Cálculo II

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CLCULO I I

D E P A R T A M E N T O D E C I E N C I A S B S I C A S

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OME

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Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas

INDICE

Contenido Pgina

UNIDAD N1 : Integral Indefinida

Conceptos y propiedades 1- Reglas de integracin 5Integracin inmediata:- Frmulas comunes 5- Para funciones trigonomtricas 6- Para funciones trigonomtricas inversas 6Mtodos de integracin:Integracion por cambio de variables (sustitucin simple):- Definicin 8

- Caso de funcin exponencial 8- Caso de logaritmo natural 9- Caso de funciones trigonomtricas con argumento 10- Caso de la regla de la cadena 11Integracion por partes:- Definicin 18- Resumen de algunas Integrales Por Partes Comunes. 24

Integracin de Potencias de funciones trigonomtricas: 27Tipo A: Integracin de Monomios Senos y Cosenos: 37- Caso 1:S o ambos son enteros positivos impares 27

- Caso 2: Si y (ambos) son enteros pares y positivos 30 (o uno de ellos es ceros).Tipo B: Integracin de Monomios Secante y Tangente: 33- Caso1:Si es un entero positivo par (La potencia de la es par) 33 - Caso2: es un entero positivo impar (La potencia de la tangente es impar) 34Tipo C: Integracin de Monomios Cosecante y Cotangente. 38Sustitucin Trigonomtrica:- Para el integrado de la forma: 42

- Para el integrado de la forma: 42

-Para el integrado de la forma: 47

Funciones Racionales: 57- Caso 1: Los factores de son todos lineales y ninguno se repite. 57 - Caso 2: Los factores de son todos lineales y algunos estn repetidos. 59 - Caso3: Los factores de son lineales y cuadrticos de la forma 61 . Ninguno de los factores cuadrticos se repite.

- Caso 4: Los factores de son lineales y cuadrticos, y algunos 63 de los factores cuadrticos se repiten.Autoevaluacin 66

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UNIDAD N2 : Integral definida

Interpretacin de la integral definida 71

Propiedades generales de la integral definida 74Areas en Coordenadas Cartesianas 80Areas positivas y negativas 89Areas simples entre curvas 90Volumen de Slidos en Revolucin: 103- Mtodo de los disco. 104- Mtodo de las arandelas (slido de revolucin con agujero) 106 Caso 1: Rotacin en torno al eje . Caso 2: Rotacin en torno a un eje paralelo al .eje - 114Mtodo de los anillos cilndricosLongitud de Arco en Coordenadas Cartesianas. 121

Area de superficie en revolucin 128Autoevaluacin 132

Unidad N3 : Ecuaciones Parmetricas y Coordenadas Polares- Conceptos 142- Grficos y transformaciones 142- Primera y segunda derivada 144- Areas en coordenadas parmetricas 154- Longitud de arco en coordenadas paramtricas 156Coordenadas Polares:- Sistema de Coordenadas Polares 159

- Relacin entre Coordenadas Polares y Rectangulares. 161- Grfico en coordenadas polares 165- Areas en coordenadas polares 175- Longitud de arco en coordenadas polares 183Autoevaluacin 187

Unidad N 4 : Integrales impropias0

Definicin 192Caso 1: El lmite de integracin se hace infinito 192

- El limite superior es infinito. 192- El lmite inferior es infinito. 192- El lmite inferior y superior son infinitos. 193Caso 2: El integrado se torna infinito o discontinuo ya sea en los 194 mismos limites de integracin o en algn punto del intervalo entre ellos.Autoevaluacin 201

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1

UNIDAD N1: INTEGRAL INDEFINIDA

Conceptos y propiedades

En la misma forma en que hay funciones inversas tambin existen operaciones inversas. Porejemplo en matemticas la sustraccin es la inversa de la adicin, y la divisin es la inversa de lamultiplicacin.. As el proceso inverso de la diferenciacin es la integracin

La la vamos a definir como el proceso inverso de la diferenciacin. En otrasintegracinpalabras, si tenemos la derivada de una funcin, el objetivo es: "Determinar que funcin ha sidodiferenciada para llegar a esa derivada". Por lo que el proceso de integracin radica en la comprensin del

proceso de la diferenciacin.

Supongamos que dado un funcin , deseamos obtener su derivada, por lo que procedemos del siguiente modo:

dado

f(x)

Funcin OrigenFuncin Primitiva

Funcin Inicial

f '(x)

Obtiene

d

dxf x

Funcin Derivada

1

Ahora si nuestro problema es el inverso, es decir, dado una funcin derivada de una cierta

funcin, encontrar dicha funcin. El objetivo es determinar la funcin , la cual fue derivada (diferenciada). Nota: A esta funcin , la vamos a llamar la funcin origen, funcin primitiva o la funcin inicial. La idea grfica es:

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2

f(x)

Funcin DerivadaFuncin Primitiva

Funcin Inicial

f '(x)

Dado

f x dx f x'

Obtener

Funcin Derivada

Aplicando el

Operador Antiderivada

As por ejemplo: Dado:

Aplicando el operador antiderivada , donde



Intuitivamente podemos pensar que dado una funcin derivada , podemos aplicar un proceso inverso a la derivada o mejor dicho el operador antiderivada para encontrar la funcin origen o primitiva que fuediferenciada. Por lo tanto, podemos decir que:

f(x)

Funcin DerivadaFuncin P rimitiva

Funcin Inicial

f' (x )

f x dx f x'

Funcin Derivada

Apl icando el O pe ra do rAntiderivada

(INTEGRAL)

Apl icand o el O pe ra do rDERIVADA

d

dxf x

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3

Matemticamente hablando diremos. Sea:

Utilizando la interpretacin de infinitesimal podemos escribir lo anterior como:

Definiendo la operacin de ahora en adelante como , con el smboloantiderivada Integral

"operador integral" y aplicndolo a nuestra expresin anterior tenemos:

Donde:

Luego la funcin primitiva u origen se puede determinar como: ; "la integral de la derivada es la funcin origen" A esta expresin se le conoce como la INTEGRAL INDEFINIDA. Debemos notar lo siguiente:

f xx

3

3

Funcin DerivadaFuncin Primitiva

Funcin Inicial

f x x 2

f x dx f x'

FuncinDerivada

Aplicando el OperadorAntiderivadaINTEGRAL

OperadorDERIVADA

d

dx

xx

32

3

d

dx

xx

d

dx

xx

d

dx

xC x

32

32

32

31

32

3

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4

Conclusin:

- Una funcin derivable tiene una nica funcin derivada el reciproco tiene infinitas soluciones. - La derivada de una funcin tiene una familia de funciones primitivas. -Todas las funciones que difieren entre si por una constante tienen la misma derivada.

Definicin:

Si es una funcin primitiva de . La expresin define a la integral indefinida y representa todas las funciones primitivas que fueron diferenciadas y dan como resultado a (nica derivada). La cual se escribe como:

; donde es la constante de integracin (puede ser positiva o negativa) A esta expresin, que representa el proceso inverso de derivar, se le llama Integral Indefinida de . Observacin:

(1) La constante de integracin surge del hecho de que cualquier funcin de la forma tiene derivada (2) La constante de integracin se determinar por las condiciones especificas de cada problema

particular.

