Calculo Diferencial - Capitulo 2 - Jesus del Valle

Captulo 2Continuidad de funciones de variable real

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Contenido Breve Mdulo 6 Idea intuitiva y definicin de funcin continuaLa trayectoria descrita por el baln, desde que sale de los pies del jugador hasta que llega al arco, es uno de los miles de ejemplos de funciones continuas en intervalos cerrados.

Mdulo 7 Teoremas sobre funciones continuas Mdulo 8 Continuidad en un intervalo Ejercicios Captulo 2, mdulos 6 al 8

PresentacinEn el captulo 1 nos ocupamos del concepto ms importante del clculo infinitesimal: el concepto del lmite funcional. En este captulo analizaremos el concepto matemtico de continuidad, que est ntimamente relacionado con el de lmite y que, igual que ste, no fue enunciado con toda claridad y rigor hasta el siglo XIX, por obra del gran matemtico francs Augustin Cauchy, llamado el padre del anlisis matemtico. La continuidad est ligada a una propiedad geomtrica de la grfica de una funcin: no est rota o interrumpida cuando se traza en el plano cartesiano; adems, permite establecer una gran divisin de las funciones en continuas y discontinuas (no continuas). La mayora de las funciones que se van a presentar en los temas siguientes del curso son funciones continuas. De hecho, en el prximo captulo veremos que algunas de estas funciones son a las que se les puede calcular su derivada.

60 U de @ - Educacin no presencial 60

6Idea intuitiva y definicin de funcin continuaIntroduccinEn el lenguaje cotidiano le hemos dado a la palabra continuidad la connotacin de ausencia de interrupciones. As, cuando se dice que se trabajar en jornada continua de 8:00 a.m. a 4:00 p.m., se quiere manifestar que el trabajo no tiene interrupciones durante el periodo establecido. Como se dijo en la presentacin inicial, en clculo la continuidad de una funcin significa que su grfica no est rota o interrumpida cuando se traza en el plano cartesiano.Karl Weierstrass Karl Weierstrass naci en Ostenfelde (actual Alemania) en 1815 y muri en Berln en 1897.

Objetivos del mdulo1. Ilustrar por medio de grficas cundo una funcin es continua y cundo es discontinua en un punto de su dominio. 2. Clasificar las discontinuidades de una funcin y establecer la condicin para removerla o evitarla.

Preguntas bsicas1. Una empresa de telfonos propone la siguiente tarifa para llamadas internacionales: el primer minuto o fraccin cuesta $1.200; el minuto adicional o fraccin cuesta $800. Elabore un grfico del costo C (t) en funcin del tiempo para los primeros cuatro minutos y con ella responda las siguientes preguntas: a. Si 1 < t 2, entonces C(t) = ? b. Si 2 < t 3, entonces C(t) = ? c. En qu instantes cambia la tarifa?

Contenidos del mdulo6.1 Idea intuitiva de continuidad 6.2 Definicin de funcin continua en un punto 6.3 Discontinuidad y clasificacin de las discontinuidades

Elementos Bsicos de Clculo Diferencial

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Captulo 2: Continuidad de funciones de variable real

6.1 Idea intuitiva de continuidadIntuitivamente se puede decir que una funcin es continua cuando en su grfica no aparecen saltos o cuando el trazo de la grfica no tiene huecos. En la figura 6.1 aparece la grfica de tres funciones: dos de ellas no continuas (discontinuas) en el punto x = a de su dominio (figuras 6.1a y 6.1b) y la otra continua en todo su dominio (figura 6.1c). a

Vea el mdulo 6 del programa de televisin Elementos Bsicos de Clculo Diferencial.

