Calculo Integral Capitulo 2 - Integral Indefinida

---------------------CAPITULO 2--------------------

17

INTEGRACIÓN

En este capítulo examinaremos el proceso de integración mediante dos pasos: El primero es hallar una fórmula que

nos de todas las funciones posibles que puedan tener a f como derivada, estas funciones son llamadas Antiderivadas de f, y la fórmula que nos lleva a ellas es la integral indefinida de f. El segundo paso es usar el valor conocido de la

función para seleccionar la Antiderivada que en particular queremos para la integral indefinida.

La integración y la diferenciación están íntimamente relacionadas; la naturaleza de esta relación es una de las ideas

más importantes en matemáticas, y su descubrimiento (hecho por Leibniz y Newton de manera independiente) sigue

siendo uno de los avances técnicos más importante de los tiempos modernos.

2.1 ANTIDERIVADA DE UNA FUNCIÓN

_________________________________________________________________________

Definición:

Una función F se denomina Antiderivada de la función f en un intervalo I si xfxF ´ para todo valor

de x en I

La función 23 3xxxF es Antiderivada (o primitiva) de la función xxxf 63 2 , para todo x real,

puesto que

,63´ 2 xfxxxF ,x

La función xarcsenxF es Antiderivada de la función 21

1

xxf

en el intervalo 1,1 pues

,1

1´

2xf

xxF

1,-1x

Del ejemplo 2.1 otra Antiderivada de f es la función x definida por

53 23 xxx , ya que )(63' 2 xfxxx Por consiguiente si F y son antiderivadas de una función f , entonces difieren en una constante C , es

decir CxFx )()(

Ejemplo 2.1:

Ejemplo 2.2:

---------------------CAPITULO 2--------------------

18

Demostración:

Sea H cualquier Antiderivada de f en I . Entonces xfxH para toda x en I (1)

Como F es una Antiderivada particular de f en I xfxF , para toda x en I (2)

De (1) y (2) se tiene que

xFxH para toda x en I

Por teorema: (Si f y g son dos funciones definidas en el intervalo I, tales que xgxf para toda x en I,

entonces existe una constante K tal que Kxgxf para toda x en I), existe una constante C tal que

CxFxH )( para toda x en I.

Como H representa cualquier Antiderivada de f en I, toda Antiderivada de f puede obtenerse a partir de

CxF . Por tanto, se ha demostrado el teorema.

La expresión CxF recibe el nombre de Antiderivada general.

EJERCICIOS Y PROBLEMAS 2.1

En los ejercicios 1-7 Encuentre la Antiderivada general de la función dada.

1. 5612 2 xxxf 5. x

xxf1

3

2. 5

6

xxf 6. 12 xxxf

3. 349 2 xxxf 7. 22sec xxxf

4. 732 23 xxxxf

8. Determine cinco Antiderivadas particulares de la función xxf 2)( y grafíquelas.

2.2 INTEGRAL INDEFINIDA

Teorema 2.1: Si F es una Antiderivada particular de f en un intervalo I ,

entonces cada Antiderivada de f en I está dada por

CxF )(

Donde C es una constante arbitraria, y todas las antiderivadas de f en I

pueden obtenerse a partir de la ecuación CxF )( , asignando valores

particulares a C .

---------------------CAPITULO 2--------------------

19

Definición: El conjunto de todas la antiderivadas de la función f es la integral indefinida de f respecto a x , se

denota con el símbolo dxxf . El símbolo (integral) denota la operación Antiderivación o Antidiferenciación.

La función f es el integrando de la integral y x es la variable de integración.

Si F es una Antiderivada de la función f , entonces

CxFdxxf )(

donde )()( xfxF y C una constate real arbitraria

Si { CxF )( } es el conjunto de todas las funciones cuya derivada es f(x), entonces la Antiderivación se

considera como la operación para determinar el conjunto de todas las funciones que tiene una derivada dada.

2.2.1 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA

Como la Antiderivación es la operación inversa de la derivación las fórmulas o propiedades de Antiderivación se

obtienen de las fórmulas de diferenciación.

Supongamos que todas las funciones consideradas están definidas y son integrables en un mismo intervalo.

1. La diferencial de la integral indefinida es igual al integrando multiplicado por el diferencial de la variable de

integración.

dxxfdxxfd

2. La derivada de la integral indefinida es igual a la función integrando.

)(xfdxxfdx

d

3. La integral indefinida de la diferencial de una función es igual a esta función más una constante arbitraria

CxFxdF

En el caso simple Cxdx

4. (Linealidad de dx... .) Sean f y g dos funciones que tienen antiderivadas (integrales indefinidas) y sea k

una constante. Entonces:

)(i dxxfkdxxkf )()( ;

)(ii dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

2.2.2 REGLA DE LA POTENCIA PARA INTEGRALES INDEFINIDAS

---------------------CAPITULO 2--------------------

20

Si es un número racional y , entonces

,1

1

Cr

xdxx

rr

Evaluar dxxx 725 4 .

Usando propiedades y la regla de la potencia para integrales indefinidas, obtenemos

321

25

32

2

1

5

4

44

7257

3 Propy RP 72

25

5

(i) 4 Propiedad 725

(ii) 4 Propiedad 725 725

CCCxxx

CxCx

Cx

dxxdxdxx

dxxdxdxxdxxx

Como 321 725 CCC es una constante arbitraria, puede denotarse por C, de modo que el resultado puede

escribirse como dxxx 725 4 Cxxx 7 25

Verifiquemos que el resultado de la integral anterior es correcto,

Veamos:

Derivamos el miembro derecho de la igualdad, esto es

7257 425 xxCxxxdx

d

Ejemplo 2.3:

Solución:

OBSERVACIÓN: La expresión

recibe el nombre de integral definida de

entre .Los números se llaman límites de integración, siendo el límite inferior y el límite superior.

---------------------CAPITULO 2--------------------

21

2.3 TABLA DE INTEGRALES

Toda fórmula de las derivadas de funciones elementales puede invertirse. De este modo, se obtiene la siguiente tabla

de las principales integrales que son la inversión de las fórmulas fundamentales del cálculo diferencial.

