Calculo III-tema 3

Semestre

3-2009 Jos Luis Quintero Octubre 2009

TEMA 3

INTEGRALES DOBLES Y

TRIPLES Y SUS APLICACIONES

Clculo III (0253)

Semestre 3-2009

Integrales

Dobles y Triples

Prof. Jos Luis Quintero U.C.V. F.I.U.C.V. CLCULO III (0253) - TEMA 3

Las notas presentadas a continuacin tienen como nico fin, el de prestar apoyo al

estudiante y facilitar su entendimiento en el tema de integrales dobles y triples y sus

aplicaciones.

La gua contempla un pequeo resumen de la teora correspondiente que sirve de

repaso a los contenidos tericos que componen el tema. Se presentan ejercicios resueltos y

propuestos, algunos son originales, otros se han tomado de guas redactadas por profesores,

tambin hay ejercicios tomados de exmenes y de algunos textos. Se ha tratado de ser lo

ms didctico posible y se espera prestar un apoyo a la enseanza del Clculo III en

Ingeniera.

Agradezco las observaciones y sugerencias que me puedan hacer llegar en la mejora

del presente material, las mismas pueden ser enviadas a la siguiente direccin de correo:

[email protected].

INDICE GENERAL Integrales

Dobles y Triples


3.1. La integral doble

3.2. Propiedades de la integral doble

3.3. Clculo de la integral doble

3.4. Cambio de variables en la integral doble

3.5. Momentos y centro de masa

3.6. Momento de inercia

3.7. Ejercicios resueltos

3.8. La integral triple

3.9. Cambio de variables en la integral triple

3.10. Coordenadas cilndricas

3.11. Coordenadaas esfricas

3.12. Aplicaciones de las integrales triples

3.13. Ejercicios resueltos

3.14. Ejercicios propuestos

246

248

249

251

255

257

258

273

275

275

277

279

282

296

LA INTEGRAL DOBLE Integrales

Dobles y Triples Pg.: 246 de 305


3.1. LA INTEGRAL DOBLE

Sea F una regin de rea A del plano xy, F incluye su frontera (Regin Cerrada).

Subdividimos al plano xy en rectngulos mediante rectas paralelas a los ejes de coordenadas

(figura 1). Partiendo de algn lugar conveniente (tal como el extremo superior izquierdo de F),

numeramos sistemticamente todos los rectngulos que estn dentro de F. Supongamos que

hay n de tales rectngulos y los designamos con r1, r2,...,rn.

Figura 1. Intuicin geomtrica del rea para la integral doble

Se utilizan los smbolos A(r1), A(r2),...., A(rn) para las reas de estos rectngulos. El

conjunto de los n rectngulos {r1, r2,...., rn} se llama una subdivisin de F. La norma de la subdivisin que generalmente se indica con , es la longitud de la diagonal del mayor rectngulo de la subdivisin . Suponga que z f(x,y)= es una funcin definida para todo (x,y)

de la regin F. La definicin para la integral doble de f sobre la regin F es anloga a la

definicin de integrales para funciones de una variable. Se elige un punto arbitrario en cada

uno de los rectngulos de la subdivisin , designando las coordenadas del punto en el rectngulo ri con (i,,i). Ahora formamos la suma:

f(1,1). A(r1) + f(2,2). A(r2) + ...... + f(n,n) A(rn).




En forma compacta

n

i i i

i 1

f( , )A(r )

=

. (1)

Esta suma es una aproximacin a la integral doble que se definir; y se denomina

suma integral. Las sumas tales como (1) pueden formarse para subdivisiones con cualquier

norma positiva y con el isimo punto (i,i) elegido en forma arbitraria en el rectngulo ri.

Definicin 1. n

i i ini 1

lm f( , )A(r ) L+

=

= si dado un

> 0; > 0/ n i i ii 1 f( , ).A(r ) L= < para toda subdivisin con < y para todas las elecciones posibles de los puntos (i,i) en los rectngulos ri. Puede demostrarse que si el nmero L existe entonces debe ser nico.

Definicin 2. Si f est definida en una regin F y el nmero L, definido anteriormente, existe,

se dice que f es integrable sobre F, y se escribe:

F

f(x, y)dA . A est expresin se le llamar tambin integral doble de f sobre F.

La integral doble tiene una interpretacin geomtrica como volumen de un slido. Cada

trmino de la sumatoria (1) representa el volumen de un cuerpo elemental de base (ri) y altura i ih f( , )= . Siendo z f(x,y)= una funcin continua en el dominio cerrado representado por la regin F, la sumatoria (1) tiene un lmite si n tiende a infinito. Siendo este lmite

siempre el mismo, cualquiera sea el modo de la divisin del dominio de los elementos ri, y la seleccin del punto de coordenadas (i, i) en los dominios parciales ri. Este lmite se llama integral doble de la funcin f(x,y) sobre F y si f(x,y) 0, la integral doble es igual al volumen del cuerpo limitado por la superficie z f(x,y)= , el plano z 0= y la superficie cuyas

generatrices son paralelas al eje 0z a travs de la frontera de F. (figura 2)

F

V(s) f(x,y)dA= , siendo V(s) el volumen del slido definido por (x,y) F^ 0 z f(x,y).




Figura 2. Intuicin geomtrica del volumen para la integral doble

3.2. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DOBLE

Se enunciarn varias propiedades de las integrales dobles en analoga con las

propiedades de la integral definida de funciones de una variable.

a. Si c es un nmero y f es integrable sobre una regin cerrada F, entonces c.f es integrable

y

F F

c.f(x, y)dA c f(x,y)dA= . b. Si f y g son integrables sobre una regin cerrada F, entonces

F F F

f(x, y) g(x,y) dA f(x,y)dA g(x,y)dA+ = + . c. Suponga que f es integrable sobre una regin cerrada F y m f(x,y) M (x,y) F

entonces si A(F) designa el rea de la regin F, tenemos

F

m.A(F) f(x,y)dA M.A(F) .

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DOBLE

Integrales Dobles y Triples Pg.: 249 de 305


d. Si f y g son integrables sobre F y f(x,y) g(x,y) (x,y) F, entonces

F F

f(x, y)dA g(x,y)dA e. Si se hace una particin de la regin cerrada F en las regiones 1F y 2F ; es decir

1 2F F = y 1 2F F F = y si f(x,y) es continua en F se tiene

F F F1 2

f(x,y)dA f(x,y)dA f(x,y)dA= +

3.3. CLCULO DE LA INTEGRAL DOBLE

La definicin de integral doble no es muy til para la evaluacin en cualquier caso

particular. Naturalmente, puede suceder que la funcin f(x,y) y la regin F sean simples, de manera que el lmite de la suma (1) pueda calcularse directamente. Sin embargo, en general

no se pueden determinar tales lmites. Como en el caso de las integrales simples, conviene

desarrollar mtodos simples y de rutina para determinar el valor de una integral doble dada. Sea F en rectngulo cuyos lados son x = a, x = b, y = c, y = d (ver figura 3).

Figura 3. Intuicin geomtrica de la definicin de integral doble

Se supone que z = f(x,y) es continua en cada (x,y) F. Se forma la integral simple con

respecto a x

CLCULO DE LA INTEGRAL DOBLE



b

a

f(x, y)dx donde se mantiene fijo y al realizar la integracin. Naturalmente, el valor de la integral

anterior depender del valor utilizado para y o sea que se puede escribir:

b

a

A(y) f(x,y)dx= . La funcin A(y) est definida para c y d y se puede demostrar que si f(x,y) es continua en F entonces A(y) es continua en [c,d].

Se puede calcular la integral de A(y) y se escribe mediante la forma dada por la integral

d d b

c c a

A(y) A(y)dy f(x,y)dx dy = =

. (2)

Se podra haber fijado primero x, luego formar la integral

d

c

B(x) f(x,y)dy= entonces

b b d

a a c

B(x)dx f(x,y)dy dx =

. (3)

Observe que las integrales se calculan sucesivamente por lo que reciben el nombre de

integrales iteradas. En (2) se integra primero con respecto a x (considerando y constante) y

luego con respecto a y; en (3) se integra utilizando un orden inverso. Se pueden definir las integrales iteradas sobre regiones F limitadas por curvas.

Ejemplo 1. Dada la funcin f(x,y) xy= la regin triangular F limitada por las rectas de

ecuaciones y 0, y 2x, x 2= = = , halle los valores de ambas integrales iteradas.

Solucin.

Integrando respecto a y primero se tiene:

CLCULO DE LA INTEGRAL DOBLE



2 2x 2 22x2 3

00 0 0 0

xy 4xxydydx dx dx 8

2 2

= = =

. Integrando en x se tiene:

4 2 4 422 3

y/20 y/2 0 0

yx yxydxdy dy 2y dy 8

2 8

= = =

.

Ejemplo 2.

a.

3 2 3 2 3 322 2 22 2 2

10 1 0 1 0 0

x y x 27x ydydx x ydy dx dx 2x dx

2 2 2

= = = =

.

b.

2 3 2 3 2 2332 2

01 0 1 0 1 1

yx 27x ydxdy x ydx dy dy 9ydy

3 2

= = = =

.

Ejemplo 3. Halle el volumen del slido S que est limitado por 2 2x 2y z 16,+ + = los planos

x 2,= y 2= y los tres planos coordenados.

Solucin.

2 22 2

0 0

V (16 x 2y )dxdy 48.= =

Ejemplo 4. Evale

D

(x 2y)dA,+ donde D es la regin limitada por las parbolas 2y 2x= , 2y 1 x= + .