(3) A la cantidad se llama integral indefinida, el nombre sugiere que no se puede asignar valor particular para la integral hasta que no se determine y se asigna un valor a . (4) La integral indefinida aun cuando se halla determinado , es una funcin de alguna variable yentonces permanece indefinida.

En general decimos que toda funcin tiene un numero infinito de antiderivadas, ya que a cadaAntiderivada se le puede agregar una constante de magnitud arbitraria para obtener otra Antiderivada.

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5

Mtodos de Integracin

Regla de Integracin.

La obtencin de las reglas para integrar formas comunes consiste en determinar la funcin cuya

derivada es una de las formas normales.

Para facilitar el trabajo damos una lista de referencia de que deben serIntegrales Inmediatasmemorizadas. Pero antes veremos algunas propiedades bsicas de la integracin.

Propiedades:

1.La integral de una Sea la funcinConstante:

2.La integral de una y una . Sea la funcinfuncin constante

3.Sea

Integrales Inmediatas Formas comunes: Sean las siguientes integrales donde es una constante de integracin.

1. 2.

3. ; con

4.

5.

6.

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6

Para funciones trigonomtricas

7.

8. 9.

10.

11. 12.

13. 14. 15. 16. 17. 18.

Para funciones trigonomtricas inversas

19. 20.

Otras integrales

21. 22.

23. 24.

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8

Integracin Por Cambio De Variables (Integracin por sustitucin)

Definicin:

Este mtodo consiste en transformar una integral dada en una integral inmediata. Para ello se

utiliza una variable auxiliar y su correspondiente derivada.

Cundo se utiliza?

Sea una funcin, la cual no puede ser integrada directamente debido a su complejidad, es decir, no puede ser descompuesta en varias funciones para ser integradas en forma directa.

Para resolver este problema se utiliza una y la funcin cambia de variable,variable auxiliarpara posteriormente ser integrada en forma directa.

dx

x

x

2

2

Cambio de Variable:Sea

xdxduxu 222

Por lo tanto: , redefiniendo la integral en trminos de la nueva variable tenemos:

Ejemplos resueltos: Integracin por cambio de variables

Caso de la funcin exponencial:

1. Donde:

Para la variable inicial

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9

2.

Sea: Entonces


Nota: Cada vez que aparezca una funcin exponencial como en los casos anteriores, elcandidato a variable auxiliar es el exponente

3. Sea:


Caso del logaritmo natural:

1.

Donde


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14/205

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11

Entonces:


Nota: en las funciones trigonomtricas el candidato a variable auxiliar es el ngulo siempreque su derivada sea consistente con los otros trminos.

Caso de la regla de la cadena:

1. Sea:

Entonces:


2.

Donde:

/ Factorizando por


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12

Ejemplos propuestos: Integracin por cambio de variables.

1. 2. 3. 4.

5. 6.

7. 8.

Solucin

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

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13

Miscelaneos: Resuelva las siguientes integrales:

1. 2.

3. 4. 5. 6.

7. 8. 9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22. 23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

31. 32.

33. 34.

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14

35. 36.

37. 38.

39. 40.

41. 42.

43. 44.

45. 46.

47. 48.

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15

Soluciones

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16

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17

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18

Integracin Por Partes.

Cundo se usa?

Cuando una funcin que no puede ser integrada por cambio de variables, la podemos

resolver por partes a travs de otra integra. Antes veremos una frmula fundamental para este tipo deintegracin.La regla para determinar la derivada del producto de dos funciones y es:

Reordenando los trminos:

Aplicando el operador integral:

Tenemos:

Esta es la frmula fundamental para la integracin por parte. Esta frmula sugiere el hecho de que

cuando deseamos calcular la integral del tipo , podr realizarse en funcin de una integral diferente del tipo: .

Definicin:

Sea una funcin que no puede ser integrada por cambio de variable. Para integrar esta funcin se puede utilizar la siguiente formula:

Ejemplo aclaratorio:

La formula es

Primero se debe elegir u y dv.

La idea es dejar en la integral la ms directo o

menos complicado que la integral original

dxduxu

vduuvudv

vdu

integralesdeformulariover xdxvxvxdxdv sencossen

xxdx sen

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19

Aplicando la frmula de integracin por partes:

Por frmula tenemos:

vduuvudv

dxxxxxxdx )cos(cossen

cxxx

xdxxcox

sencos

cos

Cxxdx sencos

Algunos de los casos ms usuales son

a) En la integral aparece un factor que no tiene integral inmediata, slo se conoce de l suderivada. Para resolverla se asigna a este factor y a lo restante

Ejemplos

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20

Por lo tanto,

b) En la integral aparecen dos factores ambos integrables en forma inmediata o por sustitucinsimpley uno de ellos es una potencia de . Para esta situacin es la potencia y lo restante.

Ejemplos

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21

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22

c) En la integral aparecen dos factores ambos integrables en forma inmediata o por sustitucinsimple, pero ninguno de ellos es una potencia de . Para este caso la eleccin de es arbitraria, pero debe conservarse la caracterstica de la funcin elegida para en todas las integrales que deban desarrollarse por

parte en el ejercicio.

Ejemplos

Se resolver primero considerando

Se resolver ahora considerando

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23

Este ejemplo muestra que la eleccin de es absolutamente arbitraria.

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24

Resumen De Algunas Integrales Por Partes Comunes.

Si las integrales a resolver son del tipo:

Si la integral , es:

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25

Ejemplos propuestos con respuesta.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8. 9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16. 17.

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26

Solucin

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13. 14.

15.

16.

17.

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27

Integracin de Potencias de funciones trigonomtricas.

Cundo se usa?

Cuando las integrales son del tipo trigonomtricas de la siguiente forma:

La integracin de potencias de funciones trigonomtricas requiere de tcnicas especiales. Para locual se consideran los siguientes casos:

Tipo A: Integracin de Monomios Senos y Cosenos.

En este caso se separa el factor de la potencia impar, teniendo presente la equivalenciatrigonomtrica de ambas funciones: . Se tiene dos casos:

Caso 1: S o ambos son enteros positivos impares.

Si es impar, factorizamos y expresamos la potencia par restante del , en potencias del usando la identidad:

Si es impar, factorizamos y expresamos la restante potencia par de en

potencias de , utilizando la identidad:

Ejemplo para impar:

Para y

Resolver:

Expresando la potencia del en trminos del , usando la identidad trigonomtrica Entonces:

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28

Resolviendo ambas integrales por el mtodo de variables auxiliar.

Sea:

Por lo tanto:

Para la variable

Ejemplo para impar:

Resolver En este caso la potencia impar es el , por lo tanto se debe factorizar el y expresarlo

en trminos del usando la identidad trigonomtrica.

Tenemos:

Resolviendo por variable auxiliar, sea: . Por lo tanto:

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29

. En trminos de la variable

Ejemplo para y impares:

Resolver En este caso se elige la menor potencia impar par transformar, es decir, se expresa la potencia del en trminos del y se usa la identidad trigonomtrica Entonces:

Resolviendo ambas integrales por el mtodo de variables auxiliar.

Sea:

Por lo tanto:

Para la variable

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30

Caso 2: Si y (ambos) son enteros pares y positivos (o uno de ellos es ceros).

