8/16/2019 Ayuda Ntia 22
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Pontificia Universidad Católica de Chile
Facultad de Matemáticas
Álgebra e Introducción al Cálculo - MAT1492-3
Primer Semestre de 2009
AYUDANTÍA 22
Repaso I3
Problema 1: Determine una función polinomial de
coeficientes reales, cuyo gráfico pase porlos puntos (0, 16), (1,
0), (−4, 0) y (2, 0).
Problema 2: Sea P (x) un polinomio
m´ onico con grad(P ) = 3 de coeficientes
reales. Se sabeque P (x) es divisible por (x− 1) y que
los restos de sus divisiones por (x− 2), (x− 3) y (x− 4)son
iguales.Determine P (x) y encuentre todas sus
ráıces.
Problema 3: Resolver para 0 ≤ x
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Álgebra e Introducción al Cálculo - MAT1492-3
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Soluciones
Problema 1: Sea Q(x) el polinomio buscado. Ya que
éste interseca al menos en tres puntos aleje X ,
entonces grad(Q) ≥ 3.Supongamos que es justo de grado 3, es decir,
x1 = 1, x2 = 2 y x3 = 4 son sus
únicas raı́ces.Entonces
Q(x) = α(x − 1)(x − 2)(x + 4),donde α ∈
R es un constante a determinar. Además, sabemos que
Q(0) = 1, por lo tanto,
1 = α(0− 1)(0− 2)(0 + 4) ⇒ α = 2.Aśı, Q(x) =
2x3 + 2x2
−20x + 16 es un polinomio que cumple con lo pedido.
Problema 2: Como P (x) es mónico de grado 3,
entonces es de la forma
P (x) = x3 + ax2 + bx + c,
con a, b, c ∈ R. Por enunciado, sabemos que
P (x) es divisible por (x− 1), es decir,1 + a + b +
c = 0 (1)
También, dado que los restos de sus divisiones por (x−2), (x−3)
y (x−4) son iguales, entoncespor Teorema del Resto, sigue que
8 + 4a + 2b + c = r (2)
27 + 9a + 3b + c = r (3)
64 + 16a + 4b + c = r (4)
donde r denota al resto obtenido en la división.
Restando (3) − (2) y (4) − (3), se tiene19 + 5a + b = 0
(5)
37 + 7a + b = 0 (6)
Luego, restando (6) − (5), se concluye que 18 + 2a =
0 ⇒ a = −9, y aśı, reemplazando en (5)se tiene que
b = 26. Finalmente, reemplazando en (1) se obtiene que
c = −18. Es decir,
P (x) = x3 − 9x2 + 26x − 18.Pero ya sabemos
que P (x) es divisible por (x− 1). Entonces, realizando
la división se tiene que
P (x) = (x− 1)(x2 − 8x + 18).Y por lo tanto,
P (x) = (x− 1)(x− 4−√
2i)(x − 4 +√
2i).
Es decir, sus ráıces son x1 = 1, x2 = 4
+√
2i y x3 = 4−√
2i.
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