Solucin.

21 1 x

21 2x

32(x 2y)dydx .

15

+

+ =

3.4. CAMBIO DE VARIABLES EN LA INTEGRAL DOBLE

Sean S y T dos regiones de 2R . Sea F : T S una aplicacin biyectiva definida por F(u,v) (x(u,v), y(u,v))= , esto es, por el par de funciones

CAMBIO DE VARIABLES EN LA INTEGRAL DOBLE



x x(u,v)y y(u,v)

=

=.

La transformacin inversa F 1 : S T est dada por el par de funciones

u u(x,y)v v(x,y)

=

=.

Bajo ciertas hiptesis (de continuidad y diferenciabilidad) se verifica la siguiente frmula de transformacin para integrales dobles

S T

(x, y)f(x,y)dA f[x(u,v), y(u,v)] dA

(u,v)

=

, donde

(x,y)(u,v)

indica el jacobiano de la transformacin F, es decir el determinante:

x x(x,y) u vJ(u,v)(u,v) y y

u v

= =

.

Las hiptesis de continuidad y derivabilidad que se exigen son: a. Las funciones x(u,v), y(u,v) son continuas y tienen derivadas parciales continuas en T. b. J(u,v) 0 en todo punto (u,v) T.

c. f(x,y) es continua sobre S.

Cambios de variables frecuentes: a. Coordenadas polares:

x r cos( )y rsen( )

=

= , J r=

b. Transformaciones lineales:

x au bv

, J ad bc.y cu dv

= +=

= +

Se supone ad bc 0.




Ejemplo 5. Calcule

R

2dA

x , donde R es la regin del primer cuadrante limitada por las curvas de ecuaciones

y ln(x) , y 1 ln(x) , y 2 ln(x) , y 1 ln(x)= = + = = .

Solucin.

Cambio de variables: u y ln(x) , v y ln(x)= = + .

Por lo tanto,

(v u)

2 u vx e , y2

+= = .

v u v ux x v u1 12 2u v 1 22 22y y 1 1

u v 2 2

e eJ(u,v) e

= = = . u u 1x y xv v 1

xx y

1 2J(x,y)

x1

= = = .

Nuevas ecuaciones: u 0 , u 1 , v 2 , v 1= = = = .

1 2

0 1

dvdu 1=

.

Ejemplo 6. Calcule

2 2

S

x y dxdy,+ donde S es el dominio del plano definido por las condiciones

2 2 2 2x y 9 , x y 16+ + .

Solucin.

Cambio a coordenadas polares:

2 2 2

S T

74x y dxdy r drd ,

3pi

+ = = donde

{ }T (r, ) /3 r 4,0 2= pi .

Ejemplo 7. Usando integrales dobles, encuentre la regin encerrada por la curva de ecuacin polar r 1 cos( )= + que es exterior a la curva de ecuacin polar r 1= .

Solucin.

Grfico (ver figura 4).




Figura 4. Representacin grfica de la regin del ejemplo 7

1 cos( )2 2 22 2

0 1 0 0

22

0

REA 2 rdrd (1 cos( )) 1 d 2cos( ) cos ( ) d

2cos( ) cos ( ) d 2 .4

pi pi pi+

pi

= = + = +

pi = + = +

Ejemplo 8. Plantee la integral

= 3 3R

I x y dA

eliminando las barras de valor absoluto, donde R es la regin triangular de vrtices ( 1, 1) ,

(2,2) y (0,2).

Solucin. 3 3

3 33 3

x y si (x 0 y 0) (x 0 y 0)x y

x y si (x 0 y 0) (x 0 y 0)

=

(ver figura 5)

0 y 2 0 2 y

3 3 3 3 3 3

(y 2) (y 2)1 0 0 03 3

I x y dxdy x y dxdy x y dxdy

= +




Figura 5. Representacin grfica de la regin del ejemplo 8

3.5. MOMENTOS Y CENTRO DE MASA

Suponga que una lmina ocupa una regin R del plano xy y que su densidad viene dada por la funcin continua (x,y) para todo (x,y) en R. Se define la masa de la lmina mediante la integral doble

R

m (x,y)dA.=

Los momentos de la lmina respecto del eje x y el eje y respectivamente, se definen mediante las integrales dadas por

x y

R R

M y (x,y)dA , M x (x,y)dA.= = Las coordenadas (x,y) del centro de masa de la lmina vienen dadas por

My Mx(x,y) , .

m m

=

MOMENTOS Y CENTRO DE MASA



Ejemplo 9. Halle el centro de masa de una lmina triangular con vrtices (0,0), (1,0) y (0,2) si la funcin de densidad es (x,y) 1 3x y. = + +

Solucin.

1 2 2x

0 0

8m (1 3x y)dydx

3

= + + = ,

1 2 2x

y0 0

M x(1 3x y)dydx 1

= + + = ,

1 2 2x

x0 0

11M y(1 3x y)dydx

6

= + + = . 3 11

(x,y) , .8 16

=

Ejemplo 10. Una lmina tiene la forma de la regin del plano xy limitada por las curvas 2y 2x,= 2y 8x,= xy 3,= xy 9= .

Calcule la masa de la lmina si la densidad en cada punto (x,y) de ella est dada por (x,y) xy = .

Solucin.

Cambios de variable:

2u y / x , v xy= =

2u u y 2y 2 2 2x y y 2y 3y2 xx x x xv vx y

(u,v) 1J(x,y) 3u J(u,v) .

(x,y) 3uy x

= = = = = = =

Regin actual (ver figura 6)

Figura 6. Regin actual del ejemplo 10

Regin nueva (ver figura 7)

MOMENTOS Y CENTRO DE MASA



Figura 7. Regin nueva del ejemplo 10

9 8

3 2

1 vm dudv 24ln(2).

3 u= =

3.6. MOMENTO DE INERCIA

El momento de inercia (tambin llamado segundo momento) de una partcula de masa m alrededor de un eje se define como 2mr , donde r es la distancia de la partcula al eje. El momento de inercia de un cuerpo es considerado como una medida de la resistencia a girar

cuando acta en l una fuerza de rotacin. En particular si el eje de giro es el eje X o el eje Y entonces el momento de inercia respecto al eje X o al eje Y es respectivamente

2 2x y

R R

I y (x,y)dA , I x (x,y)dA= = .

La suma de estos dos momentos se llama momento polar de inercia y se denota como 0I . As se tiene que

2 20 x y

R

I I I (x y ) (x,y)dA= + = + ,

MOMENTO DE INERCIA Integrales



donde 0I tambin es el momento de inercia respecto del eje z.

Ejemplo 11. Una lmina tiene la forma de la regin limitada por 2 2y x , y 2 x= = y su

densidad es 2(x,y) x . = Halle los momentos x y 0I , I , I .

Solucin.

21 2 x2

21 x

8m x dydx

15

= = ,

21 2 x4

y21 x

8I x dydx

35

= = ,

21 2 x2 2

x21 x

1574I y x dydx

945

= = , 0 x y1790

I I I945

= + = .

3.7. EJERCICIOS RESUELTOS

1. Al plantear una integral doble sobre una regin plana R, se obtuvo la suma de integrales

iteradas

1 2x 6 5 2x 6

3 2x 6 1 x 1

f(x,y)dydx f(x,y)dydx + +

+

+ . Dibuje la regin R y exprese la integral doble cambiando el orden de integracin utilizado.

Solucin.

4 y 1

22 (y 6)/2

f(x,y)dxdy+

. Grfico (ver figura 8)

Figura 8. Grfica de la regin del ejercicio 1

EJERCICIOS RESUELTOS Integrales



2. La integral doble sobre una regin S del plano xy viene dada por 2 2x

20 x

I xydydx= . a. Grafique la regin de integracin.

Solucin.

Grfico (ver figura 9)

Figura 9. Grfica de la regin S del ejercicio 2

b. Exprese I en coordenadas polares.

Solucin.

Ecuaciones polares: y 2x rsen( ) 2.r cos( ) arctg(2)= = =

2 2 2 2 r 0y x rsen( ) r cos ( ) r r cos ( ) sen( ) 0r tg( )sec( )

= = = = =

arctg(2) tg( )sec( )3

0 0

I r cos( )sen( )drd

= . c. D una interpretacin de lo que calcula I.

Solucin. Calcula el volumen de un slido cuya tapa es la superficie z xy= y cuya base es la

regin S y con una superficie lateral cilndrica.

3. Sea

21 x 2 x 2 4 x

21 2 1 x 1 0 2 0

I xydydx xydydx xydydx

= + + . a. Plantee I en el orden dxdy.

Solucin.

Dibujo de la regin de integracin (ver figura 10)




2 21 2 4 y 2 4 y

20 1 y 1 2 y

I xydxdy xydxdy

= +


b. Calcule el valor de I.

Solucin.

21 2 4 y 1 2 1 22 2 2

12 00 1 y 0

2 22 4 y 2 2 2 42

21 2 y 1 2 1 2

1 2

4 y 1 y 3y 3I xydxdy y dy

2 4 8

4 y y y 7 9I xydxdy y dy y 1

2 4 16 16

3 9 15I I I

8 16 16

+

= = = =

= = = = =

= + = + =

4. La integral doble sobre una regin simtrica R del plano, est dada por

23 /2 3x 3/2 3x 3 3 /2 9 x2 2 2 2 2 2

21/2 1 x 3 /2 x/ 3 3/2 x/ 3

2 x y dydx x y dydx x y dydx

+ + .

a. Dibuje la regin de integracin completa.

Solucin.

