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ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN CON COEFICIENTE CONSTANTE
NO HOMOGÉNEAS
1. INTRODUCCIÓN:
El descubrimiento independiente del cálculo por Newton y Leibniz en el siglo 17 proporcionó el
ímpetu para los grandes avances que siguieron en las matemáticas, ciencias, e ingeniería. Una de
las más importantes y fascinantes ramas de las matemáticas que proporcionó el medio para las
formulaciones matemáticas y soluciones de variados problemas en estas áreas se llama
Ecuaciones Diferenciales, las cuales estudiaremos.
Es indispensable que el estudiante de ingeniería entienda que la matemática es una herramienta
muy útil no ajena a su desarrollo como y esto solo se logra vinculando la realidad con la misma.
Una Ecuación Diferencial es una ecuación que involucra derivadas de una función desconocida de
una o más variables. Dentro de ellas encontramos las Ecuaciones Diferenciales no Homogéneas
que veremos y analizaremos en el siguiente informe.
2. OBJETIVOS:
o El presente trabajo tiene el objetivo de proponer definiciones y ejercicios que supla las deficiencias acerca del tema.
o Enriquecer al alumno con ejercicios y algo de teoría, enfatizando en el uso exclusivo de
algunos métodos.
o Practicar y analizar la serie de ejercicios presentados en el informe.
3. ECUACIÓN DIFERENCIAL:
Si una ecuación contiene las derivadas o diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes, se dice que es una ecuación diferencial. Se clasifican de acuerdo con las tres propiedades siguientes.
Se obtiene f(x)=0, a este tipo de ecuaciones se llama ecuación homogénea.
Si la función f(x) no es idénticamente nula, entonces la ecuación recibe el nombre de ecuación no
homogénea.
Para halla la solución de la ecuación es necesario resolver la ecuación homogénea asociada.
4. CLASIFICACIÓN SEGÚN EL TIPO:
a) Ecuación Diferencial Ordinaria:Si una ecuación contiene sólo derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, entonces se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (EDO). Por ejemplo
b) Ecuación Diferencial Parcial: las ecuaciones que contiene las derivadas parciales de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes se llama ecuación diferencial parcial (EDP). Por ejemplo
5. CLASIFICACIÓN SEGÚN EL ORDEN:
El orden de la más alta derivada en una ecuación diferencial se llama orden de la ecuación. Por
ejemplo:
Es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden. Puesto que la ecuación diferencial x2dy+ydx=0 puede llevarse a la forma:
Dividiendo entre dx, es un ejemplo de ecuación diferencial ordinaria de primer orden. La ecuación
Es una ecuación diferencial de cuarto orden.
Aunque las ecuaciones diferenciales parciales son muy importantes, su estudio exige una buena base en la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias. Una ecuación diferencial ordinaria
general de orden n se representa a menudo mediante el símbolo
6. CLASIFICACIÓN SEGÚN LA LINEALIDAD O NO LINEALIDAD:
Se dice que una ecuación diferencial es lineal si tiene la forma:
Debe hacerse notar que las ecuaciones diferenciales lineales se caracterizan por dos propiedades:
a) La variable dependiente y junto con todas sus derivadas son de primer grado, esto es, la potencia de cada termino en y es 1.
b) Cada coeficiente depende sólo de la variable independiente x.
7. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN HOMOGÉNEA:
a) 1° TEOREMA
Si son solución de la ecuación diferencial, entonces la combinación lineal
también es solución de cualquier ecuación diferencial homogénea donde
son números reales o complejos cualquiera.
a) 2° TEOREMA:
Supongamos que son funciones continuas en un intervalo I y que para
toda x ϵ I . Entonces la ecuación diferencial homogénea:
Tiene dos soluciones que son linealmente independientes en I .Además para
cualquier otra solución de en I se pueden encontrar constantes tales que:
8. ECUACIÓN NO HOMOGENEA:
Una ecuación diferencial de segundo orden con coeficiente constante y término g(x) variable es de
la forma:
ay’’ + by’ +cy = g(x)
La Solución General es una combinación lineal de dos tipos de soluciones, una solución
complementaria yc y una solución particular yp.
y(x) = yc(x) + yp(x)
La cual es la solución general de la ecuación diferencial lineal homogénea asociada, se le llama
función complementaria de la ecuación. En otras palabras, la solución general de la ecuación
diferencial lineal no homogénea es
y=función complementaria + cualquier solución particular
La diferencia de dos soluciones cualesquiera de la ecuación diferencial no homogénea es una
solución de la correspondiente a la ecuación homogénea.
La solución General de la ecuación diferencial lineal no homogénea se define como:
La Solución complementaria yc satisface la ecuación homogénea:
ayc’’ +byc’ +cyc = 0
Por tanto, para determinarla se debe resolver de acuerdo a lo mencionado anteriormente.
