía de deformación hasta el límite de ruptura. Como el áreaproducida por unidad de longitud es 2N, donde N es el número de planos por unidad delongitud, N=1/a, y a es la distancia entre los planos atómicos. Entonces:

2γ ⁄ a = σc2

2Y

y por lo tanto:

Figura 2.11 : Ilustración de las fuerzas entre moléculas en un sólido : (a) fuerza cohesiva, (b) energía potencial.

27

σcideal = √ 4Yγ ⁄ a (2.10)

donde γ es la energía superficial específica, definida como la energía necesaria para crearuna unidad de área de la superficie de un sólido no deformado. Claramente2γ = Es ⁄ (do ⁄ a). La ecuación (2.10) debe subestimar la resistencia ideal, ya que la leyde Hooke subestima la fuerza para llegar al punto de inflexión.

Los valores del esfuerzo σc calculados mediante la expresión (2.10) son siempremuy grandes comparados con los esfuerzos que se aplican a los materiales para romperlos.Tres son las razones de discrepancia entre realidad y modelo. En primer lugar, en losmateriales existen medios mediante los cuales se produce concentración de esfuerzoslocalmente, los que así llegan a sobrepasar la resistencia cohesiva del material. Laconcentración de esfuerzos se producirá en las puntas de grietas microscópicas en elmaterial, la propagación de las cuales produciría ruptura. En segundo lugar, losmateriales contienen inclusiones que debilitan las uniones de ciertos planoscristalográficos disminuyendo la resistencia cohesiva original. Finalmente es probableque en muchos casos la ruptura se produzca a esfuerzos pequeños debido a grietasmacroscópicas en el material.

2.3.2 Concentración de Esfuerzo: Teoría de Grietas de Griffith

La teoría de la fractura estudia la iniciación de grietas a partir de fallas (grietasmicroscópicas) y su propagación en el material. De acuerdo al comportamiento en estesentido, la fractura puede ser frágil o dúctil. La fractura frágil se caracteriza por unadeformación elástica antes de la ruptura y por una rápida velocidad de propagación de lagrieta. La fractura dúctil va acompañada de una gran deformación plástica alrededor delas grietas antes y durante su propagación.

El análisis del comportamiento de materiales durante su ruptura fue iniciado porGriffith [2.1] en 1920. La suposición fundamental fue que el material es un sólido elásticoy frágil conteniendo un gran número de grietas microscópicas, que posteriormentetomaron el nombre de fallas de Griffith. Al someter tal material a una tensión, losesfuerzos se concentran en las puntas de las fallas estableciéndose un frente deruptura por donde se propaga la grieta.

El concepto de concentración del esfuerzo σ, o factor de intensidad del esfuerzo,puede ser ilustrado considerando un sólido plano con un pequeño agujero, bajo unesfuerzo externo de tensión uniforme S en la dirección x, y cero en la dirección y. Sin elagujero, la solución es obvia σx = S , σy = τxy = 0, para todos los valores de x e y. Con unpequeño agujero de radio a (ver Figura 2.12), la solución [2.2] es:

σx(r,θ) = S2 1+ a

2

r2 − S2

1+3a

4

r4

cos2θ

la cual da un esfuerzo máximo de 3S en la dirección x para θ = 90° y 270°.

Como una fisura se abrirá bajo tensión, es razonable esperar que el sólido falle porfisuras que comienzan en la parte alta y baja del agujero y que progresan en la dirección

28

±y. La solución para un pequeño agujero elíptico es más compleja, pero da [2.1] unesfuerzo máximo de:

σmax

S = 1 + 2lb (2.11)

donde b y l son los radios de la elipse en la dirección x e y respectivamente. Para unagujero elíptico con su eje largo perpendicular a la dirección del esfuerzo, l es mayor queb y la concentración del esfuerzo puede ser muy alta si l >> b.

Griffith [2.1],[2.3] argumentó que los sólidos reales contienen muchas pequeñasfallas que corresponden al equivalente tridimensional de los agujeros elípticos discutidosanteriormente y que estos puntos de debilidad inician las grietas a niveles de esfuerzomucho menores que los ideales, ver Figura 2.13. Griffith hizo cuatro suposicionesbásicas:

(i) que la concentración de esfuerzos ocurre en la punta de la falla;

(ii) que el sólido es deformado al punto en que los lazos intermoleculares en la punta dela falla son estirados hasta el límite de ruptura;

(iii) que el estado de esfuerzo es reproducido en la punta para una expansióninfinitesimal de la falla, y

(iv) que la energía necesaria para expandir la falla, como una grieta que se propaga,está disponible ya que el sólido no puede relajarse inmediatamente del esfuerzoexterior aplicado.

La solución de las ecuaciones de esfuerzo-deformación para una elipse (ver Figura2.12) da la energía de deformación extra, debido a la presencia de la elipse, como:

w1 = Δz π l2 σ

2 ⁄ Y

Figura 2.12 : Ilustración de la concentración de esfuerzos en un plano debido a unagujero circular en a) y a un agujero elíptico en b. S es el esfuerzo de tensión exterior

aplicado.

29

donde l es el semieje largo, esto es, la mitad del largo de la grieta, y Δz es su ancho.Entonces, dw1

⁄ dl = Δz 2π l σ2 ⁄ Y. La energía necesaria para romper los enlaces esw2 = 4γ l Δz para una grieta de semilado l , tal que dw2

⁄ dl = 4γΔz. Un cambio rápido eirreversible de l a l+dl en el momento de la fractura, es semejante a un sólido deformadoque rápidamente se expande en dl a una carga constante, de modo que el trabajo realizadoes dos veces la energía (reversible) de deformación, dw3

⁄ dl = 2dw1 ⁄ dl = (2Δz 2 π l σ2) ⁄ Y.

Usando el principio del trabajo virtual, dw3 = dw1 + dw2 en la iniciación de la grieta elesfuerzo de tensión crítico σc será:

σcG = √ 2γY ⁄ πl (2.12)

donde σcG es la resistencia a la tensión pronosticada por la teoría de Griffith para una

grieta orientada en forma perpendicular a la fuerza aplicada.

Figura 2.13 : Propagación de una grieta en un sólido bidimensional según la teoría de Griffith.

30

Comparando las ecuaciones (2.12) y (2.10) se concluye que, siendo los valores dea del orden de unos pocos angstroms, una falla con un semilado de unos cientos deangtroms puede dar reducciones de la resistencia a la tensión de varios órdenes demagnitud comparada a la resistencia ideal. Con el progreso de la grieta después de lainiciación, dw3/dl >(dw1/dl) +(dw2/dl), por lo que existe un energía extra disponible paraacelerar el movimiento de la punta de la grieta. El sistema es inestable y la grieta seexpande rápidamente, acelerando a altas velocidades. La resistencia es menor que laideal porque el esfuerzo global no precisa ser lo suficientemente grande como pararomper todos los enlaces de una vez, ya que en un momento dado sólo aquellos enlacesalrededor de la punta de la grieta se están rompiendo. Por otra parte, la ecuación (2.12)es válida para una sola falla, mientras que la presencia de muchos defectos estrechamentejuntos darán una reducción adicional en la resistencia.

Obviamente que un esfuerzo compresivo puro no ocasiona la propagación de unagrieta, por lo que se hace necesario la presencia de un esfuerzo de tensión para que seproduzca la ruptura frágil. Se podría pensar que no existirían esfuerzos de tensión bajocondiciones de compresión unidimensional simple. Sin embargo, un análisis másdetallado, que considere todas las posibles orientaciones de los defectos, muestra que seproducen esfuerzos de tensión en la punta de un elipse de orientación adecuada, inclusobajo condiciones de compresión global. El resultado para un sistema plano, con esfuerzosglobales normales σ1 y σ2 y fallas de un tamaño tal que den un esfuerzo de tensión Tobajo una tensión unidimensional (con el eje de la grieta perpendicular al esfuerzo), semuestra en la Figura 2.14. La resistencia compresiva bajo una compresión unidimensionales 8To, esto es, la resistencia compresiva de materiales frágiles es alrededor de un ordende magnitud mayor que la resistencia a la tensión.

Figura 2.14 : Ilustración del efecto de la combinación de esfuerzos de la teoría de fallas de Griffith con resistencia a tensión simple To : las ecuaciones son las del

lugar geométrico.

31

2.3.3 Materiales Dúctiles

Los materiales dúctiles, por otro lado, sufren deformaciones plásticas debido aldeslizamiento de unos planos del sólido sobre otros, siendo el mecanismo fundamentalel movimiento de dislocaciones bajo un gradiente de esfuerzo. En este tipo demovimiento, los enlaces entre los planos no son todos rotos simultáneamente, sino quese rompen sólo suficientes enlaces como para permitir que la dislocación se mueva a lapróxima posición, reponiéndose los enlaces tras la dislocación, y así sucesivamente, demanera que resulta el deslizamiento de un plano sobre otro por medio de una serie depasos de baja energía. La máxima fuerza de cizalle ocurre a 45° de la dirección delesfuerzo principal, de modo que la plasticidad y ruptura por cizalle aparecerá como seilustra en la Figura 2.15.

El proceso de deslizamiento aparece como la región de cedencia en la Figura 2.2y es bien diferente a la iniciación inestable de la fractura frágil. El deslizamiento puedeiniciarse a partir de un defecto orientado adecuadamente, tal que genere concentracióndel esfuerzo, pero no hay apertura de una grieta comparable a la que resulta bajo unesfuerzo de tensión. El deslizamiento plástico puede ocasionar que parte del sólido actúecomo una cuña creando fuerzas de tensión, las que luego propagan la fractura frágil.

Figura 2.15 : Ilustración de ruptura por cizalle: el deslizamiento lleva a fractura frágil.

32

El tratamiento de Griffith puede ser extendido [2.4] para tomar en cuenta laplasticidad mediante la inclusión de un término dw4, que representa la energía requeridapara la deformación plástica causada por el campo de esfuerzo en movimiento alrededorde la punta de la grieta. Entonces, la condición de iniciación es dw3 - dw1 > dw2 + dw4.El valor depende del tamaño y densidad de las dislocaciones en el sólido y domina porsobre la energía de enlace dw2 para materiales dúctiles. Sin embargo, tan pronto comola fractura comienza, el valor para la energía plástica disminuye debido a que la grieta semueve a una velocidad alta en relación a la escala de tiempo para el movimiento de lasdislocaciones que dan plasticidad.

2.4 FRACTURA DE ESFERAS Y PARTICULAS

En la discusión de la Figura 2.14 se definió una resistencia a la tensión To, que seobtendría de un ensayo simple de resistencia a la tensión de un material con unadeterminada distribución de tamaño y de densidades de fallas de Griffith. Se puedesuponer que ese mismo material iniciaría grietas en cualquier región que desarrollaraesfuerzos de tensión mayores a To, al ser sometido a condiciones de esfuerzos complejos.Por ejemplo, las soluciones de las ecuaciones de esfuerzo-deformación para lacompresión de discos, de cilindros al modo de prueba radial “brasilera” y de esferas,muestran que hay presentes esfuerzos de tensión, con valores máximos a lo largo del ejede carga. Incluso para cubos y cilindros cargados a lo largo del eje, la fricción entre elplato de carga y la muestra conduce a un esfuerzo compresivo no uniforme con regionesde esfuerzos de tensión. Entonces, la carga compresiva de trozos o partículas irregularesproducirá ciertamente regiones locales con esfuerzos de tensión y en consecuenciaproducirá fracturas frágiles.

En particular, la compresión de esferas elásticas entre dos platos sin fricción da lasolución bien conocida:

Δ = 2

916 1d

(1−ν 2)

Y 2 P

2

1⁄3

(2.13)

donde Δ es la disminución del diámetro d de la esfera producida por la aplicación de unafuerza P. Para esta carga puntual el esfuerzo de tensión máximo en el sólido está dadopor:

σ = 1π

(4)(21)28+20ν

Pd 2 (2.14)

Suponiendo que hay una densidad suficiente de fallas de Griffith como para iniciar lafractura en aquella región del sólido en que ocurre el máximo, el valor de Pc que producefractura corresponde a un esfuerzo máximo crítico σc que iguala a To. Como la secciónmáxima de una esfera es π d 2 ⁄ 4, la ecuación (2.14) se puede expresar en la forma(σc = T0):

33

σc =

2128+20ν

σC (2.14a)

donde σC es la resistencia compresiva definida por σC = Pc ⁄ (π d 2 ⁄ 4).

Como un ejemplo tomemos el valor de ν = 0.16 para el cuarzo, entoncesσC = 1.5σc, esto es, una esfera es aproximadamente una y media vez más resistente a lacompresión que una fibra del mismo material y diámetro sometida a tensión. Rumpf [2.5]ha dado un valor de σC = 14.6 MPa para una esfera de cuarzo de 38 µm de diámetro,correspondiendo a una resistencia a la tensión verdadera de σc =9.8 MPa. Una partículade cuarzo de 135 µm de diámetro dió σC = 88.5 MPa, correspondiendo a σc = 59.3 MPa.

La energía de deformación reversible de una esfera es ∫ P(dΔ), dando:

E(P) = 0.83

1−ν2

Y

2⁄3

1d

1⁄3

P 5⁄3 (2.15)

Usando σC = Pc ⁄ (π d2 ⁄ 4), y expresándola como densidad de energía por unidad de

volumen, resulta:

Ev = 1.06

1−ν2

Y

2⁄3

σC5⁄3 (2.16)

Usando el módulo de Young para el cuarzo: Y = 8.71x104 MPa, la energía crítica para laruptura de la partícula del cuarzo, con σC = 88.5 MPa es de Ev = 0.9x106 j/m3. Como ladensidad del cuarzo es de 2.62 ton/m3 y 1 kWh = 3.6x106 j, la densidad de energía parala fractura resulta ser 0.1 kWh/ton.

Los experimentos para determinar la resistencia a la fractura de esferas comofunción del tamaño han demostrado que generalmente la resistencia a la tensión aumentaal disminuir el tamaño. Esto se explica suponiendo que en las esferas más pequeñas haymenor probabilidad que existan fallas largas de Griffith en la región de máximo esfuerzode tensión. Este efecto se expresa en forma empírica mediante la relación:

σc = σo(Vo ⁄ V)

1⁄m (2.17)

donde V es el volumen de la esfera, σo es la resistencia a la tensión que corresponde a unvolumen normal Vo y m es el coeficiente de uniformidad de Weibull. Un valor grandede m significa que las fallas son pequeñas comparadas con el tamaño de la muestra, demanera que la probabilidad que exista una falla grande en una región particular del sólidono varía mucho con el tamaño.

La Figura 2.16 muestra resultados típicos [2.6], en que cada valor de σc es elpromedio de 100 ensayos. Partículas de cuarzo de forma cercana a la de una esfera danun aumento notable de resistencia para tamaños menores a 500 µm. Introduciendo la

34

Figura 2.16 : Variación de la resistencia S con el volumen del espécimen.

35

ecuación (2.17) en la (2.16) y usando una resistencia a la tensión de σo = 1.6 x 103 MPapara esferas de 1 cm de diámetro (Vo = π /6), resulta:

Ev (d) = 11×10−3(1 ⁄ x)

5 ⁄ m , kWh ⁄ ton (2.18)

donde x está en cm. Cuando el valor de m1 cambia, la ecuación cambia a:

Ev (d) = 11×10−3(1 ⁄ x1)

5⁄m1(x1 ⁄ x)

5⁄m2 , x ≤ x1 (2.18a)

donde x1 es aquel tamaño en que la pendiente cambia de m1 para x ≥ x1 a m2 parax ≤ x1.

En realidad, durante la compresión de una partícula elástica, y, por efecto de lastensiones tangenciales en las zonas de contacto de la partícula con las superficies sólidas,se forma un núcleo en el que se concentran los esfuerzos y, por lo tanto, en el que elnúmero y magnitud de las grietas aumentan. Este núcleo da como resultado partículaspequeñas al ocurrir la fractura. Fuera del núcleo las grietas se propagan radialmente peroen cantidad menor, lo que da como resultado partículas de mayor tamaño en el producto.Cuando se comprime una partícula de este tipo entre dos superficies paralelas se obtieneuna relación entre las solicitaciones y deformaciones semejantes a lo señalado en la Figura2.17.

La esfera de vidrio se deforma elásticamente hasta su punto de ruptura D. En sudeformación inicial el material sigue la teoría de Hertz. La partícula también sufre

deformaciones elásticas pero, en este caso se debe distinguir entre fenómenos

Figura 2.17 : Curva esfuerzo-deformación para la compresión de una esfera de vidriode 38 µm y un pedazo de cuarzo de 135 µm.

36

microscópicos y macroscópicos. Desde el punto de vista microscópico se producenpequeñas deformaciones elásticas seguidas de rupturas de pequeños trozos (esquinas ycantos) que le dan a la curva macroscópica una forma de sierra. La curva macroscópicaa su vez, está constituida por deformaciones elásticas seguidas de rupturas, como en A,B y especialmente en C y D. En D la ruptura es total. Es interesante observar que lacurva CD es aproximadamente paralela a la curva de la esfera de vidrio lo que indicaríaque ambos materiales tienen respuestas semejantes, modificadas por la forma y tamañode las partículas.

2.5 APLICACIONES CUALITATIVAS DE LA TEORIA DEFRACTURA: ENERGIA DE MOLIENDA

Las rocas, minerales y carbones al ser fracturados en máquinas de reducción detamaño sufrirán generalmente una fractura frágil a partir de las fallas de Griffithpreexistentes. La resistencia a la molienda o moliendabilidad de estos materialescorrelacionará sólo aproximadamente con la dureza o la resistencia de los enlacesquímicos porque el número, tamaño y orientación de los defectos son variablesadicionales. Los materiales son más fuertes en compresión que en tensión. Con el

dc

ba

Figura 2.18 : Desarrollo de un árbol de grietas durante la propagación de la fractura,observado por fotografía de alta velocidad. Las imágenes han sido modificadas

aclarando el fondo y mostrando la zona de las grietas en seudorelieve.

37

objetivo de calcular la resistencia de un trozo o partícula sometida a esfuerzos usandouna teoría de mecánica de fractura a priori, sería necesario (a) resolver las ecuacionesde esfuerzo deformación para la geometría y las condiciones del esfuerzo aplicado; (b)convertir los resultados a la magnitud local y dirección de los esfuerzos principales entodos los puntos en el sólido; (c) considerar la densidad (número por unidad de volumen),distribución de tamaños y orientación (posiblemente al azar) de defectos en el sólido;(d) determinar los lugares donde los esfuerzos de tensión local pueden activar las fallashasta el punto de iniciación de la fractura, con la ruptura comenzando en el punto másdébil. Este cálculo resultaría extremadamente complicado, por no decir imposible, paralas situaciones reales en un molino. Por añadidura la mayoría de los equipos demolienda producen algún grado de esfuerzos de impacto, los cuales propagan ondas deesfuerzo a través del sólido, activando defectos a fracturas por tensión en su trayectoria.

La distribución granulométrica de la serie de fragmentos producidos por la fracturaes tan importante como la fractura misma y no existe una teoría conocida para supredicción. Una grieta puede propagarse lentamente si ella se encuentra con una regiónde esfuerzos de compresión los que cierran el extremo, especialmente en el caso demateriales dúctiles. Sin embargo la teoría predice, y los experimentos confirman, queuna fractura que se propaga bajo esfuerzos de tensión local adquiere rápidamente altavelocidad, del orden de la magnitud de la velocidad del sonido en el sólido. Esto conducea una onda de esfuerzo que se propaga desde la punta de la grieta y que, por su parte,inicia más fracturas en los defectos que encuentra en su trayectoria. El resultado es unabifurcación de la grieta con bifurcaciones de cada uno de los nuevos brazos, en formasucesiva para dar un “árbol” de grietas a través del sólido, ver Figura 2.18. La energíaasociada al movimiento de la onda de esfuerzo rápido es generalmente suficiente parapasar la grieta a través de los límites de granos y a través de regiones de esfuerzoscompresivos masivos.

Una comparación entre la fractura de materiales frágiles y dúctiles, muestra lossiguientes aspectos principales:

(1) La fractura frágil pura es casi independiente de la temperatura, pero a mayorestemperaturas, cercanas a las que producen mayor movilidad de las dislocaciones, lafractura puede cambiar a un deslizamiento y, por lo tanto, a menores resistencias. Lafractura dúctil pura muestra una disminución de la resistencia con un aumento detemperatura debido a una mayor movilidad de la dislocación. Para una fractura frágilcon una componente significativa de energía plástica, la resistencia aumenta con latemperatura debido a la zona plástica alrededor de la punta y luego disminuye cuandola fractura cambia a deslizamiento.

(2) Para fracturas a partir de fallas de Griffith, una partícula más pequeña tiene una menorprobabilidad de contener un defecto grande y será relativamente más fuerte. Dicho deotra manera, a medida que los materiales frágiles se fracturan los fragmentos resultantesy restantes son más fuertes porque las fallas mayores se han roto. Por otro lado, lafractura dúctil no es muy sensitiva al tamaño de partículas porque las dislocaciones sonmuy pequeñas comparadas con los tamaños de trozos o partículas.

(3) La velocidad de la aplicación de los esfuerzos es más importante para materialesdúctiles que para materiales frágiles porque altas velocidades de aplicación de grandes

38

esfuerzos sobre materiales dúctiles pueden producir una fractura frágil, mientras que elmismo esfuerzo alcanzado en etapas lentas permitirá disponer del tiempo para uncomportamiento dúctil.

(4) Los materiales dúctiles demuestran endurecimiento por deformación, esto es, ladeformación inicial produce movimiento y acumulación de dislocaciones, haciendo másdifícil una deformación subsiguiente. También demuestran fatiga por esfuerzo,nuevamente debido a la gradual acumulación de dislocaciones en los repetidos ciclos deesfuerzo.

(5) El cargar un material frágil con esfuerzos compresivos triaxiales uniformes, por ejemplohidroestáticamente, conduce a un incremento significativo de la resistencia al reducirlas fuerzas locales de tensión y al prevenir la apertura de las grietas.

La literatura sobre molienda ha mostrado la existencia de reiterados errores deconceptos concerniente a la energía de molienda. Las discusiones previas muestran queun sólido fuerte debe ser llevado a un alto estado de esfuerzo para que ocurra una fractura,especialmente por aplicación de fuerzas compresivas. Tan pronto como la fractura hacomenzado, solamente una fracción de la energía de deformación almacenada localmentealrededor de las grietas que se propagan, es utilizada para romper enlaces (el término γ). Los fragmentos de sólido son liberados de los esfuerzos externos cuando el sólido sedesintegra transformándose el resto de la energía de deformación acumulada en el sólidoen calor y sonido. Por ejemplo, considere el caso simple de un resorte bajo tensión, comoen la Figura 2.19, conteniendo una pequeña falla como se muestra. Si el resorte fueseperfecto el aumento del esfuerzo de tensión separaría (fracturaría) eventualmente planosde moléculas en igual forma en todos los puntos del resorte, creando un vasto número denuevas superficies y consumiendo la energía en deformación para suministrar la energíade superficie. En la práctica, empezando en la falla, la grieta se propaga a través delresorte produciendo algunos pequeños fragmentos. Sin embargo, la mayor parte de laenergía de deformación acumulada permanece en las dos mitades mayores del resorte yes convertida a calor por la oscilación amortiguada de cada una de las mitades; la piezase calienta, como la mayoría de nosotros hemos experimentado.

Ensayos realizados en molinos muestran que la fracción de la energía eléctricaaplicada al molino que es utilizada directamente para romper fuerzas de enlace es muybaja ( < 1%), generalmente menor que los errores envueltos en la medición del balancede energía. La ley de Rittinger, que indica que la “energía de reducción de tamaño esproporcional a la nueva superficie producida”, no tiene una base teórica correcta. Elaumento de temperatura del material molido puede ser calculado con bastante exactitudsuponiendo que toda la energía se convierte en calor.

El consumo específico de energía por unidad de área producida, por ejemplo, enjoules/m2 , puede ser utilizado como una guía comparativa de eficiencia, porque un valoralto de este parámetro es ciertamente un índice de una mayor reducción de tamaño porunidad de energía suministrada. Por cierto no será necesariamente constante para undeterminado equipo y material ya que puede aumentar o disminuir con mayor grado dereducción de tamaño.

39

2.6 DIFICULTAD DE LA MOLIENDA FINA

Ahora es posible postular algunas hipótesis para explicar por que es difícil molermateriales a tamaños pequeños en forma rápida y económica.

En primer lugar, con el progreso de la molienda la ruptura ocurre a partir de lasfallas grandes contenidas en las partículas. Los fragmentos más pequeños producidostienen claramente una menor probabilidad de contener defectos grandes. En principio laspartículas muy pequeñas se aproximan a una resistencia ideal. Schönert [2.7] ha demostradoque aunque el cemento es considerado un material frágil, partículas de éste de unos pocosmicrómetros de tamaño, se deforman plásticamente sin fracturarse bajo la aplicación deesfuerzos.

En segundo lugar, si se considera el acto de tensionar partículas en cualquier equipoindustrial, es claro que cada vez es más difícil capturar las partículas para tensionarlas amedida que se van empequeñeciendo. Por ejemplo, considere las bolas en un molinorotatorio que contiene una masa fija de colpas de 10 cm3 de volumen. Cada vez que unacolisión bola-bola muerde un trozo de colpa, ella tensiona los 10 cm3 quizás al punto de

FALLA

FRACTURA DEL RESORTE EN DOSMITADES CONTRAÍDAS Y A MAYORTEMPERATURA

RESORTE BAJO TENSION

Figura 2.19 : Ilustración de la energía de deformación en un sólido bajo esfuerzo simple, convertida en calor luego de la fractura.

40

fractura. Sin embargo, cuando el trozo es reducido a 10 µm en tamaño (es decir unvolumen de cerca de 1000 µm3 =10-9 cm3) la colisión de bola con bola tiene que impactar1010 partículas para golpear la misma masa. En cualquier impacto de bola con bola habrásolamente una pequeña fracción de esta masa que estará localizada exactamente en lapequeña región donde las dos superficies entran en colisión.

En tercer lugar, la presencia de partículas muy pequeñas en la masa de polvo puedeafectar la habilidad de los medios de molienda para producir un buen impacto a cualquierade las partículas contenidas en la masa de polvo en el molino. Se mostrará ejemplos deeste efecto más adelante pero pueden ser ilustrados en esta etapa si se considera un molinode bolas conteniendo una suspensión de polvo en agua. Es bastante bien conocido quesi el polvo es fino, la suspensión será altamente viscosa y no es difícil de imaginar quela naturaleza viscosa de la suspensión absorberá (amortiguará) la fuerza de impacto comosi fuese una goma, produciendo una menor fractura de las partículas en la suspensión.

En cuarto lugar, es posible que las fuerzas cohesivas que existen entre partículasmuy pequeñas le impartan propiedades especiales (semejante a fluido, por ejemplo) allecho como un todo, de tal manera que todas las partículas estén menos bien situadas pararecibir un impacto cuando hay lamas. Esto es diferente de la segunda razón porque aquíse trata de un efecto físico-químico y no de un simple efecto geométrico.

En quinto lugar, es posible que pequeñas partículas en contacto bajo un granesfuerzo puedan volver a reintegrarse. Debe distinguirse aquí entre la simpleaglomeración y la reintegración. La aglomeración de partículas finas en una partículamás grande (aparentemente única) da una partícula que es débil y porosa y que tiene unárea por B.E.T. (N2 líquido) que corresponde al área de los fragmentos constituyentes.Tales partículas son en general fácilmente desintegradas. En cambio verdaderareintegración puede ocurrir, lo que conlleva la restitución de los enlaces químicos entrelas moléculas de las superficies para producir una partícula refundida resistente y densa.Este segundo caso probablemente requiere un alto grado de ductibilidad de la partícula,de manera tal que las superficies se apreten en un contacto estrecho. Es posible, porejemplo, crear verdaderas aleaciones [2.8] moliendo juntos polvos finos de metales

DIFICULTAD DE FRACTURAR PARTÍCULAS PEQUEÑAS

(1) INHERENTEMENTE MAS RESISTENTES

(2) ESCASA PROBABILIDAD DE CAPTURA DE PARTICULAS PEQUEÑAS

(3) AMORTIGUACION DE IMPACTOS POR FINOS

(4) PROPIEDADES DEL LECHO DAN MENOR CAPTURA

(5) REINTEGRACION

Figura 2.20 : Dificultad de fracturar partículas pequeñas.

41

dúctiles. Se sabe desde hace bastante tiempo que el carbón, que normalmente se fracturacomo un sólido frágil, puede exhibir un comportamiento plástico cuando está en tamañosde unas pocas décimas de micrómetros [2.9]. Moliendo escoria de cemento por largostiempos en un molino de bolas discontinuo conduce a una distribución granulométricaestablece con un área B.E.T. constante [2.10, 2.11]. El trabajo de Schönert sugiere que estopuede ser debido a un verdadero crecimiento de partículas, de forma tal que se alcanceun balance entre fractura y crecimiento.

La Figura 2.20 resume la discusión anterior. Es muy conveniente analizar unsistema de molienda para determinar cual de estas causas está actuando, porque entoncesse pueden tomar decisiones lógicas para mejorarlo. La metodología propuesta es elanálisis de la cinética de molienda, que es capaz de distinguir entre los varios mecanismosenumerados en la Figura.

2.7 CAMBIO DE PROPIEDADES Y REACCIONES

Se sabe que el tratamiento prolongado aplicando esfuerzos repetidos sobre unmaterial, en un molino de bolas por ejemplo, puede causar cambios masivos en laspropiedades del material. Rose [2.12] mostró que el cuarzo experimenta un cambio de fasede una forma a otra durante la molienda en molino de bolas. Este caso fue revisadorecientemente [2.13] incluyendo muchos ejemplos. Se ha sugerido que los esfuerzos decizalle causan la nucleación y crecimiento de una fase desde cristales de otra en unapartícula. En la molienda de polímeros orgánicos duros en un molino de bolas, éstospueden sufrir un período de demora en el cual prácticamente no se quiebran seguido porotro período de ruptura. Posiblemente el golpe de las bolas debilita el material alocasionar algún grado de cristalización (alineamiento molecular). Se sabe que pequeños

42

golpes crean o extienden grietas en un carbón de manera que éste eventualmente se rompe.Aunque el carbón es un polímero frágil con planos de debilidad ocasionados por elproceso geológico de depositación, otros materiales podrían mostrar el mismo efecto.

Benjamin [2.8] ha discutido la formación de soluciones sólidas de metales dúctilesmediante la molienda prolongada en un molino de bolas, desde una mezcla de polvos desus componentes, y la creación, en forma similar, de una dispersión fina de un materialquebradizo en una matriz dúctil. El mecanismo parece ser la soldadura fría de superficieslimpias producidas por fractura o aplastamiento, de modo que ocurra simultáneamentetanto reducción de tamaño como crecimiento. En este caso la acción del molino debe sertal que fuerce a las partículas entre sí y las fracture también. Se sabe que se pueden formarcomponentes organo-metálicos moliendo cromo y níquel en líquidos orgánicos,produciéndose un rearreglo de las moléculas orgánicas a otras formas con el desprendimientode H2 , CH4 y CO2. En forma similar, reacciones tales como Cr(s)+3TiCl4 (l) → CrCl3 (s)+3TiCl3 (l) ocurren en líquidos anhidros. Nuevamente, la causa es indudablemente la altareactividad de las superficies recientemente creadas por fractura.

2.8 REFERENCIAS

2.1 Griffith, A.A., Phenomena of rupture and flow in solids, Phil. Trans. Roy. Soc. (London),221A(1920)163-198.

2.2 Nadai, A., Theory of flow and fracture of solids, McGraw Hill, Inc., New York, 1950, p. 89. VerDevelopments in Fracture Mechanics, Vol. 1, F.G. Shell, ed. Applied Science Publishers, 1979.

2.3 Griffith, A.A., The theory of rupture, Proc. First Int. Cong. for Applied Mechanics, Delft, 1924.

2.4 Orowan, R., Fracture and strength of solids, Reports of Progress in Physics, Physical Society(London), 12(1949)185.

2.5 Rumpf, H., Chemie-Ing. Techn., 37(1965)187-202.

2.6 Kanda, Y., Sano, S. and Yashima, S., Powder Technol., 48(1986)263.

2.7 Schönert, K., Clausthal University, private communication (1984), También , Dechema Monograph.,69(1972) 167.

2.8 Benjamin, J.S., Scientific American, 234 May(1976)41-48.

2.9 D.S.I.R. Bibliography, Crushing and Grinding, Chemical Pub. Co. (New York., N.Y.), 1958, p. 23.

2.10 Ghigi, G. and Rabottino, L., Dechema Monograph., 57(1967)427.

2.11 Hukki, R.T. and Reddy, I.G., ibid, p. 313.

2.12 Rose, H.E., Kings College, London, U.K., private communication (1964).

2.13 Lin, I.J. and Nadir, S., Mat. Sci. and Eng., 39(1979)193- 209.

43

44

CAPITULO 3

ENSAYOS CONVENCIONALES DEMOLIENDABILIDAD Y DISEÑO DE

MOLINOS: METODO DE BOND Y OTROS

3.1 INTRODUCCION

En principio es posible predecir el tamaño que debería tener un molino industrialpara lograr una determinada capacidad a partir de datos obtenidos en ensayos continuosen escala de laboratorio, siempre que se conozcan las correspondientes leyes deescalamiento. En la práctica es difícil obtener una similitud exacta entre el molinoindustrial (mezcla de bolas, material retenido, acción del clasificador, etc.) y el molinode laboratorio, y los ensayos son difíciles de realizar. Por otra parte, cuando el molinode laboratorio se elige suficientemente grande para obtener una buena similitud, el ensayose convierte en escala piloto. Para evitar el costo de construir y operar un sistema pilotose ha desarrollado métodos aproximados de diseño, los que serán discutidos en estecapítulo.

3.2 METODO DE BOND PARA EL DISEÑO DE MOLINOS DEBOLAS

El método de Bond será discutido en mayor detalle porque ha encontrado ampliaaceptación en la industria minera-metalúrgica. El método tiene dos grandes ventajasdesde el punto de vista de la ingeniería. En primer lugar, es muy simple, y en segundolugar, la experiencia demuestra que es efectivo para muchas (aunque no para todas)circunstancias.

3.2.1. Ecuaciones de Diseño

El objetivo del método es seleccionar el diámetro y largo de un molino paraproducir Q toneladas por hora de un material con un porcentaje Ψ menor que el tamañop1. Se debe especificar además el tamaño de las bolas de la recarga y la potencia delmolino.

El método consta de seis etapas importantes:

(1) Un ensayo de “moliendabilidad” normalizado para el material.

(2) Una ecuación empírica que convierte los resultados de los ensayos demoliendabilidad a los que se obtendrían en un molino continuo de 2.44 m (8 pies) de

45

diámetro interior, con descarga de rebalse, trabajando en húmedo y en circuito cerradocon 350% de carga circulante.

(3) Relaciones de escalamiento que permiten predecir el resultado en molinos mayores.

(4) Una serie de factores de corrección, basados en la experiencia, que permitendescribir otras condiciones de operación.

(5) Una ecuación empírica que permite calcular la energía específica consumida parauna determinada razón de reducción.

(6) Una ecuación empírica que permite calcular la potencia necesaria para mover unmolino en función de la masa de medios de molienda.

El trabajo original de Bond fue resumido en una importante publicación [3.1] laque, desafortunadamente, contiene una gran cantidad de errores. La publicación tiendea confundir resultados empíricos valiosos con razonamientos científicos dudosos. En unartículo reciente, Rowland y Kjos [3.2] dan una discusión clara y muestran la aplicacióndel método. La discusión que sigue se basa en ese trabajo.

ETAPA1: Ensayo normalizado de moliendabilidad de Bond

El material se prepara con un tamaño de 100% menor a 6 mallas (3.350 mm), loque corresponde aproximadamente a 80% menos de 2 mm. Se miden 700 cm3 a granelde este material, lo que da un total de W gramos, cuidando que la densidad aparente seareproducible, y se carga en un molino de bolas de 305x305 mm (12x12 pulgadas), conbordes interiores redondeados. La carga de 285 bolas de acero de 20.125 kg tiene ladistribución que sigue:

43 bolas de 36.83 mm (1.45")67 bolas de 29.72 mm (1.17")10 bolas de 25.40 mm (1.00")71 bolas de 19.05 mm (0.75")94 bolas de 15.49 mm (0.61")

Figura 3.1: Método normalizado de Bond simulando un circuito cerrado de moliendacon una carga circulante de 350%; F/Q = 3.5.

46

El material se muele por un corto período, generalmente 100 revoluciones,tamizando el producto por una malla p1 seleccionada para eliminar el bajo tamaño yreemplazarlo por material fresco, simulando un circuito cerrado demolienda-clasificación. Esta nueva carga se vuelve a moler tratando de obtener una cargacirculante de 350%. Como F/Q=3.5 (ver Figura 3.1), el porcentaje ψ1 (p1) de materialmenor a la malla p1 en el producto del molino deberá ser 100/3.5.

Suponiendo que la fracción de finos producida es proporcional al número derevoluciones del molino, el número de revoluciones para la nueva etapa de molienda r2

se calcula de las revoluciones de la etapa anterior r1 mediante

r2 = r1 (100 ⁄ 3.5)

Ψ1 (p1) (3.1)

donde ψ1(p1) es el porcentaje del material en el molino que tiene un tamaño menor quep1 después de r1 revoluciones. Una vez alcanzada la carga circulante de 350%, se definecomo moliendabilidad, y se designa por Gbp, a los gramos netos de material menor altamaño p1, producidos por revolución del molino:

Gbp = (ψ1(p1) − ψF (p1)) W ⁄ 100r∗

donde ψF(p1) y ψ1(p1) son el porcentaje menor que la malla de separación p1 en laalimentación fresca al molino y en la descarga respectivamente, W es la masa total demineral cargada al molino y r* es el número de revoluciones necesarias para obtener lacarga circulante de 350%. Finalizado el ensayo, se efectúa un análisis granulométricocompleto del producto (bajo tamaño p1) y de la alimentación fresca (menor a 6 mallas).

ETAPA 2: Cálculo del Indice de Trabajo del ensayo

Por comparación de ensayos realizados según la etapa 1 con resultadosexperimentales de molienda a escala piloto, Bond concluyó que el material se podíacaracterizar mediante un parámetro que denominó Indice de Trabajo Wi (Work Index)y que relacionó con la moliendabilidad del ensayo normalizado según la ecuaciónempírica:

WiT = (1.1)(44.5)

p10.23Gbp0.82

10√ xQT

− 10√ xGT

, kWh/ton métrica (3.3)

donde WiT es el índice de trabajo del ensayo expresado en kWh/ton métricas, p1 es eltamaño en micrometros de la malla de separación, Gbp es la moliendabilidad, xQT es eltamaño del 80% en el producto y xGT es el tamaño del 80% en la alimentación fresca(cercana a 2000 µm), todos determinados en el ensayo de Bond. Se debe destacar queel número 10 en la ecuación (3.3) corresponde a √ 100µm, por lo que 10 ⁄ √ x esadimensional. El factor 1.1 convierte el Indice de Trabajo de Bond de kWh/toneladacorta a kWh/tonelada métrica.

47

Tabla 3.1Indices de Trabajo de Bond Típicos

Material Indice de Trabajo WiT, kWh/tonmétrica *

Arena de ZirconioBauxita

2811

Carburo de SilicioClinker de cemento

3216

CuarzoCorundo

1633

Dolomita 14

Feldespato 13

Ferrosilicio 12

Pedernal 32

Fluorespato 11

Granito 12

Roca de yeso 8

Hematita 15

Caliza 15

MagnetitaMineral de Cobre

1213

Roca de fosfato 12

Pirita 11

(*) Estos valores se dan solamente como una guía de la magnitud de WiT. El Indice de Trabajo de Bondpara un determinado material tiene un rango de valores. Por ejemplo, la caliza tiene propiedades de moliendaque van desde blanda a muy dura.

Tabla 3.2Conversión de circuito cerrado a circuito abierto.

P(p1) K1

50 1.03560 1.0570 1.1080 1.2090 1.4092 1.4695 1.5798 1.70

48

El índice de trabajo obtenido de esta manera es algunas veces, una función débildel tamaño de la malla de separación p1, la que puede ser elegida entre 28 y 325 mallasdependiendo del tamaño de corte que se desea simular. Sin embargo, lo más frecuentees utilizar la malla 200 (p1=75 µm), ver Figura 3.2. Valores típicos de los Indices semuestran en la Tabla 3.1.

ETAPA 3: Escalamiento a molinos mayores

Para utilizar el Indice de Trabajo en molinos mayores, Bond propuso lasexpresiones de escalamiento que siguen:

WiD =

(2.44 ⁄ D)0.2WiT

0.914WiT

para D ≤ 3.81m

para D > 3.81m (3.4)

Figura 3.2 : Variación del Indice de Trabajo de Bond con el tamaño de la malla deseparación [3.3].

49

donde WiD es el índice de trabajo a usar en un molino de diámetro D.

ETAPA 4: Corrección para otras condiciones de operación

Para utilizar el Indice de Trabajo WiD en otras condiciones de operación, esnecesario introducir factores de conversión. El Indice de Trabajo Wi para un casodeterminado se relaciona al WiD , mediante:

Wi = K Wi D (3.5)

donde :

K = K1 K2 K3 K4 K5

con:

K1 es un factor de conversión a circuito abiertoK2 es un factor de conversión a molienda secaK3 es un factor de corrección por sobre tamaño en la alimentaciónK4 es un factor de corrección por la fineza de moliendaK5 es un factor de corrección por razón de reducción

Conversión a circuito abierto: La ecuación (3.3) fue desarrollada para un circuito demolienda cerrado. Para utilizarla en circuito abierto es necesario introducir un factor decorrección constituido por el multiplicador K1 de la Tabla 3.2, donde p1 es la malla deseparación en el test de Bond y P(p1) el porcentaje menor a la malla p1 deseado en elproducto del circuito abierto de molienda.

Conversión a molienda seca : Aun cuando el ensayo de Bond se realiza en seco, laecuación (3.3) es válida para molienda húmeda. Por lo tanto, se debe aplicar un factor decorrección cuando se desee diseñar un molino seco ya que la molienda seca es menoseficiente que la húmeda:

K2 =

1.3 molienda seca

1.0 molienda húmeda (3.6)

Corrección por sobretamaño en la alimentación : Si el tamaño de alimentación es talque se cumple:

xG > 4000√ 1.10(13 ⁄ WiT) (3.7)

es necesario corregir el Indice de Trabajo expresado en kWh/ton métrica, mediante elfactor K3 dado por:

50

K3 = 1+

[(WiT ⁄ 1.10)− 7]

xG

4000√ 1.10(13 ⁄ WiT) − 1

(xG ⁄ xQ)

(3.8)

Corrección por fineza de molienda: Cuando la molienda es fina, tal que xQ < 75 µmen molienda húmeda y 15 µm ≤ xQ ≤ 75 µm en molienda seca, el Indice de Trabajo debeser corregido mediante:

K4 = (xQ + 10.3)1.145xQ

(3.9)

Para la molienda húmeda esta corrección no debe sobrepasar 5.

Corrección por razón de reducción pequeña: Para moliendas con razón de reducciónpequeña, tal que xG ⁄ xQ < 6 , se debe corregir el Indice de Trabajo con K5:

K5 = 1 + 0.13(xG

⁄ xQ) − 1.35 (3.10)

ETAPA 5: Cálculo de la energía específica consumida para una razón dereducción determinada

Bond estableció que, dentro de un amplio rango de tamaños, la energía específicanecesaria para la conminución se podía relacionar a los tamaños de alimentación xG yproducto xQ mediante la expresión:

E = Wi

10√ xQ

− 10√ xG

(3.11)

donde E es la energía específica de molienda en kWh/ton y xQ y xG son los tamaños del80% del producto y alimentación al circuito en µm y Wi el Indice de Trabajo en kWh/ton.Se puede concluir que el circuito en el método de diseño de Bond es tratado como sifuera equivalente a un molino en circuito abierto como se ilustra en la Figura 3.1. Laenergía específica de molienda dada por la ecuación (3.11) está basada en la potenciaque consume el molino en el eje (sin tomar en cuenta las pérdidas eléctricas), tal que secumple:

mp = QE (3.12)

donde mp es la potencia en el eje en kW y Q el flujo de mineral en ton/h, para producirla reducción de tamaño de xG a xQ.

El Indice de Trabajo Wi ha sido frecuentemente interpretado como “la energíaespecífica de molienda necesaria para producir una reducción de tamaño desde unaalimentación con xG = grande a un xQ = 100 µm”. De la ecuación (3.11) se deduce que,en estas circunstancias, E=Wi. Sin embargo, esta explicación es engañosa ya que la

51

ecuación (3.3) no es aplicable cuando xG adquiere valores grandes. Como la ecuación síes válida para xG = 900 µm, es conveniente interpretar Wi como Wi = 1.5E*, donde E* esla energía específica para ir desde una alimentación fresca de xG=900 µm a un productodel circuito de xQ = 100 µm, en un molino de 2.44 m de diámetro interior, en húmedo yoperado con 350% de carga circulante.

ETAPA 6: Cálculo de la potencia para mover los medios de molienda

Bond propuso una ecuación que da la potencia necesaria para mover los mediosde molienda, por unidad de éstos. Como la carga de medios de molienda está dada por

πD2LJρb(1 − ε) ⁄ 4,

donde J es la fracción de llenado o volumen aparente ocupado por los medios de molienda,ε es la porosidad de la carga de bolas y ρb la densidad de las bolas.Usandoε = 0.4 lapotencia en el eje en kW está dada por:

mp = 7.33AJ ϕc (1 − 0.937 J )1 − 0.1

29 − 10ϕc

ρb L D2.3 (3.13)

donde A es una constante igual a 1 para la molienda húmeda en un molino de rebalse;1.16 para la molienda húmeda en un molino de parrilla y 1.08 para la molienda seca, yϕc es la fracción de velocidad crítica.

3.2.2 Procedimiento de Cálculo

El diseño de un molino se basa en la determinación de la potencia en el eje necesariapara producir la reducción de tamaño, ecuación (3.12) e igualarla a la potencia en el ejenecesaria para mover la carga, ecuación (3.13). De la ecuación resultante se puedeobtener el diámetro del molino, cuando se conoce el flujo Q, o la capacidad Q cuando seconoce el diámetro. En ambos casos es necesario suponer una razón para L/D.

(a) Capacidad de un molino de bolas

Combinando las ecuaciones (3.4), (3.5), (3.11), (3.12) y (3.13) se obtiene:

Q = 6.13ZD3.5 D ≤ 3.81 m (3.14)

Q = 8.01ZD3.3 D ≥ 3.81 m (3.15)

Z =

Aρb

LDJ − 0.937J2

ϕc −

0.1ϕc

29 − 10ϕc

K WiT (10 ⁄ √ xQ − 10√ xG ) (3.16)

52

donde ρb= 7.9 ton/m3, es la densidad de las bolas, A=1 para molienda húmeda y 1.08para molienda seca, L y D son el largo y diámetro interno del molino, J es la fracciónde llenado de bolas, ϕc es la fracción de velocidad crítica, K es el parámetro de correcciónen la ecuación (3.5), WiT es el Indice de Trabajo determinado por el ensayo normalizadode Bond, xG y xQ son los tamaños del 80% de la alimentación y producto del circuito enmicrometros.

(b) Diámetro de un molino de bolas

Las mismas ecuaciones (3.4), (3.5), (3.11), (3.12) y (3.13) pueden ser ordenadaspara dar el diámetro del molino:

D = 0.60(Q ⁄ Z)0.286 D ≤ 3.81 m (3.17)

D = 0.53(Q ⁄ Z)0.303 D ≥ 3.81 m (3.18)

donde D es el diámetro interior del molino en m, Z está dado por ecuación (3.16) y Q esel flujo másico de alimentación fresca al molino (que opera a 350% de carga circulante)en toneladas por hora.

La Figura 3.3 muestra los resultados pronosticados para las condiciones J=0.35,L/D=1.5, ϕc=0.7, WiT=10 kWh/ton para varios valores del diámetro D y tamaño dealimentación xG. Por ejemplo, un molino de 3.8 m de diámetro que de un producto con

Figura 3.3 : Capacidad de un circuito cerrado de molienda (c = 2.5) en húmedo condescarga de rebalse pronosticado por el método de Bond : L/D = 1.5, J = 0.35,

ϕc = 0.70, WiT = 10 kWh ⁄ ton.

53

xQ = 150 µm desde una alimentación con xG = 2.0 mm tendrá una capacidad aproximadade 210 ton/hora con un consumo de energía específica de 6.0 kWh/ton. La Figura 3.3sirve como base para calcular la capacidad en otras condiciones de J y ϕc utilizando latabla 3.3. Para un nuevo valor de J=0.30 y ϕc = 0.75, la capacidad del molino de 3.8 mserá de Q=0.91x1.06x210=203 ton/hora. Por otra parte, si el material tiene un WiT = 15,como la hematita, la capacidad para las últimas condiciones será Q=(10/15)x203=135ton/hora.

Tabla 3.3Factores de corrección para Q de la Figura 3.3 (circuito cerrado húmedo con

descarga de rebalse, C = 2.5) para otros valores de J y ϕc.

J J − 0.937J2 Factor ϕc ϕc − 0.1ϕc

29 − 10ϕc

Factor

0.20 0.16 0.69 0.60 0.59 0.870.21 0.17 0.71 1 0.60 0.880.22 0.17 0.79 2 0.61 0.900.23 0.18 0.77 3 0.62 0.910.24 0.19 0.79 4 0.63 0.920.25 0.19 0.81 5 0.64 0.940.26 0.20 0.84 6 0.65 0.950.27 0.20 0.86 7 0.66 0.960.28 0.21 0.88 8 0.67 0.970.29 0.21 0.90 9 0.67 0.990.30 0.22 0.91 0.70 0.68 1.000.31 0.22 0.94 1 0.69 1.010.32 0.22 0.95 2 0.70 1.020.33 0.23 0.97 3 0.71 1.040.34 0.23 0.99 4 0.72 1.050.35 0.24 1.00 5 0.72 1.060.36 0.24 1.01 6 0.73 1.070.37 0.24 1.03 7 0.74 1.080.38 0.24 1.04 8 0.75 1.090.39 0.25 1.05 9 0.75 1.100.40 0.25 1.06 0.80 0.76 1.110.41 0.25 1.07 1 0.77 1.120.42 0.25 1.08 2 0.77 1.130.43 0.26 1.09 3 0.78 1.140.44 0.26 1.10 4 0.78 1.150.45 0.26 1.10 5 0.79 1.160.46 0.26 1.11 6 0.79 1.160.47 0.26 1.12 7 0.80 1.170.48 0.26 1.11 8 0.80 1.180.49 0.27 1.13 9 0.81 0.180.50 0.27 1.13 0.90 0.81 1.19

54

3.2.3 Discusión del Método de Bond

El método de diseño de molinos de Bond es válido para la molienda en circuitocerrado en condiciones “normales” de operación. El método no considera un númeroimportante de efectos menores y por lo tanto no puede ser utilizado para el ajuste uoptimización de un sistema determinado, ya sea desde el punto de vista operacional oeconómico. Esto implica que el método posee un cierto número de desventajas:

(1) El método se basa en el ajuste empírico de datos de muchos molinos y materialesoperando bajo condiciones normales y, por lo tanto, para casos específicos producirá unrango de errores. El método no toma en consideración varios factores de diseño yoperación que obviamente son importantes: (i) razón de recirculación y eficiencia delclasificador; (ii) mezcla de bolas de diversos tamaños en el molino; (iii) variación de ladistribución de tiempos de residencia con la geometría y la densidad de pulpa; (iv)influencia del diseño de las barras levantadoras; (v) influencia de la densidad de pulpay reología de la pulpa sobre las velocidades de molienda, y efectos químicos sobre lareología; (vi) variaciones causadas por los diversos grados de llenado que adquiere elmolino a medida que cambia el flujo de alimentación, especialmente para molinos condescarga por parrilla o en la periferia, los que no se comportan igual que los molinos derebalse.

(2) Se sabe que la energía específica de molienda E no es independiente de la carga debolas J, mientras que la ecuación (3.11) muestra explícitamente independencia de J. Lapráctica industrial y también ensayos de laboratorio muestran que la energía específicaes menor para cargas pequeñas de bolas que para cargas mayores que den la capacidadmáxima.

(3) El método usa solamente los tamaños del 80% de la alimentación y producto delcircuito como caracterización de la distribución de tamaño, aunque está claro que la

Figura 3.4 : Circuito cerrado inverso tratado como dos clasificadores idénticos.

55

capacidad del molino depende, en general, de la forma de toda la distribución de tamañode la alimentación y producto. El mejor ejemplo de esto es el uso del circuito cerradoinverso, como se muestra en la Figura 3.4, el que presenta ventajas cuando laalimentación fresca contiene una cantidad significativa de material que cumple lasespecificaciones de fineza. Conceptualmente, este circuito puede ser tratado como siexistieran dos clasificadores idénticos, uno clasificando la alimentación y el otro elproducto del molino. La descarga del primer clasificador es la alimentación frescaefectiva al circuito cerrado normal. En principio, el cálculo de Bond debe ser realizadoen la parte de circuito cerrado normal de este circuito, lo que requeriría un conocimientode la acción de clasificación sobre la alimentación fresca.

Sin embargo, las simulaciones, dadas en el capítulo 11, muestran que frecuentementela capacidad y distribuciones de tamaño producidas por el circuito inverso son casiidénticas a las del circuito normal, siendo el resto de los factores idénticos. Esto ocurreporque la razón de recirculación real en el molino es menor para el circuito inverso quepara el normal, si ambos usan el mismo clasificador, lo que compensa las ventajas deremover los finos de la alimentación fresca. Por lo tanto, el cálculo de Bond se realizacomo si el circuito fuese un circuito normal, usando el tamaño del 80% de la cargafresca y del producto final del circuito. El modo correcto de diseñar un circuito inverso,para utilizar la ventaja de la acción clasificadora sobre la alimentación fresca se discuteen el capítulo 11.

(4) La aplicación del método de Bond a un circuito abierto envuelve un problema lógico.El factor K1 de la Tabla 3.2 reduce la capacidad de un molino (aumenta el Indice deTrabajo) por un factor que depende del porcentaje menor a la malla de separación p1deseada en el producto del molino (del circuito abierto). Sin embargo, la Figura 3.2muestra que el Indice de Trabajo no cambia significativamente para algunos materiales.Para un molino y un material determinado el porcentaje menor a p1 cambia al variar eltamaño de separación p1 y si el Indice de Trabajo no cambia con p1 para compensarpor los diversos multiplicadores de la Tabla 3.2 se obtendrá un molino diferente en cadacálculo, lo que es ilógico. De hecho, la experiencia general es que el método de Bondno da el nivel de precisión requerido cuando se lo utiliza para el diseño de circuitos demolienda abiertos.

3.3 INDICE DE TRABAJO OPERACIONAL

Rowland [3.4] introdujo el concepto de Indice de Trabajo Operacional, Wiop,definido como el Indice de Trabajo que resultaría al aplicar la ecuación para la energíade Bond ecuación (3.11), a los datos de planta:

Eop = Wiop(10√ xQ

− 10√ xG

) (3.19)

donde Eop es la energía específica real consumida en la planta en kWh/ton y xG y xQ sonlos valores del 80% de la alimentación y producto del circuito. Si designamos con E laenergía pronosticada con la ecuación de Bond en base al Indice de Trabajo obtenido enel laboratorio Wi, según la ecuación (3.11) para producir la misma razón de reducción,reemplazando en la ecuación (3.19) resulta:

56

Wiop = Wi EopE (3.20)

En el caso que las potencias calculadas y reales resulten iguales, la razón Wiop ⁄ Wi

corresponde a la razón entre la capacidad pronosticada y la real.

Para un molino operando eficientemente, variaciones en la eficiencia declasificación, distribución de tamaño de la alimentación, distribución de tamaño de bolas,etc., pueden dar razones de Wiop/Wi diferentes de la unidad. Rowland ha dado resultadospara molinos de bolas pertenecientes a un circuito molino de barras-molino de bolas quemuestran variaciones de esta razón en el rango 0.87 hasta 1.29, con un promedio de 0.945(ver Tabla 3.4). Este rango de variación es consistente con los efectos de variación en laeficiencia de clasificación, parámetros de ruptura primaria, mezcla de bolas, etc., comose predice por simulación de un circuito completo de molienda-clasificación para unaoperación eficiente. Si la razón se torna muy grande, esto es, mayor a 1.3, ello esindicación de que las condiciones de molienda no son correctas y hay ineficienciasdirectas.

Tabla 3.4Comparación del Indice de Trabajo experimental y operacional para molinos de bolas

en circuito cerrado, incluyendo molinos de barras y bolas.

Diámetrointerior

del molino

m

Diámetrointerior

del molino

pies

Tamañoen µm :Alimen.

xG

Tamañoen µm :Produc.

xQ

Indice deTrabajo

OperacionalkWh/ton

Wiop

Indice deTrabajo

ExperimentalkWh/ton

Wi

WiopWi

Númerode datos

3 10 1280 165 14.50 14.61 0.99 13.5 11 - 1/2 1150 230 11.48 8.90 1.29 13.8 12 - 1/2 1330 35.3 10.71 11.2 0.96 13.8 12 - 1/2 1123 38.0 9.77 11.2 0.87 13.8 12 - 1/2 1226 36.6 10.24 11.2 0.91 23 10 1568 121 5.34 5.99 0.89 63 10 1321 107 5.96 6.26 0.95 63 10 1444 114 5.56 6.12 0.92 12

3.7 12 1264 181 11.78 13.34 0.88 43.7 12 1135 185 13.17 13.18 1.00 43.7 12 1200 183 12.45 13.26 0.90 8

0.945 24

57

3.4 METODO DE BOND PARA EL DISEÑO DE MOLINOS DEBARRAS

El diseño de molinos de barras mediante el método de Bond sigue el mismoprocedimiento que el diseño de molinos de bolas. Se puede distinguir las mismas seisetapas. Daremos una muy breve reseña de este procedimiento, indicando las ecuacionespertinentes.

3.4.1 Ecuaciones de Diseño

ETAPA 1. Ensayo normalizado de moliendabilidad de Bond

Para la molienda primaria en molino de barras el ensayo normalizado demoliendabilidad se realiza en un molino de 305x610 mm (12x24 pulgadas) conteniendouna carga de barras de 33,380 g con la distribución que sigue:

6 barras de 31.8x533 mm(1.25x21 pulgadas)2 barras de 44.5x533 mm(1.75x21 pulgadas)

La alimentación al molino es de menos de 12.7 mm (1/2 pulgadas) con un volumena granel de 1250 cm3. Simulando un circuito cerrado con una carga circulante de 200%,en seco y usando tamices con mallas entre 4 y 65 mallas para la clasificación, se determinala cantidad de gramos de producto por revolución del molino, Grp. En cada etapa delprocedimiento, el número de revoluciones se calcula según:

r2 = r1 (100 ⁄ 2.0) ψ1(p1)

donde ψ1 es el porcentaje de material en el molino que tiene un tamaño menor que p1,después de r1 revoluciones. Una vez alcanzado el equilibrio con una carga circulante deun 200%, la moliendabilidad Grp se calcula según:

Grp = 12 − ψF

100

Wr∗

(3.22)

donde ψF es el porcentaje menor que el tamaño p1 en la alimentación fresca, r* corre-sponde a las revoluciones para producir 200% de carga circulante, y W es la carga totalde mineral en el molino. Finalizado el ensayo se efectúa un análisis granulométrico delproducto (bajo tamaño p1) y de la alimentación fresca.

ETAPA 2: Cálculo del Indice de Trabajo del ensayo

El Indice de Trabajo para la molienda húmeda en un molino de barras de 2.44 mde diámetro, operando en circuito abierto se puede obtener de:

58

WiT = (1.1)(62.2)

p10.23Grp0.625(10 ⁄ √ xQT − 10 ⁄ √ xGT)

kWh ⁄ ton métrica (3.23)

donde WiT es el Indice de Trabajo del ensayo, en kWh/ton métrica, p1 es el tamaño dela malla de separación en µm, Grp es la moliendabilidad para molino de barras, xQT yxGT son los tamaños del 80% del producto menor a p1 y de la alimentación fresca,respectivamente.

ETAPA 3. Escalamiento a molinos mayores

El escalamiento del Indice de Trabajo a molinos mayores a 2.44 m es el mismoindependientemente de si la carga está constituida por bolas o barras. Entonces, comose muestra en la ecuación (3.4):

WiD =

(2.44 ⁄ D)0.2WiT

0.914WiT

para D ≤ 3.81 m

para D > 3.81 m (3.24)

donde WiD es el Indice de Trabajo a usar en un molino de diámetro D.

ETAPA 4. Corrección para otras condiciones de operación

Para utilizar el Indice de Trabajo en otras condiciones de operación, es necesariointroducir factores de conversión tales que el Indice de Trabajo Wi para un casodeterminado se relacione con WiD mediante:

Wi = KWiD (3.25)

con K = K1K2K3K4

donde :

K1 es un factor de conversión por tipo de circuitoK2 es un factor de conversión a molienda secaK3 es un factor de corrección por sobre tamaño en la alimentación K4 es un factor de conversión por razón de reducción

Conversión por tipo de circuito: La eficiencia de la molienda en un molino de barrases afectada por el control que se tiene sobre su alimentación:

Para un molino de barras solo, usar el factor:

K1 =

1.4 alimentación molino proviene de circuito abierto de trituración

1.2 alimentación molino proviene de circuito cerrado de trituración(3.26)

Para un circuito con molino de barras-molino de bolas usar el factor:

59

K1 =

1.2 alimentación molino proviene de circuito abierto de tr ituración

1.0 alimentación molino proviene de circuito cerrado de trituración(3.27)

Conversión a molienda seca: El factor de corrección para molienda húmeda o seca esel mismo que para molinos de bolas, ecuación (3.6):

K2 =

1.3 Molienda seca

1.0 Molienda húmeda (3.28)

Corrección por sobretamaño en la alimentación: Si el tamaño de la alimentación estal que se cumple:

xG > 16,000√ 1.10(13 ⁄ WiT) (3.29)

es necesario corregir el Indice de Trabajo expresado en kWh/ton métrica mediante elfactor K3 dado por :

K3 = 1 + [(WiT ⁄ 1.10) − 7][ xG

16,000√ 1.10(13 ⁄ WiT) − 1]

(xG ⁄ xQ)(3.30)

Corrección por extremos en razón de reducción: La razón de reducción normalxG ⁄ xQ para un molino de barras está dado por

(xG ⁄ xQ)0 = 7.5 + 5L ⁄ D (3.31)

donde L y D son el largo y diámetro interiores del molino.

En aquellos casos en que (xG ⁄ xQ) − (xG ⁄ xQ)0 > 2 , es necesario aplicar un factor decorrección K4:

K4 = 1 + [(xG ⁄ xQ) − (xG ⁄ xQ)0]2 ⁄ 150 (3.32)

Para razones de reducción grandes, el factor K4 sólo se aplica si WiT > 8.

ETAPA 5. Cálculo de la energía específica consumida para una razón dereducción determinada.

Para molinos de bolas y barras el cálculo de la energía específica de molienda Ees el mismo. Entonces, de las ecuaciones (3.11) y (3.12)

E = Wi

10√ xQ

− 10√ xG

(3.33)

60

mp = QE (3.34)

donde Wi es el Indice de Trabajo corregido en kWh/ton, xQ y xG son los tamaños del80% del producto y de la alimentación al molino de barras en µm, Q es el flujo dealimentación en ton/h, E es la energía específica de molienda en kWh/ton y mp es lapotencia en el eje del molino expresada en kW.

ETAPA 6. Cálculo de la potencia para mover los medios de molienda

Al igual que para molinos de bolas, Bond propone una ecuación que da la potencianecesaria para mover los medios de molienda, por unidad de éstos. Como la carga debarras está dada por πD2LJρb(1 − ε) ⁄ 4, con ε = 0.20, la potencia en el eje quedaexpresada por:

mp = 6.94Jϕc(1 − 0.857J)ρbLD2.34 kW (3.35)

3.4.2 Procedimiento de cálculo

Igualando las ecuaciones (3.34) y (3.35) se puede obtener el diámetro del molinocuando se conoce el flujo Q, o la capacidad Q cuando se conoce el diámetro. En amboscasos es necesario suponer una razón L/D.

Figura 3.5 : Capacidad de un molino de barras en húmedo pronosticada por elmétodo de Bond : L/D = 1.5,

J = 0.35, ϕc = 0.70, WiT = 10 KWh/ton.

61

(a) Capacidad de un molino de barras.

Combinando las ecuaciones (3.24), (3.25), (3.33) a (3.35) se obtiene:

Q = 5.81XD3.54 , D ≤ 3.81 m (3.36)

Q = 7.59XD3.34 , D > 3.81 m (3.37)

donde :

Tabla 3.5Factores de corrección para Q de la Figura 3.5 para valores de J y ϕc.

J 1 −−−− 0.857J Factor 1 ϕϕϕϕc Factor 2

0.20 0.83 0.68 0.60 0.860.21 0.82 0.70 0.61 0.870.22 0.81 0.73 0.62 0.890.23 0.80 0.75 0.63 0.900.24 0.79 0.78 0.64 0.910.25 0.79 0.80 0.65 0.930.26 0.78 0.82 0.66 0.940.27 0.77 0.85 0.67 0.960.28 0.76 0.87 0.68 0.970.29 0.75 0.89 0.69 0.990.30 0.74 0.91 0.70 1.000.31 0.73 0.93 0.71 1.010.32 0.73 0.95 0.72 1.030.33 0.72 0.97 0.73 1.040.34 0.71 0.98 0.74 1.060.35 0.70 1.00 0.75 1.070.36 0.69 1.02 0.76 1.090.37 0.68 1.03 0.77 1.100.38 0.67 1.05 0.78 1.110.39 0.67 1.06 0.79 1.130.40 0.66 1.07 0.80 1.140.41 0.65 1.09 0.81 1.160.42 0.64 1.10 0.82 1.170.43 0.63 1.11 0.83 1.190.44 0.62 1.12 0.84 1.200.45 0.61 1.13 0.85 1.210.46 0.61 1.14 0.86 1.230.47 0.60 1.15 0.87 1.240.48 0.59 1.15 0.88 1.260.49 0.58 1.16 0.89 1.270.50 0.57 1.17 0.90 1.29

62

X = ρb(L ⁄ D)(J − 0.5871J2)ϕc

KWiT(10 ⁄ √ xQ − 10 ⁄ √ xG ) (3.38)

ρb= 7.9 ton/m3 es la densidad de las barras.

(b) Diámetro de un molino de barras

Las mismas ecuaciones (3.24), (3.25), (3.33) a (3.35) pueden ser ordenadas paraobtener el diámetro del molino

D = 0.61(Q ⁄ X)0.282 , D ≤ 3.81 m (3.39)

D = 0.55(Q ⁄ X)0.299 , D > 3.81 m (3.40)

donde X está dado por la ecuación (3.38) y Q es el flujo másico de alimentación al molinoen toneladas por hora.

La Figura 3.5 muestra los resultados pronosticados para las condiciones J=0.35,L/D=1.5, ϕc= 0.70 y WiT=10 kWh/ton para varios valores del diámetro D(3.0 a 5.0 m) ytamaño de alimentación xG (10 a 20 mm). Por ejemplo un molino de 3.8 m de diámetroque dé un producto con xQ=1000 µm desde una alimentación con xG=10.0 mm tendráuna capacidad aproximada de 630 ton/h con un consumo de energía de 1.2 kWh/ton. LaFigura 3.3 sirve como base para calcular la capacidad en otras condiciones de J y ϕc

utilizando la Tabla 3.5. Para un nuevo valor de J=0.30 y ϕc =0.75 la capacidad del molinode 3.8 m será de Q=0.93x0.86x630=504 ton/h. Por otra parte, si el material tiene unWiT=15, como la hematita, la capacidad del circuito, para las últimas condiciones seráQ=(10/15)x504=336 ton/h.

3.5 OTROS METODOS CONVENCIONALES DE DISEÑO

El método de Bond es aplicable a molinos de bolas y barras, como hemos visto enlas secciones anteriores. Otros tipos de molinos deben ser diseñados mediante otrosprocedimientos que no serán analizados en este texto.

Un molino de bolas que opera en condiciones anormales, como por ejemplo a unaalta densidad de pulpa da resultados que no pueden ser pronosticados por el método deBond. En casos como ése es frecuente realizar experiencias en equipos piloto que seacerquen lo más posible a las condiciones del molino industrial, expresando el resultadocomo “kWh/ton de producto”, lo que corresponde a una determinación directa de laenergía específica de molienda. Esta debe ser corregida para descontar la potencia “envacío”, ya que los molinos piloto tienen frecuentemente mayores pérdidas en losdescansos y transmisión que los molinos industriales. El valor de E se escala entoncesa molinos de mayor diámetro usando las relaciones:

63

E =

ET

ET(2.44 ⁄ D)0.2

0.914ET

, DT ≤ D < 2.44 m

, 2.44 ≤ D ≤ 3.81 m

, D > 3.81 m

(3.41)

Como la corrección mediante la expresión de Bond (10 ⁄ √ xQ − 10 ⁄ √ xG ) paraotros tamaños de alimentación y producto puede no ser aplicable, el método usual escalcular la energía específica por tonelada neta de algún producto específico.

ET∗ = ET ⁄ (Q(x∗)T − G(x∗)T) (3.42)

donde Q(x*)T es la fracción menor que el tamaño x* especificado en el producto del ensayopiloto y G(x*)T es la fracción menor que el tamaño x* en la alimentación. Por ejemplo, six* se escoge como 500 µm, E*

T son los kWh/ton netos de producción de tamaño menor500 µm (descontando los contenidos de tamaños menores a 500 µm en la alimentación).En ese caso la energía específica de molienda para otros valores de Q(x*), G(x*) está dadapor:

E = ET∗ [Q(x∗) − G(x∗)] (3.43)

Finalmente, es importante destacar que en el laboratorio es posible utilizar otrosmolinos, diferentes al de Bond, para obtener Gbp o Grp. En estos casos, es necesarioobtener los factores de calibración por los cuales es necesario multiplicar el miembroderecho de las ecuaciones (3.3) y (3.23) para obtener el valor de WiT normalizado.

3.6 REFERENCIAS

3.1 Bond, F.C., Crushing and Grinding Calculations, Brit. Chem. Eng, 6(1960)378-391, 543-548.

3.2 Rowland, C.A., Jr. and Kjos, D.M., Ball and Rod Milling, Mineral Processing Plant Design, 2nd Ed.,ed. A. Mular and R. Bhappu, eds., AIME, New York, NY(1978)239-278; Molinos de Barras y Bolas,Diseño de Plantas de Proceso de Minerales, 2nd Ed., A. Mular y R. Bhappu, eds., Editorial Roca yMinerales, Madrid(1982)214-247.

3.3 Smith, R.W. and Lee, K.H., Trans. AIME, 241(1968)91-99.

3.4 Rowland, C.A., Jr., Comparison of Work Indices Calculated From Operation Data with Those fromLaboratory Test Data, IMM (London), Proc. 10th IMPC, ed. M.J.Jones, ed.,(1973)47-61.

64

CAPITULO 4

CINETICA DE LA MOLIENDADISCONTINUA: BALANCE DE MASA POR

TAMAÑOS

4.1 INTRODUCCION

La Figura 4.1 proporciona el resultado típico de una prueba de moliendadiscontinua en un molino de bolas de laboratorio. Son datos como éstos los quecondujeron al desarrollo de descripciones empíricas tales como la “Ley de Charles” y la“Ley de Bond” para la molienda discontinua. En este capítulo analizaremos másdetalladamente este patrón básico de datos experimentales, utilizando los conceptos develocidad específica de fractura y distribuciones de tamaño de la progenie en un balancede masa por tamaño completo, [4.1 a 4.8]. Esta descripción detallada es mucho más útilpara analizar datos experimentales y los conceptos involucrados nos permitirán efectuarsimulaciones precisas de circuitos de molienda y describir con bastante seguridad lainfluencia de las variables en el proceso. La Figura 4.1 muestra el excelente acuerdo entrevalores calculados y datos experimentales que se logra obtener. Este capítulo mostrarálas bases para realizar la simulación.

4.2 HIPOTESIS DE MOLIENDA DE PRIMER ORDEN

Considere un molino discontinuo de laboratorio como si fuese un reactor bienmezclado que contiene una masa W de material en polvo, la que recibe una variedad deacciones de fractura cuando el molino está en operación. Es conveniente representar ladistribución granulométrica del polvo en el molino como se muestra en la Figura 1.2,donde los intervalos de tamaño corresponden a una serie geométrica de tamices con4√ 2 ó √ 2 . Si la alimentación inicial del molino está limitada a partículas dentro del

intervalo de tamaño mayor, numerado como intervalo 1, entonces la condición inicial esw1(0)=1. Esta alimentación se muele por un intervalo de tiempo t1, se muestrea elproducto para determinar por tamizaje la fracción en peso que permanece en el intervalode tamaño original y, retornando la muestra al molino, se continúa su operación por unintervalo de tiempo adicional t2, repitiendo todo el procedimiento. Parecería razonableque la velocidad de desaparición de la masa de la fracción de tamaño 1 concuerde conuna ley de primer orden, esto es :

d [w1(t)W ]dt ∝ − w1(t) W

65

Como la masa retenida en el molino W es constante, resulta:

dw1(t)dt = − S1w1(t) (4.1)

donde S1 es una constante de proporcionalidad que recibe el nombre de velocidadespecífica de fractura y tiene unidades de t-1. Entonces, si S1 no varía con el tiempo,integrando la ecuación (4.1) sujeta a la condición inicial w1(0) da:

w1(t) = w1(0) exp( − S1t)

o también

Velocidad dedesaparición de lamasa de partículas detamaño 1 por ruptura

Masa de partículasde tamaño 1 presenteen el molino en eltiempo t

∝

Figura 4.1 : Distribución de tamaños experimentales y calculados para la moliendaseca de monotamaño de cuarzo 20× 30 mallas US en un molino de 8 pulgadas dediámetro (U = 0.5; J = 0.2; ϕc = 70% c.s.; bolas de pulgada de diámetro; W = 300 g;

mp = 0.013 kW): -, calculado; o, experimental por tamizado; o, experimental porSedigraph.

66

log[w1(t) ] = log[w1(0) ] − S1t ⁄ 2.3 (4.2)

La Figura 4.2 muestra un resultado experimental típico. Se debe reconocer que nohay una razón fundamental de por qué la hipótesis de primer orden debiera ser aplicableen cualquiera de las situaciones de molienda, y más tarde serán discutidos varios casosde desviación de esta norma. Sin embargo, muy frecuentemente la hipótesis de primerorden es una excelente aproximación a la verdad. Una verificación experimental de lahipótesis, con resultados como los de la Figura 4.2, prueba que la acumulación de finosno afecta la velocidad de fractura específica del material de mayor tamaño. Sin embargo,esto no prueba que el material más fino también se fracturará con una cinética de primerorden, en presencia de cantidades variables de material más grueso. Este chequeo básicofue ejecutado por Gardner y Austin usando una técnica de trazadores radioactivos[4.7].Si algún tamaño es marcado con un trazador, entonces el desaparecimiento de esa fracciónde tamaño con el tiempo puede ser distinguido de la aparición, en ese mismo tamaño, deproductos de fractura de tamaños mayores, ya que éstos no estarían marcados. Entonces:

wj∗(t) ⁄ wj

∗(0) = exp( − Sjt)

donde wj∗(t) es la fracción de material marcado de tamaño j.

La Figura 4.3 muestra los resultados obtenidos por Gardner y Austin, donde sedemuestra que la fractura es de primer orden en un ambiente en el cual la cantidad deambos tamaños, menores y mayores, está cambiando con el tiempo. Si esto es verdad,entonces también aparece como razonable suponer que, para condiciones de moliendadada y un W fijo, el ensayo de molienda discontinua puede ser repetido con un tamañomenor como tamaño máximo de alimentación y el valor de S determinado para estetamaño, como se muestra en la Figura 4.2, da el mismo resultado que un ensayo contrazador. Esta metodología es conocida como la técnica de monotamaño. La Figura 4.4muestra un conjunto de resultados típicos para la molienda en un molino de bolas delaboratorio. La convención adoptada es la de representar gráficamente el valor S de unintervalo de tamaño versus el tamaño superior del intervalo y el tamaño es denotado porel tamaño superior del intervalo.

4.3 FUNCION DE DISTRIBUCION DE FRACTURA PRIMARIA, ODISTRIBUCION DE TAMAÑO DE LA PROGENIE

En el sentido que aquí se utiliza, la fractura se define como ocurriendo solamentecuando el producto fracturado tiene un tamaño que cae fuera del rango del tamañooriginal. Por lo tanto en un intervalo de tamaño de √ 2, por ejemplo 16 x 20 mallas U.S.,el material debe alcanzar un tamaño menor que 20 mallas para que se considere que hubofractura, y por esta razón, los productos de la fractura aparecen en los tamaños menoresque 20 mallas.

La fractura primaria se define como sigue: Si un material se rompe y los fragmentosproducidos se mezclan de nuevo con la masa de polvo en el molino, y si esta distribuciónde fragmentos pudiese ser medida antes que algunos de ellos sean refracturados, entoncesel resultado obtenido sería la distribución de fractura primaria, ver Figura 4.5. El términoprimario no necesariamente significa que los fragmentos son producidos por propagaciónde “una” fractura, sino solamente que son producidos por acciones de ruptura que ocurren

67

Figura 4.2 : Ejemplo de gráfico de primer orden; antracita de 16x20 mallas US en unmolino de 0.6 m de diámetro.

68

antes que los fragmentos sean remezclados de nuevo al seno del material. Se debetambién notar que los valores medidos en situaciones de molienda son presumiblementeel promedio de una gran variedad de acciones de fractura sobre muchas partículas y nose puede esperar que ellas se comparen directamente con resultados de pruebascompresivas sobre partículas individuales.

Aunque la fractura se aplique a un solo tamaño, ella da todo un rango de tamañosen el producto y para describir el proceso de molienda es necesario describir estadistribución granulométrica. Existen dos formas convenientes para caracterizar ladistribución de tamaño de la progenie. Primero, si el material de tamaño 1 es fracturado,la fracción en peso del producto que aparece en el intervalo de tamaño i es llamadobi,1. El conjunto de números bi,1, en que i varía desde 2 a n, describe entonces ladistribución de fragmentos producidos por el tamaño 1. En general, se requiere unamatriz de números bi,j para describir la fractura de todos los tamaños de interés, esto es,el conjunto bi,1 con n ≤ i ≤ 2, más el conjunto bi,2 con n ≤ i ≤ 3, etc.

La segunda forma de describir la distribución de tamaño de la progenie, es elacumular los valores de b desde el intervalo inferior y hacer que Bi,1 represente lafracción en peso acumulativa de material fracturado del tamaño 1 que resulta sermenor que el tamaño superior del intervalo de tamaño i, ésto es:

Figura 4.3 : Gráfico de primer orden para carbón irradiado molido en una máquina deHardgrove normalizada.

69

Figura 4.5 : Gráfico de barras típico de la distribución de fragmentos de la progenieprimaria.

