Yv|x x it|t it|tux Yv|x x it|t it|tux Yv|x x it|t it|tux Yv|x x it|t it|tux Contenidos 1.Introduccin a las funciones de dos variables2.Lmites y Continuidad3.Derivadas Parciales4.Diferenciales5.Derivadas Direccionales y Gradiente6.Planos Tangentes y Rectas Normales7.Extremos de funciones de dos variables8.Bibliografa9.Enlaces relacionados

Definicin 1.1Sea D un conjunto de pares ordenados de nmeros reales. Si a cada par (x, y) de D le correspondeunnmero real f (x,y), entonces sedicequef es funcinde xe y.El conjunto D es el dominio de f y el correspondiente conjunto de valores de f ( x , y ) es el recorrido o rango de f. Paralafuncindadaporz=f(x,y),llamamosvariablesindependientesaxey, siendozlavariabledependiente.Aligualqueconlasfuncionesdeunavariable, generalmenteseusamosecuacionesparadescribirfuncionesdevariasvariables,ya menosqueserestrinjaenotrosentido,suponemosqueeldominioeselconjuntode todoslospuntosparalosquelaecuacinestbiendefinida.Porejemplo,eldominio delafuncin 2 2y y x x ) y , x ( f z + = = sesuponequeestodoelplanoxy. Generalmenteeldominioesunconjuntoquerepresentaregionesrestringidasdel plano xy. Ejemplo 1.1 Encontrar el dominio de las siguientes funciones. a) x9 y x) y , x ( f2 2 +=b) 2 2y x 4 16 ) y , x ( f =Solucin a) La funcin f est definida en todos los pares ordenados (x,y) tales que x sea distinto de cero y9 y x2 2 + . Por lo tanto, el dominio es el conjunto de todos los puntos que estn fuera del crculo9 y x2 2= + o en la circunferencia. figura 1.1 b)Lafuncinfestdefinidaentodoslospuntos(x,y)talesque16 y x 42 2 + .Es decir,elconjuntodominioestformadoportodoslospuntosalinteriordelaelipse 116y4x2 2= + , incluyendo la frontera como muestra la figura 1.2. figura 1.2 Lasfuncionesdedosvariablespuedencombinarsedelmismomodoquelasdeuna variable. Es decir, ) y , x ( g ) y , x ( f ) y , x ( ) g f ( = Suma o Diferencia ) y , x ( g ) y , x ( f ) y , x ( ) g f ( = Producto 0 ) y , x ( g ,) y , x ( g) y , x ( f) y , x ( ) g / f ( = Cuociente Lafuncincompuestadadapor) y , x ( ) g f ( o sedefinesolamentesigesuna funcin de x e y, adems f es una funcin de una nica variable. Entonces, ) ) y , x ( g ( f ) y , x ( ) g f ( = o Composicin paratodo(x,y)eneldominiodegtalqueg(x,y)esteneldominiodef.Por ejemplo, la funcin dada por 2 2y x 4 16 ) y , x ( f =puedeversecomolacomposicindelafuncindedosvariablesdadapor 2 2y x 4 16 ) y , x ( g = y la funcin de una variable dada por. u ) u ( f =Superficies De la misma forma que las funciones de una variable, puede resultar muy importantes, enloconcernienteal"comportamiento"deunafuncin dedosvariables,eldibujode su grfica. La grfica de una funcin de dos variables f es el conjunto de puntos (x,y,z) paralosquez=f(x.y)donde(x,y)esteneldominiodef.Estagrficapuede interpretarsegeomtricamentecomounasuperficieenelespacio.Enlafigura1.3 ntese que la grfica de z = f ( x . y )es una superficie cuya proyeccin sobre el plano x y es D, el dominio de f. En consecuencia, a cada punto ( x , y ) en D le corresponde unpunto ( x, y , z ) enla superficie y,alainversa, acadapunto (x , y , z )en la superficie le corresponde un punto ( x , y ) en el dominio D. figura 1.3 Ejemplo 1.2 Dibujar la grfica de la funcin 2 2y x 4 16 ) y , x ( f = . Cul es el recorrido? Solucin EldominioDimplicadoporlaecuacinquedefineafeselconjuntodetodoslos puntos (x,y) tales que0 y x 4 162 2 . Por lo tanto, D es el conjunto de todos los puntos que estn en interior o en el borde de la elipse dada por 116y4x2 2= +El recorrido de f consta de todos los valores z = f ( x , y )tales que16 z 0 . Un punto (x , y , z ) est en la grfica de f si y slo si 4 z 0 , 116z16y4x16 z y x 4y x 4 16 z y x 4 16 z2 2 22 2 22 2 2 2 2 = + + = + + = = Como