B1 · Al aplicar el teorema de Pitágoras a este triángulo tenemos que: ... Un problema aritmético es una situación real o imaginaria planteada en forma verbal o escrita que se

B1 �

51

B1 �Resuelve problemas aritméticos y algebraicos

II. Utiliza la información de las imágenes para resolver los siguientes problemas.

1. Si el dije que tiene 40% de descuento tiene un costo de $1250 ¿cuánto se pagará por él?

2. De acuerdo con la información de la tarjeta Master Card, la tasa de interés anual por incumplimiento es de 23.99%, ¿cuál es la tasa de interés mensual?

52

B1 �B1 �3. El Sr. Carmona quiere comprar el televisor RCA de la publicidad.

a) Calcula el costo del televisor si tiene 20% de descuento.b) ¿Cuál es el costo del televisor si se compra a 12 meses?c) ¿Cuál es el interés por la compra a crédito?d) Si se paga con una tarjeta Master Card y se atrasa en tres pagos, ¿cuánto más

pagará el Sr. Carmona con respecto al precio a crédito? e) ¿Y con respecto al precio de lista?

4. De acuerdo con el Anexo Estadístico del INEGI: a) ¿Cuántas mujeres vivían en Estados Unidos en 2000? b) ¿Cuántos hombres en Japón? c) ¿Cuántas mujeres en África? d) ¿Qué porcentaje del total de la población vivía en Canadá?

Se tratará el tema del porcentaje con más detalle en el siguiente bloque.

Consideremos un segmento de la recta numérica y dibujemos un triángulo rectángulo, de lado una unidad con un vértice en el número 0 y un cateto1 sobre dicho segmento. Ahora, con centro en 0 y radio en la hipotenusa del triángulo, trazamos un arco hasta el segmento de recta y marcamos el punto de corte; ¿cuál es la longitud desde 0 a este punto?

Al aplicar el teorema de Pitágoras a este triángulo tenemos que:

1 Recuerda que en un triángulo rectángulo el lado mayor recibe el nombre de hipotenusa y los lados menores catetos.

NÚMEROS IRRACIONALES

B1 �

53


Actividad

OP2 2 21 1 2= + = donde la longitud es un número tal que elevado al cuadrado

su resultado sea 2, es decir, OP = 2

Éste es un número irracional, no puede representarse como un número racional pues no existe ninguna fracción simple cuya expresión decimal sea igual a 2.Todos estos números, junto con los enteros negativos que analizaremos más adelante, forman el conjunto de los números reales.

Problemas aritméticos y jerarquía de operaciones.

Realiza las operaciones necesarias y simplifica el resultado en cada problema

1. En la clase de Matemáticas, el maestro preguntó: “cuánto es la mitad de dos más uno. Caro respondió que 1.5; Rosa dijo que el resultado es 2. ¿Quién tiene razón? Justifica tu respuesta.

2. El señor Suárez compró un terreno trapezoidal como el que se muestra en la figura y lo quiere cercar y empastar para trazar ahí un campo de futbol. Si el metro lineal de malla para cercarlo cuesta $60 y la semilla de pasto para cubrir un metro cuadrado cuesta $1.5, ¿cuánto tendrá que pagar el Sr. Suárez?

3. Luisa aprovecha las ofertas de fin de temporada de una boutique y compra una blusa que cuesta $250 pero que tiene 25% de descuento; un pantalón de $475 con 30% de descuento y unos zapatos tenis de $1250 que tienen 60% de descuento. a) ¿Cuánto pagó Luisa por su compra? b)¿Cuánto dinero ahorró?

54

B1 �B1 �4. Realiza las operaciones necesarias y simplifica el resultado.

( ) ( )( )( )

( )2 5

6 643 4

3 279

34 3

- + =

5. Observa la siguiente gráfica que representa la distancia recorrida por un automovilista que fue de compras a un pueblo vecino, con relación al tiempo.

a) ¿Qué distancia recorrió durante la primera hora?b) ¿Y durante la segunda?c) ¿A qué distancia de su casa estaba el lugar donde realizó sus compras?d) ¿Cuánto tiempo empleó para hacerlo?e) ¿Qué hizo el automovilista durante la última hora y media?f) ¿Cuál fue su rapidez durante la primera hora?, ¿y durante la segunda?g) ¿Con qué rapidez volvió a su casa?

Las operaciones aritméticas las utilizamos para resolver un cierto tipo de problemas relacionados con los números, es decir, problemas aritméticos.

Un problema aritmético es una situación real o imaginaria planteada en forma verbal o escrita que se resuelve mediante la realización de algunas de las operaciones básicas.

En la resolución de problemas aritméticos es indispensable comprender la

JERARQUÍA DE OPERACIONES

B1 �

55


situación planteada y así establecer el orden en que se realicen las operaciones.

Analicemos el problema 1 de la actividad anterior. ¿Cuánto es la mitad de dos más uno?

Las respuestas dadas por Caro y Rosa tienen cierta lógica.

Caro la entendió así: ( )

.2 1

21 5

+ =

pero Rosa lo entendió así: 2

21 2+ =

De acuerdo con la jerarquía de operaciones, Rosa está en lo correcto pues la división tiene prioridad sobre la suma.

En general, el orden de las operaciones es el siguiente:

Si aparecen operaciones combinadas de suma, resta, multiplicación, división, potenciación o radicación, el orden en que deben realizarse es:

• Potenciación y radicación, en el orden que aparezcan• Multiplicación y división, en el orden que aparezcan• Al final, las sumas y las restas

En muchas ocasiones es necesario colocar las operaciones dentro de símbolos de agrupación: ( ), [ ], o { }.

Si aparecen símbolos de agrupación anidados (uno dentro de otro), primero se realizan las operaciones dentro de éstos respetando el orden indicado y empezando por el símbolo más interno.

Así, el costo del cercado y del empastado del problema 2 es

60 150 90 200 80 1 5200 150 75

260 520 1 5

35( ) .

( )( )( ) .

(+ + + +

+

= +

00 752

31 200 1 5 13125 31 200 19687 5

)( )

, . ( ) , .

= + = + = 50,887.500

(primero las operaciones dentro de los paréntesis, después las operaciones dentro de los corchetes, y al final, la suma).

La solución del problema 4 es:

( ) ( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( )( )2 5

6 643 4

3 279

8 56 83 4

81 39

34 3

- + = - +

(primero las potencias y las raíces)

56

B1 �B1 �

Actividad

= - + = - +404812

2439

40 4 27

(después las multiplicaciones y las divisiones)

40 4 27 63- + =

(al final, las sumas y las restas)

Ejemplo

Resuelve las operaciones indicadas.

8 + 2{16 – 4[18 – 3(2 + 3)]}8 + 2{16 – 4[18 – 3(2 + 3)]} = 8 + 2{16 – 4[18 – 3(5)]}

= 8 + 2{16 – 4[18 – 15]} = 8 + 2{16 – 4[3]} = 8 + 2{16 – 12} = 8 + 2{4} = 8 + 8 = 16

1. 5 3 12 8+ -( )= 5. 25 3 2 2 5 2 5 3− + − −( ) { }=

2. 18 3 4 2- -( )= 6. 12 5 3 4 18 3 12 7+ + − −( ) { }=

3. 6 5 20 2 3 4+ − +( ) = 7. 9 3 18 2 10 6 5 20 3 12 2 10 8+ − −( ) { }+ − − −( ) { }=

4. 65 2 8 3 12 5− + −( ) = 8. 6 26 4 15 3 12 9 3 40 3 16 2 15 8− − −( ) { }− − − −( ) { }

B1 �

57


Un modelo matemático es la representación de un fenómeno o suceso mediante un esquema, una ecuación o fórmula, una expresión algebraica o un diagrama.

La fórmula que utilizas para calcular el perímetro de un cuadrado (P = 4l), la

superficie de un círculo (A = πr2) o un trapecio ( AB b h= +( )

2 ), o el volumen

de un cilindro (V = πr2h), así como la fórmula para calcular la rapidez

constante o promedio de un móvil ( vdt

= ) son ejemplos de modelos

matemáticos. El esquema para resolver el problema 2 de la actividad anterior,

60 150 90 200 80 1 5200 150 75

2( ) .

( )( )+ + + +

+

, también representa un modelo

matemático.

Otro tipo de modelo matemático importante es el de las gráficas; por ejemplo, la gráfica del problema 5 de la segunda actividad nos permite describir lo que hizo un automovilista durante 6 horas. En la primera hora recorrió 50 km y en la segunda,150 de tal manera que el conductor se alejó 200 km del punto

de partida. Estuvo detenido (realizó sus compras) durante 2 12 h y después

regresó al punto de partida.

Desde que salió hasta que se detuvo condujo con una rapidez media de 100 km/h y regresó a su casa

con una rapidez media de 133 13

km/h.

PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y MODELOS MATEMÁTICOS

58

B1 �B1 �

El lenguaje algebraico es el lenguaje que utiliza letras, números y signos para expresar situaciones del lenguaje común en lenguaje matemático.

