Bero-transmisio mekanismoak

11

Egilea:Iñaki Egilea:Iñaki Gómez ArriaranGómez Arriaran

Bero-transmisio mekanismoakBero-transmisio mekanismoak

22

© Iñaki Gómez Arriaran

Beroa 3 mekanismoren bitartez transmititu Beroa 3 mekanismoren bitartez transmititu daiteke:daiteke:

• KONDUKZIOA (Fourier-en legea)

• KONBEKZIOA (Newton-en hozketa-legea)

• ERRADIAZIOA (Stefan-Boltzman-en legea)

TT11

TT22

QQ

G

33


KONDUKZIOAKONDUKZIOA

•Tenperatura eremua Tenperatura eremua = = (x,y,z,t ) (x,y,z,t )

•Tenperatura gradientea Grad Tenperatura gradientea Grad = ( = (//n) nn) n

n

• Grad Grad = = = ( = (//x) i + (x) i + (//y) j + (y) j + (//z) k z) k

q = qq = qxx i+ q i+ qyy j+ q j+ qzz k= -[ k k= -[ kxx ( () ) ] i - [k] i - [kyy ( () ) ] j - [k] j - [kzz ( () ) ] k] k

z

x y

q = Q/A = - k (q = Q/A = - k (θθ))

44


Energia-balantzea eginez:Energia-balantzea eginez:

dQsartu + dQgaratu = dQirten + dEmetatudQsartu + dQgaratu = dQirten + dEmetatu

dQsartu = qdQsartu = qx x dydz + qdydz + qy y dxdz + qdxdz + qzz dxdy dxdy

dQgaratu = qdQgaratu = qGG dV dV

dQirten = qdQirten = qx+dx x+dx dydz + qdydz + qy+dy y+dy dxdz + qdxdz + qz+dzz+dz dxdy dxdy

dEmetatu = cdEmetatu = cpp //t dm = t dm = dV c dV cpp //tt

qqGG= elementuan = elementuan

barne garatutako barne garatutako

beroa (W/mberoa (W/m33))

qyqy+dy

qz

qx

qz+dz

qx+dx

x

z

y

qG

Kondukzioaren

ekuazio orokorra:

55


qqx x dydz + qdydz + qy y dxdz + qdxdz + qzz dxdy + q dxdy + qGG dV = q dV = qx+dx x+dx dydz + qdydz + qy+dy y+dy dxdz + qdxdz + qz+dzz+dz dxdy + dxdy + dV c dV cpp //tt

Taylor-en seriean garatuz: qTaylor-en seriean garatuz: qx+dxx+dx = = qx + (qx + ( qqxx//x) dxx) dx

qqx x + [ + [ (-k((-k())//x) / x) / x ] dxx ] dx

qqGG dV = [ dV = [ (-k((-k())//x) / x) / x ] dxx ] dx dydz + [ dydz + [ (-k((-k())//y) / y) / y ] dyy ] dy dxdz + [ dxdz + [ (-k((-k())//z) / z) / z ] z ]

dz dxdy + dz dxdy + dV c dV cpp //t = t = [ -k([ -k()) ] dV + ] dV + dV c dV cpp //t t

qqGG = = [ -k([ -k()) ] + ] + c cpp //t t

Fourier aplikatuz: qFourier aplikatuz: qxx = -k( = -k())//xx

66


Hipotesiak: Hipotesiak:

• materiale isotropoa K(materiale isotropoa K())xx = K( = K())yy = K( = K())zz

• propietate fisikoak konstanteak K(propietate fisikoak konstanteak K() = K = Kte ) = K = Kte

• qqGG = kte = kte

k k 22 + q + qGG = = c cpp //t t Kondukzioaren ekuazio Kondukzioaren ekuazio orokorraorokorra

22 = laplaziarra: = laplaziarra:

• Koordenatu kartesiarretan Koordenatu kartesiarretan 22 = = 22//xx22 + + 22//yy22 + + 22//zz22

• Koordenatu zilindrikotan Koordenatu zilindrikotan 22 = 1/r = 1/r (r(r//r)/r)/r + 1/rr + 1/r2 2 2 2//22 + + 22//zz22

• Koordenatu esferikotan Koordenatu esferikotan 22 = 1/r = 1/r22 (r(r22//r)/r)/r + ...r + ...

77


xx

yy

zz


• koordenatu kartesiarrak koordenatu kartesiarrak 22 = = 22//xx22 + + 22//yy22 + + 22//zz22

88


rr

zz

22 = laplaziarra = laplaziarra

• koordenatu zilindrikoak koordenatu zilindrikoak 22 = 1/r = 1/r (r(r//r)/r)/r + 1/rr + 1/r2 2 2 2//22 + + 22//zz22


koordenatu esferikoak koordenatu esferikoak 22 = 1/r = 1/r22 (r(r22//r)/r)/r + 1/(rr + 1/(r22sensenΦΦ) ) (sen(senΦΦ //ΦΦ)/ )/ ΦΦ + + 1/(r1/(r22sensen22ΦΦ) ) 22//22

r

Φ

99

© Iñaki Gómez ArriaranPareta laua bero garapenik gabePareta laua bero garapenik gabe

Errejimen egonkorraErrejimen egonkorra

LL

xxp2p2

p1p1

aa 22 + q + qGG/ / cp cp = = //t t

= = ( x,y,z ) ( x,y,z )