vemos en la figura 1.4, la grfica de f es la mitad superior de una elipsoide. figura 1.4 Curvas de nivel Otraformadevisualizarunafuncindedosvariablesescomouncampo escalar, que asigna al punto ( x , y ) el escalar z = f ( x ,y). Un campo escalar se puede caracterizarporsuscurvasdenivelolneasdecontornoalolargodelascualesel valor de f ( x , y ) es constante. Por ejemplo, el mapa meteorolgico de la figura 1.6 muestralascurvasdeniveldeigualpresin,llamadasisobaras.Enlosmapas meteorolgicoscuyascurvasdenivelrepresentanpuntosdeigualtemperaturase llaman isotermas. Otro uso figura 1.5 Otro uso frecuentede las curvas denivel aparece en la representacin de camposde potencialelctricos,dondelascurvasdenivelrecibenelnombredecurvas equipotenciales. Los mapas de contorno se utilizan a menudo para representar regiones de la superficie terrestre, en cuyo caso las curvas de nivel representan la altura sobre el nivel del mar. Estetipodemapassellamantopogrficos.Porejemplo,lasalturasdelasmontaas quedan reflejadas en un mapa topogrfico (ver figura 1.6). figura 1.6 Un mapa de contorno describe la variacin de z con respecto a x e y por el espaciado entresuscurvasdenivel.Muchoespacioentrecurvasdenivelsignificaquezest cambiandolentamente,mientrasquecurvasdenivelmuyprximasentresidenotan unavariacinmuyrpidadez.Porotraparte,conelfindedarbuenasensacin tridimensional en un mapa de contorno es importante escoger valores de c que estn igualmente espaciados. Ejemplo 1.3 La figura 1.7 muestra el hemisferio dado por2 2y x 64 z = . Dibujar un mapa de contorno para esta superficie usando curvas de nivel correspondientes a c=0, 1, 2, ... ,8 figura 1.7 Solucin Para cada valor de c, la ecuacin f ( x , y ) = c es un crculo (o un punto) en el plano x y. As cuando c=0 la curva de nivel es 64 y x2 2= +crculo de radio 8 La figura 1.8 muestra las nueve curvas de nivel pedidas para el hemisferio. figura 1.8 Ejemplo 1.4 En la figura 1.9se muestra el hiperboloide parablico dado por2 2x y z =Dibujar un mapa de contorno para esta superficie. figura 1.9 Solucin Para cada valor de c, hacemos f ( x , y ) =c y dibujamos la curva de nivel resultante en el plano x y . Para esta funcin, cada una de las curvas de nivel (c distinto de cero) es unahiprbolacuyasasntotassonlasrectasx y = .Sic0, el eje transversal es vertical. As, la curva de nivel para c=4 viene dada por 14x4y2 2= Hiprbola con eje transversal vertical Si c=0, la curva de nivel es la cnica degenerada que representa las asntotas que se cortan, como se ve en la figura 1.10. figura 1.10 Elmapatopogrficoesunarepresentacindelasuperficieterrestremediantecurvas denivelparamostrarelrelievetopogrficodeunaregin.Cadalnearepresentala interseccin entre la tierra y una altitud determinada por encima o por debajo del nivel delmar.Suelenincluirsetambinotrosrasgosmorfolgicoscomolavegetacin,los suelos y todos los rasgos creados en el paisaje por los esfuerzos humanos. Ejercicioa.-Describir la regin D que corresponde, en el plano xy, al dominio de la funcin dada. Hallar el recorrido de la funcin. 1. 2 2y x 4 z =2. 2 2y 4 x 4 z =3.z = arcsen (x + y ) 4. y xy x) y , x ( f+=5. 2 2y x ) y , x ( f + =6.) y x 4 ( Ln ) y , x ( f =b.-Graficar las curvas de nivel de las siguientes superficies: 1. 2 2y x 1e ) y , x ( f =2. 2 2y x 1e ) y , x ( f+ =3. x yx) y , x ( f2=4.) x y ( Ln ) y , x ( f2 =c.-Dibujar la grfica de las siguientes superficies cuyas ecuaciones son: 1. 2 2y x 4 ) y , x ( f =2. 12y 9 x 16 144) y , x ( f2 2 =3.y 3 x 2 6 ) y , x ( f =4. 2 2y x ) y , x ( f + =d.-Describirlascurvasdenivelparacadafuncinconlosvaloresdecquese indican.1. 2 2y x 25 ) y , x ( f = , c=0,1,2,3,4 y 52. 2 2y xx) y , x ( f+= , c= 1/2,1,3/2 y23.||