En el lenguaje algebraico, las literales representan valores numéricos y por lo tanto se operan como tales y tienen todas las propiedades de los números. Las fórmulas que se utilizan en Geometría o Física son ejemplos de lenguaje algebraico, una especie de traducción de lenguaje común a lenguaje matemático. Así pues, en la fórmula del perímetro de un cuadrado:

P = 4L

entendemos: “el perímetro de un cuadrado es el cuádruple de su lado”; o en el caso del área de un triángulo,

Abxh

=2

entendemos: “el área de un triángulo es la mitad del producto de su base y su altura”.

El lenguaje algebraico se basa en la represetación de expresiones comunes por medio de expresiones algebraicas.

Una expresión algebraica2 es la combinación de números y letras relacionadas mediante las operaciones aritméticas básicas.

Las literales que aparecen en ellas se llaman variables y representan números reales en general.

En el planteamiento de modelos para la resolución de problemas algebraicos

2 Más adelante se hará un análisis más profundo de las características generales de las expresiones algebraicas.

LENGUAJE ALGEBRAICO

B1 �

59


es necesario conocer la equivalencia entre el lenguaje verbal cotidiano y el lenguaje algebraico. Para esto, considera el siguiente listado de palabras con su respectivo significado algebraico, el cual es indispensable aprender para su posterior aplicación, especialmente en el planteamiento de problemas verbales.

Operación Operador

Suma, más, adición, agregar, aumentar, añadir+

Menos, diferencia, disminuido, exceso, restar -

Múltiplo de, del, veces, producto, por, factor •, ()(), /, ¸

Dividir, cociente, razón, es a / ¸

Igual, es, da, resulta, se obtiene, equivale a =

EnunciadoExpresión algebraica

Un número cualquiera x

Antecesor de un número cualquiera x-1

Sucesor de un número cualquiera x + 1

Cuadrado de un número cualquiera x2

Cubo de un número cualquiera x3

Doble de un número, duplo, dos veces, número par, múltiplo de 2

2x

Triple de un número, triplo, 3 veces, múltiplo de 3 3x

Cuádruplo de un número 4x

Quíntuplo 5x

Mitad de un número, un medio de12 2

x ox

Tercera parte de un número, un tercio de13 3

x ox

Número impar cualquiera 2x+1 o 2x - 1

Semi-suma de dos númerosx y+

2

Semi-diferencia de dos númerosx y-

2

60

B1 �B1 �

Actividad

Números consecutivos cualesquiera x, x+1, x+2,.....

Números pares consecutivos 2x, 2x+2, 2x+4,....

Números impares consecutivos 2x+1, 2x+3, 2x+5, …

Número cualquiera de dos dígitos 10x + y

Simétrico de un número cualquiera -x

Inverso multiplicativo (recíproco) de un número diferente de cero cualquiera

10

xx, ¹

La suma de dos números es igual al doble de su diferencia

x + y = 2(x - y)

Es importante resaltar que en la expresión algebraica x, el coeficiente y el exponente son 1, por lo cual no se ponen; es decir:

x=1x1

1. Completa la siguiente tabla al colocar la expresión algebraica que corresponda al enunciado.

Un número aumentado en 5 unidades

Un número disminuido en 10 unidades

La suma de dos números consecutivos

El producto de 3 números cualesquiera

La suma de los cuadrados de dos números cualesquiera

La semidiferencia de dos números cualesquiera

El cuadrado del doble de un número

El cociente del cuadrado de un número

La mitad del triple de un número

El cuadrado de la suma de dos números cualesquiera

La raíz cuadrada del cociente de dos números

El semiproducto del triple de un número y su cuadrado

La semisuma de los cuadrados de tres números consecutivos

La quinta parte del cuadrados de un número

B1 �

61


2. Expresa en lenguaje común las siguientes expresiones algebraicas.

5ax + 9

(x + y)3

a b+

13

xy

14

a b+( )

x yx y+−

2x – 5

Las fórmulas mencionadas anteriormente, además de representar modelos matemáticos, forman un caso particular de ecuaciones donde la variable a calcular aparece explícitamente en función de una expresión algebraica que, a su vez, depende de las demás variables relacionadas. Es decir, en la fórmula del perímetro de un cuadrado:

P = 4L

la fórmula indica que el valor del perímetro depende del valor de la longitud de su lado; o bien, la fórmula de la velocidad:

vdt

= indica que ésta depende de la distancia recorrida (d) y del tiempo utilizado para ello.

VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA

62

B1 �B1 �Cuando asignamos valores particulares a las variables de una expresión algebraica, obtenemos su valor numérico:

Valor numérico de una expresión algebraica es el resultado que se obtiene al reemplazar o sustituir en ellas las variables presentes por valores numéricos previamente determinados.

Ejemplo

Completa la siguiente tabla determinando el valor numérico de las expresiones indicadas.

Expresión Valor de las variables Sustituciones y operaciones Resultado

2(a + b) a = 2, b = 6 2(2+6) = 2(8) = 16 16

3 2a bc+ a = 3, b = 3

c = 53 3 2 3

59 6

5155

3( ) ( )+ = + = =

3

5 3 2x y za b+ --

a =5, b = 2x= 2, y = -2z = - 3

5 2 3 2 2 35 2

10 6 63

103

3 13

( ) ( ) ( )+ - - --

= - + = =3 1

3

- + -b b aca

2 42

a = 4, b = -12c = -16 - - + - - - = + +

= + = + =

( ) ( ) ( )( )( )

12 12 4 4 162 4

12 144 2568

12 4008

12 208

328

2

== 4

4

vtat

+2

2

v = 20, a = -4t = 5

20 54 5

2100

4 252

100 50 502

( )( )( ) ( )(+ - = + - = - =

50

Completa las siguientes tablas con los valores de la expresión algebraica dada.

1. Verónica fue de vacaciones al rancho de su tío, quien va a parcelar parte de su terreno para el cultivo de diversas hortalizas y quiere saber cuántos metros de tela ciclónica debe comprar. Verónica hizo la siguiente tabla para ayudar a su tío a calcular la longitud de la tela. Completa la tabla y responde lo que se te pide.

Actividad

B1 �

63


Hortaliza a b Perímetro P = 2a + 2b (m) Área A = ab (m2)

Lechuga 25 30 2(25) + 2(30) = 50 + 60 = 110 (25)(30) = 750

Pepino 30 40

Zanahoria 25 25

Cilantro 40 30

Perejil 40 20

Tomate 50 40

Chile 55 45

a) ¿Cuánta tela debe comprar?______________________________________________ b) ¿Para cuál hortaliza utilizará más tela?_____________________________________c) ¿Cuál hortaliza ocupará mayor superficie?___________________________________

2. Calcula el perímetro y el área de los trapecios cuyas medidas son las indicadas.

Trapecio a b c d h Perímetro a + b + c + d Área a bh

+2

1. 8 12 6 6 4 8 + 12 + 6 + 6 = 32 8 122

4202

4 10 4 40+ = = =( )

2. 6 8 5 7 5

3. 10 7 4 6 3

4. 8 16 7 7 4

5. 11 5 6 6 4

6. 6 7 3 8 3

7. 15 10 6 7 5

8. 10 2 5 5 3

9. 20 10 8 8 5

10. 10 4 5 5 4

3. Calcula el valor de las siguientes expresiones algebraicas para los valores de las variables indicados.

x y z 2x+3y x yz

2 2+ 25

x zy

+

(x+y+z)2

1. 4 3 8 2(4) + 3(3) = 8+9 =17

42 32

8

16 9

8

25

8

+=

+=

2 4 8

5

8 8

5

16

5

( )

+=

+=

(4 – 3 + 8)2 = (9)2 = 81

2. 3 4 8

3. 8 3 4

64

B1 �B1 �4. 3 8 4

5. 8 4 3

6. 4 8 3

7. 5 3 2

8. 3 2 5

9. 5 8 1

10. 5 0 3

1. El número 195 se ha obtenido al multiplicar dos números impares consecutivos. ¿Qué par de números se ha multiplicado?

2. La suma de los cuadrados de los 5 primeros enteros positivos es 55. ¿Cuál es la suma de los cuadrados de los 4 primeros enteros positivos?

3. La suma de los cuadrados de los 20 primeros enteros positivos es 2,870. ¿Cuál es la suma de los cuadrados de los 19 primeros enteros positivos?

4. ¿Cuál será el cociente de dividir el número que resulta del producto 27 x 31 x 35 x 39 x 43 entre el que resulta del producto 43 x 39 x 35 x 31 x 3?

5. A Dani le dijeron que multiplicara un número por 5 y, por error, lo que hizo fue dividirlo por 5. La respuesta que dio fue 5. ¿Qué respuesta debería haber dado si hubiera hecho lo que le dijeron?

6. Al repartir cierta cantidad de caramelos entre 18 niños, a cada uno le tocaron 12. Si hubiera habido 6 niños menos, ¿cuántos caramelos habría recibido cada uno?

7. ¿Cuál es el mayor número que, siendo menor de 2468, es divisor de 2468?