Kondukzioaren ekuazio Kondukzioaren ekuazio orokorraorokorra

= = ( x,y,z,t ) ( x,y,z,t )Tenperatura eremuaTenperatura eremua

//t = 0t = 0

zz

yy

Bero garapenik gabe qBero garapenik gabe qGG = 0 = 0

λλ

aa 22 = 0 = 0 λλ 22 = 0 = 0

1010


x

y

z

= = ( x ) ( x )

Fluxu dimentsiobakarrekoaFluxu dimentsiobakarrekoa

Grad Grad = = = ( = (//x) i + (x) i + (//y) j + (y) j + (//z) k z) k

Grad Grad = = = ( = (//x) = dx) = d/dx/dx

Pareta laua bero garapenik gabePareta laua bero garapenik gabe

1111


qq

Laplaziarra Laplaziarra 22 = = 22//xx2 2 = d = d22/dx/dx22

22 = d = d22/dx/dx2 2 = 0 = 0

dd/dx = C/dx = C11

(x) = C(x) = C11 x + C x + C2 2 → Lerro zuzena→ Lerro zuzena

λλ22 = 0 = 0

LL

xx

22

11


(x)(x)

1212


1. ing. bald.: x = 0 1. ing. bald.: x = 0 = = 11

2. 2. ing. bald.:ing. bald.: x = L x = L = = 22

CC11 eta C eta C22 integrazio konstanteak ingurune-baldintzak integrazio konstanteak ingurune-baldintzak

aplikatuz askatzen dira:aplikatuz askatzen dira:

1.i.b.: 1.i.b.: 11 = C = C11· 0 + C· 0 + C2 2 →→ CC22 = = 11

2.i.b.: 2.i.b.: 22 = C = C11·L + ·L + 1 1 →→ CC11 = ( = (22 - - 11) / L ) / L

(x) = (x) = 1 1 + (+ (22 - - 11) x / L ) x / L

Tenperatura-distribuzioaTenperatura-distribuzioaqq

LL

xx22

11

(x)(x)

1313


Fourier-en legea aplikatuz:Fourier-en legea aplikatuz:

qqxx = - = - λλ = - = - λλ d d/dx = - /dx = - λλ [ ([ (22 - - 11) / L ] = ) / L ] = λλ / L · ( / L · ( 11 - - 22 ) = kte ) = kte

1414


Ohm-en legea Fourier-en legeaOhm-en legea Fourier-en legea

L

21

k

qI

R

V1

V2

I = I = VV2-12-1 / R / R q = q = 2-1 2-1 / (L / / (L / λλ ) )

Analogia elektrikoa Analogia elektrikoa

R ( mR ( m2 2 º C / W )º C / W ) pareta lauaren pareta lauaren erresistentzia erresistentzia termikoatermikoa

I = flujo de carga eléctricaI = flujo de carga eléctrica q = Bero-fluxuaq = Bero-fluxua VV2-1 2-1 = Potentzial elektriko = Potentzial elektriko

diferentziadiferentzia

2-12-1 = potentzial termiko diferentzia = potentzial termiko diferentzia RR = erresistentza elektrikoa= erresistentza elektrikoa L / L / λλ = erresistentzia termikoa= erresistentzia termikoa

1515

© Iñaki Gómez ArriaranPareta konposatuaPareta konposatua

LL11

xx44

11

λλ 22 =0 =0

Kondukzioaren ekuazio orokorra, errejimen Kondukzioaren ekuazio orokorra, errejimen egonkorrean, fluxu unidimentsionala eta egonkorrean, fluxu unidimentsionala eta bero garapenik gabe :bero garapenik gabe :

zz

yyλλ22

LL22 LL33

λλ11 λλ33

Geruza bakoitzarentzat:Geruza bakoitzarentzat:

22 ii = d = d22ii/dx/dx2 2 = 0 = 0

ddii/dx = C/dx = C11

ii(x) = C(x) = C11 x + C x + C2 2 → Recta→ Recta

λλ ii22 ii = 0 = 0

n geruzen kasuan 2n integrazio konstante n geruzen kasuan 2n integrazio konstante sortuko dira ( Csortuko dira ( C11,…., C,…., C2n 2n ) eta askatzeko 2n ) eta askatzeko 2n

ingurune baldintza beharko diraingurune baldintza beharko dira

1616


1. i.b.: x = 0 1. i.b.: x = 0 = = 11

2. i.b.: x = L2. i.b.: x = L11+L+L22+L+L33+…L+…Lnn = = n+1n+1

• 1. mailako 1. mailako 2 ingurune baldintza:2 ingurune baldintza:

Pared plana sin generación interna de calorPared plana sin generación interna de calor

3. i.b.: x = L3. i.b.: x = L11 11(x) = (x) = 22(x)(x)

..

..

n+1. i.b.: x = Ln+1. i.b.: x = L11+L+L22+L+L33+…L+…Ln-1n-1 n-1n-1 (x) = (x) = nn (x) (x)

• 1. mailako 1. mailako n-1 ingurune baldintza:n-1 ingurune baldintza:

n+2. i.b.: x = Ln+2. i.b.: x = L11 q(x) q(x)11 = q(x) = q(x)22

..

..