La solución particular yp, satisface la ecuación no homogénea:
ayp’’ + byp’ + cyp = g(x)
Esta solución, si es de forma polinómica o exponencial o trigonométrica de senos y cosenos, se la
puede determinar empleando el llamado Método de los coeficientes indeterminados.
En estos casos, de acuerdo ala forma de g(x), la solución particular yp (x) es deducible. Observe el
siguiente cuadro.
Si g(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 entonces yp(x) = x5[Anxn + An-1x
n-1 + … + A1x +A0]
Si g(x) = aeαx entonces yp(x) = x5[Aeαx]
Note que la solución particular aparece multiplicada por x, esto es para el caso de existan
soluciones particulares que no sean linealmente independientes de las soluciones
complementarias. Es decir, a necesidad se puede utilizar S = 0, 1, 2
Ejemplo 1:
Sea y’’ + 4y’ + 9y = x2 + 3x Hallar la solución general
Solución:
La solución general es de la forma y(t) =yc + yp
Primero hallemos yc.
La solución complementaria satisface la ecuación homogénea y’’c + 4y’c + 9yc = 0
La ecuación auxiliar es r2 + 4r + 9 = 0. Hallando las raíces tenemos
Por lo tanto:
yc(x) = e-2x[k1sen( ) + k2cos( )]
Segundo hallemos yp
Como g(x) = x2 + 3x (polinomio de grado 2) entonces la solución particular es de la forma:
yp(x) = Ax2 + Bx + C (polinomio generalizado de segundo grado), luego debemos determinar los
coeficientes A, B, C.
La solución particular debe satisfacer la ecuación no homogénea; es decir, yp’’ + 4yp’ + 9yp = x2 + 3x
Hallemos la primera y segunda derivada para yp(x) = Ax2 + Bx + C
yp’ = 2Ax + B
yp’’ = 2A
Remplazando y agrupando:
2A + 8Ax + 4b + 9Ax2 + bx + c = x2 + 3x
9Ax2 + (8A + 9b)x + (2A + 4b + 9c) = x2 +3x + 0
Si dos polinomios son iguales, sus coeficientes son iguales.
Entonces:
9A = 1
8A + 9B = 3
2A + 4B + 9C = 0
Resolviendo el sistema simultáneo tenemos:
A = 1/9
B = 19/81
C = -94/729
Por tanto
yp(x)
Finalmente la solución sería:
y(x) = e-2x[k1sen( ) + k2cos( )] +
Ejemplo 2:
Sea y’’ + 4y = 6sen3x Hallar la solución general
Solución
Primero hallemos yc.
La solución complementaria satisface la ecuación homogénea y’’c + 4yc = 0
La ecuación auxiliar es r2 + 4 = 0. Hallando las raíces tenemos:
r =
r =
r1 = 2i
r2 = -2i
Por tanto:
yc(x) = e0[k1sen(2x) + k2cos(2x)]
yc(x) = k1sen(2x) + k2cos(2x)
Segundo, hallemos yp
Como g(x) = 6sen3x entonces la solución particular es de la forma yp(x) = Asen3x + Bcos3x. Luego
debemos determinar los coeficientes A y B.
La solución particular debe satisfacer la ecuación no homogénea; es decir y’’p + 4yp = 6sen3x
Hallemos la primera y la segunda derivada
yp’ = 3Acos3x – 3Bsen3x
yp’’= - 9Asen3x – 9Bcos3x
Remplazando y agrupando:
yp’’ + 4yp = 6sen3x
(-9Asen3x – 9Bcos3x) + 4(Asen3x + Bcos3x) = 6sen3x + 0cos3x
(-5A)sen3x +(-5B)cos3x = 6sen3x +0cos3x
Igualando coeficiente tenemos:
5A = 6
5B= 0
Resolviendo el sistema simultáneo tenemos
A=
B = 0
Por tanto:
yp(x) = sen3x + 0cos3x
Finalmente la solución general sería:
y(x) = k1sen2x + k2cos2x sen3x
Ejemplo 3:
Hallar la solución para y’’ + 4y = x2 +3ex; y(0) = 0, y’(0) = 2
Solución
Primero hallemos yc
La solución complementaria satisface la ecuación homogénea y’’c + 4yc = 0
La ecuación auxiliar es r2 + 4= 0. Hallando las raíces tenemos:
r =
r =
r1 = 2i
r2 = -2i
Por tanto:
yc(x) = e0[k1sen(2x) + k2cos(2x)]
yc(x) = k1sen(2x) + k2cos(2x)
Segundo, hallemos yp
Como g(x) = x2 + 3ex (combinación lineal de polinomio con exponencial) entonces la solución
particular es de la forma yp(x) = Ax2 + Bx +C + Dex. Luego debemos determinar los coeficientes A, B,
C, D.
