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C A P I T U L O IV

HERRAMIENTAS FRECUENCIALES

PARA SEÑALES CONTINUAS

4.1.-SERIES DE FOURIER PARA SEÑALES CONTINUAS:

4.1.1.- Introducción:

El problema que llevó a Jean Baptista Fourier al descubrimiento de las series fue la conducción de calor en barras metálicas. Esto pertenece a la clase de problemas con valores de frontera, llamadas así porque la función matemática que representa la solución no solo debe satisfacer las condiciones de equilibrio dentro del medio sino que debe ser capaz de asumir condiciones de borde arbitrarias. Otros ejemplos serían los problemas sobre líneas de transmisión o el de la cuerda de violín prensada. La teoría de las series de Fourier es importante en síntesis y análisis de redes porque proporciona el medio para aproximar una función arbitraria sobre un intervalo de tiempo dado, con la suma de sinusoides. La propiedad de linealidad que presentan algunas redes nos permitirá además utilizar el principio de superposición y por tanto podemos aplicar análisis de circuitos en regimen sinusoidal permanente sobre funciones arbitrarias lo que, obviamente, simplifica el trabajo. La idea fundamental es la siguiente: Se tiene una señal arbitraria x(t) y se quiere representar x(t) como:

¿Como lo hacemos?

4.1.2.- Representación generalizada de una función en serie de Fourier.

Suponga que queremos expresar una señal f(t) en función de otra señal g(t) en un intervalo (t1, t2) como:

f(t) = kg(t) t1< t < t2

El criterio para determinar el valor óptimo de k puede ser, por ejemplo, minimizar el promedio del error <e>en el intervalo (t1, t2) definido como:

Sin embargo esto no es óptimo ya que si existiesen errores grandes positivos y negativos se cancelarían, lo que arrojaría un pésimo valor de k. Un ejemplo de esto sería aproximar la función Sent con la función nula entre (0,2π) . Es obvio que, aunque< e> =0, la aproximación es mala

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sysaproximación es mala. Un mejor criterio es minimizar el promedio del cuadrado del error <e2> donde:

Para minimizarlo hacemos nula la derivada de la función respecto a k:

resultando de esta forma el k óptimo igual a:

Este valor nos proporciona la mejor aproximación de f(t) a través de g(t).Si por alguna razón:

Se dice que f(t) no tiene componentes de g(t), o que f(t) y g(t) son ortogonales.

Por ejemplo: Sen nωot y Sen mωot (n distinto de m) son ortogonales en cualquier intervalo (to ,to + 2π/ωo). También son ortogonales en el mismo intervalo las funciones Sen nωot y Cos mωot para todo n,m. OJO: En general dos funciones son ortogonales en un intervalo T cualquiera si se cumple alguna de las tres condiciones siguientes: a) No coinciden en tiempo b) No coinciden en frecuencia c) Tienen simetria opuesta

Si en vez de aproximar f(t) con una sola función g(t) se desea utilizar un grupo de funciones gk(t),

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Se puede utilizar el criterio de minimizar < e2> con el fin de calcular los Ck. Sin embargo el cálculo se hace muy complejo excepto si las funciones gk son ortogonales entre sí en el intervalo de aproximación, en cuyo caso, (incluyendo la posibilidad de funciones complejas):

Si n tiende a infinito el error cuadrático medio tiende a cero. En este caso decimos que no estamos aproximando sino representando la función con una sumatoria infinita de funciones ortogonales entre sí. Para esto necesitamos un conjunto completo de funciones ortogonales , es decir que no falte ninguna gx tal que:

y en ese caso tendremos que los coeficientes Ci se calcularán como:

La representación de f(t) mediante un conjunto infinito de funciones ortogonales se conoce como representación generalizada de f(t) en serie de Fourier. Esta es la base para el desarrollo de las series de Fourier de donde se escogen entre las múltiples familias de funciones ortogonales aquella constituída por elementos (Sen nωot , Cos mωot) por ser la que mejor se adapta a nuestros problemas.