Figura 4.4 : Ejemplo de variación de la velocidad específica de fractura con el tamañode partícula para cuarzo: molino de 8 pulgadas de diámetro con bolas de 1 pulgada;

tamaños en intervalos de √ 2 (ver Figura 4.1).

70

Bi,j = bn,j + bn−1,j + ........ + bi,j =∑ k=i

n

bkj o también

bi,j = Bi,j − Bi+1,j (4.3)

La forma B es conveniente para graficar valores y suavizarlos, ver Figura 4.6. Valoresreales típicos se dan en la Tabla 4.1.

Los valores de Bij (es conveniente eliminar la coma de los valores bi,j y Bi,j cadavez que ello no produzca confusiones) pueden ser determinados mediante pruebas conmonotamaños a tiempos de molienda cortos, para los cuales las correcciones aproximadaspara tomar en cuenta la reselección para la fractura de los fragmentos primarios sonrazonablemente válidas. Está implícito que los valores de Bij no cambian con el tiempode molienda en el molino. Esto fue demostrado por los experimentos con trazadoresradioactivos efectuados por Gardner y Austin[4.7] y que ya hemos mencionado.

Puede parecer una labor imposiblemente complicada el medir la matriz de valoresde B para todos los materiales bajo todas las condiciones de molienda. Sin embargo, seencuentra a menudo[4.9] que los valores de B son insensibles a las condiciones demolienda, por lo menos en el rango de operación normal de los molinos.

Por añadidura, los valores de B para todos los materiales que hemos examinadomuestran una forma general similar (ver capítulo 5). Además, se ha encontrado que losvalores de B son frecuentemente normalizables, ésto es, que la fracción que aparece entamaños menores que, por ejemplo, la mitad del tamaño inicial es independiente deltamaño de partida. Por esta razón, es una práctica común graficar los valores de B versusel tamaño adimensional (normalizado), como se muestra en la Figura 4.6 Si los valoresde B son normalizables, la matriz de valores de B se reduce a un vector, como se ilustraen la Figura 4.7. Entonces, bij puede ser reemplazado por bi−j .

4.4 BALANCE DE MASA POR TAMAÑOS: ECUACION DE LAMOLIENDA DISCONTINUA

La velocidad de producción de cada tamaño puede ser representada en términosde Si y bij en la forma:

= bijSjWwj (4.4)

En base a los parámetros de fractura Si y bij se puede establecer un balance de masapor tamaños para la molienda discontinua. Este balance, representado en la Figura 4.8,se puede expresar en la forma que sigue:

fracción de tamaño jque por fractura pasa

a tamaño ivelocidad de fractura

del tamaño j=

Velocidad deproducción de tamaño ia partir de la fractura del

tamaño j

71

Tabla 4.1Conjunto típico de una distribución de tamaños de la progenie.

Tamaño malla U.S.A Número del intervalo i bi,1 Bi,118/25 1 0.0 1.025/35 2 0.52 1.035/45 3 0.21 0.4845/60 4 0.10 0.2760/80 5 0.05 0.17

80/120 6 0.031 0.12120/170 7 0.021 0.086170/230 8 0.015 0.064230/325 9 0.0115 0.049

<325 10 0.038 0.038

Figura 4.6 : Distribución de fractura primaria acumulativa para molino de bolas , demonotamaño de cuarzo de 20× 30 mallas US (ver Figura 4.1);

, en seco, , en húmedo (45% de sólidos en volumen).

72

Figu

ra 4

.7 :

Ilust

raci

ón d

e la

tran

sfor

mac

ión

dela

mat

riz d

e fra

ctur

a a

su fo

rma

norm

aliz

ada.

73

Si consideramos que la carga W de material en el molino permanece siempre bienmezclada, las ecuaciones (4.1) y (4.4) permiten expresar este balance en formamatemática:

d[Wwi(t)]dt =[ bi1S1Ww1(t) + bi2S2Ww2(t) +......+ bi,i − 1Si − 1Wwi − 1(t)] − [SiWwi(t)]

Este balance de masa es ilustrado en la Figura 4.8. En forma más compacta se puedeescribir:

dwi(t)dt = − Siwi(t) + ∑

j = 1i > 1

i − 1

bijSjwj (t) , n ≥ i ≥ j ≥ 1 (4.5)

Este es el balance fundamental de masa por tamaño para una molienda discontinuaen que la carga del molino está completamente mezclada. Este conjunto de n ecuacionesdiferenciales describe el proceso de molienda y da, por supuesto, el resultado de laecuación (4.1) cuando i=1. Si los valores de S y b son independientes del tiempo demolienda, existe una solución analítica para una condición inicial wi(0) determinada. Lasolución para diversos tiempos de molienda genera valores de wi(t) desde los cuales P(xi,t)puede ser calculado rápidamente por acumulación.

–

Figura 4.8 : Ilustración del balance de masa por tamaños para un molino discontinuode laboratorio perfectamente mezclado : el intervalo de tamaño 2 recibe material delintervalo 1; el intervalo de tamaño 3 recibe material de todos los tamaños 1 y 2, etc. y

el sumidero recibe material de todos los tamaños mayores.

velocidad deaparición de tamaño ipor fractura de todoslos tamaños mayores

velocidad dedesaparición del

material de tamaño ipor fractura

=Velocidad neta de

producción de materialde tamaño i

74

La Figura 4.1 muestra la solución calculada para varios tiempos de moliendautilizando los valores normalizados de B de la Figura 4.6 y los valores de S de la Figura4.4 para la alimentación indicada. También se muestra los valores experimentalesdeterminados por tamizaje y una extensión a tamaños finos utilizando el Sedigraph. Estáclaro que el acuerdo entre resultados experimentales y calculados es excelente. Estoes una confirmación de que las suposiciones que se hizo al medir y aplicar los valores deS y B a la solución son correctas para este conjunto de datos: que la molienda es de primerorden y que los valores de b son constantes en el tiempo. Está implícito que no sucedeun crecimiento de partículas más pequeñas a más grandes mediante soldadura fría.También está implícito que las propiedades de fractura de un determinado tamaño j enlos productos de la fractura son iguales que las del material de tamaño j en la alimentación.Esto no siempre es verdadero, ya que la historia del material de alimentación puede afectarlas propiedades de la fractura. También es necesario, por supuesto, que el material quese va a fracturar sea “homogéneo” desde el punto de vista de fractura, es decir, que noconsista de una mezcla de componentes resistentes y débiles. Es sorprendente cuanhomogéneos son la mayoría de los materiales, desde este punto de vista; rocasvisualmente inhomogéneas a menudo proporcionan excelente ruptura de primer-orden.

4.5 SOLUCION A LA ECUACION DE MOLIENDA DISCONTINUA

La ecuación de molienda discontinua fue solucionada por Reid [4.11] en la formaque se indica a continuación:

Para i=1

dw1(t) ⁄ dt = − S1w1(t)

lo que por integración da:

w1(t) = w1(0)exp( − S1t)

Para i=2

dw2(t) ⁄ dt = − S2w2 (t) + b21S1w1(t)

Sustituyendo w1(t) resulta:

dw2(t) ⁄ dt + S2w2(t) = b21S1w1(0)exp( − S1t)

Multiplicando por el factor de integración exp(S2t) se obtiene

exp(S2t)dw2(t)

dt + S2w2(t) exp(S2t) = b21S1w1 (0) exp[ − (S1 − S2) t]

d[w2(t) exp(S2t)] ⁄ dt = b21S1w1(0) exp[ − (S1 − S2) t]

Por lo tanto para S2 = S1 se puede integrar esta expresión por separación de variables:

w2(t) = b21S1w1(0)S2 − S1

exp( − S1t) − b21S1w1(0) exp( − S2t)

S2 − S1 + w2(0) exp( − S2t)

75

Procediendo similarmente para i=3, i=4, etc. y solucionando términos y deduciendo eltérmino general, se obtiene:

wi(t) = ∑ j = 1

i

aij exp ( − Sjt) , n ≥ i ≥ j ≥ 1 (4.6a)

aij =

wi(0) − ∑ k = 1i > j

i − 1

aik , i = j

1Si − Sj

∑ k = j

i − 1

Sk bik akj , i > j

Esta expresión se denomina solución de Reid . En esta ecuación los valores deaij no dependen del tiempo de molienda pero sí dependen de la distribucióngranulométrica de la alimentación. La Tabla 4.1 proporciona los primeros términos dela solución. El número de términos crece rápidamente cuando i se hace grande.

Reagrupando los términos de un modo diferente, Luckie y Austin [4.12] mostraronque la solución de Reid se puede expresar en la forma:

wi(t) = ∑ j = 1

i

dijwj(0) , n ≥ i ≥ 1 (4.6b)

donde dij está dada por :

dij (t) =

0

e − Si t

∑ k = j

i − 1

cikcjk(e− Skt − e − Sit)

, i < j

, i = j

, i > j

y cij es :

cij =

− ∑ k = i

j − 1

cikcjk , i < j

1 , i = j

( 1Si − Sj

) ∑ k = j

i − 1

Skbikckj , i > j

76

Esta forma es más conveniente que la solución Reid para algunas aplicaciones, porqueel conjunto de valores de dij representan la función de transferencia para llevar laalimentación al producto. Los valores de dij dependen del tiempo de molienda pero nodependen de la distribución granulométrica de la alimentación. Por otra parte, la soluciónde Reid puede dar origen a inestabilidades numéricas para pequeños valores de t, lo quelleva a resultados incorrectos, mientras que la forma de Luckie-Austin es más estable ypor lo tanto debe ser preferida.

4.6 ANALISIS DE LA ECUACION DE LA MOLIENDADISCONTINUA

A esta altura pueden establecerse algunas conclusiones muy importantesconcernientes a la molienda. En primer lugar, como la solución a las ecuaciones de lamolienda discontinua produce resultados virtualmente idénticos a los datosexperimentales de la Figura 4.1, las relaciones empíricas que se puedan deducir poraplicación de las leyes de Charles y Bond a los datos, deben también ser consecuenciasde la hipótesis de molienda de primer orden, combinada con la forma de los valores deSi y Bij como función del tamaño de las partículas. No existe necesidad, por lo tanto, debuscar las razones fundamentales de por qué estas relaciones son aplicables: sonresultados fortuitos de una hipótesis razonable (y probada experimentalmente) y de laforma de los valores de S y B. Por esta razón, el argumento fundamental es “¿Por quélos valores de S y B varían con el tamaño de las partículas y condiciones en el molino enla forma observada?”. Esta pregunta será contestada en el capítulo 5.

En segundo lugar, la familia de distribuciones granulométricas obtenidas en laFigura 4.1 depende del tamaño de la alimentación seleccionada. Sin embargo, el balancede masa por tamaño puede ser resuelto mediante los valores de S y B para cualquierdistribución granulométrica de la alimentación y, por lo tanto, proporciona una

Tabla 4.2Primeros tres términos en la solución de Reid de la molienda discontinua.

w1(t) = w1(0) e − S1t

w2(t) = S1b21

(S2 − S1) w1(0) e − S1t + w2(0) e − S2t − S1b21

(S2 − S1) w1(0) e − S2t

w3(t) = S1b31

(S3 − S1) w2(0) e − S1t + S1b21

(S2 − S1) S2b32

(S3 − S1) w1(0) e − S1t +

S2b32

(S3 − S2) w2(0) e − S2t − S1b21

(S2 − S1) S2b32

(S3 − S2) w1(0) e − S2t +

w3(0) e − S3t − S1b31

(S3 − S1) w1(0) e − S3t − S1b21

(S2 − S1) S2b32

(S3 − S1) w1(0) e − S3t

− S2b32

(S3 − S2) w2(0) e − S3t + S1b21

(S2 − S1) S2b32

(S3 − S2) w1(0) e − S3t

77

simulación general de la molienda discontinua. Esto se ilustra en la Figura 4.9 donde seutilizó una distribución granulométrica de alimentación poco natural. Claramente no sepuede aplicar relaciones empíricas tales como la ley de Charles a tales datos.

En tercer lugar, supongamos que se comparan situaciones de molienda en que losvalores de B no cambian pero los valores de S se modifican mediante un factor constantek , esto es:

S′i = kSi , n ≥ i ≥ 1 (4.7)

Las ecuaciones de molienda para cada una de esta situaciones son:

dwi ⁄ dt = − Siwi + ∑ j = 1i > 1

i − 1

bijSjwj (A)

Figura 4.9 : Cálculo de la distribución de tamaño de la molienda discontinua con unadistribución granulométrica de la alimentación poco natural.

78

dwi ⁄ dt = − S′iwi + ∑ j = 1i > 1

i − 1

bijS′jwj (B)

Substituyendo la ecuación (4.7) en (B) :

dwi ⁄ d(kt) = − Siwi + ∑ j = 1i > 1

i − 1

bijSjwj , n ≥ i ≥ j ≥ 1 (C)

Si las ecuaciones A y C se resuelven con la misma distribución granulométrica dealimentación para un tiempo de molienda total τ para A y τ′ para C, es claro que lassoluciones producirán resultados idénticos cuando kτ′ en el caso C iguale a τ en el caso

Figura 4.10 : Comparación de la distribución de tamaño de un monotamaño de 16x20mallas US de coque molido en : , molino de bolas de 8 pulgadas de diámetro;

, molino de bolas de 2 pies de diámetro (U = 1, J = 0.3, ϕc = 0.7, bolas de una pulgada de diámetro).

79

A, porque las ecuaciones son idénticas si kt es reemplazada por t en la ecuación C. Dichode otra manera, si en el caso B todo es idéntico al caso A excepto que todas las velocidadesespecíficas de fractura son el doble (en general, son aumentadas en k ), es claro que lasolución al caso A para un tiempo de molienda, por ejemplo, τ =5 minutos, es idéntica ala solución del caso B para τ =2.5 minutos ( τ′ = τ ⁄ k , en general). El tiempo de moliendaτ para ir desde una alimentación dada a un producto deseado es:

τ ∝ 1 ⁄ S (4.8)

Esta es una conclusión extremadamente útil porque, si se encuentra que dos diferentespruebas de molienda dan la misma familia de curvas pero desplazadas solamente por unfactor de escala de tiempo, se puede suponer que los valores de B son los mismos y quela variación de S con el tamaño es la misma y que solamente hay un factor de escala enS. Esto se ilustra en la Figura 4.10, donde se ve que la distribución granulométrica varíaidénticamente con el tiempo, pero está desplazada por un factor de 1.85 en el tiempo, esdecir, el molino de diámetro más grande produce la misma distribución de tamaños delproducto en una fracción 1/1.85 del tiempo.

En cuarto lugar, si es que el concepto de una energía específica constante E paraobtener una determinada molienda (desde una alimentación dada a un producto deseado)ha de ser válida, los valores de S deben ser proporcionales a la potencia consumida porel molino por unidad de masa de material retenido en él. Es decir, doblando la velocidadde aplicación de energía por unidad de masa de material en el molino, debe conducir auna duplicación de los valores de S, a un acortamiento a la mitad del tiempo para produciruna determinada molienda y, en consecuencia, el consumo de la misma energía por unidadde masa:

E = mp ⁄ SW

Por lo tanto la energía específica de molienda es constante aun cuando las condicionesde molienda cambian si mp/SW es constante para todas las condiciones. Esto ha sidoconfirmado bajo ciertas condiciones en molinos rotatorios de bola de laboratorio porMalghan y Fuerstenau[4.10]. Las implicaciones de esta conclusión son que la moliendade un material determinado en un molino de bolas es un proceso idéntico, en todos losaspectos, para diversas condiciones de operación, excepto en el factor escala de tiempopara los valores de S. Por lo tanto, una fractura eficiente se obtiene cuando mp/SW esmínimo. Condiciones de molienda erradas tales que aumentan mp/SW causan ineficienciadirecta.

4.7 REFERENCIAS

4.1 Brown, R.L., J. Inst. Fuel (London), 14(1941)129-134.

4.2 Broadbent, S.R. and Callcott, T.G., Phil. Trans. Roy. Soc. (London), A249(1956)99-123; J. Inst.Fuel(London), 29(1956)524-528; J. Inst. Fuel(London), 29(1956)528-539; J. Inst. Fuel(London),30(1957)13-17.

80

4.3 Epstein, B., J. Franklin Inst., 244(1947)471-477; Ind. Eng. Chem., 40(1948)2289-2291; Epstein, B.and Lowry, H.H. reprint, Some Aspects of the Breakage of Coal, Blast Furnace, Coke Oven andRaw Materials Conf., AIME, April 1948.

4.4 Sedlatschek, K. and Bass, L., Powder Met. Bull., 6(1953)148-153.

4.5 Filippov, A.F., Theory of Probability and Its Applications (USSR, English Trans.), 6(1961)275-280.

4.6 Gaudin, A.M. and Meloy, J.P., Trans. AIME, 223(1962)4350.

4.7 Gardner, R.P. and Austin, L.G., Proc. 2nd. European Sym. Zerkleinern, H. Rumpf and D. Behrens,eds., Verlag Chemie, Weinheim, (1962)217-247.

4.8 Austin, L.G., Powder Technol., 5(1971/72)1-17.

4.9 Shoji K., Lohrasb, S. and Austin, L.G., Powder Technol., 25(1979)109-114.

4.10 Malghan, S.G. and Fuerstenau, D.W., Proc. 4th European Sym. Zerkleinern, H. Rumpf and K.Schönert, eds., Dechema Monographien 79, Nr 1576-1588, Verlag Chemie,Weinheim(1976)613-630.

4.11 Reid, K.J., Chem. Eng. Sci., 29(1965)953-963.

4.12 Luckie, P.T. and Austin, L.G., Mineral Science and Engineering, 4(1972)24-51.

81

82

CAPITULO 5

INVESTIGACION DE LA FRACTURA ENMOLINOS DE LABORATORIO

5.1 INTRODUCCION

Nuestro conocimiento actual de la molienda en molinos de bolas está basado enuna combinación de experiencia pasada con molinos pilotos y de gran escala y resultadosde molinos pequeños de laboratorio. Como se discutió en el capítulo 1, la descripción deun molino contínuo de gran escala debe incluir su distribución de tiempos de residencia.Por el contrario, las pruebas de molienda discontinua en un molino de laboratorio puedenser enfocadas directamente hacia los factores que afectan la ruptura, sin los efectoscomplicadores de transferencia de masa. A esto se agrega que es posible examinarcuantitativamente la influencia de cada factor que influye en la ruptura, porque losexperimentos son más fáciles y rápidos de efectuar en escala de laboratorio y pueden sercontrolados más precisamente. Sin embargo, no existe una garantía a priori que losresultados de un molino a pequeña escala serán idénticos o similares a aquellos efectuadosen un molino grande. La correspondencia entre la escala de laboratorio y la piloto o lagran escala debe ser probada experimentalmente.

No existe duda de que hay algún grado de correlación entre los resultados delaboratorio y los resultados a gran escala, de otra manera la utilización de pruebas demoliendabilidad en laboratorios, para estimar el tamaño requerido de molinos en granescala, no daría respuestas correctas. Los métodos de dimensionamiento se han basadoprincipalmente en igualar los resultados de laboratorio, bajo condiciones estandarizadas,con los resultados en escala industrial o con pruebas pilotos en molinos continuosrelativamente grandes. Sin embargo, la aplicación de los resultados de pequeña escala amolinos de gran escala puede ser efectuada correctamente solamente vía el detalladométodo de balance de masa por tamaños, para tomar en consideración todas lasdiferencias entre las pruebas de laboratorio y la operación a escala completa. Sólorecientemente ha quedado disponible toda la información para hacer esto.

Los capítulos siguientes presentan información de pruebas de laboratorio que sinduda alguna corresponden cualitativamente con resultados a gran escala. Se cree que enmuchos casos las ecuaciones que se ha desarrollado basadas en pruebas de laboratoriopueden ser cuantitativamente extendidas a molinos de gran tamaño.

83

5.2 MODO DE OPERACION DE UN MOLINO ROTATORIO DEBOLAS

Es instructivo volver a describir el modo de operación de un molino rotatorio debolas. Si se concentra la observación en el comportamiento de fractura, la operación delmolino es la siguiente. La rotación lleva bolas y polvo alrededor del molino como seilustra en la Figura 5.1. Cuando las bolas caen en tumbos en el molino golpean polvoatrapado entre otras bolas. Por otra parte, el movimiento general de las bolas en el lechofrotará partículas entre ellas. Crabtree et al. [5.1] distinguen varios diferentes tipos defractura que pueden suceder. En primer lugar, el impacto masivo produce desintegracióncompleta de una partícula (fractura); Schönert [5.2] ha fotografiado la fragmentación queocurre y la violencia con la cual las partículas son arrojadas de la región de fractura. Ensegundo lugar, un golpe de refilón puede astillar una esquina (astillamiento); estemecanismo redondea rocas irregulares a piedras aproximadamente esféricas en lamolienda autógena. En tercer lugar, la fricción produce desgaste de las superficies(abrasión); nuevamente en molienda autógena las piedras más o menos esféricas,formadas por astillamiento, se desgastan hasta formar piedras suaves como las piedrasde ríos. El astillamiento y la abrasión conducirán a la producción de material fino. Suefecto combinado se denomina atrición.

En cualquier molino rotatorio de bolas, bajo condiciones normales, todos estosmecanismos de reducción de tamaño estarán operando. Los valores mensurables de lavelocidad específica de ruptura son el efecto neto de la suma de estos mecanismos. Losvalores medidos de la distribución de la progenie primaria serán el promedio total de los

Figura 5.1 : Ilustración del movimiento en un molino de bolas a una velocidad normalde operación.

84

fragmentos producidos por cada mecanismo. Debido a la extensa variedad de tipos deimpacto presentes en este tipo de molino, cargado con pesadas bolas de acero, es aúnposible que los mecanismos se traslapen formando una acción continua de ruptura. Siéste continuo cambia de un mecanismo hacia otro, cuando las condiciones en el molinocambian, se puede esperar que los valores de B cambien, ya que las distribuciones defragmentos primarios producidas por cada uno de los tres mecanismos son diferentes.

A una velocidad de rotación baja, las bolas presentan una acción de volteorelativamente suave y en efecto, existe una tendencia de la masa de bolas a ser levantadapor la acción de rotación de las paredes del molino y a deslizarse hacia atrás como unamasa compacta. A medida que se aumenta la velocidad, la acción de volteo aumenta y ellecho aparece como una superficie inclinada de la cual están emergiendo bolas rodandohacia abajo y reentrando en la superficie. El lecho de bolas se expande permitiendo a laspartículas o a la pulpa penetrar entre las bolas. La serie de colisiones con otras bolas,mientras una bola da tumbos, es el método principal de transferir esfuerzos a laspartículas. El lecho está en un estado de cascada. A una velocidad de rotación más altauna cantidad mayor de las bolas son lanzadas de la superficie a lo alto del molino,formando una catarata de bolas. La fracción de velocidad crítica a la cual estos procesosocurren depende de las condiciones de llenado y del tipo de barras levantadoras(lainas)[5.3]. Las barras levantadoras pueden llevar una fracción de las bolas hacia laformación de catarata, mientras que lainas de ondas o barras levantadoras dentadasrequieren velocidades de rotación más elevadas para dar el mismo grado de catarata.El desgaste de las barras levantadoras puede cambiar el desempeño del molino con eltiempo.

La potencia requerida para mover el molino pasa a través de un máximo cuandola velocidad de rotación aumenta, correspondiendo a un máximo en la velocidad deelevamiento de las bolas y en el promedio de la altura de elevación. Para el caso de rupturade partículas de tamaño normal, tales que al no ser demasiado grandes son completamentefracturadas, parece que el número mayor de impactos de bola-polvo-bola causados porel rodar en cascada es lo óptimo para la ruptura. Por consiguiente, las velocidadesmáximas de fractura se obtienen aproximadamente a la velocidad de máximo consumode potencia, normalmente cerca de un 75% de la velocidad crítica, dependiendo de lacarga de bolas y del tipo de barras levantadoras.

5.3 VARIACION DE LA FRACTURA CON EL TAMAÑO DE LASPARTICULAS

La Figura 5.2 muestra un resultado típico de la variación de la velocidad específicade fractura con el tamaño de partícula xi(tamaño superior del intervalo i), para una cargade bolas de un solo tamaño d. Para las partículas menores:

Si = a xiα , xi << d (5.1)

La teoría de fractura sugiere que las partículas más pequeñas son relativamente másfuertes porque contienen menos fallas de Griffith. Por añadidura, es más difícil atraparuna determinada masa de partículas pequeñas en un molino en comparación con partículasgrandes, de modo que se presenta un efecto geométrico. El hecho de que las velocidadesespecíficas de fractura dependan según una función de potencia del tamaño no ha sido

85

adecuadamente explicado por la teoría, pero ha sido demostrado por muchos experimen-tos. El valor de α es un número positivo, normalmente en el rango de 0.5 a 1.5, que escaracterístico del material (siempre que las condiciones de la prueba estén en el rango deoperación normal, ver más adelante), pero el valor de “a” variará con las condiciones delmolino. Las unidades de “a” en la ecuación (5.1) variarán para diferentes valores de α,de manera que para comparar un material con otro, bajo condiciones de prueba estandari-zadas, es conveniente utilizar la ecuación (5.1) en la forma:

Si = a(xi ⁄ xo)α , con xo = 1 mm (5.1a)

donde a ahora tiene dimensiones de recíproco del tiempo.

Para partículas más grandes se encuentra que la desaparición de material desde unmonotamaño no es a menudo de primer orden y parece consistir de una velocidad inicialmás rápida, seguida de una velocidad más lenta. Algunas de las partículas son demasiadograndes y fuertes para ser atrapadas adecuadamente y fracturadas por las bolas y por lotanto tienen una velocidad de fractura lenta. Nos referimos a la ruptura de primer ordende los tamaños más pequeños como fractura normal y a la fractura de orden distinto delprimero de los tamaños mayores, como la región de fractura anormal. En esta regiónpuede ser definida una velocidad específica efectiva promedio por el tiempo requerido

Figura 5.2 : Velocidades específicas de fractura de un mineral de oro de Africa delSur como función del tamaño de partícula (intervalos de 4√ 2; molino de 200 mm de

diámetro y bolas de 26 mm de diámetro).

86

Tabla 5.1aPropiedades de fractura de algunos materiales

(D=190 mm, volumen del molino = 5250 cm3 ; diámetro de las bolas d=26 mm).

mineralesCaracterísticas de

fracturaParámetros Cuarzo de

Carolina delNorte

Mineralde

Cobre

Caliza dePennsylvania

Velocidad defractura

α+ 0.80 0.95 0.90

a+, min− 1, seco 0.60 0.70 0.95

a+, min− 1, húmedo 1.00 1.20 N.D.

µ+, mm 1.90 1.40 1.30

Λ∗ 3.70 2.70 2.00

Valores de B,tamaños pequeños

γ+ 1.30 0.70 0.65

β∗ 5.8 4.3 3.2

Φ 0.55++ 0.40++ 0.28++

δ 0.00 0.00 0.34

Condicionesexperimentales

Peso del polvo, g

328.0 343.0 338.0

Peso específico 2.7 2.7 2.7Fracción de llenadode bolas

0.2 0.2 0.2

Velocidad deoperación ϕc

0.72 0.75 0.75

+ Valores redondeados al más cercano 0.05* Valores redondeados al más cercano 0.1++ Monotamaño 18× 25 mallasN.D. No determinado

87

(continuación Tabla 5.1a)

CarbonesCaracterísticas de

fracturaParámetros Antracita

deShamokin

Kentucky Nº9

Belle AyreSo.

Wyoming

OhioNº9

LowerFreeport

Velocidad defractura

α+ 0.75 0.80 0.80 0.80 1.05

a+, min− 1, seco 0.95 1.60 1.80 1.40 2.50

a+, min− 1,húmedo 0.95 2.00 2.20 2.00 4.70

µ+, mm 1.80 3.60 3.70 2.40 3.40

Λt 3 3 3 3 3

Valores de B,tamañospequeños

γ+ 1.00 0.90 0.90 0.95 0.80

β∗ 3.1 2.8 2.8 3.5 2.3

Φ+ 0.40 0.40 0.40 0.50 0.50

δ 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

Condicionesexperimentales

Peso delpolvo, g

120.0 120.0 120.0 120.0 120.0

Pesoespecífico+

1.45 1.40 1.30 1.60 1.60

J 0.20 0.20 0.20 0.20 0.20ϕc 0.72 0.72 0.72 0.72 0.72

Indice demoliendabilidadde Hardgrove

35 55 58 65 88

+ Valores redondeados al más cercano 0.05* Valores redondeados al más cercano 0.1t Un valor de Λ =3 es una aproximación suficiente para carbones.

88

(Continuación Tabla 5.1a)

CementosCaracterísticas de

fracturaParámetros Clinker

LClinker

MClinker

PClinker

SSlag

ClinkerP

Velocidad defractura

α+ 0.90 0.90 1.10 0.95 1.60

a+, min− 1, seco 0.80 0.85 1.20 0.80 1.68

a+, min− 1,húmedo N.D N.D N.D N.D N.D

µ, mm 1.75 1.70 1.75 2.05 1.50

Λ+ 2.50 4.05 3.35 3.60 4.20

Valores de B,tamaños pequeños

γ+ 0.75 0.90 0.85 0.80 1.25

β∗ 4.0 4.0 4.0 3.3 4.3

Φ 0.34** 0.51** 0.34** 0.28** 0.58**

δ 0.23 0.20 0.25 0.22 0.00

Condicionesexperimentales

Peso del polvo, g 300.0 300.0 300.0 300.0 300.0

Peso específico* 3.2 3.2 3.2 3.2 3.2J 0.20 0.20 0.20 0.20 0.20ϕc 0.80 0.80 0.80 0.72 0.80

+ Valores redondeados al más cercano 0.05* Valores redondeados al más cercano 0.1** Monotamaño de 16x20 mallas

89

para fracturar 95% del material. Este valor también se muestra en la Figura 5.2. Se puedeobservar que las velocidades específicas de fractura promedio de los tamaños más grandesempiezan a disminuir, de modo tal que Si pasa por un máximo a un determinado tamaño,xm. La presencia de un máximo es bastante lógica porque las colpas mayores seránobviamente demasiado fuertes para ser fracturadas en el molino. La presencia de fracturaanormal en una determinada situación de molienda representa una ineficiencia directa:las partículas son demasiado grandes para que la energía de las bolas en movimiento seautilizada eficientemente para causar fractura.

Para tomar en cuenta las velocidades de fractura promedio más lentas de lostamaños mayores deben ser introducidos factores de corrección Qi en la ecuación (5.1):

Si = a(xi ⁄ xo)α Qi (5.2)

donde Qi es igual a 1 para los tamaños menores y se hace más pequeño para tamañosmayores.

Los valores de Qi determinados experimentalmente pueden ser ajustados mediantela función empírica:

Tabla 5.1bParámetros de fractura para minerales

Galena Cobre (Andina)Diámetro del molino, mm 200 612Largo del molino, mm 175 317Diámetro de bolas d, mm 25 25; 38; 50;

64; 76Velocidad del molino, % de velocidad crítica 89 75Llenado de bolas, % (basado en una porosidad de 0.4) 20 30

Densidad del mineral, kg/m3 7.50x103 2.70x103

% de sólidos en peso 45 60Peso total de sólidos, kg 0.90 13.1Llenado intersticial, U (basado en una porosidad de 0.4) 0.45 0.75

aT, min− 1 1.26 29.7/(d mm)

α 0.87 0.93

γ 0.84 0.51

Φ 0.68 0.32

β 3.00 4.50

δ 0.00 0.00

Λµ, mm

3.000.032x(d mm)1.2

90

Qi = 11 + (xi ⁄ µ)Λ

(5.3)

donde µ es el tamaño de partículas para el cual el factor de corrección es 0.5 y Λ es unnúmero positivo que indica la rapidez de caída de la velocidad de la fractura con elaumento de tamaño; mientras mayor es el valor de Λ más rápidamente decrecen losvalores. Λ parece ser principalmente una característica del material, pero µ variará conlas condiciones de operación del molino. La Tabla 5.1 da valores característicos de a yΛ para un número de diferentes materiales medidos bajo condiciones estandarizadas.

Parece probable que las barras levantadoras que proporcionan más acción decatarata a la carga de bolas aumenten las velocidades de fractura de tamaños mayores,debido a las fuerzas de impacto más grandes producidas por la acción de catarata. Porconsiguiente, se espera que µ sea superior para este tipo de barra elevadora a una velocidadde rotación determinada. Similarmente, velocidades de rotación superiores tendrían elmismo efecto por la misma razón. Sin embargo, no hay disponibles hasta la fecharelaciones cuantitativas para tal efecto.

Los valores del tamaño xm para los cuales S es máximo varía de algún modo de unmaterial a otro, siendo mayor para sólidos débiles que fracturan más rápidamente. xm estárelacionado con µ debido a que ambos dependen de en qué lugar empieza a inclinarse lacurva S versus x. Insertando la ecuación (5.3) en (5.2), diferenciando y haciendo dS/dx =0 para x=xm resulta :

µ =

Λ − αα

1⁄ Λ

xm , con Λ > α (5.4)

La distribución de fragmentos de la progenie primaria para la región de fracturanormal tiene la forma que se muestra en la Figura 5.4 donde los valores son mostradosgráficamente en la forma acumulativa Bij versus tamaño de fracción del tamaño defractura xi ⁄ xj . Tres importantes aspectos deben ser notados.

En primer lugar, estos valores de B no parecen ser sensitivos a condiciones demolienda tales como carga del polvo, carga de bolas, diámetro del molino, etc. No existeuna explicación satisfactoria de este hecho, pero él ha sido verificado experimentalmenteen muchas pruebas. El resultado sugiere que el promedio de la acción de fracturaefectuada por una colisión de bola con bola es la misma para diferentes diámetros delmolino, lo que implica a su vez, que la acción de cascada es la principal. Una bola cayendoen cascada en un molino de gran diámetro cae desde lo alto con una serie de impactosmenores de la misma magnitud que en un molino de diámetro menor. Por el contrariouna bola cayendo en catarata tendrá una fuerza de impacto superior en un molino dediámetro más grande. La fuerza de fricción entre bolas, cuando éstas se elevan en el lecho,se espera produzca atrición.

En segundo lugar, para algunos materiales las curvas de Bij caen una encima deotra para todos los valores de j. A este caso se le denomina B normalizado y significaque todas las partículas que se fracturan presentan una distribución de ruptura con

91

similaridad dimensional, esto es, la fracción de peso de producto menor que, por ejemplo,la mitad del tamaño de fractura es constante.

En tercer lugar, los valores de Bij pueden ser ajustados por una función empíricaconstituida por la suma de dos líneas rectas en un papel log-log, esto es:

Bij = Φj

xi − 1

xj

γ

+ (1 − Φj)

xi − 1

xj

β

, 0 ≤ Φj ≤ 1 , i > j (5.5)

donde Φj y β se definen en la Figura 5.3 y son características del material. La función enla ecuación (5.5) es la función de distribución de fractura primaria. Si los valores Bijno son normalizables el grado de no-normalización puede a menudo ser caracterizadopor un parámetro adicional δ (ver ecuación 6.5).

Los valores de γ se encuentran entre 0.5 y 1.5 y β está típicamente entre 2.5 y 5(ver Tabla 5.1). Broadbent y Callcott [5.4] utilizaron una ecuación que daba los mismosvalores de Bij para todos los materiales, pero nosotros no encontramos que esto pueda ser

Figura 5.3 : Distribución acumulativa de los fragmentos de la progenie a partir departículas de cuarzo de 20x30 mallas normalizadas US, bajo varias condiciones de

molienda (D = 195 mm, d = 26 mm, ϕc = 0.7 ).

92

aplicable. En particular, la distribución granulométrica del producto de un molino essensitiva al valor de γ .

Las distribuciones de fragmentos de la progenie para partículas de gran tamañoesto es, hacia la derecha del máximo de S en la Figura 5.3, tendrán a menudo diferentesvalores de B. Esto es debido probablemente a que la acción promedio de fractura en estaregión contiene componentes mayores de astillamiento y abrasión, los que conducen amayores valores relativos de material muy fino y muy grueso. Por lo tanto, la forma dela distribución tiende a ser diferente, con una meseta en la región de tamaño medio, comose muestra en la Figura 5.4.

5.4 VELOCIDAD DE ROTACION

En la Figura 5.5 se muestran las variaciones típicas de la potencia neta que serequiere para girar un molino como función de la velocidad de rotación. Las velocidadesespecíficas de fractura normal varían con la velocidad de rotación de la misma manera.Sin embargo, el máximo en la potencia sucede a diferentes fracciones de velocidad críticapara diversos molinos, dependiendo del diámetro del molino, del tipo de barraselevadoras, de la razón de diámetros de bola a molino y de las condiciones de llenado debolas y polvo. El máximo se encuentra usualmente en el rango de 70 a 85% de la velocidadcrítica, con 70 a 75% siendo el rango usual para molinos de diámetro grande con unacarga completa de bolas (J = 0.4).

Figura 5.4 : Variación típica de la distribución de fractura primaria para partículasgrandes (D=0.6 m, d=26.4 mm).

93

Dentro del rango de velocidades cercano al máximo consumo de potencia hay sólopequeños cambios en las velocidades específicas de fractura normal con la velocidadrotacional. Los resultados de pruebas descritas en las secciones anteriores y posterioresa ésta se obtuvieron con velocidades de molienda dentro de este rango. No existenvariaciones significativas en los valores de B con la velocidad de rotación dentro de esterango. Un ajuste empírico de los datos proporciona la siguiente expresión aproximadapara la potencia de molienda:

mp ∝ (ϕc − 0.1)

11 + exp[15.7(ϕc − 0.94)]

, 0.4 < ϕc < 0.9 (5.6)

Figura 5.5 : Variación típica de la potencia neta con la velocidad de rotación, para unmolino de laboratorio provisto de barras levantadoras (D=0.6 m, L=0.3 m, J=0.35,d=25.4 mm) y un molino piloto (D=0.82 m, L=1.5 m, J=0.35 y mezcla de bolas).

94

Esta ecuación puede ser utilizada para dar una corrección aproximada de los valores Sdesde una velocidad rotacional a otra:

Si ∝ (ϕc − 0.1)

11 + exp[15.7(ϕc − 0.94)]

, 0.4 < ϕc < 0.9 (5.6a)

5.5 CARGA DE BOLAS Y POLVO

Si se efectúa pruebas de molienda con una masa constante W de polvo retenida enel molino o con una fracción de volumen de llenado fc, los valores de la velocidadespecífica de fractura son un índice directo de la habilidad del molino para fracturar elmaterial. Sin embargo, si las pruebas se comparan en condiciones en que fc es unavariable, es necesario incluir la cantidad de material sobre la que se actúa. Porconsiguiente, es más informativo en estos casos comparar las velocidades de fracturaabsolutas, definidas por SiW o por Sifc. Este término tiene el significado físico de masade polvo fracturado, por unidad de tiempo y por unidad de volumen del molino, si todoel polvo fuese de tamaño i.

Se ha demostrado que para una determinada carga de bolas J, es tan indeseablellenar poco como sobrellenar el molino con polvo. A bajo llenado de polvo la mayor partede la energía de las bolas se consume en el contacto de acero con acero produciendovalores de Sfc bajos. La potencia de molienda es aproximadamente la misma, tanto paraun llenado de polvo bajo como para uno normal, de tal modo que un valor de Sfc bajoresulta en una baja eficiencia energética, ya que bajos valores de mp /SW producenineficiencia directa. Por añadidura, los valores de α resultan menores que lo normal, loque tiene el efecto de moler el material fino más rápido proporcionando una sobremolienda de finos. La carga relativa de polvo-bolas queda definida por U = fc / 0.4Jobteniéndose valores de este parámetro mayores a 0.2 ó 0.3 para valores normales de αy de las distribuciones de fragmentos de la progenie primaria.

Por otra parte, un llenado alto de polvo parece amortiguar la acción de fractura ySfc resulta nuevamente menor que lo normal. Esto también da origen a velocidades defractura diferentes al primer orden, con la velocidad disminuyendo a medida que los finosse acumulan en el lecho. La Figura 5.6 muestra la variación de la velocidad absoluta defractura como una función de J y fc, en el área de ruptura normal para una molienda secade cuarzo en un molino de laboratorio equipado con barras elevadoras pequeñas.

La forma general de la curva de velocidad de fractura versus el llenado de polvo,a una predeterminada carga de bolas, se explica como sigue. Un llenado bajo de polvoproduce obviamente una velocidad de fractura menor. A medida que la cantidad de polvoes aumentada, los espacios de colisión entre las bolas se llenan y las velocidades defractura aumentan. Cuando todos los espacios en los que están sucediendo colisionesentre las bolas en movimiento se llenan con polvo las velocidades de fractura llegan a unmáximo. Una cantidad adicional de polvo aumenta el material retenido en el molino, perono produce incremento de fractura porque las zonas de colisión están ya saturadas y elpolvo adicional entra sólo como un depósito en el molino obteniéndose una meseta develocidades de fractura casi constante. Eventualmente el sobre llenado de polvo conducea una amortiguación de las colisiones debido a un acolchonamiento producido por el

95

polvo; el lecho de bolas y polvo se expande produciendo un mal contacto bola-bola-polvoy resultando en una disminución de las velocidades de fractura.

Los resultados de varios investigadores que utilizaron molinos pequeños con unacarga fija de bolas fueron resumidos por Shoji et al. [5.6]. Un trabajo posterior [5.7]demostró que se podría utilizar una expresión más simple en la región normal de llenado,incorporándose también la variación con la carga de bolas:

a ∝ 11 + 6.6J 2.3 exp[−cU] , 0.5 < U < 1.5, 0.2 < J < 0.6 (5.7)

donde c es 1.20 para la molienda seca. El valor para molienda húmeda depende de lascondiciones reológicas de la suspensión: se ha encontrado valores entre 1 y 1.3 paradensidades de suspensión normales. La representación gráfica de la ecuación (5.7) semuestra en la Figura 5.6. Si se diferencia Sfc con respecto a U y se lo hace cero, sedemuestra que las velocidades absolutas de fractura máximas se producen a un valor deUm=1/c. Se concluye que el rango 0.6 ≤ U ≤ 1.1 es la condición óptima de llenado paraobtener velocidades máximas de fractura, a cualquier carga de bolas. Sin embargo, losmolinos operan normalmente cercanos al punto más elevado de este rango para evitar el

bajo α

no es de primer orden

Figura 5.6 : Variación de la velocidad absoluta de fractura relativa con el llenado debolas y polvo, para la molienda seca en un molino de laboratorio.

96

desgaste excesivo de las bolas producido por un llenado más reducido de polvo. Lacapacidad máxima de molienda se obtiene a llenado de bolas de 40 a 45% (para molinospequeños).

El efecto de acolchonamiento se puede cuantificar en forma aislada si se lo definecomo la reducción de la fractura más allá de Um, de tal manera que no se considera efectode acolchonamiento hasta la velocidad de fractura absoluta máxima. El factor dereducción de la velocidad de fractura más allá del llenado óptimo de U es entonces elfactor de sobrellenado:

Ko =

1

(U ⁄ Um )exp( − [(U ⁄ Um ) − 1])

, U ≤ Um

, U ≥ Um

(5.8)

Por ejemplo, con Um = 1, el factor es 0.91 para U = 1.5 y 0.74 para U = 2.0.

La potencia neta del molino como función de la carga de bolas se ajusta a la funciónempírica:

mp ∝ 1 − 0.937J1 + 5.95J 5 , 0.2 ≤ J ≤ 0.6 (5.9)

Figura 5.7 : Energía específica, relativa de molienda como función del llenado debolas: molienda seca en un molino de laboratorio.

97

Si se combinan las ecuaciones (5.7) y (5.9) se obtiene los resultados que semuestran en la Figura 5.7. Aun cuando la capacidad de un molino de bolas de laboratoriopresenta un máximo a cargas entre un 40 y 45%, la energía específica relativa de moliendamp /SW es mínima alrededor de 15 a 20% de carga. En la práctica, cargas de bolas menoresde 25% no son normalmente utilizadas porque pueden producir excesivo desgaste de lasbarras elevadoras. Por añadidura, la capacidad de molienda es claramente inferior paracargas menores.

5.6 DIAMETRO, DUREZA Y DENSIDAD DE BOLAS

Si se considera una unidad representativa de volumen de molino, la velocidad decontactos bola-bola por unidad de tiempo aumenta con una disminución del diámetro delas bolas, porque el número de éstas en el molino aumenta con 1/d 3. Entonces, lasvelocidades de ruptura en el rango normal son mayores para diámetros de bolas menores.La Figura 5.8 muestra el efecto del diámetro de bolas en un molino de dos pies de diámetro[5.8], que puede ser representado por:

a ∝

1d N0

11 + (d∗ ⁄ d)

, d∗ ≈ 2 mm , d ≥ 10 mm (5.10)

donde a es el factor pre-exponencial en la ecuación (5.1) que depende de las condicionesdel molino, y d es el diámetro de la bola. El segundo término en el miembro derecho dela ecuación (5.10) es una corrección para tomar en cuenta la curvatura de la curva paradiámetros de bolas más pequeños.

El valor del exponente N0 se conoce en forma precisa [5.9] y se ha informado entre 0.6 y1.0. Pruebas utilizando el mismo rango de diámetro de bolas en un molino de 200 mmde diámetro no dieron un efecto del diámetro de la bola, esto es, N0=0.

Por añadidura, parece que los valores de B también cambian en una formasistemática, por lo menos para ciertos materiales. Por ejemplo, el mejor y más reciente

Tabla 5.2Parámetros de B como función del diámetro de bolas: molienda seca de cuarzo

β = 5.8.Tamaño debola d, mm

Tamaño debola d,

pulgadas

γ γ ⁄ γ(25 mm) Φ Φ ⁄ Φ(25mm)

19 3/4 1.10 1.02 0.51 0.8122 7/8 1.09 1.01 0.58 0.9225 1 1.08 1.00 0.63 1.0032 1 1/4 1.05 0.97 0.68 1.0838 1 1/2 1.00 0.93 0.69 1.1044 1 3/4 0.95 0.88 0.70 1.1151 2 0.88 0.81 0.70 1.1164 2 1/2 0.78 0.72 0.70 1.11

98

cálculo de la variación de los parámetros B para cuarzo se presenta en la Tabla 5.2 yFigura 5.9. Parece que una bola más grande produce, de algún modo, una mayorproporción de finos, esto es, un γ menor y un Φ mayor. Por lo tanto, la menor velocidadde fractura específica debido a bolas más grandes se compensa parcialmente por unaproducción más elevada de fragmentos finos.

Si los valores de B cambian con el diámetro de la bola, un modelo de simulaciónadecuado requiere la utilización de un promedio apropiado B

__ij de los valores de B.

Considere una mezcla de bolas con fracciones en masa m1 del tamaño 1, m2 del tamaño2, etc., se supone que la velocidad de ruptura para la mezcla de bolas Sj

__ es una simple

suma de las velocidades de ruptura Sjk con cada tamaño de bola dk ponderado con sufracción en masa mk:

S_

j = ∑ k

mk Sj,k

Figura 5.8 : Variación de la velocidad específica de molienda en un molino de bolaspara la molienda seca de cuarzo (D = 0.6m, J = 0.2, U = 0.5, ϕc = 0.7).

99

B__

i,j = ∑ k

(mk Sj,k Bi,j,k) ⁄ ∑ k

(mk Sj,k) (5.11)

La Tabla 5.2 y la Figura 5.10 muestran los valores de B de una molienda discontinuade cuarzo con una mezcla de bolas de diferentes tamaños, comparados con los valores demolienda con bolas de un diámetro de 26 mm ó 50 mm. Como se espera, los valores estánentre aquellos de los tamaños extremos; la serie de distribuciones granulométricas adiversos tiempos de molienda también mostró pendientes de Schuhmann entre aquellasque se obtuvieron con bolas de diámetro de 26 mm y 50 mm. Esto sugiere que los valorespromedio B

__ij quizás puedan ser ajustados con la forma usual de la ecuación (5.5) con

valores efectivos que incluyen γ_, Φ__

y β__

. Esto se demuestra en la Sección 8.4. Por ejemplo,para una mezcla balanceada de Bond con un tamaño máximo de 51 mm (2 pulgadas), elvalor global γ

_ es 0.91 veces el valor γ para bolas de 25.4 mm y Φ

__ es 1.06 veces Φ para

bolas de 25.4 mm, para los datos indicados.

Es obvio que no es deseable alimentar un molino con partículas de tamaños muygrandes, debido a que los valores de Si para estos tamaños estarán a la derecha del máximo

Figura 5.9 : Variación de los parámetros de B con el tamaño de las bolas para lamolienda seca de cuarzo (D = 0.6 m, J = 0.2, U = 0.5, ϕc = 0.7).

100

que se muestra en la Figura 5.2, produciendo bajas velocidades de fractura. Se sabe desdehace mucho tiempo que bolas de gran tamaño fracturan las partículas grandes máseficientemente. En términos de las velocidades específicas de fractura, este conceptopuede ser cuantificado mediante la ecuación empírica:

xm ∝ d N3 (5.12)

donde xm es nuevamente el tamaño al cual ocurre el valor máximo de S (para undeterminado conjunto de condiciones) y d es el diámetro de la bola. La ecuación (5.12)enuncia que la posición del máximo en S se mueve hacia tamaños de partículas mayorescuando el diámetro de la bola se aumenta o dicho de otra manera, cuando el diámetro dela bola se aumenta el molino puede fracturar eficientemente una alimentación quecontiene tamaños de partículas más grandes. El valor de N3 no es fácil de obtenerexperimentalmente debido a la interferencia producida por la ruptura de orden distintodel primero en la región de ruptura anormal. Sin embargo, pruebas recientes [5.10] sugieren

Figura 5.10 : Valores experimentales de B para la fractura de cuarzo en un molinocon mezcla de bolas: 40% de 50.8 mm, 45% de 38.1mm y 15% de 25.4 mm (40% de

sólidos en volumen, D = 0.6 m; ϕc = 0.7).

101

que N3=1.0 para materiales frágiles duros, y no un valor de N3=2 como fue utilizadopreviamente por Austin, Klimpel y Luckie.

Como un ejemplo, consideraremos los resultados obtenidos en una serie de ensayosde molienda húmeda de mineral de cobre de Andina de Codelco Chile [5.11], como semuestra en la Tabla 5.1b. Se usaron monotamaños de bolas de 1, 1.5, 2.0, 2.5 y 3.0pulgadas y monotamaños de partículas de 40x60, 16x20 mallas y 1/4"x3/8". Tomandoen cuenta los límites de reproducibilidad y el hecho que se produce fractura de ordendistinto del primero para la molienda húmeda, especialmente de partículas de gran tamañocon bolas pequeñas, se llegó a las siguientes conclusiones:

• el valor de a ∝ 1 ⁄ d, esto es, No=1.0

• los valores de B en la región de fractura normal no cambian en formasignificativa con el tamaño de las bolas

• el valor de Λ resultó constante, Λ =3

• el valor de µ ∝d1.2, esto es, N3=1.2

Los valores de "a" y xm dependen del material y condiciones de molienda. Sinembargo, el valor de α no parece variar con el diámetro de la bola en la región de fracturanormal. El valor de "a" muestra una gran variación desde materiales blandos (débiles) aduros (fuertes), pero el rango de variación de xm es relativamente estrecho: xm depende

Figura 5.11 : Variación pronosticada de los valores de S con el tamaño de bolas parala molienda húmeda de un mineral de cobre (J =0.3, U = 0.75, ϕc = 0.7, D = 0.6 m).

102

no sólo de la resistencia de las partículas grandes sino que también de la geometría delatrapamiento de partículas entre bolas, que es un factor que no cambia mucho con el tipode material. Si se combinan las ecuaciones (5.2), (5.3), (5.4), (5.10) y (5.12) se obtieneel resultado típico que se muestra en la Figura 5.11, en que se hizo N0=1 y N3 =1.2 y enque los valores de Si corresponden al valor superior del intervalo i. Las curvas representanla mejor descripción de las constantes cinéticas de primer orden.

El efecto total de una mezcla de bolas de diversos tamaños, en la región de rupturanormal es nuevamente la suma ponderada:

S_

i = ∑ k

Sik mk (5.13)

donde mk es la fracción en masa de bolas en el intervalo de tamaño denotado por k y Sik

es la velocidad de ruptura específica de las partículas de tamaño xi con bolas de tamañodk. Si el tamaño de alimentación es suficientemente pequeño como para que la ecuación(5.1) sea válida para las bolas de todos los tamaños en el molino:

S_

i ∝ xiα ∑

k

(mk

dk N0) (5.13a)

y el molino se comporta como si tuviera un tamaño de bola único promedio d_ definido

por:

S_

i ∝ 1d_

N0 xiα = xi

α ∑ k

mk

dk N0

Si N0=1,

1 ⁄ d_ = ∑

k

mkdk

(5.13b)

Nótese que éste es un diámetro de bola promedio volumétrico superficial (de áreaespecífica), esto es, el diámetro de bola que proporciona una área específica igual alpromedio del área específica de la mezcla de bolas. La Figura 5.8 muestra el valor de Sdeterminado para una mezcla de 50% de bolas de 27 mm y 50% de bolas de 50 mm. Elresultado cae en la línea de un tamaño de bola de 36 mm. La ecuación (5.13b) da1/ d_=(0.5/27)+(0.6/50)=35 mm para N0=1. Esto demuestra la aditividad simple en la

región de fractura normal. Sin embargo, no es posible definir un tamaño promedio debola para las condiciones en que la ecuación (5.2) es aplicable, porque ningún tamañoúnico de bola puede duplicar la acción de fractura de una mezcla de bolas sobre laspartículas de tamaño grande.

Un método para evitar las incertidumbres en cuanto al efecto del tamaño de lasbolas sobre los parámetros de ruptura y a la aditividad de las mezclas de bolas, esdeterminar los parámetros S y B en un molino conteniendo exactamente la distribuciónde bolas que se usará en la práctica. Esto no se puede realizar en un molino demasiado

103

pequeño y recomendamos que los ensayos discontinuos se hagan en un molino de por lomenos 0.6 m de diámetro, si las bolas a usar son de 60 mm de diámetro como máximo.

La potencia del molino no varía mucho con el tamaño de las bolas (con bolasmayores a 19 mm), de modo que una mala elección del tamaño de bola conduce a un bajovalor de Si dando una ineficiencia directa , bajando el parámetro SiW/mp y aumentandola energía específica de molienda. Sin embargo, y debido al desgaste de bolas, en lapráctica es necesario recargar bolas grandes para establecer una carga balanceadaapropiada (ver sección 8.3). Además, una carga de bolas demasiado pequeñas producedeslizamiento de la carga y por lo tanto una caída en el consumo de potencia y un excesivoconsumo de acero. La selección óptima de tamaño de las bolas depende claramente de ladistribución granulométrica de la alimentación y del producto deseado y del balance entreel costo de la energía y del acero (ver sección 8.7).

Rose y Sullivan [5.12] demostraron que la dureza de las bolas no afecta la capacidaddel molino, siempre que ellas estén por sobre una dureza razonable. Von Seebach [5.13]hizo experiencias en seco con bolas de acero huecas, demostrando que el efecto de ladensidad de las bolas sobre la velocidad específica es lineal:

Si ∝ a ∝ ρb (5.14)

donde ρb es la densidad de la bola. Se debe notar que la potencia también es proporcionala ρb, de manera tal que un molino operando con medios de molienda livianos tendrá bajacapacidad y bajo consumo de potencia dando, por lo tanto, un consumo de energíaespecífica de molienda comparable a uno trabajando con bolas de alta densidad. Sinembargo, ensayos en molinos de 0.6 m de diámetro dieron una razón de Si de 1.75 entrebolas de una aleación de acero ( ρb=7.8x103 kg/m3) y bolas de cerámica( ρb=3.7x103

kg/m3), que es menor que la razón de densidad de 2.1, aunque la potencia sí varió enproporción a 2.1. Esto sugiere que es mejor determinar los valores de Si para las bolas delmaterial que se utilizará en la práctica, en vez de usar la ecuación(5.14), especialmenteen la molienda húmeda.

5.7 DIAMETRO DEL MOLINO

Se han realizado muy pocas medidas directas de los valores de S y B en molinosde gran diámetro y el recálculo de los valores de S y B desde datos de molinos continuosde gran tamaño está sujeto a grandes errores (ver capítulo 6). Por lo tanto, es necesarioextrapolar resultados de molinos menores y también inferir resultados de la variación dela capacidad de un molino industrial en relación al diámetro de éste. Austin[5.14] yMalghan y Fuerstenau[5.15] han demostrado que los valores de Bij son a menudo losmismos para un determinado material en molinos de 0.15 m a 0.60 m (2 pies) de diámetroy que el exponente es el mismo. Bajo condiciones idénticas de llenado la velocidadespecífica de fractura aumenta en razón a DN1 donde N1 es cercano a 0.5 (ver Figura 5.12)por lo tanto:

Si ∝ a ∝ DN1 (5.15)

104

Como en la sección 5.3, este resultado sugiere [5.14] que es la acción de cascada laque produce la acción normal de ruptura en el molino. Un valor de Si corresponde a unafracción quebrada por unidad de tiempo y, por lo tanto, representa la fractura por unidadde volumen del molino. El número promedio de bolas que suben y voltean por revolucióndel molino y por unidad de volumen es constante independiente del diámetro del molino,pero el número promedio de impactos que una bola efectúa cuando cae en cascada en lacarga del molino es proporcional a D. Sin embargo, a una determinada fracción develocidad crítica el número de revoluciones del molino por unidad de tiempo esproporcional a 1/√ D . Si se combinan estos factores y se supone que cada impactocontribuye a la fractura, resulta Si ∝ D ⁄ √ D , esto es, Si ∝ D0.5.

Si se supone que los valores de α y Bij permanecen constantes, incluso para molinosgrandes, la capacidad del molino como función del tamaño del molino (para ir desde lamisma alimentación hasta el mismo producto baja las mismas condiciones de carga) sería:

Q ∝ π4 LD 2 + N1

o en forma adimensional

Figura 5.12 : Variación de los valores de Si con el diámetro del molino (fracturanormal, d = 25 mm).

105

Q2 ⁄ Q1 =

L2

L1

D2

D1

2 + N1

donde L es la longitud del molino. Esto también supone que la capacidad del molino porunidad de longitud es constante, esto es, que existe un efecto insignificante de las paredesfinales del cilindro. La bien conocida regla empírica para capacidad de un molino es porsupuesto:

Q ∝ π4 LD2.5

Bond [5.16] indica que la capacidad de molinos superiores a D=3.8 metros endiámetro es proporcional a ( π L ⁄ 4 ) (D ⁄ Do)2.3, Do=3.8 m, lo que sugiere que N1

disminuye algo para molinos de diámetros grandes. La capacidad es entonces:

Q2 ⁄ Q1 =

L2

L1

D2

D1

2

Do

D1

0.5

D2

Do

0.3

D ≥ Do = 3.8 m

La potencia del molino también varía con LD2.5 para molinos pequeños, de modo que laenergía específica de molienda se mantiene constante al variar el diámetro del molino,para pruebas en molinos pequeños.

Por añadidura, es de esperar que un molino de diámetro mayor desplazará elmáximo en S hacia partículas de tamaños mayores, para un determinado diámetro de bola.Hemos utilizado la expresión empírica:

xm ∝ µ ∝ DN2 (5.16)

donde N2 es aproximadamente 0.2. Por consiguiente, el tamaño de bola máximo para undeterminado tamaño de partícula máximo en la alimentación puede ser reducido para unmolino de mayor diámetro. El desgaste y daño de las lainas debido al impacto de las bolasmayores se agrava por el gran diámetro del molino, por esta razón es también convenientereducir el tamaño y cantidad de las bolas mayores en molinos de gran diámetro.

5.8 EFECTOS DEL MEDIO AMBIENTE EN EL MOLINO

Es bien conocido que la molienda húmeda en molino de bolas produce capacidadessuperiores que la molienda en seco, con la condición que la proporción de sólido a agua(densidad de suspensión) no sea tan alta como para que la carga del molino se vuelvaespesa y viscosa. Bond [5.16] indica que la capacidad de la molienda húmeda en escalaindustrial es 1.3 veces aquella para la molienda seca, con todas las otras condicionessemejantes. Austin et al. [5.17] demostraron que los valores de Bij y α eranaproximadamente los mismos para la molienda húmeda o seca en un molino pequeño delaboratorio (al menos para los materiales investigados). Los valores también fueron losmismos para densidades de pulpa diferentes, con la condición que ésta permaneciesefluida. Sin embargo, la razón de los valores de S, esto es, el factor “a” varió de 1.1 a 1.7entre la molienda seca y la húmeda para diferentes materiales. La razón fue 1.7 para

106

cuarzo. Cuando los valores Bij y α no cambian, la capacidad del molino será funcióndirecta de estas proporciones.

En pruebas de molienda discontinua de laboratorio, lo que se estudia es la acciónde fractura y no la transferencia de masa a lo largo del molino y por lo tanto, los resultadosmuestran que la fractura ocurre más rápidamente en la presencia de agua. Por añadidura,la comparación de molienda húmeda y seca se efectúa en la región de fractura normal deprimer orden, donde el efecto desacelerador de las velocidades de fractura no es evidente(ver más adelante). Por consiguiente, el agua no actúa principalmente para prevenir ladesaceleración, recubrimiento de las bolas o reaglomeración de los finos. Por otra parte,

% de sólidosen volumen

Figura 5.13 : Variación de la velocidad específica de fractura del tamaño máximo(cuarzo de 20x30 mallas), con el tiempo para varias densidades de pulpa (D=200 mm,

d=25 mm, J=0.3, U=1.0).

107

los aditivos químicos de molienda no cambian las velocidades de fractura hasta que ladensidad de pulpa es alta, en cuyo caso operan afectando la fluidez de la masa. Por lotanto, la influencia del agua parece ser principalmente el permitir una mejor transferenciade la acción mecánica de las bolas en movimiento hacia las partículas lo que conduce avelocidades de fractura más alta, pero no obstante produciendo el mismo tipo de fracturay, en consecuencia, aproximadamente la misma distribución de fragmentos de la progenieprimaria.

Tangsathitkulchai y Austin [5.18] realizaron un detallado estudio de la moliendahúmeda en un molino de laboratorio mediante el análisis de los valores de S y B. Susresultados para cuarzo molido en agua destilada se puede resumir como sigue: la fracturade un monotamaño de alimentación de 20x30 mallas proporcionó en forma sistemáticauna fractura de orden diferente del primer orden, como se muestra en la Figura 5.13. Laaceleración o desaceleración de la velocidad de fractura del monotamaño fue producidapor la acumulación de material fino, ya que ésta pudo también ser obtenida iniciando laprueba con una alimentación de 50% de cuarzo de malla 20x30 más 50% de material fino.Que la cinética de molienda del monotamaño (gráfico de primer orden) muestreaceleración, comportamiento de primer orden o desaceleración depende de la carga debolas y polvo en el molino además de la densidad de pulpa.

El efecto parece deberse a que la reología de la pulpa en el comienzo de la moliendapermite que las partículas grandes escurran desde la superficie de las bolas, de maneraque las zonas de fractura entre las bolas que ruedan por la superficie libre de los mediosde molienda han sido parcialmente lavadas de partículas. A medida que cambia la reologíacon la acumulación de finos, las zonas de fractura comienzan a cubrirse de pulpa que noescurre tan fácilmente, y por lo tanto la velocidad específica de fractura y la eficienciade fractura aumentan.

Sin embargo, una vez que se ha producido suficiente fractura para dar origen a unadistribución de tamaño más natural, y que se ha acumulado suficiente cantidad de finospara dar una reología más normal, la fractura de las partículas más pequeñas puede serconsiderada de primer orden, de manera que en todo el rango de interés se puedeaproximar una cinética de primer orden.

La Figura 5.14 muestra la variación del valor de “a” para esta región normal, másla velocidad neta de producción de material menor de 270 de mallas. Se concluye queexiste un pequeño máximo para una densidad de pulpa de 45% de sólidos en volumenque produce las velocidades máximas de fractura. Un pequeño aumento de la densidadde pulpa por sobre 45% produce una disminución rápida de la velocidad de fractura.

La Figura 5.15 muestra los valores de B para estas condiciones. Dentro del rangode reproductibilidad experimental, los valores son constantes (y normalizados) paradensidad de pulpa normal, pero cambian a un conjunto de valores diferentes (tambiénnormalizados) para la densidad de suspensión alta con una producción más alta de finos.La velocidad neta de producción de finos varía con la densidad de suspensión de la mismamanera que “a”, pero la semejanza no es exacta debido al cambio en los valores B. LaFigura 5.16 muestra las distribuciones granulométricas producidas a densidades de pulpanormales y altas desde una alimentación de monotamaño de cuarzo de 20x30 mallas. Ladiferencia en inclinación de las curvas de Schuhmann es bastante clara. La figura tambiénmuestra que la fractura desacelera para tiempos largos de molienda, porque la distribución

108

Figura 5.14 : Efecto de la densidad de pulpa en la velocidad de fractura del cuarzo(ver figura 5.12).

Figura 5.15 : Variación de B con la densidad de pulpa (ver Figura 5.10); % envolumen 40%, 40%, 45%, 45%, 47%, 50%, Δ 52%, 54%, 56%

109

Figura 5.16 : Comparación de las distribuciones de tamaño de molienda discontinuade cuarzo de 20x30 mallas a densidad de pulpa normal y alta (D=200 mm; d=26 mm;

J=0.3; U=1.0 ; ϕc=0.7)

Figura 5.17 : Variación de la velocidad de fractura con el llenado del molino y con ladensidad de pulpa.

110

granulométrica experimentalmente determinada no es tan fina como la pronosticada porla simulación de primer orden.

Conclusiones esencialmente similares fueron previamente reportadas por Klimpelet al. [5.19-21] basadas en la velocidad de producción de tamaños finos y no en velocidadesde fractura. La Figura 5.14 demuestra que la velocidad de producción de tamaños finos(por ejemplo, menores a 270 mallas) varía de la misma manera que las velocidades defractura. En base a ésto, los resultados de Klimpel[5.21] con respecto al llenado del molinoy la densidad de pulpa son presentados en la Figura 5.17, donde los valores han sidoajustados mediante una forma de la ecuación (5.7)

Velocidad neta de producción de finos = kUexp [ − cU ] (5.17a)

Parece que el nivel óptimo de llenado a una determinada densidad de pulpa cambia haciavalores de U más altos cuando la densidad de la suspensión aumenta.

El máximo que se observa en la velocidad de fractura como una función de ladensidad de suspensión en la Figura 5.14 se explica convencionalmente postulando quelas bolas son cubiertas por una suspensión suficientemente gruesa conduciendo acolisiones eficientes de bola-partícula-bola. Sin embargo, Tangsathitkulchai y Austin[5.17] y Katzer et. al.[5.21] encontraron que, a diferencia de la molienda en seco, la potencianeta entregada al molino discontinuo de laboratorio aumenta y disminuye con la densidadde la suspensión en forma muy similar a la variación de las velocidades de fractura,excepto en condiciones extremas de bajo-llenado, sobre-llenado o alta densidad de pulpa.Esto significa que la energía específica de molienda fue casi constante y que los óptimosen el desempeño del molino fueron óptimos de capacidad y no de energía específica. Estoimplica que el efecto de la densidad y reología de la suspensión en estas pruebas escambiar la acción de las bolas en movimiento: la reología óptima de la suspensión causael mejor elevamiento de las bolas, el máximo consumo de potencia por el molino y,consecuentemente, las velocidades de fractura (que son una consecuencia de la acción devolteo) también más altas.

Por lo menos en molinos pequeños de laboratorio el efecto puede ser explicado dela siguiente manera. Para densidades de pulpa bajas, la sedimentación produce una capade partículas que se mueve junto a las paredes del molino y cuyo efecto es el de disminuirel diámetro efectivo del molino y por lo tanto reducir la potencia. En condiciones óptimaslas partículas sedimentan más lentamente y caen de las paredes del molino a medida queson levantadas, por lo que se encuentran mejor dispersas en la pulpa y máshomogéneamente distribuidas en el lecho de bolas. Cuando una pulpa espesa se muele atamaños finos, nuevamente comienza a pegarse en las paredes del molino reduciendo eldiámetro de éste. Esta última acción es claramente visible en experiencias discontinuas,como lo es el hecho que las bolas también se pegan en las paredes debido a la densa yviscosa pulpa que allí está adherida.

5.9 DESACELERACION DE LAS VELOCIDADES DE FRACTURA

La Figura 5.16 muestra que la capacidad de las simulaciones de primer orden parapredecir las distribuciones granulométricas correctas del producto comienza a fallar para

111

la molienda muy fina. Este efecto de desaceleración se observa tanto en la molienda secacomo en la húmeda. El fenómeno se trata como sigue.

Como una primera aproximación se supone que la desaceleración de lasvelocidades específicas de fractura se aplica igualmente a todos los tamaños en la cargadel molino. Esto conduce al hecho importante que la forma de la familia de distribucionesgranulométricas que produce la molienda discontinua permanece sin cambio en presenciadel efecto de desaceleración, pero el tiempo de molienda requerido para llegar a unadistribución granulométrica determinada es mayor. El efecto mencionado puede sucedersólo si B permanece constante. Por lo tanto [5.22] :

Si′(t) = KSi(0) (5.17)

donde Si(0) es el conjunto de valores normales de S, ySi′(t) es el valor promedio de Si parael tiempo t. El parámetro K es el factor de reducción (0 ≤ K ≤ 1) que se vuelve menorcuando el porcentaje de finos aumenta. Designando por θ el tiempo equivalente de unamolienda de primer orden (el tiempo ficticio) necesario para alcanzar la distribución,w1(t) ⁄ w1(0) = exp[ − S1(0)θ ] = exp[ − KS1(0)t ], y esto es :

K = θ ⁄ t (5.18)

El valor instantáneo de Si al tiempo t puede ser representado por:

Si (t) = κ Si (0) (5.19)

donde κ es también un factor de reducción 0 ≤ κ ≤ 1, que es una función de la fineza delmaterial en el molino (por lo tanto una función de t); comodw1(t) = − S1(0)w1(t)dθ y dw1(t) = − S1(t)w1(t)dt,

κ = dθ ⁄ dt (5.20)

Conociendo la variación de θ con t se puede determinar κ por diferenciación gráfica. Larelación entre K y κ es claramente Kt = ∫

0

tκdt La Figura 5.18 muestra el resultado de la

molienda húmeda de cuarzo. La fractura progresa a velocidades normales (κ =1) hastaque la distribución granulométrica alcanza un tamaño del 80% cercano a 150 µm; luegola velocidad cae a un valor menor para distribuciones de aproximadamente 80% menora 30 µm o más fina, a una densidad de pulpa de 40% de sólidos en volumen. Ladisminución ocurre a moliendas más gruesas para densidades de suspensión más alta ylos valores de κ disminuyen a valores pequeños para densidades de pulpa muy altas.

También se ha encontrado [5.22-23] que la molienda seca a tamaños muy finos puedeproducir una acción desaceleradora del proceso global de molienda. En la Figura 5.18 semuestran los resultados típicos. Esto no parece ser debido principalmente alrecubrimiento de las bolas, ya que no se observó recubrimiento con cuarzo. Posiblementeun lecho de partículas cohesivas finas desarrolla propiedades parecidas a las de un líquidode modo tal que las partículas se deslizan de la región de colisión de bola con bola y se

112

transmite un esfuerzo insuficiente a las partículas individuales para que suceda la fractura.En la figura se ve bastante claro que materiales diferentes muestran este efecto endiferente grado, posiblemente debido a grandes diferencias en las fuerzas cohesivas delos materiales diferentes.

Es bien conocido [5.24] que la molienda seca de materiales por largos intervalos detiempo (varias horas) puede conducir a la peletización y a la soldadura en frío de finospara formar partículas más grandes. Sin embargo, el efecto de desaceleración sucede entiempos más reducidos y no demuestra la incorporación de material fino (que fue marcadocon trazadores) para formar gránulos mayores [5.25].

5.10 FRACTURA DE PARTICULAS GRANDES

Las partículas que son mucho mayores que xm, hacia la derecha del máximo en lacurva de S versus x, usualmente se fracturan en forma anormal, como se muestra en laFigura 5.19. A diferencia de la fractura normal, la que generalmente produce unavelocidad de fractura de primer-orden, la región de fractura anormal produce unavelocidad inicial más rápida seguida por una más lenta. Partículas que son débiles o queposeen una forma tal que les permite ser atrapadas en la colisión entre bolas con bolasson fracturadas más rápidamente, mientras que existe una fracción de partículas más

Figura 5.18 : Efecto de desaceleración κ como función de la fineza de molienda(20x30 mallas de alimentación) y densidad de pulpa (D = 200 mm, d = 26mm, ϕc =

0.7) : molienda húmeda : (J = 0.3, U = 1.0), A 40% de sólidos en volumen, B 54% desólidos en volumen, Molienda seca : (J = 0.2, U = 0.5). 1 cuarzo, 2 Carbón de

Western Kentucky # 9, Indice de Moliendabilidad de Hardgrove 52. 3 Clinker decemento. 4 Carbón de Lower Kittanning.

113

fuertes que se fracturan más lentamente y de ahí que persisten, después que las partículasmás débiles han sido fracturadas. No es difícil de imaginar que estas partículas másgrandes y fuertes se someterán a un continuo astillamiento y redondeamiento mientrasesperan la probabilidad de un impacto intenso que las fracture. El 6% del monotamañoinicial que quedó después de ser éste molido hasta una fractura del 94%, se recogió y sevolvió a moler en las mismas condiciones del material inicial, ver Figura 5.19, dando unavelocidad de fractura mucho más lenta, que continuaba disminuyendo. Si se compara laforma de las partículas de la alimentación inicial con aquellas del material más fuerte quese recogió, se observa un evidente redondeamiento parcial del material más fuerte.

La correcta forma de considerar la velocidad de fractura para cualquier tiempo esconsiderar la suma de las velocidades de fractura de todo el material que queda en esetiempo, desde una alimentación inicial con una distribución completa de resistencias,cada material de una resistencia determinada rompiéndose de acuerdo a la hipótesis deprimer orden:

w0(t) = ∫ w0 = 0, S = 0

w0 = 1, S = ∞

exp( − St) dw0(S) (5.21)

donde w0(S) es la fracción acumulativa de material de una velocidad específica de fracturamenor o igual a S en el material de la alimentación de tamaño uno. Sin embargo, esta esuna función complicada para manejar y es conveniente aproximar el proceso como lasuma de un número finito de materiales, por ejemplo, sólo dos componentes, una fracturarápida y una lenta. Se ha encontrado que estas velocidades específicas de fractura también

Figura 5.19 : Velocidad de fractura de cuarzo para tamaño de alimentación inicial6.3x9.5mm, y final 6% 6.3x9.5mm (D = 200mm).

114

pasan a través de un máximo cuando la carga de polvo aumenta, de modo que la ecuación(5.7) todavía es aplicable para estos tamaños.

Mientras más grandes sean las partículas con respecto al diámetro de bola, menoresserán las velocidades de fractura específica. Sin embargo, a medida que las partículasllegan al tamaño de la bola, las colpas empezarán a actuar como un medio de molienday, por lo tanto, a contribuir a la fracción de llenado del medio J. En este punto, elastillamiento será una gran contribución a la acción de fractura. A tamaños aún mayores,la ruptura autógena de las rocas empezará, como en la molienda semi-autógena (vercapítulo 12). Por consiguiente, una descripción más completa de la variación de losvalores de Si con el tamaño de la partícula se muestra en la Figura 5.20. La Figura 5.21ilustra el cambio en los valores de B que se esperan cuando el astillamiento y la abrasiónllegan a ser los componentes más importantes de la fractura completa.

Por el momento no existe información suficiente para proporcionar ecuaciones delos valores de B en la región de fractura anormal. Como las colpas grandes formanusualmente una proporción pequeña de la alimentación a un molino de bolas, a menudoes suficientemente preciso utilizar los valores normales de B o un vector único de valorespromedios de B para todos los tamaños a la derecha del máximo en los valores de S.

5.11 EFECTO DEL FLUJO A TRAVES DEL MOLINO

La Figura 5.6 y la ecuación (5.7) muestran que las velocidades de fracturadisminuyen a medida que el molino es sobrellenado. Medidas recientes de distribucionesde tiempos de residencia en molinos industriales [5.26] han permitido estimar la cantidadde material retenido en el molino. La Tabla 5.3 muestra los resultados como fraccionesde llenado del molino con polvo para una porosidad formal de 0.4. Como la carga debolas es de aproximadamente 35 a 45% para estos molinos, un llenado deaproximadamente 0.16 corresponde a U=1, y está claro que los molinos son

Figura 5.20 : Forma típica para la suma de la velocidad específica de fractura enmolienda SAG.

115

frecuentemente operados en condiciones de sobrellenado (U>1). Con el objetivo de tomaren cuenta este factor en los modelos de simulación, es necesario disponer de una ley detransporte de masa que relacione el material retenido en el molino con el flujo.

Desafortunadamente, esta ley dependerá de las propiedades reológicas de la pulpa,las que a su vez, serán función de la densidad de pulpa y de la fineza de la molienda. Porañadidura la ley dependerá de otros factores tales como el tipo de descarga del molino yla mezcla de bolas en la carga.

Ya hemos visto en la sección 5.8 que la cantidad de finos en la pulpa influencia lavelocidad específica de fractura, dando mayores velocidades de molienda para cantidadesde finos “normales” que para un exceso o defecto. Pequeños flujos a través del molinotienden a producir material fino y, como los molinos son buenos mezcladores, existe allísuficiente cantidad de éstos para dar altas velocidades de fractura. Por otra parte, altosflujos al molino producen pequeñas cantidades de finos y por lo tanto menoresvelocidades de fractura. En circuito cerrado la eficiencia de clasificación, especialmentela magnitud del cortocircuito, afectará el tamaño promedio de finos en el molino. Esposible, entonces, que la determinación de parámetros de fractura en condicionesestandarizadas a partir de ensayos de molienda discontinua no sea suficiente paradescribir el circuito, si éste es operado con altas variaciones de flujos, como en el casode cambiar desde circuito abierto a circuito cerrado con grandes cargas circulantes.

Figura 5.21 : Valores experimentales de B para la molienda de clinker de cemento enun molino de bolas de laboratorio, tamaños de alimentación de intervalos de √ 2;

40x50 mallas; 16x20 mallas; Δ 4x6 mallas.

116

En el capítulo 8 se mostrará otras relaciones que han sido propuestas para explicarla transferencia de masa en molinos. Sin embargo, ellas están basadas en un númerolimitado de estudios en planta piloto y a escala industrial. Debido al escaso conocimientorespecto al efecto del flujo de alimentación a un molino sobre la velocidad específica defractura, ya sea vía cambios en el nivel de llenado o en la cantidad de finos en la pulpa,nosotros escogeremos realizar simulaciones de diseño estandarizadas utilizando valorespromedios para las velocidades específicas de fracturas, e introduciendo luego factoresde corrección que permitan tomar en cuenta los efectos de grandes cambios en los flujosa través de molino. Esto permitirá introducir diferentes factores de corrección a medidaque la experiencia se acumule, sin la necesidad de descartar el programa básico desimulación.