1.

0 ,1 ,1

1

urCr

uduu

rr

2. 0u ,ln Cuu

du

3. 1a0 ,ln

Ca

adua

uu

3.1 En particular, cuando ,ea obtendremos Cedue uu

4. Cuusen cosdu

5. Cu cos senu

6. Ctandu seccos

2

2 uu

u

du

7. Cuuusen

du cotdu csc2

2

8. Cuudu tanseclnu sec

9. Cuuu cotcsclndu csc

10. CuCuu secln)ln(cosdu tan

11. Cu lndu cot senu

12. Ca

usearc

ua

du

n

22

13. Cauuau

du

22

22ln

14. Ca

u

aua

du

arctan1

22

15. Cua

ua

aua

du

ln2

122

16. Cua

ua

aau

du

ln2

122

---------------------CAPITULO 2--------------------

22

17. Ca

usearc

aua

uduua n

22

22222

18. Cauua

auu

duau 22

22222 ln

22

19. Cusenh coshduu

20. Cusenh du cosh u

21. Cu -tanh du sech 2 u

22. uduu coth csch 2

La validez de todas las fórmulas anteriormente aducidas se establece mediante la diferenciación, de la que se

desprende que la derivada de los miembros derechos de estas igualdades es igual a la función subintegral.

Vale notar que si la operación de diferenciación de las funciones elementales lleva siempre a funciones elementales,

la operación de integración puede llevar a funciones no elementales.

Por ejemplo, las siguientes integrales no se pueden expresar mediante funciones elementales.

dxe x

2 (La integral de Poisson)

dxxdxxsen 22 cos , (La integral de Fresnel)

x

dx

ln (Logaritmo integral) 10 x , o bien dx

x

ex

dxx

xsen

(Seno integral), 0x , dx

x

xcos (Coseno integral), 0x

Aunque estas integrales existen en virtud de la continuidad de las funciones subintegrales en sus campos de

definición no son funciones elementales

Cálculo inmediato para las siguientes integrales

1. Caua

audusen cos1

0a , a

2. Cbaua

dubausen cos1

3. Ca

uadu

a

usen cos

4. Causena

audu 1

cos

---------------------CAPITULO 2--------------------

23

5. Cbausena

dubau 1

cos

6. Ca

usenadu

a

u cos

7. Cea

due auau 1

8.

Cea

due baubau

1

9. Caedue a

u

a

u

Calcular las siguientes integrales

a) dxxxxx

3

494

1

23 2 b) dt

t

tt

12 24

c) dxx

x

2

3

3 3

d)

1

0 11 xxx

a) dxxxx

dxxxxx

3

49 3

494

1

25

32

41

23 2 Reescribiendo

dxxxx

349 4

12

53

2

dxdxxdxxdxx 349 41

25

32

Cxxxx

3

45

23

4

31

94

52

33

1

OBSERVACIÓN: Para un mejor entendimiento de los ejemplos dados a continuación se debe tener en cuenta las propiedades, reglas de la integral indefinida y las fórmulas de la tabla de integrales.

Ejemplo 2.4:

Solución:

---------------------CAPITULO 2--------------------

24

Cxxx

x 35

4

3

827 4

5

23

31

b) dtt

ttdt

t

tt

21

2424 1212

dtt

dtt

tdt

t

t

21

21

2

21

4 12 Propiedad de los cocientes y linealidad

dttdttdtt

2

12

32

7

2

Cttt 2

12

52

9

25

4

9

2

c) dxx

xdxx

x

3

3

2

3

3 96

3 Desarrollando el producto notable

dxxdxdxx

3396

C

xxxC

xx

x

2

424

2

96

4

1

2

96

4

Para abordar la integral d) del ejemplo 2.4 debemos tener en cuenta la siguiente observación.

d) Calculamos la integral indefinida

dxxxxdxxxx

1111 2

12

1 Reescribiendo

dxx

12

3

Efectuando operaciones

Cxx 25

5

2

Por tanto, la integral definida es

OBSERVACIÓN: Como la integral indefinida de f es una Antiderivada, el

teorema fundamental del cálculo relaciona las integrales definidas e indefinidas como sigue

)()()()()( aFbFCxFdxxfdxxf b

a

b

a

b

a

Entonces, puede evaluarse integrales definidas de una función f si se conoce su

integral indefinida.

---------------------CAPITULO 2--------------------

25

Calcular las siguientes integrales.

a)

dxxx

x

3

21

b)

dxx

xx

5

2332 c) dx

x

xx

4

22

1

11

a)

dx

xx

xxdx

xx

xxdx

xx

x

2

2

3

2

3

2

1

21211

dxxx

dxxx

xdx

xx

x

222

2

1

21

1

2

1

1

1

22x

dx

x

dx

Cxx arctan2ln

b)

dxdxdxdxdxx

x

x

x

x

x

x

x

x

xx

5

23

5

32

5

23

5

32

5

2332

dxdx

xx

5

23

5

32

C

xx

52ln

52

3

53ln

53

2

c)

dxxx

xxdx

x

xx

22

22

4

22

11

11

1

11

Ejemplo 2.5:

Solución:

---------------------CAPITULO 2--------------------

26

Cxxarcsenx

x

dx

x

dx

dxxx

x

xx

x

dxxx

xx

2

22

22

2

22

2

22

22

1ln

11

11

1

11

1

11

11

En algunos casos, empleando transformaciones idénticas de la función subintegral, la integral dada puede reducirse a otra, a la que podemos aplicar las reglas principales de integración y utilizar la tabla de integrales.

2.4 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN DE LA VARIABLE

La sustitución de la variable es uno de los procedimientos principales de la integración de funciones.

Dada la integral indefinida , sea xgu y dxxgdu ' .

