Ayudantia3-2015.1(Pauta)

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Universidad Técnica Federico Santa Marı́aDepartamento de Matemática

Ayudant́ıa 3 Mate 4 (Pauta)30 de marzo, 2015

Profesor: Pablo González Lever / Ayudante: V́ıctor Valdebenito Silva

1. Calcular: T

zdxdydz

siendo T el dominio del primer octante delimitado por las superficies y2 + z = 1 y x2 + z = 1.Sol:Intersectando ambas superficies llegamos a y2 = x2. En el primer octante se traduce a que laintersección de estas superficies se ve como la recta y = x en el plano z = 0. En este plano, lasuperficie y2 + z = 1 se ve como y = ±1 y para x2 + z = 1 se tendrá que x = ±1. Por lo quela integral quedará dada por la suma

T

zdxdydz =

10

x0

1−x20

zdzdydx +

10

y0

1−y20

zdzdxdy

= 1

2

10

x0

(1 − x2)dydx + 10

y0

(1 − y2)dydx

= 1

6

2. Calcular el volumen encerrado por la superficie

(

x2 + y2 − 1)2a2

+ z 2

b2 = 1.

Aqúı 0 < a 0.Sol:La región no es una región elemental y no tenemos un cambio de coordenadas directo de losque conocemos para resolverlo (ciĺındrico, esférico, toroidal, etc.), aśı que transformamos laregión para poder describirla en términos que conozcamos.Consideramos un cambio a coordenadas ciĺındricas tal que

x = r cos θ

y = r sin θz = z

J (r,θ,z ) = r

Con este cambio, el volumen viene dado por V

rdzdrdθ

MAT024 1


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La superficie se describe ahora como

(r − 1)2a2

+ z 2

b2 = 1

Ahora, describimos esta región según el cambio

r = 1 + au cos v

z = bu sin v

θ = w

J (u,v,w) = abu

Y con este cambio, el volumen será

V =

V abu(1 + au cos v)dudvdw

=

2π0

2π0

10

abu(1 + au cos v)dudvdw

= 1

6

2π0

2π0

ab(2a cos v + 3)dvdw

= π

3

2π0

ab(2a cos v + 3)dv

= 2π2ab

3. Considerar las superficies z =

x2 + y2, z =

3(x2 + y2), x2 + y2 + z 2 = 1, z = 2.

a) Expresar el volumen en coordenadas esféricas.Sol:Para coordenadas esféricas se tiene z = 2 ⇒ ρ = 2cosφ . y los ángulos de los conos son π6 y π4 .Luego, el volumen viene dado por

V esf =

2π0

π/4π/6

2/ cosφ1

ρ2 sin φdρdφdθ

b) Expresar el volumen en coordenadas ciĺındricas.Sol:Considerando coordenadas ciĺındricas se tienen las ecuaciones r = z , r = z√

3, r =

√ 1 − z 2.

Luego, la intersección del cono de menor pendiente con la esfera resulta z = 1√ 2

y con el cono

de mayor pendiente es z =√ 32

. Luego, el volumen viene dado por

V cil =

2π0

√ 3/21/√ 2

z√ 1−z2

rdrdzdθ +

2π0

2√ 3/2

zz/√ 3

rdrdzdθ

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c) Calcular el volumen usando cualquiera de las dos integrales expresadas anteriormente.Sol:Resultado: 2π

16 √

2 −√ 3 + 89

4. Sea Σ la porción de la superficie de ecuación

(x2 + y2)3/2

= (1− z )y

que pertenece al primer octante de R3 y verifica que z ≤ 1. Sea A el sólido limitado por Σ ypor los 3 planos coordenados. Sobre A hay una distribución de masa de forma que la densidaden cada punto de A es proporcional a la distancia del punto al plano XY . Determinar elmomento de inercia de A con respecto al eje z .Sol:Usando un cambio a coordenadas ciĺındricas tenemos

r =

(1− z )sin θ

Luego, como estamos en el primer octante θ ∈ 0, π2

y z ∈ [0, 1].

