B. APORTACIÓN DIRIGIDA:

2º E.S.O.

 TEMA.10:

PROBLEMA DE ÁREAS Y VOLÚMENES.

 

Gloria Ojalvo de Miguel 1º Bach. Ciencias

ÁREAS y VOLÚMENESÁREAS y VOLÚMENES 

ÁREASÁREAS::

Se utilizan para calcular superficies. Se expresan en m2

 VOLÚMENESVOLÚMENES::

Se utilizan para calcular capacidades. Se expresan en m3

Problema de Áreas y VolúmenesProblema de Áreas y Volúmenes

ÁREASÁREASTRIÁNGULOS:TRIÁNGULOS: Para los tres tipos de triángulos se utiliza la misma fórmula para calcular área

ÁREASÁREAS

CUADRILATEROS:CUADRILATEROS: Se denomina cuadriláteros a todos aquellos polígonos que tengan 4 lados.

Pueden ser de diferentes tipos, a saber: • CUADRADO• RECTANGULO• ROMBO• TRAPECIO• PARALELOGRAMO

ÁREASÁREAS

CUADRILATEROS:CUADRILATEROS: 

CUADRADOCUADRADOSe caracteriza por tener todos sus lados iguales y formando 900: 

ÁREASÁREAS

CUADRILATEROS:CUADRILATEROS: 

RECTANGULORECTANGULOTiene sus lados iguales dos a dos:

ÁREASÁREAS

CUADRILATEROS:CUADRILATEROS: 

ROMBOROMBOTodos sus lados son iguales pero, se caracteriza por tener los ángulos diferentes de 90º:

ÁREASÁREAS

CUADRILATEROS:CUADRILATEROS: 

TRAPECIOTRAPECIOSus cuatro ángulos son distintos de 90º:

ÁREASÁREAS

CUADRILATEROS:CUADRILATEROS: 

PARALELOGRAMOPARALELOGRAMOLados paralelos dos a dos:

ÁREASÁREASPENTAGONO:PENTAGONO: El pentágono regular es un polígono de cinco lados iguales y cinco ángulos iguales

ÁREASÁREASHEXAGONO:HEXAGONO: El hexágono regular es un polígono de seis lados iguales y seis ángulos iguales.Los triángulos formados al unir el centro con todos los vértices, son equiláteros.

ÁREASÁREASCIRCULO:CIRCULO: Es la región delimitada por una circunferencia, siendo ésta el lugar geométrico de los puntos que equidistan del centro. .

VOLÚMENESVOLÚMENES

PIRAMIDE:PIRAMIDE: Pirámide regular es un sólido que tiene por base un polígono (triángulo, cuadrado...) y cuyas caras son triángulos que se reúnen en un mismo punto llamado vértice.

VOLÚMENESVOLÚMENES

CUBO:CUBO: Es un sólido limitado por seis cuadrados iguales, también se le conoce con el nombre de hexaedro.

VOLÚMENESVOLÚMENES

PRISMAS:PRISMAS: Prisma regular es un cuerpo geométrico limitado por dos polígonos (triangular, cuadrangular, hexagonal...) paralelos e iguales, llamados bases, y por tantos rectángulos como lados tenga cada base.

Ejemplo de prisma triangular

VOLÚMENESVOLÚMENES

CONO:CONO: El cono es el sólido engendrado por un triángulo rectángulo al girar en torno a uno de sus catetos.

VOLÚMENESVOLÚMENES

CILINDRO:CILINDRO: El cilindro es el sólido engendrado por un rectángulo al girar en torno a uno de sus lados.

VOLÚMENESVOLÚMENES

ESFERA:ESFERA: La esfera es el sólido engendrado al girar una semicircunferencia alrededor de su diámetro.