Si F es una Antiderivada de f , entonces

CxgFCuFduufdxxgxgf `

En la práctica la función xgu se elige de modo que la integral en el miembro derecho sea más simple que la

inicial, es decir una vez reconocido el factor xg , el problema puede resultar tan sencillo que hasta sea posible

resolverlo mentalmente, además el éxito depende muchas veces de algunos artificios adicionales y de la manipulación algebraica que usted tenga.

Calcular las siguientes integrales.

a) dxxx 132

b)

dx

x

x2cos

tan35 c)

22 1ln1 xxx

dx

d)

dbae

bae e) dxex

xx

2

13 2 f)

221 xarcsenx

dx

g) xsen

dx

1 h) xbxsena

dx2222 cos

dxxgxgf '

Ejemplo 2.6:

---------------------CAPITULO 2--------------------

27

a) dxxx 132

De entrada, observa que el término 2x está relacionado con la derivada de 3x . Si hacemos la sustitución

13 xu , tenemos que su diferencial es dxxdu 2

3 . Al reunir tales resultados, expresamos la integral en

términos de la variable u :

Cu

Cu

Cu

duuduu

duu

dxxx

23

23

23

21

21

221

3

9

2

3

2

3

1

233

1

3

1

3 1

Finalmente, al sustituir el valor de u , obtenemos

Cxdxxx 2

3322

13 1

9

21

b)

dxx

x2cos

tan35

Reescribiendo la integral dada

xdxxdxx

xdxx

x 221

22sectan35

cos

1tan35

cos

tan35

Hacemos xdxdu

xdxduxu 22 sec3

sec3 tan35 , por tanto

Cx

Cuduudu

dxx

xu

2

3

23

21

21

2

tan359

2

3

2

3

1

3

1

3cos

tan35

Solución:

---------------------CAPITULO 2--------------------

28

c)

22 1ln1 xxx

dx

Reescribiendo la integral obtenemos,

2222 11ln

1

1ln1 x

dx

xxxxx

dx

Hacemos la sustitución

21ln xxu

dxx

x

xxdu

22 11

1

1

dxx

xx

xxdu

2

2

2 1

1

1

1

21 x

dxdu

Sustituyendo en la integral, se tiene

duuxxx

dx 1

1ln1 22

Cxx

Cu

duu

2/12

2/1

2/1

1ln2

2

d)

dbae

bae

Sumamos y restamos la expresión ae en el numerador de la integral dada, luego

---------------------CAPITULO 2--------------------

29

212

2

2

2

ddbae

aed

bae

ae

dbae

bae

bae

ae

dbae

baeae

dbae

baeaed

bae

bae

Hacemos

daedu

baeu

, entonces

Cbae

Cuu

dud

bae

bae

2ln

ln22

e)

dxex

xx

3

13 2

En este caso, la integración es casi inmediata, ya que si definimos xxu 3 , entonces dxxdu 13 2 ; de

manera que, al sustituir e integrar resulta

Ceduedxex uuxx

3

13 2

En términos de la variable original, obtenemos:

Cedxex xxxx

3

3

13 2

f)

221 xarcsenx

dx

Si hacemos la sustitución, 21 x

dxduarcsenxu

, la integral resulta casi inmediata;

221 xarcsenx

dx du

u2

1

duu 2

Cu 1

---------------------CAPITULO 2--------------------

30

Carcsenx 1)( , donde arcsenxu

Carcsenx

1

g) xsen

dx

1

Multiplicando el numerador y el denominador por senx1 se obtiene:

dxxsen

xsen

1

12

dx

x

xsen

xdx

x

xsen222 cos

cos

1

cos

1

dxx

xsenx

2

2

cos

sec

dx

x

xsenxdx

2

2

cos

sec

dxx

senxx

2costan

En la integral del miembro derecho hacemos xdxsenduxu cos , luego

CxxCx

x

Cu

xCux

duuxu

dux

xsen

dx

sectancos

1tan

1tantan

tantan 1

1

2

2

h) xbxsena

dx2222 cos

Dividimos el numerador y el denominador del integrando por x2cos , esto es

222

2

2

2222

2

2222 tan

sec

cos

cos

cos

1

cos bxa

xdxdx

x

xbxsena

x

xbxsena

dx

Sea xdxduxu 2sectan , por tanto:

dxxsen

xsen

xsenxsen

dx

1

1

1

1

1

---------------------CAPITULO 2--------------------

31

xudondeCxb

a

ab

Cub

a

b

a

a

a

bu

du

abua

du

xbxsena

dx

tan ,tanarctan1

arctan1

1

cos

2

2

2

22222222

La observación anterior se ilustra en el siguiente ejemplo:

Calcular las integrales:

a) dxe

e

x

x

1

2

b)

12 xx

dx

a) dxe

e

x

x

1

2

Hacemos 1 xeu , expresamos x en función de u ,

1ln 221

21 uxueeu xx , entonces

duu

udx

1

22

, luego la integral dada nos queda

Ejemplo 2.7:

OBSERVACIÓN: La mayor parte de los problemas de sustitución resultan mucho más fáciles si se recurren a estos trucos de expresar x en función de u y dx en función de du en vez de hacer lo contrario, es decir,

xgu ugx 1 y duugdx

1

Solución:

---------------------CAPITULO 2--------------------

32

Cee

Cee

Cuuduu

duu

u

u

udx

e

edx

e

e

xx

x

xx

xx

x

21

23

3

32

2

222

1213

2

23

2

23

212

1

21

11

11

2

b)

12 xx

dx

Hacemos 1 xt , expresando x en función de t obtenemos:

12 tx entonces tdtdx 2 , por consiguiente

Ct

t

dt

tt

tdt

xx

dx

arctan2

12

1

2

12

2

2

En términos de la variable original x , obtenemos

1 donde ,1arctan2

12

xtCx

xx

dx

La observación anterior se ilustra en el siguiente ejemplo:

Calcular la integral dxx

xx

1

332

OBSERVACIÓN: En algunas integrales el integrando es el cociente de dos polinomios en el cual el grado del numerador es mayor o igual que el denominador (fracción racional impropia). En estos casos la integral resulta sencilla si aplicamos la división de polinomios y el algoritmo de la división de estos.