4.1.3.- Serie Trigonométrica de Fourier

Utiliza para la representación la familia de funciones ortogonales[Sen nωot , Cos mωot] en el intervalo [to ,to +T ] donde T = 2π/ωo. En este caso

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donde:

4.1.4.-Serie exponencial de Fourier

Utiliza la familia de funciones ortogonales ejnωot

En este caso al minimizar el error cuadrático medio se obtiene que :

Cuando f(t) es una función real Cn = (C-n)* por lo tanto en la representación de f(t) cada par Cne jnωot + C-n e-jnωot resulta:

|Cn| ej(nωot + arg Cn) + |Cn| e-j(nωot + arg Cn) = 2|Cn| cos (nωot + arg Cn)

Esto lleva a otra forma trigonométrica de las series de Fourier:

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4.1.5 .- Señales periódicas

Una señal es periódica con período T si:

x(t+nT) = x(t) para n = 0, 1, 2, …… ( para todo t)

En este caso las series vistas aproximarán la señal no solo entre (to, to + T) sino para todo tiempo y a esto es lo que se le conoce como la serie de Fourier para señales periódicas.

Así, dada una señal periódica uno puede utilizar la serie trigonométrica o exponencial y calcular los coeficientes que representaran la señal periódica para todo t.

La convergencia puntual está garantizada para todo t, excepto en las discontinuidades. Si las condiciones de Dirichlet se satisfacen (x(t) está acotada, tiene un número finito de máximos y mínimos locales y de discontinuidades en un período) y x(t) no es continua, la serie de Fourier converge hacia el valor medio de x(t) en cada discontinuidad.

Ejemplos:

1º Determine la serie trigonométrica de Fourier de la siguiente señal

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Para n par an = 0; Para n impar

n = 1 a1 = 4 / π

n = 3 a3 = -4 / 3 π

2º Determine las relaciones que existen entre ao, an, bn y Cn

4.1.6 .- Propiedades de las series de Fourier:

1º Si f(t) es par, es decir si f(t) = f(-t)

bn = 0

2º Si f(t) es impar, o sea f(t) = - f(-t)

an = 0

3º Desplazamiento en tiempo:

Si la serie de

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la serie de

eso implica

4º Si a una señal f(t) se le agrega una DC, lo único que se altera es el coeficiente Co y el coeficiente ao.

4.1.7.- Cálculo de los coeficientes de la serie por diferenciación:

Existen funciones que aunque no pueden realizarse físicamente, su idealización matemática muchas veces simplifica la solución de ciertos problemas particulares. A esta clase se les llama funciones singulares y entre ellas se destaca la función impulso o delta de Dirac (δ(t)) la cual satisface ciertas propiedades matemáticas.

En particular las siguientes propiedades permitirán simplificar, en algunos casos, el cálculo de los coeficientes de la serie exponencial de Fourier

En el caso de tener que calcular los coeficientes Cn de una función que tenga deltas de Dirac o que al derivarla k veces las genere, el cálculo de Cn se simplificaría. Observese que si:

Por lo tanto si la derivada k-ésima de la señal tiene deltas de Dirac, se calculan los coeficientes de

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la k-ésima derivada ( Cnk ) y luego se conseguirá los Cn originales a través de

Ejemplo: Determine los coeficientes Cn de la siguiente señal periódica:

Solución: Al derivar dos veces se obtiene la siguiente señal:

Cada vez que se tenga que determinar una serie de Fourier se debe tratar de utilizar las propiedades

Página 8

sysCada vez que se tenga que determinar una serie de Fourier se debe tratar de utilizar las propiedades y, si es aplicable, el cálculo de los coeficientes por diferenciación.

EJEMPLOS

2º Determine los coeficientes de la serie exponencial para una señal definida como x(t) = t2 para t en el intervalo [-1,1] y con período T=2

Solución: Apliquemos diferenciación dos veces:

Esto no es válido para C0. Calcúlelo.

Si no se utiliza diferenciación la solución es mucho más larga. Demuéstrelo

4.2.- PASO DE UNA SEÑAL PERIODICA CONTINUA POR UN SISTEMA LINEAL

4.2.1.- Espectro bilateral de una señal periódica

Este puede obtenerse con los coeficientes Cn de la serie exponencial de Fourier ya que si:

El espectro de esta señal será el siguiente:

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y el de fase:

la señal periódica con período T tiene, en general, componentes de frecuencia en

1/T, 2/T, ....., n/T ( T = 2π/ω0)

4.2.2.- Teorema de Parseval

Si una señal f(t) es periódica con período To, su potencia promedio normalizada (definida sobre una resistencia unitaria) se calcula de la siguiente forma:

Demostración:

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En conclusión, Si una señal f(t) es periódica con período To, su potencia promedio normalizada se calcula de la siguiente forma:

Esta relación es conocida como el teorema de Parseval y establece que la potencia promedio normalizada de una señal periódica f(t) es igual a la suma de los cuadrados de las amplitudes de sus componentes armónicas. Por lo tanto éste teorema implica superposición de potencias promedio. Esto es posible porque las armónicas son señales ortogonales.

