TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE

CUAUTITLÁN IZCALLI

Av.Nopaltepec,S/N., col. Fracción la Coyotera del Ejido de San Antonio Cuamatla, Cuautitlán Izcalli,cp. 54748

ASIGNATURA: CALCULO INTEGRAL

CARRERA: INGENIERIA INDUSTRIAL

ANTOLOGÍA PARA EL UTOAPRENDIZAJE

SOLIS HERNÁNDEZ VICTOR ALFONSO

HERNÁNDEZ RAMIREZ VICTOR HUGO

LOPÉZ TORRES CRISTIAN RAFAEL

SANCHEZ MARTINEZ MARTIN

JUAREZ RAMIREZ RUBÉN

PRESENTACIÓN

1.- Caracterización de la asignatura.

Esta asignatura contribuye a desarrollar un pensamiento lógico, heurístico y algorítmico al modelar fenómenos y resolver problemas en los que interviene la variación.

Hay una diversidad de problemas en la ingeniería que son modelados y resueltos a través de una integral, por lo que resulta importante que el ingeniero domine el Cálculo integral.

El problema esencial del Cálculo integral es calcular áreas de superficies, particularmente el área bajo la gráfica de una función; de manera más sencilla, sumar áreas de rectángulos. Varios conceptos son descritos como el producto de dos variables; por ejemplo: trabajo, como fuerza por distancia; fuerza como el producto de la presión por el área; masa como densidad por volumen. Si cada unode los factores que componen el producto se asocian con cada uno de los ejes coordenados; el producto se asocia en el plano con una área que puede ser calculada a través de una integral.

En general, si se define un plano p q, entonces la integral nos permite calcular áreas en este plano, las unidades del área resultante están definidas por las unidades de los factores.

2.- Intención didáctica.

Buscando la comprensión del significado de la integral se propone un tratamiento que comience por lo concreto y pase luego a lo abstracto, así se sugiere que la integral definida se estudie antes de la indefinida puesto que aquélla puede ser abordada a partir del acto concreto de medir áreas.

Se incluye la notación sumatoria para que el alumno la conozca y la maneje en la representación de sumas de Riemann. La función primitiva se define junto con el Teorema Fundamental por estar íntimamente ligados. Las integrales impropias se ubican en esta unidad por ser un caso de integral definida, para aprovechar el contexto.

Una vez que se abordó la construcción conceptual de la integral definida, se estudian la integral indefinida y los métodos de integración, para tener más herramientas en la construcción de la antiderivada, necesaria para aplicar el Teorema Fundamental.

Las aplicaciones incluidas en el temario son las básicas, adecuadas a las competencias previas de los estudiantes, con el objetivo que sean ellos quienes planteen por sí mismos la integral a aplicar y resolver. Se complementa el tratamiento de aplicaciones con la identificación, por parte del alumno, de la integral en diferentes temas de ingeniería.

Se incluye la serie de Taylor puesto que el cálculo de algunas integrales se facilita o posibilita representando la función a integrar como una serie de potencias.La lista de prácticas y actividades de aprendizaje recomendadas no es exhaustiva, se han incluido ejemplos que pretenden favorecer el desarrollo de las competencias.

En dichas actividades se especifica la participación del alumno con la intención deresaltar su papel activo. En algunas unidades se sugiere iniciar el tratamiento del tema con la realización de una práctica, esto obedece a lo expuesto arriba: partir de lo concreto para llegar a lo abstracto.

INDICE

CONTENIDO PAGINA

PRESENTACIÓN ………………………………………………………………………………………………..

INSTRUCCIONES PARA EL USO DE LA ANTOLOGÍA PARA EL AUTOAPRENDIZAJE …….

SYLABUS DE CALCULO INTEGRAL ……………………………………………………………………….

UNIDAD I Teorema fundamental del cálculo ……………………………….Medición aproximada de figuras amorfas………………………………………Notación sumatoria……………………………………………………………….Sumas de Riemann……………………………………………………………….Definición de integral definida…………………………………………………...Teorema de existencia……………………………………………………………Propiedades de la integral definida……………………………………………..Función primitiva………………………………………………………………….Teorema fundamental del cálculo……………………………………………….Cálculo de integrales definidas………………………………………………….Integrales Impropias………………………………………………………………

UNIDAD II Integral indefinida y métodos de integración…………………Definición de integral indefinida…………………………………………………Propiedades de integrales indefinidas………………………………………….Cálculo de integrales indefinidas………………………………………………..

Directas…………………………………………………………………….Con cambio de variable………………………………………………….Trigonométricas…………………………………………………………..Por partes………………………………………………………………….Por sustitución trigonométrica…………………………………………...Por fracciones parciales………………………………………………….

UNIDAD III Aplicaciones de la integral…………………………………….Áreas……………………………………………………………………………….

Área bajo la gráfica de una función…………………………………….Área entre las gráficas de funciones…………………………………...

Longitud de curvas……………………………………………………………….Cálculo de volúmenes de sólidos de sólidos de revolución………………….Cálculo de centroides…………………………………………………………….Otras aplicaciones………………………………………………………………..

UNIDAD IV Series ..…………………………………………………………….Definición de serie………………………………………………………………..

Finita……………………………………………………………………….Infinita……………………………………………………………………...

Serie numérica y convergencia Prueba de la razón (criterio de D´Alembert) y Prueba de la raíz (criterio de Cauchy)…………………………………………………..Serie de potencias……………………………………………………………….Radio de convergencia………………………………………………………….Serie de Taylor……………………………………………………………………Representación de funciones mediante la serie de Taylor………………….Cálculo de Integrales de funciones expresadas como serie de Taylor……

BIBLIOGRAFIA ………………………………………………………………….

RESPUESTA A LOS EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN ……………

INSTRUCCIONES PARA EL USO DE

LA ANTOLOGÍA PARA EL AUTOAPRENDIZAJE

El participante del curso deberá, dedicar un tiempo razonable, para leer detenidamente y con la mayor atención posible el presente trabajo, o en su defecto si es el caso y se presentan dudas con respecto a alguna descripción, tomar las notas correspondientes de las preguntas que se presenten, ya que en base al sentido de comprensión que tenga, podrá lograr desarrollar las actividades que se proponen con la mejor calidad y a la vez sin equivocarse, es decir que responderá a los reactivos, preguntas y ejercicios, y así obtendrá los resultados correctos.

En base a las lecturas que se recomiendan por cada subtema, deberá de realizar anotaciones para poder comprender, estimar y resolver los ejercicios propuestos, para lo cual se recomiendan los siguientes materiales: calculadora científica, cuaderno de trabajo (de preferencia de cuadricula), lápiz o pluma.

IDENTIFICACIÓN DE LA MATERIA

CARRERA: Ingeniería Industrial NIVEL: Tecnólogo

MATERIA: Calculo Integral CRÉDITOS:

CLAVE: ACF-0902 SEMESTRE: 2°

HORAS SEMANALES: 5 PROFESOR: Raygoza Trejo Ángel

Tel:

E-Mail:

Http:// PENDIENTE

DURACIÓN:

HORARIO: Martes de 18:00 a 20:00,

Jueves de 18:00 a 20:00 Viernes 16:00 a 17:00

ACADEMIA; Http:// PENDIENTE

FECHA DE AUTORIZACIÓN POR LA ACADEMIA:

VERSIÓN: Primera

PREREQUISITOS

* Conocimientos de cálculo diferencial.

* Manipulación de calculadora científica.

* Manejo de funciones principales de la computadora.

COMPETENCIAS

• Contextualizar el concepto de Integral.• Discernir cuál método puede ser más adecuado para resolver una integral dada y resolverla usándolo.• Resolver problemas de cálculo de áreas, centroides, longitud de arco y volúmenes de sólidos de revolución.• Reconocer el potencial del Cálculo integral en la ingeniería.

CONTENIDO

1 Teorema fundamental del cálculo.

1.1 Medición aproximada de figuras amorfas. 1.2 Notación sumatoria. 1.3 Sumas de Riemann. 1.4 Definición de integral definida. 1.5 Teorema de existencia. 1.6 Propiedades de la integral definida. 1.7 Función primitiva. 1.8 Teorema fundamental del cálculo. 1.9 Cálculo de integrales definidas. 1.10 Integrales Impropias.

2 Integral indefinida y métodos de integración.

2.1 Definición de integral indefinida. 2.2 Propiedades de integrales indefinidas. 2.3 Cálculo de integrales indefinidas. 2.3.1 Directas. 2.3.2 Con cambio de variable. 2.3.3 Trigonométricas. 2.3.4 Por partes. 2.3.5 Por sustitución trigonométrica. 2.3.6 Por fracciones parciales.

3 Aplicaciones de la integral.

3.1 Áreas. 3.1.1 Área bajo la gráfica de una función. 3.1.2 Área entre las gráficas de funciones. 3.2 Longitud de curvas. 3.3 Cálculo de volúmenes de sólidos de sólidos de revolución. 3.4 Cálculo de centroides. 3.5 Otras aplicaciones.

4 Series

4.1 Definición de seria. 4.1.1 Finita. 4.1.2 Infinita. 4.2 Serie numérica y convergencia Prueba de la razón (criterio de D´Alembert) y Prueba de la raíz (criterio de Cauchy). 4.3 Serie de potencias. 4.4 Radio de convergencia. 4.5 Serie de Taylor. 4.6 Representación de funciones mediante la serie de Taylor. 4.7 Cálculo de Integrales de funciones expresadas como serie de Taylor.

METODOLOGÍA DEL CURSO

Buscando la comprensión del significado de la integral se propone un tratamiento que comience por lo concreto y pase luego a lo abstracto, así se sugiere que la integral definida se estudie antes de la indefinida puesto que aquélla puede ser abordada a partir del acto concreto de medir áreas.Se incluye la notación sumatoria para que el alumno la conozca y la maneje en la representación de sumas de Riemann. La función primitiva se define junto con el Teorema Fundamental por estar íntimamente ligados. Las integrales impropias se ubican en esta unidad por ser un caso de integral definida, para aprovechar el contexto.

Una vez que se abordó la construcción conceptual de la integral definida, se estudian la integral indefinida y los métodos de integración, para tener más herramientas en la construcción de la antiderivada, necesaria para aplicar el Teorema Fundamental.Las aplicaciones incluidas en el temario son las básicas, adecuadas a las competencias previas de los estudiantes, con el objetivo que sean ellos quienes planteen por sí mismos la integral a aplicar y resolver. Se complementa el tratamiento de aplicaciones con la identificación, por parte del alumno, de la integral en diferentes temas de ingeniería.

Se incluye la serie de Taylor puesto que el cálculo de algunas integrales se facilita o posibilita representando la función a integrar como una serie de potencias.La lista de prácticas y actividades de aprendizaje recomendadas no es exhaustiva, se han incluido ejemplos que pretenden favorecer el desarrollo de las competencias.En dichas actividades se especifica la participación del alumno con la intención de resaltar su papel activo. En algunas unidades se sugiere iniciar el tratamiento del tema con la realización de una práctica, esto obedece a lo expuesto arriba: partir de lo concreto para llegar a lo abstracto.

PROGRAMACIÓN DE CLASES

SESIÓN TEMABIBLIOGRAFÍA

1.1 Medición aproximada de figuras amorfas. (120 min.) I pag.

1.2 Notación sumatoria. (120 min.) I pag.

1.3 Sumas de Riemann. (120 min.) I pag.

1.4 Definición de integral definida. (120 min.) I pag.

1.5 Teorema de existencia. (120 min.) I pag.

1.6 Propiedades de la integral definida. (120 min.) I pag.

1.7 Función primitiva. (120 min.) I pag.

1.8 Teorema fundamental del cálculo. (120 min.) I pag.

1.9 Cálculo de integrales definidas. (120 min.) I pag.

1.10 Integrales Impropias. (120 min.) I pag.

Primer examen parcial ( 120 min. )

2.1 Definición de integral indefinida. (120 min.) I pag.

2.2 Propiedades de integrales indefinidas. (120 min.) I pag.

2.3 Cálculo de integrales indefinidas. (120 min.) I pag.

2.3.1 Directas. (120 min.) I pag.

2.3.2 Con cambio de variable. (120 min.) I pag.

2.3.3 Trigonométricas. (120 min.) I pag.

2.3.4 Por partes. (120 min.) I pag.

2.3.5 Por sustitución trigonométrica. (120 min.) I pag.

2.3.6 Por fracciones parciales. (120 min.) I pag.

Segundo examen parcial ( 120 min. )

3.1 Áreas. (120 min.) I pag.

3.1.1 Área bajo la gráfica de una función. (120 min.) I pag.

3.1.2 Área entre las gráficas de funciones. (120 min.) I pag.

3.2 Longitud de curvas. (120 min.) I pag.

3.3 Cálculo de volúmenes de sólidos de sólidos de (120 min.) revolución.

I pag.

3.4 Cálculo de centroides. (120 min.) I pag.

Tercer examen parcial ( 120 min. )

4.1 Definición de seria. (120 min) I pag.

4.1.1 Finita. (120 min) I pag.

4.1.2 Infinita. (120 min) I pag.

4.2 Serie numérica y convergencia Prueba (120 min) de la razón (criterio de D´Alembert) y Prueba de la raíz (criterio de Cauchy).

