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BLOQUE 1: REPASO DE CONCEPTOS ELEMENTALES DE CÁLCULO UNIDAD 1: LOS NÚMEROS (I). 1.1 Concepto de número. Sistema de numeración decimal 1.2 Divisibilidad. Concepto de múltiplo y divisor. Números primos. 1.3 Descomposición factorial de un número. 1.4 Máximo común divisor (MCD) de varios números. 1.5 Mínimo común múltiplo (mcm) de varios números. UNIDAD 2: LOS NÚMEROS (II). 2.1 Los números naturales. Ordenación de números naturales. 2.2 Los números enteros. Ordenación de números enteros. 2.3 Operaciones con números enteros: suma, resta, multiplicación y división. 2.4 Operaciones combinadas con números enteros. Jerarquía de las operaciones. UNIDAD 3: LOS NÚMEROS (III). 3.1 Concepto de fracción. Expresión y comparación de fracciones. 3.2 Fracciones equivalentes. 3.3 Fracciones irreducibles. 3.4 Suma y resta de fracciones. 3.5 Producto y división de fracciones. 3.6 La fracción de un número. Aplicación al porcentaje. 3.7 El conjunto de los números racionales. UNIDAD 4: LAS POTENCIAS. 4.1 Concepto de potencia. Propiedades de las potencias. 4.2 Potencias de números enteros. Operaciones con potencias. 4.3 Potencias de números fraccionarios. Operaciones con potencias. 4.4 Potencias de base 10. La notación científica. UNIDAD 5: LAS RAÍCES DE UN NÚMERO. 5.1 Concepto de raíz de un número. Expresión de una raíz. Propiedades

de las raíces. 5.2 Radicales semejantes. Sumas y restas de radicales semejantes. 5.3 Extraer factores fuera de una raíz.

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UNIDAD 6: LOS NÚMEROS DECIMALES. 6.1 Concepto de números decimal. Tipos de números decimales. 6.2 La fracción generatriz. 6.3 Los números irracionales. 6.4 El conjunto de los números Reales. BLOQUE 2: ÁLGEBRA UNIDAD 7: EL LENGUAJE ALGEBRAICO. 7.1 Las letras y los números en el ámbito de las matemáticas. 7.2 Expresiones algebraicas. Valor numérico de una expresión algebraica. 7.3 Monomios y polinomios. Operaciones elementales. 7.4 Operaciones generales: Sacar factor común, despejar y simplificar. 7.5 Igualdades notables. Ecuaciones e identidades. UNIDAD 8: ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA. 8.1 Interpretación del significado de una ecuación. 8.2 Resolución de ecuaciones de primer grado. 8.3 Planteamiento de ecuaciones para la resolución de problemas. 8.4 Comprobación del resultado. UNIDAD 9: SISTEMAS DE ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS. 9.1 Interpretación de un sistema de ecuaciones. 9.2 Resolución de sistemas de ecuaciones por los métodos de igualación,

sustitución y reducción. 9.3 Planteamiento y resolución de problemas con sistemas de ecuaciones.

Comprobación de los resultados. UNIDAD 10: ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. 10.1 Estudio elemental de la ecuación de segundo grado. Expresión general. 10.2 Resolución de ecuaciones de segundo grado completas e incompletas. 10.3 Planteamiento y resolución de problemas con ecuaciones de segundo grado.Comprobación del resultado.

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UNIDAD 11: ESTUDIO ELEMENTAL DE FUNCIONES. ANÁLISIS GRÁFICO. 11.1 Concepto de función. Variables y tablas de datos. 11.2 Representaciones gráficas en el plano. Interpretación de una gráfica. 11.3 La función lineal. Representación gráfica de funciones de primer grado. La recta. 11.4 La función cuadrática. Representación gráfica de funciones de segundo Grado. La parábola. BLOQUE 3: INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD UNIDAD 12: NOCIONES ELEMENTALES DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 12.1 Experimentos aleatorios. Espacio muestral. Sucesos. 12.2 Tablas de datos. 12.3 Frecuencia absoluta y frecuencia relativa. 12.4 Media aritmética, mediana y moda. 12.5 Medidas de dispersión. 12.6 Organización de los datos: Gráficos de barras y sectores. 12.7 Introducción a la probabilidad experimental.

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UNIDAD 1: LOS NÚMEROS (I).

1.1 Concepto de número. Sistema de numeración decimal. 1.2 Divisibilidad. Concepto de múltiplo y divisor. Números primos. 1.3 Descomposición factorial de un número. 1.4 Máximo común divisor (MCD) de varios números. 1.5 Mínimo común múltiplo (mcm) de varios números.

1.1 CONCEPTO DE NÚMERO. CLASES DE NÚMEROS. SISTEMA DE

NUMERACIÓN DECIMAL. Un número es un concepto abstracto que asociamos a una cantidad de algo, en término de unidades que constituyen ese algo. Los números nos permiten contar, comparar cantidades, adicionar, restar etc. Los números están presentes en nuestra vida cotidiana en múltiples facetas: fechas, precios, saldos, edades, horas, … El origen de los números se pierde en lo más lejano de la historia y surgió, al parecer, por la necesidad del ser humano para contar. Cada número se representa mediante un símbolo gráfico al que se asocia una cantidad de referencia. Lógicamente, a lo largo de la Historia ha habido diferentes sistemas de numeración y diferentes grafías para las cifras. Por ejemplo, en tiempos de los romanos se utilizaban algunas letras del alfabeto a las que se le asignaban valores cuantitativos concretos. Las cantidades se

expresaban disponiendo las letras en el orden adecuado. Entre las cifras romanas hay tres que no pueden estar repetidas en el mismo número. Estas cifras son V, L y D. Es obvio que escribir VV equivale a escribir X. Además, cuando se escribe a la derecha de cualquiera de estas tres cifras otra de las que sí se pueden repetir, se suman sus valores. Cuando se escribe a la izquierda, sus valores se restan: IV 5 – 1 = 4 XVI 10 + 5 + 1 = 16

VI 5 + 1 = 6 XXIV 10 + 10 + 4 = 24 MDCC 1000 + 500 + 100 + 100 = 1.700 CM 1000 - 100 = 900

Los números arábigos son los símbolos más utilizados para representar números. Se les llama "arábigos" porque los árabes los introdujeron en Europa, aunque en realidad son invención de la India. El mundo le debe a la cultura india el invento trascendental del sistema de numeración de base 10, llamado de posición, así como el descubrimiento del 0 (llamado "sunya" o "bindu" en lengua sánscrita), aunque los mayas también conocieron el 0. Los matemáticos persas de la India adoptaron el sistema, de quienes lo tomaron los árabes. Los números arábigos, tal y como los usamos ahora, son 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y el importantísimo 0. Se trata de un sistema

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de tipo decimal cuyas cifras ocupan un lugar con un determinado valor, siendo el del símbolo cero el lugar destinado al vacío. Al escribir un determinado número, combinamos las cifras de manera que según su posición representan cantidades determinadas. Las unidades, las decenas, las centenas, los millares, las decenas de millar, centena de millar, millón … son los nombres que asignamos a las diferentes posiciones que ocupan las cifras de izquierda a derecha. Cada diez unidades obtenemos una decena. Cada diez decenas obtenemos una centena y así sucesivamente. Puesto que las agrupaciones se basan en conjuntos de diez elementos decimos que constituyen un sistema de numeración decimal. Decenas de millar Millares Centenas Decenas Unidades

EJEMPLOS 1.- Escribe los números A y B siguientes y realiza su suma: A Tres decenas de millar, 8 centenas 5 decenas y 9 unidades B 2 millones, 3 decenas de millar, 4 millares y 7 decenas Número A 30.859 Número B 2.034.070 2.064.929 2.- Los números se pueden escribir en forma compleja (separando las unidades, decenas, centenas,…). Observa el ejemplo: 8.572 = 8x1000 + 5x100 + 7x10 + 2 8 millares 5 centenas 7 decenas y 2 unidades. Siguiendo el modelo del ejemplo, descomponer los siguientes números en forma compleja: 24.098 1.098.670 45.781

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1.2 DIVISIBILIDAD. CONCEPTO DE MÚLTIPLO Y DIVISOR. NÚMEROS PRIMOS.

Desde hace mucho tiempo, el hombre se ha visto ante la necesidad de tener que repartir cantidades de cosas entre personas, dándole a cada una el mismo número de unidades.

A través de la práctica el hombre descubrió que este problema a veces sí tenía solución y a veces no. Este hecho hizo que se estudiase que relación se encontraba entre los números en los que este problema sí tenía solución y los números en los que no. De esta forma comenzó a estudiarse la divisibilidad.

Un número “a” se puede dividir por otro número “b” (o también, dicho de otra forma, a es divisible por b), cuando con el número de unidades que indique el número a se puedan hacer tantos grupos como indique el número b, teniendo todos estos grupos el mismo número de unidades. Decimos que “a” es divisible entre “b” si la división a : b es exacta (es decir, su resto es cero).

Por ejemplo, el número 12 es divisible por 4 ya que la división 12 : 4 = 3 es exacta.

Sin embargo, el número 12 no es divisible por 5 ya que al dividir 12 : 5 = 2 y el resto es 2, por tanto no es exacta la división.

Los conceptos múltiplo y divisor son conceptos complementarios, pues se definen conjuntamente.

Se dice que un número es múltiplo de otro cuando lo contiene un número exacto de veces.

Por ejemplo, el número 60 es divisible por 5, ya que la división 60 : 5 = 12 Esto significa que el número 60 contiene 12 veces al número 5. Así pues podemos decir que: “el 20 es un múltiplo de 5” o bien que “el 5 es un divisor de 20·”

Para saber si un número es múltiplo de otro comprobaremos si al dividir el primero entre el segundo la división es exacta. No obstante, hay ciertos criterios que nos permiten saber si un número es o no múltiplo de otro sin necesidad hacer la división. Son los llamados criterios de divisibilidad.

• CRITERIO DE DIVISIBILIDAD POR 2

“Todo número que acabe en cifra par (2, 4, 6, 8, 0) es divisible por 2.”

Ejemplos: 26, 288, 2690, 192, 454, etc son divisibles por 2

13, 167, 991, 1099, 4675, etc No son divisibles por 2

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• CRITERIO DE DIVISIBILIDAD POR 3

“Son divisibles por 3 todos los números cuyas cifras sumen 3 o múltiplo de 3”

El número 1.458 es divisible por 3 ya que 1+4+5+8 = 18 Es múltiplo de 3.

El número 2.794 no es divisible por 3 ya que 2+7+9+4 = 22 No es múltiplo de 3

Otros ejemplos: 270, 588, 2690, 162, 4074, etc son divisibles por 3

130, 967, 4991, 1009, 8675, etc No son divisibles por 3

• CRITERIO DE DIVISIBILIDAD POR 4

“Un número es divisible por 4 si acaba en 00 o bien si las dos últimas cifras del número son múltiplos de 4”

Ejemplos: 728, 280, 2600, 6792, 452, 5436 etc son divisibles por 4

813, 1691, 9810, 1099, 4675, etc No son divisibles por 4

Observa que todos los múltiplos de 4 son también múltiplos de 2

• CRITERIO DE DIVISIBILIDAD POR 5

“Es divisible por 5 todo número que acabe en 0 o en 5.”