4.2.3.- Respuesta de un sistema lineal e invariante en el tiempo (L.I.T) a una señal periódica

Si x(t) es una señal periódica con período To que alimenta un sistema LIT,

y(t) también será periódica y podrá expresarse como:

donde:

Cny = Cnx H(jnωο)

Es decir

|Cny| = |Cnx| | H(jnωο)|

yPágina 11

sysy

arg [Cny] = arg [Cnx] + arg [ H(jnωο)]

Así mismo la potencia promedio de entrada y salida se calculan a través del teorema de Parseval como:

Ejemplo: Una señal periódica x(t) dada por:

donde τ =0,2 seg y To = 1 seg., pasa por un filtro pasa bajo con la siguiente función transferencia.

Determine la serie de la señal de entrada, su potencia y la potencia a la salida.

Para hallar los Cn aplicamos diferenciación.

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Definamos la función

En ese caso ∴

Como τ= 0.2 T0

Lo que indica que Cn se anula para n = 5, 10, 15, 20 ,……

fo = 1/To = 1 Hz =› que el filtro solo dejará pasar 3 líneas espectrales a la salida multiplicadas por 1/2.

=› Potencia de salida igual a

Py = |Coy|2 + 2|C1y|2 + 2|C2y|2 + 2|C3y|2

y la potencia de entrada:

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4.3.- TRANSFORMADA DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS:

Las series de Fourier permiten representar señales periódicas para todo tiempo. Para representar una señal x(t) no periódica en términos de exponenciales se construye una versión periódica de x(t) llamada xp(t), y luego se hace tender el período en infinito. Es decir:

Entonces:

con:

Si To tiende a infinito, xp(t) tiende a x(t) , fo tiende a df, nωo = ω contínuo y la sumatoria se convierte en integral. En ese caso:

Se define X(f), transformada directa de Fourier de x(t), y se calcula como:

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Asimismo, la antitransformada de X(f) conduce a x(t) a través de:

Ejemplo: Determinar la transformada de Fourier del pulso rectangular siguiente:

Ejemplo para T=1 y A=1

4.3.1.-Condiciones de existencia de la transformada de Fourier

La condición suficiente para que exista la transformada de Fourier de una señal x(t) es que:

Esto se entiende al observar que:

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Esto se entiende al observar que:

Por lo tanto si

la transformada de Fourier existirá.

Además la función debe tener un número finito de máximos, mínimos y discontinuidades en cualquier intervalo de tiempo finito y debe ser univaluada.

4.3.2.-Propiedades de la transformada de Fourier:

4.3.2.a.- Superposición:

Si la transformada de x(t) es X(f) y la transformada de y(t) es Y(f), la transformada de ax(t) + by (t) será aX(f) + bY(f). Para entender este teorema basta recordar que la transformada de una función se realiza a través de integrales las cuales cumplen la propiedad de linealidad.

Este teorema permite conseguir transformadas complejas utilizando 2 ó más transformadas sencillas.

4.3.2.b.-Traslación en tiempo:

Si la transformada de Fourier de x(t) es X(f) la transformada de x(t-τ) será X(f) e-jωτ.

Prueba

Si hacemos el siguiente cambio de variables

Por lo tanto al trasladar en tiempo la señal x(t), lo único que se altera es la distribución de fase vs. frecuencia.

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4.3.2.c.-Traslación en frecuencia o teorema de modulación

Si la transformada de x(t) es X(f), la transformada de x(t) ejωct es X(f-fc).

Prueba:

Al transformar x(t)ejωct resulta:

Como consecuencia de este teorema es fácil ver que:

F[ x(t) cos ωct ] =F [ 0.5x(t)ejωct + 0.5x(t)e -jωct] =0.5 X(f-fc) + 0.5 X(f+fc)

La importancia de este teorema radica en que para trasladar el espectro de una señal x(t) basta multiplicarlo por cos ωct. El resultado será el mismo espectro centrado alrededor de fc.

Esta propiedad es básica en el uso de modulación para asignar canales.