I pag.

4.3 Serie de potencias. (120 min) I pag.

4.4 Radio de convergencia. (120 min) I pag.

4.5 Serie de Taylor. (120 min) I pag.

4.6 Representación de funciones mediante la serie (120 min) de Taylor.

I pag.

4.7 Cálculo de Integrales de funciones expresadas (120 min) como serie de Taylor.

I pag.

Cuarto examen parcial ( 120 min. )

EVALUACIÓN

CONCEPTO VALOR PORCENTUAL

1er parcial.- Asistencia ( % )

1er parcial.- Trabajos (tareas) ( % )

1er parcial.- Examen ( % )

Total 1er parcial 100%

2do parcial.- Asistencia ( % )

2do parcial.- Trabajos (tareas) ( % )

2do parcial.- Examen (% )

Total 2do parcial (100%)

3er parcial.- Asistencia ( % )

3er parcial.- Trabajos (tareas) ( % )

3er parcial.- Examen ( % )

Total 3er parcial (100%)

4to parcial.- Asistencia ( % )

4to parcial.- Trabajos (tareas) ( % )

4to parcial.- Examen ( % )

Total 4to parcial (100%)

BIBLIOGRAFÍA

1. Stewart, James B. Cálculo con una Variable. Editorial Thomson,

2. Larson, Ron. Matemáticas 2 (Cálculo Integral), McGraw-Hill, 2009.3. Swokowski Earl W. Cálculo con Geometria Analítica. Grupo Editorialiberoamericana,1998.4. Leithold, Louis. El Cálculo con Geometría Analítica, Editorial Oxford UniversityPress, 2009.5. Purcell, Edwin J. Cálculo, Editorial Pearson, 2007.6. Ayres, Frank. Cálculo, McGraw-Hill, 2005.7. Hasser, Norman B. Análisis Matemático Vol. 1, Editorial Trillas, 2009.8. Courant, Richard. Introducción al Cálculo y Análisis Matemático Vol. I, EditorialLimusa, 2008.9. Aleksandrov, A. D., Kolmogorov A. N., Laurentiev M. A. La matemática: sucontenido, métodos y significado. Madrid, Alianza Universidad, 1985.10. Boyer C. B. (1959). The history of the Claculus and its conceptualdevelopment. New York, Dover Publications Inc.Software: El que se tenga disponible.

UNIDAD I

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO.

OBJETIVO

DURACIÓN: 9 Sesiones (1020 min)

COMPETENCIAS CON LA QUE SE RELACIONA EL OBJETIVO

• Contextualizar el concepto de integral definida.• Visualizar la relación entre cálculo diferencial y el cálculo integral.• Calcular integrales definidas.

CONTENIDO

1.1 Medición aproximada de figuras amorfas. 1.2 Notación sumatoria. 1.3 Sumas de Riemann. 1.4 Definición de integral definida. 1.5 Teorema de existencia. 1.6 Propiedades de la integral definida. 1.7 Función primitiva. 1.8 Teorema fundamental del cálculo. 1.9 Cálculo de integrales definidas. 1.10 Integrales Impropias.

ACTIVIDADES DE LA UNIDAD

• Actividad del alumno: Se propone realizarla práctica 1.1.

• Actividad del alumno: Para una colección de funciones simples (como y =1, y = x, y = ex , y = x2…) construir la primitiva a partir de la definición.

• Actividad del alumno: Realizar la práctica 1.2.

• Actividad conjunta maestro-alumno:

Consultar el enunciado del Teorema Fundamental del Cálculo y establecer la relación entre el enunciado y las conclusiones de la práctica 1.1. Se sugiere que en este punto el profesor haga un cierre, precisando el Teorema.

REFERENCIA NO 1

1. Stewart, James B.

Cálculo con una Variable.

Editorial Thomson,

PAGINAS: a

2. Larson, Ron

. Matemáticas 2 (Cálculo Integral),

McGraw-Hill, 2009.

PAGINAS: a

Teorema fundamental del cálculo.

Medición aproximada de figuras amorfas.

Teorema fundamental del calculo

El teorema fundamental del cálculo es la afirmación de que la derivación y la integración son operaciones inversas: si una función continua primero se integra y luego se deriva, se recupera la función original. Una consecuencia importante, en ocasiones denominada el segundo teorema fundamental del cálculo, permite calcular integrales a base de emplear una primitiva de la función a integrar.

1.1 Medición aproximada de figuras amorfas

Rectángulo Genérico

Definiremos, para nuestra presentación, un rectángulo genérico. El mismo se formaráteniendo como base el eje de coordenadas, (bien sea eje X o el eje Y), dependiendo de lacurva que estemos estudiando.En ocasiones el rectángulo genérico puede ser vertical, si tiene como base el ejeX.

(Ver Figura 1). Pero es posible que el rectángulo sea horizontal, para este caso la base está sobreel eje Y. (Ver Figura 2)

Figura1 Figura 2 (Ver Figura 2).

Ahora bien, la longitud de los rectángulos vendrá determinada por la curva. Es decir; dondetoque el rectángulo a la curva, esa será la longitud.El ancho del rectángulo vendrá dado por la exactitud

del cálculo que deseamos hacer.Para estudios siguientes, haremos que el ancho del rectángulo se haga tan pequeño como ellímite cuando tiende a cero

1.2 Notacion sumatoria

INTEGRAL DEFINIDA (NOTACION SUMATORIA)

“Si en cualquier figura delimitada por rectas y por una curva; se inscriben y circunscriben rectángulos en número arbitrario, y si la anchura de tales rectángulos se va disminuyendo a la par que se aumenta su número hasta el infinito, afirmo que las razones entre las figuras inscrita y circunscrita y la figura curvilínea acabarán siendo razones de igualdad”--- Isaac Newton.

El área, es un concepto familiar para todos nosotros, por el estudio de figuras geométricas sencillas como el triángulo, el cuadrado, el círculo y el rectángulo. La idea o el concepto que manejamos de área, es la magnitud que mide de algún modo el tamaño de una región acotada, es decir, cuanto mide una superficie. Ciertamente, para hallar el área de las figuras geométricas sencillas que ya conocemos, disponemos de formulas matemáticas que facilitan este cálculo.

Ahora, nuestro problema consiste en encontrar un método, que nos permita calcular el área de cualquier región, sin importar la forma que esta tenga. Para lograr esto, es necesario primero introducir el símbolo o la notación de Sumatoria. Para representar esto, se una la letra griega mayúscula Σ “sigma”, para abreviar la sumatoria, y se usa de este modo:

Σy sus partes son:

a: representa los términos de la sumatoria

ak: representa el termino k-ésimo de la sumatoria

an: representa el termino n-ésimo y último de la sumatoria

k: es el índice de la sumatoria

1: es el límite inferior de la sumatoria

n: es el límite superior de la sumatoria

Gráfica 1.

Como habíamos mencionado anteriormente, nuestra preocupación ahora, es encontrar el área de cualquier superficie sin importar su forma. Supongamos que queremos hallar el área de la región comprendida entre el eje x, la recta x=a, la recta x=b y la gráfica de la función f(x) (Gráfica 1).

Gráfica 2.

Ahora, supongamos que tomamos la región y la dividimos en una serie de rectángulos de base x (Gráfica 2.). Si lográramos calcular el área de cada uno de esos rectángulos, y las sumáramos todas, obtendríamos una aproximación del área total de la región que deseamos.

Pero como ya vimos que esa sumatoria se puede reducir a una sola expresión, podríamos hacerlo de modo que, tomemos un valor xi, dentro del intervalo [a,b], tal que exista xi y un f(xi), de tal manera que se cumpla que:

de esta manera se puede calcular el área de ese rectángulo así:

,

Puesto que el área de un rectángulo, como todos sabemos, es base por altura. Debido a que este rectángulo puede ser cualquier rectángulo dentro de la región, puesto que xi puede ser cualquier valor, ya podemos sumar sus áreas para lograr la aproximación:

,

Donde esta sumatoria nos representa el área aproximada de la región que deseamos. Como ya habíamos visto que xi, representa cada una de las particiones de nuestra región, ahora definamos a P como la partición más grande de todas, es decir la base de rectángulo más grande de dotas las de la región y n el número de particiones. Así, si hacemos que P se haga tan pequeño como pueda o que el número de particiones n, se haga lo más grande que pueda, hallamos una mejor aproximación del área que buscamos (Gráfica 3).

Gráfica 3.

De aquí podemos deducir que si hallamos el Límite cuando el número de rectángulos sea muy grande o cuando las longitudes de las bases de esos rectángulos sean muy pequeñas, lograremos la mejor y más exacta aproximación del área que tanto hemos buscado. Y esto se representa así:

,

que es equivalente a,

,

con esto ya encontramos la mejor aproximación del área. Ahora si, podemos definir la integral definida ya que,

Por lo tanto podemos deducir que la integral definida es una suma y así la hemos definido. Y de esta manera, también hemos mostrado la primera aplicación de la integración definida, hallar el área bajo una curva.

Ya que definimos la integral definida, identifiquemos cual es su notación y las partes que la componen.

Toda la expresión se lee, integradle f(x), desde a hasta b; a y b, son los límites de integración, donde a es el límite inferior y b es el límite superior. El símbolo", es una s mayúscula alargada, que significa suma y se llama símbolo de integración. La función f(x), es el integrando y el dx, se llama diferencial y es el que lleva la variable de integración que en este caso es x.

ÁREA ENTRE CURVAS

Como ya hemos definido la integral definida como una suma y además hemos visto como se halla el área de una región comprendida entre una curva y en eje, ahora veremos como se hace este mismo cálculo para hallar el área de una región que este comprendida entre dos curvas, es decir, entre las gráficas de dos funciones.

El concepto para calcular el área entre dos curvas, es el mismo que ya habíamos estudiado. La región a trabajar, se divide en rectángulos, y se determinan los mismos parámetros para calcular el área de este, es decir su base y su altura. La diferencia en esta aplicación es que la altura del rectángulo se define de una manera algo distinta, debido a que hay dos funciones involucradas.

Gráfica 4.

Como podemos ver en la Gráfica 4, el intervalo de la región esta definido por los puntos de corte de las dos funciones, esto es en el caso de las los tengan dichos puntos, por otro lado, si las funciones no se cortan, para hallar el área entre ellas, es necesario definir un intervalo mediante “tapas”, que son rectas constantes en función de y, de igual manera que definimos el intervalo en la aplicación anterior.

Ahora que ya sabemos todo el proceso para hallar el área, sólo resta, mostrar como es que cambia el asunto de la altura del rectángulo. Y eso lo podemos representar así:

Donde f(x)-g(x), representa la altura del rectángulo diferencial. Con esto ya hemos mostrado y definido otra aplicación de la integral definida.

SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

Ya está visto que la integral definida es aplicable, cuando se trata de hallar áreas, pero ¿será aplicable para hallar volúmenes formados por rotación de una función?, la respuesta a esta pregunta es si, si es posible calcular estos volúmenes, llamados volúmenes de revolución, mediante integración definida. Más adelante y en el transcurso de este tema, veremos que el cálculo del volumen de un sólido, es como una expansión del cálculo del área, a una tercera dimensión.

Igual que para hallar el área, tomemos una figura sencilla, para hallar su volumen, por ejemplo un cilindro. Dado que el cilindro es un prisma, igual que un paralelepípedo, su volumen puede ser calculado como tal, área de su base por su altura.

si

Método de los discos

Gráfica 5.

Como ya vimos, el volumen de un cilindro, ahora nos queda más fácil comprender el concepto de volumen por el método de los discos. Como sabemos las dimensiones del disco diferencial (Gráfica 5.), son muy parecidas a las de un cilindro, de hecho el disco es prácticamente un cilindro cuya altura es mucho menor al radio de su base. De esto podemos deducir que si queremos hallar el volumen del sólido de la gráfica, es necesario sumar los volúmenes de los discos que quepan dentro del sólido y si llevamos esa cantidad, hacia el infinito, igual que con el área, obtendremos la mejor aproximación del volumen y para esto ya vimos como funciona la integral definida, es por eso que para este caso el cálculo del volumen del sólido, es una expansión del cálculo del área de una superficie plana. Calculemos el volumen del disco si, el radio es f(x) y su espesor es x.

, de aquí, deducimos que,

, por lo tanto

, dado que el volumen esta entre a y b,

De esta manera, podemos calcular el volumen de un sólido, mediante el método de los discos.

Método de las arandelas

Este método, es sin duda una expansión del anterior, debido a que también se basa en discos, pero esta vez con un agujero, es por eso que se les llama arandelas. El hecho que se presente el agujero, se debe a que el volumen de revolución lo forma la rotación de dos funciones, a un mismo sentido y a un mismo ritmo, de donde generalmente se forma un sólido hueco.

Gráfica 6.

Ahora, si miramos la Gráfica 6; nos damos cuenta que el proceso para hallar el volumen es muy similar al del método anterior, pero aquí es necesario hacer una resta de volúmenes para la arandela, si el radio mayor es f(x) y el radio menor es g(x), y Va es el volumen de la arandela,

, de aquí ya podemos hallar fácilmente el volumen del sólido, desarrollando la integral definida en el intervalo [a,b].