Ejemplos: 20, 285, 2690, 195, 450, etc son divisibles por 5

713, 166, 981, 1094, 4678, etc No son divisibles por 5

• CRITERIO DE DIVISIBILIDAD POR 6

“Es divisible por 6 todo número que sea divisible a la vez por 2 y por 3.”

Ejemplos: 246, 972, 2670, 1926, 4548, etc son divisibles por 6

213, 1670, 9914, 1099, 4675, etc No son divisibles por 6

Observa que todos los múltiplos de 6 son números pares

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• CRITERIO DE DIVISIBILIDAD POR 7

Para saber si un número es divisible por 7 debemos hacer la siguiente operación:

1.- Separamos la última cifra del número del resto de cifras.

2.- Multiplicamos esta última cifra por 2 y el resultado que obtenemos se lo restamos al conjunto de cifras restantes que formaban el número.

3.- Si el resultado de la resta es 0, 7 o múltiplo de 7, el número en cuestión es divisible por 7.

Ejemplo: 105 Separamos la última cifra que es el 5 y lo multiplicamos por 2.

10 | 5 Obtenemos como resultado de la multiplicación 5x2=10.

Ahora restamos ese resultado al resto de número que quedaba:

10 – 10 = 0 luego el 105 es múltiplo de 7

Ejemplo: 413 Separamos la última cifra que es el 3 y lo multiplicamos por 2.

41 | 3 Obtenemos como resultado de la multiplicación 3x2=6.

Ahora restamos ese resultado al resto de número que quedaba:

41 – 6 = 35 como 35 es múltiplo de 7, el 413 es múltiplo de 7

Ejemplos: 1036, 8778, 273 , 392, 2275 , etc son divisibles por 7

213, 197, 991, 1089, 4675, etc No son divisibles por 7

• CRITERIO DE DIVISIBILIDAD POR 8

“Un número es divisible por 8 cuando acaba en 000 o sus tres últimas cifras son múltiplo de 8”

Ejemplos: 1024, 13.000, 2640, 1272, 5960, etc son divisibles por 8

4213, 1670, 9715, 1900, 4860, etc No son divisibles por 8

Observa que todos los múltiplos de 8 son números pares y también múltiplos de 4.

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• CRITERIO DE DIVISIBILIDAD POR 9

“Son divisibles por 9 todos los números cuyas cifras sumen 9 o múltiplo de 9”

El número 1.458 es divisible por 9 ya que 1+4+5+8 = 18 Es múltiplo de 9.

El número 2.794 no es divisible por 9 ya que 2+7+9+4 = 22 No es múltiplo de 9

Otros ejemplos: 270, 288, 2691, 162, 5094, etc son divisibles por 9

130, 967, 4991, 1009, 8675, etc No son divisibles por 9

• CRITERIO DE DIVISIBILIDAD POR 10

“Son divisibles por 10 todos los números que acaben en 0”

Ejemplos: 270, 580, 2690, 160, 4000, etc son divisibles por 10

136, 969, 4991, 1007, 8675, etc No son divisibles por 10

• CRITERIO DE DIVISIBILIDAD POR 11

“Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar impar y la suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar par, de derecha a izquierda, es cero o múltiplo de 11”.

Ejemplo: 3487 Cifras de lugar impar (primera y tercera cifra) 7 + 4 = 11

Cifras de lugar par (segunda y cuarta cifra) 8 + 3 = 11

Se restan ambos resultados: 11 - 11 = 0

Como en esa resta da 0, 11 o múltiplo de 11, entonces el 3487 es múltiplo de 11.

Ejemplo: 13589 Cifras de lugar impar (1ª, 3ª y 5ª cifra) 9+5+1=15

Cifras de lugar par (2ª y 4ª cifra) 8+3 = 11

Se restan ambos resultados: 15 – 11 = 4

Como la resta no da 0, 11 o múltiplo de 11, el número 13589 NO es múltiplo de 11

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Existen más criterios de divisibilidad para otros números pero con los vistos anteriormente son suficientes para este nivel. Resulta evidente que cualquier número tiene al menos dos divisores, que son el 1 y el propio número. Si un determinado número no tiene más que estos dos divisores entonces se dice que es un número primo. Si un número tiene más divisores que el 1 y el propio número entonces se dice que es un número compuesto. Recuerda

Número primo es aquel que solamente es divisible por 1 y por sí mismo. Número compuesto es aquel que tiene más divisores que el 1 y el propio número.

A continuación se recogen los números primos del 1 al 100 obtenidos al ir eliminando los múltiplos de 2, de 3, de 4, etc. De esta forma los números que quedan sólo tienen como posibles divisores el 1 y el propio número. Este método se conoce como la “criba de Eratóstenes”. Observa que todos los números primos acaban en 1, 3, 7 ó 9. Razona por qué no existen números primos que acaben en cifra par o en 5.

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1.3 DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DE UN NÚMERO. Los números compuestos pueden expresarse como un producto de factores primos. Así por ejemplo, el 6 = 2 · 3 , el 18 = 2 · 9 = 2 · 3 · 3, etc. Una forma de calcular la equivalencia de un número en un producto de factores primos es mediante la llamada descomposición factorial. Ésta consiste en escribir el número que se va de descomponer a la izquierda de una línea vertical e ir haciendo divisiones sucesivas del número por los diferentes divisores del mismo hasta llegar a la unidad. Cuando en el producto algún factor se repite, se puede expresar como potencia. A continuación se presentan cuatro ejemplos correspondientes a la factorización de los números 12, 30, 32 y 81. 1.4 MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) DE VARIOS NÚMEROS. El máximo común divisor (MCD) de dos o más números es el número más grande posible por el que se pueden dividir dichos números, siendo las divisiones exactas. De forma intuitiva, podemos calcular el máximo común divisor de dos números no muy grandes por simple comparación de sus divisores. Así, por ejemplo, para saber cuál es el máximo común divisor de 24 y 30 podemos escribir todos los divisores de ambos números y compararlos. Divisores de 24 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24. Divisores de 30 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30 Se han destacado en negrita los divisores comunes. De ellos, el mayor es el 6, por tanto podemos decir que el MCD de 24 y 30 es el 6. Lógicamente, podemos comprobar que no hay otro número mayor que el 6 por el que se puedan dividir a la vez el 24 y el 30 y se obtengan divisiones exactas. Para calcular el MCD de varios números existe un método en el que se necesita realizar primeramente la descomposición de esos números en productos de factores primos.

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Por ejemplo, si queremos calcular el máximo común divisor de 40 y 60 , debemos hacer la descomposición factorial de ambos números: MCD (40 , 60) = 22 · 5 = 20 40 = 23 · 5 60 = 22 · 3 · 5 Para calcular el MCD se multiplican los factores comunes a ambos números (sólo los factores comunes) elevados al menor exponente. En el ejemplo anterior tenemos dos factores comunes en ambos números. Esos factores son el 2 y el 5. Entre el 23 y el 22 se multiplica el de menor exponente, es decir, el 22. En el caso del 5, en ambos números está elevado al mismo exponente, por lo que se multiplica el 5 directamente. MCD (40 , 60) = 22 · 5 = 20 El divisor común más grande de 40 y 60 es el 20. RECUERDA

Para hallar el MCD de varios números a partir de sus descomposiciones factoriales se multiplican los factores comunes elevados al menor exponente.

EJEMPLO Halla el máximo común divisor de los números 30, 45 y 80

30 = 2 · 3 · 5 45 = 32 · 5 El único factor común a los tres números es el 5, luego ése es el 80 = 24 · 5 máximo común divisor.

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1.5 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (mcm) DE VARIOS NÚMEROS. Dos números o más tienen infinitos múltiplos comunes, pero de todos ellos, uno será el menor. Al menor de los múltiplos comunes de dos o más números es a lo que llamamos mínimo común múltiplo (mcm). Vamos a considerar los números 12 y 15 y vamos a escribir algunos de sus múltiplos: Múltiplos de 12 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, …. Múltiplos de 15 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, … Se han destacado en negrita los múltiplos comunes a ambos números. Lógicamente habrá muchos más múltiplos comunes (infinitos), pero de todos ellos, el menor es el 60. Por tanto, el mínimo común múltiplo de 12 y 15 es 60. Se puede calcular el mínimo común múltiplo de varios números a partir de la descomposición factorial de dichos números. Para ello hay que multiplicar los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente. Al descomponer el 12 y el 15 en un producto de factores primos obtenemos: 12 = 2 · 3 Los factores que aparecen (comunes y no comunes) son el 2, el 3 y 2

15 = 3 · 5 el 5. Para hallar el mcm se multiplican esos factores pero en los que son comunes, se elige el que tiene exponente mayor. mcm (12, 15) = 22 · 3 · 5 = 60 RECUERDA

Para hallar el mcm de varios números a partir de sus descomposiciones factoriales se multiplican los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente.

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EJEMPLO Halla el mínimo común múltiplo de 500 y 625

Observa que el 5 es un factor común en ambos números, pero para hallar el mcm se multiplica el 54 ya que es el de mayor exponente

1.- Realiza la descomposición de los números siguientes, fijándote en el modelo que se muestra como ejemplo: 4.589 = 4x1000 + 5x100 + 8x10 + 9 4 millares, 5 centenas, 8 decenas y 9 unidades 12.075 = 127.678 = 1.509.506 = 508 = 2.- Escribe los números siguientes: 2 unidades de millón, tres decenas de millar, 4 centenas, 8 decenas y 7 unidades 3 centenas de millar, 4 millares y 8 decenas 2 decenas de millar, 7 millares, 8 centenas, 5 decenas y 9 unidades 3 unidades de millón, 5 millares, 8 centenas, 8 decenas y 2 unidades 9 centenas 8 decenas y 1 unidad 5 centenas de millar 3.- ¿Cuál es el menor número de cuatro cifras que es a la vez divisible por 2 y por 5? 4.- ¿Cuál es el primer número de 4 cifras que es múltiplo de 6? 5.- Completa los números siguientes con la cifra que corresponda para que sean divisibles por 2 y por 3 a la vez. 79_0 27_14 689_ 24_06 _1234 489_ 180_ 2_85 6.- Completa los números siguientes con la cifra que corresponda para que sean divisibles por 11. 58_8 2_913 34_ 14_9 45_97 125_ 70_9 421_64

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7.- Sin hacer divisiones, escribe en cada cuadro Sí o No según que el número de la fila superior sea divisible o no por el de la columna de la izquierda: 124 253 355 479 575 616 950 1.925 2.350 2 3 4 5 11 8.- ¿Qué son números primos? Pon al menos tres ejemplos de números primos mayores de 50. 9.- Realiza la descomposición en producto de factores primos de los siguientes números: 130 240 320 600 1100

130 = 240 = 320 = 600 = 1100 =

10.- Escribe en los recuadros correspondientes todos los divisores de los números 36 y 48. Compara los dos conjuntos de divisores e indica cuál es el máximo común divisor de dichos números. Divisores de 36

Divisores de 48

Máximo Común Divisor de 36 y 48

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11.- Escribe en los recuadros correspondientes los 10 primeros múltiplos de los números 30 y 45. Compara los dos conjuntos de múltiplos e indica cuál es el mínimo común múltiplo de dichos números. Múltiplos de 30

Múltiplos de 45

Mínimo Común Múltiplo de 30 y 45 12.- Haz la descomposición factorial de los siguientes pares de números y calcula su máximo común divisor (MCD) y su mínimo común múltiplo (mcm).