5.12 ESCALAMIENTO DE LOS RESULTADOS DE LA MOLIENDADISCONTINUA DE LABORATORIO

Las ecuaciones empíricas que predicen como cambian los valores de Si con eldiámetro de las bolas del molino, con la carga de bolas y de polvo y con la velocidad de

Diámetro del

molino m

L/D Flujo desólido através

delmolinoF tph

Densidad de pulpa

%sólidosen peso

Pesoespecífico

delsólido ρs

τmin.

Materialretenido

Wton met.

Fracciónde

llenadocon

polvo fc

U = fc0.152

0.3 1 0.08 67 2.65 1.72 0.0023 0.21 1.40.3 1 0.14 70 3.8 (2.27) 0.0053 0.49 3.21.83 2 114 76 3.9 3.5 6.6 0.29 1.92.03 1.5 65 63 3.8 1.45 1.6 0.07 0.5

122 71 3.2 1.72 3.5 0.16 1.044 76 3.2 2.44 1.8 0.08 0.5

2.21 5.5 133 70 2.7 8.6 19.0 0.25 1.62.30 0.93 155 75 3.5 2.00 5.2 0.28 1.82.32 0.75 47 65 3.0 1.67 1.3 0.10 0.7

100 52 4.2 1.03 1.7 0.10 0.7232 68 3.0 0.90 3.5 0.27 1.8

2.34 0.78 60 72 2.9 1.85 1.85 0.13 0.92.34 1.2 185 79 3.9 2.72 8.4 0.28 1.82.70 1.37 82 70 4.2 4.72 6.5 0.12 0.82.93 0.8 295 78 3.7 3.13 15.4 0.45 3.0

375 75 3.7 1.70 10.6 0.30 2.03.20 1.34 388 81 3.6 3.30 21.0 0.29 1.9

163 71 3.4 6.58 18.0 0.25 1.6

Tabla 5.3Material retenido de molinos húmedos de rebalse.

117

rotación del molino son las ecuaciones (5.2) a (5.4), (5.6), (5.7), (5.9), (5.10), (5.12) y(5.16). Ellas se pueden combinar para obtener :

Si (d) = aT (xi ⁄ x0)α

11 + (xi ⁄ C1 µT)

C2C3C4C5 (5.23)

donde:

C1 =

DDT

N2

ddT

N3

C2 =

dT

d

N0

1 + (d∗ ⁄ dT)1 + (d∗ ⁄ d)

, d ∗ = 2 mm, d ≥ 10 mm

C3 =

DDT

N1

3.8DT

N1

D3.8

N1 − 0.2

D ≤ 3.8m

D ≥ 3.8m

C4 =

1 + 6.6JT 2.3

1 + 6.6J 2.3 exp[ − c(U − UT)]

Figura 5.22 : Variación de la retención de pulpa, expresada como fracción de llenadointersticial del lecho de bolas, con el flujo volumétrico de pulpa, para J = J0 (densidadde pulpa ≈ 40% en volumen): molino de rebalse de laboratorio de 0.3 m de diámetro

por 0.6 m de largo.

118

Figura 5.23 : Variación de la densidad de pulpa (expresada como % de sólidos envolumen) con el flujo de pulpa, para tres densidades de pulpa diferentes (ver Figura

5.22).

Figura 5.24 : Variación de los factores de aceleración con la fineza del contenido delmolino, para dos niveles de llenado.

119

C5 =

ϕc − 0.1ϕcT − 0.1

1 + exp[15.7(ϕcT − 0.94)]1 + exp[15.7(ϕc − 0.94)]

donde el subíndice T se refiere a las condiciones y resultados del molino de laboratorio(Test). Los valores aT y µT para el tamaño de bola y la carga de bolas y polvo de interés,son características del material, tal como α , Λ , y los parámetros de Bij, a saber, γ, β yφ. No se ha hecho suficiente trabajo para determinar los valores de N0, N1, N2 y N3 y sabersi son constantes o dependen de cada material. La combinación de estos cálculos con lasecuaciones (5.5), (5.11) y (5.13) permiten el cálculo de S

_i y B

__ij, que son los valores

requeridos para la solución de la ecuación de molienda discontinua:

B__

i, j = ∑ k

mk Sj,k Bi,j,k ⁄ ∑ k

mkSj, k

Si

__ = ∑

k

mkSi,k

donde, para bolas de tamaño promedio dk, los valores de Sik, están dados por (5.23) y losvalores de Bi,j,k se los puede calcular de la ecuación 5.5:

Bi, j, k = Φj

xi − 1

xj

γ

+ (1 − Φj)

xi − 1

xj

β

, 0 ≤ Φj ≤ 1 (5.5)

En forma alternativa se puede usar ensayos de molienda discontinua de laboratoriopara determinar los valores de S

_i, C3, C4 y C5 en un molino razonablemente grande (por

ejemplo D = O.60 m) con la mezcla de bolas y la carga que se anticipa será usada en elmolino de gran escala. En este caso, los valores de µ

__T y Λ

__T son para los valores de S

_i

producido por la mezcla de bolas y d=dT en C1 y C2. Esta técnica tiene la ventaja de evitarsuposiciones concernientes a la aditividad del efecto de las bolas.

5.13 REFERENCIAS

5.1 Crabtree, D.D., Kinasevich, R.S., Mular, A.L., Meloy, T.P. and Fuerstenau, D.W., Trans. AIME,229(1964)201-210.

5.2 Steier, K. and Schönert, K., Proc. 3rd European Symposium Zerkleinern, H. Rumpf and KSchönert,eds., Dechema Monographien, 69, Verlag Chemie, Weinheim, (1971)167-192.

5.3 Marstiller, S., American Magotteaux Corp. ,Cost and Up-Time Considerations for Selection of MillLiners and Grinding Balls, Continuing Education Course “Ball Milling”, The Pennsylvania StateUniversity, September 1979.

5.4 Broadbent, S.R. and Callcott, T.G., Phil. Trans. Roy. Soc. (London), A249 (1956)99-123.

5.5 Shah, I., M.S. Thesis, An Investigation of Two Cases of Non-First Order Breakage in Dry BallMilling, Mineral Processing Section, The Pennsylvania State University, 1984.

5.6 Shoji, K., Lohrasb, S. and Austin, L.G., Powder Technol., 25(1979)109-114.

5.7 Shoji, K., Austin, L.G., Smaila, F., Brame, K. and Luckie, P.T., Powder Technol., 31(1982)121-126.

5.8 Austin, L.G., Shoji, K., Smaila, F. and Brame, K., Powder Technol., 31(1982)121-126.

5.9 Gupta, V.K., Powder Technol., 42(1985)199-208.

120

5.10 Cuhadaroglu, M., “A Study of Breakage Kinetics of Large Particles in a Ball Mill”, M.S. Thesis,Mineral Processing Section, The Pennsylvania State University, 1986.

5.11 Magne, L., “Efecto del Tamaño de Bolas en los Parámetros de Molienda”, Habilitación Profesionalpara optar al título de Ingeniero Metalúrgico, Universidad de Concepción, 1987.

5.12 Rose, H.E. and Sullivan, R.M.E., Rod, Ball and Tube Mills, Chemical Pub. Co., New York, NY(1958).

5.13 Von Seebach, H.M., Effect of Vapors of Organic Liquids in the Comminution of Cement Clinker inTube Mills, Research Institute Cement Industry, Dusseldorf, W. Germany (1969); Ind. Eng. Chem.Proc. Des. Dev., 11(1972)321-331.

5.14 Austin, L.G., Ind. Eng. Chem. Proc. Des. Develop., 12(1973)121-129.

5.15 Malghan, S.G. and Fuerstenau, D.W., Proc. 4th. European Sym. Zerkleinern, ed., H. Rumpf and K.Schönert, eds., Dechema Monographien 79, Nr. 1576-1588, Verlag Chemie,Weinheim(1976)613-630.

5.16 Bond, F.C., Brit. Chem. Eng., 6(1960)378-391, 543-548.

5.17 Austin, L.G., Celik, M. and Bagga, P., Powder Technol., 28(1981)235241.

5.18 Tangsathitkulchai, C. and Austin, L.G., Powder Technol., 42(1985)287-296.

5.19 Klimpel, R.R., Mining Engineering, 34(1982)1665-1668 and 35(1983)2126.

5.20 Klimpel, R.R., Powder Technol., 32(1982)267-277.

5.21 Katzer, M., Klimpel, R.R. and Sewell, J., Mining Engineering, 33(1981)1471-1476.

5.22 Austin, L.G. and Bagga, P., Powder Technol., 28(1981)83- 90.

5.23 Shah and L.G. Austin, Ultrafine Grinding and Separation of Industrial Minerals, S.G. Malghan, ed.,AIME, New York, NY, (1983)9-19.

5.24 Benjamin, J.S., Scientific American, 234(1976)40-48.

5.25 Austin L.G., Shah, J., Wang, J., Gallagher, E. and Luckie, P.T., Powder Technol., 29(1981)263-275.

5.26 Weller, K.R., Proc. 3rd IFAC Symposium, J. O’Shea and M. Polis, eds., Pergamon Press,(1980)303-309.

121

122

CAPITULO 6

DETERMINACION DE LAS FUNCIONES DEFRACTURA S Y B

6.1 DETERMINACION EXPERIMENTAL DE LOS PARAMETROSDE FRACTURA MEDIANTE PRUEBAS DE LABORATORIO

La prueba más simple de realizar para obtener los parámetros de fractura de unmaterial es una experiencia de molienda discontinua utilizando el método demonotamaños. Este consiste en moler un material que, en un comienzo, espredominantemente de un solo intervalo de tamaño, por ejemplo, el material retenido enun tamiz de la serie √ 2. Este tamaño es preparado del material inicial por tamizado,triturando partículas mayores si fuera necesario para obtener una mayor cantidad delmonotamaño. Mientras mayor es el molino de prueba, más tedioso es preparar una masasuficiente de monotamaño, siendo conveniente tener equipos de tamizado que utilicentamices mayores que los standard de ocho pulgadas (por ejemplo, un sistema Tylab de18 pulgadas cuadradas o un tamiz vibratorio Derrick de 1.5 x 4 pies).

Se toma una muestra de este material y se somete a una prueba de tamizado en“blanco”, con la misma cantidad de material y tiempo de tamizado que se usará en losensayos, utilizando los dos tamices que define el monotamaño. Es posible encontrar queuna pequeña fracción del material queda retenido en el tamiz de mayor tamaño. Estepuede ser considerado como “del tamaño” sin mayor error. También por lo general seencuentra que algún porcentaje de material pasa el tamiz menor de la serie. Este material,que es “casi del tamaño”, tiene malas propiedades de harneado, porque debe golpear lasmallas con una orientación adecuada para poder pasar a través de ellos. Este materialque pasa a través del tamiz menor hasta el intervalo próximo puede erróneamente serclasificado como “quebrado”, aun cuando todavía no se ha aplicado trituración. Esteerror recibirá el nombre de error de tamizado incompleto y no debe ser mayor que 5%si se quiere obtener valores de B precisos (ver más adelante). Si la prueba se realizasolamente para obtener un valor de S, basta con que la cantidad del tamaño que seinvestiga forme una parte substancial de la muestra.

Cuando una cantidad adecuada de material del tamaño deseado ha sido preparadoy se ha ejecutado un análisis granulométrico en blanco, el molino de prueba se llena conla carga de bolas y de material deseado (más líquido si se estudia molienda húmeda),extendiéndolos uniformemente en el molino. Se muele el material a diversos tiempos,que son seleccionados para permitir que B sea calculado mediante datos de corto tiempoy S mediante datos de tiempo más largo (se debe contar las revoluciones del molino paraestar seguro que un determinado tiempo corresponde al número correcto de revolucionesdel molino). El contenido del molino se muestrea, efectuándose un análisis

123

granulométrico de la muestra. Luego el material puede ser retornado al molino para sermolido por un nuevo período o se puede usar una nueva carga de monotamaño, lo quefuese más conveniente. Para un molino grande la muestra puede ser demasiado pequeñapara requerir su retorno al molino, en cuyo caso la secuencia completa de tiempos demolienda puede ser efectuada inmediatamente con paradas para obtener muestras. Paramolinos pequeños, las muestras pueden ser obtenidas vaciando completamente elcontenido del molino a través de una malla gruesa para retener las bolas y dividiendo lacarga hasta obtener una muestra de tamaño adecuado. Para molinos más grandes, la tomade muestra directamente del molino detenido ha sido satisfactoria en molienda seca.

La mayoría de los molinos son buenos mezcladores por lo que se debe evitar unmanejo excesivo del material por cono y cuarteo u otro procedimiento, porque es muyposible que la muestra se “desmezcle” más que se mezcle. Para molienda húmeda, sinembargo, al detener el molino se produce una separación parcial inmediata del sólido ylíquido, con el material fino suspendido casi por completo en el líquido. En este caso esnecesario vaciar todo el contenido del molino, filtrarlo y secarlo. El material seco esentonces mezclado y muestreado para obtener una pequeña porción representativa.

Para la determinación de los valores de S, es necesario determinar solamente lafracción del material que queda del monotamaño luego de cada molienda, de modo talque basta utilizar un solo tamiz. Sin embargo, para determinar los valores de B esnecesario un análisis granulométrico completo y exacto después de un pequeño intervalode tiempo de molienda. Por otra parte, los valores determinados de S y B son utilizadospara obtener una predicción de la distribución granulométrica que se espera, para sercomparada con los datos experimentales y de este modo revisar la consistencia de losdatos. Para realizar esta comparación son necesarios análisis granulométricos completosde los productos. El estudio completo de un material específico, bajo un determinadoconjunto de condiciones experimentales, requiere medir los valores de S para tres, cuatroo cinco monotamaños iniciales, y obtener las distribuciones granulométricas resultantesde por lo menos dos de los tamaños iniciales.

Es ventajoso poder medir las variaciones de potencia del molino de prueba durantelas experiencias, ya que cambios inusuales de potencia indicarían irregularidades en lascondiciones del molino. Esto no es posible hacerlo midiendo el consumo eléctrico (Watts)del motor del molino si las pérdidas de energía en la transmisión contituyen gran partedel consumo, ya que en estas circunstancias la medida no sería suficientemente sensiblepara indicar variaciones en el consumo de potencia del molino.

Para materiales blandos que se desgastan rápidamente, o para materiales pegajosos,es mejor tamizar en húmedo a 400 mallas, seguido por un secado del material retenido yun tamizado en seco de acuerdo a un procedimiento adecuado. Si se dispone de un filtrode vacío, el material -400 mallas puede ser filtrado y recuperado. El tamizado en húmedoes más eficiente si la muestra se agita con líquido en una vasija grande, con un agentedispersante adecuado, si fuese necesario, y se le permite asentar. El líquido sobrenadantecontiene la mayoría de los finos que entonces pueden ser pasados fácilmente a través deltamiz con un lavado mínimo. El sólido asentado se vuelve a lavar si es necesario, se filtray seca y luego se tamiza en seco. Esto evita la incomodidad de utilizar grandes cantidadesde agua (u otro líquido) necesarios para lavar con rociado toda la muestra en los tamicesy conduce, además, a deshacerse de los finos adheridos a las fracciones de tamañomayores.

124

Por supuesto que es necesario usar el sentido común en la selección de lascantidades de muestras a tamizar, para evitar la obstrucción de los tamices. Una muestrade 50 a 100 gramos es adecuada para el tamizado de materiales cuyos tamaños estánpredominantemente en el rango de tamaños de 8 a 14 mallas, pero el peso de la muestradebe ser reducido cuando contiene materiales más finos. Una guía aproximada es que lacantidad de material menor a 325 mallas nunca debe exceder los 10 gramos. Por otraparte, si la mayoría de las partículas son de tamaño superior a las 8 mallas, debe utilizarseuna cantidad mayor de muestra. El procedimiento de tamizaje debe ser seleccionado demanera que sea un compromiso entre un tiempo suficiente para un tamizado completo yuno menor al que comienza a producir demasiada abrasión de las partículas y que conducea una distribución granulométrica demasiado fina. Generalmente es suficiente utilizarun tiempo de tamizado de 10 minutos, seguido por un cepillado de la malla de los tamicesinvertidos, para remover el material que obstruye las aberturas, seguido por otros 5minutos de tamizado. El procedimiento de tamizado debe acortarse para materialesfácilmente desgastables y alargarse para materiales pegajosos.

6.2. TECNICAS DE CALCULO

Designemos por w1(t) la fracción en peso de partículas del monotamaño enestudio. La molienda de primer orden da como resultado:

logw1(t) − logw1(0) = S1t ⁄ 2.3 (6.1)

Por lo tanto, un gráfico de w1(t), en escala logarítmica, versus t, en escala lineal, debeproducir una línea recta, ver Figura 6.1. El punto a tiempo cero se obtiene de la pruebade molienda en blanco y por lo tanto permite corregir automáticamente por errores entamizado incompleto del monotamaño. No es correcto trazar una línea que pase por ceroa t = 0, a menos que la prueba en blanco muestre que no hay error de tamizado incompleto.De la Figura 6.1 se desprende que los tiempos para los ensayos de molienda varían segúnlas características de cada monotamaño; idealmente ellos deben ser seleccionados paradar una secuencia de valores de w1 de aproximadamente 0.8, 0.5, 0.1 y 0.05. El valor deS se determina de la pendiente de la recta. Graficando los valores de Si obtenidos paracada monotamaño xi versus xi en una escala log-log, se puede determinar el valor de a yα de las ecuaciones (5.1) y (5.2). Es a menudo necesario “preacondicionar” la alimen-tación al molino por medio de una corta molienda para eliminar todo material normal-mente débil que pudiera falsear los resultados. Generalmente este tipo de heterogeneidadda líneas rectas en los gráficos de primer orden, pero que comienzan a valores muchosmenores de w1(0) =1 para t=0 y falsean las distribuciones de tamaño, especialmente delos finos. El tiempo de preacondicionamiento debe ser determinado experimentalmente,pero generalmente 0.5 minutos son suficientes.

Por definición de los valores B, éstos son deducidos de la distribucióngranulométrica para tiempos cortos de molienda, cuando la carga del molino estáconstituida predominantemente por el tamaño x1 y solamente cantidades menores detamaño más pequeño. Así se asegura que éstos no sean retriturados. Mientras máspequeña es la cantidad de material de tamaño x1 quebrado, más precisos son los cálculosde B, especialmente si la corrección por tamizado incompleto es también pequeña. Esdifícil efectuar un tamizado y pesado en forma adecuada para el material de tamaño x1

125

molido, si éste constituye solamente un pequeño porcentaje del total, sin embargo, unanálisis muy cuidadoso puede dar resultados excelentes bajo estas circunstancias. Comohemos ya mencionado, la molienda inicial es a menudo anormal y cuando esto se observa,la alimentación debe ser preacondicionada como se discutió anteriormente. Laexperiencia sugiere que se puede obtener buenos resultados cuando se selecciona eltiempo de molienda en forma tal que la cantidad de material de tamaño x1 molido sea deaproximadamente un 20% a 30% del total.

Sin embargo, en estas condiciones de molienda es seguro que ha habido un ciertogrado de refractura y, por lo tanto, es necesario introducir una corrección. Una técnicade cálculo, denominada Método BI, consiste en medir las distribuciones granulométricascomo función del tiempo y extrapolar para tiempos cercanos a cero. Entonces pordefinición los valores de B se calculan en la forma:

Método BI : b2,1 ≈ peso que llega al tamaño 2, para t → 0peso eliminado de tamaño 1, para t → 0

(6.2)

Desafortunadamente, es difícil obtener distribuciones granulométricas correctas parapequeños grados de fractura y resulta tedioso hacer pruebas cuidadosas a varios tiempos

Figura 6.1 : Gráfico de primer orden para: 16/20, 40/50, 4/6, 140/200 mallas de clinker de cemento.

126

cortos para permitir una extrapolación a tiempo cercano a cero. La extrapolación a tiempocero desde tiempos más largos está sujeta a errores sistemáticos grandes, incluso cuandoP(xi,t) versus t parece ser lineal a tiempos grandes.

Para corregir por la fractura secundaria se utiliza un segundo método, denominadoMétodo BII [6.1].

Método BII : Bi,1 ≈ log[(1 − Pi(0)) ⁄ (1 − Pi(t))]log[(1 − P2(0)) ⁄ (1 − P2(t))]

, i > 1 (6.3)

En general, si el tamaño superior se denota con j, la ecuación (6.3) puede ser expresadacomo :

Bi, j ≈ log[(1 − Pi(0)) ⁄ (1 − Pi(t))]

log[(1 − Pj + 1(0)) ⁄ (1 − Pj + 1(t))] , i > j (6.3a)

Que este procedimiento de corrección funciona bien para molienda en molino de bolasha sido comprobado por Austin y Luckie [6.1], quienes utilizaron valores típicos de S yB para calcular distribuciones granulométricas de una molienda discontinua a variostiempos y después aplicaron las técnicas de cálculo BI y BII a los datos simulados. Comolas distribuciones granulométricas son exactas, no existen errores experimentales en lascurvas y una comparación de los valores de B calculados con los valores “verdaderos”conocidos da una medición del error en las técnicas aproximadas de cálculo. El métodoes apropiado sólo para tiempos de molienda cortos, en los que la cantidad de monotamañofracturada es menor que el 30%. Si el material se tritura por tiempos más prolongadoslos valores de B calculados mediante la ecuación (6.3) resultan demasiado grandes.

Obtener buenos valores experimentales de B es la parte más difícil de las pruebaspara el cálculo de S y B, porque es necesario (como se mostró arriba) utilizar un pequeñogrado de molienda para evitar una fractura secundaria excesiva, y es necesario utilizarun monotamaño como alimentación. Sin embargo, los ensayos a tiempos de moliendacortos son a menudo aquellos en que es difícil de obtener buenos resultados debido a laexistencia de componentes débiles en el monotamaño y a errores experimentales.Consecuentemente, el resultado que se muestra en la Figura 6.2 es bastante común:ensayos repetidos de la determinación producen una banda de resultados para B y losvalores de B obtenidos por una prueba no son exactamente repetibles en otra. Por lo tanto,errores que resultan en la aproximación del método BII son dominados por laincertidumbre que se produce debido a la variabilidad experimental. A menudo sepresenta el caso que las distribuciones granulométricas del producto son paralelas paratiempos diferentes, como se observa en la Figura 4.1. La pendiente de las partes rectasde las distribuciones granulométricas puede ser utilizada como guía para trazar lainclinación correcta a través de los puntos de figuras como la Figura 6.2.

Estos métodos de cómputo para B se basan en un efecto de compensación que seaplica como una aproximación solamente para la fractura normal, en la región hacia laizquierda del máximo de Si que se muestra en las Figuras 4.4 y 4.5. Para la fracturaanormal, hacia la derecha del máximo de Si, es necesario utilizar el método BIII [6.1] querequiere estimaciones de las velocidades de fractura específica. En esta región los valoresde B no son usualmente normalizables.

127

Algunos materiales producen valores de B no-normalizables incluso en la regiónde fractura normal. Esto ha sido observado para algunas escorias de cemento y puedeestar asociado a la naturaleza altamente porosa de las partículas mayores. La Figura 6.3muestra el resultado típico para un material en que los valores de B son inequívocamenteno-normalizados. Para molienda en molino de bolas, siempre hemos encontrado que losvalores de B son no-normalizables de la misma manera que se muestra en esta figura.Esto es, mientras más pequeño es el tamaño fracturado más fina es la correspondientedistribución adimensional de B, cuando valores de B no-normalizables se encuentran enla región de fractura normal. Austin y Luckie [6.2] han descrito una técnica paracaracterizar tales distribuciones. La forma de los valores de B se puede describir biencomo la suma de dos funciones de potencia (que aparecen como dos líneas rectas en eldiagrama log-log (ver Figura 6.3); esto es,

Bi,1 = Φ1(xi − 1 ⁄ x1)γ + (1 − Φ1)(xi − 1 ⁄ x1)

β , i > 1 (6.4)

donde Φ es la intercepción que se muestra en la Figura 6.3 y γ es la pendiente de laparte fina de la distribución. Como γ y Φ 1 son estimados desde el diagrama, el últimotérmino del lado derecho de la ecuación (6.4) se calcula y grafica para dar el valor de β.

La Figura 6.4 da la variación de Φ i con el tamaño xj:

Figura 6.2 : Función distribución de fractura primaria, en triplicado, para moliendahúmeda de cuarzo en un molino de laboratorio.

128

logΦj = − δ log(xj ⁄ x1) + logΦ1 (6.5)

donde xj es el tamaño superior del intervalo que se considera, -δ es la inclinación(δ > 0) para la molienda en molino de bolas de la línea en la Figura 6.4, Φ1 es laintercepción medida para el tamaño x1. Entonces, las ecuaciones (6.4) y (6.5) son unarepresentación matemática empírica de los valores de B, con parámetros γ, β, δ y Φ1.Para valores de B normalizados, δ=0. La ecuación (6.5) puede ser utilizada para extrapolarsolamente hasta Φj = 1 y entonces es usualmente suficiente tomar Φ1 = 1.0 para losvalores mayores de j (tamaño xj más pequeños).

Hasta la fecha, cada vez que hemos ejecutado una extensión cuidadosa de lasdistribuciones granulométricas hasta tamaños menores a los de tamizado, para lamolienda de primer orden y teniendo en cuenta las diferencias de factores de forma, hemosconcluido que los resultados están de acuerdo con las predicciones obtenidas de la

Figura 6.3 : Valores experimentales de la función B para Clinker de Cemento delTipo II, para varios tamaños de alimentación.

129

extensión de las funciones de potencia de los parámetros S y B a tamaños menores(ecuaciones (5.1) y (6.1), ver Figura 4.1). Como regla general, si la forma de ladistribución granulométrica cambia cerca o en el tamaño en el cual se cambia de métodode análisis granulométrico, el cambio de inclinación debe ser considerado comosospechoso.

6.3. RETRO-CALCULO DE LOS PARAMETROS DE FRACTURADESDE DATOS DE MOLIENDA DISCONTINUA

En esta sección se describe las técnicas para la determinación indirecta de losvalores de S y B por retro-cálculo desde datos experimentales. La base de esta técnica esla utilización de un programa computacional de búsqueda para encontrar los valores delos parámetros característicos de S y B que hacen que los resultados simulados por elmodelo del molino se acerquen lo más estrechamente posible a un conjunto de datosexperimentales de laboratorio, planta piloto o planta industrial. Las ventajas del métodode retrocálculo son: (i) utiliza simultáneamente todos los datos disponibles en el cálculoy por lo tanto distribuye los errores; (ii) puede ser utilizado con datos limitados,reduciendo así la necesidad de una gran cantidad de trabajo experimental; (iii) puede seraplicado a datos de molienda continua industrial (ver más adelante). La mayor desventajaes que se fuerza a los datos a ajustarse a las suposiciones del modelo propuesto, no siendosiempre posible detectar cuando algunas de estas suposiciones no son válidas.

Figura 6.4 : Interacción en los gráficos de B como función del tamaño fracturado.

130

Si se considera los resultados que se muestra en la Figura 4.1, está claro que losresultados simulados están de acuerdo con los resultados experimentales con bastanteprecisión. Esto significa que la solución de las ecuaciones de molienda discontinua conun apropiado conjunto de valores de S y B predice con gran exactitud los datosexperimentales de la molienda discontinua. Entonces, debe ser posible realizar el procesoinverso: dado un conjunto de datos experimentales determinar que valores de S y B queson necesarios para generar estos datos por simulación.

Los programas desarrollados por Klimpel y Austin [6.3, 6.4] utilizan suposicionessimplificadas sobre las formas funcionales de S y B con respecto al tamaño de partícula,para reducir el número de parámetros en la búsqueda. En una opción, las formasfuncionales escogidas para los valores de S y B son:

Si = A(xi ⁄ x1)α n > i ≥ 1 ,

Bi,1 = Φ1(xi − 1 ⁄ x1)γ + (1 − Φ1)(xi − 1 ⁄ x1)

β , n ≥ i > 1

Luego, si se supone que B es normalizable, se reduce los parámetros desconocidos α , A,γ, β y Φ1. Para valores de B no-normalizados:

Φj = Φk(xj ⁄ xk) − δ , δ > 0, Φj ≤ 1 ,

que introduce el paramétro adicional δ. Para valores de S que pasan por un máximo conrespecto al tamaño:

S1 = A(xi ⁄ x1)αQi

donde los factores de corrección Qi son descritos por la distribución log-logística de dosparámetros:

Qi = 11 + (xi ⁄ µ)

Λ , Λ > 0

Por lo tanto se introduce dos parámetros más, µ y Λ.

Para obtener valores confiables de los parámetros de B, Φ1, γ , δ y β , desde datosde molienda discontinua, es necesario utilizar datos experimentales de tiempos cortos demolienda de monotamaños. Para obtener un valor adecuado para el parámetro α esnecesario tener datos experimentales de tiempos de molienda más largos. Por lo tanto,los datos de la Figura 4.1 son el tipo de datos necesarios para obtener valores retro-calculados confiables del conjunto completo de parámetros.

El programa A se basa en la solución de Reid [6.5] del conjunto de ecuaciones dela molienda continua, modificada por Gardner, Verghese y Rogers [6.6]:

131

pi = ∑ j = 1

i

aij ej , n ≥ i ≥ 1 (6.6)

con :

aij =

fi − ∑ k = 1, i > 1

i − 1

aik , i = j

1Si − Sj

∑ k = j

i − 1

Skbikakj , i > j

ej = ∫ 0

∞

ϕ(t) exp( − Sjt) dt

Para la molienda discontinua (flujo pistón):

ej = exp(−Sj t)

Se supone que los valores de Si y Bij tienen las formas que se dió anteriormente. Por lotanto los parámetros descriptivos son A, α, µ, Λ, Φ, γ, β y δ.

La entrada del programa consiste en un mínimo de tres distribucionesgranulométricas, incluyendo la alimentación a t = 0 y los valores a dos tiempos t1 y t2

en la forma de valores P(xi,t). El programa busca el mejor conjunto de valores deα, β, γ, S1 y Φ1 que minimice el error entre los valores de p(xi,t) calculados yexperimentales, suponiendo una fractura de primer orden perfecta. La función objetivoutilizada es:

Min SSQ = ∑ k∑ i = 1

n

wi [pi (experimental ) − pi (calculado)]2

(6.7)

donde la suma sobre k es para todos los pares de tiempo t=0 y t1, t=0 y t2, etc. Los detallesdel resto del programa son semejantes a los del Programa B que se discutirá más adelante.Los factores de ponderación wi dependen de la estructura de errores de los datos, la quese determina haciendo réplicas de las pruebas de molienda discontinua (ver más adelante).

El procedimiento para determinar los parámetros descriptivos es como sigue:

(1) Se hace ensayos con un tamaño de alimentación que dé en forma segura una fracturanormal, esto es, un tamaño a la izquierda del máximo en S versus x. Se muele elmaterial por un mínimo de cuatro tiempos, obteniendo las distribucionesgranulométricas para cada uno de estos tiempos. A partir de estos datos se usa el

132

programa de retro-cálculo para determinar los parámetros, β, γ, Φ1 y A,haciendo δ = 0. El programa requiere estimaciones iniciales de los parámetros: laestimación inicial de A (=S1) se obtiene del gráfico de primer orden; γ, Φ1 y β se loscalcula del gráfico BII y del gráfico de variación de S1 con el tamaño de partícula, ohaciendo α = γ . Normalmente los valores de A, y β no se apartan mucho de estosvalores calculados y los resultados son insensibles a los valores de β. Los tiemposde molienda se seleccionan para dar distribuciones granulométricascorrespondientes, aproximadamente, a las de las distribuciones de 1/3, 2, 5 y 15minutos de la Figura 4.1, porque los datos de tiempo corto permiten un cálculo másconfiable de A y B, y los datos de tiempo prolongado aumentan la confiabilidad delcálculo de α. Los valores de B son más confiables cuando la alimentación consistesolamente en un monotamaño.

(2) Los cálculos son repetidos con δ como variable y la suma de cuadrados (SSQ)correspondiente al δ óptimo se compara con la SSQ con δ=0 mediante el test F paracomprobar si la adición de la variable δ produjo un mejoramiento estadísticamentesignificativo. Si este no fuese el caso se hace δ=0.

(3) Se elige una alimentación de tamaño mayor tal que se encuentre a la derecha delmáximo de S y se muele por lo menos a cuatro tiempos, produciendo cuatrodistribuciones granulométricas.

(4) Los valores de α, β, γ y δ previamente determinados, junto a Φ1 y A, todosescalados para el nuevo monotamaño, se utilizan como datos fijos en el programa deretro-cálculo y la búsqueda se hace solamente por µ y Λ .

La posibilidad de ajustar uno o más de los parámetros durante la búsqueda hademostrado ser muy valiosa porque: (a) permite mantener en su valor correcto aquellasvariables que se conocen en forma precisa de la experimentación; (b) permite investigarla sensibilidad de cualquiera de los parámetros en función de cambios controlados deotros parámetros. En particular, los valores de Bij para los tamaños mayores pueden serdiferentes de los valores normales, de modo que es conveniente suministrar una matrizconocida de valores de Bij para determinar buenos valores para µ y Λ . Se debe hacernotar que este programa impone una ley de primer orden sobre cualquier resultado queprovenga de una cinética de orden distinto del primero obtenido con tamaños mayores,de modo tal que µ y Λ son valores promedio efectivos que se basan en una cinética deprimer orden. No es novedad por lo tanto, que simulaciones de los resultados no puedenreproducir muy exactamente, en este caso, los valores experimentales para la moliendadiscontinua, porque la fractura de los tamaños mayores no es necesariamente de primerorden. Sin embargo, el uso subsecuente de los parámetros para simulaciones de molinoscontinuos, donde la alimentación que entra al molino tiene una distribucióngranulométrica completa, con pequeñas fracciones de tamaños mayores, ha demostradoser bastante exitosa.

También se debe notar que el programa de retro-cálculo de S y B para la moliendadiscontinua está diseñado específicamente para operar con datos de ensayos que utilizan

133

un monotamaño de alimentación. Cuando se aplica a datos con una amplia distribucióngranulométrica existe normalmente demasiado error experimental para esperar obtenervalores correctos de los parámetros B, porque entonces el cambio de la distribucióngranulométrica con el tiempo se hace insensible a los valores de γ, β y Φ. En este casose puede fijar Φ =0.5 y β =4.

6.4.RETRO-CALCULO DE LOS PARAMETROS DE FRACTURADESDE DATOS DE MOLIENDA CONTINUA

Lynch et al. [6.7], Kelsall et al. [6.8] y Everell et al. [6.9] han desarrollado variasformas de retrocálculo aplicable a datos de plantas industriales, haciendo los cálculos deSi intervalo por intervalo, donde S1 se determina primero y luego es utilizado en el cálculode S2, etc. Sin embargo, Austin y Klimpel [6.4] prefieren utilizar formas funcionales paraSi de modo de evitar la acumulación de errores. Ellos tienen dos programas diferentespara el retrocálculo desde datos de molinos continuos [6.4], ambos escritos en Fortran IV,con entrada y salida semejantes y utilizando el mismo algoritmo de búsqueda del óptimo.

El Programa A es utilizado ya sea para el retrocálculo desde datos de moliendadiscontinua, discutida anteriormente, o para un “Circuito Abierto”. “Circuito Abierto”significa aquí que la distribución granulométrica de la alimentación al molino y elproducto de éste son los valores experimentales; si el molino está en “Circuito Cerrado”,se estima la razón de recirculación de la manera usual y la distribución granulométricade la alimentación al molino se determina a partir de la alimentación fresca y de la cargacirculante.

La distribución de tiempos de residencia (DTR) se introduce vía el vector devalores ej. Hay disponibles seis opciones: (i) flujo pistón, para ser utilizada para lamolienda discontinua; (ii) mezcla perfecta, (iii) serie de m reactores completamentemezclados de igual tamaño; (iv) modelo de un reactor grande seguido de dos pequeños;(v) modelo de Rogers/Gardner [6.10] y (vi) modelo semi-infinito de Mori et al. [6.11]. Seha encontrado que si la DTR de un molino, determinada experimentalmente se ajusta alas DTR que resultan de alguno de esos modelos, entonces ese modelo debe ser utilizadoen la computación. Se debe reconocer que el material retenido en un molino normalmenteno se determina en una prueba industrial, excepto cuando se efectúa una medida de laDTR. Sin embargo, se puede suponer que la forma de la DTR adimensional es similar ala que se puede medir para molinos semejantes, por lo que se puede calcular un tiempode residencia promedio formal, suponiendo que el material retenido corresponde a unllenado intersticial completo de la carga de bolas (U=1.0). El valor de α obtenido porretro- recálculo no cambia al variar τ y el valor de τ formal produce un valor formal deA.

El programa tiene la ventaja de su flexibilidad en la selección de la distribucióndel tiempo de residencia. Sin embargo, la solución Reid tiende a volverse inestable cuandoexiste un número de términos en que Si-Sj se vuelve pequeño. Esto es particularmenteverdadero cuando se intenta utilizar todas las distribuciones granulométricas, alrededorde un circuito cerrado, en la función objetivo. Por esta razón se desarrolló un segundoprograma con un método completamente estable.

134

En el programa B se utiliza el algoritmo de un molino en circuito cerradodesarrollado por Luckie [6.12] para una DTR correspondiente a tres reactoresperfectamente mezclados y distintos en serie. Con una selección apropiada deτ1, τ2, y τ3, en que el tiempo de residencia promedio total es τ = τ1 + τ2 + τ3, este modelode DTR puede representar claramente uno, dos o tres reactores completamente mezcladosiguales, un reactor grande seguido por dos pequeños iguales o tres reactores distintos,todos ellos completamente mezclados en serie. Weller [6.14] ha indicado que las DTR quese ha medido en varios molinos industriales de gran escala se las puede aproximarrazonablemente con el modelo de un reactor grande seguido por dos pequeños iguales.La función objetivo que se utiliza en este caso es:

Minimizar F = W1 ∑ w1i (qi obs − qi calc)2 + W2 ∑ w2i (fi obs − fi calc)2 +

W3 ∑ w3i (pi obs − pi calc)2 + W4 ∑ w4i (ti obs − ti calc)2 + (6.8)

W5 ∑ w5i (qi obs − qi calc)2 + W6 (C obs − C calc)

2

Generalmente los factores de ponderación W se toman como 1 ó 0 para facilitar el análisisestadístico; hasta cinco de ellos pueden ser puestos iguales a cero si se desea.

El retro-cálculo se hace normalmente fijando los parámetros de B en los valoresque se determinaron en el laboratorio y calculando A y α. Si hay tamaños grandes en laalimentación, el cálculo se repite con µ y Λ como variables adicionales para ver si seobtiene un mejoramiento estadístico significativo en el ajuste [6.4]. Finalmente, losparámetros de Φ y γ se introducen como variables adicionales (los resultados soninsensibles a β) y se prueba nuevamente el mejoramiento estadístico de ajuste. Elprograma también da valores de Si intervalo por intervalo para efectuar una comparación.

Los factores de ponderación apropiados para el análisis de datos de planta fuerondeducidos como sigue: La Tabla 6.1 muestra distribuciones granulométricas en triplicadoobtenidas por tamizado de datos de planta cuidadosamente repetidos. Cada muestra fueun compósito de muestras de suspensión tomadas a intervalos de cinco minutos en unperíodo de 30 minutos de operación continua; los tres compósitos fueron obtenidos almismo tiempo. Se puede observar que los intervalos granulométricos que contienenmayores cantidades de material producen valores más grandes de la varianza sinponderación Vi = (pi - pi

__)2/3 donde pi

__ es el promedio aritmético de pi. La graficación de

la varianza no ponderada versus pi

__ en una escala log-log sugiere que Vi ∝ pi

__, de modo

que factores de ponderación wi = 1/ pi

__ dan una distribución aleatoria de errores

ponderados, definidos por ( pi − pi__

)2 ⁄ pi

__. La varianza media de estos errores ponderados

definida por:

V = ∑ k

∑ i

[( pi − pi

__ )

2 ⁄ pi

__ ]

n(k − 1)(6.9)

135

resultó ser 4x10-4 para este conjunto de datos. Se supone que los mismos factores deponderación son aplicables a todas las distribuciones granulométricas utilizadas en elcálculo de un circuito cerrado y que la varianza promedio se calcula por medio de réplicasde todas esas distribuciones. Otro conjunto de datos dió una varianza ponderada promediode 16x10-4, 11x10-4, 8x10-4 y 4.5x10-4 ,dependiendo del cuidado para obtener buenasmuestras granulométricas para calcular la varianza. Un procedimiento similar aplicado auna prueba de molienda discontinua en húmedo de cuarzo, en un molino de 200 mm dediámetro interior por 1, 3, 7 y 15 minutos produjo los mismos factores de ponderación yuna varianza promedio total de 3x10-4.

Klimpel y Austin [6.4] dan un número de ejemplos para ilustrar los problemas delretro-cálculo de valores a partir de datos industriales. Ellos concluyeron que:

(i) El retro-cálculo, intervalo por intervalo, raramente proporciona valores correctos de Sipara los tamaños superiores y pequeños errores en las medidas de los tamaños finosdan grandes errores en los valores de Si obtenidos intervalo por intervalo para estostamaños.

(ii) El retro-cálculo, suponiendo que un molino de bolas se comporta como un mezcladorperfecto, produce valores de Si radicalmente incorrectos (el valor de α esdemasiado grande), cuando se los aplica a datos de un molino de bola con un DTRreal.

Tabla 6.1Réplicas de datos (en triplicado) de la molienda industrial de un mineral de cobre.

Intervalo detamaño

Producto de la moliendapeso, pi

fracción en Promediopi__ Varianza sin

ponderación x104

1 0.010 0.008 0.001 0.0097 0.0232 0.008 0.009 0.012 0.0097 0.0433 0.026 0.031 0.028 0.0283 0.0634 0.049 0.054 0.052 0.0517 0.0635 0.076 0.082 0.084 0.0807 0.1736 0.084 0.094 0.089 0.0890 0.2507 0.095 0.106 0.103 0.1013 0.3238 0.101 0.104 0.095 0.1000 0.2109 0.092 0.093 0.087 0.0907 0.103

10 0.083 0.079 0.077 0.0797 0.09311 0.084 0.076 0.078 0.0793 0.17312 0.062 0.057 0.059 0.0593 0.06313 0.041 0.036 0.044 0.0403 0.16314 0.045 0.037 0.042 0.0413 0.16315 0.032 0.034 0.026 0.0307 0.17316 0.113 0.100 0.113 0.1087 0.563

136

(iii) En presencia de errores experimentales típicos no es posible deducir que la DTR deun reactor perfectamente mezclado es incorrecta (esto es, que el modelo esinadecuado). Los valores incorrectos de Si reproducirán la distribucióngranulométrica del producto del molino, sin embargo, la utilización de los valoresincorrectos de Si a cualquier otro flujo de alimentación producirá predicciones dela distribución granulométrica del producto radicalmente incorrectas.

(iv) La utilización de una DTR más cercana al flujo pistón que al DTR correcto da un αdemasiado pequeño y vice versa.

(v) El uso de los valores de B con un γ menor que el valor correcto produce un αdemasiado grande y vice versa.

(vi) En el retro-cálculo se debe utilizar el mayor número posible de distribucionesgranulométricas del circuito cerrado, ya que éste proporciona el rango más estrechode valores estadísticamente aceptables y da valores de α más en acuerdo conaquellos determinados por experimento directo.

6.5 REFERENCIAS

6.1 Austin, L.G. and Luckie, P.T., Powder Technol., 5(1972)215-222

6.2 Austin, L.G. and Luckie, P.T., Powder Technol., 5(1972)267-277.

6.3 Klimpel, R.R. and Austin, L.G., Int. J. of Mineral Processing, 4(1977)7-32.

6.4 Klimpel, R.R. and Austin, L.G., Powder Technol., 38(1984)77-91.

6.5 Reid, K.J., Chem. Eng. Sci., 29(1965)953-963.

6.6 Gardner, R.P., Verghese, K. and Rogers, R.S.C., Mining Engineering, 239(1980)81-82.

6.7 Lynch, A.J., et al., Mineral Crushing and Grinding Circuits, Elsevier (1977).

6.8 Kelsall, D.F., Reid, K.J. and Restarick, C.J., Powder Technol., 1(1967/68)291-300.

6.9 Hodouin, D., Berube, M.A. and Everell, M.D., Industrie Minerale Mineralurge, (1979)29-40.

6.10 Rogers, R.S.C. and Gardner, R.P., A.I.Ch.E. Journal, 25(1979)229-240.

6.11 Mori, Y., Jimbo, G. and Yamazaki, M., Kagaku Kogaku, 29(1964)204-213.

6.12 Luckie, P.T. and Austin, L.G., Mineral Science and Engineering, 4(1972)24-51.

6.13 Weller, K.R., Proceeding, 3rd Symposium Automation in Mining, Mineral and Metal Procesing, Int.Federation of Automatic Control, O’Shea J. and Polis, H., Eds.,(1980)303- 309.

137

138

CAPITULO 7

DISTRIBUCION DE TIEMPOS DERESIDENCIA

7.1. INTRODUCCION

La utilización de modelos macroscópicos como representación de la operación demolienda hace desaparecer la posición en el equipo como variable independiente. Todainformación respecto a la distribución espacial de propiedades del material en el molinose ha perdido y debe ser introducida mediante ecuaciones adicionales que describan elmovimiento de las diversas “partículas” (mineral y agua) que constituyen la carga delmolino. Esta información es menos detallada que la de un modelo microscópico ygeneralmente se expresa mediante propiedades estadísticas. Se ha demostrado en lapráctica que el conocimiento estadístico del tiempo de permanencia de las diversas“partículas” en el molino es suficiente para completar el modelo de la molienda contínua.Se ha elegido como parámetro representativo el tiempo de residencia de las partículasen el molino, describiendo el movimiento de éstas mediante la función de distribuciónde tiempos de residencia.

Desde un punto de vista teórico la función de distribución de tiempos de residenciade las partículas en un molino podría ser deducida de las ecuaciones que describen latranferencia de masa en el molino, la que está asociada al transporte de material desdeque entra hasta que sale del equipo. Desafortunadamente, los estudios de transporte demasa en los molinos no han progresado al punto de entregar información suficiente parasu predicción. Por esta razón, es necesario obtener la información de distribución detiempos de residencia en forma experimental.

En esta sección se definirán los conceptos de edad y tiempo de residencia de unapartícula, se describirán métodos para medirlos, se estudiarán diversos modelosmatemáticos que pueden representar las curvas de distribución de tiempos de residenciay las técnicas computacionales necesarias para determinarlos. Finalmente sedesarrollarán las ecuaciones que describen la molienda continua.

7.2. EDAD, DISTRIBUCION DE EDADES Y TIEMPO DERESIDENCIA.

Denominaremos edad de salida t de una partícula del material que escurre en elmolino al tiempo transcurrido entre el instante θ de entrada de la partícula y el instante tde salida de la misma, con − ∞ < θ < t, 0 < t < ∞ y t ′ = t − θ. Obviamente en unmolino existen partículas de diversas edades ya que no todas ellas pasan por el molino

139

a la misma velocidad. Es así como se puede definir una función de distribución de edadesde salida.

Consideremos un flujo másico constante de partículas F al molino y denominemosW la masa total constante de partículas retenida en el molino. Supongamos que podemosidentificar en la salida del molino los diversos grupos de partículas que tienen la mismaedad de salida. Si mi es la masa de partículas con edad t, mi/W será la fracción de partículasen el molino con edad t comprendida en el intervalo ti-1 ,ti, con i=1,2,..., n+1, to = 0, tn+1=∞ y W= ∑

i = 1n + 1 mi , la distribución de edades de salida o distribución de tiempos de

residencia (DTR) será ϕi, tal que se cumpla (ver Figura 7.1) :

ϕi Δti = mi ⁄ W (7.1)

Figura 7.1 : Representación discreta de la función DTR.

140

Se puede comprobar que ϕi está normalizada, ya que:

∑ i = 1

n + 1

ϕi Δti = 1W ∑

i = 1

n + 1

mi = 1 (7.2)

La distribución de tiempos de residencia también puede ser definida como unafunción continua del tiempo (ver Figura 7.2):

ϕ(t)dt = (1 ⁄ W)dm (7.3)

donde :

W = ∫ dm y ∫ 0

∞

ϕ(t)dt = 1 (7.4)

Una forma de caracterizar la función DTR es mediante la media y la varianza dela distribución. El valor medio, tiempo promedio de residencia o edad promedio desalida queda definido por:

t_ = ∫

0

∞

tϕ(t) dt, o t_ = ∑ ti ϕi Δti (7.5)

en que ϕ(t) o ϕi están normalizadas. Como se demuestra en la sección 7.4, el tiempopromedio de residencia, definido por la ecuación (7.5), resulta ser igual al parámetro:

τ = W ⁄ F = t_

La dispersión de la distribución queda medida por la varianza σ2:

σ2 = ∫ 0

∞

(t − t_)2 ϕ(t)dt = ∫

0

∞

t2 ϕ(t)dt − t_ 2 (7.6a)

o en forma discreta :

σ2 = ∫ 0

∞

(ti − t_)2 ϕi Δti = ∑ t i2 ϕi Δti − t

_ 2 (7.6b)

La función distribución de tiempos de residencia puede ser expresada en formaadimensional. Haciendo uso del tiempo promedio de residencia t

_ se puede definir el

tiempo adimensional t*= t / t_, tal que (ver Figura 7.2)

141

ϕ∗(t∗)dt∗ = ϕ(t)dt

y como dt* = dt/ t_ resulta:

ϕ∗(t∗) = t_ ϕ(t) (7.7)

La varianza adimensional será:

σ∗2 = σ2 ⁄ t_ 2 = t∗2 ∫

0

∞

ϕ∗(t∗)dt∗ − 1 (7.8)

Figura 7.2 : Representación continua de la función DTR en forma dimensional yadimensional para un molino industrial de barras de 3 x 4.25 m.

142

7.3.MEDICION EXPERIMENTAL

La función DTR puede ser determinada experimentalmente mediante la adiciónde un trazador junto a la alimentación del molino. Un trazador es una pequeña porciónde una sustancia que se comporta en forma similar al material de alimentación y que poseeuna propiedad que lo distingue de él y que permite su detección a la salida del molino.Dependiendo del sistema se pueden utilizar trazadores cuya propiedad a medir es laconductividad, la absorbancia de la luz, la concentración de un determinado catión, laradioactividad u otra. Por esta razón diferentes trazadores requieren diferentes técnicasexperimentales. Entre los factores que deben ser considerados para la selección deltrazador para una determinada aplicación se puede mencionar (1) la disponibilidad deltrazador y del equipo de detección, (2) el límite de detección a baja concentración, (3)propiedades físicas similares a las del material que se transporta y (4) no debe reaccionarquímicamente ni debe absorberse en las paredes del equipo o en las partículas del material.

7.3.1.Trazadores utilizados en molinos industriales

En la molienda húmeda frecuentemente se supone que la densidad de la pulpa enel molino es igual a las de la entrada y salida del molino, y que la DTR de las partículassólidas es igual a la del agua. Bajo estas suposiciones basta determinar la DTR del agua,lo que se logra fácilmente usando cloruro de sodio (NaCl) como trazador y detectando laconductividad del agua a la salida del molino.En molinos industriales húmedos basta conlanzar un saco de papel conteniendo la sal directamente dentro del molino y tomarmuestras de la descarga, dejando decantar el sólido y midiendo la conductividad de lasolución. Otro trazador que se utiliza para determinar la DTR del agua en molinos es elsulfato de cobre, con determinaciones colorimétricas de las muestras y trazadoresradioactivos líquidos, con medición de la radiación emitida. La mayoría de los trazadoresradioactivos líquidos se obtienen por irradiación directa de sales y otros compuestos enun reactor nuclear y son emisores de radiación gamma. Ejemplos de este tipo de trazadorse dan en la Tabla 7.1.

La suposición de que la DTR del agua es igual a la de las partículas en un molinohúmedo no es correcta, como se verá más adelante, por lo que en general es convenienteconocer la DTR del sólido además de la del agua. Por otra parte, en la molienda seca sedebe determinar siempre la DTR de las partículas sólidas. Dos métodos sonfrecuentemente usados para marcar partículas sólidas: el teñido con fluorescina y lairradiación nuclear.

El método más antiguo, utilizado en la molienda seca de clinker de cemento [7.2],es el que usa fluorescina. Se utiliza aproximadamente 1 g de fluorescina por tph decapacidad del molino, disolviéndola en 1.5 veces su peso en agua. Diez gramos de clinkerse someten a vacío en una bolsa de plástico, admitiendo luego la solución de fluorescinade modo que ésta queda incorporada como una capa en los poros internos del clinker. Labolsa se arroja dentro del molino y se toma muestras del polvo que sale de él. Elcontenido de fluorescina de cada muestra se determina agitando 2 g de muestra con 50cm3 de agua por 30 segundos, dejando sedimentar el sólido por dos minutos y filtrando.El líquido se coloca en un tubo Nessler y se mide la intensidad comparando visualmentecon la solución normalizada, o se determina la concentración con un fotofluorímetro(nefelómetro) que permite detectar 1 parte de fluorescina por 108 partes de muestra.

143

Para molinos industriales húmedos, el trazador más confiable de las partículassólidas es una porción del mismo material de alimentación irradiado en un reactor nuclear,lo que produce la activación de uno o más elementos que forman parte del mineral. Deesta forma el comportamiento del trazador será idéntico al del mineral que se muele ytransporta en el interior del molino. Dependiendo del objetivo del estudio se puedeseleccionar como trazador una muestra de una distribución granulométrica característicadel mineral de alimentación o bien una fracción de una granulometría determinada (finos).En cuanto a la variable a medir se puede seleccionar la energía gamma proveniente deuno de los isótopos en particular o bien medir el total de radiación gamma emitida porla muestra.

7.3.2.Método experimental de inyección y medición de un trazadorradioactivo

Como se verá en la sección siguiente, es conveniente introducir el trazador, juntoa la alimentación al molino, en forma de un impulso. Esto se consigue mediante unamasa o volumen de trazador muy pequeña adicionada en un intervalo de tiempo muycorto (comparado con el tiempo promedio de residencia) de modo que no perturbe el flujode material que entra al molino. Los métodos más utilizados para efectuar una inyecciónpuntual, y cuya elección depende del diseño del circuito de molienda y del acceso al lugarde inyección, son [7.1]: (1) volcar un frasco que contiene el trazador en la alimentacióndel molino, (2) romper por impacto un frasco de vidrio (o saco) que contiene el trazadordirectamente en la alimentación del molino, (3) inyectar un trazador líquido directamenteen la alimentación mediante un método hidráulico-neumático (jeringa).

La mayoría de los trazadores radioactivos utilizados para medir la DTR en molinosson emisores de radiación gamma. Por esta razón lo más común es utilizar detectores deNaI(Te) [7.1, 7.3 - 7.5]. La medición se puede efectuar montando los detectores en línea en

Tabla 7.1Propiedades de isótopos radioactivos líquidos [7.1]

Radio-isótopos Material blanco Reacción nuclear Vida media

EnergíaMeV

82 Br KBr óNH4Br

81 Br(n,γ) 82 Br 36.0 h 0.55 y 1.47

24 Na NaCl óNa2CO3

23 Na(n,γ) 24 Na 15.0 h 1.37 y 2.75

51 Cr Cromometálico

50 Cr(n,γ) 51 Cr 27.8 d 0.325

64 Cu Cobremetálicoó CuO

63 Cu(n,γ) 64 Cu 12.8 h 0.51

198 Au Orometálico

197 Au(n,γ) 198 Au 2.7 d 0.41, 0.68, 109

59 Fe Fe2O3 58 Fe(n,γ) 59 Fe 45.6 d 1.1 y 1.29131 I Teluro

metálico130 Te(n,γ) 131 Fe 8.06 d 0.364

144

la descarga del molino, conectándolos a un equipo electrónico que permita fijar el tiempode medición y un intervalo de espera y registrando o imprimiendo los valores de tasa deconteo. Este método se debe utilizar cada vez que sea posible y cuando la descarga delmolino es de difícil acceso y no permite la toma de muestras. Cuando hay limitacionesen cuanto a la actividad a inyectar, o cuando la dilución en el molino es muy alta, puedesuceder que la medición en línea no sea capaz de detectar el trazador con buenasensibilidad. En estos casos se puede recurrir a la medición mediante muestreo. Estaconsiste en realizar un muestreo discreto de la descarga del molino a intervalos de tiempodeterminados (cada 15 segundos durante los 3 primeros minutos, cada 30 segundos hastalos 8 minutos, cada minuto hasta los 13 minutos y cada 2 minutos hasta completar 20minutos), tomando luego 5 litros de muestra de pulpa, filtrando y separando 400 mililitrosde líquido y 1.80 gramos de sólido seco de cada muestra. Luego, se mide la actividad decada una con un detector de NaI(Te) conectado a un analizador multicanal, el que permiteseparar los picos de diferentes energías, lo que hace posible la medición simultánea eindependiente de isótopos diferentes. Para asegurar que se ha detectado toda la cola dela curva de DTR es necesario que el tiempo total de muestreo sea igual o mayor que 5veces el tiempo promedio de residencia [7.1].

7.3.3.Medición de DTR en un molino en circuito abierto

Consideremos el molino mostrado en la Figura 7.3. Supongamos que se agregauna cantidad Mo de trazador en la alimentación al molino, en un intervalo de tiempo de(0, ∞), siendo CF(t) la concentración de trazador en la entrada, y que éste sale del molinoen el mismo intervalo (0, ∞) a la concentración CP(t). El balance de masa da:

M0 = ∫ 0

∞

FCF(t)dt = ∫ 0

∞

FCP(t)dt (7.9)

Figura 7.3 : Determinación de la función DTR en un molino en circuito abierto, Q =F es la alimentación en ton/h.

145

Si suponemos que la función ϕ(t) es la misma para todas las partículas sólidas inde-pendientemente de su tamaño, el balance de masa para el trazador se puede expresar enla forma:

Material que sale del Material que entra al Fracción de este molino en el intervalo molino en el intervalo material que sale de tiempo entre t = de tiempo entre θ y con edad t − θ y t+dt con edad t′. θ + dθ, con 0 < θ < t. entre t y t+dt.

donde t′ = t − θ.

Entonces:

F(t)CP (t) dt = ∫ 0

t

F(θ) CF(θ) ϕ(t − θ) dθdt

Simplificando y suponiendo estado estacionario

CP(t) = ∫ 0

t

CF(θ) ϕ(t − θ) dθ (7.10)

Mediante un cambio de variable es fácil demostrar que esta expresión es equivalente a:

CP(t) = ∫ 0

t

CF(t − θ) ϕ(θ) dθ (7.11)

La integral de la ecuación (7.11) se denomina convolución y se dice que CP(t) es laconvolución de ϕ con CF, y se escribe en la siguiente notación simplificada:

CP(t) = ϕ ∗CF(t) (7.12)

Si el trazador se introduce al molino en un intervalo de tiempo muy pequeño, esteestímulo puede ser considerado una función impulso de Dirac:

CF(t − θ) = C0 δ(t − θ) (7.13)

donde

δ (t − θ) = 0 si θ ≠ t ,

∫ 0

∞

δ(t − θ)dθ = 1 ,

y la cantidad de trazador inyectada es:

146

M0 = FC0 , con C0 = ∫ 0

∞

CP(t)dt (7.14)

De las ecuaciones (7.11) y (7.13) resulta:

CP(t) = C0 ∫ 0

∞

δ(t − θ) ϕ(θ)dθ (7.15)

Usando la propiedad de la función delta de Dirac se obtiene:

CP(t) = C0 ϕ(t) (7.16)

Despejando ϕ(t) se puede concluir que, utilizando un impulso de Dirac como estímulode trazador en un molino, es posible obtener la función DTR directamente de los valoresde concentración según:

ϕ(t) = CP(t)

∫ 0

∞

CP(t)dt

(7.17)

No es necesario conocer el valor absoluto de CP(t) en la ecuación (7.16) paracalcular ϕ(t), sino que basta un valor proporcional, como por ejemplo, las fracciones decuentas n por segundo. Entonces la expresión (7.16) también se puede escribir en laforma:

ϕ(t) = n(t)

∫ 0

∞

n(t)dt

En lo sucesivo trataremos en forma idéntica las variables C(t) y n(t), ya que launidad en que se mide la concentración es irrelevante.

7.3.4.Medición de DTR en un molino en circuito cerrado

En los circuitos de molienda hay molinos que operan en circuito abierto, como losmolinos de barras, y otros, como los molinos de bolas, que generalmente trabajan encircuito cerrado. En presencia de recirculación el método experimental para determinarla función DTR descrito en la sección anterior debe ser modificado para permitir tomaren cuenta el trazador que es retornado al molino por el clasificador.

Consideremos el circuito de la Figura 7.4 y supongamos que la función DTR esϕM(t). Aplicando la ecuación (7.10) se obtiene:

147

CP(t) = ∫ 0

t

CF(θ) ϕM(t − θ)dθ

lo que equivale a:

CP(t) = ϕM(t) ∗ CF(t) (7.18)

Si el trazador se inyecta en forma de un impulso, la concentración del trazador enla alimentación del molino será la superposición del impulso inicial C0 δ(θ) y el pulsosecundario CR (θ) (medido en la alimentación del molino) debido al trazador recirculadodesde el clasificador. Entonces:

CF(θ) = C0 δ(θ) + CR(θ) (7.19)

donde C0 es la intensidad del impulso inicial dada por:

C0 = M0

(1 + C)Q = ∫

0

∞

CP(t)dt − ∫ 0

∞

CR(t)dt (7.20)

M0 es la cantidad total de trazador inyectado y Q es el flujo de alimentación fresca almolino.

Si la concentración del pulso secundario se mide antes de su mezcla con laalimentación, la ecuación (7.19) debe ser reemplazada por:

CF(θ) = C0 δ(θ) + CT(θ) C ⁄ (1 + C) (7.21)

Figura 7.4 : Determinación de la función DTR en un molino en circuito cerrado.F=Q(1+C) es la alimentación total al molino, Q es la alimentación fresca y C la razón

de recirculación.

148

ya que

CR (θ) = CT (θ) C ⁄ (1 + C) .

Reemplazando la ecuación (7.19) en la ecuación (7.18) resulta:

CP (t) = ϕM (t) ∗ C0 δ(t) + ϕM (t) ∗ CR (t) (7.22)

Como la señal del pulso secundario CR(t) no es una función analítica, es necesarioresolver la integral de convolución de la ecuación (7.22) en forma numérica. Uno de losmejores métodos se basa en la transformación de la ecuación (7.22) al dominio defrecuencia mediante la transformación de Fourier definida por [7.6].

F[C(t)] = ∫ − ∞

+ ∞

C(t) e − ωjt dt = C(ωj) (7.23)

donde e − ω j t = cos ωt − jsen ωt, 0 < ω < ∞ , t > 0. Reemplazando la ecuación (7.22)en la expresión (7.23) tenemos:

F [CP (t)] = F [ϕ M (t) ∗ C0 δ(t)] + F [ϕM(t) ∗ CR (t)]

Usando sobre esta expresión el teorema de convolución de Borel [7.6] resulta:

F [CP (t)] = F [ϕM (t)] + F [ϕM (t)]F [CR (t)]

o en forma equivalente:

CP (ωj) = ϕM (ωj)C0 + ϕM (ωj)CR (ωj) (7.24)

Despejando ϕM (ωj) de la ecuación (7.24) se obtiene:

ϕM (ωj) = CP (ωj)

C0 + CR (ωj) (7.25a)

= ∫ − ∞

+ ∞

CP (t) e− ωjt dt

C0 + ∫ − ∞

+ ∞

CR (t) e− ωjt dt

(7.25b)

Una ecuación semejante se puede obtener definiendo las integrales A, B, C y D enla forma:

149

A = ∫ 0

∞

CR (t) cos ωt dt, B = ∫ 0

∞

CR (t) sen ωt dt (7.26a)

C = ∫ 0

∞

CP (t) cos ωt dt, D = ∫ 0

∞

CP (t) sen ωt dt (7.26b)

Entonces las concentraciones CR y CF quedan expresadas por:

CR (ωj) = A − Bj, CF(ωj) = C − Dj

y por lo tanto:

ϕM(ωj) = C(A + C0) + BD(A + C0)

2 + B2 cosωt − BC − D(A + C0)(A + C0)

2 + B2 senωjt (7.27)

Midiendo CR(t) y CF(t) se puede calcular A, B, C y D para cada frecuencia en formanumérica usando algoritmos especialmente concebidos, entre los cuales se puede citar latransformada rápida de Fourier [7.7]. La función de distribución de tiempos de residenciaϕM(t) se obtiene usando la transformada inversa de Fourier [7.6]:

ϕM(t) = 12π

∫ 0

∞

ϕM(ωj) eωjt dω

= 1π

∫ 0

∞

[C(A + C0) + BD(A + C0)

2 + B2 cosωt − BC − D(A + C0)

(A + C0)2 + B2 senωt] dω (7.28)

La Figura 7.5 muestra un ejemplo de deconvolución de una función DTR para unmolino de bolas de 3.50 x 4.88 m en circuito cerrado [7.8].

Rogers [7.9] desarrolló un método para determinar la función DTR en molinos encircuito cerrado en el cual no es necesario medir la concentración CR(t) o CT(t) del trazadorrecirculado. El método es aplicable a cualquier circuito en el que el clasificador retornaal molino una fracción constante a (cortocircuito). Si el trazador consiste en una fracciónmuy fina del sólido de alimentación, una fracción constante a de este valor volverá encada instante al molino. El valor de CR(t) para t >0 será (ver Figura 7.4):

CR(t) = aCP(t) (7.29a)

y el valor de CT(t):

CT(t) = aCP(t)(1 + C) ⁄ C (7.29b)

150

Entonces, reemplazando la expresión (7.29a) en la ecuación (7.19) y luego ésta en laecuación (7.22) resulta:

CP (t) = ϕM (t)∗C0 δ(t) + aϕM (t)∗CP(t) (7.30)

Tomando la transformada de Fourier:

CP (ωj) = ϕM (ωj)C0 + aϕM (ωj)CP (ωj)

Figura 7.5 : (a) Pulsos de concentración de trazador para la entrada y la salida de unmolino de bolas industrial de (3.5 x 4.88 m) operando en circuito cerrado. (b) DTR

producto de la deconvolución de los pulsos [ 7.8 ].

151

y la ecuación (7.25) puede ser reemplazada por:

ϕM(ωj) = CP(ωj)C0 + aCP(ωj)

(7.31)

El mismo análisis puede ser hecho cuando se traza el agua del molino.

7.3.5.Medición de DTR en equipos en serie

En algunos casos es de interés la determinación de las funciones DTR para variosequipos conectados en serie, como por ejemplo, un molino de barras, un molino de bolasy un cajón de bomba. Es posible en estos casos definir una función DTR global y unapara cada equipo.

Consideremos un proceso constituido por varias etapas en serie, tal como semuestra en la Figura 7.6a, usando la ecuación (7.12) podemos escribir [7.1]

C1(t) = ϕ1∗C0(t)

C2(t) = ϕ2∗C1(t)

|

|

Ci(t) = ϕi∗Ci − 1(t)

|

Cn(t) = ϕn∗Cn − 1(t) (7.32)

Por sustitución sucesiva se obtiene:

Cn(t) = ϕn∗.....ϕi∗......ϕ2∗......ϕ1∗C0(t) (7.33)

Por ejemplo en la Figura 7.6a se tiene:

C1(t) = ϕ1∗C0 ≡ ∫ 0

t

CF(t − θ) ϕ(θ)dθ

C2(t) = ϕ2∗ ϕ1∗C0(t) ≡ ∫ 0

t

[∫ 0

η

CF(t − θ) ϕ(θ)dθ] ϕ(η)dη

C3(t) = ϕ3∗ϕ2∗ϕ1∗C0(t) ≡ ∫ 0

t

(∫ 0

η

[ ∫ 0

ξ

CF(t − θ)ϕ(θ)dθ]ϕ(ξ)dξ) ϕ(η)dη

152

Definiendo una función DTR global ϕ en la forma:

ϕ = ϕ1∗ϕ2∗......∗ϕn (7.34)

la ecuación (7.18) se puede expresar en la forma condensada:

Cn(t) = ϕ∗C0(t) (7.35)

Por otra parte, denominando M y t_ la masa total y el tiempo promedio de

residencia total del proceso, (ver sección 7.4), tal que:

M = ∑ i = 1

n

Mi, t_ = MQ (7.36)

se puede demostrar que:

t_ = ∑

i = 1

n

t_

i (7.37)

Para medir las funciones DTR de un proceso en serie, se introduce un impulso deltrazador en la entrada de la primera etapa y se mide la distribución de concentración deltrazador a la salida de cada etapa, como se indica en la Figura 7.6a. La Figura 7.6b da unejemplo de curvas DTR para un proceso en tres etapas.

Como las señales de salida de cada etapa no son funciones analíticas es necesarioresolver la ecuación (7.37) de convolución en forma numérica. Usando el método detransformada de Fourier, descrita en la sección 7.3.4., podemos escribir para el términogeneral de la ecuación (7.32):

F[Ci(t)] = F[ϕi(t)∗Ci − 1(t)]

= F[ϕi(t)]F[Ci − 1(t)] (7.38)

Figura 7.6a : Proceso constituído por varias etapas en serie. Los números en circuitosindican los puntos de medición.

153

lo que escrito en términos de variables de frecuencia es:

Ci(ωj) = ϕi(ωj)Ci − 1(ωj) (7.39)

de donde se puede deducir que:

ϕi(ωj) = Ci(ωj)Ci − 1(ωj)

(7.40a)

= ∫ − ∞

+∞

Ci(t) e− ωjt dt

∫ − ∞

+ ∞

Ci−1(t) e− ωjt dt

(7.40b)

Definiendo las integrales A, B, C y D en la forma:

A = ∫ 0

∞

Ci(t) cosωt dt, B = ∫ 0

∞

Ci(t) senωt dt (7.41a)

Figura 7.6b : Curvas DTR para un proceso en tres etapas.

154

C = ∫ 0

∞

Ci − 1(t) cosωt dt, D = ∫Ci − 1

0

∞

(t) senωt dt (7.41b)

y recordando que e− ωjt = cosωt − senωt, la expresión (7.40b) se transforma en:

ϕi(ωj) = A − BjC − Dj

≡ AC + BDC2 + D2

+ AD − BCC2 + D2

(7.42)

Para cada valor de ω se puede calcular el valor de ϕi(ωj) usando la transformadarápida de Fourier [7.7].

El valor de ϕi(t) se obtiene de la transformación inversa de Fourier:

ϕi(t) = 12π

∫ − ∞

+ ∞

ϕi(ωj) eωjt dω

= 1π

∫ 0

∞

[AC + BDC2 + D2 cosωt − AD − BD

C2 + D2 senωt] dω (7.43)

7.4.DISTRIBUCION DE TIEMPOS DE RESIDENCIA ENREACTORES IDEALES

Los patrones de flujo observados en la práctica pueden presentar diferentescaracterísticas en lo que se refiere a la varianza o desviación estándar de la función DTR,lo cual está asociado con el grado de mezcla existente en el sistema en cuestión. Losextremos que se pueden presentar son dos: el primero corresponde a una situación demezcla perfecta caracterizada porque la varianza de la distribución es ϕ2 = t

_2 y el otro

extremo asociado a la ausencia total de la mezcla en el sistema, caracterizada porσ2 = 0. Lo anterior permite definir dos reactores ideales, el reactor de mezcla perfecta yel reactor de flujo pistón.

El reactor de mezcla perfecta es aquel cuyo contenido es perfectamentehomogéneo, de manera que la composición a la salida es exactamente igual a lacomposición en cada punto interior del reactor. Un balance de materia para el trazadoren un mezclador perfecto, puede escribirse en la forma:

W ddt(CP) = FCF − FCP (7.44)

y en consecuencia, definiendo τ = W/F se puede escribir:

τ ddt [CP(t)] + CP(t) = CF(t) (7.45)

155

Como se concluye de la definición de función DTR, ésta corresponde a la respuestadel sistema cuando la excitación de entrada es un impulso de Dirac, luego si CF(t)=C0 δ(t), y como en este caso CP(t)=C0 ϕ(t) (ver la ecuación 7.16), entonces la ecuación(7.45) se transforma en:

τ dϕdt + ϕ(t) = δ(t), ϕ(0) = 0 (7.46)

ecuación diferencial cuya solución es:

ϕ(t) = 1τ

e− t ⁄ τ o ϕ∗(t∗ ) = e− t∗ , τ = t_ (7.47)

y que corresponde a la función DTR para mezclador perfecto.

Un análisis similar se puede realizar para el reactor de flujo pistón. Teniendo encuenta que en este caso todo el material pasa sin mezclarse, cada elemento del materialpermanece en el reactor exactamente el mismo tiempo. La función DTR que se obtienepara esta situación es:

ϕ(t) = δ(t − τ) o ϕ∗(t∗) = δ(t∗ − 1) (7.48)

con τ = t_.

Resulta trivial demostrar en ambos casos que t_ = τ, puesto que por definición :

t_ = ∫

0

∞

t ϕ(t) dt

Para una demostración más general, consideremos un flujo másico F a un reactorque contiene una masa total W. En el intervalo de tiempo de 0 a t, la masa admitida alreactor es Ft. La parte W de esta masa que salió del reactor en el mismo intervalo detiempo es :

W(t) = F ∫ 0

t

∫ 0

θ

ϕ(ξ) dξ dθ

Por lo tanto:

Masa material = Ft − F ∫ 0

t

∫ o

θ

ϕ(ξ) dξ dθ

156

= F ∫ 0

t

[1 − ∫ 0

θ

ϕ(ξ) dξ] dθ (7.49)

Lo anterior corresponde a la masa de material que permanece en el reactor en el tiempot.

Para tiempos largos, esto es para valores grandes de t, todo el material que habíaen el reactor en el instante inicial, t=0, ha salida de él, de manera que el material retenidoen el reactor será:

W = limt → ∞

F ∫ 0

t

[1 − ∫ 0

θ

ϕ(ξ) dξ]dθ

Haciendo τ = W/F,

τ = limt → ∞

∫ 0

t

[1 − ∫ 0

θ

ϕ(ξ) dξ] dθ (7.50)

Integrando la ecuación (7.50) por partes tenemos:

τ = limt → ∞

[(1 − ∫ 0

θ

ϕ(ξ) dξ)θ |0

t + ∫

0

t

θ ϕ(θ) dθ]

Como el primer término se anula resulta:

τ = ∫ 0

∞

θ ϕ(θ) dθ ≡ t_

(7.51)

7.5.DISTRIBUCION DE TIEMPOS DE RESIDENCIA DE MOLINOSROTATORIOS

Shoji et al. [7.10], Mori et al. [7.11] y Kelsall et al. [7.12] han dado resultados deestudios de DTR en molinos rotatorios pequeños. Austin et al. [7.13] analizaron elresultado de experiencias con fluorescina como trazador en un molino de cemento de doscompartimientos de 4 m de diámetro por 10 m de largo con un flujo de 195 ton/hora yConcha y Pearcy [7.8] han mostrado resultados de ensayos con cloruro de sodio comotrazador en molinos de bolas de 3 x 4.25 m y de 3.50 x 4.88 m. Las Figuras 7.7 y 7.8muestran resultados experimentales típicos de curvas de DTR para molinos de bolas ymolinos de barras.

Los resultados más precisos sobre DTR disponibles son los reportados por Rogersy Gardner [7.4] usando trazadores radioactivos sólidos. Ellos investigaron tres molinosde bolas con descarga de rebalse en circuito abierto, realizando una corrección por la

157

presencia de la cubeta de descarga. Concluyeron que la función DTR del molino se podíanormalizar mediante el tiempo promedio de residencia. El tiempo promedio de residenciadel agua fue 15% menor que el del sólido indicando que la densidad de pulpa en el molinofue mayor que la de la alimentación o descarga del molino.

Para representar las funciones DTR de molinos encontradas por experimentacióny mostradas en las Figuras 7.7 y 7.8 se ha propuesto varios modelos, los principales de

Figura 7.7 : Función de DTR para un molino de bolas industrial de 3.5 x 4.88 m.

Figura 7.8 : Función de DTR para un molino de barras industrial de 3 x 4.25 m.

158

Figura 7.9 : Función DTR para mezcladores perfectos iguales en serie.

159

Figura 7.10 : Función DTR para un molino de Bolas industrial de 3.5 x 4.88 m para majustado y m=L/D.

Figura 7.11 : Función DTR para un molino de barras de 3 x 4.25 m para m ajustado ym=L/D.

160

los cuales se analizan a continuación: (1) mezcladores iguales en serie; (2) un mezcladorgrande seguido de dos pequeños; (3)modelo de Rogers- Gardner; y (4) modelo dedispersión axial.

7.5.1.Mezcladores perfectos en serie

Para m mezcladores perfectos iguales en serie se tiene (Figura 7.9):

ϕ∗(t∗) = mm

(m − 1) ! t∗m − 1 e− mt∗ (7.52)

σ(t) = 1τm tm − 1

(m − 1) ! e−t ⁄ τ (7.53)

τT = mτ ; σ2T = σ2

T ⁄ m ; σ∗2T = 1 ⁄ m (7.54)

donde t∗ = t ⁄ τT, ϕ∗(t∗) = σTϕ(t), σT∗2 = τT ⁄ τ y τ es el tiempo promedio de residen-cia de cada reactor.

Al comparar las curvas experimentales de DTR, por ejemplo, en las Figuras 7.7 y7.8, con las curvas de la Figura 7.9 se puede observar que hay cierta similitud entre lascurvas con m pequeño (1<m<2) y las experimentales. Herbst y Bascur [7.14] han propuestousar un m relacionado al valor de L/D, donde L y D son el largo y el diámetro del molino.En las Figuras 7.10 y 7.11 se comparan las curvas experimentales y ajustadas por estemodelo para los molinos industriales correspondientes a los datos de las Figuras 7.7 y7.8.

7.5.2.Un Mezclador Grande y dos Pequeños

Un modelo que ha resultado muy exitoso para representar la función DTR demolinos es el que consiste en un mezclador perfecto grande con tiempo promedio τ1,seguido de dos mezcladores perfectos e iguales de tiempo promedio τ2 en serie. Lafunción DTR en este modelo es [7.15 - 7.16].

ϕ(t) = τ1

(τ1 − τ2)[exp(− t ⁄ τ1) − exp(− t ⁄ τ2)] − t

(τ1 − τ2)τ2 exp(− t ⁄ τ2) (7.55)

con τT = τ1 + 2τ2 . Como τ2∗ = (1 − τ1

∗) ⁄ 2, la forma de ϕ∗(t∗), donde t∗ = t ⁄ τT, essolamente función de τ1

∗ ;

ϕ∗(t∗) = τ1

(3τ1∗ − 1)2[exp(− t∗ ⁄ τ1

∗) − exp(− 2t∗ ⁄ (1 − τ1∗))] −

4t∗(3τ1

∗ − 1)(1 − τ1∗)

exp[− 2t∗ ⁄ (1 − τ1∗)] (7.56)

161

σ∗2 = τ1∗2 + (1 − τ1

∗)2 ⁄ 2 (7.57)

La Figura 7.12 muestra la función ϕ∗(t∗). Frecuentemente es necesario flexibilizarla función de la ecuación (7.43) incorporando una sección de flujo pistón de tiempo τ0,de modo que en esa ecuación τ = τ0 + τ1 + 2τ2 y t debe ser reemplazado por t - τ0 ensu miembro derecho. La forma de la función permanece sin cambiar, pero las curvas sedesplazan en t =τ0 hacia la derecha. En las Figuras 7.13 y 7.14 se comparan las curvasexperimentales y las ajustadas por este modelo para los datos experimentales de lasFiguras 7.7 y 7.8.