Intersecciones: (ver figura 11)

2 2 2 2 2 3 31 1 12 2 2 2 2y 3x , x y 1 . x 3x 1 4x 1 x ( , ) ; ( , )= + = + = = = .

2 2 2 2 2 3 31 1 12 2 2 2 23y x , x y 1 . y 3y 1 4y 1 y ( , ) ; ( , )= + = + = = = .




2 2 2 2 2 3 3 3 33 3 32 2 2 2 2y 3x , x y 9 . x 3x 9 4x 9 x ( , ) ; ( , )= + = + = = = .

2 2 2 2 2 3 3 3 33 31 32 2 2 2 23y x , x y 9 . y 3y 9 4y 9 y ( , ) ; ( , )= + = + = = = .


b. Exprese la integral cambiando el orden de integracin.

Solucin.

23 /2 3y 3/2 3y 3 3 /2 9 y2 2 2 2 2 2

21/2 1 y 3 /2 y/ 3 3/2 y/ 3

2 x y dxdy x y dxdy x y dxdy

+ + .

c. Calcule la integral usando coordenadas polares.

Solucin.

Transformaciones: 2 2x y 1 r 1.+ = = 2 2x y 9 r 3.+ = =

y 3x tg( ) 3 .3pi

= = = 1x 3y tg( ) .63

pi= = =

/3 3 /3 35 2 2 2 2 5

/6 1 /6 1

/3 /3 /32 2 2

/6 /6 /6

/3

/6

2 r cos ( )sen ( )drd 2 cos ( )sen ( )d r dr

728 728 182cos ( )sen ( )d sen (2 )d (1 cos(4 ))d

3 12 6

91 sen(4 ) 91 3 91 23 4 3 6 4 3

pi pi

pi pi

pi pi pi

pi pi pi

pi

pi

=

= =

pi pi = + =

3 3 91(2 3 3)12 36

+ pi +=




5. Sea la regin D definida como 2 2 2y 1 (x 1) , y 1 (x 1) , y 4 x + .

Plantee la(s) integral(es) que permite(n) calcular el rea de la regin D en coordenadas:

a. cartesianas en el orden dxdy.

Solucin.

Grfico (ver figura 12)

Figura 12. Representacin grfica de las curvas del ejercicio 5

2 2 21 1 1 y 1 4 y 2 4 y

20 0 0 1 1 y 1 0

A 2 dxdy dxdy dxdy

+

= + + .

b. polares.

Solucin. 2 2 2 2 2(x 1) y 1 x 2x y 0 r 2r cos( ) 0 r(r 2cos( )) 0

r 0r 2cos( )

+ = + = = ==

=

2 2x y 4 r 2+ = = /2 2

0 2 cos( )

A 2 rdrdpi

= .

6. Calcule el rea de la regin R determinada por las condiciones dadas por 2 2x y x 0+ < , 2 2x y y 0+ > , y 0> .

Solucin.

Grfico de la regin R: (ver figura 13)





Ecuaciones polares: 2 2 2x y x 0 r r cos( ) r cos( )+ = = = . 2 2 2x y y 0 r rsen( ) r sen( )+ = = = .

Por tanto:

/4 cos( ) /4 /4 42 2

00 sen( ) 0 0

1 1 1 sen(2 ) 1rdrd (cos ( ) sen ( ))d cos(2 )d

2 2 2 2 4

pi pi pi pi

= = = = .

7. Sea la integral en coordenadas polares pi pi

pi pi

pi

= + +

/4 sec( ) /2 csc( ) 1

0 0 /4 0 /2 0

I rdrd rdrd rdrd .

Dibuje la regin de integracin, interprete geomtricamente el valor de I y determnelo sin

calcular ninguna integral.

Solucin.

Grfico de la regin (ver figura 14)





I calcula el rea de la regin R. Geomtricamente se puede calcular el valor como 1

I REA CUADRADO REA CIRCULO 14 4

pi= + = + .

8. Sea la integral doble sobre una regin R en el plano mediante coordenadas polares /3 4cos( )

3

0 2

I 2 r drdpi

= . a. Grafique la regin R.

Solucin.


Figura 15. Grfica de la regin R del ejercicio 8

b. Exprese I en coordenadas cartesianas en el orden dydx.

Solucin. 2 22 4 (x 2) 4 4 (x 2)

2 2 2 2

21 4 x 2 0

I 2 (x y )dydx (x y )dydx

= + + +

c. D dos interpretaciones fsicas de lo que calcula I.

Solucin.

Interpretacin fsica 1.

Calcula el momento polar de inercia de una lmina homognea cuya forma

corresponde a la regin R con funcin de densidad constante e igual a 1.

Interpretacin fsica 2.

Calcula la masa de una lmina cuya forma corresponde a la regin R con funcin de densidad igual a 2 2(x,y) x y = + .




9. Calcule mediante un cambio de variables conveniente la integral

x y

R

(x y)e dA+ , donde la regin R viene dada por el cuadriltero de vrtices (4,0); (6,2); (4,4) y (2,2).

Solucin. Cambio de variable: u x y ; v x y= + = .

Nueva frontera: 12

J(u,v) =

x y 0 v 0 ; x y 4 v 4 ; x y 4 u 4 ; x y 8 u 8 = = = = + = = + = =

Regin actual R: (ver figura 16)

Figura 16. Grfica de la regin actual del ejercicio 9

Nueva regin T: (ver figura 17)

Figura 17. Grfica de la nueva regin del ejercicio 9




8 4 8 4

v v 4 4

4 0 4 0

1 1 (64 16)ue dvdu udu e dv .(e 1) 12(e 1).

2 2 4

= = =

10. Calcule el rea de la regin que satisface las desigualdades dadas por

2 2 2 2x y 4y , x y 4+ + .

Solucin.

Grfico de la regin de integracin llamada R (ver figura 18)


Ecuaciones en coordenadas polares: 2 2x y 4 r 2+ = = , 2 2x y 4y r 4sen( )+ = = .

Intersecciones de las circunferencias:

1

2 4sen( ) sen( ) si 0,2 6 2

pi pi = = =

.

/6 2 2 2 /6 2 222

4sen( )0 4sen( ) 3 /2 0 0 3 /2 0

/6 /62

0 0

/6

0

rA 2 rdrd rdrd 2 d d rdr

2

2 (2 8sen ( ))d 2 (2 4(1 cos(2 )))d

2 (2 4 4cos(2 ))d 4 ( 1 2

pi pi pi pi

pi pi

pi pi

pi

= + = +

= + pi = + pi

= + + pi = +

/6

0

/6

0

cos(2 ))d 2

3 2 3 44( sen(2 )) 2 4 2 4 2 3.

6 2 6 2 3

pi

pi

+ pi

pi pi pi= + + pi = + + pi = + = +




11. Calcule

R

cos(x y) dA+ , donde R 0, 0,= pi pi .

Solucin.



/2 /2 x

0 0 /2 3 /2 x

/2 3 /2 x

0 /2 x /2 0

cos(x y)dydx cos(x y)dydx

cos(x y)dydx cos(x y)dydx

pi pi pi pi

pi pi

pi pi pi pi

pi pi

+ + +

+ +

/2 /2 x

0 0

cos(x y)dydx 1.2

pi pi pi

+ =

/2 3 /2 x

cos(x y)dydx 1.2

pi pi

pi pi

pi+ =

/2

0 /2 x

cos(x y)dydx 1.2

pi pi

pi

pi+ =

3 /2 x

/2 0

cos(x y)dydx 1.2

pi pi

pi

pi+ =

Total: 2pi .




12. Considere

0 si x tg(y)f(x, y)

1 si x tg(y)

=




13. Calcule el rea de la regin del plano xy en el primer cuadrante, interior a las curvas

2 2 2 2x y 4 ; x (y 2) 4+ = + = .

Solucin.


Figura 21. Representacin grfica de la regin del ejercicio 13

2 2 2 2 2 2 2x y 4 r 2 ; x (y 2) 4 x y 4y 0 r 4rsen( ) 0

r 0r 4sen( )

+ = = + = + = ==

=

/6 4sen( ) /2 2 /6 /24sen( ) 22 2

0 00 0 /6 0 0 /6

/6 /2 /6 /62 2

0 /6 0 0

/6

0

r rI rdrd rdrd d d

2 2

8sen ( )d 2 d 8sen ( )d 4(1 cos(2 ))d3 3

1 4 2 44 sen(2 ) 3 3

2 3 6 3 3

pi pi pi pi

pi pi

pi pi pi pi

pi

pi

= + = +

pi pi= + = + pi = + pi

pi pi pi pi = + pi = + =

14. Calcule

1 xy

R

e (x y) x y dA+ + , donde R es la regin del plano xy limitada por las curvas

12

xy , xy 2 , x y 2 , x y 4= = + = + = .

Solucin.

Regin actual D (ver figura 22)




Figura 22. Regin actual D de la pregunta 14

Cambios de variable: u xy , v x y= = + . 1

d(J(x,y)) y x

= . 1 12 2

xy u , xy 2 u 2 , x y 2 v 2 , x y 4 v 4= = = = + = = + = =

Regin nueva T (ver figura 23)

Figura 23. Regin nueva T de la pregunta 15

4 2 42 2u 1 1 u 3 3/2

11 2222

ve vdudv e 6(e e ).

2+ +

= =




15. Una lmina homognea tiene la forma de la regin del primer cuadrante limitada por las curvas xy 1= , xy 4= , y 2x= , y 4x= . Halle el momento de inercia polar.