135 75 135 = 75 = MCD (135, 75) = mcm (135, 75) =

280 540 280 = 540 = MCD (280, 540) = mcm (280, 540) =

330 220 330 = 220 = MCD (330, 220) = mcm (330, 220) =

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13.- Un viajero va a Barcelona cada 18 días y otro cada 24 días. Hoy han estado los dos en Barcelona. ¿Dentro de cuantos días volverán a estar los dos a la vez en Barcelona? (Sol. 72 días)

14.- Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero cada minuto. A las 6.30 de la tarde los tres coinciden. ¿A qué hora volverán a coincidir otra vez? (Sol. A las 6.33) 15.- En una bodega hay 3 toneles de vino, cuyas capacidades son: 250 l, 360 l, y 540 l. Su contenido se quiere envasar en cierto número de garrafas iguales. Calcular las capacidades máximas de estas garrafas para que en ellas se pueda envasar el vino contenido en cada uno de los toneles, y el número de garrafas que se necesitan. (Sol. Capacidad máxima: 10 lítros. Se necesitan en total 115 garrafas) 16.- Se quiere poner alambrada en el perímetro de un terreno de forma rectangular cuyos lados miden 320 m y 100 m respectivamente, deseando que entre los postes haya la misma distancia y que en cada esquina haya uno. ¿cuál es la máxima separación a que pueden colocarse los postes y cuántos postes se necesitan para poner en todo el perímetro? (Sol. Máxima separación: 20 m ; Se necesitan 42 postes) 320 m 100 m

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UNIDAD 2: LOS NÚMEROS (II).

2.1 Los números naturales. Ordenación de números naturales. 2.2 Los números enteros. Ordenación de números enteros. 2.3 Operaciones con números enteros: suma, resta, multiplicación y división. 2.4 Operaciones combinadas con números enteros. Jerarquía de las operaciones.

N 1 2.1 LOS NÚMEROS NATURALES. ORDENACIÓN DE NÚMEROS NATURALES. Los números naturales constituyen el conjunto de números más sencillo y habitual. Con los números naturales contamos los elementos de un conjunto (número cardinal). O bien expresamos la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (ordinal). Los números naturales están ordenados , lo que nos permite comparar dos números naturales: 5 > 3; 5 es mayor que 3. 3< 5; 3 es menor que 5.

Los números naturales son números positivos y sin decimales. El conjunto de los números naturales se representa con la letra N.

El aforo de un local, la edad de una persona, la cantidad de hijos, el número de habitantes de una ciudad, etc … se expresan mediante números naturales. Los números naturales son ilimitados, si a un número natural le sumamos 1, obtenemos otro número natural.

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Representación de los números naturales

Los números naturales se pueden representar en una recta ordenados de menor a mayor. Sobre una recta señalamos un punto, que marcamos con el número cero. A la derecha del cero, y con las mismas separaciones, situamos de menor a mayor los siguientes números naturales: 1, 2, 3...

2.2 LOS NÚMEROS ENTEROS. ORDENACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS. A veces nos podemos encontrar en la necesidad de indicar cantidades menores que el cero. Por ejemplo, en los días de mucho frío, la temperatura suele ser inferior a 0 ºC. En este caso es necesario recurrir a los números negativos.

Mira este cuadro:

Las temperaturas que son mayores a los 0 grados se indican con números enteros positivos y las temperaturas por debajo de los 0 grados, se indican con números enteros negativos.

También, cuando subes a un ascensor, puedes ver que allí está indicada la cantidad de pisos que posee el edificio a través de números enteros positivos, y también están indicados los pisos destinados a sótanos o estacionamientos (por debajo del nivel de la calle), con números enteros negativos.

Cuando el saldo de una cuenta en el banco es menor de cero (“númemplean los números negativos. Al referirnos a años anteriores al nacimiento de Cristo también empleamos los números negativos, etc. Podemos comprobar que utilizamos los números enteros en muchas situaciones de nuestra vida diaria.

eros rojos”) se

Debe observarse que los números enteros representan unidades completas, es decir, no tienen decimales.

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Al ordenar los números enteros hay que tener en cuenta que:

- Los números enteros positivos son números mayores que el cero y se sitúan a la derecha del cero en la recta numérica. Se representan poniendo el signo + (más) delante de un número natural.

- Los números enteros negativos son menores que el cero y se sitúan a la izquierda del cero. Se representan poniendo el signo - (menos) delante de un número natural.

De esta manera tenemos dos conjuntos:

• Conjunto de números positivos (o números naturales) • Conjunto de números negativos.

Números crecientes

Números decrecientes

Al conjunto que está formado por los números negativos, los números positivos y el cero, llamamos conjunto de números enteros. Este conjunto se representa con la letra Z

Se llama valor absoluto de un número entero al valor numérico independientemente del signo. Se representa indicando entre barras el número sin el signo:

Ejemplo: Valor absoluto de +5 |5| Valor absoluto de – 3 |3|

Cuando hablamos del valor absoluto de un número entero, nos referimos al número solamente, sin tener en cuenta el signo.

A la vista de la ordenación anterior podemos obtener las siguientes conclusiones:

- Cualquier número positivo es mayor que cualquier número negativo.

Ejemplos: - 6 < +9 -8 < +1

- Al comparar dos números enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto.

Ejemplos: + 9 > + 6 + 14 < + 23

21

- Al comparar dos números negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto.

Ejemplos: - 4 < -1 - 5 > - 9

- Se llama opuesto de un número entero al número que tiene el mismo valor numérico pero el signo contrario.

Ejemplos: Opuesto de +9 - 9 Opuesto de -12 + 12

RECUERDA

El conjunto de los números enteros lo forman los enteros positivos, enteros negativos y el cero . Los signos + y - que llevan los números enteros no son signos de operaciones (suma, resta), sino que indican simplemente la cualidad de ser positivos o negativos.

Se llama valor absoluto de un número entero al número natural que resulta de prescindir del signo. Se expresa encerrando este número entre dos barras.

2.3 OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS: SUMA, RESTA, PRODUCTO Y DIVISIÓN.

Suma de números enteros

a) Cuando tienen el mismo signo: Se suman los valores y se deja el signo que tienen, si son positivos, signo positivo y si son negativos, signo negativo. Si no se pone nada delante del número se entiende que es +.

(+5) + (+4) = +9 es lo mismo que: 5 + 4 = 9

(- 5) + (- 4) = - 9 es lo mismo que: - 5 - 4 = - 9

b) Cuando tienen distinto signo: Se restan sus valores absolutos y se pone el signo del sumando de mayor valor absoluto. (Se restan y se deja el signo del más grande en valor absoluto).

22

(- 8) + (+3) = - 8 + 3 = - 5 (El número de mayor valor absoluto, es el – 8, por eso el resultado lleva el signo negativo). (+11) + (- 2) = 11 - 2 = + 9 (El número de mayor valor absoluto, es el + 11, por eso el resultado lleva el signo positivo).

(+20) + (-10) = 20 - 10 = +10

(- 9) + (+6) = - 9 + 6 = - 3

Cuando se suman varios números de diferentes signos, se puede operar primero con los números del mismo signo y finalmente hacemos la suma de los resultados obtenidos con los números positivos y negativos.

(+ 4) + (- 2) + (+ 3) + (+ 5) + (- 6) = (+12) + (- 8) = +4

Resta de números enteros

Para restar números enteros se suma al minuendo el opuesto del sustraendo, es decir, al restar dos números enteros se suma al primero el segundo cambiado de signo.

a – b = a + opuesto de (b)

Ejemplos:

(- 6) – (+7) = (-6) + (- 7) = (-13) (+8) – (- 4) = (+8) + (+4) = (+12)

(- 9) – (- 5) = (- 9) + (+5) = (- 4) (+10) – (+3) = (+10) + (- 3) = (+ 7)

Cuando en una misma operación se combinan sumas y restas de números enteros podemos expresar dicha operación de forma más simplificada eliminando los paréntesis de los números. Estos paréntesis se quitarán teniendo en cuenta las siguientes reglas:

23

EJEMPLOS

(+ 8) – (– 2 ) = 8 + 2 = 10 (–7) + (+1) – (+4) = –7 + 1 – 4= - 10

(– 7) – (+5) + (+12) = – 7 – 5 + 12 = 0 (+ 5) – (+7) – (+4) = 5 – 7 – 4 = – 6

(– 6) + (–4) – (+8) + (– 3) – (– 5) – (+1) + (+2) = – 6 – 4 – 8 – 3 + 5 – 1 + 2 =

= - 22 + 7 = - 15

(+9) + (–3) – (–4) – (+6) + (+2) – (–1) = 9 – 3 + 4 – 6 + 2 + 1 = 16 – 9 = 7

EJEMPLO

Álvaro debe a Juana la cantidad de 52€ pero Juana le perdona 7 € de dicha deuda. Con estas nuevas circunstancias ¿cuánto debe ahora Álvaro?

Álvaro debe a Juana 52 €. Escribimos: -52 €

Juana le perdona 7 €. Hay restar al total de la deuda los euros que le perdona. Escribimos: -7 €

Si Juana le perdona parte de su deuda, ¿cuánto debe ahora Álvaro?

Del total de la deuda hay que quitar la parte que le perdonó Juana:

-52 - (-7)

Esta resta la convertimos en una suma:

-52 - (-7) = -52 + op. (-7) = -52 + 7 = -45

El resultado - 45 significa que Álvaro debe ahora 45 €.

24

Producto y división de números enteros: regla de los signos

Para multiplicar dos números enteros Para dividir dos números enteros se multiplican sus valores absolutos y se dividen sus valores absolutos y se aplica la siguiente regla de los signos: se aplica la siguiente regla de signos:

Como habrás observado, el criterio de signos es el mismo en la multiplicación y en la división de números enteros. Ten en cuenta que en la multiplicación y división de números enteros no importa cual tenga mayor o menor valor absoluto. El resultado de la operación tendrá el signo que corresponda según el criterio anterior.

EJEMPLOS

(+ 8) . (+ 3) = + 24

(- 3) . (- 2) = + 6

(+ 4) . ( - 1) = - 4

(- 2) . (+ 4) = - 8

(- 12) · (- 2) = + 24

EJEMPLOS

(- 15) : (- 15) = +1

(+ 8) : (+ 4) = +2

(- 4) : (- 2) = +2

(- 10) : (+ 2) = - 5

(+ 20) : (- 2) = - 10

Cuando en una multiplicación aparecen más de dos factores con diferentes signos, el resultado tendrá el signo que le corresponda al ir aplicando los criterios anteriores de dos en dos factores. El producto de enteros es asociativo, es decir a·(b·c) = (a·b)·c, luego cuando haya que multiplicar varios se multiplican de dos en dos y el resultado se multiplica por los factores que no hayan intervenido en ese producto.

(+5) · (+7) · (-2) = (+35) · (-2) = (-70) (-3) · (-8) · (+4) = (+24) · (+4) = (+96) (-4) · (+9) · (-3) = (-36) · (-3) = (+108) (+6) · (-2) · (+4) = (-12) · (+4) = (-48)

25

2.4. OPERACIONES COMBINADAS CON NÚMEROS ENTEROS. JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES. A veces, a la hora de resolver una determinada secuencia de operaciones, aparecen conjuntamente sumas, restas, productos y/o divisiones. Para resolver este tipo de operaciones es necesario establecer un orden o jerarquía, de manera que en primer lugar se realizará una determinada operación, con prioridad sobre las demás. Observa el ejemplo siguiente:

3 + 5 · 4 =

Para resolver esta operación se nos plantean dos caminos:

a) Resolver primero la suma y después la multiplicación.