2n. i.b.: x = L2n. i.b.: x = L11+L+L22+L+L33+…L+…Ln-1n-1 q(x) q(x)n-1n-1 = q(x) = q(x)nn

• 4. mailako n-1 ing. bald.:4. mailako n-1 ing. bald.:

qq11

L1

x

1(x)

qq22

L2

2(x)

λλ11λλ22

qq33

L3

3(x)

λλ22

2n ekuazio-sistema garatzen da 2n ezezagunekin2n ekuazio-sistema garatzen da 2n ezezagunekin

1717


q = - (q = - (22- - 11) / (L) / (L11//λλ11) ) → → 1 1 - - 22 = q · L= q · L11/ / λλ11

• Fourier aplikatuz 1. geruzanFourier aplikatuz 1. geruzan::qq11

L1

1(x)

qq22

L2

2(x)

λλ11λλ22

qq33

L3

3(x)

λλ22

Geruza bakoitza banaka aztertuz:Geruza bakoitza banaka aztertuz:

q = - (q = - (33- - 22) / (L) / (L22//λλ22) → ) → 2 2 - - 33 = q · L = q · L22/ / λλ22

..

..

• Fourier aplikatuz 2. geruzanFourier aplikatuz 2. geruzan::

q = - (q = - (n+1n+1- - nn) / (L) / (Lnn//λλnn) → ) → n n - - n+1n+1 = q · L = q · Lnn/ / λλnn

• Fourier aplikatuz n. geruzanFourier aplikatuz n. geruzan::

11- - n+1n+1 = q · ( L = q · ( L11/ / λλ11 + + L L22/ / λλ22 …+ …+ L Lnn/ / λλnn ) )

q = ( q = ( 11- - n+1n+1 ) / ( L ) / ( L11/ / λλ11 + + L L22/ / λλ22 +…..+ +…..+ L Lnn/ / λλnn ) )

R pareta konposatuaren R pareta konposatuaren erresistentzia termikoaerresistentzia termikoa

Ln

1818


L1

1(x)

L2

λλ11 λλ22

L3

λλ55

L5

2(x)

3(x)

Zirkuito elektriko baliokidea:Zirkuito elektriko baliokidea:

RR22

λλ44λλ33

RR11RR33 RR44

RR55

L4

Analogia elektrikoa Analogia elektrikoa

1919


LL11

44

11λλ11

qq

LL22 LL33

λλ22 λλ33

q = ( q = ( 11 - - 4 4 ) / ( R) / ( R11 + R + R22 + R + R33 ) )

RR11RR22 RR33

qq

22

11λλ11

QQ

λλ22

λλ33

LL

RR11

RR22

RR33

Q = ( Q = ( 11 - - 2 2 ) · ( 1/ R) · ( 1/ R11 +1/ R +1/ R22 + 1/ R + 1/ R33 ) )

qq

Pareta konposatuaren analogia elektrikoaPareta konposatuaren analogia elektrikoa

RRi i = L= Lii / A / Aii λλii

2020


rr22

zz

1122

QQ

rr11

r

Pareta zilindrikoa bero-garapenik gabePareta zilindrikoa bero-garapenik gabe

aa 22 + q + qGG/ / cp cp = = //t t Kondukzioaren ekuazio Kondukzioaren ekuazio orokorraorokorra

Tenperatura eremuaTenperatura eremua


= = ( ( r,r,ΦΦ,z,z ) )

= = ( r, ( r,ΦΦ, z ), z )

//t = 0t = 0

Bero-garapenik gabe qBero-garapenik gabe qGG = 0 = 0

aa 22 = 0 = 0 λλ 22 = 0 = 0

2121


Φrr

zz = = ( r ) ( r )


= r(= r(//r) + 1/r (r) + 1/r (//) + () + (//z) z)

Grad Grad = = = r( = r(//r) = rdr) = rd/dr/dr

Pareta zilindrikoa bero-garapenik gabePareta zilindrikoa bero-garapenik gabe

2222


λλ22 = 0 = 0Fluxu unidimentsionalaFluxu unidimentsionala

1/r d(rd1/r d(rd/dr)/dr /dr)/dr = 0= 0

d(rdd(rd/dr)/dr = 0/dr)/dr = 0

rdrd/dr = C/dr = C1 1 →→ dd/dr = C/dr = C11/ r/ r

(r) = C(r) = C1 1 lnr + Clnr + C2 2 → exponentziala→ exponentziala

1.ing. baldintza: r = r1.ing. baldintza: r = r11 = = 11

2. ing. baldintza2. ing. baldintza : r = r: r = r2 2 = = 22

Laplaziarra Laplaziarra

22 = 1/r · = 1/r · (r(r//r)/r)/r = 1/r · d(rdr = 1/r · d(rd/dr)/dr/dr)/dr

rr22

zz

11

22

QQ

rr11

r

2323


1.i.b. : 1.i.b. : 11 = = CC11 lnr lnr11 + C + C22

2.i.b. : 2.i.b. : 22 = = CC11 lnr lnr22 + C + C22

CC1 1 = ( = ( 11 - - 22 ) / ln ( r ) / ln ( r11 / r / r22 ) )

CC22 = = 11 - lnr - lnr11 [( [( 11 - - 22 ) / ln ( r ) / ln ( r11 / r / r22 )] )]