Problema de Áreas y VolúmenesProblema de Áreas y Volúmenes

Los profesores para celebrar el carnaval, organizan una fiesta en el patio del colegio. Acuerdan disfrazarse todos de cajas de regalo de un tamaño fijo de 2 m. de lado. Si el patio del colegio mide 25 m. de ancho por 42 m. de largo.

a) ¿Cuál es el máximo de profesores que puede ir a la fiesta?

Se quieren hacer una foto en la que aparezcan el mayor número posible de profesores, pero solo pueden ocupar la mitad de la superficie del patio hasta una altura máxima de 4 m., para ello deben colocarse unos encima de otros.

b) ¿Cuántos profesores como máximo entran en la foto?

a) ¿Cuál es el máximo de profesores que puede ir a la fiesta?

El primer apartado es un problema de áreas.

Lo vamos a resolver teniendo en cuenta los siguientes pasos:

1. Área del patio

2. Área de una caja de regalo (disfraz)

3. Nº de profesores que entran en el patio

a) ¿Cuál es el máximo de profesores que puede ir a la fiesta?

1. Área del patio:Calculamos el área del patio teniendo en cuenta que es rectangular, utilizando la fórmula del área de un rectángulo.

A continuación, sustituimos los datos en la fórmula siendo la base, 42m y la altura, 25m resolvemos la operación.

  

2. Área de una caja de regalo (disfraz):Hallamos el área de una de las cajas de regalo de las que van disfrazados los profesores (sólo resolvemos una, porque todas son iguales), teniendo en cuenta que la base de un cubo es cuadrada y la fórmula de su área.

Empleamos el dato del problema que nos dice que el lado de cada caja mide 2m. Sustituimos su valor en la fórmula y resolvemos.

   

a) ¿Cuál es el máximo de profesores que puede ir a la fiesta?

3. Nº de profesores que entran en el patio:Por último, para saber el máximo de profesores que entran con el disfraz ya puesto, habrá que dividir el área del patio entre el área que ocupan los disfraces.

 Ahora sustituimos como en las anteriores, los valores obtenidos de ambas áreas en los pasos anteriores.

 Como las personas no pueden ser decimales, porque no les podemos cortar un brazo o una pierna... , cogemos el número natural 131

La solución de este apartado sería que a la fiesta pueden entrar 131 profesores.

b) ¿Cuántos profesores como máximo entran en la foto?

El segundo apartado es un problema de volúmenes.

Lo resolveremos de la siguiente forma:

1. Volumen total de la mitad del patio

2. Volumen de una caja de regalo (disfraz)

3. Nº de profesores máximo que entran en la foto:

b) ¿Cuántos profesores como máximo entran en la foto?

1. Volumen total de la mitad del patio:Primero dividiremos ambos lados del patio entre dos (la base y la altura del área) y después teniendo en cuenta que la máxima altitud que pueden alcanzar los profesores apilados es de 4m, hallaremos el volumen total del medio patio.

Sustituimos los datos pero antes debemos saber el nuevo área de la base que ahora es la mitad del área total del patio que hemos resuelto en el apartado anterior.

Una vez resuelto esto, hallamos el volumen de la mitad del patio sustituyendo en la fórmula.  

b) ¿Cuántos profesores como máximo entran en la foto?

2. Volumen de una caja de regalo (disfraz)Para esto tenemos en cuenta la fórmula del volumen de un cubo, que es la misma forma que tienen las cajas.

Sustituimos los datos en la fórmula con el valor dado de 2m de lado para saber el volumen de cada caja.

   8 m3 es el volumen de cada caja – disfraz.

3. Nº de profesores máximo que entran en la foto:  Igual que en el apartado anterior dividimosel volumen total de la mitad del patio entre el de cada caja-disfraz:

Sustituimos de nuevo los valores en la fórmula:

Igual que antes sólo podemos coger el número natural de éste resultado. Entrarían 131 profesores disfrazados para hacerse la foto.Entran los mismos que en el área del patio, porque al dividir ésta entre dos, la operación se anula al duplicar la altura a la que se ponen los profesores con los disfraces.