La solución particular debe satisfacer la ecuación no homogénea; es decir yp’’ + 4yp = x2 + 3ex
Hallamos la primera y segunda derivada:
yp’ = 2Ax + B + Dex
yp’’ = 2A + Dex
Remplazando y agrupando:
2A +Dex +4Ax2 +4Bx +4C +4Dex = x2 +3ex
4Ax2 + 4Bx + (2A +4C) + 5Dex = x2 + 0x + 0 +3ex
Igualando coeficientes, tenemos
4A = 1
4B = 0
2A + 4C = 0
5D = 3
Resolviendo el sistema simultáneo tenemos
A =
B= 0
C=
D =
Por tanto:
yp(x) = x2 - + ex
Finalmente la solución general sería:
y(x) = k1sen2x + k2cos2x + x2 - + ex
9. SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGÉNEAS
Para resolver una ecuación diferencial lineal no homogénea:
Debemos pasar por dos etapas:
Determinar la función complementaria YC
Establecer cualquier solución particular YP de la ecuación no Homogénea
Algunos métodos para resolver este tipo de ecuaciones son:
Operadores diferenciales
El símbolo Dn se usa frecuentemente en cálculo para designar la derivada enésima de una función:
Por lo tanto, una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes:
Se llama operador diferencial lineal de orden n, puesto que es un polinomio P(D).
Por ejemplo, el operador D anula a una función constante k ya que Dk = 0. El operador D²
anulaa la función y = x puesto que D2 x = 0.
De forma similar D3 x2 = 0, D4 X3, y así sucesivamente.
9.1 COEFICIENTES INDETERMINADOS:
Este método se basa en transformar a la ecuación lineal no homogénea en una homogénea. Esta
transformación se logra aplicando un operador diferencial que anule al término g(x).
Asumiendo que D es un operador anulador de g(x), entonces al aplicar D a ambos lados de la
ecuación no homogénea tenemos:
D[f( y )] = D(g) = 0
De esta forma transformamos la ecuación no homogénea en ecuación homogénea:
Df[y]=0
Entonces “y” es una solución de la ecuación no homogénea, entonces también es solución de la
ecuación homogénea ya que conserva la igualdad al aplicar el operador Da ambos lados de la
ecuación.
Ejemplos:
Las siguientes funciones son algunos ejemplos de la forma que puede tomar :
Es decir es una combinación lineal de funciones de la clase:
Donde n es un entero no negativo y y son números reales.
En donde para poder eliminar a , tiene que tomar la forma de .
Resolviendo la ecuación homogénea es posible descubrir la forma de una solución particular para
yp de la ecuación no homogénea.
EJEMPLOS:
I. Resolver:
SOLUCIÓN:
1° Se resuelve primero la ecuación homogénea:
De la ecuación auxiliar se obtiene de la función
complementaria:
2° tenemos que puede ser transformada en homogénea derivando 3 veces cada miembro de la
ecuación, en otras palabras:
Ya que la ecuación auxiliar es:
y por lo tanto la solución general debe ser:
Dónde: y entonces:
En donde se han remplazado c1, c2, c3, por A, B,C, respectivamente. Sustituyendo en la ecuación
original el resultado:
Igualando coeficientes en la última identidad se obtiene el sistema de ecuaciones:
Resolviendo resulta: en consecuencia:
3° la solución general es :
II. Encuentre una solución particular de y” – y’ + y = 2sen 3x
SOLUCION
1° Una primera suposición natural para una solución particular sería A sen 3x. Pero debido a que
las derivadas sucesivas de sen 3x producen sen3x y cos3x, se pueden suponer una solución
particular que incluye ambos términos:
Derivando y sustituyendo los resultados en la ecuación diferencial, se obtiene, después de
reagrupar:
O
-8A-3B cos3x + 3A-8Bsen3x = 0 co3x + 2sen3x
Del sistema de ecuaciones resultante,
-8A – 3B = 0 , 3A-8B=2,
Se obtiene y . Una solución particular de la ecuación es:
Como se mencionó, la forma que se supone para la solución particular es una intuición
educada; no es una intuición a ciegas. Esta intuición educada debe considerar no sólo los tipos de
funciones que forman a g(x) sino también, como se verá en el ejemplo 4, las funciones que
conforman la función complementaria .
III. Resuelva: ……….. (1)
SOLUCIÓN:
Paso 1: Primero, resolveremos la ecuación homogénea asociada . Entonces, de
la fórmula cuadrática se encuentra que las raíces de la ecuación auxiliar son
. Por tanto, la función complementaria es:
Paso 2: Ahora, debido a que la función es un polinomio cuadrático, supongamos una solución
particular que también es de la forma de un polinomio cuadrático.
Se busca determinar coeficientes específicos A, B , C para los cuales es una solución de (1).