Por otro lado, la función de densidad viene dada por ρ(x,y,z ) = K |z |, donde K es unaconstante de proporcionalidad. La inercia con respecto al eje z viene dada por

V

K |z |(x2 + y2)dV = K π/20

10

√ (1−z)sin θ0

zr3drdzdθ

= K

4 π/2

0

1

0

z (1

−z )2dzdθ

= Kπ

192

5. A una esfera de 8 cent́ımetros de diámetro se le perfora un orificio de sección cuadrada de 4cent́ımetros por lado, concéntrico con las esfera. Expresar el volumen remanente en coordena-das cilı́ndricas y esféricas.Sol:Consideremos las siguientes proyecciones

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Figura 1: proyección en el plano XY.

Figura 2: proyección en función de la altura z .

Coordenadas ciĺındricas

La esfera quedará definida por la ecuación z = ±√

16 − r2

. El volumen puede dividirse en 16partes iguales. Según la Figura 1 se tiene que el radio se moverá entre la recta de ecuaciónx = 2 y el ćırculo de radio 4. Luego, el radio queda acotado por r ∈ 2

cos θ, 4

. El ángulo quedaacotado entre 0 y π4 . Luego, el volumen quedará definido por

V cil = 16

π4

0

42sec θ

√ 16−r20

rdzdrdθ

Coordenadas esféricasTratando el radio como en el caso anterior, este se mueve entre x = 2 y x2 + y2 + z 2 = 16

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que expresado en esféricas queda ρ ∈ [2sec θ csc φ, 4]. El ángulo θ se mueve entre 0 y π4

, puesseguiremos dividiendo el sólido en 16 partes iguales.Para determinar entre qué valores se mueve el ángulo φ, consideremos la proyección de la

Figura 2. A priori, se puede determinar con toda certeza que el último valor que toma φ esπ2 . De la Figura 1 se tiene que x = r cos θ y este valor es el cateto inferior menor del triángulode la Figura 2. Este valor se relaciona con la variable φ mediante la expresión sin φ = 2sec θ

4 .

Por tanto, tendremos que el volumen vendrá dado por π/40

π/2sin−1( secθ

2 )

42sec φ cscφ

ρ2 sin φdρdφdθ

El resultado de resolver cualquiera de estas integrales es −643√

2+ 10243 arctan√

2− 7043 arcsin 13√

3

Ejercicios propuestos

6. Se saca, de una bola de radio 2, un cilindro circular de radio 1 cuyo eje pasa por el centro dela bola. Determinar el volumen del sólido restante.Sol:El volumen total de la esfera antes de perforarla es de 32

3 π. Por otra parte, el volumen extráıdo

puede ser expresado en coordenadas ciĺındricas, pues si altura está acotada por z =√

4− r2y el dominio en XY acotado por x2 + y2 = 1. Luego, el volumen extráıdo vendrá dado por

V extraido = 2

2π0

10

√ 4−r20

rdzdrdθ

= 2 2π0

10

r√

4−

r2drdθ

Usando una variable auxiliar u = 1− r2 ⇒ du = −2rdr ⇒ u ∈ [4, 3]. Luego, la integral queda 2π0

43

u1

2 dudθ = −4π(3√ 3 − 8)

3

Por lo que el volumen remanente es 32π8 − −4π(3√ 3−8)

3 = 4π√

3.

7. Se define la región

Ωa ={

(x, y)∈R

2x > 0, y > 0, (x2 + y2)2

≥4a2(x2

−y2), (x2 + y2)2

≤9a2(x2

−y2)}

Usando f (x, y) = 2kxy

x2 + y2, con 0 ≤ k ≤ η, encontrar el valor máximo de

h(k, a) =

Ωa

f (x,y)0

dzdA

si k + a = η.Sol:

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Notar que la región es el área entre dos lemniscatas que en coordenadas polares quedandefinidas por

r1 = 2a√

cos2θ ; r2 = 3a√

cos2θ

Luego, haciendo uso de coordenadas ciĺındricas tendremos Ωa

f (x,y)0

dzdA =

π/40

3a√ cos2θ2a√ cos2θ

2k cos θ sin θ0

rdzdrdθ

= k

π/40

(9a2 cos2θ − 4a2 cos2θ)cos θ sin θdθ

= a2k

2

π/40

(9cos2θ sin2θ − 4cos2θ sin2θ)dθ

= 5a2k

4

π/4

0

sin4θdθ

= 5a2k

8

Luego, debemos maximizar esta función sujeta a la restricción k + a = η. Usando multiplica-dores de Lagrange definimos