8. En un test de 50 cuestiones, se puntúa 5 puntos por cada respuesta correcta, 2 puntos por cada respuesta en blanco y 0 puntos por cada respuesta errónea. Si Eva contestó 40 cuestiones de las cuales 18 eran correctas, ¿cuál fue su puntuación?

9. Si multiplicáramos los 9 primeros números naturales, ¿cuál sería la última cifra del resultado?

10. Si multiplicáramos todos los números enteros desde el 23211 al 23219, ¿cuál sería la última cifra del resultado?

Actividad

B1 �

65


Autoevaluación

1. Es un número primo:

a) 21 b) 33 c) 43 d) 65 e) 772. No es un número primo:

a) 17 b) 23 c) 79 d) 77 e) 29

3. Es un número no divisible por 3:

a) 122 b) 123 c) 369 d) 174 e) 255

4. Es un número divisible por 3:

a) 134 b) 321 c) 458 d) 784 e) 146

5. Representa la factorización de 210:

a) 2×3×5×7 b) 22×3×5 c) 32×5×7 d) 3×52×7 e) 2×3×5×11

6. El máximo común divisor de 36, 80 y 120 es:

a) 8 b) 9 c) 4 d) 12 e) 36

7. El mínimo común múltiplo de 45, 120 y 150 es:

a) 1800 b) 3600 c) 1500 d) 1200 e) 36580

8. La representación decimal de 2536

es:

a) 0.785 b) 1.44 c) 0.694 e) 1 44. d) 1.694

9. La fracción simple equivalente a 72288

es:

a) 1/6 b) 1/4 c) 4 d) 2 e)1/2

10. Es la fracción mixta de 12511

a) 101125 b) 9 9

25 c) 12711 d) 4 7

11 e) 11411

11. Una fracción mayor a 67

es:

a) 1/2 b) 1/4 c) 9/12 d) 12/13 e) 16/22

12. El 24% de 4000 es:

a) 1200 b) 960 c) 720 d) 480 e) 1800

13. Una camisa tiene un precio de venta de $240 pero por fin de temporada tiene un 25% de descuento. El precio que se paga es:

a) 300 b) c) 200 d) 180 e) 120

4. 3 8 4

5. 8 4 3

6. 4 8 3

7. 5 3 2

8. 3 2 5

9. 5 8 1

10. 5 0 3

1. El número 195 se ha obtenido al multiplicar dos números impares consecutivos. ¿Qué par de números se ha multiplicado?

2. La suma de los cuadrados de los 5 primeros enteros positivos es 55. ¿Cuál es la suma de los cuadrados de los 4 primeros enteros positivos?

3. La suma de los cuadrados de los 20 primeros enteros positivos es 2,870. ¿Cuál es la suma de los cuadrados de los 19 primeros enteros positivos?

4. ¿Cuál será el cociente de dividir el número que resulta del producto 27 x 31 x 35 x 39 x 43 entre el que resulta del producto 43 x 39 x 35 x 31 x 3?

5. A Dani le dijeron que multiplicara un número por 5 y, por error, lo que hizo fue dividirlo por 5. La respuesta que dio fue 5. ¿Qué respuesta debería haber dado si hubiera hecho lo que le dijeron?

6. Al repartir cierta cantidad de caramelos entre 18 niños, a cada uno le tocaron 12. Si hubiera habido 6 niños menos, ¿cuántos caramelos habría recibido cada uno?

7. ¿Cuál es el mayor número que, siendo menor de 2468, es divisor de 2468?

8. En un test de 50 cuestiones, se puntúa 5 puntos por cada respuesta correcta, 2 puntos por cada respuesta en blanco y 0 puntos por cada respuesta errónea. Si Eva contestó 40 cuestiones de las cuales 18 eran correctas, ¿cuál fue su puntuación?

9. Si multiplicáramos los 9 primeros números naturales, ¿cuál sería la última cifra del resultado?

10. Si multiplicáramos todos los números enteros desde el 23211 al 23219, ¿cuál sería la última cifra del resultado?

66

B1 �B1 �14. Representa a un número irracional:

a) 13 b) 36 c) 9 d) 1 e) 64

15. El resultado de 3 25 64

43 24 2

43 3

3( )( )( )( )

+ -+

es

a) 60 b) 59 c) 58 d) 57 e) 56

16. El resultado de es 12 2 4 16 3 8 5+ − −( ) { }a) 48 b) 68 c) 212 d) 552 e) 60

17. La expresión algebraica determinada por el enunciado “el cociente de la suma de dos números y su diferencia” es:

a) ( )( )a b a b+ - b) a ba b-+

c) a ba b+-

d) aba b-

e) a bab+

18. El significado de la expresión 3x2 +5 es:

a) El triple del cuadrado de un número aumentado en 5 unidades

b) El cuadrado del triple de un número aumentado en 5 unidades

c) El triple de la suma del cuadrado de un número aumentado en 5 unidades

d) El triple de la suma de un número aumentado en cinco unidades

e) Ninguna de las anteriores

19. El valor numérico de la expresión b b aca

+ -2 42

cuando a = 3, b = 10 y c = 3 es

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4e) 0

20. El valor numérico de la expresión vtgt

+2

2 cuando v = 20, g = 10, t = 8 es:

a) 160 b) 480 c) 320 d) 240 e) 640

Rubén, un estudiante mexicano que vive en Singapur, se estaba preparando para viajar al mundial de Sudáfrica y permanecer ahí durante tres meses como participante en un intercambio estudiantil. Necesitó cambiar dólares de Singapur (SGD) a rands de Sudáfrica (ZAR).a) Rubén encontró que el tipo de cambio entre los dólares de Singapur y los rands de

Sudáfrica era: 1 SGD = 4.2 ZAR.

Evaluación formativa

B1 �

67


Rubén cambió 3,000 dólares de Singapur a rands sudafricanos a este tipo de cambio. ¿Cuánto dinero en rands sudafricanos recibió?

Respuesta:...................................................

b) Al regresar a Singapur después de 3 meses, Rubén tenía 3,900 ZAR. Los cambió de nuevo a dólares de Singapur y se dio cuenta de que había un nuevo tipo de cambio: 1 SGD = 4.0 ZAR. ¿Cuánto dinero en dólares de Singapur recibió Rubén?

Respuesta:...................................................

c) Durante estos 3 meses, el tipo de cambio pasó de 4.2 a 4.0 ZAR por SGD. ¿Resultó a favor de Rubén que el tipo de cambio actual fuera de 4.0 ZAR en lugar de 4.2 ZAR cuando cambió sus rands sudafricanos a dólares de Singapur? Explica tu respuesta.

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Escala de Rango

Nombre del alumno:

Escala de valoración:0 Nulo 1 Deficiente 2 Aceptable 3 Satisfactorio

Aspectos observables Sí No Estimación

Comprendió la situación

Resolvió las operaciones necesarias del problema a)

Resolvió las operaciones necesarias del problema b)

Resolvió las operaciones necesarias del problema c)

Explicó la respuesta del problema c)

Presentación de las soluciones

TOTAL:Cal

Total=

×=

1018

Observaciones:

Nombre de quien revisó:

BLO

QU

E

2 Saberes Conocimientos Habilidades Actitudes y valores� � �

SUG

EREN

CIA

DE

EVID

ENCI

AS

DE

AP

REN

DIZ

AJE

�

UN

IDA

D D

E CO

MP

ETEN

CIA

�

• Identificaformasdistintasderepresentaciónyoperacionesconnúmerosreales.

• Identificaloselementosdelossubconjuntosdenúmerosreales.

• Ubicaenlarectanumérica:númerosrealesysussimétricos,suvalorabsolutoyrelacionesdeorden.

• Reconocelaspropiedadesfundamentalesdelasoperacionesaritméticas.

• Identificaformasdistintasdecomparaciónyrelaciónentrenúmerosreales,talescomo:razones,tasas,proporcionesyvariaciones.

• Comprendeelsignificadoderazón,tasayproporción.

• Interpretalapropiedadfundamentaldelasproporciones.

• Reconocevariacionesdirectaseinversas,asícomomodelosdevariaciónproporcionaldirectaeinversa.

Utiliza magnitudes y numeros reales

BLO

QU

E

2 Saberes Conocimientos Habilidades Actitudes y valores� � �

SUG

EREN

CIA

DE

EVID

ENCI

AS

DE

AP

REN

DIZ

AJE

�U

NID

AD

DE

COM

PET

ENCI

A�Construyeeinterpretamodelos

aritméticos,algebraicosygráficosaplicandolaspropiedadesdelosnúmerosrealesyexpresionesaritméticasyalgebraicas,relacionandomagnitudesconstantesyvariables,yempleandolasliteralesparalarepresentaciónyresolucióndesituacionesy/oproblemasaritméticosyalgebraicos,concernientesasuvidacotidianayescolar,queleayudanaexplicarydescribirsurealidad.

Identificalascaracterísticaspresentesentablas,gráficas,mapas,diagramasotextos,provenientesdesituacionescotidianasylostraduceaunlenguajearitméticoy/oalgebraico.