(r) = [( (r) = [( 11 - - 22 ) / ln ( r ) / ln ( r11 / r / r22 )] )] lnr + lnr + 11 - lnr - lnr11 [( [( 11 - - 22 ) / ln ( r ) / ln ( r11 / r / r22 )] )]

(r) = [( (r) = [( 11 - - 22 ) ) ln ( r / rln ( r / r11 ) / ln ( r ) / ln ( r11 / r / r22 )] + )] + 11

1

2r

2424


Fourier aplikatuz: Fourier aplikatuz:

Bero-fluxua pareta zilindrikoanBero-fluxua pareta zilindrikoan

R ( º C / W ) pareta zilindrikoaren errresistentzia termikoa R ( º C / W ) pareta zilindrikoaren errresistentzia termikoa

QQrr = - = - λλ A A = - = - λλ A d A d/dr = - /dr = - λλ 2 2 r L · ( r L · ( 11 - - 22 ) / r ln ( r ) / r ln ( r11 / r / r22 ) = ) =

QQrr = ( = ( 11 - - 22 ) / [ ln ( r ) / [ ln ( r22 / r / r11 ) / 2 ) / 2 λλ L ] L ]

R = ln ( rR = ln ( r22 / r / r11 ) / 2 ) / 2 λλ L L

2525


rr33rr22

rr11

RR11RR22

QQ

RR11 = ln ( r = ln ( r22 / r / r11 ) / 2 ) / 2 λλ11 L L

RR22 = ln ( r = ln ( r33 / r / r22) / 2) / 2 λλ22 L L

Pareta zilindriko konposatuaPareta zilindriko konposatua

2626

© Iñaki Gómez ArriaranPareta esferikoa bero-garapenik gabePareta esferikoa bero-garapenik gabe

errejimen egonkorraerrejimen egonkorra

aa 22 + q + qGG/ / cp cp = = //t t

= = ( (r,r,ΦΦ,,φφ ) )

Kondukzioaren ekuazio Kondukzioaren ekuazio orokorraorokorra

= = ( r, ( r,ΦΦ,,φφ,t ),t )Tenperatura-eremuaTenperatura-eremua

//t = 0t = 0

Bero-garapenik gabe qBero-garapenik gabe qGG = 0 = 0

aa 22 = 0 = 0 λλ 22 = 0 = 0

rr22

rr11ΦΦ

φ

2727


rr22

r1

= = ( r) ( r)

Fluxu unidimentsionalaFluxu unidimentsionala

Grad Grad = = = = //r + 1/rsenr + 1/rsenφφ ((//ΦΦ) + 1/r () + 1/r (//φφ) )

Grad Grad = = = ( = (//r) = dr) = d/dr/dr

22 = 0 = 1/r = 0 = 1/r22 d(r d(r22dd/dr)/dr/dr)/dr

d(rd(r22dd/dr)/dr = 0/dr)/dr = 0

rr22dd/dr = C/dr = C1 1 dd/dr = C/dr = C1 1 / r/ r22

(r) =C(r) =C1 1 / r + C/ r + C22

2828


1.i.b.: r = r1.i.b.: r = r11 = = 11

2. i.b.: r = r2. i.b.: r = r2 2 = = 22

1.i.b. : 1.i.b. : 11 = = CC1 1 / r/ r11 + C + C22

2.i.b.: 2.i.b.: 22 = = CC1 1 / r/ r22 + C + C22

CC1 1 = ( = ( 11 - - 2 2 ) / ( 1/ r) / ( 1/ r11 - 1/ r - 1/ r22 ) )

CC22 = = 11 - ( - ( 11 - - 2 2 ) / r) / r11 ( 1/ r ( 1/ r11 - 1/ r - 1/ r22 ) )

(r) =C(r) =C1 1 / r + C/ r + C2 2 = ( = ( 11 - - 2 2 ) / r ( 1/r) / r ( 1/r11 - 1/r - 1/r22 ) + ) + 11 - ( - ( 11 - - 2 2 ) / r) / r11 ( 1/r ( 1/r11 - 1/r - 1/r22 ) = ) =

(r) = (r) = 11 + ( + ( 11 - - 2 2 ) · [ ( 1/r - 1/r) · [ ( 1/r - 1/r11 ) / ( 1/r ) / ( 1/r11 - 1/r - 1/r22 ) ] ) ]

2929


Fourier-en legea: Fourier-en legea:

QQrr = - = - λλ A A = - = -λλ A d A d/dr = -/dr = -λλ 4 4 r r22 ( ( 11 - - 2 2 ) / r) / r22( 1/r( 1/r11 - 1/r - 1/r22 ) = ) =

QQrr = ( = ( 11 - - 2 2 ) / [( 1/r) / [( 1/r22 - 1/r - 1/r11 )/ 4 )/ 4 λλ ] ]

Pareta esferikoaren erresistentzia termikoa : Pareta esferikoaren erresistentzia termikoa :

R = ( 1/ rR = ( 1/ r22 - 1/ r - 1/ r11 )/ 4 )/ 4 λλ = ( r = ( r22 -r -r11 ) / 4 ) / 4 λλ r r2 2 rr1 1

rr22

rr11

QQ

II

RR

Bero-fluxua pareta esferikoanBero-fluxua pareta esferikoan

3030


Errejimen egonkorrean /t = 0

k 2 + qG = 0

1.kondukzioaren ekuazio orokorra ebatzi 1.kondukzioaren ekuazio orokorra ebatzi tenperatura-distribuzioatenperatura-distribuzioa