b


Mdulo 6: Idea intuitiva y definicin de funcin continua c

Figura 6.1

Al mirar con cuidado las grficas de la figura 6.1 se pueden deducir intuitivamente resultados que permitirn comprender con mayor claridad la definicin precisa de lo que significa ser una funcin continua en un punto dado de su dominio. En la grfica de la figura 6.1a se tiene que: i. ii.lim f ( x ) = lim+ f ( x ) = L lim f ( x ) = L (existe).xa xa

x a

f ( a ) (existe).Karl Weierstrass

Pero lim f ( x ) = L f ( a ) (por esta razn f es discontinua). xa Qu le sucede a la grfica si f (a) = L ? Para la grfica de la figura 6.1b se tiene que: i. ii.lim f ( x ) = L1 lim+ f ( x ) = L2 lim f ( x ) (no existe).xa xa

x a

(por esta razn f es discontinua).f ( a ) = L1 (existe).

Finalmente, para la grfica de la figura 6.1c se tiene que: i. ii. iii.lim f ( x ) = lim f ( x ) = L lim f ( x ) = L (existe).xa xa

x a+

f ( a ) (existe). lim f ( x ) = f (a ).xa

Con 14 aos, Karl Weierstrass fue aceptado en la escuela catlica de enseanza secundaria de Paderborn (Alemania). Gan algunos premios antes de graduarse, y en 1839 fue aceptado en la Academia de Teologa y Filosofa de Mnster, donde encontr la inspiracin matemtica de manos de Christof Guderman. Su primer escrito importante, publicado en 1841, fue un ensayo sobre funciones elpticas. Durante los quince aos siguientes se dedic a dar clase en una escuela de enseanza secundaria. En 1854 envi un trabajo sobre funciones abelianas a una publicacin matemtica de prestigio y sorprendi a la comunidad matemtica con su genio. Por este trabajo recibi el doctorado honorfico de la Universidad de Knigsberg y en 1856 fue aceptado como profesor asociado en la Universidad de Berln. Tras una crisis nerviosa sufrida en 1861, fue ascendido a profesor, cargo que ostent el resto de su vida. Infortunadamente, tras los ataques pblicos de Leopold Kronecker por su apoyo a las ideas de Georg Cantor, y la muerte de su amiga Sonja Kovalevsky, se hundi mentalmente y pas el resto de su vida en una silla de ruedas hasta que muri vctima de una neumona.


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Captulo 2: Continuidad de funciones de variable real Estas tres condiciones son las que en ltima instancia permiten deducir intuitivamente que la funcin cuya grfica aparece en la figura 6.1c es continua en el punto a. Lo anterior nos permite establecer la siguiente definicin:

Vea la animacin Funciones continuas y discontinuas en su multimedia de Elementos Bsicos de Clculo Diferencial.

6.2 Definicin de funcin continua en un puntoUna funcin f es continua en x = a si y slo si se satisfacen las siguientes condiciones: i. ii. iii.f (a) existe. lim f ( x ) existe.x a

lim f ( x ) = f (a ).xa

Observaciones i. Si en la definicin anterior sustituimos lim f ( x ) por xlim+ f ( x ) o por xlim f ( x), x a a a se dice entonces que f es continua a la derecha y a la izquierda, respectivamente, del punto x = a. ii. Algunos autores adoptan como definicin de continuidad en un punto la condicin iii de la definicin anterior, esto es, f es continua en x = a si y slo silim f ( x ) = f ( a ) .xa

iii.

Si en la definicin de continuidad se hace x = a + h, con a y (a + h) en el dominio de f, se dice entonces que f es continua en a si y slo si lim f ( a + h) = f (a ). h 0

6.3 Discontinuidad y clasificacin de las discontinuidadesSi al menos una de las tres condiciones establecidas en 6.2 deja de cumplirse, se dice que f es discontinua (no continua) en x = a. Si f es discontinua en x = a y lim f ( x ) existe pero es diferente de f (a), se dice que xa la discontinuidad es removible o evitable. En caso contrario, se dice que la discontinuidad es esencial. As por ejemplo, la grfica de la figura 6.1a corresponde a la grfica de una funcin con discontinuidad removible o evitable en x = a, mientras que la grfica de la figura 6.1b corresponde a una discontinuidad esencial en x = a. Cuando una funcin tiene discontinuidad removible en un punto se usa la frase remover la discontinuidad para indicar que se puede redefinir la funcin haciendo que f (a) = lim f ( x), y de esta manera obtener una nueva funcin continua en xa x = a.