Solucin. Cambios: u xy , v y x= =

u ux y

y 1v v2 xx y x

y x(u,v) y 1J(x,y) 2 2v J(u,v)

(x,y) x 2v

= = = = = =

.

Curvas: u 1= , u 4= , v 2= , v 4=

44 4 4 4 4 2 2

2 22 1 2 1 2 1

4 2

22

u 1 k u k u (1 v )k u.v dudv u dudv dv

v 2v 2 2v 2v

15k 1 v 15k 1 1 15 9 135dv 4 2 . k k

4 4 4 2 4 4 16v

+ + = + =

+ = = + + = =

16. Clculo de 12( ) .

Solucin.

Por definicin

2 2t 1/2 1/2 2 u u2u12 u

0 0 0

( ) e t dt (u t u t 2udu dt) e du 2 e du

= = = = = = . Entonces

2

2 2 2 2 22 u u u u v12

0 0 0 0 0

2 2(u v )

( ) 4 e du 4 e du e du 4 e du e dv

4 e d

+

= = =

=

0 0

udv

Si se hace el cambio a polares x r cos( ) , y rsen( )= = se tiene

/2 /22 22 (r ) (r )1

20 0 0 0

( ) 4 e rdrd 2 e ( 2r)drdpi pi

= = = pi . Por tanto 12( ) = pi .

17. Clculo de

2t

0

e dt

. Solucin.




2

2 2 2 2 22 u u u u v

0 0 0 0 0

2 2(u v )

0 0

I e du e du e du e du e dv

e dudv

+

= = =

=


/2 /22 22 (r ) (r )

0 0 0 0

1I e rdrd e (2r)drd

2 4

pi pi

pi= = = .

Por tanto I2pi

= .

18. Sea f(x) la distribucin normal con media y desviacin estndar dada por

2(x )1.21f(x) e

2

=

pi x < < .

Se quiere calcular el valor de

2(x )1.21I e dx.

2

=

pi Si se hace el cambio

x dxy dy

= =

se obtiene

21y21I e dy.

2

=

pi Sea

22 2 2 2 21 1 1 1y u v (u v )2 2 2 2 21 1 1I e dy e du e dv e dudv

2 2 2

+

= = = pi pi pi .


22 2 21 1(u v ) (r )2 2 2

0 0

1 1 1I e dudv e rdrd .2 1

2 2 2

pi +

= = = pi = pi pi pi .

Por lo tanto I 1= .

LA INTEGRAL TRIPLE Integrales



3.8. LA INTEGRAL TRIPLE

La definicin de integral triple es anloga a la de integral doble. En el caso ms simple

consideremos una caja rectangular R acotada por 6 planos x= a0, x= a1, y = b0, y = b1, z = c0, z = c1; y sea u = f(x,y,z) una funcin de tres variables definida en todo (x,y,z) de R. Se

subdivide el espacio en cajas rectngulares mediante planos paralelos a los planos

coordenados. Sean B1, B2,......, Bn aquellas cajas de la subdivisin que contienen puntos de R. (ver figura 24)

Figura 24. Intuicin geomtrica de la integral triple

Se designa con V(Bi) el volumen de la i-sima caja Bi. Se elige un punto de coordenadas Pi(i, i, i) en Bi, esta eleccin se puede hacer en forma arbitraria. La suma

i i i i

n

f( , , ).V(B)

i 1

=

es una aproximacin de la integral triple. La norma de subdivisin es la longitud de la mayor diagonal de las cajas B1, B2,....., Bn. Si las sumas anteriores tienden a un lmite cuando la

norma de la subdivisin tiende a cero y para elecciones arbitrarias de los puntos Pi, a este

lmite lo llamaremos la integral triple de f sobre R. La expresin

LA INTEGRAL TRIPLE Integrales



f(x, y,z).dV

R

se utiliza para representar el lmite.

As como la integral doble es igual a dos integrales iteradas, tambin la integral triple es

igual a tres integrales iteradas. Para el caso de la caja rectngular R se obtiene

1 1 1

0 0 0

a b cf(x,y,z).dV f(x,y,z).dz.dy.dx

a b cR

= .

Observacin 1. Las integrales iteradas se efectan considerando todas las variables

constantes, excepto aquella respecto a la cual se integra. Este concepto se puede extender a n variables.

Ejemplo 12. Evale la integral triple

2

B

xyz dV , donde B es la caja rectangular dada por { }B (x,y,z) /0 x 1, 1 y 2,0 z 3= . Solucin.

3 2 12 2

0 1 0B

27xyz dV xyz dxdydz .

4

= =

Ejemplo 13. Sea

22 4 x 2

2 2 22 4 x x y

f(x, y,z)dzdydx

+ . Plantee en el orden dxdzdy.

Solucin.

+

2 2 2 20 2 z y 2 2 z y

2 2 2 22 y z y 0 y z y

f(x,y,z)dxdzdy f(x,y,z)dxdzdy.

CAMBIO DE VARIABLES EN LA INTEGRAL TRIPLE



3.9. CAMBIO DE VARIABLES EN LA INTEGRAL TRIPLE

Sea T una transformacin que delimita una regin S en un espacio uvw sobre una

regin R en el espacio xyz por medio de las ecuaciones x g(u,v,w)= , y h(u,v,w)= , z k(u,v,w).=

El jacobiano de T es el siguiente determinante de 3 3 :

x x xu v w

(x,y,z) y y y(u,v,w) u v w

z z zu v w

=

.

Bajo las mismas hiptesis vistas en integrales dobles, se tiene la siguiente frmula para

integrales triples:

R S

(x,y,z)f(x,y,z)dV f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)) dudvdw.

(u,v,w)

=

3.10. COORDENADAS CILNDRICAS

En el sistema de coordenadas cilndricas, un punto P del espacio tridimensional est representado por la terna ordenada (r, ,z), donde r y son las coordenadas polares de la

proyeccin de P en el plano xy y z es la distancia dirigida del plano xy a P (ver figura 25). Para

convertir de coordenadas cilndricas a rectangulares se usan las ecuaciones dadas por x r cos( ) , y rsen( ) , z z= = = ,

mientras que, para convertir de coordenadas retangulares a cilndricas se usan

2 2 2r x y , tg( ) y / x , z z.= + = =

Estas coordenadas son preferidas cuando hay simetra alrededor de un eje.

Ejemplo 14. Determine el punto con coordenadas cilndricas (2,2 /3,1)pi y encuentre sus

coordenadas rectangulares.

Solucin.

x 2cos(2 /3) 1 , y 2sen(2 /3) 3 , z 1= pi = = pi = = .

COORDENADAS CILNDRICAS Integrales



Figura 25. Sistema de coordenadas cilndricas

Ejemplo 15. Determine las coordenadas cilndricas del punto con coordenadas rectangulares (3, 3, 7) .

Solucin.

r 9 9 3 2= + = , 74

arctg( 1) pi = = , z 7= .

Ejemplo 16. Describa las siguientes superficies en coordenadas cilndricas.

a. z r= . Un cono b. r c.= Un cilindro circular recto

c. c. = Una recta que pasa por el origen d. z c.= Un plano horizontal.

Ejemplo 17. Encuentre la ecuacin en coordenadas cilndricas del elipsoide de ecuacin 2 2 24x 4y z 1.+ + =

Solucin. 2 2 2 2 2 2 24(x y ) z 1 4r z 1 z 1 4r+ + = + = = .

Si se quiere realizar un cambio de variables en las integrales triples usando las coordenadas cilndricas se tiene que x r cos( ) , y rsen( ) , z z= = = , entonces:

cos( ) rsen( ) 0(x,y,z)

sen( ) r cos( ) 0 r(r, ,z)

0 0 1

= =

.

COORDENADAS CILNDRICAS Integrales



Por tanto

h ( ) u (r cos( ),rsen( ))2 2

h ( ) u (r cos( ),rsen( ))1 1E

f(x,y,z)dV f(r cos( ),rsen( ),z).rdzdrd .

= Ejemplo 18. Un slido E est dentro del cilindro 2 2x y 1,+ = debajo del plano z 4= y arriba

del paraboloide 2 2z 1 x y= . Calcule su volumen.

Solucin.

21 1 x 4 2 1 4

2 2 2 21 1 x 1 x y 0 0 1 r

7V dzdydx rdzdrd .

2

pi

= = = pi

3.11. COORDENADAS ESFRICAS

Las coordenadas esfricas ( , , ) de un punto P en el espacio se ilustra en la figura, donde OP = es la distancia del origen a P, es el mismo ngulo que en las coordenadas cilndricas y es el ngulo entre el semieje positivo z y el segmento de recta OP. Note que

0 , 0 pi (ver figura 260).

Figura 26. Sistema de coordenadas esfricas

COORDENADAS ESFRICAS Integrales



Las siguientes equivalencias permiten las transformaciones de coordenadas esfricas a

rectangulares: x sen( )cos( ) , y sen( )sen( ) , z cos( )= = = .

Por otro lado se tiene que 2 2 2 2x y z+ + = .

Ejemplo 19. El punto

4 3(2, , )pi pi est dado en coordenadas esfricas. Halle el punto y encuentre

sus coordenadas rectangulares.

Solucin.

6 63 4 2 3 4 2 3

x 2sen( )cos( ) , y 2sen( )sen( ) , z 2 cos( ) 1pi pi pi pi pi= = = = = = .

Ejemplo 20. Describa cada una de las siguientes ecuaciones dadas en coordenadas esfricas. a. 5 c = . Esfera b. c = . Plano c. c. = Semicono superior

Ejemplo 21. Encuentre la ecuacin en coordenadas esfricas, para el hiperboloide de dos hojas 2 2 2x y z 1 = .