(ariketaren ingurune baldintzak aplikatuz)(ariketaren ingurune baldintzak aplikatuz)

2. Fourier-en legea aplikatu 2. Fourier-en legea aplikatu bero-transmisioabero-transmisioa

Aztertuko ditugun kasuak:Aztertuko ditugun kasuak:

•Pareta laua bero-garapenarekin eta garapenik gabePareta laua bero-garapenarekin eta garapenik gabe

•Pareta zilindrikoa “ “Pareta zilindrikoa “ “

•Pareta esferikoa “ “Pareta esferikoa “ “

3131


1. Kasua: pareta laua bero-garapenarekin1. Kasua: pareta laua bero-garapenarekin

= = ( x,y,z,t ) ( x,y,z,t )


Fluxu unidimentsionalaFluxu unidimentsionala = = ( x ) ( x )

non non 22 = = 22//xx2 2 = d = d2 2 /dx/dx22

k k 22 + q + qGG = k d = k d2 2 /dx/dx2 2 + q+ qGG = 0 = 0

dd2 2 /dx/dx2 2 = -q= -qGG/k/k

dd/dx = -q/dx = -qG G x / k + Cx / k + C11

(x) = -q(x) = -qGGxx22/2k + C/2k + C11 x + C x + C22

LL

x

pp

QQ

qG

k k 22 + q + qGG = = c cpp //t t

k k 22 + q + qGG = 0 = 0

3232


CC11 eta C eta C22 integrazio konstanteak kalkulatzeko, ingurune integrazio konstanteak kalkulatzeko, ingurune

baldintzak aplikatu:baldintzak aplikatu:

1.ingurune baldintza: x= 0 q1.ingurune baldintza: x= 0 qx=0 x=0 dd/dx = 0/dx = 0

2. Ingurune baldintza: x = 2. Ingurune baldintza: x = ++ L L = = pp

1.i.b. aplikatuz: d1.i.b. aplikatuz: d/dx = 0 = -q/dx = 0 = -qGG/k 0 + C/k 0 + C1 1 CC11 = 0 = 0

2.i.b. aplikatuz: 2.i.b. aplikatuz: p = -qp = -qGG L L2 2 /2k + 0 + C/2k + 0 + C2 2 CC22 = = p + qp + qGG L L2 2 /2k /2k

(x) = -q(x) = -qGG (L (L22 -x -x2 2 )) /2k + /2k + ppParetan barneko Paretan barneko tenperatura-distribuzioatenperatura-distribuzioa

LL

x

pp

QQ

qG

(x)

3333


Fourier-en legea aplikatuz: Fourier-en legea aplikatuz: QQxx = - k A = - k A = -k A d = -k A d/dx = -k A ( -q/dx = -k A ( -qGGx/k )x/k )

Paretatik kanpo guzira transmititutako bero-jarioa:Paretatik kanpo guzira transmititutako bero-jarioa:

Q = QQ = Qx = Lx = L + Q + Qx = -L x = -L = 2AL q = 2AL qG G = V q= V qGG

QQxx= A q= A qGG x x

3434


2. Kasua: pareta laua bero-garapenik gabe2. Kasua: pareta laua bero-garapenik gabe

x

L

2

1

Q

Kasu honetan qKasu honetan qGG = 0 = 0

1.ingurune baldintza: x = 0 1.ingurune baldintza: x = 0 = = 11

2. Ingurune baldintza: x = L 2. Ingurune baldintza: x = L = = 22

22 = d = d2 2 /dx/dx22 = 0 = 0

dd/dx = C/dx = C11

(x) = C(x) = C11 x + C x + C22

(x) = ((x) = (22 - - 11) x/L + ) x/L + 11 Ordezkatuz:Ordezkatuz:

(x)

k k 22 + q + qGG = = c cpp //t t

k k 22 = 0 = 0

3535


Fourier-en legea aplikatuz: Fourier-en legea aplikatuz: QQxx = - k A = - k A = -k A d = -k A d/dx = -k A C/dx = -k A C1 1 ==

Q = k A ( Q = k A ( 11 - - 22 )/ L )/ L

Analogia elektrikoa:Analogia elektrikoa:

Ohm-en legea Fourier-en legeaOhm-en legea Fourier-en legea

L

21

k

QI

R

V1

V2

I = I = VV2-12-1 / R / R Q = Q = 2-1 2-1 / (L / k A )/ (L / k A )

Pareta Pareta lauaren lauaren erresistentzia erresistentzia termiko termiko baliokidea: baliokidea:

RRTPTP = L / k A = L / k A

3636


Pareta konposatuak:Pareta konposatuak:

L1

4

1k1

Q

L2 L3

k2 k3

Q = ( Q = ( 11 - - 4 4 )/ ( R)/ ( R11 + R + R22 + R + R33 ) )

R1R2 R3

Q

2

1k1

Qk2

k3

L

R1

R2

R3

Q = ( Q = ( 11 - - 2 2 ) x ( 1/R) x ( 1/R11 +1/ R +1/ R22 + 1/R + 1/R33 ) )

