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1.- ECUACIONES
a) x b a b
b) xa
b
c) xa
d) x aba) x b a
abe) x
c f) x b a
3bg) x
2a h) x 6ab
1.- ECUACIONES
a) 3x 1 25 3x 24 x 8
b) 5x 13 2 5x 15 x 3
c) Como 7.9 63 x 7
d) 5x 2 18 5x 20 x 4
1.- ECUACIONES
0v va) a
t
0
0v v
b) At v v tA
9C 5(F 32)c) F 32 C
5 9
22at 2(3v e) 2(3v e)
d) 3v e t t2 a a
22x
e) a 2b x 5a 10b x 5a 10b5
22 0 0
02(E E ) 2(E E )mx
f) E E x x2 m m
1.- ECUACIONES
VTa) VT V´T´ T´
V´
6.20b) T´ 8 ºC
15
1.- ECUACIONES
4(v L)a) 4v 3Ln 4L 4v 4L 3Ln n
3L
4(224 16) 4.240 960b) n 20 veces
3.16 48 48
2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO
a) Si D 0, hay dos; si D 0, no hay ninguna; si D 0, hay una
2 2b) 1) x 36 x 6 2) x 4 no tiene solución
2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO
xc) x mi edad 3x 49
2
d) x 2x 24 3x 24 x 8. Pañuelo : 2x 2.8 16 €
2 2e) x.3x 12 3x 12 x 4 x 2. Largo : 3x 3.2 6 cm
2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO
2 2a) 3x 5x 2 0 D b 4ac 25 4.3.( 2) 49
2 1x
b D 5 49 5 7 6 3x
122a 2.3 6x 2
6
2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO
2b) Dividiendo entre 100 : 4x 20x 25 0 D 400 4.4.25 0
20 5x
b D 20 0 20 0 8 2x
20 52a 2.4 8x
8 2
2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO
2 2 81 9c) 81 49x x x
49 7
2x 0
d) 5x x 0 x(5x 1) 0 15x 1 0 x
5
2 x 0e) x x 0 x(x 1) 0
x 1 0 x 1
2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO
2 2 2 2 2
2
f)x 1 15x 5x 2(x 4x 4) 9 4x 15x 1 2x 8x 8 9
x 0
6x 23x 0 x(6x 23) 0 23x
6
2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO
2 2 2 2 2 2
2
g)3(x 4x 4) x 1 3x 15x 11 3x 12x 12 x 1 3x 15x 11
x 0x 27x 0 x(x 27) 0
x 27
2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO
2 2 2 2 2 2
: ( 4)2 2
2
h)x 4 3(x 2x 1) 2x 2x 5 x 4 3x 6x 3 2x 2x 5
4x 8x 12 0 x 2x 3 0
D b 4ac 4 4.1.3 8 0 (incompatible)
2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO
x x 1 x xNúmeros : mcm(3,7,5) 105
x 1 3 7 5
35(x 1) 15x 21x
105 105 105
35x 35 15x 21x 35 x
Los números son 35 y 36
2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO
2x 7nº de panteras : x nº de tigres : 2x 7 nº de leones : 8
3
2x 7 2x 7x 2x 7 8 17 16 3x 2x 7 3(16 3x)
3 3
2x 7 48 9x 11x 55 x 5
3nº de panteras : 5 nº de tigres : 2.5 7 3 nº de leones : 8 9
3
2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO
. 60 24
t tiempo que tardan en encontrarse
75t 100t 420 t 2, 4
Dis tancia a Granada : 75t 75.2, 4 180
Dis tancia a Madrid : 100t 100.2, 4 240
Tardan 2, 4 h 2 h y 0, 4 h 2h y 24 min
A 180 km de Granada y 240 km de Madrid
����
2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO
t tiempo que tardan en encontrarse
90t 60t 900 t 6
Dis tancia a Granada : 90t 90.6 540
Se encuentran a 540 km de
Granada a las 16 h (4 de la tarde)
2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO
tiempo que está circulando la furgoneta : t
tiempo que está circulando el coche : t 2
Como recorren la misma dis tancia : 80t 120(t 2)