Mdulo 6: Idea intuitiva y definicin de funcin continua x2 + 1 Considere por ejemplo la funcin f definida por f ( x) = 3 2 x + 1 si si si x0

La grfica de la funcin aparece en la figura 6.2.

Figura 6.2

Si se analiza la continuidad de f en el punto x = 0, se tiene que:

i. ii.

lim f ( x) = lim ( x 2 + 1) = 1 x 0 lim f ( x) = 1 (existe). lim f ( x) = lim (2 x + 1) = 1 x 0 x 0+ x 0+ x 0

f (0) = 3 (existe).

Pero lim f ( x ) = 1 f (0) = 3 , lo que indica que f es discontinua en x = 0. Ahora, x0 como lim f ( x ) f (0), la discontinuidad es evitable. x 0 Se puede entonces remover o evitar la discontinuidad redefiniendo la funcin de tal forma que lim f ( x ) = f (0). Esto es, redefiniendo f as: x 0 x2 + 1 f ( x) = 1 2 x + 1 si si si x0

Esta nueva funcin es continua en x = 0. Elementos Bsicos de Clculo Diferencial

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Captulo 2: Continuidad de funciones de variable real Es de anotar que la funcin f se ha redefinido y, por tanto, no se trata de la misma funcin. Por qu? En los ejercicios al final del captulo (mdulos 6 al 8), puede mirar otros ejemplos sobre funciones continuas y discontinuas.


7Teoremas sobre funciones continuasIntroduccinLeonhard Euler

Los siguientes teoremas, que se enuncian sin demostracin, sealan importantes propiedades de las funciones continuas y son al mismo tiempo herramientas tiles que permiten deducir, en muchos casos, la continuidad de una funcin, sin recurrir directamente al empleo de la definicin.

Leonhard Euler naci el 15 de abril de 1707 en Basilea, Suiza, y falleci el 18 de septiembre 1783 en San Petersburgo, Rusia.

Objetivos del mdulo1. Establecer las propiedades de las funciones continuas y la manera de usarlas en la solucin de ejercicios. 2. Relacionar la continuidad con el lmite de la funcin compuesta.

Preguntas bsicasDiga si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos: Sean f (x) y g(x) dos funciones: 1. Si ( f + g )( x) es continua en x = a, entonces f (x) y g(x) son continuas en x = a? 2. Si ( f g )( x) es continua en x = a, entonces f y g son continuas en x = a?

Contenidos del mdulo7.1 Teoremas sobre funciones continuas 7.1.1 Teorema 1: lgebra de funciones continuas 7.1.2 Teorema 2: Lmite de la funcin compuesta


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7.1 Teoremas sobre funciones continuas 7.1.1 Teorema 1: lgebra de funciones continuasVea el mdulo 7 del programa de televisin Elementos Bsicos de Clculo Diferencial.

Sean f y g dos funciones continuas en el punto x = a. Entonces: i. (f + g) es continua en x = a. (La suma de funciones continuas es una funcin continua.) ii. (f g) es continua en x = a. (La diferencia de funciones continuas es una funcin continua.) iii. (f g) es continua en x = a. (El producto de funciones continuas es una funcin continua.) f iv. es continua en x = a, si g (a) 0. (El cociente de dos funciones contig nuas es una funcin continua.)

