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CALCULO DE PRIMITIVAS
I Una primitiva de una funcion es otra funcion que la tiene como derivada y esta definida en el mismo
intervalo (de forma que la primitiva sea continua en todo el intervalo y derivable en su interior).
Definicion El conjunto de primitivas de una funcion f recibe el nombre de integral indefinida de f∫f(x)dx = {F (x) + C/C ∈ R} con F (x) tal queF ′(x) = f(x) ∀x ∈ (a, b).
� Las integrales inmediatas son derivadas en las que se ha aplicado la regla de la cadena:∫Der(f(x))f ′(x)dx = Fun(f(x))
∫(n+ 1)f(x)nf ′(x)dx = f(x)n+1
∫f ′(x)
f(x)dx = ln |f(x)|
∫ef(x)f ′(x)dx = ef(x)
I Algunas integrales se transforman en inmediatas sumando y restando una misma cantidad o multiplicando
y dividiendo por un mismo numero.
� En el metodo de descomposicion se descompone la integral lo mas posible (propiedad distributiva)∫[αf(x) + βg(x)] dx = α
∫f(x)dx+ β
∫g(x)dx
� En el metodo de cambio de variable se sustituye la variable x por otra variable t
� Forma directa t = g(x) =⇒∫f(g(x))g′(x) dx =
∫f(t) dt (se puede aplicar a las inmediatas)
� Forma indirecta x = h(t) =⇒∫f(x) dx =
∫f(h(t))h′(t) dt
� En el metodo de integracion por partes se divide la integral derivando u e integrando dv∫udv = uv −
∫vdu
I “un dıa vı una vaca vestida de uniforme”.
I Hay que elegir u y dv de manera que la segunda sea facilmente integrable.
. Para elegir u se utiliza la regla de los alpes:
funciones Arco
funciones Logarımicas
funciones Potencias y Polinomios
funciones Exponenciales
funciones Seno y coseno
I Se puede repetir el proceso hasta que aparece una integral inmediata.
. Si aparece la misma integral se determinar una ecuacion y se despeja la integral.
I Algunas funciones se pueden integrar por partes tomando dv = dx
I Algunos cuadrados de funciones se integran por partes con la funcion actuando como u y como dv.
Pagina 1 Proyecto MATECO 2.1
Bloque .
� En el metodo de descomposicion en fracciones simples descomponemos los cocientes de polinomios
como suma de fracciones cuya integracion es inmediata y que se integran dependiendo de su forma.
I Para poder descomponer en fracciones simples el grado del numerador tiene que ser menor
que el grado del denominador. Si no es ası dividimos numerador entre denominador e integramos el cociente
como un polinomio aplicando el metodo de descomposicion al resto de la division∫P (x)
Q(x)dx =
∫C(x)dx+
∫R(x)
Q(x)dx.
I La descomposicion es una suma de fracciones simples con coeficientes genericos que depende de cuales
son las raices del denominador y cuyos coeficientes obtenemos sumandolas e identificando numeradores.
. A cada raız simple le corresponde un factor (x−α) que da lugar a una fraccion que resulta en logaritmo∫A
x− αdx = A ln|x− α|+ C
. A cada raız multiple de multiplicidad m le corresponde un factor (x− α)m que da lugar a m fracciones
la primera de las cuales resulta en un logaritmo y el resto en potencias
A1
x− α,
A2
(x− α)2, . . .
Am
(x− α)mcon
∫(x− α)−ndx =
(x− α)−n+1
(−n+ 1)(n 6= 1)
. A cada par de raıces complejas conjugadas le corresponde un polinomio irreducible de segundo grado
ax2 + bx+ c que da lugar a una fraccion que resulta en la suma de un logaritmo y una arcotangente
Mx+N
ax2 + bx+ c=
(ax2 + bx+ c)′
ax2 + bx+ c+
A
ax2 + bx+ c
Tipo logarıtmico (el numerador es la derivada del denominador)∫(ax2 + bx+ c)′
ax2 + bx+ cdx = ln|ax2 + bx+ c|+ C
Tipo arcotangente (el numerador es una constante)∫A
ax2 + bx+ cdx =
∫A
a[(x− α)2 + β2]dx =
A
aβarc tg
(x− αβ
)+ C
� Hay integrales irracionales que se resuelven por cambios de variable:
I Si aparecen q1√
(f(x))p1 , . . . , qn√
(f(x))pn se realiza el cambio f(x) = tq con q = m.c.m(q1, . . . , qn) si es
posible despejar x de esta igualdad.
� Hay integrales trigonometricas que se resuelven por cambios de variable y suele ser necesario utilizar la
formula fundamental de la trigonometrıa (sen2 x+ cos2 x = 1)
I Impar en seno t = cosx con dt = − senxdx
I Impar en coseno t = senx con dt = cosxdx
I Par en seno y coseno t = tg x con dt = (1 + tg2 x)dx y dx =dt
1 + t2
I Caso general t = tg (x/2) con dt = 12(1 + tg2 (x/2))dx y dx =
2dt
1 + t2
� En una integral con una raız de la forma√a2 − b2x2 se puede realizar el cambio x = a
bcos t.