• Operadiferentesrepresentacionesdenúmerosreales.

• Usalastecnologíasdelainformaciónylacomunicacióncomoherramientadeapoyoensutrabajo.

• Empleaexpresionesnuméricaspararepresentarrelacionesentremagnitudesconstantes.

• Utilizaexpresionesalgebraicaspararepresentarrelacionesentremagnitudesespacialesvariables.

• Asignasignificadosalasexpresionesenfuncióndelassituacionesaritméticasoalgebraicasquerepresentan.

• Realizaoperacionesconnúmerosreales,utilizandolaspropiedadesfundamentales.

• Construyehipótesisydiseñaoaplicamodelosaritméticosy/oalgebraicosconnúmerosreales.

• Emplealaspropiedadesfundamentalesdelasoperacionesaritméticasenlaresolucióndeproblemastipo.

• Utilizarazones,tasas,proporcionesyvariaciones.

• Aplicalapropiedadfundamentaldelasproporciones.

• Utilizamodelosdevariaciónproporcionaldirectaoinversa.

• Utilizalossistemasyreglasoprincipiosmedularesquesubyacenaunaseriedefenómenosqueinvolucrenalasrazones,proporcionesytasas.

• Aportapuntosdevistaconaperturayconsideralosdeotraspersonasdemanerareflexiva.

• Promueveeldiálogocomomecanismoparalasolucióndeconflictos.

• Valoralaimportanciadelosnúmerosrealesparaexpresartodotipodemagnitudes(variables,constantes,discretasocontinuas).

• Aprecialautilidaddelosmodelosmatemáticosparadescribirsituacionesdondelasmagnitudesmantienenrelacionesdevariaciónproporcional,directaoinversa.

70

B2 �B2 �

En este bloque analizaremos la estructura final de los números reales asícomolautilidaddelaspropiedadesdelasoperacionesconéstosendiversassituacionescotidianas,tantodentrodelaescuelacomofueradeella.

1.Elprimerdíadeinviernoeltermómetromarcó14ºCmientrasqueelsegundodíamarcó-6ºC.¿Cuálfueladiferenciadetemperaturasentreelprimeryelsegundodíadeinvierno?

2.Toñotenía52canicasellunesantesdeempezarajugar.Esedíaperdió14,elmartesganó22,elmiércolesperdió35yeljuevesganó13.¿Concuántascanicasterminó?,¿ganóoperdió?

3.Robertotiene2/5delaedaddesuabuelo,quientiene75años.¿CuántosañostieneRoberto?

4.Estebancompró3/4kgdetortilla, 1/2kgdecarney1/5kgdejamón.¿CuántoskgdemercancíacompróEsteban?

5.Parahacer2litrosdelimonada,Rosautiliza8limones.¿Cuántoslimonesnecesitaparahacer15litrosdelimonadaconlamismaconcentracióndelimón?

Númerosnegativos

Enunpedazode cartulinablanca trazaun segmentode rectade 10 cmde largoycolocasobreélmarcasa1cmdedistanciaunadeotra.Colocaelnúmeroceroenelpuntoinicialdelsegmento,comoseilustraenlasiguientefigura.

01 2 3 45 678 910

Colocaunespejodemásde10cmdelargoenlamarcadelcero.Observarásunaima-gencomoésta:

INTRODUCCIÓN

Evaluación diagnóstica

Actividad introductoria

B2 �

71

B2 � Utilizamagnitudesynúmerosreales

1.¿Quécaracterísticastienenlosnúmerosreflejadosenelespejo,ademásdeestarinvertidos?

2. ¿Cuántasunidadeshayentreel3yel0?¿Yentreel3reflejadoenelespejoyel0?

3.¿Cómolellamaríasalosnúmerosreflejadosenelespejo?

Comovimosenelbloqueanterior,elconjuntodenúmerosrealesestáformadopor el conjunto de números racionales (que contienen a los naturales) y elconjuntodenúmerosirracionales.

Analizaremosahoralascaracterísticasdelconjuntodenúmerosnegativos.

Números negativos

En esta actividad, los números reflejados en el espejo representan lossimétricosdelosnúmerosnaturalesqueyaconocesyseles llamanúmerosnegativos.

Sitrazamosunasolarectade20cmymarcamosenlamitadelnúmero0,aladerechalosnúmeros1al10,yalaizquierdalosnúmerosreflejadostendremosunarectacomolasiguiente:

01 2 3 45 678 91012345678910

Paraevitarverlosnúmerosalrevés,alosnúmerosreflejadoslesanteponemoselsigno(-)formandoasílosnúmerosnegativos;alosnúmerosnaturales,queyaconoces,lesllamaremosahoranúmerospositivos.

EL CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES

72

B2 �B2 �

Al conjunto de números negativos, cero y números positivos se le llamaconjunto de números enteros.

Algunasvecesalosnúmerospositivosselesanteponeelsigno(+),peronoesnecesario,puessiunnúmeronotienesigno,seentiendequeespositivo.

Gráficamente, el signo de un número representa el lugar que ocupa en larectanumérica.Losnegativosestánalaizquierdadelceroylospositivosaladerecha.

Además,nosolamentelosnúmerosenterospuedenserpositivosonegativos,tambiénlasfraccionesylosdecimales,comoindicalasiguientefigura:

Obviamente,elconjuntodenúmerosenterosesinfinitoaunqueelesquemaanteriorsólomuestreunospocosnúmeros.

Asípues,laestructuradelosnúmerosrealeseslasiguiente:

Actividad

Elconjuntodenúmerossesimbolizaconunaletra:

R :realesQ:racionalesQ’:irracionalesZ:enterosN:naturales

B2 �

73


PropiedadesdelasoperacionesconNúmerosReales.

Aurylú fue al supermercado y compró los siguientes artículos: una lata de atúnde$6.45, unpaquetedegalletasde$5.50,3 librospara colorearde$17.20 cadauno,dospaquetesdejabonesde$20.00queestabanaldosporuno,yunadornoparasusalaquecostaba$120,perocon80%dedescuentopor liquidación.Enelpasillodebotanasobservóquehabíabolsasdecacahuatesquecostaban$5.00y$6.00 ydecidiócomprar5bolsasde$6.00.Alllegaralacajaagregóunrefrescode$5.50.Alpagar,lacajerapasóprimeroelpaquetedegalletas,despuéslalatadeatúnylosdospaquetesjabones,peroelsegundonosemarcó;ellibro,elcualpasó3veces,loscacahuatesydespuéselrefrescoyeladorno,mismoquepasódosvecesporloquelacajeratuvoquecancelar.Cuandolacajeraibaapasarloscacahuates,Aurylúlepreguntócuántoeraloquedebía,puespensóqueprobablementenolealcanzaríaparatodo.

a)¿Cuántopagóporeladorno?b)¿Cuántoteníaquepagar?c)¿Cuántopagóentotal?d)¿Variaríaelpagototalsilacajerahubiesepasadoprimeroeladornooloslibros?¿Porqué?

e)¿Cuántosadornospudohabercompradoconelcostodeunosolosindescuento?f)¿Hubiesepagadomássihubieracomprado6bolsasdecacahuatesde$5.00?¿Porqué?

g)¿Sehabríaalteradoeltotalsilacajerahubierapasadotodoslosartículosenvezdehacerlasumaparcialydespuéselrestodelosartículos?

Dentro de este conjunto de números, tenemos dos operaciones básicasllamadassumaymultiplicación(oproducto),lascualestienenpropiedadestanobvias,quepasandesapercibidascuando lasutilizamos.Estas propiedadeslasanalizaremosacontinuación.

Propiedades de las operaciones con números reales

ElcasodeAurylúnospermiteanalizaralgunasdelaspropiedadesdelasumaydelproductodenúmerosreales.

OPERACIONES CON NÚMEROS REALES

Actividad

74

B2 �B2 �Sisumamosloquecuestalalatadeatúnyelpaquetedegalletas,obtenemos:

$6.45 + $5.50 = $11.95

De igualmanera, si calculamos loquecuestan los tres librosparacolorear,obtenemos:

($ 17.20)(3) = $51.60

Osicalculamoselpreciodeladorno,elcuales0.20($120.00) = $24.00

Todos estos resultados son, claramente, números reales. Estonospermitehablardela:

Propiedad de cerradura: lasumayelproductodedosnúmerosrealessonnúmerosreales;ensímbolos:sia,b R entoncesa+byabR

Porotraparte,sisólohubieracompradolalatadeatúnyelpaquetedegalletashabríapagadolacantidadde:

latadeatúnpaquetedegalletas $6.45 + $5.50 = $11.95

Obien:paquetedegalletaslatadeatún$ 5.50 + $ 6.45 = $ 11.95

Esdecir,elordenenqueserealicelasumanoalteraelresultado.