3 + 5 · 4 = 8 · 4 = 32 (INCORRECTO)

b) Resolver primero el producto y después la suma.

3 + 5 · 4 = 3 + 20 = 23 (CORRECTO)

Puedes comprobar que los resultados son diferentes según cada camino. En este caso es necesario definir un criterio para realizar la operación. Este criterio es lo que conocemos como jerarquía de las operaciones.

- Cuando en una misma secuencia de cálculo aparecen combinadas sumas y restas con productos y/o divisiones, tienen prioridad los productos y/o divisiones sobre las sumas y restas. Así pues, se resolverán primero los productos y/o divisiones y después las sumas y/o restas.

EJEMPLOS 3 – 7 ·(– 5) + 8 = 3 + 35 + 8 = 46 (Se resuelve primero el producto, teniendo en cuenta los signos) – 5 · 3 + 12 : (–4) + 6 = – 15 – 3 + 6 = –12 (Se resuelven primero el producto y la división)

Si un una secuencia de cálculo solo aparecen productos y divisiones se resuelve la operación empezando por la izquierda y calculando sucesivamente los resultados en el mismo orden el que están escritas las operaciones:

3 · 4 : (- 2) · 5 : 6 12 : (–2) = – 6 – 6 · 5 = – 30 – 30 : 6 = – 5

26

Observa en el ejemplo anterior que se han ido resolviendo las operaciones en el mismo orden en el que aparecen escritas de izquierda a derecha.

Si en una secuencia de cálculo queremos resolver las operaciones en un orden diferente al que establece la jerarquía de las operaciones, debemos indicarlo mediante el uso de paréntesis ( ) y corchetes [ ]. De esta forma, si en una secuencia aparecen paréntesis o corchetes, se resolverá primero lo que se encuentra dentro de ese paréntesis o corchete. Fíjate en los ejemplos siguientes y observa la diferencia.

6 + 5 · 3 = 6 + 15 = 21 (Se resuelve primero el producto).

(6 + 5) · 3 = 11 · 3 = 33 (se resuelve primero el paréntesis y luego el producto)

[ (3 + 5) · 2 ] + 4 · (1 – 3) = 8 · 2 + 4 · (- 2) = 16 – 8 = 8 (se resuelve primero el corchete y los

paréntesis, después los productos y finalmente la suma).

RECUERDA

Cuando se realizan operaciones combinadas con números enteros, es decir, cuando tenemos a la vez suma, resta, multiplicación o división, no podemos realizarlas de forma arbitraria. Existe una jerarquía de las operaciones que debe respetarse, y es la siguiente: 1º) Si hay paréntesis y corchetes, primero se resuelven las operaciones que hay en su interior.

2º) Se realizan las multiplicaciones y divisiones.

3º) Por último, se realizan las sumas y restas.

EJEMPLO

Calcula el resultado de la operación – 4 · 2 + (–3) · 7 – (2 + 2)

– 4 · 2 + (–3) · 7 – (2 + 2) Primero se resuelve el paréntesis.

– 4 · 2 + (–3) · 7 – 4 Después se realizan las multiplicaciones.

–8 + (–21) – 4 Finalmente se resuelven las sumas y las restas. El resultado es – 33

27

Algunas propiedades de las operaciones con números enteros 1- La suma, la resta y el producto de varios números enteros siempre dan como resultado otro número entero, sin embargo la división de dos números enteros no siempre da como resultado otro número entero. Así por ejemplo al dividir (+10) : (-2) obtenemos como resultado (-5) que sí es un número entero, pero al dividir (+3) : (-4) el resultado obtenido es un número decimal (no entero). 2.- La suma y el producto de números enteros tienen la propiedad conmutativa, es decir, que no importa el orden en que se coloquen los sumandos o los factores, pues el resultado será el mismo. Sin embargo, la resta o la división no tienen la propiedad conmutativa. 3 – 10 = – 7 El resultado es diferente dependiendo del orden en que se coloquen los números, por tanto no existe 10 – 3 = +7 la propiedad conmutativa en la resta de enteros. 20 : 5 = 4 El resultado es diferente dependiendo del orden en que se coloquen los números a dividir, por tano no 5 : 20 = 0,25 existe la propiedad conmutativa en la división. 3.- El 0 es el llamado elemento neutro de la suma de enteros, pues al sumar cero a cualquier número entero, obtenemos el mismo número entero. – 8 + 0 = – 8 12 + 0 = 12 4.- El 1 es el llamado elemento neutro de la multiplicación de enteros, pues al multiplicar cualquier número entero por 1 obtenemos el mismo número entero. (- 7) · 1 = (-7) 23 · 1 = 23 5.- No es posible dividir ningún número por cero. Esta división no tendría una solución real, pues no existe ningún número que al multiplicarlo por cero dé otro resultado distinto de cero.

? ?

NO EXISTE

0

Resto Resto

28

1 2 3 4

29

5 6 7 8 9 10

30

11 12

31

13 14 15

32

16 17 18 19 20

33

21 22

34

PROBLEMAS SOBRE NÚMEROS ENTEROS 1.- La siguiente tabla muestra la altura (positiva si es sobre el nivel del mar y negativa si es bajo el nivel del mar) de algunos picos y fosas marinas.

Observa el cuadro: PICOS FOSAS Teide Everest Almanzor Marianas Mindanao Java Altura 3.718 8.848 2.592 -11.520 -11.524 -7.450

• Ordena los nombres de menor a mayor altura.

• Calcula en metros la diferencia de alturas que existe entre:

El Everest y la Fosa de las Marinas.

El Everest y la Fosa de Mindanao.

El Teide y la fosa de Java.

• ¿Cuál es la mayor diferencia en altura entre estos puntos de la Tierra?

2.- Un edificio tiene cuatro plantas de garaje y once pisos de altura. Tanto las plantas de garaje como los pisos miden tres metros de altura. Expresa con números enteros y en metros la altura a que se encuentra el suelo de cada planta de garaje y de cada piso.

Garaje Piso -4 -3 -2 -1 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º 11º Altura desde el suelo

3.- Un avión vuela a 10.000 metros de altura sobre el nivel del mar. Suponiendo que la temperatura descienda 5 grados centígrados en cada kilómetro, y que el nivel del mar es de 20º C ¿Cuál es la temperatura en el exterior del avión?

35

4.- Arquímedes fue un sabio griego que nació en el año 287 antes de Cristo y vivió 75 años. Gauss fue un importante matemático que nació en 1777 y vivió 78 años.

a) ¿En qué año murió cada uno? b) ¿Cuántos años separan la muerte de Arquímedes y la de Gauss?

5.- Federico se presenta a un examen de oposición que consta de 50 preguntas tipo test. Por cada pregunta que responde acertadamente suma 3 puntos. Por cada una que falla resta 2 puntos. Las preguntas que se deja en blanco no suman ni restan. Al finalizar el examen, Federico se ha dejado 6 preguntas en blanco y comprueba que ha acertado 35. ¿Cuál es la calificación que ha obtenido nuestro voluntarioso Federico?

6.- El nivel del agua de una presa ha disminuido 8 cm diarios durante 6 días. A causa de las intensas lluvias caídas los 3 días siguientes ha subido el nivel 7 cm diarios. ¿Cuál ha sido el desnivel total del agua de la presa desde el primer al último día?

7.- Ayer, la temperatura a las nueve de la mañana era de 15º C. A mediodía había subido 6º C, a las cinco de la tarde marcaba 3º C más, a las nueve de la noche había bajado 7º C y a las doce de la noche aún había bajado otros 4º C. ¿Qué temperatura marcaba el termómetro a medianoche?

36

8.- Manoli tiene ahora 46 años y hace tres años su hijo tenía 17. ¿Qué edad tendrá Manoli cuando su hijo tenga 28 años? 9.- La temperatura más alta registrada en la Tierra fue de 58 ºC en Libia en septiembre de 1922, y la más baja fue de – 88 ºC en la Antártida en agosto de 1960. ¿Cuál es la diferencia entre la temperatura registrada en Libia y la registrada en la Antártida? 10.- Platón fue un filósofo griego que nació en el año 428 antes de Cristo y murió en el año 347 antes de Cristo. ¿Qué edad tenía Platón al morir? ¿Cuántos años hace que murió? 11.- Mónica está aburrida y decide montar en el ascensor para pasar el rato. Parte en ascensor desde la planta cero de su edificio e inicia su recorrido. El ascensor sube 5 plantas, después baja 3, sube 5, baja 8, sube 10, sube 5 y baja 6. ¿En qué planta está?

37

UNIDAD 3: LOS NÚMEROS (III).

3.1 Concepto de fracción. Expresión y comparación de fracciones. 3.2 Fracciones equivalentes. 3.3 Fracciones irreducibles. 3.4 Suma y resta de fracciones. 3.5 Producto y división de fracciones. 3.6 La fracción de un número. Aplicación al porcentaje. 3.7 El conjunto de los números racionales.

3.1 CONCEPTO DE FRACCIÓN. EXPRESIÓN Y COMPARACIÓN DE FRACCIONES. De forma cotidiana se nos presentan situaciones en las que los números enteros no permiten expresar determinadas cantidades. Por ejemplo, si disponemos de tres pizzas para cuatro personas es evidente que no corresponde una pizza por persona, pero si cada pizza la dividimos en cuatro partes tendremos en total doce trozos. Al hacer el reparto ahora, a cada persona le corresponden tres trozos (tres cuartas partes). En este caso hemos recurrido a las fracciones para solucionar el reparto. Con las fracciones podemos representan cantidades no enteras. Una fracción es una expresión numérica que indica las partes que se consideran con respecto al total de partes iguales en las que se divide la unidad. Podemos entender una fracción como una división expresada de la siguiente forma:

ba “a” es el numerador e indica las partes de la unidad que se consideran.

“b” es el denominador e indica las partes en que se divide la unidad.

Observa los siguientes ejemplos (imagina que se trata de pastillas de chocolate que están divididas en onzas) De 5 partes tomamos 2 fracción: dos quintos De 20 partes tomamos 8 Fracción: ocho veinteavos.

38

Para nombrar las fracciones decimos el numero que aparece en el numerador seguido del denominador. Cuando el denominador es 2 lo nombramos como “medio”. Cuando el denominador es 3 lo nombramos como “tercios”, etc. Observa los siguientes ejemplos.

21 Un medio

32 Dos tercios

43 Tres cuartos

52 Dos quintos

65 Cinco sextos

74 Cuatro séptimos

87 Siete octavos

97 Siete novenos

101 Un décimo

113 Tres onceavos

207 Siete veinteavos

423 tres cuarentaydosavos

Las fracciones aparecen en muchas partes de las matemáticas, de ahí su importancia. Su significado básico es representar las partes en que se divide algo (denominador) y el número de ellas que se toman (numerador). Las fracciones pueden ser propias, impropias o aparentes. Las fracciones propias representan cantidades menores que la unidad (tienen el numerador menor que el denominador). Las impropias representan cantidades mayores que la unidad (tienen el numerador mayor que el denominador). Las fracciones aparentes son las que equivalen a la unidad (tienen el numerador y el denominador iguales). Cualquier fracción que tenga el numerador igual que el denominador equivale a la unidad completa. Un tipo particular de fracciones son las llamadas fracciones decimales. En estas fracciones el denominador es la unidad seguida de ceros (10, 100, 1000, etc).