Solucin. 2 2 2 2 2 2x y z 1 [sen ( )cos(2 ) cos ( )] 1 = = .

Ejemplo 22. Encuentre una ecuacin rectangular para la superficie cuya ecuacin esfrica es sen( )sen( ). =

Solucin. 2 2 2 2 2 2 21 1

2 4sen( )sen( ) x y z y x (y ) z = + + = + + = Esfera.

Ejemplo 23. Evale

2 2 2

B

(x y z )dV,+ + donde B es el slido encerrado por la esfera 2 2 2x y z 1.+ + =

Solucin.

2 14

0 0 0

4sen( )d d d .

5

pi pi

= pi

COORDENADAS ESFRICAS Integrales



Ejemplo 24. Evale

2 2 2

E

x y z dV,+ + donde E est limitado abajo por el cono

6pi = y arriba por la esfera 2. =

Solucin.

2 /6 23

0 0 0

sen( )d d d 4 (2 3).pi pi

= pi

Ejemplo 25. El punto (0,2 3, 2) est dado en coordenadas rectangulares. Encuentre sus

coordenadas esfricas.

Solucin. 2 0 12 4 16 4 = + + = = , 23

pi = , 2pi = . Punto 2

2 3(4, , )pi pi

3.12. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES

Todas las aplicaciones de integrales dobles se pueden extender de inmediato a

integrales triples. Por ejemplo, si la funcin de densidad de un objeto slido que ocupa la regin E es (x, y,z) , en unidades de masa por unidad de volumen, en cualquier punto (x,y,z) dado, entonces su masa es

E

m (x,y,z)dV=

y sus momentos alrededor de los tres planos de coordenadas son

yz xz

E E

M x (x,y,z)dV , M y (x,y,z)dV ,= = xyE

M z (x,y,z)dV= .

El centro de masa est ubicado en el punto (x, y, z), donde

yz xyxzM MM

x , y , zm m m

= = = .

APLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES



Si la densidad es constante, el centro de masa del slido se denomina centroide de E.

Los momentos de inercia alrededor de los tres ejes de coordenadas son

2 2x

E

2 2y

E

I (y z ) (x,y,z)dV ,

I (x z ) (x,y,z)dV ,

= +

= +

2 2z

E

I (x y ) (x,y,z)dV= +

La carga elctrica total de un objeto slido que ocupa una regin E y que tiene densidad de carga (x,y,z) viene dada como

E

(x,y,z)dV .

Si se tienen tres variables aleatorias continuas X, Y y Z, la funcin de densidad

conjunta de ellas es una funcin de tres variables tales que la probabilidad de que (X,Y,Z) se encuentre en E es

E

P((X, Y,Z) E) f(x,y,z)dV = ,

en particular, se tiene que

b d s

a c r

P(a X b,c Y d,r Z s) f(x,y,z)dzdydx = . La funcin de densidad conjunta satisface que f(x,y,z) 0 y adems

f(x,y,z)dzdydx 1

= .

APLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES



Ejemplo 26. Encuentre el centro de masa de un baul de madera de densidad constante igual

a 1 cuya forma est limitada por el cilindro parablico 2x y= y los planos x z= , z 0= y x 1= .

Solucin.

El slido E se proyecta sobre el plano xy. Las superficies inferior y superior de E son los planos z 0= y z x= . La masa viene dada por

1 1 x

21 y 0

4m dzdxdy

5

= = . Debido a la simetra de E y la funcin densidad alrededor del plano xz, se puede decir de inmediato que xzM 0= y, por lo tanto, y 0= . Los otros momentos son

1 1 x

yz21 y 0

4M xdzdxdy

7

= = ,

1 1 x

xy21 y 0

2M zdzdxdy

7

= = . En consecuencia, el centro de masa es

yz xyxzM MM 5 5

, , ,0,m m m 7 14

=

.

Ejemplo 27. Utilice coordenadas cilndricas para calcular la masa del slido ubicado en el

primer octante, que se encuentra dentro del cilindro de ecuacin 2 2x y 4x+ = y limitado

superiormente por la esfera de ecuacin 2 2 2x y z 16+ + = . La densidad volumtrica de masa

en cada punto es igual al producto de las coordenadas del punto. Solucin.

Cilndro: 2 2 2 2(x 2) y 4 x y 4x 0 r 4 cos( ) + = + = =

Esfera: 2 2 2 2 2 2x y z 16 z 16 x y 16 r+ + = = = . Jacobiano: r

2/2 4cos( ) 16 r /2 4cos( )3 2 3

0 0 0 0 0

/2 /24 4 6 6 5 66 8

00

5

1m r cos( )sen( )zdzdrd (16 r )r cos( )sen( )drd

2

1 16.4 cos ( ) 4 cos ( ) 1 4 4sen( )cos( ) d cos ( ) cos ( )

2 4 6 2 6 6.8

1 42

pi pi

pi pi

= =

= = +

=

6 5 54 4 1 1 4 1 128.

6 6.8 2 6 12 2 12 3

= = =




3.13. EJERCICIOS RESUELTOS

19. Sea T el slido definido por

2 2 2 2x z y 2 x z+ + + .

Plantee las integrales que permitan calcular el volumen del slido en coordenadas

cartesianas con: a. dV dydxdz= .

Solucin.

2 2 22 4 z 2 x z

2 20 0 x z

V 4 dydxdz + +

+

= . b. dV dxdydz= .

Solucin.

2 22 z 2 y z 2 4 y z

2 2 20 z 0 0 z 2 (y 2) z

V 4 dxdydz 4 dxdydz+

+

= +

20. Un slido, en el primer octante, est limitado por las superficies 2 2x 1 , y 1 , z 0 , z 6 x y= = = = .

Exprese las integrales iteradas que calculan el volumen del slido en coordenadas

cilndricas.

Solucin. 2 2sec( ) 6 r csc( ) 6 r

4 2

0 0 0 0 04

I rdzdrd rdzdrd

pi pi

pi

= +

21. Calcule el volumen del slido que est sobre el cono

3pi = y debajo de la esfera

4 cos( ) = . Solucin.

2 /3 4 cos( )2

0 0 0

sen( )d d d 10 .pi pi

= pi

22. Sea la integral

2 2 r4 2

0 0 0

r z cos ( )sen( )dzdrdpi




dada en coordenadas cilndricas. Exprese la integral en coordenadas esfricas.

Solucin. 2 2 22 4 x x y 2 /2 2/sen( )

2 6 4 2

22 4 x 0 0 /4 0

x yzdzdydx sen ( )cos( )cos ( )sen( )d d d + pi pi

pi

=

23. Una integral triple sobre una regin Q en el espacio, viene expresada mediante integrales

iteradas en coordenadas cilndricas por 2 1 4 2 2 5 r 2 3 5 r

3 3 3

0 0 0 0 1 0 0 2 2

I r dzdrd r dzdrd r dzdrdpi pi pi

= + +

.

Exprese la integral I en coordenadas esfricas.

Solucin.


Figura 27. Grfica del ejercicio 5

2 2 231 2

4 2 4 2A arctg( ) ; B arctg( ) ; C arctg( ) ; r sen ( )pi= = = = =

z 4 cos( ) 4 4sec( ) ; z 5 r cos( ) 5 sen( )5

cos( ) sen( )

= = = = = = +

2 2 2 2z 2 cos( ) 2 2sec( ) ; x y 4 sen ( ) 4 sen( ) 22csc( )

= = = + = = = =

512 arctg( ) 4sec( ) 24 4 cos( ) sen( )

4 3 4 3

10 0 0 0 arctg( ) 04

3 52 2csc( ) arctg( )2 2 cos( ) sen( )

4 3 4 3

0 0 2sec( )4 4

I sen ( )d d d sen ( )d d d

sen ( )d d d sen ( )d d d

pipi pi +

pipi +

pi pi

= + +

+

2

0

pi




24. Calcule la integral 2 2 2 3(x y z )

T

e dV+ + , sabiendo que T es el slido comprendido entre las esferas 2 2 2x y z 1+ + = , 2 2 2x y z 4+ + =

en el primer octante, utilizando coordenadas esfricas.

Solucin.

2 2 2 2 2 22 83 3 220

10 0 1 0 0 0

8

1 e ee sen( )d d d e sen( )d d cos( ) d

3 3

(e e)6

pi pi pi pi pipi = =

pi=

25. Dadas las integrales que calculan el volumen de cierto slido usando las coordenadas

cilndricas dadas por

2 1 1 2 4 4

0 0 r 0 1 r

I rdzdrd rdzdrdpi pi

= + , plantee la(s) integrale(s) que calculan su volumen en coordenadas:

a. cartesianas proyectando en el plano xz.

Solucin.

Proyeccin en xz: (usando simetra solo mostrando del slido) (ver figura 28)

Figura 28. Regin del ejercicio 7

2 2 2 2 2 21 1 z x 4 4 z x 1 4 z x

20 x 0 1 x 0 0 1 1 x

I 4 dydzdx dydzdx dydzdx

= + +




b. esfricas

Solucin.

2 4 sec( ) 2 4 4 sec( )2 2

0 0 0 0 arctg(1/4) csc( )

I 4 sen( )d d d sen( )d d dpi pi pi pi

= +

26. Plantee la integral triple que calcula el volumen del slido definido por 2 20 z x y + , 2 24 x y 16 + :

a. Proyectando en el plano xy.

Solucin.