Consecuencias CC1: La funcin polinmica es continua en todo punto del eje real En efecto, sea Pn ( x ) = an x n + an 1 x n 1 + .... + a1 x + a0 una funcin polinmica de grado n y sea a un punto cualquiera del eje real. Al aplicar sucesivamente el teorema 1 en sus partes i e iii se obtiene que:lim Pn ( x) = an a n + an 1a n 1 + .... + a1a + a0 = Pn ( a ), y de aqu, Pn ( x) es una funxa

cin continua en todo punto del eje real. CC2: Toda funcin racional es continua en los puntos que no anulen el denominador de la funcin Demostracin: aplicar el teorema 1.

7.1.2 Teorema 2: Lmite de la funcin compuestaSean f y g dos funciones tales que f es continua en b y lim g ( x) = b. Entonces, xa

lim( f g )( x) = lim f ( g ( x)) = f lim g ( x) = f (b).xa xa xa

(

)

Consecuencias CC3Si lim f ( x) = b, entonces lim n f ( x) = n lim f ( x) = n b .x a x a xa

Cuando n sea par, se debe cumplir adems que b > 0 .


Mdulo 7: Teoremas sobre funciones continuas CC4

Si lim f ( x) = b, entonces lim f ( x) = lim f ( x) = b .x a x a xa

Las consecuencias CC3 y CC4 se expresan respectivamente en palabras de la siguiente manera: El lmite de la raz n-sima es la raz n-sima del lmite y El lmite del valor absoluto es el valor absoluto del lmite. CC5: Continuidad de la funcin compuesta Si g es continua en a, y f es continua en g(a), entonces ( f g )( x) = f ( g ( x)) es continua en a. Ejemplo 1 En este ejemplo se quiere dar respuesta a la primera pregunta bsica. Es decir, si (f + g) (x) es continua en x = a, entonces f (x) y g(x) son continuas en x = a? Solucin La implicacin formulada es falsa. En efecto, sean

x +1 f ( x) = 0 x 1 1 g ( x) = 0 1

si si si

x0Leonhard Euler

si si si

x0

cuyas grficas aparecen en la figura 7.1.

A una edad temprana, Leonhard Euler fue enviado a la Universidad de Basilea, donde atrajo la atencin de Jean Bernoulli. A los 17 aos de edad obtuvo un doctorado y a los 19 envi dos disertaciones a la Academia de Pars, una sobre arboladura de barcos y la otra sobre la filosofa del sonido. Euler parti en 1727, ao de la muerte de Newton, a San Petersburgo, para reunirse con su amigo Bernoulli, que le haba precedido all algunos aos antes. Hacia los 30 aos de edad fue honrado por la Academia de Pars por su trabajo para resolver problemas relevantes sobre los movimientos de los cuerpos celestes. En Berln, Euler intim con Moreau de Maupertuis, presidente de la Academia, un francs de Bretaa, que favoreca especialmente la filosofa newtoniana, de preferencia a la cartesiana. Su influencia fue importante, puesto que la ejerci en una poca en que la opinin continental an dudaba en aceptar las opiniones de Newton. Maupertuis impresion mucho a Euler con su principio favorito del mnimo esfuerzo, que Euler empleaba con buenos resultados en sus problemas mecnicos. En 1766 Euler volvi a San Petersburgo, para pasar all el resto de sus das. En 1771, cuando estall un gran fuego en la ciudad, llegando hasta la casa de Euler, un compatriota de Basilea, Peter Grimm, se arroj a las llamas, descubri al hombre ciego y lo salv llevndolo sobre sus hombros. Si bien se perdieron los libros y el mobiliario, se salvaron sus preciosos escritos. Euler continu su profuso trabajo durante doce aos, hasta el da de su muerte, a los setenta y seis aos de edad.