80t 120t 240 t 6
Dis tancia a Madrid : 80t 80.6 480 km
Le alcanza a las 15 h (3 de la tarde)
A 180 km de Granad
a y 240 km de Madrid
2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO
. 60 12
tiempo que está circulando el primer coche : t
1tiempo que está circulando el 2º coche : t
2
1Como recorren la misma dis tancia : 85t 110(t )
2
85t 110t 55 t 2,2 h 2 h y 0,2h 2h y 12 min
Dis tancia a Málaga : 85t 85.2,2 187 km
����
2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO
2 2
2
edad actual : x x 7 (x 5) x 7 x 10x 25
x 11x 18 0 D 121 4.1.18 49
18x 9
b D 11 49 11 7 2x
42a 2.1 2x 2
2
Luego, tiene 9 años porque x 2 no es una solución válida
2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO
2 2
2
edad actual : x x 16 (x 14) x 16 x 28x 196
x 29x 180 0 D 841 4.1.180 121
40x 20
b D 29 121 29 11 2x
182a 2.1 2x 9
2
Luego, tiene 20 años porque x 9 no es una solución válida
2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO
2
2
l argo : x ancho : x 8 x(x 8) 240 x 8x 240
x 8x 240 0 D 64 4.1.( 240) 1024
40x 20
b D 8 1024 8 32 2x
242a 2.1 2x 12
2
Luego, mide 20 m de largoy 12 m de ancho
Porque x 12 no es una solución válida
2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO
2
2
l argo : x ancho : x 9 x(x 9) 136 x 9x 136
x 9x 136 0 D 81 4.1.( 136) 625
34x 17
b D 9 625 9 25 2x
162a 2.1 2x 8
2
Luego, mide 17 m de l argo y 8 m de ancho
Su perímetro es 2.17 2.8 50 m
Porque x 8 no es una solución válida
2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO
2 2
2 2
2
La sup erficie de la caja es A(cartón) 4A(cuadrado)
24.18 4x 432 4x
Luego, 432 4x 143 4x 289
289 289 17x x 8,5 cm
4 4 2
2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO
a) 2(2x 3) 1.(4x 6) 4x 6 4x 6
0 0 (es una identidad)
2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO
x 4 8x 4 4x 2 2x 6 5x 6b)
5 1 10 1 2
2(x 4) 10(8x 4) 4x 2 10(2x 6) 5(5x 6)
10 10 10 10 10
2x 8 80x 40 4x 2 20x 60 25x 30
2086x 50 45x 30 41x 20 x
41
2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO
6 6x 12 6x 1c) x 3x 2
5 2
x 18 12x 3x 1 2
1 5 1 2 1
10x 2(18 12x) 30x 5 20
10 10 10 10 10
10x 36 24x 30x 5 20 4x 16 x 4
2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO
2 2
2 2
2 2
5x 5x x 1 1 2x x 1 5xd)
6 2 3 6
5x 4x 1 3(1 2x) 2x 1 5x
6 6 6 6
35x 4x 1 3 6x 2x 1 5x 8x 3 x
8
2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO
2 2 2a) 3x 15x 2x 6x 3x 9 77 5x 24x 68 0
D 576 4.5.( 68) 1936
68 34x
b D 24 1936 24 44 10 5x
202a 2.5 10x 2
10
2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO
2 2
2 2 2
b) 6x 2x 9x 3 (x 2x 3x 6) 6x
6x 2x 9x 3 x 2x 3x 6 6x 5x 18x 9 0
D 324 4.5.9 144
30x 3
b D 18 144 18 12 10x
6 32a 2.5 10x
10 5
2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO
2 2
2 2 2
c) 2(x 4x 4) (4x 25) 4x 1
2x 8x 8 4x 25 4x 1 2x 12x 32 0
D 144 4.( 2).32 400
32x 8
b D 12 400 12 20 4x
82a 2.( 2) 4x 2
4
2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO
2 2 2 2d) 2x 10x 3x 2x 3x 8 8x 12x 8 0
D 144 4.( 8).8 400
8 1x
b D 12 400 12 20 16 2x
322a 2.( 8) 16x 2
16
2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO
2 2 20a) 2x 10x 3x 15 2x 6x 5 13x 20 x
13
2 2b) 4x 4x 1 (4x 4x 1) 16 8x 16 x 2
2 2
2 2
2(x 1) 2x 2x 6( x 5)c)
6 6 6
2x 2 2x 2x 6x 30 8x 32 x 4
2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO
2 2 2
2 2 2
3(4x 16x 16) 8x 24x 4x 8xc)
3 3 3
48 312x 48x 48 8x 24x 4x 8x 64x 48 x
64 4
2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO
x 0a) x(2x 8) 0
x 4
x 0b) x( x 15) 0
x 15
2 48c) x 16 x 4
3
2 20d) x 4 x 2
5
2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO
2
2
l argo : x 4 ancho : x x(x 4) 480 x 4x 480
x 4x 480 0 D 16 4.1.( 480) 1936
40x 20
b D 4 1936 4 44 2x
482a 2.1 2x 24
2
Luego, mide 20 cm de ancho y 24 cm de l argo
Su perímetro es 2.20 2.24 88 cm
Porque x 24 no es una solución v
álida
2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO
2x 4x x 7x1er mes : 2x 2º mes : 4x 3er mes :x 4º mes :
4 4
7x 7x 35x 4 . 3,52x 4x x 3,5 7x 3,5 3,5 x 0,4
4 4 4 35
Luego, 1er mes : 2x 2.0,4 0,8 km 800 m
2º mes : 4x 4.0,4 1,6 km 1600 m
7x 7.0,43er mes :x 0,4 km 400 m 4º mes : 0,7 km 700 m
4 4
2.- ECUACIONES DE PRIMER Y 2º GRADO
2 2
l ado mayor : 2x 2
lado menor : x
(2x 2) 3 x 3 x 4
A(cuadrado) 4 16 cm
3.- ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR
x 0a)
x 3 0 x 3
x 1 0 x 1
x 4 0 x 4b)
x 2 0 x 2
x 3 0 x 3
3.- ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR
3 2
2
2
1 1 36 36
a) x(x x 36x 36) 0 1 1 0 36
1 0 36 0
x 0
x(x 1)(x 36) 0 x 1 0 x 1
x 36 0 x 6
3.- ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR
2
2 22
x 0 x 0b) x (3x 48) 0 48
x 16 x 43
3 2 2
2
1 5 7 3
c) x(x 5x 7x 3) 0 1 1 4 3 x(x 1)(x 4x 3) 0
1 4 3 0
x 0, x 1 0 x 1, x 4x 3 0 x 1, x 3
3.- ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR
3 2
2
2
1 2 5 6
d) x(x 2x 5x 6) 0 1 1 1 6
1 1 6 0
x(x 1)(x x 6) 0
x 0, x 1 0 x 1, x x 6 0 x 2, x 3
3.- ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR
2 3 2
3 2
2
V(caja) largo . ancho . alto (24 2x)(18 2x)x 640 (432 84x 4x )x 640 4x 84x 432x 640 0
1 21 108 160
Simplificando entre 4 x 21x 108x 160 0 4 4 68 160
1 17 40 0
x 4
(x 4)(x 17x 40) 0 x 14,2 (imposible)
x 2,8
3.- ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR
2
2
1 2 1 2
a) 1 1 1 2 (x 1)(x x 2) 0
1 1 2 0
x 1 0 x 1, x x 2 0 x 1, x 2
3.- ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR
3 2
2
2
1 7 1 7
b) x(x 7x x 7) 0 1 1 8 7
1 8 7 0
x(x 1)(x 8x 7) 0
x 0, x 1 0 x 1, x 8x 7 0 x 1, x 7
3.- ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR
3 2
2
2
2 3 11 6
c) x(2x 3x 11x 6) 0 2 4 14 6
2 7 3 0
x(x 2)(2x 7x 3) 0
1x 0, x 2 0 x 2, 2x 7x 3 0 x , x 3
2
4.- SISTEMAS DE ECUACIONES
b) Sumando las ecuaciones : 2x 10 x 5
c) Sumando las ecuaciones : 2y 8 y 4 d) 3x 5y 80
a) Incompatible
e) x 5, y 2 f) ninguna
4.- SISTEMAS DE ECUACIONES
6 8 2a) Como , se trata de un sistema
3 4 7