4.3.2.d.-Cambio de escala

Si la transformada de x(t) es X(f), la transformada de x(at) será

Prueba:

Se realiza el siguiente cambio de variables: at = t' Caso 1: a›o

Caso 2: a<o

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Estos dos resultados pueden convertirse en:

La importancia conceptual de este teorema radica en la relación tiempo-frecuencia. Si expandimos en t comprimimos en f; si expandimos en f comprimimos en t. Intuitivamente esto es lógico ya que comprimir una señal en tiempo equivale a hacer sus cambios más bruscos, por lo tanto tienen que aparecer componentes de mayor frecuencia.

4.3.2.e.-Dualidad:

Si la transformada de x(t) es X(f), la transformada de X (t) será x(-f).

Prueba:

Cambiando t por -t

Intercambiando t con f

4.3.2.f.-Diferenciación en tiempo

Si la transformada de x(t) es X(f), la transformada de la derivada k-ésima de x(t) será (jω)k X(f).

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O lo que es lo mismo

4.3.2.g.-Integración en tiempo

Si la transformada de x(t) es X(f) y si se cumple que

entonces la transformada de:

Prueba:

Extendiendo a múltiples integraciones:

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Ahora bien, si la señal no tiene media nula , la integral definida de x(t) tiene una transformada de Fourier que incluye una función delta de Dirac o impulso δ(f). Es decir:

Ejemplos:

1ºEncuentre la transformada de la siguiente función

Esta señal puede ser escrita como:

x(t) = 10Π((t-70)/140). Cos(πt /10) = p(t). Cos(πt /10)

y ya sabemos que la transformada del pulso dará

P(f) = 1400(Sinc140f )e-jω70.

Al aplicar el teorema de modulación se tiene que:

X(f) = 0.5. P(f-f0) + 0.5. P(f+f0) con f0 = (20)-1

es decir: X(f) = 700Sinc140(f-f0)e-j(ω-ω0)70. + 700Sinc140(f+f0) e-j(ω + ω0)70.

2º Encuentre la transformada de:

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x(t) = e-t cosωct u(t)

Se busca primero F { e-t u(t) }

F { e-t u(t) } = 1/ ( 1+jω )

Aplicando el teorema de modulación se consigue X(f) como:

3º Encuentre la transformada de:

x(t) = e -5tu(t)

Se conoce la transformada de e -tu(t) por lo tanto se puede aplicar el teorema de cambio de escala.

F { e -t u(t) } = 1/ ( 1+jω )

F { e –5t u(t) } = 1/ ( 5+jω )

4º Encuentre la transformada de la función sgn(t) = 1 para t positivo y -1 para t negativo, la cual por conveniencia escribiremos así:

Su transformada será:

5º Determine F{δ(t)}

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6º Determine F {1} : Aplicando dualidad:

Si la transformada de δ(t) es 1, la transformada de 1 es δ (-f)= δ (f)

7º Determine F { u(t) }

u(t) = 0.5+ 0.5 sgn(t)

Por lo tanto su transformada será:

U(f)= 0.5δ(f) + 1/jω

Obsérvese que si se hubiese aplicado el teorema de integración en tiempo no daría el mismo resultado a menos que se considerara el área de la función a integrar.

8º Determine la transformada de la siguiente señal:

x(t) = 5 + p(t) senωot , donde p(t) es el pulso definido anteriormente en el ejemplo Nº 1

Al multiplicar la señal p(t) por senwot se debe aplicar el teorema de modulación:

9º Determine la transformada de la siguiente señal:

Al derivar se tiene:

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F {x'(t) } = 2- 2Sinc 2f

El nivel DC o promedio de la señal x(t) es nulo por lo tanto

4.3.3.-Transformada de Fourier de señales periódicas

Esto permitirá unificar el tratamiento de señales a través de la transformada de Fourier. Sabemos que F { δ (t) } =1 y que F {1}= δ (f) por lo tanto, y aplicando el teorema de modulación, F {1.ejωot} = δ (f-fo).

Como una señal periódica x(t) puede representarse como:

Es decir, que la transformada de Fourier tiene la misma forma que el espectro bilateral de amplitud solo que en cada armónica está aplicada una delta de Dirac.

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Bajo estas condiciones es fácil encontrar la transformada de las funciones senωot y cosωot.

4.3.4.-Teorema de Rayleigh:

La energía normalizada de una señal x(t) compleja se calcula como:

Demostración:

Intercambiando el orden de integración:

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