Método de los casquillos cilíndricos

Cuando necesitamos hallar el volumen de un sólido de revolución, a veces los casquillos cilíndricos nos pueden dar una solución más fácil, que el método de las arandelas. En parte, la razón es que la formula a la que nos llevan no requiere que se eleve al cuadrado. Los métodos de discos y arandelas usaban como elemento representativo de volumen un disco circular, generado al girar un rectángulo orientado perpendicularmente al eje de rotación o revolución. El método de los casquillos usa como elemento representativo de volumen un cilindro que es generado al girar un rectángulo, orientado de forma paralela al eje de revolución. En primer lugar es necesario que desarrollemos la formula para el volumen del cilindro diferencial.

Gráfica 7.

Anteriormente ya habíamos calculado el volumen de un cilindro, así que aquí, miraremos una formula geométrica que nos dice que el volumen de un casquillo barrido por un rectángulo es:

V=2(radio promedio del casquillo)(altura del casquillo)(grosor)

en nuestro caso es:

Gráfica 8.

Supongamos que hacemos girar la región sombreada de la Gráfica 8, alrededor del eje y para generar un sólido. Para hallar una aproximación del volumen del sólido, así:

Gráfica 9.

Como podemos ver en la Gráfica 9, de la rotación resultan casquillos cilíndricos diferenciales. Si hacemos la sumatoria de volúmenes de los casquillos diferenciales, obtendremos el volumen del sólido de revolución. Anteriormente, habíamos definido el volumen de uno de los casquillos diferenciales en términos de la función, así que ya podemos afirmar que:

Esto es el resultado de hacer la sumatoria de los volúmenes de los casquillos diferenciales y es el método de los casquillos para calcular volúmenes de revolución.

VOLÚMENES POR REBANADAS

Cuando analizamos el método de los discos para hallar el volumen de un sólido, llegamos a la formula:

donde , era el área de la sección circular y x el espesor del disco.

Ahora podemos generalizar este método, para calcular el volumen de sólidos con forma arbitraria, si conocemos el área de una de sus secciones. Por ejemplo si A(x), representa el área de una sección en x, perpendicular al eje x, entonces el volumen del sólido se obtendrá integrando A(x) con respecto a x.

Gráfica 10.

Por ejemplo en la Gráfica 10, encontramos un sólido cuyas secciones transversales son triángulos, de manera que si calculamos el área de uno de esos triángulos diferenciales y la integramos con respecto a x, encontramos el volumen total del sólido, es decir:

y de esta manera podemos encontrar, el volumen de cualquier sólido, siempre que conozcamos un elemento diferencial y la formula para hallar su área.

LONGITUD DE ARCO

Hasta ahora, hemos usado la integral definida para calcular magnitudes con unidades cúbicas y con unidades cuadradas; esto nos lleva a preguntarnos, ¿podemos medir unidades lineales mediante la integral definida? Pues en esta aplicación veremos como podemos medir longitudes usando esta magnífica herramienta del cálculo.

Desde sierre, hemos tenido la noción de longitud, y siempre nos ha parecido muy sencillo medir objetos, usando los diferentes instrumentos de medición o simplemente calculando dichas longitudes usando formulas sencillas que nos sirven básicamente para estimar medidas de rectas o circunferencias; de manera que ahora tendremos la oportunidad de calcular longitudes pero esta vez de segmentos curvos.

De nuestra experiencia en cursos anteriores, hemos aprendido a calcular la distancia entre dos puntos usando la formula que deriva del teorema de Pitágoras:

Esta formula nos será útil para lograr nuestro propósito de medir la longitud de arco, pero antes tenemos que tener en cuenta que para poder realizar este cálculo, es necesario que la curva además de ser continua en un intervalo cerrado, sea también continua su derivada en el mismo intervalo [a,b]. También hay que saber que, no todas las curvas tienen longitud finita entre dos de sus puntos; si una curva tiene longitud finita entre dos de sus puntos, se dice que es rectificable entre esos dos puntos.

Gráfica 11.

Sea f(x), una función rectificable en el intervalo cerrado [a,b], aproximamos la curva de su gráfica mediante segmentos de recta, para hallar una estimación de su longitud. Tenemos i, donde es la partición correspondiente de [a,b] tal que

a = n1< n2< n3< n4<…< ni = b

Con esto, siendo , estimamos una aproximación de la longitud del arco, que denotamos s, así:

para:

y

podemos estimar la longitud de ese en todo el intervalo [a,b], así:

tomando el límite en el lado derecho y sacando un factor común (x)2, podemos afirmar que la longitud del arco es:

ahora, como f'(x), es continua, entonces es aplicable el teorema del valor medio de modo que existe algún ci en [xi-1,xi], tal que:

o equivalente:

así, podemos decir que:

que realmente es equivalente a:

que finalmente es lo que definimos en cálculo integral como longitud de arco.

SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN

Ya hemos usado la integral definida para hallar volúmenes de revolución, longitudes de arco y áreas de regiones planas. Ahora vamos a aprovechar su utilidad para calcular áreas pero esta vez no de regiones planas sino de superficies de revolución, estas no son más que la superficie exterior de cualquier sólido de revolución.

Para poder calcular el área de una superficie de este tipo, es necesario primero saber como calcular el área superficial de un cono circular truncado o tronco de cono.

Gráfica 12.

Consideremos la figura de la Gráfica 12b, donde:

L: es la longitud del segmento

r: es la distancia de un extremo al eje de rotación

R: es la distancia del otro extremo al eje de rotación

Con los datos anteriores, podemos afirmar que el área del tronco de cono es:

Gráfica 13.

Supongamos que la función f(X), de la Gráfica 13, tiene derivada constante y gira alrededor del eje x. Sea una partición de [a,b] en subintervalos de anchuras xi. Entonces el segmento rectilíneo de longitud:

genera un tronco de área lateral, Si y la podemos definir como:

y por aplicación del teorema del valor medio y del teorema del valor intermedio, podemos asegurar que se cumple que:

,

por lo tanto concluimos que:

Del mismo modo podríamos demostrar que, si la gráfica de f(x), gira alrededor del eje y, el área S, viene dada por:

y de esta manera, con cualquiera de las dos formulas, dependiendo el eje de rotación podemos calcular el área de revolución.

Suma de Riemann

Cuatro de los métodos de suma de Riemann para aproximar el área bajo las curvas. Los métodos derecha e izquierda hacen la aproximación usando, respectivamente, los puntos finales derechos e izquierdos de cada subintervalo. Los métodos máximo y mínimo hacen la aproximación usando, respectivamente, los valores más grandes y más pequeños del punto final de cada subintervalo. Los valores de las sumas convergen a medida que los subintervalos parten desde arriba a la izquierda hasta abajo a la derecha.

En matemáticas, la suma de Riemann es un método para aproximar el área total bajo la gráfica de una curva. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann.

Definición

Consideremos lo siguiente:

una función

donde D es un subconjunto de los números reales

I = [a, b] un intervalo cerrado contenido en D.

Un conjunto finito de puntos {x0, x1, x2, ... xn} tales que a = x0 < x1 < x2 ... < xn = b

crean una partición de I P = {[x0, x1), [x1, x2), ... [xn-1, xn]}

Si P es una partición con n elementos de I, entonces la suma de Riemann de f sobre I con la partición P se define como

Donde xi-1 ≤ yi ≤ xi. La elección de yi en este intervalo es arbitraria.Si yi = xi-1 para todo i, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la izquierda.Si yi = xi, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la derecha.Promediando las sumas izquierda y derecha de Riemann obtenemos la llamada suma trapezoidal.

Suma de Riemann superior e inferior.

Sea P = { x0, x1, x2, ..., xn} una partición del intervalo cerrado [a, b] y f una función acotada definida en ese intervalo. Entonces:

La suma superior de f respecto de la partición P se define así:

 

S(f, P) =  cj (xj - xj-1) donde cj es el supremo de f(x) en el intervalo [xj-1, xj].

La suma inferior de f respecto de la partición P se define así:

 

I(f, P) =  dj (xj - xj-1) donde dj es el ínfimo de f(x) en el intervalo [xj-1, xj].

Variación de las sumas de Riemann

Sea P = { x0, x1, x2, ..., xn} una partición del intervalo cerrado [a, b] y f una función acotada definida en ese intervalo. Entonces:

La suma inferior aumenta a medida que se van tomando refinamientos de la partición P, porque cada rectángulo se divide en otros de altura igual o superior, y el área siempre aumenta. Es decir:

I(f, P)  I(f, P') para todo refinamiento P' de la partición PGráficamente, se puede ver en color naranja el área que aumenta:

La suma superior disminuye a medida que se van tomando refinamientos de la partición P, porque cada rectángulo se divide en otros de altura igual o inferior, y el área siempre disminuye. Es decir:

 

S(f, P')  S(f, P) para todo refinamiento P' de la partición P

Gráficamente, se puede ver en color naranja el área que disminuye.

Integral de Riemann superior e inferior. Funciones Riemann-Integrables

Sea f una función acotada definida en un intervalo cerrado [a, b]. Se define:

o la integral superior I*( f ) = inf { S(f, P) : P es partición de [a, b] }

o la integral inferior I*( f ) = sup { I(f, P) : P es partición de [a, b] }

Entonces si I*( f ) = I*( f ) la función f es Riemann-Integrable y la integral de Riemann de f sobre el intervalo [a, b] se denota por:

f(x) dx

Hay que destacar que las sumas superior e inferior dependen de la partición particular escogida, mientras que las integrales superior e inferior son independientes de las particiones elegidas. Sin embargo, esta definición es difícil para ser aplicada de forma práctica, pues es necesario conocer el ínfimo y el supremo sobre cualquier partición.

Caracterización de las funciones Riemann-Integrables

Supongamos que f es una función acotada definida en el intervalo cerrado [a, b]. Entonces f es integrable Riemann si y sólo si para todo  > 0 existe al menos una partición P tal que

| S(f, P) - I(f, P) | < 

donde S(f, P) es la suma superior de f respecto de la partición P, e I(f, P) es la suma inferior de f respecto de la partición P

Sumas de Riemann

- Si P = { x0, x1, x2, ..., xn} es una partición del intervalo cerrado [a, b] y f es una función definida en ese intervalo, entonces la Suma de Riemann de f respecto de la partición P se define como:

R(f, P) =  f(tj) (xj - xj-1)

donde tj es un número arbitrario en el intervalo [xj-1, xj].

la suma de Riemann corresponde geométricamente con la suma de las áreas de los rectángulos con base xj - xj-1 y altura f(tj).

Tipos de aproximación de la integral

Por tanto, surge la duda de qué punto tj tomar dentro de cada subintervalo de la partición para evaluar la función en ese punto. En este sentido hay varias posibilidades para elegir el punto tj en el subintervalo [xj-1, xj], y las más utilizadas son éstas:

- Punto izquierdo: se toma como valor tj el límite inferior del subintervalo, es decir, xj-1. Gráficamente:

- Punto derecho: se toma como valor tj el límite superior del subintervalo, es decir, xj. Gráficamente:

- Punto medio: se toma como valor tj el punto medio entre los límites del subintervalo, es decir, (xj-1 + xj) / 2. Gráficamente:

- Punto aleatorio: se toma como valor tj un punto elegido aleatoriamente entre todos los puntos del subintervalo. Gráficamente:

- Punto ínfimo: se toma como valor tj aquel punto del subintervalo tal que f(tj) es el ínfimo en ese subintervalo. Gráficamente:

- Punto supremo: se toma como valor tj aquel punto del subintervalo tal que f(tj) es el supremo en ese subintervalo. Gráficamente:

Los dos últimos tipos de aproximación no son útiles en la práctica, pues para aplicarlos sería necesario calcular el ínfimo o el supremo de f(tj), teniendo que recorrer todo el subintervalo. Pero esto no es necesario; ¿Por qué?

Si una función es Riemann-Integrable, podemos aproximar la integral por sumas de Riemann R(f,P) tomando tj como queramos.

Veamos esto: si la función es Riemann-Integrable, cualquier suma de Riemann R(f, P) tiende al

valor de la integral, porque para cualquier punto tj tenemos que dj f(tj) cj (siendo dj el ínfimo

y cj el supremo en ese subintervalo), luego I(f,P) R(f,P) S(f,P).

Funciones Riemann-Integrables

Toda función continua en un intervalo cerrado y acotado es Riemann-Integrable.

Toda función continua y acotada en un intervalo cerrado y acotado, excepto en una cantidad numerable de puntos, es Riemann-Integrable.

Recíprocamente, si una función acotada definida en un intervalo cerrado y acotado es Riemann-Integrable, entoces es continua en ese intervalo excepto como mucho en una cantidad numerable de puntos.

Toda función monótona y acotada en un intervalo cerrado y acotado es Riemann-Integrable.

Veamos un ejemplo de una función Riemann-Integrable no continua. Definamos la función:

La representación gráfica de esta función es:

Esta función es Riemann-Integrable, porque se pueden calcular las áreas de los rectángulos escalonados. Y sin embargo, no es continua en una cantidad numerable de puntos, es decir, en 1/n, siendo n un número natural.  