En este caso debe reducirse a potencia de primer grado, haciendo uso de las frmulas del ngulo medio:

Ejemplo para par:

Resolver

Ejemplo para par:

Resolver

Usando la identidad trigonomtrica: . Entonces:

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31

Ejemplo para y par:

Resolver

Usando la identidad trigonomtrica:

Usando la identidad trigonomtrica: . Entonces:

Por lo tanto:

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32

Tambin este ejercicio se puede resolver usando las identidades trigonomtricas:

;

Resumen: Sea una variable auxiliar, entonces:

Si: Si:

Transformacin Trigonomtrica:

m o n Impares

Potencia del Potencia de

Seno Cosenom:Impar n:ImparFactorizar por: Factorizar por:

Cambiando las Cambiandpotencias de:

o laspotencias de:

Usando: Usando

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33

m y n Pares

Potencia del SenoCoseno son pares

m y n

bien m o n cero

Si m n :Par Para

U

Reducir a potenciahaciendo uso de

sar TT:

Si m n:ParPara

Usar TT:

Idem usar:

TT: Transformacin trigonomtrica

Para integrales del tipo: Usar la transformacin:

Tipo B: Integracin de Monomios Secante y Tangente.

Se tienen dos casos:

Caso1: Si es un entero positivo par (La potencia de la es par)

Se debe factorizar por y cambiamos las a , utilizando la identidad trigonomtrica.

Ejemplo resuelto: es par:

1. Factorizando por :

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34

Transformando las potencias restantes de la secante a tangente, usando la transformacintrigonomtrica:

Sea la variable auxiliar: . Entonces

=

. En trminos de la variable

Caso2: es un entero positivo impar (La potencia de la tangente es impar)

En este caso se debe factorizar por y cambiamos las restantes potencia par de la a , utilizando la identidad trigonomtrica.

Ejemplo resuelto: La potencia de la tangente es impar ( es impar).

1. Factorizando por

Cambiando las restantes potencia de la tangente a secante, usando la transformacintrigonomtrica.

Por lo tanto:

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35

Usando variable auxiliar: , en consecuencia:

; en trminos de la variable

Qu sucede si la potencia de la secante es par ( es par) y la potencia de la tangente esimpar ( es impar)?

Ejemplo resuelto: cuando es par y es impar

Sea la siguiente integral: 1. Resolviendo por el lado de la potencia par de la secante, se debe factorizar por ,transformando las restantes potencias de la secante a tangente usando la transformacin trigonometra:

Sea la variable auxiliar:


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36

2. Resolviendo por el lado de la potencia impar de la tangente, se debe factorizar por , transformando las restantes potencias de la tangente a secante, usando la transformacin trigonomtrica:

Sea la variable auxiliar:


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37

Resumen: Sea la variable auxiliar, entonces:

Si:

Si:

Transformacin trigonomtrica:

Potencia de Potencia deTangente Secantem:impar n:parFactorizar por:

Cambiando laspotencias de:

Usando:

Fact

orizar por:

Cambiando laspotencias de:

Usando:

Potencia de Tangentem:par y potencia de Secante

n: imparCambiar la Cambiar la

potencia par: potencia impar

Usando: Usando:

Resolver Resolver

m nentero positivo entero positivo

Usar TT:

Si n:parUsar TT:

Si n:impar

Se usa la integracin por partes

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38

Tipo C: Integracin de Monomios Cosecante y Cotangente.

Se trabaja en forma anloga al caso anterior. Tenemos:

Sea la variable auxiliar, entonces:

Si

Si

Transformacin trigonomtrica:

Potencia de Potencia deCotangente Cosecantem: Impar n:Par

Factorizar por:

Cambiando laspotencias de

Usando:

Factorizando por:

Cambiando laspotencias de

Usando:

Ejemplo resuelto.

1. Factorizando por:

Cambiando las restantes potencias de , usando la transformacin trigonomtrica

Usando variable auxiliar:

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39

; en trminos de

2. Factorizando por:

Cambiando las restantes potencias de , usando la transformacin trigonomtrica:

Usando variable auxiliar:

; en trminos de

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40

Ejemplos propuestos:

1. 2. 3. 4.

5. 6.

7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.

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41

Solucin

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

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42

Sustitucin Trigonomtrica.

Cundo se usa?

Este tipo de sustitucin se usa cuando en el integrado aparecen expresiones de la forma:

Donde: y Generalmente se podr simplificar la integral por sustitucin trigonomtrica. En la mayora de loscasos la sustitucin apropiada sugerida elimina el radical y deja en condiciones de integrar.

El mtodo de sustitucin trigonomtrica para resolver la integrales se simplifica si se acompaa la

sustitucin con un tringulo rectngulo.

Analizando cada uno de los casos tenemos los siguientes cambios de variable:

Resumen Por Sustitucin Trigonomtrica.

Sea: y : Para el integrado de la forma:Caso 1: Si en el integrado aparece la expresin radical de la forma:

au

22 ua

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43

Por identidad trigonomtrica

Luego

Al reemplazar en el radical se obtiene:

Ejemplos:

Obs.: Si existiera ms trminos en funcin de la sustitucin tambin tendr que hacerse.

El tringulo que acompaa a esta expresin es el siguiente:

2 3x

294 x

Por lo tanto, la integral dada se resuelve de la siguiente forma:

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47/205

VIR

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OME

Z


44

Como , entonces

Luego, de la figura podemos ver:

De la identidad tenemos:

En consecuencia, del anlisis anterior, podemos concluir que:

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48/205

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45


Por lo tanto, la integral dada se resuelve de la siguiente forma:

Luego, de la figura podemos ver:

En consecuencia, del anlisis anterior, podemos concluir que:

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49/205

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50/205

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OME

Z


47

Del tringulo asociado a la expresin podemos ver que:

De la identidad trigonomtrica: . Entonces:

Caso 2:Si tenemos radicalde la forma

22 ua u

a

Por identidad trigonomtrica

Luego


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51/205

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48

Ejemplos:

El tringulo asociado es:

Por lo tanto:

;pero

Integral que se resuelve por partes, cuya solucin es:

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52/205

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OME

Z


49

Por lo tanto:

Del tringulo asociado, tenemos que:

Por lo tanto:

El tringulo asociado es:

5/24/2018 Clculo II

53/205

VIR

GINIOG

OME

Z


50

Por lo tanto:

pero

La integral inmediata de: . Entonces:

Del tringulo determinamos que:

Finalmente:

5/24/2018 Clculo II

54/205

VIR

GINIOG

OME

Z


51

Si tenemos radical de la formaCaso 3:

22

au

u

a

Por iedentidad trigonomtrica

Luego


5/24/2018 Clculo II

55/205

VIR

GINIOG

OME

Z


52

Ejemplos:


22 au

au

4x3

916 2 x

Por lo tanto:

; como

; usando

5/24/2018 Clculo II

56/205

VIR

GINIOG

OME

Z


53

Del tringulo:

Por lo tanto:

2

El tringulo que acompaa a esta expresin:

Por lo tanto:

5/24/2018 Clculo II

57/205

VIR

GINIOG

OME

Z


54

como:

Del tringulo asociado, se tiene: y

En consecuencia:

5/24/2018 Clculo II

58/205

VIR

GINIOG

OME

Z


55


1. 2.

3. 4. 5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

5/24/2018 Clculo II

59/205

VIR

GINIOG

OME

Z


56

Solucin

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

5/24/2018 Clculo II

60/205

VIR

GINIOG

OME

Z


57

Funciones Racionales

Cundo se utiliza?