39

CLASIFICACIÓN DE LAS FRACCIONES A partir de esta clasificación podemos sacar algunas conclusiones que nos permiten comparar fracciones y determinar entre dos fracciones cuál es mayor o menor. - Cualquier fracción impropia (mayor que la unidad) es mayor que cualquier fracción propia (menor que la unidad). Así por ejemplo, podemos escribir:

45 >

73

76 <

23

101 <

57

58 >

45

- Al comparar fracciones con igual denominador, es mayor la que tiene mayor numerador:

45 >

43

72 <

76

87 >

81

52 <

53

- Al comparar fracciones con igual numerador, es mayor la que tiene menor denominador. Esto es fácil de entender si pensamos que cuanto mayor es el denominador, esto significa que la unidad se ha dividido en más partes iguales, por lo que cada parte es menor. Por ejemplo, al dividir la unidad en diez trozos, cada trozo es más pequeño que si dividimos la unidad en tres trozos. Por tanto podemos escribir que:

101 <

31

45 >

75

23 >

83

51 <

31

Observa la figura siguiente y compara cómo al aumentar el denominador, la fracción representa una cantidad menor.

40

3.2 FRACCIONES EQUIVALENTES. Se llaman fracciones equivalentes a aquellas que representan la misma parte de la

unidad. Al observar la figura siguiente se puede comprobar que las fracciones 21 ,

42 y

84 equivalen a la misma porción de la unidad. Se trata de tres fracciones equivalentes.

Si en una fracción multiplicamos o dividimos su numerador y su denominador por el mismo número se obtiene una fracción equivalente. Podemos obtener fracciones equivalentes a una dada por amplificación (multiplicando numerador y denominador por un mismo números) o por simplificación (dividiendo numerador y denominador por un mismo número).

Por amplificación: Ejemplo: 2/3. Multiplicamos numerador y denominador 7. El resultado es: 14/21. Ya tenemos dos fracciones equivalentes.

2114

32=

Para comprobar si dos fracciones son equivalentes podemos multiplicar en cruz los términos de las dos fracciones y si el resultado obtenido coincide, se trata de fracciones equivalentes. Comprobación anterior: 2 x 21 = 42 3 x 14 = 42

Por simplificación: Ejemplo 25/30. Siempre que el numerador y el denominador se puedan dividir por un mismo número, al hacer división obtendremos una fracción

41

equivalente por simplificación. En el ejemplo anterior, podemos dividir por 5 ambos términos. La nueva fracción equivalente obtenida es: 5/6.

65

3025

=

A partir de una fracción dada podemos obtener infinitas fracciones equivalentes. Basta con ir multiplicando el numerador y el denominador por números diversos números (pero siempre se debe multiplicar ambos términos por el mismo número)

...240180

3224

1612

129

86

43

======

RECUERDA

Dos fracciones son equivalentes cuando al multiplicar en cruz sus términos se obtiene el mismo resultado.

También se puede comprobar si dos fracciones son equivalentes realizando el cociente (numerador entre denominador) y comprobando si se obtiene el mismo resultado en ambas.

3.3 FRACCIONES IRREDUCIBLES. Cuando una fracción no se puede simplificar más puesto que no hay ningún divisor común (excepto el 1) para el numerador y el denominador, se dice que la fracción es irreducible. A partir de una fracción dada, podemos hacer sucesivas simplificaciones dividiendo ambos términos por un mismo número hasta llegar a una fracción cuyo numerador y denominador no tengan ningún divisor común (excepto el 1). Esta es la fracción irreducible. : 2 : 2 : 3

4836

2418

129

43 Fracción irreducible

: 2 : 2 : 3

42

Podemos obtener directamente la fracción irreducible de una dada, dividiendo el numerador y el denominador por el máximo común divisor de ambos. 3.4 SUMA Y RESTA DE FRACCIONES. A la hora de sumar o restar fracciones se nos pueden presentar dos casos: a) Suma o resta de fracciones con igual denominador. En este caso, el resultado es otra fracción cuyo numerador es la suma o resta de los numeradores y el denominador es el mismo que tienen las fracciones que se suman o restan. ¡Cuidado!, los denominadores no se suman ni restan, sólo se realizan estas operaciones con los numeradores.

Ejemplos: 92

97

95

−=−

bdca

bd

bc

ba ++

=++

103

108

104

101

−=−+

b) Suma o resta de fracciones con diferente denominador.

En primer lugar, haremos hincapié en que sólo es posible sumar o restar fracciones cuando tengan igual denominador. Si no tienen el mismo denominador, no es posible sumar ni restar directamente dichas fracciones. Primero debemos encontrar fracciones equivalentes a las que se van a sumar o restar pero que tengan todas el mismo denominador.

43

Por ejemplo si queremos sumar 31

21+ , los denominadores son distintos pero hay

fracciones equivalentes a ambas:

Vemos que entre las equivalentes las hay que tienen denominadores 1guales (el 6) , podemos usar esas fracciones para hacer la suma: Para encontrar ese denominador común no es necesario escribir siempre un grupo de fracciones equivalentes. Se puede calcular empleando el mínimo común múltiplo de los denominadores. Para ello realizaremos los siguientes pasos: Paso 1: Para buscar el mínimo común múltiplo de los denominadores debemos descomponerlos en producto de factores de números primos. Paso 2: De las descomposiciones hay que seleccionar ciertos números: todos los números distintos presentes en las descomposiciones con sus exponentes incluidos. Para el m.c.m., si aparecen factores repetidos se eligen los que tengan mayor exponente . Paso 3: El producto de estos números es el mínimo común múltiplo y lo usaremos como denominador común para hacer la suma o resta . Paso 4: Para que las fracciones no cambien debemos modificar también los numeradores , para ello debemos dividir el denominador común encontrado entre el denominador de cada fracción inicial . El resultado de cada división se multiplica por el numerador de la fracción que le corresponda. Paso 5: Por último, con los valores obtenidos se opera en el numerador.

44

Observa la siguiente figura y comprueba gráficamente los resultados de las sumas: Cuando se suman o restan fracciones con números enteros, podemos transformar estos números enteros en fracciones con denominador 1, y operar a continuación como si fueran dos fracciones cualesquiera. Observa el siguiente ejemplo:

313

31

312

31

14

314 =+=+=+ Se transforma el número 4 en la fracción

14

3.5 PRODUCTO Y DIVISIÓN DE FRACCIONES.

EJEMPLOS Resuelve las siguientes operaciones con fracciones:

a) 1831

1810

1812

189

95

32

21

=++=++ b) 72

315 = −−

2192

216

217

21105

=−−

m.c.m (2,3,9) = 18 Denominador común m.c.m (1,3,7) = 21 Denominador común Para obtener los numeradores de las Para obtener los numeradores de las fracciones equivalentes hacemos: fracciones equivalentes hacemos: 18 : 2 = 9 ; 9 x 1 = 9 21 : 1 = 21 ; 21 x 5 = 105 18 : 3 = 6 ; 6 x 2 = 12 21 : 3 = 7 ; 7 x 1 = 7 18 : 9 = 2 ; 2 x 5 = 10 21 : 7 = 3 ; 3 x 2 = 6

45

3.5. PRODUCTO Y DIVISIÓN DE FRACCIONES a) Producto de fracciones. El resultado de la multiplicación de varias fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de todos los numeradores y cuyo denominador es el producto de todos los denominadores. Puedes observar que para multiplicar varias fracciones se multiplican “en línea” los numeradores y los denominadores

ba ·

dc ·

fe =

fdbeca

····

b) División de fracciones. El resultado de la división de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador y denominador es el resultado del producto cruzado de las dos fracciones que se dividen. Realmente la división de dos fracciones se puede interpretar como el producto de la primera fracción por la inversa de la segunda.

43 :

65 =

43 ·

56 =

2018

Tanto en la multiplicación como en la división de fracciones hay que mantener el criterio de signos aplicado en la multiplicación y división de los números enteros. El signo negativo en una fracción puede escribirse delante de la raya de la fracción o en el numerador indistintamente. Observa los ejemplos siguientes:

46

3.6 LA FRACCIÓN DE UN NÚMERO. APLICACIÓN AL PORCENTAJE. Son numerosas las situaciones cotidianas en las que resulta útil calcular la fracción de un número concreto. Por ejemplo, si vamos 4 amigos a cenar y a la hora de pagar

repartimos el gasto a partes iguales, está claro que cada uno deberá pagar 41 del

importe total. Supongamos que el importe es 36 euros. Necesitamos calcular cuánto

es 41 de 36 euros. Para hacer este cálculo, se multiplica el número del que queremos

saber la fracción por el numerador de la misma y se divide por el denominador.

41 de 36 = 9

4136=

x Cada persona debe pagar 9 euros por la cena.

Realmente, calcular la fracción de un número es lo mismo que multiplicar la fracción por ese número.

Ejemplos:

a) Calcular los 32 de 60 b) Calcular

74 de 147

32 de 60 = 40

3602

=x

74 de 147 = 84

7588

71474

==x

Una aplicación muy habitual y cotidiana de cálculo de la fracción de un número lo representan los porcentajes (%). El porcentaje o tanto por ciento equivale a una fracción cuyo denominador es 100 y cuyo numerador es el valor que se indica en comparación con el 100. Por ejemplo, si hablamos del 50%, esto es lo mismo que si

escribimos la fracción 10050 . Ello significa que por cada 100 unidades se consideran 50.

Como habrás deducido ya, 50 es la mitad de 100, por lo tanto el 50% de cualquier cantidad será la mitad de dicha cantidad.

- El 20% representa 20 unidades de cada 100 10020

51 (= una unidad de cada 5)

Hallar el 20% de un número es hallar la quinta parte de dicho número.

- El 75 % representa 75 unidades de cada 100 10075

43 (= 3 unidades de cada 4)

Hallar el 75% de un número es hallar las tres cuartas partes de dicho número.

47

Para hallar un porcentaje determinado de un número, se multiplica dicho número por el porcentaje en cuestión y se divide por 100.