\|=xyarctg ) y , x ( f , c=0,/6,/3 y5 /64. y xy x) y , x ( f+= , c=0,1,2 y3Ejercicios 1.LatemperaturaT,engradosCelsius,encualquierpunto(x,y)deunalmina metlica circular de 10 metros de radio es 2 2y 75 , 0 x 75 , 0 600 T = donde x e y se miden en metros. Dibujar algunas de las curvas isotermas.2.Unacajarectangularsintapasuperiormidexcentmetrosdelargo,y centmetrosdeanchoyzcentmetrosdealto.ExpresarelcostoCde construccin de esta caja en funcin de x, y, z, si el material de la base cuesta $750porcentmetrocuadradoyeldeloslaterales$400porcentmetro cuadrado.3.Undepsitodepropanosehaconstruidoadosandodossemiesferasalos extremos de un cilindro circular recto. Expresar su volumen V como funcin del radio R y de la longitud L del cilindro.4.Qu significa isobaras?5.Qu significa isotermas?6.Qu es un mapa topogrfico?Lmites y Continuidad En este captulo discutiremos las nociones de lmite y continuidad para funciones de dos variables. Pero antesnecesitamosdefiniralgunostrminos preliminares.Muchadeestaterminologafue introducidaporelmatemticoalemnKarl Weierstrass(1815-1897).Suformadetratar rigurosamente los lmites y otros temas del clculo lehandadolareputacinde"padredelanlisis moderno".Weierstrassfueunbuenmaestro.Uno desusestudiantesmsconocidosfuela matemticarusaSonyaKovalevsky(1850-1891). Kovalevskyaplicmuchasdelastcnicasde Weierstrass a problemas de la fsica matemtica, y seconvirtienunadelasprimerasmujeresenganarreputacinporsus investigaciones matemticas. Entornos en el plano Comenzamosnuestroestudiodellmitedeunafuncindedosvariablesdefiniendoel anlogobidimensionaldeunintervaloenlarectareal.Usandolafrmuladela distanciaentredospuntos(x,y)y) y , x (0 0delplano,definimoslabolacon centro en) y , x (0 0 y radio , y que denotaremos por: { } < + =2 20 0y x / ) y , x ( ) y , x ( Bcomo se indica en la figura 2.1. Cuando la frmula contiene la desigualdad menor, Karl Weierstrass Si todos los puntos de R son puntos interiores, entonces decimos que R es una regin abierta.Unpunto) y , x (0 0esunpuntofronteradeRsicadadiscoabiertocentradoen ) y , x (0 0 contiene puntos del interior de R y puntos del exterior de R. Por definicin, unaregindebecontenersuspuntosinteriores,peronotieneporquecontenersus puntosfrontera.Siunaregincontienetodossuspuntosfrontera,entoncesdecimos quelareginescerrada.Unareginquecontieneaalgunosperonoatodossus puntos frontera no es ni abierta ni cerrada. Limites Definicin 1.2Sea f una funcin de dos variables definida, con la posible excepcin de) y , x (0 0, en un disco abierto centrado en) y , x (0 0, y sea L un nmero real. Entonces L ) y , x ( f Lim) y , x ( ) y , x (0 0= si para cada >0 existe un >0 tal que < L ) y , x ( f , siempre que < + >0 existe una bola ) b , a ( B (a , b) tal que < L ) y , x ( fsiempre que (x , y) sea distinto de (a , b) y est en el entorno. Primero, observamos que de < + ,ylasuperficierepresentadaestsobreelplanoxy, comosemuestraenlafigura2.6.Fueradelaparbola, 2x y < ,ylasuperficieest por debajo del plano xy. figura 2.5 figura 2.6 Ejercicios 1.Calcularellmite(siexiste)def(x,y)cuando(x,y)seaproximaa(0,0)alo largo del camino especificado a)2 42y 4 xy x 2 , 0) y , x ( f+= , Caminos y=x e2x y = b)sen y 3 x 2 ) y , x ( f + =Caminos y=0 e y=x 2) Demostrar que [ ] d c ) y , x ( g ) y , x ( f Lim) y , x ( ) y , x (0 0+ = +donde f( x , y ) tiende a c y g( x , y ) tiende a d cuando (x , y ) se aproxima a ( a , b). 3)Examinandoloslmitesdefcuando(x,y)seaproximaa(0,0)alolargodela parbola 2x k y = paraciertosvaloresdek,demostrarquelafuncin y xx) y , x ( f42+=no tiene lmite cuando (x , y) tiende a (0,0). 