Sustituyendo y las derivadas
Y
En la ecuación diferencial (1), se obtiene
Como se supone la última función es identidad, los coeficientes de los exponentes semejantes a
deben ser iguales. Es decir:
-
Resolviendo este sistema de ecuaciones se obtienen los valores antes calculados. Así, una solución
particular es:
Paso 3: La solución general de la ecuación dada es:
IV. Resuelva: ……….. (1)
SOLUCIÓN:
Paso 1: La ecuación auxiliar para la ecuación homogénea asociada es
, y por tanto:
Paso 2: Ahora, puesto que y , se aplica el operador diferencial
a ambos lados de la ecuación (2):
………………….. (2)
La ecuación diferencial de (2) es:
ó
Así
Una vez que se excluye la combinación lineal de términos dentro del cuadro que corresponde a
se obtiene la fórmula de :
Sustituyendo en (1) y simplificando, se obtiene:
Igualando los coeficientes se obtiene que:
Y por lo tanto tenemos que:
Paso 3: Entonces la solución general de (1) es:
9.2 MÉTODO DE LA SUPERPOSICIÓN:
Para resolver una ecuación lineal no homogénea.
…… ……. (1).
Se debe hacer dos cosas:
Encontrar la función complementaria .
Encontrar alguna solución particular de la ecuación no homogénea (1).
Entonces, como se explicó en la solución general de (1) es . La función
complementaria es la solución general de la ED homogénea asociada de (1), es decir,
……
Anteriormente vimos cómo resolver esta clase de ecuaciones cuando los coeficientes eran
constantes: Así, el objetivo en esta sección es desarrollar un método para obtener soluciones
particulares.
EJEMPLO:
Comprobar que:
es una solución particular de :
es una solución particular de :
es una solución particular de :
De acuerdo al teorema la SUPERPOSICIÓN
Es una solución de :
EJEMPLOS:
I. Resuelva (3)
SOLUCION:
Primero, se encuentra que la solución de la ecuación homogénea asociada es
.
A continuación, la presencia de 4x – 5 en g(x) indica que la solución particular incluye un polinomio
lineal. Además, debido a que la derivada del producto produce y , se supone que
también la solución particular incluye tanto a como a . En otras palabras, g es una suma
de dos clases básicas de funciones:
g(x)=
Por lo que, el principio de superposición para ecuaciones no homogéneas indica que se busca una
solución particular
Donde y
En la ecuación (3) y agrupando términos semejantes, se obtiene:
(4)
De esta identidad obtenemos las cuatro expresiones:
La última ecuación en este sistema es resultado de la interpretación de que el coeficiente de
en el miembro derecho de (4) es cero. Resolviendo, se encuentra que:
Por tanto:
Entonces la solución general de la ecuación es:
En vista del principio de superposición se puede aproximar también desde el punto de vista de
resolver dos problemas más simples. Se debe comprobar que sustituyendo:
Se obtiene, a su vez, y . Entonces, una solución particular de
(3) es = .
9.3 MÉTODO DE OPERADOR ANULADOR:
Se tiene:
Esto también se puede expresar como:
Se tiene:
Esto también se puede expresar como:
Si L es un operador diferencial lineal con coeficientes constantes y es una función suficiente
derivable tal que:
Entonces se dice que es un anulador de la función. Por ejemplo, D anula una función constante
y puesto que . El operador diferencial anula la función puesto que la
primera y la segunda derivada de son 1y 0, respectivamente.
Como la derivación se puede hacer termino a término, un polinomio
Se anula al encontrar un operador que aniquile la potencia más alta de x.
Las funciones que se anulan por un operador diferencial lineal n-ésimo orden L son simplemente
aquellas funciones que se obtienen de la solución general de la ecuación diferencial homogénea
.
El operador diferencial anula a cada una de las funciones.
Para ver esto, observe que la ecuación auxiliar de la ecuación homogénea es
. Puesto que es una raíz de multiplicidad , la solución general es:
9.4 VARIACIÓN DE PARÁMETRO:
El método de variación de parámetros puede aplicarse a ecuaciones diferenciales lineales que
tengan un término no homogéneo de cualquier forma. Este método incluso puede aplicarse a
ecuaciones diferenciales con coeficientes variables, siempre y cuando se conozca un conjunto
fundamental de soluciones de la ecuación homogénea asociada.
Si que sirve para encontrar una solución particular de , para
la ecuación lineal de segundo se busca una solución de la forma:
Sustituyendo la ecuación y las derivadas anteriores y agrupando términos se obtiene:
Como se busca determinar funciones desconocidas y , la razón impone que son necesarias
dos ecuaciones. Estas ecuaciones se obtienen con la suposición adicional de que las funciones y
satisfacen y satisfacen .
Esta suposición es el resultado de los dos primeros términos de
y se reduce a .
Ahora tenemos nuestras dos ecuaciones deseadas, a pesar de que sean dos ecuaciones para
determinar las derivadas y . Por la regla de Cramer, la solución del sistema
Puede expresarse en términos de determinantes:
Donde , ,
Las funciones se encuentran integrando los resultados de (5). EL determinante W se
reconoce como el Wronskiano de y . Por la independencia lineal de y en I, se sabe que
para toda en el intervalo.