EJEMPLOS Hallar el 25% de 800 Hallar el 64% de 540

10025 de 800 = 400

10080025

=x

10064 de 540 = 6,345

10054064

=x

EJEMPLO RESUELTO En una tienda de ropa hay una oferta en la que descuentan el 30% del importe de cualquier prenda. A continuación se indica el precio de algunas prendas antes del descuento. PANTALÓN: 54 € CAMISA: 24 € VESTIDO: 112 € Calcula el precio de cada prenda una vez aplicado el descuento. Como todas las prendas tienen el 30% de descuento habrá que hallar dicho porcentaje sobre el precio de cada una. El precio final será el que marca inicialmente cada prenda menos el descuento. PANTALÓN:

Descuento: 30% de 54 = 20,16100

5430=

x € Precio final: 54 – 16,20 = 37,80 €

CAMISA:

Descuento: 30% de 24 = 20,7100

2430=

x € Precio final: 24 – 7,20 = 16,80 €

VESTIDO:

Descuento: 30% de 112 = 60,33100

11230=

x € Precio final: 112 – 33,60 = 78,40 €

Algunos porcentajes representan una fracción sencilla respecto al total sobre el que se aplica. Por ejemplo, ya hemos visto que el 50% de un número equivale a la mitad de ese número. El 25% será la mitad de la mitad, es decir, la cuarta parte del número, etc. A continuación se indican algunos porcentajes representativos:

48

Significado Expresión en porcentaje

Expresión en fracción

Expresión decimal (respecto a la unidad)

100 de cada 100 (el total de la cantidad a considerar)

100 % 100

100 1

75 de cada 100 (tres cuartas partes de la cantidad total)

75 % 100

75 (=43 )

0,75 50 de cada 100 (la mitad de la cantidad total)

50 % 100

50 (=21 )

0,5 25 de cada 100 (la cuarta parte de la cantidad total)

25 % 100

25 (=41 )

0,25 20 de cada 100 (la quinta parte de la cantidad total)

20 % 100

20 (=51 )

0,2 10 de cada 100 (la décima parte de la cantidad total)

10 % 100

10 (=101 )

0,1 1 de cada 100 (la centésima parte de la cantidad total)

1 % 100

1 0,01

Realmente un determinado tanto por ciento sobre un número expresa una proporción. En este sentido podemos plantear la resolución de porcentajes como si se tratara de reglas de tres directas. Por ejemplo, si una persona tiene un sueldo de 1500 € mensuales y le retienen por diversos conceptos el 12 %, ¿cuánto cobra en neto? Ese 12% significa que de cada 100 euros que gana le retienen 12, luego si gana 1500 euros le retendrán X De cada 100 € le retienen 12 €

X = 180100

121500=

x € de retención.

De 1500 € le retendrán X Cobrará 1500 – 180 = 1320 € Como vemos, el resultado es el mismo que si hacemos directamente el 12% de 1500 y se lo restamos a dicho valor. No se trata de dos formas de calcular porcentajes, más bien se plantan los cálculos a partir de dos maneras de interpretar los datos iniciales, que conducen a un mismo resultado final. La práctica de razonamientos lógicos de proporcionalidad nos permite, con el tiempo, realizar cálculos de porcentajes sencillos prácticamente de cabeza, aplicando más el sentido común que las reglas de cálculo.

49

3.7 El conjunto de los números racionales. Como hemos visto en la presente unidad las fracciones se pueden considerar números que representan el cociente de dos números enteros. Si este cociente da un resultado exacto, dicha fracción equivale a otro número entero. Si el cociente no da un resultado exacto, la fracción representa un número no entero (como veremos más adelante, en este caso se trata de un número decimal).

Por ejemplo, cuatro mitades equivalen a dos unidades enteras 224=

Es decir, la fracción 24 y el número entero 2 representan la misma cantidad. De la

misma forma, cualquier número entero se podrá representar como una fracción cuyo denominador sea la unidad o cualquiera de sus fracciones equivalentes:

Número entero 5 15

210

315

420

525 etc.

Número – 4 14−

28−

312−

416−

520−

624− etc

RECUERDA

Todo número entero se puede expresar como una fracción de denominador 1 (o cualquiera de sus fracciones equivalentes).

Si el cociente no da exacto, la fracción no equivale a un número entero pero no obstante dicha fracción (y todas sus equivalentes) representan una determinada cantidad que se expresa mediante un número racional. Los números racionales no enteros se llaman números fraccionarios. En este caso, la fracción que se toma para representar al número racional es la fracción irreducible. Por ejemplo, las fracciones siguientes son todas equivalentes, por lo que corresponden a un único número racional.

72

144

216

288

3510

4212 …. Todas estas fracciones están representadas por

un único número racional : 72 , que es la fracción irreducible equivalente.

RECUERDA

Un número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada; de todas ellas, se toma como representante canónico de dicho número racional a la fracción irreducible, la de términos más sencillos.

50

EJEMPLO Indica cuántos números racionales diferentes hay entre todas las fracciones que se indican a continuación:

81

34

65

162

912

53

1520

Si comprobamos cuantas de esas fracciones son equivalentes observamos que:

81 =

162

34 =

912 =

1520 Las fracciones

65 y

53 no tienen equivalentes

Por tanto, todas esas fracciones corresponden realmente a cuatro clases de números racionales diferentes, que son:

81 ,

34 ,

65 ,

53

Una observación interesante es que, como hemos visto, todo número entero es a su vez un número racional. Sin embargo no todo número racional es un número entero. Dicho con otras palabras, el conjunto de los números enteros (Z) está incluido en el conjunto de los números racionales (Q). RECUERDA

Número racional es el que se puede expresar como cociente de dos números enteros. El término "racional" hace referencia a una "ración" o parte de un todo; el conjunto de los números racionales se designan con "Q" por "quotient" que significa "cociente" en varios idiomas europeos. El conjunto Q de los números racionales está compuesto por los números enteros y por los fraccionarios. Los números enteros son racionales, pues se pueden expresar como cociente de ellos mismos por la unidad: a = a/1. Los números racionales no enteros se llaman fraccionarios.

51

52

PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE FRACCIONES

53

54

1. Indica qué fracción representa cada una de las siguientes cantidades:

- 3 días con respecto de una semana - 5 meses con respecto de un año

- 30 minutos con respecto a una hora

- 300 kg con respecto a una tonelada

- 25 días con respecto a un año

- 25 años con respecto a un siglo

2.- En una urna hay 3 bolas rojas, 2 bolas verdes y 4 bolas blancas. Indica en cada caso la fracción correspondiente:

- ¿Qué fracción del total de las bolas son rojas? - ¿Qué fracción del total de las bolas son blancas?

- ¿Qué fracción del total de las bolas no son verdes?

3.- Supongamos que vamos a cenar a una pizzería. Como las pizzas son muy grandes, nos vamos a repartir las pizzas. a) Si vamos tres amigos pedimos dos pizzas para compartir entre los tres. b) Si vamos cuatro amigos pedimos tres pizzas para compartir entre los cuatro. ¿Qué fracción de pizza le corresponde a cada comensal en el primer caso? ¿Y en el segundo? ¿En qué caso cena cada uno más cantidad de pizza? 4.- Escribe en el recuadro el signo “mayor que” o “menor que” (> ó <) según corresponda.

55

5.- Escribe al menos tres fracciones equivalentes a cada una de las siguientes:

73

54−

116

128

6.- Escribe la fracción irreducible equivalente a cada una de las siguientes:

3220

5436

118

250100

7.- Realiza las siguientes operaciones de sumas y restas combinadas:

56

8.- Realiza las siguientes operaciones: 9.- Realiza las siguientes operaciones:

57

10.- De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600. ¿Qué porcentaje de alumnos ha ido de viaje? 11.- Una moto cuyo precio era de 5.000 €, cuesta en la actualidad 250 € más. ¿Cuál es el porcentaje de aumento?

58

12.- Al adquirir un vehículo cuyo precio es de 8800 €, nos hacen un descuento del 7.5%. ¿Cuánto hay que pagar por el vehículo? 13.- Al comprar un monitor que cuesta 450 € nos hacen un descuento del 8%. ¿Cuánto tenemos que pagar? 14.- Se vende un artículo con una ganancia del 15% sobre el precio de costo. Si se ha comprado en 80 €. Halla el precio de venta. 15. Cuál será el precio que hemos de marcar en un artículo cuya compra ha ascendido a 180 € para ganar al venderlo el 10%. 16.- El bronce es una aleación de cobre, estaño y cinc. De cada 100 partes de bronce, 88 son de cobre, 8 de estaño y 4 de cinc. Escribe como una fracción que parte hay en el bronce de cada uno de sus componentes. 17.- Se dice que pasamos un tercio de nuestra vida durmiendo. Si vivimos 81 años, ¿cuánto tiempo habremos estado durmiendo?

59

18.- La calidad de los objetos de oro se mide en quilates. Un quilate significa que de cada 24 partes de metal, 1 parte es de oro puro. a) Expresa en forma de fracción 1 quilate : b) El oro de ley tiene 18 quilates. ¿Qué cantidad de oro tiene una pulsera de oro de ley que pesa 72 gramos? c) El oro bajo tiene 14 quilates. ¿Qué cantidad de oro tiene un anillo de oro bajo que pesa 36 gramos? 19.- En las elecciones de un centro con 630 alumnos se presentan 3 candidatos para representar a los alumnos en el Consejo Escolar. Al primero le votan 2 de cada 6 alumnos, al segundo 3 de cada 9 y al tercero 5 de cada 15. ¿Quién ha recibido más votos?

20.- El martes, de los alumnos de una clase fueron al teatro 83 y a un concierto

52

¿Han participado todos los alumnos?. Si la respuesta es negativa, ¿qué fracción de alumnos no ha ido a ninguna actividad?

21.- Paula estudia el lunes 2 horas y media. Dedica 31 del tiempo a matemáticas

y 51 a ciencias ¿Cuántos minutos dedica a cada asignatura? ¿Qué fracción

dedica a las otras asignaturas?

60

22.- Un ciclista tiene ha recorrido 42 kilómetros en una etapa de una vuelta

ciclista. Esos kilómetros recorridos representan 73 del total de kilómetros que

tiene la etapa. Halla cuántos kilómetros le faltan por recorrer.

23.- ¿Cuántas botellas de 43 de litro se pueden llenar con el vino contenido en un

barril de 420 litros?

24.- Si en una jarra echamos una botella de cerveza de 31 y otra de

51 ¿qué

fracción nos falta para tener un litro? 25.- Dos automóviles A y B hacen un mismo trayecto de 572 km. El automóvil A lleva recorrido los 5/11 del trayecto cuando el B ha recorrido los 6/13 del mismo. ¿Cuál de los dos va primero? ¿Cuántos kilómetros llevan recorridos cada uno? 26.- Los 2/5 de los ingresos de una comunidad de vecinos se emplean ombustible, 1/8 se emplea en electricidad, 1/12 en la recogida de basuras, 1/4 en mantenimiento del edificio y el resto se emplea en limpieza. ¿Qué fracción de los ingresos se emplea en limpieza?

61

UNIDAD 4: LAS POTENCIAS.

4.1 Concepto de potencia. Propiedades de las potencias. 4.2 Potencias de números enteros. Operaciones con potencias. 4.3 Potencias de números fraccionarios. Operaciones con potencias. 4.4 Potencias de base 10. La notación científica.

4.1 CONCEPTO DE POTENCIA. PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS. En el ámbito de las matemáticas, una potencia es una expresión que representa un producto de factores iguales. Cuando multiplicamos un número varias veces por sí mismo, podemos escribir ese producto en forma más simplificada como una potencia. 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 35 8 x 8 x 8 = 83 (-4) x (-4) x (-4) x (-4) = (-4)4

6

31

31

31

31

31

31

31

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=xxxxx

Al escribir una potencia, se indican dos términos:

62

- La base de la potencia: Es el número que

se multiplica. - El exponente: Es el número que indica

cuantas veces se multiplica la base por sí misma.

El resultado de una potencia es el que corresponde al producto de la base por sí misma tantas veces como indica el exponente: 53 = 5 x 5 x 5 = 125 82 = 8 x 8 = 64 24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16 35 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243 ¡Cuidado! Es un error muy frecuente dar como resultado de una potencia el producto de la base por el exponente. Cuando tengas que resolver alguna potencia procura no cometer este grave error. 42 = 4 x 2 = 8 MAL 42 = 4 x 4 = 16 BIEN 63 = 6 x 3 = 18 MAL 63 = 6 x 6 x 6 = 216 BIEN

Cuando el exponente de una potencia es el número 2, a dicha potencia se le suele llamar “cuadrado”. Los resultados de estas potencias son los llamados cuadrados perfectos. Por ejemplo, 52 se lee “cinco elevado al cuadrado” o también “cinco al cuadrado”. 72 se lee “siete al cuadrado” 102 se lee “diez al cuadrado” Los números 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 … son cuadrados perfectos porque se obtienen como resultado de una potencia de exponente 2.