4) Considerando diferentes lneas de aproximacin, probar que las siguientes funciones no tienen lmite cuando (x , y) se aproxima a (0,0). a)y xy x) y , x ( f+=b)2 42 2y xy x) y , x ( f+= c)2 2y xx) y , x ( f+=d) y xy x) y , x ( f2 2+=Derivadas parcialesEnlasaplicacionesdelasfuncionesdevariasvariablessurgeunapregunta:Cmo serafectadalafuncinporunavariacindeunadelasvariablesindependientes?. Podemosresponderestainterroganteconsiderandocadavezunavariable independiente.Porejemplo,paradeterminarelefectodeuncatalizadorenun experimento,unqumicollevaraacaboelexperimentovariasvecesusando cantidades distintas de catalizador, pero manteniendo constantes otras variables, tales comolatemperaturaylapresin.Seguimosunprocedimientoparecidopara determinarlarazndecambiodeunafuncinfconrespectoaunadesusvariables independientes.Estoes,hacemosladerivadadefcadavezconrespectoauna variableindependiente,manteniendoconstanteslasdems.Esteprocesoseconoce comoderivadaparcial,ysuresultadoserefierecomoladerivadaparcialdefcon respecto a la variable independiente elegida. Jean Le Rond dAlembert La introduccin de las derivadas parciales tard varios aos en seguir a los trabajos de NewtonyLeibniz.Entre1730y1760,LeonhardEuleryJeanLeRond dAlemb L ) y , x ( f Lim) y , x ( ) y , x (0 0=ert(1717-1783)publicaronseparadamentevarios artculosdedinmica,enloscualesestablecierongranpartedelateoradelas derivadasparciales.Estosartculosusabanfuncionesdedosomsvariablespara estudiar problemas que trataban del equilibrio, el movimiento de fludos y las cuerdas vibrantes. Derivadas parcialesDefinicin 3.1 Si z=f(x,y), entonces las derivadas parciales primeras de f con respecto a x y a y son las funciones fx y fy respectivamente, definidas mediante h) y , x ( f ) h y , x ( fLim ) y , x ( fh) y , x ( f ) y , h x ( fLim ) y , x ( f0 hy0 hx += += siempre y cuando existan los lmites. Esta definicin indica que si z=f(x,y), entonces para calcular fx consideramos que y es constanteyderivamosconrespectoax.Deformaanloga,paraobtenerfy consideramos que x es constante y derivamos con respecto a y. Ejemplo 3.1 Calcular fx y fy para la funciny x 2 y x x 3 ) y , x ( f3 2 2+ =Solucin Considerando y constante y derivando con respecto a x, resulta y x 6 y x 2 3 ) y , x ( f2 2x+ =Considerando x constante y derivando con respecto a y, resulta 3 2yx 2 y x 2 ) y , x ( f + =Existennotacionesdiferentesparalasderivadasparcialesprimeras.Acontinuacin damos una lista de las ms comunes: Si z=f(x,y), las derivadas parciales primeras fx y fy se denotan yzz ) y , x ( fyfxzz ) y , x ( fxfy yx x= = == = = Ejemplo 3.2 Paralafuncin y x2e x ) y , x ( f = encontrarfxyfyyevaluarcadaunadeellasenel punto (1, ln2) Solucin Como y x y xx2 2e ) y x 2 ( e x ) y , x ( f + = laderivadaparcialdefconrespectoaxen (1, ln2) es 2 ) 2 ( Ln 4 e ) ) 2 ( Ln 2 ( e 1 ) ) 2 ( Ln , 1 ( f) 2 ( Ln ) 2 ( Lnx+ = + =Como y 2 2x 3 2 y xye x ) x ( e x ) ) y , x ( f = = laderivadaparcialdefconrespectoayen (1, ln2) es 2 e ) 1 ( e 1 ) ) 2 ( Ln , 1 ( f) 2 ( Ln ) 2 ( Lny= = =Lasderivadasparcialesdeunafuncindedosvariables,z=f(x,y),tienenuna interpretacingeomtricatil.Siy=c,entoncesz=f(x,c)representalacurvaformada porlainterseccindelasuperficiez=f(x,y)conelplanoy=c,comomuestralafigura 3.1. Por lo tanto, h) c , x ( f ) c , h x ( fLim ) c , x ( f0 00 h0 x += figura 3.1 representalapendientedeestacurvaenelplanoy=c(observarquetantolacurva como la tangente pertenecen al plano y=c). De forma similar, h) c , x ( f ) h y , c ( fLim ) y , c ( f0 00 h0 y += representa la pendiente de la curva obtenida por la interseccin de z=f(x,y) y el plano x=c como se observa en la figura 3.2. figura 3.2 Se dice que los valores de fx y fy en el punto (x0,y0,z0) denotan la pendiente de la superficie en las direcciones x e y respectivamente. Ejemplo 3.3 Encontrar la pendiente de la superficie dada por825y2x) y , x ( f22+ =en el punto (1/2,1,2) en las direcciones x e y. Solucin En la direccin x, la pendiente viene dada por 211 ,21f x ) y , x ( fx x =||