2 2 2 2 2 22 16 x x y 4 16 x x y

20 4 x 0 2 0 0

4 dzdydx dzdydx + +

+

b. En coordenadas esfricas.

Solucin. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2x y 4 sen ( )cos ( ) sen ( )sen ( ) sen ( ) 4 2csc( )+ = + = = = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2x y 16 sen ( )cos ( ) sen ( )sen ( ) sen ( ) 16 4csc( )+ = + = = =

/2 /2 4csc( )2

0 /4 2csc( )

4 sen( )d d dpi pi

pi




27. Sea 1S el slido limitado por las superficies

2 2z x y= + , 2 2z 1 1 x y= + .

Sea 2S el slido definido mediante las desigualdades dadas por

z 0 , 2 2z 3 x y + , 2 2x y 4+ . Sea S el slido definido como 2 1S S S= . Plantee, mediante integrales triples, el volumen

de S usando coordenadas:

a. Cilndricas.

Solucin. Volumen de 1S :

22 1 1 1 r

0 0 r

rdzdrdpi +

. Volumen de 2S :

2 2 3 r

0 0 0

rdzdrdpi

. Volumen de S:

22 2 3 r 2 1 1 1 r

0 0 0 0 0 r

rdzdrd rdzdrdpi pi +

. b. Esfricas.

Solucin. Volumen de 1S :

2 /4 2 cos( )2

0 0 0

sen( )d d dpi pi

. Volumen de 2S :

2 arctg(2) 3/(cos( ) sen( )) 2 /2 2/sen( )2 2

0 0 0 0 arctg(2) 0

sen( )d d d sen( )d d dpi + pi pi

+ . Volumen de S: Volumen de 2S - Volumen de 1S .

28. Sea S el slido definido por

2 2 2 2 2 2 21

z (x y ) ; x y 9 ; x y (z 5) 253

+ + + + .

Plantee las integrales que permitan calcular el volumen del slido S utilizando

coordenadas:




a. Cartesianas en el orden dydxdz.

Solucin.


Figura 30. Proyeccin del slido en el plano xz

2 23 3z 3z x 9 3 9 x

0 0 0 3 0 0

2 2 210 25 (z 5) 25 (z 5) x

9 0 0

V 4 dydxdz 4 dydxdz

4 dydxdz

= + +

b. Cilndricas con proyeccin en el plano xy.

Solucin. 22 3 5 25 r

210 0 r3

V rdzdrd

pi +

=


2 2 2 2 2 2z x y ; x y 9 ; z 9 x y + + + + .

Plantee las integrales que permitan calcular el volumen del slido S utilizando

coordenadas:

a. Esfricas.

Solucin.





Figura 31. Identificacin del ngulo respecto al eje z positivo

Ecuaciones esfricas:

2 2 2 2 2

2 2

2 2

0z x y cos( ) sen ( ) sen ( ) cos( ) 0

ctg( )csc( )

x y 9 r 3 3csc( )9

z 9 x y cos( ) 9 r cos( ) 9 sen( )cos( ) sen( )

= = + = = = + = = =

= + + = + = + =

/2 /2 ctg( )csc( ) /2 arctg(1/3) 3csc( )2 2

0 arctg(1/3) 0 0 arctg(1/4) 0

/2 arctg(1/4) 9/(cos( ) sen( ))2

0 0 0

V 4 sen( )d d d 4 sen( )d d d

4 sen( )d d d

pi pi pi

pi

= +

+

b. Cartesianas en el orden dzdydx.

Solucin. 2 2 23 9 x 9 x y

2 20 0 x y

V 4 dzdydx

+ +

+

=


2 2 2 2x y 6x ; x y z ; z 0+ + .

Use coordenadas cilndricas para calcular su volumen.

Solucin.

Ecuaciones cilndricas:

2 2 2

2 2

r 0x y 6x r 6r cos( ) r r 6 cos( ) 0

r 6 cos( )

z x y z r

=+ = = =

=

= + =




/2 6 cos( ) r /2 6 cos( ) /2 6 cos( )

r 20

/2 0 0 /2 0 /2 0

/2 /2 /26 cos( )3 3 3

0/2 /2 0

/2 32

0

1 1V rdzdrd r z drd r drd

2 2

1 216r d cos ( )d 144 cos ( )d

6 6

sen ( )144 (1 sen ( ))cos( )d 144 sen( )

3

pi pi pi

pi pi pi

pi pi pi

pi pi

pi

= = =

= = =

= =

/2

0

/23

0

sen ( ) 1 144.2 288144 sen( ) 144 1 96

3 3 3 3

pi

pi

= = = = =


2 2

2 2

z 2 4 x y si 2 z 4

x y 4 si 0 z 2

+

+ .

a. Plantee la(s) integral(es) que permite(n) calcular el volumen de T en coordenadas:

a.1. cartesianas en el orden dxdydz.

Solucin. 2 2 2 22 2 4 y 4 4 (z 2) 4 y (z 2)

0 0 0 2 0 0

4 dxdydz dxdydz

+

a.2. esfricas.

Solucin.

2 2 2 sen( ) 2 4 4cos( )2 2

0 /4 0 0 0 0

4 sen( )d d d sen( )d d dpi pi pi pi

pi

+

a.3. cilndricas con proyeccin en xy.

Solucin.

22 2 2 4 r

0 0 0

4 rdzdrdpi +

b. Calcule el volumen de T.

Solucin. 2 16 40

V 8 .8 83 3 3

= pi + pi = + pi = pi




32. Utilice coordenadas cilndricas para calcular la masa del slido ubicado en el primer octante que se encuentra dentro del cilindro 2 2x y 4x+ = y limitado superiormente por la esfera 2 2 2x y z 16+ + = . La densidad volumtrica de masa en cada punto es igual al producto de

las coordenadas del punto.

Solucin. Cilindro:

2 2 r 0x y 4xr 4cos( )

=+ =

= .

Semiesfera superior : 2 2 2 2x y z 16 z 16 r+ + = = .

Densidad: 2(x,y,z) xyz r cos( )sen( )z = .

2/2 4cos( ) 16 r3

0 0 0

/2 4 cos( )3 2

0 0

/2 4 cos( ) /2 4cos( )63 5 4

00 0 0

5

m r cos( )sen( )zdzdrd

1r cos( )sen( )(16 r )drd

2

1 1 rcos( )sen( )(16r r )drd cos( )sen( ) 4r d

2 2 6

1cos( )sen( ) 4 .cos

2

pi

pi

pi pi

=

=

= =

=

/2 6

4 6

0

/2 1 16 5 9 55 5 7 9 5 7 6 8

00 0

9 5 8 4 8 8 8 7

4( ) cos ( ) d

6

1 4 4 2 44 cos ( ) cos ( ) sen( )d 2 u u du u u

2 6 3 6 3.8

2 4 2 4 2 2 2 2 256 128 1286 3.8 3 3.2 3 3.2 3 3 3 3

pi

pi

= = =

= = = = = =

33. Sea T el slido homogneo definido por 2 2 2 2 2 2x y z 9 ; x y (z 3) 9+ + + + .

Usando coordenadas esfricas calcule su masa.

Solucin.

Intersecciones:

2 2 22 2 2

2 2 2

2 2

x y z 9 9 3x y z 6z 0 9 6z 0 z

6 2x y (z 3) 9

27 3Curva Inter sec cin : x y ; z

4 2

+ + = + + = = = =

+ + =

+ = =





2 2 2 2 2 2 20

x y z 9 3 ; x y (z 3) 9 6 cos( ) 06cos( ) =

+ + = = + + = = =


Figura 32. Identificacin del ngulo respecto al eje z positivo

2 /3 3 2 /2 6 cos( )

2 2

0 0 0 0 /3 0

2 /3 3 2 /26 cos( )2 3

00 0 0 0 /3

33/3 3

00

m k sen( )d d d sen( )d d d

1k d sen( )d d sen( ) d d

3

216k 2 . cos( ) . cos (

3 3

pi pi pi pi

pi

pi pi pi pi

pi

pi

= +

= +

= pi +

2 /2 2/24

/30 /3 0

2

0

72)sen( )d d k 9 cos ( ) d

4

1 9 45 kk 9 18 d k 9

16 4 4

pi pi pipi

pipi

pi

= pi +

pi pi

= pi + = pi + =

34. Sea T el slido homogneo definido por 2 2 2 2 2 2x y z 16 ; x y (z 2) 4+ + + + .

Use coordenadas esfricas para calcular el momento alrededor del plano xy ( xyM ).

Solucin.

Intersecciones:

2 2 22 2 2

2 2 2

2 2

x y z 16x y z 4z 0 16 4z 0 z 4

x y (z 2) 4

Curva Inter sec cin: x y 12 ; z 4

+ + = + + = = =

+ + =

+ = =




Ecuaciones esfricas: 2 2 2 2 2 2 2x y z 16 4 ; x y (z 2) 4 4 cos( ) 0

04cos( )

+ + = = + + = = =

=

2 /2 4 2 43 3

xy0 0 4cos( ) 0 /2 0

2 /2 24 44 4

4cos( ) 00 0 0 /2

4 4 4

M k sen( )cos( )d d d k sen( )cos( )d d d

k ksen( )cos( ) d d sen( )cos( ) d d

4 4

ksen( )cos( ) 4 4 cos ( ) d d

4

pi pi pi pi

pipi pi pi pi

pi

= +

= +

=

2 /2 2

4

0 0 0 /2

2 /2 2 /24 45

0 0 0 0

24

0 /2

24 4/2 /22 6

0 00

ksen( )cos( ) 4 d d

4

4 k 4 ksen( )cos( )d d sen( )cos ( )d d

4 4

4 ksen( )cos( )d d

4

4 k 4 ksen ( ) d cos ( ) d

8 24

pi pi pi pi

pi

pi pi pi pi

pi pi

pi

pipi pi

+

=

+

= +

2 24

2

/20 0

4 4 4 4 4 3

4 ksen ( ) d

8

2 .4 k 2 .4 k 2 .4 k 2 .4 k .4 k .4 k 64 k8 24 8 24 12 3 3

pi pipi

pi +

pi pi pi pi pi pi pi= = = = =

35. Utilice un cambio de variable adecuado para calcular la masa de la regin de densidad (x,y,z) xyz = que se encuentra limitada por las superficies

xy 1 , xy 9 , xz 4 , xz 9 ,= = = = yz 9 , yz 16= = .