Solución:

Ejemplo 2.8:

---------------------CAPITULO 2--------------------

33

Realizamos la división algebraica de Polinomios

Aplicando el algoritmo de la división, se obtiene

1

74

1

332

xx

x

xx

Reescribiendo la integral dada, tenemos

Cxxx

x

dxdxxdx

dxx

xdxx

xx

1ln742

174

1

74

1

33

2

2

La observación anterior se ilustra en los siguientes ejemplos:

a) 12 xx

dx b) dx

xx

x

2432

23

a) 12 xx

dx

Completando cuadrado en 12 xx se tiene

332 xxxx 2

34 x44 x7

1x4x

Ejemplo 2.9:

Solución:

OBSERVACIÓN: Si una integral implica una expresión de segundo grado de la forma , o la raíz cuadrada de tales expresiones, ésta se puede reducir a una integral inmediata completando cuadrado

---------------------CAPITULO 2--------------------

34

22

222

2

11

2

111

xxxxxx

4

3

2

12

x

Reescribiendo la integral dada tenemos

4

3

2

11 22

x

dx

xx

dx, Ahora

Hacemos dxduxu 2

1 y

2

3

4

32 aa , luego

Ca

u

aau

du

xx

dx

arctan1

1 222

Reemplazando 2

1 xu y

2

3a obtenemos:

C

x

xx

dx

2

3

2

1

arctan

2

3

1

12

Cx

3

12arctan

3

2

b) dxxx

x

2432

23

Completando cuadrado en 2432 xx se tiene

2

1

4

34432 22 xxxx

2

2

2

2

22

22

8

3

64

414432

64

41

8

34432

2

1

8

3

8

3

4

34432

xxx

xxx

xxxx

---------------------CAPITULO 2--------------------

35

Reescribiendo la integral dada:

dx

x

x

dx

x

xdx

xx

x

2

22

8

3

64

41

23

2

1

8

3

64

414

23

432

23

Hacemos 8

3

8

3 uxdxduxu

8

41

64

412 aa

Reemplazando en la integral, obtenemos:

du

ua

u

duua

u

dxxx

x

22222

28

93

2

12

8

33

2

1

432

23

duuaua

udu

ua

u

222222

825

3

2

18

253

2

1

2222 16

25

2

3

ua

dudu

ua

u

Sea

duua

uA

22 y

22 ua

duB

Desarrollando A

Sea ududtuat 222

1

2

1

22

1

21

21

21

2

1

21

4322

1

2

1

2

1

C)( -A

CuaCtA

A

xx

dtt

t

dt

---------------------CAPITULO 2--------------------

36

Por otra parte, la integral B es inmediata

2

22C

a

uarcsen

ua

duB

2241

388

3

8

41CCB

xarcsen

x

arcsen

, por tanto

Cx

arcsenxxdx

xx

xBA

41

38

16

25432

4

3

16

25

2

3

432

23 2

2

2.5 ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES

Las ecuaciones diferenciales son el lenguaje natural para describir fenómenos de diversas áreas de la ciencia y la

ingeniería. Sin profundizar, expresamos que una ecuación diferencial es una relación que incluye una función y sus

derivadas; su objetivo consiste en determinar la función que satisface tal relación. Aquí juegan un papel vital los

métodos de integración; sin embargo, el campo de las ecuaciones diferenciales es tan amplio que solo trataremos

las llamadas ecuaciones diferenciales separables.

2.5.1 ECUACIÓN DIFERENCIAL

Definición:

Si una ecuación contiene las derivadas o diferenciales de una o más variables dependiente con respecto a una o más

variables independientes, se dice que es una ecuación diferencial.

2.5.2 ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA DE ORDEN n

Una ecuación en la que aparece nyyyyx ``,....,`,,, , donde y es una función de x y ny es la esiman

derivada de y con respecto a x , es una ecuación diferencial ordinaria de orden n , es decir una ecuación de la

forma 0`,...,,, nyyyxF , donde xfy es la función que se busca. Los siguientes ejemplos son ecuaciones diferenciales ordinarias de orden especificado

Orden 1: 13` xy o bien 13 xdx

dy

Orden 2: 015

3

2

2

2

y

dx

dyx

dx

yd

2.5.3 ECUACIÓN DIFERENCIAL DE VARIABLES SEPARABLES

---------------------CAPITULO 2--------------------

37

Definición:

Una ecuación diferencial es de variables separables si se puede escribir de la forma yh

xg

dx

dy o bien

dxxgdyyh

El tipo más simple de una ecuación diferencial de variables separables es una de primer orden, de la forma

xgdx

dy o bien dxxgdy

El ejemplo siguiente ilustra la observación anterior:

Verifique que 16

4xy es una solución de la ecuación diferencial 2

1

xydx

dy en el intervalo , .

Una manera de verificar que la función dada es solución, es escribir la ecuación diferencial como

021

xydx

dy, pero

16

4xy Entonces

4

3x

dx

dy

Reemplazando en la ecuación dx

dy y y se tiene:

0164

21

43

xx

x

00

044

33

xx

Método de Solución

Para resolver una ecuación diferencial de variables separables, solo tenemos que reescribir la ecuación con las

variables separables, es decir, dxxgdyyh , integrando ambos miembros de la igualdad tenemos:

dxxgdyyh

Solución:

Ejemplo 2.10:

OBSERVACIÓN: La expresión 0, yxH es solución, si al sustituir ', yyx y en la

ecuación diferencial yh

xgy se produce una identidad

---------------------CAPITULO 2--------------------

38

Si yH es la Antiderivada de yh y xG es la Antiderivada de xg , entonces

21 CxGCyH CxGyH Solución General, donde 12 CCC constante

arbitraria.

Esta última ecuación representa una familia de funciones que depende de una constate arbitraria C, por lo que se denomina familia de funciones de un parámetro.