Una vez encontradas las funciones V1 y V2 podemos encontrar una solución particular de la ED no
homogénea y por lo tanto la solución general.
EJEMPLOS:
I. Resuelva:
SOLUCIÓN:
DE la ecuación auxiliar se tiene . Con las
identificaciones y , a continuación se calcula el Wronskiano:
Puesto que la ecuación diferencial dada ya es una ecuación de segundo orden; es decir el
coeficiente de es 1, identificamos . Obtenemos.
Luego de las fórmulas anteriores tenemos:
Se tiene que y . Por tanto
II. Resuelva
SOLUCION:
La ecuación auxiliar producen y . Por tanto
Ahora W( ) y
Puesto que las integrales anteriores son no elementales, nos vemos obligados a escribir:
Y por tanto
1. EJERCICIOS PROPUESTOS:
Encuentre la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales de segundo orden:
1. y’’ – y’ – 2y = -2x3 - 3x2 + 8x + 1
2. y’’ - 6y’ + 9y = x2 + ex
3. y’’ + y’ + y = 2cos2x – 3sen2x
4. y’’ + y = 2x
5. y’’ + 2y’ – 8y = xe-x + e-x
6. y’’ +4y’ + 5y = e-x – sen2x
7. y’’ – 2y’ – 35y = 13senx – e3x + 1
8. y’’ – y’ – 2y = cosx – sen2x; y(0) = - y’(0) =
9. y’’ + y’ – 12y = ex + e2x – 1; y(0) = 1 y’(0)=3
10. y’’ – y’ = senx – e2x; y(0) = 1 y’(0) = -1
11. y’’ – 7y’ + 10y = x2 – 4 + ex; y(0) =3 y’(0) = -3
10. APLICACIÓNES:
10.1 SISTEMA RESORTE/MASA: MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO.
LEY DE HOOKE:
Suponga que un resorte se suspende verticalmente de un soporte rígido y luego se le fija una masa
m a su extremo libre. Por supuesto la cantidad de alargamiento o elongación del resorte depende
de la masa; masas con pesos diferentes alargan el resorte en cantidades diferente. Por la ley ge
Hooke, el resorte mismo ejerce una fuerza restauradora F opuesta a la dirección de elongación y
proporcional a la cantidad de elongación denominada S (donde S es la deformación que del
resorte una vez aplicada la fuerza) y es expresada en forma simple como F=ks, donde k es una
constante de proporcionalidad llamada constante de resorte. El resorte se caracteriza en esencia
por el número k. por ejemplo, si una masa de que pesa 10 libras hace que un resorte se alargue
pie, entonces implica que . Entonces necesariamente una masa que pesa,
digamos, o libras alarga el mismo resorte sólo pie.
SEGUNDA LEY DE NEWTON:
Después de que se une una masa m a un resorte, ésta alarga el resorte una cantidad s u logra una
posición de equilibrio en la cual su peso W se equilibra mediante la fuerza restauradora ks.
Recuerde que el peso se define mediante , donde la masa se mide en slugs, kilogramos o
gramos y, , o bien , respectivamente. La condición de equilibrio
es o . Si la masa se desplaza por una cantidad de su posición de
equilibrio, la fuerza restauradora del resorte es entonces Suponiendo que no hay fuerzas
restauradoras que actúan sobre el sistema y suponiendo que la masa vibra libre de otras fuerzas
externas –movimiento libre- se puede igualar la segunda ley de Newton con la fuerza neta o
resultante de la fuerza restauradora y el peso.
El signo negativo en (1) indica que la fuerza restauradora del resorte actúa opuesta a la dirección
de movimiento, Además, se adopta la convención de que los desplazamientos medidos debajo de
la posición de equilibrio son positivos.
ED DE UN MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO:
Dividiendo (1) entre la masa , se obtiene la ecuación diferencial de segundo orden
, o .
Donde . Se dice que la ecuación (2) describe el movimiento armónico simple o movimiento
libre no amortiguado. Dos condiciones iniciales obvias relacionadas con (2) son
y , el desplazamiento inicial y la velocidad inicial de la masa, respectivamente. Por
ejemplo , , la masa parte de un punto debajo de la posición de equilibrio con una
velocidad impartida hacia arriba. Cuando , se dice que la masa se libera a partir del
reposo. Por ejemplo , , la masa se libera desde el reposo de un punto unidades
arriba de la posición de equilibrio.
ECUACION DE MOVIMIENTO:
Para resolver la ecuación (2), se observa que la solución de su ecuación auxiliar son
los números complejos , . Así de podemos encontrar la solución general (2).