incompatible. Representa dos rectas paralelas
9 7b) Como , se trata de un sistema
6 11
compatible determinado. Representa dos rectas secantes
4.- SISTEMAS DE ECUACIONES
a) Por ejemplo, por sustitución. Despejamos x en la 2ª ecuación, x 6y 5,
y sustituimos en la 1ª ecuación : 5(6y 5) 4y 8 30y 25 4y 8
1 1 134y 17 y . Luego, x 6 5 2. La solución es x 2, y
2 2 2
4.- SISTEMAS DE ECUACIONES
(4x 5y 17).6 24x 30y 102b) Por ejemplo, por doble reducción :
(6x 7y 18).4 24x 28y 72
Restando las ecuaciones, 58y 174 y 3
(4x 5y 17).7 28x 35y 119
(6x 7y 18).5 30x 35y 90
Sumando las ecuaciones, 58x 29
1
x2
4.- SISTEMAS DE ECUACIONES
(3x 4y 6).2 6x 8y 12c) Por ejemplo, por doble reducción :
(2x 7y 25).3 6x 21y 75
Restando las ecuaciones, 29y 87 y 3
(3x 4y 6).7 21x 28y 42
(2x 7y 25).4 8x 28y 100
Sumando las ecuaciones, 29x 58 x 2
4.- SISTEMAS DE ECUACIONES
2 x y x 1 y 12 2x 2y 3x 6 6y12 2x 2y 3x 6 6y1 3 2 1 6 6 6 6
d)x 1 y 2 3x 6x 6 4y 8 9x6x 6 4y 8 9x
2 3 4 12 12 12
5x 8y 18 ( 5x 8y 18).3 1.Por ejemplo, por doble reducción :
3x 4y 2 ( 3x 4y 2).5
5x 24y 54
15x 20y 10
Restando las ecuaciones, 44y 44 y 1
5x 8y 18 5x 8y 18. Sumando las ecuaciones, 11x 22 x 2
( 3x 4y 2).2 6x 8y 4
4.- SISTEMAS DE ECUACIONES
precio de un bocadillo : x 2x 2y 4,20
precio de un refresco : y x 3y 4,50
2x 2y 4,20 2x 2y 4,20Por reducción :
(x 3y 4,50).2 2x 6y 9
Restando las ecuaciones, 4y 4,8 y 1,2
Sustituyendo en la 2ª ecuación : x 3.1,2 4,50
x 0,9
Luego, el bocadillo cuesta 0,90 € y el refresco 1,20 €
4.- SISTEMAS DE ECUACIONES
nº de monedas de Juan : x x 2 y 2 x y 4
nº de monedas de Roberto : y y 4 4(x 4) 4x y 20
Por reducción, sumando las ecuaciones, 3x 24 x 8
Sustituyendo en la 1ª ecuación : 8 y 4 y 12
Luego, Juan tiene 8 monedas y Roberto 12
4.- SISTEMAS DE ECUACIONES
nº de gallinas : x x y 20 x y 20
nº de conejos : y 2x 4y 52 x 2y 26
Por reducción, restando las ecuaciones, y 6 y 6
Sustituyendo en la 1ª ecuación : x 6 20 x 14
Luego, hay 14 gallinas y 6 conejos
4.- SISTEMAS DE ECUACIONES
edad actual de Luis : x x 8 7(y 8) x 7y 48
edad actual de Lucía : y x 12 2(y 12) x 2y 12
Por reducción, restando las ecuaciones, 5y 60 y 12
Sustituyendo en la 1ª ecuación : x 7.12 48 x 36
Luego, Luis tiene 36 años y Lucía 12
4.- SISTEMAS DE ECUACIONES
nº de pizzas "margarita" : x x y 45
nº de pizzas "cuatro quesos" : y 4x 6y 226
(x y 45).4 4x 4y 180Por reducción :
4x 6y 226 4x 6y 226
Restando las ecuaciones, 2y 46 y 23
Sustituyendo en la 1ª ecuación : x 23 45 x 22
Lu
ego, vendió 22 pizzas "margarita" y 23 pizzas "cuatro quesos"
4.- SISTEMAS DE ECUACIONES
. 10
nº de kg de té de Ceilán : x x y 300
nº de kg de té de la India : y 3,60x 4,80y 4,50.300
x y 300 x y 300
36x 48y 135003,60x 4,80y 1350
(x y 300).36 36x 36y 10800Por reducción :
36x 48y 13500 36x 48y 13500
Restando las ecuaciones, 12y 2700 y 225
Sustituyendo en la 1ª ecuación : x 225 300 x 75
Luego, hay que mezclar 75 kg de té de Ceilán y 225 kg de té de la India