Cuando el exponente de una potencia es el 3 se le suele llamar “cubo”. Los resultados de estas potencias son los cubos perfectos. Por ejemplo: 43 Se lee “cuatro elevado al cubo” y el resultado (4x4x4) nos da 64 que es un cubo perfecto.

63

Para comprobar que has comprendido el significado de las potencias completa el siguiente cuadro:

1. El resultado de la potencia 42 es...

2. El resultado de la potencia 24 es... 3. El resultado de la potencia 53 es... 4. El resultado de la potencia 35 es... 5. El resultado de la potencia 32 es... 6. El resultado de la potencia 23 es...

Las potencias tienen algunas propiedades importantes: 1.- Cualquier número elevado al exponente cero da como resultado 1.

60 = 1 (-4)0 = 1 0

51⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− = 1

2.- Cualquier número elevado al exponente 1 da como resultado el mismo número.

71 = 7 (-12)1 = -12 1

32⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− = ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

32

3.- El resultado de la potencia an no es igual al de la potencia na 23 ≠ 32 54 ≠ 45 102 ≠ 210 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 8 9 625 1024 100 1024 4.- Las potencias cuya base es una fracción se resuelven elevando el numerador y el denominador al correspondiente exponente.

n

nn

ba

ba

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

12564

54

54

54

54

3

3

==xx=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

3

54

5.- Las potencias de números negativos cuyo exponente es par, dan resultado positivo. (recuerda el criterio de signos al multiplicar números negativos). (-9)2 = (-9) x (-9) = + 81 (-10)4 = (-10) x (-10) x (-10) x (-10) = + 10.000

6

32⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− = ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

32 x ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

32 x ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

32 x ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

32 x ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

32 x ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

32 = + ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛6

6

32 = ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

72964

64

6- Las potencias de números negativos cuyo exponente es impar, dan resultado negativo. (recuerda el criterio de signos al multiplicar números negativos). (-9)3 = (-9) x (-9) x (-9) = - 729 (-10)5 = (-10) x (-10) x (-10) x (-10) x (-10)= - 100.000

7

32⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− = ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

32 x ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

32 x ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

32 x ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

32 x ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

32 x ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

32 x ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

32 = - ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛7

7

32 = - ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

2187128

RECUERDA

- Si la base de una potencia es positiva, el resultado de dicha potencia será siempre positivo, sea par o impar el exponente. - Si la base de una potencia es negativa, el resultado de dicha potencia será:

- Positivo si el exponente es par. - Negativo si el exponente es impar.

7.- Una potencia de exponente negativo equivale a una fracción cuyo numerador es la unidad y cuyo denominador es la misma potencia pero con el exponente positivo. Las potencias de base 10 son muy utilizadas en matemáticas, como veremos más adelante. A continuación se recogen las primeras potencias de base 10 con exponente positivo y negativo:

65

4.2 Potencias de números enteros. Operaciones con potencias.

Producto de potencias de igual base

El resultado de multiplicar potencias de igual base, es otra potencia que tienen la misma base y como exponente, la suma de los exponentes.

Ejemplo: 2 3 x 2 5 = (2x2x2) x (2x2x2x2x2) = 2 8 = 2 3+5 (como la base (2) es la misma, los exponentes se suman) y da como resultado = 2 3+5 = 256

División de potencias de igual base

El resultado de dividir potencias de igual base, es otra potencia que tienen la misma base y como exponente, la resta de los exponentes.

Ejemplo: 2 5 : 2 2 = (2x2x2x2x2) : (2x2) =2 5 - 2 = 2 3= 8

107 : 104 = 10 7 – 4 = 103 = 1000

Potencia de un producto

Si queremos realizar la siguiente operación: (2x3) 3 observamos que (2x3) 3 = (2x3) x (2x3) x (2x3) = (2x2x2) x (3x3x3) = 2 3 x 3 3. Para calcular el resultado también podemos multiplicar (2x3) y elevar el producto al cubo: (2x3) 3 = 6 3 = 216 O bien, elevar al cubo cada uno de los factores, que sería: 2 3 = 8 y 3 3 = 27 y luego, multiplicar el resultado: 8 x 27 = 216.

Decimos entonces que la potencia de un producto es igual al producto de la potencia.

Potencia de un cociente

La potencia de un cociente es igual al cociente entre la potencia del dividendo y la del divisor. Si el cociente se expresa como fracción, hay que elevar al exponente tanto el numerador como el denominador, tal y como ya se explicó anteriormente. Tenemos que elevar el dividendo y el divisor a dicha potencia.

Ejemplo: (6 :2) 2 = 6 2 : 2 2 = 9 ; Porque: (6 : 2) 2 = 3 2 = 9 Como cociente

278

32

32

3

33

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Expresado el cociente como fracción

66

Potencia de una potencia

El resultado de elevar una potencia a otra potencia es otra potencia de igual base y cuyo exponente es el producto de los exponentes. Observa el siguiente ejemplo:

(2 2) 3 = 64; porque: 2 2 x 2 2 x 2 2 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64 ; o también podemos multiplicar los exponentes: es decir, 2 x 3 y, luego elevar la base a dicho resultado. Mira el ejemplo: (2 2x3) = 2 6= 64

RECUERDA

a0 = 1 ·

a1 = a

am · a n = am+n

am : a n = am - n

(am)n = am · n

an · b n = (a · b) n

an : b n = (a : b) n

EJEMPLOS RESUELTOS DE OPERACIONES CON POTENCIAS

67

Para practicar sobre lo que hemos visto hasta ahora en esta unidad sugerimos al alumnado que realice las siguientes sencillas operaciones: 4.3 Potencias de números fraccionarios. Operaciones con potencias.

Para operar con potencias de números fraccionarios se siguen exactamente los mismos criterios que hemos descrito con números enteros. Para elevar una fracción a una potencia, se elevan el numerador y el denominador a dicha potencia.

A continuación se recoge resumidamente los principales operaciones que se pueden presentar:

POTENCIA DE UN PRODUTO DE FRACCIONES

La potencia de un producto de fracciones es igual al producto de las potencias de los factores.

PRODUCTO DE POTENCIAS DE LA MISMA BASE

Para MULTIPLICAR potencias de la misma base se suman los exponentes.

68

POTENCIA DE UN COCIENTE DE FRACCIONES

Para dividir potencias de la misma base se restan los exponentes.

POTENCIA DE EXPONENTE CERO

La potencia de exponente cero es siempre 1 (para cualquier base distinta de cero).

POTENCIA DE EXPONENTE NEGATIVO

Una potencia de exponente negativo es la inversa de la misma potencia de exponente positivo.

POTENCIA DE OTRA POTENCIA Para elevar una potencia a otra potencia se multiplican los exponentes.

Cuando en una misma operación aparecen combinadas sumas/restas, productos/cocientes y potencias se debe resolver la operación teniendo en cuenta el criterio de prioridad que establecen los paréntesis (si los hay) y en el caso de que no haya paréntesis, se resolverán primero las potencias, después los productos/divisiones y finalmente las sumas/restas.

69

Observa el siguiente ejemplo resuelto:

1262483

126261

1262744

1429

9196

1424

145

314

712

145

31

315 22

=−=−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

4.4 Potencias de base 10. La notación científica. La notación científica es un recurso matemático empleado para simplificar cálculos y representar en forma más corta números muy grandes o muy pequeños. Para hacerlo se usan potencias de diez. Las potencias de base 10 resultan especialmente útiles en matemáticas para expresar de forma abreviada números que contienen gran cantidad de ceros en su forma decimal habitual. Por ejemplo, el número 1.000.000 se puede expresar como potencia de base 10: 106 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 1.000.000 Por esta razón podemos escribir 106 en vez de 1.000.000 teniendo en cuenta que nos estamos refiriendo al mismo número. De la misma forma, si queremos expresar el número 5.000.000 basta con tener en cuenta que 5.000.000 = 5 x 1.000.000, es decir, podemos escribir que Expresión decimal 5.000.000 = 5 x 106 Notación científica

A continuación se indican algunos ejemplos de números mayores que la unidad expresados de las dos formas: 25.000 25 x 103 124.000.000 124 x 106 35.000.000.000 35 x 109 800 8 x 102 120.000 12 x 104 Cuando se trata de números muy pequeños (menores que la unidad) también se puede utilizar la notación científica teniendo en cuenta que la potencia de 10 tendrá exponente negativo.

70

Por ejemplo, el número 0,0007 resulta de dividir 7 entre 10.000

44 107

1017

000.1017

000.1070007,0 −==== xxx 0.0007 = 7 x 10 - 4

Observa que el valor que aparece como exponente negativo indica cuántas cifras decimales hay en el número. En el ejemplo anterior el 4 indica que hay cuatro cifras decimales (cuatro cifras detrás de la coma). El signo negativo indica que se trata de un número menor que la unidad. Observa este otro ejemplo:

0,0000025 = 25x10-7

77 1025

10125

000.000.10125

000.000.10250000025,0 −==== xxx

De forma general, podemos decir que para escribir un número decimal menor que la unidad en forma de notación científica, se escribe el número entero que aparece al final de las cifras decimales y se multiplica por 10 elevado al exponente negativo que indica cuantas cifras decimales totales hay en el número. Así, si queremos expresar 0,000000567 con notación científica escribiremos: 567 x 10 – 9 Indica que hay nueve cifras decimales en total (detrás de la coma) Número entero que aparece al final de las cifras decimales Cuando el número entero que aparece al final de la parte decimal contiene muchas cifras se suele acortar y aproximar dejando la parte entera con uno o dos decimales. Por ejemplo: 0,00004211673894 4,21 x 10 – 5

0,000000000001421085783 1,42 x 10 – 12 0, 0025 2,5 x 10 – 3

En general, en los números expresados con notación científica se distinguen:

71

A continuación se indican las distintas potencias de 10 que resultan muy útiles en la notación científica: 6

72

1.- Expresa en forma de potencia:

2. Escribe en forma de una sola potencia:

33 · 34 · 3 = 57 : 53 =

(53)4 = (34)4 =

[(53)4 ]2 = (82)3 =

(93)2 = 25 · 24 · 2 =

27 : 26 = (22)4 =

(4 · 2 · 3)4 = (25)4 =

[(23 )4]0= (272)5=

(43)2 = (5 · 6 · 9)2 =

3. Realiza las siguientes operaciones con potencias:

(−2)2 · (−2)3 · (−2)4 = 2−2 : 2−3 =

(−8) · (−2)2 · (−2)0 (−2) = 5 2 : 5 −3 =

73

(−2)−2 · (−2)3 · (−2)4 = [(−2)− 2] 3 · (−2)3 · (−2)4 =

2−2 · 2−3 · 24 = [(−2)6 : (−2)3 ]3 · (−2) · (−2)−4 =

22 : 23 = (−3)1 · (−3)3 · (−3)4 =

2−2 : 23 = [(−3)6 : (−3)3] 3 · (−3)0 · (−3)−4 =

22 : 2−3 = (−3)1 · [(−3)3]2 · (−3)−4 =

4. Resuelve:

(

) ( )( ) ( ) ======

======−−

−−

2-5-33-2-7

-2-133 - -23

10- l) 1- j) 9 ) 5 f) 8 d) 1 )

15 k) 3- i) 2- ) 4 e) 3 c) 2 )

hb

ga

5. Resuelve las siguientes operaciones con potencias:

6. Realiza las siguientes operaciones hasta llegar al resultado más simplificado.

74

7. Calcula mentalmente las siguientes potencias: a) (– 10)0 b) (– 10)1 c) (– 10)2

d) (– 10)3 e) (– 10)4 f) (– 10)5 8. Escribe los siguientes números de forma abreviada, como se ha hecho en los ejemplos: a) 27 000 000 = 27 · 106 b) 0,0006 = 6 · 10–4 c) 2 300 000 = d) 30 000 000 000 = e) 0,00000004 = f) 0,000026 = 9. ¿Qué número expresa cada descomposición polinómica? a) 5 x106 + 4x103 +8x102 +5x10 + 2 b) 2 x108 +107 + 6x105 + 3x104 + 5x103 10. Calcula y razona: a) (2 + 3)2 = b) 22 + 32 = c) (4 + 6)2 = d) 42 + 62 = e) (1 + 10)2 = f) 12 + 102 = ¿Es igual el cuadrado de una suma que la suma de los cuadrados de los sumandos? 11. Realiza las siguientes operaciones:

52

31

41 )

84

21

23 )

323

142

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

b

a

273

94

31 )

21

43

52 )c

124

422

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

d

75

UNIDAD 5: LAS RAÍCES DE UN NÚMERO.