Q

3737


3. Kasua: pareta zilindrikoa bero-garapenarekin3. Kasua: pareta zilindrikoa bero-garapenarekin

= = ( r, ( r, ,z,t ),z,t )


Fluxu unidimentsionalaFluxu unidimentsionala

R

r

z

pp

QQ

qG

= ( r )

kk22 + q + qGG = 0 = k [1/r d(rd = 0 = k [1/r d(rd/dr)/dr] + q/dr)/dr] + qG G

1/r d(rd1/r d(rd/dr)/dr /dr)/dr = -q= -qGG/k/k

d(rdd(rd/dr)/dr = - r q/dr)/dr = - r qGG/k/k

rdrd/dr = - r/dr = - r22 q qGG/2k + C/2k + C1 1 dd/dr = - r q/dr = - r qGG/2k + C/2k + C11/r/r

(r) = - r(r) = - r22 q qGG/4k + C/4k + C1 1 lnr + Clnr + C22

k k 22 + q + qGG = = c cpp //t t

k k 22 + q + qGG = 0 = 0

3838


1.ingurune baldintza: r= 0 q1.ingurune baldintza: r= 0 qr=0 r=0 dd/dr = 0/dr = 0

2. Ingurune baldintza: r = R 2. Ingurune baldintza: r = R = = pp

1.i.b. aplikatuz: d1.i.b. aplikatuz: d/dr = 0 /dr = 0 CC11 = 0 = 0

2.i.b. aplikatuz: 2.i.b. aplikatuz: p = -qp = -qGG R R2 2 /4k + 0 + C/4k + 0 + C2 2 CC22 = = p + qp + qGG R R2 2 /4k /4k

(r) = (r) = p + qp + qG G ( R( R2 2 - r- r22 ) /4k ) /4k Ordezkatuz:Ordezkatuz:

Fourier-en legea aplikatuz: QFourier-en legea aplikatuz: Qrr = - k A = - k A = -k A d = -k A d/dr = -k 2/dr = -k 2 r L ( - r L ( -

r r qqGG/2k ) = /2k ) = L r L r22 q qGG

QQrr = = L r L r22 q qGG = V q = V qGG = Q = QGG

z

p

r

3939


4. Kasua: pareta zilindrikoa bero-garapenik gabe4. Kasua: pareta zilindrikoa bero-garapenik gabe

rr22

zz

1122

QQ

rr11

r

Kasu honetan qKasu honetan qGG = 0 = 0

22 = 0 = [1/r d(rd = 0 = [1/r d(rd/dr)/dr]/dr)/dr]

1/r d(rd1/r d(rd/dr)/dr /dr)/dr = 0= 0

d(rdd(rd/dr)/dr = 0/dr)/dr = 0

rdrd/dr = C/dr = C1 1 dd/dr = C/dr = C11/r/r

(r) = C(r) = C1 1 lnr + Clnr + C22

1.ingurune baldintza: r= r1.ingurune baldintza: r= r11 = = 11

2. Ingurune baldintza: r = r2. Ingurune baldintza: r = r2 2 = = 22

k k 22 + q + qGG = = c cpp //t t

k k 22 = 0 = 0

4040


1.i.b. aplikatuz: 1.i.b. aplikatuz: 11 = = CC11 lnr lnr11 + C + C22

2.i.b. aplikatuz: 2.i.b. aplikatuz: 22 = = CC11 lnr lnr22 + C + C22

CC1 1 = ( = ( 11 - - 22 ) / ln ( r ) / ln ( r11 / r / r22 ) )

CC22 = = 11 - lnr - lnr11 [( [( 11 - - 22 ) / ln ( r ) / ln ( r11 / r / r22 )] )]

(r) = [( (r) = [( 11 - - 22 ) / ln ( r ) / ln ( r11 / r / r22 )] )] lnr + lnr + 11 - lnr - lnr11 [( [( 11 - - 22 ) / ln ( r ) / ln ( r11 / r / r22 )] )]

(r) = [( (r) = [( 11 - - 22 ) ) ln ( r / rln ( r / r11 ) / ln ( r ) / ln ( r11 / r / r22 )] + )] + 11

1

2r

4141


Fourier-en legea aplikatuz: Fourier-en legea aplikatuz:

QQrr = - k A = - k A = -k A d = -k A d/dr = -k 2/dr = -k 2 r L( r L( 11 - - 22 ) / r ln ( r ) / r ln ( r11 / r / r22 ) = ) =

QQrr = ( = ( 11 - - 22 ) / [ ln ( r ) / [ ln ( r22 / r / r11 ) / 2 ) / 2 k L ] k L ]

Pareta zilindrikoaren erresistentzia termiko baliokidea: Pareta zilindrikoaren erresistentzia termiko baliokidea:

RRTZTZ = ln ( r = ln ( r22 / r / r11 ) / 2 ) / 2 k L k L

Pareta konposatuak:Pareta konposatuak:

rr33

rr22rr11

RR11RR22

QQ

RR11 = ln ( r = ln ( r22 / r / r11 ) / 2 ) / 2 k k11 L L

RR22 = ln ( r = ln ( r33 / r / r22) / 2) / 2 k k22 L L

4242


5.Kasua: pareta esferikoa bero-garapenarekin5.Kasua: pareta esferikoa bero-garapenarekin