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Captulo 2: Continuidad de funciones de variable realDiderot y Euler Denis Diderot fue un filsofo francs muy popular en el siglo XVIII. Una de sus acciones ms destacadas fue hacer una enciclopedia junto con un importante equipo de colaboradores, llamada Encyclopdie, ou dictionnaire raisonn des sciences, des arts, et des mtiers. A pesar de no ser experto en esta materia, Diderot escriba en ella bastante bien sobre temas de matemtica. Leonard Euler, otro matemtico importante de la poca, fue invitado a colaborar como cientfico en la corte de la reina Catalina II de Rusia, y as estuvo durante mucho tiempo en San Petersburgo. Diderot tambin fue invitado por la reina, pero la relacin entre ellos se torn tensa, por lo que tuvo que intervenir Euler. ste, en una muestra de agradecimiento a la reina, y sabiendo que los conocimientos matemticos de Diderot no eran bien fundamentados, se ofreci a deshacerse de aqul de una manera diplomtica. Euler se encarg de que llegara a los odos de Diderot que l posea una demostracin matemtica de la existencia de Dios. Dada la rgida postura de su atesmo y su fama como intelectual, Diderot se encarg de que Euler supiera que l estaba dispuesto a enfrentar la demostracin delante de la corte, y en su caso, refutarla. El plan result tal y como Euler lo deseaba. En una ceremonia, Euler se dirigi a Diderot y le replic con una gran parsimonia: Seor: a + b a la n entre n es igual a x (a su vez escriba una frmula que deca: a + bn/n = x). Por tanto, Dios existe. La falta de conocimientos matemticos de Diderot no le permitieron hacer alguna objecin. A los pocos das, humillado, el filsofo francs pidi permiso a Su Majestad para regresar a Francia.

Figura 7.1

Puede demostrarse fcilmente que f (x) y g (x) son discontinuas en x = 0 (verifquelo). Sin embargo,

( x + 1) 1 ( f + g )( x) = 0 ( x 1) + 1 Esto es,

si si si

x0

x ( f + g )( x) = 0 x

si si si

x0

o simplemente (f + g) (x) = x es la funcin identidad, cuya grfica aparece en la figura 7.2 y es continua en x = 0.

Figura 7.2

Igualmente, la implicacin formulada en la pregunta 2 tambin es falsa. Se pide al lector la verificacin de la misma, construyendo dos funciones f y g tales que f g sea continua en x = a, pero f y/o g sean discontinuas en x = a.


8Continuidad en un intervaloIntroduccinParadoja de la barra que no cae

En el mdulo 7 se estableci la continuidad de una funcin en un punto particular de su dominio. El concepto puede extenderse de manera natural para todos los puntos de un intervalo de la recta real.

Objetivos del mdulo1. Extender el concepto de continuidad puntual al caso de un intervalo de la recta real.

Se tiene una barra de hierro unida al piso de un vagn de ferrocarril por medio de un eje; se supone que no hay ningn rozamiento. Existe una posicin de la barra en el instante de iniciarse el viaje (t = 0) tal que, cuando el viaje finalice, la barra no habr tocado el suelo ni una sola vez.

Preguntas bsicasSupngase que g es continua en [a, b], h es continua en [b, c] y g(b) = h(b). Sea f (x) = g(x) para todo x [a, b] y f(x) = h(x) para todo x [b, c]. Es f continua en [a, c]? Es decir, pueden soldarse las funciones continuas? Analice su respuesta grficamente.

Contenidos del mdulo8.1 Continuidad en un intervalo abierto 8.2 Continuidad en un intervalo cerrado


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8.1 Continuidad en un intervalo abiertoDefinicin Una funcin f es continua en un intervalo abierto si y slo si f es continua en todo punto del intervalo.

Vea el mdulo 8 del programa de televisin Elementos Bsicos de Clculo Diferencial.

8.2 Continuidad en un intervalo cerradoDefinicin Una funcin f es continua en un intervalo cerrado [a, b] si y slo si f es continua en el intervalo abierto (a, b), continua por la derecha de a y continua por la izquierda de b. Es decir, f es continua en [a, b] si y slo si se cumplen las siguientes condiciones: 1. 2. 3. f es continua en (a, b).x a+

lim f ( x) = f (a).

x b

lim f ( x) = f (b).