\| =En la direccin y, la pendiente viene dada por 2 1 ,21f y 2 ) y , x ( fy y =||

\| =Independientementedecuntasvariablesestninvolucradas,lasderivadasparciales pueden interpretarse como razones de cambio. figura 3.3 figura 3.4 Derivadas parciales de orden superior Lomismoquesucedeconlasderivadasordinarias,esposibleencontrarderivadas parciales de una funcin de varias variables de rdenes segundo, tercero y superiores, supuesto que tales derivadas existen. Denotamos las derivadas de orden superior por suordendederivacin.Porejemplo,haycuatroformasdistintasdeencontraruna derivada parcial segunda de z=f(x,y). 1.Derivar dos veces respecto de x: x x 22fxfxfx==|||

\| 2. Derivar dos veces respecto de y: y y 22fyfyfy==|||

\| 3. Derivar primero con respecto a x y luego con respecto a y: y x2fx yfxfy= =|||

\| 4. Derivar primero con respecto a y y luego con respecto a x: x y2fy xfyfx= =|||

\| Loscasosterceroycuartoseconocencomoderivadasparcialescruzadas.Sedebe observarquehaytiposdenotacinparalasderivadasparcialescruzadas,segn convenio se utilice para indicar el orden de derivacin. As, la parcial y x2fx yfxfy= =|||