El periodo del movimiento descrito por la ecuación (3) es . El número T representa le
tiempo (medido en segundos) que tarda la masa en ejecutar un ciclo de movimiento. Un ciclo es
una oscilación completa de masa, es decir, la masa m que se mueve, por ejemplo, al punto mínimo
debajo de la posición de equilibrio hasta el punto más alto arriba de la misa y luego del regreso al
punto mínimo. Desde un punto de vista gráfico, segundos es la longitud del intervalo de
tiempo entre los máximos sucesivos (o mínimos) de . Recuerde que un máximo de es el
desplazamiento positivo correspondiente a la masa que logra su altura máxima arriba de la
posición de equilibrio. Se hace referencia a cualquier caso como un desplazamiento extremo de la
masa, La frecuencia de movimiento es y es el número de ciclos completado por cada
segundo. Por ejemplo si , entonces el periodo es u la
frecuencia es . Desde un punto de vista esquemático la gráfica se repite cada
de segundo, es decir, , y completa ciclos de la gráfica se completan cada
segundo(o, equivalentemente, tres ciclos de la gráfica se completan cada dos segundos). El
número (medido en radianes por segundo) se llama frecuencia circular del sistema, tanto
como w se conoce como frecuencia natural del sistema. Por último, cuando se emplean las
condiciones iniciales para determinar las constantes en (3), se dice que la solución
particular resultante o respuesta es la ecuación del movimiento.
Ejemplo: Una masa que pesa 2 libras alarga seis pulgadas un resorte. En se libera las masa
desde un punto que está 8 pulgadas debajo de la posición de equilibrio con una velocidad
ascendente de . Determine la ecuación del movimiento.
SOLUCIÓN: Debido a que está usando el sistema de unidades de ingeniería, las mediciones dadas
en términos de pulgadas se deben convertir es pies: pie, 8 pulgadas =
pie. Además, se deben convertir las unidades de peso dadas en libras a unidades de masa. De
tenemos que slug. También, de a ley de Hooke, implica que la
constante de resorte es . Por lo que, de la ecuación (1) se obtiene:
El desplazamiento inicial y la velocidad inicial son, , , donde el signo negativo
en la última condición es una consecuencia del hecho de que a la masa se le da una velocidad
inicial en la dirección negativa hacia arriba.
Ahora , por lo que la solución general de la ecuación diferencial es:
Aplicando las condiciones iniciales se obtiene y . Por lo tanto la
ecuación del movimiento es:
8.2. SISTEMA RESORTE/MASA: MOVIMIENTO LIBRE AMORTIGUADO
El concepto de movimiento armónico libre es un poco irreal, puesto que el movimiento que
describe la ecuación (1) supone que no hay fuerzas retardadoras actuando sobre la masa en
movimiento. A menos que la masa se suspenda en un vacío perfecto, habrá por lo menos una
fuerza de resistencia debida al medio circulante, es decir, la masa podría estar suspendida en un
medio viscoso o unida a un dispositivo amortiguador.
ED DE UN MOVIMIENTO LIBRE AMORTIGUADO:
En el estudio de la mecánica, las fuerzas de amortiguamiento que actúa sobre un cuerpo se
consideran proporcionales a una potencia de la velocidad instantánea. En particular, en el análisis
posterior se supone que esta fuerza está dada por un múltiplo constante de . Cuando ninguna
otra fuerza actúa en el sistema, se tiene de la segunda ley de Newton que:
Donde es una constante de amortiguamiento positiva y el signo negativo es una consecuencia
del hecho de que la fuerza de amortiguamiento actúa en una dirección opuesta al movimiento.
Dividiendo (10) entre la masa m, se encuentra que la ecuación diferencia del movimiento
amortiguado libre es:
Donde
El símbolo se usa solo por conveniencia algebraica, porque la ecuación auxiliar
y las raíces correspondientes son entonces: y
. Ahora se pueden distinguir tres casos posibles dependiendo del signo algebraico de
. Puesto que cada solución contiene el factor amortiguamiento , ,los
desplazamientos de la masa se vuelven despreciables conforme el tiempo aumenta.
CASO I: . En esta situación el sistema está sobre amortiguado porque el coeficiente
de amortiguamiento es grande comparado con la constante del resorte . La solución
correspondiente de (11) es:
Esta ecuación representa un movimiento uniforme y no oscilatorio.
CASO II: . Este sistema está críticamente amortiguado porque cualquier ligera
disminución en la fuerza de amortiguamiento daría como resultado un movimiento oscilatorio. La
solución de (11) es .
Este sistema es bastante similar al de un sistema sobre amortiguado. También es evidente de (14)
que la masa puede pasar por la posición de equilibrio a lo más una vez.
CASO III: . En Este caso el sistema está sub-amortiguado puesto que el coeficiente de
amortiguamiento es pequeño comparado con la constante del resorte, las raíces son
ahora complejas:
Así que la ecuación general de la ecuación (11) es:
El movimiento descrito por la ecuación (15) es oscilatorio; pero debido al coeficiente , las
amplitudes de vibración cuando .
EJEMPLO MOVIMIENTO CRITICAMENTE AMORTIGUADO: Una masa que pesa 8 libras alarga 2 pies
un resorte. Suponiendo que una fuerza amortiguada que es igual a 2 veces la velocidad
instantánea actúa sobre el sistema, determine la ecuación de movimiento si la masa inicial se
libera desde la posición de equilibrio con una velocidad ascendente de 3 pies/s.
