HERRAMIENTA PEDAGOGICA DE APOYO PARA EL BACHILLERATO

DEPARTAMENTO DE PUBLICACIONES

GUIA DE TRABAJO No 1

AREA DE MATEMATICASCALCULOCICLO VI

Elaborada por

ERNESTO CAMPOS

BOGOTA D.C

1

DATOS DEL ESTUDIANTE

NOMBRE DEL ESTUDIANTE : ________________________

_________________________

CICLO : ________________________

JORNADA : MARTES Y MIERCOLES ( ) JUEVES Y VIERNES ( ) SABADOS ( ) DOMINGOS ( )

NOMBRE DEL PROFESOR : ________________________

FECHA : DEL __________ AL _______

CALIFICACION : ________________________

_____________________FIRMA DEL PROFESOR

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Un intervalo es el conjunto de todos los números reales entre dos números reales dados. Para representar los intervalos se utilizan los siguientes símbolos: 1. Intervalo abierto (a, b) = {x/a x b}. 2. Intervalo cerrado [a, b] = {x/a x b}

En una gráfica, los puntos finales de un intervalo abierto se representan con un punto abierto ( ) y los de un intervalo cerrado se representan con un punto cerrado ( ). Por ejemplo, observemos las siguientes figuras:

Según vimos anteriormente los paréntesis se utilizan para los intervalos abiertos y los corchetes para los intervalos cerrados. Veamos ahora cuando se utilizan ambas denotaciones a la misma vez. Por ejemplo:

Si tenemos (a, b], la gráfica sería:

Si tenemos [a, b), la gráfica sería:

Cuando hablamos de infinito nos referimos al conjunto de todos los números reales mayores que a y se representan con la notación de intervalo

3

(a, ). El conjunto de todos los números reales menores que a se representan con la notación de intervalo (- , a).

DESIGUALDADES.La expresión

a b,quiere decir que "a" no es igual a "b". Según los valores particulares de "a" y de "b", puede tenerse a > b, que se lee "a" mayor que "b", cuando la diferencia a - b es positiva y a < b, que se lee "a" menor que "b", cuando la diferencia a - b es negativa. Ley de la tricotomía:"Para cada par de números reales a y b, es verdadera una, y solamente una, de las proposiciones:

 Propiedades de las desigualdades

Teorema1-Propiedad transitiva:

Ejemplo ilustrativo:

Teorema2-Suma:

Ejemplo ilustrativo:

Teorema3-Multiplicación por un número positivo:

Ejemplo ilustrativo:

Teorema4:

Ejemplo ilustrativo:

Los Teoremas 1 a 4 también son válidos si se cambia ">" por "<"

Teorema5: Teorema6:

"Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad, se cambia el sentido de la desigualdad".

4

Teorema7: Teorema8:

Teorema9: Teorema10:

Teorema11:

 Inecuaciones lineales:          Una inecuación es una desigualdad en la que aparece una incógnita. Si el grado de la inecuación es uno, se dice que la inecuación es lineal. Resolver una inecuación es encontrar los valores de la incónita para los cuales se cumple la desigualdad. La solución de una inecuación es, por lo general, un intervalo o una unión de intervalos de números reales. el método para resolver una inecuación es similar al utilizado para resolver ecuaciones, pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades. Es conveniente ilustrar la solución de una inecuación con una gráfica. Si la solución incluye algún extremo del intervalo, en la gráfica representamos dicho extremo con un círculo en negrita; en cambio, si la solución no incluye el extremo, lo representamos mediante un círculo blanco (transparente).Ejemplo ilusrativo1:

Inecuaciones lineales que comprenden valores absolutos:

5

  Inecuaciones cuadráticas:Las inecuaciones cuadráticas presentan, o se pueden reducir a, las formas:

El modo de solucionar estas inecuaciones es similar al utilizado para resolver ecuaciones cuadráticas.

Ejemplo ilustrativo2:

6

 Ejercicios resueltosEn los ejercicios 1 a 6 resuelva las inecuaciones propuestas y de la solución en tres formas diferentes: desigualdades, intervalos, gráfica.

S o l u c i o n e s

 

7

 

 

 

8

 

 

9

10

Una inecuación o desigualdad lineal es lo mismo que una ecuación lineal pero cambiando el signo de igualdad por signo(s) de desigualdad.

Los signos de desigualdad son Para resolver

una desigualdad lineal se utilizan los mismos pasos que se usan para resolver una ecuación lineal. Como ejemplo, vamos a resolver la desigualdad 3 > x - 8. Sumando la misma cantidad a ambos lados:

3 > x - 83 + 8 > x - 8 + 811 > x

Una regla importante en las desigualdades es que cuando se divide por un número negativo, el signo de desigualdad cambia.

Ejemplo:

11

RECORDEMOS: Un intervalo es un subconjunto de los números reales Los intervalos pueden ser:Abiertos: Cuando el subconjunto no incluye los extremos (a,b)={xlR/a<x<b}Cerrados: Cuando el subconjunto incluye los extremos a,b)={xlR/a≤x≤b}Infinitos:Sólo tiene un valor extremo(a,∞) ={xlR/x>a}(-∞,a) ={xlR/x<a}

SOL: (-∞, 11)

EJERCICIOS: Resolver las siguientes desigualdades:

1. 5x-1≤2

2. 2-8x>5x-12

3.

4.

12

SOL: (5, ∞)

Una inecuación puede tener dos desigualdades, en este caso se despeja la variable hacia ambos lados de la desigualdad al mismo tiempo.

EJEMPLO:

El 8 que está restando se pasa a sumar a ambos lados de la desigualdad

El 3 que está multiplicando pasa a dividir a ambos lados de la

desigualdad

La solución de la ecuación son los números mayores que 10/3 y

menores que 13/3

Sol = 10/3, 13/3)

EJERCICIOS:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

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Una desigualdad es cuadrática cuando la variable esta elevada al cuadrado, y es racional cuando la variable se encuentra en el denominador de una fracción

En este caso se debe despejar la desigualdad de tal forma que en alguno de los lados de la desigualdad quede un cero= 0

Después de despejar a cero, y hacer las operaciones indicadas, se deben factorizar si es necesario cada uno de los términos de la ecuación, o de la fracción, luego se debe hallar los puntos en los que cada termino se iguala a cero y ubicar en una recta real en que valores es positivo el término, y en que valores es negativoEJEMPLO: Resolver la desigualdad:

1) Se factoriza la expresión es una diferencia de cuadrados

Se busca en una recta real los puntos en los que cada uno de los factores es igual a cero. En que valores es positivo y en que valores es negativo

- - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + +

- - - - - - + + + + + + + + + + + + + +Se multiplica los signos de los factores en cada uno de los intervalos en los que se divide la recta real

- - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + +

- - - - - - + + + + + + + + + + + + + + + - +El producto entre los factores es negativo entre -7 y 7Por lo tanto la solución de la desigualdad es (-7,7)

2) <14

7-7

7-7

14

3)

Resolver las siguientes desigualdades:1.

2.

3.

4.

5.

6.

15

7.

16

8.

9.

10.

Desigualdades con valor absoluto. El valor absoluto de una expresión es el valor positivo de dicha expresión y se representa con el símbolo .Ejemplo:

En general el valor absoluto se define como

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si x≥0si x<0