7.5.3.Modelo de Rogers-Gardner

Rogers y Gardner [7.4] propusieron un modelo de función de DTR basado en unaserie de etapas, cada una de las cuales consistía en dos mezcladores perfectos de distintostamaños en paralelo, y un reactor de flujo pistón interconectados (Figura 7.15). La

Figura 7.12 : Curvas DTR para el modelo de un mezclador grande seguido de dospequeños en función de τ∗ = τ1 ⁄ τT.

162

Figura 7.13 : Función DTR para un molino de bolas industrial de 3.5 x 4.88 m segúnmodelo de tres mezcladores en serie.

Figura 7.14 : Función DTR para un molino de barras industrial de 3 x 4.25 m segúnmodelo de 3 mezcladores en serie.

163

función DTR es compleja y da resultados muy semejantes al modelo de dispersión axialque veremos a continuación, ver Figura 7.16.

7.5.4.Modelo de Dispersión Axial

El transporte de masa en un molino rotatorio puede ser descrito como un flujoconvectivo a lo largo del molino originado por la alimentación en un extremo y la descargaen el otro. Si no existieran los medios de molienda en el interior del molino es muyprobable que este flujo convectivo fuese bien descrito mediante el modelo de flujo pistón.Sin embargo, la agitación producida por barras o bolas produce la mezcla o dispersióndel material que se superpone al movimiento convectivo, como se muestra en la Figura7.17. Es así como el transporte de un trazador introducido en el molino puede serdescrito por la ecuación de continuidad del trazador:

∂c∂t

+ ∂f∂z

= 0 (7.58)

donde c(z,t) es la concentración de trazador y f(z,t) es la densidad de flujo del trazador alo largo del molino. Tal como se dijo, el flujo incluye una componente convectiva develocidad u=L/τ y una componente de dispersión fD:

Figura 7.15 : Etapa básica del modelo de Rogers y Gardner [7.4].

164

f (z,t) = u c(z,t) + fD (z,t) (7.59)

Generalmente la componente dispersiva de un flujo que se origina por mezcla oturbulencia puede ser descrita por una ecuación constitutiva semejante a la ecuación deFick:

fD = − D ∂c∂z

(7.60)

donde D es el coeficiente de dispersión, medido en cm2/s. En general es posible suponerque D es independiente de z y t y depende solo de variables de operación (ver Figura7.18), por lo que al introducir la ecuación (7.60) en la ecuación (7.59) y ésta en la ecuación(7.58) se obtiene:

∂c∂t

+ u ∂c∂z

= D ∂2c∂z2 (7.61)

La solución de esta ecuación depende de las condiciones iniciales y de contorno.Si suponemos que el trazador se introduce en el instante inicial , t=0, a concentración c0y que antes de la inyección no existía trazador en el molino, la condición inicial será: c (0,0)=c0 y c(z,0)=0 para 0<z<L. Las paredes en los lados de la alimentación y descarga

Figura 7.16 : Función DTR para el modelo de Rogers y Gardner con n=4, fa =0.677, fb =0.304, fc =0.019, k=0.217 [7.4].

165

previenen la dispersión para z=0 y z=L y por ello el flujo en estos puntos será sólo elflujo convectivo a través de la alimentación y descarga. Recordando que en la entradasólo hay flujo de trazador en el instante t=0, debemos esperar que para t>0, f(0,t)=0 yf(L,t)=uc(L,t). De la ecuación (7.57) y ecuación (7.58) se deduce entonces las condicionesde contorno en z=0 y z=L para t>0: ∂c ⁄ ∂z |z=0 = uc(0,t) y ∂c ⁄ ∂z |z=L = 0. Resumiendo,las condiciones iniciales y de contorno serán:

c(z,t) =

C0 ,

0 ,

z = 0,

0 ≤ z ≤ L,

t = 0

t = 0

(7.62)

D ∂c∂z

=

− uc (z,t) ,

0 ,

z = 0,

z = L,

t > 0

t > 0

(7.63)

Es conveniente escribir la ecuación de difusión convectiva, ecuación (7.61), ycondiciones iniciales y de contorno, ecuación (7.62) y ecuación (7.51) en formaadimensional. Definiendo los parámetros característicos L= largo del molino, τ= tiempopromedio de residencia y c0= concentración de trazador inyectado, tal que ϕ(z,t)= c(z,t)/c0

y recordando que u=L/τ se puede establecer las variables adimensionales:

Figura 7.17 : Ilustración de la dispersión causada por una rotación de molino.

166

z∗ = z ⁄ L, t∗ = t ⁄ τ, ϕ∗ = τϕ = τc ⁄ c0 , (7.64)

mediante las cuales las ecuaciones (7.59) a (7.63) se transforman a:

∂ϕ∗∂t∗

+ ∂ϕ∗∂z∗

= D∗ ∂2ϕ∗∂z∗

(7.65)

Con condiciones iniciales y de contorno :

Figura 7.18 : Variación del coeficiente de dispersión D de un molino seco en funciónde la fracción de llenado de bolas y de polvo.

167

ϕ∗(z∗,t∗) =

1 ,

0 ,

z∗ = 0,

0 < z∗ ≤ 1,

t∗ = 0

t∗ = 0

(7.66)

∂ϕ∗∂z∗

=

1D∗

ϕ∗(z∗,t∗) ,

0 ,

z∗ = 0,

z∗ = 1,

t∗ > 0

t∗ > 0

(7.67)

Figura 7.19 : Solución a la ecuación de Difusión Convectiva adimensional concondición de contorno completa ecuación (7.67).

168

La solución a estas ecuaciones es complicada y se la puede encontrar en el texto de Austin,Klimpel y Luckie [7.17] . Su representación gráfica se da en la Figura 7.19.

Mori et al [7.18] resolvieron la ecuación (7.65) para el caso semi-infinito, esto es,con las condiciones iniciales de la ecuación (7.66) y para las condiciones de contorno seusó ∂ϕ∗ ⁄ ∂z∗ = 0, para z*= ∞ y t*> 0. La solución resultó que:

ϕ∗(z∗,t∗) = 12 1√ πD∗t∗3 exp[− (z∗ − t∗)2 ⁄ (4D∗t∗)] (7.68)

ϕ(z,t) = 12 1√ πDt3 exp[− (z − ut)2 ⁄ (4Dt)] (7.69)

Esta solución, obtenida al utilizar la condición de contorno errada para z=L, semuestra en la Figura 7.20 con D* como parámetro. Se puede observar al comparar lasFiguras 7.19 y 7.20 que la solución semi-infinita da curvas bien semejantes a las obtenidascon la condición de contorno correcta para valores de D*<0.1. Como los molinosindustriales D*<0.25 el modelo de Mori (solución de la ecuación de difusión convectivacon condición de contorno semi-infinita) es una solución aproximada simple y útil. LasFiguras 7.21 y 7.22 comparan los resultados del ajuste de este modelo con los datosexperimentales de las Figuras 7.7 y 7.8.

7.6.MODELO CINETICO PARA LA MOLIENDA CONTINUAESTACIONARIA

La molienda continua puede ser descrita mediante el mismo modelo de la moliendadiscontinua utilizando la función de distribución de tiempos de residencia pararespresentar en forma estadística el tiempo de molienda de cada “partícula ” de material.El modelo se basa en las siguientes suposiciones: (i) El régimen es permanente, (ii) Lacinética de conminución puede ser descrita mediante ecuaciones lineales y (iii) la funcióndistribución de tiempo de residencia (t) es única para todos los tamaños de partículas.

Denominemos fi y pi a las fracciones de partículas de tamaño i alimentadas yproducidas por el molino respectivamente para el tiempo t en una molienda discontinua.W es la masa de partículas retenida en el molino y F el flujo másico de alimentación ydescarga. Ver Figura 7.23.

Cuando la cinética de molienda puede ser descrita por ecuaciones lineales, lamolienda continua se comporta en forma similar a la molienda discontinua, tal que cadafracción de partículas con un tiempo de residencia t-θ en el molino continuo adquiere lamisma granulometría que tendría si hubiese sido molida por un tiempo t-θ en formadiscontinua. Por este razón la granulometría de salida de un molino continuo se obtieneponderando la solución de la cinética discontinua para el mismo molino con la funciónde distribución de tiempos de residencia. Entonces:

pi(t) = ∫ − ∞

+ ∞

wi(t − θ) ϕ(t − θ) dθ (7.70)

169

Figura 7.20 : Solución de la ecuación de difusión convectiva adimensional concondición de contorno de Mori et al. ∂ϕ∗ ⁄ ∂z = 0, z∗ = +∞, t∗ > 0.

170

Figura 7.21 : Función de DTR para un molino de bolas industrial de 3.5 x 4.88 msegún modelo de difusión de Mori et al.

Figura 7.22 : Función de DTR para un molino de barras industrial de 3 x 4.25 m segúnmodelo de difusión de Mori et al.

171

Haciendo un cambio de variable se puede demostrar fácilmente que la ecuación(7.70) es equivalente a:

pi(t) = ∫ 0

∞

wi(t) ϕ(t) dt (7.71)

Considerando la solución a la molienda batch, Austin, Klimpel y Luckie escribenla ecuación (7.71) en la forma (ver sección 4.5) :

pi(t) = ∑ j = 1

i

dij fj , 1 ≤ i ≤ n (7.72)

dij =

ej

∑ k = j

i − 1

Cik(ek − ei)

, i = j

, i ≠ j(7.73)

Cij =

∑ k = j

i − 1

CikCjk

1

1Si − Sj

∑ k = j

i − 1

SkbikCkj

, i < j

, i = j

, i > j

(7.74)

donde : ej = ∫ 0

∞

e− Sjt ϕ(t) dt (7.75)

Figura 7.23 : Extensión del concepto de molienda discontinua a molienda continua.

172

Tabla 7.2Modelos de DTR para molinos rotatorios.

Modelo de flujo ϕ(t) ej

Pistón δ(t ⁄ τ) exp(− Sj τ)

Mezcla perfecta 1τ

e− t ⁄ τ 11 + Sj τ

m mezcladoresperfectos en

serie(mτT

)m tm − 1

(m − 1) ! e− m t ⁄ τT

1(1 + Sj τT ⁄ m)m

1 mezcladorgrande seguidode 2 pequeñosiguales en serie

τ1

(τ1 − τ2)[e− t ⁄ τ1 − e− t ⁄ τ2] −

t(τ1 − τ2 ) τ2

e−t ⁄ τ2

1(1 + Sj τ1)(1 + Sj τ2)

2

Semi-infinitocon dispersiónaxial (Mori)

(1 ⁄ τ)

2√ π D∗(t ⁄ τ)3 exp−

(1 − t ⁄ τ)2

4D∗(t ⁄ τ)

exp

−√ 1 + 4D∗τSj − 12D∗

0 ≤ D∗≤ 0.54 etapas iguales

en serie conflujo cruzado

(Rogers-Gardner)

(Ver referencia 7.4) (Ver referencia 7.4)

173

De la expresión (7.75) se desprende que ej es la transformada de Laplace de lafunción DTR con respecto a la variable Sj. De esta forma para diversos tipos de ϕ(t) sepuede calcular ej, como se muestra en la Tabla 7.2.

7.7.REFERENCIAS

7.1. Comisión Chilena de Energía Nuclear, Obtención de la función DTR para el análisis y modelación deequipos de procesos, Curso Latinoamericano sobre Aplicación de Trazadores Radioactivos enProcesos Industriales y Naturales, Santiago, 1985.

7.2. Mardulier, F.J. and Wightmann. D.L., Rock Products, 74 (1971) #6,74-75; 90-99; #7,78-79; 90-91;108-110; #8,60-61; 86-88.

7.3. Gardner, R.P., Verghese, K. and Rogers, S.C.R., Mining Engineering, 32 (1980), 422-431.

7.4. Rogers , R.S.C. and Gardner, R.P., J.A.I.Ch.E., 24(1979), 229-240.

7.5. Gardner, R.P., Rogers, R.S.C. and Verghese, K., Int. J. App. Radiation and Isotopes, 28(1977),861-871.

7.6. Korn R.A. and Korn T.M., Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw Hill, NewYork, (1961) 4.11.6.

7.7. Brigham, E.O., The Fast Fourier Transform., Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J. 1974.

7.8. Concha, F. y Pearcy F., Fundamentos Dinámicos de la Mineralurgia, Curso Panamericano deMetalurgia Extractiva, Universidad de Concepción, 1985.

7.9. Rogers, R.S.C., Bell, D.G. and Hukki, A.M., Powder Technol., 32(1982), 245-252.

7.10. Shoji, K., Hogg, R. and Austin, L.G., Powder Technol., 7(1973), 331-336.

7.11. Mori, Y., Jimbo, G. and Yamazaki, M., Kagaku Kogaku, 28(1964), 204-213.

7.12. Kelsall, D.F., Reid. K.J. and Restarick, C.J., Powder Technol., 3(1969-70), 170-178.

7.13. Austin, L.G., Luckie, P.T. and Ateya, B.G., Cement and Concrete Research, Pergamon Press,1(1971), 241-256.

7.14. Herbst, J.A. and Bascur, O. ESTIMILL , Department of Metallurgy and Metallurgical Eng.,University of Utah, Salt Lake City, UT, 1979.

7.15. Weller, K.R., Automation in Mining, Mineral and Metal Processing, 3rd IFAC Symposium Proc.,O’Shea, J. and Polis, H., eds., Pergamon Press, (1980), 303-309.

7.16. Marchand, J.C.Hodouin, D. and Everell, M.D., Ibid, (1980), 295-302.

7.17. Austin, L.G., Klimpel R.R. and Luckie, P.T., The Process Engineering of Size Reduction: BallMilling, SME-AIME, Inc., New York, NY (1984), 531-535.

7.18. Mori, Y., Jimbo, G. and Yamazaki, M., Proc. 2nd. European Symp. Zerkleinern, Verlag Chemie,Weinheim, ed. H. Rumpf and W. Pietsch, Dechema Monographien 57, Nr. 993-1026 (1967),605-632.

174

CAPITULO 8

ESCALAMIENTO: POTENCIA, DESGASTEDE BOLAS, MEZCLA DE BOLAS Y

TRANSPORTE DE MASA

8.1.INTRODUCCION

Este capítulo muestra los procedimientos para combinar las ecuaciones de rupturadadas en el capítulo 5 con las ecuaciones de la molienda continua para construir unsimulador de la molienda. Esto involucra el cálculo de la ruptura para mezclas de bolas,lo que a su vez requiere la determinación de la distribución de tamaño de las bolas en elmolino. Para el escalamiento de los parámetros de ruptura se utilizan las relaciones deBond para la capacidad, potencia y energía específica de molienda. A continuación seutiliza una relación para el transporte de masa en el molino que toma en cuenta lacondición de sobrellenado a flujos de alimentación altos; aquí nuevamente se supone queel método de diseño de Bond es válido bajo condiciones normales de operación.

8.2.POTENCIA DEL MOLINO

8.2.1.Teoría

Hay dos enfoques para la derivación de las ecuaciones que describen la potenciarequerida para mover un molino rotatorio [8.1-8.4]. El primero trata el problema calculandola trayectoria de las bolas sobre todas las posibles trayectorias. El segundo enfoque [8.5]considera el momento del centro de masa de la carga de bolas y polvo con respecto alcentro del molino y considera que debe ser igual al momento de las “fuerzas de fricción”en las paredes del molino. Es instructivo observar el interior de un molino rotatorio delaboratorio acondicionado con una pared lateral transparente, de modo que se puedaestudiar el movimiento de la carga directamente por observación. Una descripciónaproximada, como se ve en la Figura 5.1, muestra que una bola entra en la superficie dela carga bajo la marca de la mitad de la superficie y se mueve alrededor del eje hasta quellega a la superficie. Una vez que emerge, rueda hacia abajo por la superficie, de modoque aparece una corriente de bolas, formando una superficie libre que recibe el nombrede cascada. Sin embargo, hay algunas bolas que, junto a parte del polvo son proyectadasen el espacio interior del molino en una trayectoria parabólica que recibe el nombre decatarata. Las barras levantadoras previenen que la carga deslice como un todo por lasuperficie interior del molino.

En principio, un análisis correcto de las fuerzas en los dos enfoques descritosdebiera dar el mismo resultado. Sin embargo, el cálculo mediante el torque del centro de

175

la masa no toma en consideración que un cierto número de bolas está en vuelo, y que porlo menos parte de la energía cinética de estas bolas debe recuperarse al chocar éstas conlas paredes del molino. Por otra parte, la descripción de las trayectorias de todas las bolasse torna muy difícil debido a la complejidad de las fuerzas de interacción entre las bolasy especialmente por el polvo atrapado entre ellas.

Debido a la complejidad en el análisis teórico del sistema descrito, frecuentementese utiliza ecuaciones que se basan en experimentos y no en teoría. Aquí daremos untratamiento elemental al problema de la potencia de un molino que involucra conceptossimples de mecánica y similitud geométrica.

Figura 8.1 : Variación de la potencia del molino con la fracción de la velocidad críticacon la carga de bolas como parámetro : molino de laboratorio de 0.6 m de diámetro.

176

Definamos la altura media de elevación de las bolas h_

, a través de la energíapotencial media de una bola. Si !b es la densidad y d es el diámetro de la bola, la energíanecesaria para levantar cada bola a la altura h

_ es igual a su energía potencial a esa altura,

más la energía cinética de rotación m(r_")2 ⁄ 2, donde la masa m = #!b d 3 ⁄ 6, r

_ es el radio

medio de la trayectoria de la bola y " es la velocidad de rotación. Entonces, la energíamedia para levantar una bola será proporcional a !b d3 [h

_ + ( r

_")2 ⁄ 2]. Se supone aquí

que h_

es independiente de las propiedades de la bola, tales como tamaño o densidad.Haremos la suposición que la forma del movimiento de una bola en molinos de diversostamaños es similar e independiente del tamaño de éste para un tamaño de bola muchomenor al tamaño del molino y para una longitud del molino tal que haga despreciable losefectos de las paredes laterales. En estos casos es razonable suponer que la altura mediade elevación de las bolas es proporcional al diámetro del molino, esto es h

_ $ D, y por

lo tanto la:

(energía media para levantar una bola) $ !b d3D

Para un determinado porcentaje de llenado del molino, esto es para un valorprescrito de J, el número de bolas en el molino será proporcional al cuociente entre elvolumen del molino y el volumen de una bola:

(número de bolas presentes en el molino) $ D2L ⁄ d3

Se puede suponer que el número de bolas levantadas por unidad de tiempo esproporcional al producto del número de bolas presentes y la velocidad del molino. Comola velocidad del molino es rpm = %c 42.3 ⁄ D1 ⁄ 2 , la energía requerida por unidad detiempo, esto es la potencia mp para mover los medios de molienda, será :

mp $ 42.3%c

D1 ⁄ 2 D2Ld3 !bd

3D

mp & K !bD2.5 (8.1)

donde el valor de K es constante solamente para determinadas condiciones en un molino.

Debido a que el modelo utilizado en la derivación de la ecuación (8.1) essobresimplificado, es preferible introducir un coeficiente variable en el exponente de D,tal que (8.1) se exprese en la forma más general:

mp = K!b D2 + n2 (8.1a)

donde se puede esperar que n2 sea cercano a 0.5. Como se ha supuesto que no hay efectode las paredes laterales del molino, al doblar el largo de éste se duplican los requerimientosde potencia. El valor de K variará con la magnitud de la carga de bolas en el molino. Apequeñas cargas de bolas en el molino se puede suponer que la potencia aumentará enforma proporcional a la carga, mientras que a mayores cargas la potencia disminuyedebido a que a valores altos de J , las bolas que ruedan sobre la superficie forman un pieen la base de la superficie inclinada. Por ello, no son levantadas desde el punto de contacto

177

con la carcaza del molino, sino desde la superficie del pie, con lo cual h_ disminuye. Se

espera, entonces, que la potencia pase por un máximo a medida que la carga de bolasaumente, como se muestra en la Figura 8.1.

8.2.2.Ecuaciones para la potencia de un molino

Tal como vimos en la capítulo 3, Bond [8.6] da una ecuación empírica para lapotencia en el eje de un molino de bolas de rebalse :

mp ⁄ M = 15.6D0.3%c(1 ' 0.937J)()1 ' 0.1 ⁄ 29 ' 10%c*+ , kW ⁄ ton (8.2)

en que D es el diámetro interno en metros y M es la carga de bolas en toneladas. Elresultado debe ser multiplicado por 1.08 para la molienda seca en molinos de parrillas.También se da una corrección Ss que debe ser subtraída de la ecuación (8.2), para el casoen que las bolas tengan un diámetro máximo dm menor que 45.7 mm (1.8 pulgadas) enun molino de diámetro mayor que D =2.4 m (8 pies).

Ss = 1.1(1.8 ' dm ⁄ 25.4) ⁄ 2 , kW ⁄ ton (8.3a)

en que dm está en milímetros. Por ejemplo, para bolas de 12.7 mm (0.5 pulgadas) lacorrección es de 0.7 kW/ton. Rowland [8.7] modificó esta relación para molinos mayoresque 3.6 m (12 pies) dando:

Ss = 1.1,-.

9.84D20

' dm

25.4/01 , kW ⁄ ton (8.3b)

Figura 8.2 : Coeficiente para la potencia del molino utilizando la ecuación de Beeckpara la molienda de cemento, (datos U.S.A. Hackman et al [8.9], D=2.9 a 4.5 m,

L/D=2.7 a 3.7, %c=0.7 a 0.8).

178

en que dm está en milímetros y D en metros.

Beeck [8.8] propuso una ecuación empírica para la molienda seca de cemento:

mp ⁄ M = 42.3CBe D0.5%c , kW ⁄ ton (8.4)

donde M es la carga de bolas en toneladas métricas y el valor de CBe varía con J como semuestra en la Figura 8.2. En la misma figura se muestran valores de CBe calculados delos valores de J, %c y mp en molinos finales de la industria norteamericana de cementocoleccionada por Hackman et al. [8.9]. La práctica industrial del cemento en los EstadosUnidos es bastante diferente que la alemana; por ejemplo, el nivel de llenado de bolas esconsistentemente mayor, con un promedio de J=0.36; el porcentaje de velocidad críticaestá normalmente entre 70% y 80% con un promedio de 75%. La distribución de los datosnorteamericanos para CBe se muestra en función de J en la Figura 8.2. Se debe destacarque la medición de potencia en molinos grandes puede no ser muy precisa y que lapotencia medida variará también con la eficiencia del motor y la transmisión. La

Figura 8.3 : Potencia neta como función de la carga de bolas y fracción de velocidadcrítica para un molino de laboratorio; D=0.6 m, d=26 mm.

179

disposición de los datos originales muestra que los molinos de grandes diámetros tienenuna potencia específica mp/M significativamente mayor, sin embargo los datos estándemasiado dispersos para obtener un valor preciso del exponente de D.

La Figura 8.3 muestra la variación típica de la potencia con la carga de bolas, avarias fracciones de velocidad crítica. La potencia máxima resulta a fracciones de llenadode 45% para cada velocidad de rotación. Haciendo cálculos con la expresión%c(1 ' 0.1 ⁄ 29 ' 10%c) en la ecuación (8.2) de Bond , se puede demostrar que ella no da laforma correcta de variación con la velocidad de rotación para este molino. Un ajusteempírico de los resultados da:

mp $ (%c ' 0.1) 1

1 + exp[15.7(%c ' 0.94)] para 0.4 < %c < 0.9 (8.5)

La Figura 8.4 muestra los resultados de potencia por tonelada de medio de moliendacomo función de J. El resultado no se ajusta a la relación de Bond de (1-0.937J)

Como conclusión se propone que la ecuación de Bond sea usada para molinosgrandes, D>2 m y que para molinos más pequeños, usados en el modo discontinuo y enseco, se utilice la siguiente ecuación para la potencia neta:

Figura 8.4 : Potencia neta por tonelada métrica de medios de molienda como funciónde la carga de bolas a 70% de la velocidad crítica para molinos de laboratorio.

180

mp ⁄ M = 13.0D0.5 (2)

(%c ' 0.1)1 + exp[15.7(%c ' 0.94)]

*3+ (1'0.937J)(1+5.95J5 )

, kW ⁄ ton (8.6)

donde D está dado en metros y M en toneladas métricas. Esta ecuación es válida para lapotencia neta en la molienda discontinua seca, mientras que la ecuación de Bond es válidapara la potencia en el eje, en molienda continua húmeda de molinos de rebalse. Se realizóuna experiencia con un molino de 0.82 m de diámetro interior por 1.53 m de largo, provistode rodamientos hidráulicos, que consistió en operar el molino en forma discontinua enseco y continua en circuito abierto y en húmedo, a los mismos valores de J y %c. Secomprobó que la operación continua dio un valor de potencia 1.07 veces mayor a laoperación discontinua y que debía agregarse otro factor de 1.10 para tranformar lapotencia neta en potencia en el eje. Entonces la razón de potencia para el molino enoperación continua húmeda a discontinua seca es de 1.18. Esto da la intersección paramolinos pequeños en la Figura 8.5 (línea sólida) con la ecuación de Bond a D=2.5 m (8pies) para J=0.35.

Un aumento de la velocidad de rotación del molino hace que más bolas volteenpor unidad de tiempo, y por lo tanto, que aumente la potencia requerida para mover elmolino. Sin embargo, a velocidades de rotación superiores al 70 a 80% de la velocidadcrítica, este aspecto es contrarrestado por el aumento del pie de la carga. Por lo tanto, lapotencia requerida para operar un molino rotatorio de bolas es una función compleja dela frecuencia de las acciones de volteo y de la altura de éste, las que actúan en sentidocontrario para dar una potencia máxima en la región de 0.4 <J<0.5 y 0.7<%c<0.8.

Las ecuaciones de la potencia para molinos no incluyen el efecto del diseño de lasbarras levantadoras, aunque es seguro que algunos diseños dan mayor efecto de catarata

Diámetro del Molino, m

Figura 8.5 : Potencia del molino por tonelada métrica de medios de molienda, comouna función del diámetro del molino (%c=0.7).

181

Figura 8.6a : Vista a través de la sección y dimensiones para lainas corrugadas,barras levantadoras y lainas en espiral angular.(ver Fig. 8.6b)

Figura 8.6b : Potencia neta para un molino de bolas de 0.9 m x 1.52 m con diferenteslainas y operado con una carga de bolas del 35% (por volumen).

182

que otros a la misma fracción de velocidad crítica y carga de bolas, y por lo tanto, deberíandar una potencia máxima a diferentes valores de J y %c. Parece que en la literatura existenpocas relaciones cuantitativas sobre el efecto del diseño de barras levantadoras. Porejemplo, Rowland [8.7] muestra una potencia máxima a J =0.42 para un molino de 18 piesde diámetro interno, con bolas de 75 mm (3 pulgadas) en la recarga ; lainas nuevas deonda simple dan 10% mayor potencia que la dada por la ecuación de Bond y lainas nuevasde doble onda dan 10% menos potencia que la dada por el cálculo de Bond. Rogers ycolaboradores [8.10] informaron sobre la diferencia en la ruptura normal (dominada porefecto de cascada) y ruptura anormal (dominada por catarata) producida por tresdiferentes diseños de lainas en un molino de 0.9 m de diámetro, a un valor fijo de lafracción de velocidad crítica. Las Figuras 8.6 y 8.7 dan sus resultados. A valores de 70%de la velocidad crítica, las lainas corrugadas y las angulares requirieron casi la mismapotencia, pero la laina corrugada dio mayores velocidades de ruptura normal (máscascada) y menores velocidades de ruptura de tamaños grandes (menor catarata). Lasbarras levantadoras dieron menores potencias pero una ruptura igualmente efectiva quelas lainas en espiral, a la velocidad indicada.

La Figura 8.8 muestra un efecto equivalente en un molino de laboratorio (moliendaseca). Las bolas de mayor diámetro son menos propensas a caer en catarata por efectodel levantador, de modo que el molino presenta más cascada y menos catarata. Con lasbolas más pequeñas ocurre lo contrario. Las bolas de mayor diámetro consumen un poco

Figura 8.7 : Velocidades de fractura específica para cuarzo molido en un molino de0.9 m x 1.42 m con lainas ; (C) corrugadas, (B) barras levantadoras y

(A) espiral-angular.

183

más potencia a las velocidades bajas que favorecen la cascada, mientras que las bolasmás pequeñas muestran un mayor consumo de potencia a las velocidades mayores quefavorecen la catarata.

8.3. OPTIMIZACION DE LA POTENCIA Y NIVEL DE LLENADOPARA MOLINOS ROTATORIOS

De los argumentos dados en la sección anterior, se puede concluir que los molinosde bolas deben ser operados a valores de J y %c cercanos al máximo consumo de potencia,

Figura 8.8 : Variación de la potencia de un molino con la fracción de la velocidadcrítica para un molino de laboratorio, con el tamaño de bola como parámetro

(D=0.6 m, J=0.35, fc=0.14).

184

ya que esto da la capacidad máxima de producción del molino. Sin embargo, el costo demoler, por tonelada de producto, es dependiente de un cierto número de costos fijos yvariables. Estos incluyen el costo de capital del molino (CM en $), el costo de la carga debolas y lainas (CB en $), el costo de la energía usada por tonelada molida (cE en $/ton),el costo de reemplazo de acero desgastado de bolas y lainas por toneladas molida (cB en$/ton), costo de mantención por tonelada molida (cR en $/ton) y finalmente, otros costosfijos tales como supervisión, sistemas de control, etc. (CL en $). Es el costo neto portonelada de sólido procesado el que debe ser minimizado.

Consideremos una inversión y situación de impuestos en que la conversión decargas fijas a la base horaria es de R $ por hora por $ de costo fijo. Entonces el costo demolienda será:

(Costo molienda en $/ton)= RQ

(CM + CB + CL) + (cE + cR + cB) (8.7)

donde el producto promedio es Q TPH. A una energía específica de molienda de EkWh/ton, esto requerirá una potencia de mp=QE. Esta potencia puede ser usada paramover un molino de volumen V1 con un valor de Jm que da el mayor valor de la potencia,pero también puede ser usada para mover un molino mayor, de volumen V2, con un valormenor J2; esto es V1Jm >V2J2, ver Figura 8.4. En el segundo caso, CM aumentará pero CB

disminuirá por que se usarán menos toneladas de bolas, y por añadidura, el valor de cE

será menor. Obviamente, el mínimo en el costo de molienda depende de los costosrelativos del volumen del molino y de la carga de bolas, de cómo el costo aumenta conel volumen del molino y del valor de cE para varias cargas de bolas.

El valor de cB depende tanto de la velocidad de rotación de molino como de laabrasividad del material, mezcla de bolas, etc. Un molino de mayor diámetro significamayores valores de la velocidad periférica, ya que la velocidad periférica =#D%c (42.2 ⁄ 455D ) = 132%c 455D m/min. Un deslizamiento en las paredes del molino darámayor desgaste para mayores velocidades periféricas, como también lo dará el impactode la catarata de bolas, especialmente de las bolas mayores. Como se muestra en la Tabla8.1., Rowland y Kjos [8.11] recomiendan que la fracción de velocidad crítica %c seareducida para molinos grandes, presumiblemente para reducir el nivel de acción decatarata y compensar por la mayor velocidad periférica.

Tabla 8.1Velocidad de rotación recomendada por Rowland y Kjos para molinos de bolas [8.11].

Diámetro internom

% de la velocidad crítica recomendado

0-1.8 80-78

1.8-2.7 78-75

2.7-3.7 75-72

3.7-4.6 72-69

>4.6 69-66

185

Una conclusión similar fue informada por Trelleborgs Gummifabriks AB [8.12] parabarras levantadoras de goma; se observó una reducción de la vida útil de las barraslevantadoras de 4 a 1 cuando la velocidad de rotación fue aumentada más allá de 75% dela crítica, con la vida útil aproximadamente proporcional al recíproco del diámetro de labola a una determinada velocidad de rotación.

8.4.DESGASTE DE BOLAS Y CARGAS BALANCEADAS

Bond [8.6] hace un tratamiento del desgaste de bolas basado en dos suposiciones:(i) que la velocidad de desgaste de una bola es proporcional a su superficie y (ii) que larecarga de bolas consiste de solamente un tamaño. La formulación que sigue extiende eltratamiento de Bond para casos con otras leyes de desgaste y formas de recarga de bolas.Utilizamos el simbolismo de la Figura 8.9.

Durante el desgaste de las bolas no hay problema en distinguir entre las bolas y elpolvo producto del desgaste, de modo que este polvo puede ser considerado simplementecomo masa perdida de la carga de bolas. Consideremos una unidad de masa de bola enel molino que contiene un número total de bolas NT, con una distribución fraccionalacumulativa en número igual a N(r), en que r es el radio de la bola. Designemos por nT

el flujo o número de bolas adicionales por unidad de tiempo en la recarga, con unadistribución acumulativa en número igual a n(r). El flujo de bolas en la recarga dependede la velocidad de desgaste de las bolas en el molino (la masa perdida debe reponerse)por lo que se puede hacer el siguiente balance en número para las bolas que se desgastana tamaños menores a un radio r. Designaremos con f(r) la tasa de desgaste lineal (L/T)de una bola de tamaño r, (f(r) = dr/dt). En un intervalo de tiempo diferencial dt una bolade tamaño r + dr se desgastará justo hasta el tamaño r. Por lo tanto, el número de bolas

que se desgastan a tamaños menores a r por unidad de tiempo será igual al número debolas que existe en ese rango de tamaño, es decir, NT(dN(r)/dr)dr. Por otra parte parareponer estas bolas es necesario adicionar en el intervalo de tiempo dt un número de bolasigual a nT(1-n(r)dt, por lo que se puede establecer el siguiente balance en número en elestado estacionario:

NT dN(r)

dr dr = nT(1 ' n(r)) dt

de donde resulta:

NT dN(r)

dr f(r) = nT(1 ' n(r)) (8.8)

Número de bolas que sedesgastan a tamaños

menores a r en el tiempo dt

Número de bolas que seadicionan al molino

como recarga en el tiempo dt

=

186

La tasa lineal de desgaste f(r) es un parámetro característico del material y de lascondiciones de operación y debe ser determinado experimentalmente. Supongamos lasiguiente ecuación constitutiva para el desgaste lineal para f(r) :

f(r) = 6r7 (8.9)

Sustituyendo la ecuación (8.9) en la ecuación (8.8) y rearreglando se llega a la ecuacióndiferencial que da la distribución en número de bolas en un molino en el estadoestacionario:

dN(r)dr

= nT

6NT

1 ' n(r)

r7(8.10)

Para integrar esta ecuación es necesario estipular la distribución de bolas en la recargan(r). Si la recarga es un monotamaño r1, con n(r)=0 para r<r1 y las bolas descargadasson de tamaño rmin, ésto es, N(rmin)=0, el resultado de la integración es:

Figura 8.9 : Ilustración del balance en número de bolas en un molino en el estadoestacionario.

187

N(r) =

8

9

:

;;

;;

nT

(1 ' 7)6NT ()r

1'7' rmin1'7*+

nT

6NT ln(r ⁄ rmin)

, 7 < 1

, 7 = 1

(8.11)

Para r = r1, la ecuación (8.11) da:

(1'7) 6NT

nT = ,-.

--

r11'7 ' rmin

1'7

ln(r1 ⁄ rmin)

,7 < 1

,7 = 1

/01

00 (8.12)

Reemplazando en la ecuación (8.11) se obtiene:

N(r)=

8

9

:

;

;

r1 ' 7 ' rmin

1 ' 7

r11 ' 7 ' rmin

1 ' 7

ln(r ⁄ rmin) ⁄ ln(r1 ⁄ rmin)

,7 < 1

,7 = 1

(8.13)

Recordando que los cálculos se están haciendo por unidad de masa de la carga de bolasen el molino, la relación entre la fracción en número de bolas menores al tamaño r en elmolino N(r) y la fracción en masa M(r) es:

dM(r)dr

= 4#3

r3!b NT dN(r)

dr (8.14)

Reemplazando la ecuación (8.10), recordando que n(r)=0 para r<r1 y como M(r)=0 parar < rmin., la integración de la ecuación (8.14) resulta en:

M(d) = d 4 ' 7 ' dmin

4 ' 7

d1 4 ' 7 ' dmin

4 ' 7 , dmin = d = d1 (8.15)

donde:

r14 ' 7 ' rmin

4 ' 7 = (4 ' 7) 6(4 ⁄ 3)#!nT

(8.16)

M(d) es la fracción acumulativa en masa de bolas de diámetro menor a d en la carga delmolino y d1 es el diámetro de las bolas en la recarga.

El flujo másico de bolas en la recarga m.

1 se relaciona al flujo en número nT

mediante m.

1 = (4 ⁄ 3) #r13 !b nT. Tomando en cuenta la ecuación (8.16) podemos escribir:

188

m.

1 = (4 ' 7) 6r1

3

r14 ' 7 ' rmin

4 ' 7 (8.17)

Para una cinética de orden cero, 7=0, esta expresión se simplifica a:

m.

1 = 8 6 ⁄ d1

1 ' (dmin ⁄ d1)4 & 8 6 ⁄ d1 (8.18)

ya que (dmin ⁄ d1)4 & 0.

Para una recarga con bolas de más de un tamaño, la distribución de tamaño de lasbolas en el molino resulta ser la suma ponderada de los valores predichos para adicionesde monotamaños en la recarga, esto es:

M__

(d) =

8

9

:

;;;

;;;

m1> d 4 ' 7 ' dmin

4 ' 7

d1 4 ' 7 ' dmin

4 ' 7 + m2> + m3> +

m1> d 4 ' 7 ' dmin

4 ' 7

d1 4 ' 7 ' dmin

4 ' 7 + m2>

d 4 ' 7 ' dmin 4 ' 7

d2 4 ' 7 ' dmin

4 ' 7 + m3> +

etc.

, d2 < d = d1

, d3 < d = d2

etc.

(8.19)

donde m1>, m2>, etc., son respectivamente las fracciones en masa de bolas en el molinoderivadas de tamaño d1, d2, etc. en la recarga. Los valores de m1

> , m2> , etc. se obtienen de:

mi> = (mi? ⁄ m

.i) ⁄ @

k

(mk? ⁄ m

.k) (8.20)

donde mi? es la fracción (de masa) de la recarga con bolas de tamaño di y los valores de

m.

i resultan de :

m.

i = (4 ' 7)6ri

3

ri4 ' 7 ' rmin

4 ' 7 (8.18a)

El flujo total de bolas en la recarga por tonlada de bolas dentro del molino m.

T es ahora:

m.

T = m>1m.

1 + m>2m.

2 + ......... = 1

@(2)mi?

m.

i

*3+

i

(8.20a)

189

Aun cuando en estas ecuaciones se ha considerado que 6 es una constante, es posibleimaginar que ella puede depender de la distribución de bolas en el molino, ya que ellaalteraría la probabilidad de impacto de las diversas bolas. Como esta distribucióndepende de la distribución de la recarga, 6 sería función de esta recarga.

8.5.DATOS EXPERIMENTALES DE DESGASTE DE BOLAS

La abrasividad de un determinado material se determina usualmente mediantealgún tipo de ensayo empírico de abrasividad [ 8.13 - 8.15]. Cada fabricante ha desarrolladosu propio ensayo y algunos usuarios también han desarrollado ensayos específicos deacuerdo a sus necesidades. La discusión de tales ensayos no se hará en este texto,especialmente porque no hay ensayos comparativos de los diversos métodos con unmismo material. Sólo mencionaremos el test de Bond [8.16], desarrollado en base a unensayo informado por la Pennsylvania Crusher. Basado en este ensayo, Bond dio lassiguientes relaciones para el desgaste en molino de bolas:

Molienda húmeda : Bolas 0.16(Ai ' 0.015)1 ⁄ 3

Lainas 0.012(Ai ' 0.015)0.3

kg ⁄ kWh

kg ⁄ kWh (8.21)

Molienda seca : Bolas 0.023Ai

0.5

Lainas 0.0023Ai0.5

kg ⁄ kWh

kg ⁄ kWh (8.22)

Para estas expresiones no se indicó la desviación estándar. La Tabla 8.2 da los índicesde abrasión promedios para varios materiales [8.16].

Tabla 8.2Indices de Abrasión Promedios [8.16].

Material Peso específico AiDolomita 2.7 0.016

Shale 2.62 0.021

Caliza 2.7 0.032

Clinker de cemento 3.15 0.071

Magnesita 3.0 0.078

Sulfuros pesados 3.56 0.128

Mineral de cobre 2.95 0.147

Hematita 4.17 0.165

Magnetita 3.7 0.222

Gravilla 2.68 0.288

Roca (trap) 2.80 0.364

Granito 2.72 0.388

Taconita 3.37 0.624

Cuarcita 2.7 0.775

Alúmina 3.9 0.891

190

Una bola típica de un molino rotatorio seco muestra rayas superficiales indicandoabrasión [8.16]. Las bolas provenientes de la molienda húmeda son más suaves pero tienenpicaduras, indicando el rol de la corrosión en la pérdida de metal. No hay duda que lasmicrosuperficies formadas por abrasión, bajo esfuerzos mecánicos, son altamentereactivas hasta que los enlaces químicos son estabilizados por reacción con el fluido dela molienda [8.17] Por esta razón se espera que el desgaste de metal en la molienda húmedasea altamente variable comparado con el indicado por el ensayo de abrasión en seco,dependiendo de las propiedades corrosivas (electroquímicas) del sistema [8.18].

Los índices de abrasividad sólo deben ser usados con fines comparativos.Predicciones precisas de consumo de acero deben ser hechas con ensayos en molinosreales. Uno de los datos más antiguos es el de Davis [8.19] que indica que para un molinocónico Hardinge y para un molino en seco de DxL = 6 x 8 pies, la ley de desgaste fue7=1, correspondiente a una pérdida de “masa proporcional a la masa de las bolas”.Lorenzetti [8.20] encontró que la ecuación (8.23) daba una aproximación para el desgastede bolas con 7 =0, para molienda húmeda, dando un valor para la velocidad específicade desgaste lineal 6 entre los valores 3.8 < 6 < 15.4 µm/hora, para un mineral blando defierro y uno duro de cobre , usando bolas Armco Moly-Cop.

Austin y Klimpel [8.13] analizaron datos de un molino industrial de rebalse enhúmedo de DxL = 4.3 x 5 m, usando bolas de acero de peso específico 8.5 y dureza Brinellde 600, con una carga de bolas de 110 toneladas. El molino se operó con recarga demonotamaño de bolas en dos condiciones de operación: usando bolas de 100 mm en larecarga, para un tonelaje de 1600 ton/día, en que el consumo de acero fue de 1.25 kg/tonde mineral tratado o de 0.0676 kg/kWh; para una recarga con 100% de bolas de 75 mm,y un flujo de 1480 ton/día, el consumo de acero fue de 1.82 kg/ton ó 0.0984 kg/kWh. Losdatos experimentales ajustaron bien la ecuación (8.23) con 7 = 2, dando un valor de lavelocidad específica de desgaste lineal de 6=7.6x10-6 1/[mm hora], para las bolasoriginadas de las de 100 mm y 6 =12.3 x 10-6 1/[mm hora] para las originadas de las de75 mm. En este ensayo parece que las bolas grandes se gastaron más rápidamente quelas más pequeñas, en relación a lo que predice la expresión de Bond, dando como resultadouna distribución de bolas más plana. También parece que las tasas de desgaste seríanmás grandes en la mezcla de bolas menores. Por ejemplo, la tasa de desgaste lineal delas bolas de 75 mm fue de 11 µm/hora para la mezcla de bolas mayores y 17 µm/horapara la mezcla de bolas menores, correspondiente a tasas de pérdida de peso de 1.6 y 2.6g por bola y por hora, es decir, una razón de 1.6/2.6 & 1.7. Como el número total de bolasen el molino se puede obtener de las ecuaciones (8.12) y (8.16) para 7 < 1:

NT = (2)

6#!b

*3+ (2)

4 ' 71 ' 7

*3+ (2)

d1 1'7 ' dmin

1'7

d1 4'7 ' dmin

4'7

*3+ (8.23)

y para 7 =2 y dmin = 12 mm la razón entre NT (d1 = 75 mm) /NT( d1 = 100 mm) & 1.7, sepuede suponer que la mayor velocidad de desgaste para la mezcla de bolas menores sedebe a que el mayor número de bolas existentes produce un aumento del número decolisiones por unidad de tiempo.

191

En el mismo trabajo, Austin y Klimpel informan el resultado de desgaste de bolas,para un molino de DxL=4x4.8 m en húmedo, moliendo 1000 ton/día de mineral de oro,el que se ajusta a una cinética de orden cero, esto es 7=0, dando una constante específicade 18 µm/hora.

Menacho y Concha [8.21] informaron de las tasas de desgaste para tres molinosindustriales de la industria de cobre, ajustando todos a una cinética de orden cero (7 =0).Las velocidades específicas obtenidas fueron: 6=4.9 µm/hora para un molino deDxL=3.7x2.9 m con una carga de bolas de 47.6 ton, operando a 121 ton/hora con recargade 100% 50.8 mm; 6= 3.7 µm/hora para un molino de DxL=4.3x3.0 m, con una cargade bolas de 67.6 ton, operando a 130 ton/hora con recarga de 50% 50.8 mm y 50%38.1mm y 6=4.6 µm/hora para un molino de DxL=3.9x3.7 m, operado a 155 ton/hora conuna recarga aproximada de 39% 76.2 mm, 10% 63.5 mm y 51% de 50.8 mm y una cargade bolas de 106.6 ton.

De los resultados informados se desprende que la evidencia industrial mayoritariaindica una cinética de orden (7 =0) para el desgaste de bolas.

Cualquiera sea la cinética expresada mediante el índice 7, la ecuación (8.20)expresa que el consumo de acero en toneladas por hora, por tonelada de bolas, esconstante para una determinada recarga de bolas y condición de molienda:

m.

T = 6 (constante) (8.24a)

Por lo tanto, el consumo de acero para un molino cilíndrico de diámetro D y largo L será:

Cons. bolas kg ⁄ h = (103)(constante)(6)(#D2L)(0.6J)(!b) (8.24b)

donde J es la fracción de llenado del lecho de bolas.

Sin embargo, se debe recordar que el desgaste por abrasión es un proceso cinético,comparable a la fractura, de modo que se puede esperar que la velocidad específica dedesgaste varíe con el diámetro del molino, con la velocidad de rotación y con la carga debolas de alguna manera semejante a la velocidad específica de fractura. Por ejemplo,para valores comparables de J y %c:

6 $ D0.5 (8.24c)

Esta es una tasa de abrasión que depende del número promedio de impactos de las bolasen la superficie rodada libre ($ D) y de la rotación por unidad de tiempo ($ 1 ⁄ 455D ), estoes, una dependencia de D ⁄ 455D = 455D .

Reemplazando la ecuación (8.24c) en la ecuación (8.24b) resulta:

Consumo bolas kg ⁄ h $ D2.5L

esto es, es proporcional a la capacidad del molino en toneladas de mineral por hora ytambién a la potencia en kW. Se concluye que el desgaste en kg de acero por tonelada

192

de mineral debería ser aproximadamente constante y el desgaste expresado como kg deacero por kWh debería también ser aproximadamente constante, siempre que las demáscondiciones sean constantes.

Si las condiciones no fuesen constantes, esto es, si el flujo de mineral no es eladecuado para llevar una determinada alimentación al mismo producto, estas reglas nopueden ser aplicadas. Obviamente para una molienda más fina el mineral permanece pormás tiempo en el molino, de modo que el desgaste por tonelada de producto debeaumentar. Sin embargo, hay otro factor que se debe tomar en cuenta. Una moliendamás gruesa implica la presencia de partículas más grandes en el molino, las que puedenproducir una acción de desgaste más intensa. Esto es comparable a un desgaste másrápido con un esmeril construido con partículas mayores. La Figura 8.10 muestraresultados de ensayos en un molino continuo de laboratorio de 0.6 m de diámetro por0.6 m de largo operado a una velocidad de 77% de la velocidad crítica, con bolas de60 mm y conos del mismo tamaño [8.21]. El material de alimentación era gravilla de cuarzocon un tamaño de 95% en el rango de 0.85 a 3.35 mm, en una pulpa de 75% de sólidosen peso. Estos resultados pueden probablemente ser usados para corregir las tasas dedesgaste para diversas distribuciones de tamaño del producto en el molino, de acuerdo alo indicado por el producto que sale del molino según la Tabla 8.3, o usando la ecuación(8.25) (ver Figura 8.10b).

(Tasa desg. x% más que 75 µm) = (Tasa desg. y% más que 75 µm) (1.5 + x ⁄ 10

1.5 + y ⁄ 10) (8.25)

Figura 8.10a : Tasa de desgaste para bolas o conos como función del tamaño delproducto que sale del molino : circuito abierto ; D=0.6 m; gravilla de cuarzo ; pulpa de

75% de sólido en peso.

193

8.6.CALCULOS DE CARGA BALANCEADA

En el capitulo 5 se dio las siguientes ecuaciones para el escalamiento de lasvelocidades de ruptura con una mezcla de n clases de bolas :

Si (d) = aT (xi ⁄ x0)A (2)

1

1 + (xi ⁄ C1µT)B*3+ C2C3C4C5 (5.23)

donde,

C1 = (D ⁄ DT)N2 (d ⁄ dT)N3

C2 = (dT ⁄ d)N2 (2)

1 + (d? ⁄ dT)1 + (d? ⁄ d)

*3+ , d? = 2 mm

C3 =

8

9

:

;

; (D ⁄ DT)N1

(D0 ⁄ DT)N1 (D ⁄ D0)N1 ' 7

, D = D0 = 3.8 m

, D C D0 = 3.8 m

C4 = (2)

1 + 6.6JT 2.3

1 + 6.6J 2.3

*3+ exp[' c(U ' UT)]

C5 = (2)

%c ' 0.1%cT ' 0.1

*3+ (2)

1 + exp[15.7(%cT ' 0.94)]1 + exp[15.7(%c ' 0.94)]

*3+

S_

i = @ k = 1

m

mk Si (dk) (5.13)

Estas ecuaciones pueden ser utilizadas inmediatamente durante la puesta en marcha deun molino, ya que en ese caso se conoce los valores de dk y mk. Sin embargo, para una

Tabla 8.3Tasa de desgaste relativa para diversas granulometrías que salen del molino.

Tamaño del producto

80% menor : µm

Tasa de desgasterelativa

425 2.48

300 2.22

212 1.89

150 1.55

106 1.27

75 1.00

53 0.79

194

distribución continua de bolas, como por ejemplo la carga balanceada de Bond, esnecesario dividir la carga de bolas en conjuntos arbitrarios de clases, con un tamañopromedio adecuado, o alternativamente, integrar sobre toda la distribución de bolas. Estasección da ecuaciones para este cálculo.

Se prefiere usar una secuencia de tamaños de bolas de acuerdo a 44552 para definirlas clases (Tabla 8.4). Esto da un rango lo suficientemente pequeño como para que untamaño de bola promedio, definido como el promedio geométrico de los límites de cadaclase dk = 455555dkmdkl , de la velocidad global de ruptura que daría una integración en el rango.En la definición de dk, dkm es el límite superior y dkl el límite inferior de la clase k. Parauna recarga de bolas de tamaño d1 , la ecuación (8.15) permite calcular mk con dmin<d k<d1

para esta recarga. El valor global de Si resulta de la ecuación (5.13), donde

Figura 8.10b : Tasa de desgaste 6 como función del % menor a 75 µm en el productode molienda de gravilla de cuarzo en un molino de D=0.6 m, con pulpa de 75% de

sólido en peso, a 77% de la velocidad crítica y con bolas de 60 mm.

195

S_

i (dj) = @ k

mk Si (dk ) (8.24a)

mk = D dkl

dkm

dM = dkm

4'7 ' dkl 4'7

d 4'7 ' dmin 4'7

(8.25)

y donde dkl y dkm son los tamaños de bolas que limitan la clase k. Designando por R larazón R=dkl/dkm, la ecuación (8.25) se reduce a:

mk = (1 ' R4 ' 7 ) R(k ' 1)(4 ' 7)

1 ' RnB(4 ' 7) , k = 1,2,…,nB (8.26)

donde nB es el número de clases de bolas en el molino hasta dmin. Cada clase esrepresentada por un tamaño promedio dk definido en forma tal que se cumpla la expresión.

mk (dT ⁄ dk)N0 = D dkl

dkm

(dT ⁄ d)N0 dM

Utilizando el valor de dM dado con anterioridad e integrando se obtiene:

dk = dkm (2)

4 ' 7 ' No

4 ' 7*3+

1 ⁄ No

(2)

1 ' R4 ' 7

1'R4'7'N0

*3+

1 ⁄ N0

(8.27)

Con 7=0 y R=1/44552, para varios valores de No resulta: No=1,dk/d km =0.925; No=0.75,dk/dkm =0.925; No =0.5, dk/dkm=0.926. Como el promedio geométrico da dk/dkm =0.92,queda demostrado que éste es una aproximación suficiente del intervalo de tamaño.

El efecto global de recarga con diversos tamaños dj con fracciones en masa mj?

resulta en un valor de S_

i:

Tabla 8.4Clases de bolas típicas para una carga balanceada proveniente de una recarga con

monotamaño de 2 pulgadas y con 7 = 0 y R=1/44552.

Clase kpulgadas

Clase kmm

Tamañopromedio dk mm

mk

2.0E 1.68 50.8E 42.7 47.0 0.507

1.68E 1.41 42.7E 35.9 39.5 0.254

1.41E 1.19 35.9E 30.2 33.2 0.126

1.19E 1.00 30.2E 25.4 28.0 0.064

1.00E 0.84 25.4E 21.4 23.4 0.032

0.84E 0.71 21.4E 18.0 19.8 0.016

196

S_

i = @ j

mj> S_

i (dj) (8.28a)

donde mj> se obtiene de la ecuación (8.20) con (8.18a).

Hay dos métodos para tomar en cuenta la variación del parámetro B con el tamañode bolas, para la molienda normal. Si el método de clase de bola es usado para los valoresde S, el conjunto de valores de B

__ij se puede calcular automáticamente de:

B__

ij =

@ k = 1

nB

mkSj (dk )Bij (dk)

S_

j

(8.28b)

siempre que se ingresen los valores Bij(dk) para cada clase de bola.

Por otra parte se ha encontrado que el conjunto de valores medios B__

ij, para laruptura normal en una carga balanceada, también se puede ajustar mediante la formausual, con valores apropiados de F

_, G

__ y H

__. Para una distribución continua de tamaño de

bolas, la ecuación (8.29) se transforma en:

Bij = D dmin

dmax

Sj(d)(2)Bij(d)

S_

j

*3+M(d) (8.29a)

donde Bij(d) es el valor de Bij para bolas de tamaño d. Si se define una variable f(d,i,j)=Bij(d) /Bij(ds ) y se supone que Sj(d)$ 1/dNo, en la zona de ruptura normal, la ecuaciónpasa a ser:

B__

ij = Bij(ds)(2)

Sj(ds)S_

j

*3+ ds

N0 D dmin

d1

(1 ⁄ d N0) f (d,i,j) dM(d) (8.29b)

Reemplazando dM por el correspondiente a una carga balanceada resultante de unarecarga con monotamaño, resulta:

B__

ij = Bij(ds) (2)Sj(ds)

S_

i

*3+

4 ' 7

(d1 ⁄ ds)4 ' 7 ' (dmin

⁄ ds)4 ' 7 D dmin

d1

f (d,i,j)(2)

dds

*3+

3'7'No

d(2)

dds

*3+ (8.29c)

Esta ecuación fue integrada numéricamente usando valores normalizados de Bij según:

Bij(ds) = G(2)xi'1

xj

*3+

F

+ (1 ' G)(2)

xi' 1

xj

*3+

H

, n C i > j

197

y calculando f(d,i,j) usando los valores de % y F del cuarzo para otros tamaños de bolas.Los valores apropiados de F

_, G__

y H__

para ajustar la ecuación en forma bastante precisa sedan en la Tabla 8.5 como cuocientes con los valores F, G y H del Bij, normalizado. Seobserva en la Tabla 8.5 que el parámetro Bij no es sensitivo a H pero sí a F

_ y G

__. La razón

F_

⁄ F es esencialmente constante para cada mineral, de modo que una aproximaciónrazonable es usar el mismo factor de corrección para todos los materiales, con valoresque dependen de dmax.

La complicación final en el cálculo de B es que Bij puede ser diferente para laspartículas grandes rompiéndose en la zona de ruptura anormal. La práctica reciente eseliminar el uso de molinos de barras de los circuitos de molienda y usar un producto detrituración directamente en molino de bolas. En esta circunstancia la alimentación almolino de bolas tiene una fracción significativa entre 5 a 50 mm (no es usual usar bolasmayores de 90 mm debido al daño que se causa a las lainas por el impacto de estas bolas).Un modelo que incluya estas partículas grandes debe incluir valores de Si que pasan porun máximo y la distribución primaria de fragmentos de estos tamaños grandes. Carbonesdébiles dan el mismo valor de Bij para partículas grandes que para la región normal. Sinembargo, materiales tan fuertes como las menas y clinker de cemento dan, para partículasgrandes, valores de Bij que contienen una mayor proporción de finos, debido a un mayorcomponente de astillamiento y abrasión en la fractura, y por lo tanto un valor menor deF.

Existe una clara necesidad de estudiar la distribución de fractura primaria departículas grandes como función de los diámetros del molino y de las bolas. En ausenciade mayor información se puede suponer que estos valores anormales Bij dependen de larazón entre el tamaño que se fractura xj y el tamaño para la máxima fractura xmax, de modoque los valores del vector Bi-j son los mismos para el mismo xj/xmax. El diámetro de bolamínimo que da ruptura normal del tamaño j es:

Tabla 8.5Variación de los parámetros de Bij con la mezcla de bolas en un molino para 7=0.

Mena d1/ds F_

⁄ F G__

⁄ G H__

⁄ H

Cobre 3.0 0.72 1.08 0.96

F = 0.61 2.5 0.82 1.08 0.98

G = 0.63 2.0 0.90 1.06 1.00

H = 2.9 1.75 0.93 1.05 1.00

1.5 0.97 1.02 1.00

Cuarzo 3.0 0.73 1.08 0.92

F = 1.10 2.5 0.83 1.08 0.97

G = 0.65 2.0 0.91 1.06 0.98

H = 5.8 1.75 0.94 1.05 1.00

1.5 0.96 1.02 1.00

198

dmin ⁄ dT = (2)(2)

xj

µT

*3+ (2)

B ' AA

*3+

1 ⁄ B*3+

1 ⁄ N3

, B > A (8.30)

Todas las bolas mayores darán una ruptura normal de este tamaño. Para tomar en cuentaplenamente este efecto es necesario utilizar una matriz Bij(dk) para cada clase de tamaño,o usar una matriz anormal Bij para los tamaños xj mayores que el crítico dado por :

xj ⁄ µT = (2)

ddT

*3+

N3

(2)

AB ' A

*3+

1⁄B

para el tamaño de bola que está siendo considerado. Sin embargo, se puede hacer unaaproximación usando solamente valores normales de Bij y un vector de Bij> como unpromedio de ruptura anormal. Entonces para cualquier tamaño xj un promedio ponderadode Bij se define mediante la fracción fj de ruptura de ese tamaño que es normal, la que sedefine por:

fj = @ k = 1

kmin

mkSj ⁄ S_

j (8.31)

donde k=1 a k=kmin es para bolas de tamaño mayor al dmin de la ecuación (8.30), entonces:

B__

ij = fj Bij + (1 ' fj ) B>ij (8.32)

8.7.OPTIMIZACION DE LA RECARGA DE BOLAS

El resultado de la sección anterior se puede combinar con un modelo de moliendaen circuito cerrado para crear un simulador que permita predecir la capacidad de molienday el consumo de acero en función de la distribución de tamaño de la alimentación frescaal molino, los parámetros de fractura del mineral, las propiedades de desgaste del acero,

Fracción de carga de bola, J 0.41

Fracción de carga fina, U 1.0

Fracción de velocidad crítica, %c 0.85

Porcentaje en peso de sólido, % 70

Velocidad de desgaste lineal, 6 [µm ⁄ h] 25

Densidad de bola !b, ton/m3 7.9

Carga circulando, (1+C) 4.0

By-pass del clasificador, a 0.50

Sharpness Index, S.I. 0.41

Tabla 8.7Condiciones de operación a gran escala de la molienda de mineral de cobre

199

Tabla 8.7Arreglo de la distribución de tamaño del mineral de cobre

Tamaño de malla# de malla(Tyler)

µm

Peso% menor que el tamaño

3 6730 100.0

4 4760 95.1

6 3360 86.0

8 2380 75.0

10 1680 64.8

14 1190 55.0

20 850 47.3

28 600 41.0

35 425 35.7

48 297 31.5

65 210 27.8

100 149 24.5

150 105 21.2

200 74 19.7

270 53 17.6

400 37 16.4

Consumo de acero cT gr/ton

Cap

acid

ad d

el c

ircui

to Q

, ton

/h

Tamaño de la recarga

% - 65 mallas

Figura 8.11 : Capacidad del circuito versus consumo de acero para bolas demonotamaño acondicionadas que reunen la especificación del producto.

200

el comportamiento del clasificador y la especificación del producto, para una determinadadistribución de tamaño de bolas en la recarga. A este simulador se le puede agregar unarutina de optimización para encontrar los tamaños de bolas en la recarga que den lamáxima capacidad sujeta a las restricciones estipuladas, o que permita encontrar el óptimopara una determinada función objetivo.

Un ejemplo de este procedimiento ha sido dado por Concha, Santelices y Austin[8.22 - 8.23]. Ellos usaron el modelo correspondiente a un reactor grande seguido por dospequeños, una ley de desgaste de orden cero con una constante de desgaste lineal igual a6 y una función de clasificación simple caracterizada por las ecuaciones (9.19 y 9.24a)de la sección 9.4, con los tres parámetros: d50, “a” y S.I. Las ecuaciones indicadasanteriormente se programaron para calcular la distribución de bolas en el equilibrio paratamaños en secuencia de 44552 , con un tamaño apropiado para el diámetro promedio decada clase. Los parámetros de fractura utilizados fueron los determinados para un mineralde la División Andina de Codelco-Chile, dados en la Tabla 5.1. Las velocidades defractura para el mineral fueron calculadas para cada clase de tamaño de bolas mediantela ecuación (5.23) escalada para un molino de 3.35 m de diámetro interno por 4.88 m delargo (12.5x16 pies). Las condiciones de operación que se eligió para el molino se danen la Tabla 8.6. Como alimentación se utilizó un producto típico de descarga de un molinode barras, ver Tabla 8.7. Las simulaciones se realizaron para una determinada cargabalanceada, esto es, para una determinada recarga de bolas, por medio de una doblebúsqueda. En primer lugar se variaba I hasta que la granulometría del producto delcircuito cumpliera con una especificación de un punto en la curva granulométrica con unerror menor a J1. Este resultado produce un valor único para la razón de recirculación C.En segundo lugar, se cambiaba el valor de d50 del clasificador, manteniendo “a” y S.I.constantes, y nuevamente se variaba I para dar un nuevo valor de C. Esta segundabúsqueda permite satisfacer el valor deseado para la razón de recirculación C con un errormenor a J2. El resultado de esta doble búsqueda es un valor de la capacidad del circuito

Figura 8.12 : Comparación de niveles de llenado para varias pulpas viscosas conpredicción de la ecuación de transporte de masa :

! 35% sólido en volumen de carbón en aceite, D/L=0.82 / 2.44 m." 65% sólido en volumen de carbón en agua, D/L=0.56 / 0.91 m.

201

en toneladas por hora y una tasa de consumo de acero en gramos por tonelada de producto,para la recarga de bolas seleccionada. Variando ahora la recarga de bolas y repitiendo elproceso se obtiene, para cada recarga de bolas, la capacidad de circuito y consumo deacero asociados. En el trabajo que se comenta se eligió una función objetivo simple:“maximizar la capacidad del circuito para dar un producto con tamaño de 80% menor a65 mallas (212 µm) y un consumo de acero restringido a un máximo de 500 g/t”.

Se encontró ventajoso construir un gráfico como el mostrado en la Figura 8.11.Estas curvas corresponden a las capacidades del circuito versus el consumo de acero pararecarga de monotamaños de bolas. Cada curva muestra que al disminuir el tamaño de lasbolas en la recarga la capacidad del circuito aumenta, pero también lo hace el consumode acero. En el rango de las bolas grandes, de 2.5 a 3 pulgadas, el aumento de capacidades más rápido que el aumento del consumo de acero, mientras que en el rango de las bolaspequeñas un cambio de diámetro de 1.5 a 1 pulgada aumenta levemente la capacidad peroincrementa drásticamente el consumo de acero. Las curvas también muestran que, paraun determinado tamaño de bolas en la recarga, la capacidad es mayor para una moliendagruesa y menor para una molienda más fina, como podía esperarse. Sin embargo, unaspecto interesante de las curvas es que, como las capacidades son mayores para lamolienda más gruesa, la restricción de 500 g/ton se puede cumplir con un tamaño de bolaóptimo menor en la recarga para una molienda gruesa que para una molienda más fina,y vice versa. El tamaño óptimo de bolas es mayor para una molienda más fina. Esto sinduda se debe al efecto de la restricción en el consumo de acero y no se obtendría el mismoresultado de no imponer esta restricción.

Para este caso estudiado, la capacidad máxima del circuito que cumple además larestricción de 500 g/ton en el consumo de acero se obtiene con una recarga de bolas deentre 1.5 y 2 pulgadas, aproximadamente de 1.7 pulgadas. Es razonable suponer que untamaño de bolas de 1.7 pulgadas corresponda a una mezcla ponderada de bolas de 1.5 y2 pulgadas, por lo tanto, habiendo definido el área de búsqueda por medio de la Figura8.11, el programa buscó la mezcla de bolas de estas dos clases que optimizan la funciónobjetivo. En esta búsqueda, la precisión en la masa relativa de uno de los tamaños en lamezcla de recarga se podía elegir, esto es, una precisión de un 50% compararía solamenteel resultado de recargas de 100% de bolas del tamaño 1, 100% de bolas del tamaño 2 y

Tabla 8.8Resultados del procedimiento de optimización

Precisión%

Producto% en peso< 65 mallas

Desgasteacerog/tonmineral

Qton/h

Proporciónde bolas de1.5 "%

Proporciónde bolas de2.0 "%

100 79.9 447.0 189.2 — 100

100 80.1 524.4* 224.9 100 —

50 80.0 482.8 204.1 50 50

25 80.0 482.8 204.1 50 50

5 80.0 499.1 211.3 70 30

1 80.0 499.7 213.3 73 27

*No reune los requerimientos de desgaste.

202

50% de cada uno de los tamaños. Un 1% de precisión significa que la masa óptima debolas de cada tamaño se calcula hasta el 1% más cercano. La Tabla 8.8 muestra losresultados. Estos indican que usando un 100% de bolas de 1.5 pulgadas se obtiene unaalta capacidad, pero el consumo de acero es mayor de 500 g/ton, por lo que no se cumplela restricción. Una recarga con 100% de bolas de 2 pulgadas cumple la restricción en elconsumo de acero pero da una capacidad de solamente 189 ton/h. La mezcla óptima esde aproximadamente 70% de bolas de 1.5 pulgadas y 30% de bolas de 2 pulgadas, dandouna capacidad de 211 ton/h, esto es, un aumento de capacidad de más de 11%.

No se puede esperar que los resultados presentados sean numéricamente correctos,ya que los cálculos no se corrigieron por cambios en los parámetros del molino yclasificador debido al aumento del tonelaje. Además, el valor de tasa de desgaste de acerode 6=-1.26x10-2 mm/h utilizada, fue determinada con los datos conocidos de masa debolas de reemplazo y masa de bolas retenidas en el molino industrial, el que utilizaba un100% de bolas de 2 pulgadas en la recarga. Es posible que la distribución de bolas máspequeñas que se originaría en un molino que utilizara sólo un 30% de bolas de 2 pulgadasy un 70% de bolas de 1.5 pulgadas diera una tasa de desgaste distinta, posiblemente mayordebido al aumento en la estadística de colisión [8.13]. Este es un factor que aún falta porinvestigar en forma sistemática.

8.8.EFECTO DEL FLUJO Y TRANSPORTE DE MASA

Como se discutió con anterioridad, parece que el flujo de alimentación tiene dosefectos sobre el comportamiento de un molino de bolas.

En primer lugar, los resultados de laboratorio mostrados en el capítulo 5 sugierenque el nivel de llenado de un molino de rebalse aumenta a medida que el molinoincrementa su flujo de alimentación, pero que este aumento de nivel no es muy grande.Por otra parte la densidad de pulpa en el molino también aumenta con flujos elevados.Ensayos de DTR realizados en molinos industriales han mostrado que el aumento depulpa retenida en el molino es proporcional a F0.5.

Rogers y Austin [8.24] encontraron el resultado mostrado en la Figura 8.12, en laque el flujo másico que pasa a través de molinos de diferentes tamaños fue normalizadodividiendo por D3.5 (L/D). La curva de la figura 8.12 se puede representar mediante laecuación:

U = 8

9

:

;

;

U1[(F ⁄ W1) ⁄ (F1 ⁄ W1)]0.5

1.3

,U C 1.3

,U1 (F ⁄ F1)0.5 = 1.3

donde F y W son el flujo de alimentación y el material retenido en el molino, U es lafracción de llenado de huecos entre las bolas por mineral y el subíndice 1 indica los valoresde F y W para los cuales U=1. Rogers y Austin [8.24] usaron las simulaciones de Austiny Brame [8.25] para sugerir que F1 podría escalar con el diámetro del molino aproximada-mente en la misma forma que lo hace la capacidad, esto es,

F1 = k %c !s D3.5(L ⁄ D) (8.33)

203

en que la densidad del sólido convierte los flujos volumétricos a másicos.

En la mayoría de los casos el nivel de la carga de bolas correspondeaproximadamente al nivel de rebalse, de modo que U también es una medida de nivel depolvo o pulpa con respecto al rebalse. Sin embargo, los resultados en escala piloto,mostrados en la Figura 8.12, fueron obtenidos en un molino de parrilla para retener lasbolas, de manera que el nivel de bolas estaba considerablemente por encima del nivel derebalse. En este caso el nivel de llenado se expresó como fracción de llenado Uc de unlecho de bolas que llega justo al nivel de descarga Jo. En base a estos resultados se puedehacer una estimación del transporte de masa mediante la ecuación.

U = 8

9

:

;

;

Uo

Uo(F ⁄ Fo)0.5

, F < Fo

, F > Fo, U > Uo

(8.34)

Fo = 0.5 !s %cD3.5(L ⁄ D) (8.35)

donde Uo = 1.3Jo/J es el nivel mínimo de U para que se produzca transporte de masa ycorresponde a la línea horizontal en la Figura 8.11. Las unidades de D, !s y F están enmetros, ton/m3 y tons/h; (la unidad de k en la ecuación (8.33) es de 1/m0.5 horas). Sinembargo, estos resultados no concuerdan con los resultados dados en el capítulo 5 paraensayos en escala de laboratorio. Por otra parte, no parece lógico aplicar esta ecuación,basada en el flujo mínimo para producir rebalse, a molinos con descarga de parrilla. Sinembargo, el método de diseño de Bond utiliza la misma forma para tomar en cuenta elefecto del flujo en molinos de rebalse que en molinos de parrilla.

Lippek [8.26] da una ecuación que relaciona el tiempo promedio de residencia conel flujo para un molino tubular de dos compartimientos y descarga de parrilla para lamolienda seca en la industria del cemento:

I = 6.1D0.76F' 0.62L (8.36)

El exponente -0.62 se obtuvo a partir de datos de un molino piloto de DxL=0.7x1.5 m,pero es consistente con datos de dos molinos industriales de DxL=3.2x15 m yDxL=4.4x15 m. El exponente 0.76 está basado en el escalamiento entre el molino pilotoy el molino mayor, suponiendo una simple dependencia de Dn. Usando la definición deI=W/F, y como W= (D2/4)(L)(0.4J)(0.6U!s), la ecuación (8.36) se puede escribir en laforma:

U = 1.69(1 ⁄ #J !s) F0.38 ⁄ D1.24

Haciendo F=F1 para U=1, la ecuación se reduce a:

U = (F ⁄ F1)0.38 (8.37)

donde

F1 = (#J!s ⁄ 1.69)2.63D3.26 (8.38)

204

Se puede suponer que el flujo es proporcional a la densidad del sólido y a la fracción develocidad crítica y, suponiendo valores razonables de %s, !s, J y L/D (en la prácticaeuropea %c=0.7, !s= 3.1 (clinker de cemento), J=0.27 y L/D= 3.5 se obtiene :

F1 = 0.43D0.26(!s %c D3)(L ⁄ D) , tons ⁄ h (8.38a)

Si se ponen las ecuaciones (8.34) y (8.35) en la misma forma, resulta:

U = (F ⁄ F1)0.5, F > 1.69 , U C 1.3

F1 = 0.30D0.5(!s %cD3)(L ⁄ D) (8.35a)

Una comparación de las ecuaciones (8.35a) y (8.38a) para molinos de D=3 m y D=4 mda un valor del término sin paréntesis de 0.57 y 0.62 para el cemento y 0.50 y 0.58 parala molienda húmeda respectivamente.

El segundo efecto del flujo sobre el comportamiento de un molino está asociadoal cambio de granulometría en su interior, el que cambia la eficiencia de molienda (versección 5.8). Nuevamente hay poca información para hacer aseveraciones sobre esteefecto, ya que numerosas variables pueden modificar el comportamiento, tales como lapendiente en la curva granulométrica, la eficiencia de la clasificación y otras. Es posiblesin embargo, que un alto flujo a un molino húmedo, ya sea en circuito abierto o cerradomediante un clasificador funcionando con eficiencia normal o alta, conducirá a lapresencia de una granulometría gruesa en el interior del molino y como consecuencia auna disminución de la velocidad de fractura por disminuir el efecto de la aceleración. Esteefecto produce un resultado similar a la disminución de la velocidad de fractura debidoal sobrellenado discutido más arriba.

Si se supone que cualquiera de los dos efectos discutidos se aplica igualmente atodos los tamaños de partículas sometidos a fractura en el molino, es posible hacer unacorrección a la capacidad pronosticada sin modificar el simulador. Este factor decorrección lo hemos denominado “factor de sobrellenado” y lo hemos designado por Ko,(con 0<Ko<1). Debe quedar entendido que el factor de sobrellenado contiene tanto elefecto de sobrellenado propiamente tal como el efecto de la granulometría discutido. Porejemplo, si el efecto se refiere solamente a un aumento del sobrellenado más allá de U=1en un molino de rebalse, el factor de corrección se obtendría de:

U = 1.3(F ⁄ Fo)0.5 (8.39)

Fo = 0.5 !s %cD3.5(L ⁄ D) (8.40)

donde F está relacionado al flujo F* sin corregir mediante:

Ko = F? ⁄ F = Q? ⁄ Q (8.41)

Para un circuito de molienda cerrado y directo, en que F*=Q*(1+C), el simulador entregaráun valor de Q* basado en el valor de U que está utilizando y un valor de I? basado en U*

y F*. La reducción en capacidad del molino debido solamente al sobrellenado será:

205

Ko = U exp (' cU )U? exp (' cU?)

(8.42)

La solución simultánea de estas cuatro ecuaciones da el valor de Ko y los valorescorregidos de F y Q. El resto de las salidas del simulador permanecen inalteradas con elcambio de Si (siempre que éste sea constante para todo i).

8.9.REFERENCIAS

8.1. White, H.A., J. Chem.Met.and Mining Soc. S. Africa, 5(1904), 290-305.

8.2. Davis, E.W., Trans. AIME, 61(1919), 250-296.

8.3. Rose, R.H., Sullivan, R.M., Ball, Tube and Rod Mills, Chemical Pub. New York, NY 1958, 69-108.

8.4. Hogg, R. and Fuerstenau, D.W., Trans. AIME, 252(1972), 418- 432.

8.5. Gaudin, A.M., Principles of Mineral Dressing, McGraw-Hill, NY, 1939.

8.6. Bond, F.C., Brit. Chem Eng., 6(1965), 378-391.

8.7. Rowland, C.A., Jr., Comparison of work indices calculated from operating data with those fromlaboratory test data, Proc. 10th. IMPC, M.J. Jones, ed., IMM (London), (1974), 47-61.

8.8. Beeck, R., Zem.-Kalk-Gips, 23(1970), 413-416.

8.9. Hackman. A. H., Pitney, R.J. and Hagemeier, D.F., Pit and Quarry, 66(1973), 112-122.

8.10. Rogers, R.S.C., Shoji, K., Hukki, A.M. and Linn, R.J. The Effect of Liner Design on thePerformance of a Continuous Wet Ball Mill, XIV IMPC, CIM (Toronto), (1982), 15.1-19.

8.11. Rowland, C.A., Jr. and Kjos., Mineral Processing Plant Design, 2nd. Ed., A. Mular and R. Bhappu,eds., SME, New York, (1980), 239-278.

8.12. Trelleborgs Gummifabriks AB, “Trelleborg Mill Lining”, Trelleborgs, Sweden (undated).

8.13. Austin, L.G., and Klimpel, R.R., Powder Technol., 41(1985), 279-286.

8.14. Stern, A.L., Chem.Eng., 69(1962), 129-146.

8.15. Comminution, V.C. Marshall, ed.,I.Chem. Eng.(London) (1975).

8.16. Bond., F.C., Metal Wear in Crushing and Grinding, AIChE Annual Meeting, 54(1 963).

8.17. Lin, I.J., and Nadir, S., Mat. Sci. Eng., 39(1979), 193-209.

8.18. Natarajan, K.A., Riemer, S.C. and Iwasaki, I., Corrosive and Erosive Wear in Magnetic TaconiteGrinding, AIME Annual Meeting, preprint 83-4(1983).

8.19. Davis, E.W., Trans. AIME, 61(1919), 250-296.

8.20. Lorenzetti, J.J., Ball Size Distribution -from Computer Simulation to Product, 3rd Sym. onGrinding, Armco Chile, S.A.M.I., Viña del Mar (1980).

8.21. Menacho, J.M. and Concha, F., Powder Technol., 47 (1986), 87-96.

8.22. Howat, D.D. and Vermeulen, L.A., Fineness of Grind and the Consumption and Wear Rates ofMetallic Grinding Media, Powder Technol., in press.

8.23. Concha, F., Santelices, R., Austin, L. G., Nuevo Método de Recarga de Bolas para MolinosRotatorios, V Simposio sobre Molienda, ARMCO-Chile, Viña del Mar, 1987, 99-114.

8.24. Concha, F., Santelices, R. y Austin, L.G., Optimization of the Ball charge in a Tumbling Mill, XVIIMPC, Stockholm, 1988.