= = ( r, ( r, ,z,t ),z,t )


Jario unidimentsionalaJario unidimentsionala = = ( r ) ( r )

kk22 + q + qGG = 0 = k [1/r = 0 = k [1/r22 d(r d(r22dd/dr)/dr] + q/dr)/dr] + qG G

1/r1/r22 d(r d(r22dd/dr)/dr /dr)/dr = -q= -qGG/k/k

d(rd(r22dd/dr)/dr = - r/dr)/dr = - r22 q qGG/k/k

rr22dd/dr = - r/dr = - r33 q qGG/3k + C/3k + C1 1 dd/dr = - r q/dr = - r qGG/3k + C/3k + C1 1 / r/ r22

(r) = - r(r) = - r22 q qGG/6k - C/6k - C1 1 / r + C/ r + C22

1.ingurune baldintza: r = 0 q1.ingurune baldintza: r = 0 qr=0 r=0 dd/dr = 0/dr = 0

2. Ingurune baldintza: r = R 2. Ingurune baldintza: r = R = = pp

R

k k 22 + q + qGG = = c cpp //t t

4343


1.i.b. aplikatuz: d1.i.b. aplikatuz: d/dr = 0 /dr = 0 CC11 = 0 = 0

2.i.b. aplikatuz: 2.i.b. aplikatuz: p = -qp = -qGG R R2 2 /6k + 0 + C/6k + 0 + C2 2 CC22 = = p + qp + qGG R R2 2 /6k/6k

Ordezkatuz:Ordezkatuz: (r) = (r) = p + qp + qG G ( R( R2 2 - r- r22 ) /6k ) /6k

Fourier-en legea aplikatuz: QFourier-en legea aplikatuz: Qrr = - k A = - k A = -k A d = -k A d/dr = /dr =

-k 4-k 4 r r22 (- r q (- r qGG/3k ) = 4/3 ( /3k ) = 4/3 ( r r33 ) q ) qGG

QQrr = 4/3 ( = 4/3 ( r r33 ) q ) qGG = V q = V qGG = Q = QGG

QQ

4444


6. Kasua: pareta esferikoa bero-garapenik gabe

rr22

rr11

22 = 0 = 1/r = 0 = 1/r22 d(r d(r22dd/dr)/dr/dr)/dr

d(rd(r22dd/dr)/dr = 0/dr)/dr = 0

rr22dd/dr = C/dr = C1 1 dd/dr = C/dr = C1 1 / r/ r22

(r) =C(r) =C1 1 / r + C/ r + C22

1.ingurune baldintza: r= r1.ingurune baldintza: r= r11 = = 11

2. Ingurune baldintza: r = r2. Ingurune baldintza: r = r2 2 = = 22

1.i.b. aplikatuz: 1.i.b. aplikatuz: 11 = = CC1 1 /r/r11 + C + C22

2.i.b. aplikatuz: 2.i.b. aplikatuz: 22 = = CC1 1 / r/ r22 + C + C22

CC1 1 = ( = ( 11 - - 2 2 ) / ( 1/r) / ( 1/r11 - 1/r - 1/r22 ) )

CC22 = = 11 - ( - ( 11 - - 2 2 ) / r) / r11 ( 1/r ( 1/r11 - 1/r - 1/r22 ) )

k k 22 + q + qGG = = c cpp //t t

4545


(r) =C(r) =C1 1 / r + C/ r + C2 2 = ( = ( 11 - - 2 2 ) / r ( 1/r) / r ( 1/r11 - 1/r - 1/r22 ) + ) + 11 - ( - ( 11 - - 2 2 ) / r) / r11 ( 1/r ( 1/r11 - 1/r - 1/r22 ) = ) =

(r) = (r) = 11 + ( + ( 11 - - 2 2 ) · [ ( 1/r - 1/r) · [ ( 1/r - 1/r11 ) / ( 1/r ) / ( 1/r11 - 1/r - 1/r22 ) ] ) ]

Fourier-en legea aplikatuz: Fourier-en legea aplikatuz:

QQrr = - k A = - k A = -k A d = -k A d/dr = -k 4/dr = -k 4 r r22 ( ( 11 - - 2 2 ) / r) / r22( 1/r( 1/r11 - 1/r - 1/r22 ) = ) =

QQrr = ( = ( 11 - - 2 2 ) / [( 1/r) / [( 1/r22 - 1/r - 1/r11 )/ 4 )/ 4 k ] k ]

Pareta esferikoaren erresistentzia termiko baliokidea: Pareta esferikoaren erresistentzia termiko baliokidea:

RRTETE = ( 1/r = ( 1/r22 - 1/r - 1/r11 )/ 4 )/ 4 k = ( r k = ( r22 -r -r11 )/ [r )/ [r2 2 rr1 1 4 4 k ] k ]

rr22

rr11

QQ

II

RRTETE

4646


KONBEKZIOA

Molekulen arteko loturak aulak izanik, bero dagoen molekula fluidoan barne mugi daiteke, berarekin batera energia termikoa garraiatuz bero-transmisioa.

Fluidoaren molekulen arteko distantzia handia dela eta, kondukzio bidezko bero-transmisioarekiko erresistentzia termikoa handia da.

Materia garraio bitartez gertatzen den bero-transmisio mekanismo honi KONBEKZIO deritzaio.