Solucin. Cambios de variables: u xy , v xz , w yz= = = .

Clculo del jacobiano J(x,y,z): u u ux y z

v v vx y z

w w wx y z

y x 0J(x,y,z) z 0 x 2xyz

0 z y

= = = .

Superficies: u 1 , u 9 , v 4 , v 9 , w 9 , w 16= = = = = = .

9 9 16

12

1 4 9

m dwdvdu 140= = .




36. Sea Q el slido definido por 2 2 2 2 2 2z 16 x y , z 0 , x y 4 , x y 8 + + .

Considerado el slido Q homogneo:

a. Exprese su masa en coordenadas cartesianas en el orden dxdydz.

Solucin.



2 22 2 2 8 y 2 2 2 2 8 y

20 0 4 y 0 2 0

2 2 2 2 22 3 2 16 y z 2 3 16 z 16 y z

22 2 0 4 y 2 2 2 0

V 4 dxdydz 4 dxdydz

4 dxdydz 4 dxdydz

= + +

+

b. Calcule el momento de inercia respecto al eje z.

Solucin.

22 2 2 16 r2 2 3

z0 2 0

Q

2 2 23 2

0 2

2 2 2 2 22 5/2 2 3/23 2

20 2

2 25/2 3/2 5/2 3/2

2

I (x y ) (x,y,z)dV k r dzdrd

k r 16 r drd

(16 r ) 16(16 r )k r 16 r drd 2 k

5 3

8 16(8) 12 16(12)2 k

5 3 5 3

pi

pi

pi

= + =

=

= = pi

= pi +




37. Sea W un slido limitado por las superficies 2 2 2 2 2 2z x y , x y 1 , z 1 1 x y= + + = = + .

a. Plantee la(s) integral(es) que permite(n) calcular el volumen del slido W en

coordenadas:

a.1. cartesianas en el orden

dxdydz.

Solucin.

Proyeccin en el plano yz usando simetra (ver figura 34)

Figura 34. Proyeccin plano yz usando simetra del ejercicio 19

2 2 2 22 1 (z 1) 1 y (z 1) 1 1 1 y

1 0 0 0 0 0

2 20 1 1 y 0 z 1 y

2 21 z 0 1 0 z y

V 4 dxdydz 4 dxdydz

4 dxdydz 4 dxdydz

= + +

+

dzdydx.

Solucin.

Proyeccin en el plano xy usando simetra (ver figura 35)




Figura 35. Proyeccin plano xy usando simetra del ejercicio 19

2 2 21 1 x 1 1 x y

2 20 0 x y

V 4 dzdydx +

+

= a.2. esfricas.

Solucin.


2 2 2

2 2

0x y (z 1) 1 ( 2cos( )) 0

2cos( )

x y 1 csc( )

=+ + = = = + = =

/2 /4 2cos( ) /2 3 /4 csc( )2 2

0 0 0 0 /4 0

V 4 sen( )d d d sen( )d d dpi pi pi pi

pi

= +

b. Calcule el volumen de W.

Solucin.

Usando geometra elemental: 2 7

V 23 3 3pi pi pi

= + pi = .

38. Pruebe que 2 2 2 3 /2(x y z )

3R

4e dV

3 + + pi

= . Solucin.

m2 2 2 3/2 3 3(x y z ) 2 0 m

m m 0 0

3R

4 4e dV lm 2 sen( )d e d lm (e e )

3 3

pi

+ + + +

pi pi= pi = = .

EJERCICIOS PROPUESTOS Integrales



3.14. EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Dibuje la regin de integracin y calcule las integrales dobles siguientes:

a.

S

xydxdy, donde S es la regin limitada por las grficas de las ecuaciones y 3x= , x 1= y el eje x. Rta. 98

b.

S

y xdxdy , donde S es la regin limitada por las rectas de ecuaciones x y= x 2y , y 1 , y 2.= = = Rta. 7

6

c. 2 2

S

xdxdy

1 x y+ + , donde S es la regin { } 2x2S (x,y) / 0 x 2, 0 y= . Rta. 5

41 ln(5) +

2. Las integrales iteradas que se dan a continuacin, son en cada caso las integrales dobles

de ciertas funciones en regiones del plano xy, para cada una de ellas, dibuje la regin de

integracin y exprese la integral doble mediante integrales iteradas cambiando el orden de

integracin:

a.

22 4 y

22 4 y

f(x, y)dxdy

22 4 x

22 4 x

Rta. f(x,y)dydx

b.

4 x 4

21 x 2x

f(x, y)dydx+

3 1 y 1 8 1 y 1

1 1 y 1 3 y 4

Rta. f(x,y)dxdy f(x,y)dxdy+ + + +

+

+

3. Calcule las siguientes integrales, bien sea directamente, mediante algn cambio de variables conveniente, o invirtiendo el orden de integracin:

a.

1 13

0 0

4 y x dxdy 117Rta.

b.

22 y

1 y

dxdy 56Rta.

c.

1 1 x yy x

0 0

e dydx

+ 12Rta. (e 1)




d. xy

S

e dxdy , donde S es la regin del primer cuadrante limitada por las curvas de ecuaciones xy 2, xy 4, x y, y 8x.= = = = 4 23

2Rta. (e e )ln(2)

e.

S

dxdy , donde S es la regin encerrada por la curva de ecuacin igual a 2 2x y

116 4

+ = .

Rta. 8pi

f. 2 2

S

(x y) cos (x y)dxdy + , donde S es el paralelogramo de vrtices dados por ( ,0)pi , (2 , ), ( ,2 ), (0, ).pi pi pi pi pi Rta.

4

3pi

g.

4 4 x y xy x

0 0

e dydx

+ . Rta. 1e4(e )

h.

1 2y/x

0 2y

e dxdy . Rta. 2 /2 2 /22 2e 4e 3 + i. (y x)/(y x)

S

e dA + , donde S es el interior del tringulo con vrtices (0,0), (0,1) y (1,0). 1 14 eRta. (e )

4. Calcule la integral 1 1

2

0 y

tg(x )dxdy . Rta. 1

2ln(sec(1))

5. Utilice coordenadas polares para calcular

2 2

S

x y 4 dA+ , donde la regin S est definida por 2 2x y 9+ .

6. Usando integrales dobles halle el volumen del slido acotado por las grficas de las

siguientes funciones sobre la regin del plano xy cuyos linderos se indican: a. 2 2f(x, y) x y , x 0 , x 2 , y 0 , y 2= + = = = =




b. f(x,y) 1 x y , x 0 , y 0 , x y 1= = = + =

7. Calcule yarctgx

S

e dxdy ,

donde S es la regin en el primer cuadrante limitada por las circunferencias

2 2 2 2x y 1, x y 4+ = + = y las rectas y x, y 3x= = .

8. Calcule 2

2(x y)

S

ye 1 dA

x+ +

,

donde la regin S est limitada por las curvas de ecuaciones y x ; y 2x ; x y 1 ; x y 2= = + = + = .

9. Halle el volumen de la regin que est limitada por el plano xy, el plano x y z 2+ + = y el

cilindro parablico 2y x= . Rta. 8120

10. Halle el volumen del slido S, si S est limitado por el cono 2 2 2z x y= + y el cilindro 2 2x y 2y 0+ = . Rta. 649

11. Halle el volumen de S, si S est limitado por el cilindro 2 2x y 4+ = y el hiperboloide 2 2 2x y z 1+ = . Rta. 4 3pi

12. Halle el volumen del solido limitado superiormente por la superficie esfrica de ecuacin 2 2 2x y z 4+ + = , inferiormente por el plano xy y lateralmente por el cilindro 2 2x y 1+ = .

Rta. 23 (8 3 3) pi

13. Encuentre el rea de la regin en el primer cuadrante del plano xy limitado por las curvas 2 2 2 2x 2y 1, x 2y 4, y 2x, y 5x+ = + = = = . Rta. 23 72 2 arctg( )

14. Sea R el tringulo acotado por x 0,= y 0= , x y 1+ = . Haga la sustitucin dada por

x y u, y uv+ = = y demuestre que




x y a 1 b 1

R

e x y dxdy puede reducirse al producto de integrales sencillas.

15. Evale la integral 2 2

2 2

R

x yI 1 dxdy

a b= , a 0> , b 0> ,

donde la regin R es la regin limitada por la elipse 2 2

2 2

x y1

a b+ = .

Rta. 23 abpi

16. Grafique la regin S que est acotada por las curvas

2x y= , 2x 2y y= , 2x 2 y 2y=

y utilice el cambio de variables 2(u v)

x u ,4

+=

u vy

2+

=

para calcular

2

S

(x y )dxdy+ . 16Rta. . 17. Encuentre el rea de la regin encerrada por la curva de ecuacin polar r 2cos(2 )= que

es exterior a r 3= .