Para integrar cualquier funcin racional del tipo , cuando y son polinomios de

grado y respectivamente. Sea la siguiente integral formada por la funcin racional (El cuociente de dos polinomios

en la variable )

Donde:

es el grado de es el grado de Si el grado de , es decir , entonces debe realizarse la divisin de polinomios (divisin sinttica) cuyo cuociente es de y cuyo resto R se descompone integracin inmediatamediante .Fracciones Parciales

Por lo tanto va a interesar la integracin de funciones de la forma: . Para lo cual debemos descomponer la funcin de la forma en fracciones parciales.

Despus de que ha sido factorizado en productos de factores lineales y cuadrticos, el mtodo para determinar fracciones parciales depende de la naturaleza de dichos factores. Considerando varios casos por separado, tenemos:

Caso 1:

Los factores de son todos lineales y ninguno se repite.

En este caso la fraccin parcial a escribir es:

Donde: son constantes que se van a determinar.

5/24/2018 Clculo II

61/205

VIR

GINIOG

OME

Z


58

Ejemplos de integracin por fracciones parciales.

Factorizando el denominador:

Planteando la fraccin parcial correspondiente:

Donde los valores de y han de calcularse de forma tal que la igualdad sea valida para todo

sacando factor comun,

llegamos a la ecuacin bsica siguiente:

Podemos determinar las constantes de dos maneras:

Consiste en igual los coeficientes de potencias identicas de y resolver1. Mtodo general:

Sea:

Resolviendo:

Dado que la identidad es valida para todo , tenemos:2. Mtodo Abreviado:

Evaluando para:

5/24/2018 Clculo II

62/205

VIR

GINIOG

OME

Z


59

Por lo tanto: y

Por cualquiera de los mtodos tenemos:

Entonces:

:Caso 2

Los factores de son todos lineales y algunos estn repetidos. Supongamos que el factor es un factor que se repite veces.

a este factor le corresponde la suma de fracciones parciales dada por:

Donde: son constantes que se van a determinar.

Ejemplos resueltos

5/24/2018 Clculo II

63/205

VIR

GINIOG

OME

Z


60

Desarrollando:

1. Mtodo abreviado:

Sea: Para

Para

Para

Resolviendo:

2. Mtodo General:

Sea:

Igualando los coeficientes de potencias identicas, tenemos:

Resolviendo:

5/24/2018 Clculo II

64/205

VIR

GINIOG

OME

Z


61

Por lo tanto:

Entonces:

Caso 3:

Los factores de son lineales y cuadrticos de la forma . Ninguno de los

factores cuadrticos se repite.

Por cada factor cuadrtico no factorizable y que no se repite, le corresponde la fraccin parcialdada por:

Ejemplo resuelto:

La ecuacin bsica es:

1. Mtodo general:

Sea:

5/24/2018 Clculo II

65/205

VIR

GINIOG

OME

Z


62

Resolviendo:

2. Mtodo abreviado:

Sea:

Para:

Para:

Para:

Por lo tanto:

Tenemos:

Luego:

5/24/2018 Clculo II

66/205

VIR

GINIOG

OME

Z


63

Caso 4:

Los factores de son lineales y cuadrticos, y algunos de los factores cuadrticos se repiten. Si es un factor cuadrtico no factorizable de que se repite veces, entonces le corresponde la siguiente descomposicin en fracciones parciales:

Ejemplo:

La ecuaciones bsicas:

Desarrollando:

1. Mtodo General:

Sea:

5/24/2018 Clculo II

67/205

VIR

GINIOG

OME

Z


64


Factorizar las siguientes funciones (fracciones parciales) y evaluar la integral indefinida.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

5/24/2018 Clculo II

68/205

VIR

GINIOG

OME

Z


65

Solucin

1.

2.

3.

4.

5.

6. 7.

8.

9.

10.

5/24/2018 Clculo II

69/205

VIR

GINIOG

OME

Z


66

Autoevaluacin

Resuelva las siguientes Integrales

.

.

.

5/24/2018 Clculo II

70/205

VIR

GINIOG

OME

Z


67

Solucin

5/24/2018 Clculo II

71/205

VIR

GINIOG

OME

Z


68

5/24/2018 Clculo II

72/205

VIR

GINIOG

OME

Z


69

5/24/2018 Clculo II

73/205

VIR

GINIOG

OME

Z


70

5/24/2018 Clculo II

74/205

VIR

GINIOG

OME

Z


71

UNIDAD N2: Integral Definida

Interpretacin de la integral definida:

Sea una funcin continua en el intervalo [ ], cuya grfica es:

x

y

a b

y = f(x)

A

Sea una regin del plano comprendida entre la funcin , el eje , las rectas y

Nuestro inters esta en el siguiente problema:

Como calcular el rea de la regin achurada en los lmites planteados:

x

y

a b0

y = f(x)

A

A

y

x

Para evaluar el rea bajo la curva se realiza el siguiente proceso:

1.Dividir el intervalo [ ] en un cierto nmero de subintervalos, no necesariamente iguales. Sea los punto de subdivisin

5/24/2018 Clculo II

75/205

VIR

GINIOG

OME

Z


72

a=x0 x1 x2..... xi-1 xi....... xn-1 xn=b

x

y

a b0

y = f(x)

A

y

x

y = f(x)

......... .........

donde:

- Los intervalos la misma longitudno tienen necesariamente

- El primer intervalo esta dado por: tal que: - Longitud de cada subintervalo es: para el 1 subintervalo

er

para el 2 subintervalo

do


er


to

para el -simo subintervalo

para el -simo subintervalo

2.Cada subintervalo forma un rectngulo de base y altura

Donde: es decir esto es

x

y

a b0

y = f(x)

A

y

xa=x0 x1 x2..... xi-1 xi....... xn-1 xn=b

y = f(x)

......... .........

0

c1 c2 ci cn

f(ci)

f(cn)

f(ci)

5/24/2018 Clculo II

76/205

VIR

GINIOG

OME

Z


73

3.Calculando el rea de cada rectngulos formados por los subintervalos de base

y altura

.

Sumando el rea de todos los rectngulos formados, tenemos una buena aproximacin deseada delrea bajo la curvade la funcin en el intervalo y las rectas rea Regin

rea de la Regin:

Debemos notar que:

-A medida que el nmero de intervalos aumenta, la aproximacin ser aun mejor. -Cuando el nmero de subintervalos tiende a infinito , es equivalente a decir que la longitud de los subintervalos (este intervalo es un infinitesimal)

A partir de este concepto se define el de una funcin comorea bajo la curva la integraldefinidade la funcin desde hasta . rea de la Regin: lim

Este lmite corresponde a lo que se denomina INTEGRAL DEFINIDA, se expresa como:

Por lo tanto: El rea bajo la curva entre y , se evala como la de la integral definidafuncin entre los limites de integracin y .

x

y

a b0

y = f(x)

Area de la Regin.

)(

)(

ba

xf

dxxf

b

a

ypuntoslosentre

funcinladedefinidaintegrallacomodefinesereginladereaEl

Reginladerea

Donde : La funcin es el integrado Los nmeros y son los lmites de integracin inferior y superior. La letra es la variable de integracin

5/24/2018 Clculo II

77/205

VIR

GINIOG

OME

Z


74

Propiedades generales de la integral definida

(1) Intercambiando los lmites de una integral cambia el signo al frente de la integral.