Teorema Fundamental del Cálculo

Sea f una función integrable definida en el intervalo cerrado y acotado [a, b], se define una nueva función:

F(x) =  f(t) dt

Entonces F es continua en [a, b]. Es más, si f es continua en un punto c del intervalo (a,b), entonces F es derivable en c y

F' (c) = f(c)

Evaluación de la integral: Regla de Barrow

Relaciona el Cálculo Integral con el Cálculo Diferencial.

Sea f una función Riemann-Integrable definida en el intervalo cerrado y acotado [a, b].

Y sea F una primitiva de f en [a, b], es decir, F' (x) = f (x) para todo x perteneciente a [a, b].

Entonces:

f(x) dx = F(b) - F(a)

Integral de Riemann de funciones no positivas

Hasta ahora se ha analizado la integral de funciones positivas. Para las funciones positivas, el valor de la integral coincide con el área que delimitan con el eje X y las rectas x=a y x=b

Se estudiarán en este punto las funciones no positivas .

Dada una función real no positiva definida en el intervalo [a,b], se puede descomponer en dos funciones f+(x) y f -(x) definidas así:

f+(x) = max { f(x), 0 }

f -(x) = max { -f(x), 0 }

Así, tenemos que ambas funciones son positivas y f se puede definir en base a ellas de esta manera: f(x) = f+(x) - f -(x)Así que el problema se reduce a calcular la integral de dos funciones positivas. Tenemos, por tanto, que:

f(x) dx =  f+(x) dx -  f -(x) dx

Propiedades de la integral de Riemann

Sean f, g funciones integrables Riemann definidas en el intervalo [a, b]. Entonces se cumplen las siguientes propiedades:

1. Propiedades de linealidad:

f(x) dx  =  f(x) dx  

Si c es un número real, entonces c f(x) es integrable en [a, b], y se cumple:

c f(x) dx = c  f(x) dx  

La función (f + g) (x) es integrable en [a, b], y se cumple:

[f(x) + g(x)] dx =  f(x) dx +  g(x) dx

2. Propiedad de aditividad respecto del intervalo:

Si a < c < b entonces  f(x) dx =  f(x) dx +  f(x) dx

3. Propiedades de monotonía:

Se cumple que | f | es integrable y:      |  f(x) dx |  | f(x) | dx

Si g es otra función definida en [a, b] tal que 0 g(x)  f(x) en [a, b], entonces  g(x)

dx  f(x) dx

Aplicaciones

Se muestran a continuación algunas de las aplicaciones prácticas de la integral de Riemann:

- Cálculo de volúmenes de revolución:

Sea f una función real continua en [a, b], entonces el volumen de revolución engendrado al girar en torno al eje X, el recinto limitado por las rectas x=a, x=b, el eje X y la gráfica de f(x) viene dado por:

V =  [ f(x) ]2 dx

- Cálculo de la longitud de una curva:

Sea f una función real continua en [a,b], tal que su derivada f ' también es continua en [a,b]; entonces la longitud de la gráfica de f entre x=a y x=b es:

En coordenadas paramétricas, una curva viene definida por la expresión:

    En este caso, la longitud de la curva viene dada por:

- Cálculo del área lateral de una superficie de revolución:

Sea f una función real continua en [a,b], tal que su derivada f ' también es continua en [a,b]; entonces el área lateral de revolución engendrada por f(x) al girar en torno al eje X, entre las rectas x=a y x=b, es:

Integral definida

La integral definida de una función representa el área limitada por la gráfica de la función, con signo positivo cuando la función toma valores positivos y negativo cuando toma valores negativos.

La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en

general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

Teoría

Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral

es igual al área de la región del plano xy limitada entre la gráfica de f, el eje x, y las líneas verticales x = a y x = b, donde son negativas las áreas por debajo del eje x.

La palabra "integral" también puede hacer referencia a la noción de primitiva: una función F, cuya derivada es la función dada f. En este caso se denomina integral indefinida, mientras que las integrales tratadas en este artículo son las integrales definidas. Algunos autores mantienen una distinción entre integrales primitivas e indefinidas.

Newton y Leibniz a finales del siglo XVII. A través del teorema fundamental del cálculo, que desarrollaron los dos de forma independiente, la integración se conecta con la derivación, y la integral definida de una función se puede calcular fácilmente una vez se conoce una antiderivada. Las integrales y las derivadas pasaron a ser herramientas básicas del cálculo, con numerosas aplicaciones en ciencia e ingeniería.

Notación

Isaac Newton usaba una pequeña barra vertical encima de una variable para indicar integración, o ponía la variable dentro de una caja. La barra vertical se confundía fácilmente con o , que Newton usaba para indicar la derivación, y además la notación "caja" era difícil de reproducir por los impresores; por ello, estas notaciones no fueron ampliamente adoptadas.

La notación moderna de las integrales indefinidas fue presentada por Gottfried Leibniz en 1675.[2] [3] Para indicar summa (en latín, "suma" o "total"), adaptó el símbolo integral, "∫", a partir de una letra S alargada. La notación moderna de la integral definida, con los límites arriba y abajo del signo integral, la usó por primera vez Joseph Fourier en Mémoires de la Academia Francesa, alrededor de 1819–20, reimpresa en su libro de 1822.[4] [5] En la notación matemática en árabe

moderno, que se escribe de derecha a izquierda, se usa un signo integral invertido .[6]

Terminología y notación

Si una función tiene una integral, se dice que es integrable. De la función de la cual se calcula la integral se dice que es el integrando. Se denomina dominio de integración a la región sobre la cual se integra la función. Si la integral no tiene un dominio de integración, se considera indefinida (la que tiene dominio se considera definida). En general, el integrando puede ser una función de más de una variable, y el dominio de integración puede ser un área, un volumen, una región de dimensión superior, o incluso un espacio abstracto que no tiene estructura geométrica en ningún sentido usual.

El caso más sencillo, la integral de una función real f de una variable real x sobre el intervalo [a, b], se escribe

El signo ∫, una "S" alargada, representa la integración; a y b son el límite inferior y el límite superior de la integración y definen el dominio de integración; f es el integrando, que se tiene que evaluar al variar x sobre el intervalo [a,b]; y dx puede tener diferentes interpretaciones dependiendo de la teoría que se emplee. Por ejemplo, puede verse simplemente como una indicación de que x es la variable de integración, como una representación de los pasos en la suma de Riemann, una medida (en la integración de Lebesgue y sus extensiones), un infinitesimal (en análisis no estándar) o como una cantidad matemática independiente: una forma diferencial. Los casos más complicados pueden variar la notación ligeramente.

Conceptos y aplicaciones

Las integrales aparecen en muchas situaciones prácticas. Consideremos una piscina. Si es rectangular, entonces, a partir de su longitud, anchura y profundidad, se puede determinar fácilmente el volumen de agua que puede contener (para llenarla), el área de la superficie (para cubrirla), y la longitud de su borde (para atarla). Pero si es ovalada con un fondo redondeado, todas estas cantidades piden integrales. Al comienzo puede ser suficiente con aproximaciones prácticas, pero al final harán falta respuestas exactas y rigurosas a este tipo de problemas.

Aproximaciones a la integral de √x entre 0 y 1, con ■ 5 muestras por la izquierda (arriba) y ■ 12 muestras por la derecha (abajo).

Para empezar, se considerará la curva y = f(x) entre x = 0 y x = 1, suponiendo que f(x) = √x. La pregunta es:

¿Cuál es el área bajo la función f, al intervalo desde 0 hasta 1?

Esta área (todavía desconocida) será la integral de f. La notación para esta integral será

.

Como primera aproximación, se mira al cuadrado unidad dado por los lados x=0 hasta x=1 y y=f(0)=0 y y=f(1)=1. Su área es exactamente 1. Tal como se puede ver, el verdadero valor de la integral tiene que ser de alguna forma más pequeño. Reduciendo el ancho de los rectángulos empleados para hacer la aproximación se obtendrá un mejor resultado; así, se parte el intervalo en cinco pasos, empleando para la aproximación los puntos 0, 1⁄5, 2⁄5, así hasta 1. Se ajusta una caja cada paso empleando la altura del lado derecho de cada pedazo de la curva, así √1⁄5, √2⁄5, y así hasta √1 = 1. Sumando las áreas de estos rectángulos, se obtiene una mejor aproximación de la integral que se está buscando,

Nótese que se está sumando una cantidad finita de valores de la función f, multiplicados por la diferencia entre dos puntos de aproximación sucesivos. Se puede ver fácilmente que la aproximación continúa dando un valor más grande que el de la integral. Empleando más pasos se obtiene una aproximación más ajustada, pero no será nunca exacta: si en vez de 5 subintervalos se toman doce y se coge el valor de la izquierda, tal como se muestra en el dibujo, se obtiene un valor aproximado para el área, de 0,6203, que en este caso es demasiado pequeño. La idea clave es la transición desde la suma de una cantidad finita de diferencias de puntos de aproximación multiplicados por los respectivos valores de la función, hasta usar pasos infinitamente finos, o infinitesimales. La notación

concibe la integral como una suma ponderada (denotada por la "S" alargada), de los valores de la función (como las alzadas, y = f(x)) multiplicados por pasos de anchura infinitesimal, los llamados diferenciales (indicados por dx).

Con respecto al cálculo real de integrales, el teorema fundamental del cálculo, debido a Newton y Leibniz, es el vínculo fundamental entre las operaciones de derivación e integración. Aplicándolo a

la curva raíz cuadrada, se tiene que mirar la función relacionada F(x) = 2⁄3x3/2 y simplemente coger F(1)−F(0), donde 0 y 1 son las fronteras del intervalo [0,1]. (Éste es un ejemplo de una regla general, que dice que para f(x) = xq, con q ≠ −1, la función relacionada, la llamada primitiva es F(x) = (xq+1)/(q+1).) De modo que el valor exacto del área bajo la curva se calcula formalmente como

Históricamente, después de que los primeros esfuerzos de definir rigurosamente los infinitesimales no fructificasen, Riemann definió formalmente las integrales como el límite de sumas ponderadas, de forma que el dx sugiere el límite de una diferencia (la anchura del intervalo). La dependencia de la definición de Riemann de los intervalos y la continuidad motivó la aparición de nuevas definiciones, especialmente la integral de Lebesgue, que se basa en la habilidad de extender la idea de "medida" de maneras mucho más flexibles. Así, la notación

hace referencia a una suma ponderada de valores en que se divide la función, donde μ mide el peso que se tiene que asignar a cada valor. (Aquí A indica la región de integración.) La geometría diferencial, con su "cálculo de variedades", proporciona otra interpretación a esta notación familiar. Ahora f(x) y dx pasan a ser una forma diferencial, ω = f(x)dx, aparece un nuevo operador diferencial d, conocido como la derivada exterior, y el teorema fundamental pasa a ser el (más general) teorema de Stokes,

a partir del cual se deriva el teorema de Green, el teorema de la divergencia, y el teorema fundamental del cálculo.

Recientemente, los infinitesimales han reaparecido con rigor, a través de innovaciones modernas como el análisis no estándar. Estos métodos no sólo reivindican la intuición de los pioneros, también llevan hacia las nuevas matemáticas, y hacen más intuitivo y comprensible el trabajo con cálculo infinitesimal.

A pesar de que hay diferencias entre todas estas concepciones de la integral, hay un solapamiento considerable. Así, el área de la piscina oval se puede hallar como una elipse geométrica, como una suma de infinitesimales, como una integral de Riemann, como una integral de Lebesgue, o como una variedad con una forma diferencial. El resultado obtenido con el cálculo será el mismo en todos los casos.

Teorema de existencia

En matemáticas, un teorema de existencia es un teorema con un enunciado que comienza 'existe(n)...', o más generalmente 'para todo x, y, ...existe(n) ...'. Esto es, en términos más formales de lógica simbólica, es un teorema con un enunciado involucrando el cuantificador existencial. Muchos teoremas no lo hacen explícitamente, como es usual en el lenguage matemático estándar, por ejemplo, el enunciado de que la función seno es una continua, o cualquier teorema escrito en la notación O.

Una controversia que data del temprano siglo XX concierne el tema de teoremas de existencia puros, y la acusación relacionada de que al admitirlos las matemáticas traicionan sus responsabilidades de aplicación concreta (ver demostración no constructiva). El punto de vista matemático es que los métodos abstractos tienen un gran alcance, mayor que el del análisis numérico.

Teorema Existencia Integrales Definidas

Sea una función real y = f (x), que es continua en un intervalo [a , b]. Entonces se puede afirmar que existe al menos un punto c perteneciente a dicho intervalo, para el que se verifica:

El valor f © se conoce como el valor medio de la función f (x) en el intervalo [a,b].

Quizá sea interesante hacer varias observaciones:

1) El punto c puede no ser único. El teorema asegura la existencia de por lo menos un punto con esa propiedad.

2) El valor medio de la función f (x) no se refiere a la tasa de variación media en el intervalo considerado. Se trata de un concepto diferente.