SOLUCIÓN: De la ley de Hooke se ve que da y que da
. La ecuación diferencial de movimiento es entonces:
La ecuación auxiliar para (17) es , así que . Por
tanto el sistema está críticamente amortiguado y
………..(18)
Aplicando las condiciones iniciales , se encuentra, a su vez, que
. Por tanto la ecuación del movimiento es
8.3 SISTEMA RESORTE/MASA: MOVIMIENTO FORZADO
ED DE UN MOVIMIENTO FORZADO CON AMORTIGUAMIENTO:
Suponga que ahora se toma en consideración una fuerza externa f(t) que actúa sobre una masa
vibrante en un resorte. Por ejemplo, f(t) podría representar una fuerza motriz que causa
movimiento vertical oscilatorio del soporte del resorte, es decir, la inclusión de f(t) en la
formulación de la segunda ley de Newton de la ecuación diferencial de movimiento forzado o
dirigido.
Dividiendo la ecuación (24) entre m se obtiene:
Donde F(t) = f(t)/m y , como anteriormente vimos, . Para resolver la última
ecuación homogénea, se puede usar ya sea el método de coeficientes indeterminados o variación
de parámetros.
TÉRMINOS TRANSITORIO Y DE ESTADO ESTABLE:
Cuando F es una función periódica, como , la solución general
de (25) para es la suma de una función no periódica y una función periódica .
Además se desvanece conforme se incrementa el tiempo, es decir, =0. Así,
para valores grandes de tiempo, los desplazamientos de la masa se aproximan mediante la
solución particular . Se dice que la función complementaria es un término transitorio o
solución transitoria y la función , la parte de la solución que permanece después de un
intervalo de tiempo, se llama término de estado estable o solución de estado estable. Por tanto,
observe que el efecto de las condiciones iniciales en un sistema resorte/masa impulsado por es
transitorio. En la solución particular es un término transitorio y
es un término transitorio de estado estable.
ED DE MOVIMIENTO FORZADO SIN AMORTIGUAMIENTO
Cuando se ejerce una fuerza periódica sin fuerza de amortiguamiento, no hay término transitorio
en la solución del problema. También se ve que una fuerza periódica con una frecuencia cercana o
igual que la frecuencia de las vibraciones libres amortiguadas causa un problema grave en un
sistema mecánico oscilatorio.
8.4. CIRCUITO EN SERIE ANÁLOGO
CIRCUITOS LRC EN SERIE
Como se mencionó anteriormente, muchos sistemas físicos diferentes se describen mediante una
ecuación diferencial de segundo orden similar a la ecuación diferencial de movimiento forzado
como amortiguamiento.
Si denota la corriente en el circuito eléctrico en serie LRC que se muestra, entonces las caídas
en el inductor, resistor y capacitor se halla mediante la segunda ley de Kirchhoff, la suma de estos
voltajes es igual al voltaje aplicado al circuito; es decir.
Por la carga en el capacitor se relaciona con la corriente con , así la ecuación
(33) se convierte en la ecuación diferencial lineal de segundo orden:
La nomenclatura usada en el análisis de circuitos es similar a la que se emplea para describir
sistemas resorte/masa.
Si , se dice que las vibraciones eléctricas del circuito están libres. Debido a que la
ecuación auxiliar para (34) es , habrá tres formas de solución con ,
dependiendo del valor discriminante . Se dice que el circuito es:
Sobreamortiguado si
Críticamente amortiguado si
Subamortiguado si
En cada uno de esos tres casos, la solución general de (34) contiene el factor , así
conforme . Cuando y , se dice que el circuito no está
amortiguado y las vibraciones eléctricas no tienden a cero conforme crece sin límite; la
respuesta del circuito es armónico simple.
8.5CIRCUITO EN SERIE SUBAMORTIGUADO
Encuentre la carga en el capacitor de un circuito LRC cuando L=0.25 henry (h), R= 10 ohms
(Ώ), C=0.001 farad (f), coulombs (C) e .
Puesto que 1/C=1000, la ecuación:
……….. (34)
Se convertiría en:
Resolviendo esta ecuación homogénea de la manera usual, se encuentra que el circuito es sub-
amortiguado y Aplicando las condiciones iniciales, se
encuentra y . Por tanto
Usando una de las ecuaciones anteriores (23), podemos escribir la solución anterior como:
Cuando se aplica el voltaje al circuito, se dice que las vibraciones eléctricas son forzadas. En
el caso cuando R≠0m la función complementaria de (34) se llama solución transitoria. Si
es periódica o una constante, entonces la solución particular de (34) es una solución
de estado estable.