5.1 Concepto de raíz de un número. Expresión de una raíz. Propiedades de las raíces. Radicales semejantes. Operaciones con radicales semejantes. 5.2 Extraer factores fuera de una raíz.

5.1 CONCEPTO DE RAÍZ DE UN NÚMERO. EXPRESIÓN DE UNA RAÍZ.

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS RADICALES. La raíz de un número es una operación que podemos considerar como inversa de la potencia. Observa el siguiente ejemplo. Considera la siguiente potencia: 72 = 49 49 es el resultado de elevar al cuadrado el número 7. Supongamos que queremos hacer el cálculo inverso, es decir, hallar el número que elevado al cuadrado nos da como resultado 49. En este caso resulta obvio que se trata del número 7. Entonces podemos decir que 7 es la raíz cuadrada de 49. Para escribir la raíz cuadrada se utiliza el símbolo 2 o simplemente 52 = 25 Entonces la raíz cuadrada de 25 es 5 525 = 2,52 = 6,25 Entonces la raíz cuadrada de 6,25 es 2,5 5,225,6 = 102 = 100 La raíz cuadrada de 100 es 10 10100 = RECUERDA

Hallar la raíz cuadrada de un número X es buscar qué número elevado al cuadrado nos da como resultado dicho número X. Dicho de otra forma: Si la raíz cuadrada de un número X es el número “a”, esto significa que a2 = X Si aX = Entonces a2 = X

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Los números que tiene una raíz cuadrada exacta (sin decimales) se llaman cuadrados perfectos. Así por ejemplo, los cuadrados perfectos desde el 0 hasta el número 100 son el 0, 1, 4, 9. 16, 25, 36, 49, 64, 81 y 100. Pero el concepto de raíz se puede generalizar para cualquier otro tipo de potencia que no sea el cuadrado. Así por ejemplo, sabemos que 23 = 8 (pues al multiplicar por sí mismo el 2 tres veces obtenemos 8). La operación inversa a elevar al cubo sería obtener la raíz cúbica.

En este caso, el símbolo que se utiliza para la raíz cúbica es 3

283 = Puesto que 23 = 8

3273 = Puesto que 33 = 27

1010003 = Puesto que 103 = 1000 RECUERDA

Hallar la raíz cúbica de un número X es buscar qué número elevado al cubo nos da como resultado dicho número X. Dicho de otra forma: Si la raíz cúbica de un número X es el número “a”, esto significa que a3 = X Si aX =3 Entonces a3 = X

De la misma manera, podemos definir la raíz cuarta, raíz quinta, raíz sexta etc como operaciones inversas a las potencias de exponente 4, 5, 6… etc respectivamente. Observa los siguientes ejemplos:

3814 = Puesto que 34 = 81 (3 x 3 x 3 x 3 = 81)

10000.1005 = Puesto que 105 = 100.000 (10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 100.000)

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2646 = Puesto que 26 = 64 (2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64) Aunque las raíces que se utilizan más comúnmente en los cálculos cotidianos son las raíces cuadradas, debemos tener claro que son posibles otros tipos de raíces (cúbica, cuarta, quinta,…) Expresión de una raíz. De forma general, podemos escribir:

Índice Indica el tipo de raíz de que se trata (cúbica, cuarta, …) (el índice 2 para la raíz cuadrada no se suele escribir). Radicando Número del cual se está calculando la raíz. Raíz Resultado de la operación.

Radicando

ban = abn = Propiedades de las raíces. Las raíces presentan una serie de propiedades. Algunas de estas propiedades se pueden explicar de forma razonada a partir de la propia definición de raíz de un número. De aquí en adelante nos referiremos a la raíz enésima de un número cualquiera para indicar la raíz de índice indeterminado (cualquier índice, 2, 3, 4, ….)

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00 =na) La raíz enésima de cero, siempre es cero.

11 =+nb) El 1 siempre es una raíz enésima de +1

c) Las raíces de índice par de números negativos no tienen solución real. 4− No tienen solución (¡cuidado! -2 no es solución de esa raíz puesto que (-2)2 = (-2)·(-2) = +4 , 4 10000− No tiene solución (¡cuidado! -10 no es solución de esa raíz puesto que (-10)4 = (-10)·(-10)·(-10)·(-10) = +10.000 ,

Al multiplicar por sí mismo un número par de veces una cifra negativa, el resultado es positivo. Por esta razón no tiene solución la raíz de índice par de un número negativo.

d) Las raíces de índice impar de números negativos sí tienen una solución real, y además es negativa.

3 8− = -2 (-2)3 = (-2)·(-2)·(-2) = -8 5 000.100− = - 10 (-10)5 = (-10)·(-10)·(-10)·(-10)·(-10) = - 100.000 5.2 RADICALES SEMEJANTES. OPERACIONES CON RADICALES SEMEJANTES. Cuando la raíz de un número no da un resultado exacto, se suele dejar expresada como tal raíz evitando de esta forma escribir decimales (salvo que sea estrictamente necesario, por ejemplo, cuando se trata de hacer una medida de cualquier magnitud). Si hayamos el valor de 2 obtenemos como resultado 1,4142135….. Este resultado tiene infinitas cifras decimales, por lo que si escribimos en vez de 2 el valor 1,41, por ejemplo, estamos cometiendo un error, aunque sea pequeño. Así pues, a veces es más recomendable trabajar con el número 2 en forma de radical que con su valor decimal aproximado. Aquellas raíces que no dan un resultado exacto constituyen lo que llamamos números radicales. En el apartado anterior todos los ejemplos que hemos puesto de raíces daban un resultado exacto para que se comprendiera mejor el concepto de raíz de un número, pero debemos tener presente que la inmensa mayoría de números enteros no tienen raíz exacta.

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A continuación se indican algunos ejemplos de números radicales con distintos índices.

3 , 5 , 7 , 34 , 3 9 , 3 50 , 4 20 , 5 100 , 8 15 A veces los números radicales pueden incluir números enteros delante de la raíz multiplicando su valor.

25 Esto significa 5 x 2 , aunque se escribe abreviadamente 25 32 Esto significa 2 x 3 , (el doble de 3 ) Se llaman radicales semejantes a aquellos radicales que tienen el mismo tipo de raíz, es decir, que tienen el mismo índice y el mismo radicando.

Así por ejemplo, los radicales 53 , 54− , 510 , 5 , 531

− son todos

radicales semejantes pues todos incluyen el mismo índice y radicando ( 5 ). Los radicales 7 y 3 7 NO son semejantes, pues aunque tienen el mismo radicando no tienen el mismo índice (son dos tipos de raíces diferentes). De la misma forma, los radicales 11 y 13 tampoco son semejantes, pues aunque tienen el mismo índice, no tienen el mismo radicando.

EJEMPLO Agrupa los siguientes números formando series con todos aquellos que sean semejantes. 3 6 5 6 3 7 7 4 3 6 2 6 -3 3 6 -5 7 10 6 4 7 4 5 6 -2 3 7 Solución: Son semejantes las siguientes series de radicales: 3 6 , 4 3 6 y -3 3 6 7 y -5 7 5 6 y 4 5 6 El número 4 7 no tienen otro semejante entre los que aparecen en la serie inicial. 3 7 y -2 3 7 2 6 y 10 6

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Operaciones básicas con números radicales. a) Sumas y restas de radicales Sólo es posible sumar o restar radicales cuando éstos son semejantes. Si los radicales no son semejantes no se pueden sumar ni restar directamente. En este caso se calculará la raíz y se expresará en términos decimales, sumando o restando estos decimales. Ejemplos:

2 + 3 2 + 5 2 + 4 2 = 13 2 (En este caso se pueden sumar porque son todos radicales semejantes. Para hallar el resultado se suman los coeficientes que van delante de la raíz y se escribe valor obtenido delante de la raíz. Cuidado: cuando no se escribe delante de la raíz ningún número, es como si hubiera escrito un 1 1 + 3 + 5 + 4 = 13) En el caso de la resta, el criterio es exactamente el mismo que en la suma: 12 2 - 7 2 = 5 2 Otros ejemplos de sumas y restas de radicales: 7 3 6 + 2 3 6 - 5 3 6 = 4 3 6 -7 7 + 7 - 9 7 = -15 7 8 15 - 6 8 15 + 4 8 15 - 9 8 15 = -10 8 15

2 + 3 6 No se pueden sumar directamente porque no son semejantes.

+ 3 No se pueden sumar directamente porque no son semejantes.

2

¡Cuidado! Es un error muy grave y muy frecuente al principio, cuando se empiezan a estudiar los radicales, escribir como resultado de la suma de dos raíces cuadradas una raíz cuyo radicando es la suma de los otros dos radicandos. Esta igualdad NO ES CIERTA. Por ejemplo:

2 + 3 NO ES IGUAL A 532 =+ IMPORTANTE : baba +≠+ baba −≠−

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a) Productos y divisiones de radicales En principio podemos decir que es posible multiplicar o dividir radicales aunque no tengan el mismo tipo de raíz. No obstante, por tener menor grado de complejidad, en este nivel, sólo trataremos el producto y la división de radicales que tengan el mismo tipo de raíz (es decir, raíces cuadradas, o cúbicas, o cuartas, etc.) De forma general, cuando se multiplican varios radicales cuyo índice es el mismo, podemos escribir como resultado otro radical del mismo índice y cuyo radicando es el producto de los radicandos que se multiplican. Ejemplos: 2 · 3 · 5 = 5·3·2 = 30 3 7 · 4 8 = 12 56 3 5 · 2 3 4 · 7 3 2 = 14 3 40 Expresado con palabras sencillas: El producto de varios números radicales del mismo índice es igual a la raíz del producto de dichos números. Por lo que se refiere al cociente de radicales, podemos decir que la raíz de un cociente de números es igual al cociente de las raíces del numerador y del denominador. Ejemplos:

444

4

339

39

== 21020

1020

==

82

83

84