Delamismamanera,siAurylúhubieracomprado6bolsasdecacahuatesde$5.00envezdelas5 bolsasde$6.00,elcostonosehubieraalterado,pues:

(5)($ 6.00) = $ 30.00(6)($ 5.00) = $ 30.00

Estosresultadosnosconducenalasiguientepropiedad:

Propiedad conmutativa: El orden de los sumandos no afectala suma, y el orden de los factores no altera el producto. Ensímbolos:

Sia,bR ,entoncesa+b=b+ayab=ba

algunossimbolosmatemáticosson:: perteneceI:talque

$ : existe" : paratodo¹: distinto,diferente,desigual

B2 �

75


Unapropiedadimportanteeslaasociativa,lacualquedailustradacuandolacajerarealizalasumaparcialdeartículosyluegolesumaelpreciodelrestodeellos.Entonces,tenemos:

Propiedad asociativa. El orden en que se agrupen tres omás números reales para sumarse o multiplicarse no altera elresultado.Ensímbolos:Sia,b,cR ,entonces(a+b)+c=a+(b+c)=a+b+cy(ab)c=a(bc)=abc

Otrapropiedadde losnúmerosrealeses laexistenciadenúmeros llamadoselementosneutros.Enelcasodelasuma,comolosjabonesestabanaldosporuno,alpasarlosporlacajaregistradoraocurrióunprocesocomoéste:

Preciodeunpaquete oferta =Preciodeunsolopaquete $ 20.00 + $0.00 = $ 20.00

Porotraparte,sisólohubieradeseadounpaquetedejabonesindependientedelaoferta,igualmentehubierapagado

($ 20.00)(1paquete)=$ 20.00

de lo anterior, podemos observar que al sumar 0 a un número, o bien almultiplicarlopor1,elresultadonosealtera.Tenemosentonces:

Propiedad del elemento neutro. En el conjunto de númerosrealesexisteelnúmero0(llamadoelementoneutrodelasuma)quealsumarseconcualquiernúmeroreal,suresultadoesdichonúmero real; y existe el número 1 (llamado elemento neutromultiplicativo)quealmultiplicarloporcualquiernúmeroreal,dacomoresultadoesemismonúmeroreal.Ensímbolos:

∃ ∈ 0 R ,talque " aR ,a+0=ay∃ ∈ 1 R ,talque " aR ,a(1)=a

Cuandolacajerapasódosveceseladorno,tuvoquecancelarunodeellosyrealizarelsiguienteproceso:

Preciodeunadorno

Preciodeunadorno(anotadodemás)

Preciodeunadorno(corregido)

= Precio de unadorno

$24.00 + $ 24.00 - $ 24.00 =$ 24.00

76

B2 �B2 �Porotraparte,comoelcostonetodeladornorepresenta1/5partedelpreciode lista,Aurylúpodríahabercomprado5adornosconunacantidad igualalpreciodelista.

Estosresultadosnosllevanalasiguientepropiedad.

Propiedad del elemento inverso. En el conjunto de númerosreales, para todo número a, existe otro número -a (llamadoinversoaditivoosimétrico),talquesumadosentresí,seobtendráel elemento neutro aditivo (0); y para todo número real a,distinto de cero, existe otro número real (1/a, llamado inversomultiplicativoo recíproco)quemultiplicadosentre sídancomoresultadoelelementoneutromultiplicativo(1).Ensímbolos:

" aR ,$ -a R ,talquea+(-a)=0

y " aR ,a¹ 0, ∃ ∈1a

R ; talque aa

( )1

1=

Finalmente, tenemos una propiedad que relaciona ambas operaciones. SiAurylúcompra2paquetesdegalletasy3refrescos,elcostodeesosartículospuedecalcularsecomo:

$5.50(2paqsdegalletas+3refrescos)=$5.50(5)=$27.50,obien,

$5.50(2paqsdegalletas)+$5.50(3refrescos)=$11.00+ $ 16.50=$27.50

Si llamamos“a”alpreciodelartículo,“b”a lospaquetesdegalletasy“c”alpreciodeunrefresco,obtenemos

c(a+b)=ca+cb

ycomolamultiplicaciónesconmutativa,entonces:

(a+b)c=ac+bc

esdecir,obtenemoslapropiedaddistributivadelasumarespectoalproducto.

Propiedad distributiva.Elproductodeunnúmerorealporlasumadedosomásnúmerosrealesesigualalasumadelosproductosparcialesdelnúmerorealporcadaunodelossumandos.

B2 �

77


Propiedad disociativa.Enunasuma,cualquiersumandopuedeexpresarsecomolasumadeotrosdosomássumandosylasumanosealtera;esdecir,sia+b=cyb=d+eentonces:

a+b=a+d+e=c

Análogamente, enunproducto, cualquier factorpuedeexpresarse comoelproductodeotrosdosfactoresydichoproductonosealtera;esdecir,siab=cyb=ef,entoncesab=aef=c

Porejemplo,sabemosque8 + 12 = 20,pero 12 = 9 + 3,entonces:

8 + 12 = 8 + 9 + 3 = 20,esdecir,lasumanosealteró

Obien,8×12 =96,pero 12 = 4×3entonces 8×12 = 8×4×3 = 96

Paraelcasodelproducto,estapropiedadintervieneenlafactorización.

Ademásdelaspropiedadesdelasoperaciones,existenreglasgeneralesparalasdiferentesoperacionesconnúmerosreales.

Reglas para la suma de números reales

Regla1.Parasumarunconjuntodenúmerosdelmismosigno(todospositivosotodosnegativos),sesumansusvaloresnuméricosyserespetaelsignodecadaunodeellos.Silossumandossonnegativos,secolocaprimeroelsignoydespuéselresultadonumérico.

Regla 2. Para sumar2 números de signos contrarios, se restan sus valoresnuméricos (aldemayor valor le restamoseldemenor valor) y se colocaelsignodelnúmerodemayorvalor.Sielnúmerodemayorvaloresnegativo,elresultadoesnegativoysielnúmerodemayorvalorespositivo,elresultadoespositivo.

78

B2 �B2 �

Regla 3.Parasumarunconjuntodenúmerospositivosynegativos,seasocianlos números positivos y se suman; se asocian los números negativos y sesuman;alfinalserestanlosvaloresobtenidosrespetandolaregla2anterior.

Reglas para el producto y división de números reales

Paramultiplicardosnúmerosreales,primerosecolocaelsignodelproductodeacuerdoconlassiguientesreglas:

B2 �

79


1.Elproductode2númerosrealesdelmismosignoesunnúmeropositivo.

(+)(+)=(+)(-)(-)=(+)

2.Elproductode2númerosrealesdesignoscontrariosesunnúmeronegativo.

(+)(-)=(-)(-)(+)=(-)

Deéstassededucenlassiguientes:

3.Elproductodeunconjuntopardenúmerosnegativosespositivo.

4.Elproductodeunconjuntoimpardenúmerosnegativosesnegativo.

Además,unresultadoimportantees:

5.Elproductodeceroporcualquiernúmerorealescero.

(0)(r)=0(r)(0)=0

Las reglas de la división de números reales son similares a las de lamultiplicación.

1.Elcocientededosnúmerosdelmismosignoespositivo.

( )( )

( )

( )( )

( )

++= +

--= +

164

4

93

3

=

−−=

1144

11111 4

14

624

6 16 4

14

= =

--

= --

=

( )( )

( )( )

2.Elcocientededosnúmerosdesignoscontrariosesnegativo.

80

B2 �B2 � ( )

( )( )

( )( )

( )

+-= -

-+= -

24

38

204

5

-=-

- =-

530

5 15 6

16

2436

12 212 3

23

-( )

- ( )-

- - ( )( )

-

= =

= =

3.Elcocientedeunacantidadn,distintadecero,entresímismaes1.

nn

n= ≠1 0, 55

88

2020

15

65

6=−−= = =

4.Elcocientedeunacantidadn,distintadecero,entre1esesamismacantidad.

nn

1=

41

4121

121

15

8= = =,-

- ,

5.Elcocientedeceroporcualquiernúmerondistintodeceroescero.

,n n0 0 0 != 0

507

08

90=

-= =

6.Elcocientedecualquiernúmeroyceronosepuederealizar,noestádefinido.n

0 nosepuederealizar

50

90 0

15, ,

-nosepuederealizar

Lasreglasparalamultiplicacióndenúmerosrealessonelfundamentoparalasreglasdepotenciacióndenúmerosreales:

1.Todonúmeropositivoelevadoacualquierexponenteespositivo.

(+)n=(+)(4)3 = 64 (2)8 = 256

2.Todonúmeronegativoelevadoaexponenteparespositivo.

(-)n=(+),npar(-3)4= (-3)(-3)(-3)(-3) = 81

3.Todonúmeronegativoelevadoaexponenteimparesnegativo.

(-)n=(-),nimpar(-2)5 = (-2)(-2)(-2)(-2)(-2) = -32

Además, la potenciación satisface ciertas reglas llamadas leyes de losexponentes.

¿Porquénosepuededividirentrecero?