\|Orden de derecha a izquierda indica que la primera derivacin es con respecto a x, pero la parcial (fy)x=fyx Orden de izquierda a derecha indicaquelaprimeraderivacinesconrespectoay.Observarqueconambas notaciones se deriva primero respecto de la variable que est ms cercana a f. Ejemplo 3.4 Encontrarlasderivadasparcialessegundasde 2 2 2y x 5 y 2 y x 3 ) y , x ( f + = y calcular el valor de fxy(-1,2) Solucin Primerocalculemoslasderivadasparcialesprimerasconrespectoaxyay: 2 y x 6 y x 10 ) y , x ( f , y x 10 y 3 ) y , x ( f2y2 2x + = + =Y derivando cada una de estas con respecto a x y a y, resulta y x 20 y 6 f ; y x 20 y 6 ) y , x ( fx 10 x 6 f ; y 10 ) y , x ( fx y y x2y y2x x+ = + =+ = = Finalmente, fxy(-1,2)=12-40=-28 Seobservaquelasderivadasparcialescruzadassoniguales.Estosucede frecuentemente, como se indica en teorema siguiente. Teorema 3.1 Si f es una funcin de x e y tal que f, fx, fy, fxy y fyx son continuas en la regin abierta R, entonces para cada (x,y) en R, ) y , x ( f ) y , x ( fx y y x=Ejemplo 3.5 Probarquelasderivadasparcialescruzadassonigualesparalafuncin ) y x ( Ln e y ) y , x ( fx+ =Solucin Las parciales primeras son, y1e ) y , x ( f ;x1e y ) y , x ( fxyxx+ = + =Y las parciales cruzadas son,) y , x ( f e ) y , x ( fx yxy x= = Ejercicios 1. Encontrar las derivadas parciales primeras con respecto a x e y 1.5 y 3 x 2 ) y , x ( f + =2.7 y 3 x ) y , x ( f2 2+ =3.) y x ( Ln ) y , x ( f2 2+ =4. |||

\|+=y xy xLn ) y , x ( f5. |||

\|+=2 2y xy x) y , x ( f6. 2 2y x ) y , x ( f + =7.)xy 4y 2x) y , x ( f2 2+ = 2.Evaluar fx y fy en el punto que se indica 1.) 2 , 2 ( ,xyarctg ) y , x ( f |||

\|=2.( ) ) 0 , 1 ( , y x arcsen ) y , x ( f =3.) 2 , 2 ( ,y xy x) y , x ( f |||

\|=4.) 0 , 1 ( ,y xy x 4) y , x ( f2 2|||

\|+=3. Encontrar las segundas derivadas parciales f xx, fyy, f xy y fyx1. 2 2y 3 y x 2 x ) y , x ( f + =2. 4 2 2 4y y x 3 x ) y , x ( f + =3. |||

\|=xyarctg ) y , x ( f4. |||

\|=y xy x) y , x ( f d.- Demostrar que fxy=fyx1. 2 2 3y x 3 x ) y , x ( f + =2.) y x ( Ln ) y , x ( f =3. 2 2y x 9 ) y , x ( f =4. x ye y e x ) y , x ( f + =5. 2ye x ) y , x ( f=6.) y ( sec x ) y , x ( f =e.-Verificar que la funcin satisface la ecuacin de Laplace 0yzxz2222=+ 1.y x 5 z =2.( ) ) x ( Sen e e21zy y =3. |||

\|=xyarctg z4.) y ( Sen e zx=f.-Utilizarladefinicinmediantelmitesdelasderivadasparcialesparaencontrar fx(x,y) y fy(x,y) 1.y 3 y x 5 z + =2. |||

\|+=y x1z3.y x z + =4. 2 2y y x 2 x z = Evaluacin 1)SeNelnmerodecandidatosaunauniversidad,peselcostodealimentaciny alojamiento y t el precio de la matrcula. Supongamos que N es una funcin de p y de t talqueNp