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Pontificia Universidad Católica de Chile
Facultad de Matemáticas
Álgebra e Introducción al Cálculo - MAT1492-3
Primer Semestre de 2009
AYUDANTÍA 20
Trigonometŕıa III
Problema 1: Demuestre que
cos (3β ) = 4cos3 β − 3cos β.
Problema 2: Demuestre que
cos2 β cot β + sin2 β tan
β + sin (2β ) = tan β + cot β.
Problema 3: Demuestre que
sin2 β + sin2
23π + β
+ sin2
23π − β = 3
2.
Problema 4: Resuelva la ecuación
cos(3θ) + cos (2θ) + cos θ = 0,
para θ ∈ R.Problema 5: Resuelva la
ecuación
cos (3θ) = cos (5θ) +√
3sin(4θ) ,
para θ ∈ [0, 2π).Problema 6: Resuelva la
ecuación
tan3 x + tan2 x − 3tan x − 3 = 0,
para θ ∈ [0, 2π).
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Soluciones
Problema 1: En efecto,
cos (3β ) = cos (2β + β ) = cos
(2β )cos β − sin(2β )sinβ =
cos2 β − sin2 β cosβ − 2sin2
β cos β =
2cos2 β − 1 cosβ − 2 1 − cos2 β
cosβ = 2 cos3 β − cosβ + 2 cos2
β − 2cosβ = 4 cos3 β − 3cosβ.
Problema 2: En efecto,
cos2 β cot β + sin2
β tanβ + sin (2β ) = cos3
β
sinβ +
sin3 β
cosβ + 2 sinβ cos β
= cos3 β
sinβ + sin β cosβ +
sin3 β
cosβ + sin β cosβ
= cos3 β + sin2 β cosβ
sin β +
sin3 β + sinβ cos2 β
cosβ
= cos β
cos2 β + sin2 β
sinβ
+ sin β
sin2 β + cos2 β
cosβ
= cosβ
sinβ +
sinβ
cosβ = cot β + tanβ.
Problema 3: En efecto, dado que
sin2
2
3π ± β
=
sin
2
3π
cosβ ± sinβ cos
2
3π
2
,
se tiene que
sin2 β + sin2
2
3π + β
+ sin2
2
3π − β
= sin2 β + 2 sin2
2
3π
cos2 β + 2 sin2 β cos2
2
3π
= sin2 β + 2 · 34 · cos2 β + 2
· 1
4 · sin2 β
= sin2
β +
3
2 cos2
β +
1
2 sin2
β
= sin2 β + cos2 β + 1
2 cos2 β +
1
2 sin2 β
= 1 + 1
2 =
3
2.
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Problema 4: Desarrollando,
cos (3θ) + cos (2θ) + cos θ = 0
cos (2θ + θ) + cos (2θ) + cos (2θ − θ) = 0cos (2θ)cos
θ − sin(2θ)sin θ + cos (2θ) + cos (2θ)cos θ + sin (2θ)sin
θ = 0
2cos(2θ)cos θ + cos (2θ) = 0
cos (2θ)(2cos θ + 1) = 0
⇒ 0 = cos (2θ) ∨ −12
= cos θ.
De la primera igualdad, se tiene que
2θ = ±
Arccos (0) + 2kπ ⇒
θ = ±
π
4 + kπ, con k
∈ Z.
Por otro lado, de la segunda igualdad, se tiene que
θ = ± Arccos
−12
+ 2kπ ⇒ θ = ±2π
3 + 2 jπ, con j ∈ Z.
Problema 5: Reescribamos la ecuación como√
3sin(4θ) = cos (3θ) − cos (5θ) = cos (4θ − θ) − cos
(4θ + θ)= {cos (4θ)cos θ + sin (4θ)sin θ} − {cos
(4θ)cos θ − sin(4θ)sin θ}= 2 sin (4θ)sin θ
⇒ 0 = 2sin θ − √ 3 sin(4θ)⇒ 0 = sin(4θ)
∨
√ 3
2 = sin θ.
De la primera igualdad, se tiene que
4θ = (−1)k Arcsin (0) + kπ ⇒ θ =
k π4
, con k ∈ Z.
Por otro lado, de la segunda igualdad, se tiene que
θ = (−1) j Arcsin√
3
2 + jπ ⇒ θ = (−1) j π
3 + jπ, con j ∈ Z.
Luego, como θ ∈ [0, 2π], entonces tomamos
k = 0 . . . 7 y j = 0, 1. Es decir,
θ ∈
0, π
4, π
2, 3π
4 , π,
5π
4 ,
3π
2 ,
7π
4
∪π
3, 2π
3
.
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Problema 6: Sea u = tan x, entonces la
ecuación nos queda
u3 + u2 − 3u − 3 = 0(u + 1)(u2 − 3) = 0
(u + 1)u −
√ 3
u +√
3
= 0
Por lo tanto, debemos resolver las ecuaciones
tan x = −1 (1)tanx =
√ 3 (2)
tanx = −√
3 (3)
De (1), se tiene que
θ = Arctan (−1) + kπ ⇒ θ
= −π4
+ kπ, con k ∈ Z.
Mientras que de (2), se tiene que
θ = Arctan√
3
+ jπ ⇒ θ = π3
+ jπ, con j ∈ Z.
Y por último, de (3), se tiene que
θ = Arctan−√
3 + nπ ⇒ θ = −π
3 + nπ, con n ∈ Z.
Por lo tanto, como θ ∈ [0, 2π), tomamos
k = 1, 2; j = 0, 1 y n = 1, 2. Es
decir,
θ ∈
3π
4 ,
7π
4
∪π
3, 4π
3
∪
2π
3 ,
5π
3
.
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