(2) La integral de una regin se dividir en la suma de cualquier numero de integrales, cubriendocada una de ellas una porcin de la regin.

(3) Valoracin de una integral definida:

En general para continua en un intervalo de integracin , son validas las propiedades bsicas de la integral indefinida. As tenemos:

(1) constante

(2)

Ejemplo: Resolver las integrales definidas.

(1) Resolver

Desarrollo:

5/24/2018 Clculo II

78/205

VIR

GINIOG

OME

Z


75

(2) Resolver

Desarrollo:

(3) Resolver

Desarrollo:

Sea

Evaluando los lmites de integracin

5/24/2018 Clculo II

79/205

VIR

GINIOG

OME

Z


76

(4) Resolver

Desarrollo

Sea

Como se hace un cambio de variable se deben cambiar lo lmites de integracin

Para Para

10

22

Otro camino es resolver la integral como indefinida y finalmente evaluar

As,

5/24/2018 Clculo II

80/205

VIR

GINIOG

OME

Z


77

(5) Resolver

Desarrollo

Para

Para

As,

5/24/2018 Clculo II

81/205

VIR

GINIOG

OME

Z


78

Ejemplos propuestos con respuestas.

Evaluar las siguientes integrales definidas

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

5/24/2018 Clculo II

82/205

VIR

GINIOG

OME

Z


79

Solucin

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

5/24/2018 Clculo II

83/205

VIR

GINIOG

OME

Z


80

Areas en Coordenadas Cartesianas

Debido a la interpretacin geomtrica de la integral definida, es posible en clculo de reas planas.

1. rea entre una curva y el eje :

Al realizar este clculo se debe tener presente que la integral definida representa el rea encerradapor la curva el eje en un intervalo definido [ , ] Ejemplos resueltos: Determinar el rea de la regin acotada

1.Determinar el rea de la regin acotada por la curva entre Graficar.

2. Determinar el rea encerrada por entre los lmites y . Graficar

5/24/2018 Clculo II

84/205

VIR

GINIOG

OME

Z


81

5/24/2018 Clculo II

85/205

VIR

GINIOG

OME

Z


82

3. Determinar el rea encerrada por entre los lmites y . Graficar

5/24/2018 Clculo II

86/205

VIR

GINIOG

OME

Z


83

4. Determinar el rea de la regin limitada por la curvas: en el intervalo . Graficar

x=1 x=5

y=2

24

1 3 xy

x

y

o

5/24/2018 Clculo II

87/205

VIR

GINIOG

OME

Z


84

5.Determinar el rea encerrada por la funcin , el eje y las rectas y

Por cambio de variable:

Entonces:

5/24/2018 Clculo II

88/205

VIR

GINIOG

OME

Z


85

6. Determinar el rea limitada por el eje y la funcin en el intervalo 3 , 8 . Grfica

Integrando por partes:

Sea

Por lo tanto,

5/24/2018 Clculo II

89/205

VIR

GINIOG

OME

Z


86

7. Determinar el rea limitada por la funcin , el eje y las rectas y .

Graficar:

x=3,2 x0

A

xexf y

1

x=1,5

5/24/2018 Clculo II

90/205

VIR

GINIOG

OME

Z


87

8.Determinar el rea de la regin dada por la funcin y las rectas , con el

eje .

x= 5

x

0

11 xxf

1 x= 2

y

-1

Resolviendo por variable auxiliar. Sea

Entonces,

Por lo tanto,

9.Determinar el rea de formada con el eje y la funcin en el intervalo cerrado 0 , .

5/24/2018 Clculo II

91/205

5/24/2018 Clculo II

92/205

VIR

GINIOG

OME

Z


89

Areas positivas y negativas

Sea una funcin continua en el intervalo , cuya curva esta dada por:

Supongamos que deseamos calcular el rea en el intervalo de la regin formada por y .

Debemos notar que la regin esta por encima del eje y es positiva mientras que la segunda

regin se halla por debajo del eje y es negativa.

Por lo tanto, si integramos en el intervalo esta dar un cantidad positiva para la regin y

una cantidad negativa para la regin , por lo que el integrado en intervalo de a producir la suma

algebraica de esta dos regiones, es decir ( ).

interesa la total de rea ( ) y no la suma algebraica, por loNormalmente CANTIDAD

tanto, para asegurar que la regin sea positiva empleamos el concepto de valor absoluto de tal forma

que el rea total esta dada por:

este resultado ser ahora la suma de las dos regiones achuradas, en vez de la diferencia de las regiones quese obtendra al integrar entre y .

Ejemplo: Determinar el rea de la regin limitada.

Determinar el rea encerrada por la funcin en

y

x-2 5

A2

23 xy

A1

2

3

5/24/2018 Clculo II

93/205

VIR

GINIOG

OME

Z


90

Determinar el punto entre las reas positivas y negativas implica resolver la ecuacin

Luego,

Areas simples entre curvas

Sea y dos funciones, tales que y dos reas positivas.

Tenemos los siguientes casos particulares:

5/24/2018 Clculo II

94/205

VIR

GINIOG

OME

Z


91

1)Area entre curvas y donde y

o bien podemos escribir:

2)reas entre curvas ( ). Donde: y

5/24/2018 Clculo II

95/205

5/24/2018 Clculo II

96/205

VIR

GINIOG

OME

Z


93

Respecto eje

: Toda rea calculada respecto eje y eje debe dar por resultado el mismo valorObservacin numrico.

2.Hallar el rea de la regin limitada por las grficas de y respecto eje y respecto eje

x=-2

x

g x x

f x x 2 2

y

x=1

De la grfica podemos ver que y tiene dos puntos de interseccin. Para hallar las coordenadas de estos puntos, igualamos con y despejamos

5/24/2018 Clculo II

97/205

VIR

GINIOG

OME

Z


94

Por tanto: y . Dado que para todo en , entonces el rea la podemos calcular:

Respecto eje

Respecto eje

5/24/2018 Clculo II

98/205

5/24/2018 Clculo II

99/205

5/24/2018 Clculo II

100/205

VIR

GINIOG

OME

Z


97

Solucin

Eje X : Eje Y:

5/24/2018 Clculo II

101/205

VIR

GINIOG

OME

Z


98

Ejemplos resueltos de areas simples y entre curvas

5/24/2018 Clculo II

102/205

5/24/2018 Clculo II

103/205

VIR

GINIOG

OME

Z


100

5/24/2018 Clculo II

104/205

VIR

GINIOG

OME

Z


101

Ejercicios

1.Encontrar el rea bajo la curva de las siguientes funciones y graficar.

a)

b)

c) d) e)

f)

g)

h) i) j) k) 2.Calcular el rea encerrada por las siguientes funciones y graficar

a) b) c) d)

e) f) g) h) i) j) k) l)

m) n) )

5/24/2018 Clculo II

105/205

5/24/2018 Clculo II

106/205

5/24/2018 Clculo II

107/205

VIR

GINIOG

OME

Z


104

Mtodo del disco

Cundo se usa?