8.25. Rogers, R.S.C. and Austin, L.G., Particulate Science and Technology, 2(1984), 191-209.

8.26. Austin, L.G.and Brame, K., Powder Technol., 34(1983), 261-274.

8.27. Lippek E., Durchsatzabhängigkeit von Verweilzeit und Mahlguttmasse im Rohrmühlenunterschiedlicher Grösse, Freiberger Forschungshefte, A658(1982), 43-52.

206

CAPITULO 9

CLASIFICACION E HIDROCICLONES

9.1.INTRODUCCION

Se denomina clasificación a la operación de separación de los componentes de unamezcla de partículas en dos o más fracciones de acuerdo a su tamaño, siendo cada grupoobtenido más uniforme en esta propiedad que la mezcla original. Generalmente laclasificación es afectada por otras variables del material o del medio ambiente. Duranteel harneado, el material es sometido a la acción de una serie de mallas por las cuales pasanlas partículas pequeñas y quedan retenidas las mayores. En esta separación, por cierto,también influye la forma de las partículas. En la clasificación de una suspensión, elmecanismo que se utiliza para separar las partículas según su tamaño es la sedimentación.En este caso, también influye la forma de las partículas, las densidades del sólido y fluidoy la concentración y viscosidad de la suspensión.

La clasificación es en algunos casos una operación primordial, especialmentecuando el producto tiene especificaciones estrictas de tamaño. En otros casos, ella es unaoperación auxiliar de la molienda, y es aquí donde encuentra su aplicación más importanteen la industria minero-metalúrgica. Se habla de la operación de molienda en circuitocerrado donde los objetivos de la clasificación son hacer más eficiente la molienda yasegurar que el producto de la operación esté bajo un determinado tamaño, recirculandoal molino las partículas mayores.

Hay varias ventajas en operar la molienda en circuito cerrado, en comparación aun circuito abierto, esto es, sin incluir una etapa de clasificación. La principal ventajaes que una porción significativa del material que ya está suficientemente fino es removidodel molino evitando la sobremolienda. El circuito produce un material con una curvagranulométrica de Schuhmann más empinada (menos cantidad de finos) a medida que elgrado de recirculación aumenta. La eliminación parcial del material fino puede tambiénreducir el efecto de “desaceleración” de la molienda causado por la acumulación de finosen el molino, los que producen un efecto de colchón en la molienda seca o un aumentode la viscosidad de la pulpa en la molienda húmeda. Por otra parte, hay evidencia quemucha recirculación del material al molino causa sobrellenado de éste, de manera queexiste un valor óptimo de recirculación.

En general la energía específica para moler hasta un tamaño determinado es menorpara la molienda en circuito cerrado. El uso de recirculación permite además una mayorestabilidad de la operación, especialmente para molinos de descarga por parrilla. En estecaso, el reciclo es especialmente importante para evitar la fluctuación periódica delmaterial retenido en el molino, ayudando a mantener una potencia constante. Finalmente,

207

el uso de la clasificación añade un grado de libertad en el control del molino ayudando acorregir los cambios en el tamaño o dureza del material de alimentación. La mayordesventaja del uso de un circuito cerrado de molienda-clasificación es el capital adicionalnecesario para el equipo de clasificación y el sistema de recirculación.

En la mayoría de los casos el producto de la clasificación está constituido por dosfracciones, una integrada preferentemente por las partículas gruesas y la otra por laspartículas finas. La fracción gruesa recibe el nombre de descarga mientras que la fracciónfina se denomina rebalse. En una operación perfecta los productos de descarga y rebalsequedarán separados de tal forma que la descarga contenga todo el producto mayor quecierta malla, que llamaremos tamaño de separación y el rebalse todo el material menora ese tamaño. Los equipos de clasificación, o clasificadores, en general no producenuna operación perfecta. Partículas de exactamente el mismo tamaño y propiedadesfísicas, tales como forma y densidad, recibirán una diferente acción de clasificación enel mismo equipo debido a efectos de entrada y efectos de pared del equipo y debido alefecto dispersivo del fluido (turbulencia). Algunas de estas partículas idénticas seránenviadas a la descarga mientras otras aparecen en el rebalse. Aun para acciones declasificación muy simples, la presencia de dispersión aleatoria hace díficil la predicciónexacta de la separación de tamaños. Otras propiedades del material de alimentación, talescomo la forma y densidad, introducen complicaciones adicionales. Finalmente, se puedereconocer que la acción de separación de las fuerzas involucradas sobre las partículas, severifica en suspensiones densas y los actuales tratamientos teóricos de éstas no son deltodo satisfactorios. Por todas estas razones los clasificadores no son equipos ideales. Porejemplo, aún cuando en todos los clasificadores se puede distinguir el tamaño deseparación como aquel para el cual todas las partículas mayores son enviadas a ladescarga, ésta también recibirá siempre una cierta proporción de partículas menores.

Cuando se efectúa variaciones en las condiciones de operación del molinodestinadas a cambiar, por ejemplo, la granulometría del producto, también se producecambios en los parámetros del clasificador. Por esta razón, para producir simulacionesrazonablemente precisas de la acción de la molienda en circuito cerrado, es necesarioconocer el efecto que sobre los parámetros del clasificador tiene el diseño de éste y lasvariables de operación del circuito. Este tipo de información no es comúnmente conociday, por ejemplo, en el tipo de clasificador más utilizado en las plantas de procesamientode minerales, el hidrociclón, esta información no está completa existiendo divergenciasde opinión entre los investigadores sobre las relaciones cuantitativas involucradas. Losmodelos teóricos de clasificadores son en general demasiado simplificados como paradar buenas predicciones cuantitativas. El objetivo en este capítulo es demostrar comose puede cuantificar datos de la operación de clasificación, para diversos tipos declasificadores, en una forma apropiada a la simulación de circuitos demolienda-clasificación.

9.2.PRINCIPIOS DE ACCION DE LOS CLASIFICADORES

Los varios tipos de equipos de clasificación caen en dos categorías: (1) aquellosque utilizan la clasificación en un fluido y (2) aquellos que someten las partículas a unaserie de mallas.

208

(1) Clasificación en un fluido.

La clasificación en un fluido se basa principalmente en la velocidad relativa queadquieren las partículas al moverse en un fluido cuando están sometidas a una fuerzaexterior. Equipos que usan este principio son los clasificadores de flujo transversal, talescomo el clasificador de espiral, el clasificador de rastras, el clasificador hidráulico y losclasificadores centrífugos, tales como el hidrociclón y el clasificador de álabe.

Los clasificadores de flujo transversal se caracterizan porque el campo de fuerzaque produce la separación de las partículas, generalmente la gravedad, es perpendicularal campo de velocidad de la pulpa. El principio en que se basa la clasificación en estosequipos se muestra en la Figura 9.1.

Durante el trayecto, las partículas sedimentan de acuerdo a su tamaño, densidad yconcentración, de modo que el material de rebalse tiene una composición más fina quela alimentación. La eliminación del material grueso sedimentado, mediante un espiralsin fin, una rastra mecánica u otro mecanismo, constituye una de las principalesdiferencias entre los diversos equipos que se utilizan en la práctica: clasificadoresmecánicos y estanques de deslamado. El clasificador mecánico fué un equipo muyutilizado en la industria minera hasta hace algunos años. En la actualidad ha sidoreemplazado casi totalmente por los hidrociclones, que presentan ventajas, especialmentedesde el punto de vista de la inversión de capital y de la mantención. Sin embargo, existeuna serie de procesos en los cuales aun se prefiere el clasificador mecánico. Un ejemplotípico es el lavado y clasificación de arena para la construcción y para la industria delvidrio y en plantas pilotos de procesamiento de minerales de pequeña capacidad, en lasque no se puede utilizar hidrociclones. La Figura 9.2 muestra diagramas de clasificadoresmecánicos.

El clasificador hidráulico también utiliza la sedimentación como mecanismo declasificación, pero, en este caso, el campo de fuerza y el campo de flujo son paralelos.Estos equipos son estanques verticales en que la alimentación es introducida en la partesuperior. Por la parte inferior se introduce agua para establecer un flujo ascendente. Laspartículas sólidas sedimentan contra esta corriente ascendente y aquellas que tienen unavelocidad terminal mayor que la velocidad del fluido caerán al fondo del equipo. Las

Figura 9.1 : Principio de clasificadores de flujo transversal.

209

partículas más pequeñas serán arrastradas por el fluido y saldrán por la parte superior delequipo. En la Figura 9.3 se muestra un ejemplo de clasificador hidráulico.

En los clasificadores centrífugos la fuerza de campo es producida por la rotacióndel fluido. En los hidrociclones la fuerza centrífuga se produce debido a una entradatangencial de la alimentación, mientras que en los clasificadores de álabe la rotaciónmecánica de éstos produce la rotación del fluido. El hidrociclón es un estanque cilíndricode fondo cónico con una alimentación tangencial en la parte superior. Posee dos salidas,una situada en el centro y en lo alto de la parte cilíndrica, que recibe el nombre de vortexy una en el extremo inferior del cono, que recibe el nombre de apex (ver Figura 9.4). Laentrada tangencial de la suspensión produce en el hidrociclón un movimiento en vórticeen tres dimensiones. El movimiento radial está dirigido al eje en todo el equipo. El

Figura 9.2a : Diagrama de un clasificador mecánico.

Figura 9.2b : Diagrama de un clasificador de espiral.

210

movimiento axial es positivo (hacia el vortex) cerca del eje y negativo (hacia el apex) enlas cercanías de las paredes cilíndricas y cónicas del hidrociclón. El movimientotangencial tiene siempre el mismo sentido con un máximo a cierto radio intermedio, peromás cercano al eje.

La Figura 9.5 muestra la distribución de velocidad para una altura determinada delhidrociclón. El movimiento en vórtice produce un campo de fuerza centrífugo queimpulsa las partículas hacia las paredes del equipo. En su trayectoria radial, desde laalimentación en la periferia del equipo hasta el apex o el vortex, las partículas debenvencer la resistencia del fluido que se mueve hacia el eje del equipo. Por esta razón las

Figura 9.3 : Diagrama de un clasificador hidráulico.

Figura 9.4 : Diagrama de un hidrociclón.

211

Figura 9.5 : Distribución de velocidad radial vr, axial vz y tangencial v ! en el interiorde un hidrociclón.

Figura 9.6 : Clasificador centrífugo de álabes.

212

Figura 9.7 : Harnero Vibratorio.(1) sostén de la malla, asa tranversal fija

(2) marco oscilatorio, asa transversal móvil(3) amortiguador de oscilación, elemento de goma

(4) malla, tensionada y sin tensión(5) polea en v

(6) soporte de resortes(7) tope de goma

(8) marco con soporte del motor

Figura 9.8 : Harnero curvo.

213

partículas mayores llegarán más cerca de las paredes y las menores serán arrastradas haciael eje del hidrociclón. Se establece así un gradiente radial de tamaño de las partículas enel equipo. La corriente axial separa las partículas finas de las gruesas, enviándolas ensentido opuesto. Las partículas mayores bajarán con la corriente descendente, cercana alas paredes, describiendo una trayectoria espiral y saldrán por el apex constituyendo ladescarga mientras que los finos formarán una espiral central ascendente que saldrá porel vortex constituyendo el rebalse. En un ciclón de gas, el material de descarga sale delequipo y cae por gravedad en un estanque. En un hidrociclón la descarga debe contenersuficiente cantidad de líquido para mantener una pulpa fluida de modo que descargue enforma de un spray cónico.

El principio de acción de un clasificador de álabe consiste en que los álabesestacionarios, o movidos mecánicamente, producen un cambio de dirección del gas quecontiene las partículas en suspensión. Las partículas mayores chocan con los álabesdebido a la inercia, pierden velocidad y caen bajo el efecto de la gravedad, mientras quela partículas menores son arrastradas por el fluido en su cambio de trayectoria. Se puedeconstruir equipos que combinen la acción de un ciclón y un clasificador de álabe. Elclasificador de álabe que se muestra en la Figura 9.6 es el equipo típico usado paraclasificar partículas finas. Consiste en dos ventiladores funcionando en direccionesopuestas. El ventilador primario succiona el aire, con la suspensión, en forma axial y loimpulsa radialmente como se ve en la figura. Las partículas finas siguen la corriente deaire mientras que las gruesas caen por efecto de la fuerza de gravedad. Mientras másrápido rote el ventilador secundario, menor es la chance que una partícula grande (demovimiento lento) pase por entre las aspas antes de chocar con los álabes y ser eliminadadel flujo de aire.

(2) Harneado.

La segunda categoría de equipos de clasificación la forman los harneros. Estosestán basados en la presentación de las partículas a superficies conteniendo aberturasuniformes. Las partículas de tamaño inferior a las aberturas de la superficie laatravesarán, separándose de las partículas mayores. Dos tipos de harneros se usancomúnmente: los harneros vibratorios, que utilizan la vibración para hacer que laspartículas alimentadas sean presentadas muchas veces a la superficie antes de descargar,Figura 9.7, y los harneros curvos que se utilizan en pulpa con agua. En estos equipos lapulpa es alimentada verticalmente sobre barras horizontales que forman una curvapronunciada, como se observa en la figura 9.8., dejando una ranura entre cada barra pordonde pasan las partículas finas. Las aberturas cortan parte de la pulpa que escurre sobrela superficie curva y el tamaño de las partículas que pasa entre ellas es 1/2 y 2/3 del tamañode la abertura.

La descripción detallada y aún parcial de cada equipo de clasificación está fuerade las pretensiones de este texto y podrá ser estudiada en varias referencias disponibles(ver lista de referencias). Para nuestros propósitos sólo es necesario poder describir comovarían los diversos tipos de clasificadores en cuanto a su efecto en los circuitos demolienda.

214

9.3.CALCULO DE LA RAZON DE RECIRCULACION

Para describir cambios en la separación de la masa de partículas en un clasificadoren función de las condiciones de operación, es necesario poder cuantificar la clasificación.

Cualquiera que sea la naturaleza de la clasificación, como el equipo en se efectúa,el proceso de separación por tamaños se puede representar mediante el esquema de laFigura 9.9, donde se muestra un circuito cerrado de molienda-clasificación. En la mayoríade los casos el producto de la clasificación está constituido por dos fracciones.Denominaremos P, Q y T a los flujos másicos de alimentación, rebalse y descarga alclasificador y por pi , qi y ti las fracciones en masa de partículas en el intervalo de tamañoi, respectivamente.

Un balance de masa total y de las partículas del intervalo de tamaño i en el estadoestacionario da:

P = T + Q

Pp i = T ti + Qqi

(9.1)

En el capítulo 1 se definió la razón de recirculación C, de un circuito cerrado demolienda-clasificación, como el cuociente entre el flujo de material que retorna al molinodesde el clasificador y el flujo de alimentación fresca al molino. Como en el estadoestacionario este flujo de alimentación fresca es igual al flujo de rebalse del clasificador,la razón de recirculación será T/Q. En muchos casos es conveniente utilizar la cargacirculante en vez de la razón de recirculación, definiéndola como el cuociente entre elflujo de alimentación total y el flujo de alimentación fresca al molino, esto es (Q + T)/Q.

El conocimiento de la razón de recirculación C es importante en la descripción dela operación de un circuito cerrado de molienda-clasificación. Ella no se calculageneralmente a partir de los flujos másicos, de acuerdo a su definición, sino que se utilizapara ello los análisis granulométricos pi, ti y qi. De la ecuación (9.1) se puede deducirque:

Figura 9.9 : Circuito de Molienda-Clasificación en el estado estacionario donde C=T/Q.

215

C = TQ

= pi " qi

ti " pi , 1 # i # n (9.2)

En términos de C la carga circulante queda descrita por (C+1).

9.3.1.Método 1

Klimpel [9.1] dió un criterio mediante el cual se puede elegir una fórmula paracalcular C, basado en la ecuación (9.2) y en la estructura de los errores de los datos de pi,qi y ti. Cada tipo de estructura de los errores da una fórmula diferente para C, llegándosea establecer que la fórmula basada en la minimización de la suma de los errores absolutos(estructura de errores doble exponencial) da valores satisfactorios para hidrociclones:

C =

$ i

| pi " qi |

$ i

| ti " pi | (9.3)

En aquellos casos en que (pi - qi) y (ti - pi) cambian signo en los intervalos detamaños i* e i respectivamente, manteniendo el signo hasta los tamaños más pequeños,es posible escribir la ecuación (9.3) en la forma:

C =

$ 1

i% " 1

(pi " qi) + $

i%

n

(qi " pi)

$(1

i& " 1

ti " pi) + $(i&

n

pi " ti)

y, recordando que la fracción acumulativa menor a i queda definida por Pi =$

i

n

pi ,

Qi = $

i

n

qi y Ti = $

i

n

ti la expresión se reduce a:

C = Qi

% " Pi%

P&i " T &i (9.4)

que resulta ser un método conveniente de cálculo. Este método es especialmenteapropiado cuando i*= i& y los datos de distribución de tamaño son escasos, ya que laexpresión sólo utiliza un punto de cada distribución. Debe destacarse que la utilizaciónde la ecuación (9.3), basada en la función de distribución acumulativa, no es satisfactoria.

216

Cuando se sabe que los datos de análisis granulométricos tienen errores se debedecidir cuál flujo es susceptible de contener los mayores errores y reemplazar estos datospor valores recalculados mediante la ecuación (9.2) con el valor de C calculado por laecuación (9.3) para que se cumpla el balance de masa. Por ejemplo, si como ocurre amenudo, la alimentación al clasificador es susceptible de contener los datos más inciertos,los nuevos valores pi& se pueden reconstituir de:

pi& = C

1 + C ti +

11 + C

qi (9.5)

Si los valores de la descarga fuesen los inciertos, éstos pueden ser reconstruidos de:

ti& = 1 + C

C pi "

1C

qi (9.6)

y finalmente si los valores con error son los del rebalse, entonces:

qi& = (1 + C) pi " C ti (9.7)

9.3.2.Método 2

Un método más sofisticado escoge el valor de C que minimiza la suma decuadrados del error absoluto, minimizando la función:

F = WP $ i

( pi " pi&)2 + WT $ i

( ti " ti&)2 + WQ $ i

( qi " qi&)2

donde WP, WT y WQ son factores de ponderación que son 1 ó 0. Sustituyendo lasecuaciones (9.5) a (9.7) en esta relación, diferenciando, e igualando a cero, resulta:

0 = WPC4 (C " C1)

(1 + C)4 + WT C4 (C " C2)

C 4 + WQ (C " C3)

C3

C4 = $

i

(pi " ti)(qi " ti)

$ i

(ti " pi)(pi " qi)

(9.8)

donde para C1, C2, C3 ver las ecuaciones (9.9), (9.10) y (9.11). El valor de C que satisfaceesta ecuación es el valor de C que se busca.

Para los tres casos particulares en que todo, o la mayor parte del error ocurre en unsolo flujo, se tiene:

C = C1 = $

i

(qi " ti)(qi " pi)

$ i

(qi " ti)(pi " ti) WP = 1, WT = WQ = 0 (9.9)

217

C = C2 = $

i

(qi " pi)2

$ i

(qi " pi)(pi " ti) WT = 1, WP = WQ = 0 (9.10)

C = C3 = $

i

(qi " pi)(pi " ti)

$ i

(pi " ti)2 WQ = 1, WP = WT = 0 (9.11)

El caso que dé la mínima suma de cuadrados de entre los tres indicados en las ecuaciones(9.9) a (9.11) se elige como valor de C para reconstituir el flujo apropiado (alimentaciónpara la ecuación (9.9), colas para la ecuación (9.10) o producto para la ecuación (9.11)).

9.3.3.Método 3

En caso de ser necesario, se puede utilizar un método más elaborado parareconstituir los tres flujos en forma simultánea, nuevamente en base a la minimizaciónde la suma de cuadrados del error absoluto. Designemos con pi, ti y qi las mejoresestimaciones de pi, ti y qi definidas por:

minimizar: F1 = (pi " pi)2 + (ti " ti)2 + (qi " qi)2

sujeta al cumplimiento de la restricción de igualdad:

pi = C

1 + C ti +

11 + C

qi

con la “mejor estimación” de C definida por:

minimizar F2 = $ i

[(pi " pi)2 + (ti " ti)2 + (qi " qi)2] (9.12)

Reemplazando la segunda ecuación en la primera y calculando los valores que satisfacen'F1

⁄ 'ti = 0; 'F1 ⁄ 'qi = 0, da :

pi = (a2 + b2) pi + bti + aqi

1 + a2 + b2 (9.13)

ti = bpi + (1 + a2) ti " abqi

1 + a2 + b2 (9.14)

qi = api " abti + (1 + b2) qi

1 + a2 + b2 (9.15)

218

donde a=1/(1+ C) y b=C/(1+C). El valor deseado de C se calcula de estas ecuacionessustituidas en la ecuación (9.12), usando un procedimiento de búsqueda simple. Luego,se obtiene los valores de pi, ti y qi de las ecuaciones (9.13) a (9.15).

El mejoramiento en la minimización de la suma de cuadrados de los erroresabsolutos se puede ver al comparar la suma de cuadrados de los distintos métodos paraun conjunto de datos particulares. El método más elaborado se justifica si da unmejoramiento estadísticamente significativo usando el test F. Se debe comprender queel valor de C será siempre una estimación conteniendo error, pero no es posible dar unaestimación cuantitativa de la desviación estándar del error sin un examen detallado dela estructura de errores de los datos.

9.4.CURVAS DE PARTICION

La acción de un clasificador se puede caracterizar mediante un conjunto deparámetros, uno por cada intervalo de tamaño, que describe cómo se divide la masa dela alimentación de cada tamaño en la descarga y el rebalse. Cada uno de estos parámetros“si” recibe el nombre de selectividad y queda definido por la razón entre la masa de

Figura 9.10 : Curvas de selectividad y clasificación de un hidrociclón. El tamañocorresponde al límite superior de intervalos de la serie ())2.

219

partículas de tamaño i que es enviada a la descarga y la masa total de partículas de tamañoi alimentadas al clasificador:

si = T ti

Ppi (9.16)

donde pi y ti son los valores de la granulometría después de la reconstitución. Usandoel balance de masa, ecuación (9.1), y la definición de C, ecuación (9.2), podemosescribir:

si = C

C + 1

ti

pi (9.17)

Como hemos dicho, el conjunto de valores de si, calculado de un determinadoconjunto de datos experimentales, describe como se divide la masa de cada tamaño. Siestos números son los mismos para diferentes distribuciones de tamaño de la alimentaciónal clasificador, está implícito que el proceso de selección para cada tamaño en elclasificador es de primer orden. El intervalo de tamaño debe ser escogido de manera talque la suposición de primer orden sea válida. La experiencia ha demostrado que losintervalos de la serie de malla doble, con razón 4())2 , son suficientemente pequeños y que,en la mayoría de los casos, la serie simple con razón ())2 también es adecuada.

La curva obtenida graficando la selectividad si versus el tamaño xi se denominacurva de Tromp, curva de partición o curva de selectividad. El tamaño xi puede ser ellímite superior o inferior del intervalo o también el tamaño medio geométrico de éste.(Muchos datos de la literatura son difíciles de interpretar porque no se indica claramentela definición de xi). En este texto los valores de si se darán siempre para intervalos de laserie normal con razón ())2 y la graficación se hará con xi como el límite superior delintervalo, en escala logarítmica.

En un clasificador ideal todos los tamaños menores al tamaño de separaciónaparecerán en el rebalse, mientras que todos los tamaños mayores saldrán por la descarga,ver la Figura 9.10. Desgraciadamente los clasificadores ideales no existen. El primertipo de comportamiento no-ideal es el cortocircuito. En la mayoría de los clasificadoresla descarga contiene una cierta cantidad de finos, que se supone asociados a partículaspequeñas atrapadas entre las mayores. Como los finos no llegan a la descarga por efectode una clasificación, se interpreta este hecho considerando que los finos aparecen allídebido a un cortocircuito entre la alimentación y la descarga. Si suponemos que de lamasa de cada tamaño xi de la descarga una masa ai ha pasado por cortocircuito, podemosdefinir una función clasificación c(xi) tal que, cada parámetro de clasificación ci quededefinido por:

ci = Tti " ai

Ppi " ai

=

TtiPpi

" ai

Ppi

1 " ai

Ppi

(9.18)

220

Si el material ai que forma el cortocircuito es proporcional a la cantidad de material detamaño xi de la alimentación, esto es, si ai = a P pi, entonces de la ecuación (9.16) y laecuación (9.18) resulta :

ci = si " a

1 " a (9.19)

El efecto es como si una fracción a de la alimentación pasara a la descarga sin clasificacióny otra (1-a) fuese sujeta a clasificación. Al contrario, un cortocircuito hacia el rebalse noes normal y su presencia indica mal funcionamiento del equipo.

Se ha demostrado que clasificadores funcionando a diferentes condiciones deoperación dan frecuentemente funciones de clasificación c(xi) similares. Esto significaque si se define para cada función c(xi), un tamaño característico, por ejemplo d50 tal quec(d50)=0.5, ver Figura 9.10, se puede obtener una única curva c(xi/d50) que recibe elnombre de función de clasificación reducida y que es característica del clasificador ydel material, pero es independiente de las condiciones de operación, ver Figura 9.11ay b. Para caracterizar la función de clasificación reducida es conveniente definir unnuevo parámetro que de una medida de la inclinación de la curva. El indice de nitidezS.I., definido por:

S.I. = d25 ⁄ d75 (9.20)

donde d25 es tal que c(d25)=0.25 y d75 tal que c(d75)=0.75 es un parámetro adecuado.Para una clasificación ideal S.I. = 1, mientras que S.I. = 0 cuando no hay clasificación yel equipo actúa como un partidor de muestras.

En base a los parámetros S.I. y d50 se ha desarrollado varias ecuaciones pararepresentar la función de clasificación reducida, cuatro de las cuales se muestran acontinuación (ver Figura 9.11b).

(1)Ecuación de Rosin-Rammler

Plitt [9.2] y Reid [9.3] han utilizado una expresión basada en la ecuación deRosin-Rammler que, en la presente nomenclatura, se puede escribir en la forma:

c(xi) = 1 " exp[" (xi ⁄ x0)*] (9.21)

donde:

x0 = d50(0.693)" 1 ⁄ * (9.21a)

* = 1.5725ln S.I.

(9.21b)

221

(2)Ecuación Logaritmo Normal

Aso [9.4] propuso una expresión basada en la curva logaritmo- normal:

c(xi) = 1

()))2+ , " -

1

* ln (xi

⁄ d50)

exp[" u2 ⁄ 2] du (9.22)

donde:

* = " ln S.I.1.349

(9.22a)

(3)Ecuación de Lynch

Lynch [9.5] utiliza la siguiente ecuación:

Figura 9.11a : Curvas de clasificación para un clasificador y el mismo material adistintas condiciones de operación.

222

c(xi) =

exp ./0*123

xi

d50

456789 " 1

exp ./0*123

xi

d50

456789 + exp [*] " 2

(9.23)

donde:

S.I. = ln[

(exp(*) + 2)3

]

ln[3exp(*) " 2] (9.23a)

La determinación de * a partir de S.I. precisa, en este caso, un cálculo de aproximacionessucesivas.

(4) Ecuación Logística en ln x

Molerus [9.6] y Finney [9.7] propusieron una función de la forma:

0.1 1 10

Figura 9.11b : Curva de clasificación reducida.

223

c(xi) = 1

1 + exp(X " A)B(9.24)

Haciendo X = ln x, A = lnd50 , y B="*

c(xi) = 1

1 + (xi ⁄ d50)" * (9.24a)

donde:

* = 2.1972ln S.I.

(9.24b)

Se ha demostrado que los resultados de la ecuación (9.24) son muy similares a los de laecuación logaritmo-normal, siendo (9.24) mucho más fácil de usar.

En base a lo discutido, se puede concluir que la función clasificación c(xi) puedeser caracterizada mediante los parámetros a, d50 y S.I. El cálculo de estos parámetros apartir de datos experimentales se ve dificultado por la dispersión en los valores de si, porlo que se debe recurrir a una técnica de estimación de parámetros basada en el criterio demínimos cuadrados :

Minimizar a, S.I., d50 [I = $ i = 1

n

Wi [si (experimental ) " si (calculado)]2 (9.25)

donde si=a+(1-a)c(xi), c(xi) está dado por una de las ecuaciones entre (9.21) y (9.24) yWi son factores de ponderación para cada uno de los intervalos de tamaños.

Un problema que se encuentra frecuentemente cuando se calcula valores de si apartir de datos experimentales, es que no se conoce el análisis granulométrico de laspartículas pequeñas incluidas en el cortocircuito. Para estos casos Austin y Klimpel [9.8]desarrollaron un procedimiento que permite obtener la curva de selectividad completabasado en la extrapolación lineal del gráfico de Schuhmann de la alimentación. Estaextrapolación es posible debido a que la descarga Pi de un molino da una línea recta eneste tipo de gráfico en gran parte del rango de tamaños, especialmente en los finos,mientras que no sucede lo mismo con los productos de la clasificación Qi y Ti. En estatécnica los parámetros “a”, d50 y S.I. se determinan de:

Minimizar a, S.I., d50 [I = $ i = 1

n " 1

[Wti (ti " ti calc. )2 + Wgi (gi " gi calc. )2

+ Wtn (Tn " Tn calc. )2 + Wgn (Qn " Qn calc. )2]

(9.26)

donde

224

:

;

<

==

==

Tn calc. = 1 + C

C $

N

n

pi si , N > n

Qn calc. = (1 + C) $ N

n

pi (1 " si) , N > n

(9.27)

:

;

<

=

=

ti calc. = 1 + C

C pi si , 1 # i < n

qi calc. = (1 + C) pi (1 " si) , 1 # i < n

(9.28)

si = a + (1 " a) c(xi) (9.19a)

donde Tn y Qn son las fracciones acumulativas menores que el tamaño n. N es el númerodel intervalo extrapolado más pequeño, n es el número de intervalos de los tres flujos yc(xi) es la función elegida de entre las ecuaciones (9.21) a (9.24). El valor de N debe serelegido suficientemente grande de modo que c(xN) se aproxime a cero. Esta técnicautiliza la información contenida en el intervalo n (vía el uso de Qn, Tn, y Pn) la que, deotra forma no sería usada, ya que sn= CTn/(1+C)Pn no es un cálculo válido a menos quesn=a. Debe destacarse que el uso de la técnica descrita sólo es válido si los datos declasificación muestran un cortocircuito en la forma de la Figura 9.10 y obviamente noservirá para curvas del tipo anzuelo, ya que ellas no ajustan a ninguna de las cuatroecuaciones de c(xi).

Las Figuras 9.12 y 9.13 muestran el uso de esta técnica sobre datos dehidrociclones, usando el modelo logístico para c(xi). Los datos para tamaños mayores de105 µm (n=6) fueron usados para ajustar una curva de selectividad usando la ecuación(9.24) y dando por resultado los valores a=0.42, d50=190 µm y S.I. = 0.62. Al extrapolarla curva de Schuhmann de la alimentación al hidrociclón, como se muestra en la Figura9.12 y al ser los datos analizados mediante la ecuación (9.28), con n = 6 y N = 9, losparámetros resultantes fueron a = 0.27, d50 = 170 µm y S.I. = 0.62. Este nuevo conjuntode parámetros fue usado para predecir la distribución granulométrica para tamañosmenores a 105 µm. Como se puede observar de la Figura 9.12, el ajuste de las prediccionesversus valores experimentales para tamaños menores a 105 µm es bueno. Esto no fue elcaso del conjunto de parámetros obtenidos con los valores mayores de 105 µm.

9.5.HIDROCICLONES

Existen varias revisiones bibliográficas sobre el funcionamiento de loshidrociclones [9.5,9.9- 9.11]. Por ejemplo, Bradley [9.9] discute en detalle el comportamientode pulpas diluidas en hidrociclones. Desafortunadamente, la mayor parte de estainformación no es aplicable a los hidrociclones que trabajan como clasificadores encircuitos cerrados de molienda, ya que en estos casos el comportamiento reológico de lasdensas pulpas involucradas es muy complejo. Pretendemos en esta sección dar unadescripción cualitativa de las variables que afectan el comportamiento de un hidrociclóny mostrar los modelos empíricos que se ha desarrollado para su diseño y simulación.

225

9.5.1.Variables que afectan la operación de un Hidrociclón

Entre las variables que afectan el comportamiento de un hidrociclón se puededistinguir: (1) variables de diseño; (2) parámetros del material; (3) variables de operación;y (4) perturbaciones.

(1)Variables de Diseño

Este primer grupo de variables se caracteriza porque de ellas depende elcomportamiento grueso del hidrociclón, por ejemplo el tamaño al que se produce el cortey la nitidez de la separación. Las variables importantes son el tamaño del hidrociclón ylos tamaños de la alimentación, apex y vortex.

Está bien establecido que el tamaño de separación de un hidrociclón dependeprincipalmente de su diámetro. La separación de partículas pequeñas requiere dehidrociclones pequeños y la separación de partículas mayores de hidrociclones másgrandes. Por ejemplo, Arterburn [ 9.12] indica que d50 ? d 0.66, mientras que Trawinski

[9.13] da d50 ? dc 0.5 y Pires y Massarani [9.14] encuentran d50 ? dc

0.75, donde dc es eldiámetro del hidrociclón. Esto significa que en la selección del tamaño del hidrociclónno interviene directamente el flujo de material a procesar y que esto solo aparecerá paraestablecer el número de hidrociclones que sean necesarios. Datos coleccionados porLynch [ 9.5] de hidrociclones geométricamente similares, pero de diferentes diámetros,entre 100 mm (4 pulgadas) a 380 mm (15 pulgadas), mostraron que todos presentaban la

Figura 9.12 : Distribución de tamaño de tres flujos de un hidrociclón de 600 mmoperando sobre una pulpa de 33% de sólido en volumen de un mineral de cobre con

densidad 2.65 g/cm3.

226

misma función de clasificación reducida. La Figura 9.14, debida a Klimpel [ 9.16], muestradatos experimentales de dos hidrociclones, uno de 350 mm (12 pulgadas) y el otro de 610mm (24 pulgadas), operando en las mismas condiciones sobre un mineral de cobre ymuestra que el S.I. para ambos hidrociclones es el mismo, aún cuando los d50 sonsignificativamente diferentes.

En forma general se reconoce [9.5, 9.9 - 9.17] que los tamaños de la alimentación,apex y vortex influyen en el tamaño de separación. El tamaño d50 aumenta al aumentarel diámetro del vortex y el área de alimentación, y disminuye al aumentar el diámetro delapex. Por ejemplo Lynch [9.5] indica que, tanto en el caso del vortex como del apex, larelación es exponencial, ésto es, d50 ? exp(dv) y d50 ? exp (-da) respectivamente, dondedv y da son los diámetros del vortex (rebalse) y apex (descarga). El flujo volumétrico depulpa que es capaz de tratar un hidrociclón es función de su área de alimentación A.Trawinski [9.13] indica que Qp ? A0.5 según algunos investigadores y Qp ? A0.45 segúnotros. Como el área de alimentación se elige proporcional a dc2, muchas veces se da elflujo como función de dc en vez de A. Generalmente los hidrociclones tienen una ciertageometría estándar. Por ejemplo, los hidrociclones fabricados por Krebs tienen unageometría tal que: A @ 0.05dc2; dv @ 0.35dc; 0.1dc< da< 0.35 dc; L @ dc; 10o <A <20o,dondeA es el área de alimentación, L es el largo de la parte cilíndrica y A es el ángulo de laparte cónica. El tamaño del apex también influye en la fracción de cortocircuito, peroesto se discutirá más adelante.

PARTICION a’

Figura 9.13 : Valores experimentales de la selectividad.

227

(2)Parámetros del material

Tal como se indicó en el punto anterior, la función de clasificación reducida esconstante para un determinado material en hidrociclones geométricamente similares.Dos son las propiedades del material que tienen mayor influencia en el comportamientode un hidrociclón: la densidad del material, si éste es puro, y la composición, si estáconstituido por una mezcla.

El aumento de la densidad de un material disminuye el tamaño de separación.

Arterburn [9.12] indica que d50 ? BC" 0.5 , donde BC es la diferencia de densidad entre elsólido y el agua.

El problema se complica cuando la alimentación a un hidrociclón está constituidapor una mezcla de materiales. Klimpel [9.16] afirma que el comportamiento de una mezclade dos materiales es muy diferente del comportamiento individual de cada uno de loscomponentes ensayados en el mismo equipo. Por ejemplo, un material no-magnético diocomo resultado los siguientes parámetros a = 0.29, d50=170 µm y S.I. = 0.64 al serensayado solo. En una mezcla con otro material magnético, en condiciones similares,dio a=0.42, d50=440 µm y S.I. = 0.31. Para el material magnético se obtuvo a = 0.34,d50 = 145 µm y S.I. = 0.55 y en la mezcla a = 0.54, d50 = 220 µm, y S.I. = 0.37 (ver Figuras9.15 a 9.17). Queda claro que la selectividad de los materiales en la mezcla es totalmentediferente de aquellas de los materiales separados, ensayados en el mismo equipo ycondiciones de operación. Este tipo de comportamiento contradice el análisis de mezclasrealizado por Lynch [9.5]. La implicación de los resultados de Klimpel es que la curva

Figura 9.14 : Curva de clasificación reducida para hidrociclones geométricamentesimilares de 12 y 24 pulgadas de diámetro operando sobre la misma pulpa de mineral

de cobre.

228

de clasificación reducida para cada material cambia como función de la proporción deese material en la mezcla. En general, varios ensayos sostienen más bien la conclusiónde Lynch, no la de Klimpel.

(3)Variables de Operación

Entre las variables que permiten controlar la operación de un hidrociclón podemosmencionar variables de entrada y variables de salida. Las principales variables de entradason el flujo, la concentración y la presión de la alimentación. De estas tres, laconcentración de la suspensión, expresada como fracción volumétrica de sólidos cv, esla principal variable de control que permite cambiar en forma inmediata el tamaño decorte. Muchos investigadores [9.5, 9.9 - 9.17] han indicado que un aumento del flujo dealimentación, con el resto de las variables mantenidas constantes, produce unadisminución del tamaño d50. Parece ser que este efecto se debe, en realidad, a un efecto

de la presión, ya que, el flujo de alimentación Q ? B p" 0.5 para un mismo hidrociclóny se ha demostrado que d50 disminuye al aumentar Bp. Trawinski [9.13] y Pires y Massarani

[9.14] dan d50 ? B p" 0.25 y Arterburn d50 ?B p-0.28. Si se desea mantener la presiónconstante, para mantener el tamaño de corte, y se aumenta el flujo de alimentación, esnecesario aumentar el número de hidrociclones en forma proporcional.

La mayoría de los investigadores [9.5, 9.9, 9.12, 9.14] concuerdan en que el tamaño decorte aumenta al aumentar la concentración de la alimentación, posiblemente debido alaumento asociado en la viscosidad de la suspensión. Por ejemplo, Arterburn [ 9.12] diceque d50 ? (1-1.9cv)

-1.43, mientras que Pires y Massarani [9.14] dan una influencia mucho

menor a concentraciones altas con d50 ? e4 cv . Lynch [9.5] y Plitt [9.19] también dan

Figura 9.15 : Selectividad global para la masa total de una mezcla de mineral decobre y fierro en un hidrociclón de 610 mm (24 pulgadas) cerca de condiciones de

acordonamiento. Tamaños son del límite superior del intervalo ())2.

229

relaciones exponenciales. De acuerdo a estas conclusiones, y como la concentraciónnormal de alimentación a hidrociclones en los circuitos cerrados de molienda esaproximadamente 0.1<cv<0.25, el tamaño d50 puede variar en aproximadamente 1.8 vecespor este concepto. Es precisamente ésta una de las propiedades que se aprovecha para elcontrol de los circuitos de molienda-clasificación. Klimpel [ 9.16], por su parte, informaque el tamaño d50 aumenta al aumentar la concentración para suspensiones diluidas y,pasando por un máximo, disminuye cuando las concentraciones se tornan muy altas.Además, Klimpel demostró que una disminución de la viscosidad de la pulpa, sinincrementar la concentración, lo que se logró con aditivos químicos, produce un aumentode d50 y S.I.

Entre las variables de salida interesa especialmente la granulometría de rebalse yla proporción de agua que aparece en la descarga. Existe una interrelación entre lasvariables, ya que la proporción de agua influye en la fracción de cortocircuito “a”, aunqueen varios casos no es exactamente igual a ella, y la granulometría del rebalse es funciónde la curva de clasificación, de d50 y de la fracción de cortocircuito. Las ecuaciones deLynch [9.5] implican que a ? (1/Wp)(1+ Kda) donde Wp es el flujo másico de agua en laalimentación, da el diámetro del apex y K una constante.

(4)Perturbaciones

La principal perturbación de un hidrociclón funcionando en un circuito cerrado demolienda es la distribución granulométrica de la alimentación. La frecuente variaciónde ésta requiere de un ajuste inmediato de la concentración de la alimentación paramantener el d50 constante. Otra perturbación, que no ha sido estudiada, es el cambio dela proporción de componentes cuando la alimentación es una mezcla.

Figura 9.16 : Selectividad del mineral de cobre no-magnético de la mezcla de la figura9.15, en las mismas condiciones.

230

9.5.2. Modelos cuantitativos de hidrociclones y su incorporación asimuladores de molienda

Como ya hemos mencionado, el conocimiento teórico del comportamiento de unhidrociclón no es suficiente para el desarrollo de un modelo fenomenológico que permitasu diseño y simulación. Por esta razón han surgido modelos empíricos más restringidosque permiten diseñar el equipo y simularlo.

En el desarrollo de modelos de hidrociclones se tienen tres objetivos diferentes :

• Estimar el tamaño, condiciones de operación y número de hidrociclones requeridos paraobtener un producto deseado a una capacidad determinada, partiendo de un material conuna distribución de tamaño conocida. Este tipo de estimación se denomina diseño aisladoy se efectúa sin considerar el comportamiento del molino.

• Estimar el tamaño, condiciones de operación y número de hidrociclones requeridos paraobtener un producto deseado a una razón de recirculación determinada, para un simuladorde molienda. Este tipo de estimación se denomina simulación de diseño.

• Determinar el comportamiento de un determinado circuito de molienda-clasificación,cuando se cambian las condiciones de operación. Esta estimación se denominasimulación de operación.

Figura 9.17 : Selectividad del mineral de fierro magnético de la mezcla de la figura9.15, en las mismas condiciones.

231

Balances Generales

Independiente del tipo de diseño o simulación a aplicar, se debe cumplir losbalances macroscópicos de masa total y de masa de partículas de cada tamaño. Haciendoreferencia a la figura 9.9, podemos escribir para el balance de sólidos :

sólido:

P

alimentación

= T

= descarga

+ Q

+ rebalse(9.29)

Denominando cvp, cvt y cvq las fracciones volumétricas de sólido en la alimentación,descarga y rebalse respectivamente, los balances volumétricos de pulpa y agua serán :

pulpa : P

Cs cvp =

TCscvt

+ Q

Cscvq(9.30)

agua : P (1 " cvp)

Cscvp =

T (1 " cvt)Cscvt

+ Q (1 " cvq)

Cs cvq(9.31)

Usando la ecuación (9.29) y dividiendo la expresión (9.31) por Q resulta :

(T ⁄ Q + 1) (1 " cvp)cvp

= (T ⁄ Q) (1 " cvt)cvt

+ (1 " cvq)

cvq(9.32)

Utilizando el concepto de razón de recirculación, dado por la ecuación (9.2), podemosescribir el balance de agua en la forma :

(C + 1) (1 " cvp)cvp

alimentación

= C (1 " cvt)

cvt

= descarga

+ (1 " cvq)

cvq

+ rebalse

(9.33)

De la ecuación (9.33) se observa que tres de las cuatro variables cvp, cvt, cvq y C fijan lacuarta.

La fracción de agua de la alimentación que va a la descarga se puede calcular desdela ecuación (9.33) :

a& = 1

1 + cvt(1 " cvq)

cvq(1 " cvt) C

(9.34)

La Figura 9.18 muestra la concentración de sólidos en la alimentación y la fracción deagua que va a la descarga en función de la razón de recirculación, para un valor fijo dela concentración de descarga cvt=0.5 y varios valores de cvq.

232

Las relaciones (9.29), (9.30) y (9.34) deben ser utilizadas en conjunto con lasrestricciones impuestas por las distribuciones de tamaño de alimentación al hidrociclóny del rebalse deseado.

El flujo de sólidos en el rebalse en términos de la alimentación y selectividadresulta:

Q = P $ i

(1 " si) pi (9.35)

De la ecuación (9.19) se tiene :

1 " si = (1 " a)(1 " ci) (9.36)

Substituyendo la ecuación (9.36) en la ecuación anterior resulta :

Q ⁄ P = (1 " a)(1 " $ i

ci pi) = 1 ⁄ (C + 1) (9.37)

en que a @ a&

El balance de masa del tamaño menor a xs será :

PPp(xs) = TPt(xs) + QPq(xs)

Pq(xs) = (P ⁄ Q)Pp(xs) " (T ⁄ Q)Pt(xs)

= (C + 1)Pp(xs) " CPt(xs)

= (C + 1)(Pp(xs) " C ⁄ (C + 1)Pt(xs))

donde Pp(xs) es la fracción de masa de tamaño menor que xs en la alimentación, etc.Reemplazando (C+1) desde la ecuación (9.37) y Pt(xs) de las ecuaciones (9.17) y (9.36),resulta :

Pq (xs) =

Pp (xs) " $ i = n

is

(a + (1 " a)ci)pi

(1" a)(1 " $ci

i

pi)

=

Pp (xs) " a$ i

pi " (1 " a)$ i = n

is

ci pi

(1 " a)(1 " $ cii

pi)

233

Como Pp (xs) = $ i = n

is

pi , la expresión se puede simplificar por (1- a) :

Pq(xs) =

Pp(xs) " $ci

i = n

is

pi

1 " $ci

i

pi

(9.38)

donde is es el intervalo correspondiente al tamaño xs. Despejando (1 " $ci

i

pi) desde la

ecuación (9.38) y reemplazándolo en la expresión (9.37) resulta :

1 + C = Pq (xs)

(1 " a&)123

22Pp (xs) " $ci

i = n

is

pi

456

55

(9.39)

Las expresiones (9.33) y (9.39) contienen las siguientes 7 variables : a&, C, cvt, cvq,Pp(xs) y ci. Luego, es necesario especificar 5 de estas variables. En general se conoce lagranulometría de la alimentación Pp(xs), el producto requerido Pq(xs), las concentracionesde rebalse cvq y de descarga cvt, lo que nos deja con las siguientes variables a&, C, ci.Cualquiera de ellas que se fije permite calcular las otras dos. Por ejemplo, fijando ci (estoes d50 y S.I.), o fijando la razón de recirculación C queda especificada la repartición deagua a&y la función clasificación ci.

Método de Diseño y Simulación basado en el Modelo de Arterburn

Arterburn [9.12] desarrolló un modelo empírico que permite calcular a nivelestimativo el tamaño y número de hidrociclones necesarios para una operacióndeterminada. El método fue desarrollado para hidrociclones Krebs de geometríanormalizada y se basó en comparaciones de experiencias normalizadas con la operaciónhabitual. Se definió como hidrociclón normal aquel que poseía la siguiente geometría :

A @ 0.5dc 2

dv @ 0.35dc

0.1dc # da # 0.35dc

L @ dc

10° < A < 20°

234

donde A es el área de alimentación en cm2, dc es el diámetro del hidrociclón, dv y da sonlos diámetros del vortex y apex en cm, L es el largo de la parte cilíndrica del hidrociclónen cm y A es el ángulo de la parte cónica. Las experiencias normalizadas se refieren a :

• Fluido : agua a 20°C

• Partículas sólidas esféricas con densidad de 2.65 g/cm3

• Concentración de alimentación cvp < 0.01

• Caida de presión 70 kPa (10 psi)

Todas las concentraciones quedan expresadas con fracciones de sólido en volumen,porque esta propiedad es la más significativa desde el punto de vista reológico en ladeterminación del comportamiento del hidrociclón.

Objetivo 1 : Diseño Aislado

Especificar un hidrociclón para tratar un determinado flujo volumétrico dealimentación Qp de granulometría conocida pi y producir un rebalse con granulometríaespecificada Pq(xs) y concentración cvq. (Si la distribución de tamaño de la alimentaciónno fuese conocida, ver nota que sigue a la ecuación (9.52)).

Arterburn propone una ecuación empírica para relacionar el diámetro delhidrociclón normal necesario para producir un tamaño de corte normalizado d50. Luego,relaciona d50 con el d50 real, introduciendo correcciones para tomar en cuenta lascondiciones reales de operación. Finalmente, propone una ecuación que da la capacidadde un hidrociclón en función de su diámetro y condiciones de operación. El diseño deuna batería de hidrociclones para cumplir el objetivo 1, según el modelo de Arterburn,consiste en 8 etapas cuya secuencia se da a continuación :

Etapa 1 : Elección de una concentración de descarga adecuada

Arterburn sugiere que la pulpa de descarga debe tener una concentración cvt en elrango 0.50 # cvt # 0.53 para un circuito de molienda y 0.40 # cvt # 0.45 para un circuitode remolienda. Mular y Jull [9.18] establecieron una restricción en la concentración dedescarga para evitar que se produzca acordonamiento. A partir del procedimiento gráficode estos autores, Luckie [9.28] propone la siguiente ecuación :

cvt < 0.49 + 0.54 cvq (9.40)

Es frecuente operar a concentraciones cercanas a la de acordonamiento, por lo queconociendo cvq, la concentración de descarga se puede calcular mediante la expresión(9.40).

235

Etapa 2 : Estimación del valor de d50

Arterburn sugiere la utilización de la ecuación (9.23) con el valor *=4 (S.I.=0.58)para describir la función clasificación en un hidrociclón Krebs :

ci = exp[4(xi

⁄ d50)] " 1

exp[4(xi ⁄ d50)] + exp(4) " 2

(9.41)

Introduciendo esta expresión en la ecuación (9.38)

Pq (xs) =

Pp (xs) " $ci

i = n

is

pi

1 " $ cii

pi

(9.38)

y usando un procedimiento de búsqueda se puede obtener el valor de d50 necesario paradar un Pq(xs) especificado. Una estimación inicial se puede hacer con una expresiónempírica basada en datos de Arterburn :

d50 = xs [15.53 " 3.26 ln Pq (xs) ] (9.42)

Etapa 3 : Cálculo de cvp, C y a& necesarios para ajustar el balance

Combinando las ecuaciones (9.34) y (9.37) con a @ a&, resulta :

1 " a& =

cvt(1 " cvq)cvq(1 " cvt)C

1 + cvt(1 " cvq)

cvq(1 " cvt)C

= 1

(C + 1)(1 " $ i

ci pi)

Despejando C de la expresión resulta :

C =

$ci

i

pi

(1 " $ci

i

pi) " cvt(1 " cvq)cvq(1 " cvt)

(9.43)

a& se obtiene de la ecuación (9.34) :

a& = 1

1 + cvt(1 " cvq)

cvq(1 " cvt)C

(9.34)

236

y cvp se obtiene de la ecuación (9.33) reordenada:

cvp = 1

1 + C(1 " cvt)(C + 1)cvt

+ (1 " cvq)

(C + 1)cvq

(9.33)

Etapa 4 : Cálculo de d50 normalizado

El valor de d50 obtenido en la etapa 2 debe ser normalizado antes de poder ser usadopara calcular el diámetro del hidrociclón, esto es, debe ser transformado en (d50)n, válidopara las condiciones estándar:

d50 n =

d50

F1F2F3(9.44)

F1 = ./0

11 " 1.9cvp

789

1.43

(9.45)

F2 = 3.27BP"0.28 (9.46)

F3 = ./0

1.65Cs " C1

789

0.50

(9.47)

donde Cs y C1 son las densidades del sólido y del agua en g/cm3 o ton /m3 y BP es la caidade presión en kPa. Para iniciar el cálculo se supone que BP=70 kPa.

Etapa 5 : Estimar el diámetro del hidrociclón

La relación entre el diámetro de un hidrociclón normal y el tamaño ( d50) nes :

dc = 0.206[d50]1.515 (9.48)

donde d50 se mide en micrones y dc resulta en centímetros.

A continuación se selecciona el hidrociclón estándar de tamaño más cercano al calculado.

Una vez elegido éste, se recalcula el nuevo (d50) n con la ecuación (9.48) y luego la caídade presión con la ecuación (9.44) para dar el mismo d50 real.

Etapa 6 : Cálculo de la capacidad del hidrociclón elegido

La capacidad de un hidrociclón de diámetro dc, expresada como flujo volumétricode pulpa en m3/h, es :

Qp = 0.0148(Bp)0.5dc1.87 (9.49)

237

Esta expresión fue desarrollada originalmente para flujo de agua. Arterburn indica queun hidrociclón puede pasar un flujo un poco mayor de pulpa y, por lo tanto, el cálculo esconservador.

Etapa 7 : Cálculo del número de hidrociclones de la batería

Como la capacidad de un hidrociclón queda determinada una vez que se ha elegidosu diámetro, el que a su vez depende del tamaño de partículas a separar, para lograr lacapacidad total se debe calcular el número de equipos necesario. El flujo másico total desólidos al hidrociclón es P=(1+C)Q y por lo tanto el flujo volumétrico de pulpa será(1 + C)Q ⁄ Cscvp. El número de hidrociclones necesarios para cumplir el objetivo será :

N = (1 + C) QCs cvp Qp

(9.50)

Si el número obtenido es fraccionario se le aproxima al entero mayor más cercano. Coneste resultado se recalcula la caída de presión y tamaño de separación. No se puede iterarhasta una solución exacta con un número entero de hidrociclones porque en ese caso elsistema queda sobredeterminado.

Etapa 8 : Cálculo del tamaño del apex y vortex

Reemplazando la definición de razón de recirculación C=T/Q en el balance globalde masa, ecuación (9.29), se puede eliminar Q :

T = C

(C + 1)P

Como los flujos volumétricos de pulpa en la alimentación y descarga sonP ⁄ Cscvp y T ⁄ Cscvt , tenemos :

Qt = T

Cs cvt =

CC + 1

P

Cscvt

= ./0

CC +1

789 ./0

cvp

cvt

789 Qp (9.51)

El diámetro del apex debe ser lo suficientemente grande como para que pase este flujo,y se calcula de la ecuación :

da = 2.62Qt0.447 , cm (9.52)

El vortex se obtiene de :

238

dv = 0.35dc , cm (9.53)

En aquellos casos en que no se conoce la distribución de tamaño de la alimentaciónal hidrociclón, el valor de d50 se puede estimar de la ecuación (9.42). Sin embargo, laecuación (9.43) no se puede resolver para obtener C porque no se conoce los valores depi. Por lo tanto se debe elegir un valor razonable para C y continuar con el cálculo comose ha descrito. Claramente esta alternativa de diseño es solamente una estimación cruda.

Objetivo 2. Simulación de Diseño

Un simulador de molienda puede utilizar un conjunto definido de valores deselectividad para dar un producto con especificación de un punto de la curvagranulométrica, esto es, xs y Pq(xs). El simulador entrega las distintas granulometríasalrededor del circuito, la carga circulante y la capacidad Q en ton/h. Por otra parte, tambiénse puede variar el valor de d50, mediante una técnica de búsqueda, para obtener una razónde recirculación C especificada.

En una simulación de diseño, en que C está especificada de antemano, esto serealiza usando una determinada función para la curva de partición, ecuación (9.19),combinada con una de las ecuaciones (9.21) a (9.24). La simulación comienza con unvalor estimado para d50, por ejemplo, el obtenido mediante la ecuación (9.42). El valorde “a” se obtiene de la ecuación (9.34) especificando cvq y cvt, como se hizo anteriormente.El simulador entrega el valor necesario de d50 y la capacidad del circuito. Se debe notarque los cálculos hasta este punto son distintos de aquellos del diseño aislado, porque enla simulación de diseño la granulometría de alimentación al hidrociclón no estáespecificada, lo que da un grado de libertad adicional para fijar el valor de C y por lotanto “a”.

A partir de este punto los cálculos continuan como se explicó en el caso del diseñoaislado, excepto que ahora se utiliza el d50 y Q simulados. El d50 simulado garantiza quela razón de recirculación y las distribuciones de tamaño obtenidas a este flujo soncorrectas, por lo que las dimensiones del hidrociclón y el BP necesarios para dar este d50

pueden ser calculados y también el número de aparatos para manejar el flujo Q.

Si las dimensiones del molino están estipuladas, el valor final de Q puede serdiferente de algún valor especificado con anterioridad, o alternativamente, el valorresultante de Q permite calcular las dimensiones del molino.

Para valores razonables de concentraciones de rebalse y descarga, una cargacirculante mayor lleva a retornos mayores de finos al molino vía mayores fracciones deagua en la descarga. Este fenómeno actúa compensando la reducción de sobremoliendaobtenida con una mayor carga circulante. Un análisis cuantitativo de este efecto se realizaen el capítulo 11.

239

Objetivo 3. Simulación de Operación

Cuando se desea simular el comportamiento de una planta en operación, el númeroy dimensiones de los hidrociclones están especificados, como también lo está el tamañodel molino. Las variables en este caso son generalmente : (1) la capacidad del molino Py/o (2) la distribución granulométrica de la alimentación. El simulador da la razón derecirculación, la distribución de tamaño del producto, la caída de presión Bp y los flujosa través de los hidrociclones. De los resultados de estas simulaciones se puede observarque la magnitud de los cambios que se puede efectuar manteniendo una caida de presión(Bpmax

⁄ Bpmin @ 4) y las concentraciones en el rango correcto es restringida.

Un simulador de operación puede ser utilizado para investigar el efecto de cambioen la moliendabilidad del mineral, la composición de las bolas de recarga y otrosparámetros para un sistema de molienda-clasificación existente.

9.5.3. Modelo Lynch y Rao

El modelo de Lynch y Rao [9.17] consiste en ecuaciones empíricas que dan lacapacidad, el tamaño de separación, la distribución de agua y la curva de clasificación.Cada ecuación contiene parámetros que deben ser determinados experimentalmente.

(1)Capacidad

P = K1 Cs dv(Bp)0.5 cpp (1 " cpp)0.125

cpp + (1 " cpp) Cs

, ton ⁄ h (9.53)

donde cpp es la concentración fraccional en peso del sólido en la alimentación. cpq es lamagnitud análoga en el rebalse, y dv el diámetro externo del vortex.

(2)Tamaño de separación d50

d50 = exp./0K2 + 0.885dv " 0.657da + 0.215Bp " 0.0442Q

(1 " cpq)cpq

789, µm (9.54)

(3)Distribución de Agua

a& = (10da " K3) cpp

P(1 " cpp) " 0.1 (9.55)

(4)Función de clasificación

c(xi) = exp[*(xi ⁄ d50)] " 1

exp[*(xi ⁄ d50)] + exp(*) " 2 (9.23)

donde :

240

S.I. = ln ((exp(*) + 2) ⁄ 3)

ln (3exp(*) " 2)(9.23a)

si = a + (1 " a)ci (9.19)

donde dv y da son medidos en pulgadas, BP en psig, cpp y cpq son fracciones de sólidoen peso, Cs se expresa en ton/m3 y Q y P en ton/h.

La utilización del modelo de Lynch y Rao requiere de un conjunto de resultadosexperimentales, lo que permite calcular los parámetros K1, K2, K3 y S.I. que dependendel tamaño y tipo de hidrociclón y del material a tratar. Los datos necesarios son: (a)diámetro de apex y vortex, (b) flujo másico de alimentación, (c) presión de alimentación,(d) fracción de sólidos en peso la alimentación, (e) flujo de rebalse, (f) fracción de sólidosen peso en el rebalse, (g) análisis granulométrico de rebalse y (h) análisis granulométricode descarga.

9.5.4.Modelo de Plitt

Plitt [9.19] desarrolló un modelo empírico que se puede resumir en las ecuacionesque siguen:

(1)Capacidad

P = C1Cs cvp(Bp)0.56dc

0.21dA0.53h0.16(da

2 + dv2)0.49

exp(0.31 cvp) , ton ⁄ h (9.56)

donde :

cvp = cpp

cpp + Cs (1 " cpp)

(2) Tamaño de separación

d50 = C2 dc

0.46dA0.60dv

1.21 exp(6.3cvp)Cs0.45cvp

0.45

da0.71h0.38P0.45(Cs " Cf)0.5 , µm (9.57)

(3)Cortocircuito

a& = S (1 " cvt)

(1 + S) (1 " cvp) (9.58a)

S = C3 (da

⁄ dv)3.31h0.54(da2 + dv

2)0.36(Cs cvp + (1 " cvp))0.24 exp(0.54 cvp)

dc1.11 (Bp)0.24

(9.58b)

241

(4)Función de Clasificación

ci = 1 " exp[" 0.693(xi ⁄ d50)*] (9.59a)

* = C4 (Cs cvp dv

2 hP

) exp./0" 1.58

S1 + S

789

(9.59b)

De la ecuación (9.21b) podemos observar que alternativamente

* = 1.5725ln S.I.

, S.I. = d25 ⁄ d75 (9.59c)

En estas ecuaciones todas las longitudes se miden en cm y la caida de presión Bpen psig, h es el largo del buscador de vórtice, dA es el diámetro del tubo de alimentación,cvp y cvt son las fracciones en peso de sólidos en la alimentación y descargarespectivamente y S es la razón entre el flujo másico de pulpa en la descarga y en elrebalse.

También en este modelo se requiere un conjunto de resultados experimentales paracalcular los parámetros C1, C2, C3 y C4 (o S.I.). Los datos necesarios son los mismos quese indicaron para la determinación de parámetros del modelo de Lynch y Rao.Información complementaria se puede encontrar en el libro de Gutiérrez y Sepúlveda[9.20].

9.6.OTROS TIPOS DE CLASIFICADORES

A continuación se discutirá brevemente los clasificadores de rastra, harneroscurvos, harneros vibratorios y separadores de aire mecánico.

9.6.1.Clasificadores mecánicos

Este tipo de clasificador consiste en un estanque inclinado, equipado con un rebalsede vertedero y una caja colectora del producto de finos y agua. Las partículas grandessedimentan al fondo y son descargadas en la parte alta del estanque mediante una rastrade movimiento oscilante en dirección axial o una espiral, (ver Figuras 9.2a y 9.2b).Después que la pulpa es alimentada en el equipo, la distancia que una partícula recorredepende de su velocidad de sedimentación y del intervalo de tiempo que permanece enel equipo. Este tiempo depende de la distancia desde la alimentación hasta el vertederode rebalse y debe ser tal que las partículas gruesas tengan suficiente tiempo para alcanzarel fondo. Estas partículas son agitadas y lavadas por la turbulencia originada por elmecanismo de transporte del lodo mientras son arrastradas hasta la descarga.

El control de las densidades de pulpa es importante, pero no tan crítico como en elcaso de hidrociclones. Aumentando la concentración (reduciendo el flujo de agua)disminuye la velocidad de sedimentación, pero también se reduce la velocidad horizontalde la pulpa hacia el vertedero aumentando el tiempo de sedimentación, el que compensa

242

el efecto anterior. Sin embargo, flujos muy altos pueden disminuir la eficiencia de laclasificación debido a la reducción del tiempo de separación.

Lynch et al. [9.21] da una discusión sobre la modelación de este tipo de clasificador.Roberts y Fitch [9.22] dan resultados para un clasificador de rastras DSF Dorr de 1.83 mx 7m, operando a 19 oscilaciones por minuto, con un vertedero de aproximadamente 1m de altura y una inclinación de 0.21 m/m. Los datos obtenidos se dan en la Tabla 9.1.

9.6.2.Harneros Curvos

Los harneros curvos pertenecen a la familia de clasificadores para el harnerohúmedo, la que también incluye el harnero de flujo cruzado y el Vor-Sir [ 9.23]. El harnerocurvo consiste en barras horizontales que forman una curva pronunciada dejando unaranura entre cada barra (ver Figura 9.8), la pulpa se alimenta en forma pareja a lo anchodel equipo y tangencialmente a las barras. El flujo de la pulpa disminuye en altura enaproximadamente 1/4 de ancho de la abertura cada vez que pasa por ella dando unaseparación de los sólidos de la alimentación a tamaños considerablemente menores quela abertura de la ranura. La densidad del sólido no tiene influencia alguna en el tamañode separación. La superficie curva asegura que la capa de pulpa permanezca en contactocon la superficie del harnero. La pulpa de finos y agua es colectada en la cámara deafluentes, desde donde se bombea para su tratamiento posterior. El queque, que contienelas partículas gruesas más una porción de finos como material impregnado en los poros,se descarga sobre el borde inferior del harnero y se devuelve al molino. Para evitar eldesgaste prematuro de las barras del harnero, éstas se invierten en forma periódica. Enla Tabla 9.2 se da datos de la operación de un harnero curvo en la preparación de carbones[9.24].

Lynch [9.5] desarrolló una expresión para simular un harnero curvo:

Tabla 9.1Resultados experimentales de un clasificador de rastras de 1.83 m x 7 m.

Tamañoµm

% acumuladomenor :

Selectividades si

Selectividades ci

Alimentación Descarga Rebalse

590 86.3 79.5 100.0 99.0 98.7

420 76.0 64.2 99.7 93.6 91.5

297 57.7 38.4 96.2 70.9 61.0

210 43.5 23.3 83.8 53.0 36.9

149 32.8 14.8 68.7 41.5 21.6

105 26.7 11.0 58.0 38.0 16.8

74 22.1 8.4 49.0 25.3 0

Flujo másicorelativo

1 0.67 0.33

% sólido enpeso

32 74 32.6

243

d50 = b1.7exp[K0+ 0.00316(2b " 6cpp+ 0.98b1 ⁄ 3p(1 " cpp

cpp))+ 0.677cpp] (9.60)

donde d50 está en micrómetros, b es el ancho de la ranura en milímetros, P el flujo depulpa de alimentación en ton/hora y Ko fue 5.64. Lynch encontró que *= 4 en la ecuación(9.23) para harneros curvos.

9.6.3.Harneros Vibratorios

El tipo más común de harnero es el harnero vibratorio (ver Figura 9.7). El área deharnero necesaria para separar un flujo de partículas se determina desde los datosentregados por las compañías manufactureras en forma de “capacidad básica deharneado”, dado como un gráfico de ton/hora/área unitaria versus la abertura nominal dela malla, aplicable para un material de densidad a granel 1.60 kg/m3 (100 lb/pie3). Lacapacidad básica se corrige luego por (1) diferencia en densidad a granel, (2) cantidad definos en la alimentación (3) geometría de la abertura, (4) posición de la malla en unharnero de piso múltiple, (5) área libre de la malla, (6) harnero seco o húmedo y (7)eficiencia del harneado. Después que se haya determinado el área de harneado, el anchodel harnero se calcula del dato de altura del material en la descarga, el que debe ser menorque cuatro veces la abertura nominal de la malla. El largo del harnero, que determina laeficiencia del harneado, debe ser como mínimo el doble del ancho.

La distribución de tamaño del sobretamaño (descarga) y bajo tamaño (rebalse) noqueda establecida mediante el procedimiento de diseño antes descrito. Batterham et al.[9.25] da datos para harneado en seco en harneros vibratorios con abertura de 20 mm. (vertabla 9.3).

Tabla 9.2Resultados experimentales de un harnero curvo operando sobre carbón.

Tamañoµm

% acumuladomenor :

Selectividades si

Selectividades ci

Alimentación Descarga Rebalse

840 91.5 86.0 100.0

590 78.7 64.8 99.8 90.0 86.5

420 65.5 44.5 96.0 81.4 75.0

297 53.6 29.4 90.2 58.3 44.1

210 45.0 20.5 79.5 42.8 23.2

149 37.4 15.6 68.5 37.0 15.5

105 31.2 12.1 58.5 32.6 9.5

74 25.8 9.6 49.8 24.5 0

Flujo másicorelativo

1 0.63 0.37

% sólido enpeso

37.7 58.9 23.5

244

La forma empinada de la curva de clasificación mostrada en la Figura 9.18 es típicade harneros vibratorios para tamaños grandes. A medida que el tamaño de la abertura delos harneros se torna más pequeña, la curva de clasificación se torna más plana, elcortocircuito aumenta y aumenta el problema de bloqueo de la malla por partículas detamaño cercano a la abertura. Una variabilidad en el material de alimentación puedeintroducir material que no harnea bien debido a la forma de las partículas. Como unaregla general, el harneado en gran escala a tamaños menores de 4 mallas requiere deexperimentación y análisis detallado.

Parecer ser que no existe una presentación sistemática de curvas de partición paradiversos tipos de harneros y materiales como función de la carga en el harnero. Rogersy Brame [9.26] propusieron un modelo empírico para harneros vibratorios de altavelocidad. Ellos propusieron la siguiente expresión para harneros vibratorios húmedosde alta velocidad (Derrick screens):

ci = 1

1 + (d50 ⁄ xi) exp[*(1 " (xi ⁄ d50)3)](9.61)

donde * está dado por:

* = 0.08 exp(4.56 S.I.) (9.62)

Encontraron, además, que la acción de clasificación no era dependiente del flujode alimentación al harnero, siempre que éste no fuera sobrecargado. El valor delcortocircuito “a” (igual a la partición de agua), el índice de nitidez S.I. y d50 son funcionesde la abertura del harnero y de la densidad de pulpa de alimentación:

Figura 9.18 : Selectividad para un harnero vibratorio con aberturas de 20 mm.

245

d50 = 1.08xa " 50 cvp exp (0.0092xa) (9.63)

S.I. = 0.93(d50 ⁄ xa) (9.64)

a =

:

;

<

==

==

1.56( cvp

1 " cvp) " 0.194

1.25( cvp

1 " cvp) " 0.243

para carbón

para minerales y caliza

(9.65)

donde cvp es la fracción en volumen de sólido en la alimentación al harnero y xa es laabertura de la malla en micrómetros (ver Figura 9.19).

La correspondencia entre los resultados experimentales y pronosticados parapulpas finas se da en la Tabla 9.4, donde el % menor de 200 mallas es para el productofino y C es la razón de producto grueso a fino. La Figura 9.20 muestra las capacidades

Figura 9.19 : Ejemplo de d50 calculados y experimentales para un harnero de altafrecuencia en pulpa fina de : ! Carbón malla DF74, " Caliza malla DF165 y

B Mineral malla DF165

246

Figura 9.20 : Capacidad máxima para harnero de alta frecuencia en pulpa fina decarbón.

Tabla 9.3Resultados de un harnero vibratorio con una abertura de 20mm.

Tamaño % acum.menor

Alimentación

% acum.menor

Sobretamaño

% acum.menor

Bajotamaño

Selectividades si

Selectividades ci

65 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0

46 96.7 89.9 100.0 100.0 100.0

32.5 89.2 67.3 100.0 100.0 100.0

23 79.4 37.3 100.0 82.2 82.1

16.25 66.8 6.0 96.7 10.2 9.75

11.5 51.7 1.3 76.4 0.5 0.0

8 43.3 1.2 63.9 0.5 0.0

5.75 35.4 1.1 52.2 1.4 0.0

4 31.5 0.9 46.5 0.6 0.0

3 27.4 0.85 40.5 0.3 0.0

<2 24.0 0.8 35.3 1.1 0.0

Flujo demasa relativo

1 0.33 0.67

247

máximas como función de la designación de las mallas y de la concentración de la pulpade la alimentación.

9.6.4.Separadores mecánicos de aire

Los separadores mecánicos de aire se construyen con dos carcazas, ver Figura 9.6.El material alimentado a un plato rotatorio se dispersa en la carcaza interior y cae enforma de cortina a través del aire ascendente succionado de la carcaza exterior. Los finosy el material de tamaño intermedio son elutriados y entran en una sección que contieneaspas rotatorias. Estas separan el material intermedio de los finos, devolviendo losprimeros hacia el flujo de gruesos. Las partículas finas salen de la cámara interior a lacarcaza exterior suspendidas en un flujo de aire que pasa por la turbina que mantiene lacirculación forzada. La rotación del aire y partículas en la carcaza exterior ayuda aefectuar la separación entre el fluido y el sólido, el último descarga mientras que elprimero vuelve a entrar hacia la carcaza interior.

En la Tabla 9.5 se entregan datos de clasificación de clinker de cemento en unseparador mecánico de aire.

El alto cortocircuito se puede atribuir a la adhesión de los finos a las partículasmayores. Sin embargo, un estudio realizado por Luckie y Austin [9.27] sobre este tipo declasificador, en el cual se recirculaba el aire, indicó que se podía esperar curvas deselectividad de tipo “anzuelo”, porque la carcaza exterior no separaba totalmente el sólidodel gas y parte del material retornaba a la acción de clasificación. Cuando la acción de

Figura 9.21 : Circuito de clasificación de dos etapas.

248

clasificación se analiza como una configuración de dos etapas de clasificación, la curvade selectividad toma la forma de “anzuelo”, como se observa en los datos.

La variación de los valores de la selectividad para este tipo de clasificación esbastante compleja; el modelo más detallado que se conoce [ 9.28] se basa en datos de unseparador de laboratorio de 1 m por lo que su aplicación a separadores industriales escuestionable.

9.7.CLASIFICACION EN DOS ETAPAS

Dos etapas de clasificación pueden ser modeladas con un solo conjunto de valoresde selectividad si las selectividades individuales de cada uno de los clasificadores sonconocidas para la configuración. Por ejemplo, el arreglo mostrado en la Figura 9.22areclasifica la descarga de la primera etapa y combina los dos rebalses. En principio, estaconfiguración elimina finos adicionales del flujo de gruesos y puede ser utilizada cuandola combinación de los rebalses da un producto que cumple especificaciones que no selogran de otra forma. La selectividad global de esta configuración es:

s(xi) = s1(xi) s2(xi)

a = a1a2

(9.66)

Otra configuración, mostrada en la Figura 9.21b, reclasifica los finos de la primeraetapa y combina los productos gruesos. Este arreglo se usa cuando el flujo dealimentación contiene relativamente poca cantidad de producto fino. Una regla empíricadice que para producir un material que sea 95% menor que un cierto tamaño es necesarioque la alimentación sea por lo menos un 50% menor que ese mismo tamaño. Sinembargo, con una configuración de doble clasificación, como en la Figura 9.21b es

Figura 9.22 : Modelo propuesto para la clasificación en un separador mecánico deaire.

249

Tabla 9.4Resultados experimentales de un harnero Derrick.

Pulpa Malla cvp%

Experimental% menor a200 mallas

ExperimentalRazón derecirc. C

Predicción% menor a200 mallas

PredicciónRazón derecirc. C

Carbón DX 70 15.4 62.0 0.66 60.1 0.60

DF 74 21.3 69.0 1.20 67.2 1.18

DF 88 20.3 70.0 1.13 69.3 1.08

DF 105 18.3 76.7 0.00 77.8 0.93

Caliza DF 145 37.5 98.9 1.83 98.5 2.13

DF 165 27.7 97.6 0.77 98.3 0.97

Tabla 9.5Resultados experimentales de clasificación en un separador mecánico de aire.

Tamañoµm

% acum. menora la malla

Alimentación

% acum. menora la malla

Sobretamaño

% acum. menora la malla

Bajotamaño

Selectividadsi

177 98.9 98.5 100.0 100.0

125 92.0 89.9 100.0 100.0

88 78.4 71.1 100.0 100.0

63 62.1 49.3 99.0 97.0

44 51.9 36.1 98.4 78.0

31.5 36.9 20.5 84.8 50.3

22 27.5 14.2 66.6 41.4

15.7 19.9 10.0 48.9 30.5

11 14.0 7.6 32.9 35.9

7.75 9.4 5.4 5.4 40.0

5.5 5.0 3.0 12.5 42.8

4 2.9 1.8 7.5 46.5

Flujo másicorelativo

1 0.75 0.25

Tabla 9.6Parámetros de selectividad global para las configuraciones de clasificación de la

fig.9.21.

Parámetro Conf.a

Conf.b

Conf.c

Conf.d

a 0.09 0.51 0.11 0.38

d50 µm 113 81.5 101 83

S.I. 0.62 0.65 0.64 0.67

250

posible tolerar un porcentaje menor en la alimentación. La selectividad global, en estecaso es:

[1 " s(xi)] = [1 " s1(xi)][1 " s2(xi)]

a = a1 + (1 " a1 )a2

(9.67)

Otras dos configuraciones son de interés y ambas implican devolver alguno de losproductos de la segunda etapa de clasificación a la alimentación de la primera. Estosarreglos son utilizados para disminuir la pérdida de material mientras se produce unrebalse que cumple especificaciones. En la Figura 9.21c la descarga de la primera etapade clasificación es alimentada al segundo clasificador y los finos de éste son recirculadosa la alimentación de la primera etapa. En este caso la selectividad global es:

[1 " s(xi)] = 1

1 + s1(xi) s2(xi)[1 " s1(xi)]

a = a1a2 ⁄ (1 " a1 + a1a2)

(9.68)

En la Figura 9.22d, el rebalse de la primera etapa se envía al segundo clasificador y losgruesos de éste se alimentan a la primera etapa. La selectividad global es ahora:

s(xi) = s2(xi)

1 " s2(xi)[1 " s1(xi)]

a = a1 ⁄ (1 " a2 + a1a2)

(9.69)

El caso especial de las dos etapas de clasificación con clasificadores mecánicos deaire, mostrados en la Figura 9.22 dan una selectividad global de:

s(xi) = s1(xi)

1 " [1 " s1(xi)][1 " s2(xi)](9.70)

Para comparar los resultados de cada una de estas configuraciones, supongamosque las curvas de selectividad de cada uno de los clasificadores son de la forma de lasecuaciones (9.19) y (9.24) con parámetros a = 0.30, S.I. = 0.60 y d50 = 100 µm. Laselectividad global para cada una de las configuraciones de la Figura 9.21 se da en laTabla 9.6.

En las cuatro configuraciones los índices de nitidez S.I. han aumentado del valororiginal de 0.60, lo que representa una ventaja de tales arreglos. Sin embargo los otrosparámetros característicos varían. Parece que la configuración c es mejor que la a,especialmente si los clasificadores individuales tienen un alto cortocircuito. En formasimilar, la configuración d parece mejor que la b.

251

9.8.REFERENCIAS

9.1. Klimpel, R.R., Trans. AIME, New York, N.Y., 266(1980)1882-1886.

9.2. Plitt, L., CIMM Bull., 64(1971)42-47.

9.3. Reid, K.J., Can. Met. Q., 10(1971)253-254.

9.4. Aso, K., On the Theory of Partition Curve and its Application to Coal Preparation or MineralDressing, Mem. Fac. Engng., Kyushu Univ., 17(1957)18-83.

9.5. Lynch, A.J. et al., Mineral Crushing and Grinding Circuits, Capítulos 5 y 6, Elsevier ScientificPublishing Co., New York, NY, (1977)87-126.

9.6. Molerus, O., Chemie-Ingr.-Tech., 39(1967)792-796.

9.7. Finney, D., Probit Analysis, University Press, Cambridge, 1964.

9.8. Austin, L.G. and Klimpel, R.R., Powder Technol., 29(1981)277-281.

9.9. Bradley, D., The Hydrocyclone, Pergamon Press, London, 1965.

9.10. Dahlstrom, D., Trans. AIME, New York, NY, 184(1949)331-344.

9.11. Kelsall, D.F., Chem. Eng. Sc., 2(1963)254-272.

9.12. Arterburn, R.A., Chapter 32, Design and Installation of Comminution Circuits , A. Mular and G.Jergensen, eds., SME-AIME, New York, NY, (1982)592-607.