Las gráficas de estas funciones forman una familia de curvas de un parámetro en un plano, y sólo una curva de esta

familia pasa por cualquier punto particular 00 , yx

EJEMPLO ILUSTRATIVO

Suponga que se desea encontrar la solución completa de la ecuación diferencial

xdx

dy2

Al separar las variables y escribir la ecuación con diferenciales se obtiene: xdxdy 2

Si se antiderivan los dos miembros de la ecuación se tiene:

xdxdy 2

2

2

1 CxCy

Como C2 – C1 es una constante arbitraria, entonces se puede reemplazar por C; obteniéndose

Cxy 2

La cual es la solución completa de la ecuación diferencial. La ecuación Cxy 2 representa una familia de

funciones de un parámetro. La figura 2.1 muestra las graficas de las funciones que corresponden a

2,1,0,1, CCCC

---------------------CAPITULO 2--------------------

39

(Figura 2.1): Familias de curvas de la ecuación

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales

a) 01 ydxdyx b) 032 dx

dyxxyy

c) yxedx

dy 23

d) 322

2

xdx

yd

a) 01 ydxdyx Separando variable, tenemos

x

dx

y

dy

ydxdyx

1

1

Integrando ambos miembros, se tiene

Solución:

Ejemplo 2.11:

---------------------CAPITULO 2--------------------

40

Cxy

x

dx

y

dy

1lnln

1

kexky

exy

eey

ey

C

C

Cx

Cx

donde 1

1

1ln

1ln

b) 032 dx

dyxxyy

Separando variables, se obtiene

ox

dxx

dyy

yy

dx

dyyx

2323

Integrando ambos miembros

x

dxdy

y

x

dxdy

y

y

23

1

23

Cxyy ln2ln3

yCxy 23 lnln

yCyx 32ln

y

C

yCyC

eeyx

eeeyx

1

.

32

32

Cy ekkeyx donde 32

c) yxedx

dy 23

Separando variables tenemos

032 dx

dyyxy

---------------------CAPITULO 2--------------------

41

dxedye

e

e

dx

dy

eedx

dy

xy

y

x

yx

32

2

3

23

Integrando en ambos lados de la igualdad se tiene

dxedye xy 32

En la integral izquierda, hacemos dyduyu 22

1

2

1

2

2

1

2

1

2

1CeCeduedye yuuy

En la integral derecha, hacemos dxdtxt 33

2

3

2

3

3

1

3

1

3

1CeCedtedxe xttx

Por lo tanto, reemplazando se obtiene

12

32

2

3

1

2

23,23

3

1

2

1

CCCCee

CeCe

xy

xy

donde

d) 322

2

xdx

yd

Recuerde que dx

dy

dx

dy

dx

d

dx

yd ´2

2

, luego

32´

xdx

dy

Separando variables se tiene que dxxdy 32´

Integrando ambos miembros, tenemos que

Cxxy

dxxdy

3´

32´

2

Pero dx

dyy ´ , entonces

Cxxdx

dy 32

---------------------CAPITULO 2--------------------

42

Separando variables nuevamente, se obtiene

KCxxxy

Cxxdy

dxCxxdy

23

2

2

2

3

3

1

3

3

2.6 ECUACIONES DIFERENCIALES Y PROBLEMAS CON CONDICIÓN INICIAL

A menudo nos interesa resolver una ecuación diferencial de variable separable, xh

xg

dx

dy

Sujeta a la condición inicial 0yy cuando

0xx o bien, 00 yxy

Supongamos que CxGyH es la solución general de la ecuación diferencial, entonces reemplazando los

valores particulares de 0xx y

0yy en la solución se tiene que:

CxGyH 00, despejando C , tenemos que

KxGyHC 00 sustituyendo el valor de KC en la solución se obtiene que

KxGyH Solución particular

En resumen la solución de la Ecuación Diferencial con la condición inicial 00 yxy

está dada por la expresión

x

x

y

ydxxgdyyh

00

Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales que satisfacen las condiciones iniciales que se indican

a) ;´ yxyyx

4y cuando 9x

Ejemplo 2.12:

0, yxH es solución de la ecuación diferencial con la condición inicial

0yxy o si es solución y, además, 0, 00 yxH .

---------------------CAPITULO 2--------------------

43

b) ;1 xx edx

dyye

10 y

a) Separando variables, se tiene

dx

x

x

y

dy

xydx

dyx

xyydx

dyx

21

21

21

21

21

21

21

1

1


dxxxdyy

dxx

x

y

dy

2

12

12

1

21

21

1

Cxxy 23

21

21

3

222

Pero 4y cuando 9x , entonces

201864

93

29242 2

32

12

1

CC

C

Por lo tanto la solución particular es

203

222 2

32

12

1

xxy

103

12

32

12

1

xxy

b) Separando variables, se tiene

dxe

eydy

dxeydye

x

x

xx

1

1

Solución:

---------------------CAPITULO 2--------------------

44

Integrando

dx

e

eydy

x

x

1

Key

Cey

x

x

1ln2

1ln22

2

Donde KC 2

Pero 1y cuando 0x , entonces:

4ln2lnln2ln212ln21

1ln21

2

02

eKeKK

Ke

Reemplazando el valor de4

lne

K en la solución se obtiene:

2

41

41ln

4ln1ln

4ln1ln2

2

22

22

2

yx

x

x

x

ee

e

eey

eey

eey

2

21

2

21

2

2

2

2

2

21

21

41

41

yx

Y

x

yx

yx

eee

e

ee

e

ee

e

ee

Hallar la ecuación de la curva cuya pendiente en un punto cualquiera es igual a 2xy

y que pasa por el

punto particular 11,

Ejemplo 2.13:

Solución:

---------------------CAPITULO 2--------------------

45

La pendiente de la curva en un punto cualquiera es dx

dy, entonces

2x

y

dx

dy

Separando variables

2x

dx

y

dy


Cx

y

dxxy

dy

1ln

2

Pero 1y cuando 1x , luego

11

11ln CC , por lo tanto la ecuación de la curva es:

xxx eeeey

xy

1111

1

11

ln

En cada punto de cierta curva es 3

3´´

xy .Hallar la ecuación de la curva sabiendo que pasa por el punto

11, y tiene una inclinación de 45 en ese punto.