4747


Konbekzio bidezko bero-transmisioa, faktore askoren araberakoa da:

•Jariakinaren abiadura ( c )

•Ukipen-azaleraren geometria eta ezaugarriak

•Jariakinaren propietate fisikoak ( , )

•Solidoaren propietate fisikoak ( k , cp )

•etab.

Denak laburbiltzeko, koefiziente bat erabiltzen da: hh = konbekzio-koefiziente edota pelikula-koefizientea.

h pelikula-koefizientea, korrelazio esperimentalen bitartez kalkulatzen da.

4848


Q = h A h ( W/m2K)

Analogia elektrikoa:

R

I

Q

h

R = 1 / h A

4949


h2

kL

2

1h1

k

b

R1R2 R3

Q QQKONBEKZIOA KONDUKZIOA KONBEKZIOA

R = R1 + R2 + R3 = 1/A ( 1/h1 + L/k + 1/h2 )

Q = ( b - k ) / R = A ( b - k ) / [ 1 / h1 )+ L / k + 1 / h2 ]

Q = U A U =1 / [ 1 / h1 )+ L / k + 1 / h2 ]

U : Bero-transmisio koefiziente orokorra

5050


h1

h2

R1R2 R3

Q QQKONBEKZIOA KONDUKZIOA KONBEKZIOA

R = R1 + R2 + R3 = 1/2L ( 1/r1h1 + 1/k ln(r2/r1) + 1/r2h2 )

Q = ( b - k ) / R = 2 r2 L ( b - k ) / [ (r2 / r1 h1 )+ ( r2 / k )ln(r2/r1) + 1 / h2 ]

Q = U2 A2

U2 =1 / [ (r2 / r1 h1 )+ ( r2 / k )ln(r2/r1) + 1 / h2 ]

5151


Reynolds zenbakia: Jariakinaren inertzia indarren eta liskatasun indarren arteko erlazioa.

Re = c /

Prandtl zenbakia: Jariakinean barne beroa zein abiaduraz transmititzen den adierazten du.

Pr = cP / k

Nusselt zenbakia: jarikaina eta paretaren arteko bero-transmisioa adierazten du.

Nu = h / k

Nu = f ( Re,Pr )Parametro hauen arteko erlazioa esperimentalki lortu behar da, ereduekin entsaiatuz.

KONBEKZIO BEHARTUA

5252


1.kasua: Tutueria baten barnekaldeko konbekzioa, jarioa zurrunbilotsua denean.

Dittus-Boelter Nu = 0,023 Re 0,8 Pr n

D.B. aplikatzeko baldintzak:

- Re >2100 (zurrunbilotsua)

- parametro adimentsionalak jariakinaren batazbesteko

tenperaturan

ZENBAIT KORRELAZIO ESPERIMENTAL

n=3 hoztutzen bada

n= 4 berotzen bada

cc

= D

= 4A/Pbustita

5353


2.kasua: Gainazal lau batean zeharreko konbekzio behartua.

= L

Re > 5·104 5·105 Nu = 0,036 ReL0,8 Pr 1/3

Re < 5·104 5·105 Fluxu laminarra NuL = 0,664 ReL 1/2 Pr 1/3 L xkr

L xkr

Parametroak pelikula--batazbesteko tenperaturan neurtuak:

Nu = 0,036 Pr 1/3 (ReL0,8 -23.200) L xkr

m = ( p + f ) / 2L

xkr

Fluxu zurrunbilotsua

Fluxu mistoa

5454


3.kasua: Zilindro baten kanpokaldeko gainazalarekiko korronte gurutzatu baten konbekzio behartua.

= D

Churchill-Bernstein

Nu = 0,3+ [(0,62 Re1/2Pr 1/3)/ [1+(0,4/Pr)2/31/4 · [1+(Re/282.000)1/2

Parametroak pelikula--batazbesteko tenperaturan neurtuak:

4.kasua: Esfera baten kanpokaldeko gainazalarekiko korronte gurutzatu baten konbekzio behartua.

= D Whitaker

Nu = 2+(0,4Re1/2+0,06Re2/3)Pr0,4

c

5555


KONBEKZIO NATURALA

Gr = g32 / 2

Grashof zenbakia: Fluidoaren igotze indarren eta liskatasun indarren arteko erlazioa.

Gas idealetan : = 1/T

Grashof zenbakia handiagoa den neurrian, handiagoa izango da jariakinaren mugimendu librea

θ

x

cparetapareta

Liskatasun indarrakLiskatasun indarrak

Flotazio-indarrakFlotazio-indarrak

Nu = f ( Gr, Pr )Rayleigh-en zenbakia: Ra = Gr · Pr

5656


Gr·Pr > 108 jario zurrunbilotsua

1.kasua: Zilindro horizontal baten kanpokaldeko gainazalarekiko konbekzio naturala.

= D

104< Gr <109 h = 1,32 [ (-f) / D ]1/4

109< Gr <1012 h = 1,25 (-f)1/3

= gainazal tenperaturaf = jariakinaren tenperatura

2.kasua: Plaka bertikal baten gainazalarekiko konbekzio naturala.

= L

104< Gr <109 h = 1,42 [ (-f) / L ]1/4

109< Gr <1012 h = 1,31 (-f)1/3

Documents

Bero-transmisio mekanismoak