Presenta mayores ventaja cuando la regin de giro es en torno del o a una recta paralela eje

al eje

Sea la regin del plano limitada por , el eje , las rectas y ., que gira entorno al generando un slido de revolucin, el cual deseamos calcular su volumen.eje

x = a x =bx x

= f(x)

= f(x)

x = a x =b

Regin

A

y y

x

(x)

Rectngulorepresentativo

Para calcular el volumen de este slido en revolucin consideremos un rectngulorepresentativode esta regin plana. Donde:

x

f(x)

Eje de giro (Eje x)

Eje de giro (Eje x)x

f(x)

xxfV 2

Cuando hacemos girar este rectngulo alrededor del eje de revolucin, genera un discorepresentativo cuyo volumen es:

Si aproximamos el volumen total del slido de revolucin por de tales entre y . discos Tenemos:

5/24/2018 Clculo II

108/205

VIR

GINIOG

OME

Z


105

Volumen del slido

Tomando el lmite cuando . Tenemos: Volumen del slido

Por lo tanto:

Cuando el eje de revolucin es el y la frontera superior de la regin plana viene dada porejeuna curva entre y , el volumen del slido de revolucin viene dado por

Como tambin lo podemos escribir

Anlogamente, cuando el eje de rotacin de la regin es el , donde un lado de la regin eje plana esta dado por la curva entre e . El volumen del slido de revolucin es:

Eje de giro Vertical (eje y)

y

y = c

x =

b

y

x x

x = g(y)

y = c

=

A

x = g(y)

y = d

A

5/24/2018 Clculo II

109/205

VIR

GINIOG

OME

Z


106

Cuando el eje de rotacin es paralelo al eje , pero distinto al eje :Caso especial:

Sea una funcin que gira sobre una eje horizontal ; una constante.

x = a x =b

y

x

f(x)0

x

[f(x) k]

y = k

k

Por lo tanto: El volumen del solido de revolucin esta dado por:

Extensin del mtodo de los discos:

Mtodo de las arandelas (slido de revolucin con agujero):

El mtodo de los discos puede extenderse fcilmente para incluir slidos de revolucin generadospor dos funciones, tales como y . Se tienen los siguientes casos: Rotacin en torno al eje . Sea yCaso 1:

x = a x = b

y

x

f (x ) 0

x

[ f (x ) g (x ) ]

g ( x ) 0

5/24/2018 Clculo II

110/205

VIR

GINIOG

OME

Z


107

Por lo tanto, el volumen del solido de revolucin esta dado por:

Caso 2: Rotacin en torno a un eje paralelo al .eje

Sea y y consideremos al eje de rotacin ; con una constante.

x = a x =b

y

x

f(x)0

x

[f(x) g(x)]

g(x) 0

y = kk

Por lo tanto, el volumen del solido de revolucin esta dado por:

Anlogamente se presentan los mismos casos cuando el eje de rotacin es paralelo y distinto deleje. (estudiar)

5/24/2018 Clculo II

111/205

VIR

GINIOG

OME

Z


108

Ejemplos resueltos mtodo de los discos - eje de giro

Calcular el volumen del slido generado al hacer girar la regin limitada en torno al eje , por lagrfica de:

1. , el eje , en

x =1 x =4

y

x

f(x)

x

32 xy

5/24/2018 Clculo II

112/205

5/24/2018 Clculo II

113/205

VIR

GINIOG

OME

Z


110

Ejemplo resuelto Regin limitada por una funcin y eje de rotacin desfasado paralelo al eje .

1 Determinar el slido en revolucin de la regin definida por: , con eje de rotacin que esta dado por , en

x = 1 x =5

y

x

13 xy

x

[f(x) 3]

y = 3

3k

Ejemplo resuelto regin limitada por dos funciones- eje de giro eje

Hallar el volumen del slido en revolucin de las regiones limitadas por:

eje de giro eje .

x = a x =b

y

x

f( x) g( x)

x

12 xy

42 xy

5/24/2018 Clculo II

114/205

VIR

GINIOG

OME

Z


111

Ejemplo resuelto regin limitada por dos funciones - eje de giro desfasado paralelo al eje .

1.Hallar el volumen del slido en revolucin de las regiones limitadas por:

eje de giro .

x = a x = b

y

x

f( x) +1

x

12 xy

42 x

y

g(x ) +1

y = -1

5/24/2018 Clculo II

115/205

VIR

GINIOG

OME

Z


112

Ejemplos propuestos con respuestas.

I Volumen generado por una funcin - eje de giro: eje / eje

1. Hallar el volumen del slido formado al girar la regin limitada por la funcin , al

girar alrededor del eje en [ . 2. Hallar el volumen generado al girar en el eje , el rea del primer cuadrante acotado por la

parbola y la recta

II Volumen generado por dos funciones - eje de giro eje / eje

1. Hallar el volumen del slido formado al girar la regin limitada por las grficas de = e alrededor del eje . Graficar.

2. Determinar el slido en revolucin que se genera al girar, alrededor del eje , la regin acotada

por la parbola y la recta .

3. Hallar el volumen generado al girar en torno al eje , el rea acotada por la parbola

y la recta

III Con eje desfasado: eje de giro paralelo al eje / eje

1. Calcular el volumen del slido generado al girar la regin limitada por , , en torno a la recta . Graficar

2. Calcular el volumen del slido generado al hacer girar, alrededor de la recta , la regin

acotada por las parbolas y .

3. Hallar el volumen generado al girar el rea acotada por la parbola y la recta ,

al girar alrededor de la recta .

4. Hallar el volumen generado al girar el rea que limita el eje y la parbola , en

torno a la recta .

IV Ejemplos con respuestas varios.

Hallar el volumen generado al hacer girar el rea plana dada en torno a la recta que se indica,usando el mtodo del disco.

en torno al eje en torno al eje en torno al eje

en torno al eje en torno al eje en torno al eje en torno al eje entre en torno al eje

5/24/2018 Clculo II

116/205

VIR

GINIOG

OME

Z


113

Solucin

I

II

III

IV

5/24/2018 Clculo II

117/205

VIR

GINIOG

OME

Z


114

Mtodo de los anillos cilndricos

Como alternativa al procedimiento para obtener el volumen de un slido de revolucin es elmtodo de los anillos cilndricos.

Cundo se usa?

Presenta mayores ventaja cuando la regin de giro es en torno del eje o a una recta paralela al eje

En qu se basa este mtodo?

El mtodo se basa en considerar elementos rectangulares de reas paralelas al ,eje de revolucinde esta manera al hacer girar un elemento de rectngulo representativo con respecto al eje se obtiene unacapa o anillo cilndrico. Tal capa es un slido contenido entre dos cilindros de centro y ejes comunes.

Sea una regin plana comprendida por la curva , el y las rectas ; . ejeCuando esta regin gira en torno del genera un slido de revolucin. Su volumen lo podemos eje determinar del siguiente modo:

Eje de giro Vertical (eje y)

x

y

x = a x = b

y

x x

= f(x)

= f(x)

x = a x =b

A

f(x)

x

Consideremos un de la regin plana que se hace girar en torno delrectngulo representativo eje, generando un cilindro. Donde:

x

x

f(x)

x

f(x)

x

5/24/2018 Clculo II

118/205

VIR

GINIOG

OME

Z


115

Donde: : Espesor del rectngulo del Anillo : Altura del Anillo de revolucin : Radio del Anillo de revolucin.