Recordemos que dx

dy

dx

ydy

'''

2

2

, entonces

21

3

3

3

3'

xxdx

dy

Separando variables, tenemos

dxxdy 21

33'

dxxdy 21

33' , hacemos dxduxu 3 , luego

duudy

21

3'

CxCuy 21

21

366'

Ejemplo 2.13:

Solución:

---------------------CAPITULO 2--------------------

46

Además tan'y , donde es el ángulo de inclinación en el punto 11, , con lo que 145tan' y ,

ahora para 1x y 1'y , se tiene:

11

121

3161 21

C

C

C

Reemplazando el valor de 11C , obtenemos posteriormente

1136' 21

xy , pero dx

dyy '

1136 21

xdx

dy Separando variables dxxdy 1136 2

1

Kxxy

dxdxxy

dxxdy

1134

1136

1136

23

21

21

Pero 1y , cuando 1x entonces

2011321

1113141 23

KK

K

Por lo tanto la ecuación de la curva es 201134 21

xxy

Carlos saca un vaso de agua fría del refrigerador y lo deja sobre una mesa. El día soleado y la temperatura de 30º C. Una vez afuera del refrigerador, temperatura del agua era de 0ºC y después de 10 minutos subió a 15ºC.

Determina una ecuación diferencial que modele el cambio de la temperatura en el tiempo, suponiendo que la razón a

la que cambia la temperatura de la bebida es proporcional:

a) A la diferencia entre su propia temperatura y la del medio que lo rodea.

b) Al cuadrado de la diferencia entre su propia temperatura y la del medio que lo rodea.

a) Establezcamos el modelo matemático de la situación. Para ello, observa que:

La frase “razón a la que cambia la temperatura” nos indica que se está hablando de la derivada

de la temperatura en el tiempo dt

dT

Ejemplo 2.14:

Solución:

---------------------CAPITULO 2--------------------

47

La frase “proporcional a la diferencia de la temperatura y el medio” significa Tk 30 .

De modo que la ecuación diferencial que buscamos es

dt

dT= Tk 30

Resolvemos la ecuación separando las variables y usando 00 T . Obtenemos

T

o

t

T

dtkdt

300 Separando variables,

30ln30ln Tkt Integrando,

30

30ln

Tkt Simplificando.

Al tomar la exponencial a ambos lados y despejar T.

30

30 Te kt

)1(30 kteT

De las condiciones del problema, sabemos que T(10)=15, entonces,

)1(3015 10te

De donde concluimos que

k = 0,0693147

Finalmente, la función de temperatura en el tiempo es

0,0693147t eT 130

b) En este caso, la ecuación diferencial que buscamos es:

dt

dT= 230 Tk

Nuevamente usamos separación de variables y T(0) = 0 para resolver la ecuación, por lo que

T

o

t

T

dtkdt

20 30

30

1

30

1

Tkt

---------------------CAPITULO 2--------------------

48

Al despejar T:

kt

ktT

301

900

Si usamos ahora T (10)=15, obtenemos

k

k

3001

900015

De donde concluimos que

300

1k

Finalmente la función de temperatura en el tiempo es

t

tT

10

30

Determinación del costo a partir del costo marginal

El costo marginal de producir gorras de béisbol a un nivel de producción de x gorras es de 3,2-0,001 x dólares

cada una y el costo de producir 50 gorras es $200. Determine la función de costo.

Solución

Se pide determinar la función de costo xC , dado que la función de costo marginal es de 3,2-0,001 x . Recordamos

que la función de costo marginal es la derivada de la función de costo; entonces xxC 001,020,3

Y se debe determinar xC . Ahora bien, xC debe ser la Antiderivada de xC , por lo que se escribe

Kxx

Kx

x

dxxxC

2

2

0005,020,3

2001,020,3

001,020,3

K es la constante de integración

Ahora, a menos que se conozca un valor de K , en realidad no se conoce la función del costo. Sin embargo, hay otro dato que no hemos tomado en cuenta: el costo de producir 50 gorras de béisbol de $200. En símbolos,

20050 C

Ejemplo 2.15:

---------------------CAPITULO 2--------------------

49

Sustituyendo en nuestra fórmula de xC tenemos

25,,41

75,158200

500005,05020,3502

K

K

KC

Ya que conocemos cuánto vale K podemos escribir la función de costo 25,410005,020,3 2 xxxC

Antes de seguir… Pregunta ¿Qué significa el término 41,25?

Respuesta Si sustituimos 0x obtendremos

25,4100005,0020,302C

O sea 25,410 C

Así, $41,25 es el costo de producir cero gorras; en otras palabras, es el costo fijo.

2.7 ECUACIÓN LOGÍSTICA

Dos de los modelos de crecimiento de una población que se han utilizado con buen éxito son los de Malthus y el

logístico. En el primero, se supone que la razón de crecimiento de una población es proporcional a la población

misma; es decir,

kpdt

dP

Si la población inicial es P0, no es difícil mostrar que la población está dada por P(t)=P0 ekt. Con este modelo, la

población crece sin medida. Sin embargo, sabemos que los recursos con que ella cuenta no son ilimitados y tendrán

efecto sobre su crecimiento. El modelo logístico incorpora este hecho y establece un límite a la población máxima

que se puede tener. En este caso, la ecuación diferencial apropiada es

r

Pkp

dt

dP1

Donde r y k son constantes positivas y el coeficiente r se conoce como la capacidad máxima de la población.

Expertos en demografía estiman que la máxima población que la Tierra puede sostener es de 30000 millones de

personas. Supón que la población crece siguiendo un modelo logístico, que en el año 2000 había 6000 millones de seres humanos y que en 2005 ya eran 6500 millones, aproximadamente. ¿En cuánto tiempo se alcanzaran 25000 millones de habitantes?