Observacin Las condiciones 2 y 3 garantizan que la grfica de la funcin comienza de manera continua en el punto (a, f (a)) y llega as al punto (b, f (b)) en el plano cartesiano. Definiciones similares se establecen para la continuidad de una funcin en un intervalo semiabierto de cualquiera de las formas (a, b] o [a, b). As por ejemplo, la funcin f ( x) = x (mayor entero menor o igual a x) es continua en los intervalos de la forma (n 1, n), n , ya que en cada uno de estos intervalos la funcin es constante. La funcin descrita anteriormente aparece en la seccin 3.1.1 del apndice III. Considere tambin la funcin f definida por: x2 f ( x) = x + 2 si si 1 x < 2 2 x3

y cuya grfica aparece en la figura 8.1. Se desea analizar la continuidad de f en el intervalo [1, 3]. 1. Continuidad en el intervalo abierto (1, 3) Se analiza la continuidad slo en el punto x = 2, ya que en los dems puntos del intervalo f es continua por ser polinmica en cada tramo. Continuidad en x = 2.


Mdulo 8: Continuidad en un intervalo i.f (2) = 4 .

ii. iii.

lim f ( x) = lim ( x + 2) = 4 x 2+ lim f ( x) = 4. 2 x 2 lim f ( x) = lim x = 4 x 2 x 2 x 2+

lim f ( x ) = f (2).x2

De i, ii, e iii se concluye que f es continua en x = 2 y por tanto f es continua en el intervalo (1, 3).

Figura 8.1

2.

Continuidad por la derecha del punto x = 1. i. ii. iii.f ( 1) = ( 1) 2 = 1 (existe).x 1+

lim f ( x) = lim+ x 2 = 1 (existe).x 1

x 1+

lim f ( x) = f (1). As que f es continua por derecha de 1.

3.

Continuidad por la izquierda del punto x = 3. i. ii. iii.f (3) = 3 + 2 = 5 (existe).x 3

lim f ( x) = lim ( x + 2) = 5 (existe). x 3

lim f ( x ) = f (3). As que f es continua por la izquierda en el punto x = 3.x 3

De 1, 2 y 3 se concluye, de acuerdo a la definicin, que f es continua en el intervalo cerrado [1, 3]. El ejemplo 3 de los ejercicios resueltos (mdulos 6 al 8) es otro caso de una funcin continua en un intervalo cerrado. Elementos Bsicos de Clculo Diferencial

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Ejercicios del captulo 2 (mdulos 6 al 8)

Ejercicios resueltos1. Considere la funcin definida por x2 f ( x) = x 2 4 1

si si

x2 x=2

y analice la continuidad de f en el punto x = 2. Si es discontinua, clasifique la discontinuidad. Solucin Se debe analizar si f satisface las condiciones para ser continua en x = 2. i. ii.f (2) = 1 (existe).x 2+

lim f ( x) = lim f ( x) = lim f ( x) = lim x 2 x 2 x 2

x2 , x2 4

x2 , ( x 2)( x + 2) 1 1 = lim = (existe). x2 x + 2 4 = limx2

iii.

lim f ( x ) =x2

1 f (2) = 1. 4

Como falla esta ltima condicin, f no es continua en x = 2. Ahora, puesto que lim f ( x ) = x21 existe, la discontinuidad es removible o evitable en x = 2. 4

Para remover o evitar la discontinuidad se redefine la funcin, de tal forma que coincidan lim g ( x ) con g (2), as: x2 x2 x2 4 , g ( x) = 1 , 4

x2 x=2


Ejercicios de los mdulos 6 al 8 En la figura 1 aparecen dibujadas las grficas de f y g cerca de x = 2.