3) El cálculo de dicho valor medio y el del punto c en el que se alcanza presupone el cálculo de una integral definida. Dicho cálculo puede hacerse por la Regla de Barrow (que se supone conocida) o bien, en el caso de funciones complicadas, utilizando métodos numéricos, como la Regla de Simpson por ejemplo. En esta unidad utilizaremos funciones de integración sencilla.

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2. EL TEOREMA APLICADO A UNA FUNCIÓN DETERMINADA Vamos a estudiar la aplicación del teorema a una función concreta. Para una primera aproximación vamos a escoger una función que sea continua en cualquier intervalo de la recta real, para que tengamos la seguridad de que se cumple la hipótesis de nuestro teorema.

La función objeto de nuestro estudio va a ser la siguiente:

Los controles a y b son los extremos del intervalo. Al cambiar sus valores se puede observar como varía el valor medio de la función y el punto, o puntos, en que se alcanza dicho valor. La función con la que estamos trabajando es simétrica y eso provoca que en algunos intervalos el punto c no sea único.

El trazo azul indica el conjunto de valores que toma la función en el intervalo [a,b], cuyo valor medio queremos calcular. Ten en cuenta que el extremo del intervalo a debe ser más pequeño que el extremo b. En cualquier caso, si te equivocases, aparecería un mensaje de error.

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3. EL TEOREMA APLICADO A UN TIPO DIFERENTE DE FUNCIONES

Vamos a considerar ahora la aplicación del teorema a un tipo diferente de funciones. Aquí el punto en el que se alcanza el valor medio es único ya que la familia de funciones exponenciales que estudiamos, también con dominio en todos los números reales y fácilmente integrables, se caracteriza por su monotonía. El conjunto de funciones que representamos responde a la ecuación general

en la que k puede tomar diversos valores reales en el intervalo [−0.5 , 0.5], lo que hace que la función pueda ser una exponencial creciente o decreciente. En el caso K = 0, al tratarse de una función constante el teorema carece de interés.

En la escena anterior la función era definida positiva y por tanto también lo era su valor medio. Ahora las funciones pueden tomar valores positivos y negativos según los intervalos, lo que afecta al valor medio obtenido.

El control k permite variar la función exponencial considerada. Los controles a y b representan, como en la escena anterior, los extremos del intervalo. Puedes estudiar diferentes intervalos en cada función que representes

Propiedades de la integral definida

1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.

2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.

3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·

5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

Regla de Barrow

La regla de Barrow dice que la integral definida de una función continua f(x) en un intervalo cerrado [a, b] es igual a la diferencia entre los valores que toma una función primitiva G(x) de f(x), en los extremos de dicho intervalo.

Teorema fundamental del cálculo

F'(x) = f(x)

El teorema fundamental del cálculo nos indica que la derivación y la integración son operaciones inversas

.

Al integrar una función continua y luego derivarla se recupera la función original.

Teorema de la media o del valor medio para integrales

Si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b], existe un punto c en el interior del intervalo tal que:

Ejemplos

Integración indefinida (Función primitiva)

El campo vectorial definido asignando a cada punto (x, y) un vector que tiene por pendiente ƒ(x) = (x3/3)-(x2/2)-x. Se muestran tres de las infinitas primitivas de ƒ(x) que se pueden obtener variando la constante de integración C.

En cálculo infinitesimal, la función primitiva o antiderivada de una función f es una función F cuya derivada es f, es decir, F = f.′

Una condición suficiente para que una función f admita primitivas sobre un intervalo es que sea continua en dicho intervalo.

Si una función f admite una primitiva sobre un intervalo, admite una infinidad, que difieren entre sí en una constante: si F1 y F2 son dos primitivas de f, entonces existe un número real C, tal que F1 = F2 + C. A C se le conoce como constante de integración. Como consecuencia, si F es una primitiva de una función f, el conjunto de sus primitivas es F + C. A dicho conjunto se le llama integral indefinida de f y se representa como:

ó

El proceso de hallar la primitiva de una función se conoce como integración indefinida y es por tanto el inverso de la derivación. Las integrales indefinidas están relacionadas con las integrales definidas a través del teorema fundamental del cálculo, y proporcionan un método sencillo de calcular integrales definidas de numerosas funciones.

Ejemplo

Una primitiva de la función f(x) = cos(x) en es la función F(x) = sin(x) ya que

. Dado que la derivada de una constante es cero, tendremos que cos(x) tendrá un número infinito de primitivas tales como sen(x), sen(x) + 5, sen(x) - 100, etc. Es más, cualquier primitiva de la función f(x) = cos(x) será de la forma sen(x) + C donde C es una constante conocida como constante de integración.

Constante de integración

La derivada de cualquier función constante es cero. Una vez que se ha encontrado una primitiva F, si se le suma o resta una constante C, se obtiene otra primitiva. Esto ocurre porque (F + C) ' = F ' + C ' = F ' + 0 = F '. La constante es una manera de expresar que cada función tiene un número infinito de primitivas diferentes.

Para interpretar el significado de la constante de integración se puede observar el hecho de que la función f (x) sea la derivada de otra función F (x) quiere decir que para cada valor de x, f (x) le

asigna la pendiente de F (x). Si se dibuja en cada punto (x, y) del plano cartesiano un pequeño segmento con pendiente f (x), se obtiene un campo vectorial como el que se representa en la figura de la derecha. Entonces el problema de encontrar una función F (x) tal que su derivada sea la función f (x) se convierte en el problema de encontrar una función de la gráfica de la cual, en todos los puntos sea tangente a los vectores del campo. En la figura de la derecha se observa como al variar la constante de integración se obtienen diversas funciones que cumplen esta condición y son traslaciones verticales unas de otras.

Otras propiedades

Linealidad de la integral indefinida

La primitiva es lineal, es decir:

Si f es una función que admite una primitiva F sobre un intervalo I, entonces para todo real k, una primitiva de kf sobre el intervalo I es kF.

Si F y G son primitivas respectivas de dos funciones f y g, entonces una primitiva de f + g es F + G.

La linealidad se puede expresar como sigue:

La primitiva de una función impar es siempre par

En efecto, como se ve en la figura siguiente, las áreas antes y después de cero son opuestas, lo que implica que la integral entre -a y a es nula, lo que se escribe así: F(a) - F(-a) = 0, F siendo una primitiva de f, impar. Por lo tanto siempre tenemos F(-a) = F(a): F es par.

La primitiva F de una función f par es impar con tal de imponerse F(0) = 0

En efecto, según la figura, la áreas antes y después de cero son iguales, lo que se escribe con la siguiente igualdad de integrales:

Es decir F(0) - F(- a) = F(a) - F(0). Si F(0) = 0, F(- a) = - F(a): F es impar.

Cálculo de primitivas

Integrales inmediatas

Para encontrar una primitiva de una función dada, basta con descomponerla (escribirla bajo forma de una combinación lineal) en funciones elementales cuyas primitivas son conocidas o se pueden obtener leyendo al revés una tabla de derivadas, y luego aplicar la linealidad de la integral:

Aquí están las principales funciones primitivas:

Función : primitiva de función : derivada de

Por ejemplo, busquemos una primitiva de x → x(2-3x). Como no se conocen primitivas de un producto, desarrollemos la expresión: x(2-3x)= 2x - 3x2. 2x es la derivada de x2, 3x2 es la de x3, por lo tanto 2x - 3x2 tiene como primitiva x2 - x3 + k. Si además se pide que la primitiva verifique una condición F(x0) = y0 (que recibe el nombre de condición inicial cuando se trata de un problema de física), entonces la constante k es unívocamente determinada. En el ejemplo, si se impone F(2) = 3, entonces forzosamente k = 7.

Teorema fundamental del cálculo

El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la integral de su derivada es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.

El teorema es fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas -integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de las matemáticas que se seguía por separado al cálculo diferencial que se venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII y dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadas como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en este punto de la historia ambas ramas convergen, al demostrarse que el estudio del "área bajo una función" estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultando la integración, la operación inversa a la derivación.

Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la integral indefinida de la función al ser integrada.

Intuición geométrica

El área rayada en rojo puede ser calculada como h × f(x), o si se conociera la función A(X), como A(x+h) − A(x). Estos valores son aproximadamente iguales para valores pequeños de h.

Supóngase que se tiene una función continua y = f(x) y que su representación gráfica es una curva. Entonces, para cada valor de x tiene sentido de manera intuitiva pensar que existe una función A(x) que representa el área bajo la curva entre 0 y x aún sin conocer su expresión.

Supóngase ahora que se quiere calcular el área bajo la curva entre x y x+h. Se podría hacer hallando el área entre 0 y x+h y luego restando el área entre 0 y x. En resumen, el área de esta especie de "loncha" sería A(x+h) − A(x).

Otra manera de estimar esta misma área es multiplicar h por f(x) para hallar el área de un rectángulo que coincide aproximadamente con la "loncha". Nótese que la aproximación al área buscada es más precisa cuanto más pequeño sea el valor de h.

Por lo tanto, se puede decir que A(x+h) − A(x) es aproximadamente igual a f(x) · h, y que la precisión de esta aproximación mejora al disminuir el valor de h. En otras palabras, ƒ(x)·h ≈ A(x+h) − A(x), convirtiéndose esta aproximación en igualdad cuando h tiende a 0 como límite.

Dividiendo los dos lados de la ecuación por h se obtiene

Cuando h tiende a 0, se observa que el miembro derecho de la ecuación es sencillamente la derivada A’(x) de la función A(x) y que el miembro izquierdo se queda en ƒ(x) al ya no estar h presente.

Se muestra entonces de manera informal que ƒ(x) = A’(x), es decir, que la derivada de la función de área A(x) es en realidad la función ƒ(x). Dicho de otra forma, la función de área A(x) es la antiderivada de la función original.

Lo que se ha mostrado es que, intuitivamente, calcular la derivada de una función y "hallar el área" bajo su curva son operaciones "inversas", es decir el objetivo del teorema fundamental del cálculo integral.

Primer teorema fundamental del cálculo

Dada una función f integrable sobre el intervalo [a,b], definimos F sobre [a,b] por

. Si f es continua en , entonces F es derivable en c y F'(c) = f(c).

Consecuencia directa del primer teorema fundamental del cálculo infinitesimal es:

Siendo f(t) una función integrable sobre el intervalo [a(x),b(x)] con a(x) y b(x) derivables

Ejemplos

Segundo teorema fundamental del cálculo

También se le llama regla de Barrow, en honor a Isaac Barrow o regla de Newton-Leibniz.

Dada una función f continua en el intervalo [a,b] y sea g cualquier función primitiva de f, es decir

g'(x)=f(x) para todo , entonces:

Este teorema se usa frecuentemente para evaluar integrales definidas.

Ejemplos

Integral definida

La integral definida se representa por .

∫ es el signo de integración.

a límite inferior de la integración.

b límite superior de la integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

Propiedades de la integral definida

1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.

2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.

3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·

5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

Regla de Barrow

La regla de Barrow dice que la integral definida de una función continua f(x) en un intervalo cerrado [a, b] es igual a la diferencia entre los valores que toma una función primitiva G(x) de f(x), en los extremos de dicho intervalo.

Teorema fundamental del cálculo

F'(x) = f(x)

El teorema fundamental del cálculo nos indica que la derivación y la integración son operaciones inversas.

Al integrar una función ccontinua y luego derivarla se recupera la función original.

Teorema de la media o del valor medio para integrales

Si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b], existe un punto c en el interior del intervalo tal que:

Ejemplos

Integral impropia

En cálculo, una integral impropia es el límite de una integral definida cuando uno o ambos extremos del intervalo de integración se acercan a un número real específico, a ∞, o a −∞. Además una integral definida es impropia cuando la función integrando de la integral definida no es continua en todo el intervalo de integración. También se pueden dar ambas situaciones.

Introducción

Si la función f al ser integrada de a a c tiene una discontinuidad en c, especialmente en la forma de una asíntota vertical, o si c = ∞, entonces la integral

Puede ser más conveniente redefinirla de la siguiente forma:

En algunos casos, la integral de a a c ni siquiera está definida, puesto que las integrales de la parte positiva y negativa de f(x) dx entre a y c son ambas infinitas, sin embargo el límite puede existir. Estos casos corresponden a las llamadas "integrales impropias", es decir, aquellas cuyos valores no pueden definirse excepto como límites.

La integral

puede interpretarse como:

pero desde el punto de vista del análisis matemático no es obligatorio interpretarla de tal manera, ya que puede interpretarse como una integral de Lebesgue sobre el intervalo (0, ∞). Por otro lado, el uso del límite de integrales definidas en intervalos finitos es útil, aunque no sea como forma de calcular su valor.

En contraste al caso anterior,

no puede ser interpretada como una integral de Lebesgue, ya que

Ésta es una "verdadera" integral impropia, cuyo valor está dado por

Llamamos singularidades de una integral impropia a los puntos de la recta extendida de números reales en los cuales debemos utilizar límites.