Calculando el volumen de este capa o cilindro representativo:

Aproximando el volumen del slido de revolucin por cilindros o capas :

Volumen del slido

Tomando el lmite , tenemos:

Volumen del slido

lim

Por lo tanto, el volumen del slido de revolucin cuando la regin que gira en torno del estaejedado por:

y como entonces

Anlogamente cuando el eje de rotacin es el el volumen del slido de revolucin se calculaejecomo:

Eje de giro Vertical (eje x)

x

yy

x x

y = d

y = c

A

x = g(y)x = g(y)y = d

y = c

Un caso especial mtodo de los anillos cilndricos:

5/24/2018 Clculo II

119/205

VIR

GINIOG

OME

Z


116

Rotacin en torno al Sea y , el volumen del slido eneje . revolucin generado, esta dado por:

xx = a x = b

y

x

y = g(x)

f(x) - g(x)

x

= f(x)

Por lo tanto, el volumen del slido en revolucin esta dado por:

Ejemplos resueltos Mtodo de los anillos - eje de giro

1.Determinar el volumen del slido en revolucin de la regin definida por: en

x = 4x =

0

y

x

f(x)

x

2xy

Ejemplo resuelto Mtodo de los anillos: Regin limitada por dos funciones- eje de giro, eje

5/24/2018 Clculo II

120/205

VIR

GINIOG

OME

Z


117

Determinar el volumen del slido en revolucin por el mtodo de los anillos de la reginlimitada por: , . Eje de giro .

x = 1x =0

y

x

x

2xy

xy

5/24/2018 Clculo II

121/205

VIR

GINIOG

OME

Z


118

Calcular el volumen del slido generado al girar la regin acotada por las grficas de y en torno al eje . Graficar.

x = 0 x =1

y

x

x

12 xy

f (x)

Calcular el volumen del slido generado al girar la regin acotada por las grficas de y en torno al eje desfasado ( ) Graficar.paralelo al eje

x = 0 x =1

x

x

12 xy

f (x)

x = -2

5/24/2018 Clculo II

122/205

VIR

GINIOG

OME

Z


119

Ejemplos propuestos con respuestas

I Volumen generado por una funcin - eje de giro: eje / eje

1.Calcular el volumen del slido en revolucin que se genera al girar la regin limitada por

con el eje . Eje de giro alrededor del eje . Graficar

2.Calcular el volumen del slido engendrado por la regin limitada por con el eje

, al girar en torno al eje en 3.Calcular el volumen del slido generado al girar la regin acotada por las grficas de con el eje , entre y en torno al eje

II Volumen generado por una o dos funcin: Con eje desfasado, eje de giro // eje / eje

Calcular el volumen del slido generado al girar, en torno de la recta , la regin limitada

por las graficas de y . Graficar.

Sea la regin limitada por la curvas ylas rectas y , gira alrededor de la recta

. Encontrar el volumen del slido generado.

Hallar el volumen generado al girar el circulo , en torno a la recta

Hallar el volumen generado cuando el rea plana acotada por y por

se hace girar

(a) en torno de

(b) alrededor .

III Ejemplos varios

Hallar el volumen generado al hacer girar el rea plana dada en torno a la recta que se indica,usando el mtodo de los anillos.

1. en torno al eje

en torno a

en torno a

en torno a

en torno al eje

en torno a

5/24/2018 Clculo II

123/205

5/24/2018 Clculo II

124/205

VIR

GINIOG

OME

Z


121

Longitud de Arco en Coordenadas Cartesianas

Longitud de Arco.

Otra aplicacin de la integral definida es el clculo de la longitud de arco de la grfica de una

funcin..

Definicin:

Sea la funcin continua y derivable en el intervalo ; , y

xo x = a x = b

AB

y = f(x)

P1

P2

P3

P

i

Pi-1

Pn

Pn-1

La porcin de curva que va desde el punto al punto , se llama . Supongamos que nuestro Arcoproblema es calcular la entre los puntos y , procedemos del siguiente modo:longitud de Arco

Dividamos el intervalos en partes, y escojamos una parte cualquiera dentro de este intervalo, por ejemplo a . Grficamente:

(xi-1, yi-1)

Pi(xi, yi)

Pi - 1

xi- xi-1= ix

yi- yi-1= iy

Podemos ver que:

Entonces:

5/24/2018 Clculo II

125/205

VIR

GINIOG

OME

Z


122

Definamos la longitud del segmento de recta de a denotado por como:

Si sumamos todos las longitudes de los segmentos rectilneos, tenemos la longitud aproximada delArco entre y .

Dado que:

Dado que:

Desarrollando:

; donde

Por lo tanto, obtenemos:

Tomando el limite cuando el nmero de divisiones es lo suficientemente grande , . Tenemos: lim lim

lim

5/24/2018 Clculo II

126/205

VIR

GINIOG

OME

Z


123

Por lo tanto la longitud de arco para una funcin del tipo , entre y , queda definida como:

Anlogamente para una curva de ecuacin , entre ; la longitud de arco queda definida por:

Ejemplos

1.Determinar la longitud de arco de la funcin definida por , en el intervalo .

Donde:

5/24/2018 Clculo II

127/205

VIR

GINIOG

OME

Z


124

2.Determinar la longitud de arco de la funcin definida por: , entre y .

x=0x

2xy

y

x=1

L

; Resolviendo por sustitucin trigonomtrica:

3.Determinar la longitud de arco de la funcin definida por: desde los puntos y

Dado que:

x=2

x

y

x=1

L

y x3

2 B 2 2,

A(1,1)

La longitud de arco es:

; Desarrollando por sustitucin simple:

5/24/2018 Clculo II

128/205

VIR

GINIOG

OME

Z


125

4.Calcular la longitud de arco de la grfica: , en el intervalo 2 .

Dado que

y

x

f xx

x

3

6

1

2

x = 1/2 x = 2

La longitud de arco es:

5.Calcular la longitud de arco de la grfica de , en el intervalo y .

Despejando en funcin de : . Por lo tanto:

yyy

x

y x 2 3 1

(0,1)

(8,5)

x = 8x = 0

La longitud de arco queda como:

5/24/2018 Clculo II

129/205

VIR

GINIOG

OME

Z


126

Ejemplos

1.Determine la longitud del segmento de recta del punto al punto 2.Encuentre la longitud de arco de la curva del origen al punto

3.Hallar la longitud de arco de la curva del donde al punto donde .

4.Determine la longitud de arco de la curva del punto al punto .

5.Calcular la longitud de arco de la curva entre y .

6.Calcular la longitud de arco de la curva , entre e .

7.Hallar la longitud de arco de entre y .

8.Hallar la longitud del arco de la catenaria desde hasta .

9.Calcular la longitud de arco de la parbola desde los puntos hasta el punto . 10.Calcular la longitud de arco de entre y 11.Determinar la longitud de arco de las siguientes funciones:

a) entre y .

b) entre y

c) entre y

d) entre y

e) entre y

5/24/2018 Clculo II

130/205

VIR

GINIOG

OME

Z


127

Solucin:

5/24/2018 Clculo II

131/205

VIR

GINIOG

OME

Z


128

Area de una superficie en revolucin

Sea una funcn contnua y derivable en el intervalo [ ] Donde no cambia de signo en el intervalo

Si hacemos girar el arco AB entre y en torno del eje (eje horizontal), el area de una superficie en revolucin generada esta dada por.