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INTEGRALES DEFINIDAS� La integral definida de una funcion acotada en un intervalo [a, b]∫ b
a
f(x) dx
corresponde al area encerrada entre la curva y = f(x) y el eje OX desde
a hasta b (si f es positiva).
I La idea intuitiva es sumar las areas f(x)dx de los rectangulos de
altura f(x) y base dx a lo largo del intervalo [a, b].
y=f HxL
a bdx
f HxL
I Se define para a > b como −∫ a
bf(x) dx y para a = b como cero.
I La integral definida es lineal, momotona y su intervalo de integracion se puede descomponer.
I Si f y g son integrables en [a, b] con f(x) ≤ g(x); ∀x ∈ [a, b] el area encerrada por estas funciones es
A =
∫ b
a
(g(x)− f(x)) dx
I (Condicion necesaria de integrabilidad) Si f es integrable en [a, b] entonces f esta acotada en [a, b]
I (Condicion suficiente de integrabilidad) Si f es continua en [a, b] entonces f es integrable en [a, b].
Proposicion (Primer teorema fundamental) Si f es continua en [a, b] entonces la funcion de acumulacion
F (x) =
∫ x
a
f(t) d(t)
es una primitiva de f (no siempre es posible obtenerla de forma explıcita)
I Si f es integrable en [a, b] la funcion de acumulacion es continua y si f es no negativa corresponde al area
encerrada por la curva y = f(x) y el eje X desde a hasta x.
Proposicion (Segundo teorema fundamental) Si f es integrable en [a, b] y G es una primitiva suya entonces
∫ b
a
f(x) dx = G(x)
]ba
= G(b)−G(a) (regla de Barrow)
I (Integracion por partes) Si f y g son continuas en [a, b] y derivables en (a, b)∫ b
a
f(x)g′(x) dx = f(x)g(x)
]ba
−∫ b
a
g(x)f ′(x) dx.
I (Cambio de variable t = g(x)) Si f es continua y g tiene derivada continua en [a, b]∫ b
a
f [g(x)] g′(x) dx =
∫ g(b)
g(a)
f(t) dt.
I (Cambio de variable x = g(t)) Si f es continua en [a, b] y g de clase C1 en [c, d] con g(c) = a y g(d) = b
Pagina 3 Proyecto MATECO 2.1
Bloque .
INTEGRALES DOBLES
� La integral doble de una funcion acotada en un recinto∫ ∫R
f(x, y) dx dy
corresponde al volumen encerrado entre la superficie z = f(x, y) y el plano
OXY sobre el recinto R (si f es positiva).dx dy
f Hx,yL
z=f Hx,yL
a bc
d
I Intuitivamente corresponde a sumar los volumenes f(x, y)dxdy de los prisma de altura f(x, y) y base
dx× dy en todo el recinto.
I La integral doble permite calcular areas considerando la funcion constante f(x, y) = 1 (la superficie esta
a una altura 1 y el volumen coincide numericamente con el area).
I La integral doble es lineal, momotona y su region de integracion se puede descomponer.
I (Condicion necesaria de integrabilidad) Si f es integrable en D entonces f esta acotada en D.
I (Condicion suficiente de integrabilidad) Si f es continua en D entonces es integrable en D
Proposicion (Teorema de Fubini) f integrable en un recinto D
� (Rectangulos) D = [a, b]× [c, d] = {(x, y) ∈ R2/a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}∫ ∫D
f(x, y) dx dy =
∫ b
a
(∫ d
c
f(x, y) dy
)dx =
∫ d
c
(∫ b
a
f(x, y) dx
)dy
� (Barrido vertical) D = {(x, y) ∈ R2/a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)} con g1(x) ≤ g2(x) ∀x ∈ [a, b]∫ ∫D
f(x, y) dx dy =
∫ b
a
(∫ g2(x)
g1(x)
f(x, y) dy
)dx
� (Barrido horizontal) D = {(x, y) ∈ R2/ c ≤ y ≤ d, h1(y) ≤ x ≤ h2(y)} con h1(y) ≤ h2(y) ∀ y ∈ [c, d]∫ ∫D
f(x, y) dx dy =
∫ d
c
(∫ h2(y)
h1(y)
f(x, y) dx
)dy
Proposicion (Cambio de variable) Si f es integrable en R y el cambio de variables es de clase C1 y biyectivo
entre D′ (region del plano uv) y D (region del plano xy) x = h1(u, v)
y = h2(u, v)=⇒
∫ ∫D
f(x, y) dx dy =
∫ ∫D′f(h1(u, v), h2(u, v))|Jh(u, v)| du dv
donde |Jh(u, v)| es el valor absoluto del determinante jacobiano de h.
I (Cambio de variable a coordenadas polares) Se describe el vector que
va del origen al punto utilizando su modulo, ρ =√x2 + y2, y el angulo que
forma con el eje OX, θ = arc tg(y/x). x = ρ cos θ
y = ρ sen θ
. El valor absoluto del determinante jacobiano es |Jh(ρ, θ)| = ρ.
Θ
Ρ
x= Ρ cosHΘL
y= Ρ senHΘL
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