Tales integrales son frecuentemente escritas en forma simbólica de igual forma que una integral definida, utilizando un infinito como límite de integración. Esto no hace más que "ocultar" el debido proceso de calcular los límites de la integral. Utilizando la más avanzada integral de Lebesgue en lugar de una integral de Riemann, uno puede a veces evitar tal operación. Pero si sólo se desea evaluar el límite para obtener un valor definido, tal mecanismo pudiera no resultar de ayuda. El concepto de integral de Lebesgue es más o menos esencial en el tratamiento teórico de la transformada de Fourier que hace uso extensivo de integrales sobre el total de la recta real.

Límites infinitos de integración

Las integrales impropias más básicas son integrales como:

Como dijimos anteriormente éstas no necesitan ser definidas como una integral impropia, ya que pueden ser construidas como una integral de Lebesgue. Sin embargo, para propósitos de computar esta integral, es más conveniente tratarla como un integral impropia, i.e., evaluarla cuando el límite superior de integración es finito y entonces coger el límite ya que este límite se acerca a ∞. La primitiva de la función que está siendo integrada es arctan x. La integral es

Asíntotas verticales en los límites de integración

Considera

Esta integral involucra una función con una asíntota vertical en x = 0.

Uno puede obtener el valor de esta integral evaluándola desde b a 1, y entonces tomando el límite como b tendiendo a 0. Nótese que la anti-derivativa de la anterior función es

3x1 / 3,

la cual puede ser evaluada por sustitución directa para dar el valor

El límite cuando b → 0 es 3 − 0 = 3.

Valores principales de Cauchy

Considera la diferencia en los valores de dos límites:

La primera es el valor principal de Cauchy

Similarmente, tenemos

pero

La primera es el valor principal

Todos los límites anteriores son casos de la forma de indeterminación ∞ − ∞.

Carácter y valor de las Integrales Impropias

Si la integral que nos ocupa es de fácil resolución podemos determinar su carácter mediante el cálculo de la integral impropia. Según el resultado que obtengamos sabremos si es convergente o divergente. Primero clasifiquemos las integrales en 3 tipos:

Primera especie

Son del tipo: ó

Para poder determinar su carácter realizamos la Si existe el y es finito y en

ese caso

Segunda especie

Son del tipo: y que f(x) no esta definida en el intervalo de integración o en los extremos de integración.

Para poder determinar su carácter realizamos la siguiente operación (suponemos que el punto conflictivo se encuentra en x = a):

Si el existe y es finito y en este caso , entonces se dice que la integral es convergente o que la integral converge. Se dice que es divergente en cualquier otro caso.

Tercera especie

Son mezclas de los dos tipos anteriores, es decir, que presentan un infinito en los extremos de integración y la función se hace infinito en uno o más puntos del intervalo de integración.

Este tipo de integrales impropias se pueden dividir en suma de dos integrales: una de primera especie y otra de segunda especie. Por lo tanto deberemos seguir los pasos anteriores para determinar su carácter, y tener en cuenta que para que sea convergente tanto la integral de primera especie como la de segunda especie tienen que ser convergentes, si no, en cualquier otro caso, diverge.

OBJETIVO

Discernirá cuál método puede ser más adecuado para resolver una integral dada y resolverla usándolo; determinará una función primitiva

DURACIÓN: 9 Sesiones (1020 min)

COMPETENCIAS CON LA QUE SE RELACIONA EL OBJETIVO

• Contextualizar el concepto de integral indefinida• las propiedades de integrales indefinidas

CONTENIDO

2. Integral indefinida y métodos de integración.           2.1. Definición de integral indefinida.                    2.1.1. Definición de integral indefinida.                                                                  2.2. Propiedades de integrales indefinidas.                    2.2.1. Propiedades de integrales indefinidas.                                     2.3. Cálculo de integrales indefinidas.                    2.3.1. Directas.                                                                          2.3.2. Con cambio de variable.                                               2.3.3. Trigonométricas.                                                                           2.3.4. Por partes.                                               2.3.5. Por sustitución trigonométrica.  2.3.6. Por fracciones parciales.

ACTIVIDADES DE LA UNIDAD

Practicas Del subtema 2.1 al subtema 2.3.5

Unidad 2: Integral indefinida y métodos de integración.

          2.1. Definición de integral indefinida.                    2.1.1. Definición de integral indefinida. 

El campo vectorial definido asignando a cada punto (x, y) un vector que tiene por pendiente ƒ(x) = (x3/3)-(x2/2)-x. Se muestran tres de las infinitas primitivas de ƒ(x) que se pueden obtener variando la constante de integración C.

En cálculo infinitesimal, la función primitiva o antiderivada de una función f es una función F cuya derivada es f, es decir, F ′ = f.

Una condición suficiente para que una función f admita primitivas sobre un intervalo es que sea continua en dicho intervalo.

Si una función f admite una primitiva sobre un intervalo, admite una infinidad, que difieren entre sí en una constante: si F1 y F2 son dos primitivas de f, entonces existe un número real C, tal que F1 = F2 + C. A C se le conoce como constante de integración. Como consecuencia, si F es una primitiva de una función f, el conjunto de sus primitivas es F + C. A dicho conjunto se le llama integral indefinida de f y se representa como:

  ó  

El proceso de hallar la primitiva de una función se conoce como integración indefinida y es por tanto el inverso de la derivación. Las integrales indefinidas están relacionadas con las integrales definidas a través del teorema fundamental del cálculo, y proporcionan un método sencillo de calcular integrales definidas de numerosas funciones.

Ejemplo

Una primitiva de la función f(x) = cos(x) en es la función F(x) = sin(x) ya que

. Dado que la derivada de una constante es cero, tendremos que cos(x) tendrá un número infinito de primitivas tales como sen(x), sen(x) + 5, sen(x) -

100, etc. Es más, cualquier primitiva de la función f(x) = cos(x) será de la forma sen(x) + C donde C es una constante conocida como constante de integración.

Constante de integración

La derivada de cualquier función constante es cero. Una vez que se ha encontrado una primitiva F, si se le suma o resta una constante C, se obtiene otra primitiva. Esto ocurre porque (F + C) ' = F ' + C ' = F ' + 0 = F '. La constante es una manera de expresar que cada función tiene un número infinito de primitivas diferentes.

Para interpretar el significado de la constante de integración se puede observar el hecho de que la función f (x) sea la derivada de otra función F (x) quiere decir que para cada valor de x, f (x) le asigna la pendiente de F (x). Si se dibuja en cada punto (x, y) del plano cartesiano un pequeño segmento con pendiente f (x), se obtiene un campo vectorial como el que se representa en la figura de la derecha. Entonces el problema de encontrar una función F (x) tal que su derivada sea la función f (x) se convierte en el problema de encontrar una función de la gráfica de la cual, en todos los puntos sea tangente a los vectores del campo. En la figura de la derecha se observa como al variar la constante de integración se obtienen diversas funciones que cumplen esta condición y son traslaciones verticales unas de otras.

Otras propiedades

Linealidad de la integral indefinida

La primitiva es lineal, es decir:

1. Si f es una función que admite una primitiva F sobre un intervalo I, entonces para todo real k, una primitiva de kf sobre el intervalo I es kF.

2. Si F y G son primitivas respectivas de dos funciones f y g, entonces una primitiva de f + g es F + G.

La linealidad se puede expresar como sigue:

Cálculo de primitivas

Integrales inmediatas

Para encontrar una primitiva de una función dada, basta con descomponerla (escribirla bajo forma de una combinación lineal) en funciones elementales cuyas primitivas son conocidas o se pueden obtener leyendo al revés una tabla de derivadas, y luego aplicar la linealidad de la integral:

Aquí están las principales funciones primitivas:

Función : primitiva de función : derivada de

 2.2. Propiedades de integrales indefinidas.                    2.2.1. Propiedades de integrales indefinidas. 

Propiedad 1

Propiedad 2

La integral de la suma de dos funciones es igual a la suma de las integrales de dichas funciones:

Ejemplo

Propiedad 3

La integral indefinida del producto de un número real k por una función es igual al producto de   por la integral indefinida de :

Ejemplo

2.3. Cálculo de integrales indefinidas.                    2.3.1. Directas.

Métodos de integración

Se entiende por métodos de integración cualquiera de las diferentes técnicas elementales usadas para calcular una antiderivada o integral indefinida de una función.

Así, dada una función f(x), los métodos de integración son técnicas cuyo uso (usualmente

combinado) permite encontrar una función F(x) tal que lo cual, por el teorema fundamental del cálculo equivale a hallar una función F(x) tal que f(x) es su derivada:[1]

.

Integración directa

En ocasiones es posible aplicar la relación dada por el teorema fundamental del cálculo de forma directa. Esto es, si se conoce de antemano una función cuya derivada sea igual a f(x) (ya sea por disponer de una tabla de integrales o por haberse calculado previamente), entonces tal función es el resultado de la antiderivada.

Ejemplo

Calcular la integral .

En una tabla de derivadas se puede comprobar que la derivada de tan(x) es sec2(x).

Por tanto:

Ejemplo

Calcular la integral .

Una fórmula estándar sobre derivadas establece que . De este modo,

la solución del problema es .

No obstante, puesto que la función esta definida en los números negativos también ha de estarlo su integral, así que, la integral escrita de una forma rigurosa sería ln(|x|)

2.3.2. Con cambio de variable.

Método de integración por sustitución

El método de integración por sustitución o por cambio de variable se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una integral de tabla para encontrar fácilmente su primitiva. Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la derivación.

Procedimiento práctico

Supongamos que la integral a resolver es:

En la integral reemplazamos con (u):

(1)

Ahora necesitamos sustituir también para que la integral quede sólo en función de :

Tenemos que por tanto derivando se obtiene

Se despeja y se agrega donde corresponde en (1):

Simplificando:

Debemos considerar si la sustitución fue útil y por tanto se llegó a una forma mejor, o por el contrario empeoró las cosas. Luego de adquirir práctica en esta operación, se puede realizar mentalmente. En este caso quedó de una manera más sencilla dado que la primitiva del coseno es el seno.

Como último paso antes de aplicar la regla de Barrow con la primitiva debemos modificar los límites de integración. Sustituimos x por el límite de integración y obtenemos uno nuevo.

En este caso, como se hizo  :

(límite inferior)

(límite superior)

Luego de realizar esta operación con ambos límites la integral queda de una forma final:

De interés

Supongamos ahora que la integral a resolver es:

Cuando las integrales son de tipo racional e involucra funciones trigonométricas, dígase: y

la sustitución conveniente resulta ser  :

,

Entonces

por otra parte o

la integral queda después de dicha sustitución:

E l método de in tegrac ión por sus t i tuc ión o cambio de var iab le se

basa en la der ivada de la func ión compuesta .

Para cambiar de var iab le ident i f i camos una par te de lo que se va a

in tegrar con una nueva var iab le t , de modo que se ob tenga una in tegra l

más senc i l la .

Pasos para in tegrar por cambio de var iab le

1º Se hace e l cambio de var iab le y se d i fe renc ia en los dos

té rminos :

Se despe ja u y dx , sus t i tuyendo en la in tegra l :

2º S i la in tegra l resu l tan te es más senc i l la , in tegramos:

3º Se vue lve a la var iab le in ica l :

E jemplo

Cambios de var iab les usua les

1.

2 .

3 .

4 .

5 . En las func iones rac iona les de rad ica les con d is t in tos índ ices , de

un mismo rad icando l inea l ax + b , e l cambio de var iab le es t e levado a l

mín imo común múl t ip lo de los índ ices .

2.3.3. Trigonométricas.

INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS

En esta sección las identidades trigonométricas nos servirán para integrar ciertas combinaciones de funciónes trigonométricas, además nos facilita al calculo de funciones racionales en el cual se nos facilitara mas aplicar dichas identidades. Comenzaremos con las potencias de seno y coseno.

o (En donde al menos uno de los exponentes, n o m es un entero positivo).

Para evaluar

En general, se intenta escribir un integrando en el que intervienen potencias de seno y coseno en una forma donde se tiene sólo un factor seno (y el resto de la expresión en términos de coseno) o sólo un factor coseno (y el resto de la expresión en términos de seno).

La identidad permite convertir de una parte a otra entre potencias pares de seno y coseno.

Tendremos 3 casos:

1. Cuando n es impar

Cuando , podemos apartar un factor del seno y sustituirlo por la identidad para poder expresar los factores restantes en términos del coseno:

Al tener el integral de esta forma se puede resolver por medio de sustitución haciendo

, . Como en la expresion no tenemos un

multiplicamos ambos lados por y nos queda la expresión que ya podemos sustituir:

2. Cuando m es impar

Cuando , podemos de la misma manera apartar un factor de coseno y emplear para poder expresar los factores restantes en términos del :

al hacer y tendríamos

3. Cuando m y n son pares

Cuando dichas potencias son pares a la vez y , podemos aplicar las identidades

de la mitad de ángulo -y- algunas veces nos sera

útil utilizar la identidad

seria igual a:

Para evaluar

Se puede usar una estrategia similar a la anterior.

Puesto que:

, se puede separar un factor y convertir la potencia restante (par) de la secante en una expresión relacionada con la tangente por medio de la

identidad . O bien, puesto que:

, se puede separar un factor y convertir la potencia restante (par) de tangente a secante.