Anlogamente, Si tiene derivada contnua en el intervalo [ , con giro en (eje ejevertical) la superficie de revolucin es:

Ejemplo:

Calcular el rea de la superficie de revolucin de en el intervalo [0,1] con eje de giro eje Solucin:

5/24/2018 Clculo II

132/205

VIR

GINIOG

OME

Z


129

El radio de giro esta dado

Por cambio de variable:

Luego,

5/24/2018 Clculo II

133/205

VIR

GINIOG

OME

Z


130

Ejercicios propuestos

En los siguientes ejercicios determine la superficie de revolucin generada al girar la curva plana:

1) La curva para entre [1,2] ; giro en torno al eje

2) La curva para entre [1,2] ; giro en torno al eje

3) La curva para entre [1,8]; giro en torno al eje 4) La curva ; para entre [0,2]; giro en torno al eje

5) Un cono circular recto se genera haciendo girar la regin limitada por y en torno del eje . determinar su rea lateral.

6) Calcular el rea de la porcin de esfera generada al girar la grfica de en torno al eje 7) Se disea una lmpara haciendo girar la grfica de para

0 gira en torno al eje . Calcular el rea de la lmpara y usar el

resulado para estimar la cantidad de vidrio necesaria para fabricarla. Suponga que el vidrio tiene un espesor de 0,015 pulgadas.(ver figra)

5/24/2018 Clculo II

134/205

VIR

GINIOG

OME

Z


131

Solucin:

1) 14514527

5/24/2018 Clculo II

135/205

VIR

GINIOG

OME

Z


132

Autoevaluacin 1

1) Calcular :

a

b

2. Clcular el rea encerrada por:

en , 2 y el eje

en y el eje

3. Plantee la integral que representa el rea respecto eje X y respecto eje Y encerrada porlas curvas:

Resuelva slo una de las dos integrales.

5/24/2018 Clculo II

136/205

VIR

GINIOG

OME

Z


133

Solucin

|

5/24/2018 Clculo II

137/205

VIR

GINIOG

OME

Z


134

Por simetra

u. de a.

Por simetra

5/24/2018 Clculo II

138/205

VIR

GINIOG

OME

Z


135

) Interseccin de las curvas

Eje X

5/24/2018 Clculo II

139/205

VIR

GINIOG

OME

Z


136

Eje Y

5/24/2018 Clculo II

140/205

VIR

GINIOG

OME

Z


137

Autoevaluacin 2

1) Dada la regin formada por las curvas:

a) Usando ambos mtodos plantear la integral que representa el volumen del slidogenerado al girar la regin dada en torno a:

a1) Eje X a2) Eje Y

b) Utilizando el mtodo que estime ms conveniente, plantee la integral que representa el

volumen del slido generado al girar la regin anterior en torno a:

b1) b2)

2) Determine la longitud de arco de la siguiente funcin si pertenece al

intervalo

3) Plantee la integral que representa el rea de la superficie de revolucin que se genera al girar elarco en [ en torno a:

a) Eje X b) Eje Y

5/24/2018 Clculo II

141/205

5/24/2018 Clculo II

142/205

5/24/2018 Clculo II

143/205

VIR

GINIOG

OME

Z


140

Mtodo de los anillos

2

5/24/2018 Clculo II

144/205

VIR

GINIOG

OME

Z


141

5/24/2018 Clculo II

145/205

VIR

GINIOG

OME

Z


142

UNIDAD N3: ECUACIONES PARAMTRICAS

Conceptos:

La forma normalmente utilizada para determinar la funcin de una curva es por ecuaciones quecomprenden dos incgnitas e . Esta funciones hasta ahora la hemos visto en coordenadas cartesianas. Donde se escribe del siguiente modo:

Ecuacin rectangularun nuevo mtodo para definir una curva es introduciendo una tercera variable por ejemplo que se llama

parmetro, donde las variables e se escriben por las ecuaciones del tipo

e Ecuaciones paramtricas

estas ecuaciones se denominan . Donde cada valor de determina un valor paraecuaciones paramtricas e , respectivamente.

Grficos y Transformaciones:

Ejemplo: Grficos en ecuaciones paramtricas

1.Graficar el lugar geomtrico segn las ecuaciones paramtricas dadas por:

Donde es el parmetro.

radianes r

radianes 60 3

5/24/2018 Clculo II

146/205

VIR

GINIOG

OME

Z


143

Dibujando estos puntos:

y

x

04 yx

x y 3 939 0 695, ,

x y 2 828 2 828, ,

x y 2 000 3 464, ,

x y 0 000 4 000, ,

Mediante la eliminacin del parmetro obtener la ecuacin rectangular:

Elevamos al cuadrado ambos lados de cada ecuacin y sumando obtenemos.

sabemos que , y reordenando esta relacin: Ecuacin rectangular

Tal como la grfica lo muestra corresponde a la ecuacin de una circunferencia.

As planteada esta relacin, significa que si se dan varios valores de , y se calculan los valorescorrespondientes de e , el resultados sera una circunferencia.

2.Dibujar la curva descrita por las ecuaciones paramtricas

e

Efectuando una tabla de datos tenemos:

5/24/2018 Clculo II

147/205

VIR

GINIOG

OME

Z


144

y

xt 0

t 2t 1

t 1

t 2

t 3

Usando la eliminacin del parmetro podemos determinar la ecuacin rectangular:

e

Para:

Reemplazando en:

Por lo tanto, la ecuacin rectangular es:

Ecuacin Rectangular

Uno de los mritos de las ecuaciones paramtricas es que pueden usarse para representar grficasque son mas generales que las grficas de funciones.

Primera y segunda derivada

Sean las ecuaciones parmetricas:

La pendiente de una curva en cualquier punto cuando e estn dadas en trminos paramtricos, se puede obtener por la regla de la cadena:

Para la primera derivada:

5/24/2018 Clculo II

148/205

VIR

GINIOG

OME

Z


145

Para la segunda derivada:

Ejemplos: Determinar la ecuacin de la recta tangente y normal a la curva en el valor dado por el parmetro:

en

Solucin: La ecuacin de la recta se define como:

Donde: representa la pendiente de la ecuacin de la recta que se define como.

Luego:

y

Por lo tanto:

= =

Entonces para

La pendiente es: =1

0

0 Por lo tanto para ecuacin de la recta tangente tenemos:

0

1

5/24/2018 Clculo II

149/205

VIR

GINIOG

OME

Z


146

Para la ecuacin de la recta normal: la pendiente de la recta normal esta dada por:

entonces:

-11

la ecuacin de la recta normal es:

Ejercicios propuestosPrimera y segunda derivada

1) Dada la curva de ecuaciones parmetricas: entre

) Dada la curva de ecuaciones parmetricas:

entre

Determinar la ecuacin de la recta tangente a la curva en

Obtenga el valor del parmetro para los cuales la curva: ; , es concava hacia arriba y concava hacia abajo.

Obtenga el valor del parmetro para los cuales la curva: ; , es cncava hacia arriba y cncava hacia abajo. ) Dada la curva de ecuacin parmetrica: Determinar el valor de la curva para donde est dado por:

Determinar y para las curvas:

5/24/2018 Clculo II

150/205

VIR

GINIOG

OME

Z


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Cálculo II