18. Calcule

2 2

S

xydA

1 x y+ , donde la regin S est limitada por las curvas de ecuaciones

1 5

x ; y ; x 1 0 ; x 5y x

= = = = .

19. En los problemas siguientes halle el centro de masa de las lminas acotadas por las

grficas dadas y densidad que se indica: a. = = = = y ln(x) , x 1 , x 2 , (x,y) 1 / x , y 0=




b. 2y 2 / x , x 1 , x 2 , (x,y) x= = = =

c. 2y 1 x , y 0 , y x , 1= = = =

20. Calcule el momento de inercia de la superficie limitada por la hiprbola xy 4= y la recta

x y 5+ = con respecto a la recta y x= . Rta. 3816ln(2) 9

21. Para las lminas limitadas por las curvas que se indican halle el momento polar de inercia

0I .

a. 2y 1 x , y 0 , (x,y) y= = = b. 2y x , y x , (x,y) x= = =

22. Grafique la regin limitada por las curvas 2 24y x 8 , y 2x 1 , y 6 x 9 = + = =

Plantee las integrales que permiten calcular:

a. El rea de la regin

b. El centro de masa

c. El momento polar de inercia

23. Calcule las siguientes integrales dobles impropias:

a. 2 2

S

dxdy

x y+ , donde S es la regin limitada por la circunferencia de ecuacin 2 2x y 4+ = . Rta. 4pi

b. 2 2 2

2R

dxdy

(1 x y )+ + . Rta. pi

c.

S

dxdy

xy , donde S 0,2 0,2= Rta. 8

24. Calcule la integral impropia 2 2(x y )

2R

e dxdy + ,

extendida a todo el plano 2R y luego utilice el resultado encontrado para calcular la

integral impropia




2x

e dx

.

(Esta ltima integral es importante en Estadstica y se trata de la distribucin normal).

Rta. , pi pi

25. Sea T el slido formado por la regin interior de 2 2x y 9+ = , exterior a 2 2 2x y z 9+ + = ,

por abajo de 2 2z 2 x y= + y sobre el plano xy. Halle el volumen de T.

26. Calcule

2 2 2

Q

1dv

x y z+ + , donde Q es el slido limitado por las superficies 2 2 2z 1, z x y= = + , siendo z 0 .

27. Sea T el slido formado por la regin interior del cilindro 2 2x y 9+ = , bajo el cono

2 2z x y= + y sobre el paraboloide 2 21

z (x y )6

= + . Calcule el volumen de T.

28. Exprese en coordenadas cilndricas

2 2 23 9 x 3 9 x y

23 9 x 3

xdzdydx +

. 29. Exprese en coordenadas esfricas

2 2 21 1 x 1 x y2 2 2

0 0 0

x y z dzdydx

+ + .

30. Exprese en coordenadas cartesianas

/2 /2 42

0 /6 0

4 sen d d dpi pi

pi

.

31. Exprese el volumen del slido 2 2x y 9+ , 2 2z x y + , 2 2z 9 x y + + utilizando

integrales triples en coordenadas cartesianas, cilndricas, esfricas.

32. Plantee la integral que permite calcular el volumen del slido limitado por las superficies

2 24 z x y = + , 2 2z 2 x y = + en coordenadas cartesianas, cilndricas y esfricas.




33. Sea Q el slido formado por

2 2 2 2 2 2x y 1 ; 1 x y z 1 x y+ + +

Plantee las integrales que permiten calcular el volumen del slido en:

a. cartesianas dxdzdy b. cilndricas

34. Sea S el slido formado por 2 2 2 2 2 2 2z x y ; x y 2 ; x y z 11 + + + +

Plantee las integrales que permiten calcular el volumen del slido en:

a. cartesianas dzdydx b. cartesianas dydxdz c. cilndricas

35. Sea Q el slido homogneo definido por

2 2 2 2 2x y z 6z 5 ; z 5 x y ; z 0+ + +

Plantee las integrales que permiten calcular el volumen del slido Q:

a. Proyectando en el plano xy b. proyectando en el plano yz

36. Sea Q el slido definido por

2 2 2 20 z 4 x y ; x y 4 + +

Plantee las integrales que permiten calcular el volumen del slido Q:

a. En el orden dxdzdy b. en coordenadas cilndricas

37. Sea la integral triple 2 2 22 2x x 4 x y

2 2 2

20 2x x 0

I (x y z )dzdydx

= + + Plantee la integral I en coordenadas cilndricas.

38. Plantee la integral que permite calcular el volumen del slido limitado por las superficies 2 24 z x y = + , 2 2z 2 x y = + en coordenadas cartesianas y cilndricas.

39. Usando coordenadas cilndricas calcule el volumen del cuerpo limitado por la esfera 2 2 2x y z 4+ + = y la superficie del paraboloide 2 2x y 3z+ = .

40. Dadas las siguientes superficies que definen el slido T

2 2 2 2 2 2z x y ; x y 9 ; z 9 x y 6 + + + :

a. Plantee la integral que permite calcular el volumen del slido en coordenadas

cartesianas.




b. Plantee las integrales para el clculo del centro de masa del slido T.

41. Usando coordenadas esfricas halle el volumen del slido sobre el cono 2 2 2z x y= + e

interior a la esfera 2 2 2x y z 2az+ + = . Rta. 3api

42. Calcule 3 /22 2 2

2 2 2

R

x y z1 dxdydz

a b c

, donde R es la regin encerrada por el elipsoide

2 2 2

2 2 2

x y z1

a b c+ + = . Rta. 213 abcpi

43. Un slido ocupa la regin T del espacio definida por

2 2 2 2 2 2z 6 x y , z 3 9 x y , x y 1 + + .

a. Exprese utilizando integrales triples el volumen de T.

b. Exprese utilizando integrales triples las coordenadas del centro de masa.

44. Halle el centroide de un objeto limitado por los planos coordenados, el plano x y 1+ = y el

paraboloide 2 2z 4 x 4y= . Rta. 33 52795 95 3( , , )

45. Halle el momento de inercia con respecto al eje z del slido homogneo dentro del cilindro 2 2x y 2x 0+ = , bajo el cono 2 2 2x y z+ = y sobre el plano xy. Rta. 51275 k

46. Calcule las siguientes integrales triples impropias:

a. 2 2 2

T

dV

x y z+ + , donde T es la esfera slida limitada por la superficie 2 2 2x y z 1+ + = . Rta. 2pi

b. 2 2 2 3

T

dV

(x y z )+ + , donde T es la reunin de la frontera y del exterior de la esfera slida del ejercicio a, esto es { }3 2 2 2T (x,y,z) R / x y z 1= + + . Rta. 43pi

BIBLIOGRAFA Integrales



[1] APOSTOL, Tom. Calculus. Volumen 2. 2da edicin. Revert (2006).

[2] EDWARDS, Henry y PENNEY, David. Clculo con Trascendentes Tempranas. 7ma

edicin. PEARSON PRENTICE HALL (2008).

[3] GONZLEZ, Jess y BEYER, Walter. Matemtica III. Ingeniera. (733). UNA (1993).

[4] GONZLEZ, Jess. Clculo III. Matemtica. (706). UNA (1994).

[5] GUERREIRO, Carlos. Introduccin al Maple. Aplicaciones Docentes. Facultad de Ingeniera. UCV (2002).

[6] GUERREIRO, Carlos. Clculo III. Facultad de Ingeniera. UCV (2004).

[7] LARSON, Roland; HOSTETLER, Robert y EDWARDS, Bruce. Clculo y Geometra

Analtica. Volumen 2. 6ta edicin. MC GRAW HILL (1999).

[8] LEITHOLD, Louis. El Clculo. 7ma edicin. OXFORD UNIVERSITY PRESS (1998).

[9] MARSDEN, Jerrold y TROMBA, Anthony. Clculo Vectorial. 4ta edicin. PEARSON

[10] MITACC, Maximo; PECHE, Carlos y QUIROZ, Isidro. Clculo III. PRAXIS (1985).

[11] ORELLANA, Mauricio. Clculo Vectorial. Gua de Prctica. Facultad de Ingeniera.

UCV (1985).

[12] PALACIO, ngel. Ejercicios de Anlisis Matemtico. EDICIONES DE LA BIBLIOTECA.

[13] PEREIRA, Luz. Problemario de Clculo de Varias Variables. COLECCIN MINERVA ULA (2005).

[14] PISKUNOV, N. Calculo Diferencial e Integral. Tomo II. Editorial MIR (1980).

[15] PITA, Claudio. Clculo Vectorial. PEARSON PRENTICE HALL (1995).

[16] PURCELL, Edwin; VARGERG, Dale y RIGDON, Steven. Clculo. 9na edicin. PEARSON

PRENTICE HALL (2007).

[17] ROS, Alejandro. Clculo III. Facultad de Ingeniera. UCV (2002).

[18] RODRGUEZ, Eugneio; AROMI, Luis; MENNDEZ, Margarita y GALN, Rolando.

Integrales Mltiples. Pueblo y Educacin (1986).

BIBLIOGRAFA Integrales



[19] SALAS, HILLE y ETGEN. Calculus. Una y Varias Variables. Volumen II. 4ta edicin.

REVERT (2007).

[20] STEWART, James. Clculo. Conceptos y Contextos. 3era edicin. THOMSON (2006).

[21] THOMAS, George. Clculo. Varias Variables. 11ma edicin. PEARSON ADDISON WESLEY (2006).

Documents

Calculo III-tema 3