Tendremos 5 casos:

1. Cuando n es par

separar un factor de y utilice para lograr expresar los factores restantes en términos de :

de esta manera podemos hacer y y el integral quedaría así:

2. Cuando m es impar

apartar un factor de y emplear para poder expresar los factores que restan en términos de :

de esta manera podemos hacer y y nos queda

3.

4.

Al encontrarnos con este caso debemos integrar por partes tal como se muestra en el ejemplo 8.

5. cuando no cabe en 1, 2, 3, 4

Al no encontrar la forma de ninguno de los pasos anteriores deberemos trasladarlo a y recordando que:

y

Para otros casos, las directrices no son tan claras. Podría ser necesario usar identidades, integración por partes y, ocacionalmente, un poco de inventiva.

A veces será necesario poder integrar por medio de la fórmula establecida:

Se necesitará también la integral indefinida de la secante:

Esta última se podría comprobar mediante la derivación de lado derecho, o como sigue:

Primero se mutiplican numerador y denominador por  :

Si se sustituye , después , también, la integral se convierte en:

Así, se tiene:

NOTA Para integrales que contienen cosecantes y cotangentes, la estrategia es análoga a la del

par secantes-tangentes. Recordar la identidad:

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS FUNDAMENTALES QUE LES SERVIRA DE MUCHA AYUDA

Identidades recíprocas

Identidades pitagóricas

Identidades de paridad

Ejemplos

Ejemplo #1

Evaluar

Solución La simple sustitución no va a servir pues .

Para integrar potencias del coseno necesitaríamos un factor sen x extra. También una potencia del seno necesitaría un factor de más. De modo que se puede separar un factor del coseno y convenir el que queda, es decir, , en una expresión que contenga el seno por medio de la

identidad

Es útil contar con el factor adicional, luego se evalúa la integral sustituyendo y , y

En general trataremos de escribir un integrado que contenga potencias de seno y de coseno en una forma que contenga un solo factor de seno ( y lo restante de la expresión en términos de coseno) o bien un solo factor coseno ( y lo demás en términos de seno), la identidad

nos permite convertir de potencias pares de seno a potencias pares de coseno e inversamente.

Ejemplo #2

Determine

Solución Podríamos convertir a pero nos quedaríamos con una expresión en términos de sin factor extra. En vez de eso, separamos un solo factor seno y reescribimos el factor restante en términos de  :

Sustituyendo , tenemos luego

En los ejemplos anteriores una potencia impar del seno o el coseno nos permitió separa un factor simple y convertir la potencia complementaria. Si el integrando contiene potencias pares de seno tanto como de coseno esta estrategia falla. En este caso aprovechamos las identidades del ángulo mitad.

y

Ejemplo #3

Evaluar

Solución

Si escribimos , la integral no queda mejor. Pero usando la fórmula del ángulo mitad para , tenemos

Observamos que, mentalmente, hicimos la sustitución al integrar .

Ejemplo #4

Determine

Es posible evaluar esta integral con la fórmula de reducción para con el resultado

del ejemplo 1, pero otro método es expresar y aplicar la fórmula del ángulo mitad;

Ya que se representa con , debemos emplear otra fórmula de mitad de ángulo.

Con esto llegamos a

Como resumen, listamos los lineamientos a seguir al evaluar integrales de la forma

donde y son enteros.

Cómo evaluar

(a) Si la potencia del coseno es impar (n=2k+1) , aparte un factor de coseno y emplee para expresar los factores restantes en términos del seno:

=\int sen^mx(1-sen^2x)^kcosxdx

A continuación, sustituya

(b)Si la potencia sel seno es impar ( , aparte un factor del seno y use para expresar los factores restantes en términos del coseno:

Luego, reemplace . Advierta que si las potencias de sen y de cos son ambas impares use (a) o (b)

(c)Si las potencias del seno y coseno son pares a la vez, aplicamos las identidades de mitad del ángulo:

A veces es útil emplear la identidad

Usaremos una estrategia similar para evaluar integrales de la forma . Sabiendo que (d/dx) , podemos separar un factor y convertir la potencia restante (impar) de secante a una expresión que contiene tangente usando la identidad

. O, ya que (d/dx) , podemos separar un factor sec x tan x y convertir la potencia restante(par) de tangente a secante.

Ejemplo #5

Encontrar

=

=

=

=

Ejemplo #6

Encuentre:

Esta integral puede escribirse como:

Y en tal caso realizamos lo siguiente:

Se procede a integrar por el método de sustitución tomando y :

Se sustituye y obtenemos:

Ejercicio #6

Ejercicio # 7

Ejercicio (cuando exista coseno y seno)

Mas Ejemplos

Mas ejercicios resueltos aqui.

Integrales que contienen secante y tangente

CASO # 1

La secante tiene potencia par

PASO 1

PASO 2

PASO 3

PASO 4

PASO 5

Resolver

Ejemplo # 1

o

CASO #2

Potencia de la tangente

PASO 1

PASO 2

PASO 3

PASO 4

Integrar

Ejemplo #2

o

CASO #3

Si no hay factores de la secante Tangente con potencia par PASO 1

PASO 2

PASO 3

PASO 4

Ejemplo #3

Ejercicio (cuando la tangente es impar)

CASO #4

No hay tangente Secante potencia impar Se realiza integral por partes

Si aparece una potencia par de tangente con una potencia impar de secante, es útil expresar el integrado completamente en términos de . Las potencias de podrían requerir integración por partes, como se muestra en el siguiente ejemplo:

Ejemplo #4

Encuentre:

Aquí se integra por partes con:

En tal caso:

Si se emplea la integral indefinida de la secante y se resuelve para la integral requerida, se obtiene:

Integrales como la del ejemplo anterior podrían parecer muy especiales, pero ocurren con frecuencia en aplicaciones de integración.

Integrales de la forma:

se pueden determinar mediante métodos similares como resultado de la identidad

.

CASO #5

Si no es Caso I, II, III, o IV entonces convertir a senos y cosenos

Otras Sustituciones

Para evaluar las integrales de la forma:

o

o

o

Use la identidad correspondiente:

Ejemplo

NOTA

2.3.4. Por partes.

Método de integración por partes

El método de integración por partes es el que resulta de aplicar el siguiente teorema:

Regla mnemotécnica: "Un Día Vi Una Vaca sin rabo (menos integral) Vestida De Uniforme".

Eligiendo adecuadamente los valores de y , puede simplificarse mucho la resolución de la

integral. .

.

Existe una regla mnemotécnica para recordar la integración por partes, la cual dice así:

.

"Sentado ( ) un ( ) día vi ( ) (=) un ( ) valiente ( ) soldado ( ) vestido ( ) de uniforme ( )" .

"Sentado un día vi un valiente soldado vestido de uniforme" . "Un día vi una vaca sin cola vestida de uniforme". "Una vaca menos la vaca de uno" "un (u) viejo (v) soldado(-integral) vestido (v) de uniforme (du). solo un dia vi=un valiente-soldado vestido de uniforme

"Sentado ( ) un ( ) día vi ( ) una vaca ( ) sin ( ) cola ( ) vestida ( ) de uniforme ( )"

Eligiendo adecuadamente los valores de y , puede simplificarse mucho la resolución de la integral.

Para elegir la función se puede usar una de las siguiente reglas mnemotécnicas:

1. Arcoseno, arcocoseno..., Logarítmicas, Polinómicas, Exponenciales, Seno, coseno, tangente... ⇒ A L P E S.

Nota: Elegimos siempre "u" como la función situada más a la izquierda de la palabra ALPES.

2. Inversas trigonométricas, Logarítmicas, Algebráicas, Trigonométricas, Exponenciales. ⇒ I L A T E.

Nota: Elegimos siempre "u" como la función situada más a la izquierda de la palabra ILATE.

3. Inversas trigonométricas, Logarítmicas, Potenciales, Exponenciales, Trigonométricas ⇒ I L P E T

Nota: Elegimos siempre "u" como la función situada más a la izquierda de la palabra ILPET.

2.3.5. Por sustitución trigonométrica.

Integración por sustitución trigonométrica

La integración por sustitución trigonométrica sirve para integrar funciones que tienen la forma

, y

Este método se basa en el uso de triángulos rectángulos, el teorema de Pitágoras e identidades trigonométricas.

En el caso general la integral a resolver es:

Simplifiquemos paso a paso el termino de la raíz, primeramente sacaremos a factor común, y operaremos para poder dejarlo como suma de cuadrados.

De esta forma estaremos en tres situaciones posibles:

1. a > 0 Λ es decir:

2. a > 0 Λ es decir:

3. a < 0 Λ es decir:

Estos los cambios que hay que realizar según la situación:

1.

2.

3.

La integral de esta forma, se transforma en una integral trigonométrica en t, se resuelve y se deshace el cambio.

2.3.6. Por fracciones parciales.

Integración por Fracciones parciales

Cuando se encuentra un integrando de la forma p(x)/q(x) donde ambos p y q son polinomios y el

grado de p es menor que el de q (si no fuera así haz la división previamente), estás ante un posible

caso de fracciones parciales. Las fracciones parciales son aquellas que debieron generar a

p(x)/q(x) al sumarse y tienen la cualidad de que sus denominadores o son lineales o cuadrático

irreductibles. Así generalmente las fracciones simples resultantes se integran fácilmente echando

mano comúnmente de los teoremas T7.5, T7.6 y T7.15.

T7.5 1;

1

1

ncn

uduu

nn

, n racional.

T7.6 cu

u

duln

T7.15 cu

u

du

12 tan

1

3 Aplicaciones de la integral

3.1.Áreas.

3.1.1. Área bajo la gráfica de una función

1. La función es posit iva

Si la función es posi t iva en un intervalo [a, b] entonces la gráf ica

de la función está por encima del eje de abscisas. El área de la

función v iene dada por:

Para hal lar el área seguiremos los s iguientes pasos:

1º Se calculan los puntos de corte con con el e je OX, haciendo

f(x) = 0 y resolv iendo la ecuación.

2º El área es igual a la integral definida de la función que t iene

como l ímites de integración los puntos de corte.

Ejemplos

1.- Calcular el área del recinto l imitado por la curva y = 9 − x 2 y el

e je OX.

En pr imer lugar hal lamos los puntos de corte con el e je OX para

representar la curva y conocer los l ímites de integración.

Como la parábola es simétr ica respecto al e je OY, el área será

igual al doble del área comprendida entre x = 0 y x = 3.

2.-Calcular el área l imitada por la curva xy = 36, el e je OX y las

rectas:

x = 6, x = 12.

3.-Calcular el área del t r iángulo de vért ices A(3, 0), B(6, 3),

C(8, 0).

Ecuación de la recta que pasa por AB:

Ecuación de la recta que pasa por BC:

2. La función es negativa

Si la función es negat iva en un intervalo [a, b] entonces la gráf ica

de la función está por debajo del eje de abscisas. El área de la

función v iene dada por:

EJEMPLO:

1. Calcular el área del recinto l imitado por la curva y = x 2 − 4x y

el e je OX.

2. Hal lar el área l imitada por la curva y = cos x y el e je Ox

entre π/2 y 3π/2.

3. La función toma valores posit ivos y negativos

En ese caso el e l recinto t iene zonas por encima y por debajo

del eje de abscisas. Para calcular el área de la función

seguiremos los s iguientes pasos:

1º Se calculan los puntos de corte con con el e je OX, haciendo

f(x) = 0 y resolv iendo la ecuación.

2º Se ordenan de menor a mayor las raíces, que serán los

l ímites de integración.

3º El área es igual a la suma de las integrales definidas en

valor absoluto de cada intervalo.

Ejemplos

1.-Hal lar el área l imitada por la recta , e l e je de abscisas y

las ordenadas correspondientes a x = 0 y x = 4.

2.-Calcular el área de la región del plano l imitada por el círculo

x 2+y 2 = 9.

El área del círculo es cuatro veces el área encerrada en el pr imer

cuadrante y los ejes de coordenadas.

Hal lamos los nuevos l ímites de integración.

3.1.2. Área entre las gráficas de funciones.

1. La función es positiva

Si la función es positiva en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la

función está por encima del eje de abscisas. El  área de la función viene

dada por:

Para hallar el área seguiremos los siguientes pasos:

1º Se calculan los puntos de corte con con el eje OX, haciendo f(x) = 0

y resolviendo la ecuación.

2º El área es igual a la integral definida de la función  que tiene como

límites de integración los puntos de corte.

Ejemplos

1.Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 9 − x 2 y el eje OX.

En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para

representar la curva y conocer los límites de integración.

Como la parábola es simétrica respecto al eje OY, el área será igual al

doble del área comprendida entre x = 0 y x = 3.

2.Calcular el área limitada por la curva xy = 36, el eje OX y las rectas: x

= 6, x = 12.

·

3.Calcular el área del triángulo de vértices A(3, 0), B(6, 3), C(8, 0).

Ecuación de la recta que pasa por AB:

Ecuación de la recta que pasa por BC:

2. La función es negativa

Si la función es negativa en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la

función está por debajo del eje de abscisas. El  área de la función viene

dada por:

Ejemplos

1. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = x 2 − 4x y el eje

OX.

2. Hallar el área limitada por la curva y = cos x y el eje Ox entre π/2 y

3π/2.