Ejemplo 2.16:

---------------------CAPITULO 2--------------------

50

Si el crecimiento es logístico, entonces la ecuación diferencial que modela la población humana es la ecuación

r

Pkp

dt

dP1 con r=30, en unidades de miles de millones; es decir,

301

Pkp

dt

dP

Si separamos las variables de población y tiempo, se tiene :

kdt

PP

dP

30

30

dtkPP

dP230

30

dtkPP

dP

3030

2

Completando cuadrado en el denominador de la integral izquierda,

dtkPP

dP222 151530

30

dtkP

dP

2251530

2

Aplicando la fórmula 16 de la tabla de integrales,

CktP

P

1515

1515ln

152

130

CktP

P

30ln

Ckt

P

P

30ln

Así, aplicando la exponencial y sus propiedades

ktCkt AeeP

P

30

, CeA

ktkt AeAeP 301 Desarrollando,

Solución:

---------------------CAPITULO 2--------------------

51

kt

kt

Ae

AeP

1

30

Despejando P.

Consideremos que t=0 en el año 2000 y t=5 en el año 2005. De la condición P(0) = 6 se tiene

A

A

1

306

De donde obtenemos

4

1A

De la condición P(5) = 6,5,

k

k

e

e5

5

25,01

5,75,6

De donde resulta

kk ee 55 5,7625,15,6

Multiplicando,

5,6875,5 5 ke

Despejando la exponencial,

0202192,0

875,5

5,6ln

5

1

k

Despejando k

Así, la ecuación logística que modela la población humana es

0,0202192t-0,0202192t-0,0202192t

0,0202192t

41

30

25,0

5,7

25,01

5,7

eee

eP

En la figura se muestra la grafica de la población para los próximos 300 años. Observa que 30.000 millones es, en

efecto, la población límite.

---------------------CAPITULO 2--------------------

52

FIGURA 2.2 : Número mundial de habitantes, de acuerdo con el modelo logístico. El tiempo medido en años y la

población, en miles de millones de habitantes.

Por otra parte, la población será de 25000 millones de habitantes cuando

te 0202192,041

3025

De aquí,

20

10202192,0 te Despejando la exponencial,

añost 163,1480202192,0

20ln Despejando el tiempo.

---------------------CAPITULO 2--------------------

53


Calcular las siguientes integrales, aplicando las propiedades de la integral indefinida y las fórmulas de

integración dadas en la tabla.

1. dxxa 625 2. dxxx 386 2

3. dxpx2 4. dxx

x

3

3 1

5. 1

0 231 dxxx 6.

dx

x

xa

2

7. dxx

2cos 8. dx

x

xx

10

52

9.

dxnx n

n1

10.

dxx

xx

3 2

22 21

11.

dxx

xx nm

2

12.

7

0 2 7x

dx

13. dxexx3 14.

dxe

ex

x 2

15.

0

2tan xdx 16. d22 tan3cot2

17. dxx

xx

1

11

4

22

18. dxxxsenh 5cosh352


Calcular las siguientes integrales utilizando las sustituciones indicadas.

1.t

xxx

dx 1 ,

22

2. 4

13 4

1,1

xdxx

x

3z

3. txdxxx 35 ,35 272 4.

1 ,

1xt

x

xdx

5. xsentxsen

xdx ,

1

cos

2

6. 2 ,

1

1zxdx

x

x

7.

arcsenxzdxx

xarcsen

,

1

2

2

8.

xu

x

dx

11 ,

11

2

2

1

---------------------CAPITULO 2--------------------

54

9. 4

8

3

,5

xrdxx

x

10. 1 ,1

2

x

xet

e

dx


Calcular las siguientes integrales indefinidas aplicando una sustitución adecuada.

1. dttt 132 2.

dx

xx

x32 34

2

3.

duu

u

4

3 4.

dx

x

xln2

5. de 2tan sec 6.

dxx

xx ln

7. dxx

xx

1

124

8. 257 x

dx

9.

dx

x

x

23

522

10. dxxsen

x

2

tanln

11. dxex

xsen x2tan

3cos

12. dx

x

xe x

2

arctan

1

arctan2

13.

dxxx

x2ln4

ln 14. dx

x

xx

241

2arctan

15.

322 11 xx

xdx 16. dx

e

ebx

bx

21

17. dxaxsenax2

cos 18. xxsen

dx

cos

19.

dxx

x2

1 20. dx

xsenx

xxsen

22cos

cos

21. dxx

bax

22.

dx

e

ex

x

1

12

2

23.

dx

x

xxe x

2

2arctan

1

11ln 24. dx

xsenx

xxsen

cos

cos

25. x

dxxsen ln 26. 258

32 xx

dx

27. 2215 xx

dx 28. dx

xx

x

14

14

3

---------------------CAPITULO 2--------------------

55

29.

dx

x

x

21

1 30.

dx

xx

x

26

3

31.

dx

xx

x

2519

23 32.

dx

xx

x

24

2

33.

dxxx

x

2961

23 34.

t

t

e

dte

21

35. xx

dx2ln

36. 1xe

dx

37. xdxsene xsen 2 2

38.

dx

x

xx2

2

1

)1ln(

39. dxxx

xddxx

x

24

2 11

1

1

1 .Indicación

40.

dx

x

x

1

14

2

41. 2

2

1 n

n

x

dxx

42. x

xdx

2cos2

cos 43.

dx

x

x

x 1

1ln

1

12

44. dxxxsen

xsenx 44 cos

cos 45.

dx

xx

xx

49

32

46. xx ee

dx 47.

xe

dx

21

48. )ln(lnln xxx

dx 49.

dxxx

xarcsen

1

50. dxxx 10

52 51. 12xx

dx

52. x

dx

x

x

4ln

2ln 53.

x

xdxsen

cos

3

54.

dxxx

21

2 55.