Φ(a,k,λ) : 5a2k

8 − λ(k + a − η)

Cuyas derivadas parciales igualadas a cero nos dan el sistema

dΦda

= 10ak8 − λ = 0

dΦ

dk =

5a2

8 − λ = 0

dΦ

dλ = η − k − a = 0

Resolviendo este sistema obtenemos que el máximo de h(k, a) se alcanza para

a = 2η

3 , k =

η

3

Dando como valor máximo 5η54

8. Calcular: R

z 2dxdydz

siendo R la parte común de las esferas x2 + y2 + z 2 ≤ a2 y x2 + y2 + z 2 ≤ 2az , usando

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a) Coordenadas ciĺındricasSol:En coordenadas ciĺındricas podemos acotar la altura z entre el hemisferio inferior de x2 +

y2

+ z 2

= 2az y el hemisferio superior de x2

+ y2

+ z 2

= a2

. Para determinar el dominio deintegración en el plano XY , determinamos el plano en donde se intersectan las esferas. Estoes:

a2 = 2az

⇒ z = a2

Luego, el radio viene dado por la esfera en ciĺındricas r2 + z 2 = 2az ⇒ r = ±√ 2az − z 2 y enla parte superior por r2 + z 2 = a2 ⇒ r = ±√ a2 − z 2 Por tanto la integral pedida será igual a

2π0

a/20

√ 2az−z2

0rz

2

drdzdθ + 2π0

aa/2

√ a2−z2

0rz

2

drdzdθ

= π

a/20

z 2(2az − z 2)dz + aa/2

z 2(a2 − z 2)dz

= 59πa5

480

b) Coordenadas esféricasSol:Para z = a2 se tiene que el ángulo φ de

π3 . Las esferas es coordenadas esféricas son ρ = 2a cos φ

y ρ = a. Entonces la integral en coordenadas esféricas viene dada por

2π0

π/30

a0

ρ4 sin2 φ cos φdρdφdθ + 2π0

π/2π/3

2a cosφ0

ρ4 sin2 φ cos φdρdφdθ

= 59a5π

480

9. Sea D un sólido delimitado por x2 − y2 = 1, x2 − y2 = 5, xy = 1, xy = 4, x + y + 3z = 2, x +y + 3z = m, x > 0, con densidad ρ(x,y,z ) = g(x2− y2), donde g(u) > 0 para todo u. Además,considerar un segundo sólido E delimitado por 0 ≤ z ≤ g(x),−x ≤ y ≤ 5 − x, 1 ≤ x ≤ 5,cuya densidad en cada punto es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al ejez . Determinar bajo qué condiciones del parámetro m, el momento de inercia del sólido D esmayor que el momento de inercia del sólido E. Ambos momentos son calculados especto al ejez .Sol:Sólido DConsiderar el cambio de variables

u = x2 − y2 ⇒ u ∈ [1, 5]v = xy ⇒ v[1, 4]

w = x + y + 3z ⇒ w ∈ [2, m]

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Este cambio lleva a calcular el jacobiano

J −1(u,v,w) = 2x y 1

−2y x 10 0 3

= 6|x2 + y2

|

⇒ J (u,v,w) = 16(x2 + y2)

Luego, la inercia con respecto a z del sólido D queda dada por

I z(D) =

m2

41

51

1

6g(u)dudvdw

= 1

2(m − 2)

5

1

g(u)du

Sólido EConsideramos el cambio

u = x ⇒ u ∈ [1, 5]v = x + y ⇒ v ∈ [0, 5]

J (u, v) = 1

Luego, la inercia con respecto a z de E es

I z(E) = k 5

0

5

1

g(u)dudv

= 5k

51

g(u)du

Luego, la condición para que se cumpla lo planteado en el ejercicio se da por:

I z(D) > I z(E)

1

2(m − 2)

51

g(u)du > 5k

51

g(u)du

⇒ m > 10k + 2Pero observar que si m es menor que 2, queda que m


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