B2 �

81


Regla Ejemplo

1 ( )( )a a an m n m= + ( )( )2 2 2 1283 4 7= =

2 ( )a an m nm= ( )( )3 3 3 65612 4 8= =

3 ( )ab a bn n n= ( )( ) ( )( ) ( )( )3 5 3 5 9 25 2252 2 2[ ] = = =

4 ab

ab

n n

n

=

25

25

8125

3 3

3

= =

5 aa

an

mn m= −

55

55

32=

77

74

40=

22

26

93= −

6 a0 1= 77

1 74

40= =

7 aa

nn

− =1 2

12

33

− =

Ejemplos

1. Utiliza las propiedades de los exponentes para simplificar las siguientes expresiones:

a) ( )( )( )( )2 32 3

6 4

5 2b) 2592

648c) 1350

500

Solución:a)Alaplicarlaspropiedadesdelosexponentes,observamosquealdividirpotencias

delamismabase,losexponentesserestan;alexponentedeldividendoselerestaelexponentedeldivisor,yporlotanto:

( )( )( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )2 32 3

2 3 2 3 2 9 186 4

5 26 5 4 2 1 2= = = =- -

b)Aldescomponerelnumeradoryeldenominadorenfactoresprimostenemos:

2592648

2 32 3

5 4

3 4=( )( )( )( )

Yalaplicarlaspropiedadesdelosexponentestenemos: 2592

6482 32 3

2 3 4 1 45 4

3 42 0= = = =

( )( )( )( )

( )( ) ( )( )

Observaqueseaplicólapropiedaddelosexponentesa0=1Esto es una aplicación de la propiedad de los números reales que indica que toda

cantidaddivididaentresímisma(33

4

4 )eslaunidad.

Tabla. Propiedades de los exponentes

82

B2 �B2 �c)Aldescomponerelnumeradoryeldenominadorenfactoresprimostenemos:

1350500

2 52 5

4

2 3=( )( )( )( )

Yalaplicarpropiedadesdelosexponentestenemos:

1350500

2 52 5

2 552

4

2 31 1= = =-( )( )

( )( )( )( )

Observaqueahoraseaplicólapropiedad a an

n- = 1

Si analizamos los ejemplos anteriores notamos que al dividir potencias dela misma base, restamos el exponente menor del exponente mayor; si elexponentemayor está en el numerador, la base queda en el numerador; ysielexponentemayorestáeneldenominador, labasetambiénquedaeneldenominador.Además,observamosquesilosexponentesdelamismabasesoniguales,seeliminanlaspotencias.

Ejemplo:

( )( )( )( )( )( )

( )( )( )( )

2 3 52 3 5

2 52 5

52

258

5 8 6

8 8 4

5 6

8 4

2

3= = = Puesto que el exponente de 3 es el mismo en elnumerador y en el denominador, dichas potencias

se eliminan; comoel exponentede2 esmayor en el denominador, la potencia de 2 resultante queda en el denominador; y como el exponente de5 esmayor en elnumerador,lapotenciade5resultantequedaenelnumerador.

Por sus características, las operaciones con números racionales tienen supropioapartado.

Suma y resta de números racionales

Para sumar o restar dos o más fracciones debe observarse primero losdenominadoresdecadaunadeellas.Si son iguales, solamentesesumanorestanlosnumeradores.

OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES

B2 �

83


Silosdenominadoressondistintos,entonceshayqueexpresarlasfraccionesentérminosdeundenominadorcomún.ParaestohayquecalcularelMínimoComúnMúltiplodelosdenominadores.Sieldenominadormayoresdivisibleentre los otros denominadores, éste es elMínimoComúnMúltiplo y por lotanto,elcomúndenominador.

Sieldenominadormayornoesdivisibleentrealgunodelosdenominadoresentoncescalculamoselmínimocomúnmúltiplodeellos.

84

B2 �B2 �Parasumarorestarunnúmeroenteroconunnúmeroracional,semultiplicaelnúmeroenteroporeldenominadordelnúmeroracionalyalresultadoselesumaorestaelnumerador,yseconservaeldenominadordelnúmeroracional.

283

6 83

143

4 23+ =

+= =

Multiplicación y división de números racionales

Paramultiplicarnúmerosracionalesprimerosemultiplicanlossignosydespuéslosnúmeros.Elnumeradordelresultadoeselproductodelosnumeradores,yeldenominadoreselproductodelosdenominadores.

Siesposiblesesimplificaelresultado.

En ocasiones, el producto de dos omás fracciones arroja valores altos delnumerador, del denominador o de ambos, y la simplificación se puedecomplicar.Porloanterior,tesugerimosqueenvezderealizardirectamenteel producto, primero factorices el numerador y el denominador, y cancelesfactorescomunes;asísólomultiplicaslosfactoresquenosecancelan,comosemuestraenelsiguienteesquema:

Paramultiplicarunnúmeroracionalporunnúmeroentero,hayqueconvertirelenteroafracciónaparentecondenominador1 yseprocedecomoen losejemplosanteriores,aunqueresultamásdirectosólomultiplicarelnumeradorporelnúmeroentero,mientraspermaneceelmismodenominador.

B2 �

85


Ladivisiónderacionalessepuedeinterpretarcomoelproductodelnumeradorporelrecíprocodeldenominador,esdecir:

ab

cd

ab

dc

adbc

÷ = × =

Otraformaescolocarlaprimerafraccióncomonumeradorylasegundacomodenominador; el numerador de la fracción cociente es el producto de losextremosyeldenominadoreselproductodelosmedios.Algunosprofesoreslellamanla“regladelsándwich”.

Yaseaalconvertirladivisiónenproductooalutilizarla“regladelsándwich”esrecomendablefactorizarantesderealizarlasoperaciones:

7235

4845

7235

4548

12 3 2 9 57 5 12 2 2

2714

÷ = × = = =( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )

111314

Paradividirunnúmeroracionalporunnúmeroentero,seconvierteelnúmeroenteroafracciónaparente,luegoseaplicaelprocesocorrespondiente:

( )347

31

47

31

74

214

5 14¸ = ¸ = ´ = =

75

275

21

75

21

7 25

145

245÷ = ÷ =

= = =

( )( )

Fracciones complejas

Unodelosprocesosmásimportantesdentrodelmanejodenúmerosracionaleseslasimplificacióndefraccionescomplejas.

Unafraccióncomplejaesaquéllacuyonumeradorodenominador,oambos,contienealgunaoperaciónalgebraica.

86

B2 �B2 �Sonfraccionescomplejaslossiguientescasos:

3 5 24

8 31 3 8

34

58

35

14

23

3

31

+=

+=

+

+

=+

( ),

-( )

, ,

2215

-

=

Para simplificar una fracción compleja primero se simplifica el numerador,luegoeldenominadoryalfinalserealizaladivisióndefraccionesatravésdela“regladelsándwich”.

Ejemplos

Simplificalassiguientesfraccionescomplejas.

a) b) 3 5 2

48 3

1 3 8+

+( ) -

( ) c)

34

58

35

14

23

+

+

d) 3

31

215

31

41

+

++

-

)e 55

42

113

−−

Solución

a)Alsimplificarprimeroelnumeradortenemos:

3 5 24

3 104

134

3 14

+ = + = =( )

b)Alsimplificarelnumeradoryeldenominadortenemos:

8 31 3 8

51 24

525

55 5

15

-( ) ( )( )+

=+

= = =

c)Realizamosprimerolasumaenelnumeradory,respetandojerarquíadeoperaciones,primero la suma y luego el producto en el denominador; finalmente, aplicamosla“regladelsándwich”ysimplificamos:

34

58

35

14

23

3 2 5 18

35

1 3 2 412

+

+

=

+

+

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

=

+

+

=

=

6 58

35

3 812

118

35

1112

118

3 11( )(( )( )

( )( )( )( )( )( )

( )( )( )( )( )( )( )( )

5 12

11 5 128 3 11

11 5 4 34 2 3 11

= = =552

2 12=

d) Primeroconvertimoselnumeradordelafraccióncomplejaenfracciónaparentey se agrega la unidad como denominador. En el denominador de la fraccióncomplejaempezamosasimplificarconlaoperaciónmássimplehastaterminarporconvertirlosenterosafracciónaparentemediantela“regladelsándwich”tantasvecescomoseanecesario:

Actividad

B2 �

87


3

31

215

31

3

1195

31

359

31

329

2732+

=

+

=+

= =

-

e) Simplificamos el numerador y el denominador como en el ejemplo anterior;se comienza por la operación más simple tanto en el numerador como en eldenominador:

31

415

42

113

3

11

215

4

2123

3521

462

6821

4 3

68211

6821

++

--

=

+

-

=+

-=

-= =

Realizalassiguientesoperacionesconfracciones:

1. 53

12

76

+ - = 9. 56

38

17

+ - = 17. 6518

43

19

÷ +

=

2. 34

12

13

- + = 10. 73

58

16

- + =18.

87

78

34

( )- =

3. 74

67

914

+ - = 11. 6

35149

158

= 19.