9.13. Trawinski H., Filtration and Separation, July-August and November-December (1969)359-373.

9.14. Pires, R.P. e Massarani G., Revista Brasileira de Tecnología, 11(1980)289-299.

9.15. Fontein F.J., Van Kooy J.G. and Leniger H.A., Brit. Chem. Engng., 7(6)(1962)410-421.

9.16. Klimpel, R.R., Powder Technol., 31(1982)255-262.

9.17. Lynch, A. and Rao, T., Modeling and Scale-up of Hydrocyclone Classifiers, Proc. 11th IMPC,Universita di Cagliari (Italy), (1975)245-269.

9.18. Mular, A. and Jull, N., Chapter 17, Mineral Processing Plant Design, 2nd Ed., A. Mular and R.Bhappu, SME-AIME, New York, NY, eds., (1980)376-403.

9.19. Plitt, L., CIM Bull., 69(1976)114-123.

9.20. Gutierrez, L. y Sepúlveda, J., Dimensionamiento y Optimización de Plantas Concentradorasmediante Técnicas de Modelación Matemática, Ed. CIMM, Santiago 1986, 143-184.

9.21. Lynch A.J., Rao., T.C., Whiten, W. J. and Kelly, J.R., Aust I.M.M., (1967)9-18.

9.22. Roberts, E. and Fitch, E., Min. Eng., 8(1956)1113-1118.

9.23. Leonard, J.W., ed. Coal Preparation , 4th Ed., AIME, New York, NY, (1979).

9.24. Leonard, J. W. and Mitchel, D.R., eds. , Coal Preparation 3rd. Ed., AIME, New York, NY (1968).

9.25. Batterham R.J., Weller, K.R., Norgata, T.E. and Birkett, C.J., Screen Performance and Modellingwith Special Reference to Iron-Ore Crushing Plants, 1st Symposium Particle Technology,Amsterdam (1980).

9.26. Rogers, R.S.C. and Brame, K.A., Powder Technol., 42(1985)297-304.

9.27. Luckie, P.T. and Austin, L.G., Trans. IMM, 84(1975)C253- C255.

9.28. Austin, L.G. and Luckie, P.T., Zement-Kalk-Gyps, 29(1976)452-457.

252

CAPITULO 10

APLICACION DE LOS MODELOS A DATOSDE PLANTA

10.1.INTRODUCCION

Este capítulo tiene dos funciones principales: (1) mostrar como se aplica lainformación desarrollada previamante al análisis de plantas piloto y plantas industriales;(2) indicar algunas de las dudas que persisten y que requieren mayor investigación. Debetenerse en cuenta que no existe una razón a priori de por qué la fractura en un molinoindustrial deba ser igual a la de un molino de laboratorio y que por lo tanto es necesariovalidar los modelos con el comportamiento real de la planta.

Es útil, en este punto, resumir los principales aspectos de la operación de molinosde bolas en forma cualitativa. Existen dos regiones de fractura de partículas mediantebolas. Fractura normal de primer orden se produce cuando las partículas son pequeñascomparadas con el diámetro de las bolas; en esta región, la distribución de fragmentos dela fractura primaria tiene una pendiente constante ! y la velocidad específica de fracturadisminuye a medida que las partículas son demasiado grandes para el diámetro de la bola;entonces se produce fractura que no es de primer orden, con una velocidad inicial mayor,seguida de una velocidad menor con una distribución de fragmentos de la fracturaprimaria que contiene una mayor proporción de material fino. Los valores de lasvelocidades específicas medias efectivas de fractura decrecen a medida que las partículasse hacen mayores.

Existen dos tipos de ineficiencia de la molienda. El primer tipo, que llamamosineficiencia indirecta, se produce cuando el circuito de molienda produce exceso de finopor sobremolienda del material que ya es suficientemente fino para el siguiente proceso.Esto se produce cuando el molino está cercano a flujo totalmente mezclado, el clasificadores ineficiente y la carga circulante es baja. Si el circuito y el clasificador se ajustan paraproducir una distribución de tamaño con especificación factible en dos puntos (o sea, unproducto específico a partir de una alimentación dada) entonces la capacidad del molinoy la energía específica de molienda son esencialmente independientes de la DTR y de laeficiencia del clasificador.

Por otra parte, hay causas de ineficiencia directa , donde se consume energía sinproducir reducción de tamaño. Estas incluyen (i) subllenado del molino, (ii) sobrellenadodel molino, (iii) uso de diámetro de bolas equivocado, por ejemplo, demasiado chicaspara fracturar los tamaños mayores o demasiado grandes para la fractura eficiente detamaños pequeños, (iv) deslizamientos en el molino debido a mal diseño de las corazas,y velocidad de rotación incorrecta, y (v) uso de una densidad y viscosidad de pulpaequivocada. Si se compara las condiciones de dos molinos cuando producen igual

253

distribución de tamaño del producto a partir de la misma alimentación, estos factoresdarán una capacidad menor y una energía específica mayor para las condicionesincorrectas comparadas con las condiciones correctas.

Si la razón de reducción requerida del molino es relativamente pequeña, el materialdebe ser pasado por el molino a velocidades mayores y la relación de transporte de masaestablece que el molino se sobrellenará. La eficiencia de fractura disminuye a medidaque el llenado intersticial de las bolas aumenta mucho más allá de U=1 lo que lleva aineficiencia directa. Existe un valor óptimo de la carga circulante para el cual eldecrecimiento de la ineficiencia indirecta se balancea con el aumento de la ineficienciadirecta.

Ensayos con la potencia de un molino muestran que existen probablemente dostipos de consumo de potencia en un molino, consumo de potencia eficiente usado paravoltear las bolas y un consumo de potencia menos eficiente que produce deslizamientosde la carga de bolas y se transforma en calor por fricción. Las bolas voltean en una acciónde cascada, en que hay muchas colisiones bola a bola con el polvo atrapado entre lasbolas y en una acción de catarata en que las bolas son proyectadas y caen a una grandistancia antes de golpear la parte inferior de la carga. Bajo buenas condiciones, lasvelocidades de fractura normales tenderán a seguir el consumo de potencia en la acciónde volteo. Bajo condiciones impropias es posible obtener velocidades de fracturamenores a mayor consumo de potencia, lo que es una ineficiencia directa. La potenciausada para producir catarata es probable que sea eficiente para la fractura anormal, detamaño grande, pero es menos eficiente para la fractura normal.

La molienda seca muy fina o la molienda húmeda a gran densidad de pulpa produceuna disminución de las velocidades de fractura, debido a la cohesión del polvo y a efectode viscosidad de la pulpa. Esto es nuevamente una ineficiencia directa.

10.2.CONSTRUCCION DE UN MODELO DE SIMULACION DE UNAPLANTA INDUSTRIAL DE GRAN ESCALA: MODELOSAJUSTADOS Y REALES

Un cierto número de autores [ 10.1-10.4] ha desarrollado modelos de simulación paramolinos industriales. Hay dos enfoques básicos. El primero consiste en usar datos dela planta industrial para retrocalcular valores efectivos de S y B suponiendo un modelode molienda de primer orden, y utilizando una distribución de tiempo de residenciaconocida o supuesta o retrocalculando la DTR además de los valores S y B. Los modelosproducidos por esta técnica pueden ser llamados modelos ajustados ya que no haygarantía que los valores de S y B calculados sean reales. Estos son valores que ajustan ala fuerza los datos del molino al modelo y, si se usa la DTR equivocada o si la fracturano es realmente de primer orden, los errores del modelo supuesto van a aparecer comovalores irreales de S y B. El segundo enfoque es comenzar con un conocimiento acabadode los procesos de fractura del material, usualmente a partir de ensayos a escala delaboratorio, bajo condiciones de molienda controladas y escalar esta información paracrear un modelo de simulación real de la planta industrial. En la práctica, a menudo hayinsuficiente información para aplicar esta técnica, de manera que se usa una mezcla delos dos enfoques. Mientras menos suposiciones se haga en el retrocálculo, más probablees que los valores retrocalculados estén cerca de los valores reales.

254

10.3.ESTUDIO DE CASO 1: MOLIENDA HUMEDA DE UNMINERAL DE COBRE

Como un primer ejemplo se da el procedimiento seguido por Austin y Klimpel[10.5] que supone: (i) fractura de primer orden, (ii) los mismos valores de B para la mezclade bolas en el molino que los medidos con bolas de 25 mm en un molino de laboratoriode 200 mm de diámetro interior, (iii) el mismo valor de " (en Si = a xi

") en el molinogrande y en el chico (iv) valores reales suavizados de si en el clasificador, para calcularla alimentación del molino en circuito cerrado, (v) una DTR basada en valores entregadosen la literatura para molinos similares (modelo de un reactor grande y dos chicos). Laconfiguración estudiada consistía en un circuito cerrado normal con un molino de rebalsede 3.05 m de diámetro interior por 4.7 m de largo operando en molienda húmeda de unmineral de cobre a 80% de la velocidad crítica, dando 50 tph de producto con un flujo através del molino de 97.5 tph. El llenado de bolas se estimó en 38% con recarga de bolasde 25.4 y 50.8 mm. Los parámetros de fractura del mineral, determinados en un molinodiscontinuo de laboratorio [ 10.6] se dan como Mineral 1 en la Tabla 10.1. No se danvalores para µ y # ya que los ensayos no se realizaron para tamaños grandes en el rangode fractura anormal. Los valores para las distribuciones de tamaño en el molino industrial

Tabla 10.1Ensayos de laboratorio en un mineral de cobre (10.6).

Mineral 1 Mineral 2

Diámetro molino, mm 200 200

Volumen molino, cm3

5800 5800

Diámetro bola, mm 25.4 25.4

Velocidad molino, r.p.m. 60 60

Fracción de velocidad crítica $c 0.64 0.64

Volumen carga de bolas J, %

(basado en porosidad de 0.4)

32.5 32.5

Densidad mineral, kg/m3

2.65x103

2.65x103

% de sólidos en peso 64 72

Peso de sólido, kg 1.11 1.36

Llenado intersticial U

(basado en porosidad de 0.4)

0.93 1.14

S18x24 = a ,min-1

0.34 0.30

" 0.93 0.91

! 0.67 0.61

% 0.57 0.63

& 3.0 2.9

' 0.0 0.0

Indice Bond, kWh/ton métrica 12.7 15.0+

13.8+

+ Determinado en muestras diferentes a las usadas para los ensayos de fractura.

255

se dan en la Tabla 10.2. Las muestras fueron analizadas en triplicado y el análisisestadístico indicó que las distribuciones de tamaño tenían una precisión de sólo dos cifrassignificativas.

Un análisis del clasificador, un hidrociclón de 610 mm (24 pulgadas) de diámetro,dio un ajuste razonable de las selectividades con un cortocircuito constante y la funciónlogística en ln x para la función de clasificación:

si = a +(1 ( a) ci

ci = 1

1 + (xi ⁄ d50)( #

(10.1)

donde # está relacionado con el Indice de Nitidez mediante #= ln (9) / ln(S.I.). Losparámetros característicos eran a=0.25, d50=193 µm y S.I.=0.50 y fueron usados comoentrada al programa de simulación del circuito cerrado. El valor de la razón de recircu-lación, basada en los datos de la planta, fue de 0.95.

Para continuar, fue necesario hacer una estimación de aquellos factores nodeterminados directamente. Como la alimentación del molino contenía sólo una pequeñafracción de tamaño sobre 1 mm, no se esperaba que la fracción anormal fuera un factorsignificativo, de manera que la ausencia de los valores µ y ) no era importante. Ladistribución del tamaño de bolas en el molino se supuso una mezcla balanceada de bolasde Bond con tamaño máximo de 50.8 mm. La distribución de tiempos de residencia se

Tabla 10.2Distribuciones de tamaño experimentales y pronosticadas para un molino de bolas en

circuito cerrado directo a 50 tph : potencia del molino 700 kW.

% acumulativo menor al tamaño

Tamaño

µm

Alim.

fresca

Gi

Produc.

Circuito

Qi exp

Produc.

Circuito

Qi sim

Alim.

Molino

Fi exp

Alim.

Molino

Fi sim

Produc.

Molino

Pi exp

Produc.

Molino

Pi sim

Reciclo

Ti exp

Reciclo

Ti sim

1680 100 100 100 100 100 100 100 100 100

1180 80 100 100 90 88.8 100 99.6 99 99.2

850 65 100 100 80 79.6 99 98.6 97 97.0

600 50 100 100 69 69.3 96 96.4 92 92.1

425 43 100 99.8 63 62.1 92 92.9 85 84.8

300 37 99 99.3 54 53.9 87 87.6 74 73.8

212 32 97 97.2 45 44.8 79 80.1 60 59.9

150 28 91 91.7 36 36.4 71 71.0 45 46.4

106 24 82 82.3 28 29.6 61 61.2 36 36.3

75 20 71 70.8 22 24.2 50 51.7 28 29.1

53 16 59 59.0 18 19.5 42 42.8 23 23.6

38 13 48 48.6 15 15.8 34 35.1 19 19.2

256

supuso equivalente al modelo de un reactor grande seguido de dos reactores pequeños enla razón 0.7, 0.15, 0.15. La mayor incógnita fue la retención de mineral en el molino. Larelación de transporte de masa de la ecuación (9.34) predice una retención de U * 1.0,justo en el límite donde empieza el sobrellenado, mostrando que el circuito había sidooptimizado bien con respecto a la carga circulante. Este valor dio una retención formalde 8.34 toneladas de mineral.

Los valores de laboratorio para aT, " , ! , $ y & fueron usados como entrada almodelo de simulación, sin concesión para algunas variaciones de los valores de B con eldiámetro de bolas. La simulación se realizó para dar un producto del circuito que seajustara a una única especificación de 59% menos de 270 mallas (53 µm), correspondientea la operación de la planta. El resultado simulado también se muestra en la Tabla 10.2;el valor de ! fue de 5.7 minutos, la razón de recirculación pronosticada fue de C=0.85y el valor de Q / W fue de 0.095, dando una capacidad del circuito de 47 toneladas métricaspor hora, comparando con el valor medido de 50tph. Sin embargo, la posibilidad deagregar bolas de 25.4 mm haría aumentar un poco la capacidad simulada al producirseuna mezcla más fina de bolas en el molino.

El cálculo de la capacidad del circuito con el método de Bond, usando el tamañodel 80% de la alimentación y producto, dio una capacidad de 59 tph (métricas). Sin

Figura 10.1 : Comparación de los valores de S__

i escalados con valores retrocalculadospara un molino de 3 m de diámetro (el tamaño corresponde al límite superior del

intervalo +,,2).

257

Tabla 10.3Comparación de resultados experimentales y calculados para un molino de bolas derebalse en molienda húmeda y circuito cerrado inverso; molino de 3 m de diámetro y

circuito cerrado.

Cap.

tph

malla Int.

Nº

G F

Exp.

F

Sim.

Desc.

Exp.

Desc.

Sim.

Q

Exp.

Q

Sim.

P/Q

87 6 1 100* 100 Experimental

8 2 99.5* 99.7 100 =1.75

12 3 96* 97.3 99.9

16 4 88* 91.6 99.3 100

20 5 79* 84.4 97.7 99.9 Simulado

30 6 69* 75.1 94.6 100 99.7 =1.57

40 7 59.5 68.2 63.9 91.2 89.2 99.8 99.2

50 8 51* 51.3 80.8 97.6

70 9 44.8 44.6 39.3 74 70.4 95.7 93.8 % sólidos en peso

100 10 38.3 32.4 28.5 60.6 58.8 86.8 86.0 descarga molino

140 11 32.6 22.4 21.2 47.6 48.3 73.5 75.3 73.5

200 12 29.7 19.3 17.3 38.9 40.2 65.0 65.8

102 6 1 100 100 100 Experimental

8 2 95.0* 97.3 99.8 =1.95

12 3 88.0* 93.1 99.2

16 4 79.0* 87.1 97.8 100

20 5 69.0* 79.0 94.8 99.9 Simulado

30 6 60.0* 69.5 89.7 99.7 =1.96

40 7 49.7 57.3 56.1 84.1 81.1 99.7 98.8

50 8 45.0* 44.3 70.7 96.9

70 9 38.4 36.2 30.6 64.4 57.5 92.0 91.3 % sólidos en peso

100 10 33.1 26.1 20.5 50.8 45.3 81.2 81.8 descarga molino

140 11 28.6 17.9 14.5 39.3 35.7 70.2 70.2 76

200 12 27.4 13.1 11.8 30.9 29.2 59.6 61.6

G : descarga de molino de bolas.

F : descarga de hidrociclones a molino.

Q : rebalse de hidrociclón.

P/Q : carga circulante.

(CONTINÚA)

258

embargo, el cálculo de Bond está basado en una razón de circulación de 2.5, mientras quela planta tenía una razón de circulación de C=0.95.

Como un segundo ejemplo, estos datos también fueron tratados mediante elprocedimiento de "ajuste", usando la técnica de retrocálculo de Klimpel y Austin [10.7],(ver capítulo 6). Las mismas suposiciones se hicieron respecto a la distribución deltiempo de residencia y la acción de clasificación, y se supuso que los valores delaboratorio de B eran aplicables al molino industrial de gran escala. Sin embargo, estemétodo retrocalcula el conjunto de valores de S

_i necesarios para obtener el mejor ajuste

de cuadrados mínimos de los datos experimentales, de manera que no fue necesario hacersuposiciones respecto a la mezcla de las bolas en el molino o las condiciones del molino.En la Figura 10.1 se muestra una comparación de los valores de S

_i retrocalculados con

los valores calculados. Los valores escalados y los valores retrocalculados S_

i = a xia

tienen, claramente casi el mismo valor de ". También se muestra los valoresretrocalculados de S

_i en el intervalo, que indica que la elección de una línea correcta a

través de estos puntos sería difícil.

10.4.ESTUDIO DE CASO 2: OTRA MOLIENDA HUMEDA DECOBRE

El análisis simple que se mostró en la sección previa, no siempre es posible. Austiny Klimpel [ 10.5] han dado resultados para el circuito cerrado inverso mostrado en la Figura10.2 con la distribución de tamaño dada en la Tabla 10.3. Estos ensayos se realizaronmanteniendo el flujo de agua constante y aumentando el flujo de sólido, para aumentarla densidad de la pulpa. Los ensayos no se realizaron con el objetivo de construir unmodelo de simulación y las distribuciones de tamaño experimentales estaban incompletasy generalmente no era posible realizar extrapolación exacta para tamaños grandes ychicos. La alimentación fresca era la descarga de un molino de barra, y al graficar sudistribución de tamaño experimental, se obtuvo una línea recta en un gráfico deSchuhmann, de manera que pudo hacerse estimaciones razonables de los tamaños máspequeños y más grandes de la alimentación fresca. No fue posible realizar un análisisexacto de la clasificación para obtener valores de d50, pero las cargas circulantes (P/Q)

Cap.

tph

malla Int.

Nº

G F

Exp.

F

Sim.

Desc.

Exp.

Desc.

Sim.

Q

Exp.

Q

Sim.

P/Q

108 6 1 100 100 100 Experimental

8 2 96* 98.2 99.8 =2.80

12 3 87* 93.7 98.7

16 4 75* 86.4 96.1 100

20 5 64* 77.5 91.4 99.9 Simulado

30 6 55* 66.9 84.1 99.5 =2.59

40 7 46.3 48.1 53.0 66.7 73.1 99.0 98.4

50 8 41.5* 39.4 60.3 95.5

70 9 35.9 27.3 25.7 44.9 46.1 87.0 88.5 % sólidos en peso

100 10 31.0 18.9 16.5 34.3 34.4 76.1 77.4 descarga molino

140 11 26.8 12.7 11.5 25.4 26.4 65.4 65.4 80.5

200 12 23.2 9.3 8.7 21.4 20.9 56.3 54.6

Tabla 10.3 (continuación)

259

podrían ser calculadas con exactitud razonable y la mejor estimación del Indice deNitidez fue de 0.45 y el cortocircuito estuvo dentro del rango de 0.26 a 0.30.

Desgraciadamente, durante los ensayos no se tomó una muestra de mineral para ladeterminación experimental de S y B. Ensayos en una muestra tomada más tarde, dieronlas propiedades de fractura dadas como Mineral 2 en la Tabla 10.1. Unas muestras dieronvalores del Indice de Trabajo de Bond (determinado para la malla 200) de 13.8 kWh/tonmétrica y otra de 15 kWh/ton, lo que demuestra la variabilidad del mineral.

Durante los ensayos industriales a gran escala, la retención en el molino fue medidavaciando el molino cuando operaba a tres diferentes velocidades de flujo. En base a esto,en la Figura 10.3 se muestra el valor del llenado intersticial de las bolas por el residuosólido. Es bastante evidente que las altas velocidades de flujo a través del molino dieronun sobrellenado substancial del mismo.

Los parámetros del mineral fueron escalados para el molino industrial usando unaestimación de la carga de bolas de 38% de llenado del molino, una velocidad del molino

Figura 10.2 : Circuito de molienda ensayado : puntos de muestreo.

260

de 70% de la velocidad crítica y suponiendo una mezcla balanceada de bolas de Bondpara una recarga de bolas de 50.8 mm. Los valores escalados de los parámetros defractura fueron usados en simulación en circuito cerrado (DTR = 0.7, 0.15, 0.15, comoantes) y la capacidad del molino se varió para dar una única especificación del productodel circuito de 75.3% menor a 106 µm, para Q=87 tph; 70.2% menor a 150 µm paraQ=102 tph y 65.4% menor a 75 µm para Q=108 tph. Al mismo tiempo se varió el d50

del hidrociclón, suponiendo que el cortocircuito era de 0.28, hasta que los análisisgranulométricos de alimentación y producto del molino en la simulación estuvieron enel mejor acuerdo con las distribuciones de tamaño experimentales a la especificación de75 µm. Se encontró que los tres conjuntos de datos simulados requerían de un d50 decerca de 190 µm para dar una coincidencia razonable de las cargas circulante ydistribuciones de tamaño del circuito. Nótese que la alimentación fresca al molino debolas fue diferente en cada experimento, siendo más gruesa a medida que la capacidadse aumentaba, ya que el tiempo de residencia en el molino de barras también disminuía.

Las distribuciones de tamaños en la Tabla 10.3 y Figura 10.4 muestran tres aspectosrelevantes. Primero, cambios relativamente pequeños en la capacidad total produjerongrandes cambios en el flujo másico de sólidos a través del molino, que fue deaproximadamente 150, 200 y 300 tph. En segundo lugar, las distribuciones de tamañossimulados no concuerdan muy bien con los valores medidos en la planta. A la velocidadde flujo más baja, correspondiente a operación normal, hubo menos material grueso enel producto real de la planta que en la distribución de tamaño, simulada (ver siguienteestudio de casos). El flujo más alto dio una distribución de tamaño de la planta más plana

Figura 10.3 : Variación del material retenido con el flujo a través de un molino debolas de 3.5 m de diámetro con descarga por rebalse.

261

(contenía más fino) que la predicción simulada. La razón probable de ésto es que el altonivel de llenado y alta densidad de la pulpa del mayor flujo daría un ! menor que elnormal (ver capítulo 5).

Los valores de los parámetros de fractura para el mineral 2, dados en la Tabla 10.1,produjeron una capacidad del circuito demasiado alta, por lo tanto el valor de "a" fueajustado para dar la capacidad correcta al menor flujo. Se encontró que tenía que sermultiplicado por un factor de 0.87, o sea, era demasiado alto en cerca de 15%. Secalcularon los valores de U y por lo tanto los factores de sobrellenado.

Los valores simulados eran U = 1.2, Ko = 0.92 a Q = 87 tph y P = 150 tph; U =1.45, Ko = 0.80 a Q = 103 tph (102 tph de planta) y P = 202; U = 1.66, Ko = 0.68 para Q= 108 tph (107 tph de planta) y P = 277 tph. Se ve, entonces, que ajustando el valor de"a" para obtener la capacidad correcta a un determinado flujo dio buenas prediccionespara las otras capacidades del molino.

Aun cuando el modelo de simulación no es perfecto, se concluye que exhibe losprincipales aspectos de los datos experimentales. Expresado de otra manera, haciendoque el modelo ajustara los datos para un set de condiciones (un modelo ajustado) permitióhacer predicciones razonables para las otras condiciones. La evidencia de sobrellenadoa velocidades de flujo altas del molino y la consecuente disminución en la fractura esbastante clara. Normalmente el aumento en el flujo al hidrociclón disminuiría el d50 (vercapítulo 9), pero el aumento de la densidad de la pulpa en estos ensayos parece que produjouna compensación, obteniéndose esencialmente un d50 constante.

Figura 10.4 : Comparación de valores simulados y experimentales para moliendahúmeda de cobre a tres flujos diferentes (ver tabla 10.3 ).

262

10.5.ESTUDIO DE CASO 3: MOLIENDA DE FOSFATO

10.5.1.Descripción

En esta serie de ensayos [10.8], los modelos de simulación se aplicaron a datos devarios circuitos abiertos de molienda húmeda de un mineral de fosfato de Florida (USA).

Las características del molino investigado se dan en la Tabla 10.4. Los parámetrosde fractura del mineral de fosfato fueron determinados en un pequeño molino delaboratorio de la manera descrita previamente. La Figura 10.5 muestra los gráficos deprimer orden para la fractura de un monotamaño en un intervalo de +,,2. Es claro que lasvelocidades de fractura aceleran a medida que los finos se acumulan, como se indicó enel capítulo 5. Las regiones iniciales del gráfico fueron usadas para determinar lasvelocidades de fractura iniciales dando un valor de " = 0.83 en Si - a xi

". La Figura

Tabla 10.4Características de los molinos investigados.

Modo Dint.

m

L

m

Carga

de

bolas

tons.

J Retenc.

W

tons.

U %

Vcrit

Tam.

bola

mm

Fracc.

bola

mezcla

dreb

m

Jo Tipo

revestim.

P

s/corr.

kW

Tipo

descar.

Disc. 0.195 0.175 0.00734 0.30 0.00096 0.86 70 25.4 1 - - semicircular 0.0094 -

Disc. 0.56 0.91 0.369 0.35 0.056 1.0 70 50.8

30.1

25.4

38.1

25.4

12.7

0.4

0.45

0.15

0.52

0.42

0.06

- - Barra 1.758

a

1.92

1.68

a

2.04

-

Disc. 0.82 1.52 1.318 0.35 0.203 1.0 70 50.8

30.1

25.4

0.4

0.45

0.15

- - Corru-

gado

7.5 a

7.7

-

Cont. 0.82 1.52 1.318 0.35 0.183 0.90 70 50.8

30.1

25.4

0.4

0.45

0.15

0.34 0.24 Corru-

gado

7.0 a

7.8

Parrilla

Cont. 3.35 7.9 114.3 0.35 22.8 1.45 70 50.8 fresca 0.58 0.39 Doble

onda

1180 Parrilla

Cont. 4.41 9.1 238.5 0.365 50.2 1.35 71 50.8 fresca 0.84 0.38 Barra - Rebalse

Cont. 5.0 11.1 343 0.335 68.3 1.24 73 50.8 fresca 1.40 0.32 Barra de

goma

4350 Rebalse

Dint: diámetro interno

L : largo

Ret. : retención

dreb. : diámetro de rebalse

P : potencia

Cont : continuo

Disc. : discontinuo

263

Figura 10.5 : Gráficos de primer orden para la molienda discontinua en un molinopequeño de laboratorio (63% sólido en peso ; D=195 mm, L=175 mm; d=25 mm;

J=0.3; U=0.84; $c= 0.70).

Figura 10.6 : Distribución de fractura primaria para mineral de fosfato para

varios molinos : . d=25.4 mm; ! mezcla de bolas ; " carga balanceada con dmax = 50.8 mm.

264

10.6 da los valores de B para estos ensayos, los que se encontró que eran normalizados,o sea, eran funciones sólo de xi/xj.

Como los efectos de orden distintos del primero complican la interpretación de losdatos, se usó distribuciones de tamaño que contenían menos de un 30% del tamañosuperior como alimentación en un simulador de molienda discontinua entregando valoresde " , ! , & y % como entrada. Se determinó el valor de aT necesario para darpredicciones razonables de las distribuciones de tamaño para tiempos mayores, dando elresultado que se muestra en la Figura 10.7. Se encontró que este valor de aT también eracapaz de predecir satisfactoriamente otras distribuciones de tamaño, como se muestra.Los parámetros de fractura determinados en el molino de ensayo, se dan en la Tabla 10.6.

También se realizaron ensayos discontinuos en los molinos de 0.56x 0.91 m (2 x3 pies) y 0.82 y 1.52 m (3 x 5 pies) y la misma densidad de pulpa. En estos casos, lasmuestras se tomaron mediante muestreo con cuchara del contenido del molino a travésde puertas de acceso después que los molinos se detuvieron. En los tests continuos en elmolino de 0.82 m y en los molinos industriales, se recolectaron 4 muestras de 1 litro dela corriente de descarga del molino en estado estacionario, a intervalos de 15 minutos y

Figura 10.7 : Comparación de distribuciones de tamaño experimentales y simuladaspara la molienda discontinua de mineral de fosfato en el laboratorio (ver Fig. 10.5).

265

se combinaron. Se tomó (5 kg) de muestra desde la descarga de la correa de alimentaciónal molino. La potencia del molino fue medida en los tres molinos menores mediantemedidores de torque, y en los molinos industriales mediante medidas de la potencia delmotor.

La distribución de tiempos de residencia (DTR) para el sólido en la mezcla fuedeterminado en el molino de 4.41 m (15 pies) de diámetro usando la técnica de trazadoradioactivo de corta vida de Gardner y Rogers [ 10.9-10]. Su método obtiene los cuatroparámetros característicos del modelo de DTR adimensional de Rogers/Gardner (verCapítulo 7). Un análisis estadístico mostró que el ajuste de los datos a este modelo caíadentro de los límites esperados de la variabilidad experimental, indicando que el modeloera lo suficientemente flexible para describir el DTR. La Figura 10.8 muestra el DTRadimensional medido en este molino.

10.5.2.Resultados

Se realizó simulaciones de molienda discontinua suponiendo una fractura deprimer orden, usando los parámetros de fractura (ver Tabla 10.5 para un pulpa de 70%de sólido en peso) medidos en el molino de 0.195 m, escalados a los valores esperadospara la mezcla de bolas en los ensayos discontinuos de los molinos de 0.56 x 0.91 m y de0.82 x 0.52 m, usando las relaciones de la ecuación (5.23), más la distribución de tamañode la alimentación. Como los parámetros de fractura son similares a aquellos publicadospara el cuarzo cristalino en el capítulo 5, se supuso que los factores de corrección de Bpara este cuarzo, eran aplicables al mineral de fosfato. La Figura 10.6 muestra los valores

Figura 10.8 : Distribución de tiempos de residencia medidos en un molino de 4.41 m(15 pies) de diámetro y ajuste de dos modelos.

266

Figura 10.9 : Velocidad específica de fractura para los seis molinos investigados.

Tabla 10.5Parámetros de fractura de mineral de fosfato (peso específico 3.0) en el laboratorio.

D, m 0.195

d, mm 25.4

$c 0.70

J 0.30

U 0.86

" 0.83

!T 0.94

% 0.40

& 4.0

a 0.38 a 63% sólido

0.39 a 70% sólido

µ, mm 1.84

)T 2.84

267

medios de B así calculados y la Figura 10.9 muestra la velocidad específica de fractura.Como se esperaba que el muestreo con cuchara de la mezcla húmeda produjeravariabilidad experimental en las distribuciones de tamaño, las simulaciones se realizaronajustando un único punto en cada distribución de tamaño y calculando el factor deconversión desde la capacidad simulada (Qsim tph) a la capacidad real (Qplanta tph) delmolino, k = /sim // = Qplanta/Qsim, donde / es el tiempo de molienda. La Tabla 10.6 da losvalores de k para los ensayos discontinuos.

Considerando los resultados del molino de 0.56 m de diámetro, se ve que hay unatendencia general a que la potencia del molino sea mayor en los ensayos de molienda máscortos y también a que las velocidades de fractura sean también mayores. La correlaciónentre la potencia y la velocidad de fractura es sólo aproximada y la potencia un poco másalta para la molienda de cinco minutos no puede explicar la capacidad relativamente másalta para este tiempo, lo que parece ser debido principalmente a una fractura más rápidade los tamaños gruesos que el dado por la simulación. Esto podría haberse esperado porla aceleración del efecto de orden distinto del primer, mostrado en la Figura 10.5, queproduce velocidades de fractura promedio mayores para los tamaños más grandes y, porlo tanto, mayor capacidad a tiempos cortos, cuando la capacidad está denominada por lafractura de los tamaños gruesos. Más importante, la Figura 10.10 muestra que lasimulación usando valores de aT ajustados por un valor promedio de k=1.11, da un ajusterazonable entre las distribuciones de tamaño experimentales y de simulación para lamolienda discontinua con la primera mezcla de bolas, excepto por un desajusteconsistente en el extremo de la distribución de tamaños, desajuste que se espera de laFigura 10.5. La Figura 10.11 da un resultado similar para la molienda discontinua en elmolino de 0.82 m de diámetro, con un valor promedio de k=1.09. Sin embargo, elresultado simulado para tiempos de molienda mayores predice mayor cantidad de

Tabla 10.6Comparación de capacidades de planta y simuladas en la molienda discontinua de

mineral de fosfato.

Diámetro

molino

m

Tamaño

máximo

bola

mm

/

minutos

Qplanta

tph

Qsim

tph

QplantaQsim

k %<106µm

Pot.

correg.

molino

kW

Pot.

media

molino

0<t</0.56

Disc.

38.1 25

20

15

10

5

0.136

0.169

0.226

0.339

0.678

0.130

0.159

0.202

0.308

0.552

1.04

1.06

1.12

1.10

1.22

1.11

76.3

68.0

57.9

42.1

26.8

1.68

1.77

1.89

1.99

2.04

1.87

1.92

1.97

2.02

2.04

0.56

Disc.

50.8 25

20

15

10

5

0.136

0.169

0.226

0.339

0.678

0.142

0.174

0.218

0.305

0.544

0.95

0.97

1.04

1.11

1.25

1.06

64.2

56.4

48.3

37.5

24.4

1.75

1.81

1.89

1.90

1.92

1.85

1.88

1.90

1.91

1.92

0.82

Disc.

50.8 25

15

10

5

0.41

0.61

0.81

1.22

0.39

0.56

0.73

1.10

1.05

1.08

1.11

1.11

1.09

83.9

69.8

59.5

45.2

7.6

7.6

7.6

7.5

268

material más fino que los 53 µm observados experimentalmente debido posiblemente aun efecto de desaceleración.

Se supuso que el modelo de DTR de un reactor grande seguido de dos pequeñosequivalentes, mostrados en la Figura 10.8, era aplicable al molino de 0.82 m de diámetroy los parámetros de fractura promedio usados en las simulaciones de la moliendadiscontinua de la Figura 10.10 se usaron en el simulador de molino continuo. Usando elvalor de Jo (carga de bola para el nivel de rebalse) dado en la Tabla 10.5, se calculó queel nivel de llenado era U=0.90 para el molino a escala piloto.

La Figura 10.12 muestra los resultados de la simulación del molino continuo aescala piloto usando U=0.90, la DTR de un reactor grande y dos pequeños, y los valores

Figura 10.10 : Distribuciones de tamaño simuladas y experimentales para la moliendadiscontinua en un molino de 0.56x0.91 m, usando un valor promedio de k de 1.11,

para un tamaño máximo de bolas de 38.1 mm.

Figura 10.11 : Comparación de distribuciones de tamaño simuladas y experimentalespara la molienda discontinua en un molino de 0.83 x 1.52m, usando un valor de k

promedio de 1.09.

269

del tiempo de residencia promedio calculados de / =60W/Q para el material retenidocorrespondiente a U=0.90. Se puede ver que las distribuciones de tamaño simuladastienen el mismo desajuste a valores grandes pero la predicción global de la distribuciónde tamaño del producto es razonable para los cuatro flujos.

Los valores de B para los molinos continuos industriales fueron calculados para lamezcla de bolas esperada en estos molinos. Se supuso que la mezcla de bolas era lamezcla de bolas de equilibrio de Bond derivada de bolas de recarga de 50.8 mm (2pulgadas) de diámetro para todos los molinos. Los valores globales de B para esta mezclade bolas también aparecen en la Figura 10.6; ellos resultaron esencialmente idénticos alos obtenidos en la molienda discontinua con una carga de bolas de 40% de 50.8 mm,45% de 38.1 mm y 15% de 25.4 mm. Se supuso además, que la ley de transporte de masaera aplicable al molino de 3.35 m (115 pies) de diámetro con descarga por parrilla, lo quedio U=1.3 para los molinos de 3.35 y 5 m y U=1.37 para el molino de 4.41 m. El valorde U=1.37 predice una retención de 50 toneladas métricas en el molino de 4.41 m (15pies) de diámetro, mientras que los tiempos de residencia promedio de 21.5, 19.2 y 16.5minutos, determinados para este molino a velocidades de flujo de sólidos de 132,145 y170 tph respectivamente, dan una retención (retención = / /flujo de alimentación) de 47,46 y 47 ton métricas. Los valores de F1 dados en la Tabla 10.7 son mayores que los flujosreales, de manera que los molinos no aumentan su retención a flujos más altos.

Para comparar las capacidades simuladas y experimentales de molinos desde laalimentación en la Tabla 10.8 se usó la misma técnica que para la molienda discontinua,pero usando el simulador de molienda continua apropiado en el estado estacionario, paradar el mismo porcentaje menos 200 ó 150 mallas que el valor experimental. Las Figuras10.13-15 muestran las distribuciones de tamaño versus valores experimentales para losresultados del molino industrial, usando valores de k promedio. Se ve que las

Figura 10.12 : Comparación de distribuciones de tamaño simulados y experimentalespara la operación continua del molino de 0.83 x 1.56 m, usando un valor de k de 1.09.

270

simulaciones generalmente predicen las distribuciones de tamaño del producto dentro dela variabilidad considerada, excepto nuevamente por el desajuste en el extremo superiorde las distribuciones de tamaño. Parece que la cantidad de material bajo 200 mallas (75µm) pronosticada es consistentemente demasiado alta para el molino de 4.41 m dediámetro y es consistentemente demasiado baja para el molino de 5.0 m.

10.5.3.Discusión de los resultados

Es claro que hay una tendencia consistente a un desajuste para los tamaños mayoresde las distribuciones del producto, tanto en molienda discontinua como en la continua.El valor de aT elegido de los resultados de ensayos discontinuos de laboratorio es el mejorvalor, suponiendo fractura de primer orden, para reproducir la región más fina de ladistribución de tamaño del producto, aún en la presencia de aceleración de la fractura delos tamaños mayores. Por lo tanto, es válido esperar que simulaciones basadas en estevalor pronostiquen correctamente el extremo fino de la distribución de tamaño delproducto pero no el extremo grueso, es decir, predicen más material en los tamañosgrandes de los que se ven realmente y por lo tanto, un diseño de molino basado ensimulación para dar un porcentaje bajo un tamaño deseado, por ejemplo, 140 mallas o untamaño del 80% determinado, es inherentemente conservativo con respecto a alcanzaruna restricción adicional en el tamaño máximo.

Tabla 10.7Comparación de capacidades de planta y simuladas para la molienda de mineral de

fosfato en circuito abierto.

Diámetro

molino

m

Tamaño

máximo

bola

mm

F1

tph

/

minutos

Qplanta

tph

Qsim

tph

QplantaQsim

k %<106µm

Potencia

correg.

molino

kW

0.82 50.8 1.0 34

25

21

15

0.32

0.42

0.51

0.73

0.30

0.38

0.46

0.67

1.07

1.10

1.11

1.09

1.09

87.1

80.6

76.3

65.2

7.5

7.8

7.2

7.0

3.35

(11.5ft)

50.8 170 15.6

17.3

19.5

23.5

58

68

74

84

53

63

71

78

1.09

1.08

1.04

1.08

1.07

71.4

65.4

61.3

58.0

1182

1170

1194

1182

4.41

(15ft)

50.8 400 19.4

18.3

15.4

132

145

170

138

146

172

0.96

0.99

0.99

0.98

67.9

65.9

60.1

N.A.

N.A.

N.A.

5.0

(17ft)

50.8 690 24.2

20.4

16.7

13.4

122

168

204

249

174

206

251

314

0.70

0.81

0.81

0.79

0.80

79.7

74.9

68.6

62.0

4350

4350

4315

4415

N.A=desconocido

271

Teniendo en mente las distribuciones en la mezcla de bolas, diseño de barraselevadoras, distribución de tamaño de la alimentación, arreglos de descarga del molino,etc., el hecho que el escalamiento de los datos de fractura de laboratorio dé prediccionesde la capacidad del molino con una precisión de + 11%, para un rango de molinos de 0.56a 4.4 metros de diámetro demuestra la validez general del procedimiento de diseño. Sedebe apreciar que el diseño de un molino en circuito abierto es más crítico que el de unoen circuito cerrado, ya que la ausencia de reciclo quita un grado de libertad en lasincronización fina del molino en operación. Por ejemplo, el desajuste de los resultadossimulados versus los experimentales en los tamaños gruesos no sería aparente si estostamaños se sacaran para reciclo vía clasificación.

El método de Bond de diseño de molino en circuito abierto falla totalmente paraestos datos, como se muestra en la Tabla 10.9. Los tamaños del 80% de las alimentacionesy productos experimentales fueron usados en el método de Bond con un Indice de Trabajode 18.3 kWh/ton, medido con un tamiz de prueba de 200 mallas (75 µm). En un cálculode diseño no se conoce el porcentaje menor que 200 mallas a cualquier tamaño del 80%deseado (excepto para el caso especial de 80% pasando a 200 mallas), de manera que elmétodo de Bond de conversión de circuito cerrado a abierto no puede ser aplicadorealmente para diseño. Sin embargo, aún con estas "correcciones", las capacidades realeseran sólo de 40 a 70% de las capacidades predichas por Bond, o sea, el método de Bondsobrepredice la capacidad en un 45 a 150%.

Tabla 10.8Distribuciones de tamaño de alimentación.

D, m 0.82 3.35 4.41 5.0

Q, tph 0.32-0.56 0.73 58-84 132-170 122 168 204 249

Tamaño

µm

% en peso menor que el tamaño para molinos de diametro D

13400 100 100

9150 100 100 100 100 96.7 98.4

6730 99.0 96.0 97.2 99.5 93.2 97.4

4760 93.1 88.1 94.2 97.5 89.9 95.5

3360 100 100 84.1 83.4 89.9 94.9 85.7 93.1

2380 99.0 99.1 71.1 64.8 85.1 90.2 81.1 89.8

1680 97.4 97.9 56.9 9810 77.5 82.0 73.5 83.2

1190 91.8 95.5 43.6 32.4 68.2 71.6 64.4 74.3

841 85.0 91.0 36.1 23.4 6.7 60.7 53.3 62.1

595 75.7 84.9 31.7 18.8 43.9 53.3 45.8 54.2

420 61.0 73.5 24.4 14.8 38.4 41.1 36.0 41.8

297 43.1 55.4 14.8 10.9 25.6 25.9 24.0 27.9

210 29.4 36.8 8.2 7.2 15.0 15.1 14.5 19.4

149 18.2 23.1 4.4 3.5 6.8 6.0 6.5 7.7

105 12.5 14.8 2.5 1.9 4.5 3.5 4.5 4.0

74 9.7 10.6 2.2 1.3 3.9 3.0 3.9 3.1

53

37

7.4

6.8

8.1

6.8

2.1

2.0

3.6

3.4

2.9

2.7

3.6

3.4

3.0

2.8

272

Figura 10.14 : Comparación de distribuciones de tamaño simulados y experimentalespara la operación continua de un molino de 4.41 x 9.1 m, usando un valor de k de

0.93.

Figura 10.13 : Comparación de distribuciones de tamaño simuladas y experimentalespara la operación continua de un molino de 3.35 x 7.9 m, usando un valor de k de

1.07.

273

El método de Austin-Klimpel-Luckie predice capacidades que son un 25%demasiado altas para el molino de 5 m (17 pies) de diámetro. Esta magnitud de error esinaceptable. Esto no se debe a que el molino consuma una potencia baja anormal, ya queel molino industrial consume la potencia esperada de la ecuación de Bond, como semuestra en la Figura 10.16. Hay evidencia, a partir de ensayos de DTR, que la densidadde la pulpa en un molino de rebalse es mayor que la de la pulpa que entra y sale delmolino. Sin embargo, la Tabla 10.6 muestra que no hay efecto grande de la densidad dela pulpa en las velocidades de fractura del material. Debe concluirse que el escalamientode los valores Si de acuerdo con D 0.3 para D > 3.81 no es correcta cuando D se hace muygrande.

Esto puede deberse a la distribución de tamaño del producto más plana del molinogrande, ver Figura 10.17, lo que sugiere que una proporción más grande de la energía delas bolas se usa en producir material excesivamente fino a expensas de velocidades defractura normales más bajas y menor capacidad del molino. El simulador del molino seoperó [ 10.11] sintéticamente para que diera más o menos la distribución correcta detamaño del producto, mediante el cambio de la DTR para estar más cerca del casototalmente mezclado, usando reactores de tamaño relativo 0.85, 0.075 y 0.075. Los

Figura 10.15 : Comparación de distribuciones de tamaño simuladas y experimentalespara la operación continua de un molino de 5.0 x 11.1m, usando un valor de k de 0.80.

274

Tabla 10.10Comparación de capacidad de la planta con predicciones de método de Bond para

circuito abierto en molienda de fosfato.

Tamaño

molino

m

Tamaño del

80%

Alim. (µm)

Tamaño del

80%

Prod. (µm)

% menos

75 µm

Multip.

de Bond

Capacidad

tph

Bond

Capacidad

tph

Planta

Razón

PlantaBond

3.35 3000

3000

3000

3000

130

155

170

190

59.3

54.0

50.6

47.8

1.049

1.041

1.036

1.035

94

106

113

121

58

60

74

84

0.62

0.64

0.65

0.69

4.41 3000

3000

3000

149.5

152

180

53.8

51.5

47.8

1.041

1.037

1.035

236

239

267

132

145

170

0.56

0.61

0.64

5.0 2000

1600

2300

1500

106

130

160

190

69.0

64.2

58.9

52.7

1.095

1.071

1.047

1.039

304

373

411

517

122

168

204

249

0.40

0.45

0.50

0.48

Figura 10.16 : Potencia en el eje del molino por tonelada de medios de moliendaversus diámetro del molino a J = 0.35, $c=0.70 para ensayos de molienda de fosfato.

275

Figura 10.17 : Comparación de distribuciones de tamaño simuladas y reales para unmolino de 5 m de diámetro.

Figura 10.18 : Comparación de distribuciones de tamaño simuladas y experimentalespara la molienda de fosfato en un molino de 5 m de diámetro usando un modelo de

DTR cercano a mezcla perfecta.

276

resultados se muestran en la Figura 10.18 y Tabla 10.10. Las nuevas capacidadessimuladas concuerdan bastante bien con los valores de la planta. Esto no prueba que losmolinos con diámetros grandes tengan DTR cercanas al comportamiento de mezcla total,pero sugiere que el 25% de la capacidad demasiado baja para este tipo de molino se debea algún factor que hace que la energía del molino se use ineficientemente sobremoliendolos finos. Es probable que una mezcla lenta en el sentido radial dé un efecto equivalentea un espacio muerto parcial en el molino. Un espacio muerto tiene el efecto de dar unacola larga a la distribución del tiempo de residencia, lo que llevaría a sobremoler losfinos.

10.6.REFERENCIAS

10.1. Freech, E.J., Horst, W.E., Adams, W.L. and Kellner, R.C., Mathematical Model Applied toAnalysis and Control of Grinding Circuits. Part II. Simulation of Closed-Circuit Grinding,AIME Annual Meeting, Denver, (1970) preprint 70-B-28.

10.2. Lynch, A.J., et al., Mineral Crushing and Grinding Circuits, Chapter 4, Elsevier Scientific Pub.Co., New York,NY, (1977)45-85.

10.3. Herbst, J.A. and Rajamani, J., Chapter 20, Design and Installation of Comminution Circuits, A.Mular and G. Jergensen, eds., SME, (New York, NY (1982)325-342.

10.4. Gelpe, T., Flament, F. and Hodouin, D., Computer Design of Grinding Circuits Flowsheets -Application to Cement and Ore Processing, preprint 83-191, AIME Annual Meeting, (1983).

10.5. Austin, L.G. and Klimpel R.R., Chapter 9, Control’84, Mineral /Metallurgical Processing, J.A.Herbst, ed., SME-AIME, New York, NY, (1984)167-184.

10.6. Klimpel, R.R., Min. Eng., Part I, 34(1982) 1665-1668; Part II, 35(1983)21-26.

10.7. Klimpel, R.R. and Austin, L.G., Powder Technol., 38(1984)77-91.

10.8. Rogers, R.S.C., Austin, L.G. and Brame, K.A., Min. and Met. Processing, 3(1986) 240-246.

10.9. Rogers, R.S.C. and Gardner, R.P., J.A.I.Ch.E., 24(1979)229-240.

10.10 Gardner, R.P., Verghesse, F. and Rogers, S.C.R., Min. Eng., (1980)422-431.

10.11 Austin, L.G., and Tangsathitkulchai, C. Ind.Eng.Chem.Research, 26(1987)997-1003.

Tabla 10.11Comparación de predicciones de Austin, Klimpel y Luckie (AKL) con datos

experimentales para un molino de 5 m de diámetro con DTR de mezcla perfecta.

Tamaño de

80 % en la

alimentación

µµµµm

% menor a tamaño :

38 µm 75 µm 106 µm QplantaQsimPlanta AKL Planta AKL Planta AKL

2000 53.4 54.3 69.0 70.8 79.7 79.7 0.91

1600 48.3 48.0 64.2 65.1 74.9 74.9 1.02

2300 43.6 42.6 57.9 58.4 68.6 68.6 0.99

1500 38.8 35.6 52.7 52.0 62.0 62.0 0.93

277

278

CAPITULO 11

SIMULACIONES DE CIRCUITOS

11.1. COMPARACION DE LA SIMULACION DE CIRCUITOS CONEL METODO BOND

Se recordará del capítulo 3 que el método de diseño de molinos de Bondproporciona una descripción aproximada de la capacidad de molienda para molinos debolas de rebalse en circuito cerrado directo, operando en húmedo con una razón derecirculación de C=2.5, ver Figura 3.2. No es posible efectuar una simulación exacta quecorresponda al método de Bond porque variables importantes, tales como la distribucióngranulométrica de la alimentación, la mezcla de tamaños de bolas en el molino, ladensidad de pulpa, la DTR y la curva de partición del clasificador no son especificadasen el método de Bond. Sin embargo, usando estimaciones razonables de estos factoresno especificados, se hizo simulaciones del modelo para realizar una comparación con losresultados del método de Bond. El material seleccionado para el estudio fue un mineralde cobre con ganga cuarcífera que tenía un Indice de Trabajo Bond de 15 kWh/toneladamétrica, que es un valor promedio representativo (se supuso que el valor WiT no variabacon el tamaño del tamiz, ver Figura 3.3). Los parámetros de fractura característicos sedan en la Tabla 11.1.

Estos valores fueron escalados a un molino de diámetro interior de 3.05 m yL/D=1.6, para una carga de bolas de J=0.35, una velocidad de rotación de 70% de lacrítica y un llenado intersticial nominal de U=1 que da W=7.57 toneladas métricas. Sepuede notar que el escalamiento con las ecuaciones del capítulo 5 da esencialmente lamisma variación de capacidad con el diámetro del molino con L/D y con J que el métodode Bond ( en esta región de D, L/D y J), de modo que cualquier valor razonable puedeser utilizado con el propósito de la comparación. La mezcla de bolas se tomó como lamezcla de equilibrio de Bond para una recarga con bolas de un diámetro de 50.8 mm.

La distribución de tiempos de residencia utilizada fue la del modelo de un reactorgrande seguido por dos pequeños con tamaños relativos de 0.73, 0.135 y 0.135. Ladistribución granulométrica de alimentación que se supone fue de 80% menor a 1 mm,con una pendiente de Rosin-Rammler de 0.50. Finalmente, los valores de selectividaddel clasificador se calcularon utilizando la función logística en ln xi con un cortocircuitode 0.3 y un índice de nitidez de 0.5. Se efectuó simulaciones para proporcionar una seriede tamaños del 80% en el producto de circuito a C=2.5, buscando los valores de Q y d50

para obtener las especificaciones deseadas y suponiendo que U=1 para cada condición.

La Figura 11.1 muestra los resultados comparados con los cálculos mediante elmétodo de Bond. Como se esperaba, los cálculos no ajustan exactamente porque lascondiciones “normalizadas” que se seleccionó para las simulaciones requeríansuposiciones sobre un número de parámetros. (Se recordará que la razón media entre la

279

Tabla 11.1Parámetros de ruptura de mineral de cobre.

Peso de sólido 1.36 kgPeso específico verdadero 2.65Densidad de pulpa 72% peso sólido

49% vol. sólidoCargas de bolas : d = 25.4 mm

J = 0.325Molino D = 203 mm

V = 5790 cm3

r.p.m.=60Parámetros de ruptura ! = 0.91

" = 0.61

# = 0.63

$ = 2.9

% = 0

S12x16 = 0.57 min-1

a = 0.35 min-1

Figura 11.1 : Comparación de la simulación del modelo con la predicción de Bondpara un molino de 3 m de diámetro, suponiendo una cantidad de material retenido

constante de 7.75 ton.

280

capacidad real y la capacidad Bond, que fue citada en el capítulo 3 es de 1.06, ésto es,existe normalmente un factor de seguridad inherente al cálculo de Bond). Multiplicarlos valores del modelo por 0.80 proporciona un ajuste razonable para los valores de xQ

menores que 26 µm, ésto es, para una capacidad del molino menor a 20 tph. En estaregión los factores de “fineza de molienda” de Bond son muy significativos, de maneratal que se puede observar que estos factores son una consecuencia natural del modelode simulación. Sin embargo, a altos flujos de alimentación (tiempos de residencia bajos)suponiendo que U=1, la simulación proporciona valores de la capacidad de hasta tresveces lo que predice el método Bond. Esto se debe sin duda al hecho de despreciar losefectos de sobrellenado del molino a tan altos flujos: es claramente imposible pasar flujosde F=1000 tph (Q=286 tph) a través de un molino de 3 m de diámetro sin conducir a unsobrellenado.

Este efecto fue incorporado en la simulación al suponer una retención versus flujomásico de la forma de las ecuaciones (5.22) y (8.34)

W =

&

'

(

)

)

W1(F ⁄ F1)0.5

1.3W1

, F * F1

, F + F1

El valor de U a cualquier flujo de sólido a través del molino es entonces, W/W1, y laecuación (5.7) fue utilizada para calcular el cambio en los valores de Si y, en consecuen-cia, cambios en capacidad, como se discutió previamente. Para el caso que se consideraaquí, U=1.3 solamente para valores de F menores a F1 , 70 tph, Q , 20 tph, y para estevalor de U, Ko = 0.875. Multiplicando las capacidades simuladas de la Figura 11.1 por0.875, para los flujos menores a 20 tph, dió una proporción de simulado a Bond de 1.09,muy cercano del 1.06 que se deduce a partir del Indice de Trabajo Operacional. El molinoempieza a llenarse a flujos mayores y los valores de Qf simulados en base a U=1 debenser multiplicados por valores de Ko menores para obtener valores reales de Q.

Esto no prueba que el sobrellenado es un efecto real porque el desacuerdo cadavez más grande entre el método Bond y las capacidades del simulador de molienda sincorrección a flujos altos podría deberse a otras razones. Por ejemplo, en un circuito realun intento para forzar un molino a flujos más altos y razones de reducción más bajaspuede sobrecargar los clasificadores y, en consecuencia, producir un aumento delcortocircuito disminuyendo el S.I. y la capacidad del molino más allá de lo esperado. Laforma exacta de la relación de transporte de masa en molinos no es conocida y el valorde k=0.5 en la ecuación (8.35) (en unidades métricas) es sólo una estimación que se basaen datos limitados, y la disminución de las velocidades de fractura a fracciones de llenadomuy elevadas también se basa en un limitado número de datos de laboratorio. Enconsecuencia, el efecto numérico exacto del sobrellenado está en duda. De todos modosse cree que la reducción de capacidad del molino (en relación a la que se espera de unasimulación de molienda sin corrección) que ocurre a flujos altos es un efecto real.

281

11.2.COMPORTAMIENTO DE DIVERSOS DISEÑOS DECIRCUITOS DE MOLIENDA

11.2.1.Introducción

Como los efectos de desaceleración y de sobrellenado son causa de ineficienciadirecta y varían con la densidad del material y de la pulpa, la discusión siguiente versarásobre ambas: (a) ningún efecto de desaceleración o sobrellenado, de modo que lasconclusiones ilustran cambios en la ineficiencia indirecta solamente; (b) efecto desobrellenado suponiendo que la relación de transporte de masa es aplicable a molinoshúmedos de rebalse.

Un molino que no se sobrellena en la misma medida debido a una forma de descargadiferente debiera dar un resultado intermedio entre estos dos extremos. Las condicionesdel molino de la sección previa fueron utilizadas con propósito ilustrativo, generalmentecon la alimentación representada por un 80% menor a 1 mm, con una pendiente deRosin-Rammler de 0.75 y con sobrellenado para flujos superiores a los 90 tph.

Figura 11.2 Caso 1 : Comparación de la distribución de tamaño de un circuito abiertopara - = 5 min, para diferentes DTR.

282

11.2.2.Caso 1

En primer lugar consideremos un molino de bolas operando en circuito abierto,con valores conocidos de Si y Bij, un material retenido W constante y una alimentaciónconstante. La Figura 11.2 muestra la distribución granulométrica calculada para flujopistón, flujo perfectamente mezclado y para un DTR correspondiente a 3 reactores enserie, de tamaño relativo 0.7 :0.15 :0.15 y un valor de - de 5 minutos. El flujo delproducto Q es el mismo para cada uno ya que Q/W = - para un circuito abierto. Seconcluye que el flujo pistón produce una distribución granulométrica más fina, con menosmaterial grueso y es, por lo tanto más favorable. Físicamente esto se debe a que un sistemaperfectamente mezclado da una oportunidad mayor para que partículas grandes puedanescapar antes de ser molidas en él y la distribución granulométrica sobre la que se efectúala molienda es la del producto. Por otra parte, con flujo de pistón el molino está operandosobre distribuciones granulométricas más gruesas en la mayor parte de la longitud delmolino y es más eficiente porque la fractura de partículas mayores es más rápida. Lasdistribuciones granulométricas convergen para las partículas muy finas.

Figura 11.3 CASO 2 : Distribuciones de tamaño para circuito abierto, moliendo avarios tiempos de residencia para modelo de tres reactores en serie (0.7:0.15:0.15).

283

11.2.3.Caso 2

En segundo lugar, consideremos el mismo molino con una DTR correspondientea tres reactores en serie operados bajos condiciones de circuito abierto para diferentestiempos de residencia promedio. El resultado se muestra en la Figura 11.4; como seesperaba, tiempos de residencia mayores (un flujo de producto Q menor) proporcionanuna molienda más fina.

11.2.4.Caso 3

En tercer lugar, consideremos el mismo molino operado bajo condiciones decircuito cerrado con un clasificador que tiene un conjunto de valores de si fijos (a=0.3,S.I.=0.5 y d50=150 µm). El resultado se muestra en la Figura 11.4 Aún cuando losparámetros del clasificador son fijos, el sistema todavía tiene un grado de libertad porquecambiando el flujo de alimentación fresca cambia el tiempo de residencia en el molino.Para flujos de alimentación muy bajos, la molienda es tan fina que el clasificador casi noopera. de modo tal que el resultado es idéntico al de la Figura 11.3. Cuando el flujo dealimentación aumenta la molienda es más gruesa, el clasificador envía más material paraser recirculado, la razón de recirculación aumenta y el producto del circuito se vuelvemás grueso. Un aspecto muy importante surge de la simulación. El conjunto de valores

Figura 11.4 Caso 3 : Distribuciones de tamaño para la molienda en circuito cerradocon selectividades determinadas, como función del flujo de alimentación Q, DTR de

tres reactores en serie.

284

típicos de si son 1 para las partículas grandes, lo que significa que el clasificador nopermitirá que el material grueso deje el circuito. Existe un tamaño de corte superior quese comporta como una parrilla o tamiz previniendo la salida del material grueso.Entonces, cuando el flujo de alimentación aumenta se alcanza una capacidad máximaque es controlada por las velocidades a las que se fracturan las partículas de laalimentación cuyos tamaños son mayores que el tamaño de corte para producir partículasde tamaños menores a las de corte.

Cualquier tentativa de alimentar el circuito a velocidades mayores conducirá a unaobstrucción del molino por la acumulación de material grueso no fracturado. La razónde recirculación en esta etapa llega a ser grande. La capacidad a la cual esto sucede es,por supuesto, más baja en presencia del efecto de sobrellenado.

11.2.5.Caso 4

Se puede ahora apreciar por qué no es posible comparar el resultado de usar uncircuito cerrado versus usar uno abierto sin definir las condiciones más cuidadosamente,ya que cambian las distribuciones granulométricas. De aquí se deduce el importanteconcepto de simulación que indica que para comparar dos sistemas ellos deben ser

Figura 11.5 CASO 4 : Comparación de las distribuciones de tamaño para moliendaen circuito abierto, con un punto de control en 80% menor a 200 mallas (75 µm), ver

figura 11.3.

285

operados para dar un mismo producto deseado. Para empezar, podemos utilizar un solopunto de control, esto es, los circuitos se fijan para producir una distribucióngranulométrica que pase a través de un punto específico, el punto de ajuste único. Porlo tanto, el caso 4 es una repetición de los resultados de circuito abierto de la Figura 11.2,pero con el flujo de producto cambiando para obtener un 80% menor a 75 µm, dando elresultado que se muestra en la Figura 11.5. Es obvio que sólo existe un flujo dealimentación que produce el punto de ajuste único. En otras palabras, el único grado delibertad en la operación del molino que estaba disponible, y que se podía usar para fijarel flujo de alimentación fresca, es eliminado al especificar el punto de ajuste único. Estáclaro que el flujo pistón produce una capacidad mayor que un molino con flujoperfectamente mezclado, pero este último tiene un porcentaje de finos mucho máselevado. Simulaciones de molienda correctas pueden ser obtenidas solamente si se utilizaun modelo razonable de DTR para este caso. El factor de sobrellenado no fuesignificativo para la fineza de molienda en juego con el circuito abierto de molienda.

11.2.6.Caso 5

Cuando esto se repite en molienda en circuito cerrado con los parámetros declasificadores fijos utilizados en el caso 3, para un conjunto dado de valores de si, existe

Figura 11.6 Caso 5 : Distribuciones de tamaño con un punto de control en 80%menor a 75 µm a C = 2.5.

286

nuevamente sólo un valor del flujo de alimentación (y por tanto de C) que cumplirá elcriterio de un punto de control. Sin embargo, si diseñamos el clasificador diferentemente,o si es un clasificador ajustable, se introduce otro grado de libertad ya que el conjunto devalores si es entonces controlable. Es conveniente representar el cambio del tamaño deseparación del clasificador por medio de un cambio en el valor de d50. Permitiendo lavariación del d50 se puede comparar las diferentes DTR del molino a una determinadarazón de recirculación, C=2.5. Si se compara los tres diferentes tipos de DTR (ver Figura11.6) se observará que la influencia de cerrar el circuito es reducir grandemente lasdiferencias entre las distribuciones granulométricas y las capacidades para las tresdiferentes DTR, en comparación con la operación en circuito abierto. Esto significa quepara una simulación en circuito cerrado no es necesario conocer la DTR con granprecisión. Más importante, la comparación con el caso 4 muestra que cerrando el circuitose produce distribuciones granulométricas con pendientes más inclinadas y una mayorcapacidad Q. La razón física para esto es, por supuesto, que la clasificación remueve losfinos y recircula el material grueso. de tal modo que el tiempo de residencia - necesariopara producir el punto de ajuste único es más corto para el circuito cerrado. El molinoestá operando sobre una mezcla de partículas que en promedio es más gruesa para el

Figura 11.7 Caso 6 : Banda permitida de distribuciones de tamaño con un punto decontrol en 80% a 75 µm con d50 variable en el clasificador DTR de 3 reactores en

serie (ver figura 11.6).

287

circuito cerrado que para el abierto, y la energía de fractura no es utilizada para lasobremolienda de finos.

11.2.7. Caso 6

En seguida emerge el caso 6. Ajustando el clasificador a un d50 más pequeñosignifica que operará con un tamaño de corte más pequeño, de modo que el tamañomáximo de partículas en el flujo de producto se reduce y material más fino es recirculado.Debido a que se ha introducido un grado extra de libertad, es posible obtener el punto deajuste único para todo un rango de flujos de alimentación fresca Q (y por lo tanto derazones de recirculación C), correspondiente cada valor de Q y C a un nuevo valor de d50.La Figura 11.7 muestra el resultado, que constituye una de las conclusiones másimportantes obtenidas de las simulaciones de circuitos de molienda. Un valor de d50 altopermite al circuito operar como un circuito abierto (C=0) y el valor apropiados de Q dauna distribución granulométrica plana que pasa por el punto control. Un valor de d50

bajo da un C muy elevado y el valor apropiado de Q proporciona una distribución congran pendiente que pasa por el punto control; por lo tanto, existe una banda permitidade distribuciones de tamaño entre C = 0 y C = .. Cualquier tentativa para obtener unadistribución granulométrica que pase a través de un punto de control y que también pasea través de un segundo punto de control que esté fuera de la banda permitida no se puedelograr. Obviamente un valor alto de C produce capacidad Q más elevada.

Figura 11.8 : Capacidad de molienda simulada versus razón de recirculación para unmaterial duro y alimentación gruesa (aT=0.25 min-1).

288

Si hay un factor grande de sobrellenado aparece otro punto muy importante. Si seintenta mejorar la eficiencia indirecta aumentando la recirculación se originará unaumento del sobrellenado y una reducción en la eficiencia indirecta aumentando larecirculación. Se originará un aumento del sobrellenado y una reducción en la eficienciadirecta: entonces se deduce que existe, una razón de recirculación óptima. Se observatambién que la existencia de un cortocircuito “a” en el clasificador significa que hay unvalor mínimo de C cuando se cierra el circuito. Las Figuras 11.8 a 11.11, muestran otrosresultados similares [11.2] para demostrar la variación general con las condiciones delmolino. En estas simulaciones la moliendabilidad del material cuantificada por aT

(fracción por minuto) fue variada en la proporción 0.5:1:2, y se varió la especificaciónde punto único en el producto dejando todo lo demás constante. Se concluye que:

(1) El material más blando (moliendabilidad más alta) da razones de recirculación óptimamás bajas porque los flujos son mayores para razones de reducción dadas y viceversa.

(ii) Una molienda fina (razón de reducción alta) de un material duro puede dar casi lamisma capacidad en un amplio rango de razones de recirculación (superior a C=2.5,por ejemplo), porque la ineficiencia directa de sobrellenado equilibra el aumento eneficiencia indirecta debido a la razón de recirculación más elevada.

(iii) Las más bajas razones de recirculación óptima se obtienen para pequeñas razones dereducción de materiales blandos.

Figura 11.9 : Capacidad de molienda simulada versus razón de recirculación paramaterial de dureza intermedia y alimentación gruesa (aT=0.50 min-1).

289

Estas simulaciones se hicieron a modo de simulaciones de diseño, ésto es, sedespreció las variaciones en densidad de pulpa que ocurrirán alrededor del clasificadorcomo consecuencia de la variación de C y se supone que un diseño apropiado delclasificador puede ser hecho para proporcionar el d50 deseado para cualquier condición.Se debe comprender que la operación a una razón de recirculación más allá del óptimopuede conducir a cierta inestabilidad en el control del circuito de molienda porque, si elmaterial se vuelve más duro, el producto del molino se torna más grueso, la recirculaciónaumenta y el molino se sobrellena más produciendo una disminución de las velocidadesde fractura. Esto requiere que el flujo de alimentación fresca deba ser reducido para evitarobstrucciones. Por otra parte, una operación por debajo de los valores óptimos de Cpermite que la razón de recirculación aumente y el molino se establezca en un C máselevado pero con un producto más grueso.

11.2.8. Caso 7

Consideremos ahora el caso 7, donde se especifican dos puntos de control. Si estospuntos están espaciados razonablemente, cualquier distribución granulométrica que pasea través de los dos puntos es casi idéntica a cualquier otra distribución a través de los

Figura 11.10 : Capacidad de molienda simulada versus razón de recirculación paraun material de dureza intermedia y alimentación fina (aT=0.50 min-1).

290

Figura 11.11 : Capacidad de molienda simulada versus razón de recirculación paraun material blando y alimentación gruesa (aT=1.0 min-1).

Figura 11.12 Caso 7 : Distribuciones de tamaño con dos puntos de control en 80%menos 75 µm y 55 % menos 38 µm.

291

mismos puntos. Obviamente, el segundo punto de control factible remueve un grado delibertad, de modo tal que existe solamente un valor de d50 (con valores correspondientesC y Q) que permite obtener la igualdad de los dos puntos. La Figura 11.12 muestra elresultado, que nuevamente es un resultado extremadamente importante. Dice que si uncircuito puede operar para satisfacer los dos puntos deseados, el valor de Q esvirtualmente idéntico para cualquier DTR. Para un molino operando cerca de lacondición de mezcla perfecta es necesario un C más elevado para alcanzar este estado,pero Q es virtualmente el mismo que para un flujo pistón. Sin embargo, en la presenciade un efecto grande de sobrellenado, el flujo mayor obtenido para el caso de mezclasperfectas ocasiona un factor de corrección más alto y por lo tanto, disminuyendo lacapacidad: nuevamente, el efecto es mayor para moliendas más gruesas.

En estas simulaciones se ha supuesto que las comparaciones se efectúan paramolinos geométricamente similares con valores fijos para los parámetros S, B, etc. Porlo tanto, las comparaciones son todas hechas a potencia constante del molino. La energíaespecífica de molienda para el producto del circuito es E=mp/Q, donde mp es constante,por lo tanto, en ausencia de sobrellenado los resultados del caso 5, esto es, un punto únicode ajuste, indica que E es menor para un flujo de pistón que para uno de mezcla perfecta.El resultado del caso 6, un punto único de ajuste con d50 variando, indica que E es menorpara una razón de recirculación más alta (bajo el óptimo). El resultado del caso 7, dospuntos de ajuste, indica que la producción y energía específica son virtualmente idénticas

Figura 11.13 Caso 8 : Variación de la distribución de tamaño del producto, a flujofresco constante (Q=45.5 tph), variando d50; DTR tres reactores en serie, sin incluir

efecto de sobrellenado.

292

Figura 11.14a : Variación de la selectividad del clasificador al variar S.I : d50 =75 µm ya=0.3 constante.

Figura 11.14b : Variación de la selectividad de clasificadores en función delcortocircuito a y manteniendo d50 =75 µm y S.I.=0.5 constantes.

293

para cualquier DTR y razón de recirculación. Entonces, para producir la mismadistribución granulométrica se requiere prácticamente la misma energía específica en unmolino determinado, independientemente de la DTR utilizada, si se considera solamentela ineficiencia indirecta. En presencia de efecto grande de sobrellenado, un molino conflujo pistón es más eficiente que uno que dé mezcla perfecta, especialmente para moliendamás gruesa.

11.2.9. Caso 8

Si el circuito es operado con una alimentación fresca Q constante, la distribucióngranulométrica puede ser variada cambiando el d50 (caso 8). Los resultados son ilustradosen la Figura 11.13. donde se muestra los cambios requeridos en d50. Como se podíaesperar, si el d50 disminuye a capacidad constante, resultan cargas circulantes más

Figura 11.15 : Efecto del índice de nitidez del clasificador sobre la capacidad delcortocircuito (ver figuras previas para condiciones del molino) : a=0.3, producto con

80% menor a 75 µm.

294

elevadas y distribuciones granulométricas más empinadas del producto con valores deltamaño del 80% menores. Nuevamente, tal como se discutió en el caso 3, hay un límiteen que el tamaño de corte superior del clasificador actúa como una parrilla y el valor deQ es el máximo que puede pasar a través del circuito de molienda-clasificación. Para unQ constante, este límite se alcanza cuando d50 llega a un tamaño límite pequeño, 39 µm,como se indica en la Figura. Incluyendo un efecto grande de sobrellenado, el menor valorde d50 y el correspondiente valor más elevado de C proporciona más sobrellenado, elque reduce la fineza de la molienda. Por lo tanto, la variación en la distribucióngranulométrica debido a la variación del clasificador, a un flujo fijo de Q, es bastantelimitado (excepto para molienda muy fina a flujos bajos).

11.3. EFECTOS DE LA EFICIENCIA DEL CLASIFICADOR

Las curvas de Tromp para la mayoría de los clasificadores industriales húmedos,pueden ser representadas por una ecuación de tres parámetros :

si = a + (1 / a) ci

ci = f (d50, 0)

donde los tres parámetros descriptivos son a, d50 y 0. Por ejemplo, una función adecuadapara ci puede ser :

ci = 1

1 + (xi ⁄ d50)/ 0

El valor de “a” es la fracción de cortocircuito aparente, esto es, la fracción de todos lostamaños de alimentación que es enviada a la descarga incluyendo a las partículas másfinas. Mientras más pequeña es “a”, más eficiente es el clasificador, ya que menos finosson recirculados hacia la alimentación del molino. Si se define un Indice de Nitidezmediante el cuociente de los tamaños para los cuales ci=0.25 y 0.75 proporciona:

S.I. = (1 ⁄ 9)1 ⁄ 0, 0 + S.I. + 1

ésto es :

0 = 0.954 ⁄ log (S.I.)

El Indice de Nitidez es un parámetros más fácil de visualizar que 0 , ya que S.I. = 1representa una línea vertical y S.I.=0 una línea horizontal. El valor de d50 es el factor quedetermina donde se encuentra la curva Tromp en la escala de tamaño de partículas. LaFigura 11.14 ilustra el efecto de variar “a” y S.I. Mientras mayor es la inclinación de lacurva Tromp, más nítido es el corte del clasificador y la línea punteada muestra la curvade selectividad ideal más eficiente, con S.I.=1. Una línea horizontal corresponde a unclasificador ideal ineficiente, ya que representa una separación de flujos sin una clasifi-cación granulométrica preferencial.

295

Preguntémosnos ahora: ¿Qué efecto tiene la eficiencia del clasificador en eldesempeño del circuito y en la energía específica de molienda? Las Figuras 11.15 y 11.16muestran los resultados de variar los parámetros de eficiencia del clasificador, en elmismo molino considerado previamente. Como se podía esperar en un ajuste de un punto,con una determinada razón de recirculación, el mejoramiento de la eficiencia delclasificador empina la distribución granulométrica, aumenta la capacidad Q del circuitoy reduce la energía específica E, tanto con o sin efecto de sobrellenado. El valor delcortocircuito “a” tiene una influencia particularmente fuerte en la capacidad. Comoantes, la presencia de un efecto grande de sobrellenado disminuye la capacidadpronosticada para razones de recirculación máa elevadas. Por añadidura, cuando elclasificador es menos eficiente (ya sea a un bajo S.I. o a un alto "a"), la razón derecirculación óptima es mayor. Esto se debe a que la disminución de la producciónocasionada por la menor eficiencia del clasificador significa que se requiere mayores

Figura 11.16 : Efecto del cortocircuito del clasificador sobre la capacidad del circuito(ver figuras previas para condiciones del molino) : S.I.=0.5, producto con 80% menor

a 75 µm.

296

Figura 11.17 : El esquema superior corresponde a un circuito cerrado inverso. Estepuede ser tratado como se indica en el esquema inferior, donde el preclasificador y el

clasificador tienen la misma selectividad. El circuito es ventajoso sobre el circuitodirecto solamente si la alimentación fresca G 1, contiene una cantidad significativa dematerial suficientemente fino, de modo que la preclasificación evite la sobremolienda

de este material fino.

Tabla 11.2Comparación de un circuito cerrado inverso con un circuito cerrado normal : tamañodel 80% en alimentación 1 mm, tamaño del 80% del producto 75 µm (S.I.=0.5, a=0.3,

d50 variado).

Circuito -min

d50

µm

Qtph

Ptph

1+C(P/Q)

ProductoCircuito

% menor que:

26 µm 75 µm

Normal 6.0 145 28.2 56 1.98 48.6 80

Inverso 6.0 125 30.4 56 1.83 47.0 80

Normal 3.7 111 35.0 90 2.58 45.3 80

Inverso 3.7 104 37.3 90 2.42 44.1 80

Normal 2.5 92.5 37.1(39.8*)

124(134*)

3.36 43.4 80

Inverso 2.5 87 38.5(41.1*)

124(134*)

3.25 43.1 80

* Sin ningún factor de sobrellenado.

297

razones de recirculación para producir los flujos a través del molino que producensobrellenado.

Finalmente, se debe destacar que es fácil extender las simulaciones al bienconocido tipo de circuito que se muestra en la Figura 11.17 (circuito inverso). Laalimentación fresca G 1 es sometida a la acción de clasificación y el producto grueso esla alimentación fresca real G al molino. El molino se trata exactamente como se describióanteriormente y el producto total es la suma de dos corrientes hipotéticas Q y Q1. Estetipo de circuito es ventajoso solamente cuando la alimentación fresca contiene unafracción sustancial de material ya suficientemente fino y cuando es deseable evitar unasobremolienda de este material.

Simulaciones de este tipo de cicuito en comparación con circuitos cerradosnormales usando la misma alimentación y especificaciones del producto y el mismomolino, muestran los siguientes rasgos. En un circuito cerrado normal, operando acapacidad y razón de recirculación óptima, el flujo de sólido a través del molino está dadopor P=(1+C)Q, donde Q es la capacidad del circuito. En el circuito cerrado inversosolamente una fracción de Q se obtiene del molino, de modo que el flujo del molino y larazón de recirculación son diferentes y no necesariamente las óptimas. Si se utiliza losmismos indicadores del clasificador, el flujo menor a través del molino lleva a un productode molienda más fino y a una menor recirculación. Esto debe ser compensado medianteuna reducción de d50 para aumentar el flujo a través del molino de modo de devolverloal óptimo. Esto se ilustra en la Tabla 11.2, donde el flujo real a través del molino semantiene constante durante la comparación. La producción óptima es de 38.5 toneladaspor hora obtenidas en un circuito cerrado inverso a una carga circulante de 3.25, para estaespecificación en la fineza del producto. mientras más gruesa es la especificación delproducto, mayor es la ventaja del circuito inverso para la misma alimentación. Lareducción de la cantidad de material fino que entra al molino aumenta la capacidad

Figura 11.18 : Circuito general de dos molinos.

298

(eficiencia indirecta) si el factor de sobrellenado se mantiene igual operando al mismoflujo total a través del molino.