8.6 CORRIENTE DE ESTADO ESTABLE
Encuentre la solución de estado estable y la corriente de estado estable en un circuito LRC
en serie cuando el voltaje aplicado es E(t)=
SOLUCION
La solución de estado estable es una solución particular de la ecuación diferencial
Con el método de coeficientes indeterminados, se supone una solución particular de la forma
. Sustituyendo esta expresión en la ecuación diferencial e igualando
coeficientes, se obtiene:
Es conveniente expresar A y B en términos de algunos nuevos símbolos.
Si entonces
Si entonces
Por tanto A = y , así que la carga de estado estable es:
Ahora la corriente de estado estable está dada por
11. LIMITACIONES DEL ESTUDIO
Como es sabido en todos los trabajos de investigación existen limitaciones, en nuestro caso en
particular fue un poco difícil encontrar material de investigación ya que nuestros compañeros de
clase obtuvieron todos los libros disponibles; relegándonos a escoger entre los que quedaban.
Aparte de ello tuvimos contratiempos en desarrollar los ejercicios de aplicación que hemos puesto
en el trabajo, debido a que estábamos en semana de exámenes y trabajos de todos los cursos, por
lo que nos llevó un tiempo digamos largo respecto del cual teníamos previsto
12. RESULTADOS
Una ecuación diferencial lineal de segundo orden es de la siguiente forma:
Existe tres casos para su solución:
- CASO 1: RAÍCES REALES Y DISTINTAS
- CASO 2: RAÍCES REALES REPETIDAS
- CASO 3: RAÍCES COMPLEJAS CONJUGADAS
Mediante estas ecuación diferenciales, podemos obtener distintas aplicaciones prácticas,
entre las que están:
- SISTEMA RESORTE/MASA: MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO
- ED DE UN MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO:
- ECUACION DE MOVIMIENTO:
- SISTEMA RESORTE/MASA: MOVIMIENTO LIBRE AMORTIGUADO
- ED DE UN MOVIMIENTO LIBRE AMORTIGUADO:
- SISTEMA RESORTE/MASA: MOVIMIENTO FORZADO
- ED DE UN MOVIMIENTO FORZADO CON AMORTIGUAMIENTO:
- TÉRMINOS TRANSITORIO Y DE ESTADO ESTABLE:
- ED DE MOVIMIENTO FORZADO SIN AMORTIGUAMIENTO
- CIRCUITO EN SERIE ANÁLOGO
- CIRCUITOS LRC EN SERIE
13. DISCUCIÓN
El tema de educaciones diferenciales de segundo orden, es un tema muy interesante, que
tiene múltiples facilidades en casos prácticos que nos ayudan a desarrollar de manera más
fácil un ejercicio.
Estas ecuaciones diferenciales, tienen un campo muy amplio de estudio, para lo que se
necesita tiempo y mucha práctica para que finalmente se pueda aprender de manera
correcta y se tenga una buena aplicación.
14. CONCLUSIONES
Aprendimos cuales son los métodos de solución de las ecuaciones diferenciales de
segundo orden. Esto se logró leyendo, resumiendo y practicando en los casos que se
presentaron.
Ahora ya sabemos cuál es la importancia de saber desarrollar ecuaciones diferenciales de
segundo orden.
Con la ayuda de lo leído y de lo practicado podemos desarrollar ejercicios que tengan
ecuaciones diferenciales de segundo orden como base.
Creemos que alcanzamos un buen nivel como estudiantes de ingeniería civil, y creemos
que estamos preparados para desarrollar problemas aún más difíciles en los cursos que
vengan.
15. RECOMENDACIONES:
Se recomienda que se busquen fuentes confiables (autores conocidos o editoriales que
tengan buen prestigio), aparte de ello también se tiene que contar con el apoyo de algún
docente, de preferencia se lo haría con el docente del curso.
Esto va acompañado de una buena distribución en cuanto a que partes del trabajo van a
ser desarrollados por alumnos específicos; al final cada aporte ayudará a que nuestro
informe cuente con los ítems más principales.
Tenemos que procurar que lo que copiemos este claro y tenga una buena ilación de
temas, para que la estructura de nuestro trabajo sea adecuada.
Nos debemos de asegurar que nuestro trabajo no cuente con errores ortográficos, ya que
esto le quita presencia al trabajo.
16. BIBLIOGRAFÍA
o G. Zill, D., & R. Cullen, M. (2009). Ecuaciones Diferenciales. En D. G. Zill, Ecuaciones
Diferenciales (A. E. Dra. García Hernández, Trad., Séptima edición ed., Vol. VII, págs. 120-
192). Mexico DF: Corporativo Santa Fe.
o http://personal.us.es/niejimjim/tema02.pdf
o Ecuaciones Diferenciales y sus Aplicaciones. Dra. Pérsida Leyva Machín y otros (1987).
o Ecuaciones Diferenciales, con Aplicaciones del Modelado. Zill, D.G., (1997).
o Cálculo con Trascendentes Tempranas. James Stewart (1999).
o Cálculo con Geometría Analítica. Earl W. Swokowski (1988)