78

516

724

−

÷ =

4. 34

59

56

+ - = 12. 7

249

163221

× × = 20. 76

119

274

−

× =

5. 43

314

57

- - = 13. 2435

4932

21× ÷ = 21. 56

13

45

13

+ −

=

6. 76

316

112

- - = 14. 2516

7524

3255

÷ × = 22. 18

316

12

18

+ ÷ +

=

7. 7

124

151718

+ - = 15. 4035

1642

157

× × = 23. 34

13

23

12

38

56

32

16

− +

+ ÷ −

=

8. 29

1115

1324

- + = 16. 35

56

18+

= 24.

56

14

114

56

−

+ ×=

Actividad

88

B2 �B2 �

Las operaciones con números irracionales están representadas por lasoperaciones con radicales, que a su vez, se sustentan en las leyes de losradicales.

1

2

3

4

1.

. ( )

.

.

a a

a a a

ab a b

ab

a

b

n

mn

n

mn n m

n n n

nn

n

=

= =

=

=

( )

( ) ( )

( )( ) ( )( )

36 36 6

8 8 2 16

144 9 16 9 16 3 4 12

276

12

43

34

4

= =

=( ) = =

= = = =

4427

64

34

486

8 23

3

33 3= = = = o bien

Comopodemosverenlosejemplos,enlaregla2sepuedeelevarlabasealexponenteydespuésobtenerlaraízenésima;obien,primeroobtenerlaraízenésimaydespuéselevaralexponentedado.Además,enlaregla 4podemosobtenerlaraízdelnumeradorydeldenominadorporseparado;obien,realizarprimeroladivisiónyalfinalobtenerlaraíz.

Leyes de radicales

Ademásde las leyesde los radicales,esnecesarioconsiderar lassiguientessituaciones:

Laraízenésimadecualquiernúmeropositivoespositiva. ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

+ = +

= = = = =

n

325 32 2 2 2 21

5 5 1 155

5

Laraízenésimapardeunnúmeronegativonoexiste. (-) ,n n par no existe

-9 , , -16 -7294 6 noexisten

Laraízenésimaimpardeunnúmeronegativoesnegativa. (-) - ,n n= +

− =− =−

− =− =− =− =− =−

n impar

8 8 2

243 243 3 3 3 3

3 3

5 5 55 55 1

OPERACIONES CON NÚMEROS IRRACIONALES

-9 noexisteen

R porquenohayunnúmeroenelconjuntodenúmerosrealesquemultiplicadoporsímismodeporresultado-9,pues,(3)(3)= 9(-3)(-3)= 9

B2 �

89


Enunaexpresiónconradicalesnodebenaparecerradicaleseneldenominadordeunafracción.

Ejemplos

Utilizalasleyesdelosexponentesparasimplificarlossiguientesradicales:

a) 576 b) 17283 c) 80 d) -1083

e) 24 3 54 150+ − f) 4

3g) 3

85

h) 6

7 2+

Solución:

a)Alfactorizarelradicandotenemosque:

576 2

288 2

144 2

72 2

36 2

18 2

9 3

3 3

1

576 = (2)6(3)2

porlotanto, 576 2 36 2= ( ) ( )

Aplicandolasleyesdelosradicalestenemos:

576 2 3

2 3

2 3

6 2

6 2

62

22

=

=

=

( ) ( )

( ) ( )

regla 3

reegla 2

== =

( ) ( )( )( )2 38 3 24

3

Otraforma:alfactorizar576 = (16)(36)

576 2

288 2

144 2

72 2

36

por lo que

576 16 36

16 36 4 6 24

= =

= =

( )( )

( )( )24=16

90

B2 �B2 �b)Sisefactorizaelradicandotenemosque:

1728 2

864 2

432 2

216 2

108 2

54 2

27

26 = 64

esdecir:

1728 64 27 64 27 4 3 123 3 3 3= = = =( )( ) ( )( )

c)Alfactorizarencontramosque80 = 16(5)donde:

80 16 5 16 5 4 5= = =( )( )

d)Sifactorizamostenemosque108 = (27)(4)porloque:

108 27 4 27 4 3 43 3 3 3 3= = =( )( )

e)Simplificandocadaunodelossumandostenemos:

24 2

12 2

6

454 2

27 3

9

6150 2

75 3

25

6

24 3 54 150

4 6 3 9 6 25 6

2 6 3 3 6 5 6

2 6 9 6 5 6 6 6

+ − =

+ − =

+ − =

+ − =

( ) ( ) ( )

( )

f) Puesto que no debe haber radicales en el denominador de una fracción, debeeliminarse el radical de ahí. El proceso para hacerlo consiste en multiplicar elnumeradoryeldenominadorporunradicalqueanuleeldeldenominador.Enestecaso,elradicalporelquesedebemultiplicares 3 .Así:

4

3

4

3

3

3

4 3

3

4 332= =

( )=

g) Puesto que no debe haber radicales en el denominador de una fracción, debeeliminarse el radical de ahí. El proceso para hacerlo consiste en multiplicar el

B2 �

91


numerador y el denominador por un radical que anule el del denominador.Simplificandoelradicaltenemos:

3

8

3

25 35=

Porlocualelradicalporelquehayquemultiplicares 225 .Entonces:

3

8

3

2

2

2

3 4

2

3 425 35

25

25

5

55

5

= = =

h) Puesto que el denominador contiene una suma, debemos multiplicar eldenominadoryelnumeradorporsuconjugado,esdecir,por 7 2- .Así:

6

7+2=

6

7+2g

7-2

7-2=

6( 7-2)

7 -4

=6( 7-2)

7-4=

6( 7-2)3

2( )==2( 7-2)

= 2 7-4

Observamosquesieneldenominadorapareceunradicaldelaforma amn debemos

multiplicarporunradicaldelaforma an mn - ;ysiapareceunbinomiodelaforma

a b+ o a b- debemosmultiplicarporsubinomioconjugado,esdecir,por

a b- o a b+

Laexistenciadelosnúmerosnegativosnospermiteanalizarelconceptodevalorabsoluto.

Elvalorabsolutodeunnúmerorepresentaladistanciaqueexisteentreelceroydichonúmero,elcualsiempreespositivo.Ensímbolos:

xx x

x x=

<>

- ,,

00

VALOR ABSOLUTO

92

B2 �B2 �Asípues:

- =- - =3 3 3( ) 5 5= − =− −=

45

45

45

Fraccionesordenadas

DuranteelpasadoinviernosetomólatemperaturadiariaporunasemanaenlaciudaddeToluca.Ellunesseregistraron5gradosbajocero;elmartes,2gradossobrecero;elmiércoles,0grados;eljueves4bajocero;elviernes,3sobrecero;elsábado,5sobreceroyeldomingo,8sobrecero.¿Cómoordenaríaslosdíasdelmásfríoalmáscálido?

Observa los números representados en los recuadros recta numérica y coloca lossignos>o<segúncorresponda

¿Cómoordenastelosnúmerospositivos?¿Ylosnegativos?¿Cómoordenasunpositivoyunnegativo?

Orden de los números reales

Los números reales cumplen ciertas reglas. De la actividad que acabas dehaceryobservandolarectanumérica,tenemosque:

1.Todoslosnúmerosnegativossonmenoresquecero2.Todoslosnúmerospositivossonmayoresquecero3.Cualquiernúmeronegativoesmenorquecualquiernúmeropositivo4.De 2númerospositivosesmayorelqueestámásalejadodelcero5. De2númerosnegativosesmayorelqueestámáscercadelcero6. Engeneral,entredosnúmerosdistintos,esmayorelqueseubiquea la

derecha

Actividad

B2 �

93


Comotodotemadeestudio,necesitamosunvocabulariomínimoparafacilitarlacomprensiónylacomunicación.

Razón.Es lacomparacióndedoscantidadespormediodeunadiferenciaouncociente.

Silacomparaciónespormediodeunadiferenciaselellamarazónaritmética;siesporcociente,razóngeométrica.

Porejemplo,situedadesde14añosyladetupapáesde42años,larazónaritméticaentrelaedaddetupapáylatuyaes:

r=42 – 14 = 28

Mientrasquelarazóngeométricaes:

r = =4214

3

Loanteriorsignificaqueporunaparteladiferenciadeedadesentretupapáytúesde28años;obien,quelaedaddetupapáeseltripledelatuya.

Enestebloquesólotrabajaremoslasrazonesgeométricasynosreferiremosaellascomorazón.

Sedenotaunarazóncomo:

ab

a b0 :

ydebeleerse“aesab”

Loselementosdeunarazónson:

antecedente

consecuente

ab

RAZONES Y PROPORCIONES

94

B2 �B2 �Elquesecompara(a)selellamaantecedente yconelquesecompara(b),consecuente.

Utilizamoslasrazonespararesolverproblemasrelacionadosconvariacionesdirectasyvariacionesinversas.

Proporcionesdirectaseinversas

Consideralassiguientessituacionesyresuelvelosproblemasplanteadosenellas.