Figura 1


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Captulo 2: Continuidad de funciones de variable real 2. Considere la funcin f definida por2 x + 1 si f ( x) = 2 x + 3 si x 1 x >1

y analice la continuidad de f en el punto x = 1. Si f es discontinua, clasifique su discontinuidad. Solucin Como en el caso anterior, se analizan primero las condiciones de continuidad. i.f (1) = 2 1 + 1 = 3 (existe).

ii.

lim f ( x ) = lim ( x 2 + 3) = 4 x 1+ lim f ( x ) (no existe) x 1 lim f ( x ) = lim (2 x + 1) = 3 x 1 x 1 x 1+

De i e ii se concluye que f no es continua en el punto x = 1. Adems, como lim f ( x ) no existe, la discontinuidad es esencial y no puede removerse. x 1 En la figura 2 aparece dibujada la funcin f.

Figura 2


Ejercicios de los mdulos 6 al 8 3. Considere la funcin f definida por

3x + 6a si f ( x) = 3ax 7b si x 12b si

x < 3 3 x 3 x>3

Determine los valores de las constantes a y b para que f sea continua en todo su dominio. Solucin Como f es continua en todo su dominio, lo es en particular en los puntos x = 3 y x = 3. De la continuidad de f en el punto x = 3, se deduce que:lim f ( x ) = lim+ f ( x ) = f (3).x 3

x 3

(1)

Perolim f ( x ) = lim (3 x + 6a ) = 9 + 6a.x 3

x 3

(2)

Tambin,lim f ( x) = lim+ (3ax 7b) = 9a 7b = f (3).x 3

x 3+

(3)

Sustituyendo (2) y (3) en (1) se obtiene:9 + 6a = 9a 7b 15a + 7b = 9.

(4)

De la continuidad de f en el punto x = 3 se deduce que:lim f ( x) = lim f ( x ) = f (3). x 3

x 3+

(5)

Perolim f ( x ) = lim (3ax 7b) = 9a 7b = f (3). x 3

x 3

(6)

Tambin,lim f ( x ) = lim ( x 12b) = 3 12b. +x 3

x 3+

(7)

Sustituyendo (6) y (7) en (5) se obtiene:9a 7b = 3 12b 9a + 5b = 3.

(8)


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Captulo 2: Continuidad de funciones de variable real Al resolver simultneamente las ecuaciones (4) y (8) se obtienen finalmente los valores a = 2 y b = 3. Con estos valores, cmo queda definida la funcin f ? Dibjela. 4. Pruebe que la funcin f ( x) = sen x es continua en x = 0. Solucinlim f ( x) = lim sen x = lim x x 0 x 0 x 0

sen x x sen x = lim x lim = 0 1 = 0 x 0 x 0 x = sen 0 = f (0).

(

)

Ejercicios propuestos1. Establezca si las funciones dadas son o no continuas en el punto x = 2. Justifique su respuesta. a. f ( x) = 4 x 2 2 x + 12. d. g ( x) = x 1. g. t ( x) = x . x3 8 j. f ( x) = x 2 12 x2 x=2 x2

x3 8 . x2

si si

4x 8 f ( x) = x 2 k. 2 3 x + 4 m. g ( x) = 2

x + 3 si l. f ( x) = 2 x + 1 si

2.

En los ejercicios siguientes establezca la continuidad o no de las funciones en los puntos a dados. Si la discontinuidad es removible, remueva la discontinuidad. Dibuje las grficas.9 x 2 f ( x) = a. 3x + 2 si si x2 a=2 x>2 x2 4x + 3 b. f ( x) = x 3 5 x2 + x 6 d. H ( x) = x + 3 1 si si x3 x=3 x 3 x = 3 a=3

x 2 3x 4 c. G ( x) = x 4 2

si si

x4 x=4

a=4

si si

a = 3

x 1 e. f ( x) = 1 1 x

si si si

x 1 a = 0; a = 1; a = 2


Ejercicios de los mdulos 6 al 8 3. Sea3 x + 2 f ( x) = 5 x + k si si x

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