11.4.CIRCUITO GENERAL DE DOS MOLINOS

11.4.1.Formulación

Una de las aplicaciones más beneficiosas del concepto de construir modelos desimulación para molinos es la habilidad para examinar diferentes configuraciones decircuitos con los modelos. Es posible, por supuesto, diseñar un modelo específico decircuito para cualquier configuración de interés y la construcción y programación demodelos para circuitos que contienen dos molinos ha sido discutido por Luckie y Austin[11.3] y Austin, Klimpel y Luckie [11.4]. Sin embargo, hemos desarrollado y programadoun circuito de dos molinos mucho más general que permite comparar con un mismoprograma diferentes circuitos.

El circuito que se analiza se muestra en la Figura 11.18 (las cubas no se indican).Consiste de dos molinos en circuito cerrado normal, con un circuito pre-clasificador y unpre-clasificador intermedio entre los molinos. La descarga del clasificador, ubicadodespués del primer molino, pasa a un divisor (separador de la corriente) que envía unafracción r1 de todos los tamaños de vuelta a la alimentación del molino y otra fracción(1-r1) a la alimentación del segundo molino. La descarga del clasificador instaladodespués del segundo molino pasa a otro divisor que envía una fracción r2 de retorno almolino y la otra (1-r2) a la alimentación del primer molino. Normalmente r2 es 1 ó 0 demodo que este divisor actúa como un interruptor direccional. La descarga delpre-clasificador intermedio pasa a alimentar el segundo molino. La corriente fina delpre-clasificador inicial puede ser enviada directamente al producto o recirculada alpre-clasificador intermedio por medio del tercer interruptor direccional r3.

Ocho formas reducidas de este circuito se muestran en la Figura 11.19. Lascondiciones necesarias para obtenerlas aparecen en la Tabla 11.3. Existen, por supuesto,un gran número de otros circuitos posibles, pero se consideran éstos los más importantespara los propósitos de este capítulo.

Considerando el simbolismo de balance de masa alrededor de un pre-clasificador(ver Figura 11.20) se define el parámetro de selectividad si del clasificador para el tamañoi por:

G 1gi1si = G gi (11.1)

Esto es,

gi = gi1si ⁄ 2 j = 1

n

gj1sj

gi = gi1(1 / si) ⁄ 2 j = 1

n

gj1(1 / sj) (11.2)

299

Figura 11.19 : Algunas formas reducidas del circuito general.

300

Figura 11.19 : Continuación.

301

Tabla 11.3Reducción del circuito general.

r1 r2 soi s1i s2i s3i s4i

2a.Alimentación

preclasificada,

molino 1 circuito

abierto, molino 2

circuito cerrado

inverso

0 1 Def.aprop.

Def.aprop.

s1i 0 0

2b.Molinos en

circuito abierto,

producto

preclasificado,

molino 2 circuito

normal inverso

0 1 1 Def.aprop.

Def.aprop.

0 -

2c.Molinos en

circuito abierto

molino 2 en

circcuito cerrado

inverso

0 1 1 Def. s1i 0 -

2d.Molino 2 en

circuito cerrado

inverso a

alimentación de

molino 1

0 0 aprop. aprop. si 0 0

2e.Alimentación

preclasificado,

molinos 1 y 2 en

serie circuito

cerrado normal

0 0 aprop. 1 aprop. 0 0

2f.Molino 1 y 2 en

circuito cerrado

inverso

0 0 aprop. 1 si 0 0

2g.Dos molinos en

circuito cerrado

normal reciclo del

primero se divide

en los dos

3 1 1 Def.aprop.

Def.aprop.

1 -

2h.Dos molinos en

serie cada uno en

circuito cerrado

1 1 1Def.

aprop.Def.

aprop. 1 -

302

Los flujos másicos son:

G = G 1 2 j = 1

n

gj1sj (11.3)

Q = G 1 2 j = 1

n

gj1(1 / sj) (11.4)

Las mismas formas de ecuación son aplicables alrededor de cada clasificador.

Un modelo de molino de primer orden para el molino se puede expresar en la forma:

pi = 2 j = 1

i

dij fj (11.5)

donde pi es la fracción del producto del molino de tamaño i y dij es la fracción de laalimentación fj de tamaño j que aparece como material de tamaño i en el producto delmolino. Los valores de dij dependen de las propiedades de fractura del material en elmolino, de la distribución de tiempo de residencia adimensional y del tiempo promediode residencia -. El valor desconocido de fj es reemplazado generalmente de:

(1 + C) fj = gj + C tj

donde gj es la fracción de material de tamaño j en la alimentación fresca y tj es la fracciónen la recirculación. Como la corriente de recirculación está dada por:

C tj = (1 + C) pjsj

Figura 11.20 : Simbolismo del balance de masa alrededor de un preclasificador : C esla razón de recirculación para este clasificador.

303

Tabla 11.4Parámetros de entrada : roca de fosfato.

Tamaño de claseTamaño máximo

de la clase (µm)

Alimentaciónfresca menor

tamañoS_

i, min-1 B__

i/j

1 9520 100.0 1.87 1.0000

2 6732 80.0 2.09 1.0000

3 4760 63.1 2.00 0.8660

4 3366 44.10 1.73 0.5090

5 2380 29.10 1.39 0.3440

6 1683 26.90 1.08 0.2470

7 1190 13.60 0.82 0.1810

8 841 10.10 0.62 0.1340

9 595 5.40 0.46 0.1000

10 421 4.80 0.35 0.0740

11 298 4.20 0.26 0.0550

12 210 3.20 0.20 0.0410

13 149 2.50 0.15 0.0300

14 105 2.20 0.11 0.0230

15 74 2.10 0.083 0.0170

16 53 2.00 0.062 0.0130

17 38 0.00 0.00 0.0090

Figura 11.21 : Circuito inverso de dos molinos en paralelo.

304

entonces:

pi4 = (1 + C) pi = 2

j = 1

i

pi4dij( gj + pj

4Sj) (11.6)

Calculando pi* a partir de i=1, da C de:

1 + C = 2 j = 1

n

pj4

(11.7)

Los balances de masa alrededor del circuito general fueron hechos utilizando estosconceptos, combinados con la acción de los tres divisores y el algoritmo resultante fueprogramado para uso en un computador.

Finalmente se incorporó el nivel de retención de cada uno de los molinos comofunción del flujo sólido a través del molino utilizando la relación empírica de transportede masa de la ecuación (8.35). El efecto del aumento del material retenido a flujos altoses el de reducir las velocidades de fractura en el molino por la acción de amortiguacióncomo se discutió anteriormente en el texto.

Las velocidades de fractura como función del tamaño de los molinos, condicionesoperantes y propiedades del material, fueron calculadas en el programa utilizando lasecuaciones de Austin-Klimpel-Luckie (ver Capítulo 5). Como distribución de tiempo deresidencia adimensional se tomó el modelo de tres reactores en serie, uno grande y dospequeños, con tamaños relativos de 51, 52 y 52 (51 + 252 = 1) . Especificando el tiempode residencia promedio - en el molino define entonces los valores de dij, con tal que setenga en cuenta cualquier disminución en capacidad debido a sobrellenado del molino aflujos altos. Es necesario especificar las dimensiones relativas del molino, definidascomo 6 =V2/V1. Los valores especificados de si para los clasificadores pueden seringresados como vectores o en la forma parámetrica:

si = a + (1 / a)ci

ci = 1 ⁄ [1 + (xi ⁄ d50)/ 0

], 0 = 0.9553 ⁄ log (1 ⁄ S.I.)

donde a es la fracción de cortocircuito aparente, d50 el tamaño del 50% de la curva delclasificador corregida y S.I. el Indice de Nitidez de la misma (definido por S.I.=x25/x75).Especificando - , queda definido el flujo de sólido a través del primer molino, pero elflujo a través del segundo molino, caracterizado por -2, depende de la cantidad defractura en cada molino y de los parámetros del clasificador y divisor, esto es, del gradode recirculación. Un procedimiento de búsqueda fue necesario para encontrar el valorde -2 que genera el grado correcto de recirculación que completa el balance de masa delcircuito. Finalmente se programó un segundo procedimiento de búsqueda que variar-1 (con búsqueda simultáneamente en -2 ) hasta que el circuito proporcionó la especifi-cación de un punto deseado en el producto.

305

Simulaciones utilizando el esquema anterior mostrarán siempre un aumento de lacapacidad del circuito con una carga circulante creciente. Sin embargo, los molinos nopueden pasar flujos muy elevados sin sobrellenarse de modo tal que las simulaciones serepitieron haciendo la mejor estimación posible del efecto de sobrellenado. La ecuaciónde transporte de masa utilizada fue:

U = &

'

(

)

)

1.3(F ⁄ F1)0.5

1.3

, F * F1

, F + F1

(11.8)

en que el flujo crítico F1 es:

F1 = k 7c 8s D0.35(L ⁄ D) (11.9)

donde 7c es la velocidad del molino expresada como fracción de la velocidad crítica, 8s

es la densidad del sólido en toneladas métricas/m3; D es el diámetro interno del molino

Figura 11.22 : Capacidad del circuito de dos molinos ; con especificación de productodel 80% menos 106 µm.

1. Molinos en paralelo, ambos en circuito cerrado inverso. 2. Molinos en serie, primerocircuito abierto, segundo circuito cerrado inverso. 3. Molinos en serie, primero circuito

abierto, segundo circuito cerrado normal. Líneas quebradas indican operación sinefecto de sobrellenado.

306

Tabla 11.5Resultado de simulaciones.

Tipo de circuito Tamañocorted50

µm

Razónrecirc.

C

Capac.circuitoQfalso

tphQ

tph

% que pasa :

212 µm 106 µm 38 µm

Dos molinos enparalelo ambos

circuitos inversos

377198166149139132121

1.52.02.53.03.54.05.0

92.03128.61148.00160.39169.11175.51184.18

80.53112.52129.48134.74133.44130.81124.38

94.3297.8998.4398.6598.7598.8298.90

80.0479.9779.9480.0179.9980.0180.09

49.2140.4936.6634.4633.0031.9730.65

Dos molinos enserie, primero

abierto, segundocerrado inverso

421298210149140135130

0.540.660.961.782.012.312.56

77.3093.97

122.89173.31186.08195.62205.23

67.6382.22

107.52134.75133.96133.06131.45

93.8095.7797.7498.7998.8998.9398.97

80.0080.0879.9980.0480.0879.9479.94

52.2248.4942.0335.5034.7036.1933.85

Dos molinos enserie, primeroabierto, segúncerrado normal

421298230170149140

0.680.570.711.171.601.90

105.32112.39123.35161.49180.68192.84

98.50102.50107.56120.47121.24120.72

95.1296.5997.7798.6498.8898.95

79.9580.0280.0979.8680.0480.04

46.2844.6942.5338.6337.0636.34

Dos molinos enserie, primero

abierto, segundocerrado combinado

298

2101491301059892

0.540.740.921.521.982.38

99.84111.44119.22138.74152.11159.75

87.3597.50

104.30125.99128.64128.30

95.8595.6495.4795.2795.2195.22

79.9980.0079.9780.0979.9180.07

47.1744.7743.2540.5138.9338.45

210

298149130120115

0.531.241.822.362.72

112.76148.04167.46181.86189.55

96.65131.44134.11133.67132.60

97.1797.9798.0098.0298.04

80.0680.0980.0179.9880.06

44.2538.1636.1435.1434.78

149

298210170130

0.580.831.212.54

125.56139.93157.40196.38

122.45129.10133.67132.69

97.1898.2598.6398.89

79.9979.9979.9780.10

41.5939.2036.9534.21

307

en m, L es la longitud de éste en metros y k se tomó como 0.5 para F1 en toneladas métricaspor hora. El mayor valor de U debido al sobrellenado se supuso que disminuirá lasvelocidades específicas de fractura según el factor.

Si 9 exp [/ c (U / 1)] (11.10)

El valor de c se tomó como 1.3. La disminución fraccionaria Ko de la capacidad demolino debido a este efecto (si se compara con un llenado formal de U=1) se obtuvodefiniendo un -4 formal mediante -4=F1/W1, siendo W1 la capacidad para U=1, que haceque la ecuación (11.8) se convierta en:

U = 1.3K0(-4 ⁄ -)

0.5 , F * F1

donde - es el tiempo promedio de residencia de la simulación sin corrección. Como lacapacidad del molino es proporcional a UW1Si, la ecuación (11.10) proporciona:

K0 =

&

'

(

))))

Uexp [/ c(U / 1)] , -4 ⁄ - * ( 11.3

)exp(0.3c)

1.3 exp (0.3c) , -4 ⁄ - + ( 11.3

)exp(0.3c)

Combinando las ecuaciones, U (y por lo tanto Ko) se puede explicitar mediante unalgoritmo de búsqueda desde:

(1.3)2( -4 ⁄ -) = Uexp[c (U / 1)] , -4 ⁄ - > ( 11.3

)exp(0.3c)

Esto se hace en ambos molinos del circuito, cada uno con su característica -4.

11.4.2.Ejemplos Típicos

No es factible dentro del alcance de este capítulo hacer una investigaciónsistemática de todos los posibles casos de interés, en consecuencia, se proporcionasolamente unos pocos ejemplos para ilustrar el uso del programa. La distribucióngranulométrica de la alimentación fresca utilizada se da en la Tabla 11.4 y se supuso quela especificación para el tamaño del producto era de 80% menos 14 mallas (106 µm).Se utiliza dos molinos de igual tamaño y carga balanceada de bolas, con velocidades defractura específica y distribución de fractura primaria promedio normalizada, como semuestra en la Tabla 11.4 [11.5]. Se supuso que los dos molinos tenían distribuciones detiempos de residencia que correspondían a tres reactores en serie con retenciones formalesrelativas de 0.5, 0.25, 0.25 y con una retención formal en cada molino de 18.7 toneladasmétricas. Cada molino tenía un diámetro interno de 3.35 m y una longitud de 7.9 m yoperaba con una fracción de llenado de bolas de 0.35, fracción de velocidad crítica de0.70 y con una recarga de bolas de tamaño único de 50.8 mm (2 pulgadas).

308

Se supuso que los clasificadores eran hidrociclones con un cortocircuito “a” típicode 0.3 y un Indice de Nitidez de 0.6. Las simulaciones fueron hechas en el modo dediseño, esto es, se supuso que se podía lograr un adecuado flujo de descarga y de rebalsey los valores de d50 correspondientes para los flujos involucrados en cada conjunto decircunstancias. Los valores de d50 de los hidrociclones fueron variados para proporcionarresultados en un rango de cargas circulantes.

Los tres primeros circuitos comparados fueron los de dos molinos en paralelo y encircuito cerrado inverso de la Figura 11.21., el de un molino en circuito abierto seguidode otro molino en circuito cerrado directo de la Figura 11.19b y el de un molino en circuitoabierto seguido de otro molino en circuito cerrado inverso de la Figura 11.19c. Dosmolinos iguales en paralelo pueden ser tratados como un solo molino con una producciónigual al doble de la de un solo molino y se puede obtener del circuito general haciendor1=1 y s1i= s0i. La Tabla 11.5 y la Figura 11.22 muestran los resultados, donde Qfalso esla capacidad pronosticada sin el efecto de sobrellenado y en que Q incluye la reducciónen tonelaje causada por el sobrellenado.

Incluyendo el efecto de sobrellenado, los dos molinos en paralelo y circuito cerradoinverso proporcionaron la máxima capacidad de 135 tph a una razón de recirculación

Figura 11.23 : Dos molinos en serie, el primero en circuito abierto, el segundo encircuito cerrado combinado con un pre y un posclasificador; especificación de

producto 80% -106 µm. Líneas quebradas indican operación sin tomar en cuentaefecto de sobrellenado.

309

óptima de 3, con un d50 de 150 µm. Los dos molinos en serie con circuito cerrado parael segundo molino, da prácticamente la misma capacidad máxima con una razón derecirculación óptima de 1.9 y un d50 de 140 µm. El otro circuito de dos molinos da unacapacidad máxima menor de 121 tph a una razón de recirculación óptima de 1.4.demostrando que un circuito cerrado inverso es más eficiente que un circuito cerradonormal. Como muestra la Tabla 11.5, la menor capacidad del último circuito se asociócon un porcentaje más alto de material menor que 400 mallas, 37%, contra 35% para loscircuitos más eficientes. El gran aumento en capacidad pronosticado para cargascirculantes mayores si no se incluye el efecto de sobrellenado, no está de acuerdo con laexperiencia industrial.

El efecto de la doble clasificación en el circuito de dos molinos en serie se investigóvariando el d50 de s1i, (Figura 11.20b) con diferentes razones de recirculación obtenidaspor variación del d50 de s2i, para cada conjunto de s1i, (ver Figura 11.23 y Tabla 11.6). Sise fija muy grande el valor de d50 del preclasificador, demasiado material fino de laalimentación será enviado al segundo molino a sufrir sobremolienda y al reducir éste poraumento de la razón de recirculación, se producirá sobrellenado que conduce a unadisminución de la capacidad máxima del circuito. Sin embargo, existe un rango de paresde d50 para pre- y post-clasificación que da una capacidad óptima de aproximadamente135 tph.

Los resultados típicos del simulador de dos molinos, discutidos en esta sección,muestran que éste puede ser utilizado para comparar circuitos diferentes y definir eltamaño de corte óptimo de los clasificadores. Cuando los clasificadores sonhidrociclones el cálculo incluye el balance de agua alrededor de los clasificadores,especificando las densidades de pulpa correspondiente. Por supuesto que los númerosque se dan en las simulaciones son correctos solamente para el material particular, eltamaño del molino, la distribución granulométrica de la alimentación fresca yespecificación del producto utilizado en las simulaciones, además de la magnitud delefecto de sobrellenado, pero el comportamiento general se puede aplicar a cualquiertamaño de molienda y a cualquier material.

11.5.REFERENCIAS

11.1. A.F. Taggart, Handbook of Mineral Dressing, Ores and Industrial Minerals.Wiley, New York,1945.

11.2. L.G.Austin, P. T. Luckie y K. Yildirim, Int. J.Mineral Proc.,21(1987)205-215.

11.3. P.T.Luckie and L.G. Austin, Mineral Science and Engineering, 4(1972)24-52.

11.4. L.G. Austin, R.R. Klimpel and P. T. Luckie, The Process Engineering of Size Reduction: BallMilling, publicado por la Society of Mining Engineers of the American Institute of Mining,Metallurgical and Petroleum Engineers, Inc., New York, NY, 561 pp., 1984.

11.5. R.S.C. Rogers, L.G. Austin and K.A. Brame, Minerals and Metallurgical Processing,3(1986)240-246.

310

CAPITULO 12

MOLIENDA SEMI-AUTOGENA(SAG)Y AUTOGENA(FAG)

12.1.INTRODUCCION

Hay consenso en el sentido de que los molinos semi-autógenos (SAG) o autógenos(FAG) seguidos de un molino de bolas relativamente pequeño, si es que fuese necesario,ofrecen ventajas sobre el esquema convencional, consistente en la secuencia: trituradores-molino de barras-molino de bolas. Ha habido suficiente experiencia para verificar queuna línea que incorpore la molienda SAG requerirá un menor costo de capital que la líneatradicional. El consumo de energía global en kWh/ton de producto es comparable paraambos sistemas, tendiendo a ser un poco mayor para sistemas SAG, pero el costo de aceropor reemplazo de las bolas gastadas es menor para estos últimos. Además el costo demantención de una línea SAG es menor que el de una convencional debido a laeliminación de las etapas de trituración secundaria y terciaria.

Se debe recordar que no se ha tenido éxito en aumentar el tamaño de molinos debarras más allá de seis metros (20 pies) de largo debido a la excesiva ruptura y trabadode las barras cuando se ha usado barras más largas. Existe evidencia que los molinos debolas de gran diámetro son menos eficientes que lo esperado, encontrándose problemaspara obtener la capacidad de diseño. Por otra parte, la gran razón diámetro/largo de unmolino SAG típico permite un volteo satisfactorio de la carga, ver Figura 12.1. En molinosde hasta 11 metros (38 pies) de diámetro se aprovecha la economía de escala, permitiendoobtener altas capacidades con una potencia instalada de 11.000 kW por molino.

Está claro que el método de diseño de molinos de Bond no es satisfactorio paramolinos SAG, debido a que está basado en información empírica de molinos de bolas ybarras en los que la razón diámetro/largo es muy diferente y en los que la acción de fracturay la potencia son controladas solamente por la carga de los medios de molienda. Enefecto, ha sido demostrado que el método de Bond no da buenos resultados para diseñarmolinos SAG. El método que se usa actualmente para diseñar estos molinos requiere unnúmero extenso de experiencias en un molino piloto de geometría similar a la del molinorequerido. Habría una ventaja si se pudiera utilizar métodos de diseño y escalamientobasados en ensayos de laboratorio, ya que se reduciría el tiempo involucrado y el costode experimentar la molienda SAG en planta piloto para un mineral determinado.

En forma adicional, el conocimiento del proceso de fractura en un molino SAGpermitiría un mejor enfoque de los problemas asociados al diseño y operación del molino,espccialmente en relación a los procedimientos de control necesarios para dar unaoperación estable. Por esta razón daremos un discusión de estas acciones de fractura y

311

formularemos modelos de simulación usando aproximaciones para ilustrar el compor-tamiento del molino SAG.

12.2.ENSAYOS CONVENCIONALES PARA EL DISEÑO DEMOLINOS SAG

La Figura 12.2 muestra un molino y circuito típico utilizado para el ensayo demolienda SAG.El molino piloto tiene un diámetro de 1.89 metros por 1 metro de largo,con un volumen activo de 2 metros cúbicos. Debido a la dificultad de operar hidroci-clones a un tamaño de corte determinado para pequeños flujos, es usual utilizar otro tipode clasificador más sensible, como el clasificador de espiral o harneros, u operar el molinoen circuito abierto. Los molinos de prueba son sensibles al tamaño de las partículas en laalimentación, de modo que se debe tener cuidado de asegurar una distribución granu-lométrica uniforme en ésta. Para flujos bajos es muy difícil lograrlo ya que, en estoscasos, la alimentación consiste en pocas rocas de gran tamaño y peso. Por lo tanto, lo quese acostumbra es separar el material en cuatro o cinco tamaños y reconstituir unaalimentación de distribución uniforme, mezclando las fracciones en proporcionesadecuadas. Como se verá más adelante, hay poderosas razones de por qué estos molinosdemoran tanto tiempo en llegar al estado estacionario, lo que implica que los ensayosrequieren de ocho a diez horas para llegar a este estado, una hora para tomar las muestrasy una hora adicional para asegurar que el muestreo se realizó en condiciones constantes.

La potencia utilizada por el molino debe permanecer constante durante y despuésdel período de prueba. Hay dos problemas para obtener buenos datos de potencia. En

Carcasa

Tolva dealimentación

parrillas dedescarga

descanso

revestimientodel manto

Figura 12.1 : Vista en corte de un molino SAG típico de gran razón D/L

312

primer lugar, el pequeño volumen del molino hace que la acción de volteo de la cargavaríe en intervalos cortos de tiempo, dando una medición “ruidosa” de potencia (o torque).Es ventajoso disponer de un circuito electrónico integrador-diferenciador que suaviceestas variaciones, o alternativamente llevar los datos directamente a un microprocesadorque los suavice por medio de software. En segundo lugar, los molinos piloto tienengeneralmente una gran pérdida en la transmisión. Por ello es necesario realizar ensayosde consumo de potencia en vacío llenando completamente el molino con roca o arena yagregando unas pocas bolas, de modo de calibrar el consumo de potencia para diversospesos de carga en el molino, pero sin acción de volteo. Esta calibración debe ser realizadauna vez que el motor, transmisión y descansos hayan llegado a la condición de trabajo.

Durante el intervalo de tiempo que dura el ensayo se toman muestras de alimen-tación, producto y reciclo del molino y flujos del clasificador, si es que éste existe. Alfinal del ensayo se detiene el molino, se mide el nivel de carga y se vacia ésta,determinando su contenido de sólido y su granulometría. El peso total de la carga se usapara determinar el consumo de potencia en vacío y calcular el consumo neto de potencia.Como durante el ensayo se midió el flujo de alimentación al molino, se puede calcular elconsumo neto de energía como kWh/ton.

Frecuentemente es difícil lograr una simulación exacta de las condiciones indus-triales, ya que el tamaño máximo de roca de alimentación al molino no debe exceder de1/10 del diámetro del molino aproximadamente, esto es, 15 a 20 centímetros (6 a 8pulgadas) para un molino de 1.83 metros (6 pies) de diámetro. La distribución granu-lométrica esperada en la alimentación a un molino industrial es generalmente unaestimación basada en el rendimiento esperado de la trituración primaria o de la mina. Por

Cajón dedescarga

Bomba depulpa develocidadvariable

Estanquede pulpa

molinosemiautógeno

Alimentador decorrea

Tolva

Ciclón

Harnero

Figura 12.2 : Esquema de una planta piloto para pruebas de molienda semiautógena

313

otra parte, no es frecuente utilizar tamaños de bolas mayores a 100 milímetros (4pulgadas) en los molinos de ensayo, mientras que hay disponibles bolas de 125 ó 150milímetros (5 ó 6 pulgadas) para los molinos industriales. Sin embargo, en un molinoindustrial el proceso de desgaste de los cuerpos moledores da origen a una distribucióncompleta de tamaños de bolas luego que la carga ha llegado al estado estacionario.Pruebas de bola marcada en molinos SAG han demostrado que el desgaste sigue la leyde Bond (ver capítulo 8), lo que significa que la mayor cantidad de bolas se encontraráen el rango de 1 a 0.6 veces el tamaño máximo (ver Tabla 8.4). Por lo tanto, una cargapara el molino de ensayo que contenga un 50% de bolas de 100 milímetros (4 pulgadas)y otro 50% de bolas de 75 milímetros (3 pulgadas) constituye una buena aproximación ala distribución resultante de una recarga de bolas de tamaño único de 125 milímetros (5pulgadas).

Se realiza una serie de ensayos variando los flujos de alimentación, lo que da comoresultado diferentes cantidades de material retenido en el molino y diferentes distribucio-nes granulométricas del producto. Para poner los resultados en una forma comparativa,se expresan como la energía consumida por tonelada (kWh/ton) de producto menor queun tamaño especificado, descontando la cantidad menor que este tamaño existente en laalimentación, en vez de los kWh/ton de producto total. Los ensayos se repiten con unrango de carga de bolas, expresadas como fracción del volumen del molino ocupado porlas bolas, JB, usando la porosidad formal de != 0.4, por ejemplo, JB = 0.06, 0.08, 0.10,0.12. Otros factores como la distribución del tamaño de la alimentación, densidad depulpa, tamaño de bolas, grado de reciclo (controlado por la operación del clasificador),etc., también pueden ser ensayados. El efecto de la remoción de algunas fracciones derocas de tamaño “crítico” (ver más adelante) a través de puertas especiales en los molinosindustriales, puede ser aproximada removiendo estos tamaños (o tamaños algo mayores)de la alimentación fresca al molino de ensayo y controlando que la carga estacionaria,que se obtiene al descargar el molino, contenga una menor cantidad de estos tamaños.

Se puede realizar ensayos en circuito abierto, estimando la distribución granu-lométrica del producto y la acción del clasificador desde experiencias previas, lograndoobtener, de esta forma, una estimación de la carga circulante y de la distribución delreciclo. Este método se utiliza para estimar la alimentación que se obtendría en un circuitocerrado, para luego preparar esta alimentación mezclando los tamaños apropiadamente.

12.3.ESCALAMIENTO A TRAVES DE LA POTENCIA:ECUACIONES DE POTENCIA PARA MOLINOS

En todos los casos descritos en la sección anterior el resultado final de los ensayoses la energía específica E en kWh/ton de producto, en que el “producto” se define comoel material menor que un cierto tamaño x*, estableciéndose las mejores condiciones delmolino para consumir el mínimo de esta energía y obtener el máximo de capacidad(ton/h). Luego se especifica una distribución granulométrica deseada para el pasosiguiente en el proceso de reducción de tamaño, por ejemplo, un porcentaje P(x*) detamaño menor que x* deseado como alimentación al molino de bolas que sigue al molinoSAG. Si se especifica el tonelaje Q deseado de este producto en ton/h, la potencia netanecesaria para el molino industrial es:

314

mp(neta) = EQ [P(x") # G(x")] ⁄ 100 (12.1)

donde G(x*) es el porcentaje menor al tamaño x* en la alimentación fresca al molinoSAG. Este procedimiento, aunque no del todo correcto, es razonablemente precisocuando G(x*) es pequeño y los valores de P(x*) y G(x*) para el molino piloto y el molinoindustrial son cercanos.

Los cálculos de diseño se completan con el uso de una ecuación que relaciona lapotencia usada por el molino con las dimensiones del molino y sus condiciones deoperación. Sin embargo esto no es tan sencillo como en el dimensionamiento de molinostradicionales con el método de Bond y por ello se discutirá en detalle a continuación.

Consideremos el movimiento idealizado de la carga de un molino, de acuerdo alanálisis de Hogg y Fuerstenau [12.1], basado en la teoría del movimiento de material enun horno rotatorio [12.2], [12.3] que se muestra en la Figura 12.3. Esta supone que bolas yrocas se mueven en forma ligada desde el fondo a la parte superior del molino y, quecuando llegan a la superficie inclinada de la carga, ruedan por la superficie y reentran allecho al azar y por debajo de la mitad de esta superficie, para ser llevadas de nuevo haciaarriba. La energía potencial para cada trayectoria se puede calcular fácilmente y unaintegración sobre todas las trayectorias da:

mp = k $c %cLD2.5(1+&) sen' sen3( (12.2)

Figura 12.3 : Movimiento de la carga de un cilindro rotatorio : modelo de potencia deHogg-Fuerstenau.

315

donde ' es la inclinación de la carga, como se observa en la Figura 12.3, el ángulo ( estárelacionado con la fracción de llenado del molino, %c es la densidad aparente promediode la carga supuesta constante en el espacio, k es una constante y & está dado por:

& = )*+

3 $c2

16 sen$c

,-.

)*+

1#cos4(sen3(

,-.

Para condiciones normales, & es aproximadamente 0.25, de manera que el término (1+&) es aproximadamente constante.

Se supone implícitamente que: (a) el tiempo empleado por el medio en rodar porla superficie de la carga es despreciable y (b) que el proceso es puramente mecánico, estoes que la energía potencial se recupera íntegramente como energía cinética de la carga(que a su vez se convierte en energía de deformación, fractura y calentamiento), sinrecuperación de la energía para mover el molino.

La relación entre J y ( es:

J = )+( # 12

sen 2(,.

⁄ / (12.3a)

Figura 12.4 : Relación funcional entre sen3 (/J y J. La potencia del molino es propor-cional a sen3(/J, se mantiene ' constante en la Figura 12.3.

316

cos( = a ⁄ R (12.3b)

La relación entre sen3(/J y J se muestra en la Figura 12.4, de donde se puede extraer unarelación útil con buena precisión en el rango 0.2 0 J 0 0.5:

sen3( = 4.15J(1 # 1.03J) (12.4)

La relación entre la densidad promedio aparente de la carga, la densidad de lasbolas, fracción de llenado de bolas, llenado intersticial y densidad de la pulpa es:

J%c = J(1 # !b) %b + fJ!b %s (1 # !s) U ⁄ ws (12.5)

donde J es la fracción de llenado de bolas, !b su porosidad, %b la densidad del acero, !s

la porosidad del polvo, %s la densidad del sólido y ws es la fracción en peso del sólido enla pulpa; f es un factor menor o igual a 1 que toma en cuenta el levantamiento promediomenor de la pulpa en comparación con las bolas. En efecto, la ecuación 12.5 supone queel lecho de bolas no se expande durante la acción de volteo o por la presencia de la pulpa,debido a la alta densidad de las bolas.

Ordenando las ecuaciones (12.4) y (12.5) y sustituyéndolas en la ecuación (12.2)da por resultado :

mp = (4.15) ksen'(1+&)(1#!b)J(1#1.03J)$c %bLD2.5)+1+

f!b %s(1#!s)U%b(1#!b)ws

,. (12.6)

donde se puede agrupar (4.15)(ksen ' )(1+&)(1- !b) en una sola constante. Esta expresióndebe ser comparada con la ecuación de Bond para la potencia de molinos mostrada en lasiguiente ecuación:

mp = 7.33J(1#0.937J)$c)*+1 #

0.1

29#10$c

,-. %b L D2.3 kW (12.7)

donde %b es la densidad del acero de las bolas en ton/m3 y D y L están en metros. Estáclaro que la derivación simple de la ecuación (12.6) no incluye el efecto del aumento dela altura del pie de la carga a altas fracciones de la velocidad crítica (lo cual produce unbajo promedio de altura de levantamiento) haciendo que la potencia de éste pase por unmáximo entre 75 y 85% de la velocidad crítica (ver Figura 8.1). La forma de variaciónde la potencia del molino con J tampoco coincide en ambas ecuaciones, pero la diferenciano es grande.

La mayor diferencia consiste en que la ecuación de Bond no contiene ningúntérmino relacionado con el llenado de polvo o pulpa. Esto sugiere que el polvo o la pulpapuede escurrir a través del medio que está levantándose en el molino, el que no lo arrastraconsigo en una misma trayectoria y hasta la misma altura, de manera que el factor f enla ecuación (12.6) puede ser significativamente menor que 1. Tomando valores aproxi-mados de !b = !s = 0.4, U = 1, ws=0.65, %s= 3 y %b = 8 se obtiene el valor del último

317

término de la ecuación (12.6) como (1+0.23f), de modo que la diferencia entre las dosecuaciones es bastante grande en relación a la carga de pulpa, a menos que el valor de fsea muy pequeño. Por otra parte existe acuerdo [12.4] en que, para molinos SAG de L/Dpequeño, el exponente de D en la ecuación de potencia es más cercano al valor teóricode 2.5 que el valor empírico de 2.3 de la ecuación de Bond. Parece ser que lasproporciones de estos molinos mantienen la similitud geométrica en el volteo de la cargahasta molinos de diámetros muy grandes.

Basados en esto utilizaremos una ecuación de potencia para molinos SAG dadapor:

mp = KD3.5(L ⁄ D)J(1#AJ)$c)*+1 #

0.1

29#10$c

,-.$c kW (12.8)

donde A es 0.937 para la ecuación de Bond, ó es 1.03 según la Figura 12.4, o tal vez 1.065como lo sugieren Gutiérrez y Sepúlveda [12.5].

Sería instructivo, a esta altura, realizar cálculos aproximados de potencia paramolinos SAG como función de la carga de bolas y mineral. Por convención se utiliza lamisma porosidad formal para calcular JB.

Por lo tanto !b = 0.4 y 0.6JB= (masa de bolas/%bV), donde V es el volumen delmolino. Esto requiere la definición de una densidad aparente promedio (incluída el agua)de la carga en el molino. Si !B es la porosidad efectiva de bolas y roca y x el verdaderovolumen de roca por unidad de volumen de molino y wc es la razón entre la masa de aguay la masa de roca en el molino, la densidad aparente promedio de la carga será:

%c = x%s(1+wc) + 0.6JB %b

J

donde %b es la densidad de las bolas y %s la densidad real de las rocas. El volumen desólidos y bolas en el lecho por unidad de volumen del molino es J, y queda dado por:

J = (x + 0.6JB) ⁄ (1#!B) (12.9)

o también

x = (1 # !B)J # 0.6JB

Sustituyendo en la ecuación anterior :

J%c = (1 # !B)J%s(1+wc) + 0.6JB(%b # %s(1+wc)) (12.10)

Esta expresión debe ser sustituida en la ecuación (12.8) para obtener la variaciónde la potencia del molino con J y JB, donde J > JB. Diferenciando con respecto a J,manteniendo todas las otras condiciones constantes e igualando a cero, se obtiene el valorde J para el cual la potencia es máxima:

318

Jmax =

1 # 0.6AJB

1 # !B 123

%b

%s(1+wc) # 1

456

2A(12.11)

Figura 12.5 : Variación de la potencia normalizada con la fracción de llenado delmolino SAG por bolas (JB) y carga total (J), para valores grandes de D/L.

319

donde wc = 0 para molienda en seco.

El resultado se muestra en la Figura 12.5 cuando se utiliza A=1.03 y una porosidadde lecho !B =0.3. También se muestra el pronóstico de la potencia neta y de la retenciónde material en el molino dado por Tanaka y Tanaka [12.6] de Kobe Steel, para el diseñodel molino SAG de Los Bronces en Chile, usando un valor de K=10.6. El valor de K enla ecuación (12.8) resulta ser K=11.2 calculado por comparación de esta ecuación con lade Turner [12.7] y K=12.8, cuando se compara con la ecuación de Dorr [12.8] , aunque éstatal vez se refiera a potencia en el eje. Los cálculos de Tanaka y Tanaka parecen estarbasados en una ecuación de diseño que utiliza A=0.937, en cuyo caso K=10.3 si lacomparación se hace a J=0.25. Los valores de potencia pronosticados por estas ecuacio-nes dependen del valor escogido para wc y !b. Se puede esperar que la razón de sólido aagua en el molino sea mayor que la de la alimentación y descarga, ya que el agua puedeescurrir a través de la rejilla de descarga pero las rocas mayores no pueden. Por otra parte,si la pulpa no es levantada por el movimiento del molino a una altura similar a la de lacarga de bolas y rocas en éste, el valor efectivo de %c será menor, y wc parecerá máscercano a 0, por lo menos en lo concerniente a la potencia.

La ecuación 12.9 es válida para un molino cilíndrico. Sin embargo, por razonesestructurales los molinos SAG están construidos con una sección cilíndrica y dossecciones cónicas en los extremos, por lo que es necesario hacer ciertas correcciones enla ecuación. La Figura 12.6 muestra la geometría que más se utiliza. La definición de Jusada previamente se puede aplicar solamente a aquella parte de la carga contenida en laparte cilíndrica del molino, mientras que el J total incluye las partes cónicas hasta lasaberturas de entrada o descarga. De la Figura 12.6 el volumen de cada cono truncado es:

V = 13/(R)2)*+

x1+x2

3

,-. # /(D1

⁄ 2)2)*+x2

3,-. 46

Como (x1+x2)(D1/2)=Rx2 y, por lo tanto, x1+x2=x1[1/(1-(D1/2R)] el volumen delmolino será:

V = )*+/D2L

4,-. 1231+)

*+

x1

2L,-.)*+2RD

,-.

2

)*+

1 # (D1 ⁄ 2R)3

1 # (D1 ⁄ 2R)

,-. +

)*+x1"2L

,-.)*+2R"D

,-.

2

)*+

1 # (D1" ⁄ 2R")3

1 # (D1" ⁄ 2R"),-.

456 (12.12)

Los valores estrellados x1*, R*, y D1* se refieren a la sección de alimentación.

El volumen de carga contenido hasta el nivel a en la sección cónica, ver Figura12.6, es:

Volumen = 7 / r2J(r)dy

R

a

donde J(r) es la fracción de llenado en la posición radial r. Como

dy ⁄ dr = (x1 + x2) ⁄ R, éste se transforma en:

320

Volumen = )*+

x1+ x2

R

,-. a3 7 / (r ⁄ a)2J(r⁄a) d(r⁄a)

a

R

La relación entre a/R y la función J(r/a) está dada por la ecuación (12.4). Si segrafica /(r/a)2J(r/a) versus r/a en un papel log-log, ver Figura 12.7, se obtiene una buenaaproximación mediante:

/(r ⁄ a)2J(r⁄a) = 0.77(r ⁄ a)2.25 , J < 0.47 (12.13)

Reemplazando este valor dentro de la integral e integrando resulta:

Volumen = 0.075/R 2)*+

x1 # D1 ⁄ 2R

,-. )*+aR

,-.

3123 )*+Ra

,-.

3.25

# 1456

El volumen total de la carga será:

Figura 12.6 : Geometría típica de un molino SAG de gran D/L.

321

Figura 12.7 : Relación entre /(r ⁄ a)2J(r⁄a) y (r⁄a) (Ver Figura 12.6).

322

Vc = /D2JL

4 + 0.075/

123R2)

*+

x1

1 # D1 ⁄ 2R

,-.

)*+aR

,-.

3

)*+)*+Ra

,-.

3.25

#1,-. +

R"2 )*+

x1"

1 # D1" ⁄ 2R"

,-.

)*+

a

R",-.

3)*+

)*+R"

a

,-.

3.25

#1,-.

456

(12.14)

donde J es la definición normal de J en un molino de sección cilíndrica. Para el rangoútil de 0.2<J<0.5 el valor de J se relaciona con a/(D/2) (ver Figura 12.8) mediante:

J 8 0.5 # 0.625 123

a

(D ⁄ 2)456, 0.2 < J < 0.5 (12.15)

lo que da:

Vc = )*+/D2LJ

4,-.)*+1 + )*

+0.075

J,-. ,-.)*+2RD

,-.

2x1

⁄ L1 # D1

⁄ 2R

123 )*+

1.25R ⁄ D0.5 # J

,-.

0.25

# )*+

0.5 # J

1.25R ⁄ D,-.

3456

+ )*+2R"

D,-.

2

x1

" ⁄ L1 # D1

" ⁄ 2R"123

)*+

1.25R" ⁄ D0.5 # J

,-.

0.25

# )*+

0.5 # J

1.25R" ⁄ D,-.

3456

(12.16)

Figura 12.8 : Relación entre la fracción de llenado J y a/R, (Ver figura 12.6).

323

Figura 12.9 : Relación entre J(1-1.03)(r/a) y r/a, (Ver Figura 12.6).

324

Dividiendo la ecuación (12.16) por la ecuación (12.12) resulta el valor global de J,digamos J

_, como:

J_ = J(1 + f1) ⁄ (1 + f2) (12.17)

donde f1 queda definido por la ecuación (12.16) y f2 por la ecuación (12.12).

Finalmente es necesario calcular la potencia para voltear la carga en las seccionescónicas. Para una sección, considerando los elementos mostrados en la Figura 12.6 ydespreciando el término 0.1/29-10 $c, se tiene:

dmp = K(2r)2.5J(r)(1 # 1.03J(r))$c (r)%c dy

La velocidad de rotación del molino es $c k ⁄ D0.5, manera que la fracción de velocidadcrítica en la posición y es $c (r) = $c (2r ⁄ D)0.5dando:

mp (sección) = 8k $c %c D # 0.5a4 + 7

r ⁄ a = 1

R ⁄ a

J(r)(1 # 1.03J(r)))*+ra

,-.

3

d(r⁄a))*+x1 + x2

R,-.

El gráfico de J(r)(1-1.03J(r))(r/a)3 versus r/a se muestra en la Figura 12.9, dando,para el rango significativo de J, el valor:

J(r)(1#1.03J(r)))*+ra

,-.

3

= 0.190)*+ra

,-.

3.1

(12.18)

Figura 12.10 : Forma típica para la suma de velocidades específicas de molienda enun molino SAG.

325

Reemplazando dentro de la integral, integrando y arreglando términos resulta:

mp (sección) = 0.046K$c %c D2.5)*+2RD

,-.

3 x1

(1 #D1 ⁄ 2R) 123)*+Ra

,-.

0.1

# )*+aR

,-.

4456 , a ⁄ R < 1

(12.19)

Combinando la potencia de dos de estas secciones con la potencia de la parte cilíndrica,para un llenado J, y reemplazando de la ecuación (12.15) a/R en términos de J, resultauna potencia total de:

mp = KD2.5L$c)*+1 #

0.1

29 # 10$c

,-. %c J(1 # 1.03J)(1 + f3) (12.20)

donde :

f3 = 0.046

J(1 # 1.03J))*+

x1 ⁄ L

1#D1 ⁄ 2R

,-.)*+2Rd

,-.

3123)*+

1.25R ⁄ D0.5 # J

,-.

0.1

# )*+

0.5 # J

1.25R ⁄ D,-.

4456 +

+ )*+

x1" ⁄ L

1 # D1" ⁄ 2R"

,-.

)*+2R"

D

,-.

3123

22

)*+1.25R" ⁄ D

0.5 # J

,-.

0.1

# )*+

0.5 # J

1.25R" ⁄ D,-.

4 456

55 , J < 0.45

(12.21)

Estas correcciones que reemplazan las funciones trigonométricas por simples funcionesde potencia introducen muy pequeños errores, del ordern de algunos porcientos.

12.4.PROCESO DE FRACTURA QUE OCURRE EN MOLINOSSAG/FAG

12.4.1.Introducción

La Figura 12.10 muestra las regiones involucradas en la fractura en un molinorotatorio. No hay ninguna razón para suponer que la molienda “normal” de partículaspequeñas por un medio de molienda grande (región 1) ocurra en forma diferente en lamolienda SAG que en la convencional, de manera que la molienda en esta región serátratada en forma similar a la ya discutida en el Capítulo 5, con las modificacionesapropiadas para adaptar las ecuaciones a las condiciones de los molinos SAG/FAG. Porotra parte, la fractura en la región 2, esto es, la fractura en la región “anormal”, cobramayor importancia que en la molienda convencional. En los molinos de bolas operadosen condiciones normales, la alimentación contiene muy poca cantidad de material detamaño tal que se fracture anormalmente. El tamaño de las bolas en la recarga puede serelegido en tal forma que de una suficiente proporción de bolas grandes en la cargabalanceada, de modo que se asegure la fractura eficiente de los tamaños de partículasgrandes. Sin embargo, en la molienda FAG la distribución de tamaño de los medios de

326

molienda será el resultado directo del proceso de fractura de la alimentación, de modoque en estos molinos se pierde un grado de libertad en el diseño. Finalmente, está claroque el proceso de molienda en la región 3, la “auto-fractura”, involucra una nueva seriede relaciones. No es posible construir un modelo realista de un molino SAG/FAG sinseparar la acción de autofractura de las otras acciones. En otras palabras, las grandesrocas que actúan como medios de molienda también están siendo fracturadas durante laacción de volteo, proceso que no existe en la molienda convencional.

Con el objetivo de investigar estos procesos, especialmente el proceso de autofrac-tura, es conveniente efectuar una serie de ensayos en un molino de laboratorio (nosotroshemos usado un molino de 0.6 m de diámetro por 0.3 m de largo). Obviamente que losresultados obtenidos no tendrán por qué corresponder cuantitativamente a aquéllos demolinos industriales, pero los ensayos en pequeña escala pueden ser utilizados paraexplorar los patrones básicos de fractura que servirán como guía en los ensayos cuanti-tativos que sea necesario realizar en molinos pilotos. Como se ha conseguido hacerexitosos diseños de molinos SAG a partir de ensayos continuos en molinos pilotos deaproximadamente 1.8 m de diámetro, se puede esperar que ensayos discontinuos hechosen molinos de 1.2 m (4 pies) a 1.8 m(6 pies) de diámetro también corresponderán a losresultados de molinos industriales. Un molino de mayor tamaño permite incluir colpas

Figura 12.11 : Fracción acumulativa en masa de tamaño menor al radio r para unafracción de cuarzo tamizada por mallas de 2.5 x 2.12 pulgadas.

327

mayores en los ensayos, existiendo una regla que dice que la razón de diámetros entre elmedio de molienda y el diámetro del molino no debe exceder de 1/10.

12.4.2. Molienda mediante bolas y guijarros

Las ecuaciones desarrolladas para la fractura de partículas de tamaño i en elCapítulo 5 serán utilizadas aquí con algunas modificaciones.

En primer lugar, las relaciones de escalamiento para el efecto del diámetro delmolino fueron dadas como:

Si 9 )*+

DDT

,-.

N1

)*+3.81

D,-.

:(12.22)

donde N1=0.5 y :=0 para molinos de diámetros menores que D=3.81, y :=0.2 paramolinos de diámetros mayores que D=3.81. La discusión anterior sobre molinos SAGde gran diámetro sugiere que estos molinos, a diferencia de los molinos de bolas, utilizanel exponente 0.5 en las expresiones de potencia por unidad de medios de molienda entodo el rango de tamaños. Por esta razón usaremos := 0 para todos los molinos de estetipo, ya que la potencia es un índice de la acción de volteo y se espera que Si seaproporcional a la potencia del molino por unidad de medios de molienda.

En segundo lugar, la carga balanceada de bolas en un molino de bolas se divide enclases con intervalos de 4;<<2 , con un diámetro de bolas efectivo igual a 0.925 veces eltamaño del límite superior de la clase. Sin embargo, para la fractura de partículas detamaño i por colpas (guijarros) de rocas de tamaño j, esta técnica, aplicada a los guijarrosrequeriría la división de la carga en clases con intervalos de tamaño 4;<<2, mientras quelos intervalos para el mineral se definen normalmente en una secuencia de ;<<2. A su vezesto requeriría que los parámetros característicos de la fractura normal ', =, & y > se

determinaran experimentalmente en intervalos de 4;<<2, o fueran interpolados a intervalos

de 4;<<2 usando los valores determinados para ;<<2. Para evitar esta inconveniencia, la cargade guijarros es considerada como secuencia de ;<<2, usando el promedio geométrico paracada intervalo como tamaño promedio efectivo. Por otra parte, se ha demostrado [12.9]que, debido a la forma de la roca, el promedio equivalente volumétrico de las colpas esmayor que el tamaño de la malla en un factor de 1.08 (ver Figura 12.11). Por esta razón,el tamaño promedio de la clase de ;<<2 de las piedras se toma como 0.76 veces el tamañosuperior de la clase en cuanto a su acción como medio de molienda.

En tercer lugar, la acción combinada de fractura de tamaño i es dividida en dospartes:

Si = Si (B) + Si (P) (12.23)

donde Si(B) es el efecto de la suma de fractura por todas las clases de bolas y Si(P) portodas las clases de guijarros. La fractura por bolas se calcula de ensayos en un molinode laboratorio usando bolas de tamaño dT mediante la expresión:

328

Si (B) = (JB ⁄ J) ? k

mk Si,k

donde:

Si,k = aT )*+

xi

x0

,-.

' C3C5

)*+

C2,kC4,k

1 + (xi ⁄ C1,k µT)@,-. , n > i A 1 (12.24)

donde Sn(B)=0 como es usual y

C1,k = )*+

DDT

,-.

N2

)*+

dk

dT

,-.

N3

(12.24a)

C2,k = )*+

dT

dk

,-.

N0

)*+

1+d" ⁄ dT

1 + d" ⁄ dk

,-. , d" = 2 mm (12.24b)

C3 = )*+

DDT

,-.

0.5

(12.24c)

C4,k = )*+

1 + 6.6JT 2.3

1 + 6.6J2.3

,-. exp [ # c (Uk # UT)] (12.24d)

C5 = )*+

$c # 0.1

$cT # 0.1

,-.

)*+

1 + exp[15.7($cT # 0.94)]1 + exp[15.7($c # 0.94)]

,-.

(12.24e)

como se discutió en el Capítulo 5, usando N1=0.5. El valor de J a ser usado en la ecuación(12.24.d) es el valor total de J, ya que éste determina la acción de volteo, y el términoJB/J convierte los valores de J formado enteramente de bolas por aquellos con unafracción de bolas JB/J.

Los valores de Si(P) se calculan en forma similar, usando los valores de laboratorioapropiados para guijarros. En el caso que no haya ensayos con guijarros, se puede suponerque los valores varían con la densidad del medio de acuerdo a:

aT (guijarros) = aT (bolas) )*+

%s

%b

,-.

(12.25)

µT (guijarros) = µT (bolas) )*+

%s

%b

,-.

N4

(12.26)

donde se espera que N4 valga alrededor de 1/3. El factor para corregir por la composiciónde la carga es claramente Jp/J en este caso, en que Jp=J-JB. Los valores correspondientes

329

de mk para guijarros son los valores wj de las rocas mayores que existen en la carga delmolino, esto es, material mayor que el tamaño de la parrilla.

En cuarto lugar, la aplicación de la ecuación (12.24d) para la molienda en molinosde bolas es inambigua, ya que hay una distinción clara entre el polvo y las bolas y se usasolamente el polvo para el cálculo de U en el efecto de llenado-acolchonamientoexp[-c(U-UT)]. Sin embargo, para la molienda SAG/FAG no hay una clara distinciónentre los medios de molienda y el polvo. Parece razonable que la definición de U cambiecon el tamaño que es fracturado y el tamaño que produce la fractura, ya que una colpade 10 mm será medio de molienda para partículas pequeñas, pero debe ser consideradapolvo para las partículas mayores. Por lo tanto, el término en la ecuación (12.24) sedenota mediante Uk-UT. El cálculo de UK se deja para secciones posteriores (sección12.7).

Figura 12.12 : Velocidad de desaparición de la fracción de mineral de cobre de 75 x50 mm por autofractura en la molienda discontinua en un molino de 1.8 m de diámetro

a 75% de la velocidad crítica con una fracción inicial de llenado a 38%.

330

El valor global de Bi,j a usar para la mezcla de bolas está dado por la suma ponderada(ver ecuación 5.11)

Bi,j (B) = ? k

(mk Sj,k Bi,j,k) ⁄ ? k

(mk Sj,k ) (12.27)

La misma forma de Bi, j es usada para la fractura debida a los guijarros, con losvalores apropiados de wk, Si, j Bi, j, k. En la región de fractura anormal, región 2, se sabeque los valores de B no tienen la forma normal pues contienen una componente mayorde abrasión-astillamiento (ver Figura 5.4). Se puede suponer que los valores de B sereproducen cuando el tamaño de roca que se fractura mantiene la misma razón al tamañode roca que produce la fractura: como parece que µ es proporcional a d (esto es N2=1),esto significa que un tamaño que se fractura, por ejemplo el tercer intervalo a la derechadel tamaño al cual se produce el máximo en la velocidad de fractura, tiene el mismo valorde B independiente del tamaño de la bola. Algebraicamente esto significa:

Bi,j,k = Bi,j (dk)

= Bi#h,j#h (dT) (12.28)

donde Bij(dk) es una función de dk. El cambio en el número de intervalos h se calculamediante el entero más cercano h=dk/dT y la matriz de Bi,j(dT) se conoce experimental-mente para el tamaño de medio de molienda de ensayo, generalmente dT=25.4 mm (1pulgada). Como µ también cambia con el diámetro del molino, el valor de h queda dadopor:

h=entero más cercano de (D/DT)N2(dk/dT) (12.29)

12.4.3. Autofractura

Mientras más pequeña es la fracción de bolas en la carga del molino, másimportante es el fenómeno de autofractura, llegando al extremo en la molienda FAG. LaFigura 12.12 muestra un resultado de molienda típico en un molino a escala piloto. Elgráfico de primer orden es muy diferente del que se observaría en un ensayo equivalenteen un molino de bolas convencional. Se debe destacar tres factores de importancia. Enprimer lugar, los “medios de molienda” están decreciendo con el tiempo pues las rocasse fracturan produciendo algunas fracciones demasiado pequeñas para ser consideradascomo medio de molienda. En segundo lugar, la cantidad de polvo en el molino crece conel tiempo, cambiando cualquier acción de acolchonamiento producido por polvo o pulpa.En tercer lugar, si se examina la carga del molino en función del tiempo se observa quelas colpas se redondean para formar guijarros. Es difícil separar estos efectos en este tipode ensayo.

Por esta razón se desarrolló un tipo de ensayo especial que mantiene las condicio-nes en el molino aproximadamente constantes en el tiempo. Este consiste en trazar laroca usando un colorante adsorbido y realizar el ensayo por corto tiempo, removiendo elcontenido del molino, eliminando el material menor a la malla por harneado y reem-

331

Fig

ura 12.13 : V

aria

ción d

el ra

dio

equiva

lente

volu

métrico

con e

l tiem

po p

ara

85 co

lpas, tra

zadas in

divid

ualm

ente

, en e

lra

ngo d

e 2

.5 x 2

.12 p

ulg

adas (ve

r figura

12.1

1) r 0 =

31m

m.

332

plazando la cantidad removida con la misma masa de colpas frescas no trazadas. Despuésdel segundo intervalo de molienda, el proceso se repite, pero con separación, contando ypesando lo que queda del material trazado. Esto permite seguir la desaparición delmaterial trazado sin la acumulación de finos y a una masa de tamaño de medios demolienda aproximadamente constante.

Se encontró que era posible marcar las colpas individuales y seguir su cambio demasa en función del tiempo. Se observaron tres distintos tipos de fractura. En primerlugar, hay una disminución gradual del radio equivalente volumétrico con el tiempo, laque sigue aproximadamente una relación de abrasión, esto es, una tasa de disminucióndel radio constante (ver Capítulo 8). En segundo lugar, hay cambios bruscos de masaque, sin embargo, dejan intacta la mayor parte de la masa de las colpas; este mecanismorecibe el nombre de astillamiento. Por último, hay cambios bruscos de masa que dejanfragmentos menores que la mitad del tamaño de la colpa inicial, lo que se denominafractura. Estos resultados se ilustran en la Figura 12.13.

Figura 12.14 : Contribución de los mecanismos individuales a la fracción del peso to-tal perdido . Ensayo autógeno en un molino de 0.6 m de diámetro. Colpas de cuarzo

de 63 x 53 mm, U=0, J=0.30, $c= 0.70.

333

Como estos ensayos permiten separar el fenómeno de fractura de cada colpa, esposible promediar estos tres procesos para todas las rocas trazadas. Sin embargo, seencontró que la pérdida de masa por abrasión era pequeña, de modo que fué convenienteenglobar la abrasión y el astillamiento en un solo término que se denominó efecto deastillamiento-abrasión. La Figura 12.14 muestra un resultado típico, en que la pérdida

Figura 12.16 : Velocidades de autofractura para un mineral de cobre de 26.5 x 22.4mm. Molienda autógena seca en un molino de 0.6 m de diámetro, 70% de la veloci-

dad crítica y llenado de polvo de 20% -100 mallas.

Figura 12.15 : Determinación de la velocidad de fractura y astillamiento-abrasión com-binadas para una alimentación fresca de cuarzo de 63 x 53 mm.(D=0.6 m, J=0.2,

$c=0.7, sin acumulación de finos).

334

de masa por astillamiento-abrasión del material contenido en una malla se dividió en dostérminos: la pérdida de peso debido a los núcleos que pasan a la malla inmediatamentemenor y los fragmentos finos desprendidos por astillamiento-abrasión del materialcontenido en la malla. La cantidad de este último material se obtiene fácilmente pordiferencia del peso total perdido de las colpas trazadas descontando la pérdida de núcleosy colpas fracturadas. Los datos muestran que las proporciones relativas de pérdida demasa son aproximadamente constantes durante el tiempo que el material es fracturadofuera del intervalo, por lo menos hasta un 70 a 80% de la fractura.

Sin embargo, la Figura 12.15 muestra la velocidad total de desaparición delmaterial marcado en función del tiempo. Nuevamente se puede constatar que el procesono es de primer orden. Al contrario que los resultados de la Figura 12.12, el proceso defractura parece continuar en el tiempo y no tiende a una cinética de orden casi cero. Estose debe a que este tipo de pruebas mantiene la masa total de medios constante y previenela acumulación de finos que producen acolchonamiento.

El resultado de la Figura 12.14 sugiere que una colpa que es frágil a la fracturatambién lo es para el astillamiento-abrasión, de manera que la probabilidad de fractura oastillamiento es la misma para una determinada “resistencia” del material aunque laproporción de masa perdida y la distribución de los fragmentos resultantes sea diferentepara los diversos mecanismos.

En la Figura 12.15, la cantidad de alimentación fresca agregada después de cadaintervalo de molienda disminuye, debido a que el molino se está llenando de guijarrosredondeados, duros y resistentes. Trazando mediante distintos colores cada lote de carga

Figura 12.17 : Gráfico de desaparición de cuarzo de 53 x 45 mm, mezclado en propor-ción de 50% con colpas de diversos tamaños. Ensayos autógenos en un molino de

0.6 m de diámetro U=0, J=0.30, $c=0.70.

335

fresca, es posible determinar la cantidad restante de cada lote que aún permanece enperíodos posteriores de molienda. La ley cinética de desaparición de este material frescofue de primer orden, esto es, proporcional a la cantidad, como se indica en la línea marcadacon "alimentación fresca". Este es un resultado casi trivial, pero indica que el compor-tamiento de fractura de la alimentación fresca no depende de si acaso se trata dealimentación fresca o de guijarros redondeados.

La figura 12.16 muestra otro resultado importante. Los ensayos fueron realizadoscon una cantidad fija de material fino agregado a la carga del molino inicialmente y encada intervalo, con el fin de mantener una cantidad más o menos constante de polvo opulpa durante los ensayos. Es claro que la presencia de exceso de material fino genera unefecto de acolchonamiento sobre la fractura, de modo que las velocidades específicas deautofractura son menores para U=0.8 que para U=0.3. Es bien sabido que si un molinode bolas es operado sin polvo, la velocidad de desgaste de las bolas es mucho mayor quebajo condiciones normales de operación. Esto es causado por el impacto de bolas conbolas sin la acción amortiguadora del polvo o la pulpa en el punto de contacto. Un excesode interacciones acero-acero causa una alta velocidad de desgaste de las bolas. El mismoefecto parece ocurrir en la autofractura de guijarros chocando unos con otros. Es esencialincluir un término que cuantifique este efecto en las ecuaciones de autofractura

La Figura 12.17 muestra un efecto de segundo orden adicional. La velocidad dedesaparición de material de un tamaño determinado es mayor en presencia de una fracciónde colpas de tamaño mayor y es menor en presencia de una porción de colpas de tamañomenor. Esto también parece razonable ya que significa que una colpa en particular tieneprobabilidad condicional de colisión con cada una de las otras colpas, dependiendo de lacantidad de ellas presente de cada tamaño. La colisión con colpas grandes dará veloci-

Figura 12.18 : Distribución de la progenie primaria para la fractura de cuarzo en lamolienda discontinua de colpas de 53*45 mm en un molino de 0.6 m de diámetro,

$c=0.75, J=0.3, finos removidos luego de un corto período de molienda.

336

dades de fractura mayores y aquélla con colpas pequeñas, velocidades de fracturamenores. En un caso real estos dos efectos tendrán tendencia a cancelarse mutuamenteen la mayor parte de la distribución granulométrica, pero la velocidad específica deautofractura, determinada con un solo tamaño de roca, debe ser corregida para representarla mezcla de tamaños presente en un molino continuo, o la determinación debe ser hecha(usando trazadores) en una mezcla que corresponda a la esperada en el molino operandoen el estado estacionario.

Un efecto similar ocurre al agregar una cierta fracción de bolas a la carga delmolino. Esta aumenta la velocidad específica de colisiones roca-bolas y las bolas tienenuna densidad mucho mayor. Para bolas de diámetro equivalente volumétrico este efectodebería ser directamente proporcional a la densidad de las bolas en relación a las rocas ya la fracción relativa de bolas presentes, esto es:

Si (S) = ( %b JB + %s Jp )

J%s Si

B (S) (12.30)

donde SiB (S) es el valor para una fracción de llenado J de rocas solamente y Si(S) es el

valor corregido para la proporción JB/J de bolas. La ecuación (12.30) se puede expresarconvenientemente en la forma:

Si (S) = %b Jb # %s (J # JB )

J %s Si

B (S) (12.30a)

La Figura 12.18 muestra la distribución primaria acumulativa de fragmentos B,determinada a partir de los fragmentos producidos en el primer minuto, aquellos produci-dos entre 4 y 6 minutos y los producidos entre los 28 y 35 minutos. Los resultados delprimer minuto corresponden a la región de fractura rápida de rocas frescas, mientras quelos resultados del minuto 35 corresponden a la fractura lenta de las piedras redondeadasy duras que quedan después que el material más blando desaparece. Queda claro que elproceso de astillamiento-abrasión sobre el material redondeado y duro da en su mayorparte fragmentos que son menores a un centésimo del tamaño que se abrasiona, esto es,menores que 0.5 milímetros. Por otra parte, el astillamiento de colpas irregulares delmaterial de alimentación da una fracción sustancial de fragmentos distribuidos en el rangode 0.5 a 5 mm.

En las secciones que siguen se desarrollará expresiones cuantitativas para elproceso de fractura discutido aquí.

12.5 ANALISIS DEL PROCESO DE ASTILLAMIENTO-ABRASION

12.5.1. Abrasión Pura

El proceso de abrasión puede ser analizado como fenómeno cinético de acuerdo ala ley de desgaste de Bond (ver Capítulo 8):

337

Velocidad de pérdida de masa de una

colpa de radio equivalente volumétrico r = C 4/r2 % (12.31)

donde C tiene unidades de longitud dividido por tiempo y % es la densidad del material.Designemos por P(r,t) la fracción de masa acumulada menor o igual al tamaño r en eltiempo, y por N(r,t) el número acumulativo de colpas de tamaño menor o igual a r.Consideremos un elemento diferencial de tamaño r a r+dr. El número de colpas que sedesgasta pasando a tamaño menor que este intervalo en un tiempo dt incluye a todas lascolpas si el elemento dt se define como dt=dr/C. Por lo tanto, el número de colpas quese gasta a tamaños menores a “r”, por unidad de tiempo, es [ D N (r,t) / Dr]dr/dt, que esigual a C DN (r, t) / Dr. Por lo tanto, la masa de colpas que por desgaste pasa al intervalode tamaño siguiente es (4r3/%/3)( C ) DN (r, t)/Dr. Como dN(r,t)(4r3/ % /3)=dP(r, t), la:

Velocidad de pérdida de masa a tamaños menores a r = C DP(r,t) ⁄ Dr

La velocidad de pérdida de masa por abrasión a polvo fino es dN(r,t)4/r2C%.Sustituyendo dN en términos de dP resulta

Velocidad de pérdida de masa por abrasión a polvo fino = (3C ⁄ r)[DP(r,t) ⁄ Dr] dr

Si el tamaño r es mucho mayor que cualquiera de los fragmentos abrasionados, laecuación de abrasión discontinua por unidad de masa abrasionada es:

En símbolos :

D123

DP (r, t)Dr

dr456

Dt = C

D2P (r, t)

Dr2 dr #

)*+3Cr

,-. DP (r, t)

Dr dr

D2P

Dr Dt = C

D2P

Dr2 #

3Cr

DP

Dr(12.32)

Esta es la ecuación diferencial fundamental para el proceso de abrasión de acuerdo conla ley de desgaste de Bond.

Velocidad devariación demasa en elintervalo r a r +dr por abrasión

Velocidad demasa que entraen el intervalo r a r +dr porabrasión

Velocidad demasa que sale del intervalo por abrasión

Velocidad depérdida de masapor abrasión departículas delintervalo.

= - -

338

La solución para la abrasión de colpas de un tamaño ro único, es bien conocida yse puede derivar fácilmente como:

r(t) ⁄ ro = E

F

G

H

H

1 # Ct ⁄ ro

0

0 0 Ct ⁄ ro 0 1

Ct ⁄ ro > 1(12.33)

En la forma de fracción de masa acumulada resulta:

P(r,t) =

E

F

G

HH

HH

1.0

1 # (I ⁄ ro)3

C(r)[1 # (I ⁄ ro)3]

r A I A rB

I A r A rB

rB A r A 0

(12.33a)

donde :

I ⁄ ro = 1 # Ct ⁄ ro , 0 < Ct ⁄ ro 0 1

Figura 12.19 : Fracción de masa acumulativa menor que el radio equivalentevolumétrico r como función del tiempo de molienda, para la simple abrasión de colpas

de un tamaño inicial ro.

339

y rB es el tamaño máximo de fragmento abrasionado. La Figura 12.19 muestra estasolución como una función del número adimensional C t/ro. La función C(r) representala distribución de fragmentos primarios de las partículas abrasionadas, bajo el tamañorB y será monótona entre los límites C(0)=0, C(rB)=1.0.

Si la distribución de tamaño de la alimentación se designa por P(r,0), la ecuación(12.33) se transforma en :

P(r,t) = 7

ro = 0

ro"

(1.0) dP (ro,0) + 7

ro = ro"

rmax

1231 #

)*+1 #

Ctro

,-.

3456 dP(ro,0)

donde ro" = r + t y r + Ct 0 rmax. Por lo tanto :

Figura 12.20 : Fracción de masa acumulativa menor al radio equivalente volumétricocomo función del tiempo de molienda, para la simple abrasión de una alimentación de

un intervalo ;<<2 con una distribución rectangular, para rB / rmax << 0.5.

340

P(r, t) =

E

F

G

HH

HH

1 # 7

r + Ct

rmax

)*+1 #

Ctr0

,-.

3

dP (ro,0)

1

,

,

0 0 r + Ct 0 rmax

r + Ct A rmax

(12.34)

Por ejemplo, para una distribución rectangular desde rmin a rmax (ver Figura 12.11),P(r,0)=[(r/rmax)- & ]/(1- & ), donde & =rmin/rmax. Por lo tanto dP(r,0)/dr = 1/rm(1-& ), eintegrando la ecuación (12.34),

Figura 12.21 : Gráfico de velocidad de desaparición de una alimentación en el inter-valo ;<<2, sometida a una simple abrasión (ver Figura 12.20).

341

P(r, t) =

E

F

G

HHHH

HHHH

1 # 1

1 # & 1231 # A + 3t

_ ln A + 3t

_ 2 )*

+1A

# 1,-. #

t_ 3

2 )*+

1

A2 # 1,

-.

456

3t_

1 # & ln )*

+

1&,-. #

3t_ 2

& +

t_ 3(1 + &)

2& 2

C(r)123

3t_

1 # & ln )*

+

1&,-. #

3t_ 2

& +

t_ 3 (1 + &)

2& 2

456

, & 0 A 0 1

, AB 0 A 0 &

, t_ 0 A 0 AB

donde t_ es el tiempo adimensional definido por t

_= Ct/rmax; A=t

_+(r/rmax) y AB=t

_+(rB/rmax),

todo para 0 0 t_ 0 1.

La Figura 12.20 muestra los resultados para la alimentación en el intervalo ;<<2,esto es, & =1/ ;<<2 . Las líneas horizontales corresponden a la segunda línea de la ecuaciónAB 0A 0 & , mientras que la tercera línea no aparece en la figura ya que rB /rmax << 0.5.La Figura 12.21 muestra los resultados en la forma de un gráfico de primer orden, parala fracción en peso w1(t) que permanece en el intervalo de tamaño inicial. Claramente elresultado no es una cinética de primer orden del tipo w1(t) = w1(0) exp(-S1t), excepto para

Figura 12.22 : Comparación entre las soluciones continuas y discretas para describirel proceso abrasión de colpas de una sola clase de tamaño.

342

el 40% de la masa perdida inicialmente. La ecuación (12.35) da w1(t) = 1 - P(& , t) para

A= t_ +& de donde, despreciando los términos en t

_ 2 y t

_ 3 da aproximadamente:

wi (t) = 1 # t_(1 # 3ln(& + t

_))

1 # &(12.36)

La Figura 12.20 muestra que esta es una buena aproximación. Cuando t_ J 0 dw1(t)/dt

da una pendiente de -[1+3ln(1/ &)]/(1- &), que es 6.96 para & = 1/;<<2, de manera que lavelocidad específica de fractura para un intervalo ;<<2es aproximadamente (7C /rmax).

En forma alternativa la ecuación (12.32) se puede resolver en la forma:

D

)*+

** 7

ro

rm#Ct

DP

Dr dr

,-.

--

Dt = C 7

ro

rm # Ct

D(DP ⁄ Dr)

Dr dr # 3C 7

ro

rm # Ct

1r

DP

Dr dr

ya que el límite superior de una colpa de tamaño inicial rm es rm - C t. Supongamos quel/r se puede extraer del intervalo como un valor medio 1/ r

_, entonces para un intervalo

estrecho de tamaño se tiene:

DDt

[P(rm # Ct, t) # P(ro, t)] = C 123DP(r, t)

Dr |rm # Ct #

DP(r, t)Dt

|ro 456 +

# 3Cr_ [P(rm # Ct, t) # P(ro, t)]

Ahora P(rm-Ct, t) - P(ro,t)=w1(t) y como ningún material puede entrar al tamaño mayorpor abrasión las pendientes pueden ser aproximadas por:

DP(r, t)Dr

|rm # Ct = 0

DP(r, t)Dt

|r0 = P(rm # Ct, t) # P(ro, t)

rm # Ct # ro =

w1(t)rm # Ct # ro

El tamaño medio r_ se aproxima mediante un promedio aritmético:

r_ = (rm # Ct + ro) ⁄ 2

Entonces :

343

dw1(t)dt

= # C 123

1rm # Ct # ro

+ 6

rm # Ct + ro

456 w1(t)

Integrando y usando w1(0)=1 resulta:

w1(t) = )*+

rm # Ct # r0

rm # r0

,-. )*+

rm # Ct + r0

rm + r0

,-.

6

(12.37)

En forma no dimensional :

w1(t) = )*+1 #

t_

1 # &,-. )*+1 #

t_

1 + &,-.

6

(12.37a)

La Figura 12.22 muestra este resultado en comparación a la solución analíticacompleta. Claramente es una excelente aproximación. Nuevamente, el valor de dw1(t)/dtcuando t J 0 da la velocidad específica de fractura debido a la abrasión en la forma:

S1a = C

rmax )*+

11 # &

+ 6

1 + &2,-.

= C

rmax )*+

7 # 5&1 # &2

,-.

(12.38)

Para & =1/;<<2 esta expresión da S1a=6.93C /rmax, o aproximadamente 7C /rmax, igual queantes.

El valor de b1, en términos del B aparente correspondiente a la región de desa-parición de primer orden calculado usando el método BII, es 0.484 para un 30% de fracturay 0.478 para un 50% de fractura, de modo que la aplicación del método BII para tiemposcortos de molienda da valores aproximadamente constantes de B, tal como en la cinéticade primer orden verdadera. Sin embargo, los valores tendrán una región tipo meseta hastaque se llegue al tamaño de los fragmentos (ver Sección 12.7 más adelante).

12.5.2. Combinación con fractura de primer orden

Consideremos como es usual que la fractura en intervalos de 4;<<2 o ;<<2 es ho-mogénea, con valores de b dados por bi,j. El valor de wi queda dado por:

wi (t) = 7DP(r, t)Dr

dr,

donde los límites están definidos como los radios equivalentes volumétricos correspon-dientes a los límites superior e inferior del intervalo. El balance de masa por tamaños esentonces:

344

Velocidad de incremento Velocidad neta de aumento de la neto de la masa en el = masa que entra al intervalo i intervalo i por abrasión

+ velocidad de generación de tamaño i por fragmentos abrasionados de todos los tamaños mayores

- velocidad de desaparición de tamaño i por abrasión

+ velocidad de generación de tamaño i por fractura de todos los tamaños mayores

- velocidad de desaparición del tamaño i por fractura

En forma matemática:

D 7

i+1

i

)*+

DP

Dr,-. dr

Dt = 7

i+1

i

Ci

D)*+

DP

Dr

,-. dr

Dr # 3Ci 7

i + 1

i

)*+1r

,-. DP

Dr dr

+ 3 ?

j = 1

i # 1

ci,jCj 7

j+1

i

)*+1r

,-. DPDr

dr + ?

j = 1

i # 1

bi,j Sj wj # Siwi (12.39)

donde ci,j es la fracción de fragmentos de tamaño i abrasionados de colpas de tamaño j ydonde bi,j, Sj tienen sus significados usuales.

La ecuación se puede simplificar suponiendo que es factible utilizar un radiopromedio en los dos términos donde aparece l/r. La transferencia de masa como colpasa través del tamaño xi se aproxima por C DP ⁄ Dr |xi

, donde C es la velocidad de abrasióndel material contenido en el intervalo superior a xi, esto es C i-1 DP/ Dr |i. Esto da:

dwi (t)dt

=

)*+Ci#1

DP

Dr |i # Ci

DP

Dr |i+1

,-. #

3Ciwi

ri

__ + 3 ? j = 1,i>1

i # 1

cij Ci wj ⁄ rj + ? j = 1, i > 1

i # 1

bij Sj wj # Siwi

El valor de DP/Dr|i se puede aproximar con wi-l ,/(ri-l - ri). Procediendo igual queantes y usando un promedio aritmético para rj resulta:

345

dwi (t)dt

= # [Si + )*+

7 # 5&1 # &2

,-. Ci

ri wi (t) +

Ci # 1

( 1 # &) ri # 1 wi # 1 (t)

+ ?

j = 1, i > 1

i # 1

( 6cij Cj

(1 + &) rj+ bij Sj ) wj (t)]

(12.40)

Definiendo una velocidad específica de fractura equivalente Si

__ dada por:

S_

i = Si + )*+

7 # 5&1 # &2

,-. Ci

ri(12.41)

y un conjunto de valores efectivos para b_

ij:

Figura 12.23a : Gráfico de velocidad de desaparición para un intervalo de tamaño de;<<2 sometido a fractura y abrasión (ver Eq. 12.45).

346

b_

ij =

E

F

G

HH

HH

6cij Cj

S_

i rj (1 + &) +

Sj

S_

j bij ,

6cij Cj

S_

j rj (1 + &) +

Sj

S_

jbij +

Cj

S_

j rj (1 # &) ,

i # 1 > j

i # 1 = j

(12.42)

se obtiene:

dwi (t)dt

= # S_

i wi (t) + ?

i = 1, i > 1

i # 1

b_

ij S_

j wj (t) (12.43)

Esta es la ecuación usual para la molienda discontinua y se puede resolver en la formaacostumbrada.

Figura 12.23b : Gráfico de velocidad de desaparición para un intervalo de tamaño de4;<<2 sometido a fractura y abrasión (ver Eq. 12.45).

347

Para el caso particular del primer intervalo de tamaño, es posible resolver laecuación (12.39) sin introducir ninguna aproximación, para una alimentación con dis-tribución rectangular en el primer intervalo. La ecuación (12.35) da la fracción dematerial que permanece en el intervalo l si no ocurre fractura:

f (t) = 1

1 # & 1231 # A" + 3t

_ lnA" + 3t

_ 2 )*

+

1

A" # 1 ,-. #

t_ 3

2 )*+

1

A"2 # 1,

-.

456

(12.44)

donde A* = t_ + & , t

_ = (C t/rm). La fracción en número de colpas que permanece sin

fracturarse en el tiempo t, para una fractura de primer orden, es:

N(t) = N(0) exp(# S1 t)

Por lo tanto, la fracción en masa que queda en el intervalo de tamaño después de un tiempode molienda t es:

w1(t) ⁄ w1(0) = f (t) exp(# S1 t) (12.45)

Las ecuaciones (12.44) y (12.45) permiten el cálculo del gráfico de desapariciónde primer orden, cuando se conoce los parámetros S1 y C. Esto se puede hacer muyconvenientemente en forma adimensional como la razón entre la velocidad específica demolienda por fractura y la velocidad específica de molienda por abrasión usando laecuación (12.38):

La razón de fractura a abrasión :

= S1

)*+

7 # 5&1 # &2

,-. )*+

Crmax

,-.

(12.45.a)

El resultado obtenido se muestra en la Figura 12.23. Una razón de fractura a abrasiónmayor que 2 o 4 aparecería como un gráfico de molienda de primer orden en el rango ycon la precisión de trabajo normal.