2

7

3

32 x

dxx

56.

xbax

dx(Sugerencia: haga 2senabax )


Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales

---------------------CAPITULO 2--------------------

56

1.yy

xx

dx

dy

2.

y

yx

dx

dy213

3. 02sec ydxxdy 4. 053 dyxxyydx

5. yxyxy 1´ 6. xyx

y

dx

dy2

2

1

1

7. 022 dyedxe yxyx 8. 01´1 223 yxyxy

9.dx

dyxyy

dx

dyxa

2 10. 0cos 2 xdyxdxsene y

11. 0sec1tan3 2 ydyeydxe xx


En los ejercicios 1-15. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales que satisfacen las condiciones

iniciales que se indican.

1. 13 ´;3´2 2 yyyyy

2. 21 ;012 ydxexxdy y

3. 10 ;04 2 ydyxdxxxy

4. 10 ;01cot 2 ydxyxdy

5. 2,11- ;314

2

2

2

dx

dyyx

dx

yd

6. 14' xxyy

; 21 y

7. yxyxy 34' ; 31 y

8. 1' 2222 yxyxy ; 21 y

9. 5

1'

2

y

xy

; 10 y

10. yxey 2'

; 50 y

11. yxey 33' ; 12 y

12. yxxey 2

' ; 11 y

13. yexseny 2' ; 12

y

14. 2

'2

x

xey

y

; 21 y

15. 1

'2

2

x

xey

y

; 51 y

Demuestre que la solución que se indica es la solución de la ecuación diferencial dada

16. xx eCeCyyyy 2

21 ;02´3´´

17. 323 ;03´3´´´´´ Cxyyxyyxyx

18. Cxyxyyxdx

dyyx 22 ;022

---------------------CAPITULO 2--------------------

57

19. Establece una ecuación diferencial para cada una de las siguientes situaciones y resuelve.

a) La población de peces en un lago aumenta con una rapidez proporcional al número de estos que están

presentes en un instante dado.

b) La población de bacterias en un cultivo crece, de forma proporcional al cuadrado del número de bacterias

en un instante dado.

c) La razón de cambio de la temperatura de un objeto es proporcional a la diferencia entre esta y la temperatura del medio ambiente.

d) La fortuna de un millonario crece proporcionalmente al cuadrado del dinero que tiene en un instante dado.

20. En el caso de un proceso adiabático en que interviene un gas perfecto, la presión P está relacionada con el

volumen V a través de la ecuación

VC

PC

dV

dP

v

p

Donde CP y Cv son calores específicos del gas a presión y volumen constantes, respectivamente. Resuelve la

ecuación para obtener la presión en función del volumen, suponiendo que la presión es de 4 libras por pulgada cubica, cuando el volumen es de una pulgada cúbica.

21. En cada punto de cierta curva es 312''

xy . Hallar la ecuación de la curva sabiendo que pasa por el punto

0,1 y es tangente en ese punto a la recta 66 yx

22. La población de estados era de 75 millones en 1900 y de 150 millones en 1950. Suponiendo que la tasa de

crecimiento es en cualquier instante proporcional al tamaño de la población, determine el tamaño de la población en un instante t. (Considere a 1900 como t=0). ¿Cuál es la población proyectada para el 2005?

23. La Ley del Enfriamiento de Newton viene dada por la ecuación sTTkdt

dT , donde T es la temperatura

del cuerpo en el instante t y ST es la temperatura ambiente, demuestre que la solución de la ecuación está dada

por kt

S AeTT .

24. El peso de un ser humano, desde el nacimiento hasta la muerte, puede modelarse por la ecuación de Gompertz:

WWbadt

dWln

Donde a y b son constantes apropiadas no nulas. Encuentra una solución de esta ecuación que satisfaga la condición inicial 00 0 WW

---------------------CAPITULO 2--------------------

58

25. En una zona pesquera del Pacífico la masa total de los peces ty (biomasa) se mide con la ecuación

diferencial:

r

yky

dt

dy1 , donde y se mide en kg y t en años

La capacidad de contención se estima que es, kgr 7108

71,0k Por año

a) Encuentre y(t)

b) Si kgy 71020 , encuentre la biomasa un año después

c) ¿Cuánto tiempo pasará para que la biomasa llegue a kg7104 ?

AUTOEVALUACION

1. Encuentra la ecuación de la curva que tiene derivada92

x

x

dx

dy y pasa por el punto 2,4 .

a) 392 xy b) 93 2 xy c) 97 2 xy d) 92 xy

2. Si f es una función tal que su derivada es continua en ba, , elige el inciso que contiene el cálculo correcto de

b

adttftf '

a) afbf b) bfaf 22

2

3 c) afbf 22

2

1 d) bfaf 22

2

1

3. Si f es una función continua, elige la opción en la que se encuentra una integral igual a

dxxfb

a

a)

cb

cadxcxf b)

c

adxcxf c)

b

cdxcxf d)

cb

cadxcxf

4. Un tanque contiene inicialmente 20 litros de una solución salina, en la cual se disolvieron 1,2 kilos de sal. Se

agrega otra solución salina, cuya concentración es de 0,5 kilo por litro, a razón de 2 litros por minuto. Si la mezcla

sale del tanque a la misma velocidad de 2 litros por minuto, determina la cantidad de sal después de t minutos.

a) sal tet 1.08.810 c) sal tet 1.08.1012

b) sal tet 2.08.1012 d) sal tet 2.08.810

5. Encuentra en la columna B el resultado de la integral propuesta en la columna A.

---------------------CAPITULO 2--------------------

59

COLUMNA A

a) dxxx 12

b)

dxxx 31

1

c)

31

32 32 x

xdx

d)

dxx

xsen

8

3 1

1

e)

dx

xxsen

xxsen

31

cos

cos

f)

322 11 xx

xdx

g)

dxx

xx 51

2

1

21

COLUMNA B

i. Cxxsen 3

2

cos2

3

ii. Cx 2112

iii. Cxxx 23

25

27

13

21

5

41

7

2

iv. Cx

21

2112

v. 27

2

vi. Cx 52

12

5

vii. 3cos2cos2

viii. Cxx 52

2 212

5

ix. 322 sensen

x. Cxx 34

37

14

31

7

3

xi. Cxxsen 2

3

cos3

2

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Calculo Integral Capitulo 2 - Integral Indefinida