1.Unalbañilutiliza9latasdearenaparapreparar2 bultosdemezcla.a) ¿Cuántaslatasdearenanecesitaparapreparar5bultos?b) ¿Cuántosbultospuedeprepararcon 36latasdearena?c) ¿Cuántosbultosdemezclapuedeprepararcon3latasdearena?d) ¿Quéocurreconelnúmerodebultosdemezclaquepuedenprepararsecuando

aumentanlaslatasdearena?e)¿Ycuandodisminuyen?

2.Despuésdeunainundaciónenunapoblacióncostera,sereunieron120refugiadosenunalberguedondehabíaalimentospara25días.Sillegan30refugiadosmás.a)¿Paracuántosdíasalcanzaránlosalimentos?b) ¿Para cuántos días alcanzarán los alimentos si abandonan el albergue 40refugiados?

c)¿Quéocurreconlosalimentossiaumentalapoblacióndentrodelalbergue?d)¿Ysidisminuyelapoblacióndentrodelalbergue?

3.Dostrabajadorespintanunabardaen14díastrabajando6horasdiarias.a)¿Encuantotiempoterminarándepintarlabardacincotrabajadorestrabajando

8horasdiarias?b)¿Encuantotiempoterminaráunsolotrabajadorlaborando10horasdiarias?c)¿Quéocurreconeltiemposiaumentaelnúmerodetrabajadores?d)¿Ysidisminuye?

Actividad

B2 �

95


En los ejercicios de la actividad anterior trabajaste problemas relacionadosconvariacionesdirectas,variacionesinversasyvariacionescompuestas.

Dosmagnitudesvaríandemaneradirectamenteproporcionalsialaumentarodisminuirlaprimera,lasegundatambiénaumentaodisminuyeenlamismaproporción;ydemanerainversamenteproporcionalsialaumentarodisminuirlaprimera,lasegundadisminuyeoaumenta.

Así,lacantidaddebultosdemezclaquepuedenprepararseaumentasiseelevaelnúmerodelatasdearena;odisminuyesisereduceelnúmerodelatasdearena.Esdecir,lacantidaddemezclaelaboradaesdirectamenteproporcionalalacantidaddearena.

Porotraparte, sielnúmerode refugiadosaumenta,elnúmerodedíasqueduran losalimentosdisminuyeyviceversa.Esto significaqueelnúmerodedíasqueduran losalimentosvaríademanera inversamenteproporcionalalnúmeroderefugiados.

Elconceptofundamentalpresenteenlasvariacionesdirectaeinversamenteproporcionaleseseldeproporción.

Unaproporcióneslaigualdadentredosrazones.

Sedenotacomo:ab

cd

=

yselee:“aesabcomocesad”.

Loselementosdeunaproporciónson:

ab

cd

=

extremos

medios

VARIACIONES DIRECTA E INVERSAMENTE PROPORCIONALES

96

B2 �B2 �Y a cualquiera de los elementos de una proporción se le llama cuartaproporcional.

Porejemplo,siseutilizan9latasdearenapara2bultosdemezcla,seutilizarán36lataspara8bultos,esdecir:

92

368

=

“9latasesa2bultoscomo36latasesa 8bultos”,donde9, 2, 36, 8soncuartasproporcionales.

Regla de 3

Regla de tres. Es lamanera de plantear una proporción y nospermite resolver situaciones donde sea necesario calcular unacuartaproporcionalcuandoseconocenlasotrastres.

Unaregladetrespuedeserdirecta,inversaocompuesta,segúnlavariación(directa,inversaocompuesta).

Unaregladetreslaplanteamosdelasiguientemanera:

Colocamoselantecedenteyelconsecuentede laprimerarazón;debajodeellos,elantecedenteyelconsecuentedelasegundarazón,respectivamente(unodeéstoseslaincógnita);esdecir,laregladetreslaestablecemosdelasiguienteforma:

a---bc---x

Apartirdeahí,laproporciónlaestablecemosdelasiguientemanera:

Siesdirecta:a

cbx

=

ysiesinversa:

ac

xb

=

Pararesolverlaregladetres,yaseadirectaoinversa,utilizamosla:

Regla fundamental de las proporciones. El producto de losextremosesigualalproductodelosmedios.

B2 �

97


Apartirdelaproporcióndada,seutilizalapropiedadfundamentalalmultiplicarlosextremos,ydividirdichoresultadoentreelmediorestante.

Porejemplo,sielalbañildelasituacióninicialnecesita9 latasdearenaparapreparar2bultosdemezcla,¿cuántasnecesitapara5?

Primeroobservamosqueesunaproporcióndirecta,porloquelaregladetresparaesteproblemaquedadelasiguientemanera:

9 2

5x=

mismaqueseresuelvecomo:

x=×= =

9 52

452

22 12

Esdecir,elalbañilnecesitará 22ymedialatasdearena.

Porotraparte,enelcasodelosalimentostenemosunavariacióninversa,puessilosrefugiadosaumentan,losvíveresdisminuyen.

120150 25

=x

Donde:

x=×

=× ×× ×

=120 25

15015 8 5 5

15 2 520

( )( )

Esdecir,sillegan30refugiadosmás,loscomestiblesduraránsólo20días.

Análogamente,siseretiran40refugiados,entonces:

12080 25

=xdonde:

98

B2 �B2 � x=

×=

× ××

=120 25

8020 6 5 5

20 437 1

2( )( )

Es decir, si abandonan el albergue40 refugiados, los alimentos alcanzaránpara37díasymedio.

Enelcasodelproblema3tenemosunaregladetrescompuesta,mismaqueresolveremosdeacuerdoconelsiguienteproceso:

1.Seescribenelsupuestoylapregunta.2.Secomparacadaunadelasmagnitudesconlaincógnita(suponiendoque

éstasseanfijas)paraversisondirectaoinversamenteproporcionalesconella.

3.Acadamagnituddirectamenteproporcionalseleponeunsigno(+)debajoyunsigno(-)encima;acadamagnitudinversamenteproporcionalseleponeunsigno(-)debajoyunsigno(+)arriba.

4.Elvalordelaincógnitaseráigualalvalorconocidodesumismaespeciemultiplicadoportodaslasmagnitudesconsignopositivo,ydivididodichoproductoporel resultadodemultiplicar todas lasmagnitudesdesignonegativo.

xb a e

c d=× ××

Asípues,enelproblema3tenemos:

2trabajadores5trabajadores

14díasxdías

6horasdiarias8horasdiarias

Elnúmerodedíases inversamenteproporcionalalnúmerodetrabajadoresytambiéninversamenteproporcionalalnúmerodehorasdiarias;entonces:

+ +

2trabajadores5trabajadores

14díasxdías


– –

Porlotanto:

x=× ××

=× × × ××

= =14 2 6

5 87 2 2 2 3

5 8215

4 15

B2 �

99


Esdecir,eltrabajoloterminaránen 4 15 días.

Además:

2trabajadores1trabajador

14díasxdías


+ +

2trabajadores1trabajador

14díasxdías


– –

Porlotanto:

x=

× ××

=×= =

14 2 61 10

14 65

845

16 45

Esdecir,unsolotrabajador,silabora10horasdiarias,haráeltrabajoendías.Luispuedepintarunapareden4horasmientrasqueJacobopuedepintarlapareden3horas.¿Encuántotiempopintaránlaparedtrabajandojuntos?

Solución:

PuestoqueJacobrealizaeltrabajoen3horas,entoncesenunahorahará 1/3 deltrabajo;mientrasqueenunahoraLuishará 1/4 delmismo;porlotantoenunahora:

13

14

4 312

712

+ =+=

Porlotanto,tenemos:

7/12 ----- 112/12 ----- x

Donde:

x=×= = =

1212 1

712

1212

712

127

157 horas

Tanto por ciento

Unade las actividades relacionadas con las variacionesdirectas es el tantopor ciento. En el bloque anterior aprendimos a calcular el porcentaje deuna cantidad. Aplicaremos ahora la regla de tres para resolver problemasrelacionadosconelporcentaje.

100

B2 �B2 �Ejemplos

1. Lauragastó25%desusueldoenropa,ypagóporella$1050.¿CuáleselsueldodeLaura?

Solución:

Laregladetresplanteadaes: 25 ----- 1050

100 ----- x

Alresolverla,tenemos:

25100

1050=

x

Donde:

x=×

= × =1050 100

251050 4 4200

Porlotanto,elsueldodeLauraes$ 4,200

2.Felipecomprósombrerosde$180.¿Aquépreciodebevenderlosparaobtenerunagananciade20%?

Solución:

Lareglade3quedacomo:180 ----- 100 x ----- 120

Donde:

x=×

=× ×

= × =180 120

10018 12 100

10018 12 216

Porlotanto,debevenderlosa$216.

3.Pacocomprócamisetasdelaselecciónmexicanadefutbola$220ylasvendióen$330;¿quétantoporcientoincrementósucosto?

Solución:

Lareglaplanteadaes:220 ----- 100330 ----- x

Donde:

Documents

B1 · Al aplicar el teorema de Pitágoras a este triángulo tenemos que: ... Un problema aritmético es una situación real o imaginaria planteada en forma verbal o escrita que se