3. La función toma valores positivos y negativos

En ese caso el el recinto tiene zonas por encima y por debajo del eje de

abscisas. Para calcular el área de la función seguiremos los siguientes

pasos:

1º Se calculan los puntos de corte con con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y

resolviendo la ecuación.

2º Se ordenan de menor a mayor las raíces, que serán los límites de

integración.

3º El área es igual a la suma de las integrales definidas  en valor

absoluto de cada intervalo.

Ejemplos

1.Hallar el área limitada por la recta  , el eje de abscisas y las ordenadas correspondientes a x = 0 y x = 4.

2.Calcular el área de la región del plano limitada por el círculo x 2 + y2 =

9.

El área del círculo es cuatro veces el  área encerrada en el primer

cuadrante y los ejes de coordenadas.

Hallamos los nuevos límites de integración.

El área comprendida entre dos funciones es igual al área de la función

que está situada por encima menos el área de la función que está

situada por debajo.

Ejemplos

1.Calcular el área del recinto limitado por la parábola y = x 2 + 2 y la

recta que pasa por los puntos (−1, 0) y (1, 4).

2.Hallar el área de la figura limitada por: y = x 2, y = x, x = 0, x = 2

Puntos de corte de la parábola y la recta y = x.

De x = 0 a x = 1, la recta queda por encima de la parábola.

De x = 1 a x = 2, la recta queda por debajo de la parábola.

3.Hallar el área de la región del plano limitada por las curvas y = ln x, y

= 2 y los ejes coordenados.

Calculamos el punto de corte de la curva y la recta y = 2.

El área es igual al área del rectángulo OABC menos el área bajo la

curva y = ln x.

El área de rectángulo es base por altura.

El área bajo la curva y = ln x es:

4. Hallar el área del recinto plano y limitado por la parábola y = 4x −

x2 y las tangentes a la curva en los puntos de intersección con el eje

OX.

Puntos de intersección:

Ecuación de la tangente a la parábola en el punto (0, 0):

Ecuación de la tangente a la parábola en el punto (4, 0):

5.Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones y 2 = 4x e y =

x2.

 3.2. Longitud de curvas.  

3.2.1. Longitud de arco

Longitud de arco

En matemática, la longitud de arco, también llamada rectificación de una

curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o

dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud

en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas

específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener

soluciones cerradas para algunos casos.

Métodos modernos

Al considerar una curva definida por una función   y su respectiva

derivada   que son continuas en un intervalo [a, b], la longitud S del arco

delimitado por a y b es dada por la ecuación:

(1)

En el caso de una curva definida paramétricamente mediante dos funciones

dependientes de t como   e  , la longitud del arco desde el

punto  hasta el punto   se calcula mediante:

(2)

Si la función esta definida por coordenadas polares donde la coordenadas radial y

el ángulo polar están relacionados mediante  , la longitud del arco

comprendido en el intervalo  , toma la forma:

(3)

En la mayoría de los casos, no hay una solución cerrada disponible y será

necesario usar métodos de integración numérica. Por ejemplo, aplicar esta fórmula

a la circunferencia de una elipse llevará a una integral elíptica de segundo orden.

Entre las curvas con soluciones cerradas están la catenaria, el círculo, la cicloide,

la espiral logarítmica, la parábola, la parábola semicúbica y la línea recta.

Longitud de curvas planas

La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeños segmentos de recta que se ajusten a la curva, esta aproximación será más ajustada entre más segmentos sean y a la vez sean lo más pequeño posible.

Definición:

Si la primera derivada de una función es continua en [a,b] se dice que es suave y su gráfica es una curva suave.

Cuando la curva es suave, la longitud de cada pequeño segmentos de recta se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras y (dL)2=(dx)2+(dy)2, de tal forma que sumando todos los diferenciales resulta:

Definición:

Si f es suave en [a,b], la longitud de la curva de f(x) desde a hasta b es:

La longitud del arco, de la curva f(x), comprendido entre las abscisas

x = a y x = b viene dado por la integral definida:

Ejemplo

Hallar la longitud del arco de curva   en el intervalo [0, 1].

3.3. Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución.

3.3.1. Cálculo de volúmenes de sólidos de sólidos de revolución.

Un volumen con forma de toro se obtiene por la rotación de un círculo.

Se denomina sólido de revolución, al sólido obtenido al rotar una región

del plano alrededor de una recta ubicada en el mismo, la cual puede o no

intersecar a la región. Dicha recta se denomina eje de revolución.

Sea f una función continua y positiva en el intervalo [a,b]. Si la región R indicada

en la figura rota alrededor del eje X, está genera un sólido de revolución cuyo

volumen tratamos de determinar.

Rotaciones alrededor de los ejes cartesianos:

El volumen de los sólidos generados por revolución alrededor de los ejes

cartesianos se pueden obtener mediante las siguientes ecuaciones.

Rotación paralela al eje de abscisas (eje x)

El volumen de un sólido generado por el giro de un área comprendida entre dos

gráficas, f(x) y g(x) definidas en un intervalo [a,b] alrededor de un eje horizontal, es

decir, un recta paralela al eje OX de expresión y=K siendo K constante, viene

dado por la siguiente fórmula genérica:

En particular, si se gira una figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b

alrededor del eje OX, el volumen del sólido de revolución viene generado por la

fórmula:

 método de discos.

Rotación paralela al eje de ordenadas (Eje y)

Éste es otro método que permite la obtención de volúmenes de sólidos generados

por el giro de un área comprendida entre dos gráficas cualesquiera, f(x) y g(x), en

un intervalo [a,b] alrededor de un eje de revolución paralelo al eje de ordenadas

cuya expresión es x=K siendo K constante. La fórmula general del volumen de

estos sólidos es:

Esta fórmula se simplifica si giramos figura plana comprendida entre y=f(x), y=0,

x=a y x=b alrededor del eje OY, ya que el volumen del sólido de revolución viene

generado por:

 Método de cilindros o capas.

Teorema del centroide de Pappus

El teorema del centroide de Pappus o teorema de Pappus–Guldinus, afirma que el

área A de una superficie de revolución generada por rotación de una curva C

alrededor de un eje en el mismo plano es igual al producto de la longitud del

arco s de C y la distancia d hasta su centro geométrico.

Por ejemplo, el área superficial de un toroide con radio menor r y mayor R es

1. SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

Los sólidos de revolución : Se engendran al hacer girar una figura plana sobre un eje.

Los sólidos de revolución que vamos a analizar en este bimestre son:

o La esfera

o El cono

o El cilindro

La esfera: Es el sólido de revolución que se engendra al hacer girar una semicircunferencia tomando como eje su diámetro.

El cono: Es el sólido de revolución que se engendra al hacer girar un triángulo rectángulo tomando como eje uno de sus catetos.

o Se clasifican en:

Cono recto: El vértice equidista a la base circularCono oblicuo: El vértice no equidista a la base circularCilindro: Sólido de revolución que se engendra al hacer girar un rectángulo tomando como eje uno de sus lados.

El volumen de un cilindro se obtiene de la misma manera que se obtiene el volumen de cualquier prisma, es decir:

V = Ab x h

Ejemplo:

Obtén el volumen del cilindro

Datos:

Radio = 3cm

Altura = 8 cm

* Se obtiene el área de la base

Como la base es un círculo el área se obtiene con la fórmula A= π x r 2

(Se multiplica 3.1416 x 3 x 3), el resultado es 28.2744

Se multiplica por la altura del cilindro

Se multiplican 28.2744 x 8, resulta 226.1952

Ejemplo:

Obtén el volumen de un cono

Datos:

Radio = 3cm

Altura = 9 cm

Se obtiene el área de la base

Como la base es un círculo el área se obtiene con la fórmula A= π x r 2

Se multiplica 3.1416 x 3 x 3, el resultado es 28.2744

Se multiplica por la altura del cilindro y se divide entre tres

Se multiplican 28.2744 x 9, y luego se divide entre 3, resulta 84.8232

La fórmula para obtener el volumen de una esfera es:

V = 4π x r 3

Ejemplo:

Obtén el volumen de una esfera

Datos:

Radio = 3cm

* Se multiplica 4 veces π por el radio al cubo

Se multiplica 4 x π resulta: 12.5664

Luego se multiplica por x r 3 (o sea 3x3x3), queda 12.5664 x 27, el resultado es:

339.2928

Al final se divide entre tres

339.2928 se divide entre 3, resulta 113.0976

3.4.Cálculo de centroides.

3.4.1. Cálculo de centroides.

Centroides

En geometría, el centroide o baricentro de un objeto X perteneciente a un

espacio n-dimensional es la intersección de todos los hiperplanos que dividen

a X en dos partes de igual n-volumen con respecto al hiperplano. Informalmente,

es el promedio de todos los puntos de X.

Conceptos relacionados

Centroide de un triángulo, como intersección de las bisectrices del triángulo.

En física, el centroide puede, bajo ciertas circunstancias, coincidir con el centro de

masas del cuerpo material y con el centro de gravedad del mismo. En esas

circunstancias, hay una mala tendencia a utilizar los términos indistintamente, sin

prestar atención a lo que realmente nos estamos refiriendo.

Consideremos un cuerpo material:

Para que el centroide del cuerpo coincida con el centro de masa, el cuerpo

debe tener densidad uniforme o una distribución de materia que presente

ciertas propiedades, tales como la simetría.

Para que un centro de masa del cuerpo coincida con el centro de gravedad, el

cuerpo debe estar bajo la influencia de un campo gravitatorio uniforme.

Una figura cóncava tendrá su centroide en algún punto fuera de la figura misma. El

centroide de una lámina con forma de cuarto de Luna estará en algún punto fuera

de la lámina.

El centroide de un triángulo (también llamado baricentro) se encuentra en el punto

donde se intersecan sus transversales de gravedad (líneas que unen un vértice

con el punto medio del lado opuesto). Este punto es también el centroide de la

superficie del triángulo.

Centro de simetría

El centroide de un objeto o figura también puede definirse como un punto

fijo del grupo de isometría de dicha figura. Para un objeto, figura limitada o región

finita el grupo de isometría no incluye traslaciones y en ese caso si el grupo de

isometría no es trivial, sus simetrías pueden determinar el centroide.

Sin embargo si para un objeto tiene alguna simetría traslacional el centroide no

está definido, porque una traslación no tiene ningún punto fijo.

CENTROIDE DE UNA REGION PLANA

Se conoce como centroide al centro de masa de una región sin masa en un plano

Sea g<=f funciones continuas en [a,b]. El centroide de la región delimitada por y = g(x), y=f(x), x =a, x = b viene dado por:

Donde A es el área de la región.

Un ejemplo de esta aplicación de la integral es:

Para hallar el centroide de la región limitada por las gráficas de f (x)= 4-x2 y g (x)= x+2 tenemos que :

Estas 2 curvas se cortan en (-2,0) y en (1,3), por lo que el área es:

El centroide tiene coordenadas:

De donde obtenemos:

El centroide es: (-1/2,12/5)

3.5.Otras aplicaciones. 3.5.1. Otras aplicaciones.

Momento de inercia:

El momento de inercia (símbolo I) es una medida de la inercia rotacional de un

cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la

inercia rotacional puede ser representada como una magnitud escalar llamada

momento de inercia. Sin embargo, en el caso más general posible la inercia

rotacional debe representarse por medio de un conjunto de momentos de inercia y

componentes que forman el llamado tensor de inercia. La descripción tensorial es

necesaria para el análisis de sistemas complejos, como por ejemplo en

movimientos giroscópicos.

El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un

sistema de partículas en rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia

sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no

depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.

El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el

caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento

angular longitudinal de un sólido rígido.

Ecuaciones del momento de inercia:

¿Cuál de estos giros resulta más difícil?

El momento de inercia de un cuerpo indica su resistencia a adquirir una

aceleración angular.

Dado un sistema de partículas y un eje arbitrario, el momento de inercia del mismo

se define como la suma de los productos de las masas de las partículas por el

cuadrado de la distancia r de cada partícula a dicho eje. Matemáticamente se

expresa como:

Para un cuerpo de masa continua (Medio continuo), se generaliza como:

El subíndice V de la integral indica que se integra sobre todo el volumen del

cuerpo. Se resuelve a través de una integral triple.

Este concepto desempeña en el movimiento de rotación un papel análogo al de

masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. La masa es la

resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslación y el Momento de

Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotación. Así,

por ejemplo, la segunda ley de Newton:   tiene como equivalente para la

rotación:

donde:

 es el momento aplicado al cuerpo.

 es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación y

 es la aceleración angular.

La energía cinética de un cuerpo en movimiento con velocidad v es  , mientras

que la energía cinética de un cuerpo en rotación con velocidad angular ω es  ,

donde I es el momento de inercia con respecto al eje de rotación.

La conservación de la cantidad de movimiento o momento lineal tiene por

equivalente la conservación del momento angular  :

El vector momento angular, en general, no tiene la misma dirección que el

vector velocidad angular  . Ambos vectores tienen la misma dirección si el eje de

giro es un eje principal de inercia. Cuando un eje es de simetría entonces es eje

principal de inercia y entonces un giro alrededor de ese eje conduce a un

momento angular dirigido también a lo largo de ese eje.