El equivalente a la ecuación (12.39) para un molino continuo perfectamentemezclado en el estado estacionario es:

Fpi = Ffi + W 7

i + 1

i

C d ( dP

dr)

dr dr # 3WCi 7

i + 1

i

1r

dPdr

dr + 3W ?

j = 1

i # 1

cij Cj 7

j + 1

j

1r

dPdr

dr

# Si wi W + W ?

j = 1

i # 1

bij Sj wj

348

Usando las mismas aproximaciones que antes, esto es, sacando r_ fuera de la integral,

reemplazándolo mediante el promedio aritmético y usando la expresión CdP/dr|i =Ci # 1wi-1/(ri-1-r1), da:

pi = fi # K (Si + 7 # 5&

1 # &2 Ci

ri ) wi +

KCi#1wi#1

(1 # &) ri # 1 + ?

j = 1, i > 1

i # 1

( 6cij Cj

(1 + &) rj + bij Sj )wj

Para un solo reactor perfectamente mezclado pi=wi, por lo tanto arreglando se obtiene:

pi =

fi + K Ci # 1 pi # 1

ri # 1 (1 # &) + K ?

j = 1

i # 1123

6cij Cj

rj (1 + &) + bij Sj

456

1 + K 123Si +

)*+

7 # 5&1 # &2

,-. )*+Ci

ri

,-.456

Definiendo S_

i y b_

ij como en la ecuación (12.42), resulta:

Figura 12.24 : Distribución de fractura primaria pronosticada para un proceso combi-nado de fractura y abrasión, partiendo de cada una de las contribuciones, usando la

ecuación (12.42) con r=53 mm, C= 8 x 10-3 mm/min , Si=0.031 min -1, &=0.84.

349

pi =

fi + ?

j = 1

i # 1

S_

j b_

ij pj

1 + KS_

i

(12.43a)

El tratamiento puede ser extendido a varios reactores en serie, a un circuito cerrado o aotros casos, en la forma usual.

12.5.3. Conclusiones

Del conjunto de ecuaciones, ciertamente complicadas, analizadas en la secciónanterior, se puede extraer las siguientes cuatro conclusiones importantes:

(1) La presencia de una componente de abrasión agregada a un proceso de fractura de primerorden da como resultado un gráfico de primer orden o una aceleración aparente de la

Tabla 12.1Deconvolución de astillamiento y fractura para cuarzo en un molino de 0.6 m de

diámetro.

Ensayo Bolas Acero Guijarros Polvo Fractura Relativa

tamaño JB tamaño JP tamaño U fractura núcleos astillas

mm mm malla f n a a/(n+a)

1 - - 63x53 0.30 - - 0.14 0.56 0.30 0.35

2 - - 53x45 0.30 - - 0.12 0.57 0.31 0.35

3 - - 45x38 0.30 - - 0.13 0.57 0.30 0.34

- - 53x45 0.15 - - 0.23 0.51 0.25 0.33

5-B - - 45x48 0.15 - - 0.17 0.64 0.19 0.23

6-C 63x53 0.07 45x48 0.10 - - 0.16 0.61 0.23 0.27

7 45x38 0.07 53x45 0.23 - - 0.18 0.55 0.27 0.33

8 53x45 0.07 53x45 0.23 - - 0.23 0.48 0.29 0.38

9 45x38 0.07 53x45 0.23 - - 0.33 0.44 0.23 0.34

10 63x53 0.07 45x38 0.23 - - 0.17 0.61 0.22 0.26

11 - - 63x53 0.23 - - 0.37 0.41 0.22 0.36

12 - - 53x45 0.30 -100# 0.15 0.29 0.45 0.26 0.37

14 - - 53x45 0.30 -100# 0.45 0.21 0.47 0.32 0.40

15 - - 53x45 0.30 -100# 0.30 0.28 0.57 0.15 0.21

16 - - 38x31 0.30 - - 0.20 0.48 0.32 0.40

17 - - 31x27 0.30 - - 0.08 0.67 0.25 0.27

18 - - 27x22 0.30 - - 0.14 0.58 0.28 0.33

19-A - - 63x53 0.05 - - 0.27 0.58 0.15 0.21

19-B - - 53x45 0.05 - - 0.13 0.73 0.14 0.16

19-C - - 45x38 0.05 - - 0.10 0.75 0.15 0.17

19-E - - 38x43 0.05 - - 0.26 0.47 0.27 0.36

19-F - - 31x27 0.05 - - 0.16 0.58 0.26 0.31

19-G - - 27x22 0.05 - - 0.32 0.44 0.24 0.35

350

velocidad específica de fractura a medida que el material es molido. Por lo tanto ellono puede explicar la disminución de la velocidad de fractura observada en la Figura(12.15).

(2) La ecuación (12.42) muestra que los valores de B para la combinación defractura-abrasión son la combinación ponderada de los valores de B para cada uno deestos procesos. Esto se ilustra en la Figura 12.24 en que los valores de B para la fracturason del tipo normal, los fragmentos de la abrasión se supone que son menores a undécimo del tamaño de partida y la razón entre los valores de S de fractura y S de abrasiónes aproximadamente 20.

(3) La ecuación (12.42) muestra, además, que una variación de la proporción de fractura aabrasión a medida que el tamaño de partícula disminuye resultaría en valores globalesdiferentes para B. Mientras mayor sea la componente de abrasión, mayor será la regiónde pendiente plana en el centro de los valores de B, como se ve en la Figura 12.24.

Figura 12.25 : Distribución experimental de cargas de fractura en ensayos de com-presión lenta de partículas de caliza de 1/4 de pulgada a -4 mallas.

351

(4) El proceso de astillamiento, que produce fragmentos relativamente grandes encomparación a la abrasión pura más un núcleo, debería mostrar una velocidad de fracturaentre aquella de abrasión y aquella de fractura normal. Sin embargo, en presencia deuna componente significativa de fractura, es imposible distinguir el proceso combinadode astillamiento-fractura mediante un gráfico de primer orden. Por otra parte, unacomponente significativa de astillamiento producirá un valor de B combinado, de formano-normalizable, como el que se muestra en la Figura 12.24

12.6 ANALISIS DEL PROCESO DE AUTOFRACTURA DE ORDENDISTINTO DEL PRIMERO

12.6.1 Distribución de resistencias

Las Figuras 12.15 y 12.18 muestran que el proceso de autofractura es altamenteno-lineal, incluso en aquellos ensayos con trazadores en que las condiciones en el molinose mantuvieron razonablemente constantes. Los gráficos de orden distinto del primerono son normalizables con respecto a un tiempo adimensional. Por ejemplo, el expresarel tiempo como t/t50 en que t50 es el tiempo para lograr un 50% de fractura, no hace quelas curvas de logw1(t) caigan una encima de la otra. El proceso involucrado parece claro.La alimentación fresca de colpas irregulares consiste en material que tiene una dis-tribución de resistencia, siendo algunas colpas relativamente duras y otras relativamenteblandas. Durante el proceso de molienda discontinua todo el material es fracturado enuna forma probabilística, pero el material blando se fractura más rápidamente de maneraque el material que queda después de un tiempo prolongado de molienda consiste en elmaterial más resistente que se fractura más lentamente.

Se podría pensar que la alta velocidad de fractura inicial es causada por elastillamiento de las irregularidades de las colpas que dejan un material redondeado quese fractura más lentamente. Sin embargo, los resultados informados en la Figura 12.14sugieren que la mayor pérdida de masa es por astillamiento y fractura y que la proporciónde astillamiento a fractura no varía durante la molienda. La Tabla 12.1 muestra lasproporciones calculadas en una serie de ensayos que dieron resultados similares a aquellosde la Figura 12.14. Parece que las velocidades de fractura más lentas del materialresistente, se aplican tanto a la molienda por fractura como a la molienda por astil-lamiento. La velocidad de abrasión pura, medida en estos ensayos mediante la técnicamostrada en la Figura 12.13, es demasiado baja para explicar la pérdida continua de masapor fragmentos y núcleos. Sin embargo, queda claro de la observación visual que lascolpas resistentes que perduran se redondean formando guijarros mediante el procesode astillamiento. Desafortunadamente, la naturaleza no lineal del proceso no permiteun análisis sencillo del proceso de astillamiento para detectar si es un proceso superficial,como la abrasión, o un proceso de primer orden como la molienda normal.

Un análisis de la esperanza de fractura de un material que posee un cierto rangode resistencias fue realizado por Austin, Shoji y Everell [12.10]. Como ya se mencionóen el Capítulo 2, los ensayos de compresión sobre esferas dan una desviación estándaralrededor de la media relativamente estrecha. Sin embargo, la Figura 12.25 muestraresultados de ensayos compresivos sobre partículas en una fracción de tamaño correspon-diente a un intervalo de ;<<2 de la serie estándar , dando una amplia distribución de

352

resistencias. Esto se debe en parte a la amplia variación de volúmenes en un intervalo de;<<2, de 1 a 2;<<2 , y en parte, a la amplia variación de formas y de orientaciones entre lasplacas de compresión. Esto significa que toda fractura en molinos debería ser de ordendistinto del primero debido a la distribución de resistencia de las partículas. Sin embargo,en la molienda de partículas que son atrapadas entre bolas hay componentes de fuerzasy una geometría de captura que no depende de la resistencia de las partículas y por lotanto muchas partículas atrapadas entre las bolas serán fracturadas independientementede si son resistentes o débiles. Por otra parte, muchas de las colisiones en la fracturaautógena no son suficientemente potentes para causar fractura a las colpas muy resisten-tes.

Es fácil escribir las ecuaciones que predicen la velocidad de fractura de un materialcon una distribución de resistencias sometido a una distribución de fuerzas. Considere-mos el primer intervalo de tamaño, el intervalo 1, y designemos con F(Y) la distribuciónacumulativa de “resistencia” Y, esto es, la fracción del material que tiene una resistenciamenor o igual a Y. Denominemos G(Y) a la distribución acumulativa de “fuerzas” deimpacto en el molino que produce la fractura de partículas de resistencia Y, y N el númerode aplicaciones de esta fuerza por unidad de masa y tiempo. Un material que tenga unaresistencia entre Y e Y+dY se fracturará en forma probabilística para dar una ley de

Figura 12.26 : Casos límite simples de distribuciones de fuerza aplicada y resistencia:G(Y) es la fracción acumulada de fuerza aplicada menor que la resistencia Y; F(Y) es

la fracción en peso acumulada de material con resistencia menor que Y.

353

Figura 12.27 : Ilustración del caso probable de distribuciones de resistencias F(Y) yfuerzas aplicadas G(Y) e ilustración del tipo de resultado obtenido al convolucionar las

distribuciones.

354

desaparición de primer orden. Si denominamos la cantidad de este material como w1(Y,t),tenemos:

dwi (Y, t)dt

= # S (Y) wi (Y, t)

y por lo tanto,

wi (Y, t) = wi (Y, 0) exp [# S (Y) t ] (12.46)

La velocidad específica de fractura S(Y) será proporcional a la fracción de las fuerzas queson mayores que la resistencia Y, esto es:

S(Y) = K N [1 # G(Y )] (12.47)

donde K es una constante de proporcionalidad. Por definición:

Figura 12.28 : Efecto de la fracción de llenado del molino en la velocidad absoluta deautofractura de mineral de cobre de 26x51 mm, para la molienda discontinua en un

molino de 1.8 m de diámetro a una fracción de velocidad crítica de 75%.

355

wi (Y, 0) = wi (0) DF(Y)DY

dY (12.48)

donde wi(0) es la fracción de la alimentación que es de tamaño i. Finalmente:

wi (t) = 7

o

L

wi (Y, t) dY (12.49)

Por lo tanto:

wi (t) = wi (0) 7 0

L

exp [# KN (1 # G(Y)) t] DF(Y)

DY dY (12.50)

La Figura 12.26 muestra cuatro casos límites obvios. En la Figura 12.26a, cadafuerza aplicada es mayor que la resistencia, de manera que la fractura sería de primerorden e independiente de la resistencia del material. En la Figura 12.26b, sucede locontrario, y no habrá fractura. La Figura 12.26c muestra que el material de una resistenciaúnica dará fractura de primer orden con una velocidad específica proporcional a 1- G(Y).En la Figura 12.26d, una parte del material es muy resistente para ser fracturado. LaFigura 12.27a muestra el caso más probable, en que siempre habrá una fracción pequeñade fuerzas que fracturará las colpas más resistentes, pero ésta será menor que la fracciónde fuerzas disponibles para fracturar las colpas más débiles. Por otra parte, hay que darsecuenta que una determinada colpa va a presentar una distribución de resistencias depen-diendo de su orientación con respecto a la fuerza aplicada en el molino, ya que las colpasno son esféricas, pero este efecto será aleatorio y tendrá un resultado similar a ampliar ladistribución G(Y) con respecto a la F(Y), dando una relación de primer orden.

Austin, Shoji y Everell realizaron integraciones numéricas de la ecuación (12.50)usando el tiempo adimensional t

_=KNt y suponiendo una distribución Gaussiana para

F(Y) y G(Y). Los resultados dependen obviamente de los cuatro parámetros M1, µ1 parala resistencia, y M2, µ2 para la fuerza, donde M y µ son la desviación estándar y la mediarespectivamente. Estos pueden ser reducidos a sólo tres parámetros al hacer uso de lasrazones M1 ⁄ µ1 y M2 ⁄ µ2. La Figura 12.27b muestra un resultado típico (paraM1

⁄ µ1 = M2 ⁄ µ2 = 0.25). Los resultados tienen similitud con los gráficos de orden distinto

del primero de la fractura autógena, con un mayor grado de no-linealidad a medida quedecrece la razón de fuerza promedio a resistencia promedio.

12.6.2. Fractura rápida y lenta

La consideración de las distribuciones de resistencia y fuerzas lleva a untratamiento muy complejo de los datos debido a las necesarias integraciones numéricasy a la falta de conocimiento de la forma de las distribuciones F(Y) y G(Y). Por esta razónlos resultados experimentales han sido tratados en una forma más o menos empírica

356

considerando que el gráfico de primer orden está formado por una fracción N de materialde fractura lenta, con velocidad específica de fractura SB y una fracción 1- N de materialde fractura rápida, de velocidad específica de fractura SA, como se indica en la Fig. 12.15.El resultado es:

w1 (t) ⁄ w1 (0) = N exp(# SB t ) + (1 # N) exp(# SA t ) (12.51)

Si se aplica este concepto a un molino SAG en el estado estacionario, el balancede material de tamaño 1 es simplemente:

Ff1 (1 # N) = w1A W S1A , Ff1N = w1BW S1B

ya que el material de tamaño 1 no puede dejar el molino por ser de tamaño muy grandepara pasar por la parrilla; w1A es la fracción en masa de tamaño 1 del material retenidoque es de fractura rápida y w1B es la fracción de material de fractura lenta. Definiendouna velocidad específica de fractura promedio mediante Ff1 = (w1A + w1B)WS

_1 da:

Figura 12.29 : Efecto de las bolas en las velocidades de fractura de cuarzo de 53x45mm en un molino de 0.6 m de diámetro, J=0.3 y $c=0.2.

357

S_

1 = 1

1 # NS1A

+ N

S1B

(12.52)

La fracción de material blando a duro del tamaño 1 en el molino será

w1A ⁄ w1B = (1 # N)S1B

N S1A(12.53)

Claramente, para N S1A A (1 - N ) S1B el molino se llenará con material resistente detamaño 1 que se fractura lentamente. Los valores medios de B quedan definidos por:

(w1A + w1B ) S_

1 B__

i,1 = w1A S1A Bi,1A + w1B S1B Bi,1B

esto es:

Ff1 B__

i,1 = Ff1 (1 # N1) Bi,1A + Ff1N1 Bi,1B

dando

B__

i,1 = (1 # N1) Bi,1A + N1 Bi,1B (12.54)

Figura 12.30 : Ensayos discontinuos de molienda autógena en un molino de 0.6 m dediámetro con JP=0.30, U=0, $c=0.7.

358

Un problema lógico aparece cuando este razonamiento se aplica a intervalos detamaño menores. Es necesario responder a la pregunta: “¿son los fragmentos débilessiempre producidos por material débil y los fragmentos fuertes a partir de materialfuerte?”. Por cierto que los núcleos de material fuerte que pasan al siguiente tamaño porastillamiento-abrasión son fuertes. Sin embargo, la fractura de este material fuerte paraformar fragmentos irregulares probablemente produce una cierta fracción de materialdébil, debido a la forma, y otra de material fuerte. En forma similar, los fragmentos dematerial que se fracturan rápidamente pueden contener algunos que van a perdurar. Enotras palabras, la fractura del tamaño j produce fragmentos de tamaño i, los que a su vez,tienen una distribución de resistencias.

Es fácil escribir el balance de material general en un molino SAG en el estadoestacionario para una mezcla de materiales duro y blando. Sin embargo, los experimen-tos para resolver el problema de la proporción de los fragmentos no han sido realizados,aunque la Tabla 12.1 indica que la mayor parte de la pérdida de masa en el pequeño molino

Figura 12.31 : Variación de la fractura de un cierto tamaño cuando está solo o en unamezcla con 20% de tamaño mayor (2.5 pulgadas) o menor (7/8 de pulgada).

359

de ensayo proviene de los núcleos y de los fragmentos producidos por astillamiento. Poresta razón, hemos aplicado la definición de velocidad específica de fractura promedio alos datos de los ensayos para estimar la variación de la velocidad de fractura con lascondiciones en el molino, y luego, hemos formulado el modelo del estado estacionariocomo si el material se comportara con estas propiedades promedio.

12.7 ECUACIONES PARA LA AUTOFRACTURA

Aunque el caracter no-lineal de la autofractura hace difícil describir exactamentela fractura autógena, se ha hecho un cierto número de estimaciones basadas en datos demolinos de 0,6, 1.2 y 1.8 m de diámetro. La variación de la velocidad específica defractura con el tamaño de la colpa se tomó igual a:

Si (S) = as( xi ⁄ x0 )'s (12.55)

en que para una dimensión estándar de xo = 1 mm, as es mucho más baja que aquellaspara la fractura por atrapamiento de partículas pequeñas por bolas o guijarros. El valorde 's parece ser alrededor de 1.

La variación de la velocidad absoluta de autofractura, definida como Si(S)J, enfunción del material retenido, se espera que siga aproximadamente las variaciones de lapotencia con el material retenido. La relación encontrada, ver Figura 12.28, puede seraproximada mediante la expresión empírica:

Figura 12.32 : Efecto de acolchonamiento de material menor a 100 mallas sobre lafractura de cuarzo de 54x45 mm, en molienda seca en un molino de 0.6 m de

diámetro, J=0.3, $c=0.7.

360

Si (S) 9 1

1 + (J ⁄ Jm)@s(12.56)

Los valores de Jm y @s se tomaron como Jm = 0.53 y @s = 4, para dar un mínimo en lavelocidad absoluta de fractura Si(S)J para J=0.4.

La Figura 12.29 muestra la influencia de adicionar bolas de distintos tamaños a lacarga de 30% de llenado de roca (cuarzo) de 53x45 mm, en un ensayo con trazador.Aunque a la fractura causada por las rocas se la denomina autofractura para distinguirlade aquella causada por el atrapamiento de las partículas por bolas o guijarros muchomayores, parece lógico que una cantidad de bolas del mismo tamaño que estas rocas vaa aumentar la fractura debido a la mayor fuerza de colisión. Las figuras muestran quelas velocidades iniciales de fractura son incrementadas por la presencia de bolas y que laproporción de material de fractura lenta disminuye. Esto es lo que se debería esperar, yaque la fracción de bolas corre la curva G(Y) a valores de mayor fuerza promedio ydistribución más amplia de fuerzas. El patrón de resultados es evidentemente complejo,requiriendo ecuaciones para expresar la influencia de cada tamaño de bola en cada tamañode partícula.

Ante la falta de datos suficientes para desarrollar estas relaciones en formacuantitativa, el efecto de las bolas fue aproximado por la simple adición de una correccióna la densidad en la ecuación (12.30). Esta da una corrección para las velocidadesespecíficas de fractura determinadas sin presencia de bolas, a una fracción de llenado deJ=JP, para ser usadas en presencia de bolas:

Si(S) con bolas = Si(S) sin bolas )*+

JB %b + JP %s

%s JP

,-.

donde JP=J-JB. Por ejemplo, el factor es aproximadamente 2 para un 7% de bolas dedensidad 8 y roca de densidad 2.7, en una carga total de J=0.3, y el factor es aproximada-mente 4 para 15% de bolas en una carga total de J=0.3.

La Figura 12.30 muestra un ejemplo típico de los valores de B medidos al comienzodel ensayo, correspondiendo a la velocidad de fractura rápida y al final del ensayo, cuandoel molino estaba lleno de guijarros redondeados y fuertes. Como se podría esperar, losvalores de B medidos después de 1 minuto de molienda muestran una mayor proporciónde fractura o colpas grandes astilladas, mientras que los medidos a los 35 minutos (de losfragmentos producidos en intervalo final de 5 minutos), dan valores de B que correspon-den a un proceso de astillamiento-abrasión. Como el tamaño mayor fue de aproximada-mente 50 mm en estos ensayos, parece que había solamente una pequeña proporción deastillas en el rango de 0.5 a 5 mm, con un 20% de las astillas en el rango menor a 0.1 mm.

Los valores iniciales y finales de B para los ensayos con y sin bolas son prácti-camente idénticos, mostrando que las bolas aumentan la velocidad de fractura, pero queel proceso sigue siendo astillamiento.

Como se podría esperar, también se encontró que la velocidad de auto-fractura deun determinado tamaño era mayor cuando el tamaño era mezclado con material de tamañomayor y menos cuando es mezclado con material de tamaño menor. Esto se ilustra en

361

la Figura 12.31 en que el ensayo fue hecho en una mezcla de 5% de la carga de 6 diferentestamaños, trazando cada uno de los tamaños ensayados y los nuevos agregados paramantener la distribución de tamaño con el tiempo. En la Figura 12.31 se muestran sólodos resultados para evitar confusión, pero los tamaños menores se fracturaban másrápidamente, los mayores más lentamente y los intermedios se mantenían más o menosigual.

La Figura 12.32 muestra que el efecto de acolchonamiento es despreciable paravalores de U entre 0 y 0.30, pero representa una disminución en la velocidad de fracturade más de 2 veces a valores de U=0.45. Desgraciadamente los datos no fueron suficientespara obtener una relación cuantitativa.

Se supuso que los parámetros cinéticos de autofractura se escalaban en la mismaforma que la potencia, esto es, que los valores de S serían proporcionales a D0.5.Combinando las ecuaciones anteriores resulta:

Si (S) = aST (xi ⁄ x0 )'s CS1 CS2 CS3 CS4 (12.57)

donde :

CS 1 = (D ⁄ DT )N1 (12.57a)

con N1 = 0.5,

Figura 12.33 : Factores de porosidad como función del tamaño relativo.

362

CS2 = )*+

1 + (JT ⁄ 0.53)4

1 + (J ⁄ 0.53)4

,-.

(12.57b)

CS3 = (JB %b + JP %s ) ⁄ (JP %s )(JBT %b + JPT %s )(JPT %s )

(12.57c)

CS4= corrección por efecto de acolchonamiento, etc. (12.57d)

En ausencia de una función para la ecuación (12.57d), se decidió determinar Si(S)por ensayos en un molino piloto continuo de 1.82 m de diámetro, ya que esto representala fractura en una mezcla de tamaños esperada en un molino industrial. Luego lasecuaciones 12.58a, b y c se usaron para corregir por el diámetro del molino y la carga debolas (ver Sección 12.9).

12.8 ESTIMACION DE LLENADO DE PULPA Y DENSIDAD DE LACARGA

Como se discutió con anterioridad, el efecto de la acumulación de pulpa entre lasbolas y guijarros ocasiona una variación de las velocidades específicas de molienda delas partículas en la pulpa. En la molienda en molinos convencionales de bolas no hayproblema en distinguir entre el medio de molienda y el polvo pero, para aplicar la ecuación(12.24), es necesario ser capaz de calcular Uk para cada tamaño del medio. Para haceresto, usamos el concepto de factores de porosidad introducido por Weymont [12.11].

Cuando un molino de laboratorio se opera con colpas de un solo tamaño, el molinollegará a un consumo máximo de potencia para una determinada fracción de llenado demedios, con el valor de J definido por la masa, el volumen del molino, y una definiciónformal de porosidad de lecho de ! = 0.4. Sin embargo, si la carga del molino consiste enun 50% de este medio y 50% de un tamaño menor, parte del tamaño menor puede calzaren los intersticios del lecho de colpas mayores, y la fracción que no cabe actúa comomedio contribuyendo al J, nuevamente con una porosidad formal de J=0.4. Por lo tanto,el molino debe ser llenado con una carga mayor antes que se logre la máxima potencia.Si se supone que el nivel de llenado J del molino para la máxima potencia es el mismo,se puede calcular la fracción de partículas menores que calzan entre las mayores. Elensayo fue repetido para un rango de tamaños, expresando el resultado como la fracciónde la porosidad de las partículas de 37.5 x 25 mm llena por cada uno de los tamañosmenores, obteniéndose el resultado de la Figura 12.33. Es razonable suponer que lafracción de porosidad dependerá de la razón de tamaños, de manera que los resultadosson expresados en términos del tamaño relativo xi / xj.

Obviamente que si Oij = 0, la partícula de tamaño i es inequívocamente un guijarroy si Oij = 1, la partícula i es inequívocamente polvo. Sin embargo, hay algunos intervalosde tamaño para los cuales 0 0 Oij 0 1. La fracción del volumen del molino ocupada porla masa del material W más las bolas se calcula de:

363

J = ?

i = 1

n

( Vi # ?

j = 1

i # 1

Vij ) ⁄ V (12.58)

donde Vi es el volumen aparente de las partículas de tamaño i (y bolas); Vij es el volumende las partículas de tamaño i que se acomodan entre los huecos dejados por las partículasde tamaño j, y V es el volumen del molino.

Para calcular el término Vij se debe considerar dos volúmenes. Uno es el volumenaparente de las partículas de tamaño i que está disponible para ser acomodado en loshuecos de las partículas de tamaño j. El otro es el volumen de las partículas de tamaño jque está disponible para aceptar partículas de tamaño i. Obviamente Vij será el volumenmás pequeño de estos dos.

El tamaño aparente de las partículas de tamaño i que está disponible para seracomodado en los huecos dejados por las partículas de tamaño j está dado por el volumenaparente total de partículas de tamaño i menos el volumen de las partículas de tamaño iya acomodadas en los intersticios dejados por las partículas de tamaños mayores que j,esto es :

Volumen de tamaño i disponiblepara acomodarse en huecos de las partículasde tamaño j

= ?

k=1

j#1

Vik (12.59)

En forma similar, el espacio hueco aún disponible para las partículas de tamaño i en laspartículas de tamaño j está dado por el volumen total de huecos dejados por las partículasde tamaño j menos los volúmenes ya ocupados por las partículas mayores de tamaño i,esto es :

Volumen de huecos de las partículas jque están disponibles para las partículas de tamaño i

= Vj ! #

123

22 ?

k = j+1

i#1

Vkj

456

55 Oij , i > j (12.60)

donde ! es la porosidad formal del lecho. Por lo tanto, el volumen Vij queda dado por:

Vij =

E

F

G

HH

HH

min

123

22Vj ! # ( ?n

k = j + 1

i # 1

Vkj) Oij ; Vi # ?

k = 1

j # 1

Vik

456

55 , Vij A 0

0 , Vij 0 0

(12.61)

donde el primer término en el lado derecho de la ecuación tiende a cero a medida que eltamaño i se torna tan grande como j.

364

En cuanto a lo que a acolchonamiento del impacto de los medios de molienda porpartículas más pequeñas se refiere, se adoptó una definición arbitraria : para todo mediode molienda de tamaño j, las partículas de tamaño i serán consideradas polvo (con respectoal tamaño j) si Oij > 0.5. Partículas mayores son consideradas medios de molienda. Comola distancia entre el tamaño j y el tamaño considerado como polvo es de aproximadamente6 intervalos de tamaño, el lecho de guijarros consiste en tamaños j, todos los tamañosmayores y los cinco tamaños menores siguientes. El polvo es la suma de todos los tamañosmenores.

fcj = ?

i = j + 6

n

Vi ⁄ V (12.62)

y el volumen de huecos presente en un lecho de partículas mayores que J está dado por:

Figura 12.34 : Variación de la cantidad de material que permanece en el tamañomáximo, el llenado de medio JP y el llenado intersticial U del tamaño máximo para

mineral de Donoso de 76 x 51 mm, versus el tiempo de molienda seca y discontinuaen un molino de 1.8 m de diámetro (ver Figura 12.15).

365

VVj = ?

k = 1

j + 5

(Vk ! # ?

i = k + 1

j + 5

Vik ) (12.63)

Entonces, el llenado intersticial de bolas y guijarros por polvo se calcula de:

Uj = fcj ⁄ (VVj ⁄ V ) (12.64)

Este se utiliza para calcular los valores de Si de la fractura de medios de tamaño k (jJken la ecuación (12.64) ), ver ecuación (12.24d).

Los volúmenes Vi y Vij se expresan como fracción del volumen del molino, ya queaparecen como Vi/V y Vij / V y son calculados de la distribución de tamaño wi del materialretenido en el molino y de la densidad real del sólido:

Vi ⁄ V = wi (W ⁄ V )

(1 # ! ) %s

+ mi JB (12.65)

donde mi es la fracción de JB que tiene un diámetro menor a i. La masa total de materialretenido más bolas, por unidad de volumen del molino, es conocida, de modo que el valorde J, calculado mediante la ecuación (12.58), permite el cálculo de la densidad global dela carga del molino (excluyendo el agua). En forma similar, se conoce el volumenverdadero de las bolas y del sólido, por unidad de volumen del molino, permitiendo elcálculo de la porosidad global del lecho:

Figura 12.35 : Ilustración del tratamiento de la parrilla como un clasificador en la descarga del molino.

366

%c = [(W ⁄ V ) + 0.6JB %b ] ⁄ J (12.66)

1 # !B = [(W ⁄ V %s ) + 0.6JB] ⁄ J (12.67)

Estos valores se utilizan en los cálculos de potencia del molino en la sección 12.3

La Figura 12.34 muestra el resultado de la Figura 12.15 reexaminado mediante loscálculos de la variación de J y U, usando las definiciones de contribuciones a J de lascolpas grandes y contribuciones al polvo de las partículas menores. Se puede observarque la velocidad de fractura decrece rápidamente a valores de U=0.45, de acuerdo alefecto de acolchonamiento informado anteriormente.

12.9 CALCULO DE VELOCIDADES ESPECIFICAS DEAUTOFRACTURA A PARTIR DE ENSAYOS DE MOLIENDACONTINUA

Para predecir las velocidades de autofractura en un molino continuo a partir deparámetros de molienda determinados en ensayos discontinuos, es necesario disponer deun conjunto de relaciones que permitan calcular las velocidades promedio de fractura enel medio ambiente del molino. Se encontró que no era posible desarrollar estas relacionespara un sistema tan complejo a partir de los limitados datos experimentales disponibles.Por esta razón se utilizó los datos del ensayo [12.12] en un molino SAG de 1.8 m dediámetro para estimar los parámetros en la forma que se describe a continuación. Losensayos discontinuos indicaban aproximadamente que 's=1.0, b21 = b32 = 0.55 y b31 =0.094 para el material grande ( 75 x 106 mm). Como estos tamaños no pueden escapardel molino, resulta:

S1w1W = f1F

S2w2W = f2F+b21f1F

S3w3W = f3F+b31f1F+b32(f2F+b21 f1F )

y como S2 = R'S1, S3 = R'S2, K= W/F

S1 = (1 + b21 + b31 + b32 b21 ) f1 + (1 + b32 ) f2 + f3

K (w1 + R' w2 + +R2' w3 )(12.68)

donde R es la razón entre intervalos de tamaños contiguos, por ejemplo, 1/ ;<<2.

Estos cálculos suponen que la fractura por atrapamiento es despreciable para estostamaños, como fue confirmado por cálculo. Como el molino fue detenido y vaciadodespués de cada ensayo continuo en el estado estacionario, se pudo determinar los valoresde w1, w2, w3, como también los de f1, f2 y f3 y los de W y F que permiten el cálculo de K.Se utilizó los tres primeros tamaños, y no sólo el tamaño máximo, ya que solamente habíauna pequeña cantidad de este último que no permitía una determinación precisa de w1.Para un ensayo con JPT=0.135 y JBT=0.065, los valores de w y f dieron S1(S) = 0.21 min-1,lo que, a su vez, da asT=0.0007 min-1 para estas condiciones de ensayo.

367

12.10 MODELO DEL MOLINO

12.10.1 Molinos de D/L grande

Hay que tener presente que el concepto de distribución de tiempo de residenciacomienza a perder sentido en un molino en que las grandes colpas alimentadas no puedenescapar a través de la parrilla de descarga. Toda alimentación grande al molino debepermanecer en él hasta que se quiebre a tamaños menores a la parrilla. El valor de K sedefine simplemente como W/F y no puede ser determinado por ensayos de distribuciónde tiempos de residencia. Es razonable suponer que molinos de gran D/L funcionandoen estas condiciones están bien mezclados. La acción de retención de la parrilla se modelacomo una clasificación de la descarga, como se muestra en la Fig. 12.35.

Un balance de masa da:

Fpi = Ffi + ( W ?

j = 1, i > 1

i # 1

b_

i,j S_

j wj ) # WS_

i wi , i = 1,2....n

o, usando el simbolismo de la Figura 12.30,

piB = fi B + KB )*+

** ?

j = 1, i > 1

i # 1

b_

i,j S_

j wj ,-.

-- # KB S

_i wi (12.69)

donde pi es la fracción del producto del molino de tamaño i; fi es la fracción dealimentación de tamaño i; S

_i es la velocidad específica de fractura del material de tamaño

i; b_

ij es la fracción de material retenido en el molino que tiene tamaño i. El valor de KBqueda definido por W ⁄ F B, donde F B es el flujo interno aparente de sólido en el molino.

El material rechazado por la parrilla vuelve al molino como una carga circulanteinterna C B. Como F B = (1+C B)F, el balance de masa de la alimentación aparente almolino es :

(1 + C B ) Ffi B = Ffi + F (1 + C B) wi ci

esto es :

(1 + C B ) fi B = fi + (1 + C B ) wi ci

donde el valor de ci es la fracción de material de tamaño i que vuelve al molino. Esteserá igual a 1 para material mayor que el tamaño de la parrilla y 0 para material fino. Elvalor de C B queda definido por:

C B = ? i

F (1 + C B ) wi ci ⁄ ?

i

F (1 + C B ) wi (1 # ci )

esto es :

368

C B = ? iwi ci

⁄ ? iwi (1 # ci ) (12.70)

Reemplazando el valor desconocido de fi Ben la ecuación (12.69) y reordenandoresulta:

wi (1 + C B ) =

fi + KB ?

j = 1

i # 1

b_

ij S_

j wj (1 + C B )

(1 # ci ) + KB S_

i

(12.71)

En forma más general, si el circuito se cierra mediante un clasificador externo deselectividad si, se utiliza la misma técnica para reemplazar el valor desconocido de fi porel valor conocido de la alimentación fresca gi y la razón de circulación externa C:

(1 + C) fi = gi + (1 + C ) pi si

donde :

pi = (1 + C B ) wi (1 # ci )

Substituyendo en la ecuación (12.71) y reordenando se obtiene:

Figura 12.36 : Fracción de llenado del molino con pulpa versus flujo de descarga paraun molino SAG de 1.83 m de diámetro operando en forma continua en el estado

estacionario en circuito abierto, J=0.20, $c=0.25.

369

wi (1 + C B ) (1 + C) =

gi + K B ?

j = 1

i # 1

b_

ij S_

j wj (1 + C B ) (1 + C )

(1 # ci )(1 # si ) + K B S_

i

donde :

wi (1 + C B )(1 + C ) = wi"

wi" =

gi + K B ?

j = 1

i # 1

b_

ij S_

j wj"

(1 # ci )(1 # si ) + K B S_

i , i = 1,2,.....,n (12.72)

La ecuación (12.72) se puede resolver, para cualquier valor seleccionado para KB ,comenzando por el tamaño 1:

w1" =

g1

(1 # c1 )(1 # s1 ) + KB S_

1

Este valor se usa luego para calcular w2*:

w2" =

g2 + KB b_

21 S_

1 w1"

(1 # c2 )(1 # s2 ) + KB S_

2

continuando en esta forma hasta wn*. Entonces:

?

i = 1

n

wi" = (1 + C B )(1 + C ) ?

i = 1

n

wi

= (1 + C B )(1 + C)

y w1 = w1

"

(1 + C B )(1 + C) =

w1"

?

i = 1

n

wi"

por lo tanto :

370

wi = wi" ⁄ ?

i = 1

n

wi" (12.73)

lo que corresponde a la distribución granulométrica en el molino. Para el valor seleccionado de KB podemos calcular:

Producto del molino : pi = (1 + C B ) wi (1 # ci ) (12.74a)

donde : C B = ? iwi ci

⁄ ? iwi (1 # ci ) (12.70)

Producto del clasificador: qi = (1 + C) pi (1 # si ) (12.74b)

donde : C = ? ipi si

⁄ ? ipi (1 # si ) (12.70a)

Producto de residuo : ti = (1 + C) pi si ⁄ C (12.74c)

Alimentación al molino : fi = (gi + C ti ) ⁄ (1 + C ) (12.74d)

El flujo al molino F también puede calcularse, ya que:

F B = W ⁄ KB y F = F B ⁄ (1 + C B ) :

F = W

KB (1 + C B )(12.75)

El tiempo de residencia promedio real es K = W/F, esto es,

K = KB (1 + C B ) (12.76)

y la capacidad del circuito, Q, resulta:

Q = F ⁄ (1 + C ) (12.77)

El significado físico en la selección de KB es la que sigue. Si KB se elige pequeño,esto significa que habrá una recirculación interna alta, esto es, que el material sepresentará rápidamente ante la parrilla y que el sistema llegará al estado estacionario sinmaterial en el molino del tamaño menor a la abertura de la parrilla. Si KB se elige grande,la circulación interna será pequeña y el molino se llenará de material fino. Para obtenerun balance correcto es necesario elegir el valor de KB en forma tal que se obtenga un nivelcorrecto de material de tamaño menor que la abertura de la rejilla de descarga en el molino.Esto requiere especificar el valor de este nivel o disponer de una ecuación para el

371

transporte de masa de pulpa en el molino. Sin esta información adicional, el sistema estáindefinido.

Parece ser que no existen leyes fundamentales que describan el transporte de masaa través de parrillas en los molinos SAG. Sin embargo, una serie de ensayos realizadosen un molino piloto [ 12.8] de 1.73 m de diámetro interno por 0.61 m de largo dieron losresultados que se muestran en la figura 12.32 para un mineral con una densidad de 2.7ton/m3. En esta figura, FB representa el flujo aparente de material a través del molino yW es el material sólido retenido en el molino.La ecuación empírica obtenida es:

F B = 29 W 0.5 (12.78)

donde F B está medido en toneladas por hora y W en toneladas. Por lo tanto, el materialque llega a la parrilla de clasificación es una función del nivel de llenado del molino porel material. No fue posible relacionar el flujo de pulpa a través de la parrilla solamenteal nivel de llenado de la pulpa, y se hizo necesario derivar una relación que utiliza laacción de clasificación de la parrilla en conjunto con la ecuación (12.78).

La ecuación 12.78 puede generalizarse expresándola en términos de un flujovolumétrico que, a su vez, depende del nivel de llenado del molino por material. Es deesperar que esta ecuación pueda ser escalada en función del diámetro del molino en lamisma forma que la capacidad. Por lo tanto, la ecuación se puede escribir en la forma:

F B = k %s D 3.5 (L ⁄ D) Jp

0.5 (12.79)

donde k dependerá del diseño de la parrilla. Expresando D y L en metros , %s en toneladaspor metro cúbico, y usando la porosidad del lecho Jp = 0.29, medida [ 12.8] con el molinodetenido, la ecuación (12.78) da un valor de k = 6.4 m-0.5 horas-1 o 0.11 m-0.5 min-1.Paracualquier otra definición de Jp, el valor de k debe recalcularse de k2 Jp2

0.5 = k1 Jp1 0.5.

Si se conoce el valor de J, el valor de Jp se puede obtener de J = JP + JB. En estascircunstancias, la ecuación (12.79) da F B y, como KB = W ⁄ F B, el valor de KB se conoce delas ecuaciones (12.64-12.69) si se conoce W. La forma más simple de realizar lasimulación es especificando W ( en la forma normalizada W=W/V), luego calcular J, comose describió anteriormente en la sección 12.8, y luego obtener F B y KB. Si se deseaespecificar una definición formal de porosidad del lecho !B , J se puede calcular de laecuación (12.67):

J = [W ⁄ V %s + 0.6 JB] ⁄ (1#!B) (12.67)

Se debe entender que los valores de S y B dependen de los valores de wi aún cuando seutilice un valor especificado para !B. El cálculo debe comenzar con una estimación de los

valores de wi , luego calcular wi" y, por lo tanto, los valores de wi , luego volver a calcular

S y B, etc. Una iteración sobre valores estables de wi da un conjunto para los cuales lasvelocidades específicas de fractura equilibran el material que pasa por la parrilla.

372

Fig

ura

12.

37 : M

odelo

de u

n m

olin

o c

om

o u

na s

erie d

e r

eact

ore

s perf

ect

am

ente

mezc

lados

con u

na p

aril

la d

e

clasi

ficaci

ón e

n la

desc

arg

a.

373

El nivel de la pulpa en el molino, expresado como fracción y compuesto pormaterial de tamaño menor a las aberturas de la parrilla es:

fs = )

*

+

****

W

%s cs V ?n

ig,

-

.

----

(12.80)

donde ig es el intervalo de tamaño correspondiente al tamaño de las aberturas de la parrillay cs es la fracción volumétrica de sólidos de la pulpa en el molino. La cantidad de aguacontenida en el molino es desconocida, ya que se requeriría otra ecuación de transportepara definirla. Los ensayos en el molino piloto indicaron que la razón en peso entre elagua y el sólido wc se encontraba en el rango de 0.1 a 0.2 para una roca con peso específicode 2.7.

El valor de KB escogido en la solución de la ecuación (12.72) debe dar un valor deF B que esté de acuerdo con la ecuación (12.79). Por lo tanto, la ecuación (12.79) es laecuación adicional que se necesita para definir los cálculos.

12.10.2 Molinos FAG largos; L/D grande

Los molinos autógenos (FAG) largos, como los utilizados en Sudáfrica y enEscandinavia, no pueden ser considerados como perfectamente mezclados. El trazado dematerial fino en el molino demostraría que el molino tiene una distribución de tiempo deresidencia a pesar de que las colpas grandes de la alimentación no pueden escapar delmolino.

Sin embargo, el tratamiento anterior puede ser extendido fácilmente al sistemamostrado en la Fig. 12.37, en que la DTR es tratada como una serie de reactoresperfectamente mezclados:

wi,k =

)*+

**1 + C B ?

l = 1

k # 1

el ,-.

-- wi,k#1 + (1 + C B ) ci ek wi,m + Kk ?b

_ij

j = 1

i # 1

S_

j wj

(1 + C B ?

l = 1

k

el ) + Kk S_

i

(12.82)

wi,m =

[1 + C B (1 # em )] wi,m#1 + Km ?

j = 1

i # 1

b_

ij S_

j wj

(1 + C B )(1 # em ci ) + Km S_

i

(12.83)

374

donde los subíndices indican valores de la sección k. El valor Kk se refiere al tiempopromedio de residencia para la sección k del molino, tal que ?

k Kk = K y cada Kk queda

definido por Kk = (k K, en que (k es la fracción de tiempo de cada sector. El término el

es la fracción de reciclo interno, que retorna a cada sección. Nuevamente el valor deC B se obtiene de (ver ecuación 12.70):

C B = ? iwi,m

⁄ ? iwi,m (1 # ci )

El tiempo de residencia promedio aparente para cada sección, el que es equivalenteal KB utilizado en el desarrollo previo, está dado por:

KkB = Kk ⁄ (1 + C B ?

l = 1

k

el ) (12.84)

y K = WF

= ?

k = 1

m

KkB (1 + C B ?

l = 1

k

el )

El valor de Wi1 es la alimentación al molino fi. Para un solo reactor perfectamentemezclado e1=1 y el modelo se reduce a lo discutido previamente.

12.10.3 Tratamiento de la autofractura como un sistema duro-blando

La autofractura de rocas da una ruptura distinta al primer orden, que puede seranalizada como si fuera una mezcla de roca blanda (débil) y dura (fuerte). Designemoscon el subíndice “a” el material con fractura rápida y con el subíndice “b” el material confractura lenta y definamos por N la fracción de la recarga de material que corresponde amaterial duro. Se reconoce que esta distribución es de importancia primordial para lostamaños mayores que son dominados por la autofractura.

Sin embargo, no se supone que la fractura de material duro de siempre fragmentosde material duro. El proceso de astillamiento da como resultado un núcleo duro, esto esbj+1,j contendrá una gran fracción de material duro, para las astillas irregulares podrán, asu vez, ser fracturadas rápidamente y formar otros núcleos. Cuando se fractura materialblando se produce una distribución de fractura primaria bai,j y se supondrá que en lafracción de tamaño i una fracción (1- Ni) será blanda y una fracción Ni será dura, exceptoen el intervalo de tamaño j+1, en que las fracciones son 1- Na y Na para permitir laexistencia de núcleos duros. La misma suposición se hace para la fractura del material"b", bbi,j, con fracciones 1- Nb y Nb para permitir núcleos densos.

Entonces, la velocidad de fractura del tamaño j del material de tipo "a" es:

[Sa j (B) + Sa j (P) + Sa j (S) ] W wa j = S_

a j W wa j (12.85)

375

donde Sa(B), Sa(P) y Sa(S) son los efectos resultantes de la fractura del material tipo "a"por todas las clases de bolas, todas las clases de guijarros y autofractura respectivamente,y waj es la fracción en masa de material tipo "a" en el contenido del molino que tienetamaño j. En forma similar, la velocidad de fractura del tamaño j del material tipo "b"es:

[Sb j (B) + Sb j (P) + Sb j (S) ] W wb j = S_

b j W wb j

La velocidad de producción de material tipo "a" de tamaño i por fractura del tamañoj de material tipo "a" es:

W wa j [(1#Ni ) bai, j (B) Sa j (B) + (1#Ni ) bai, j (P) Sa j (P) + (1#Na i) bai, j (S) Sa j (S)]

= W wa j Xai, j (12.86)

donde bai,j(B) son los valores globales de b para un tipo de material "a" producido porfractura de bolas, guijarros, etc. y el valor de 1-Nai = 1 - Ni excepto para j=i-1. Estosignifica que cualquier fragmento de tamaño i se comporta como si tuviera la mismacomposición de material duro y blando como el tamaño i de la alimentación excepto parael núcleo de tamaño i producido por astillamiento del tamaño inmediatamente mayor i-1,lo que da una menor proporción de fragmentos en el tipo de material blando "a" (y másdel material duro tipo "b").

Figura 12.38 : Valores de la selectividad del clasificador usado en las simulaciones deun molino SAG: valores para intervalos de ;<<2 representados en el gráfico por el límite

superior del intervalo.

376

En forma similar, la velocidad de producción de tamaño i, el material "a" producidopor fractura de material de tipo "b" es:

W wbj [Ni bbi,j (B) Sbj (B) + Ni bbi,j (P) Sbj (P) + Nbi bbi,j (S) Sbj (S)] =

= W wbi,j Xbi,j (12.87)

Por lo tanto, la velocidad de producción de tamaño i del material tipo "a" por fractura es:

Tabla 12.2Valores usados en la simulación de un molino SAG.

Valores de B:

Autofractura Por guijarros ybolas

Porguijarros

Porbolas

SelectividadClasificador

Intervalotamaño Tamaño

Alime. <

tamañoTamaños Tamaños Tamaños Tamaños

i µm % 1-3 4 5-26 1-3 4-11 12-26 12-26 si

1 215500 100.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0

2 152380 97.8 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0

3 107750 86.4 .45 .49 .54 .46 .59 .46 .4 1.0

4 76190 71.1 .36 .29 .36 .23 .42 .31 .25 1.0

5 53875 62.2 .28 .24(5) .32 .17 .35 .25 .16 1.0

6 83095 53.0 .25 .20 .27 .16 .30 .20 .12 1.0

7 26940 34.8 .22 .18 .26 .13 .29 .16(5) .092 1.0

8 19050 35.7 .20(5) .16 .25 .11 .28 .14(5) .076 1.0

9 13470 30.0 .19 .15 .24 .099 .26 .12(5) .066 1.0

10 9525 26.2 .17 .14(5) .23 .089 .25 .10(5) .050 1.0

11 6735 22.5 .15 .13 .22 .081 .24 .88 .039 1.0

12 4760 19.0 .13 .13 .21 .074 .023 .074 .035 1.0

13 3370 17.4 .12 .11 .20 .069 .21 .056 .025 1.0

14 2380 15.4 .10(5) .10 .18 .062 .19 .045 .020 1.0

15 1680 13.8 .094 .089 .17 .058 .17 .034 1.0

16 1190 12.2 .082 .079 .15 .052 .016 0.98

17 840 10.8 .074 .067 .13 .048 .14 0.94

18 595 9.6 .063 .059 .12 .042 .12 0.89

19 420 8.4 .057 .050 .099 .038 .11 0.71

20 300 7.3 .051 .044 .086 .034 .090 0.59

21 210 6.4 .046 .036 .077 .030 .075 0.49

22 150 5.8 .042 .032 .065 .025 .065 0.41

23 105 5.0 .038 .029 .022 .52 0.35

24 75 4.5 .036 .020 0.31

25 53 4.1 .030 .017 0.29

377

Velocidad de producción detamaño i de material tipo “a”

= # W S_

ai wai + W ?

j = 1, i > 1

i # 1

( Xai,j wa j + Xbi,j wbj )

donde Xai,j , Xbi,j están definidos por las ecuaciones (12.86) y (12.87) y S_

ai queda definidapor la ecuación (12.85). En forma similar, la velocidad de producción de tamaño dematerial de tipo "b" es:

Velocidad de producción detamaño i de material tipo “b”

= # W S_

bi wbi + W ?

j = 1, i > 1

i # 1

(X Bbi, j wb j + X Bai, j wa j)

donde :

X Bai, j = Ni bai, j (B) Saj (B) + Ni bai, j (P) Saj (P) + Nai bai, j (S) Saj (S)

X Bbi, j = (1#Ni) bbi, j(B) Sbj(B) + (1#Ni ) bbi, j(P) Sbj(P) + (1#Nbi) bbi, j(S) Sbj(S)y

S_

bi = Sbi (B) + Sbi (P) + Sbi (S)

Como resultado se obtiene, entonces, que en un reactor único y perfectamentemezclado:

w"ai =

gai + KB ?

j = 1

i # 1

(Xai,j w"aj + Xbi,j w

"bj )

(1 # ci )(1 # si ) + KB S_

ai

(12.88)

w"bi =

gbi + KB ?

j = 1

i # 1

(Xbi,j wbj" + Xai,j waj

" )

(1 # ci )(1 # si ) + KB S_

bi

(12.89)

donde :

gai = (1 # Ni ) gi y gbi = Ni gi

La solución se obtiene del mismo modo anterior, primero calculando w"a1 y w"

b1,

y luego usando estos valores para calcular los otros valores de w"ai y w"

bi. Obviamenteque wi=wai+wbi.

La ventaja de este tratamiento es que permite la utilización de dos valores diferentesde S(S) y dos valores diferentes de bij(S) para la autofractura de cada tamaño, de acuerdoa la observación experimental. El molino claramente acumulará el tipo de material "b",de modo que la generación y distribución de material en el molino estará dominada por

378

la velocidad de fractura del material de fractura lenta, el que puede ser identificado comoguijarros duros y redondeados. En lo concerniente a la fractura normal por astillamientode pequeñas partículas por las bolas y guijarros, no habrá diferencia entre Saj(B) y Sbj(B)y entre Saj(P) y Sbj(P) y entre bai,j(B) y bbi,j(B), etc.

Debido a que la forma de la ecuación de fractura es la misma, con los dos términosen Xai,j waj + Xbi,j wbj reemplazando el término usual bij, Sj, wj, el análisis puede ser extendidoal igual que en la sección 12.10.2

12.10.4 Tratamiento de una alimentación consistente en una mezcla dedos materiales de distinta dureza

Consideremos una recarga de material al molino, que consiste de una mezcla dedos materiales diferentes, que designaremos mediante los subíndices A y B, cuyaproporción está dada por:

gAi = &i gi y gBi = (1 # &i ) gi (12.90)

La fracción en masa global del material de tipo A será:

& = ? i&i gi (12.91)

Supondremos que la presencia de una mezcla no cambiará las velocidades específicas defractura excepto por efecto de las diferentes cargas de equilibrio existente dentro delmolino. En estas condiciones todo el análisis anterior puede ser extendido al casopresente.

Por ejemplo, si se supone también que los materiales serán separados en la mismaforma por el clasificador (esto es, que la diferencia de densidades es despreciable),entonces podemos escribir de inmediato para un único reactor perfectamente mezclado:

w"Aai =

gAai + KB ?

j = 1

i # 1

(XAai,j wAaj + XAbi,j wAbj )

(1 # ci )(1 # si ) + KB S_

Aai

(12.92)

w"Abi =

gAbi + KB ?

j = 1

i # 1

(XBAbi,j wAbj + XBAai,j wAaj )

(1 # ci )(1 # si ) + KB S_

Abi

(12.93)

379

w"Bai =

gBai + KB ?

s = 1

i # 1

(XBBai,j wBaj + XBBbi,j wBbj )

(1 # ci )(1 # si ) + KB S_

Bai

(12.94)

w"Bbi =

gBbi + KB ?

s = 1

i # 1

(XBBbi,j wBbj + XBBai,j wBai,j )

(1 # ci )(1 # si ) + KB S_

Bbi

(12.95)

La solución se obtiene en la misma forma anterior y wAi = wAai + wAbi como tambiénwBi = wBai + wBbi.

La solución da la proporción de materiales de tipo A y B en la alimentación almolino, en el producto del molino y en el reciclo, además de la distribución de materialesde tipo A y B en los tamaños de los productos del circuito.

12.10.5 Procedimiento computacional

(1) Se ingresa:- material retenido en el molino, W,- estimaciones de w1, w2, ...wn,- diámetro D y largo L del molino- fracción de llenado de bolas, JB,- parámetros de fractura,- parámetros de clasificación,- distribución granulométrica de la alimentación, gi.

(2) Basándose en las estimaciones de wi se calcula las velocidades específicas de fracturaS_

j y las distribuciones de fractura primaria b_

ij en una subrutina. También se calcula Jusando el factor de porosidad o suponiendo !B = 0.4. Los valores de F B y KB soncalculados de la ecuación de transporte de masa.

(3) El programa calcula wi, como se ha descrito, incluyendo CB,C.

(4) Se calcula las nuevas estimaciones de b_

ij , S_

ji, J, etc. usando los nuevos valoresobtenidos para wi, iterando hasta un resultado final.

(5) Se calcula la potencia usando la ecuación para la potencia del molino. El valor de !B

en la ecuación se calcula mediante los factores de porosidad, pero la razón agua/sólidose estima suponiendo que el material menor que el tamaño de la parrilla forma pulpa conla misma densidad que la alimentación y la descarga.

380

(6) El flujo Q (o F en el caso de circuito abierto) corresponde al valor escogido de W. Serepite la simulación para mostrar la variación de W con la capacidad Q y la variacióncorrespondiente de la distribución de tamaño y energía específica en kWh/ton.

12.11 EJEMPLO ILUSTRATIVO

12.11.1 Molino SAG: L/D = 0.5

El molino a simular tenía un diámetro x largo nominal de 28 x 14 pies, lo que dióvalores interiores de D=8.25 m y L=4.27 m, con un volumen efectivo de 230 m3. Losvalores de la función de distribución de fractura primaria fueron determinados en ellaboratorio y se encuentran en la Tabla 12.2 Ellos fueron entregados al programa enforma de matriz. Al programa se le entregó además la distribución granulométrica de laalimentación, la que también se encuentra en la Tabla 12.2, y se realizaron simulacionescubriendo un rango de fracciones de llenado del molino de 0.2 0 J 0 0.4, usando una cargade 50% de bolas de 76 mm (3 pulgadas) y 50% de 100 mm (4 pulgadas). El molino secerró con un clasificador exterior cuyos valores de selectividad se muestran en la Tabla12.2 y en la Figura 12.38.

Los valores de los parámetros de fractura determinados en el laboratorio seentregan en la Tabla 12.3

Figura 12.39 : Valores reales y valores promedio calculados de clasificación en la par-illa de descarga de un molino de ensayo continuo.

381

Las constantes cinéticas de autofractura se determinaron en la forma que sediscutió en la sección 12.10.

El ensayo en el molino continuo de 1.83 m incluía la medición de las distribucionesde tamaño del material retenido en el molino wi y del material de descarga de éste, pi. Elbalance de masa en torno a la parrilla da :

F(1 + CB) wi (1 # ci) = Fpi

Como ci es cero para tamaños pequeños, el valor de 1+C B se puede estimar de :

1 + C B = ?

n

i"

pi ⁄ ?

n

i"

wi (12.96)

Figura 12.40 : Capacidad pronosticada para un molino SAG de 8.2 m (28 pies) dediámetro como función de la fracción de llenado total J y de la fracción de llenado de

bolas JB.

382

donde i* es el tamaño para el cual ci se hace mayor que cero, esto es, que pi /wi comienzaa decrecer. Entonces, los valores de ci se calculan desde :

1 # ci = (pi ⁄ wi) ⁄ (1 + CB) i < i" (12.97)

Alternativamente los valores de ci se pueden expresar en la forma :

Figura 12.41 : Capacidad pronosticada a J=0.25, como función del porcentaje decarga de bolas (ver Figura 12.39).

Tabla 12.3Parámetros de fractura para un mineral de cobre determinados en un

molino de laboratorio.

Condiciones ParámetrosD =194 mm '=0.95

d =27 mm @=3.3

JB =0.20 µ=1.65 mmU =0.5 a=1.0 min-1

% sólido envolumen

=40 &=0.70

Densidad delmineral

=2.77 ton/m3 ==4

$c =0.75 $=0.38

383

ci = 1

1 + (x50 ⁄ xi)Pg

(12.98)

efectuando una búsqueda para obtener los valores de d50 y Pg para hacer que los valorescalculados pi, wi y ci se acerquen lo más posible a los valores experimentales. El valor deC Bse actualizó en forma iterativa mediante la ecuación (12.96).

La Figura 12.39 muestra un resultado típico. Como los valores significativos de wi

son aquellos para tamaños menores que el tamaño de la parrilla (abertura de 12.7 mm),esto es, en el extremo de tamaños pequeños de la distribución del contenido del molino,ellos son suceptibles de presentar gran error experimental, razón por la cual hay una grandispersión en el valor ci. Sin embargo, queda claro que la distribución del contenido delmolino de tamaño menor al de las aberturas de la parrilla no es igual a la distribución delmaterial que sale del molino, habiendo una acción de clasificación que incluye partículas

Figura 12.42 : Velocidad específica de fractura para JB=0 y JB=0.08.

384

Figura 12.43: Distribución de tamaño para el caso de la figura 12.42.

Figura 12.44 : Distribución de tamaño para la molienda seca de un compósito de material de Donoso de 76x51 mm, en un molino de 1.8 m de diámetro a 75% de la

velocidad crítica con JP=0.38.

385

de hasta 200 µm. El promedio de la acción de clasificación fue calculado en x50=1.11 mmcon Pg==1.3. La suposición de clasificación ideal en la parrilla da mucho material gruesoen la descarga.

El resultado de la capacidad del molino (de la sección cilíndrica solamente) enfunción del porcentaje de llenado se muestra en la Figura 12.40. Los pivotes del molinoeran de D/3 dando un nivel de llenado para rebalsar de 29%, siendo el criterio de diseñode un 25% de llenado. La Figura 12.41 muestra que una carga de 6% de bolas pareceóptima para este nivel de llenado. La Figura indica que, en esta región, la capacidad noes muy sensible a la carga de bolas. Como el simulador se operó con un conjunto deparámetros de clasificación fijos, la distribución de tamaño del producto del circuitovariaba con las condiciones del molino. La Tabla 12.4 muestra que, para un determinadonivel de llenado, la distribución de tamaño del producto es un poco más gruesa para lacarga de bolas mayor, pero que esta distribución de tamaño no es sensitiva a la carga debolas o a las condiciones de llenado del molino.

Se puede hacer muchos comentarios. En primer lugar, y al contrario de lo quesucede en un molino de bolas, una disminución de la alimentación al molino SAG es

Tabla 12.4Resultados de la simulación de un molino SAG.

JB J Razón recirc.

Capac.

ton/h

Retenc.W

tons

Distribucióntamaño producto

% menor que kWh/ton

35# 400#

0 10.2 2.1 135 39 94.5 35.2 12.0

15.0 2.3 195 56 93.7 34.2 10.9

19.8 2.5 255 72 92.8 33.3 10.5

25.0 2.7 305 88 92.0 32.7 10.3

30.1 2.9 340 105 91.0 32.1 10.3

35.4 3.2 365 121 90.0 31.5 10.4

4 14.7 2.3 220 39 91.8 32.5 11.8

18.8 2.5 305 56 90.9 31.9 10.0

22.6 2.7 370 72 90.2 31.5 9.1

27.6 2.9 425 88 89.9 31.4 8.9

32.8 3.1 455 105 89.1 31.1 9.1

38.1 3.4 465 121 88.3 30.8 9.2

8 18.8 3.0 280 39 92.9 33.2 13.1

23.0 2.3 365 56 91.4 32.1 10.9

26.9 2.6 435 72 90.3 31.5 9.7

31.2 2.8 490 88 89.7 31.3 9.1

36.6 3.0 520 105 88.9 31.0 9.2

12 22.9 1.7 305 39 93.8 34.0 14.4

27. 2.1 415 56 92.1 32.5 11.7

31. 2.4 475 72 90.7 31.7 10.3

35. 2.7 525 88 89.8 31.4 9.6

386

inmediatamente compensada por una reducción en el nivel de la carga, ya que la velocidadde fractura del material en el molino debe llegar a un balance con el flujo de material dealimentación. Como la parrilla actúa como un clasificador interno, el material sólo puededejar el molino a la velocidad que es fracturado a tamaños menores que el de las aberturasde la parrilla. Un flujo de alimentación menor llega a un balance con un nivel menor dellenado, o de material retenido en el molino. En segundo lugar, las simulaciones fueronhechas con parámetros de clasificación en la parrilla de d50=12.7 mm y Pg =4, lo que daesencialmente una clasificación ideal. En la práctica, habría una selección preferencialde las colpas grandes (ver Figura 12.39), de manera que la razón de recirculación exteriorsería sustancialmente menor que los valores aquí simulados.

En tercer lugar, la capacidad es mayor cuando la carga de bolas se aumenta paraniveles altos de llenado del molino, correspondiendo a mayores potencias consumidas.

Sin embargo, para la especificación de diseño de 25% del nivel total de llenado delmolino, la capacidad es sustancialmente menor para una carga de bolas de 12% que para4, 6 u 8%. Esto implica una utilización ineficiente de la potencia del molino debido a unbalance erróneo entre la carga de bolas y de mineral. Esto también se refleja en elconsumo de energía calculado mediante la ecuación de potencia (12.9). Para un nivelde llenado de 25% y una carga de bolas de 6%, la corrección por efecto de las seccioneslaterales del molino es de aproximadamente de 7 a 8% para el nivel de llenado, potenciay capacidad, de modo que la capacidad debe multiplicarse por 1.08, pero la energíaconsumida, kWh/ton permanece inalterada. La Figura 12.41 muestra la predicción delconsumo de energía de molienda indicando, nuevamente, que la carga óptima de bolases de 6%, aunque la Tabla 12.4 indica que las mayores energías de molienda tambiéncorresponden a productos con distribución más fina.

Las velocidades específicas de fractura del rango de tamaños presente en el molinopueden ser observadas en la Figura 12.42 para JB=0 y JB=0.08, lo que cubre el rango deoperación correcto. Las pequeñas velocidades específicas para los mayores, de aproxi-madamente 10 mm, implican que el molino se llenará con estos tamaños, como semuestra en la Figura 12.43. El efecto más importante de las bolas es aumentar la velocidadespecífica de fractura de estos tamaños y reducir la cantidad de material en el rango detamaño de 25 mm (1 pulgada) a 63 mm (2.5 pulgadas), dando por lo tanto un aumentosustancial de capacidad en comparación a la molienda FAG. La molienda por impactode bolas, y guijarros del material de tamaño pequeño, por debajo de 2 mm, es prácti-camente idéntica entre la molienda FAG y SAG con cantidades de hasta 8% de bolas.

La Figura 12.44 muestra otro aspecto interesante de la molienda FAG, esto es, lasdistribuciones de tamaño correspondientes a las moliendas de las Figuras 12.15 y 12.34.Como se recordará la velocidad de fractura decrecía fuertemente en el intervalo de tiempoentre 0 y 20 minutos.

Sin embargo, los resultados de la Figura 12.44 muestran que con cargas de 0.8%por minuto la producción de material de tamaño menor a 60 mallas (250 µµµµm) esprácticamente constante en este período. La Figura 12.30 muestra la razón de esto: lasbajas velocidades de fractura que producen pocos finos, son prácticamente compensadaspor la mayor cantidad de finos en los valores de B originales por el proceso deastillamiento-abrasión. Por supuesto que cuando el nivel de pulpa en el molino llega a

387

valores muy altos las velocidades de fractura se tornan excesivamente bajas con laconsiguiente caida brusca de la producción.

12.12 REFERENCIAS

12.1 Hogg, R. and Fuerstenau, D.W., Trans. SME-AIME, 252 (1972) 418-423

12.2 Saeman, W.C., Chem. Eng. Prog., 47(1951)508

12.3 Vahl L. and Kingma, W.G, Chem.Eng. Sci., 1(1952)253

1.24 Dorr, A. and Bassarear, J. Primary Grinding Mills, in Design and Installation of ComminutionCircuits, Eds. A. L. Mular and G. V. Jergensen, SME-AIME (1982) 453

12.5 Gutierrez,L.R.y Sepúlveda, J.E, Dimensionamiento y Optimización de Plantas Concentradorasmediante Técnicas de Modelación Matemática, CIMM, Santiago, Chile (1986)

12.6 Tanaka T. and Tanaka, K., Design Features of a Semi-Autogenous Grinding Mills and a Comparisonof Test Mill Data with Actual Operation Data, First Workshop on Autogenous Grinding, CIMMSantiago, Chile (1987).

12.7 Turner R., in Mineral Processing Plant Design, Eds. A. L. Mular and R. B. Bhappu, SME-AIME (197 )

12.8 Dorr, A. Ibid. p

12.9 Austin, L.G., Barahona, C.A. and Menacho, J.M., Powder Technol., 46 (1986)81-87

12.10 Austin, L.G., Shoji, K. and Everell, M.D., Powder Technol., 7(1973)3-8

12.11 Weymont, N.P., Analysis and Simulation of Autogenous Grinding Systems, Ph. D. Thesis. ThePennsylvania State University, University Park, Pa. (1979)

12.12 Myers, L.D., Trimmer, R.W. and Hively, H.H., Test Plant Report N 805-039, Koppers Company(now M.P.S.I.), York, PA (1980)

388

A

Abrasión, 84

Abrasión, indices de, 190

Acolchonamiento, efecto de, 97

Análisis granulométrico en blanco

Ver tamizado en blanco

Antracita

fractura de primer orden, 68

apex

Ver Hidrociclones

Astillamiento, 84

Atrición, 84

B

Balance de masa, 71, 74

Balance de masa por tamaños, 7

Barras levantadoras, 85, 91, 175

Método de Bond, 45, 57, 272

cálculo de la energía específica, 51

comparación con otros métodos de diseño, 279

discusión, 54

discusión de Rowland y Kjos, 46

ecuación de potencia, 52, 61

ecuaciones de diseño, 45, 58

ensayo normalizado de moliendabilidad, 46

factor de fineza de molienda, 281

factores de corrección, 59

potencia en el eje, 51

resultados pronosticados, 53

en molienda SAG, 311

C

Capacidad de molienda, 10

según Bond, 106

efecto de la viscosidad de pulpa, 106

regla empírica, 106

Capacidad máxima, 285

Carbón irradiado

fractura de primer orden, 69

Carga circulante, 10, 215

Carga de polvo del molino

definición, 11

Cascada, 85, 175, 254

Catarata, 85, 175, 254

Cinética de molienda

ley de primer orden, 65

análisis en molinos SAG, 328

Clasificación

cálculo de parámetros de ecuaciones, 224

consideraciones generales, 3

definiciones, 207

ecuación logaritmo-normal, 221

ecuación logística en ln(x), 223

en fluidos, 209

Lynch, ecuación de , 222

Rosin-Rammler, ecuación de , 221

Clasificación en dos etapas, 248

Clasificador de álabe

principio de acción, 214

Clasificador ideal, 220

Clasificadores centrífugos, 210

Clasificadores de flujo transversal, 209

Clasificadores hidráulicos, 209

Convolución, 146

Coque

distribución de tamaño, 79

Cortocircuito, 220, 279

Cuarzo

distribución de fractura primaria, 72

distribución de tamaños en molienda, 66

velocidad específica de fractura, 70

Curva de partición, 219 - 220

D

Deformación, energía de , 19

Deformación, energía reversible de , 26

Descarga, 208

Desgaste de bolas

datos de Codelco Andina, 191

datos experimentales, 189

efecto del tamaño de producto, 193, 195

tratamiento analítico, 186

INDEX

389

Dirac, función impulso, 146

Diseño de molinos

consideraciones generales, 2

factores, 3

Distribución de tamaño de producto

efecto del flujo de alimentación, 284

efecto del tiempo de residencia, 282 - 283

Distribución de tiempos de residencia, 139 -

140, 266, 279

definición, 9

flujo pistón, 9, 156

medición experimental, 143

mezcla perfecta, 9, 155

mezcladores perfectos en serie, 161

modelo de dispersión axial, 164

modelo de Mori, 169

modelo de Rogers y Gardner, 157, 162

reactores ideales, 155

resultados experimentales, 157

un mezclador grande y dos pequeños, 161

E

Edad de salida, 139

Edad promedio de salida, 141

Energía de molienda, 39

Energía específica, 12, 207

Energía específica constante, 80

Ensayo de bola marcada, 314

Equipos de clasificación

clasificador centrífugo de álabes, 212

clasificador de espiral, 210

clasificador hidráulico, 211

clasificador mecánico, 209

clasificadores de álabe, 210

clasificadores mecánicos, 242

harneros curvos, 213 - 214, 242

harneros vibratorios, 213 - 214, 243

separadores mecánicos de aire, 246

tipos, 209

Equipos de clasificación, hidrociclones

Ver Hidrociclones

Escala de tiempo, factor de, 80

Escalamiento, 117, 279

consideraciones generales, 83, 175

efecto del flujo y transporte de masa, 203

Esferas elásticas, compresión de, 33

Esfuerzo normal máximo, 25

Esfuerzos normales y de cizalle, 22

Esfuerzos principales, 24

F

Fracción de llenado, 11

Fracción de sólido en volumen, cv, 12

Fractura, 84

anormal, 86, 90

efecto de carga de bolas y polvo, 95, 98

cálculos en carga balanceada de bolas, 193

cedencia, 22

comparación entre frágil y dúctil, 38

definición, 67

determinación experimental de parámetros, 123

dúctil, 28

efecto de ambientes húmedo y seco, 106

efecto de desaceleración, 112

efecto de la densidad de bolas, 104

efecto de la dureza de bola, 104

efecto del agua, 108

efecto del diámetro del molino, 104

efecto del flujo a través del molino, 115

efecto del nivel de llenado, 115

efectos reológicos, 108, 111

de esferas y partículas, 33

frágil, 28

mecanismos en molinos de bolas, 84

normal, 86, 253

parámetros de un mineral de cobre, 280

parámetros para algunos minerales , 90

de partículas grandes, 113

por astillamiento, 115

propiedades de algunos materiales, 87

que no es de primer orden, 253

quiebre, 22

efecto de la velocidad de rotación, 93

en molinos SAG, 326

efecto del tamaño de partícula, 85

velocidad específica efectiva promedio, 86

Fractura de esferas

efecto del tamaño, 34

390

Fractura de primer orden, 266

Fractura primaria

definición, 67

distribución de, 67

Fractura, determinación experimental

control de la potencia, 124

método BI, 126

método BII, 127

tamaño de muestras, 125

técnicas de retrocálculo, 130

tiempo de tamizado, 125

tratamiento de datos experimentales , 125

tratamiento de materiales blandos, 124

Fragmentos, distribución de, 69

Función clasificación, 220

Función de clasificación reducida, 221

Función de transferencia, 77

Función distribución de fractura

ajuste a funciones de potencia, 127

determinación experimental, 124

ecuación de ajuste empírico, 92

Función selección

determinación experimental, 124

ecuación para zona normal, 86

efecto del tamaño de partícula, 85

factor de corrección por fractura anormal, 90

G

Grietas, propagación de, 38

Griffith, fallas de, 28

H

Harneado, 207

Harneros

principio, 214

Hidrociclones, 210, 225

apex, 210

balance de masa, 231

descarga, 214

diagrama, 211

diseño aislado, 230

distribución de velocidad, 211

hidrociclón normal, 234

método de diseño de Arterburn, 234

modelo de Lynch y Rao, 239

modelo de Plitt, 240

modelos, 230

parámetros del material, 227

perturbaciones, 230

rebalse, 214

simulación de diseño, 231

simulación de operación, 231

variables de diseño, 225

variables de operación, 228

vortex, 210

Hooke, ley de , 17

I

Indice de nitidez, 221, 295

Indice de Trabajo, 47, 260

corrección por tamaño de malla de separación, 49

escalamiento, 49

factores de conversión en molinos de bolas, 50

valores experimentales y operacionales, 57

valores típicos, 48

Indice de Trabajo operacional, 56

Ineficiencia directa, 10, 90, 253, 282

Ineficiencia indirecta, 10, 253, 282

L

Lainas

Ver barras levantadoras

Liberación, 6

Llenado

condición óptima, 96

M

Mallas, 207

Material

homogeneidad, 75

Materiales

comportamiento elástico, 17

comportamiento elasto-plástico, 19

comportamiento visco-elástico, 19

deslizamiento de materiales dúctiles, 32

dúctiles, 31

391

inelasticidad, 18

Matriz Bij, 69, 71

Matriz Bij normalizada, 71

Matriz de fractura, 73

Modelos macroscópicos, 139

Mohr, círculo de, 24

Molienda

efecto de desaceleración, 207

en circuito cerrado, 207

Molienda continua estacionaria

modelo cinético, 169

Molienda discontinua

distribución de tamaño, 78

ecuación de, 75, 77

resultado típico de una prueba, 65

simulación, 77

solución de Reid, 76

Molienda FAG

tiempo de residencia en molinos largos, 372

Molienda fina, dificultad de la , 39

Molienda SAG

alimentación de materiales de distinta dureza,

378

análisis combinado de abrasión y fractura, 344

análisis de potencia de Hogg y Fuerstenau, 315

análisis matemático de la abrasión, 337

autofractura, 331

cálculo aproximado de potencia, 318

cinética de molienda no-lineal, 335

datos de B para fractura rápida y lenta, 361

distribución de resistencia a la autofractura, 351

ecuación de potencia de Bond modificada, 318

efecto de acolchonamiento del impacto, 364

efecto de geometría de tapas en la potencia, 320

efecto de la parrilla de descarga, 367

efecto del agregado de bolas, 360

efecto del llenado en la autofractura, 355

ejemplo de simulación, 380

ensayo de autofractura, 331

ensayos convencionales para el diseño, 312

escalamiento a través de la potencia, 314

llenado de pulpa y densidad de la carga, 363

mecanismos de fractura, 333

modelación de molinos con D/L grande, 367

obtención de datos de potencia, 312

datos de estimaciones de consumo de potencia,

320

transporte de masa a través de parrillas, 371

trat. autofractura como sistema duro-blando, 374

veloc. de autofractura en molienda continua, 366

ventajas, 311

Moliendabilidad, 37

definición en método de Bond, 47

ensayo normalizado de Bond, 46

Molino

como reactor, 4

Molino de bolas

modo de operación, 84

Molinos

descarga por parrilla, 207

fluctuación periódica de material, 207

métodos aproximados de diseño, 45

Molinos convencionales

limitaciones, 311

Monotamaño, técnica de, 67

N

Número total de bolas en el molino, 191

P

Parámetro de clasificación ci, 220

Porosidad nominal, 11

Potencia

consumo eficiente e ineficiente, 254

dependencia de la velocidad de rotación, 93

ecuación de Austin para molinos pequeños, 180

ecuación de Beeck, 179

ecuación de Bond, 178

efecto de la velocidad, 176

efecto de las barras levantadoras, 181

efecto del nivel de llenado, 179

optimización del consumo, 184

teoría, 175

teórica para mover medios de molienda, 177

Potencia específica

efecto del nivel de llenado, 180

Producto, 4

392

Progenie, 7

distribución de tamaños, 69

ejemplo de distribución de tamaños, 72

fractura normal, 91

independiente de condiciones de operación, 91

valores de B normalizados, 91

Puntos de muestreo, 260

R

Razón de recirculación, 10, 215, 257

métodos de cálculo, 216 - 218

Rebalse, 208

Recarga de bolas

optimización, 199

Reid

solución de ecuación de molienda discontinua,

76

Resistencia cohesiva ideal, 26

Retención de mineral en molino, 257

Retrocálculo de parámetros, 130

molienda continua, 134

molienda discontinua, 131

Rittinger, ley de, 39

Condiciones óptimas para la ruptura, 85

S

Sedimentación, 207

Selectividad, 219, 279

valores experimentales, 227

Selectividad, curva de, 220

Si

Ver velocidad específica de ruptura

Simulación de molinos industriales

enfoques básicos, 254

modelos ajustados, 254

molienda de fosfato, 263

molienda húmeda de cobre, 259

molienda húmeda de mineral de cobre, 255

simulación desde datos de fractura, 254

Simulaciones de circuitos

circuitos de dos molinos, 299

efecto de la eficiencia del clasificador, 295

efecto de variables de operación, 287

Sobrellenado, 207, 260, 281

Sobrellenado, factor de , 97

Sobremolienda, 9, 207

Sumidero, 4

T

Tamaño de separación, 208

Serie normalizada de tamices, 5

Tamizado

consideraciones generales, 4

en blanco, 123

error de tamizado incompleto, 123

Técnica de retrocálculo, 259

Tiempo de molienda, 79

Tiempo de residencia, 9, 139

Tiempo promedio de residencia, 9, 141

Trazadores

cloruro de sodio, 143, 157

fluorescina, 143, 157

material irradiado, 144

medición en circuito abierto, 145

medición en circuito cerrado, 147

medición en equipos en serie, 152

método de Rogers para circuitos cerrados, 150

método experimental con trazador radiactivo,

144

radiactivos , 67

Tromp, curvas de, 220, 295

V

Velocidad crítica, 10

Velocidad de rotación

consumo de potencia, 93

y función distribución de fractura , 94

Velocidad específica de fractura, 66

cuarzo, 70

efecto del tamaño de colpa, 359

Velocidad específica de ruptura, 84

definición, 8

Ver también Velocidad específica de fractura

Velocidades de fractura absolutas, 95

Volteo, acción de, 85

393

vortex

Ver Hidrociclones

W

Work Index

Ver Indice de Trabajo

Y

Young, módulo de, 18

394